Balistique Notes Cours

Institut de Mécanique B52 Université de Liège Chemin des Chevreuils, 1 LTAS - Infographie Sart Tilman - 4000 Liège http://www.ulg.ac.be/ltas-cao/ Tél. 32-(0)4-366 94 50, Fax 32-(0)4-366 91 41 [email protected] Février 2006

Notes de cours 2005–2006 préparées avec la collaboration de Pierre Vueghs, aspirant FNRS Photo : Salon du Bourget 2003

Balistique extérieure et dynamique des fusées

Pierre Beckers Professeur ordinaire

Table des matières

1 Historique 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Les grandes étapes des découvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Jusqu'au XVème siècle : l'espace continental . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Du XVème au XIXème siècle : la terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Le XXème siècle : la conquête de l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les événements dans le domaine de l'aéronautique et de l'espace au XXème siècle 61.4 L'Europe spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Le rôle de la Belgique dans l'Europe spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Problème élémentaire des performances d'une fusée - dynamique du point 13

2.1 Loi de Tsiolkovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Perte de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Poussée et Impulsion spécique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Pertes par incidence et braquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Pertes par traînée et portance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Pertes par gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Exemple de lanceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Fusée à un étage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 Fusée à deux étages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3 Fusée à trois étages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Orbites képlériennes 24

3.1 Conservation de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Equation polaire de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Classication des orbites 28

5 Trajectoires de têtes balistiques 33

6 Introduction de la variable temps 37

6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Equation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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6.4 Transfert d'une orbite basse sur une orbite géostationnaire . . . . . . . . . . . . 416.5 Cas d'une orbite basse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.6 Cas de l'orbite géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Problème élémentaire de satellisation 43

7.1 Procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Le tir balistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2.1 Exemple du V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Lancement avec angle de site imposé, ω2 xé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Technologie de la fusée 58

8.1 Indices structuraux ou indices de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2 Taille des moteurs et pertes de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 Les fusées à étages 62

9.1 Grandeurs optimales possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2 Rapport de masse optimal pour une fusée multi-étages . . . . . . . . . . . . . . 629.3 Pertes de gravité négligées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.4 Fusée Ariane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.5 Amélioration de la procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10 Problème du rendez-vous 69

10.1 Distance des foyers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.2 Théorème de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11 Le problème des n-corps en mécanique céleste 77

11.1 Hypothèses de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.2 Le problème des 3 corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.2.1 Première solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.2.2 Deuxième solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11.3 Trois corps dont un de masse négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12 Les paramètres képlériens 84

12.1 Plan de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8412.2 Forme de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8512.3 Orientation de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.4 Position du satellite sur son orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.4.1 Anomalie vraie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.4.2 Anomalie excentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.4.3 Anomalie moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

13 Les manoeuvres 90

13.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9013.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9013.3 Moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9113.4 Manoeuvres courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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13.4.1 Modication de la forme de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9113.4.2 Modication du plan de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.4.3 Modication de l'orientation de l'orbite - paramètre ω . . . . . . . . . . 9613.4.4 Modication de la date de passage en un point donné . . . . . . . . . . 97

13.5 Manoeuvres combinées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

14 Les perturbations 99

14.1 Perturbations d'origine gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.1.1 Irrégularités du potentiel terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.1.2 Marées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.1.3 Attractions lunaire et solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.1.4 Inuence sur les paramètres képlériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14.2 Perturbations d'origine non gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11114.2.1 Frottement atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11114.2.2 Pression de radiation solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.3 Importances relatives de ces perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

15 Trajectoires interplanétaires 114

15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.2 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11515.3 Méthode des côniques juxtaposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

15.3.1 Notion de sphère d'inuence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11615.3.2 Coniques juxtaposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11715.3.3 Transfert interplanétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15.4 Assistance gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16 Où l'on rentre sur Terre : trajectoires de rentrée atmosphérique 127

16.1 Arc orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.1.1 Transfert à partir d'une orbite circulaire basse . . . . . . . . . . . . . . . 129

16.2 Arc atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13916.2.1 Notion de corridor de rentrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13916.2.2 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13916.2.3 Le rebond atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14116.2.4 La trajectoire équilibrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14216.2.5 Evolution des phénomènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.2.6 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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Chapitre 1

Historique

L'exploration des dernières terres inconnues s'est achevée à la n du siècle dernier avec laparticipation active de la Belgique. Pour conquérir de nouveaux territoires, il était nécessaired'entrer dans la troisième dimension de l'exploration spatiale. Cette histoire "d'un grand paspour l'humanité" a malheureusement commencé durant la seconde guerre mondiale. Située aucoeur de l'Europe, forte de sa longue tradition de négociation et d'esprit d'aventure, la Belgiquese devait de s'impliquer totalement dans ce nouveau dé. Il est certes évident que l'Europea un retard important sur l'Amérique et l'Union Soviétique, mais la place de la Belgique yest proportionnellement plus élevée que son poids économique au sein de la Communautéeuropéenne. Ce fait se voit encore conrmé par l'allure dynamique du pays dans le domainespatial, bien qu'un engagement futur plus poussé demeure indispensable.

1.1 Introduction

La conquête de l'espace est un thème très médiatisé. La presse écrite et la télévision nousfont part, presque quotidiennement, d'un événement extraordinaire ou d'une première mon-diale. Le public a ainsi l'impression de bien connaître tout ce qui a trait à l'espace. Pourtant,l'étude des problèmes spatiaux est très complexe car elle est pluridisciplinaire : science des ma-tériaux, biologie, médecine, électronique, télécommunications, etc... La recherche spatiale faitdonc appel aux sciences fondamentales et à toutes les technologies développées par l'hommeau cours des 50 dernières années.

Les eorts déployés pour promouvoir l'activité spatiale, en présenter les acquis et justierles investissements sont énormes. Les organismes chargés d'assurer la conquête de l'espace ontdû convaincre leurs autorités de tutelle de consentir un eort nancier considérable ; par voiede conséquence, au moins dans les pays démocratiques, il s'est avéré nécessaire de convaincreégalement les citoyens du bien fondé des actions entreprises.

Du fait des budgets mis en jeu et de l'internationalisation des programmes, de nom-breuses entreprises entrent en compétition. Elles doivent présenter, de manière exhaustiveet attrayante, leurs réalisations et leur savoir-faire an d'acquérir une part de marché.

Il faut également rappeler que l'homme a toujours essayé de conquérir de nouveaux terri-toires. Ce sujet excite donc l'imagination et intéresse passionnément aussi bien les scientiques

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que le public. En eet, qui ne s'extasie devant la photo d'une lointaine galaxie ? Qui ne se sentconcerné par les théories relatives à la naissance de l'univers ?

Enn, il est important de souligner que tout ce qui touche à l'espace a des implicationsciviles et militaires. Dans le domaine civil, l'homme agit à la fois pour la beauté de la science,une meilleure connaissance de l'univers et de la terre mais également pour des enjeux commer-ciaux et politiques. Quant aux aspects militaires, largement exploités dans les médias commejusticatifs de dépenses ou comme moyens de pression sur la politique, ils doivent être prisen compte car ils conditionnent l'indépendance et la sécurité des pays. La recherche spatiale,comme toute activité humaine et scientique, peut donc servir pour le progrès de l'humanitéou pour sa destruction.

1.2 Les grandes étapes des découvertes

Nous distinguerons trois grandes périodes :

1.2.1 Jusqu'au XVème siècle : l'espace continental

A de rares exceptions près, jusqu'au XVème siècle, l'homme n'avait le moyen de s'aven-turer que dans un espace limité par les grands obstacles naturels qu'il apprit à vaincre petità petit. Dans une vision égocentrique du monde, l'expédition la plus importante fut celle deMarco Polo qui réussit à traverser l'Europe et l'Asie. Les terres lointaines ou les territoiresd'outre-mer restaient inaccessibles car il manquait à l'homme la boussole, instrument essentielpermettant de se situer exactement sur la planète et la théorie de rotondité de la terre, théoriescientique lui assurant que l'exploration de la planète était possible.

Une fois cette connaissance acquise et cette technique mise au point, il a pu entreprendrela découverte de notre planète. La motivation nécessaire pour une telle entreprise était fourniepar la soif de l'or et la recherche de produits nouveaux tels que les épices.

1.2.2 Du XVème au XIXème siècle : la terre

Il est surprenant de constater qu'une trentaine d'années, et très peu d'hommes surentpour eectuer le premier tour du monde et explorer le Nouveau Continent.

Evidemment, l'exploitation des résultats a mis un certain temps à se concrétiser. Pourachever réellement l'exploration des dernières terres vierges, il fallait disposer d'une logistiquenettement supérieure. Elle fut apportée au XIXème siècle par l'invention de la puissance mé-canique et l'utilisation de la machine à vapeur permettant la fabrication de biens et la diusiondes moyens de transport.

La Belgique est intervenue assez tard dans ce processus. Après avoir conquis son indépen-dance et accumulé des moyens de production, elle s'est lancée dans l'exploration des terresinconnues de l'Afrique centrale. Ce sera l'épopée du Congo belge.

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1.2.3 Le XXème siècle : la conquête de l'espace

Jusqu'à la n du XIXème siècle, l'exploration de l'espace était bidimensionnelle puisqu'elles'est réalisée à la surface des terres et des océans. Que manquait-il à l'homme pour entrer dansla troisième dimension ? Il fallait essentiellement disposer de machines à puissance spéciquesusante et maîtriser les moyens d'obtenir une autonomie complète par rapport à l'environ-nement. Ces conditions seront réalisées progressivement au cours du XXème siècle qui marquevraiment le début du développement de l'aéronautique et du spatial, domaines fortement liés,tant du point de vue des techniques utilisées que des types d'industries aptes à fabriquer lesmatériels.

1.3 Les événements dans le domaine de l'aéronautique et de

l'espace au XXème siècle

Une chronologie succincte des grands événement de l'aéronautique et du spatial de ce sièclepermet de mieux comprendre l'évolution des techniques. Les événement repris ici ont été choi-sis car ils sont représentatifs d'un progrès technologique majeur.

1903 : naissance de l'aviation, le 17 décembre, Wilbur Wright parcourt en 5 secondes 284mètres de vol soutenu ;

Constantin Tsiolkovski publie "Exploration des espaces cosmiques par des engins à réac-tion" ;

1909 : le 25 juillet, Blériot franchit la Manche ;

1926 : premier vol d'une fusée à propergols liquides. Elle a été conçue par Robert Goddard ;

1927 : Lindbergh franchit l'Atlantique ;

1935 : le 17 décembre, premier vol du DC3 qui sera construit dans ses versions civiles etmilitaires à 30000 exemplaires (de Castillon de Saint Victor) ;

1944 : le 8 septembre, les premières fusées V2 tombent sur Londres, il en sera lancé plusde 1000 ;

1952 : De Havilland DH106 Comet 1 : le 2 mai, la BOAC, avec un Comet 1, eectue lepremier transport civil de passagers du monde avec un avion équipé de moteurs à réaction surla ligne Londres-Johannesbourg ;

1957 : lancement du premier satellite articiel : Spoutnik ;

1958 : premier satellite américain : Explorer 1, découverte des ceintures de Van Allen,création de la NASA (National Aeronautics and Space Administration) ;

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1961 : le 12 avril, premier vol d'un homme dans l'espace, le soviétique Youri Gagarine ;

en France, création du CNES.

1962 : le 20 février, premier vol d'un américain dans l'espace, John Glenn ;

1968 : le 31 décembre, vol du premier avion supersonique civil : Tupolev TU144 ;

1969 : le 22 mars, vol du Concorde 001 ;

le 20 juillet, arrivée sur la lune de N. Armstrong et E. Aldrin à bord du module lunaire duvaisseau Apollo 11 ;

1970 : premier vol commercial du Boeing 747 - jumbo jet, (premier vol d'essai le 6 février1969) ;

1974 : création de l'ESA (European Space Agency) ;

1979 : le 24 décembre, premier vol de la fusée européenne ARIANE L1 depuis Kourou ;

1981 : le 12 avril, premier vol de la Navette spatiale américaine.

1988 : Ariane 4

L'examen des caractéristiques des principaux engins cités ci-dessus, permet de se rendrecompte de l'évolution de la puissance des moteurs et des masses soustraites à la pesanteur(tableau 1). Dans ce tableau, l'eort technologique est mesuré par le poids des avions et lapuissance de leurs moteurs (Angelucci 1976 et Gatland 1981). Le tableau suivant rassembleles caractéristiques de quelques avions à hélices.

Puissance [CV] Poids maximum au décollage [kg] Poids à vide [kg]

Wright yer I 12 340 274

Blériot XI 25 300 210

Spirit of St Louis 220 2 379 975

DC3 2 x 1 100 11 068 7 800

Après la seconde guerre mondiale apparaissent les avions à réaction. Les chires repris autableau 2 montrent également l'évolution de la puissance et des masses des avions. Deux grandschoix se dégagent, l'accroissement de la vitesse (Concorde et Tupolev) ou l'accroissement de lacharge transportée (Boeing 747). Le tableau suivant rassemble les caractéristiques de quelquesavions à réaction.

Puissance [CV] Poids max au décollage [kg] Poids à vide [kg] Charge utile [kg]

Comet 4 x 2 019 47 628 - 5 443

Concorde 4 x 17 418 174 636 76 658 12 701

Tupolev TU144 4 x 17 500 180 000 85 000 -

Boeing 747 4 x 19 732 351 540 163 848 74 973

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Notons que, pour les avions d'avant 1940, ce sont les puissances des moteurs qui sont men-tionnées tandis que pour les engins postérieurs à 1945, qui font appel à des moteurs à réactionou des moteurs fusées, l'indicateur retenu sera la poussée.

La technique des fusées va marquer une rupture par rapport à la conception des avions(Barrère et al. 1960 et Marty 1986), d'une part parce que tous les ingrédients nécessaires aufonctionnement du moteur doivent être embarqués (comburant et combustible), tandis quepour les avions on utilise comme comburant l'oxygène de l'atmosphère d'autre part, parce quela fusée ne dispose plus de l'aide de l'atmosphère pour assurer son déplacement (on ne peutplus compter sur l'eet de portance) puisque la majeure partie du déplacement s'eectue dansle vide.

Ainsi, la fusée doit être complètement autonome, ce qui implique nécessairement des dif-cultés plus grandes pour la conception du lanceur. Le respect des masses devient le pointcritique de la conception, c'est cette raison qui a retardé leur construction, alors que le principeen est simple et avait déjà été mis au point par Tsiolkovski au début du siècle.

Le troisième tableau donne quelques indications sur les caractéristiques de lanceurs cou-rants (Castello 1987, Pirard 1987 et 1989). On constate que les poids au décollage sont net-tement plus importants que ceux des avions et que la poussée des moteurs doit être d'un oudeux ordres de grandeur supérieure à celle des plus gros avions. Par contre, la charge utilepour la mission de mise en orbite géostationnaire est extrêmement faible.

Poids max au décollage [kg] Charge utile [kg]

Ariane 1 (Europe) 200 1.

H-2 (Japon) 400 3.6

Ariane 5 (Europe) 500 4.

Proton (URSS) 691 4.5

Navette spatiale (USA) 2 040 2.3

Les modestes performances en charge utile de la navette spatiale s'expliquent par le faitqu'il s'agit d'un lanceur de conception radicalement diérente. En eet, la navette permet leretour sur terre d'un véhicule piloté de masse importante.

A la n des années 60, les Américains ont mis au point, pour la mission lunaire, le lanceurSaturn V dont les performances étaient remarquables. Avec un poids au décollage de près de3000 tonnes et une poussée d'environ 3400 tonnes, ce lanceur était capable de placer, sur uneorbite basse, une charge de 120 tonnes (Bruhn 1967).

Il convient ici de citer Fraeijs de Veubeke qui disait lors d'une conférence de la SociétéScientique de Bruxelles tenue à Liège, le 28 octobre 1964 :

"La faible valeur de la charge utile en comparaison avec le poids total au décollage et l'ex-

trême sensibilité de cette valeur aux moindres modications de chaque élément a pour eet de

produire des organes d'une performance remarquable en comparaison de leur poids et de leur

volume. Elle requiert aussi la pratique de l'optimisation globale dans laquelle chaque organe est

pesé en fonction de son rôle exact dans l'ensemble de la mission. De plus le coût élevé d'une

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mission met simultanément à l'avant-plan la sécurité de fonctionnement, non seulement de

chaque organe, mais de la conception intégrée de ces organes et ce, dans des conditions am-

biantes de fonctionnement particulièrement sévères.

Presque toutes les disciplines de l'ingénieur concourent à la réalisation de cet édice.

Les dernières cloisons entre disciplines spécialisées sont ébranlées. Pour pouvoir se com-

prendre, électroniciens, chimistes, physiciens, mécaniciens sont bien forcés de parler un langage

commun et d'élaborer des concepts communs pour être en mesure de quantier les interférences

entre leurs disciplines. Il se produit ainsi, dans les meilleures traditions de l'aéronautique mais

sur une échelle encore plus vaste, une fécondation réciproque entre les compartiments de l'art

de l'Ingénieur, qui peut avoir sa répercussion jusque dans l'enseignement. Le potentiel scienti-

que ainsi développé dans chaque pays n'est pas un potentiel de spécialistes étroits. Une équipe

ayant pratiqué l'étude d'un système aussi complexe que celui d'un lanceur spatial représente

un potentiel directement utilisable à d'autres ns industrielles.

Il semble bien qu'on puisse en conclure qu'au-delà d'un engouement passager, la recherche

spatiale s'annonce comme une des grandes activités scientiques et techniques de l'Europe dans

les vingt années à venir."

1.4 L'Europe spatiale

La lecture de la chronologie établie précédemment fait apparaître de manière évidente leretard des Européens par rapport aux Américains et aux Soviétiques. Seule parmi tous les payseuropéens, la France a été très vite consciente des enjeux d'une politique spatiale cohérenteet indépendante ; elle a crée dès 1962 un Centre National d'Etudes Spatiales (CNES). C'estseulement en 1974, c'est-à-dire 16 ans après la création de la NASA qu'une entité européenneunique voit enn le jour.

L'Agence Spatiale Européenne (ESA : European Space Agency) résulte de la fusion dedeux organisations créées en 1964 : l'ELDO (European Launcher Development Organization)et l'ESRO (European Space Research Organization).

