BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, V

Evrokodovi za konstrukcijeProračun prema Evrokodu EC2

Elementi dimenzionisanja preseka prema EC2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1



Sadržaj

1 Evrokodovi za konstrukcijeUvodne napomeneTeorija graničnih stanjaProračunske situacije i kombinacije

2 Proračun prema Evrokodu EC2Opšte napomeneKarakteristike materijalaPretpostavke proračuna

3 Elementi dimenzionisanja preseka prema EC2Naponska stanja presekaSavijanje sa i bez normalne sileGranična stanja upotrebljivosti




Uvodne napomeneTeorija graničnih stanjaProračunske situacije i kombinacije

Sadržaj








Evrokodovi za konstrukcije





Evrokodovi za konstrukcije





Struktura Evrokodova za konstrukcije





Struktura Evrokodova za konstrukcije





Evrokod 1 - Dejstva na konstrukcije





Struktura Evrokoda 2















EC2 - veza sa ostalim Evrokodovima





Izabrani simboli u Evrokodovima





Izabrani indeksi u Evrokodovima





Prednosti upotrebe Evrokoda 2





Dimenzionisanje AB konstrukcija

Uvodne napomene o dimenzionisanju AB konstrukcija

Armiranobetonske konstrukcije, kao i sve drugekonstrukcije, treba da budu dimenzionisane i izvedene takoda budu:

- sigurne- funkcionalne- trajne

Sigurne konstrukcije su one konstrukcije koje sa određenimstepenom sigurnosti mogu da prihvate sva očekivanaopterećenja i uticaje koji mogu da se jave tokom izvođenjai životnog veka konstrukcije (njene eksploatacije)







Funkcionalne konstrukcije su konstrukcije koje su podobneza predviđenu upotrebu, odn. namenuU skladu sa tim, moraju da budu zadovoljeni određenizahtevi vezano za deformacije konstrukcije ili njenihelemenata, koje mogu da nepovoljno utiču na udobnostkorisnika, funkcionalnost opreme, izgled objekta itdTrajnost konstrukcije se postiže pravilnim izborom ikvalitetom materijala, kvalitenim izvođenjem konstrukcije ioblikovanjem detalja, kao i redovnim održavanjem izaštitom objekta







Dimenzionisanje (proračun) AB konstrukcija, odn. dokazsigurnosti (nosivosti) i funkcionalnosti konstrukcije, vrši seprimenom dve (veoma) različite metode:

1 teorija dopuštenih napona2 teorija graničnih stanja






Uvodne napomene o dimenzionisanju AB konstrukcijaDimenzionisanje primenom teorije dopuštenih napona zasnivase na uslovu da pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja i svihuticaja na konstrukciju ni u jednoj tački konstrukcije ne dođedo prekoračenja dopuštenih napona ili do plastične deformacijeProračun prema dopuštenim naponima vrši se prema teorijielastičnostiMeđutim, pojava plastifikacije u nekoj tački ili široj oblastinosača, ne znači, automatski, lom konstrukcije, odn. gubitaknosivosti⇒ Metoda dozvoljenih napona ne daje pravu sliku ponašanjaAB konstrukcija






Uvodne napomene o dimenzionisanju AB konstrukcijaDimenzionisanje primenom teorije graničnih stanja zasniva sena analizama stanja konstrukcije koja prethode lomukonstrukcije, odn. gubitku njene nosivosti, kao i stanjima pripojavi velikih i trajnih deformacija koje ugrožavajufunkionalnost konstrukcijeProračun prema teoriji graničnih stanja obuhvata (uglavnom):

1 granično stanje nosivosti (loma)2 granično stanje upotrebljivosti

Proračun po teoriji graničnih stanja zasniva se i na teorijiplastičnosti i na teoriji elastičnostiProračun po teoriji graničnih stanja daje racionalnija rešenja





Sadržaj








Načini proračuna AB konstrukcija

Teorija graničnih stanjaPrema Evrokodu EC2, proračun AB konstrukcija vrši se premateoriji graničnih stanja (u EC2 ne postoje dopušteni naponi)Teorija graničnih stanja se sastoji iz

- graničnih stanja nosivosti (“limit state analysis”)- graničnih stanja upotrebljivosti (“serviceability limit states”)

Granična stanja nosivosti su ona stanja koja se odnose nanosivost i sigurnost konstrukcije, kao i sigurnost ljudiDostizanje graničnih stanja nosivosti dovodi do lomakonstrukcije ili njenih elemenata






