Bateria Fina

ECUACIONES DIFERENCIALES

Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO


FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

TEMA: BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

ALUMNO: Estrada López Juan Carlos 1113120646

GRUPO DE HORARIO: 01T

PROFESOR:


FECHA: 10 de julio del 2013



INDICE GENERAL

PRACTICA N° 01 ………………………………………. 04 Solución de ecuaciones diferenciales ………………………………………………………… 05 Origen de las ecuaciones diferenciales ………………………………………………………… 10

PRACTICA N° 02 ………………………………………. 14 Separación de variables ……………………………………………………….. 15 Reducción a variables separadas ……………………………………………………….. 17

PRACTICA N° 03 ……………………………………… 22 Funciones homogéneas ……………………………………………………….. 23

Si M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 es homogénea, ……………………………………………………….

24demostrar que y=vx se separan las variables

Ecuaciones diferenciales homogeneas ……………………………………………………….. 25 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogeneas ……………………………………………………….. 28

PRACTICA N° 04 ……………………………………… 33 Ecuaciones diferenciales exactas. ……………………………………………………….. 34 Factores integrantes ……………………………………………………….. 38 Factores integrantes por simple inspección ………………………………………………………… 45

PRACTICA N° 05 ……………………………………… 49 Ecuaciones lineales ……………………………………………………….. 50 Ecuaciones de Bernoulli ……………………………………………………….. 53

PRACTICA N° 06 ……………………………………… 58 Independencia lineal de funciones ………………………………………………………. 59 Wronskiano ………………………………………………………. 59 Mediante el wronskiano, demostrar que cada ………………………………………………………. 60

uno de los siguientes conjuntos de funciones son L.I Demostrar que las funciones dadas son LI y su ……………………………………………………… 62

Wronskiano es cero (graficarlos) Demostraciones ………………………………………………………. 64

PRACTICA N° 07 ……………………………………... 65 Ec.Dif lineales homogeneas ………………………………………………………. 66

PRACTICA N° 08 ……………………………………… 76 Ec.Dif lineales no homogeneas de coeficientes constantes ……………………………………………………….. 77 Variación de parámetros ……………………………………………………….. 82 Ecuaciones diferenciales de EULER ……………………………………………………….. 89

PRACTICA N° 09 ……………………………………… 98 Ecuación lineal homogénea ……………………………………………………….. 99 Ec. lineales con coeficientes constantes …………………………………………………………. 101 Ec. lineales con coeficientes constantes ……………………………………………………….. 105

(variación de parámetros, coeficientes indeterminados, otros)

PRACTICA N° 10 ……………………………………… 110 Integración por series ………………………………………………………… 111

PRACTICA N° 11 ……………………………………… 119 Ecuación de bessel y gauss ……………………………………………………….. 120

PRACTICA N° 12 ……………………………………… 125



Transformada de Laplace, ………………………………………………………… 126transformada inversa de laplace


PRACTICA N° 01


I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.

a) es solución de Solución:

y=C1 Senx+C2 x

……….. (1)

…………………. (2)y=C1 Senx+C2 x …………….. (3) Luego sumamos (1), (2) y (3)

b) y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2 ex es solución de

Solución:y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2 ex

.......… .. (1)

……………………..… … (2)

… ….. (3)

y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2ex………………….. (4)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)



2)Demostrar que y=2 x+Cex es la solución de la ecuación diferencial, y hallar la

solución particular para x=0 , y=3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))

Solución:

y=2 x+Ce x

…………………….. (1)

……………………..(2)

Luego sumamos (1) y (2)

La ecuación de la curva integral es:

3) Demostrar que y=C1ex+C2 e2 x+x es solución de y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)

Solución:

y=C1ex+C2 e2 x+x

………………….…… (1)

…….………..… (2)

….…………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)




4) Demostrar que ( y−C )2=Cx es la primitiva de la ecuación diferencial y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)

5) La primitiva de la ecuación diferencial es y=Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)

Solución:

y=Cx


6) Comprobar que y, son primitivas de demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.

Solución:

…………………….. (1)



………………………(2)


.

………………. (3)

…………………(4)


. Ahora demostraremos que y son, en realidad, una sola.

Como y son constantes, pueden asumir el valor de

7) Demostrar que ln (x2 )+ln ( y2

x2 )=A+x se puede escribir así y

2=Bex

Solución:

ln (x2 )+ln ( y2

x2 )=A+x

ln (x2 . y 2

x2 )=A+x

ln ( y2)=A+x

e A+x= y2



e A . ex= y2

Como eA

es una constante eA=B

Reemplazamos en eA . ex= y2

⇒ Bex= y2

8) Demostrar que arcSenx−arcSeny=A se puede escribir así x √1− y2− y √1−x2=B

Solución:

arcSenx−arcSeny=A

Derivamos:

Integramos:

9) Demostrar que ln (1+ y )+ln (1+x )=A se puede escribir como xy+x+ y=C Solución:

ln (1+ y )+ln (1+x )=A ln [(1+ y )(1+ x ) ]=A ln (1+x+ y+xy )=A

eA=1+x+ y+xy

eA−1=x+ y+ xy

Como eA−1 es constante, entonces puede tomar el valor

eA−1=C

⇒ x+ y+xy=C

10) Demostrar que Senhy+Coshy=Cx se puede escribir como y=ln( x )+A

Solución:Senhy+Coshy=Cx



Como es constante entonces le damos el valor de

y=ln( x )+A II) Origen de las ecuaciones diferenciales

1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.

Solución:

La pendiente es

2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial.

3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión después de “t” minutos.

Solución



Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el numero de gramos aun no

convertidos será “(100−q )” y la velocidad de conversión vendrá dada por

dqdt

=K (100−q ) , donde

K es la constante de proporcionalidad.

4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a :

i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.

ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial

5) Demostrar que en cada una de las ecuacionesa) y=x2+A+B

Solución

Debido a que la suma A+B son constantes la suma será igual a una constante k⇒ y=x2+kb) y=A ex+B

Solución

y=A eB ex

Debido a que A eB es una constante la reemplazamos por k⇒y=k ex

c) y=A+lnBx

Solución

y=A+lnB+lnxDebido a que A+lnB es una constante la reemplazamos por ky=k+lnxSolamente es usual una de las dos constantes arbitrarias

6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva y=A x2+B x+C

Solucion

y=A x2+Bx+Cy '=2 Ax+By ' '=2 Ay ' ' '=0⇒ la ecuación diferencial asociada es:y ' ' '=0

7) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivax2 y3+x3 y5=c

Solución



2 xdx y3+3 y2 dy x2+3 x2 dx y5+5 y4 dy x3=02 x y3+3 y2 y ' x2

+3 x2 y5+5 y4 y ' x3=02 y2+3 yx y '+3 x y4+5 y3 y ' x2=0

8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=Acos (ax )+Bsen (ax )

Solución

y=Acos (ax )+Bsen (ax )y '=−Asen (ax ) a+Bcos (ax ) ay ' '=−Acos (ax ) a2−Bsen (ax )a2

y ' '=−a2 ( Acos (ax )+Bsen (ax ) )y ' '=¿-a2 y

9) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=A e2 x+B ex+C

Solución

y=A e2 x+B ex+Cy '=2 A e2 x+B ex

y '−B e x

e2 x =2 A

Derivando ( y ' '−B ex )e2 x−2 ( y '−B ex )e2 x

e4x =0

y ' '−B ex−2 y '+2 B e x=0y ' '−2 y '=−B e x

y ' '−2 y '

e x =−B

Derivando y acomodándolo:y ' ' '−3 y ' '+2 y '=0

10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=c1 e3 x+c2 e2 x+c3 ex

Solución:

| e3 x e2 x

3 e3 x 2e2 xex yex y '

9 e3 x 4 e2 x

27 e3 x 8e2 xex y ' 'ex y ' ' '

|=e6 x| 1 13 2

1 y1 y '

9 427 8

1 y ' '1 y ' ' '|

=e6 x (−2 y ' ' '+12 y ' '−22 y '+12 y )=0=−2 y ' ' '+12 y ' '−22 y '+12 y=0



= y ' ' '−6 y' '+11 y '−6 y=0

11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=c x2+c2

Solución:

y=c x2+c2

y '=2cxy ' '=2 cy ' ' '=0

12) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en el eje x

La ecuación de una circunferencia es:( x−p )2+ y2=r 2

p=x−√r 2− y2

Derivando

0=1−12 √r2− y2

−12 2 y '

13) Hallar la ecuación diferencia de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x

Solución:


S


La ecuación de la familia de la parábola es:x2=4 pyDonde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p)x2

y=4 p

Derivamos2xy−x2 y '

y2 =0

2 xy=x2 y '

2 y=xy '



PRACTICA N° 02

I) SEPARACIÓN DE VARIABLES

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) X3dx + (y+1)2dy = 0

Solución:

∫ X3dx + ∫ (y+1)2dy = cX4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c(y+1)3/3 = k - X4/4

(y+1) = 3√3(k− X 44

)

y = 3√3(k− X 44

) -1

2) x2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0

Solucion:



x 2( y+1)

(x−1)( y+1)dx +

y 2(x−1)(x−1)( y+1)

dy = 0

x2

(x−1)dx +

y 2( y+1)

dy = 0

∫x2

(x−1)dx + ∫

y 2( y+1)

dy = c

Sea µ = x-1 Sea: v = y+1 x = µ+1 y=v-1dµ=dx dv=dy

∫ (µ+1)2

µ dµ =

µ22

+2 µ+ln µ+c1 ∫ (v−1)2

v =

v 22

- 2v + lnv + c2

(x−1)22

+2(x-1)+ln(x-1)+c1 ( y+1)2

2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2

(x−1)22

+2(x-1)+ln(x-1)+c1 + ( y+1)2

2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 = c

(x−1)22

+2(x-1)+ln(x-1) + ( y+1)2

2 - 2(y+1) +ln (y-1) = k

3) 4xdy – ydx = x2dy

Solucion:(4x-x2)dy – ydx=0(4 x−x2)(4 x−x2) y dy -

y(4 x−x2) y dx =0

dyy

- dx

(4 x−x2) = 0

∫ dyy

- ∫dx

(4 x−x2) = c

Lny + c1 - 14

ln (x

4−x) +c2 = c

Lny = 14

ln (x

4−x) + k

y = e14 ln ( x

4−x )+k

4) x(y-3)dy = 4ydx

Solucion:x( y−3)

xydy =

4 yxy dx

∫( y−3)

y dy - ∫

4x

= c

y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c

lny = y+k – lnx 4

3y = e

y+ k – lnx 43



y = e( y+k )

3

x 4

5) (y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0

Solucion:y2(x+1)

(1− y )(x+1) dy +

x 2(1− y )(1− y )(x+1)

dx= 0

∫y 2

(1− y )dy + ∫

x2(x+1)

dx = c

-(ln(1-y) – 2(1-y) + (1− y)2

2) + c1 +

(x+1)22

- 2(x+1) + lnx + c2 = c

-ln (1-y) + 2(1-y) - (1− y)2

2 + (x+1)2

2 - 2(x+1) + lnx = k

6) x√1+ y2 + y√1+x2 y’ = 0

Solucion:

x√1+ y 2

√1+ y 2√1+x 2 dx +

y √1+x 2√1+ y 2√1+x 2

dy = 0

∫ x√1+x 2

dx + ∫ y√1+ y2

dy = c

√1+x2 + c1 + √1+ y2 + c2 = c

√1+ y2 = k - √1+x2

1+y2 = (k - √1+x2)2

y = ± √(k−√1+x2)2−1

7) Hallar la solución particular de: (1+x3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las condiciones iníciales x=1, y=2.

Solucion: (1+x3)y (1+x3) dy -

x2 yy (1+x3) dx = 0

∫dyy

- ∫ x2

(1+x3) dx = c

Lny +c1 - 13

ln(1+x3) + c2 = c

Lny = k + 13

ln(1+x3)

Para x=1,y=2:

Ln(2) = k +13

ln(1+13)

K = 0.46



8) Hallar la solución particular de: exsecydx + (1+ ex) secytgydy = 0, cuando x=3, y=60°.

Solucion:ex secy

secy (1+ex) dx +

(1+e x)secytgysecy(1+ex)

dy = 0

∫ex

(1+e x) dx +∫ tgydy = c

Ln (1+ex) + c1 + ln (secy) + c2 = c Ln (secy) = k – Ln (1+ex)Para x=3, y=60°.K=ln (2)+ln (1+e3)

9) Hallar la solución particular de: dp =ptan αdα , cuando α =0, p=1.

Solucion:dp =ptan αdα

∫dpp

=∫tan α dα

Lnp+c=ln(secα )+c1

Lnp- ln(secα )=kPara α=0,p=1.Ln1-ln1=0K=0

II) REDUCCIÓN A VARIABLE SEPARADA

1) Resolver : (x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0

Solucion: (x+y) dx + (3x+3y-4) dy = 0………. (I)Sea: z = x+y dz=dx+dy

dzdx

= 1+dydx

dydx =

dzdx – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

Z + (3z-4) (dzdx

– 1) = 0

-2zdx + 3zdz – 4dz + 4dx = 0∫-2zdx + ∫3zdz – ∫4dz + ∫4dx = ∫0

-2zx +c1+ 3 z 2

2+c2 -4z + c3 +4x + c4 = c



-2(x+y) x + 3(x+ y)2

2 – 4(x+y) + 4x = k

2) Resolver : (x+y)2y’ = a2

Solucion:(x+y)2y’ = a2...................(I)Sea: z = x+y dz = dx+dy

dzdx

= 1+dydx

dydx =

dzdx – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

(x+y)2 (dzdx

– 1) = a2

Z2 (dzdx

– 1) = a2

∫z 2

a 2+z2 dz = ∫dx

Z – a.arctg (za

) = x + k

X + y – a.arctg (x+ y

a) = x + k

y – a.arctg (x+ y

a) = k

3) Resolver: y’ = cos2 (ax+by+c) / a ≠ b, a y b son constantes positivas.

Solucion:Sea: z = ax+by+c , y’= cos (ax + by + c)…….. (I)dzdx = a + b

dydx

dzdx - a = b

dydx

(dzdx

– a) 1b

= dydx

……………. (II)

Remplazando (II) en (I)

(dzdx

– a) 1b

= Cos2 (z)

dzdx

1b -

ab = Cos2z

dzdx - a = b Cos2z

dzdx = bCos2z + a

∫ dzbCos2 z+a

=∫dx

∫ dz(√b Cosz )2+¿¿

¿ = ∫dx



1√a

arctg (√bCosz√ a

¿+ C1 = C2

1√ a × arctg (

√ b√ a Cos (ax + by + c)) ¿ x + k

4) Resolver : y’+1= ( x+ y )m

( x+ y )n+(x+ y) p

Solucion:y’ + 1 = ¿¿ ………….. (I)Sea: z = x+y dz = dx+dy

dzdx

= 1+dydx

dydx =

dzdx – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

(dzdx

– 1) + 1= zm

zn+z p dzdx

= zm

zn+z p

∫ (zn+z p

zm ) dz = ∫ dx

∫ (zn-m + zp-m) = ∫ dx( z )n−m+1

n−m+1 +

( z ) p−m+1p−m+1

= x+k

(p-m+1)(x+y)(n-m+1) + (n-m+1) (x+y)(p-m+1) = (x+k) (p-m+1)(n-m+1)

5) Resolver : xy2(xy’+y) = a2

Solucion:xy2 (xy’+y) = a2…………….. (I)xy2y’ + xy3 = a2

Sea: z=xy y = zx

y’ = x dz

dx−z

x2 …………. (II)

Reemplazando (II) en (I):

z2x

(x x dz

dx−z

x2 +

zx

) = a2, simplificando

z2dz = a2xdx, integrandoz33

+ c = a2 x22

+ c1

2x3y3 = 3a2x2 + k

6) Resolver : (lnx+y3)dx - 3xy2dy = 0

Solucion:

Sea: z = lnx +y3 dzdx

= 1x

+ 3y2y’, de donde 3xy2y’ = xdzdx

– 1



Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: z – (xdzdx

– 1) = 0

(z+1) - xdzdx

= 0, separando las variables:

dxx -

dzz+1 = 0, integrando se tiene: lnx – ln (z+1) = lnc x = c (z+1)

z+1 = kx lnx + y3 + 1 = kx , donde k= 1c

y3 = kx – lnx – 1

7) Resolver : y’ = tan(x+y) – 1

Solucion:

Sea: z = x+y dzdx

= 1 + dydx

Reemplazando en la ecuación diferencial:dzdx - 1 = tanz - 1

dzdx = tanz ,

dztanz = dx, ctgzdz = dx

Integrando:Ln (senz) + c1 = x + c2

Ln(sen(x+y)) = x + k ex +k = sen(x+y)

8) Resolver : (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0

Solucion:

Sea: z = 3x+2y dzdx

= 3 + 2 dydx

dy = dz−3dx

2Reemplazando en la ecuación diferencial:

(2z+3) dx + (z+2) (dz−3 dx

2 ) = 0

Simplificando y separando las variables:

Dx + z+2

z dz = 0

Integrando ambos miembros:z + 2lnz + x = c4x + 2y + 2ln (3x+2y) = c

9) Resolver : cos(x+y)dx – xsen(x+y)dx +xsen(x+y)dy

Solucion:

Sea: z = x+y dzdx

= 1 + dydx

dy = dz – dx

Reemplazando en la ecuación diferencial:Coszdx = xsenzdx + xsenz (dz-dx)Simplificando y separando las variables:dxx = tanzdz

Integrando miembro a miembro:xcos(x+y) = c



10) Resolver : y(xy+1)dx + x(1+xy+x2y2)dy=0

Solucion:

Sea: z = xy dzdx

= y + x dydx

dz = zx

dx + xdy

zx

(z+1)dx + x(z+1+z 2)(xdz – zdx )

x 2 = 0


(z 2+ z)

z 3 dz +

dzz3

= dxx

Integrando miembro a miembro:Lnz +c1+ lnz2 + c2+ lnz3+ c3

= lnx + cLn(xy) + ln(xy)2 + ln(xy)3 = lnx +k

11) Resolver : (y-xy2)dx – (x+x2y)dy=0

Solucion:

Sea: z = xy dzdx

= y + x dydx

dz = zx

dx + xdy

Reemplazando en la ecuación diferencial:

(zx

- z2x

) dx – (x+zx) (xdz−zdx

x2) = 0


2dxx

= (z+1)

z dz

Integrando:2lnx + c1 = z + lnz + c2

2lnx – ln (xy) –xy = k

12) Resolver : (1-xy+x2y2)dx + (x3y-x2)dy=0

Solucion:

Sea: z = xy dzdx

= y + x dydx

Reemplazando en la ecuación diferencial:

(1+z2-z) dx + (zx2 – x2)(xdz – zdx )

x 2 = 0

Simplificando y separando las variables:dxx +

zxx dz -

xdxx = 0

Integrando:

Ln x + x2 y2

2– xy = k

13) Resolver : cosy’=0

Solucion :

Como : cosy’=0 y’ = arccosα = π2

(2n+1)



dydx =

π2 (2n+1) dy =

π2 (2n+1) dx

Integrando:

y = π2

(2n+1) x + k

14) Resolver : ey’=1

Solucion:Como: ey’=1 y’ = 0Integrando:y = c

15) Resolver : lny’=x

Sol:ex = y’ dy = exdx Integrando:y = ex+ c

16) Resolver : x2y’cosy+1=0/ y=16π3

; x ∞

Solucion:

y’Cosy + 1

x2 = 0 , de donde : cosydy +

dxx2

= 0

integrando:

seny - 1x

= c , como y=16π3

cuando x ∞

c = sen (16π3

)

Seny - 1x

= sen (16π3

)

17) Resolver : tgy’=x

Sol:Como tgy’ = x y’ = arctgx + nπ, n ∈ Ndy = (arctgx + nπ)dx Integrando:2y = 2xarctgx – ln(x2+1) + 2nπx + c



PRACTICA N° 03



I) FUNCIONES HOMOGENEAS

Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas1)f ( x , y )=x2 y−4 y3

Solución:f ( λx , λy )=( λx )2 ( λy )−4 ( λy )3

f ( λx , λy )=λ3 (x2 y−4 y3 )f ( λx , λy )=λ3 f (x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 3

2)f ( x , y )= y2 tan (x / y )

Solución:

f ( λx , λy )=( λy )2 tan (λx / λy)f ( λx , λy )=λ2 ( y2 tan (x / y))f ( λx , λy )=λ2 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 2

3)f ( x , y )=3√ x3− y3

Solución:

f ( λx , λy )=3√ ( λx )3−( λy )3

f ( λx , λy )=λ ( 3√x3− y3 )f ( λx , λy )=λf ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 1

4)f ( x , y )= x2− y2

xy

Solución:

f ( λx , λy )= ( λx )2−( λy )2

( λx ) ( λy )



f ( λx , λy )=λ0( x2− y2

xy )f ( λx , λy )=λ0 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 0

5)f ( x , y )=x2+senxcosy

Solución:f ( λx , λy )=( λx )2+sen ( λx ) cos ( λy )f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea

6)f ( x , y )=ex

Solución:f ( λx , λy )=e λx

f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea

7)f ( x , y )=exy

Solución:

f ( λx , λy )=eλxλy

f ( λx , λy )=λ0(exy )

f ( λx , λy )=λ0 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 0

8)f ( x , y )=(x2− y2 )3 /2

Solución:

f ( λx , λy )=( ( λx )2− ( λy )2)3/2

f ( λx , λy )=λ3(exy )

f ( λx , λy )=λ3 f (x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 3

9)f ( x , y )=x−5 y−6

Solución:f ( λx , λy )=λx−5 ( λy )−6f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea

10)f ( x , y )=xsen ( x / y )− ysen (x / y)



Solución:f ( λx , λy )=( λx ) sen ( λ x / λy )− ysen(λx / λy )f ( λx , λy )=λ (xsen (x / y )− ysen(x / y ))f ( λx , λy )=λf ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 1

II) Si M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 es homogénea, demostrar que y=vx se separan las variables

Solución:Debido a que M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 ……………………………………………… (#)Es homogénea se cumple que:M ( λx , λy )=λk M ( x , y ) Y N ( λx , λy )= λk N (x , y )…………………………………… (1)

Haciendo que λ=1x

……………………………………………………………………….. (2)

Reemplazando (2) en (1)

M (1 , yx )= 1

xk M ( x , y )⇒M ( x , y )=xk M (1 , yx )

M (x , y )=xk M (1, yx )=xk M (1 , v )=xk G (v ) donde v= y

x ……………………….…. (3)

N (1 , yx )= 1

xk M ( x , y )⇒N ( x , y )=xk N (1 , yx )

N ( x , y )=xk N (1 , yx )=xk (1 , v )=xk T ( v ) dondev= y

x …………………………….. (4)

Ahora como y=xv ⇒dy=vdx+xdv………………………………………………..(5)Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos:..

xk G ( v )dx+xk T (v ) (vdx+xdv )=0Simplificando y agrupando obtenemos:

dxx+ T (v )

G (v )+vT (v )du=0

III) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas1)(x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0

Solución:

La ecuación diferencial es homogénea de grado 3: y=ux ⇒dy=udx+xdu………………………………(α)Reemplazando (α) en la ecuación original

(x3+(ux )3 )dx−3 x (ux )2 (udx+xdu )=0x3 (1+u3−3u3 )dx−3 x4 u2 du=0dxx− 3 u2 du

1−2u3=0



∫ dxx−∫ 3 u2 du

1−2u3=k

lnx+2 ln (1−2u3 )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

lnx+2 ln(1−2( yx )

3)=k

Levantando el logaritmo obtenemos:

(1−2( yx )