Cette dernière organisation destinée à coordonner les programmes scientiques et la miseau point des satellites avait bien rempli sa mission. Par contre, l'activité de l'ELDO chargéede mettre au point un lanceur, s'était terminée par l'échec spectaculaire du lancement de lafusée Europa II depuis le site de Kourou en novembre 1971. Cet échec fut la conséquence desdicultés de coordination des politiques spatiales des états membres. Il mettait aussi en évi-dence l'impérieuse nécessité du dialogue et de la concertation entre scientiques ou industrielsde pays diérents.

Fortement incités par la France, les pays européens décident de lancer un nouveau pro-gramme de développement d'un lanceur : le programme Ariane.

Le premier lancement de la nouvelle fusée sera couronné de succès, le 24 décembre 1979,soit plus de dix ans après l'arrivée d'un homme sur la lune et plus de vingt ans après le lan-

9

cement du premier satellite articiel. A cette époque, près d'un millier de satellites gravitentdéjà autour de la terre (Dejaie 1985). Mais cette réussite donne une nouvelle impulsion àl'activité spatiale européenne. Au cours des dix années suivantes, 35 lancements seront eec-tués avec un nombre très limité d'échecs. Le succès commercial de la fusée est assuré malgréune concurrence sévère. Actuellement, l'Europe se prépare activement au développement d'unlanceur plus puissant : Ariane 5.

En conclusion, l'examen des budgets des principaux pays extrait du répertoire spatialeuropéen (European Space Directory 1989), (tableau 4), permet de se rendre compte immé-diatement du retard de l'Europe. L'eort européen en matière spatiale est inférieur à dixpour-cent des eorts américains ou soviétiques. Dans le tableau suivants, les budgets spatiauxsont donnés en millions de dollars.

Année Europe USA Japon Canada URSS

1965 150 6 886 - - 11 000

1970 288 5 453 41 13 12 000

1975 712 4 891 233 40 12 500

1980 1 199 7 668 465 60 14 000

1985 1 151 17 255 529 121 20 000

1988 2 449 28 781 862 117 33 000

1.5 Le rôle de la Belgique dans l'Europe spatiale

Dans des programmes scientiques ou industriels de grande envergure, il est normal que laparticipation des petits pays soit faible. Cependant, il faut noter que dans le domaine spatialla place de la Belgique est nettement plus importante que ne le laisserait supposer son poidséconomique au sein de la communauté européenne. Cela est dû à la clairvoyance de person-nalités politiques, scientiques et industrielles.

Lorsqu'on examine l'historique de la création de l'ESA, on découvre que la Belgique ya joué un rôle extrêmement positif et que, selon Castello (1987), les ministres belges ThéoLefevre, Charles Hanin et Gaston Geens ont eu une inuence importante sur les événementqui ont présidé à l'élaboration du programme Ariane et à la création de l'ESA.

D'un point de vue scientique quelques pionniers se sont très vite intéressés au domainespatial, citons André Jaumotte, Baudouin Fraeijs de Veubeke et Jean Vandenkerckove quiont publié en 1960 un livre sur la propulsion par fusées (Barrère et al. 1960). Chacun dansson domaine s'est attaché à développer les disciplines scientiques nouvelles nécessaires audéveloppement de l'aéronautique ou du spatial.

Il serait évidemment injuste de ne pas citer les nombreux autres scientiques engagés dansla recherche spatiale. Comme il est impossible d'en établir une liste exhaustive, il convient dese référer à un rapport écrit à la demande du comité national belge pour la recherche spa-tiale à l'Académie Royale de Belgique et présenté à la XXVIIème session plénière du comitéscientique sur la recherche spatiale (COSPAR) tenu à Espoo, en Finlande du 18 au 29 juillet1988. Dans ce rapport, il est fait état de 15 laboratoires belges participant activement à la re-cherche spatiale. La plupart d'entre eux sont liés à des institutions universitaires, les autres, à

10

des institutions importantes comme l'observatoire royal de Belgique, le musée royal d'Afriquecentrale ou l'institut royal météorologique de Belgique.

En ce qui concerne l'industrie, notons tout d'abord l'existence de BELGOSPACE. Il s'agitde l'association belge interprofessionnelle des activités spatiales. Créée en 1962, elle regroupeles ténors de l'industrie spatiale belge dont Alcatel-Bell Telephone, ETCA et SABCA.

Alcatel-Bell Telephone (Anvers) est mondialement présente dans les télécommunicationset les systèmes de transmission. Depuis 1962, elle participe à de nombreux projets spatiaux.Son département spatial ore une gamme de produits et d'équipements hautement qualiés.Parmi ses réalisations et ses projets on peut citer les systèmes de contrôle de l'ensemble delancement d'Ariane, le contrôle de satellites de réception d'images spatiales, le système detélécommunications de Colombus et d'Hermès.

ETCA (Charleroi), liale d'Acec et de General Dynamics, est présente dans l'alimentationélectrique des engins spatiaux et des systèmes de conditionnement d'énergie. Elle produit aussiles boîtiers de destruction contrôlée des deux premiers étages d'Ariane.

SABCA (Bruxelles) est la première industrie belge qui se soit intéressée au spatial, sonexpertise comprend la ne mécanique et les systèmes hydrauliques pour matériel aérospatial.L'entreprise participe à la production des carénages et empennages du 1 étage d'Ariane etde tous les servomoteurs à bord des trois étages de la fusée. Elle participera également auxprogrammes Ariane 5, Colombus et Hermès. La SABCA a été un des premier utilisateurs dulogiciel de calcul par éléments nis : SAMCEF. Ce logiciel a été développé au laboratoire detechniques aéronautiques et spatiales de l'Université de Liège. Il a été utilisé par la SABCAet les entreprises françaises SEP et Aérospatiale pour le calcul du comportement mécaniquedes fusées Ariane. La société SAMTECH créée en 1986, poursuit le développement et la com-mercialisation de ce logiciel.

Il serait trop long de citer toutes les autres sociétés impliquées dans le domaine spatial.Relevons simplement que le répertoire international de l'espace (1990-1991) donne les réfé-rences d'une quarantaine d'entreprises et de laboratoires de recherche belges. On peut égale-ment consulter "Belgique, informations économiques et commerciales", revue trimestrielle del'OBCE 1989/4.

Les considérations qui précèdent indiquent que la Belgique est très dynamique dans ledomaine spatial. Ce fait est conrmé par l'importance du poste spatial parmi l'ensembledes thèmes de recherches. Le tableau 5 extrait de documents émis par le SPPS (Service deProgrammation de la Politique Scientique) montre qu'une part de dix pour-cent environ del'aide publique à la recherche est consacrée au spatial.

! ! ! Manque le tableau 5 ! ! !

1.6 Conclusion

Le rôle de la Belgique dans la conquête de l'espace vient d'être déni dans la perspectivehistorique des grandes évolutions du XXème siècle. L'accent a été mis sur les lanceurs car, c'est

11

dans ce domaine qu'un état ou un groupe de pays doit armer son indépendance. Beaucoupd'autres thèmes liés à l'espace n'ont pas été abordés : conception et fabrication des satellites oudes instruments de bord, construction de stations au sol. Dans tous ces domaines, la Belgiquejoue un rôle important. Les nombreuses publications de l'ESA et les rapports d'activités desinstitutions nationales permettent d'en mesurer l'importance.

La conclusion de ce travail est que la Belgique s'est fermement engagée dans la conquêtede l'espace. Elle joue un rôle actif dans les organisations européennes et cherche à participer àla plupart des projets internationaux. Un grand nombre d'industriels et d'équipes scientiquesfont preuve de dynamisme. La seule ombre au tableau est que la recherche ainsi que l'industriespatiales sont très dispersées : petites équipes de recherches et entreprises de taille faible.

En résumé, il est indispensable de prendre conscience des évolutions technologiques etd'investir davantage dans la recherche. Pour mener une bonne politique, il faut bien choisirles objectifs et se donner les moyens de les atteindre.

12

Chapitre 2

Problème élémentaire des

performances d'une fusée - dynamique

du point

L'objectif de ce chapitre est d'évaluer le ∆V propulsif qu'il faut fournir à une fusée pour lamise en orbite. Cette évaluation fait intervenir la poussée eectivement fournie par les moteursdu lanceur ainsi qu'une série de pertes qui vont limiter les performances de notre lanceur. Latrajectoire d'un lanceur Ariane est schématisée sur la gure suivante.

Fig. 2.1 Phases de vol du lanceur Ariane 1.

Sur la gure 2.1, nous découvrons la trajectoire typique du lanceur Ariane 1. Durant lapremière phase du vol, jusqu'au point A, le premier étage propulse la fusée depuis le pas de

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tir jusqu'à 40 km d'altitude. Après plus de 2 minutes, le premier étage est largué et la fuséecontinue sur les moteurs du deuxième étage. La coie qui protège la charge utile (satellite) desux de chaleur générés par les frottements atmosphériques est larguée à 110 km. Peu après,le deuxième étage est largué, le troisième prend la relève. Sur le diagramme, on observe quele troisième étage perd de l'altitude avant d'être largué, de manière à augmenter la vitesse aumoment de l'injection sur l'orbite de transfert.

2.1 Loi de Tsiolkovski

Fig. 2.2 Trajectoire d'un lanceur.

Lorsqu'on met en équation le mouvement d'un lanceur en supposant que la trajectoirereste plane et que la Terre soit xe, on obtient l'équation suivante

14

dV

dt=

F

Mcos(i+ β)− Rx

Mcos(i)− Rz

M| sin(i)| − g sin(γ) (2.1)

en représentant par : M la masse instantanée du lanceur ;

−→V la vitesse, γ la pente locale de la vitesse, −→n la normale au vecteur vitesse ;

−−→MX l'axe de la fusée, θ son assiette locale, i l'incidence du lanceur ;

F la poussée, β le braquage des tuyères ;

−→Rx et

−→Rz les composantes de la résultante aérodynamique, la traînée et de la portance.

Le ∆V propulsif est obtenu en intégrant l'équation (2.1) de ti à tf

Vf − Vi =∫ tf

ti

F

Mdt︸︷︷︸

∆ V propulsif

−∫ tf

ti

F

M(1− cos(i+ β))dt︸︷︷︸

Pertes par incidence et braquage

−∫ tf

ti

Rx

Mcos(i)dt︸︷︷︸

Pertes par traînée

−∫ tf

ti

Rz

Msin(i)dt︸︷︷︸

Pertes par portance

−∫ tf

ti

g sin(γ)dt︸︷︷︸Perte de gravité

(2.2)

Le premier terme de cette équation représente la propulsion délivrée. Ce terme ne dépendde la trajectoire que si la poussée F en dépend. Les autres termes expriment les diérentespertes qui tendent à freiner le lanceur : pertes par incidence et braquage, par traînée aé-rodynamique, par portance, par force de gravité. Ces termes varient avec la trajectoire parl'intermédiaire des paramètres i, β, γ, g, Rx et Rz. Ces termes sont globalement négatifs, saufsur des portions limitées de la trajectoire (par exemple, lorsque la trajectoire est orientée versle bas).

La loi de Tsiolkovski permet de calculer le gain de vitesse idéal. Cette loi est basée sur leshypothèses suivantes :

Le vol a lieu dans le vide, ce qui inue directement sur la poussée du véhicule. De plus,aucune force de traînée ne s'exerce sur la fusée.

On néglige la force de gravité de la Terre.

Suivant ces hypothèses, les 3 termes de pertes de l'équation (2.1) sont nuls. On supposeque le vol a lieu à incidence nulle et que le braquage des tuyères est également nul.

L'expression de la poussée se simplie :

F = MdV

dt(2.3)

On introduit le débit massique m = −dMdt . Ce débit massique est déni par le fonction-

nement du moteur uniquement, sauf en cas de largage de masses importantes, comme la coie.

En dénissant la vitesse eective d'éjection c, on exprime le module de la poussée sous laforme :

F = mc (2.4)

15

En éliminant F et m dans les équations (2.3) et (2.4), on obtient

dV = −cdMM

(2.5)

Cette équation s'intègre aisément

∆V = V − Vi = c ln(Mi

M

)(2.6)

C'est la loi d'accroissement idéal de la vitesse qui lie les variables initiales Mi, Vi auxvariables instantanées M , V . Elle reste valable même si m(t) est variable, pourvu que c resteconstante. Cette équation ne montre pas de diérence entre une grosse fusée et une petite.

L'impulsion spécique, exprimée en secondes, est dénie par

Isp =F

mg0=

mc

mg0=

c

g0(2.7)

En notant Mb la masse de la fusée après combustion1, on exprime le ∆V total, obtenu àla n de la période de combustion, par

∆V = c ln(Mi

Mb

)= Ispg0 ln

(Mi

Mb

)(2.8)

Ce ∆V propulsif ne correspond au ∆V réel que si l'orientation de F est constante, per-pendiculaire à la direction de g. Ce ∆V propulsif ne dépend pas de la trajectoire, ce qui estnormal puisque la poussée F n'en dépend pas non plus (d'après nos hypothèses). Il ne dépendque des masses Mi et Mb, pas du temps de combustion ni de la loi de débit.

Dans l'atmosphère, la poussée F dépend de la trajectoire.

Si le rapport r = MiMb

est supérieur à e = 2.718, le ∆V propulsif est supérieur à la vitesseeective d'éjection c. Cependant, ce rapport est limité car il faut considérer

la masse Ms de la structure ; la masse Me du ou des moteur(s) ; la masse des équipements et la charge utile Mu.

Dans le tableau suivant, pour obtenir un ∆V de 11.2 km/s, ce qui correspond à la vitessede libération2, on obtient les rapports de masses suivants

1L'indice b signie burn out.2Un véhicule animé d'une telle vitesse à la surface terrestre pourra quitter la banlieue terrestre et poursuivre

son vol dans le système solaire.

16

c = g0Isp log(MiMb

) r % de carburant

1 000 4.864 73 131 0.9999

2 000 2.432 270.4 0.996

3 000 1.621 41.8 0.976

4 000 1.216 16.4 0.943

5 000 0.973 9.4 0.9

6 000 0.810 6.466 0.87

7 000 0.695 4.95 0.83

8 000 0.608 4.05 0.80

9 000 0.540 3.47 0.776

10 000 0.486 3.06 0.75

La consommation, c'est-à-dire la masse de propergols utilisés, est égale à Mi −M = Mp.On peut aussi écrire

∆V = V − Vi = c ln

(1

1− Mp

Mi

)(2.9)

Pour augmenter l'accroissement de vitesse, on a intérêt à avoirMp

Miproche de 1. Cela si-

gnie que la masse initiale est essentiellement constituée de propergols. Il faut minimiser lamasse de la structure et celle des moteurs. Si l'on utilise des moteurs de faible masse (etdonc de faible puissance), la poussée sera faible, la durée de la mise à poste sera relativementlongue (nous supposons ici que le temps n'a pas d'importance sur les performances du lanceur).

Le résultat précédent est valide si la fusée se déplace sur une équipotentielle du champgravitationnel.

2.2 Perte de gravité

Nous allons maintenant tenir compte de l'inuence de la gravité. A partir de l'équation(2.1), nous conservons le terme relatif à la gravité pour obtenir :

MdV

dt= F −Mg sin(γ) = F −Mgs (2.10)

où gs est la composante de l'accélération gravitationnelle le long de la trajectoire (suivant ladirection tangente à la trajectoire).

On obtient alors pour dV

dV = −cdMM

− gsdt (2.11)

Le ∆V propulsif est obtenu par intégration

∆V = V − Vi = c ln(Mi

M

)−∫ t

0gsdt (2.12)

17

Si l'on prend une valeur moyenne de gs égale à 0.5 m/s2 durant la première phase de vol,de l'ordre de 120 s, on obtient une perte de 600 m/s.

Il y a donc intérêt de diminuer le temps de fonctionnement, ce qui va dans le sens contrairedes conclusions précédentes. Il faut donc chercher un compromis. La vitesse n'est plus le seulparamètre, il faut aussi considérer l'énergie potentielle.

L'énergie totale par unité de masse de la fusée est donnée par

E =12V 2 +

∫ s

0gsds (2.13)

Comme V dt = ds,

dE = V dV + gsds = −cV dMM

(2.14)

En utilisant les expressions de ∆V idéal ou avec perte gravitationnelle et en soustrayant,on calcule la perte gravitationnelle sur l'énergie.

dG = −c(∫ t

0gsdt

)dM

M= −cd

(ln(M

Mi

)∫ t

0gsdt

)+ c ln

(M

Mi

)gsdt (2.15)

Soient Mi, 0 et Mb, tb les masses et les temps au départ et après extinction des moteurs.La perte gravitationnelle sur l'ensemble du vol est donnée par :

G = −c ln(Mb

Mi

)∫ tb

0gsdt+ c

∫ tb

0ln(M

Mi

)gsdt = c

∫ tb

0ln(M

Mb

)gsdt (2.16)

Comme le logarithme est positif, un gain d'énergie potentielle (gs > 0) entraîne une perted'énergie totale, perte d'autant plus faible que le temps de fonctionnement est court.

Une formulation équivalente peut être obtenue en substituant dt :

G = −c∫ Mb

Mi

gs

mln(M

Mb

)dM (2.17)

Si la loi de débit du moteur est telle que le rapport gs

m est constant, on a

G = −cgsMb

m

[1 +

Mi

Mb

(ln(Mi

Mb

)− 1)]

(2.18)

Si le ux massique est tel que l'accélération est constante,

dV

dt= a = cste,m =

M

c(a+ gs) (2.19)

et, pour un gs constant :

G =12

gs

a+ gs

(c ln

(Mi

Mb

))2

(2.20)

Dans ce cas, pour diminuer la perte, il faut augmenter le ux massique ou l'accélérationde la fusée. Dans les 2 cas, il faut diminuer le temps de propulsion.

La perte d'énergie s'annule si le temps est égal à zéro, c'est-à-dire si la propulsion estimpulsionnelle.

18

2.3 Poussée et Impulsion spécique

La poussée d'un moteur de fusée est donnée par la relation

F = Fv − SsPa (2.21)

où Fv désigne la poussée dans le vide (N) ; Ss représente la section de sortie de la tuyère (m2) ; Pa est la pression atmosphérique locale (Pa).

La poussée dans le vide, Fv, est donnée par

Fv = mg0Ispv (2.22)

où m est le débit massique du moteur (kg/s) ; g0 est l'accélération de la gravité au niveau du sol, constante égale à 9.80665m/s2 ; Ispv est l'impulsion spécique dans le vide (s).Il apparaît que le moteur est plus performant lorsqu'il fonctionne dans le vide. Si le moteur

fonctionne dans l'atmosphère, les performances sont moindres car la pression atmosphériques'oppose à l'éjection des gaz de combustion.