Teorija graničnih stanjaGranična stanja upotrebljivosti su ona stanja koja se odnose nafunkcionalnost objekta, estetski izgled objekta, udobnost ljudiu objektu, odn. koja se odnose na ispunjenje zahteva ueksploatacijiNajčešće su ovi uslovi i zahtevi vezani za

- ugibe (odn. deformacije), koji mogu da nepovoljno utiču nafunkcionalnost objekta

- pojavu prslina u betonu, koje mogu da utiču na izgled,trajnost, vodonepropustljivost

- pojavu vibracija, koje mogu da dovedu do oštećenjakonstrukcije, ili do nelagodnosti ljudi u objektu






Teorija graničnih stanjaUobičajeno je da se AB konstrukcija dimenzioniše premagraničnom stanju nosivosti (prema graničnom opterećenju), ada se zatim proveri granično stanje upotrebljivosti (premaeksploatacionom opterećenju) i po potrebi, izvrši odgovarajućakorekcija






Teorija graničnih stanjaPodrazumeva se da je konstrukcija tako koncipirana idimenzionisana da poseduje odgovarajuću duktilnostDuktilnost konstrukcije dopušta da se reološki fenomeni(tečenje i skupljanje betona), kao i sleganje oslonaca i sl.mogu da zanemare u proračunu pri graničnom stanju nosivostiSa druge strane, navedeni fenomeni mogu značajno da utičuna ponašanje konstrukcije u eksploataciji, pa se uzmaju u obziru proračunu (odn. proveri) graničnih stanja upotrebljivosti






Teorija graničnih stanjaOsnove proračuna konstrukcija prema teoriji graničnih stanjadate su u Evrokodu 0U Evrokodovima za konstrukcije proračun je zasnovan napolu-probabilističkom konceptu i na metodi parcijalnihkoeficijenataPri dokazima graničnih stanja nosivosti za osnovne promenljiveveličine se usvajaju:

- dejstva . . . spoljašnja opterećenja i prinudne deformacije- svojstva materijala . . . mehaničko-reološka svojstva materijalaza konstrukcije

- geomertijski podaci . . . dimenzije poprečnih preseka ielemenata konstrukcije






Teorija graničnih stanjaPrema teoriji graničnih stanja i parcijalnih koeficijenata, dokazsigurnosti za granična stanja nosivosti može da se formuliše uvidu nejednakosti:

Ed ≤ Rd

gde je- Ed . . . proračunska vrednost uticaja usled dejstava, u kojespadaju, npr., sile u presecima, naponi i sl.

- Rd . . . odgovarajuća proračunska nosivost

Ovakav proračun se naziva metoda proračunskih vrednosti(“design value method”), ili metoda parcijalnih koeficijenata






Teorija graničnih stanjaAko je Ek karakteristična vrednost posmatranog uticaja usleddejstava (neka sila u preseku i sl.), onda je proračunskavrednost uticaja Ed data sa

Ed = γF · Ek

gde je γF ≥ 1.0 parcijalni koeficijent za uticaje usled dejstva






Teorija graničnih stanjaAko je Rk karakteristična nosivost koja odgovaraposmatranom uticaju, onda je proračunska nosivost Rd data sa

Rd =Rk

γM

gde je γM ≥ 1.0 parcijalni koeficijent za nosivost





Sadržaj









Proračunske situacije prema EvrokoduEvrokod 0 razlikuje četiri grupe proračunskih situacija:

1 stalne . . . stalna opterećenenja tokom uobičajenih uslovakorišćenja objekta

2 povremene ili prolazne . . . kratkotrajna opterećenja (npr.prilikom izvođenja, popravki i sl.)

