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239 ING ENI E UR- ARCH IV m, XI. BAND 4. HEFT .1940 Beflrag zur Theorie des Tragfliigels von endlicher Spannweite. Von Felix ZiUer in Kassel. !. Der starre Tragfliigel. i. Einleitung. Bei einem Tragfitigelprofil yon endlicher Spannweite 2 bmit einer Belastung yon pje L~ingeneinheit der Spannweite kazan man ftir jeden Fliigelschnitt mit der Tiefe t bei der Anstr6mgeschwindigkeit V einen Auftriebsbeiwert r durch die Beziehung P co =-- (~) tq berech~ten, wobei q=~o V2 ist (~=Luft- dichte). Ist b=oo, so gilt d Ca Ca --~~ ix, (2) wobei ~ der Anstellwinkel ist, gemessen yon der Anstr0mrichtung aus, ftir welche c~= 0 ist. Die OrOfle dc~/doc bei unendlich groBer Spannwelte ist e/ne ftir jeden Fltigel- Abb. I. l- y l,r I- -7 Abb. 2. r(v/ schnitt charakteristische Zahl, die wir im folgenden der einfachen Schreibweise wegen mit j bezeichnen wollen. Wenn dagegen b einen endlichen Wert hat, darf man in die Gleichung (2) nicht den sog. geometrischen Anstellwinkel ~ (Abb. t) einftihren, sondern den kleineren effektiven Anstellwinkel ?. Die Differenz ~ ~7 hat Prandtl 1 ' t angegeben: +b I car a~ (3) ct - - 7 = 4-'-ff'V J d ~ y -- rl ' --b wobei er einen geraden Wirbelfaden yon der L/inge 2 b und der ver/inderlichen Zir- kulation /'(~1) als Modell benutzte (Abb. 2). Fiihrt man die Belastung p(r/) ein, so erh/ilt man unter Verwendang des Satzes yon Kutta-Joukowski +b t Cdp(,j) a~ (3a) --b Es handelt sich bei dieser Gleichung im Grunde um ein simultanes System yon unend- lich vielen linearen. Differentiatgleichungen erster Ordnung. Zur LOsung wurde in den meisten Fiillen die Funktion p (r/) als trigonometrische Reihe angesetzt; die ver- schiedenen L6sungsmethoden unterscheiden sich dann nur in dem Wege, auf dem die Koeffizienten der Reihenentwickhmg bestimmt werden. Als erster hat Glauert 2 eine derartige L6sung angegeben. Ihm folgten Lotz a, Fuehs 4 und Multhopp s. Trefftz s 1 L. Prandtl u. A. Betz, Vier Abhandlungen Zur Hydrodynamik und Aerodynamik, S. 24. G6ttingen i92~ (Neudruck). 2 H. Glauert, Die Grundlagen der Tragflfigel und Luftschraubentheorie, S. t23. Berlin t929. J. Lotz, Z. Flugtechn. Motorl. 22 (I~_t) S. t89. 4 Fuchs-Hopf-Seewald, Aerodynamik, Bd. 2, S. t39. Berlin t935. 6 H. Multhopp, Luftf.-F0rseh. 15 (t938) S. t53. s E. Trefftz, Z. angew. Math Mech. t (t921) S. 206. t7

Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

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239

I N G E N I E U R - A R C H IV m ,

XI. B A N D 4. H E F T .1940

Beflrag zur Theorie des Tragfliigels von endlicher Spannweite.

Von Felix ZiUer in Kassel.

!. Der starre Tragfliigel. i. Einleitung. Bei einem Tragfitigelprofil yon endlicher Spannweite 2 b m i t einer

Belastung yon p j e L~ingeneinheit der Spannweite kazan man ftir jeden Fliigelschnitt mit der Tiefe t bei der Anstr6mgeschwindigkeit V einen Auftriebsbeiwert r durch die Beziehung

P co = - - (~) t q

berech~ten, wobei q = ~ o V2 ist (~=Luf t - dichte). Ist b=oo, so gilt

d Ca Ca --~ ~ ix, (2)

wobei ~ der Anstellwinkel ist, gemessen yon der Anstr0mrichtung aus, ftir w e l c h e c~= 0 ist. Die OrOfle dc~/doc bei unendlich groBer Spannwelte ist e/ne ftir jeden Fltigel-

A b b . I .

l- y

l,r I- -7

A b b . 2 .

r ( v /

schnitt charakteristische Zahl, die wir im folgenden der einfachen Schreibweise wegen mit j bezeichnen wollen. Wenn dagegen b einen endlichen Wert hat, darf man in d ie Gleichung (2) nicht den sog. geometrischen Anstellwinkel ~ (Abb. t) einftihren, sondern den kleineren effektiven Anstellwinkel ?. Die Differenz ~ ~ 7 hat Prandtl 1

' t

angegeben: +b I c a r a~

(3) ct - - 7 = 4-'-ff'V J d ~ y - - rl ' --b

wobei er einen geraden Wirbelfaden yon der L/inge 2 b und der ver/inderlichen Zir- kulation /'(~1) als Modell benutzte (Abb. 2). Fiihrt man die Belastung p(r/) ein, so erh/ilt man unter Verwendang des Satzes yon Kutta-Joukowski

�9 +b t C d p ( , j ) a ~ (3a)

--b

Es handelt sich bei dieser Gleichung im Grunde um ein simultanes System yon unend- lich vielen linearen. Differentiatgleichungen erster Ordnung. Zur LOsung wurde in den meisten Fiillen die Funktion p (r/) als trigonometrische Reihe angesetzt; die ver- schiedenen L6sungsmethoden unterscheiden sich dann nur in dem Wege, auf dem die Koeffizienten der Reihenentwickhmg bestimmt werden. Als erster hat Glauert 2 eine derartige L6sung angegeben. Ihm folgten L o t z a, Fuehs 4 und Multhopp s. Trefftz s

1 L. P r a n d t l u. A . Betz, V ie r A b h a n d l u n g e n Zur H y d r o d y n a m i k u n d A e r o d y n a m i k , S. 24. G6ttingen i92~ (Neudruck).

2 H. Glauert, Die Grundlagen der Tragflfigel und Luftschraubentheorie, S. t23. Berlin t929. J. Lotz, Z. Flugtechn. Motorl. 22 (I~_t) S. t89.

4 Fuchs-Hopf-Seewald, Aerodynamik, Bd. 2, S. t39. Berlin t935. 6 H. Multhopp, Luftf.-F0rseh. 15 (t938) S. t53. s E. Trefftz, Z. angew. Math�9 Mech. t (t921) S. 206.

t7

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240 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragfltigels von endlicher Spannweite. Ingenleur-Arehiv

fat3t das Problem als Randwertaufgabe der Potentialtheorie auf, welcher Gedanken- gang in jiings~:er Zeit yon H. Schmidt 1 welter verfolgt wurde. Auch Korrektur- verfahren sind ausgearbeitet worden, so yon Lippisch 2, wozu ebenfalls die Arbeit yon Gebelein a zu rechnen ist.

D a m i t sind die M6glichkeiten einer L6sung der Gleichung (3a) abet noch nicht ersch6pft. In der vorliegenden Arbeit wird das Problem, die Funkt ion P07) zu be- st immen, wenn 0~ und t als Funktionen yon ~ vorgegeben sind, als Variationsaufgabe behandelt , wobei sich zeigt, daft diese Methode auch ffir den elastisch verdrehbaren Tragflfigel verwendet werden kann.