L'impulsion spécique dans le vide est une caractéristique du propergol utilisé. Elle évaluel'énergie libérée par kg de propergol consommé.

En tenant compte cette nouvelle expression de la poussée, on peut réécrire l'équation du∆V propulsif en l'absence de perte de gravité

∆V = g0Ispv ln(Mi

Mb

)−∫ tf

ti

SsPa

Mdt (2.23)

Le premier terme représente le ∆V propulsif dans le vide, le second terme s'annule dansle vide.

Ce dernier terme n'est pas négligeable à basse altitude. D'autre part, on observe quel'évolution de ce terme est sensiblement identique d'une trajectoire à l'autre pour un lanceurdonné. On dénit alors une Isp équivalente telle que

∆V = g0I∗sp ln

(Mi

Mb

)(2.24)

2.4 Pertes

Si l'on examine l'équation (2.2), on voit qu'à côté du ∆V propulsif que nous avons calculéapparaissent diérents termes de pertes. Nous allons les passer en revue et tenter de les estimer.

19

2.4.1 Pertes par incidence et braquage

Le premier terme,∫ tfti

FM (1− cos(i+β))dt, est non nul lorsque la poussée n'est pas alignée

avec la vitesse absolue.

Si ce n'est pas le cas, la composante de la poussée perpendiculaire à la vitesse absolue nepermet pas d'augmenter le module de la vitesse absolue.

Deux cas sont à étudier : le cas de la Terre xe ; le cas de la Terre tournante.Pour limiter les eorts généraux sur le lanceur, il convient de voler avec une incidence

aérodynamique α aussi faible que possible, au moins au début du vol, durant la phase atmo-sphérique.

La gure suivante décrit les principales grandeurs nécessaire à la compréhension de cettesection. L'angle α désigne l'incidence aérodynamique, c'est-à-dire l'angle entre l'axe du lanceuret sa vitesse relative par rapport à l'écoulement. L'incidence i représente l'angle entre l'axe du

lanceur et la vitesse absolue.−→Ve représente la vitesse d'entraînement, c'est la diérence entre

la vitesse absolue du lanceur et sa vitesse relative. Ici, il s'agit de la vitesse de rotation dela Terre. Dans cette gure, on suppose que le braquage des tuyères β est nul, la poussée estalignée avec l'axe du lanceur.

Fig. 2.3 Dénition des incidences d'un lanceur.

En Terre xe, une incidence α nulle combinée avec une vitesse absolue égale à la vitesserelative, Vrel = Vabs entraîne une incidence i = 0. Les pertes dans ce cas restent faibles, del'ordre de quelques m/s.

En Terre tournante, la vitesse relative n'est plus égale à la vitesse absolue. Pour voler àincidence aérodynamique α nulle, il faut une incidence i non nulle, ce qui provoque des pertesnon négligeables, de l'ordre de quelques centaines de m/s.

2.4.2 Pertes par traînée et portance

En ce qui concerne le terme de traînée,∫ tfti

RxM cos(i)dt peut être approché par

∫ tfti

RxM dt.

20

Ce terme est non nul durant la phase atmosphérique du vol.

Pour évaluer ce terme, on utilise la formule Rx = 12ρV

2SrefCx. Cette expression dépendde la forme de l'engin par l'intermédiaire de la surface de référence, Sref et du coecient detraînée, Cx. Elle dépend également de la trajectoire du lanceur, à cause des termes V et ρ.

Il s'agit d'un terme qui décroît avec le rapportSref

M . Les pertes sont de l'ordre de 100 m/s.

Si l'on examine maintenant le terme de portance, on constate que ce terme est non nuldurant la phase atmosphérique.

Néanmoins, pour des incidences i faibles, le terme de portance reste faible. Les pertes sontlimitées, de l'ordre de quelques m/s.

2.4.3 Pertes par gravité

Ces pertes ont déjà fait l'objet d'une étude poussée dans ce chapitre. Nous rappelleronsdonc simplement que c'est un terme qui dépend uniquement de la trajectoire du lanceur, etnon du lanceur lui-même.

Ce terme est croissant avec l'altitude de mise à poste visée. Plus le vol sera long, pluslongtemps le lanceur sera soumis à la gravité, plus les pertes seront importantes. Les pertessont de l'ordre de plusieurs centaines de m/s.

2.5 Exemple de lanceur

Avant de commencer notre exemple, nous allons dénir la notion d'indice structural quisera plus détaillée dans la suite du cours.

Par dénition, l'indice structural λ est le rapport entre la masse de propergols et la masseinitiale de la fusée λ = Mp

Mi.

Considérons une fusée de masse initiale Mi = 450t, d'indice structural λ = 0.9

La charge utile à placer sur orbite a une masse Mu = 11t.

L'impulsion spécique est de 320 s. Nous cherchons à atteindre une orbite de type LEO3.Sur cette orbite, la vitesse caractéristique est Vc = 7.62km/s.

3LEO : Low Earth Orbit. Orbite basse terrestre.

21

2.5.1 Fusée à un étage

Si nous supposons que le lanceur est constitué d'un seul étage, on peut immédiatementcalculer le ∆V propulsif fourni

∆V = g0Isp ln(Mi

Mb

)= 9.81 ∗ 320 ∗ ln

(450000

450000− 0.9 ∗ (450000− 11000)

)= 6.6km/s

On constate qu'on ne peut parvenir à atteindre la vitesse caractéristique à l'aide d'un seulétage. Nous allons étudier des fusées à plusieurs étages. Lorsque la combustion d'un étageest terminé, qu'il est vidé de ses propergols, on le largue et on allume les moteurs de l'étagesuivant. On se défait ainsi progressivement des masses de moteurs et de structure devenuesinutiles.

2.5.2 Fusée à deux étages

Considérons maintenant une fusée à deux étages, possédant les mêmes caractéristiquesstructurales et propulsives. Supposons également que 60% des propergols soient stockés sur lepremier étage. Les données sont

Mu = 11t ; Mi −Mu = 439t ; Mp1 = 0.6 ∗ 0.9 ∗ 439t = 237.06t ; Mp2 = 0.4 ∗ 0.9 ∗ 439t = 158.04t ; (Ms +Me)1 = 0.6 ∗ 0.1 ∗ 439t = 26.34t ; (Ms +Me)2 = 0.4 ∗ 0.1 ∗ 439t = 17.56t.Le premier étage fournit un ∆V propulsif égal à

∆V1 = 9.81 ∗ 320 ∗ ln(

450450− 237.06

)= 2.349km/s

Le second étage fournit un ∆V propulsif égal à

∆V2 = 9.81 ∗ 320 ∗ ln(

450− 237.06− 26.34450− 237.06− 26.34− 158.04

)= 5.892km/s

Le ∆V propulsif total est donné par

∆V = ∆V1 + ∆V2 = 8.241km/s

Cette valeur est à comparer avec la vitesse de l'orbite LEO de 7.62km/s. Il faut cependantnoter que cette vitesse caractéristique n'inclut pas les termes de pertes. Pour atteindre l'orbiteLEO, le lanceur devra fournir une vitesse supérieur à celle-ci. Pour augmenter les performances,nous allons maintenant analyser une fusée à 3 étages.

22

2.5.3 Fusée à trois étages

On suppose une fusée à trois étages qui ont les mêmes caractéristiques structurales etpropulsives, ainsi qu'une distribution des propergols selon les étages de 60, 25 et 15 %. Lesdonnées sont :

Mu = 11t ; Mp1 = 0.6 ∗ 0.9 ∗ 439t = 237.06t ; Mp2 = 0.25 ∗ 0.9 ∗ 439t = 98.775t ; Mp3 = 0.15 ∗ 0.9 ∗ 439t = 59.265t ; (Ms +Me)1 = 26.34t ; (Ms +Me)2 = 10.975t ; (Ms +Me)3 = 6.585t.Le premier étage fournit un ∆V propulsif égal à

∆V1 = 9.81 ∗ 320 ∗ ln(

450450− 237.06

)= 2.349km/s

Le second étage fournit un ∆V propulsif égal à

∆V2 = 9.81 ∗ 320 ∗ ln(

186.6186.6− 98.775

)= 2.366km/s

Le troisième étage fournit un ∆V propulsif égal à

∆V3 = 9.81 ∗ 320 ∗ ln(

76.8576.85− 59.265

)= 4.630km/s

Le ∆V propulsif total est donné par

∆V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 = 9.345km/s

Remarque : pour atteindre l'orbite géostationnaire, la vitesse caractéristique est de 10.333km/s. Cette valeur sera calculée dans la suite de ce cours.

23

Chapitre 3

Orbites képlériennes

Nous allons étudier le mouvement d'un corps en orbite autour d'un centre d'attraction.Il s'agit du problème de 2 corps dont l'un a une masse négligeable. Dans ces conditions,le mouvement est plan. La force qui s'exerce sur l'unité de masse a les dimensions d'uneaccélération. Pour la Terre, g0 = 9.8065m/s2, RT = 6378km. L'accélération de la gravité àune distance r du centre d'attraction est donnée par

g = g0R2

T

r2(3.1)

Les accélérations intervenant dans le mouvement autour d'un attracteur central sont sché-matisées à la gure 3.1.

Fig. 3.1 Accélérations.

Si l'on exprime la loi de Newton et qu'on la projette suivant la direction radiale et ladirection tangente, on obtient 2 équations. Suivant la direction radiale, on obtient

d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2

− g0

(R

r

)2

= 0 (3.2)

Suivant la direction tangente, on obtient

2dr

dt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2= 0 (3.3)

Ces équations font apparaître 4 termes d'accélération :

24

l'accélération relative d2rdt2

;

l'accélération d'entraînement tangentielle r d2θdt2

;

l'accélération d'entraînement centripède r(

dθdt

)2;

l'accélération de Coriolis 2drdt

dθdt .

La dernière équation peut se réécrire sous la forme

1r

d

dt(r2

dθ

dt) = 0 (3.4)

Ces 2 équations forment un système du quatrième ordre, il y aura 4 constantes d'intégra-tion. Nous allons chercher des intégrales premières de ces équations.

3.1 Conservation de l'énergie

La relation suivante exprime la conservation de l'énergie.

12

[(dr

dt

)2

+(rdθ

dt

)2]

︸︷︷︸Energie cinétique

−g0R2

T

r︸︷︷︸Energie potentielle

= H (3.5)

H représente l'énergie spécique totale.

L'énergie potentielle tend vers zéro lorsque r tend vers l'inni

−∫ ∞

rg0R2

T

r2dr = −g0

R2T

r(3.6)

3.2 Conservation du moment cinétique

La relation suivante traduit la conservation du moment cinétique

r2dθ

dt= K (3.7)

La constanteK, égale au moment cinétique, vaut 2 fois la vitesse aréolaire. La conservationdu moment cinétique justie a posteriori le fait que la trajectoire reste connée dans un mêmeplan. On a la relation suivante

dr

dt=dr

dθ

dθ

dt=K

r2dr

dθ= −K d

dθ

(1r

)(3.8)

3.3 Equation polaire de l'orbite

En éliminant les dérivées temporelles dans l'équation (3.5), on obtient l'équation diéren-tielle de l'orbite en coordonnées polaires(

K

r2dr

dθ

)2

+K2

r2− 2g0

R2T

r= 2H (3.9)

25

On divise cette équation par K2

(1r2dr

dθ

)2

+1r2− 2g0

R2T

rK2=

2HK2

(3.10)

On dérive par rapport à θ

2(

1r2dr

dθ

)(1r2d2r

dθ2+dr

dθ

d

dθ

(1r2

))+

1dθ

1r2− 2g0

R2T

K2

d

dθ

(1r

)= 0 (3.11)

2(− d

dθ

1r

)(1r2d2r

dθ2+dr

dθ

d

dθ

(1r2

))+

2r

d

dθ

1r− 2g0

R2T

K2

d

dθ

(1r

)= 0 (3.12)

d

dθ

1r

(− 1r2d2r

dθ2− dr

dθ

d

dθ

(1r

)+

1r− g0

R2T

K2

)= 0 (3.13)

En prenant 1r comme variable indépendante et en diérenciant par rapport à θ, on obtient

d

dθ

(1r

)[d2

dθ2

(1r

)+

1r− g0

R2T

K2

]= 0 (3.14)

La solution de cette équation est

1r

=g0R

2T

K2+A cos(θ) +B sin(θ) (3.15)

Sous sa forme habituelle, l'équation de la cônique s'écrit

1r

=1 + e cos(θ − θ0)

p(3.16)

où p est le paramètre de la cônique. On a la relation

1p

= g0R2

T

K2(3.17)

e est l'excentricité de la cônique (toujours positive ou nulle). Suivant la valeur de l'excen-tricité, on rencontre diérentes côniques :

e = 0, cercle ; 0 < e < 1, ellipse ; e = 1, parabole ; e > 1, hyperbole.θ0 est l'argument du péricentre. L'équation de conservation de l'énergie devient

(e2 − 1)(g0R

2T

K

)2

= 2H (3.18)

On constate que la connaissance de H et K est équivalente à celle de p et e.

26

En nous référant à l'équation (3.16), on calcule les rayons du péricentre (appelé périgéedans le cas de la Terre) et de l'apocentre (apogée), à condition que l'excentricité soit inférieureà 11.

rper =p

1 + e(3.19)

rapo =p

1− e(3.20)

Pour classer les orbites, il est utile d'introduire des grandeurs adimensionnelles, en prenantRT et g0 comme unités.

ρ =r

RT, α =

rapo

RT, β =

rper

RT, γ =

V√g0RT

(3.21)

où√g0RT est la valeur de la vitesse orbitale sur la trajectoire circulaire de rayon RT et V est

le module de la vitesse. On obtient ainsi la distance au centre d'attraction adimensionnelle ρ,l'apogée α et le périgée β, ainsi que le module de la vitesse γ. De même,

h =H

g0RT, k =

K

RT√g0RT

, f =p

RT(3.22)

On obtient ainsi l'énergie h, le moment cinétique k et le paramètre adimensionnel f , telsque

k2 = f,p

RT= k2 (3.23)

En introduisant l'angle ω tel que

rdθ

dt= V cos(ω) (3.24)

On réécrit

k = γρ cos(ω) (3.25)

La conservation de l'énergie mécanique totale s'écrit sous forme adimensionnelle :

h =12γ2 − 1

ρ(3.26)

L'équation (3.18) s'écrit sous forme adimensionnelle :

e2 − 1 = 2hk2 (3.27)

De même, l'équation (3.16) s'exprime sous forme adimensionnelle :

1ρ

=1 + e cos(ν)

k2(3.28)

ν est l'anomalie vraie. Les vitesses radiale et tangentielle sont données par les expressions

ur =e sin(ν)

kuθ =

1 + e cos(ν)k

(3.29)

u2r + u2

θ = γ2 (3.30)

1Si l'excentricité est supérieure à 1, la cônique est une hyperbole, trajectoire ouverte. Dans ce cas, il n'y apas d'apogée.

27

Chapitre 4

Classication des orbites

En utilisant les grandeurs adimensionnelles dénies par les relations (3.21), on obtient lesexpressions du périgée et de l'apogée

α =k2

1− eβ =

k2

1 + e(4.1)

En tenant compte des relations (3.23) et (3.27), on en déduit

α(1− e) = β(1 + e) = f (4.2)

αβ = − f

2h1α

+1β

=2f

(4.3)

Ce qui signie que α et β sont les racines de l'équation algébrique

2hx2 + 2x− f = 0 (4.4)

Cela suggère de représenter cette équation en coordonnées cartésiennes suivant les axes het f (voir gure 4.1). Dans ce système, pour x constant, on obtient des droites.

Fig. 4.1 Axes cartésiens h et f .

Pour que l'équation (4.4) admette des solution, il faut que

1 + 2hf ≥ 0 (4.5)

Cela se traduit sur le graphique de la gure 4.2 par une région inaccessible coloriée enjaune. Le long de la frontière (l'hyperbole d'équation h = − 1

2f ), les orbites sont circulaires,périgée et apogée sont confondus. Les orbites qui partagent les mêmes apogées ou périgées

28

sont situés sur une même droite.

Les points qui se situent dans la région h < 0 correspondent à des systèmes fermés. L'orbiteest une cônique de type circulaire ou elliptique. Par chaque point dans cette région, il passe 2droites caractérisée par une valeur de x, tangentes à l'enveloppe. Ces 2 valeurs de x sont cellesdes périgée et apogée adimensionnels. Pour chacune de ces droites, la demi droite à la gauchedu point de tangence avec l'enveloppe est relative au périgée de l'orbite correspondante, lamoitié droite est relative à l'apogée de l'orbite.

Les points situés dans la région h ≥ 0 correspondent à des systèmes ouverts. Dans ce cas,la cônique est de type parabolique (h = 0) ou hyperbolique (h > 0). Par chaque point de cetterégion passe une et une seule droite. La valeur de x correspondante représente celle du périgéeadimensionnel. Dans cette conguration, l'orbite ne présente pas d'apogée.


A la gure 4.3, nous analysons une portion du graphique général. 3 orbites sont représentéesdans le coin inférieur droit. La première orbite correspond au point E sur le graphique. Cepoint est situé sur l'enveloppe, il s'agit d'une orbite circulaire. L'orbite extérieure est égalementcirculaire. Le point correspondant sur le graphique se trouve lui aussi sur l'enveloppe, maisavec une valeur de x supérieure. Le point intermédiaire sur le graphique n'appartient pas àl'enveloppe. Il s'agit d'une orbite elliptique. Par ce point passent les droites tangentes partantdes 2 points précédents. L'orbite elliptique partage donc son périgée et son apogée avec les 2orbites circulaires. Il s'agit typiquement d'une orbite de transfert permettant de passer d'uneorbite circulaire d'altitude h1 à une orbite circulaire d'altitude h2. Dans le cas des missionsgéostationnaires, le lanceur place la charge utile sur une orbite de parking circulaire de 200km d'altitude (environ). Un moteur auxiliaire place ensuite le satellite sur l'orbite elliptiqueappelée GTO1. Arrivé à l'apogée, une seconde impulsion place la charge utile sur l'orbite GEO.

1GTO : Geostationary Transfer Orbit. Orbite de transfert géostationnaire.