3

)2

x=c

2)xdy− ydx−√x2− y2dx=0

Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original

x (udx+xdu )−uxdx−√ x2−(ux )2 dx=0x ( xdu+udx−udx−√1−u2dx )=0xdu−√1−u2 dx=0

∫ du√1−u2

−∫ dxx=k

arcsen (u)−lnx=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

arcsen yx−lnx=k

3)(2 xsenh( yx )+3 ycosh ( y

x ))dx−3 xcosh ( yx )dy=0

Solución:

La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (2 xsenh (u )+3 uxcosh (u ) )dx−3 xcosh (u ) (udx+xdu )=0x (2 senhudx+3ucoshudx−3ucoshudx−3 xcoshudu )=0

∫ 2 dxx

−∫ 3 coshu dusenhu

=k

2 lnx−ln ( senhu )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

2 lnx−3 ln (senh ( yx ))=k

4)(2 x+3 y ) dx+( y−x ) dy=0

Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original



(2 x+3ux ) dx+ (ux−x ) (udx+xdu )=0x (2dx+3udx+u2 dx−udx+uxdu−xdu )=0(2+2 u+u2 )dx+x (u−1 ) du=0

∫ dxx+∫ (u−1 )du

(2+2 u+u2 )=k

lnx+¿ ln(y/x)+2 xy+1

= k

5)(1+2 exy )dx+2 e

xy (1− x

y )dy=0

Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 0:x=uy ⇒dx=udy+ ydu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (1+2 eu ) (udy+ ydu )+2 eu (1−u ) dy=0udy+ ydu+2 euudy+2 eu ydu+2eu dy−2 euudy=0(u+2 eu )dy+( y+2 eu y )du=0

∫ dyy+1

+∫ (1+2 eu )duu+2eu =k

ln ( y+1 )+ ln (u+2eu )=k( y+1 ) (u+2 eu )=c………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

( y+1 )( xy+2e

xy )=c

6)(x2+3 xy+ y2)dx−x2 dy=0

Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 2:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (x2+3 x ( xu )+( xu )2) dx−x2 (udx+xdu )=0x2 (u2+2u+1 )dx−x3 du=0

∫ dxx−∫ du

(u+1 )2=c

lnx+ 1u+1

=c………………………………………………..(*)

Reemplazando (α) en (*)

lnx+ xy+x

=c

7)( y+√ y2−x2 )dx−xdy=0Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:



y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original

( xu+√ ( xu )2−x2 )dx−x (udx+xdu )=0x √u2−1dx−x2 du=0

∫ dxx−∫ du

√u2−1=k

lnx−ln (u+√u2−1 )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

2cy=c2 x2+1

8)( x− ylny+ ylnx ) dx+ x ( lny−lnx ) dy=0

Solución:Transformamos la ecuación diferencial:

(x− yln ( yx ))dx+x ( ln( y

x ))dy=0

La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (x−xuln (u ) ) dx+x (ln (u ) ) (udx+xdu )=0dx+x lnudu=0

∫ dxx+∫ lnudu=k………………………………………………..(*)

Reemplazando (α) en (*)( x− y ) lnx+ ylny=cx+ y

9)(x− yarctan ( yx))dx+xarctan( y

x )dy=0

Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original ( x−xuarctan (u))dx+xarctan (u ) (udx+ xdu )=0dxx+arctanudu=0

∫ dxx+∫ arctanudu=k

lnx+uarctanu−12

ln (1+u2 )=k………………………………………………..(*)

Reemplazando (α) en (*)

lnx+ yx

arctan ( yx )−1

2ln(1+( y

x )2

)=k

2 yarctan( yx )=xln( x2+ y2

x4 )c10)x e

xy dx+ y e

yx dy=0



Solución:

La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original

x e1u dx+xueu (udx+ xdu )=0

(e1u+u2 eu)dx+ux eudu=0

dxx+ euudu

e1u+u2eu

=0

∫ dxx+∫ eu udu

e1u+u2 eu

=0

lnx=−∫a

yx

eu udu

e1u+u2 eu

11)( ycos ( yx )+xsen( y

x ))dx=cos ( yx )dy

Solución:

La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original ( xucos (u )+ xsen (u ) )dx=cos (u ) (udx+xdu )senudx=xcosudu

∫ dxx−∫ctgudu=k

lnx−ln (senu )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)

lnx−ln(sen( yx ))=k

x=csen ( yx )

IV) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas

1)(2 x−5 y+3 ) dx−(2 x+4 y−6 ) dy

Solución:

La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k

{2 x−5 y+3=02 x+4 y−6=0 Resolviendo x=1 , y=1⇒h=1 , k=1

x=z+1 , y=w+1 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)



Reemplazando (α) en la ecuación diferencial(2 ( z+1 )−5 (w+1 )+3 )dz−(2 ( z+1 )+4 (w+1 )−6 ) dw(2 z−5 w )dz− (2 z+4 w ) dw………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(2 uw−5 w ) (wdu+udw )+(2uw+4 w ) dw=0(2 u2−3 u+4 )dw+(2u−5 ) wdu=0

∫ dww

+∫ (2 u−5 )du(2u2−3 u+4 )

=k

lnw+12 ln (2u2−3u+4 )−7

2 ( 2√23

arctan ( 4 u−3√23 ))=k

………………………………………………………………. (θ)

Como z=uw ⇒ u= zw= x−1

y−1Reemplazando en (θ)

ln ( y−1 )+ 12

ln(2( x−1y−1 )

2

−3( x−1y−1 )+4)− 7

2 ( 2√23

arctan ( 4 ( x−1y−1 )−3

√23 ))=c

2)( x− y−1 )dx+( 4 y+x−1 ) dy

Solución:


{ x− y−1=04 y+x−1=0 Resolviendo x=1 , y=0⇒h=1 , k=0

x=z+1 , y=w Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z−w ) dz+ ( z+4 w ) dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(uw−w ) (wdu+udw )+ (uw+4 w ) dw=0(u2+4 )dw+ (u−1 ) wdu=0

∫ dww

+∫ (u−1 ) du

( (u2+4 ))=k

lnw+12

ln (u2+4 )+ 12

arctan (u2 )=k………………………………………………………………. (θ)


yReemplazando en (θ)

lny++12

ln(( x−1y )

2

+4)+12

arctan( x−12 y )=k

3)( x−4 y−9 ) dx+( 4 x+7−2 )dy



Solución:La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k

{x−4 y−9=04 x+7−2=0 Resolviendo x=1 , y=−2⇒h=1 ,k=−2

x=z+1 , y=w−2 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z−4w ) dz+( 4 z+w )dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(uw−4 w ) (wdu+udw )+( 4 uw+w ) dw=0(u2+1 )dw+ (u−4 ) wdu=0

∫ dww

+∫ (u−4 ) du

( (u2+1 ))=k

ln w2 (u2+1 )−8arctanu=k………………………………………………………………. (θ)


y+2Reemplazando en (θ)

ln [ ( x−1 )2+( y+2 )2 ]−8 arctan( x−1y+2 )=k

4)( x− y−1 )dy−( x+3 y−5 ) dxSolución:


{ x− y−1=0x+3 y−5=0 Resolviendo x=2 , y=1⇒h=2, k=1

x=z+2 , y=w+1 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z+3 w )dz+( z−w ) dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:w=uz⇒dw=zdu+udz………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)( z+3uz )dz+( z−uz ) ( zdu+udz )=0(u2+2 u+1 )dz+z (u−1 ) du=0

∫ dzz+∫ (u−1 )du

(u2+2 u+1 )=k

lnz+ ln (u+1 )+ 2u+1

=k………………………………………………………………. (θ)

Como w=uz ⇒ u=wz= y−1

x−2Reemplazando en (θ)

lnc ( x+ y−3 )=−2( x−2x+ y−3 )

5)4 x y2 dx+ (3x2 y−1 )dy



Solución:

Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial 4 x z2α dx+(3 x2 z2 α−1−zα−1) αdz=0…………………………………….. (1)Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:2α+1=α−1⇒α=−2⇒ y=z−2⇒dy=−2 z−3 dzReemplazando en la ecuación diferencial4 x z−4 dx+(3 x2 z−5−z−3 )−2dz=04 xzdx−2 (3 x2−z2)dz=0 Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2z=ux⇒dz=xdu+udx……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial4 x2 udx−2 (3 x2−(ux )2) ( xdu+udx )=0 De donde simplificando y separando la variable se tienedxx+ u2−3

u3−udu=0, integrando se tiene

∫ dxx+∫ u2−3

u3−udu=c

lnx+3 lnu− ln (u2−1 )=c

Como u= zx

, y=z−2 se tiene: y (1−x2 y )2=k

6)( y4−3 x2) dy=−xydxSolución:Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial ( z4 α−3 x2 )α zα−1 dz=−x zα dxPara que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:

α+1=5α−1=α+1⇒α=12

( z2−3 x2 ) 12

z−1

2 dz=−x z12 dx Simplificando

2 xzdx+ ( z2−3 x2 )dz=0……(3) es una ecuación diferencial homogénea de grado 2z=ux⇒dz=xdu+udx……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial

∫ dxx+∫ u2−3

u3−udu=c

⇒ lnx+ ln( u3

u2−1 )=c

Como u= y2

x se tiene lnx+ ln( ( y2

x )3

( y2

x )2

−1 )=c



7) ycosxdx+(2 ysenx ) dy=0Solución:z=senx⇒ dz=cosxdx ,Reemplazo en la ecuación diferencia dad se tiene:ydz+ (2 y−z ) dy=0 ……(1) es una ecuación diferencial homogéneas de grado 1y=uz⇒dy=udz+zdu………. (2)Reemplazando y simplificando (2) en (1)dzz+ 2u−1

2u2 du=0

∫ dzz+∫ 2 u−1

2u2 du=0 Integramos

2 ylny+senx=2 cy

8)(2 x2+3 y2−7 ) xdx−(3 x2−2 y2−8 ) ydy=0Solución:Sea u=x2⇒du=2 xdx ,v= y2⇒ dv=2 ydy………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial

(2 u+3v−7 ) du2− (3u+2 v−8 ) dv

2=0

{2u+3 v−7=03u+2 v−8=0

⇒ p (2,1 )

Sean u=z+2 , v=w+1reemplazando

(2 z+3 w ) dz−(3 z+2 w ) dw=0Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:w=zn⇒ dw=zdn+ndz……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial

∫2 dzz+∫ 2n+3

n2−1dn=k

⇒ lnz2 (n2−1 )+32

ln|n−1n+1 |=k

Como n=wz

, w=v−1= y2−1 , z=u−2=x2−2se tiene

ln|y 4−x4+4 x2−2 y2−3|+ 32

ln| y2−x2+1y2+x2+3|

9)dy=( y−4 x )2dxSolución:z= y−4 x⇒dz=dy−4 dx⇒ dy=dz−4 dx………………………. (1)Reemplazando (1) en la ecuación diferencialdz−4dx=z2 dxdz= ( z2−4 )d x

∫ dzz2−4

−∫dx=k

14

ln|z−2z+2|−x=k

Asiendo en cambio de variable respectivo la solución será:



14

ln| y−4 x−2y−4 x+2|−x=k

10)tan2 ( x+ y ) dx−dy=0Solución:z=x+ y⇒dz=dx+dy⇒ dy=dz−dx……………………………………(1)Reemplazando (1) en la ecuación diferencialsen2 (z ) dx−cos2 (z ) (dz−dx )=0sen2 (z ) dx+cos2 ( z ) dx−cos2 ( z ) dz=0dx−cos2 ( z )dz=0∫ dx−∫ cos2 ( z ) dz=kx−z+cos (2 z )=kx−( x+ y )+cos2 ( x+ y )=k− y+cos2 ( x+ y )=k

11)(2+2x2 y12 ) ydx+( x2 y

12+2) xdy=0

Solución:Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial

(2+2 x2 zα2 ) zα dx+(x2 z

α2+2)x α zα−1 dz=0

(2 zα+2 x2 z3 α2 )dx+(α x3 z

3 α2 −1

+2 x α zα−1)dz=0

α=2+ 3α2⇒α=−4⇒ y=z−4⇒dy=−4 z−5 dz

(2 z−4+2 x2 z−6 )dx+(−4 x3 z−7−8 x z−5 )dz=0

(1+( xy )

2)dx+(−2( xy )

3

−4 xy )dz=0………………………………………………………………(𝛌)

x=uz⇒dx=zdu+udz………………………………………………………………..( )𝝫Reemplazando ( ) en (𝝫 𝛌)(1+(u )2) (zdu+udz )+(−2 (u )3−4 u)dz=0(1+u2 ) zdu+(−3u−u3 )dz=0(1+u2 )du(−3u−u3 )

+ dzz=0

∫ (1+u2)du(−3u−u3 )

+∫ dzz=k

−13

ln (−3 u−u3 )+lnz=k

Reemplazando u=x y1 /4

−13

ln (−3x y1/4−(x y1 /4 )3 )+lnz=k



PRACTICA N° 04



I) Ecuaciones diferenciales exactas :

Resolver las siguientes ecuaciones:1) (4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0

Solucion:(4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0

M(x, y) N(x, y)∂ M (x , y)

∂ y = 12x3y2 – 2x =

∂ N (x , y )∂ x

. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.

Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)

∂x = M(x, y), de donde:

∂ f (x , y)∂ x

= 4x3y3 – 2xy

f(x, y) = ∫ (4x3y3 – 2xy)dx + g(y)f(x,y) = x4y3 – x2y + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = 3x4y2 - x2 + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x4y2 – x2

3x4y2 - x2 + g’(y) = 3x4y2 – x2 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x4y3 – x2y + cx4y3 – x2y = k

2) (3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0

Solución: (3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0

M(x, y) N(x, y)∂ M (x , y)

∂ y = 3e3x =

∂ N (x , y )∂ x






∂ f (x , y)∂ x

= 3e3xy – 2x

f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)f(x,y) = ye3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = e3x + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = e3x

e3x + g’(y) = e3x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = ye3 x – x2 + cye3 x – x2 = k

3) (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0

Solución:

(cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0

M(x,y) N(x,y)∂ M (x , y)

∂ y = -seny + cosx =

∂ N (x , y )∂ x




∂ f (x , y)∂ x

= 3e3xy – 2x

f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)f(x,y) = ye3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = e3 x + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = e3x

e3x + g’(y) = e3x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = ye3 x – x2 + cye3 x – x2 = k

4) 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0

Solución:

2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 2x ex2 = ∂ N (x , y )

∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.



∂ f (x , y)∂ x

= 2x(yex2 – 1)



f(x, y) = ∫ (2x(yex2 – 1))dx + g(y)f(x,y) = y ex2 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = ex2 + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = ex2

ex2+ g’(y) = ex2 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = y ex2 – x2 + cyex2 - x2 = k

5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

Solución:(6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 18x5y2 + 20x3y4 = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= 6x5y3 + 4x3y5

f(x, y) = ∫ (6x5y3 + 4x3y5)dx + g(y)f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x6y2 + 5x4y4

3x6y2 + 5x4y4 + g’(y) = 3x6y2 + 5x4y4 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x6y3 + x4y5 + cx6y3 + x4y5 = k

6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0

Solución:(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 3 = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= 2x3 + 3y

f(x, y) = ∫ (2x3 + 3y)dx + g(y)

f(x,y) = x 42

+ 3xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.

∂ f (x , y)∂ y

= 3x + g’(y), pero como: ∂ f (x , y)

∂ y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x + y – 13x + y – 1 + g’(y) = 3x + y – 1 g’(y) = 0 g(y) = c



f(x,y) = x 42

+ 3xy + c

x4 + 6xy + y2 = k

7) (y2 exy 2 + 4x3)dx + ( 2xyexy 2 - 3y2)dy = 0

Solución: (y2 exy 2 + 4x3)dx + ( 2xyexy 2 - 3y2)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 2yexy 2+ 2xy3exy 2= ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= y2 exy 2 + 4x3

f(x, y) = ∫ (y2 exy 2 + 4x3)dx + g(y)f(x,y) = exy 2 + x4 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = exy 22xy + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 2xyexy 2 - 3y2

exy 22xy + g’(y) = 2xyexy 2 - 3y2 g’(y) = - 3y2 g(y) = - y3

f(x,y) = exy 2 + x4 - y3

8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0

Solución:(2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 4xy + 2 = ∂ N (x , y )

∂x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.



∂ f (x , y)∂ x

= 2xy2 + 2y

f(x, y) = ∫ (2xy2 + 2y)dx + g(y)f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = 2x2y + 2x + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 2x2y + 2x2x2y + 2x + g’(y) = 2x2y + 2x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y2+ 2xy + c

x2y2+ 2xy = k

9) (exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0

Solución:(exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0



M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= excosy – 2senx = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= exseny – 2ysenx

f(x, y) = ∫ (exseny – 2ysenx)dx + g(y)f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = excosy +2cosx + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = excosy + 2cosx excosy +2cosx + g’(y)= excosy + 2cosx g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = exseny + 2ycosx + c

exseny + 2ycosx = k

10) (2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0

Solución:(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= 6xy2 + cosx = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= 2xy3 + ycosx

f(x, y) = ∫ (2xy3 + ycosx)dx + g(y)f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = 3x2y2 + senx + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x2y2 + senx 3x2y2 + senx + g’(y) = 3x2y2 + senx g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y3 + ysenx + c

x2y3 + ysenx = k

11) (Seny + ysenx + 1x

)dx + (xcosy – cosx + 1y

)dy = 0

Solución:

(Seny + ysenx + 1x

)dx + (xcosy – cosx + 1y

)dy = 0

M(x,y) N(x,y)



∂ M (x , y)∂ y

= senx + cosy = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= Seny + ysenx + 1x

f(x, y) = ∫ (Seny + ysenx + 1x

)dx + g(y)

f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = xcosy – cosx + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = xcosy – cosx + 1y

xseny – ycosx + lnx + g’(y) = xcosy – cosx + 1y

g’(y) = 1y

g(y) = lny

f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + lny

12) (y

1+ x2 + arctgy)dx + (

x1+ y2

+ arctgx) dy= 0

Solución:

(y

1+ x2 + arctgy)dx + (

x1+ y2

+ arctgx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂ M (x , y)∂ y

= y

1+ x2 + x

1+ y2 = ∂ N (x , y )




∂ f (x , y)∂ x

= y

1+ x2 + arctgy

f(x, y) = ∫ (y

1+ x2 + arctgy dx + g(y)

f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)

∂ y = arctgx +

x1+ y2 + g’(y), pero como:

∂ f (x , y)∂ y

= N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = x

1+ y2 + arctgx

arctgx + x

1+ y2 + g’(y) = x

1+ y2 + arctgx g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = yarctgx + xarctgy + cyarctgx + xarctgy = k

II) Factores Integrantes

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

Sol:



(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

M N∂ M (x , y)

∂ y = 2y ;

∂ N (x , y )∂x

= y

∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y )∂ x

N (x , y ) = f(x)

e∫f(x)dx es un fi2 y− y

xy = 1x

e∫1x dx es fi = elnx = x

x(x2 + y2 + x)dx + x2ydy M N∂ M (x , y)

∂ y = 2xy =

∂ N (x , y )∂ x

la ecuación diferencial es exacta.

Entonces :∂ f (x , y)

∂ x = M(x,y)

f(x,y) = x 44 +

x2 y22 +

x33 + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los

problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.∂ f (x , y)

∂ y = x2y + g’(y)

3x4 + 6x2y2 + 4x3 = k

2) (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0

Sol:(1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0

M N∂ M (x , y)

∂ y = - x2 ;

∂ N (x , y )∂ x

= - 3x2 + 2xy

∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y )

∂ xN (x , y )

= f(x)

e∫f(x)dx es un fi−x2+3 x2−2xy

x 2( y – x ) = - 2x

e∫- 2x dx es fi =

1x2

(1

x2¿ (1 – x2y)dx +

1x2x2(y – x)dy = 0

M N



∂ M (x , y)∂ y

= -1 = ∂ N (x , y )

∂ x la ecuación diferencial es exacta.

Entonces :∂ f (x , y)

∂ x = M(x,y)

f(x,y) = - 1x - xy + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas

anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.∂ f (x , y)

∂ y = -x + g’(y)

xy2 - 2x2y - 2= kx

3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=8 y3 xe4+2 xy4 e4+6 y2+1

∂M∂ y

=2 xy 4 ex−2 xy 2−3

(8 y3 xe4+2xy 4ey+6 y2+1−2 xy4 ex+2 xy2+3 )(2 xy 4 e4+2 xy3+ y )

=−4y=g( y )

e∫ g(x )= e−∫ 4 dy

y = 1y4

Luego:

1y4

(2 xy4 y4 e4+2 xy3+ y )dx+ 1y 4

( x2 y4 e4−x2 y2−3 y ) dy=0

M N

∂M∂ y

=2xe y−2 xy−2−3 y−4=∂N∂ x

=2 xe y−2 xy−2−3 y−4

∂ f ( x , y )∂ y

=M

f ( x , y )=∫(2 xe y+2xy

+1y3

)dx+g( y )

¿ x2e y+−x2

y+x

y3 +g( y )

N=∂ f ( x , y )

∂ y=x2e y−−3 x

y4 +g '( y )=x2 e y− x2

y2−3 xy4

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x2 e y+x2

y+x

y3 +C



4)

yx

dx+( y3−Lnx ) dy=0

M N

∂M∂ y

=1x≠ ∂N

∂ y=−1

x∂M∂ y

=1x=2

y=g( y )

e∫ g( y )=e∫2

ydy=1

y2

Luego:

1y2

. yx

dx+ 1y2

( y3−Lnx ) dy=0

M N

∂M∂ y

=−1y2 x

=∂ N∂ x

=−1y2 x

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(dxyx

+g( y )

¿ Lnxy

+g( y )

N=∂ f ( x , y )

∂ y=Lnx

y2 +g '( y )= y−Lnxy2

g '( y )= y⇒ g( y )=y2

2+C

∴ f ( x , y )=Lnxy

+ y2

2+C

5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=4 yx 3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2≠∂M∂ y

=4 xy+2

(4 y3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2−4 xy−2(2 xy 3+ x2+x2 y+x )

=4 x ( y2+x+ y3 )2( y3+x2 y+x )

=x=f ( x )



e∫ g( x )=e∫2 xdx=ex2

Luego: ex2(2 xy3 y2+4 x2 y+2 xy2 d+xy4 x+2 y ) dx+2 ex2

( y3+x2 y+x )dy=0

MN

∂M∂ y

=4 ex2 x3 y+4 ex 2 xy−4 ex 2x3 y3+2 ex2

∂N∂ y

=4 ex 2 x3 y+4 e x2 x2−4 e x2 xy+4 ex2 xy 3+2e x2

∂f ( x , y )dx

=M

f ( x , y )=∫(2ex2 y3+2ex2 x2 y3+2 ex2) dy+h( x )

¿ex 2 y4

2+ex 2 x2 y2+2 xex 2 y+h ( x )

M=∂ f ( x , y )

∂ x= ex 2 y4

2+ex 2 x2 y2−2 xee 2 y+h' ( x )=2 x3 ex 2 y2+4 ex2 x2 y+2 ex 2 xy2+ex 2 xy4+2 ex2 y

h ' ( x )=−ex2 y4

2−ex2 x2 y2−2 xee 2 y+2ex 2 x3 y2+4 ex 2 x2 y+2ex 2 x3 y2+e x 2 xy4+2 ex2 y

h (x )=−ex 2 y4

2−ex 2 y2

2+e x2 y2

2 x−ex 2 y+ex 2 x2 y2

2−3 e x2

4+2e x2 xy−2 ex 2

x+ex2 y

+e x2 y4

2+ex2 y

x

∴ f ( x , y )= ex2 y4

2+e

x 2y2+2 xex 2 y+h( x )

6) (xCosy-yseny) dx + (xSeny-yCosy) dy = 0

M N

∂M∂ y

=xCosy+Cosy− ySeny≠∂ N∂ x

=Cosy

xCosy+Cosy− ySeny−CosyxCosy− ySeny

=+1=f (x )

e∫ f (x )=e∫ dx=ex

Luego: ex2( xCosy− ySeny )dy+ex( xSeny− yCosy )dx=0

M N



∂M∂ y

=Cosyex x+ex Cosy−e x ySeny=∂N∂ x

=Cosyex x+ex Cosy−e x ySeny

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(ex xSeny+ex yCosy ) dy+g( y )¿ Senyex( x−1 )+ex yCosy+g( y )

N=∂ f ( x , y )

∂ y=Cosyex( x−1 )+e y Cosy . ehySeny+g '( y )=ex xCosy−ex ySeny

g’(y) = 0 g(y) = C

∴ f ( x , y )=Seny ex( x−1 )+e4 Cosy+C

7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0

M N

M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas

Luego:1

Mx+Ny= 1( x4+ y4 ) x−( xy 3 ) y

= 1xr

Entonces:1x5( x4+ y 4 ) dx− 1

x5( xy3 )dy=0

dfdx

dfdy

Integrando respecto a “x”:

f ( x , y )=Lnx− y4

4 x4+g( y )

N=∂ f ( x , y )

∂ y=− y3

x4 +g '( y )=− y3

x 4

g’(y) = 0 g(y) = C

∴ f ( x , y )=Lnx− y4

4 x 4 +C

8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.