2. Die der lntegralgleichung des Tragfliigels yon endlicher Spannweite gleichwertige Variationsaufgahe. Zun~chst muff die Aufgabe gel6st werden, einen Integralausdruck Z u linden, bei welchem die Forderung, dab er einen Extremwert annimmt, auf die Glei- chung (3a) ffihrt. Dazu erinnert man sieh eines in tier Variationsrechnung bekannten Integrals, dessen Extremalbedingung eine Integralgleichung mit symmetrisehen Kern

+b d p (*l)

darstellt 4. In einfachster VVeise k6nnen wir aus dem Integral f dr/ dr/ durch Y-- *I

--b partielle Integration ein neues mit symmetrischem Kern bilden:

+b dP(B) +b +b

f _ d ~ d ~ = p(~ ) [ _ _ f p ( r / ) d~ , ; y -- n y -- ~ (y -- n) ~

--b - -b --b

p(~/) ist eine beliebige stetige Funktion von ~/. Geh6rt aber der Punkt ~7=Y dem Integrationsbereich an, so muB es t~eiflen:

y_~ d p (~7) + b d p 0?)

d-§ \ _db Y - - ~ Y - - 71 �9 y + ~

y - a +b

�9 = l i m [ P ( + b ) ~ p(y+5) j p (y - -6) o . o -' < , - o ,

--b y + d

y--~ +b

_ p ( + b ) p(--b) lim{ r p(rD cl + _ f ~ .q a ,)" y - - b y + b ~ O \ j b (~_~)~ ~1 p(rj) d - " p(y+~5)+p(y--cS) y + ~

Es ist aber bekannt, dab der Grenzwert

y_d d p (~). +b d P (~l)

a-.0 Y -- fl Y -- ~ - - y + d

+b dp (~)

existiert, der sog. Hauptwert des Integrals f dn :~--~ dr/. Somit existiert auch der --b

Grenzwert : y-.h +b

a~o ~ ~ + f P(~) d p ( y + d ) + p ( y - - 6 ) r/ ,5 ) , (4) --b y + 6

x Harry Schmidt, Z. angew. Math. Mech. t7 (1937) S. t0t. A. Lippisch, Lufff.-Forsch. 12 (t935) S. 89.

a H. Gebelein, Ing.-Arch. 7 (1936) S. 297. 4 R. Courant u. D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Bd. t, S. 157, t76.

Berlin 1931.

Page 3: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XLBand 1940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels von endlicher Spannweite. 24t

+b

den wir im folgenden kurz mit / P ( ~ ) d~ bezeichnen wollen. Far die Urn- �9 (y -,~)~ --b

+b

formung des so definierten Integrals / P(~I) dr/ durch partielle Integration gilt --b

P(*I) ,.I~ p(+b) p(--b) (y--~-ff-q-- y--b y+b - - / --yd-p~ -dr/" --b --b

Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man auch leicht durch DurcMfihrung der partiellen Integration in ~ihnlicher Weise wie oben. Es ist also m6glieh, Gleichung (3a) in eine Integralgleichung zweiter Art mit symmetriseherr~ Kern umzuformen, wobei fest-

+b

f P(~/) dr/ der Grenzwert (4) zu verstehen ist. gesetzt wird, dab unter (y_~l~ ' - - b

Der ge.sueh.te Integralausdruck, dessert Minimalbedingung auf Gleichung (3 a) ffihrt, lautet

+ b +b

1 f f j ( y ) j ( n l t C y ) t ( ~ ) q ~ I= 4:~oV~ (y_v)a : y(y) y'(r/)dyd~l--"

- f i(y) t(yl q~, (y) b' (y) - 2~ (y)] dy. --b

Die Flfigellast ist p=jtq7 mit q=�89 a. Zum Beweise bildet man aus I dadurch ein ~ daft ma n ~, durch~7= y + e ~ ersetzt, wobei ~ eine beliebige Funktion yon y bzw. ~] mit den Randbedingungen ~(b)=0, ~'(--b)=O ist und der Parameter' ~ sehr klein sein s.oll. Dann witd Ie ine Funktion yon e, die dort ihr Minimum besitzt, wo d[/de=O ist. Wir rechnen aus:

+b +b t 4~ ~ v, f "f ) (y)j c~l toy) t(,~)r : (--C~_~i~ [r (y) r (~) + ~ r (y) r (r/) + ~ )' (y) r (n) +

--b --b +b

+ e2r (y) ((,~)] d y d r~ - - f ] (y) t(y) q [7 2 (y) + 2 e ((y) 7 (Y) + --b

+ e2 ~,a (y) __ 20r ~,(y) - - 2~(y ) e ((y)] dy und erhalten

+b +b d7

4,, o v, f f J (') J <') ' e, -- ~ _ ~ ) ~ [:(y) 7(~?) + ?(y) .~(~/)] d y - - - - b --b +b

- 2 f i(y)t(y) q r It(y) - ~(y)] dy---- o, --b

worin alle kleinen Gr0Ben bereits vernachliissigt sind. Infolge der Symmetrie des Ausdruekes J(Y)J(tl)t(Y)t(~l) i n y und ~l crgibt sich:

(Y - n)* +b +b

- d - ~ 2 r t(y)i(y)q ~ (y_rl) ~ 7(~)dr/--7(y)+e(y) dy.

Wenn d[/de= 0 bei j edem beliebigen 8(y) w erden soll, mug notwendigerweise die Be- dingung bestehen

+b

, f J(n), (,) q 4~0 V* (Y-'l)" 7(r/)d~--7(Y)+~(Y)=O" --b

17"

i _

Page 4: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

242 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-Arehtv

Diese Gleichung ist identisch mit der Gleichung (3a), wie man leicht einsieht, wenn man das erste Glied partiell i n t e g r i e r t :

+b +b +b

f P('~) dy=p(,~)f a,j _fldP(~) f d~ -1dr J (y-~)* ( y - ~ ) ' a [ d~ J (y--~)'] --b --b --b

+b +b

~ f dp(~) d~ = P ( ~ ) ~ - . , a~ y-,~" - -b - -b

Besehr~inken wir uns auf Funktionen P(~7), die ffir ~ / = + b und ~------b versehwinden, was praktiseh allein Bedeu tung besitzt, dann gilt

+b +b

f__pQl) dP(*i) an f ~ d ~ ~ ~ (y-n)* J a,i y - q "

--b - -b

Damit ist gezeigt, dab die LSsung des am Anfang dieses Abschnit tes formulierten Variationsproblemes zugleich die L6sung unserer Integralgleichung (3a) darstellt.

Das erste Glied des Ausdruckes (5) stellt den sog. induzierten Widerstand W~ dar; ffir alas zweite ist eine befriedigende physikalische Deutung nicht gelungen.