29


A la gure 4.4, nous avons séparé l'espace h, f en 6 zones distinctes délimitées parl'enveloppe, la droite d'équation x = 1 et l'horizontale h = 0. La droite d'équation x = 1représente toutes les trajectoires dont l'apogée ou le périgée se trouve au niveau du sol terrestre.

La zone localisée sous l'enveloppe correspond à une zone inaccessible. La zone 1 correspond aux objets internes. Dans l'approximation d'un centre attracteurponctuel, cette zone serait celle occupée par des objets évoluant sous la surface réelle dela Terre2.

La zone 2 est celle occupée par les satellites en orbite autour de la Terre. La zone 3 est utilisée pour les trajectoires balistiques (ICBM...). Il s'agit d'orbites quicoupent la Terre car le périgée se trouve sous la surface terrestre.

La zone 4 est celle où l'on rencontre les météorites qui nissent par impacter la Terre. La zone 5 est celle des comètes. C'est également celle utilisée pour les sondes qui selibèrent de la banlieue terrestre.

2Il est évident qu'il s'agit d'une notion qui n'a rien de physique. Dans la réalité, aucun corps n'orbite sousla surface du globe !

30

Fig. 4.4 Dénition des diérentes zones du graphique cartésien h et f .

Le point qui se trouve à l'intersection de la droite d'équation x = 1 et de l'enveloppe,marquée par un cercle sur la gure 4.4 correspond à la première vitesse cosmique. Il s'agitde la vitesse nécessaire à un satellite pour eectuer une trajectoire rasante à la surface dela Terre. Une telle trajectoire n'est pas réaliste car les frottements avec l'atmosphère y sonttrop importants. Néanmoins, cette vitesse est très importante en balistique. Si l'on suit ladroite, on parvient à son intersection avec l'horizontale h = 0, qui correspond à la deuxièmevitesse cosmique. Il s'agit de la vitesse qu'il faut fournir à un véhicule au niveau du sol pourlui permettre de s'échapper de la banlieue terrestre (toujours sous l'hypothèse d'absence defrottements atmosphériques).

Les 2 vitesses cosmiques sont liées par la relation

V2 =√

2V1

en vertu de l'équation (3.28). Pour la première vitesse cosmique, nous considérons une trajec-toire circulaire (e = 0), la relation (3.28) fournit 1

k2c

= 1ρ . Pour la seconde vitesse cosmique

31

(e = 1), la relation (3.28) conduit à 2k2

p= 1

ρper. Pour une même altitude initiale, on trouve

kp =√

2kc ⇒ VParabole =√

2VCercle (4.6)

Fig. 4.5 Seconde vitesse cosmique.

32

Chapitre 5

Trajectoires de têtes balistiques

Le problème élémentaire de la balistique est d'envoyer le lanceur le plus loin possible étantdonné le ∆V propulsif disponible. La situation est schématisée à la gure 5.1.

Vi = c ln(Mi

Mb

)(5.1)

Pour tracer la gure 5.1, nous avons négligé la phase propulsée initiale et la phase propulséenale. Cela revient à placer I et F à la surface de la Terre. Dans ce cas, les 2 rayons sontégaux au rayon terrestre rI = rF = RT . Le triangle OIF est isocèle. La pente de la vitesseest donnée par ωi = 1

2OIF .

Fig. 5.1 Portée en fonction de la vitesse initiale.

33

Le second foyer de l'ellipse, O′, se trouve au milieu de la corde qui lie les points de départ etd'arrivée IF . Le demi grand axe de l'ellipse est donné par la relation 2a = |IO|+ |IO′| = RT +RT sin(θ0). La distance entre les foyers est donnée par 2c = |OO′| = p

1−e −p

1+e = RT cos(θ0).

a =RT

2(1 + sin(θ0)) (5.2)

c =RT

2cos(θ0) (5.3)

La pente initiale de la vitesse est calculée en tenant compte des relations entre les anglesdénis sur la gure 5.1

ωi =12

(π2− θ0

)(5.4)

L'excentricité de l'ellipse est donnée par

e =c

a=

cos(θ0)1 + sin(θ0)

=cos(

π2 − 2ωi

)1 + sin

(π2 − 2ωi

) = tan(ωi) (5.5)

Calculons le meilleur angle de site ωi pour maximiser la portée 2RT θ0. Maximiser la portéerevient à minimiser l'expression

cos(θ0) =1e

(1− p

RT

)=

1e(1− f) (5.6)

En variables adimensionnelles, l'expression de l'énergie de l'orbite est obtenue en exprimantl'équation (3.26) en fonction des valeurs initiales

h =12γ2

i − 1 avec γi =Vi√g0RT

(5.7)

où l'énergie cinétique et l'énergie potentielle sont calculées à la surface de la Terre. Or, enrappelant l'équation (3.27)

e2 − 1 = 2hf

On obtient

cos(θ0) =1e

(1− e2 − 1

2h

)(5.8)

Si l'on dérive l'équation (5.8) par rapport à l'excentricité e et que l'on annule cette dérivée,on obtient l'excentricité correspondant à l'optimum (en utilisant l'équation (5.7)) :

e2 = −(1 + 2h) = 1− γ2i (5.9)

De même, l'expression de f en fonction de γi est donnée par

f =γ2

i

2− γ2i

(5.10)

34

A partir des équations (5.6), (5.9) et (5.10), nous allons exprimer la portée maximale entermes de γi

2RT θ0 = 2RT arccos

2√

1− γ2i

2− γ2i

(5.11)

En exprimant la constance du moment cinétique, qui est égal à sa valeur initiale, on obtientla relation suivante

k = γi cos(ωi) (5.12)

Etant donné les équations (3.23) et (5.10), on obtient la relation entre la pente initiale dela vitesse ωi et la vitesse initiale γi

cos(ωi) =1√

2− γ2i

(5.13)

On calcule également

sin(2ωi) = 2

√1− γ2

i

2− γ2i

(5.14)

De cette relation, on déduit rapidement la relation entre ωi et l'angle θ0, relation déjàobtenue précédemment

ωi =π

4− θ0

2(5.15)

L'altitude de l'apogée, qui est l'altitude maximale qu'atteindra le lanceur, est donnée parla relation

hapo = a+ c−RT =RT

2(sin(θ0) + cos(θ0)− 1) (5.16)

En variables adimensionnelles, on a simplement

η =12

(sin(θ0) + cos(θ0)− 1) (5.17)

Un autre moyen de calculer l'altitude maximale sur l'orbite de portée maximum est desoustraire un rayon terrestre au rayon d'apogée :

hapo =p

1− e−RT = RT

√1− γ2

i

(1−

√1− γ2

i

)2− γ2

i

(5.18)

Cette équation fournit l'altitude maximale sous forme adimensionnelle, en tenant comptede la dénition de k (relation (3.23))

η =k2

1− e− 1 =

√1− γ2

i

(1−

√1− γ2

i

)2− γ2

i

(5.19)

35

A la gure 5.2, nous voyons reportées en fonction de la portée désirée 2θ0, la pente initialede la vitesse ωi et de la vitesse initiale γi. Sur le graphique gure également l'altitude del'apogée η.

Fig. 5.2 Abaques.

Si l'on examine ce graphique, on constate que pour une portée faible, on trouve une penteinitiale de vitesse de 45. C'est le résultat bien connu des artilleurs. Pour obtenir la portéemaximale, il faut tirer avec cette pente. C'est valable dans l'hypothèse de Terre plate, où l'onassimile la sphère par le plan tangent, hypothèse valable pour de faibles portées. Lorsque laportée devient importante, on ne peut plus utiliser cette approximation. Pour une portée de180, il faut tirer avec une pente nulle à la première vitesse cosmique, il s'agit d'une orbitecirculaire d'altitude nulle, η = 0.

36

Chapitre 6

Introduction de la variable temps

6.1 Présentation du problème

Soit t le temps adimensionnel. A partir de l'expression du moment cinétique sous formedu produit de la vitesse tangentielle et de la distance au centre d'attraction, foyer de l'ellipse,on obtient (en utilisant l'équation (3.28)) :

ρ2dν

dt= k (6.1)

dt =ρ2

kdν =

k3dν

(1 + e cos(ν))2(6.2)

L'intégration de cette équation n'est pas aisée. Les premiers scientiques qui l'ont étudiéeont préféré recourir à un changement de variables géométrique basé sur l'anomalie excentriqueE.

6.2 Changement de variables

Pour commencer, rappelons quelques formules concernant les trajectoires elliptiques.

péricentre (périgée) 1β =

1 + e

k2(6.3)

apocentre (apogée) 1α =

1− e

k2(6.4)

demi grand axe a =α+ β

2(6.5)

demi petit axe b =√αβ (6.6)

A la gure 6.1, nous avons représenté une ellipse ainsi que les cercles de rayons a et b quila limitent. A partir du foyer principal de l'ellipse (celui placé au centre attracteur), le rayonρ permet de repérer le véhicule sur son orbite. Un

angle est nécessaire pour compléter ce repérage. Soit l'anomalie vraie ν, qui est l'angle aufoyer entre le péricentre et le véhicule, soit l'anomalie excentrique E, dont l'origine se trouveau centre de l'ellipse. La distance entre le centre et le foyer de l'ellipse est désigné par d.

37

Fig. 6.1 Représentation de l'ellipse et dénition des anomalies.

Pour calculer le demi grand axe b, il sut de chercher le maximum de la projection de ρsur la normale au grand axe.

b = [ρ sin(ν)]max (6.7)

Etant donné la relation (3.28), on obtient

ρ sin(ν) =k2 sin(ν)

1 + e cos(ν)(6.8)

En dérivant cette expression par rapport à ν, en l'annulant, on obtient la valeur de ν quipermet d'atteindre l'optimum de la relation (6.8). On calcule ainsi la valeur de b.

∂(ρ sin(ν))∂ν

= 0

cos(ν) = −e

b =k2

√1− e2

= a√

1− e2 (6.9)

A la gure 6.2, nous avons reporté les positions du périgée et de l'apogée en fonction desdemis axes. Le cercle rouge représente le foyer de l'ellipse placé au centre attracteur. On trace

38

le cercle au centre de l'ellipse de rayon√a2 − b2. Par construction, ce cercle passe par le foyer

principal de l'ellipse. Le cercle de rayon b centré à l'apogée de l'ellipse rencontre le cercleprécédent sur l'ellipse et complète le triangle rectangle.

La distance du foyer de l'ellipse au centre est donnée par :

d = a− β =α− β

2= ae (6.10)


Rappelons que, pour une ellipse, le moment cinétique k et l'énergie mécanique totale hsont donnés par les relations :

k2 = a(1− e2) h = − 12a

(6.11)

D'après la gure 6.1, en se servant de la relation (6.10), on constate que :

b sin(E) = ρ sin(ν) (6.12)

a cos(E) = d+ ρ cos(ν) (6.13)

ae cos(E) = ae2 + ρe cos(ν) (6.14)

A l'aide de la relation (3.28), on obtient :

aE cos(E) = ae2 + k2 − ρ (6.15)

que l'on réécrit en tenant compte de la relation du moment cinétique :

aE cos(E) = a− ρ (6.16)

39

relation connue sous le nom de formule de Moulton.

Nous allons maintenant établir les relations entre les 2 anomalies. A partir de la formule(6.13), on obtient :

a cos(E) = d+k2 cos(ν)

1 + e cos(ν)(6.17)

Avec d = ae et k2 = a(1− e2), on simplie l'expression

cos(E) =e+ cos(ν)

1 + e cos(ν)(6.18)

De même, en partant de la relation (6.12), avec les mêmes formules intermédiaires, onobtient

sin(E) =√

1− e2 sin(ν)1 + e cos(ν)

(6.19)

A partir des équations (6.18) et (6.19), on obtient la relation entre les anomalies excentriqueE et vraie ν.

tan(E

2

)=

√1− e

1 + etan

(ν2

)(6.20)

6.3 Equation du temps

Revenons au problème du temps et reprenons la relation (6.2).En dérivant l'équation (6.18), on obtient la formule :

sin(E)dE =(1− e2) sin(ν)dν(1 + e cos(ν))2

(6.21)

d'où l'on extrait la relation recherchée :

dt =(

k√1− e2

)3

(1− e cos(E))dE (6.22)

Si t0 dénote le passage au péricentre, on peut écrire :

t− t0 =(

k√1− e2

)3

(E − e sin(E)) (6.23)

En se rappelant que : (k√

1− e2

)3

= a32 (6.24)

on obtient l'équation de Kepler. La période T vaut :

T = 2πa32 (6.25)

Il s'agit de la troisième loi de Kepler, découverte empiriquement

T 2 = 4π2a3 (6.26)

40

6.4 Transfert d'une orbite basse sur une orbite géostationnaire

Nous allons maintenant étudier le cas d'un transfert d'une orbite LEO vers l'orbite GEO.L'orbite intermédiaire est appelée orbite GTO. Il s'agit d'une orbite elliptique dont le périgéeβ se trouve à l'altitude LEO et dont l'apogée α est à l'altitude GEO. On a les relationssuivantes :

β = 1α ≈ 7

a =α+ β

2≈ 4 (6.27)

T 2 ≈ 256π2

T

2≈ 25.13274 (6.28)

L'unité de temps est donnée par√RT

g0=

√63780009.8065

≈ 800 s (6.29)

Ce qui donne pour le temps de transfert

25x8003600

≈ 5 heures 30 minutes (6.30)

6.5 Cas d'une orbite basse

Dans le cas d'une orbite circulaire à basse altitude, les paramètres α et β sont proches de1, de même que le demi grand axe a. La période orbitale adimensionnelle vaut 2π, soit 1 heure24 minutes.

6.6 Cas de l'orbite géostationnaire

Dans le cas de l'orbite géostationnaire, on cherche à atteindre une orbite dont la périodesoit égale à 24 heures, soit sous forme adimensionnelle :

24x3600800

= 108

Grâce à la troisième loi de Kepler, on peut déduire la valeur de ρ.(1082π

)2

≈ 295 = ρ3

Cette orbite est donc caractérisée par une distance au centre de la Terre ρ = 6.62548. Lavaleur exacte du demi grand axe de l'orbite de transfert est a = 3.81274.

La vitesse sur l'orbite GEO peut être recalculée en utilisant l'expression de la vitesse tan-gentielle uθ (3.29), en notant qu'il n'y a pas de composante radiale de la vitesse et en se servant

41

de la forme simpliée de (3.28) : uθ = 0.3885.

Sous forme dimensionnelle, on obtient

Vθ =√g0RT x 0.3885 = 3.072km/s

.Remarque : Il faut noter que cette vitesse représente la vitesse d'un satellite à poste sur

une orbite géostationnaire. Il ne s'agit pas de la vitesse qu'un lanceur doit fournir à un satellitepour le faire passer de la surface terrestre à l'orbite visée.

42

Chapitre 7

Problème élémentaire de satellisation

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les hypothèses suivantes : on néglige la traînée ; on néglige l'eet de rotation de la Terre ; l'orientation de l'orbite est quelconque ; les périodes propulsives sont très brèves. On supposera qu'il s'agit d'impulsions.

Une première impulsion lors du lancement place le lanceur sur une orbite de transfert. Ils'agit forcément d'une orbite balistique sauf si l'impulsion est susante. L'orbite se trouvesoit dans la zone 3, soit dans la zone 4 du graphique de la gure 4.4. Le périgée de l'orbitede transfert est situé sous la surface terrestre, à moins que l'impulsion soit susante. Uneseconde impulsion est nécessaire pour modier la vitesse de façon à placer le lanceur sur uneorbite elliptique extérieure.

7.1 Procédure

Une première impulsion permet de passer de γ1 = 0 au niveau de la surface de la Terre àune certaine valeur γ2.

L'orbite de transfert est alors caractérisée par une énergie mécanique totale

h2 =12γ2

2 − 1

avec une vitesse aréolaire réduite

0 ≤ w2 = γ2 cos(ω2) ≤ γ2

selon l'orientation de l'impulsion.

43


Ensuite, on assiste à une phase balistique qui se termine en un certain point de transfert3, où la distance ρ3 est comprise entre les paramètres α et β de l'orbite nale.

En ce point, une vitesse γ4 et un angle ω4 sont nécessaires pour se placer sur l'orbite naleavec

12γ2

4 −1ρ3

= h

Le problème fait apparaître 7 variablesγ2 γ3 γ4

ω2 ω3 ω4

ρ3

Il nous faut vérier la conservation de l'énergie et du moment cinétique sur la phase balis-tique du transfert. Il existe donc 4 relations entre les 7 variables, ce qui nous laisse 3 paramètresà choisir de manière à optimiser le transfert.

44

La conservation du moment cinétique fournit la relation

γ2 cos(ω2) = ρ3γ3 cos(ω3)= ρ3(γ′3 cos(ω4)− γ′′3 sin(ω4)) (7.1)

La conservation de l'énergie conduit quant à elle à la formule

γ22

2− 1 =

γ′23 + γ′′23

2− 1ρ3

(7.2)

Pour l'orbite nale, α et β ou h et k sont donnés par

ρ3γ4 cos(ω4) = k

γ24

2− 1ρ3

= h (7.3)

Remarque : dans ce problème, il y a 2 impulsions, la première au départ, la seconde en ρ3.

On suppose que la vitesse eective d'éjection c est la même pour les 2 impulsions (c'est-à-dire que l'on utilise les mêmes moteurs). Le gain de vitesse lors de la première impulsion estde

γ2 =c√RT g0

ln(M1

M2

)(7.4)

Le gain de vitesse lors de la seconde impulsion est de√(γ4 − γ′3)2 + γ′′23 =

c√RT g0

ln(M3

M4

)(7.5)

avec M2 = M3.

