Beitrag zur Theorie des Tragflügels von endlicher Spannweite

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    ING ENI E UR- ARCH IV m,

    XI. BAND 4. HEFT .1940

    Beflrag zur Theorie des Tragfliigels von endlicher Spannweite.

    Von Felix ZiUer in Kassel.

    !. Der starre Tragfliigel. i. Einleitung. Bei einem Tragfitigelprofil yon endlicher Spannweite 2 bmi t einer

    Belastung yon p je L~ingeneinheit der Spannweite kazan man ftir jeden Fliigelschnitt mit der Tiefe t bei der Anstr6mgeschwindigkeit V einen Auftriebsbeiwert r durch die Beziehung

    P co =- - (~) tq

    berech~ten, wobei q=~o V2 ist (~=Luft- dichte). Ist b=oo, so gilt

    d Ca Ca --~ ~ ix, (2)

    wobei ~ der Anstellwinkel ist, gemessen yon der Anstr0mrichtung aus, ftir we lche c~= 0 ist. Die OrOfle dc~/doc bei unendlich groBer Spannwelte ist e/ne ftir jeden Fltigel-

    Abb. I .

    l- y

    l,r I- -7

    Abb. 2 .

    r (v /

    schnitt charakteristische Zahl, die wir im folgenden der einfachen Schreibweise wegen mit j bezeichnen wollen. Wenn dagegen b einen endlichen Wert hat, darf man in die Gleichung (2) nicht den sog. geometrischen Anstellwinkel ~ (Abb. t) einftihren, sondern den kleineren effektiven Anstellwinkel ?. Die Differenz ~ ~7 hat Prandtl 1

    ' t

    angegeben: +b I car a~

    (3) ct - - 7 = 4-'-ff'V J d ~ y - - rl ' --b

    wobei er einen geraden Wirbelfaden yon der L/inge 2 b und der ver/inderlichen Zir- kulation /'(~1) als Modell benutzte (Abb. 2). Fiihrt man die Belastung p(r/) ein, so erh/ilt man unter Verwendang des Satzes yon Kutta-Joukowski

    9 +b t Cdp( , j ) a~ (3a)

    --b

    Es handelt sich bei dieser Gleichung im Grunde um ein simultanes System yon unend- lich vielen linearen. Differentiatgleichungen erster Ordnung. Zur LOsung wurde in den meisten Fiillen die Funktion p (r/) als trigonometrische Reihe angesetzt; die ver- schiedenen L6sungsmethoden unterscheiden sich dann nur in dem Wege, auf dem die Koeffizienten der Reihenentwickhmg bestimmt werden. Als erster hat Glauert 2 eine derartige L6sung angegeben. Ihm folgten Lotz a, Fuehs 4 und Multhopp s. Trefftz s

    1 L. Prandt l u. A . Betz, Vier Abhand lungen Zur Hydrodynamik und Aerodynamik, S. 24. G6ttingen i92~ (Neudruck).

    2 H. Glauert, Die Grundlagen der Tragflfigel und Luftschraubentheorie, S. t23. Berlin t929. J. Lotz, Z. Flugtechn. Motorl. 22 (I~_t) S. t89.

    4 Fuchs-Hopf-Seewald, Aerodynamik, Bd. 2, S. t39. Berlin t935. 6 H. Multhopp, Luftf.-F0rseh. 15 (t938) S. t53. s E. Trefftz, Z. angew. Math9 Mech. t (t921) S. 206.

    t7

  • 240 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragfltigels von endlicher Spannweite. Ingenleur-Arehiv

    fat3t das Problem als Randwertaufgabe der Potentialtheorie auf, welcher Gedanken- gang in jiings~:er Zeit yon H. Schmidt 1 welter verfolgt wurde. Auch Korrektur- verfahren sind ausgearbeitet worden, so yon Lippisch 2, wozu ebenfalls die Arbeit yon Gebelein a zu rechnen ist.

    Dami t sind die M6glichkeiten einer L6sung der Gleichung (3a) abet noch nicht ersch6pft. In der vorliegenden Arbeit wird das Problem, die Funktion P07) zu be- stimmen, wenn 0~ und t als Funktionen yon ~ vorgegeben sind, als Variationsaufgabe behandelt, wobei sich zeigt, daft diese Methode auch ffir den elastisch verdrehbaren Tragflfigel verwendet werden kann.