Luego:

1y2 x+( x2−xy− y2 ) y

= 1y ( x2 y2)

Entonces:



y2dxy ( x2 y2 )

+( x2−xy− y2)y ( x2− y2 )

dy=0

∂Mdy

=x2+ y2

( x2 y2 )2=∂N

dx=x2+ y2

( x2 y2 )2

∂ f ( x , y )dx

=M

f ( x , y )=∫( yx2 y2 )dx+g( y )

f ( x , y )=12

Ln( x− yx ´+ y )+g( y )

N=∂ f ( x , y )

∂ y= −1

2( x− y )+ −1

2( x+ y )+g' ( y )=

(x2−xy− y2)y ( x2− y2)

g’(y) =

1y g(y) = Lny + C

∴ f ( x , y )=12

Ln( x− yx+ y )+Lny+C

10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0

(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0

∂Mdy

=4 xy+1∂Ndx

=1+4 xy−4 x3 y3

∂M∂ y

≠∂N∂ x

Usamos:∂M∂ y

−∂N∂ x

=N f ' (x )f ( x )

−M g ' ( y )g ( y )

4 x3 y3=( x+2x2 y−x 4 y3 )f ( x ' )f ( x )

−(2 xy2+ y ) g' ( y )g( y )

f ( x )'f ( x )

=−4x

→Lnf (x )=−4 Lnx f ( x )=x−4

g( y )'f ( x )

=−4x

→Lng( y )=−4Lnx g( x )= y−4



μ( x , y )= f ( x ). g( y )=1x4 . y4

M=1

x4.y 4

(2xy 2+ y )∂ M∂ y

=−2x3 y3 +

−3x4 y4

M=1

x4.y 4

(x+2 x2 y−x4 y3)∂N∂ x

=−2x3 y3 +

−3x4 y4

Ahora:∂M∂ y

=∂N∂ x∂+( x , y )∂ x

=1x4 y4 (2 xy2+ y )

f ( x , y )=∫(2 xy2+ y )x4 y 4

dx+g( y )=∫ d (−x−2

y2−−x−3

3 y3 )+g( y )

f ( x , y )=−x−2

y2 +−x−3

3 y3 +g( y )=−1x2 y2 −

13 y3 x3 +g( y )

∂ f ( x , y )∂ y

=2 x2 yx4 y4 +x

x4 y 4 +g ' ( y )

Pero:

∂ f ( x , y )∂ y

=N

2 x2 yx4 y4 + x

x4 y4 +g '( y )=xx4 y4 +

2x2 yx4 y 4 −x4 y3

x4 y 4

g '( y )=−1y

→ g( y )=Ln|y|+C

Reemplazamos:

f ( x , y )=− 1x2 y2

− 13 y3 x3

−Ln( y )+C

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0

ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:−2

3

−23(xdy+ ydx )+2 x3 y2 dy = 0

… en:

1x3 y3



−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 x3 y2 dy = 0

−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 x3 y2 dy

x3 y3 = 0

−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 dy

y= 0

∫ d (1( xy )

2 .13 )+∫d (2 Lny )=C

13 . 1

( xy )2+2 Lny=C

2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0

xdx+ ydx( x2+ y2 )

+4 y 3( x2+ y2 )dy( x2+ y2 )

=0

xdx+ ydx( x2+ y2 )

+4 y3 dy=0

12

d ( x2+ y2 )( x2+ y2)

+ d ( y 4 )=0

∫12

d ( x2+ y2 )( x2+ y2 )

+ ∫d ( y4 )=0

12

Ln|x2+ y2 |+ y4=C

3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0

xdy− ydxx2 −

(1−x2 )x2 dx = 0

xdy− ydxx2 −(1

x2 −1 )dx = 0

∫ d (xy)+∫d ( x+1

x)=C

yx+ x+1

x=C

4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0

Sabemos que: xdx + ydx =

12

d ( x2+ y2 )



xdy− ydx( x2+ y2 )2

+( x2+ y2)( x2+ y2)2

dx = 0

∫12

d ( x2+ y2 )( x2+ y2)

+∫dx=C

−12

1(x2+ y2)

+x=C

5)x(xdy+ydx) + √1−x2 y2 dx=0

x( xdy+ ydx )x√1−x2 y2

+ √1−x2 y2 dxx √1−x2 y2

=0

−12

x ( xdy+ ydx )

√1−x2 y2+−1

2x dx

x=0

∫ d (1−x2 y2)1/2 +∫ dxx=C

(1−x2 y2 )1/2+−Ln|x|

2=C

6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0

(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

[( x2+ y2 )− yx ]dx+[ y

x( x2+ y2 )+1]dy=0

( x2+ y2 )dx− yx dx+ y

x ( x2+ y2 )dy+dy=0

( x2+ y2 )( xdx+ ydy )x +

( xdx− ydy )x =0

( x2+ y2 ) ( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )=0

( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )( x2+ y2)

=0

∫12 d ( x2+ y2 )+∫d (arc Tg( y

x ) )=C

12( x2+ y2 )+arc Tg( y

x)=C

10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)



( x2+ y2 )( x2+ y2 )

( xdy+ ydx )−xy ( xdy− ydx )( x2+ y2)

=0

( xdy+ ydx )xy −

xy (xdy− ydx )xy (x2+ y2)

=0

( xdy+ ydx )xy

−( xdy− ydx )( x2+ y2)

=0

∫ d (Ln( xy )) −∫ d (arc Tg( yx) )=0

Ln( xy )−arc Tg ( yx )=C

11) xdy – ydx = x2√ x2− y2 dxxdy− ydx√x2− y2

=x2 √ x2− y2

√ x2− y2dx

xdy− ydx√x2− y2

−xdx=0

∫ d (arc Sen ( yx) )−∫d ( x2

2)=C

Arc Sen ( yx)−x2

2=C

12) x3dy – x2ydx = x5y dxxdy – ydx = x3y dx , para: x 0xdy− ydxxy

=x2 dx

dLn( yx)=( x3

3)

∫ dLn( yx)=∫ d (x3

3)+C

Ln( yx)=x3

3+C

13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0Multiplicamos por x2y

3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0 d(x3y3) + d(x4y3) = 0

∫ d (x3 y3 )+∫ d ( x4 y3 )=Cx3 y3+x4 y3=C

14) √ y2−1 (1− y √x2−1)dx+√x2−1 (1−x√ y2−1)dx=0



√ y2−1 y √ y2−1√x2−1 dx +√ x2−1 x √x2−1 . √ y2−1 dy=0√ y2−1+ √x2−1 −√ y2−1 √ x2−1 ( ydx+xdy )=0

Todo entre :1√ y2−1 √ x2−1

1dx√x2−1

+1 dy√ y2−1

−( ydx+xdy )=0

dx√x2−1

+ dy√ y2−1

−d (xy )=0

∫ dx√x2−1

+∫dy√ y2−1

−∫d ( xy )=C

Ln|x+√ x2−1|−Ln |y+√ y2−1|−xy=C

15)

dydx

=y (xy+1 )

y (1−x2)−2Para: x=1 , y=−2

y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dxydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydxydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dyydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy

ydy−d ( x2 y2

2 )=d( xy )

∫ ydy – ∫ d ( x2 y2 )

2=∫ d ( xy )+C

y2

2− y2 x2

2=xy+C

y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4

Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4

16) arseny dx +

x+2√1− y2 Cosy dy√1− y2

=0

arseny dx+ xdy√1− y2

+ 2Cosydy=0

d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0∫ d(x . arcseny) + ∫ 2Cosydy = Cx . Arcseny + 2Seny = C



PRACTICA N° 05

Ecuaciones Lineales:



1.dydx

+2 xy=4 x

y ¿e−∫2 x dx [∫ e∫2 xdx (4 x ) dx+c ]y ¿e−x2 [∫ ex2

( 4 x ) dx+c ]y ¿e−x2 [2e x2

+c ]y=2[1+ c

ex2 ]2. xdy

dx= y+x3+3 x2−2 x

dydx

− yx=x3+3 x2−2 x

y ¿e−∫− x−1 dx [∫e∫−x−1 dx (x3+3 x2−2x )dx+c ]

y=x [∫ 1x

( x3+3 x2−2 x )dx+c]

y=x [∫ (x2+3 x❑−2 )dx+c]

y=x [ x3

3+3 x2

2−2 x+c ]

3- ( x−2 ) dydx

= y+2(x−2) dydx

− y (x−2)−1=2(x−2)2

y=e−∫−(x−2)−1 dx [∫ e∫−( x−2)−1 dx (2(x−2)2 )dx+c ]y=(x−2)[∫(x−2)−1 (2(x−2)2) dx+c]

y=(x−2)[∫ (2(x−2)1) dx+c]y=(x−2)[x2−2 x+c ]

y=x3−4 x2+cx+4 x−2 c

4- dydx

+ yctg( x)=5ecos ( x) para: x=π/2 & y= -4

y ¿e−∫ctg (x)dx [∫e∫ctg (x)dx (5 ecos (x))dx+c ]y ¿e−ln (sen ( x ))¿

y ¿sen (x)−1[∫sen (x) (5 ecos (x ))dx+c]y ¿ sen (x)−1[−5ecos (x)+c]

y=−5 ecos (x)sen (x)−1+c s en(x)−1

−4=−5ecos (π /2)sen(π /2)−1+c sen (π /2)−1

Despejando C: −4=−5+c

c=1 La ecuación es: y=−5ecos (x)sen (x)−1+sen(x )−1



5- x3 dydx

+ (2−3 x2 ) y=x3 dydx

+( 2x3−

3x1 ) y=1

y=e−∫ ( 2

x3−3x1 )dx

[∫e∫ ( 2

x3 −3x1 )dx

(1 ) dx+c]y=ex−2

x3[∫ e−x−2

x−3 dx+c ]

y=ex−2

x3[ 12

e−x−2

+c]

y=x3 12+c ex−2

x3

6- ( x−ln ( y ) ) dydx

=− yln( y ) dydx

+x ( yln ( y ))−1= y−1

x=e−∫ ( yln ( y ))−1 dy [∫ e∫( yln ( y ))−1 dy ( y−1 )dy+c ]x=e− ln (lny )[∫ e ln (lny) ( y−1 )dy+c ]

x= 1lny

[∫ lny ( y−1 )dy+c ]

x= 1lny

[( lny)2

2+c ]

x=(lny )1

2+ 1

lnyc

7- dydx

−2 yctg (2 x )=1−2 xctg (2 x )−2 csc (2x )

y=e−∫−2 ctg (2 x ) dx[∫e∫−2ctg (2 x ) dx (1−2 xctg (2 x )−2csc (2 x ))dx+c ]y=e ln (sen (2 x ))[∫ e−ln (sen (2 x )) (1−2 xctg (2 x )−2 csc (2 x))dx+c ]

y=sen (2 x )[∫(csc(2 x)−2 xctg (2 x ) csc (2 x)−2 (csc (2 x ) )2)dx+c ]

y=sen (2 x )[ln|csc (2 x )−ctg (2 x )|

2+xcsc (2x )−

ln|csc (2 x )−ctg (2x )|2

+ctg (2x )+c ]

y=sen (2 x )[xcsc (2 x )+ctg (2 x )+c ]y=x+cos (2 x)+sen(2 x)c

8- dydx

+2 y=x2+2 x

y=e−∫2dx[∫e∫2 dx (x2+2 x )dx+c ]y=e−2 x [∫ e2 x (x2+2x )dx+c ]

y=e−2 x [e2 x ( x2+2 x )

2−1

2∫ e2 x (2 x+2 )dx+c ]

y=e−2x [e2 x ( x2+2 x )

2−1

2(( x+1 ) e2 x−∫ e2 x dx )+c ]



y=e−2x [e2 x ( x2+2 x )

2−1

2(( x+1 ) e2 x−∫ e2 x dx )+c ]

y=e−2 x [e2 x ( x2+2 x )

2−1

2(( x+1 ) e2 x−1

2e2 x)+c ]

y= x2

2+ x

2−1

2+c e−2 x

9- xln ( x ) dydx

− y=x3(3 ln ( x )−1) dydx

−(xln(x ))−1 y=( xln (x ) )−1( x3 (3 ln ( x )−1 ))

y=e−∫−(xln( x))−1 dx [∫ e∫−( xln(x))−1 dx ((xln ( x ))−1(x3 (3 ln ( x )−1 )))dx+c ]

y=e ln (ln (x ))[∫ e∫−ln (ln ( x ))dx ( (xln ( x ) )−1(x3 (3 ln ( x )−1 ))) dx+c ]

y=ln (x )[∫ (xln ( x ) )−1 ( (xln ( x ) )−1(x3 (3 ln ( x )−1 ))) dx+c ]y=ln (x )[∫ (xln ( x ) )−2 ( x3 (3 ln ( x )−1 ) )dx+c ]

y=ln (x )[ x3

ln (x)+c ]

y=x3+c . ln(x )

10- dydx

+Q ( x )´ y−Q (x ) Q (x ) ´=0 dydx

+Q ( x )´ y=Q (x ) Q (x ) ´

y=e−∫Q ( x ) ´ dx[∫e∫Q ( x )´ dx (Q ( x )Q ( x )´ )dx+c]y=e−Q ( x ) [∫ eQ ( x ) (Q ( x )Q ( x )´ )dx+c ]

y=e−Q ( x ) [eQ (x )Q ( x )−eQ ( x )+c ]y=Q ( x )−1+c e−Q ( x )

11-dydx

= 1xsen ( y )+2 sen(2 y )

dxdy

−xsen ( y )=2 sen(2 y)

x=e−∫−sen ( y ) dy[∫e∫−sen ( y )dy (2 sen(2 y ))dy+c ]x=e−cos ( y)[∫ ecos ( y) (2 sen(2 y ))dy+c]x=e−cos ( y)[ecos ( y )−ecos ( y)cos ( y )+c ]

x=1−cos ( y)+e−cos ( y)c

12- dydx

− yctg (x )=2 x−x2 ctg(x)

y=e−∫−ctg (x)dx [∫ e∫−ctg( x)dx (2 x−x2 ctg(x )) dx+c]y=e ln ∨ sen( x )∨¿ ¿¿

y=sen (x)[∫ csc(x )(2 x−x2 ctg( x))dx+c ]y=sen (x)[∫ csc (x )2 x−x2ctg(x )csc (x)dx+c ]

y=sen (x)[ x2csc (x )+c ]y=x2+csen (x)



Dato: y ( π2)= π

4

2

+1

x= π2

, c=1

Entonces la ecuación es : y=x2+sen(x )

13- (1+x2 ) ln (1+ x2 ) dydx

−2 xy=ln (1+x2 )−2 xarctg(x )

dydx

− 2 xy(1+x2 ) ln (1+x2 )

= 1(1+x2 )

−2xarctg (x)

(1+x2 ) ln (1+x2 )

y=e−∫ −2 x

(1+x2) ln ( 1+ x2 )dx

[∫ e∫ −2 x

(1+x2) ln (1+ x2 )dx( 1

(1+x2 )−

2 xarctg (x)(1+x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]

y=e ln ∨ln (1+x2)∨¿ ¿¿

y=ln (1+x2) [∫ 1ln (1+x2)( 1

(1+x2 )− 2 xarctg (x)

(1+ x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]

y=ln (1+x2)¿

y= ln (1+x2) [∫ dxln (1+x2 ) (1+x2 )

−∫ 2 xarctg ( x )(1+x2) ln (1+x2 )2

dx+c ]

y=ln (1+x2) [∫ dxln (1+x2 ) (1+x2 )

+arctg ( x )

ln (1+x2 )1−∫ dx

ln (1+x2) (1+x2 )+c ]

y= ln (1+x2) [arctg (x )

ln (1+x2 )1+c ]

y=arctg ( x )+ ln (1+x2)c

14- dydx

−2 xy=cosx−2xsenx

y=e−∫−2x dx [∫ e∫−2x dx (cosx−2 xsenx )dx+c ] y=ex2

[∫e x−2

(cosx−2 xsenx ) dx+c]y=ex2

[∫e x−2

co s x dx−∫ex−2

2xsenx dx+c]y=ex2

[senx . ex−2

+∫ ex−2

2 xsenx dx−∫e x−2

2 xsenx dx+c ]y=ex2

[senx . ex−2

+c ]y=senx+ex2

c

15- dydx

= 1ey−x

dxdy

+x=e y

x=e−∫ dy[∫e∫dy (e y) dy+c]x=e− y[∫e y (e y )dy+c ]

x=e− y[∫e2 y dy+c]



x=e− y[ e2 y

2+c ]

x= e y

2+e− y c

II.Ecuaciones de bernoulli:

1- dydx

− y=x y5 multiplicando por y−5 y−5 dydx

− y−4=x

multiplicando por -4 -4 y−5 dydx

− y−4=x

tomando y−4=z −4 y−5 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma :dzdx

+4 z=−4 x

z=e−∫ 4dx [∫ e∫ 4dx (−4 x )dx+c ]z=e− 4x [∫ e4 x (−4 x ) dx+c ]

z=e−4 x [ e4 x

4−xe4 x+c ]

z=14−x+ce− 4x

y− 4=14−x+ce−4 x

2- dydx

+2 xy+x y 4=0 dydx

+2 xy=−x y4 multiplicando por y−4

y−4 dydx

+2x y−3=−x multiplicando por -3 −3 y−4 dydx

−6 x y−3=−3 x

Tomando y−3=z −3 y−4 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx

−6 xz=−3 x

z=e−∫−6x dx [∫ e∫−6 xdx (−3 x )dx+c ]z=e3 x [∫e−3 x (−3 x )dx+c ]

z=e3x [e−3 x+ e−3 x

3+c ]

z=1+ 13+e3 x c

y−3=1+ 13+e3 x c

3- dydx

+ 13

y=13(1−2x ) y 4 multiplicando por y− 4 y−4 dy

dx+ 1

3y−3=1

3(1−2 x)

multiplicando por -3 −3 y−4 dydx

− y−3=(2 x−1)



Tomando y−3=z −3 y−4 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:

dzdx

−z=2x−1

z=e−∫−1 dx[∫e∫−1dx (2 x−1 ) d x+c ]z=ex [∫e− x (2 x−1 ) dx+c]

z=ex [2e−x x−e− x+c ]z=2 x−1+ex c

y−3=2x−1+ex c

4- dydx

+ y= y2 ( cosx−senx ) multiplicando por y−2 y−2 dydx

+ y−1=(co sx−senx )

multiplicando por -1 − y−2 dydx

− y−1=( senx−cosx )

tomando y−1=z − y−2 dy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx

−z=senx−cosx

z=e−∫−1 dx[∫e∫−1 dx ( senx−cosx ) dx+c]z=ex [∫e− x ( senx−cosx )dx+c ]

z=ex [−e−x senx+c ]z=−senx+ex c

y−1=−senx+ex c

5- xdy−[ y+x y3 (1+lnx ) ]dx=0 dydx

− y x−1= y3 (1+lnx ) multiplicando por y−3

y−3 dydx

− y−2 x−1=1+lnx multiplicando por −2

−2 y−3dydx

+2 y−2 x−1=−2−2 lnx

tomando y−2= z −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx

+2 z x−1=−2−2 lnx

z=e−∫ 2x−1 dx [∫e∫2 x−1 dx (−2−2 lnx ) dx+c ]z=e−2 lnx[∫e2 lnx (−2−2 lnx ) dx+c]

z=x−2[∫ x2 (−2−2lnx )dx+c ]

z=x−2 [−2( x3

3(1+ lnx )− x3

9)+c ]

z=−2 x (1+lnx )3

+ 2 x9

+c x−2

y−2=−2 x (1+lnx )

3+ 2 x

9+c x−2



6- 2 xdy+2 ydx=x y3 dx dydx

+ y x−1= y3

2 multiplicando por y−3

y−3 dydx

+ y−2 x−1=12

multiplicando por −2 −2 y−3dydx

−2 y−2 x−1=−1


−2 z x−1=−1

z=e−∫−2 x−1 dx [∫ e∫−2 x−1 dx (−1 ) dx+c ]z=e2 lnx [∫ e−2 lnx (−1 )dx+c ]

z=x2[∫ x−2 (−1 ) dx+c ]z=x2[ x−1+c]y−2= x+x2 c

7- dydx

= xyx2+ y3

dxdy

−xy= y3 x−1 multiplicando por x xdxdy

−x2 y= y3

multiplicando por 2 2 xdx

dy−2 x2 y=2 y3 tomando x2=z 2 xdx=d z

entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdy

−2 zy=2 y3

z=e−∫−2 y dy [∫e∫−2 y dy (2 y3 )dy+c ]z=ey2

[∫ e− y2

(2 y3 )dy+c ]z=ey2

[− y2 e− y2

−e− y2

+c ]x2=− y2−1+ey2

c

8- y2 ( y6−x2 ) y =2 x dxdy

+ y2

2x= y8

2x−1 multiplicando por x xdx

dy+ y2

2x2= y8

2

multiplicando por 2 2xdx

dy+ y2 x2= y8 tomando x2=z 2 xdx=d z


+ y2 z= y8

z=e−∫ y2 dy[∫e∫ y2 dy ( y 8) dy+c]

z=e− y3

3 [∫ey3

3 ( y 8)dy+c]

z=e− y3

3 [9( y6

9−2 y3

3+2)e

y3

3 +c ]

x2= y6−6 y3+18++18 e− y3

3 c



9- ydx+( x− x3 y2 )dy=0 dx

dy+ 1

yx= x3

2 multiplicando por x−3 x−3dx

dy+ 1

yx−2=1

2

multiplicando por -2 2x−3 dxdy

+ 2y

x−2=1 tomando x−2=z −2 x−3 dx=d z


−2y

z=−1

z=e−∫−2

y dy[∫e

∫−2y dy

(−1 )dy+c]z=e2 lny[∫ e−2 lny (−1 )dy+c]

z= y2[∫ y−2 (−1 ) dy+c]z= y2 [ y−1+c ]x−2= y1+ y2 c

10- 3 xdy= y (1+xsenx−3 y3 senx )dx dydx

−1+xsenx3 x

y=−senxx

y4 multiplicando por

y− 4 y−4 dydx

−1+ xsenx3 x

y−3=−senxx

multiplicando por -3

−3 y−4 dydx

+ 1+xsenxx

y−3=3 senxx

tomando y−3=z −3 y−4 dy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx

+ 1+xsenxx

z=3 senxx

z=e−∫ 1+xsenx

x dx[∫ e

∫ 1+xsenxx dx (3 senx

x )dx+c ]

z=elnx+cosx [∫e lnx−cosx (3 senxx )dx+c ]

z= ecosx

x[3∫ e−cosx senx dx+c ]

z= ecosx

x[3e−cosx+c ]

y−3=3x+ cecosx

x

11- 3 x dydx

−2 y= x3

y2 dydx

−2 y3 x

= x2

3 y2 multiplicando por y2 y2dydx

−2 y3

3 x= x2

3

multiplicando por 3 3 y2dydx

−2 y3

x=x2 tomando y3=z 3 y2 dy=d z

entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx

−2x

z=3 x2

z=e−∫−2

x dx[∫e

∫−2x dx

(3 x2 )dx+c ]z=e2 lnx[∫ e−2 lnx (3 x2 )dx+c ]

z=x2[∫ x−2 (3 x2 )dx+c]z=x2[ x+c]



y3=x3+c x2

12- (2 x y3− y )dx+2 xdy=0 dydx

− 12 x

y=− y3 multiplicando por y−3

y−3 dydx

− 12 x

y−2=−1 multiplicando por -2 −2 y−3 dydx

+ 1x

y−2=2


+ 1x

z=2

z=e−∫ 1

x dx[∫e

∫ 1x dx

(2 )dx+c ]z=e−lnx [∫e lnx (2 ) dx+c]

z=1x[∫ x (2 ) dx+c ]

z=1x[ x2+c ]

y−2= x+ 1x

c

13- 2 y dydx

+ y2ctgx=cscx dydx

+ ctgx2

y= cscx2

y−1 multiplicando por y

ydydx

+ ctgx2

y2= cscx2 multiplicando por 2

2 ydydx

+ctgx y2=cscx

tomando y2=z 2 ydy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx

+ctgxz=cscx

z=e−∫ ctgxdx [∫ e∫ ctgxdx ( cscx ) dx+c]z=e− ln (senx )[∫ eln (senx) (cscx )dx+c ]

z=cscx [∫ senx (cscx ) dx+c ]z=cscx [x+c ]

y2=x . cscx+c .cscx

14- dyd x

+ yx+1

=−12

(x+1)3 y2 multiplicando por y−2 y−2 dydx

+ y−1

x+1=−1

2(x+1)3

multiplicando por -1 − y−2 dydx

− y−1

x+1=1

2(x+1)3 tomando y−1=z − y−2 dy=dz

entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx

− zx+1

=12(x+1)3

z=e−∫ −1

x+1 dx[∫ e

∫ −1x+1 dx (12 (x+1)3)dx+c ]

z=eln (x+1)[∫e−ln ( x+1)( 12(x+1)3)dx+c ]

z=(x+1)[∫ 1(x+1) ( 1

2(x+1)3)dx+c ]



z=(x+1)[ 12∫(x+1)2 dx+c ]

z=(x+1)[ 16( x+1)3+c ]

y−1=16(x+1)4+(x+1)c

PRACTICA Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO


N° 06

I.Indendencia lineal de funciones:En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no, linealmente independiente.( por definición algebraica ).