Le problème consiste à minimiser la consommation totale en propergols, soit

<c√RT g0

ln(M1

M4

)>min (7.6)

En développant cette expression, on obtient

<c√RT g0

ln(M1

M2

M3

M4

)= γ2 +

√(γ4 − γ′3)2 + γ′′23 >min (7.7)

On pose la fonction objectif F

F = γ2 +√

(γ4 − γ′3)2 + γ′′23 (7.8)

Il faut calculer les 3 dérivées partielles indépendantes de cette expression. Fixons ρ3. Ainsi,γ4 et ω4 sont xés. Fixons γ′3. Il reste la variable γ′′3 . Par les deux équations de conservation,on calcule γ2 et ω2. En utilisant la relation (7.2), on a :

F =√γ′23 + γ′′23 + 2− 2

ρ3+√

(γ4 − γ′3)2 + γ′′23 (7.9)

45

F doit être rendue minimum par rapport à γ′′3 . Il faut donc poser γ′′3 = 0. Nous pouvons

en conclure qu'il faut arriver tangentiellement sur l'orbite nale : γ3 = γ′3. Nous réexprimonsla fonction objectif et les contraintes

γ2 cos(ω2) = ρ3γ3 cos(ω4)γ2

2

2− 1 =

γ23

2− 1ρ3

ρ3γ4 cos(ω4) = k (7.10)

γ24

2− 1ρ3

= h

F = γ2 + γ4 − γ3 avec γ4 > γ3 (7.11)

Etudions la dérivée partielle par rapport à γ3, ρ3 et γ4 étant gardés constants. En éliminantγ2 dans l'expression de F , on obtient

F = γ4 − γ3 +

√γ2

3 + 2(

1− 1ρ3

)(7.12)

La dérivée de F par γ3 fournit la relation

∂F

∂γ3= −1 +

γ3√γ2

3 + 2(1− 1

ρ3

)= −1 +

γ3

γ2(7.13)

La dérivée est négative car γ3 < γ2. Puisque la dérivée est négative et que l'on cherche unminimum, il faut trouver la plus grande valeur possible de γ3, pour ρ3 xé. Par les équationsde conservation [

2(

1− 1ρ3

)+ γ2

3

]cos2(ω2) = ρ2

3γ23 cos2(ω4)

γ23 =

2(1− 1

ρ3

)cos2(ω2)

ρ23 cos2(ω4)− cos2(ω2)

(7.14)

Le maximum de γ23 correspond au minimum de

1γ2

3

= − 1

2(1− 1

ρ3

) +ρ23 cos2(ω4)

cos2(ω2)2(1− 1

ρ3

)=

1

2(1− 1

ρ3

) [ρ23 cos2(ω4)cos2(ω2)

− 1]

(7.15)

Il faut donc

cos2(ω2) = 1 ⇒ cos(ω2) = ±1 ⇒ ω2 = 0 (7.16)

46

On réexprime la fonction objectif et les contraintes sous la forme

γ2 = ρ3γ3 cos(ω4)γ2

2

2− 1 =

γ23

2− 1ρ3

ρ3γ4 cos(ω4) = k (7.17)

γ24

2− 1ρ3

= h

F = γ2 + γ4 − γ3 (7.18)

En combinant les contraintes, on obtient

γ22 + γ2

4 = 2h+ 2 + γ23

2γ2γ4 = 2kγ3 (7.19)

D'où l'on peut réexprimer la fonction objectif en fonction d'une nouvelle variable (k+ γ3)

γ2 + γ4 =√

2h+ 2− k2 + (k + γ3)2 (7.20)

F =√

2k + 2− k2 + (k + γ3)2 − (k + γ3) + k (7.21)

En diérenciant la fonction objectif par rapport à la nouvelle variable (k+γ3), on obtient :

dF

d(k + γ3)=

k + γ3√2h+ 2− k2 + (k + γ3)2 − 1

> 0 (7.22)

Cette dérivée est partout positive, il faut dont chercher le minimum de (k + γ3) ou de γ3.A partir des équations des contraintes, on a :

γ2 = ρ3γ3 cos(ω4)ρ3γ4 cos(ω4) = k (7.23)

on obtient la relation suivante :

γ2γ4 =kρ3γ3 cos(ω4)ρ3 cos(ω4)

= kγ3 (7.24)

Or, on a également :

γ24 = 2

(h+

1ρ3

)γ2

2 = γ23 + 2

(1− 1

ρ3

)(7.25)

En combinant les équations (7.25) avec l'équation (7.24), on a[γ2

3 + 2(

1− 1ρ3

)]2(h+

1ρ3

)= k2γ2

3

γ23

[k2 − 2

(h+

1ρ3

)]= 4

(1− 1

ρ3

)(h+

1ρ3

)(7.26)

47

A l'aide des équations (4.3) entre (α, β) et (h, k), on réécrit la relation précédente enfonction des paramètres d'apocentre et de péricentre

γ23 =

2ρ3

(α+ β − ρ3)(ρ3 − 1)(αβ + 1)ρ3 − (α+ β)

(γ23)ρ3=α =

2α(α+ 1)

(7.27)

(γ23)ρ3=β =

2β(β + 1)

γ23 =

4(1− 1

ρ3

)(h+ 1

ρ3

)k2 − 2h− 2

ρ3

(7.28)

Le minimum de γ3 est obtenu pour ρ3 = α (la vitesse est minimale à l'apocentre de l'orbite,par conservation de la vitesse aréolaire). Dans ce cas, les vitesses γ2, γ3 et γ4 deviennent

γ3 =

√2

α(α+ 1)

γ4 =

√2(h+

1α

)(7.29)

γ2 =

√2

α(α+ 1)+ 2

(1− 1

ρ3

)

=

√2α

(1

α+ 1+ α− 1

)=

√2αα+ 1

(7.30)

La fonction objectif F devient

F =

√2β

α(α+ β)+ (α− 1)

√2

α(α+ 1)(7.31)

Le coût minimum requiert un départ tangentiel, une orbite balistique d'une demi ellipseet une seconde petite impulsion lorsqu'on arrive à l'apogée de l'orbite nale. Pour une orbitede satellite circulaire

α = β = x (7.32)

La valeur numérique de F ne croît pas uniformément

F =

√1x

(1 + (x− 1)

√2

1 + x

)(7.33)

La fonction objectif a été dessinée à la gure 7.2. Elle passe par un maximum pour x =15.5817, F = 1.5362. Après elle décroît jusqu'à la valeur asymptotique F =

√2 qui correspond

à la libération sur une orbite parabolique tangente à la surface de la Terre. Sur la gure 7.3,nous pouvons noter que les deux impulsions se réalisent sur des tangentes aux équipotentiellesdu champ de gravité. Si on remplace les impulsions par des périodes propulsives, les pertes de

48

gravité restent faibles et le résultat constitue une bonne approximation. Le départ tangentielà la surface de la Terre n'est pas très réaliste, il faut examiner la perte due à un lancementselon un angle initial ω2 (angle du site imposé).

Fig. 7.2 Fonction objectif.

49

Fig. 7.3 Trajectoire de transfert.

7.2 Le tir balistique

Pour commencer, nous allons rappeler quelques résultats concernant le tir balistique. Lapente initiale de la vitesse ωi est liée à la portée θ0 par

ωi =π

4− 1

2θ0 (7.34)

La vitesse initiale γi est obtenue par la relation

γ2i = 2− 1

cos2(ωi)(7.35)

Le moment cinétique adimensionnel k vaut

k = γi cos(ωi) (7.36)

L'apogée α et le périgée β adimensionnels de l'orbite sont donnés par

α =k2

1− eβ =

k2

1 + e(7.37)

L'excentricité est liée à la vitesse initiale par

e2 = 1− γ2i (7.38)

50

7.2.1 Exemple du V2

A la gure 7.4, nous avons reproduit le schéma technique de la fusée allemande V2 qui aservi à bombarder Londres en 1944. Il s'agit d'une des toutes premières fusées d'attaque, laportée était très limitée, de l'ordre de quelques centaines de km.

Fig. 7.4 Schéma technique de la fusée allemande V2.

Pour ce problème, les données sont les suivantes : RT = 40000

2π = 6366km ; portée = 320km ; c = 2.2km/s

A partir de ces données, on commence par calculer la portée θ0 par la relation θ0 = 3202RT

=1.44. Rappelons que la portée totale est égale à 2θ0.

51

Une fois que nous connaissons l'angle θ0, nous pouvons calculer les caractéristiques du volbalistique. Nous avons les relations suivantes

ωi =π

4− 1

2θ0 = 44.28

γi =

√2− 1

cos2(ωi)= 0.221

Vi = γi ∗√g0RT = 1.75km/s

hapo =RT

2(sin(θ0) + cos(θ0)− 1) = 78.98km

ln(r) =Vi

c⇒ r = 2.215

Nous obtenons une valeur de r optimiste. Pour être plus réaliste, nous devons évaluer letemps de vol et corriger la vitesse initiale du terme de perte de gravité. Pour se faire, nousavons besoin de données supplémentaires.

la poussée F = 245 250 N ; la masse de propergols Mp = 9 700 kg.

Avec ces nouvelles données, nous pouvons calculer le débit massique et de là estimer ladurée du vol propulsé.

m =F

c= 111.5kg/s

tprop =Mp

m= 87s

Avec le temps de propulsion, en supposant un vol vertical à gs = g0 constant, nous allonscalculer une borne supérieure des pertes de gravité par la relation∫ 87

0gsdt = 87 ∗ g0 = 853m/s

La vitesse initiale nécessaire vaut alors

Vi−corrigée = 0.85 + 1.75 = 2.6km/s

La nouvelle valeur de r = 3.26 est très proche des valeurs que l'on trouve dans les ouvragesde référence concernant les V2.

On constate également que lorsqu'on tient compte de pertes, les performances de la fuséesont dégradées, le rapport r est moins bon, il augmente, ce qui signie que l'on consommeplus de propergols pour remplir la même mission.

52

Fig. 7.5 Trajectoire de la fusée allemande V2.

7.3 Lancement avec angle de site imposé, ω2 xé

Nous souhaitons utiliser une orbite de transfert plus courte. Si l'on tire à 0, l'injectionsera réalisée à 180, soit de l'autre côté de la Terre. Pour des raisons pratiques, on souhaiteque l'injection n'ait pas lieu aussi loin. Il faut alors modier l'angle initial ω2.

Dans le cas d'un lancement avec angle de site imposé, l'angle ω2 est xé, de sorte qu'il nereste plus que 6 variables : γ2, γ3, γ4, ω3, ω4 et ρ3. Nous avons 6 variables avec 4 conditions,il nous reste 2 dérivées partielles à calculer.

La première dérivée

∂F

∂γ′′3= 0 (7.39)

conduit au même résultat que dans le problème précédent, à savoir

γ′′3 = 0 (7.40)

Il faut arriver tangentiellement sur l'orbite nale. Nous obtenons la nouvelle expression dela fonction objectif et des contraintes :

γ2 cos(ω2) = ρ3γ3 cos(ω4)γ2

2

2− 1 =

γ23

2− 1ρ3

(7.41)

ρ3γ4 cos(ω4) = k

γ24

2− 1ρ3

= h

F = γ2 + γ4 − γ3 avec γ4 > γ3 (7.42)

En combinant les contraintes, nous obtenons les 2 relations :

γ22 + γ2

4 = 2h+ 2 + γ23

2γ2γ4 =2kγ3

cos(ω2)(7.43)

53

D'où

(γ2 + γ4)2 = γ23 + 2h+ 2 +

2kγ3

cos(ω2)(7.44)

Et donc

F = −γ3 +

√(γ3 +

k

cos(ω2)

)2

− µ2 (7.45)

avec

µ2 =k2

cos2(ω2)− 2− 2h (7.46)

Cette expression est strictement positive car −2− 2h+ k2 > 0 dans la région des orbitesde satellites. Dès lors

dF

dγ3= −1 +

(γ3 + k

cos(ω2)

)√(

γ3 + kcos(ω2)

)2− µ2

(7.47)

La dérive est toujours strictement positive. Pour en obtenir un minimum, il faut chercherle minimum de γ3.

Des 4 conditions, on tire

ρ3 =2

γ24 − 2h

cos(ω4) =k

γ4

(γ2

4 − 2h2

)(7.48)

γ22 = 2 + 2h+ γ2

3 − γ24

cos2(ω2)(2 + 2h+ γ33 − γ2

4) =4

(γ24 − 2h)2

γ23

k2

γ24

(γ24 − 2h)2

4(7.49)

Et donc

γ23 =

γ24 cos2(ω2)(2 + 2h− γ2

4)k2 − γ2

4 cos2(ω2)(7.50)

Or

k2 =2αβα+ β

et h = − 1α+ β

(7.51)

D'où

γ23 = γ2

4 cos2(ω2)2(α+ β)− 2− γ2

4(α+ β)2αβ − (α+ β)γ2

4 cos2(ω2)(7.52)

54

Cette fonction s'annule pour

γ24 = 0

γ24 =

2(α+ β − 1)α+ β

(7.53)

Elle est innie pour

γ24 =

2αβ(α+ β) cos2(ω2)

(7.54)

L'ordre des points est tel que

2(α+ β − 1)α+ β

<2αβα+ β

<2αβ

(α+ β) cos2(ω2)(7.55)

En général, pour une orbite caractérisée par ses valeurs α et β, la vitesse à l'apogée estdénie par √

2βα(α+ β)

(7.56)

Quant à elle, la vitesse au périgée est donnée par l'expression√2α

β(α+ β)(7.57)

Le minimum de F est obtenu pour le minimum de γ23 , qui est sa valeur au périgée, soit à

l'apogée de l'orbite nale.

On appelle ω2 = ωcr l'angle critique pour lequel les valeurs de γ23 sont les mêmes au périgée

et à l'apogée. Dans ce cas, il est indiérent de faire le raccord au périgée ou à l'apogée :

(γ23)apogée = 2

α− 1α

cos2(ω2)α2 − cos2(ω2)

(γ23)périgée = 2

β − 1β

cos2(ω2)β2 − cos2(ω2)

(7.58)

La condition critique s'exprime par

β(α− 1)(β2 − cos2(ωcr)) = α(β − 1)(α2 − cos2(ωcr)) (7.59)

et donc

cos2(ωcr) =β3(α− 1)− α3(β − 1)

α− β(7.60)

expression valide uniquement si α 6= β. En divisant par α− β, on obtient :

cos2(ωcr) = αβ − α2(β − 1)− β2(α− 1) (7.61)

55

Si l'on a

ω2 ≤ ωcr (7.62)

on a un raccord à l'apogée. Par contre, si l'on a

ω2 ≥ ωcr (7.63)

on a un raccord au périgée.

Le domaine de validité de la solution est tel que

0 ≤ cos2(ωcr) = αβ − α2(β − 1)− β2(α− 1) ≤ 1 (7.64)

Posons X = cos(ωcr). Soit l'équation de α :

α2(β − 1) + α(β2 − β) +X2 − β2 = 0 (7.65)

La solution de cette équation est donnée par

α = −β2± 1

2

√β2 − 4

X2 − β2

β − 1(7.66)

avec 0 ≤ X2 ≤ 1, α doit être réel et supérieur à 1. On a donc 1 < β < α.

La condition qu'α soit réel est vériée par le raisonnement suivant. Il faut que

β2 − 4(X2 − β2)β − 1

≥ 0

β3 + 3β2 − 4X2 ≥ 0 (7.67)

Cette relation est correcte puisque β > 1 et X2 ≤ 1.

La condition qu'α soit supérieur à β est vériée par le raisonnement

−β2±√... α = −β

2± 1

2

√β2 − 4

X2 − β2

β − 1(7.68)

avec β > 1 et 2β3 − 3β2 +X2 ≤ 0. Cette solution n'existe que si β ≤ 32 .

7.4 Exemple

Considérons l'orbite dénie par β = 1.2, α = 1.3, ωcr = 27.275. Supposons que le pro-pulseur soit caractérisé par une impulsion spécique Isp = 240s et une vitesse d'éjectionc = 2350m/s.

Tir ω2 = 0 Tir ω2 = ωcr, apogée Tir ω2 = ωcr, périgée

V2[km/s] 8.4 7.4 6.8

V3[km/s] 6.5 5 5

V4[km/s] 6.8 6.8 7.4M1M4

45 57 57

56

En guise de conclusion, nous pouvons dire que jusqu'à des angles de site de 30, la pénalitésur le rapport de masses n'est pas très importante. L'orbite de transfert est plus courte, ellese termine au périgée et ore, par conséquent, certains avantages pour la poursuite et lescommunications par radio dans la phase de lancement. De plus, la fusée sort plus rapidementde l'atmosphère dense et à une vitesse plus faible, ce qui diminue l'échauement dû à la traînée.L'inconvénient de cette solution est l'accroissement de la perte gravitationnelle subie durantla phase de poussée.

57

Chapitre 8

Technologie de la fusée

8.1 Indices structuraux ou indices de performance

Décomposons la masse initiale Mi d'une fusée à un seul étage.

Mi = Mb +Mp (8.1)

où Mb est la masse de l'étage après extinction des moteurs et Mp est la masse des propergols.

De même, la masse après extinction des moteurs peut être décomposée selon

Mb = Ms +Me +Mu (8.2)

avec Ms est la masse de la structure ; Me est la masse des moteurs1 (système de propulsion) ; Mu désigne la masse utile (charge utile).

Cette répartition est en partie conventionnelle car il n'est pas toujours simple de savoir àquelle catégorie se rattache telle ou telle composante.

Pour calculer la performance maximum, il faut analyser plusieurs congurations en modi-ant les tailles relatives des diérentes composantes.

Au stade initial de la conception, on peut utiliser des formules de répartition simpliéesqui peuvent être déduites d'analyses statistiques de conceptions existantes.

On dénit l'indice de Vertregt :

s =Ms +Me +Mp

Ms +Me(8.3)

1L'indice e désigne engine, les moteurs en anglais.

58

Résolue en fonction de Ms +Mp, cette dénition considère que la somme des masses de lastructure et des moteurs est proportionnelle à la masse des propergols.

Williams suggère d'autres indices :

ζ =Ms

Mpet ε =

Me

Mi(8.4)

On peut également imaginer (d'après Fraeijs de Veubeke) :

σ =Ms

Mi(8.5)

Dans la même référence, on exprime que la masse des moteurs est proportionnelle à lapoussée maximale :

K =Fmax

g0Me(8.6)

Cette dernière hypothèse conduit à des optimisations pour lesquelles le coecient ε estloin d'être constant. Tous ces indices, s, ζ et σ, ainsi que les facteurs relatifs aux moteurs, εet K, doivent être considérés comme des indices de performance caractéristiques de la qualitéde la technologie.

8.2 Taille des moteurs et pertes de gravité

Comme nous l'avons vu au début de ce cours, il est nécessaire de trouver un compro-mis relatif à la taille des moteurs. Ce compromis vient du fait que les pertes de gravité sontmoindres si le temps de propulsion est court. Une fois la taille des moteurs dénie, il fautqu'ils développent leur pleine puissance ou le ux de masse maximum au cours du vol pro-pulsé (éventuellement diérent si l'on tient compte de la traînée).