3. Direkte Liisung der Variationsauigabe mittels des Ritzschen Verfahrens. Der Grund- gedanke des Ritzschen Verfahrens besteht darin: Die gesuehte Funktion p(y) wird in eine Reihe gegebener Funktionen ]v(Y) entwickelt, so dab gilt

p (y) = 5? A, / , (y). v

Unser Integral (5) wird dann eine Funkt ion der Beiwerte A,. Um die Minimalbedingung zu erhalten, braueht man nur das Gleichungssystem 8I/0~I~= 0 aufzustellen, woraus die _//, zu bereehnen sind. Als gegebene Funktion ]~(y) wird zweekm~gig eine trigono- metrische benutzt . Auflerdem werden neue Ver/inderliehe ~ und q)' eingefiihrt dutch die Beziehungen

y : - - b cos ~0, ~ : - - b cos q/. (6) Der Ansatz ffir p lautet

P = 40 V2b~_.,'A,, sin n 9. (7) n

Wir sehreiben je tzt unser Integral ( 5 ) in der Form

+b +b +b t

I=-z w f f aYd' - f - 7)' t j (,)'!",(y) q 2 (Y)IaY - -b --b - -b

und erhalten naeh Einftihrung yon (7)

n ~ ,~Am sin m ~o' sin qo' 407V*b~ _f [ 2 A 's in ,, ~f " ( c o s ~ - cosg') ' dcp']dg-- I=

0 0

f3" ' [%~A,, sin nq) ~ A , sin mq~] sinq) dq) + - - t 6 0 a V 4 b a (y) t (y) q 0

+ 8 0 V ' b a f ~(y)ZA,,sinnq~sincpdq). 0

Die niichste Aufgabe ist jetzt, die drei in diesem Ausdruck vorkommenden Integrale auszureehnen, was in allgemeiner Form nu.r beim ersten m0glieh ist. Das zweite Integral enthiilt die GrundriBform des Fltigels t(y) und alas dritte den Anstellwinkel, die sog. Verwindung, sofern ~ nieht konstant ist.

Page 5: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XI. Band t940. Z i l l e r : B e i t r a g z u r .Theor ie d e s T r a g f l f i g e l s y o n e n d l i c h e r S p a n n w e i t e . 243

Zieht man die Kons tan ten .//. und die Summenzeichen vor das Integral, dann ist also zun~ichst das Integral

7t 7t

I 1 ~ sinncpsin~p (cos~o-cos~o')2 dep'd~o 0 0

auszurechnen. Wir integrieren partiell nach q)' u n d erhalten

= / s s i n m ~ o ' s i n g ' ~ , c o s m g " d q g " ~ - - - - - m H m , (8) J ( ~ s ~o') ~ - ~ = - - m oos ~ o ' - cos f 0 0

Weiterhin werden die Beziehungen aufgestellt:

i4,.+l~_icos(m+l)~'d~,=icosmcp'cosq/-sinmrp'sinr#" , cos ~o'- cos 9 cos 9 ' - cos ~ d 9 ,

0 0

f cos (m -- t) q)" eosmqYcos~o'+ sinm~'sin~' , H , , _ I ~--- j c o s ~ - - c ~ dg~' = cos ~o ' - cos ~ d9~ ,

0 0

f y o s m ~ ' c o s H,.+I + H.,_I = 2 j eos~o'- cos9 dq~'

= 2 I H cos ~ cos ~ / cos m 9 ' d~ ' 0

= 2 H m COS tp,

woraus die Differenzengleichung hervorgeht

H..+I - - 2H,. cos qo + H.~-I = 0. (9)

Kenn t man also das Integral H.. fiir zwei benaehbar te m-Werte, so kann man es ftir einen weiteren Wert yon n ausrechnen. Naeh Dureh~fihrung dieser Reehnung ffir m-----0, m = l, m = 2, m = 3 gelangt man zu dem Ansatz ~ftir die L6sung der Differenzen-

gleiehung (9) H,. = ~ s i n m q~ ( t 0)

s i n q~ Nunmehr ergibt sich welter

11 = - - m ~ f sin n qo sin m 9 d~, 0

und dies gibt ausgewertet 0 ffir n@m,

/ i ~ r 2 . ~ z ~ ftir n = m .

An dem zweiten und dr i t ten Integral l~iBt sich eine zweckm~iBige Vereinfachung ,allgemein nicht durehffihren. Unser Integralausdruck n immt nunmehr die Form an:

'6p V'b rY'A' f " TC4Yt--( I o . ( t t )

+ 2.~AnA,, , is inn~~ ,~]+8oV'b=~A. f~(~)s inn~sin~od~o. ,,. = J (9) t (9)

n + m 0 ' 0

Hieraus gewinnt man ohne Schwierigkeiten das Gleichungssystem OI]OA.=O zur Be- rechnung der A. in vereinfachter Bchreibweise

--z~nA.-- t6b V---~ A,.B.., + 2C.= O, (~2)

Page 6: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

244 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-archiv

worin zu setzen ist : z

f sin n.qo sin m ~o sin qo d~o, (1 3) J 0

c . = f ~ (~o) sin n~o sing) dqo. (14) 0

Die Integrale Bin,, enthalten in Form von t(q9) den Fl{agelgrundrifl und in ](qo) die Profileigensehaften, die Integrale C,, den geometrischen Anstellwinkel ~(qo) und damit die Verwindung des Flfigels, worauf bereits oben hingewiesen wurde. Diese Integrale mfissen yon Fall zu Fall besonders ermittelt werden. In den folgenden gift. 4 bis 6 sollen versehiedene Sonderf~ille weiter verfoigt werden.

4. Die einfachste LiJsung. Besonders einfach gestaltet sich die Durchrechnung unter den Voraussetzungen i (y)=k0ns t . , r und t (99) = to sin % Wir erhalten dann

0

dieses Integral ist aber nur dann von Null verschieden, wenn m = n ist, und hat den

Wert. Jto- -'2 Aus demselben Grunde gilt C l = e ~ - , C,~=0, wenn n > t i s t . Somit erh~ilt man als erste Gleichung des Sys tems (12)

--Ax z~-- t6b 2-777 A1 + o~zr= 0 mit der L6sung

A1 --- ~ (t 5) 8 -t-t

Aile fibrigen Werte yon A, werden Null. Die Auitriebsverteilung hat, wie leieht gezeigt wird, die Form einer Ellipse, fiber der Spannweite aufgetragen. Der Wert (t5) in (7) eingesetzt, liefert n~mlich

p = 4 ~ ~ V~ b ~ sin q~, b sTg+

woraus gemeinsam mit (6) folgt p2 y~

+-~- = t ; �9

das ist aber die G1eichung einer Ellipse. Als gesamte auf den Fltigel wirkende Kraft errechnet sieh jetzt

P = q F J~ - - q F c , (t6) + J z 2

F = tob~ l F ~ (t7) 2 ' 2 = 4b 2' c a = ]

mit

Damit ist der effektive Anstellwinkel

(17 a) 7- - t t +JT;(

Die Umriflform des Fltigels t = t o sing) stellt eine Ellipse dar,. denn es beslieht die Gleichung t~ y2 t ~ + - O - = t]

Page 7: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XI.I~and ~940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spafinweite. 245

Unter Berficksichtigung der Tatsache, daft das erste Glied des Ausdruckes (5) der induzierte Widerstand Wi ist, schreiben wir jetzt

l = - - W/--~-/9~ 2 - - ( , ;

Wir ersehen daraus, dab die elliptische Auftriebsverteilung zugleich L6sung der Auf- gabe ist, den induzierten Widerstand Wi unter der Nebenbedingung, dab die ge- samte Last P einen vorgegebenen Wert hat, zum Minimum zu machen. Der induzierte Widerstand selbst ergibt sich aus (tl) zu

Wi = 2 o Ve b~ z A~ . Mit

wird

und also

mit

t t+j7~ ~

c~ q F = Cwi q F (/9) Wi = ~-Z-

(2o)

Damit ist die Theorie ffir den elliptischen Flfigel durchgeffihrt,

5. Tragflfigel von rechteckigem Orundril~ t = konst. Das Ziel ist hier die Aufstellung der Matrix der Beiwerte B ...... fiJr t ~ k o n s t , und ] = k o n s t . , d. h. die Berechnung des Integrales

B , n , = ~7 f sin m~ sin n~o sin ~o dqo. (2t) o

Auf die Ermit t lung der Absolutglieder C,, soil zungchst nicht eingegangen werden, da sie ja, wie schon betont, yon der GrundriBform fiberhaupt nicht abhgngen.