1- f 1 (x )=¿ e x ,f 2( x )=¿e−x¿¿ de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0

∝1e x+∝2 e−x=0 …(1) Derivando ∝1e x−∝2 e− x=0 …(2)

Sumando (1)+(2) : 2∝1 ex=0 ∝1=0 y ∝2=0 ; entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2(x) .

2- f 1 (x )=¿ e x ,f 2( x )=¿2 ex , f3 (x )=¿e−x ¿

¿ ¿ de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0

∝1e x+2∝2ex+∝3 e−x=0 …(1) Derivando ∝1e x+2∝2ex−∝3 e− x=0 …(2)

Sumando (1)-(2) : 2∝3 e− x=0 ∝3=0 y ∝1=−2∝2 ; entonces no son linealmente

independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x )3- f 1 (x )=x , f 2 (x )=2 x , f 3 ( x )=x2 de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0∝1 x+2∝2 x+∝3 x2=0 Derivando ∝1+2∝2+2∝3 x=0 Derivando2∝3=0 ∝3=0 y ∝1=−2∝2 ; entonces no son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ) .

4- f 1 (x )=sen (ax ) , f 2 (x )=cos (ax ) de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0∝1 sen (ax )+∝2cos (ax )=0 Derivando a∝1cos (ax )−a∝2 sen (ax )=0 ∝1

2=−∝22 ; entonces no son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ).

5- f 1 (x )=1 , f 2 ( x )=x , f 3 ( x )=x2 de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0



∝1+∝2 x+∝3 x2=¿ 0 Derivando ∝2+2∝3 x=0 Derivando 2∝3=0 ∝3=0 ,∝2=0 y∝1=0; entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ) .

6- f 1 (x )=eax sen (bx ) , f 2( x )=eax cos (bx) de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0∝1eax sen (bx )+∝2eax cos (bx )=0 Derivando

(a∝1−b∝2 )eax sen (bx )+(b∝1+a∝2)eax cos (bx )=0 2b∝1∝2=a(∝12−∝2

2)Como ∝1

2=−∝22 entonces : b∝2=a∝1 ; entonces no son linealmente independiente

f 1 ( x ) , f 2 (x ) ..

7- f 1 (x )=¿ eax, f 2 (x )=¿ ebx , f3 (x ) =¿ ecx ,a≠ b≠c ¿

¿ ¿ de la forma

∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0 eax∝1+ebx∝2+ecx∝3=0

e(a−c) x∝1+e(b−c) x∝2+∝3=0 derivando (a−c )e(a−c)x∝1+(b−c)e(b−c)x∝2=0∝3=0 , (a−c )e(a−b)x∝1+(b−c)∝2=0 , ∝2=0 ; derivando

(a−b)(a−c )e(a−b)x∝1=0, ∝1=0 ;entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ).

8- f 1 (x )=lnx , f 2 ( x )=x .lnx , f 3 (x )=x2 . lnx de la forma

∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0 lnx∝1+x .lnx∝2+x2 . lnx∝3=0

Derivando 1x∝1+lnx∝2+∝2+2 x . lnx∝3+x∝3=0 , ∝2=0

Derivando −1x2 ∝1+2 lnx∝3+2∝3+∝3=0 , ∝3=0 y ∝1=0

entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ).

II. Wronskiano; hallar el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones:1- 1 , x , x2 ,…, xn−1 n>1 Generalizando : para 1 , x : para 1 , x , x2 : para 1 , x , x2 , x3 :

|1 x0 1|=1 (1 x x2

0 1 2 x0 0 2 ) = 2 ( 1 x x2 x3

0 1 2x 3 x2

0 02 6 x0 0 0 6

)=12

Entonces :

(1 ⋯ xn−1

⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ (n−1 ) !)= 0! 1! …(n-1)! = W

2- emx , enx m , n∈Z m≠ n

| emx enx

memx nenx|= (n−m ) e (m+n) x=W

3- sen (hx ) , cos (hx )

| sen (hx ) cos (hx )cos (hx ) sen (hx ) |=sen (hx )2−cos (hx )2=−1=W

4- x , xex



|x xe x

1 xex+e x|=x2ex+xex−xex=x2 ex=W

5- ex senx , ex cosx

| ex senx ex cosxex senx+ex cosx ex cosx−ex senx|¿ex senx(e¿¿ x cosx−ex senx)−ex cosx (ex senx+ex cosx )=−e2 x=W ¿

6- 1+cos (2 x ) , (cosx)2

|1+cos (2x ) (cosx)2

−2 sen(2 x) −cos (2 x )|=−cos (2x )−cos (2x )2+(cosx )2 2 sen (2 x )=0=W

7- e− x , xe−x

| e−x xe−x

−e−x e− x−xe−x|=e−x (e¿¿−x−xe¿¿−x)+xe−2x=e−2 x=W ¿¿

8- 1 , e−x ,2 e2 x

(1 e− x 2 e2x

0 −e− x 4 e2 x

0 e− x 8 e2x )=−8 ex−4 ex=−12 ex=W

9- 2 , cos ( x ) ,cos (2 x )

(2 cos (x ) cos (2 x )0 −sen (x) −2 sen (2 x )0 −cos (x ) −4 cos (2 x ))=2 sen ( x ) 4 cos (2 x )+2 cos ( x ) cos (2 x )=−8(senx)3=W

10- - e−3 x sen (2x ) , e−3 x cos (2 x )

| e−3 x sen (2 x ) e−3 x cos (2 x )−3 e−3 x sen (2 x )+2cos (2 x )e−3 x −3e−3 x cos (2 x )−2 sen(2 x)e−3 x|¿e−3 x sen (2 x ) (−3 e−3 x cos (2 x )−2 sen (2x ) e−3 x )−e−3x cos (2x ) (−3e−3 x sen (2 x )+2cos (2 x ) e−3 x )=−2 e−6x=W

III.Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes:1- lnx , xlnx

|lnx xlnx1x

1+lnx|= lnx+lnx2−lnx=lnx2≠ 0 entonces las funciones : lnx , xlnx son

linealmente independientes.

2- 1 , e−x ,2 e2 x



(1 e− x 2 e2x

0 −e− x 4 e2 x

0 e− x 8 e2x )¿−8 ex−4 ex=−12 ex ≠ 0 entonces las funciones : 1 , e−x ,2 e2 x son

linealmente independientes.

3- x1/2 , x1/3

| x1 /2 x1/3

x−1/2

2x−2 /3

3 |= x−23

3( x

12)−( x

−12

2)(x¿¿ 1

3)=−x

−16

6≠ 0 para x≠ 0 ¿

entonces las funciones : x1/2 , x1/3 son linealmente independientes.

4- eax sen (bx ) ,eax cos (bx )b ≠ 0

| eax sen (bx ) eax cos (bx )a eax se n (bx )+beax cos (bx ) aeax cos (bx )−beax sen (bx )|=¿

eax sen (bx ) (aeax cos (bx )−beax sen (bx ) )−eax cos (bx ) (a eax sen (bx )+beax cos (bx ) )=−b e2 ax ≠ 0 entonces las funciones : eax sen (bx ) ,eax cos (bx ) son linealmente independientes.

5- 1 ,(senx)2 ,1−cosx

(1 (senx)2 1−cosx0 sen(2 x) senx0 2cos (2 x ) cosx )=sen (2 x ) cosx−2cos (2 x ) senx=2(senx)3 ≠ 0 ,para x≠ 0

entonces las funciones : 1 ,(senx)2 ,1−cosx son linealmente independientes. 6- ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) ,1

|ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) 11

x−1− 1

x+10|=0− 1

x−1+ 1

x+1= −2

x2−1≠ 0 , para x≠ 1

entonces las funciones : ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) ,1 son linealmente independientes.

7- 2√1−x2 , x

| 2√1−x2 x−x (1−x2)−1 /2 1|= 2√1−x2+x2(1−x2)−1/2=(1−x2)−1 /2 ≠0 , para x≠ 1

entonces las funciones : 2√1−x2 , xson linealmente independientes.

8- sen( x2 ) ,(cosx)2



| sen( x2 ) (cosx)2

12

cos ( x2) −sen(2 x)|=−sen (2 x ) sen ( x

2 )−(cos x )2 12

cos ( x2)≠ 0

entonces las funciones : sen( x2 ) ,(cosx)2son linealmente independientes.

9- x2 , x4 , x8

( x2 x4 x8

2 x 4 x3 8 x7

2 12 x2 56 x6)=224 x11+24 x11+16 x11−8 x11−96 x11−112 x11=48 x11≠ 0

para x≠ 0 entonces las funciones : s x2 , x4 , x8son linealmente independientes.

10- ex , xex , x2 ex

(ex x ex x2 ex

ex x ex+ex x2 ex+2x ex

ex xex+2ex x2 ex+4 x ex+2e x)=¿

ex (x ex+ex)(x¿¿2 e¿¿ x+4 x ex+2ex )+ex (x ex+2 ex )x2 ex+ex x ex (x2ex+2 xe x)¿¿−ex (x ex+ex )x2 ex−ex (x ex+2e x) (x2 ex+2x ex )−e x x ex(x¿¿2 e¿¿ x+4 x ex+2ex )=2 e3 x¿¿entonces las funciones : ex , xex , x2 exson linealmente independientes.

IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)

1) SI XE [ -1,0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0 → ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 →0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0

UROSKIANO EN [-1,0]

X2 0

2X 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X


= 0=

= 0=

f1 y f2 Son L.I.


2) SI XE [0, 2] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 0 + ∝2 (X-2)2 = 0 ∝2 = 0

Si XE [2, 4] → ∝1 f1 (0) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 (X-2)2 + 0 = 0 ∝1 = 0

WROSKIANO EN [-0,2]

0 (X-2)2

0 2(X-2)

WROSKIANO EN [2,4]

(X-2)2 0

2(X-2) 0

3) SI XE [-2, 0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 X3 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0

WROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0 X2 0 < x < 1 X2 0 < x < 1


= 0

= 0

W=

W=

4

0 2 4

= 0W=

= 0W=

f2= (X) 4) f1=

f1 y f2 Son L.I.

f1 y f2 son L.I.

-2 0 1

-8

1

1 0 -3 2


SI XE [-1,0] → ∝1 X2 - ∝2 X2 = 0 (X) = 0

→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 f1 y P2

→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0 son L.I.

UROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

V) DEMOSTRACIONES

1)

3)

-2


1 0 -3

1 0 -3 2

2

1 -1 -3 5

r=1

= 0W=

= 0W=-1

1

-1 -1


PRACTICA N° 07

I) Ecuaciones diferenciales Lineales Homogeneas

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.A) Raíces reales distintas:

1) y’’ + 2y’ – 15y = 0

Sol: Sea: P(r) = r2 + 2r – 15 = 0 r1= 3, r2= -5Solución general:y = c1e3x + c2e-5x

2) y’’’ + y’’ – 2y’ = 0

Sol:Sea: P(r) = r3 + r2 – 2r = 0 r1= 0, r2= -2, r3=1Solución general:y = c1 + c2e-2x + c3ex



3) y’’ – y =0

Sol:Sea: P(r) = r2 - 1 = 0 r1= 1, r2= -1Solución general:y = c1ex + c2e-x

4) y’’ + y’ – 6y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 + r - 6 = 0 r1= 2, r2= -3Solución general:y = c1e2x + c2e-3x

5) y’’ – 3y’ + 2y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 - 3r + 2 = 0 r1= - 2, r2= -1Solución general:y = c1e-2x + c2e-x

6) y’’’ – 2y’’ – y’ + 2y = 0

Sol:Sea: P(r) = r3 - 2r2 – r + 2 = 0 r1= 2, r2= -1,r3= 1Solución general:y = c1e2x + c2e-x + c3ex

7) y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0

Sol:Sea: P(r) = r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0 r1= 6, r2= -1, r3= 1Solución general:y = c1e6x + c2e-x + c3ex

8) y’’’ – y’’ – 12y’ = 0

Sol:Sea: P(r) = r3 - r2 - 12r = 0 r1= 0, r2= -3, r3= 4Solución general:y = c1

+ c2e-3x + c3e4x

9) y’’ – 4y’ + y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 - 4r + 1 = 0 r1= 2 + √ 3 i

2, r2= 2 -

√ 3 i2

Solución general:

y = c1e2xcos√ 3 i

2 + c2e2xsen(-

√ 3 i2

)

10) 2y’’’ – 7y’ – 2y = 0

Sol:

Sea: P(r) = 2r3 - 7r - 2 = 0 r1= -1 + √ 22

r2= -1 - √ 22

,r3= 2

Solución general:



y = c1e-1 - √ 22

x + c2e-1 + √ 22

x + c3e2x

A) Raíces múltiples

1. y ´´´ −3 y `+3y´` - `y`=````0`} {¿

Ecuación característica

λ3 − 3 λ2 +3 λ − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ = 1

Raíces de la ecuación de múltiplicidad 3

La solución general es:y = C1 ex + C2 x ex + C3 x2 ex

3. yIV − yI II −9 y II − 11 y I −4 y = 0

Ecuación característica:

λ4 − 3 λ3 −9 λ2 −11 λ − 4 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 ( λ−4 ) = 0λ =−1λ = 4

Raíz de la multiplicidad 3

1 -1 -9 -11 -4

-1 -1 2 7 4

-11

-2-1

-73

-44

0

-11

-3-1

-44

0

1 -4 0

La solución general es:y = C1 e− x + C2 x e−x + C3 x2 e−x+ C4 e4 x

5. yIV −6 yII +12 y II − 8 yI= 0


λ ( λ3 − 6 λ2 +12 λ − 8) = 0 ⇔ λ ( λ − 1 )3 = 0λ = 0λ =2 Raíz de multiplicidad 31 -6 +12 -8



1 2 -8 8

21

-42

4-4

0

1 -2 0

La solución general es:y = C1 + C2 e2 x + C3 x e2 x+ C4 x2 e2 x

7. yIII +3 y II +3 yI + y= 0


λ3 + 3 λ2 +3 λ +1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ =−1

Raíz de multiplicidad 3La solución general es:

y = C1 e−x + C2 x e−x+ C3 x2e− x

9. yIV −8 yII +16 y 0


λ4 − 8 λ2 +16 = 0 ⇔ ( λ2 −4 ) ( λ2−4 ) = 0λ2 − 4 ( λ+2)( λ−2)( λ+2)( λ−2) = 0λ2 −4 ( λ+2)2 ( λ−2)2 = 0

λ =−2 Raíz de multiplicidad 2λ = α Raíz de multiplicidad 2

La solución general es:y = C1 e−2 x + C2 x e−2 x+ C3 x2 x + C4 xe2 x

B) Raíces complejas :

1) y’’ + y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 + 1 = 0 r1= i , r2 = -i Solución generaly = c1cosx + c2senx

2) y’’ – 2y’ + 10y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 – 2r + 10 = 0 r1= −1+√ 39 i

2, r2 =

−1−√ 39i2

Solución general

y = c1 e-x/2cos√ 39

2x + c2 e-x/2 sen

√ 392

x



3) y’’ + 4y’ = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 0, r2 = - 4Solución generaly = c1 + c2 e-4x

4) y’’ + 25y’ = 0

sol:

Sea: P(r) = r2 + 25r = 0 r1= −1+√ 3 i

2, r2 =

−1−√ 39i2

Solución general y = c1 + c2

e-25x 5) y’’ – 4y’ + 13y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 2 + 3i, r2 = 2 – 3iSolución generaly = c1e2xcos3x + c2 e2xsen3x

6) y’’ + y’ + y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + r + 1 = 0 r1= −1+√ 3 i

2, r2 =

−1−√ 3i2

Solución general

y = c1e-x/2cos√ 32

, x + c2 e-x/2sen√ 32

, x

7) y’’ + 2y’ + 2y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 + 2r + 2 = 0 r1= - 1 + i, r2 = - 1 - iSolución generaly = c1e-xcosx + c2 e-xsenx

8) y’’ – 2y’ + 4y = 0

Sol:Sea: P(r) = r2 - 2r + 4 = 0 r1= 1 + √3i, r2 = 1 - √3iSolución generaly = c1excos√3x + c2 exsen√3x

9. y} } ` - 2y´`+4y`=```0} { ¿¿¿Ecuación característica



λ2 −2 λ + 4 = 0

λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)( 4 )2(1 )

λ = 2 ± √−122

λ = 2 ± 2√ 3 i2

¿ {λ1 = 1+√3 i ¿¿¿La solución general es:

y = C1 ex cos(√3 x ) + C2 e x sen (√3 x )

10. y} } ` - `6y´`+25 y`=```0} {¿ ¿¿


λ2 −6 λ + 25 = 0

λ =−(−6) ± √(−6 )2−4 (1)(25)2(1 )

λ = 6 ± √ 36 − 1002

λ = 6 ± √−642

¿ {λ1 = 3+4 i ¿ ¿¿

La solución general es:

y = C1 e3 x cos (4 x ) + C2 e3 x sen ( 4 x )

B) Raíces de cualquier índole

1. y

III+4 y I = 0


λ3 +4 λ = 0λ ( λ2 + 4 ) =0 λ = 0 λ=2 i λ=−2 iRaíces de la ecuación .

La solución general es:y = C1 + C2 cos (2 x ) + C3 sen (2 x )

2. y

III− y

II

+ yI

− y = 0Ecuación característica



λ3 − λ2+ λ − 1 = 0λ2 ( λ + 1 ) + ( λ+1)=0 ( λ −1) ( λ2+1) =0

λ = 1 λ=i λ =−iRaíces de la ecuación .

La solución general es:y = C1ex + C2 cos x + C3 sen x

3. y

IV− y = 0


λ4 − 1 = 0( λ2+ 1) ( λ2−1 )=0λ = i λ=−i λ =1 λ=−1 Raíces de la ecuación .