Avec m (ux massique) constant et en supposant que gs est constant ou remplacé par unevaleur moyenne, on obtient que :

Vb − Vi = c

(ln(Mi

Mb

)− gs

F(Mi −Mb)

)(8.7)

En reprenant le rapport de masse :

r =Mi

Mb(8.8)

et

ϕ =F

g0Mb(8.9)

on obtient

∆Vc

= ln(r)− gs

g0

r − 1ϕ

(8.10)

59

La taille du moteur est dénie par la valeur de :

ε =Me

Mi=

ϕ

Kr(8.11)

donc, pour K donné, par ϕ et r.

Le meilleur compromis dépend du type de performance optimale souhaitée.

On peut, par exemple, demander que le rapport de charge utile soit maximum :

u =Mu

Mi(8.12)

u peut être calculée en fonction des indices structuraux :

u =Mu

Mi=Mb −Ms −Me

Mi=

1r− Ms +Me

Mi=

1r− σ − ϕ

Kr(8.13)

ou bien, en utilisant l'indice ζ

ζ =Ms

Mi(8.14)

u =ζ + 1r

− ζ − ϕ

Kr(8.15)

On suppose donc connus K et soit σ, soit ζ. Nous allons donc chercher à maximiser u enrespectant un certain gain de vitesse. On choisit une fonction objectif f

f(ϕ, r) =ζ + 1r

− ζ − ϕ

Kr(8.16)

La contrainte concerne le gain de vitesse. Il s'agit de l'équation (8.10).

Les données sont le facteur K qui décrit la technologie du moteur (équation (8.6)) etl'indice structural (équation (8.15)).

Solution - fonction augmentée de Lagrange

Le problème consiste à minimiser la fonction

F =ζ + 1r

− ζ − ϕ

Kr+ λ

(∆Vc− ln(r) +

gs

g0

r − 1ϕ

)(8.17)

Il faut annuler les dérivées premières

∂F

∂ϕ= − 1

Kr− λ

gs

g0

r − 1ϕ2

= 0

∂F

∂r= −ζ + 1

r2+

ϕ

Kr2− λ

r+gs

g0

λ

ϕ= 0 (8.18)

∂F

∂λ=

∆Vc− ln(r) +

gs

g0

r − 1ϕ

= 0

60

Des deux premières équations, on tire

ϕ2 = −λKrgs

g0(r − 1) (8.19)

λ =ϕ−K(ζ + 1)

Kr(1− gsr

ϕg0

) (8.20)

en substituant λ à partir de la première équation :

ϕ2 − ϕgs

g0−K(ζ + 1)

gs

g0(r − 1) = 0 (8.21)

ϕ =gs

2g0

[1±

√1 + 4

g0gsK(r − 1)(ζ + 1)

](8.22)

Avec la troisième dérivée partielle, on retrouve la contrainte portant sur l'incrément devitesse

r − 1ϕ

gs

g0= ln(r)− ∆V

c(8.23)

Ces équations sont non linéaires en ϕ et r.

On choisit r, on calcule ϕ, ∆V , ε et u. On répète le calcul pour diérentes valeurs de r eton peut ainsi établir le résultat avec ∆V

c comme variable indépendante.

61

Chapitre 9

Les fusées à étages

9.1 Grandeurs optimales possibles

Rechercher le rapport MuMi

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

9.2 Rapport de masse optimal pour une fusée multi-étages

Un accroissement substantiel de rapport de masse utile est obtenu par l'utilisation de fu-sées multi-étages. Les masses devenues inutiles après combustion sont éjectées étape par étapean d'économiser l'énergie.

Il existe 2 congurations possibles :

L'étagement série (fusée de type gigogne) caractérisé par emboîtement de fusées comportant chacune leur système propulsif et leurs réservoirs(Exemple : Ariane 1) ;

les moteurs des étages supérieurs ne sont pas utilisés dès le départ.

L'étagement parallèle, pour les fusées de type Atlas, au bout d'un certain temps, les moteurs latéraux sontéjectés ;

pour les fusées de type Titan III, les fusées latérales sont éjectées après un certain temps ; cette conguration augmente la traînée, cette solution est valable seulement pour lesgrosses fusées ;

le rendement thermodynamique est moins bon car les tuyères ne sont pas adaptées pourtoute la durée du vol propulsé.

A la gure 9.1, nous considérons la sous fusée d'indice n, qui est constituée de l'étage nlui-même (structure, propergols, moteurs) et de sa charge utile qui se trouve être la sous fuséesuivante, d'indice n+ 1. Soit N le nombre total d'étages.

62

Fig. 9.1 Etagement d'une fusée parallèle.

Pour cette sous fusée n, on a les relations suivantes

Mi,n = Mp,n +Mb,n (9.1)

Mb,n = Me,n +Ms,n +Mi,n+1 (9.2)

Mu,n = Mi,n+1 (9.3)

rn =Mi,n

Mb,n(9.4)

ϕ =Fn

gMb,n(9.5)

un =Mi,n+1

Mi,n(rapport de charge utile) (9.6)

Kn =Fn

gMe,n(9.7)

σn = Ms,n +Mi,n (9.8)

Mu,N = Mi,N+1 = Mu (9.9)

63

Le rapport de charge utile global est donné par

u =Mu

Mi,1=

Mu

Mi,N

Mi,N

Mi,N−1. . .

Mi,2

Mi,1(9.10)

= uNuN−1 . . . u1 (9.11)

Il est intéressant de chercher la distribution optimale des rapports de masse entre lesdiérentes sous fusées. Il est nécessaire de faire certaines hypothèses sur les indices structuraux.

9.3 Pertes de gravité négligées

Pour chaque sous fusée, on a

(∆V )n = cn ln(rN )cn = vitesse eective d'éjection (9.12)

rn =Mi,n

Mb,n

Le gain de vitesse total est donné par

∆V =N∑

n=1

cn ln(rn) (9.13)

Il est nécessaire de savoir comment un rapport partiel de charge utile un est lié au rapportde masse rn. En utilisant l'indice :

sn =Ms,n +Me,n +Mp,n

Ms,n +Me,n(9.14)

on obtient

un =1rn

sn − rnsn − 1

(9.15)

la recherche du maximum de u peut être remplacée par la recherche du maximum de ln(u).En imposant une performance, par exemple ∆V , on recherche le maximum de U :

U =N∑

n=1

ln(un)− 1ν

(∆V −

N∑n=1

cn ln(rn)

)(9.16)

où 1ν est un multiplicateur lagrangien.

Après avoir remplacé un en fonction des rn :

U =N∑

n=1

[ln(sn − rn)− ln(rn)− ln(sn − 1)]− 1ν

(∆V −

N∑n=1

cn ln(rn)

)(9.17)

64

On annule les dérivées premières

∂U

∂rn= − 1

sn − rN− 1rn

+1ν

cnrn

= 0 (9.18)

∂U

∂(

1ν

) = 0

⇒ ∆V =N∑

n=1

cn

[ln(sn) + ln

(1− ν

cn

)](9.19)

qui permet de calculer ν. D'où

rn =(

1− ν

cn

)sn n = 1, . . . N (9.20)

Si toutes les vitesses eectives d'éjection sont égales

cn = c n = 1, . . . N (9.21)

et si on introduit la variable s, moyenne géométrique des sn

sN = s1 . . . sN (9.22)

d'où

ln(s) =1N

N∑n=1

ln(sn) (9.23)

on obtient

∆Vc

= N[ln(s) + ln

(1− ν

c

)](9.24)

donc

1− ν

c=

1se

∆VcN (9.25)

et

rn =sn

se

∆VcN

un =1

sn − 1

[se

∆VcN − 1

](9.26)

D'où

u =

[se−

∆VcN − 1

]N(s1 − 1)(s2 − 1) . . . (sN − 1)

(9.27)

Une nouvelle simplication

s1 = s2 = . . . = sN = s (9.28)

65

conduit au résultat

u =

[se

−∆VcN − 1s− 1

]N

(9.29)

Cela implique que tous les rapports de masse soient identiques ainsi que tous les incrémentsde vitesse. L'augmentation du nombre d'étapes est toujours bénéque. Il est utile de considérerle cas limite du nombre d'étages inni. Calculant la limite pour N →∞ de ln(u) en appliquantle théorème de l'Hospital

ln(u) =−ss− 1

∆Vc

(9.30)

Les résultats calculés sur base de ces hypothèses est repris à la gure 9.2. On constate quele rapport de charge utile augmente lorsque le nombre d'étages N augmente. Le cas limite oùN tend vers l'inni est représenté par la courbe verte.

Fig. 9.2 Rapport de charge utile en fonction de l'étagement.

Théorie peu réaliste car on ne tient pas compte des éléments nécessaires à la séparationdes étages. Ce même résultat peut être obtenu en raisonnant directement sur le cas continu

Ms +Me =1

s− 1Mp (9.31)

66

et donc

dM =s

s− 1dMp (9.32)

d'où

MdV = mcdt = −cdMp = −cs− 1s

dM (9.33)

On doit intégrer entre M = Mi et M = Mu :

∆V = cs− 1s

ln(

1u

)(9.34)

ln(u) =−ss− 1

∆Vc

(9.35)

9.4 Fusée Ariane

Nous allons dire quelques mots sur la famille de lanceurs européens Ariane. L'ESA1 estresponsable du développement de tous les lanceurs de la famille Ariane.

? ? ? ? Note à compléter ? ? ? ?

9.5 Amélioration de la procédure

Plutôt que d'utiliser l'indice structural unique

s =Ms +Me +Mp

Ms +Me(9.36)

On peut utiliser les indices séparés

ε =Me

Miet ζ =

Ms

Mpou σ =

Ms

Mi(9.37)

Mais le seul résultat probant sera obtenu en tenant compte de la perte de gravité. L'équa-tion

∆V =N∑

n=1

cn ln(rn) (9.38)

est donc dicile à justier.

On peut introduire une certaine logique en exprimant que l'accélération brute en n decombustion d'un étage est limitée à une certaine valeur pour des raisons structurales, d'inté-grité ou de guidage. Comme :

ϕ =F

g0Mb=

F

g0Me

Me

Mi

Mi

Mb(9.39)

1Agence Spatiale Européenne.

67

et donc

ϕ = εKr (9.40)

Pour ϕ xé, ε est inversement proportionnel au rapport de masse. Introduisant cette ex-pression pour chaque sous fusée :

εn =(Me

Mi

)n

=ϕn

Krrn(9.41)

On calcule comment un dépend de rn avec l'indice structural ζn. Pour chaque étage

un =1 + ζn − ϕn

Kn

rn− ζn (9.42)

ou en tenant compte de l'indice :

Mi = un +ϕ

KrMi + (1 + ζ)Mp (9.43)(

1− ϕ

Kr

)= u+ (1 + ζ)

(1− 1

r

)(9.44)

La condition d'optimum est donnée par

1un

dun

dr−1n− 1νcnrn = 0 (9.45)

Après réduction, on obtient

ζnrn =(

1− ν

cn

)(1 + ζn −

ϕn

Kn

)(9.46)

ν est calculé comme précédemment

∆V =N∑

n=1

cn

[ln(

1 + ζn −ϕn

Kn

)− ln(ζn) + ln

(1− ν

cn

)](9.47)

Cette équation est résolue facilement si les cn, Kn, ϕn et ζn sont identiques :

u =[(

1 + ζ − ϕ

K

)e−∆VcN − ζ

]N(9.48)

Seules les petites valeurs de ϕ sont bénéques pour u. En eet, les pertes de gravité étantnégligées, il n'y a pas d'avantage à utiliser des moteurs de forte poussée capables de produiredes valeurs élevées de ϕ. Mais si l'on choisit de trop faibles valeurs pour ϕ, en présence d'eetsgravitationnels, les valeurs de u sont trop optimistes.

Avec l'indice de performance σ, on obtient des résultats similaires.

68

Chapitre 10

Problème du rendez-vous

Le problème du rendez-vous consiste à calculer la trajectoire d'énergie minimum liant unpoint de départ donné et un point cible.

Rappelons que l'énergie d'une orbite est directement liée au demi grand axe de l'orbite a :h = − 1

2a .

Le problème est purement géométrique. Nous avons 3 paramètres à déterminer : a, e etl'orientation du grand axe. Nous avons 2 points xés : P1 et P2. Il reste une seule inconnue.

Remarque : pour la simplicité, dans les calculs qui vont suivre, on écrit r au lieu de ρ.

Le centre d'attraction coïncide avec le foyer F de l'ellipse. L'ellipse est une ellipse quel-conque qui lie les 2 points. Le triangle P1P2F est donné. Nous disposons de la propriétégéométrique classique des ellipses

r1 + r′1 = r2 + r′2 = 2a (10.1)

Fig. 10.1 Schéma de l'ellipse et dénition des grandeurs géométriques.

69

Remarque : il faut que le demi grand axe a soit susamment grand.

Soit d la distance |P1P2| et s le demi périmètre du triangleP1P2F :

s =12(r1 + r2 + d) (10.2)

Si l'on tient compte de la relation d'inégalité du triangle P1P2F′, on obtient

r′1 + r′2 ≥ d (10.3)

d'où

s ≤ 12(r1 + r2 + r′1 + r′2) (10.4)

≤ 2a

La valeur minimale de a, donc la valeur minimum de l'énergie de l'orbite de transferts'écrit :

am =12s

r′1m = s− r1 (10.5)

r′2m = s− r2

et donc

r′1m + r′2m ≥ d (10.6)

Ce qui démontre que le deuxième foyer F ′m de l'orbite de transfert est situé sur la ligne

P1P2 avec le rapport de section déni par r′1m, r′2m. Son énergie vaut :

h = −1s

= − 12a

(10.7)

Puisque l'énergie décroît avec la croissance du demi grand axe, cette ellipse est aussi cellequi demande la plus petite énergie. C'est aussi celle qui correspond à la plus petite énergiecinétique au point de départ et donc à la plus petite vitesse initiale. Rappelons que

u2θ + u2

r = 2(

1r− 1

2a

)= 2

(1r− 1s

)(10.8)

Remarque : il n'y a pas de rotation d'ensemble autour de F . L'excentricité de cette orbiteest minimale.

70


Rappelons la formule valable pour les triangles :

cos(α2

2

)=

√s(s− r1)r2d

(10.9)

où α2 est l'angle entre r2 et r′2m.

10.1 Distance des foyers

Pour rappel, la distance des foyers est égale au produit ae, suivant la relation

a− β = ae =α− β

2(10.10)

En utilisant la formule

2amem = sem (10.11)

71

Dans le triangle F ′mP2F :

s2e2m = r′22m + r22 − 2r′2mr2 cos(α2)

= (s− r2)2 + r22 − 2(s− r2)r2

[2s(s− r1)

r2d− 1]

(10.12)

= s2 − 4s(s− r1)(s− r2)d

d'où

em =

√1− 4(s− r1)(s− r2)

sd(10.13)

le théorème de transfert peut être calculé à partir de l'équation de Kepler.

10.2 Théorème de Lambert

Lambert (1728 - 1777) a découvert que le temps de transfert entre 2 points est proportion-nel à la période de l'orbite de Kepler avec un coecient qui dépend seulement de la distanceentre les points et de la somme de leurs distances au centre d'attraction.

Selon la loi de Kepler, le temps de vol entre P1 et P2 vaut :

t2 − t1 =T

2π[E2 − E1 − e(sin(E2)− sin(E1))]

=T

2π

[E2 − E1 − 2e cos

(E1 + E2

2

)sin(E2 − E1

2

)](10.14)

avec T la période de l'orbite.

72


A part T , le temps dépend de e et de la somme ou de la diérence des 2 anomalies f et gtelles que :

f + g = 2 arccos(e cos

E1 + E2

2

)f − g = E2 − E1 (10.15)

D'où

t2 − t1 =T

2π

[f − g − 2 cos

(f + g

2

)sin(f − g

2

)]=

T

2π[f − g − sin(f) + sin(g)] (10.16)

Utilisant ces mêmes fonctions f et g pour calculer la distance d entre P1 =(x1

y1

)et

73

P2 =(x2

y2

), on obtient

d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

= a2(cos(E2)− cos(E1))2 + a2(1− e2)(sin(E2)− sin(E1))2

= 4a2 sin2

(E2 − E1

2

)[sin2

(E1 + E2

2

)+ (1− e2) cos2

(E1 + E2

2

)](10.17)

= 4a2 sin2(f − g) sin2

(f + g

2

)d'où

d = a(cos(g)− cos(f)) (10.18)

On obtient aussi une expression simple pour la somme r1 + r2 des 2 rayons (formule deMoulton) :

r1 + r2 = 2a[1− e

2(cos(E1) + cos(E2))

]= 2a

[1− cos

(f + g

2

)cos(f − g

2

)](10.19)

= a[2− cos(f)− cos(g)]

et enn

cos(f) = 1− r1 + r2 + d

2a

cos(g) = 1− r1 + r2 − d

2a(10.20)

Il reste à résoudre les ambigüités trigonométriques sur f et g.

f = ±f ∗+2kπg = ±g ∗+2lπ (10.21)

k, l = . . . ,−1, 0, 1, 2, . . .

Puisque d ≥ 0, f∗ ≥ g∗, on peut réécrire le résultat :

t2 − t1 =T

2π[±(f ∗ − sin(f∗))∓ (g ∗ − sin(g∗)) + 2mπ] (10.22)

avec m = 0 ou 1.

On exclut les orbites de plus d'une révolution. On obtient ainsi 4 solutions, selon que l'aireA (à gauche du mouvement de P1 vers P2), limitée par l'arc P1P2 et la ligne P1P2 contient ounon les foyers F et F ′ (voir gure 10.4).

74

Fig. 10.4 4 cas.

t2 − t1 =T

2π[(f ∗ − sin(f∗))− (g ∗ − sin(g∗))] si F /∈ A,F ′ /∈ A

t2 − t1 =T

2π[2π − (f ∗ − sin(f∗))− (g ∗ − sin(g∗))] si F /∈ A,F ′ ∈ A

t2 − t1 =T

2π[2π − (f ∗ − sin(f∗)) + (g ∗ − sin(g∗))] si F ∈ A,F ′ /∈ A(10.23)

t2 − t1 =T

2π[(f ∗ − sin(f∗)) + (g ∗ − sin(g∗))] si F ∈ A,F ′ ∈ A

Comme l'équation de Kepler, celle de Lambert permet de calculer le temps de transfertentre 2 points à partir des données orbitales.