Zur Berechnung der B,,,~ benutzen wir die leicht abzuleitende Ident i tgt

sin n qJ sin m ~o sin ~o = 4 [sin (t + n - m) q) + (22) + s in (1 - - n + m) q9 - - sin (t + n + m) ~0 - - s in (1 - - n - - m) ~0].

Die Integration ergibt:

]tB,. , ,=4[. cos(t+~-m)~ol+~ -m cos ( t - .+m) ~ t _ n + m +

+ cos (1 + ~ + ~ / ~ ~os ( t - , , - ~ / ~ ] t + n + m b i - - -C- .7 "

Sind n und m beide zugleich gerade oder ungerade, so erhglt man

1 1 /lB,~,,= l - (~ -m)~ l-(~+m)~" (23)

Ist dagegen n gerade und m ungeradc oder umgekehrt, dann wird B, .~=0. Nach (23 lassen sich die B, . . leicht ausrechnen. Die Ergebnisse dieser Rechnungen sind in Tabellc t zusammengestellt, die also die Matrix des Gleichungssystems (12) dar- stellt, welches man ftir den vorllegenden Fall besser in der Form schreibt

• 2 7 e n A ' - k 4 ~ ' r A . , ] tB , . , , -=-C. . (24)

Page 8: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

Tab

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0,

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0,0

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6

--0

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+

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0058

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0 82

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c~

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ca g o~

~2

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Page 9: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XI. Band t940, Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. 247

Man sieht aus Tabelle t sofort, dab sieh das vorliegende Gleichungssystem (24) in zwei einzelne Systeme aufspalten l~it3t, eines mit ungeraden Zeigern, dem ein sym- metrischer Anstellwinkelverlauf fiber Spannweite zugeordnet ist, und ein zweites, dem ein antimetriseher Anstellwinkelverlauf entsprieht. Beide sind voneinander un- abh~ingig und k6nnen getrennt gelOst werden. Dureh Uberlagerung lassen sich dann beliebige Belastungsformen eines Tragfltigels herstellen.

6. Tragfliigel v o n t r a p e z f ~ r m i g e n O r u n d r i l L Die Bereehnung der B,~. ftir einen Fltigel yon trapezf6rmigen GrundriB l~f3t sich noch mittels einer exakten Integration

-tt i Abb. 3.

durchftihren, die sich eng an den in Ziff. 3 zur Integration (8) entwickelten Gedanken- gang anlehnt. Gem~it3 Abb. 3 schreiben wir

oder mit

to - t ~ (25) t = to - - - . ~ . . . . y

y = - -b cos~

t = to + (t o - t.) cos q~ ffir 2 -~ q~ ~ ~r, (26)

t = to-- (to-- &) cos ~ ffir o :~ ~ ~: ~ . ~ I

Die Integrale B,m bestehen jetzt aus zwei Summanden:

hi2 =. !sin__n~ sin m ~o sin ~ f sin ~ fo sin m ~o sin

]t~ ,-(,-~-)cosgo d~o+ ~,[".J . . . . a+(l-~)cos~ot~-~--- d~. (27)

t o folgt Mit (2t) und a--to_G n/2 ' n/2

0 0 =12 ~/~ =

f s in(n+m+l)~o dqo-+ f s i n ( n + m - t ) r dqo+ f s i n ( n - m + 0 r d q0 a - cos 9 a - cos 9 a T c ~ -

0 0 n/~

_ f + cos ~o rig-- / sin (. + , . +,) ~ , , ~ + ~os ~ d ~ + f sin (. + , u - , ) q , 7 / u co-aT-(~ d ~o],

womit das Problem auf die Berechnung yon Integralen yon der Form hi2

Ik = f sin k ~ d(;o I ; = f sin k ~0 a - - c o s qo ' ja-~-c~- 9 drp

0 ~/2

zurfickgeffihrt ist. In iihnlicher Weise wie (9) findet man leicht die Beziehung

1 Ik+l--2aI,+lk+l=+ lT(cos-}rr--t) (28) und analog

, , t k k z ~ ) . ( 2 9 ) Ik+l + 2al'k + I~+i = k- ( c o s ~ - ~ cos

Page 10: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

2 4 8 Zi l l e r : B e i t r a g z u r T h e o r i e d e s T r a g f l f i g e l g v o n e n d l i c h e r S p a n n w e i t e . Ingenieur-Archiv-

Kennt man also ffir zwei Wer te von h das Integral, ist es ftir einen drit ten aus diesen Differenzengleichungen zu bereehnen. Wir erhalten elementar

1 L o = , I o = 0,

, to ( 3 0 ) 11 = I 1 = l n ) 7 ,

und dann aus (28) und (29)

1 2 = t + 2 a l n tt~, (31)

1.;-- 1 - - 2a In i~ USW.

Jedoch ist bei der Durehffihrung dieser Rechnungen.zu bedenken, dab infolge der h~iufigen Differenzbildungen sich selbst kleinere Fehler bald unangenehm bemerkbar machen kOnnen und damit eine groBe Reehengenauigkeit notwendig wird.

7. Tragflfigel von beliebiger OrundriBform. Die zahlenm~iBige Berechnung der B,,m ffir Tragflfigel von beliebiger GrundriBform muB mittels einer angenS.herten oder mechanisehen Integration durchgeffihrt werden, was einen betr~ichtlichen Arbeits- aufwand erfordert.

Indessen kann man far best immte Gruppen von GrundriBformen die B,,,, sehr einfach bestimmen. Wir sehreiben zu diesem Zweeke (t3) in der Form

I = B~,, = f /~o- /s in nq~ sin mqo g/(q~) d~o o

mit sin ~v

~[J (q)) - - t (~)/t ~ "

Kennt man yon zwei versehiedenen Flfigelgrundrissen t~(q9) und tzt(tp) die Beiwerte B.,~z und B . , . n , so l~Bt sieh dureh die Beziehung

oder ~e(~) = (1 - - k) ~ , (~o) + k ~ z , (~)

ein neuer Grundrit3. t(@ ableiten zu

t (~v) - s i n 9 . to' = (1 - k) 7., ,(~) + k ~'n (9) ' ( 32 )

dabei i s t k e ine konstante Zahl. Es fo!gt

t =

B,,, , = ~ f sin n ~o sin m T [(1.-- k)~ , (~o) + k gtez (qg)] dq~ 0 ',

oder J~nm "-~- ( 4. - - k ) ]3nml .Ol- k ]3nmli . (33)

Wghlen wir ftir t,(q)) ein Reehteek: tx(@=to, ~ l ( 9 ) ) = s m g , und ftir tu(qg) eine Ellipse: trx(cp)=tosinq) , gt, ,(qo)=l, so ergibt sieh eine Familie neuer Grundriflformen dutch die Gleiehung

t (9) sin q~ to - - (l--k) sin~o+k " (32a)

Da Itir Rechteek und Ellipse die B ..... bereits, ausgerechnet wurden, lassen sieh diese Gr6Ben leicht ffir die dutch (32a) gegebenen Flfigelumrisse ausreehnen (Abb. 4 ) .