3 incidentne . . . izuzetne situacije koje mogu, ali ne moraju da sejave tokom eksploatacionog veka: npr. požar, eksplozija, udarvozila

4 seizmičke . . . uticaj mogućeg zemljotresa

Suština proračuna je da se dokaže da ni u jednoj proračunskojsituaciji, koja može da se javi tokom eksploatacije, neće dadođe do prekoračenja ni jednog relevantnog graničnog stanja






Proračunske vrednosti uticaja usled dejstavaPod pojmom dejstava, u Evrokodu se podrazumeva širokspektar spoljašnjih prinuda (događaja) koje izazivaju uticaje ukonstrukcijiPod dejstvima se podrazumevaju:

- direktna dejstva . . . opterećenja koja direktno deluju nakonstrukciju (sopstvena težina i drugo stalno opterećenje,korisno opterećenje, sneg, vetar, . . . )

- indirektna dejstva . . . prinudne deformacije koje mogu danastanu usled uticaja temperature, sleganja oslonaca,






Proračunske vrednosti uticaja usled dejstavaPrema pojavi dejstava u toku životnog veka konstrukcije,dejstva mogu da se klasifikuju u tri grupe:

- stalna dejstva (G) . . . deluju na konstrukciju tokom čitavognjenog životnog veka i koja su, po pravilu, statičkog karaktera(ne menja se bitno položaj i intenzitet): sopstvena težina,stalna opterećenja (težina nekonstruktivnih elemenata), sileprednaprezanja, skupljanje i tečenje betona

- promenljiva dejstva (Q) . . . deluju na konstrukciju tokomodređenog vremenskog perioda i podložna su promenama poprostoru i vremenu: korisna opterećenja u zgradama,saobraćajna opterećenja, dejstva vetra, snega, temperature

- incidentna dejstva (A) . . . verovatnoća pojave je relativno mala(mogu i da se ne pojave tokom eksploatacije): požari,eksplozije, udari vozila, seizmička dejstva (AE)






Proračunske vrednosti uticaja usled dejstavaPrema zavisnosti dejstava od vremena, dejstva mogu da seklasifikuju u dve grupe:

- statička dejstva . . . promena dejstava tokom vremena jezanemarljiva

- dinamička dejstva . . . promena dejstava tokom vremena jeznačajna

Često se dinamičke pojave posmatraju kao kvazi-statičke takošto se uvode dinamički faktori kojima se multipliciraju statičkiuticaji, a proračun se vrši primenom statičke analizeU nekim situacijama dinamičkih dejstava neophodna jekompletna linearna ili nelinearna dinamička analiza, tako da serešavaju odgovarajuće diferencijalne jednačine kretanja





Modeliranje dejstava za analizu konstrukcije






Reprezentativne vrednosti dejstavaSva dejstva se u proračunu prema metodi proračunskihvrednosti (teoriji graničnih stanja) tretiraju kao osnovneslučajne promenljiveU tom smislu, sva dejstva moraju da budu pretstavljene svojimreprezentativnim vrednostimaGlavna reprezentativna vrednost svakog dejstva je njegovakarakteristična vrednost Fk

Pored karakteristične vrednosti, dejstva mogu da budupretstavljena i drugim reprezentativnim vrednostima






Reprezentativne vrednosti dejstavaStalna opterećenja G u većini slučajeva mogu da se pretstavesamo pomoću jedne karakteristične vrednosti Gk

Promenljiva dejstva Q su složenije pojave od stalnih, tako daosim karakteristične vrednosti Qk, koja je glavnareprezentativna vrednost promenljivih dejstava, ima još trireprezentativne vrednosti:

- vrednost za kombinacije (“combination value”) . . . pretstavljaproizvod koeficijenta za kombinovanje i karakterističnevrednosti promenljivog dejstva ψ0 ·Qk

- česta vrednost (“frequent value“) . . . prikazuje se kao proizvodψ1 ·Qk

- kvazi-stalna vrednost (”quasi-permanent value“) . . . prikazuje sekao proizvod ψ2 ·Qk






Reprezentativne vrednosti dejstavaVrednost za kombinacije ψ0 ·Qk koristi se za određivanjemerodavnih kombinacija za slučaj više promenljivih dejstava ito za granična stanja nosivosti i nepovratna granična stanjaupotrebljivostiVerovatnoća da će sva promenljiva dejstva da delujuistovremeno sa svojim ekstremnim vrednostima je malaZbog toga se jednoj (osnovnoj) karakterističnoj vrednostipromenljivog dejstva Qk dodaju ostale karakterističnevrednosti Qk pomnožene sa koeficijentom kombinacije ψ0i

Vrednosti koeficijenta ψ0 se određuju iz uslova da verovatnoćaistovremene pojave dejstava bude približno ista kao i za svakodejstvo pojedinačno






Reprezentativne vrednosti dejstava

Česta vrednost ψ1 ·Qk koristi se za dokaz graničnih stanjanosivosti pri incidentnim proračunskim situacijama, kao i zaproračun povratnih graničnih stanja upotrebljivostiČeste vrednosti ψ1 ·Qk mogu da se odrede