Appliquons maintenant les résultats précédents au tir balistique ou vol suborbital, déjàétudié dans un chapitre précédent. Notons que avec

σ =2(r1 + r2 − d)r1 + r2 + d

cos(f) = −1 (10.24)

cos(g) = 1− σ

Le temps devient

t2 − t1 =T

2π

[π − arccos(1− σ) +

√1− (1− σ)2

](10.25)

75

10.3 Application

Nous pouvons appliquer les résultats précédents au cas des missions interplanétaires.

Les méthodes vues précédemment sont adéquates pour une conception préliminaire duplan de vol. On suppose que le vaisseau est à l'extérieur de la sphère d'inuence de la Terre.

Dans le système héliocentrique, on peut développer le schéma itératif suivant : on demande la position de la Terre, point P1, et une estimation de la position de laplanète P2 à l'époque estimée de l'arrivée du vaisseau, une estimation des rayons r1, r2et de la distance d obtenue ;

par le théorème de Lambert, on calcule le temps de vol ; de là, on obtient une meilleure estimation de la position de la planète P2 ; . . .Les manoeuvres avec poussées impulsionnelles permettent de longues périodes de vols libres

avec de petites périodes de phases propulsées. La propulsion chimique agit pendant des tempstrès courts et l'approximation par impulsions est valide :

∆V =∫ t2

t1

F (t)M(t)

dt (10.26)

L'approximation impulsionnelle consiste à faire tendre l'intervalle t2− t1 vers 0 et la pous-sée vers l'inni.

La propulsion a pour but un changement de plan ; une augmentation de la vitesse.

Ces 2 manoeuvres sont reprises plus en détails au chapitre traitant des manoeuvres orbi-tales.

76

Chapitre 11

Le problème des n-corps en mécanique

céleste

Ce problème est décrit dans le livre de référence de L. Meirovitch et Mac Graw : Methods

of analytical dynamics, Leonard Meirovitch, Mac Graw Hill, 1970.

11.1 Hypothèses de base

Nous supposerons que les corps célestes se comportent comme des particules (c'est-à-diredes masses ponctuelles) :

chaque masse est distribuée uniformément sur une sphère ; les distances sont grandes par rapport aux diamètres des sphères.

Les seules forces en jeu sont les attractions gravitationnelles mutuelles.

Dans ces conditions, l'équation du mouvement de la masse mi est donnée par

mid2−→ridt2

= Gn∑

j=1

δ∗ijmimj

ρ3ij

−→ρij i = 1, . . . n (11.1)

où

δ∗ij = 1− δijsymbole de Kronecker complémentaire (11.2)

Par sommation des n équations et sachant que

−→ρji = −−→ρij (11.3)

on obtient

n∑i=1

mid2−→ridt2

= 0 (11.4)

En notant que

M =n∑

i=1

mi (11.5)

77

où M est la masse totale du système et que−→R est la position du centre de masse du

système :

−→R =

1M

(−→c1 t+−→c2) (11.6)

Le centre de masse du système (appelé aussi barycentre) est au repos (si −→c1 = 0 ou sedéplace uniformément.

−→c1 et −→c2 représentent 6 intégrales de l'équation du mouvement. Ecrivons les produits vec-toriels −→ri× l'équation (11.1) pour chaque valeur de i, puis additionnons :

n∑i=1

−→ri ×mid2−→ridt2

= G

n∑i=1

n∑j=1

δ∗ijmimj

ρ3ij

(−→ri ×−→ρij) (11.7)

mais

−→ri ×−→ρij = −→ri × (−→rj −−→ri ) = −→ri ×−→rj−→ri ×−→ρji = −−→ri ×−→rj (11.8)

Il en résulte que le second membre disparaît. On peut donc écrire :

d

dt

(n∑

i=1

−→ri ×mid−→ridt

)= 0 (11.9)

Ceci traduit la conservation du moment cinétique autour du point O (angular momentumen anglais).

−→LO =

n∑i=1

−→ri ×mid−→ridt

= cste (11.10)

les 3 composantes de−→LO constituent 3 nouvelles intégrales du mouvement. L'amplitude et

la direction de−→LO sont constantes.

Laplace appelle plan invariable le plan déni par la direction−→LO. Pour le Soleil, ce plan

est incliné de 135′ par rapport à l'écliptique (entre les plans orbitaux de Jupiter et Saturne).

On appelle intégrales de surfaces les 3 composantes

n∑i=1

mi(yizi − ziyi) = Lx

n∑i=1

mi(zixi − xizi) = Ly

n∑i=1

mi(xiyi − yixi) = Lz (11.11)

avec la notation a =da

dt

78

Remarque : x, y et z dénotent un système inertiel d'origine O.

Prenons les produits scalaires −→ri par l'équation (11.1) pour chaque valeur de i, puiscalculons-en la somme :

n∑i=1

mid−→ridt

· d2−→ridt2

= G

n∑i=1

n∑j=1

δ∗ijmimj

ρ3ij

d−→ridt

· −→ρij (11.12)

Le second membre comporte des termes de la forme

mimj

ρ3ij

(d−→ridt

· −→ρij +d−→rjdt

· −→ρji

)= −mimj

ρ3ij

d−→ρij

dt· d−→ρij

dt(11.13)

D'où l'équation se réduit à

d

dt

(n∑

i=1

12mid−→ridt

· d−→ridt

)+d

dt

−12

n∑i=1

n∑j=1

Gδ∗ijmimj

ρij

= 0 (11.14)

avec

T =12mid−→ridt

· d−→ridt

(11.15)

qui donne l'énergie cinétique et

V = −12

n∑i=1

n∑j=1

Gδ∗ijmimj

ρij(11.16)

où V est l'énergie potentielle. D'où :

T + V = E = cste (11.17)

C'est la conservation de l'énergie totale du système, dixième constante d'intégration dusystème. Aucune autre intégrale n'est connue (voir Bruns et Poincaré : ce sont les seulesindépendantes). La solution complète demande 6n constantes d'intégration, seules 10 sontconnues. Pour les 3 corps, il faut trouver 18 constantes mais il existe des solutions spécialespour le problème des 3 corps, obtenues par Lagrange.

11.2 Le problème des 3 corps

Du XVIIIème siècle jusqu'à présent, de nombreux scientiques s'y sont intéressés. Pour 2corps, le problème peut être résolu de manière analytique. Pour 3 corps, ce n'est plus le cas(Sundman a produit une solution par développement en série dont la convergence est cepen-dant faible). Il faut donc des solutions numériques pour n ≥ 3.

Cependant, on dispose de solutions exactes lorsque le mouvement s'eectue dans le mêmeplan.

79

Prenons comme référence un système d'axes cartésiens x, y et z qui tourne par rapport ausystème inertiel avec une vitesse constante ω autour de z.

Soient xi, yi les positions des masses mi (i = 1, 2, 3) par rapport aux axes tournants.L'énergie cinétique est égale à :

T =12

3∑i=1

mi[(xi − ωyi)2 + (yi + ωxi)2] (11.18)

et l'énergie potentielle vaut

V = −12G

3∑i=1

3∑j=1

δ∗ijmimj

ρij(11.19)

avec

ρij =√

(xi − xj)2 + (yi − yj)2 (11.20)

il faut dériver les équations canoniques de Hamilton. Dénissons d'abord :

T = T2 + T1 + T0

T2 =12

3∑i=1

mi(xi2 + yi

2)

T1 = ω

3∑i=1

mi(xiyi − yixi) (11.21)

T0 =12ω2

3∑i=1

mi(x2i + y2

i )

En introduisant les moments généralisés :

pxi ≡∂L

∂xi= mi(xi − ωyi)

pyi ≡∂L

∂yi= mi(yi + ωxi) avec i = 1, 2, 3 (11.22)

et en éliminant xi, yi des équations précédentes, on a :

T2 =12

3∑i=1

[1mi

(p2xi

+ py2i) + 2ω(yipxi − xipyi) + ω2(x2

i + y2i )]

(11.23)

on peut en déduire que le hamiltonien est égal à :

H = T2 − T0 + V =12

3∑i=1

1mi

(p2xi

+ p2yi

) + ω3∑

i=1

(yipxi − xipyi) + V (11.24)

Comme le lagrangien L ne contient pas le temps explicitement, on en conclut que lehamiltonien est constant :

H = h = cste (11.25)

80

Par conséquent, le système possède une intégrale de Jacobi qui remplace l'intégrale d'éner-gie comme constante du mouvement. On en déduit les équations canoniques de Hamilton :

xk =1mk

pxk+ ωyk

yk =1mk

pyk− ωxk

˙pxk= ωpyk

− ∂V

∂xkk = 1, 2, 3 (11.26)

˙pyk= −ωpxk

− ∂V

∂yk

Il s'agit de 12 équations diérentielles de premier ordre. Elles possèdent des positionsd'équilibre aux points où le membre de droite est égal à zéro.

pxk+ ωmkyk = 0

pyk− ωmkxk = 0

ωpyk− ∂V

∂xk= 0 k = 1, 2, 3 (11.27)

−ωpxk− ∂V

∂yk= 0

qui peuvent se réduire à :

ω2mkxk −∂V

∂xk= 0 k = 1, 2, 3

ω2mkyk −∂V

∂yk= 0 (11.28)

Physiquement, elles expriment que les forces de gravité doivent équilibrer les forces cen-trifuges sur les 3 corps. Mathématiquement, elles représentent les conditions pour que lafonction :

U = V − T0 = V − 12ω2

3∑k=1

mk(x2k + y2

k) (11.29)

soit stationnaire à la position d'équilibre. U peut être vue comme une énergie potentiellemodiée où l'on tient compte des forces centrifuges. En introduisant V dans l'équation (11.28),on a :

ω2xk −G3∑

i=1

δ∗ijmi

ρ3ik

(xk − xi) = 0 k = 1, 2, 3

ω2yk −G

3∑i=1

δ∗ikmi

ρ3ik

(yk − yi) = 0 (11.30)

81

D'où on conclut que :

3∑k=1

mkxk = 0

3∑k=1

mkyk = 0 (11.31)

Le centre de masse est au repos à l'origine du système d'axes. Si on choisit les axes tels quel'axe x passe par m3, on a x3 > 0 et y3 = 0 et donc, pour k = 3 dans les équations (11.30) :

m1y1

ρ313

+m2y2

ρ323

= 0 (11.32)

Si y3 = 0, cette équation se réduit à :

m1y1

(1ρ313

− 1ρ323

)= 0 (11.33)

Elle comporte deux solutions :

ρ13 = ρ23 = ρ et y1 = 0 (11.34)

11.2.1 Première solution

Des équations (11.30), on tire :

ω2 =GM

ρ3et ρ12 = ρ13 = ρ (11.35)

Physiquement, cela correspond à une position d'équilibre dans laquelle les trois corpsforment un triangle équilatéral tournant par rapport à un espace inertiel avec une vitesseangulaire constante, autour de l'axe normal au plan des orbites (les corps décrivent des orbitescirculaires).

11.2.2 Deuxième solution

Les trois corps restent en ligne droite car y3 = 0 ; cette droite est l'axe des x tournant avecune vitesse angulaire ω. Pour x1 < x2 < x3, les équations (11.30) conduisent à :

ω2x1 +G

[m2

(x2 − x1)2+

m3

(x3 − x1)2

]= 0

ω2x2 −G

[m1

(x1 − x2)2− m3

(x3 − x2)2

]= 0 (11.36)

ω2x3 +G

[m1

(x1 − x3)2+

m2

(x2 − x3)2

]= 0

Pour obtenir la position relative de m2 par rapport à m1 et m3, on pose :

x3 − x1 = ρ (11.37)

82

et on choisit :

x3 − x1 = 1 (11.38)

d'où ajustement d'échelle et on obtient :

(m1 +m2)ρ5 + (3m1 + 2m2)ρ4 + (3m1 +m2)ρ3 (11.39)

−(m2 + 3m3)ρ2 − (2m2 + 3m3)ρ− (m2 +m3) = 0 (11.40)

Cette équation n'a qu'une seule solution acceptable (avec ρ positif) et donc les positionssont dénies.

Le triangle équilatéral et la ligne droite sont les solutions stationnaires de Lagrange. Dansles 2 cas, le système tourne avec une vitesse angulaire constante autour du barycentre et doncdécrit des cercles.

Il est possible de déduire une autre solution où les 3 corps décrivent des côniques dans laconguration triangulaire ou en ligne droite. Ces solutions sont schématisées à la gure 11.1.

Fig. 11.1 Solutions du problème à 3 corps.

11.3 Trois corps dont un de masse négligeable

Le calcul se simplie car le mouvement des 2 premiers peut être calculé indépendamment.

2 phénomènes naturels conrment ces calculs : la contre-lueur Gegenschein : une petite lueur dans l'alignement Terre-Soleil, observablela nuit (due à des astéroïdes prisonniers du point de Lagrange L3).

dans la conguration Soleil-Jupiter, on observe la présence des groupes d'astéroïdes destroyens, en L4 et L5.

83

Chapitre 12

Les paramètres képlériens

Pour repérer la position et la vitesse un corps en mouvement dans l'espace à 3 dimensions,nous avons besoin de 6 paramètres, nous avons 6 degrés de liberté à déterminer.

En vertu de la première loi de Kepler (1609), "les orbites des planètes sont des ellipses

planes dont le Soleil occupe l'un des foyers". Il en va de même des orbites des satellites autourde notre Terre.

Cela nous permet de reformuler les 6 paramètres de position et de vitesse du satellite. Pourrepérer le satellite, nous utiliserons 6 paramètres particuliers, appelés paramètres képlériens,dont 5 sont indépendants du temps et un 6ème linéaire en fonction du temps. Ces paramètressont plus utilisés en mécanique spatiale que les coordonnées cartésiennes classiques car ellespermettent une interprétation géométrique simple.

12.1 Plan de l'orbite

L'orbite est plane, son plan passe par le centre de la Terre.

Les premiers paramètres képlériens permettent de repérer le plan de l'orbite par rapportà un système d'axes liés à la Terre et supposé inertiel.

Pour repérer le plan de l'orbite par rapport à la Terre, 2 angles sont susants.

Supposons le repère inertiel Oxyz, où O est le centre de la Terre, l'axe z correspond àl'axe de rotation de la Terre, x, y appartiennent au plan équatorial. x est choisi de manièreà pointer dans une direction constante1, il n'est pas soumis à la rotation de la planète.

Le plan de l'Equateur et le plan de l'orbite se coupent suivant une droite appelée ligne des

noeuds. Cette ligne des noeuds coupe l'orbite du satellite en 2 points : Le noeud ascendant, lorsque le satellite passe de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord ; Le noeud descendant, lorsque le satellite passe du nord au sud.

1Les planètes se meuvent autour du Soleil dans le plan de l'écliptique. L'intersection de ce plan avec le planéquatorial est appelé axe vernal. Cet axe est quasiment constant et sert de référence au repère inertiel Oxyz.

84

Pour repérer le plan de l'orbite, nous devons d'abord repérer la ligne des noeuds par rap-port à l'axe x. Cet angle est appelé ascension droite du noeud ascendant et est noté Ω. Il estcompris entre 0 et 360.

Ensuite, on repère le plan de l'orbite autour de la ligne des noeuds au moyen de l'angledièdre, appelé inclinaison et noté i, compris entre 0 et 180. Si i est compris entre 0 et 90,on parle d'orbite directe ; si i est compris entre 90 et 180, on parle d'orbite rétrograde.

Fig. 12.1 Paramètres képlériens angulaires.

12.2 Forme de l'orbite

Nous venons de déterminer le plan de l'orbite. Maintenant, nous allons étudier la forme del'orbite. Celle-ci est elliptique. 2 paramètres susent pour caractériser la forme d'une ellipse :son demi grand axe a et son excentricité e.

On peut également utiliser les rayons des périgée (point de l'ellipse le plus proche de laTerre) et apogée (point de l'ellipse le plus éloigné de la Terre), ra et rp (α et β en adimension-nel). La ligne joignant ces points est appelée ligne des apsides. Ces rayons sont reliés au demigrand axe et à l'excentricité par les formules :ra = a(1 + e) et rp = a(1− e).

85

12.3 Orientation de l'orbite

Etant donné le plan et la forme de l'orbite, il nous faut maintenant déterminer la positionde l'ellipse dans le plan. Un seul paramètre angulaire est nécessaire à ce niveau.

On choisit l'angle entre le noeud ascendant et le périgée, appelé argument du périgée etnoté ω. Cet angle appartient évidemment au plan de l'orbite.

12.4 Position du satellite sur son orbite

Maintenant que l'orbite est complètement dénie, nous avons besoin de repérer le satellitesur cette orbite. Un seul paramètre angulaire est nécessaire.

12.4.1 Anomalie vraie

On choisit généralement l'angle entre le périgée et le satellite, appelé anomalie vraie et

noté ν. L'équation de la trajectoire s'écrit alors r = p1+e cos(ν) = a(1−e2)

1+e cos(ν) avec p = a(1− e2).

12.4.2 Anomalie excentrique

Une autre possibilité consiste à repérer la position du satellite au moyen de l'angle E centréen C (centre de l'ellipse) entre le périgée et la projection S′ du satellite sur le grand cercle del'ellipse. L'équation de la trajectoire devient ρ = a(1− e cos(E)).

Fig. 12.2 Dénition de l'anomalie excentrique.

86

12.4.3 Anomalie moyenne

Enn, la dernière alternative consiste à choisir une grandeur ctive appelée anomalie

moyenne, qui représente l'angle entre le périgée et le point S′′. Ce point S′′ serait un mo-bile, confondu au périgée avec le satellite, qui se déplacerait sur le grand cercle à vitesseuniforme à la période T du mouvement sur l'orbite réelle.

M varie linéairement en fonction du temps :

M = n(t− tp) (12.1)

où t représente l'instant courant ; tp représente la date de passage au périgée. n est la pulsation de l'orbite elliptique, donnée par n = 2π

T , appelée également moyen

mouvement du satellite. Suivant la 3ème loi de Kepler, on a : n2a3 = cste = µ oùµ = GMT = 398600km3

s2

On passe de l'anomalie excentrique à l'anomalie moyenne par la formuleM = E−e sin(E),appelée équation de Kepler.

Les images suivantes sont reprises du sitehttp : //artemmis.univ−mrs.fr/cybermeca/Formcont/mecaspa/COURSSA/PARAMORB/Paramorb.htm.

La première est une représentation tridimensionnelle de l'orbite et des paramètres képlé-riens.

87

Fig. 12.3 Dénition des paramètres de Kepler.

La seconde gure est une coupe dans le plan de l'orbite. Le point γ représente le pointvernal.

88

Fig. 12.4 Dénition des paramètres de Kepler dans le plan de l'orbite.