Ist k < t, so liegen die zugeh6rigen GrundriBformen zwischen dem Rechteck und d6r Ellipse, wie Abb. 4 zeigt.

Page 11: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XI. Band t940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels von endlicher Spannweite. 249

Soil nun ffir einen vorgegebenen Tragflfigel t(~0) die Matrix der B., . n~iherungs- weise nach (33) best immt werden, so kann man den in Frage kommenden Wert von k leicht nach der Methode der kleinsten Quadrate ermitteln. Aus der Forderung

[ t (,) to

0

folgt als Bedingung zur Bereehnung yon k

f 0 sin29 1[ sin9

oder o

i

sin 9 ]" sin dg~ Min.

t (~) 1 dq) 1o J

sin2~o [keu(~o) - - ~z(9)] sirL~o t(~o) I~

0

"-4-o k=O

=0

~---0.

O 0,0 o,a a,s o,o 07 o,a Ca A b b . 4 .

b

8. Berechnung der Cn-Werie. Die Besti~nmung der C~-Werte dtirfte wohl kaum Schwie- rigkeiten bereiten. F t i r drei praktische bedeutsame FXlle soll die Rechnung durch- geffihrt werden.

a) Es sei x : k o n s t . Dann gibt (t4) sofort

t Cz = ~- ~ ~, (34) C,, ~ 0 ffir n ~= t .

b) Es sei cC=~o~----~c~o.cos~: Dann kommt

t

C, = .0 ftir n =l= 2.

Vielfach ist die Verwindung durch eine Rolle bedingt; dann wird

bo~ C2 ~ bco~ ~0= v ' 4 v ' (36)

wo ~o die Winkelgeschwindigkeit der Drehung u m die Symmetrieachse des Trag- fltigels und K die Geschwindigkeit der Vorw/~rtsbewegung ist.

c) Es sei = ~x im Bereich Yz < 0 < y~, = xz + ~,, im Bereich -- b ~ y < Yz, = ~1 + ~s im Bereich ya ~ y ~ b.

Page 12: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

250 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-Archiv

Die LOsung fiir einen solchen unstetigen streckenweise konstanten Anstellwinkel- verlauf l~il3t sich leicht aus den bereits unter, a) entwickelten Beziehungen ablesen. Wir ordnen dabei Yl dem Winkel 991 und y~ dem Winkel 992 zu. Man erh~ilt

C,, = (% + ~2) f sin n 9o sin 99 dg, + ~a f sin n 99 sin 99 d99 0 ~a

+ (~, + ~) f sin n 99 sin 99 d99 qTg

= ~ f sin n 99 sin 99 d99 + ~, f gin n 99 sin q9 d99 0 0

+ =~ f sin n 99 sin 99 d~ ~s

oder 1

I [ n___~ sin ( n , 1)991- 7.4T s,n (n + t)991]

1 , 1 . ' ~. lw~_, s.n (,�9 t) 99=-- ~ sm (,* + t)99,] 2

Ebenso lesen wir leicht ab

for n @ t. (37)

t ! C~ -~-%~r+-2-[~2~+=3(vz--9%)] '(e2sin299x--easin299=) (38)

II. Der e la s t i s che Tragflf igel . i. f irundgedanken und Formulierung des Variationsproblems. Die an den Flugzeugcn

wirklich ausgefiihrten Tragfl~chen sind nie v01lig starr, auch nicht in Ann~herung, sondern oft recht weich. Besonders bei kleinen Anstellwinkeln, also bei grofler Ge- schwindigkeit, ergeben sich dann Verdrehungen des Profils und infolgedessen anderc Anstellwinkel als konstrukfiv vorgesehen. Damit ~ndert sich auch die Lastverteilung iiber der Spannweite gegeniiber der bei einem starren Flfigel. Der Einflufl dieser Form- finderungen l~iflt sich nach der in den vorhergehenden Abschnitten ffir den starren

Abb. 5.

Tragflfigel entwickelten Methode, zwar nicht �9 ganz allgemein, aber doch ohne wesentliche

Schwierigkeiten behandeln, wenn allerdings aueh die damit verbundene Reehenarbeit betrgchtlich werden dfirfte.

Die Durchffihrung der Reehnung ist je naeh dem konstruktiven Aufbau des Fltigels etwas verschieden. Wir ffihren unsere Ent-

wicklungen zunfichst an einem einholmigen Flfigel mit Torsionsnase durch und zeigen sp~iter, wie bei Tragwerken anderer Gestaltung vorgegangen werden kann.

Es ist notwendig, die elastischen Eigenschaften des zu untersuchenden Tragfltigels m6glichst fibersichtlich einzufiihren, was am zweckm~fligsten mittels einer Einflug- funktion E(y, 7) m6glich ist. Die Verdrehung v ~ an der Stelle y wird dann mit den Bezeichnungen yon Abb. 5 gesetzt

+ b

O(y) ~ ( E (y, ~)p(~)[a (~)--b (~)] dr. (39)

Die Gr613e a(~) ist konstruktiv gegeben. Ferncr ist in bekannter Weise

b (V) = c,. t (n) s

mit

c.=c,,~+c,.o, c,,= P(~) ~t(n) '

Page 13: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

xI. Band t940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. 251

so daft Cr~ c~ C9~ o c , - + P(~ -qtO1)

wird und also + b

v~(y)= fb {[a(7)--$t(7)]p(~)E(y,,~)--c,.oqt*(7)E(y, 7)}d, 1. (40)

Die Funkt ion E(y, 7) ist symmetrisch, d. h. E(y, r l )=E(r l , y). Dagegen ist die Funktion

E1 = [~ (7) - ~ t (7)] ~ (y, 71

nicht symmetrisch. Sie l~it3t sich aber in einen symmetrischen und einen antisymmetri- schen Anteil G x (y, ~7) und G~(y, rt) aufspalten :

c~ = �89 [E~ (y, 71 + ~ (7, y)] " [-~ ~'~+ ~!,o__ ~ ~(:~,(~.] z(y, 71,

~ ~[e~(y,7)-E~(7,y)]=["/Y)~ ~ ~(Y)~'(~)]~(y,7),

so dab kommt + b

,~ (y) =~ [a, (y, ~j) p (,1) + as(y, v) p (~) - c~,o q : (,1) ~ (y, 7)] tiT.