- ili na osnovu vremena tokom koga su prekoračene (10% odukupnog referentnog perioda T)

- ili na osnovu broja prekoračenja u toku godine (300 puta)






Reprezentativne vrednosti dejstavaKvazi-stalna vrednost ψ2 ·Qk primenjuje se za dokazegraničnih stanja nosivosti kod incidentnih i seizmičkihproračunskih situacija i za dokaze povratnih graničnih stanjaupotrebljivosti za slučaj dugotrajnih dejstavaKvazi-stalna vrednost dejstva ψ2 ·Qk se određuje iz uslova daje vreme tokom koga je prekoračena jednako polovinireferentnog perioda T, odn. da je verovatnoća preoračenjajednaka 0.5





Reprezentativne vrednosti promenljivih dejstava





Reprezentativne vrednosti promenljivih dejstava






Granična stanja nosivosti

Sledeća granična stanja nosivosti moraju da se provere (premaEC0):

1 EQU . . . gubitak statičke ravnoteže konstrukcije ili njenog dela(posmatrano kao kruto telo)

2 STR . . . otkaz usled prekomerne deformacije, prelaskakonstrukcije ili njenog dela u mehanizam, loma poprečnogpreseka, gubitka stabilnosti konstrukcije ili njenog dela,uključujući oslonce i temelje

3 GEO . . . lom ili prevelika deformacija tla, kada nosivost tla ilistene imaju dominantan uticaj za nosivost

4 FAT . . . lom usled zamora materijala






Kombinacije dejstava za granična stanja nosivostiZa svaki slučaj merodavnog opterećenja projektne vrednostiuticaja od dejstava Ed treba da se odrede kombinujućivrednosti dejstava koje mogu da deluju istovremenoSvaka kombinacija dejstava mora da uključi

- vodeće promenljivo dejstvo- ili slučajno dejstvo

Za stalne i povremene (prolazne) proračunske situacije pridokazu graničnih stanja nosivosti treba da se koriste sledećekombinacije dejstava:∑

j≥1

γGj Gkj + γP P + γQ1Qk1 +∑i>1

γQi ψ0iQki (1)






Kombinacije dejstava za granična stanja nosivosti

Alternativno, za stalne i povremene (prolazne) proračunskesituacije pri dokazu graničnih stanja STR i GEO, treba da sekoristi nepovoljnija od sledeće dve kombinacije:∑

j≥1

γGj Gkj + γP P + γQ1 ψ01Qk1 +∑i>1

γQi ψ0iQki (2)

∑j≥1

ξj γGj Gkj + γP P + γQ1Qk1 +∑i>e1

γQi ψ0iQki (3)

gde- + . . . označava ”da se kombinuje sa“-∑

. . . označava ”kombinovani efekat od“







U izrazima (1) do (3) koriste se oznake:- Gkj . . . karakteristične vrednosti stalnih dejstava- P . . . reprezentativna vrednost usled prethodnog naprezanja(ukoliko postoji)

- Qk1 . . . karakteristična vrednost dominantnog promenljivogdejstva

- Qki . . . karakteristične vrednosti ostalih (pridruženih)promenljivih dejstava







U izrazima (1) do (3) koriste se oznake:- γGj . . . parcijalni koeficijent za stalna dejstva- γP . . . parcijalni koeficijent za prethodno naprezanje (ukolikopostoji)

- γQ1 . . . parcijalni koeficijent za dominantno promenljivo dejstvo- γQi . . . parcijalni koeficijent za ostala (pridružena) promenljivadejstava

- ψ0i . . . koeficijenti za kombinovanje promenljivih dejstava- ξj . . . faktor redukcije za nepovoljna stalna dejstva G






Kombinacije dejstava za granična stanja nosivostiUkoliko nije moguće da se unapred utvrdi koje je promenljivodejstvo dominantno, neophodno je da se ispitaju svekombinacije u kojima se jedno od promenljivih dejstava tretirakao dominantnoTakođe treba da se vodi računa i o tome da za različiteelemente konstrukcije ne mora da bude isto dejstvodominantno






