Upload
others
View
7
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3M‐1/r dijagrami
Izv. prof. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 1
NBK1.147 Slika 5.4 Proračunski dijagrami betona razreda od C12/15 do C90/105, lijevo: u obliku parabole‐horizontalnog pravca;
desno: bi‐linearni, [4] NBK1‐100
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 2
NBK1‐97, Tablica 4.1 Razredi čvrstoća betona
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 3
M‐1/r dijagram primjer
Potrebno je proračunati i nacrtati točke dijagrama (M‐1/r) za neovijeni i ovijeni beton (σ2=0,10∙fck) uz korištenje bilinearnog (σ‐ε) dijagrama betona, za pravokutni presjek b/h/d=35/55/50 cm, za razred betona C30/37, te čelik B500B i armaturu 5φ22.
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 4
M‐1/r dijagram primjerUlazni podaci:
Dimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmUgrađena vlačna armatura: 5φ22 = 19,01 cm2
Beton: C30/37tablica 3.1 iz EN 1992‐1‐1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.
fck = 30 N/mm2 = 3,0 kN/cm2
fctm = 2,9 N/mm2 = 0,29 KN/cm2
Ecm = 33000 N/mm2 = 3300 KN/cm2
εc3 = 0,00175εcu3 = 0,0035
Čelik: B500Bfyk = 500 N/mm2 = 50 kN/cm2
Es = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 5
Točka (1) – Neovijeni betonPojava prve pukotine u betonu – dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku
Položaj neutralne osi za stanje naprezanja I (beton +armatura)
I0 = b·h3/12 = 35·553/12 = 485260,42 cm4y0d = h/2 = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/33000 = 6,06
( ) ( )( )
( ) ( )( )
cm4326553501191066
2553505011910661
21 2
se
21se
Id
,,,
/,,,/
=
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=hbAhbdAy
αα
cm5728432655IdIg ,, =−=−= yhy
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 6
Točka (1) – Neovijeni betonMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I (beton +armatura)
Moment savijanja kod pojave prve pukotine:
Zakrivljenost:
( ) ( )
( ) ( )4
223
2Igse
2
Ig
3
I
cm68531644
5728500119106657282
55553512
5535
1212
,
,,,,
=
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅= ydAyhhbhb αΙ
kNm1751kNcm29511727,5485260,42290
d0
0ctmcr ,,
,==
⋅=
⋅=
yfM Ι
1/m109121/cm10912685316443300
2951171 46Icm
cr
cr
−− ⋅=⋅=⋅
=⋅
= ,,,
,ΙE
Mr20.10.2014. Betonske konstrukcije III 7
Točka (2) – Neovijeni betonPojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunski dijagram betona
Za beton C30/37:εc3 = 1,75 ‰ = 0,00175 εcu3 = 3,5 ‰ = 0,0035
00250200000500syksys ,// ==== Efεε
22yks kN/cm50N/mm500 === fσ
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 8
Točka (2) – Neovijeni betonUnutarnje sile u poprečnom presjekuZa bilinearni proračunski dijagram betona
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 9
Točka (2) – Neovijeni betonSila u vlačnoj armaturi:Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:
εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJεc3
Točka (2) – Neovijeni betonZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.1, (str. iza) i iznosi:
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
ρs = 0,010862
Točka (2) – Neovijeni beton
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 12
Točka (2) – Neovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se kvadratna jednadžba,
čije rješenje jest relativna deformacija betona, εc = 0,001615
037625259501500000
0002505001195001195035001750
0321
021
c2c
c2c
syykscyks2c
c3
ck
=−⋅−⋅
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
,,
,,,,
,
εε
εε
εεεε
fAfAdbf
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 13
Točka (2) – Neovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zy:
Maksimalno tlačno naprezanje betona:
cm621950002500016150
0016150syc
cy ,,,
,=⋅
+=⋅
+== dxx
εεε
cm46433621950
3y
y ,,
=−=−=x
dz
2
c3
ckcc kN/cm772001750
030016150 ,,
,, =⋅=⋅=ε
εσ f
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 14
Točka (2) – Neovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Sila u betonu:
Moment savijanja iznosi :
Zakrivljenost poprečnog presjeka:
kN5950kN0895135621977221
21
sycc ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ
kNm08413kNcm734130846435950ysy ,,,, ==⋅=⋅= zFM
1/m1022981/cm102298621950
002501 35y
sy
y
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 15
Točka (3) – Neovijeni betonSlom poprečnog presjeka
Preko betona
Preko armature
Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja
sus εε =
cu3c εε =
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 16
Točka (3) – Neovijeni betonZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
ρs = 0,010862 > ρs,gr,3u = 0,002944 Slom preko betona
0029440gr,3us, ,=ρ
010862050350119s
s ,,
=⋅
=⋅
=db
Aρ
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 17
Točka (3) – Neovijeni beton
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 18
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona tj. kada armature ima više od As,max što je nepovoljno
Relativna deformacija betona u tlačnom području je εcu3Proračunava se relativna deformacija armature εs između vrijednosti εsy i εsu, tj.