Wir bilden jetzt den Integralausdruck

+b + b

I= 4~-oV~ ~y-_~2 : 7(Y)?(7)dyd~t+ --b --b

+b +b

+ f f : :(y) i (,1) *(y) t (,j) ~ (y) ~ (,1) a, (y, ,~) a y a,~ + --b --b

+o +b (4t)

+ 2c,.of f qa #(*I) I(Y) Y(Y)t(y) E(y, 7)dTdy-- --b --b

+b

- - f ] (y) y (y) t (y) [), (y) - - 2 oc (y)] d y , --b

wobei berticksichtigt ist, daft der aus G,,(y, 7) herrfihrende Anteit versehwindet. Dieser Integralausdruck I soll ein Minimum werden. Genau so wie in Ziff. 2 bilden wir [ = I () ,+ e ~) und daraus

+ b +b

dI f r (y) t(y) i (Y) q f y (~) '(") q --b --b

+ b

- r (y) + = ( y ) + f q )' ()1) t (7) J (7) Ga (Y, ~) d7 - - --b

+ b

- ~ . o f q : (~)e (y, 7) aT}ay = o, ---b

woraus sich die Integralgleichung ergibt

+ b

, f j (r/) t (rt) q 4~ ~ V" (y -- r~)t )~(7)d~--r(Y)-Jr-~ + --b

+~ +b (42)

+ f q ~, (~/) i (~) t(r/) Ga (y, 7) ely -- C,.o q f : (7) ~ (y, 7) a7 = o. --b --b

Page 14: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

252 Ziller: Beifrag zur Theorie des Tragflfigels von endlicher Spannweite. Ingenieur-Arehlv

Die eben entwickclte Beziehung ist aber nur dann die Integralgleichung des verdreh- weichen Tragfltigels, wenn der Ausdruck

+ b + b

q~ ~ (71 t (,~) i (7) a l (y m) ,~ ~ - ~,,,o q~ t~ (~) ~ (y, ,j) ~

den Verdrehwinkel ~9 darstellt, der zum geometrischen Ansteilwinkel • als Korrektur zugeffigt werden rnut3. Dann aber muff Gl (y, ~ )= El (y, *]) sein, w a s nur m6glich.ist bei a ( r ~ ) - ~ t ( i?)=konst . Damit ist die Einschr~nkung des dargestellten L6sungs- weges gezeigt; indessen wird er trotzdem ffir einen groBen Teil der praktisch vorkom- menden Fiille brauchbar sein, ganz besonders ftir Flfigel mit rechteckigem Grundrifi.

Nach Ein'ftihrung des Ansatzes (7) in alas Integral (4t) sieht man leicht, dab sich ftir ( t t ) folgende Korrektur ergibt, wobei Wir G~= [a ( r~) - ~ t(~)] E(y,~l) setzen:

A I = 16 0 2 V 4 b ~ [a (*/) ~ t (n)] f f (_Y' A,, ~in u 99) ( ~ A,. sin m 99) x 0 0 n m

X E (9, 9') b2 sin99 sin 99' d99 d99' --

- - 4 q V 2 b . 2 c,.. q f f t 2 (99 )_YA. s inn99E (99,99'). b 2 sin g~ sin 99' d~o d99' 0 0 n

oder

A I = t 6 0 2 V 4 b 4 [a (~q) - - ~ t (7)] (x- A~ f f sin n 99 sin n 99~. E (% 99') sin 99 sin 99' dq~ d99' + n o o

+ 2 ~ A,, Am f f sin n 99 sin m 99'. E (9, 99') sin 99 sin 99' d99 d99') - - n m 0 0

n + m

- - 8 ~ V ~ b a cmo q ~_V A , f f t 2 (q~') sin n 9 sin 99 sin 99' E (% 99') d99 d99'. n 0 0

Wenn aber I ein Minimum werden soll, ist 01/8A,,=0. Unter Berficksichtigung von (1t) ergibt sich

OA,, = ~ 4 ~ ~ n A , , + 320 ~ b a

• ~ M , , , / f sin n 99 sin m 99' E (99, q/) sin 99 sin 99' d99 d99' - - tB

0 0

1 i Sin ~ 9 Sin m ~~ sin q) d 99} -[- q ~ A,,, j (~o) t (~o)

0 ~t

0

- - b c,,,o q f j t = (99') sin n 99 sin 99 sin ip' E (99, 99') d99 d99'] = 0. 0 0

Wir erhalten einen Ausdruck yon der gleichen Form wie Gleichung (t2), nS.mlich

- - ~ z n A , , - - 1 6 b ~ ' A , , B , ~ , , + 2 C , , = 0 mit "

B,,,, = - - q b [a (~l) - - ~ t (~?)] f f sin n cp sin m 9 ' E (99, 99') sin 99 sin q)' d99 d99' + (4~) 0 0 ~ -

f sin *r ~o sin m ~o sin qo d99, + j (~o), (~)

0

C,, = f o~(99) s i n n 9 9 s i n 9 9 d ~ - - b C , , o q f f t~'(99')sinn99sin99sin99'E(99,99')d99d99 ' . (4.4) 0 0 0

Page 15: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

xi. Band 1940. Ziller: 13eitrag zur Theorie des Tragfliigels Von endlicher Spannweite. 253

Eine. wesentliche Voraussetzung ffir die Durchftihrung einer solchen Untersuchung ist die Kenntnis der Funk t ion E(%9'), die vom statischen Aufbau des Flfigels ab- Mingig ist.

2. Die Funktion E(r Zur Ermit t lung der Funkt ion E(9,q)' ) erinnert man sieh daran, dab naeh dem Maxwellsehen Satz die Verdrehung an einer Stelle y infolge eines fiber die Spannweite wandernden Drehmomentes T a l s Funkt ion des Angriffspunktes .q dieses Momentes gleich ist der Verdrehungslinie des Fltigels, tiber Spannweite auf- getragen, infolge des Momentes T an der Stelle y. Somit ist die Best immung von E(99,99') auf die Berechnung einer Verdrehlinie infolge des Drehmomentes ! an der Stelle y zurtickgeftihrt. Dabei sind die Randbed ingungen fiJr die Verdrehung zu berticksiehtigen. In den ffir uns in Frage kommenden F/illen ist v q in Flfigelmitte, also bei y = O oder 99=z~/2 gleich Null.

Wegen der Abh~ingigkeit der F.influgfunktion E(99,99') vom inneren Aufbau des 'Fragfltigels ist es nieht m0glieh, einen allgemeinen Ausdruck ffir E(99,99') anzugeben, sondern man mug diese Funkt ion yon Fall zu Fall mittels der durch die Stat ik ent- wiekelten Methoden bestimmen. In vielen Ffillen dtirfte aueh ein experimenteller Weg gangbar skin. Im folgenden sollen einige F~lle n~iher behandelt werden.

a) D e r e i n h o l m i g e F l i i g e l m i t T o r s i o n s r 6 h r e . Die Torsionsr6hre habe eine Wandst~irke s, einen inneren Querschnitt Fr einen Umfang U und sei aus einem Material mit dem Schubmodul G angefertigt. Dann ist

4sF~G qY q~'

Aus der Randbedingung E(99,99')=0 ffir 99=~/2 folgt

n/2 c = - - f Ubsin~~

4sF~G '

so dab

E (99,99')=-- f Ubsin~odp 4sF'~G (45)

wird. Dieser Ausdruck gilt aber nur, wenn 99' < 9o < ~/2 oder ~/2 < 99 < 99' ist. Bei 99 < 99' < ~,/2 oder ~/2 < 99' < 99 wird

g (99,99') = - - f Vbsinea~ (45a) 4 sF~G q~"

b) Der Fl t ige l m i t zwei H o l m e n (Abb. 6). o vl ~ VN __--.--~. ~ - - - f ~ - - " ~- - - - - - g ~ l u ~ - - - - ~ r Es wird zun/ichst angenommen, daft jeder Holm sich unabh/ingig vom anderen durehbiegt. Man Abb. (,. kann leieht die EinfluBfunktion der Dureh- biegung eines Holmes als Biegelinienschar f(ir die wandernde Last / berechnen und erMilt so die EinfluBfunktion der Durchbiegung der beiden Ho lme zu Hvv(Y,~?) und Hzq~l(y,~l). Dann folgt die Durchbiegung eines jeden Holmes bei der auf ihn eat: fallenden Belastung Pv(~) bzw. Pn(q) zu

b

a v (y) = f pv (~) 14vv (y, ~'l) '~v, 0

b

a. (y) = f p . (,fl H n" (y, ,~) d,~. D

Page 16: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

254 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-arehiv

Gem~il? ~Abb. 6 e rg ib t sich als Verdrehungskurve

0 - - ,~v (y) - 6u (y) e (y)

b

t [pl,'(r/) H v v " x PH(tl) HEn <~' ~/)] d~/

o mit

P g = a + t ~ _ t cr~oq t~ p e e pe '