La solución general es:y = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sen x

4. y

IV+ 2 y I I

+ y = 0Ecuación característica

λ4 + 2 λ2 + 1 = 0 ⇔ ( λ2 + 1 )2 = 0λ = i λ=−i

Raíz de multiplicidad 2

La solución general es:y = C1 Cos x + C2 Sen x + C3 x cos x + C4 x sen x

5. y

IV+ 16 yIV + 9 y II = 0


λ6 + 6 λ4 + 9 λ2 + 4 = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1)+3 (2 λ4 + 3 λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1)+3 (2 λ2 + 1 ) ( λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1+6 λ2 + 3 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 +5 λ2 +4 ) = ( λ2 +1) ( λ2 +1) ( λ2 +4 )=0

= ( λ2 +1)2 ( λ2 +4 ) =0λ = i Raíz de multiplicidad 2λ =− i Raíz de multiplicidad 2λ =2 iλ =−2 i



La solución general es:y = C1 Sen x + C2 Cos x + C3 x sen x + C4 x Cos x +

C5 sen (2 x ) + C6 Cos (2 x )

6. y

III+ 3 y II + 3 yI + y = 0


λ3 + 3 λ2 + 3 λ + 1 = 0 ( λ +1)3 =0λ =−1 Raíz de multiplicidad 3

La solución general es:y = C1 e−x + C2 x e− x + C3 x2 e−x

7. y

III− y II + y I− y = 0


λ3 − λ2 + λ − 1 = 0λ2 ( λ −1 ) + ( λ − 1 ) = 0( λ −1) ( λ2 + 1 ) = 0

¿

λ= 1¿ } λ = i ¿ }¿¿ Raíces de la ecuación ¿ ¿¿


y = C1 ex + C2 cos x + C3 senx

8. y

III− y = 0


λ3 − 1 = 0( λ −1) ( λ2 +λ + 1)⏟ = 0

λ2 + λ + 1 = 0 λ =−1± √(1)2−9(1 )(1)2(1)

λ= −1± √3 i2

¿{λ = −12

+ √3 i2

¿ ¿¿Las raíces de la ecuación son:



λ =−12

+ √3i2

λ=−12

− √3 i2


y = C1 ex + C2 e−

x2 cos (√3 x

2 ) + C3 e−

x2 sen (√3

2x )

10. y

IV− y = 0


λ4 − 1 = 0( λ2 +1) ( λ2 −1 ) = 0λ =1 λ =−i λ=1 λ=−1 raíces de la ecuación


y = C1 ex + C2 e−x+ C3 cos x + C4 sen x

11. y

III− yII − 3 y I − y= 0


λ3 − λ2 −3 λ −1 = 0( λ +1 ) ( λ2 −2 λ −1) = 0

λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(−1)2(1 )

λ = 2 ± √ 4+42

λ = 2 ±2 √ 22

λ = 1 ± √2 λ = 1 + √2λ = 1 − √2 λ = 1 − √2 λ =−1Raíces de la ecuación


y = C1 ex + C2 ex (1+√2)+ C3 ex(1−√2)

12. y

III+4 y II + 4 yI = 0



1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0


λ3 − 4 λ2 +4 λ = 0λ ( λ2 +4 λ+4 ) = 0 λ( λ+2)2=0

λ = 0 λ=−2 Raíz de multiplicidad 2

La solución general es:y = C1 + C2 e−2 x+ C3 x e−2 x

13. y

IV−14 y III − 2 y= 0


λ4 − 1 4 λ2 −2 = 0

λ2 =−(−14 ) ± √(−14 )2−4 (1)(−2)2(1)

λ2 = 14 ± √196 + 82

λ2 = 14 ± √1082

λ2 = 14 + √1082

λ2 =14 + √1082


y = C1 e√14+√1082

x+ C2 e

−√14+√1082

x+ C3 e

−√14−√1082

x+

C4 e−√14−√108

2x

14. y

IV−2 y III + y II +2 y ´ −2 y =0


λ4 − 2 λ3 + λ2 +2 λ −2= 0

Las raices son:


1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

1 -2 1 2 -2

1 1 -1 0 2

-111

-1-1

02

2-2

0

1 -2 2 0


λ = 1 λ =−1λ = 1+iλ = 1−i( λ+1 ) ( λ−1 ) ( λ2−2 λ+2) = 0

λ =−(−2 ) ± √(−2)2−4 (2)(1)2

λ =2 ± √−42

λ = 1 ± i

La solución es

y = C1 ex + C2 e−x+ C3 e x cos x + C4 ex senx

15. y

IV+5 y II − 9 y= 0


4 λ4 + +5 λ2 −9 = 04 λ2 +9λ2 −1

(4 λ2+9) ( λ2 −1) = 0 4 λ2 +9 =0 λ2 −1 =0

λ2 =±√94

i λ =±1

λ =±32

i λ =±1

Raíces de la ecuación


y = C1 ex+ C2 e−x + C3 (32 x)+ C4 sen (32 x)



PRACTICA N° 08

I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1) y ' '+3 y '=3SoluciónSea P (r )=r 2+3 r=0⇒r1=0 ,r 2=−3la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1+c2 e−3 x

Como Y p=Ax⇒Y ' p=A⇒Y ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A=3⇒ A=1,Por lo tanto Y p=xLa solución estará dada por Y=Y g+Y pEs decir y=c1+c2 e−3 x+x

2) y ' '−2 y '−15 y=−15 x2−4 x−13Solución



Sea P (r )=r 2−2 r−15=0⇒r1=−3 , r2=5la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−3 x+c2e5 x

Como Y p=A x2+Bx+C⇒Y ' p=2 Ax+B⇒Y ' ' p=2 AReemplazando en la ecuación

2 A−4 Ax−2B−15 A x2−15Bx−15 C=−15 x2−4 x−13−15 A x2−(4 A+15 B ) x+2 A−2B−15 C=−15 x2−4 x−13

{ −15 A=15−( 4 A+15 B )=−4

2 A−2B−15 C=−13⇒ {A=1

B=0C=1

,Por lo tanto Y p=x2+1La solución estará dada por Y=Y g+Y pEs decir y=c1 e−3x+c2 e5 x+x2+1

3) y IV−3 y ' '−4 y=−4 x5+390 xSoluciónSea P (r )=r 4−3 r2−4=0⇒r1=−2 ,r 2=2 ,r 3=i , r 4=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−2 x+c2e2 x+c3 cosx+c4 senxComo Y p=A x5+B x 4+C x3+D x2+Ex+F⇒Y '

p=5 A x4+4 B x3+3 C x2+2 Dx+EY ' '

p=20 A x3+12B x2+6 Cx+2 DY ' ' ' p=60 A x2+24 Bx+6CY IV

p=120 Ax+24 BReemplazando en la ecuación 120 Ax+24 B−3 (20 A x3+12 B x2+6Cx+2 D )−4 (A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F )=−4 x5+390 x

{−4 A=−4−4 B=0

−60 A−4 C=0−36 B−4 C=0

120 A−18 C−4 E=39024 B−12 D−4 F=0

⇒ { A=1B=−15

B=D=E=F=0

,Por lo tanto Y p=x5−15 x3

La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e−2 x+c2 e2 x+c3 cosx+c4 senx+x5−15 x3

4) y ' '+3 y=ex

SoluciónSea P (r )=r 2+3 r=0⇒r1=0 ,r 2=−3la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1+c2 e−3 x

Como Y p=A ex⇒Y ' p=A ex⇒Y ' ' p=A exReemplazando en la ecuación

A ex+3 A ex=e x⇒ A=14

,Por lo tanto Y p=e x

4La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1+c2 e−3 x+ ex

4



5) y ' '−4 y'= xe4 x

SoluciónSea P (r )=r 2−4 r=0⇒r1=0 , r2=4 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1+c2 e4 x

Como Y p=x ( Ax+B ) e4 x

Y 'p=(2 Ax+B ) e4 x+4 x ( Ax+B ) e4 x

Y ' 'p=2 A e4 x+4 (2 Ax+B ) e4x+4 (2 Ax+B )e4 x+16 x ( Ax+B ) e4 x

Y ' ' 'p=2 A e4 x+4 (2 Ax+B ) e4 x+4 (2 Ax+B ) e4 x+16 x ( Ax+B )e4 x

Reemplazando en la ecuación

(2 A+4 B )e4 x+8 Ax e4 x=x e4 x⇒ A=18

, B= 1−16

Por lo tanto Y p=( 18

x2− 116

x )e4 x


Es decir y=c1+c2 e4 x+( 18

x2− 116

x )e4 x

6) y ' '+ y=senx−cosxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxComo Y p=x ( Acosx+Bsenx )Y '

p=Acosx+Bsenx+x (−Asenx+Bcosx )Y ' '

p=−Asenx+Bcosx−Asenx+Bcosx+x (−Acosx−Bsenx )Reemplazando y reduciendo en la ecuación

2Bcosx=senx−cosx⇒ A=K , B=−12 Por lo tanto Y p=x Kcosx−x 1

2senx


Es decir y=c1 cosx+c2 senx+x Kcosx−x 12

senx

7) y ' '−4 y '+8 y=e2x ( sen2x−c os 2x )SoluciónSea P (r )=r 2−4 r+8=0⇒ r1=2+2 i , r2=2−2ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e2 x sen 2 x+c2 e2 x cos2 xY p=x ex 2 ( Acos 2 x+Bsen 2 x )La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e2 x sen2 x+c2 e2 x cos 2 x+x ex2 ( Acos 2 x+Bsen 2 x )

8) y ' '− y '−2 y=e x+e−2 x

SoluciónSea P (r )=r 2−r−2=0⇒r1=−1, r2=2,la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−x+c2e2 x

Como Y p=A ex+B e−2 x



Y 'p=A ex−2 B e−2 x

Y ' 'p=A ex+4 B e−2xReemplazando y reduciendo en la ecuación

A ex+4 B e−2 x−A ex+2 B e−2 x−A e x−B e−2 x=ex+e−2 x

−A ex+5B e−2 x=ex+e−2 x

⇒ A=−1 , B=15

Por lo tanto Y p=−ex+15

e−2x


Es decir y=c1 e− x+c2 e2 x−ex+ 15

e−2x

9) y ' ' '−4 y '=xe2 x+senx+ x2

SoluciónSea P (r )=r 3−4 r=0⇒r 1=0 , r2=2 , r3=−2 ,la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 e2 x+c3 e−2 x

Como Y p=x ( Ax+B ) e2 x+Ccosx+Dsenx+x (E x2+Fx+G )⇒Y '

p=2 x ( Ax+B )e2 x+(2 Ax+B )e2 x−Csen x+Dcosx+3 E x2+2 Fx+GY ' ' ' p=8 x ( Ax+B ) e2x+12 (2 Ax+B ) e2 x+12 A e2x+Csenx−Dcosx+6 EReemplazando en la ecuación e igualando los coeficientes se tiene:

{12 A+8 B=0

16 A=15C=1

−5 D=0−12 E=1−8 F=0

6E-4 G=0

⇒ {A=1/16B=3 /32C=1 /5D=F=0

E=−1 /12G=−1/8

,Por lo tanto Y p=e2x

32(2 x2−3 x )+ cosx

5− x3

12− x


Es decir y=c1+c2 e2 x+c3e−2 x+ e2x

32(2 x2−3x )+ cosx

5− x3

12− x

8

10) y ' '+2 y '+2 y=e−x cosx+x e−x

SoluciónSea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )Como Y p=x e− x ( Acosx+Bsenx )+(Cx+D ) e−x

Reemplazando y reduciendo en la ecuación

⇒ A=0 , B=12

,C=1, D=0Por lo tanto Y p=x2

e− x senx−x e−x


Es decir y=e−x (c1cosx+c2 senx )+ x2

e− x senx−x e−x



11) y ' '− y '=x2

SoluciónSea P (r )=r 2−r=0⇒ r1=0 , r2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1+c2 ex

Como Y p=x ( Ax2+Bx+C )=Ax3+B x2+CxY '

p=3 A x2+2 Bx+CY ' '

p=6 Ax+2 BReemplazando en la ecuación 6 Ax+2 B−3 A x2−2Bx−C=x2

−3 A x2+(6 A−2B ) x+2B−C=x2

⇒ A=−13

, B=−1 ,C=−2Por lo tanto Y p=−x3

3−x2−2 x


Es decir y=c1+c2 ex− x3

3−x2−2 x

12) y ' '−4 y'−5 y=5 xSoluciónSea P (r )=r 2−4 r−5=0⇒r1=5 , r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e5 x+c2 e−x

Como Y p=Ax+BY '

p=AY ' '

p=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A−5 ( Ax+B )=5 x−5 Ax−4 A−5B=5 x

⇒ A=−1 , B=45

,Por lo tanto Y p=−x+ 45


Es decir y=c1 e5 x+c2 e−x−x+ 45

13) y ' ' '− y '=x+1SoluciónSea P (r )=r 3−r=0⇒ r1=0 , r2=−1, r3=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 e−x+c3e x

Como Y p=x ( Ax+B )=A x2+BxY '

p=2 Ax+BY ' '

p=2 AY ' ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0−2 Ax−B=x+1



⇒ A=−12

, B=−1 ,Por lo tanto Y p=−12

x2−x


Es decir y=c1+c2 e−x+c3 ex−12

x2−x

14) y ' '−4 y'+4 y=4 x−4SoluciónSea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 e2 x+xc2 e2 x

Como Y p=Ax+BY '

p=AY ' '

p=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A+4 Ax+4 B=4 x−44 Ax+4 B−4 A=4 x−4⇒ A=1 , B=0 ,Por lo tanto Y p=xLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e2 x+xc2e2 x+x

15) y ' '+2 y '+2 y=2 (x+1 )2SoluciónSea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )Como Y p=A x2+Bx+CY '

p=2 Ax+BY ' '

p=2 AReemplazando en la ecuación 2 A+4 Ax+2 B+2 A x2+2 Bx+2 C=2 ( x+1 )2

A x2+Bx+2 Ax+A+B+C=x2+2x+1⇒ A=1 ,B=C=0 ,Por lo tanto Y p=x2


Es decir y=e−x (c1cosx+c2 senx )+ x2

16) y ' ' '+ y ' '+ y '+ y=x2+2 x−2SoluciónSea P (r )=r 3+r2+r+1=0⇒r1=−1 ,r2=i , r3=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−x+c2cosx+c3 senxComo Y p=A x2+Bx+CY '

p=2 Ax+BY ' '

p=2 AY ' ' ' p=0



Reemplazando en la ecuación 0+2 A+2 Ax+B+A x2+Bx+C=x2+2 x−2A x2+ (2 A+B ) x+2 A+B+C=x2+2x−2⇒ A=1 , B=0 ,C=−4 ,Por lo tanto Y p=x2−4La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e− x+c2 cosx+c3 senx+x2−4

17) y IV+4 y ' '=8 (6 x2+5 )SoluciónSea P (r )=r 4+4 r2=0⇒r1=0 , r2=0 , r3=2 i ,r 4=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 x+c3 sen2 x+c4 cos2xComo Y p=x2 ( A x2+Bx+C )=A x 4+B x3+C x2

Y 'p=4 A x3+3 B x2+Cx

Y ' 'p=12 A x2+6 Bx+C

Y ' ' ' p=24 Ax+6 BY IV=24 AReemplazando en la ecuación 4 (6 A+12 A x2+6 Bx+C )=8 (6 x2+5 )6 A+12 A x2+6 Bx+C=12 x2+10⇒ A=1 , B=0 ,C=4 ,Por lo tanto Y p=x2 (x2+4 )La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1+c2 x+c3 sen2 x+c4 cos2 x+x2 (x2+4 )

18) y ' ' '−3 y ' '+3 y '− y=(2+x ) (2−x )SoluciónSea P (r )=r 3−3 r2+3 r−1=0⇒ r1=1 , r2=1 , r3=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 ex+c2 xex+c3 x2 ex

Como Y p=A x2+Bx+CY '

p=2 Ax+BY ' '

p=2 AY ' ' ' p=0Reemplazando en la ecuación y comparando0−6 A+6 Ax+3 B−A x2−Bx−C=4−x2

−A x2+ (6 A−B ) x−6 A+3 B−C=4−x2

⇒ A=1 , B=6 ,C=8 ,Por lo tanto Y p=x2+6 x+8La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 ex+c2 xe x+c3 x2ex+x2+6 x+8

19)2 y ' '−9 y'+4 y=18 x−4 x2

Solución

Sea P (r )=2 r2−9 r+4=0⇒r1=4 ,r2=12

la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:



Y g=c1 e4 x+c2 e12 x


p=2 Ax+BY ' '

p=2 AReemplazando en la ecuación 4 A−18 Ax−9B+4 A x2+4 Bx+4 C=18 x−4 x2

4 A x2+(−18 A+4 B ) x+4 A−9B+4 C=18 x−4 x2

⇒ A=−1 , B=0 ,C=1 ,Por lo tanto Y p=−x2+1La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e4 x+c2 e12 x−x2+1

20) y IV−2 y ' '+ y=x2−5SoluciónSea P (r )=r 4−2 r2+1=0⇒ r1=−1 , r2=1 , r3=−1 , r4=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 ex+c2 x ex+c3 e− x+c4 x e−x


p=2 Ax+BY ' '

p=2 AY ' ' ' p=0Y IV=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A+A x2+Bx+C=x2−5A x2+Bx+C−4 A=x2−5⇒ A=1 , B=0 ,C=−1 ,Por lo tanto Y p=x2−1La solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 ex+c2 x ex+c3 e−x+c4 x e− x+x2−1

II) VARIACION DE PARAMETROSResolver las siguientes ecuaciones diferenciales1¿ y ' '+ y=cosecxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=cosecx

De donde

u1' =

| 0 senxcosecx cosx|| cosx senx−senx cosx|

= 0−senx. cosecxcosx .cosx+senx . senx

=−1⇒u1' =−1⇒u1=−x



u2' =

| cosx 0−senx cosecx|| cosx senx−senx cosx|

= cosx .cosecxcosx . cosx+senx . senx

=ctgx⇒ u2' =ctgx⇒ u2=ln ( senx )

Entonces la solución particular será:y p=−xcosx+senx . ln (senx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−xcosx+senx . ln (senx )

2) y ' '+4 y=4 sec2 xSoluciónSea P (r )=r 2+4=0⇒r1=2 i ,r 2=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cos2 x+c2 sen2 xLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cos2 x+u2 sen2 x ,tal que

{ u1' cos2 x+u2

' sen2 x=0−2u1

' sen2x+2 u2' cos2 x=4 sec2 x

De donde

u1' =

| 0 sen2 x4 se c2 x cos 2 x|

| cos 2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|

=0−4 sec2 x . sen2 x

2 =−2 sec2 x . sen2 x⇒ u1=4 ln (cosx )

u2' =

| cos2 x 0−2 sen 2 x 4 se c2 x|| cos2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|

=cos2 x .4 sec2 x

2 =2 s ec2 x (cos2 x−sen2 x )=2−2 tan2 x⇒u2=4 x−2 tanx

Entonces la solución particular será:y p=4 ln (cosx )cos 2 x+(4 x−2tanx ) sen2 x ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2x+4 ln (cosx ) cos2 x+ (4 x−2 tanx ) sen2 x

3) y ' '+ y=se c2 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=se c2 x

De donde

u1' =

| 0 senxse c2 x cosx|| cosx senx−senx cosx|

=0−senx . se c2 x

cosx . cosx+senx . senx=−tanx . secx⇒u1=−secx

u2' =

| cosx 0−senx se c2 x|| cosx senx−senx cosx|

= sec2 x . cosxcosx. cosx+senx . senx=−secx⇒ u2=ln ( secx+tanx )



Entonces la solución particular será:y p=−secxcosx+senx . ln (secx+ tanx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−secxcosx+senx . ln (secx+ tanx )

4) y ' '+ y '=cosecx. cotgxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=cosecx .cotgx

De donde

u1' =

| 0 senxcosecx. cotgx cosx|

| cosx senx−senx cosx|

=0−senx .cosecx . cotgxcosx . cosx+senx . senx

=−ctgx⇒u1=−ln (senx )

u2' =

| cosx 0−senx cosecx . cotgx|


= cosecx . cotgx . cosxcosx . cosx+senx . senx

=ctg2 x⇒u2=−ctgx−x

Entonces la solución particular será:y p=−ln (senx ) cosx+senx . (−ctgx−x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (senx )cosx+senx . (−ctgx−x )

5) y ' '+ y '=cotgxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' c osx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=ctgx

De donde

u1' =

| 0 senxctgx cosx|


= 0−senx. ctgcosx . cosx+senx . senx

=−cosx⇒u1=−senx

u2' =

| cosx 0−senx ctgx|| cosx senx−senx cosx|

= ctgx . cosxcosx . cosx+senx . senx

=ctgx . cosx⇒ u2=ln (cosecx−ctgx )

Entonces la solución particular será:y p=−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx )



6) y ' '+ y '=secxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=secx

De donde

u1' =

| 0 senxsecx cosx|


= 0−senx . secxcosx . cosx+senx . senx

=−tanx⇒ u1=−ln ( cosx )

u2' =

| cosx 0−senx se cx|| cosx senx−senx cosx|

= secx . cosxcosx. cosx+senx . senx

=1⇒u2=x

Entonces la solución particular será:y p=−ln (cosx ) cosx+xsenx ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (cosx ) cosx+xsenx

7) y ' '+4 y '=4 ctg2 xSoluciónSea P (r )=r 2+4=0⇒r1=2 i ,r 2=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cos 2 x+c2 sen2 xLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cos2 x+u2 sen2 x ,tal que

{ u1' cos 2x+u2

' sen2 x=0−2u1

' sen2x+2 u2' cos2 x=4ctg 2x

De donde

u1' =

| 0 sen2 x4ctg 2 x cos2 x|

| cos 2x sen2 x−2 sen2 x 2cos2 x|

=0−4 ctg 2x . sen2 x2

=−2cos2 x⇒ u1=−sen2x

u2' =

| cos2x 0−2 sen2 x 4 ctg2 x|| cos2x s en 2 x−2 sen2x 2 cos2 x|

= cos2 x .4 ctg 2x2

=2ctg2 x .cos2 x⇒ u2=sen2x . ln (cosec 2 x−ctg2 x )

Entonces la solución particular será:y p=sen2 x . ln (cosec 2 x−ctg2 x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2 x+sen2 x . ln (cosec2 x−ctg2 x )8) y ' '+2 y '+2 y=e−x secxSolución



Sea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e− x cosx+u2e− x senx ,tal que

{ u '1 e−x cosx+u '2 e−x senx=0−2u1

' sen2x+2 u2' cos2 x=4ctg 2x

De donde

u1' =

| 0 sen2 x4ctg 2 x cos2 x|

| cos 2x sen2 x−2 sen2 x 2cos2 x|

=0−4 ctg 2x . sen2 x2

=−2cos2 x⇒ u1=−sen2x

u2' =

| cos2x 0−2 sen2 x 4 ctg2 x|| cos2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|

= cos2 x .4 ctg 2x2

=2ctg2 x .cos2 x⇒ u2=sen2x . ln (cosec 2 x−ctg2 x )

Entonces la solución particular será:y p=sen2 x . ln (cosec 2 x−ctg2 x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2x+sen2 x . ln (cosec2 x−ctg2 x )

9) y ' '+4 y '+4 y=e−2e−2 x

SoluciónSea P (r )=r 2+4 r+4=0⇒r1=−2 , r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−2 x+c2 xe−2 x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e−2 x+u2 xe−2x ,tal que

{ u' 1e−2 x+u ' 2 xe−2 x=0

−2u1' e−2 x+u2

' (−e−2 x x2

−e−2x)=e−2 e−2x De donde

u1' =

| 0 xe−2 x

e−2e−2 x −e−2 x x2

−e−2 x|| e−2 x xe−2 x

−2 e−2 x −e−2 x x2

−e−2 x|= 0−xe−2 x e−2 e−2 x

e−2 x (−e−2 x x2 −e−2 x)+2 e−2 x xe−2x

u2' =

| e−2x 0−2 e−2 x e−2e−2 x|

| e−2 x xe−2 x

−2e−2 x −e−2 x x2

−e−2 x|= e−2 x e−2 e−2x

e−2 x (−e−2 x x2 −e−2 x)+2 e−2 x xe−2 x

Entonces la solución particular será:y p=e−2 x−lnx e−2 x ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p



Es decir y=c1 e−2 x+c2 x e−2 x+e−2 x−lnx e−2 x

10) y ' '+ y '=tan2 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=tan2 x

De donde

u1' =

| 0 senxtan2 x cosx|


= 0−senx . tan2 xcosx . cosx+senx . senx=−senx . tan2 x⇒u1=−ln (cosx )

u2' =

| cosx 0−senx tan2 x|| cosx senx−senx cosx|

=tan2 x . cosx

cosx . cosx+senx . senx=tan2 x . cosx⇒u2=x

Entonces la solución particular será:y p=−ln (cosx ) cosx+xsenx ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (cosx ) cosx+xsenx

11) y ' '+ y '=sec2 xcosecxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=sec2 xcosecx

De donde

u1' =

| 0 senxsec2 xcosecx cosx|| cosx senx−senx cosx|

= 0−senx . sec 2 xcosecxcosx. cosx+senx . senx=−sec2 x

u2' =

| cosx 0−senx sec2 xcosecx|


=sec2 xcosecx . cosx

cosx .cosx+senx . senx=cosecx . secx

Entonces la solución particular será:y p=−senx . ln (secx+tanx )Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senx . ln (secx+ tanx )

12) y ' '−2 y '+ y=e2 x (ex+1 )2



SoluciónSea P (r )=r 2−2 r+1=0⇒r1=1, r2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2 xex

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 xex ,tal que

{ u1' ex+u2

' e x x=0

u1' ex+u2

' (e x x−ex )=e2x (ex+1 )2 De donde

u1' =

| 0 ex xe2 x (ex+1 )2 ex x−e x|

|ex ex xex ex x−ex|

= 0−e2 x (ex+1 )2e x x(e x x−ex )ex−ex e x x

=−(ex+1 )2e x xx−2

u2' =

|ex 0ex e2x (ex+1 )2||e x ex xe x ex x−ex|

=e2 x (ex+1 )2 ex

(ex x−e x)e x−ex ex x=

(ex+1 )2e x

x−2

Entonces la solución particular será:y p=ex ln (1+ex)Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 ex+c2 xe x+ex ln (1+e x)

13) y ' '−3 y '+2 y=e2 x (e2x+1 )−1

SoluciónSea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=2 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2e2x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e2 x ,tal que

{ u1' ex+u2

' e2 x=0

u1' ex+u2

' 2 e2x=e2 x (e2 x+1 )−1 De donde

u1' =

| 0 e x

e2 x (e2 x+1 )−12 ex|

|ex ex

ex 2e x|=0−e2 x (e2x+1 )−1

ex

(2 ex )ex−e x ex=−(e2x+1 )−1ex

u2' =

|ex 0ex e2x (e2 x+1 )−1|

|ex ex

ex 2ex|= e2 x (e2 x+1 )−1

e x

(ex x−ex)e x−ex ex x=(e2 x+1 )−1 ex

Entonces la solución particular será:

y p=ex arctg (e−x )− e2 x

2ln (1+e−2x )Tal que


Es decir y=c1 ex+c2 e2 x+ex arctg (e−x )− e2x

2ln (1+e−2 x )