Kombinacije dejstava za granična stanja nosivostiZa incidentne proračunske situacije pri dokazu graničnih stanjanosivosti primenjuje se sledeća kombinacija dejstava:∑

j≥1

Gkj + P +Ad + (ψ1,1 ili ψ2,1)Qk1 +∑i>1

ψ2iQki (4)

gde je Ad proračunska vrednost incidentnog dejstva (požar,udar vozila, . . . )Koja vrednost dominantnog promenljivog opterećenja se usvaja(ψ1,1Qk1 ili ψ2,1Qk1) zavisi od konkretne proračunskeincidentne situacije






Kombinacije dejstava za granična stanja nosivostiZa analizu seizmičke proračunske situacije pri dokazu graničnihstanja nosivosti primenjuje se sledeća kombinacija dejstava:∑

j≥1

Gkj + P +AEd +∑i≥1

ψ2iQki (5)

gde je AEd proračunska vrednost seizmičkog dejstva (određujese u skladu sa EC 8, odnosno, SPRS EN 1998-1)Vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti, kao ikoeficijenata ψi, treba da se definišu u odgovarajućemNacionalnom prilogu za primenu EvrokodovaU našem Nacionalnom prilogu SRPS EN 1990/NA usvojene supreporučene vrednosti koeficijenata ψi





Koeficijenti promenljivih dejstava: ψ0, ψ1, ψ2

Vrednosti koeficijenata ψi važe za sve proračunske situacije i zaprovere graničnih stanja nosivosti (EQU, STR i GEO), kao i za

granična stanja upotrebljivosti





Koeficijenti promenljivih dejstava: ψ0, ψ1, ψ2

Vrednosti koeficijenata ψi prema Britanskom nacionalnom aneksu





Kombinacije i parcijalni koeficijenti za GSN/EQU

Kombinacije i parcijalni koeficijenti za granično stanje nosivosti, zagubitak ravnoteže konstrukcije ili njenog dela kao krutog tela (EQU)

izraz (1.36) = (1)





Kombinacije i parcijalni koeficijenti za GSN/STR

STR . . . GSN usled prekomerne deformacije, prelaska konstrukcije ilinjenog dela u mehanizam, loma poprečnog preseka, gubitka

stabilnosti konstrukcije ili njenog dela, uključujući oslonce i temelje





Kombinacije za incidentna i seizmička dejstva






Kombinacije dejstava za granična stanja upotrebljivostiPri dokazima graničnih stanja upotrebljivosti, imajući u viduda se odnose na eksploataciona opterećenja, izostavljaju se sviparcijalni koeficijentiProračunske vrednosti uticaja od dejstava određuju se naosnovu jedne od sledećih kombinacija dejstava:

- karakteristične- česte- kvazi-stalne

Koja od ovih kombinacija se koristi zavisi od konkretnoggraničnog stanja upotrebljivosti koje se proverava





Kombinacije dejstava za granična stanjaupotrebljivosti

GSU . . . granična stanja ugiba (i deformacija), granična stanjaprslina, granična stanja vibracija, . . .




Opšte napomeneKarakteristike materijalaPretpostavke proračuna

Sadržaj








Proračun prema Evrokodu EC2

Opšte napomeneEvrokod EC2 se odnosi na projektovanje i izvođenje zgrada ikonstrukcija od nearmiranog, klasično armiranog i prethodnonapregnutog betonaEC2 je zasnovan na principima i zahtevima sigurnosti iupotrebljivosti konstrukcijaOsnove za proračun i provere u EC2 zasnovane su na EvrokoduEC0: EN 1990: Osnove proračuna konstrukcijaEC2 se odnosi na sigurnost, upotrebljivost, trajnost i otpornostna požar betonskih konstrukcijaOstali aspekti, kao što su propagacija toplote i zvuka, npr., nerazmatraju se u EC2






Opšte napomeneOsim generalnih pretpostavci sadržanih u EC0, u EC2 setakođe pretpostavlja:

Projektovanje konstrukcija vrše odgovarajuće kvalifikovani ljudisa iskustvom u projektovanjuObezbeđeni su odgovarajući nadzor i kontrola kvaliteta ufabrikama i na gradilištuIzvođenje konstrukcije vrši kvalifikovana firma sakvalifikovanim radnicimaIzveden objekat se adekvatno održava tokom eksploatacijeKonstrukcija će da se koristi u skladu sa projektovanomnamenom