CmOq~ l a, . . . . . . Pu __ # + p pe e

Der Integrand in (46) n immt somit folgende Form an:

'

P(n) + ~ - ~ e

und es kommt

b

o= ;~'y; { f p(,,> [(, -~ o

Setzen wir

(46)

e H v v (y, '1)

H v v (y, )~)

b f t, (.j) (t - c , ~oq j ~ ( @ \ 4 o

E (y, ~'l) ~ Hvv (y, *1) + Hnn (y, *l) e (y) e (7)

Hvv (y, ,~)

(47) so wird

b

v-t- Hvve(rl) H v v ( Y ' ~ ) ] E ( y , ~ ) d ~ a(y) = f p (,j) [(~ (~> - e t(,~>) (~, ,3-4-/-/~ ~-y, o b

--c,.o q f ~ (,~) E (y, n) an. o

Unter der Voraussetzung, dab e (,j) Hvv (y, ~1)

(7) - ~ t (.~) + HrV (y~ ~)~- H ~ (y, ~)

(48)

eine Konstante ist, erhalten wir ffir B . . und C. die gleichen Ausdriicke wie (43) und (44). Man darf nur nicht vergessen, in (43) den Faktor [a(n ) - - ~ t (7)] vor dem ersten Integral dureh

a (~i) - ~ l (n) + e (71 n v v (y, ~1

zu ersetzen, In der Mehrzahl der praktischen F~lle sind zweiholmige Flfigel so ausgeffihrt,

dab eine Verbundwirkung zwischen Vorderholm und Hinterholm besteht, d. h. wenn ein Holm belastet wird, biegt sich der andere mit durch. Die Durchbiegungen an der Stelle y setzen wir an zu

b

8v(y) = f [Pv(n) Hvv (y, )7) + pu (n) HVH (y, ~)] d~, o

b a . (y) = f [p~ (n) H . v (y, n) + P . (n) Hnn (y, r/)] d ~/,

o

Page 17: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

xI. Band t940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragfltigels yon endlicher Spannweite. 255

so daft sich damit die Verdrehung des Profils ergibt zu

b 1 IPv (~) ~9 (y) = ~ f p (~?) [p (,~- (Hey (y, ~)- -Hnv(y , ~?))- pnp (,~)('7) (ann (y, ~?) --Hv)+ (y, ~7))] d~?.

0

Man sieht sofort, dab die Formeln (47), (48) sowie (43) und (44) nach wie vor Gtiltig- keit besitzen, wenn man Hvv (y, ~?) durch Hvv (y, ~1) -- Hnv (y, ~) und Him (y, ~) durch tt~qn(y, ~?) -- Hvn(y, ~?) ersetzt. Die EinfluBfunktion ist

E (y, rt) -- Hvv (y, ~) + HHI~ (y, ~) -- Hvn_(y, .3) -- H HV (Y: ,3) (47 a) e (y) e (,~)

Die Best immung der Funkt ionen H(y,~)) kann entweder rechnerisch mittels der in der Statik tiblichen Methoden erfolgen, wobei sich for statisch unbest immte Systeme die von S. Miiller cntwickelte Methode der Gruppenlasten 1 besonders empfiehlt.

Indessen wird in vielen FS.llen auch eine experimentelle Best immung der Funk- tionen H(y, ~7) durchftihrbar sein, etwa in folgender Weise: Man belastet den Vorder- holm an mehreren Stellen ~/ mit einer passend gew/ihlten Einzellast, z .B. t00kg, und erhS.lt ftir jeden derartigen Belastungszustand eine Biegelinie des Vorder- und Hinterholmes, die ausgemessen wird. Diese Biegelinien ergeben dann die Funkt ionen Hvv (y, ~) und Hnv (y, rl). Ganz entsprechend erh~lt man durch Belastung des Hinter- holmes die Funktionen HvH (y, ~)) und HHu (y, ~7). Nunmehr sind alle Gr6t3en bekannt, die man zur Durchftihrung der allerdings recht mtihevollen Rechnung ben6tlgt.

3. Der Fliigel mit recMeckigem OrundriB. Als einfaches Beispiel soll der elastisch verdrehbare Fltigel von rechteckigem GrundriB behandelt werden, wobei der tragende Teil aus einem Holm und einer Torsionsr6hre besteht. Zur weiteren Vereinfachung wird noch vorausgesetzt, dab die Torsionssteifigkeit

o = O u

eine Konstante ist. Die Funkt ion E (y, r/) hat dann, wie aus (45) und (45 a) hervorgeht, den in Abb. 7 dargestellten Verlauf. Bei Durch- ftihrung der Rechnung mtissen die belden Bereiche 0 < go < zr/2 und ~r/2 < go < zr getrennt behandelt werden.

,,, 049~<~

Abb. 7.

a) E r m i t t l u n g de r B,,~. Nach (43) setzt sich B,,,, aus zwei Summanden zusacnmen. Der zweite wurde bereits in AbschniCt I, Ziff. 3, berechnet, so daft wir uns bier auf den ersten Summanden beschr~nken k6nnen, den wir AB,,m nennen. Es wird

mit

A B,,,, = -- q b [a (,?) -- ~ t (,?)] f sin n 9 sin go dgo f sin m go' sin go' E (go, go') dgo' 0 0

~)_ b cos 9' im Bereich a E (9, ~o)'. = = 9 < 9 ' < 2 O

(9, go') = v~____ b cos 9 im Bereich 0 < go' < 9 , E O

P- I9, 9 ' ) = - { b o o s r - - b im Bereich ~ < 9 ' < g o ,

y bcos9 im Bereich 9 < 9 ' < ~ . E (9 '9 ' ) = - - - O - O

z Martin Grfining, Die Statik des ebenen Tragwerkes, S. 323. Berlin 1925. 18

Page 18: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

256 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels von endlicher Spannweite. Ingenieur-Archiv'

Wir haben jetzt also eine Reihe von Integralen auszurechnen. Man findet

f sin ~nq< sin rp' cos cp' d~o'=

sin (m - - 2) r~ __ I [ 2 2 ' sin (m + 2)2 ~ sin (m --22) ~o _~ sin(m~_5_~ + 2) ~ l

4 m -- m + m - ~ . - - - J'

~o

c o s t [sin_~._.ll)~o sin (m + l) q~] f s i n m ~ ' s i n q ) ' c o s q ) d q / - - 2 - - m + l ' 0