14) y ' '+ y '=sec3 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=tanx

De donde

u1' =

| 0 senxsec3 x cosx|| cosx senx−senx cosx|

= 0−senx . sec3 xcosx . cosx+senx . senx=−senx . sec3 x

u2' =

| cosx 0−senx sec3 x|| cosx senx−senx cosx|

= sec3 x . cosxcosx . cosx+senx . senx=sec3 x . cosx


y p=secx

2 Tal que


Es decir y=c1 cosx+c2 senx+ secx2

15) y ' '+ y '=tanxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=tanx

De donde

u1' =

| 0 senxtanx cosx|


= 0−senx . tanxcosx . cosx+senx . senx

=−senx . tanx⇒ u1=−senx

u2' =

| cosx 0−senx tanx|| cosx senx−senx cosx|

= tanx . cosxcosx . cosx+senx . senx

=senx⇒u2=−cosx

Entonces la solución particular será:y p=−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx )



16) y ' '− y '=e−2 x sen (e−x )SoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2e− x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e−x ,tal que

{ u1' ex+u2

' e− x=0u1

' ex−u2' e−x=e−2 x sen (e−x ) De donde

u1' =

| 0 e−x

e−2 x sen (e−x ) −e−x||ex e−x

ex −e−x|=

e−2 x sen (e−x ) . e−x

−2=−sen (e− x ) .e−3 x

2

u2' =

|ex 0ex e−2 x sen (e−x )|

|ex e−x

ex −e−x|=

e−2x sen (e− x )ex

−2=−e− x sen (e−x )

2⇒u1=

−cos (e−x )2

Integrando y reemplazando en y p se obtiene:Entonces la solución particular será:y p=−sene− x−ex cose− xTal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 ex+c2 e−x−sene−x−ex cos e−x

17) y ' '−3 y '+2 y=cos (e−x )SoluciónSea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=2 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2e2x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e2 x ,tal que

{ u1' ex+u2

' e2x=0u1

' ex+u2' 2 e2x=cos (e−x ) De donde

u1' =

| 0 ex

cos (e−x ) 2ex||ex ex

ex 2 ex|=0−cos (e−x )ex

(2 ex )ex−ex ex=−cos (e− x )e−x⇒u1=sen (e−x )

u2' =

|ex 0ex cos (e− x )||ex e x

ex 2 ex|=

cos (e− x)ex

(ex x−ex )ex−ex ex x=cos (e−x )e−x⇒u2=−sen (e− x )

Entonces la solución particular será:y p=−e2 x cos (e−x )Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 ex+c2 e2 x−e2 x cos (e− x)



18) y ' '− y '=sen2 xSoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2e− x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' ex+u2

' e−x=0u1

' ex−u2' e−x=sen2 x

De donde

u1' =

| 0 e− x

sen2 x −e− x||ex e−x

ex −e− x|= sen2 x . e−x

−2=−sen2 x . e−x

2

u2' =

|ex 0ex sen2 x||ex e− x

ex −e−x|= sen2 x ex

−2=−sen2 xe x

2

Integrando y reemplazando en y p se obtiene:Entonces la solución particular será:

y p=−25− sen2 x

5,Tal que


Es decir y=c1 ex+c2 e−x−25− sen2 x

5

19) y ' '− y '=x2ex2

2

SoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

Y g=c1 ex+c2e− x

La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e− x+u2ex ,tal que

{ u1' ex+u2

' e−x=0

u1' ex−u2

' e−x=x2 ex2

2 De donde

u1' =

| 0 e−x

x2 ex2

2 −e− x||e x e−x

e x −e−x|= x2e

x2

2 . e−x

−2=−x2 e

x2

2 −x

2

u2' =

|ex 0

ex x2ex2

2 ||ex e− x

ex −e− x|= x2 e

x2

2 ex

−2=−x2 e

x2

2 +x

2

Integrando y reemplazando en y p se obtiene:




y p=ex2

2 ,Tal que


Es decir y=c1 ex+c2 e−x+ex2

2

20) y ' '+ y '=xcosxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que

{ u1' cosx+u2

' senx=0u1

' senx+u2' cosx=xcosx

De donde

u1' =

| 0 senxxcosx cosx|


= 0−senx . xcosxcosx . cosx+senx . senx

=−senx . xcosx

u2' =

| cosx 0−senx xcosx|| cosx senx−senx cosx|

= xcosx . cosxcosx . cosx+senx. senx

= x (cosx )2


y p=x2

4senx+ x

4cosxTal que


Es decir y=c1 cosx+c2 senx+ x2

4senx+ x

4c osx

III) ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULERResolver las siguientes ecuaciones diferenciales1)x2 y ' '+ x y '− y=0Solución

Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )

Reemplazando en la ecuación diferencial

e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+et e−t dy

dt− y=0

d2 yd t2 − y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea: P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e t+c2 e−t Pero t=lnx

y ( t )=c1e lnx+c2 e−lnx=c1 x+c21x



2)x2 y ' '+2 x y '−2 y=0Solución

Sea: x=e t⇒ t=l nx ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+2 e t e−t dy

dt−2 y=0

d2 yd t2 +

d ydt

−2 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+r−2=0⇒ r1=1 , r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

y ( t )=c1e t+c2 e−2 t Pero t=lnx

y ( t )=c1e l nx+c2e−2 lnx=c1 x+c21x2

3)x2 y ' '+ x y '+9 y=0Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+et e−t dy

dt+9 y=0

d2 yd t2 +9=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+9=0⇒r 1=3 i , r2=−3 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1cos3 t+c2 sen3 tPero t=lnxy ( t )=c1cos (3 lnx )+c2 sen (3lnx )

4)4 x2 y ' '−8 x y '+9 y=0Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


4 e2t e−2 t ( d2 yd t 2 −

dydt )−8et e−t dy

dt+9 y=0

4 d2 yd t 2 −12 dy

dt+9 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea P (r )=4 r2−12 r+9=0⇒r1=32

, r2=4la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

y (t )=c1e32 t+c2 e4 t Pero t=lnx

y ( t )=c1e32 lnx

+c2 e4 lnx=c1 x32+c2 x 4



5)x2 y ' '−3 x y '+7 y=0Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )−3et e−t dy

dt−7 y=0

d2 yd t2 −4 dy


Es decir:

Sea P (r )=r 2−4 r+7=0⇒ r1=32

, r2=4la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

y (t )=c1e32 t+c2 e4 t Pero t=lnx

y ( t )=c1e32 lnx

+c2 e4 lnx=c1 x32+c2 x 4

6)x3 y ' ' '−2 x2 y ' '−17 x y '−7 y=0SoluciónSea x=e t⇒ t=lnx ,además

dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt ); d3 y

d x3 =e−3 t( d3 yd t3 −

d2 yd t 2 +

dydt )


e3 t e−3 t( d3 yd t3 −

d2 yd t 2 +

dydt )−2 e

2 t

e−2 t( d2 yd t 2 −

dydt )−17 e t e−t dy

dt−7 y=0

d3 yd t3 −3 d2 y

d t2 −18 dydt

−7 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 3−3 r2−18 r−7=0⇒ r1=6.125 , r2=−0.42289 , r3=−2.7023la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e6.125 t+c2 e−0.4228t+c3e−2.7023 t Pero t=lnxy ( t )=c1e6.125 lnx+c2 e−0.4228 lnx+c3 e−2.7023lnx

y=c1 x6.125+c2 x−0.42289+c3 x−2.7023

7)( x+2 )2 y ' '+3 (x+2 ) y '−3 y=0Solución

Sea x+2=e t⇒ t=ln ( x+2 ) ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+3e t e−t dy

dt−3 y=0



d2 yd t2 +2 dy


Es decir:Sea P (r )=r 2+2 r+3=0⇒r1=−3 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−3 t+c2e t Pero t=ln ( x+2 )y ( t )=c1e−3 ln ( x+2 )t+c2 eln ( x+2 )

y=c1

( x+2 )3+c2 ( x+2 )

8)(2 x+1 )2 y ' '−2 (2 x+1 ) y '+4 y=0Solución

Sea 2 x+1=e t⇒ t=ln (2 x+1 ) ,además 2 dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2 =e−2 t( d2 y

d t2 −dydt )


2 e2t e−2 t ( d2 yd t 2 −

dydt )−4 e t e−t dy

dt+4 y=0

2 d2 yd t 2 −4 dy


Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+2=0⇒r1=1+ i , r2=1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e t sent+c2 e t cost=0Pero t=ln (2 x+1 )y ( t )=c1e ln (2 x+1) senln (2 x+1 )+c2 e ln ( 2x+1 )cosln (2x+1 )=0y=c1 (2x+1 ) senln (2x+1 )+c2 (2 x+1 ) cosl n (2 x+1 )

9)( x−1 )2 y ' '+8 ( x−1 ) y '+12 y=0Solución

Sea x−1=et⇒ t=ln ( x−1 ) ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+8et e−t dy

dt+12 y=0

d2 yd t2 +4 dy


Es decir:Sea P (r )=r 2+7 r+12=0⇒r1=−3 ,r 2=−4la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−3 t+c2e−4 t=0Pero t=ln ( x−1 )y ( t )=c1e−3 ln ( x−1)+c2 e−4 ln ( x−1 )

y=c1 ( x−1 )−3+c2 ( x−1 )−4

10)( x−2 )2 y ' '+5 ( x−2 ) y '+8 y=0Solución



Sea x−2=et⇒ t=ln ( x−2 ) ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −


dt+8 y=0

d2 yd t2 +4 dy


Es decir:Sea P (r )=r 2+4 r+8=0⇒r1=−2+2i , r2=−2+2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−2 t sen2t+c2 e−2t cos 2t=0Pero t=ln ( x−2 )y ( t )=c1e−2 ln ( x−2) sen (2 ln ( x−2 ) )+c2 e−2 ln (x−2 )cos2 ( ln ( x−2 ) )y=c1 ( x−2 )−2 sen (2 ln ( x−2 ) )+c2 ( x−2 )−2cos2 (ln ( x−2 ) )

11)x2 y ' '+ x y '+ y=x (6−lnx )Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+et e−t dy

dt+ y=e t (6−t )

d2 yd t2 + y=e t (6−t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−iY g=c1 sent+c2 costComo Y p= ( At+B ) e t

Y 'p=A e t+2 ( At+B ) et

Y ' 'p=2 A et+2 ( At+B ) e t

Reemplazando en la ecuación 2 A et+2 ( At+B ) e t+( At+B ) et=e t (6−t )2 At+2 A+2 B=6−t

⇒ A=−12

, B=72

,Por lo tanto Y p=−t2+ 7


Es decir y=c1 sent+c2 cost− t2+ 7

2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

y ( t )=c1 sent+c2cost− t2+7

2

y=c1 sen (lnx )+c2cos (lnx )− lnx2+ 7

2

12)x2 y ' '+ x y '−9 y=x3+1Solución




=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+et e−t dy

dt−9 y=e3 t+1

d2 yd t2 −9 y=e3 t+1 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2−9=0⇒r1=3 , r2=−3Y g=c1 e3 t+c2e−3 t

Como Y p=Ae3 t+BY '

p=3 Ae3 t

Y ' 'p=9 Ae3 t

Reemplazando en la ecuación 9 Ae3 t−Ae3t+B=e3 t+18 Ae3 t+B=e3 t+1

⇒ A=18

, B=1 ,Por lo tanto Y p ¿18

e3 t

+1


Es decir y=c1 e3 t+c2 e−3t +18

e3 t

+1

la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

y ( t )=c1e3 t+c2 e−3 t +18

e3 t

+1

y (t )=c1e3 lnx+c2 e−3lnx +18

e3 lnx

+1

y=c1 x3+c2 x−3+18

x3+1

13)x2 y ' '−x y '+ y=2xSolución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )−e t e−t dy

dt+ y=2e t

d2 yd t2 −2 y '+ y=2et

, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+1=0⇒r1=1, r2=1Y g=c1 et+c2t et

Como Y p=et AtY '

p=A e t t−Aet

Y ' 'p=A e t t−2 Aet



Reemplazando en la ecuación A e t t−2 Aet−2 ( A e t t−Ae t )+et At=2e t

A e t=2e t

⇒ A=2 ,Por lo tanto Y p=2e t tLa solución estará dada por Y=Y g+Y p

Es decir y=c1 e t+c2 t e t+2 e t tla ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e lnx+c2 lnx elnx+2 elnx lnxy=c1 x+c2 xlnx+2 xlnx

14)x2 y ' '+4 x y '+2 y=2 lnxSolución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −


dt+2 y=2 t

d2 yd t2 +3 dy

dt+2 y=2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+3 r+2=0⇒r1=−1, r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 e−t+c2 e−2 t La solución particular seráy p=At+By ' p=Ay ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A+2 At+2 B=2 t

⇒ y p=t−32

y=c1 e−t+c2 e−2 t+t−32

Pero t=lnx

y ( t )=c1e−lnx+c2 e−2 lnx+lnx−32

y=c11x+c2

1x2+lnx−3

2

15)x2 y ' '−x y '−3 y=−(16 lnx ) x−1

Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )−e t e−t dy

dt−3 y=−(16 t )e−t



d2 yd t2 −2 dy

dt+3 y=−(16 t ) e−t


Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+3=0⇒ r1=1−√8 i ,r2=1+√8ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 et sen√8x+c2 e t cos√8 La solución particular seráy p=e−t ( At+B )y ' p=A e−t t+Ae−t+B e−t

y ' ' p=A e−t t+2 Ae−t+B e−t


A e−t t+2 Ae−t+B e−t⇒ y p=t−32

y=c1 e−t+c2 e−2 t+tPero t=lnx


y=c11x+c2

1x2+

lnxx+ 2 ln2 x

2

16)x2 y ' '+ x y '+9 y=sen (ln x3 )Solución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )+et e−t dy

dt+9 y=sen (3 t )

d2 yd t2 +9 y=sen (3 t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+9=0⇒r 1=−3 i , r2=3 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 sen3 t+c2 cos3 t La solución particular seráy p=Atsen3 ty ' p=Asen3 t+3 Axcos3 ty ' ' p=3 Acost+3 Acos 3 t−9 Atsen3 tReemplazando en la ecuación 3 Acos 3 t+3 Acos 3 t−9 Atsen3 t+9 Atsen3 t=sen3 t

⇒ y p=tsen 3ty=c1 sen 3t+c2 cos3 t+tsen 3 tPero t=lnxy ( t )=c1 sen (3 lnx )+c2cos (3lnx )+ ln x ( sen (3 lnx ) )

17)x2 y ' '+4 x y '+2 y=2 ln2 x+12xSolución




=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −


dt+2 y=2 t

d2 yd t2 +3 dy

dt+2 y=2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2+3 r+2=0⇒r1=−1, r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 e−t+c2 e−2 t La solución particular seráy p=At+By ' p=Ay ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A+2 At+2 B=2 t

⇒ y p=t−32

y=c1 e−t+c2 e−2 t+t−32

Pero t=lnx


y=c11x+c2

1x2+lnx−3

2

18)x2 y ' '−3 x y '+4 y=lnxSolución


=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −

dydt )−3 et e−t dy

dt+4 y=t

d2 yd t2 −4 y '+4 y=t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2Y g=c1 e2 t+c2 t e2 t

Como Y p=Alnx+B

Y 'p=A 1

x

Y ' 'p=A −1

x2




A −1x2 ∓4 A 1

x2 At+2 A+2 B=6−t

⇒ A=−12

, B=72






2

y=c1 sen (lnx )+c2cos (lnx )− lnx2+ 7

2

19)( x+1 )2 y ' '−3 ( x+1 ) y '+4 y=( x+1 )3Solución

Sea x+1=e t⇒ t=ln ( x+1 ) ,además dydx

=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −


dt+4 y=e3 t

d2 yd t2 −4 dy

dt+4 y=e3 t


Es decir:Sea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

y g=c1 e2 t+c2 t e2 t

y p=Ae3 t

y 'p=3 Ae3 t

y ' 'p=9 Ae3 t

Reemplazando en la ecuación diferencial9 Ae3 t−12 Ae3 t+Ae3 t=e3 t

−2 Ae3 t=e3 t⇒ A=12

Por la tanto y p=12

e3 t

Pero t=ln ( x+1 )

y (t )=c1e2 ln ( x+1) ,+c2ln ( x+1 ) e2 ln ( x+1 ),+12

e3 ln ( x+1 ) ,

y=c1(x+1)2+c2ln ( x+1 ) ( x+1 )2+12(x+1)3

20)x2 y ' '−2 x y '+2 y=3 x2+2 lnxSolución




=e−t dydt

; d2 yd x2=e−2 t( d2 y

d t 2 −dydt )


e2 t e−2 t( d2 yd t2 −


dt+2 y=3 et+2 t

d2 yd t2 −3 y '+2 y=3 e t+2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:Sea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=1 ,r 2=2Y g=c1 et+c2e2 t

Como Y p=3 At e t+Bt+C

Y 'p=3 A t e t

Y ' 'p=A −1

x2


A −1x2 ∓4 A 1

x2 At+2 A+2 B=6−t

⇒ A=−12

, B=72






2

y=c1 sen (lnx )+c2cos (ln x )−lnx2

+ 72



PRACTICA N° 09



OPERADORES DIFERENCIALESI) ECUACION LINEAL HOMOGENEARESOLVER

1)d2 yd x2 +

dydx

−6 y=0

Solución:y ' '+ y '−6 y=0P (r )=r 2+r−6=0(r−2 ) (r+3 )=0r1=2, r2=−3y=c1 e2 x+c2 e−3 x

2)d3 yd x3−

d2 yd x2−12 dy

dx=0

Solución:y ' ' '− y ' '−12 y '=0P (r )=r 3−r2−12 r=0(r−4 ) (r+3 ) (r )=0r1=4 , r2=−3 ,r 3=0y=c1+c2 e−3 x+c3 e4 x

3)d3 yd x3 +2 d2 y

d x2 −5 dydx

−6 y=0

Solución:y ' ' '+2 y ' '−5 y '−6=0P (r )=r 3−r2−12 r=0(r−2 ) (r+1 ) (r+3 )=0r1=2, r2=−1, r3=−3y=c1 e2 x+c2 e−1 x+c3 e−3 x

4)(D3−3 D2+3 D−1 ) y=0Solución:y ' ' '−3 y ' '+3 y '− y=0P (r )=r 3−3 r2+3 r−1=0(r−1 ) (r−1 ) (r−1 )=0r1=1 , r2=1 , r3=1y=c1 ex+c2 x ex+c3 x2 ex

5)(D4−6 D3+5 D2−24 D−36 ) y=0Solución:y IV−6 y ' ' '+5 y ' '−24 y '−36 y=0P (r )=r 4−6 r 3+5 r 2−24 r−36=0



(r+1 ) (r−6 ) ( r2−13+6 )=0

r1=−1, r2=6 ,r 3=12+ √23

2i , r 4=

12−√23

2i

y=c1 e− x+c2 e6 x+c3 e12 x

sen (√232

x)+c4 e12 x

cos(√232

x )6)(D4−D3−9 D2−11 D−4 ) y=0Solución:y IV− y ' ' '−9 y ' '−11 y'−4 y=0P (r )=r 4−r 3−9 r2−11r−4=0(r+1 ) (r−4 ) (r+1 ) (r+1 )=0r1=−1, r2=4 , r3=−1, r 4=−1y=c1 e− x+c2 xe− x+c3 x2e− x+c4 e4 x

7)(D2−2D+10 ) y=0Solución:y ' '−2 y '+10 y=0P (r )=r 2−2 r+10=0r1=1+3 i , r2=1−3 iy=c1 ex sen3 x+c2 ex cos3 x

8)(D3+4 D ) y=0Solución:y ' ' '+4 y '=0P (r )=r 3+4 r=0(r ) (r2+4 )=0r1=0 ,r 2=2i , r3=−2 iy=c1+c2 sen2 x+c3cos 2x

9)(D4+D3−2 D2+D+3 ) y=0Solución:y Iv− y ' ' '−9 y ' '−11 y '−4 y=0P (r )=r 4−r 3−9 r2−11r−4=0(r+1 ) (r−4 ) (r+1 ) (r+1 )=0r1=−1, r2=4 , r3=−1, r 4=−1y=c1 e− x+c2 xe− x+c3 x2e− x+c4 e4 x

10)(D4+5D2−36 ) y=0Solución:y IV+5 y ''−36=0P (r )=r 4+5 r2−36=0(r2+9 ) ( r2−4 )=0r1=2, r2=−2, r3=−3 i , r4=3 iy=c1 e2x+c2 e−2 x+c3 sen 3 x+c4 cos3 x

12)(D2+2 D−15 ) y=0



Solución:y ' '+2 y '−15 y=0P (r )=r 2+2 r−15=0r1=3 ,r2=−5y=c1 e3x+c2 e−5 x

13)(D3+D2−2 D ) y=0Solución:y ' ' '+ y ' '−2 y '=0P (r )=r 3+r2−2 r=0(r ) (r−1 ) (r+2 )=0r1=0 ,r 2=1 ,r3=−2y=c1+c2 ex+c3 e−2 x

14)(D4−6 D3+13 D2−12 D+4 ) y=0Solución:y IV−6 y ' ' '+13 y ' '−12 y '+4 y=0P (r )=r 4−6 r 3+13 r 2−12r+4=0(r−1 ) (r−1 ) (r−2 ) (r−2 )=0r1=1 , r2=1 , r3=2 , r4=2y=c1 ex+c2 x ex+c3 e2 x+c4 x e2 x

15)(D6+9 D4+24 D2+16 ) y=0Solución:yVI+9 yIV +24 y ' '+16 y=0P (r )=r 6+9 r4+24 r2+16=0(r2+1 ) (r2+4 ) (r2+4 )=0r1=i , r2=−i , r3=2 i,r 4=−2 i , r5=2i , r6=– 2iy=c1 senx+c2cosx+c3 sen 2 x+c4 cos2 x+c5 xsen2 x+c6 xcos 2 xII) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESRESOLVER1)(D2−3 D+2 ) y=ex

Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 ex+c2 e2 x

Calculando la solución particular

y p=1

F ( D )eαx= 1

F ( α )ex= e x

(D−2 ) (D−1 )= 1

(D−2 ) [ ex

( D−1 ) ]y p=e2 x∫ex∫ e−x ex (dx )2

y p=e2 x∫ex xdx



y p=−xex−ex

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e2 x−x ex−ex

2)(D3+3 D2−4 ) y=x e−2 x

Solución:y ' ' '+3 y ' '−4 y=0P (r )=r 3+3 r 2−4=0r1=1 , r2=−2, r3=−2yc=c1 ex+c2 e−2 x+c3 x e−2 x


y p=¿ x e−2 x

( D−1 ) ( D+2 )2

y p=ex∫e−3 x∫e0x∫ e2 x x e−2 x (dx )3

y p=ex∫e−3 x∫ x2

2( dx )2

y p=ex∫e−3 x x6

3

dx

y p=−118

(x3+x2 )e−2x

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e−2 x+c3 x e−2x− 118

(x3+x2)e−2 x

3)(D2−3 D+2 ) y=e5 x

Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 ex+c2 e2 x


y p=e5 x

( D−2 ) ( D−1 )= e5x

(5−2 ) (5−1 )= e5 x

12y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e2 x+ e5 x

12

4)(D2+5 D+4 ) y=3−2 xSolución:y ' '+5 y '+4 y=0P (r )=r 2+5 r+4=0r1=−4 , r2=−1yc=c1 e−4 x+c2 e− x


y p=3−2 x

( D+4 ) ( D+1 )



y p=e−4 x∫ e−3 x∫ ex (3−2 x ) (dx )2

y p=2ex

5−9 e4 x

16y= yc+ y p

y=c1 e−4 x+c2e− x+ 2 ex

5−9 e4 x

16

5)(D3−5 D2+8 D−4 ) y=e2 x

Solución:y ' ' '−5 y ' '+8 y '−4 y=0P (r )=r 3−5 r2+8 r−4=0r1=1 , r2=2 , r3=2yc=c1 ex+c2 e2 x+c3 xe2 x


y p=¿ e2 x

( D−1 ) ( D−2 ) ( D−2 )y p=ex∫e x∫ e0 x∫ e2 x e−2 x (dx )3

y p=ex∫e x∫ x2

2(dx )2

y p=ex∫e x x6

3

dx

y p=( x2

2−x− 1

2 )e−2 x

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e2 x+c3 xe2x+( x2

2−x− 1

2 )e−2 x

6)(D2+9 ) y=xcosxSolución:y ' '+9 y=0P (r )=r 2+5 r+4=0r1=−3i , r2=3 iyc=c1 sen3 x+c2 cos3 xCalculando la solución particular

y p=xcosxD2+9

y p=x cosxD 2+9

− 2 DD 4+18 D2+81

cosx

y p=xcosx

8− 2 D

1−18+81

y p=xcosx

8− senx

64y= yc+ y p

y=c1 sen 3 x+c2 cos3 x+ xc o sx8

− senx64



7)(D2+4 ) y=2cosxcos 3 xSolución:y ' '+4 y=0P (r )=r 2+4=0r1=−2i , r2=2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular

y p=x4

cos (x− π2 )= x

4senx

y= yc+ y p

y=c1 sen 2 x+c2 cos2x+ x4

senx

8)(D2−9 D+18 ) y=ee−3 x

Solución:y ' '−9 y '+18 y=0P (r )=r 2−9 r+18=0r1=3 ,r2=6yc=c1 e3 x+c2e6x


y p=ee−3 x

( D−3 ) ( D−6 )y p=e3 x∫e3 x∫ e−6 x ee−3 x

(dx )2

y p=ee−3 x

9e6 x

y= yc+ y p

y=c1 e3x+c2 e6 x+ ee−3 x

9e6x

9)(D2−4 D+3 ) y=1Solución:y ' '−4 y '+3 y=0P (r )=r 2−4 r+3=0r1=3 ,r2=1yc=c1 e3 x+c2e x


y p=13

y= yc+ y p

y=c1 e3x+c2 ex+ 13

10)(D2−4 D ) y=5Solución:y ' '−4 y '=0P (r )=r 2−4 r=0r1=0 ,r 2=4yc=c1+c2 e4 x




y p=R° xk

ax= 5 x−4

=−5 x4

y= yc+ y p

y=c1+c2 e4x−5 x4

11)(D3−4 D2 ) y=5Solución:y ' ' '−4 y ' '=0P (r )=r 3−4 r2=0r1=0 ,r 2=r3=4yc=c1+c2 x+c3 e4 x


y p=R° xk

ax= 5 x−4

=−5 x4

y= yc+ y p

y=c1+c2 x+c3 e4 x−5 x4

12)(D5−4 D3 ) y=5Solución:yVI−4 y ' ' '=0P (r )=r 5−4 r3=0r1=0 ,r 2=0 , r3=0 , r4=−2 , r5=2yc=c1+c2 x+c3 x2+c4 e2x+c5e−2 x


y p=R° xk

ax=5 x2

−4=−5 x2

4y= yc+ y p

y=c1+c2 x+c3 x2+c4 e2 x+c5 e−2x−5x2

413)(D2−1 ) y=sen2 xSolución:y ' '− y=0P (r )=r 2−1=0r1=1 , r2=−1yc=c1 ex+c2 e−x


y p=sen2 x

( D+4 ) ( D+1 )y p=ex∫e−2 x∫ e−x sen2 x (dx )2

y p=−12

+cos 2 x10

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e−x−12+ cos2 x

10



14)(D2+1 ) y=cosecxSolución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular

y p=cosecxD2+1

= cosecx1+1

=cosecx2

y= yc+ y p

y=c1 senx+c2cosx+ cosecx2

15)(D2−3 D+2 ) y=sen e− x

Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 e2 x+c2ex


y p=sene− x

( D−2 ) ( D−1 )y p=e2 x∫e− x∫ e−x sen e−x ( dx )2

y p=e2 x∫ex cose− x dxy p=e2 x sene−x

y= yc+ y p

y=c1 e2 x+c2 ex+e2 x sene− x

III) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION DE PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS)RESOLVER1) (D2−2 D ) y=ex senx

Solución:y ' '−2 y '=0P (r )=r 2−2 r=0r1=0 ,r 2=2yc=c1+c2 e2 x


y p=ex senx

D ( D−2 )=

1D [ ex senx

D−2 ]y p=e0 x∫e2x∫ e2 x ex senx (dx )2

y p=∫ e2 x∫e3 x senx (dx )2

y p=−e x senx

3y= yc+ y p



y=c1+c2 e2x− ex senx3

2) (D2+D ) y=cosecx

Solución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular

y p=cosecxD2+1

= cosecx1+1

=cosecx2

y= yc+ y p


3) (D2−6D+9 ) y=x−2 e3 x

Solución:y ' '−6 y '+9 y=0P (r )=r 2−6 r+9=0r1=3 ,r2=3yc=c1 e3 x+c2 xe3x


y p=x−2 e3 x

( D−3 ) ( D−3 )= 1

( D−3 ) [ x−2 e3 x

( D−3 ) ]y p=e3 x∫e0 x∫ e−3 x x−2 e3 x (dx )2

y p=e3 x∫∫ x−2 ( dx )2

y p=−e3 x lnxy= yc+ y p

y=c1 e3 x+c2 xe3 x−e3 x lnx

4) (D2−2 D+3 ) y=x3+senx

Solución:y ' '−2 y '+3 y=0P (r )=r 2−2 r+3=0r1=1 , r2=2yc=c1 ex+c2 e2 x


y p=x3+senx

( D−1 ) ( D−2 )= 1

( D−1 ) [ x3+senx(D−2 ) ]

y p=ex∫e x∫ e−2 x (x3+senx ) (dx )2



y p=ex∫e x∫ e−2 x (x3+senx ) (dx )2

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e2 x+ y p

5) (D3+2 D2−D−2 ) y=ex+x2

Solución:y ' ' '+2 y ' '− y '−2 y=0P (r )=r 3+2 r2−r−2=0r1=1 , r2=−1 , r3=−2yc=c1 ex+c2 e−x+c3e−2 x


y p=ex+x2

( D−1 ) ( D+1 ) ( D+2 )= 1

( D−1 ) (D+1 ) [ ex+x2

(D+2 ) ]y p=ex∫e0 x∫ e−x∫ (ex+x2 ) ( dx )3

y p=ex∫∫e− x∫ (e x+x2 ) (dx )3

y= yc+ y p

y=c1 ex+c2 e−x+c3 e−2 x+ yp

6) (D2−4 D+4 ) y=x3 e2 x+ xe2 x

Solución:y ' '−4 y'+4=0P (r )=r 2−4 r+4=0r1=2, r2=2yc=c1 e2 x+c2 xe2 x


y p=x3 e2 x+x e2x

( D−2 ) ( D−2 )= 1

( D−2 ) [ x3e2x+x e2x

( D−2 ) ]y p=e2 x∫e0x∫ e−2 x (x3 e2 x+ xe2x ) (dx )2

y p=ex∫∫e−2 x (x3 e2x+x e2 x) (dx )2

y p=ex ( x5

20+ x3

6 )y= yc+ y p

y=c1 e2x+c2 xe2 x+ex ( x5

20+ x3

6 )7) (D2+4 ) y=x2 sen2 x

Solución:y ' '+4=0P (r )=r 2+4=0r1=2i ,r 2=−2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular



y p=x2 sen2x

D2+4= x2 sen2x

8y= yc+ y p

y=c1 se n 2 x+c2 cos2 x+ x2 sen2x8

8) (D2+1 ) y=cosecx

Solución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular

y p=cosecxD2+1

= cosecx1+1

=cosecx2

y= yc+ y p


9) (D2+4 ) y=4 sec22 x

Solución:y ' '+4=0P (r )=r 2+4=0r1=2i ,r 2=−2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular

y p=4 sec2 2 x

D2+4= sec2 2 x

2y= yc+ y p

y=c1 sen 2 x+c2 cos2x+ sec2 2x2

10) (D2−4 D+3 ) y=(1+e−x )−1

Solución:y ' '−4 y'+3=0P (r )=r 2−4 r+3=0r1=3 ,r2=1yc=c1 ex+c2 e3 x


y p=(1+e−x )−1

( D−3 ) ( D−1 )= 1

( D−3 ) [ (1+e− x )−1

( D−1 ) ]y p=e3 x∫e−2x∫ e−x (1+e−x )−1 (dx )2

y= yc+ y p



y=c1 ex+c2 e3 x+ y p

11) (D2−1 ) y=e−x sen e−x+cose− x

Solución:y ' '−1=0P (r )=r 2−1=0r1=−1, r2=1yc=c1 e−x+c2 ex


y p=e− x sene−x+cos e−x

( D+1 ) ( D−1 )= 1

( D+1 ) [ e− x sene−x+cos e−x

( D−1 ) ]y p=ex∫e0 x∫ ex (e−x sene− x+cose−x ) (dx )2

y= yc+ y p

y=c1 e− x+c2 ex+ y p

12) (D2+2 ) y=2+ex

Solución:y ' '+2=0P (r )=r 2+2=0r1=−√2 i ,r2=√2iyc=c1 sen √2 x+c2 cos√2 xCalculando la solución particular

y p=2+ex

D2+2= 2+ex

√2+2y= yc+ y p

y=c1 sen √2 x+c2cos √2 x+ 2+ex

√2+2

13) (D2−1 ) y=ex sen2 x

Solución:y ' '−1=0P (r )=r 2−1=0r1=−1, r2=1yc=c1 e−x+c2 ex


y p=ex sen2 x

( D+1 ) ( D−1 )= 1

( D+1 ) [ ex sen2 x( D−1 ) ]

y p=e−x∫ e2 x∫ e−x (ex sen2 x ) (dx )2

y= yc+ y p

y=c1 e− x+c2 ex+ y p

14) (D2+2 D+2 ) y=senx+ x2



Solución:y ' '+2 y '+2 y=0P (r )=r 2+2 r+2=0r1=−1+ i , r2=−1−iyc=c1 e−x senx+c2 e−x cosxCalculando la solución particular

y p=senx+x2

D2−2 D−2= senx+x2

−2 D−3

y p=e32 x∫e

32 x

( senx+x2 ) (dx )2

y= yc+ y p

y=c1 e− x senx+c2e− x cosx+ y p



PRACTICA N° 10

INTEGRACION POR SERIES



1).-Resolver y '− y−x2=0 mediante una serie de potencia de x que satisfaga la condición y= y0 para x=o.SoluciónSea:y0= y=3 ; x0=x=2i ¿.−Hacemos v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv

Luego dydx

=dydv

=v2+ y−3=F(v , y )

ii¿ .−¿Suponiendo que:

y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )

Luego: y '−v2− y+3=0 será de la forma:

y '=A1+2 A2 v+3 A3 v2+4 A4 v3+…+nAn vn−1+…−v2=−v2

− y=−A0−A1 v−A2 v2−A3 v3−A4 v4−…−An vn−…3=3

y '−v2− y+3=( A1−A0+3 )+(2 A2−A1 )v+(3 A3−A2−1 ) v2+¿

Como y '−v2− y+3=0 se dirá lo siguiente: 2 A0−A1=0 ⇒ A1=A0−3= y0−3 ⇒A1=O 2 A0−A1=0 ⇒ A2=0

3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13

4 A4−A3=0 ⇒ A4=1

4∗3

5 A5−A4=0 ⇒ A5=1

5∗4∗3

⇒ An=2n! ∀n≥ 3

Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:

y=3+ 13

v3∗( 22 )+…+ 2

n!vn+…

iii¿ .−Haciendo v=x−2 se tiene :

∴ y=3+ 23!

(x−2)3+ 24 !

(x−2)4 …+ 2n !

(x−2)n+…

SoluciónLa ecuación diferencial será:

(1−x ) y '+ y−2 x=0Suponiendo que la solución es de la forma:



y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2,…son constantes para determinar.Sea:(1−x ) y '=A1 (1−x )+2 A2 (x−x2 )+3 A3 (x2−x3 )+…+nAn(x¿¿n−1−xn)+(n+1) An+1(x¿¿n−xn+1)+…¿¿y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+An+1 xn+1+…

−2 x=−2 x

(1−x ) y '+ y−2x=(A1+A0 )+(2 A2−2 )x+¿0=( A1+A0 )+(2 A2−2 ) x+¿

3)Resolver (1−x ) y '=2x− y mediante una serie que satisfaga la condición y= y0 cuando x=o.Por lo tanto:

A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y0 ⇒ A1=− y0

2 A2−2=0 ⇒ A2=1

−A2+3 A3=0 ⇒ A3=13

−2 A3+4 A4=0 ⇒A4=1

2∗3.

−(n−1)An−(n+1)An+1=0 ⇒

2

(n−1 )∗n∀n ≥ 2

.Reemplazando los valores de los “A” en la serie supuesta dado se tiene:

∴ y= y0− y0 x+ 22

x2

+ 2∗12∗3

x3+ 24∗3

x4+…+ 2(n−1)∗n

xn+…

5).- Resolver xy '− y=x+1 mediante potencias de (x−1).


xy '− y−x−1=0Además:v=x−1⇒ x=v+1⇒dx=dv

Luego dydx

=dydv

= y+v+2(v+1 )

=F (v , y )

Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )Luego:( v+1 ) y '− y−v−2=0 será de la forma:

( v+1 ) y '=A1 v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v2+4 A4 v3+4 A4 v4+…+nAn vn−1+nAn vn+…− y=A0−A1 v−A2 v2−A3 v3−A4 v 4−…−An vn−…−v=−v−2=−2



Como: ( v+1 ) y '− y−v−2=0

Se dirá lo siguiente: −A0−2+A1=0 ⇒ A1=3

2 A2−1=0 ⇒ A2=12

3 A3+A2=0 ⇒ A3=−12∗3

4 A4+2 A3=0 ⇒ A4=2

2∗3∗4

3 A4+5 A5=0 ⇒ A5=6

2∗3∗4∗5.

⇒ An+1=−(n−1)An

(n+1 ) ∀n≥ 2


y=1+3 v+ v2

2− v3

2∗3+ 2 v4

2∗3∗4− 6 v5

2∗3∗4∗5+…

y=1+3 v+ v2

2 !− v3

3 !+ 2 v 4

4 !−6 v5

5 !+…

y=Haciendo v=x−1 se tiene :

∴ y=1+3(x−1)+ (x−1)2

2!−(x−1)3

3 !+

2(x−1)4

4 !−

6( x−1)5

5 !+…

7).- Resolver (1+x2 ) y ' '+x y '− y=0 mediante potencias de x.SoluciónLa ecuación diferencial será:

(1+x2 ) y ' '+x y '− y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:(1+x2) y ' '=2 A2+2 A2 x2+6 A3 x+6 A3 x3+12 A4 x2+12 A4 x4+20 A5 x3+20 A5 x5+30 A6 x4+30 A6 x6+…+ (n∗(n−1 ) ) An xn−2+ (n∗(n−1 ) ) An xn+…x y '=A1 x+2 A2 x2+3 A3 x3+4 A4 x4+5 A5 x5+6 A6 x6+…+nAn xn+…

− y=A0−A1 x−A2 x2−A3 x3−A4 x4−…−An xn−…

(1+x2 ) y ' '+x y '− y=(2 A2−A0 )+ (6 A3 ) x+¿

0=(2 A2−A0 )+ (6 A3 ) x+¿

Por lo tanto:

2 A2−A0=0 ⇒ A2=A0

2 6 A3=0 ⇒ A3=0



3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=−A0

8

8 A3+20 A5=0 ⇒A5=0

2 A6+A4=0 ⇒ A6=A0

16.

Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:

y=A0+A1 x+A0

2x2+ (0 ) x3−

A0

8x4+ (0 ) x5+

A0

16x6+…

∴ y=A0(1+ x2

2− x4

8+ x6

16…)+A1 x+5¿ XXXX

9).- Resolver y ' '−2 x2 y '+4 xy=x2+2x+2 mediante potencias de x.


y ' '−2 x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:

y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x2+20 A5 x3+30 A6 x4+…+¿(n∗(n−1 ))An xn−2+…

−2 x2 y '=−2 A1 x2−4 A2 x3−6 A3 x4−8 A4 x5−10 A5 x6−…−2 nAn xn+1−…4 xy=4 A0 x+4 A1 x2+4 A2 x3+4 A3 x4+4 A4 x5+…+4 An xn+1+…−x2=−x2

−2 x=−2 x−2=−2

y ' '−2 x2 y '+4 xy−x2−2 x−2= (2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿

0=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿

Por lo tanto: 2 A2−2 A1−2=0 ⇒ A2=A1+1

6 A3+4 A0−2=0 ⇒ A3=1−2 A0

3



12 A4−2 A1+4 A1−1=0 ⇒ A4=1−2 A1

12

20 A5−4 A2+4 A2=0 ⇒A5=0

30 A6−6 A3+4 A3=0 ⇒ A6=1−2 A0

45.

(n+1 )∗(n+2)An+2−(2 n−2) An−1+4 An−1=0 ..


y=A0+A1 x+(A ¿¿1+1) x2+( 1−2 A0

3 ) x3+( 1−2 A1

12 ) x4+(0 ) x5+(1−2 A0

45)x6+…¿

∴ y=A0(1−23

x3− 245

x6+…)+A1+5 ¿(x+x2−16

x4+…)+x2+ 13

x3 +112

x4

+ 145

x6

10).- Resolver y ' '+( x−1 ) y '+ y=0 mediante potencias de (x−2).Solución

La ecuación diferencial será:y ' '+( x−1 ) y '+ y=0

Además:v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv

Luego dydx

=dydv

=−( y¿¿ ' '+ y )

(v+1 )=F (v , y )¿

Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )Luego: y ' '+( v+1 ) y '+ y=0 será de la forma:

y ' '=2 A2+6 A3 v+12 A4 v2+12 A5 v3+30 A6 v4+…+n∗(n−1)An vn−2+…( v+1 ) y '=A1 v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v2+4 A4 v3+4 A4 v4+…+nAn vn−1+nAn vn+…y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…

y ' '+( v+1 ) y '+ y=( A1+2+2 A2)+ (2 A2+2 A1+6 A3 ) v+ (3 A3+3 A2+12 A4 )v2+¿

Como:

y ' '+( v+1 ) y '+ y=0

Se dirá lo siguiente:

A1+2+2 A2=0 ⇒ A2=−2−A1

2

2 A2+2 A1+6 A3=0 ⇒ A3=2−A1

6



3 A3+3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=4 A1+4

48

4 A4+4 A3+20 A5=0 ⇒ A5=4 A1−20

240

⇒ An+2=An+An+1

(n+2 )∀n≥ 1


y=A0+A1 v+(−2−A1

2 )v2+( 2−A1

6 )v3+( 4 A1+448 )v4+( 4 A1−20

240 )v5+…

y=A0+A1(v− v2

2− v3

6+ v 4

12+ v5

60+…)+ v2

2+ v3

3+ v4

12− v5

12+…

Haciendo v=x−2 se tiene :

∴ y=A0+A1((x−2)−(x−2)2

2−(x−2)3

6+(x−2)4

12+(x−2)5

60+…)+(x−2)2

2+(x−2)3

3+(x−2)4

12−(x−2)5

12+…

11).- Resolver (1−x ) y '=x2− y según potencias de x.


(1−x ) y '−x2+ y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:(1−x ) y '=A1−A1 x+2 A2 x−2 A2 x2+3 A3 x2−3 A3 x3+4 A4 x3−4 A4 x4+…+nAn xn−1−nAn xn+…−x2=−x2

y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…

(1−x ) y '−x2+ y=( A1+A0 )+(2 A2 ) x+(3 A3−A2 ) x2+(4 A4−2 A3 ) x3+…+((n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…

0=( A1+A0 )+(2 A2) x+(3 A3−A2 )x2+(4 A4−2 A3 )x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+… xn+…

Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y0

2 A2=0 ⇒ A2=0

3 A3−A2=0 ⇒ A3=0

4 A4−2 A3=0 ⇒A4=0 ..

(n+1 ) An+1−(n−1)An=0 ..



Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:y= y0− y0 x

∴ y= y0(1−x )

13).- Resolver y '=2 x2+3 y mediante potencias de x .


y '−3 x−2 x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x2+4 A4 x3+5 A5 x4+…+nAn xn−1+…−3 y=−3 A0−3 A1 x−3 A2 x2−3 A3 x3−3 A4 x4−…−3 An xn−…−2 x2=−2 x2

y '−3 x−2 x2=( A1−3 A0 )+ (2 A2−3 A1 ) x+(3 A3−3 A2−2 ) x2+ (4 A4−3 A3 )x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+…

0=( A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+(3 A3−3 A2−2 ) x2+(4 A4−3 A3 )x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+…Por lo tanto:

A1−3 A0=0 ⇒ A1=3 y0

2 A2−3 A1=0 ⇒ A2=3 y0

2

3 A3−3 A2−2=0 ⇒ A3=9 y0+4

2∗3

4 A4−3 A3=0 ⇒A4=3(9 y0+4)

2∗3∗4

5 A5−3 A4=0 ⇒ A5=9 (9 y0+4 )2∗3∗4∗5

. (n+1 ) An+1−(n−1)An=0

.


y= y0+3 y0 x+3 y0

2x2+

(9 y0+4)2∗3

x3+( 3(9 y0+4)2∗3∗4 ) x4+( 9 (9 y0+4)

2∗3∗4∗5 ) x5+…

∴ y= y0+3 y0 x+3 y 0

2x2+(9 y 0+4 )[ x3

3 !+

3 x4

4 !+

9 x5

5 !+…]

17).- Resolver y ' '−x y '+x2 y=0 mediante potencias de x.


y ' '−xy '+x2 y=0



Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:


−x y'=−A1 x−2 A2 x2−3 A3 x3−4 A4 x4−5 A5 x5−6 A6 x6−…−nAn xn−…

x2 y '=A0 x2+A1 x3+A2 x4+A3 x5+A4 x6+…+An xn+2+…

y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿

0=(2 A2 )+(6 A3−A1 )x+¿Por lo tanto:

2 A2=0 ⇒ A2=0

6 A3−A1=0 ⇒ A3=A1

6

12 A4−2 A2+A0=0 ⇒ A4=−A0

12

20 A5−3 A3+A1=0 ⇒A5=3 A1

40

30 A6−4 A4+A2=0 ⇒ A6=−A0

90.