    2. Die der lntegralgleichung des Tragfliigels yon endlicher Spannweite gleichwertige Variationsaufgahe. Zun~chst muff die Aufgabe gel6st werden, einen Integralausdruck Z u linden, bei welchem die Forderung, dab er einen Extremwert annimmt, auf die Glei- chung (3a) ffihrt. Dazu erinnert man sieh eines in tier Variationsrechnung bekannten Integrals, dessen Extremalbedingung eine Integralgleichung mit symmetrisehen Kern

    +b d p (*l)

    darstellt 4. In einfachster VVeise k6nnen wir aus dem Integral f dr/ dr/ durch Y-- *I --b

    partielle Integration ein neues mit symmetrischem Kern bilden:

    +b dP(B) +b +b

    f _d~ d~= p(~ ) [ __ f p(r / )d~,; y -- n y -- ~ (y -- n) ~

    --b --b --b

    p(~/) ist eine beliebige stetige Funktion von ~/. Geh6rt aber der Punkt ~7=Y dem Integrationsbereich an, so muB es t~eiflen:

    y_~ d p (~7) + b d p 0?)

    d- \ _db Y - - ~ Y - - 71 9 y+~

    y-a +b

    9 = l im[P(+b)~ p(y+5) j p(y--6) o .o -' < , -o ,

    --b y+d y--~ +b

    _p(+b) p(--b) lim{ r p(rD cl + _ f ~ .q a ,)" y- -b y+b ~O\ jb (~_~)~ ~1 p(rj) d - " p(y+~5)+p(y--cS) y+~

    Es ist aber bekannt, dab der Grenzwert

    y_d d p (~). +b d P (~l)

    a-.0 Y -- fl Y -- ~ - - y+d

    +b dp (~) existiert, der sog. Hauptwert des Integrals f dn :~--~ dr/. Somit existiert auch der

    --b Grenzwert :

    y-.h +b

    a~o ~ ~+ f P(~) d p (y+d)+p(y - -6 ) r/ ,5 ), (4) --b y+6

    x Harry Schmidt, Z. angew. Math. Mech. t7 (1937) S. t0t. A. Lippisch, Lufff.-Forsch. 12 (t935) S. 89.

    a H. Gebelein, Ing.-Arch. 7 (1936) S. 297. 4 R. Courant u. D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Bd. t, S. 157, t76.

    Berlin 1931.

  • XLBand 1940. Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels von endlicher Spannweite. 24t

    +b

    den wir im folgenden kurz mit / P (~) d~ bezeichnen wollen. Far die Urn- 9 (y -,~)~ --b

    +b

    formung des so definierten Integrals / P(~I) dr/ durch partielle Integration gilt --b

    P(*I) ,.I~ p(+b) p(--b) (y--~-ff-q-- y--b y+b - - / --yd-p~ -dr/" --b --b

    Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man auch leicht durch DurcMfihrung der partiellen Integration in ~ihnlicher Weise wie oben. Es ist also m6glieh, Gleichung (3a) in eine Integralgleichung zweiter Art mit symmetriseherr~ Kern umzuformen, wobei fest-

    +b

    f P(~/) dr/ der Grenzwert (4) zu verstehen ist. gesetzt wird, dab unter (y_~l~ ' - -b

    Der ge.sueh.te Integralausdruck, dessert Minimalbedingung auf Gleichung (3 a) ffihrt, lautet

    +b +b

    1 f f j (y ) j (n l tCy) t (~)q~ I= 4:~oV~ (y_v)a : y(y) y'(r/)dyd~l--"

    - f i(y) t(yl q~, (y) b' (y) - 2~ (y)] dy. --b

    Die Flfigellast ist p=jtq7 mit q=89 a. Zum Beweise bildet man aus I dadurch ein ~ daft ma n ~, durch~7= y+e ~ ersetzt, wobei ~ eine beliebige Funktion yon y bzw. ~] mit den Randbedingungen ~(b)=0, ~'(--b)=O ist und der Parameter' ~ sehr klein sein s.oll. Dann witd Ieine Funktion yon e, die dort ihr Minimum besitzt, wo d[/de=O ist. Wir rechnen aus:

    +b +b t 4~ ~ v, f "f ) (y)j c~l toy) t(,~)r : (--C~_~i~ [r (y) r (~) + ~ r (y) r (r/) + ~ )' (y) r (n) +

    --b --b +b

    + e2r (y) ((,~)] d y d r~ - - f ] (y) t(y) q [7 2 (y) + 2 e ((y) 7 (Y) + --b

    + e2 ~,a (y) __ 20r ~,(y) - - 2~(y) e ((y)] dy und erhalten

    +b +b d7

    4,, o v, f f J (') J

  • 242 Ziller: Beitrag zur Theorie des Tragflfigels yon endlicher Spannweite. Ingenieur-Arehtv