Opšte napomeneBazični zahtevi u projektovanju, sadržani u principimaproračuna datim u EC0 biće zadovoljeni za betonskekonstrukcije ako se simultano primenjuje sledeće:

projektovanje prema teoriji graničnih stanja u kombinaciji sametodom parcijalnih koeficijenata u skladu sa EC0dejstva na konstrukcije određena u skladu sa EC1kombinacije dejstava u skladu sa odredbama EC0otpornost, izdržljivost i upotrebljivost u skladu sa standardomEC2





Sadržaj









Karakteristike betonaOsnovna karakteristika betona, prema EC2, je klasa betonaoznačena sa C xx/yySa xx je označena čvrstoća cilindra pri pritisku, a sa yyčvrstoća kocke, izraženo u MPaPočetni modul elastičnosti Ecm je sekantni modul kojipovezuje tačke σc = 0 i σc = 0.4 fcm (gde je fcm srednjavrednost čvrstoće betona posle 28 dana)Za klasiňo armirane konstrukcije korisi se beton do klase C50/60





Karakterisike betona prema EC2

početni modul elastičnosti [MPa]

Ecm = 9500 · 3√fck + 8 fck [MPa]

srednja čvrstoća pri zatezanju [MPa]

fct,m ≈ 0.3 · (fck)2/3 fck [MPa]






Karakteristike betonaDijagram napon - dilatacija u domenu pritiska za beton jeprihvatljivo linearna do ”eksploatacione“ vrednosti napona0.4 fck, dok je iznad vrednosti 0.4 fck krivolinijskog oblikaDijagram napon - dilatacija za beton u domenu pritiska u EC2se usvaja u obliku kvadratne parabole do dilatacije od 2‰, aposle je konstantna vrednost do 3.5‰

σc =fck4

(4− εc) εc (6)





Dijagram σc − εc za beton prema EC2





Idealizovan dijagram σc − εc za beton prema EC2






Karakteristike betonaU idealizaciji dijagrama σc − εc u obliku kvadratna parabola -prava, maksimalna vrednost napona na delu između 2.0 i3.5‰ je čvrstoća cilindra pri pritisku fckMeđutim, u EC2 se definiše parcijalni koeficijenti za materijale,tako da se koristi projektna čvrstoća pri pritisku fcd:

fcd = αccfckγc

(7)






Karakteristike betonaU izrazu (7) uvedene su oznake

- γc . . . parcijalni koeficijent za beton- αcc . . . koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj dugotrajnogopterećenja i nepovoljnih efekata načina nanošenja opterećenja(npr. dinamičkih uticaja)

Vrednost koeficijenta αcc se definiše Nacionalnim aneksima ipreporučuje se vrednost između αcc ∈ [0.80, 1.0]





Dijagram kvadratna parabola - prava za beton

dijagram σc − εc koeficijenti za materijale






Karakteristike betonaDijagram σ − ε za dimenzionisanje preseka dat je na(prethodnoj) sliciAnalitička formulacija veze σ − ε je:

σc = fcd

[1−

(1− εc

εc2

)n]za 0 ≤ εc ≤ εc2

σc = fcd za εc2 ≤ εc ≤ εcu2(8)

gde je n = 2, kao i εc2 = 2.0‰, εcu2 = 3.5‰U nekim slučajevima se dozvoljava i pojednostavljen bilinearandijagram σ − ε





Idealizovan dijagram σc − εc za beton prema EC2






Karakteristike čelika

Čelik u AB konstrukcijama koristi se za armaturu i zaprednaprezanjeZapreminska težina čelika je γs = 78.50 kN/m3

Modul elastičnosti čelika za armaturu je Es = 210 GPaModul elastičnosti čelika za prednaprezanja je nešto niži:Ep = 195÷ 205 GPaČelik u AB konstrukcijama je linearno elastičan do dostizanjaσv, a posle je elasto-plastičan (ili se posmatra kao idealnoplastičan)





Osobine čelika za armaturu, prema EC2





Osobine čelika za armaturu, prema EC2





Dijagram σc − εc za čelik za armaturu





Idealizovani dijagram σc − εc za čelik za armaturu

εuk . . . dilatacija čelika pri kidanju (granica razvljačenja)εud . . . projektna krajnja dilatacija (preporučeno εud = 0.9 εuk)