(n+1 )∗(n+2 ) An+2−n An+An−2=0 ..


y=A0+A1 x+A0

6x3+(−A0

12 )x4+( 3 A1

40 )x5+(−A0

90)x6+…

∴ y=A0(1− x4

12− x6

90+…)+A1+5¿(x+ x3

6+ 3 x5

40+…)

19).- Resolver y ' '+x2 y=1+x+ x2según potencias de x.


y ' '+2 x2 y−1−x−x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:



y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:


x2 y '=A0 x2+A1 x3+A2 x4+A3 x5+A4 x6+…+An xn+2+…−1=−1−x=−x−x2=−x2

y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2−1 )+ (6 A3−1 ) x+¿

0=(2 A2−1 )+(6 A3−1 ) x+¿

Por lo tanto:

2 A2−1=0 ⇒ A2=12

6 A3−1=0 ⇒ A3=16

12 A4+A0−1=0 ⇒ A4=1−A0

12

20 A5+A1=0 ⇒A5=−A1

20

30 A6+A2=0 ⇒ A6=−160

. (n+1 )∗(n+2)An+2+An−2=0

.


y=A0+A1 x+ x2

2+ x3

6+( 1−A0

12 )x4+(−A1

20 ) x5+(−160

)x6+…

∴ y=A0(1− x4

12+…)+A1+5¿(x− x5

20+…)+ x2

2+ x3

6+ x4

12+ x6

60+…



PRACTICA N° 11

ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS



1) Comprobar que :

d J 0(X)

dx=−J 1(X)

J0( X)=∑

n=0

∞

¿¿

J0( X)=1−( x

2)

2

+ 1(2! )2

( X2)

4

− 1(3 !)2

( X2)

6

+….+¿¿

d J 0( X )

dx=−( x

2 )+ 11!2 ! ( x

2 )3

− 12!3 ! ( x

2 )5

++…(−1)n+1 1(n! ) (n+1 )!

( x2)

2n+1

d J 0( X )

dx=¿ −¿¿]

d J 0( X )

dx=−∑

n=0

∞

¿¿

d J 0( X )

dx=−J 1( X)

2) Comprobar que :

a)ddx (x K J k ( X )

)=xK Jk−1( X )

xK J k( X )=( x2

2)

k

¿

+12 ! (k+2 )! ( x

2 )4

−…+ 1n! ( k+1 )! ( x

2 )2 n}

ddx (x K J k ( X ))=

(2k )x2 K−1

2k { 1k !

− 11 ! (k+1 ) ! ( x

2 )2

+12! ( k+2 )! ( x

2 )4

−…+(−1)n

n! (k+n ) ! ( x2 )

2n

}

+ x2 K

2k { −10! (k+1 )! ( x

2 )+ 11 ! (k+2 ) ! ( x

2 )3

− −12 ! (k+3 )! ( x

2 )5

+…+(−1)n+1

n ! (k+n+1 )! ( x2 )

(2n+1)}ddx (x K J k ( X )

)= x2 K−1

2k−1 ¿

k2! ( k+2 )! ( x

2 )4

−…+(−1¿¿ )n kn! (k+n )! ( x

2 )2n

}¿

+ x2 K−1

2k−1 { −10 ! (k+1 ) ! ( x

2 )2

+ 11! (k+2 )! ( x

2 )4

− −12 ! (k+3 ) ! ( x

2 )6

+…+(−1)n+1

n! (k+n+1 )! ( x2 )

2 (n+1)}Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO


ddx (x K J k ( X )

)= x2 K−1

2k−1 ¿

k+22! ( k+2 )! ( x

2 )4

−…+ k+nn! (k+n ) !

ddx (x K J k ( X )

)= x2 K−1

2k−1 ¿

12! ( k+1 )! ( x

2 )4

−…+(−1)n

n! (k+n−1 )! ( x2 )

2n

}

Por lo tanto :

ddx (x K J k ( X )

)=xK Jk−1( X )

b)ddx (x−K J k ( X )

)=−x−K J k+ 1( X )

Debemos llegar a :

−x−K J k+1( X )=−x−K ( x2

2)

k +1

¿

+12! ( k+3 ) ! ( x

2 )4

−…+ 11! ( k+n+1 ) ! ( x

2 )2 n

}

−x−K J k+1( X )=−X

2k +1 ¿

+12! ( K+3 )! ( x

2 )4

−…+ 11 ! ( K+n+1 )! ( x

2 )2n

}

Partimos de :

x−K J k (X )= 1

2K ¿

+12 ! (k+2 )! ( x

2 )4

−…+ 1n! ( k+1 )! ( x

2 )2 n}

ddx (x−K J k ( X )

)=¿

12K { −1

0 ! (k+1 ) ! ( x2 )+ 1

1! ( k+2 )! ( x2 )

3

− −12! (k+3 ) ! ( x

2 )5

+…+(−1)n+1

n! ( k+n+1 ) ! ( x2 )

(2 n+1)} ddx (x−K J k ( X )

)=¿ −X2K+1 { 1

0 ! ( k+1 )!− 1

1 ! (k+2 ) ! ( x2 )

2

+ 12! ( k+3 )! ( x

2 )4



ddx (x−K J k ( X )

)=¿ −x−K J k+1( X )

4)probar que:

ex2 (t−1

t )=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+1t

J−1 (x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯⋯= ∑

n=−∞

∞

t n J n ( x )

Partimos de la igualdad:

ex2 (t−1

t )=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+1t

J−1 (x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯

x2 (t− 1

t )= ln (1× J 0 (x ) )+ ln ( t × J1 ( x ) )+⋯+ln (t k × Jk ( x ) )+⋯+ln( 1t

× J−1 ( x ))+⋯+ln( 1t k × J−k (x ))+⋯

x2 (t−1

t )= ln (1 )+ ln (J 0 (x ) )+ ln (t )+ ln (J 1 ( x ) )+⋯+ ln (t k )+ ln (J k ( x ) )+⋯+ ln( 1t )+ln (J−1 ( x ) )+⋯+ln ( 1

t k )+ ln (J−k ( x ) )+⋯⋯

x2 (t− 1

t )= ln (J 0 (x ) × J1 ( x )×⋯× J k ( x ) ×⋯ )+ ln (J−1 ( x ) ×⋯× J−k ( x )×⋯ )+ ln (1 ×t ×t 2×⋯×t k ×⋯ )+ ln( 1t

× 1t2 ×⋯× 1

t k ×⋯)Hallando el equivalente en sumatorias:

x2 (t− 1

t )=∑n=0

∞

ln (J n ( x ))+ ∑n=−∞

−1

ln (J n ( x ) )+∑n=0

∞

ln (t n)+ ∑n=−∞

−1

ln ( tn )

x2 (t−1

t )=∑−∞

∞

ln (J n ( x ) )+∑−∞

∞

ln (t n )

x2 (t− 1

t )=∑−∞

∞

[ ln (Jn ( x ) )+ln (t n ) ]

x2 (t−1

t )=∑−∞

∞

ln (t n× J n ( x ) )

ex2 (t−1

t )=∑−∞

∞

t n× J n (x )

∴ ex2 (t−1

t )=J0 ( x )+t J1 (x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+ 1t

J−1 ( x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯⋯=∑

n=−∞

∞

t n J n ( x )

5)

SOLUCION:

+ + 1 = 2 ; = 3/2

= 1 - = 1/4(1 - ) = 1/4



- 2 - ¼ = 02 - + ¼ = 0 = ½ ; = ½ ; = 3/2

ANALOGAMENTE:

y = Ay1 + By2

6.- resolver mediante serie:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0

Solución:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0 , mediante gauss

γ=4 , αβ=2 , α+β+1=4 , res olviendoobtenemos :α=1 , β=2 , γ=4 , x=x

y 1=F (α , β , γ , x ) , reemplazando obtenemos :

y 1=(1+ x2+ 3

10x2+ 1

5x3……)

Análogamente:y 2=x1−γ F ( α−γ+1 , β−γ+1,2−γ , x ) , reemplaz ando obtenemos

y 2=x1−γ F (−2 ,−1,−2 , x )y 2=x−3 (1+2 x .. )

La solución completa será:

y=A (1+ x2+ 3

10x2+ 1

5x3 ……)+B x−3 (1+2 x .. )

7.- probar que:

a) F (α , β , β , x )=(1− x )−α

b) xF (1,1,2,−x )= ln (1+x )

a) F (α , β , β , x )=(1− x )−α

Como:

y=F (α , β , γ , x )=F (α , β , β , x )tenemos : α=α , β=β , γ=β , x=x



Como:

y=1+αβ1 γ

x+α (α+1) β ( β+1 )1 x2 xγ (γ+1 )

x2+

α (α+1)(α+2) β( β+1 )(β+2 )1 x2 xγ ( γ+1)( γ+2 )

x3+ .. ..

Reemplazando obtenemos:

y=1+x+α (α+1)1 x2

x2+

α (α+1)(α+2)1 x2 x3

x3+

α (α+1)(α+2)(α+3)1 x2 x3 x 4

x4+.. . .. .. .

Como :

(1−x )−n=1+x+n(n+1 )2!

x2+

n( n+1)(n+2 )3 !

x3+

n( n+1)(n+2 )(n+3 )4 !

x4+. .. .. . ..

entonces :y= (1−x )−α

Entonces queda probado que:

F (α , β , β , x )=(1− x )−α

b) xF (1,1,2,−x )=ln (1+x )

Como:

y=F (α , β , γ , x )=F (1,1,2 ,−x )tenemos : α=1 , β=1 , γ=2 , x=−x

Como:

y=xalignl [1+ αβ1 γ

x+ ¿][ α(α+1 )β ( β+1)1 x2 xγ ( γ+1)

x2+ ¿][ α (α+1 )(α+2 )β ( β+1)( β+2)1 x 2 xγ (γ+1)(γ+2)

x3 ¿ ]¿¿

¿¿

Reemplazando obtenemos:



y=xalignl [1−x2+2 x2

2 x2 x3x2+2 x3 x 2 x 3

2 x3 x 2 x 3 x 4x3 ¿ ]¿

¿¿¿

¿

¿

Entonces queda probado que:xF (1,1,2,−x )=ln (1+x )



PRACTICA N° 12

I) TRANSFORMADA DE LAPLACECALCULAR LAS SIGUIENTES TRANSFORMADAS:1) Calcular: F (t )=1

Solución: Por definición.

L {F(t)}=∫0

+∞

e−St (1 ) dt=−e−St

S |0

+∞

=−e−St

S+

e0

S=

1S

2) Calcular: F(t )=tSolución: Por definición.

L {F(t)}=∫0

+∞

e−St ( t )dt=−t e−St

S−∫

0

+∞−e−St

Sdt=[−t e− St

S− e−St

S2 ]∞0= 1S2

3) Calcular: F(t )=eat

Solución: Por definición.



L {F(t)}=∫0

+∞

e−Sr (eat )dt=∫0

+∞

e−St+at dt=∫0

+∞

e−t (S−a)dt=[−e−t (S−a)

S−a ]∞0= 1S−a

4) Calcular L {F (t )} , donde F (t )=t 2+cos2t+e3 t

Solución: Por propiedad de linealidad: L {F( t ) }=L {t 2+cos2t+e3 t }=L{t 2 }+L {cos2t }+L {e3 t }

L {F( t ) } ¿2S3+

SS2+4

+ 1S−3

5) SI F (t )=e−t cos2 t , hallar L {F (t )}

Solución: Por la primera propiedad de traslación:

Sea; L {cos2 t }= SS2+4

=f (S ) , entonces,

L {e−t cos2 t }=f (S+1)=S+1

(S+1)2+4

L {e−t cos2 t }= S+1S2+2 S+5

6) Hallar: L {F (t )} si f (t )={( t−2)2 ,∧t>20 ,∧t<2

Solución: Por la segunda propiedad de traslación:

Sea: L {t3 }= 6S4=f (S )

L {F( t ) }=e−2 S f (S )=6e−2 S

S4

L {F( t ) }=6e−2 S

S4

7) L{3 u (T−2 ) }=e−2 S L

{3 }=3 e−2 S

S

8) L{Tu (T−a ) }= L{(T−a+a ) u (T−a ) }= L{(T−a )u (T−a ) }+ L{au (T−a ) }=

e−aS L{T }+ ae−aS

L{1 }=

e−aS

S2 + ae−aS

S

9) L{(3 T+1 )u (T−3 ) }= L{(3 T+1−10+10 ) u (T−3 ) }= L{(3 T−9+10 )u (T−3 ) }=

3 L{(T−3 )u (T−3 ) }+10 L{u (T−3 ) }= 3e−3 S L{T }+10 e−3 S

L{1 }=3e−3 S

S2 +10e−3 S

S

10) L{TeT −5 u (T−5 ) }= L{(T−5+5 ) eT −5 u (T−5 ) }= L{(T−5 )eT−5u (T−5 ) }+

L {5eT−5 u (T−5 ) }= e−5 S

L{TeT }+5 e−5 S L

{eT }= e−5 S

( S−1 )2+5e−5 S

S−1



11) L{(T−1 )3 eT −1 u (T−1 ) }=e−S L

{T 3eT }= 6 e−S

( S−1 )4

12) Hallar L {sen7 t }

Solución: Por la propiedad de cambio de escala

Sea: L {sin7 t }= 1S2+1

=f (S ) ; entonces

L {sen7 t }=17

f(

S7 )=1

7( 1

S2

72 +1)

L {sen7 t }= 7S2+49

13) Sea: F (t )=sen2t+cos2 t , hallar L {F( t ) }

Solución:

L {sen2 t+cos2t }=L { sen2t }+L {cos2t }= 2S2+4

+ SS2+4

14) Sea: F (t )=t 2+6 t−3, hallar L {F( t ) }

Solución:

L {t2+6 t−3 }=L {t 2}+6 L {t }+3 L {1 }= 2S3 +

6S2−

3S

15) Hallar L {(T +1)3 }

Solución:(T +1)3=t3+3 t2+3 t+1

L {t3+3 t 2+3t+1}=L {t 3 }+3 L {t2 }+3 L {t }+L {1 }= 6S4 +

6S3+

3S2+

1S

16) Hallar: L {(1+e2 t)2 }Solución:

F(t )=(1+e2 t)2=1+2 e2t+e4 t

L {1+2 e2 t+e4 t }=L {1 }+2 L {e2 t }+L {e4 t }=1S+ 2

S−2+ 1

S−4

17) Hallar: L {e2t cos2t }Solución:

L {e2t cos2t }=L {os2 t } SS2+4|S → S−2

= S−2(S−2)2+4

= S−2S2−4 S+8

18) Hallar: L {e t sen3 t }



Solución:

f (s )=L {e t sen3 t }=L {sen3 t }|S → S−1=3

S2+9|S → S−1

= 3(S−1)2+9

= 3S2−2S+10

19) Hallar: L{(et –e-t)5}

Solucion:

f (T )=(eT−e−T )5=e5T−5 e3T+10eT−10 e−T+5 e−3T−e−5T

L{e5 T−5 e3T+10 eT−10 e−T+5 e−3 T−e−5 T }= L{e5 T }- 5 L{e3 T }+ 10 L{eT } - 10 L{e−T }+

5{e−3 T }- L{e−5 T }=

1S−5

− 5S−3

+10S−1

−10S+1

+ 5S+3

− 1S+5

II) TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACEIDENTIFICAR LA PROPIEDAD Y RESOLVER

1) Si f (S )=1S2+

1S2+9

− 3S−2 ; Hallar F (t )

Solución: Por propiedad de linealidad.

F (t )={f (t ) }=L−1{ 1S2+

1S2+9

− 3S−2 }=L−1 { 1

S2 }+L−1 { 1S2+9 }−3 L−1{ 1

S−2}

F (t )=t+ sin 3 t3

−3 e2 t

2) Hallar F (t ) si: f (S )=S−2

(S−2)2+9

Solución: Por la segunda propiedad de traslación:

F (t )=L−1 {f (S )}=L−1{ S−2(S−2)2+9 }=e2t L−1{ S

S2+9 }F (t )=e2 t cos3 t

3) Hallar F (t ) si f (S )=1

9S2+1

Solución: Por la cuarta propiedad de cambio de escala

L−1 { 1S2+1 }=sin t

L−1 { 1(3 S)2+1 }=

sin t3

3

4) Hallar F (t ) si f (S )=1S2

Solución:

L−1 { 1S3 }= 1

2 !L−1{2 !

S3 }=12

t2

5) Hallar F (t ) si f (S )=1S4



Solución:

L−1 { 1S4 }= 1

3!L−1 {3 !

S4 }=16

t 3

6) Hallar F (t ) si f (S )=1S2+

48S5

Solución:

L−1 { 1S2+

48S5 }=L−1 { 1

S2 }+L−1{4 8S5 }=t+2t 4

7) Hallar F (t ) si f (S )=( 2S+ 1

S3 )2

Solución:

L−1 {( 2S+ 1

S3 )2}=L−1 { 4

S2−4S4+

1S6 }= 4

1 !L−1{1 !

S2 }− 43!

L−1 {3 !S4 }+ 1

5 !L−1{5 !

S6 }L−1 {( 2

S+ 1

S3 )2}=4 t−2

3t3+ 1

120t 5

8) Hallar F (t ) si f (S )=(S+1)3

S4

Solución:

L−1 { (S+1 )3

S4 }=L−1{S3+3 S2+3 S+1S4 }=L−1{1

S+ 3

S2+3S3+

1S4 }

L−1 { (S+1 )3

S4 }=L−1{1S }+3L−1{ 3

S2 }+ 32 !

L−1{2 !S3 }+ 1

3 !L−1{3 !

S4 }L−1 { (S+1 )3

S4 }=1+3 t+ 32

t 2+ 16

t3

9) Hallar F (t ) si f (S )={ 1S2−

1S+ 1

S−2}

Solución:

L−1 {{ 1S2−

1S+ 1

S−2}}=t−1+e2 t

10) Hallar F (t ) si f (S )={ 14 S+1

}

Solución:

L−1 { 14 S+1 }=L−1 { 1

4

S+ 14}=1

4L−1 { 1

S+ 14 }=1

4e−14

11) Hallar F (t ) si f (S )={ 15 S−2

}



Solución:

L−1 { 15S−2 }=L−1 { 1

5

S+15}=1

5L−1{ 1

S+15 }=1

5e−15

12) L-1 { 1

S3 }=

12! L-1

( 2!S3 )

=

12

T 2

13) L-1{( 2

S− 1

S3)2}

= L-1 { 4

S2 −4S4 +

1S6 }

=

41! L-1

{1 !S2 }−

43! L-1

{3 !S4 }+

15! L-1

{5 !S6 }

=

4 T−23

T3+ 1120

T5

14) L-1{ 1

4 S+1 }= L-1{ 1

4

S+14}=1

4 L-1{ 1

S+14 }=

14

e−1

4 T

15) L-1{ 15 S−2 }= L-1

{ 15

S−25}

=

15 L-1

{ 1S−2

5 }=

15

e2

5T

16) L-1{ 5

S2+49 }=

57 L-1

{ 7S2+49 }=

57

sen7 T

17) L-1{10 S

S2+16 }= 10 L-1{ S

S2+16 }=10 cos4T

18) L-1{2S−6

S2+9 }= 2 L-1

{ SS2+9 }−6

3 L-1{ 3

S2+9 }=2 cos3 T−2 sen3 T

19) L-1{ 5( S−2 ) (S−3 ) (S−6 ) }

AS−2

+BS−3

+CS−6

=5( S−2 ) ( S−3 ) (S−6 )

A (S−3 ) ( S−6 )+B (S−2 ) (S−6 )+C (S−2 ) ( S−3 )=5A (S2−9S+18 )+B (S2−8S+12 )+C (S2−5 S+6 )=5A+B+C=0−9 A−8 B−5 C=018 A+12B+6 C=5

A=12 , B=−1 y C=1

2

L-1{ 5( S−2 ) (S−3 ) (S−6 ) }=

12 L-1

{ 1S−2 }− L-1

{ 1S−3 }+ 1

2 L-1{ 1

S−6 }= 12 e2T−e3T+ 1

2 e6T

20) L-1{ 1S (S2+4 ) }



AS+BS+C

S2+4=1

S (S2+4 )A (S2+4 )+(BS+C ) S=1AS2+4 A+BS2+CS=1A+B=0C=04 A=1⇒ A=1

4 ⇒B=−A=−14

L-1{ 1

S (S2+4 ) }=

14 L-1

{1S }−1

4 L-1{ S

S2+4 }=

14− 1

4cos2T

21) L-1{ 1(S2+1 ) (S2+4 ) }

AS+BS2+1

+CS+DS2+4

=1(S2+1 ) (S2+4 )

( AS+B ) (S2+4 )+(CS+D ) (S2+1 )=1AS3+4 AS+BS2+4 B+CS3+CS+DS2+D=1A+C=0B+D=04 A+C=04 B+D=1

A=0 , B=1

3 , C=0 y D=−13

L-1{ 1(S2+1 ) (S2+4 ) }=

13 L-1

{ 1S2+1 }− 1

3∗2 L-1 { 2S2+4 }=1

3 senT−16 sen2T

(1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

22)L-1 { 1( S+2 )3 }=

12! L-1

{2 !S3 }|S→ S+2=

12 T2|S→S+2=

12 T2 e−2 T

23) L-1{ 1

S2−6 S+10 }= L-1{ 1

S2−6 S+10−1+1 }= L-1{ 1S2−6 S+9+1 }=

L-1{ 1( S−3 )2+1 }= L-1

{ 1S2+1 }|S→S−3

= e3T senT

24) L-1{ 1

S2+2 S+5 }= L-1{ 1

S2+2 S+1+4 }= L-1{ 1( S+1 )2+4 }= 1

2

L-1 { 2

S2+4 }|S→S+1 = 1

2e−T sen 2T

25) L-1{ 2 S+5S2+6 S+34 }= L-1

{ 2 S+5S2+6S+34−25+25 }= L-1

{ 2S+5S2+6 S+9+25 }=



L-1{2 S+5+1−1

(S+3 )2+25 }= L-1{ 2 S+6( S+3 )2+25 }− L-1

{ 1( S+3 )2+25 }= 2 L-1

{ S+3( S+3 )2+25 }

− 15 L-1

{ 5( S+3 )2+25 }=2 L-1

{ SS2+25 }|S→ S+3−

15

L-1{ 5S2+25 }|S→S+3=

2 e−3T cos5 T−15

e−3T sen5 T

26) L-1{ 2 S−1

S2 (S+1 )3}AS+B

S2+C

S+1+D

( S+1 )2+E

( S+1 )3=2S−1

S2 ( S+1 )3

AS (S+1 )3+B (S+1 )3+CS2 ( S+1 )2+DS2 (S+1 )+ES2=2 S−1AS4+3 AS3+3 AS2+AS+BS3+3 BS2+3 BS+B+CS4+2 CS3+CS2+DS3+DS2+ES2=2 S−1A+C=0⇒C=−A⇒C=−53 A+B+2 C+D=03 A+3 B+C+D+E=0A+3 B=2⇒ A=2−3 B=5B=−1 , D=−4 y E=−3

L-1{ 2 S−1

S2 (S+1 )3}= L-1{5S }+ L-1

{−1S2 }+

L-1{ −5S+1 }+ L-1

{ −4( S+1 )2 }− 3

2 ! L-1

{ 2!( S+1 )3 }=

5−T−5 e−T−4 Te−T−32

T 2 e−T

27) L-1{ e−2 S

S2 (S−1 ) }= L-1{ 1S2 (S−1 ) }e−2 S

AS+B

S2+C

S−1=1

S2 ( S−1 )AS (S−1 )+B (S−1 )+CS2=1AS2−AS+BS−B+CS2=1A+C=0−A+B=0B=−1⇒ A=−1⇒C=1

L-1{ 1S2 (S−1 ) }e−2 S

= L-1{−1S −

1S2 +

1S−1 }e−2 S=(−1−T+eT )u (T−2 )=

−u (T−2 )−(T−2 )u (T−2 )+eT−2u (T−2 )

28) L-1{(1+e−2 S )2

S+2 }= L-1{1+2 e−2 S+e−4 S

S+2 }= L-1{ 1

S+2 }+2 L-1{ 1

S+2 }e−2 S+



L-1{ 1S+2 }e−4 S=

e−2T+2e−2 T u (T−2 )+e−2 T u (T−4 )=

e−2T+2e−2 (T−2 ) u (T−2 )+e−2 (T−4 )u (T−4 )

29) L-1{e−2 S

S3 }= L-1{ 1

S3 }e−2 S=12 ! L-1 {

2 !S3 }e−2 S=

12 T 2e−2S=

12 T 2u (T−2 )=

12

(T−2 )2 u (T−2 )




FIN

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