Im Bereieh 0 < ~ < ~/2 ergibt sieh welter

Ob f sin u.q)sinqo f sin ,,, ~o' sin~o' E (% q)')d~o' d~p= 0 0

- - 41 f[sinn~psin2q)( sin(m-l)~~ sin(m+l)mZF_l _9)+ 0

(sin (m - -2)2- sitl (m + 2)-2~- sin (m -- 2)q~ 4-sin (m -+- 2)9)] dq). + s i n n ~ s i n t p \ - - m • -- - m ~ : z - - - - - ~ - ~ - -- m - ~

, [ , ( , , ) -- 16 n + m - - 3 m 1 m - 2 , c ~

' ( ' ~ ) -~ n + m - - I m + l m2_2 eos (~ ,@'~n- - t )q )

-I 1 -t- n - F m + i (m: 1 - - 1 " m + 2 ) cos (n + ,.z + t) q)

�9 _ _ _ _ A _ _ _ f ~ . . . . . . 2 _ ~ (n + m + 3) ~o n + m + 3 t . m + l m . + 2 / e ~

, ( , , ) - - n - , ~ - - - - 3 , n + l ,~q-2 eos (n -- m -- 3) ~c,

1 " t I 2) eos.(~z__m__ t) q) + ~- -m-- i (m-2-~ - - m +

+ 1 f I i I ( , ~ - m + l ) q ~ ~--7 ~-#--T t ;,i + i -- m .z-~ / cos

' ( ' ~ 2 ) c o s ~ , , - - , , , + S ) ~

_} = . sin ( m - 2 ) sin (m + z) ~-)1 2. ( 1 t s in (n+i )q~ . ) ( m--2- m + 2 + 2 -n---Z~_l sin (n - - l) q) n + l

Wiederholt man die Rechnung for den Bereich ~/2 < ~o < ~, so ist leicht zu erkennen, daft sich das Vorzeichen des Integrals

~ sin n 9 s i n ~ sin m q / s i n ~o' E (% q<)d~p' d(p

nicht iindert, so dab man berechtigt ist, bei der Integrat ion nach 9 sofort die Grenzen o und ~ einzusetzen. Man sieht dann, dab A B,,m----O wird, wenn n eine gerade und m eine ungerade gahl darstellt, oder umgekehrt . Ist dagegen n und m zugleich gerade oder zugleieh ungerade, so ergibt sieh in vereinfaehter Sehreibweise:

A B.,,, = ~ [a ('7) - - ! t (*/)] [n, m] (49)

Page 19: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

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0548

8

Page 20: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

258 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragfltigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-Arehiv

wobei In m ] d a s Symbol for den nur von n und m abh~ingigen Ausdruck darstellt

: , , ' )( , , ) m I in n + m + t + n - - m - - I ; n + l m - - 2 n + m - - t -~ ~ , - - r n + i ,

( ' ')( , , ) ( , ')(, , + m - t m - 2 ~ - - m + 3 + n + m - ] , - m + l r n + 2 * - m - - 3 n+m "

Ffir die Werte n = t bis t0 und m = I b i s t0 wurden die Zahlen In, m] ausge- reehnet; die Ergebnisse sind in der Tabelle 2 zusammengesteltt.

b) A u s w e r t u n g d e s i l n t e g r a l e s

A C,, = - - b cm, q f sin n 99 sin 99 f )2 (99,) sin 99'2:" @, m') dm din'. 0 0

Ganz wie unter a) reassert die Integrationen ffir die versehiedenen Bereiche getrennt durehgefiihrt werden. Zuniiehst im Bereieh 0 < 99' < ~/2 wird

nl 2 ~ a12

f t' (99')sin~' E (99 99')d~'= + ~ [cos 99 f sin~' d99' + f sin 99' cos 99' d99] 0 0 4p

--l'b [e~ C05 299 14]' Im Bereieh ~/2 <99 < ~ erh~lt man:

f t ~ (99')sin ~' E (% ~') d c f = LO --b [-- cos 99 -- a/2

und damit

O 4- sin n99 sin99 (e~ 299 + i) d99-- 0

n/2 ~i

Hierbei wird

fsin n99 sin99 cos 2~ d9 0

Ebenso gilt

~I~

= o ftir n # 3

"~ fiir n = 3, = + ~ -

_ a ftir n = t . 4

" { = ~ ffir n =7: t, fsinn~sin99d~o = 2 . ~ far n = l .

und q= t

*f~ t sin(n-2) 2 f sin n 99 sin 99 c~ 99 d99 =-4-( 0

~m (n + 2) ~-

{ -----~_ fiir alle geraden n auger n = 2,

= far n = 2.

: ' / s in (,, - 2) -'2 sin n~~ sin~~ e~176 d99 = - - 7 t ~ - ;x-

hi"

sin (~ + 2) -~ t

7~-42- s =

= 0 ffir alle geraden .n, l i nk 1

= 7 {~-- ~-) = -S- ~ for n = 2 .

(49a)

Page 21: Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

XI. Band 1940. Gran Olsson: Unsymmetrische Biegung der Kreisringplatte. II, 259

Je tz t kOnnen wir das Ergebnis ausschreiben:

( 13) b2t2c"'oq n b ~ t 2 c,,~o q __ 0, 5297 A C ~ - ~ 5 - 6 + - o o '

A C a - ~ O,

+ - ~ " o o

ffir alle weitere ungeraden n gilt b ~ t 2 Cmoq

A C,, = [n] - - - 6 -"

mit t sin (n -- 2) "~ sin (n + 2) ---~ ( 2 2./,

[n] = - - ~ n - ~ ~ + 2 ,

[7] = - - 0,0445, [9] = 0,0260. n~imlich

[~] = 0,0953,

Ffir alle geraden n ist A C,, = O.

(Eingegangen am 6. Dezember 1939).

(5o)

(5o a)

Unsymmetrische Biegung der Kreisringplatte von ver/inderlicher Steifigkeit.

(II: Mitteihmg.)

quadratisch

Von R. Gran Olsson in Trondheim.

!. Einleitung. In der ersten Mitteilung 1 war unter anderem die Biegung dutch eine Einzelkraft am freierl Innenrand bei eingespanntem Auflenrande formelm/iBig vollstgndig angegeben (Abb. t). Auf die Durchrechnung eines Zahlenbeispieles wurde damals wegen der langsamen Konvergenz der Reihen bei Belastung infolge einer Einzellast verzichtet. Durch eine dem Verfasser" zur Verff igung gestellte Rechen- hilfe konnte in letzter Zeit die Zahlcnrechmmg erm6glicht werden, deren Ergebnisse im folgenden mitgeteilt seien.

2. Biegung dutch eine Einzelkraft am fteien lnnenrand bei eingespanntem AuSenrand. Die Integrat ionskonstanten sind bei den angegebenerl Randbedingungen for n = o

Ao = [ ( 2 + m ) O 7 - - 2 m - - ( 2 - - m ) o i - ' n ] P

4 = ~ (, - ~) g l ~ o [ ( 2 + .,) ~ - " + (2-- ~) ~?J ' P

B ~ 4 = a ( t - - v ) N I '

Co = [m -(2+ m) oC"] v (32) 3

Abb. I. Kreisplatte [m + ( 2 - m) e~ r] P mit Einzellast P a m Irmenrand

Hier bedeuten P die Einzellast, a den Plattenhatbmesser, ei den auf diesen be- zogenen Hatbmesser der B0hrung ( r v die Querdehnungszahl. N 1 hat die

x R. Gran Olsson, Ing.-Arch. t0 (1939) S. t4. u Die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf die Numrnern tier Gleichungen der ersten

Mitteilung.