Za B500A εsu = 25,0‰Za B500B εsu = 50,0‰Za B450C εsu = 75,0‰Za εc = εcu3 bilinearma raspodjela u tlačnom dijelu betona
( ) sussyksy εεε ≤
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje se relativna deformacija armature, εs
0109990500119
003505001192
00175000350503503
2yks
cu3yksc3
cu3ck
s
,,
,,,,,
=
=⋅
⋅⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
=
=⋅
⋅⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
=fA
fAdbf εεεε
05000250 sussy ,, =≤
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Sila u armaturi:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εc3, od neutralne osi:
Sila u betonu:
cm071250010999000350
00350scu3
cu3u ,,,
,=⋅
+=⋅
+== dxx
εεε
cm0356071200350
001750u
cu3
c3u ,,,
,' =⋅=⋅= xxεε
kN595003562107123503
21
21
uuckuckuckc ,,,,'' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= xxbfbxfbxfF
kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 21
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, Fc, koja se može rastaviti na dvije komponente, Fc1 i Fc2:
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 22
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:
( ) ( ) kN68633350356071203uuckc1 ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF
kN82316686335950ili21
c1cc2uckc2 ,,,' =−=−=⋅⋅⋅= FFFbxfF
cm0832
035607122
uu ,,,' =−=− xx
cm0583035620712
32 u
u ,,,' =⋅−=⋅− xx
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 23
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Udaljenost rezultantne sile u betonu Fc od gornjeg ruba presjeka, xTu:
Krak unutarnjih sila:
cm7448231668633
0588231608368633
32
2c2c1
uuc2
uuc1
Tu
,,,
,,,,
''
=+
⋅+⋅=
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅+
−⋅
=FF
xxFxxFx
cm264574450Tuu ,, =−=−= xdz
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 24
Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona
Moment savijanja iznosi:
Zakrivljenost poprečnog presjeka:
Koeficijent duktilnosti:
kNm20430kNcm634301926455950ucu ,,,, ==⋅=⋅= zFM
1/m109021/cm109020712
003501 24u
cu3
u
−− ⋅=⋅=== ,,,
,xrε
523102298
109021
1
5
4
y
u ,,,
=⋅⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= −−
r
rδ
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 25
Točka (3) – Neovijeni betonDijagram M‐1/r:
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 26
( ) ckck2ck2ck2ckcck, 05010tj.050za521251 ffffff ⋅>⋅=⋅>+= ,,,/,, σσσ
( ) ( ) 003310302541001750 22ckcck,c3cc3, ,/,,/ =⋅=⋅= ffεε023503003200035020 ck2cu3ccu3, ,/,,,/, =⋅+=⋅+= fσεε
Karakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:
Relativne deformacije ovijenog betona:
Ovijeni beton
( ) 2cck, N/mm2541300352125130 ,/,,, =⋅+⋅=f
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 27
Ovijeni betonVlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Srednja vlačna čvrstoća za betone fck ≤ 50 MPa:
Srednja tlačna čvrstoća:
Veličine fctm,c; fck,c; fcm,c; fck; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm2
Sekantni modul elastičnosti betona:
Ecm,c, fcm,c i brojka 10 dani su u N/mm2
223 23 2cck,cctm, kN/cm360N/mm58325413030 ,,,,, ==⋅=⋅= ff
2
ckcck,ccm, N/mm255230
0812541081 ,,,, =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
fff
223030
ccm,ccm, kN/cm843612N/mm43612810
25522000210
20002 ,,,,,
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
fE
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 28
Točka (1) – Ovijeni betonPojava prve pukotine u betonu – dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku
Položaj neutralne osi za stanje naprezanja I (beton +armatura)
I0 = 485260,42 cm4y0d = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/36128,4 = 5,54
( ) ( )( )
( ) ( )( )
cm5326553501191545
2553505011915451
21 2
se
21se
Id
,,,
/,,,/
=
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=hbAhbdAy
αα
cm4728532655IdIg ,, =−=−= yhy
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 29
Točka (1) – Ovijeni betonMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I (beton +armatura)
Moment savijanja kod pojave prve pukotine:
Zakrivljenost:
( ) ( )
( ) ( )4
223
2Igse
2
Ig
3
I
cm73527077
4728500119154547282
55553512
5535
1212
,
,,,,
=
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅= ydAyhhbhb αΙ
kNm5363kNcm5635227,5485260,42360
d0
0cctm,ccr, ,,
,==
⋅=
⋅=
yf
MΙ
1/m1033631/cm10336373527077843612
563521 46Iccm,
ccr,
ccr,
−− ⋅=⋅=⋅
=⋅
= ,,,,
,ΙE
Mr
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 30
Točka (2) – Ovijeni betonPojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunski dijagram betona
Za ovijeni beton C30/37:εc3,c = 3,31 ‰ = 0,00331 εcu3,c = 23,5 ‰ = 0,0235
00250200000500syksys ,// ==== Efεε
22yks kN/cm50N/mm500 === fσ
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 31
Točka (2) – Ovijeni betonUnutarnje sile u poprečnom presjeku
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 32
Točka (2) – Ovijeni betonSila u vlačnoj armaturi:Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:
εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJεc3,c
Točka (2) – Ovijeni betonZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja iznosi:
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
ρs = 0,010862
Točka (2) – Ovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se kvadratna jednadžba,
čije rješenje jest relativna deformacija betona, εc = 0,001975
03762525950621090445
00025050011950011950350033101254
21
021
c2c
c2c
syykscyks2c
cc3,
cck,
=−⋅−⋅
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
,,,
,,,,,
εε
εε
εεεε
fAfAdbf
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 35
Točka (2) – Ovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zy:
Maksimalno tlačno naprezanje betona:
cm072250002500019750
0019750syc
ccy, ,,,
,=⋅
+=⋅
+== dxx
εεε
cm64423072250
3y
y ,,
=−=−=x
dz
2
cc3,
cck,ccc, kN/cm462003310
12540019750 ,,,, =⋅=⋅=
εεσ
f
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 36
Točka (2) – Ovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Sila u betonu:
Moment savijanja iznosi :
Zakrivljenost poprečnog presjeka:
kN5950kN195035072246221
21
scy,cc,cc, ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ
kNm29405kNcm324052964425950cy,scy, ,,,, ==⋅=⋅= zFM
1/m1095181/cm109518072250
002501 35cy,
sy
cy,
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 37
Točka (3) – Ovijeni betonSlom poprečnog presjeka
Preko betona
Preko armature
Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja
sus εε =
ccu3,c εε =
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 38
Točka (3) – Ovijeni betonZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja iznosi:
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
ρs = 0,010862
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature tj. kada armature ima manje od As,max što je povoljno
Relativna deformacija vlačne armature εs = εsuZa B500A εsu = 25,0‰Za B500B εsu = 50,0‰Za B450C εsu = 75,0‰
Proračunava se relativna deformacija betona εc između vrijednosti 0 i εcu3,c, tj.:
Sila u vlačnoj armaturi:
ccu3,c0 εε ≤≤
kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 40
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:
εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonaεc3,c
Točka (3) – Ovijeni betonZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja iznosi:
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
ρs = 0,010862 > ρs,gr,3 = 0,00256 εc > εc3,c (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 2. SLUČAJ
010862050350119s
s ,,
=⋅
=⋅
=db
Aρ
002560003310050
003310501254
21
21
cc3,su
cc3,
yk
cck,gr,3s, ,,,
,,=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⋅⋅=
εεε
ρff
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 42
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Relativna deformacija betona:
Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
009488050011950351254
200331050351254050500119
2ykscck,
cc3,cck,suyks
c
,
,,
,,,,
=
=⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅=
⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅=
fAdbf
dbffAε
εε
cm977500500094880
0094880suc
ccu, ,,,
,=⋅
+=⋅
+== dxx
εεε
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 43
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εc3, od neutralne osi:
Sila u betonu:
cm7829770094880003310
cu,c
cc3,cu, ,,,
,' =⋅=⋅= xxεε
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⋅⋅
=⋅⋅⋅−⋅⋅=22
1 c3c
syc
ckyckyckc
εεεε
dbfbxfbxfF '
kN5950kN9994978221977351254
21
cu,cu,cck,cc, ,,,,,' ≈=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= xxbfF
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 44
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, Fc,c, koja se može rastaviti na dvije komponente, Fc1,c i Fc2,c
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 45
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:
( ) ( ) kN31749357829771254cu,cu,cck,cc1, ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF
kN6820035782125421
21
ili21
cu,cck,cc2,
cc1,cc,cc2,cu,cck,cc2,
,,,'
'
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
−=⋅⋅⋅=
bxfF
FFFbxfF
cm6022
7829772
cu,cu, ,,,'
=−
=− xx
cm1263
78229773
2 cu,cu, ,
,,'
=⋅
−=⋅
−x
x
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 46
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona
Udaljenost rezultantne sile u betonu Fc,c od gornjeg ruba presjeka, xTu,c :
Krak unutarnih sila:
cm3436820031749
126682006231749
32
2c2c1
uuc2
uuc1
Tu
,,,
,,,,
''
=+
⋅+⋅=
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅+
−⋅
=FF
xxFxxFx
cm664634350cTu,u ,, =−=−= xdz
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 47
Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature
Moment savijanja iznosi:
Zakrivljenost poprečnog presjeka:
Koeficijent duktilnosti:
kNm50443kNcm334435066465950cu,scu, ,,,, ==⋅=⋅= zFM
1/m101911/cm1019197750
0501 13cu,
su
cu,
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
2913109518
101911
1
5
3
y
u ,,,
=⋅⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= −−
r
rδ
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 48
Točka (3) – Ovijeni betonDijagram M‐1/r:
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 49
Točka (3) – Neovijeni i ovijeni betonDijagram M‐1/r:
20.10.2014. Betonske konstrukcije III 50