    Diese Gleichung ist identisch mit der Gleichung (3a), wie man leicht einsieht, wenn man das erste Glied partiell in tegr ier t :

    +b +b +b

    f P('~) dy=p(,~)f a,j _fldP(~) f d~ -1dr J (y-~)* (y -~) ' a [ d~ J (y--~)'] --b --b --b

    +b +b

    ~ f dp(~) d~ =P(~)~ - . , a~ y-,~" - -b --b

    Besehr~inken wir uns auf Funktionen P(~7), die ffir ~ /=+b und ~------b versehwinden, was praktiseh allein Bedeutung besitzt, dann gilt

    +b +b

    f__pQl) dP(*i) an f ~ d ~ ~ ~ (y-n)* J a,i y -q" --b --b

    Damit ist gezeigt, dab die LSsung des am Anfang dieses Abschnittes formulierten Variationsproblemes zugleich die L6sung unserer Integralgleichung (3a) darstellt.

    Das erste Glied des Ausdruckes (5) stellt den sog. induzierten Widerstand W~ dar; ffir alas zweite ist eine befriedigende physikalische Deutung nicht gelungen.

    3. Direkte Liisung der Variationsauigabe mittels des Ritzschen Verfahrens. Der Grund- gedanke des Ritzschen Verfahrens besteht darin: Die gesuehte Funktion p(y) wird in eine Reihe gegebener Funktionen ]v(Y) entwickelt, so dab gilt

    p (y) = 5? A,/ , (y). v

    Unser Integral (5) wird dann eine Funktion der Beiwerte A,. Um die Minimalbedingung zu erhalten, braueht man nur das Gleichungssystem 8I/0~I~= 0 aufzustellen, woraus die _//, zu bereehnen sind. Als gegebene Funktion ]~(y) wird zweekm~gig eine trigono- metrische benutzt. Auflerdem werden neue Ver/inderliehe ~ und q)' eingefiihrt dutch die Beziehungen

    y : - - b cos ~0, ~ : - - b cos q/. (6) Der Ansatz ffir p lautet

    P = 40 V2b~_.,'A,, sin n 9. (7) n

    Wir sehreiben jetzt unser Integral (5) in der Form

    +b +b +b t

    I=-z w f f aYd' - f - 7)' t j (,)'!",(y) q 2 (Y)IaY - -b --b --b

    und erhalten naeh Einftihrung yon (7)

    n ~ ,~Am sin m ~o' sin qo' 407V*b~ _f [ 2 A'sin ,, ~f " (cos~- cosg')' dcp']dg-- I=

    0 0

    f3" ' [%~A,, sin nq) ~A, sin mq~] sinq) dq) + - - t 6 0 a V 4 b a (y) t (y) q 0

    + 80V'b a f ~(y)ZA,,sinnq~sincpdq). 0

    Die niichste Aufgabe ist jetzt, die drei in diesem Ausdruck vorkommenden Integrale auszureehnen, was in allgemeiner Form nu.r beim ersten m0glieh ist. Das zweite Integral enthiilt die GrundriBform des Fltigels t(y) und alas dritte den Anstellwinkel, die sog. Verwindung, sofern ~ nieht konstant ist.

  • XI. Band t940. Zi l ler: Be i t rag zur .Theorie des Tragf l f ige ls yon end l i cher Spannwei te . 243

    Zieht man die Konstanten .//. und die Summenzeichen vor das Integral, dann ist also zun~ichst das Integral

    7t 7t

    I1~ sinncpsin~p (cos~o-cos~o')2 dep'd~o 0 0

    auszurechnen. Wir integrieren partiell nach q)' und erhalten = / s s inm~o's ing ' ~ , cosmg"dqg" ~- - - - -mHm, (8)

    J ( ~ s ~o') ~- ~ = - - m oos ~o' - cos f 0 0

    Weiterhin werden die Beziehungen aufgestellt:

    i4,.+l~_icos(m+l)~'d~,=icosmcp'cosq/-sinmrp'sinr#" , cos ~o'- cos 9 cos 9 ' - cos ~ d9 ,

    0 0

    f cos (m -- t) q)" eosmqYcos~o'+ sinm~'sin~' , H, ,_ I ~--- j cos~- - c~ dg~' = cos ~o'- cos ~ d9~ ,

    0 0

    f yos m ~'cos H,.+I + H.,_I =