Dijagram σc − εc za čelik za prednaprezanje





Idealizovani dijagram σc − εc za čelik zaprednaprezanje





Parcijalni koeficijenti za materijale, prema EC2





Sadržaj









Pretpostavke proračuna

Važe (skoro) sve pretpostavke kao i u proračunu prema BAB87

raspodela dilatacija po visini preseka je linearna (Bernulijevahipoteza ravnih preseka)beton se u zoni zatezanja isključuje iz prijema naponazatezanja (celokupno zatezanje prima samo armatura)u stanju loma nije narušena veza između betona i čelika, odn.smatra se da važi εb = εaveza između napona i dilatacija po visini pritisnute zone nijelinearna i aproksimira se za RDB u obliku kvadratne parabole ipraveova veza može da se usvoji i u obliku ekvivalentogpravougaonog dijagramadijagram napon - dilatacija za čelik aproksimira se sabilinearnim dijagramom RDČ





Pravougaona raspodela napona pritisaka

εcu3 = 3.5‰ za fck ≤ 50 MPaza fck > 50 MPa εcu3 se kreće od 3.1 do 2.6‰






Pretpostavke proračunaVisina pravougaonog dela dijagrama napona pritisaka data jesa bezdimenzionalnim koeficijentom λ

λ = 0.80 za fck ≤ 50MPaλ = 0.80− (fck − 50)/400 za 50 ≤ fck ≤ 90MPa

(9)

Koeficijent η je bezdimenzionalni koeficijent intenzitetanapona, dat sa

η = 1.00 za fck ≤ 50MPaλ = 1.00− (fck − 50)/200 za 50 ≤ fck ≤ 90MPa

(10)





Pravougaona raspodela napona pritisaka




Naponska stanja presekaSavijanje sa i bez normalne sileGranična stanja upotrebljivosti

Sadržaj









Način analize AB konstrukcijaLinearna analiza zasnovana na teoriji elastičnosti može da sekoristi za oba granična stanja: nosivosti i upotrebljivostiU određivanju uticaja u konstrukciji usled razmatranihdejstava, može da se pretpostavi:

- poprečni preseci su neispucali- linearna zavisnost napon - deformacija- osrednjena vrednost modula elastičnosti






Linearna analiza i ograničena preraspodela uticajaMože da se koristi linearna elastična analiza sa ograničenompreraspodelom uticaja (momenata savijanja)Ograničena preraspodela uticaja u linearnoj analizi može da sekoristi u svim aspektima projektovanja (granična stanjanosivosti i upotrebljivosti)Momenti savijanja određeni linearnom analizom u graničnomstanju nosivosti mogu da se preraspodele, pod uslovom darezultujući momenti budu u ravnoteži sa opterećenjem





Momenti savijanja kod kontinualnih nosača





Moguća preraspodela momenata savijanja






Linearna analiza i ograničena preraspodela uticajaAko je posmatrani momenat nad osloncem označen sa M ,posle preraspodele na momente u polju i umanjenja za ∆M ,momenat nad osloncem je δM , gde je δ < 1

U EC2 se dozvoljava preraspodela od 0 do 30%, odn.δ ∈ [0.7÷ 1.0]

Data je formula za koeficijent preraspodele δ:

δ = 0.44 + 1.25(xud

)gde je xu rastojanje neutralne ose od pritisnute ivice, poslepreraspodele, dok je d statička visina preseka





Moguće raspodele dilatacija u graničnim stanjima






Savijanje sa ili bez normalne sileVrednosti graničnih dilatacija za beton su

- centričan pritisak . . . εc2 = 2.0‰- centričan pritisak . . . εc3 = 1.75‰ (za bilinearan dijagramσc − εc)

- maksimalan pritisak . . . εcu2 = 3.5‰

Vrednost granične dilatacije zatezanja za armaturu jeεud = 20‰(u BAB 87 je εa = 10‰)





Moguće raspodele dilatacija u graničnim stanjima





Moguće raspodele dilatacija kod stubova





Raspodele dilatacija i napona u analizi stubova





Sadržaj








Savijanje bez normalne sile





Savijanje grednog nosača















Savijanje grednog nosača - komparativan primer






























Dijagrami interakcije M −N





Savijanje pravougaonog preseka - algoritam





Savijanje grednog nosača - T presek















Savijanje T preseka - algoritam





Algoritam za dimenzionisanje





Algoritam za dimenzionisanje, nastavak





Dimenzionisanje, koeficijent K ′





Dimenzionisanje, krak unutrašnjih sila z





Proračun po Teoriji II reda




















Sadržaj








Granična stanja napona





Granična stanja prslina




















Granična stanja deformacija

















Documents

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, V