89

Chapitre 13

Les manoeuvres

13.1 Dénition

Par dénition, une manoeuvre est une modication imposée au vecteur vitesse (qu'ils'agisse du module et/ou de la direction) qui permet de modier des paramètres képlériens del'orbite.

13.2 Applications

Durant la vie d'un satellite ou d'une sonde spatiale, on peut être amené à modier sonorbite de nombreuses fois. Les raisons de ces modications sont nombreuses :

Pour certaines orbites, le lanceur n'a pas la puissance nécessaire pour mettre le satelliteà poste. C'est typiquement le cas des satellites géostationnaires, injectés sur une orbitede transfert et qui exigent une manoeuvre à l'apogée.

Fréquemment, la précision de l'injection sur l'orbite par le lanceur est insusante et desmanoeuvres de correction sont indispensables pour mettre le satellite à poste.

L'orbite n'est pas purement képlérienne, des perturbations orbitales (que nous détaille-rons plus tard) modient l'orbite du satellite et des corrections périodiques sont néces-saires.

Une mission scientique peut exiger l'utilisation de plusieurs orbites successives. Lepassage d'une orbite à l'autre exige le recours à une manoeuvre précise.

Pour manoeuvrer le mobile, nous voudrions agir soit sur sa position, soit sur sa vitesse.Pourtant, à un instant donné, il est impossible de modier la position du satellite. Il n'y a queles paramètres de vitesse que nous allons pouvoir modier immédiatement. Ces correctionsde vitesse se traduisent alors en termes de corrections des paramètres képlériens présentésprécédemment.

La durée de la manoeuvre est faible vis-à-vis de la période orbitale, nous pouvons doncsupposer que la position du mobile est pratiquement invariante au cours de la manoeuvre. Enpremière approximation, nous considérerons des manoeuvres impulsionnelles (instantanées)du genre : −−→

∆V =−−−→Vnal −

−−−−→Vinitial

90

13.3 Moyens

Il existe diérents dispositifs propulsifs qui permettent de fournir une poussée−−→∆V au

véhicule. A l'heure actuelle, 2 grandes familles de propulseurs sont à notre disposition : Les propulseurs chimiques, à poudre ou à liquide ; Les propulseurs électriques ou ioniques.

Les propulseurs chimiques permettent de fournir de fortes poussées durant une périodelimitée. Ils sont nécessaires pour fournir aux lanceurs les poussées nécessaires pour quitter lasurface de la Terre. Ce type de propulseurs rentre dans le cadre de l'hypothèse de manoeuvreimpulsionnelle mentionnée précédemment.

Les propulseurs électriques ou ioniques fournissent des poussées plus faibles mais pluslongues et permettent d'eectuer des corrections de trajectoires en continu.

13.4 Manoeuvres courantes

Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à quelques manoeuvres classiques quipermettent de modier les paramètres képlériens d'une orbite. Nous travaillons dans l'hypo-thèse d'une manoeuvre impulsionnelle. Le raisonnement n'est plus valable si nous utilisons lapropulsion électrique.

13.4.1 Modication de la forme de l'orbite

La forme de l'orbite est contrôlée par les paramètres a et e, le demi grand axe de l'ellipseet son excentricité. Nous allons maintenant établir les équations qui gouvernent une tellemanoeuvre.

Manoeuvre optimale

Si nous souhaitons modier la forme de l'orbite sans inuencer le plan de la trajectoire, lamanoeuvre doit impérativement avoir lieu dans le plan de l'orbite de départ.

Soit l'orbite initiale O1, caractérisée par un demi grand axe a1. Soit un point P de cetteorbite, où nous allons réaliser la manoeuvre. Soit r1 le rayon repérant ce point. Par conservationde l'énergie mécanique sur O1, on a la relation :

V 21

2− µ

r1= − µ

2a1(13.1)

Comme nous le voyons à la gure 13.1, on eectue en P une poussée−−→∆V , caractérisée par

un module ∆V et une orientation α par rapport à−→V1.

91

Fig. 13.1 Modication de la forme de l'orbite.

La vitesse au point P devient :

−→V2 =

−→V1 +

−−→∆V (13.2)

et le mobile passe sur l'orbite O2, caractérisée par un demi grand axe a2 et passant évi-demment par le point P . La conservation de l'énergie mécanique donne ici

V 22

2− µ

r1= − µ

2a2(13.3)

La formule de Pythagore généralisée fournit la relation suivante :

V 22 = V 2

1 + ∆V 2 + 2∆V V1 cos(α) (13.4)

A partir des équations précédentes, on établit facilement

µ

(1a2− 1a1

)= V 2

1 − V 22 = −∆V 2 − 2∆V V1 cos(α) (13.5)

Pour modier le demi grand axe de l'orbite de la quantité ∆a, la quantité(

1a1− 1

a2

)est

déterminée, ce qui implique que la quantité ∆V 2 + 2∆V V1 cos(α) est également connue.

Pour eectuer la manoeuvre désirée, on cherche maintenant à minimiser l'impulsion ∆V àfournir. Cette poussée est minimale lorsque α = 0 ⇔ cos(α) = 1 et lorsque V1 est maximale.

La première condition implique que la poussée soit réalisée dans le sens et la direction dela vitesse sur l'orbite O1. La seconde condition implique que la manoeuvre soit réalisée aupérigée de l'orbite (où la vitesse est maximale, en vertu de la loi de conservation de la vitessearéolaire de Kepler1).

Lorsque cette manoeuvre est réalisée, le satellite passe sur une orbite de même périgée quel'orbite initiale mais d'apogée diérent. En diérentiant la formule de l'énergie mécanique aupérigée, on obtient

VperdV = µd(2a)4a2

1

(13.6)

1" Les rayons joignant les planètes au centre du Soleil balaient des aires égales en des intervalles de tempségaux ", J. Kepler (loi des aires, 1609).

92

En tenant compte de d(2a) = dzapo, on peut calculer la variation d'altitude à l'apogéeinduite par la manoeuvre

dzapo =4a2

1

µVperdV (13.7)

Cette formule est valable à condition que l'amplitude de la poussée reste faible devant lavitesse au périgée.

De même, si l'on eectue une poussée à l'apogée dans le sens et la direction de la vitesse,on va modier l'altitude du périgée de l'orbite. Si l'impulsion est faible devant la vitesse àl'apogée, l'approximation précédente reste valable et conduit à :

dzper =4a2

1

µVapodV (13.8)

Ce type de manoeuvre réalisée à l'apogée ou au périgée modie le demi grand axe del'orbite ainsi que l'excentricité. Si la manoeuvre est réalisée en un autre point de l'orbite,l'orientation du grand axe va également s'en retrouver changée.

Transfert de Hohmann

Le transfert de Hohmann est une manoeuvre particulière qui consiste à conduire un vé-hicule spatial d'une orbite circulaire O1 de rayon r1 à une orbite circulaire O2 de rayon r2,coplanaires et décrites dans le même sens.

Ces 2 orbites n'ont pas de point commun puisqu'elles sont concentriques, il faut donc 2impulsions pour réaliser ce transfert, le véhicule décrit une orbite de transfert OT entre les 2orbites concentriques.

La manoeuvre est optimale, i.e. le ∆V est minimum, lorsque l'orbite de transfert OT estune ellipse bitangente aux 2 orbites circulaires.

93

Fig. 13.2 Transfert d'Hohmann.

La première impulsion conduit le véhicule de l'orbite O1 à l'orbite de transfert. Le périgéede OT est le point où l'on a fourni cette première impulsion ∆Vper. On a :

V1 + ∆Vper = Vper (13.9)

L'apogée se trouve à l'altitude de O2. La seconde impulsion est appliquée à l'apogée etremonte le périgée à l'altitude de l'orbite circulaire O2. On dit qu'on " circularise " l'orbite.La seconde impulsion est donnée par :

Vapo + ∆Vapo = V2 (13.10)

Les 2 impulsions fournies au périgée et à l'apogée de l'orbite de transfert se calculent fa-cilement à partir de la formule de l'énergie mécanique appliquée aux 2 extrémités de l'orbitede transfert, en tenant compte de : 2aT = r1 + r2.

Au périgée, on a

V 2per

2− µ

r1= − µ

r1 + r2(13.11)

94

A l'apogée, on a

V 2apo

2− µ

r2= − µ

r1 + r2(13.12)

De ces 2 relations, on déduit immédiatement les vitesses à l'apogée et au périgée de l'orbitede transfert :

Vper =

√2µ(

1r1− 1r1 + r2

)

Vapo =

√2µ(

1r2− 1r1 + r2

)(13.13)

Les vitesses sur les orbites circulaires sont données par :

V1 =√µ

r1et V2 =

√µ

r2(13.14)

Les impulsions nécessaires au transfert s'obtiennent directement :

∆Vper =

√2µr2

r1(r1 + r2)−√µ

r1

∆Vapo =√µ

r2−

√2µr1

r2(r1 + r2)(13.15)

Le transfert de Hohmann est optimal en terme de consommation : l'impulsion totale estla plus faible pour passer d'une orbite à une autre donnée. Mais c'est également la trajectoirela plus longue parmi toutes les autres côniques sécantes possibles.

13.4.2 Modication du plan de l'orbite

Modication de l'inclinaison - paramètre i

Si l'on souhaite modier l'inclinaison du plan de l'orbite sans toucher à sa forme ni à sonorientation, il faut que la manoeuvre soit réalisée aux noeuds2 de l'orbite. On fait alors tournerle plan de l'orbite autour de l'axe des noeuds. Aux noeuds, la ligne des noeuds coïncide avecla verticale locale. On y modie alors la composante horizontale de la vitesse.

Considérons une orbite initiale O1, d'inclinaison i1. Au noeud N , la vitesse du véhicule estV1.

L'orbite nale O2 est caractérisée par une inclinaison i2. Le noeud N , où la manoeuvre estréalisée, sera commun. Pour garder la forme de la trajectoire, nous ne pouvons pas modierle module de la vitesse, nous ne pouvons agir que sur sa direction. La vitesse sur l'orbite O2

est donc donnée par V2 = V1.

2Pour rappel, les noeuds d'une orbite sont les 2 points d'intersection de l'orbite avec le plan de l'Equateur.

95

D'après la gure 13.3, on calcule facilement l'impulsion nécessaire pour réaliser une cor-rection d'inclinaison voulue

∆V = 2V0 sin(i2 − i1

2

)(13.16)

Fig. 13.3 Manoeuvre de changement de l'inclinaison de l'orbite.

Pour une modication d'inclinaison donnée, l'impulsion sera minimale au noeud où la vi-tesse V0 est minimale, c'est-à-dire au noeud le plus proche de l'apogée.

Comme exemple, considérons le cas d'une orbite basse circulaire de 400km d'altitude, unecorrection de 1 coûte environ 130m/s. Pour un moteur d'Isp = 300s, la masse de carburantnécessaire représente plus de 4% de la masse totale du satellite. Ceci montre bien que ce typede manoeuvre est très coûteux.

Cependant, les perturbations dues aux inuences combinées de la Lune et du Soleil mo-dient constamment l'inclinaison des orbites des satellites. Des corrections sont nécessaires etlimitent la durée de vie des satellites en orbite. Pour un satellite géostationnaire, l'inclinaisonde l'orbite doit rester voisine de 0. Pour corriger les dérives d'inclinaison, le satellite doitfournir des impulsions de 50m/s par an.

Modication de Ω

Les modications de Ω sont très complexes et très coûteuses. Nous ne les aborderons pasici. Lors de l'analyse d'une mission, on essaie de limiter les manoeuvres hors du plan de l'orbite.

13.4.3 Modication de l'orientation de l'orbite - paramètre ω

Nous allons maintenant nous intéresser au paramètre ω, qui représente l'orientation dugrand axe de l'ellipse par rapport à la ligne des noeuds. Nous ne voulons pas modier le plande l'orbite (paramètres i et Ω) ni la forme de l'ellipse (paramètres a et e).

Cette manoeuvre doit se dérouler dans le plan de l'orbite, de manière à le laisser inchangé.

96

Pour conserver l'excentricité de l'ellipse, il faut conserver le moment cinétique C = rV cos(γ),donc cos(γ), où γ représente la pente locale de la vitesse.

Sur une ellipse, les positions symétriques par rapport au demi grand axe sont caractériséespar des vitesses égales en module (en vertu de la loi des aires de Kepler). De plus, en cespoints, les valeurs absolues des pentes, donc les cos(γ), sont conservées.

Fig. 13.4 Manoeuvre de changement de l'orientation de l'orbite.

La composante radiale de la vitesse est donnée par l'expression Vr = 2µC e sin(ν). Si l'on

applique une impulsion−−→∆V = −2

−→Vr, on inverse le signe de la pente de la vitesse, on passe de

l'orbite bleue à l'orbite rouge. On modie ainsi l'orientation de la ligne des apsides.

Pour faire tourner la ligne des apsides d'un angle θ, on applique une impulsion radiale demodule ∆Vr = 2µ

C e sin(

θ2

)au point de l'orbite initiale d'anomalie vraie ±

(θ2 + kπ

).

13.4.4 Modication de la date de passage en un point donné

Pour modier la date de passage d'un satellite en un point donné, il faut modier la périodede l'orbite du satellite. Suivant la 3ème loi de Kepler, "les carrés des périodes de révolution

des planètes sont proportionnels aux cubes des demis grands axes de leurs orbites".

Ainsi, la période de l'ellipse ne dépend que du demi grand axe. Si l'on souhaite retar-der d'un temps ∆t le passage au périgée d'une orbite de période T1, on fournit au périgéeune impulsion qui fait passer le satellite sur une orbite de période T2 (T2 > T1), telle que∆t = k∆T = k(T1 − T2), avec k entier.

A chaque passage, la date de passage du satellite au périgée est retardée de ∆T . Au boutde k révolutions, le satellite est retardé comme nous l'avions souhaité. Une poussée inverse àla première ramène le satellite sur son orbite initiale.

97

Fig. 13.5 Manoeuvre de changement de la date de passage en un point donné.

13.5 Manoeuvres combinées

Dans certaines congurations d'orbite particulières, il est possible de modier simultané-ment plusieurs paramètres (lorsque les lignes des noeuds et des apsides sont confondues parexemple).

Dans le cas du passage de l'orbite de transfert géostationnaire vers l'orbite géostationnaire,on peut corriger simultanément le demi grand axe (circularisation de l'orbite à l'altitude géo-stationnaire) et l'inclinaison (non nulle, imposée par la latitude de la base de lancement,l'inclinaison doit être corrigée pour ramener l'orbite dans le plan équatorial). Une seule im-pulsion est préférable à 2 corrections distinctes.

Dans ce chapitre, nous avons décrit les manoeuvres de base. Nous pouvons évidemmentles combiner suivant les besoins de la mission. La diculté réside dans la recherche de lastratégie optimale, qui respecte les contraintes de la mission et minimise la masse de propergolsnécessaire aux diérentes manoeuvres (c'est-à-dire qui minimise la somme des modules desimpulsions ∆V ).

98

Chapitre 14

Les perturbations

Le mouvement képlérien est une première approximation du mouvement réel d'un satelliteautour de la Terre. Ce mouvement est basé sur plusieurs hypothèses simplicatrices :

On suppose que la Terre est sphérique et homogène, de manière à la ramener à unemasse ponctuelle située en son centre ;

On considère que seule la force d'attraction de la Terre agit sur le satellite, il s'agit d'unsimple problème de mécanique à 2 corps.

On obtient ainsi des trajectoires elliptiques, fermées et périodiques, stables dans le temps.La réalité est tout autre. Les trajectoires ne sont en réalité pas fermées, des dérives appa-raissent au cours du temps.

Néanmoins, dans la plupart des cas, le mouvement réel est proche du mouvement képlérien,de sorte que nous pouvons le considérer simplement comme un mouvement képlérien perturbé.

Les perturbations constatées sur les orbites sont dues au fait que : La Terre n'est pas homogène, elle n'est pas sphérique (aplatissement de la Terre auniveau de l'Equateur...) ;

Il existe d'autres masses que la Terre et le satellite dans le système mécanique étudié ; Le satellite n'évolue pas dans le vide, il croise toutes sortes de particules dans l'espacequi modie sa trajectoire.

A cause de ces perturbations, les paramètres orbitaux ne sont pas constants, ils vont varierlentement au cours du temps. Nous allons rapidement passer en revue ces diérents types deperturbations et examiner la façon dont elles inuent la trajectoire du satellite.

14.1 Perturbations d'origine gravitationnelle

Parmi ces perturbations, nous pouvons distinguer celles qui sont propres à la Terre et cellesqui sont d'origine "extraterrestre". Ces accélérations perturbatrices ne dépendent pas de lamasse du véhicule, elles dérivent d'un potentiel de position. Ces forces sont conservatives.

99

14.1.1 Irrégularités du potentiel terrestre

Ces perturbations sont liées à la non sphéricité de la Terre. La Terre présente une formeirrégulière qualiée de géoïde (voir la gure suivante, extraite de http : //www.gymnasium−sonthofen.de/physik/gravitation/seiten/s801f2.htm). Nous ne pouvons plus modéliser laTerre par une masse ponctuelle caractérisée par un potentiel attractif U = µ

r .

Fig. 14.1 Géoïde.

Nous devons compléter la formule du potentiel pour tenir compte de termes harmoniquesU = µ

r (1 + F (r, θ, ϕ)). F (r, θ, ϕ) est fonction de la position du satellite autour de la Terre.Une carte du potentiel terrestre est fournie à la gure suivante, tirée de http : //bgi.cnes.fr :8110/tutorial/t1/tutor1.html

100

Fig. 14.2 Perturbations du potentiel terrestre.

Si l'on connaît la fonction F (r, θ, ϕ) en tout point du voisinage terrestre, on peut déter-miner le mouvement exact du mobile par intégration numérique. Inversement, en étudiant lemouvement des satellites autour de la Terre, nous pouvons en déduire la fonction F (r, θ, ϕ).

Si l'on développe l'expression du potentiel terrestre en harmoniques sphériques, on obtient

U =µ

r

(1 +

∞∑n=1

(REq

r

)n(−JnPn sin(ϕ) +

n∑m=1

(Cnm cos(mθ) + Snm sin(mθ))Pnm sin(ϕ)

))(14.1)

où REq représente le rayon équatorial de la Terre ; Jn le coecient de l'harmonique zonal d'ordre n ; Cnm et Snm les coecients des harmoniques tessereaux ; Pn le polynôme de Legendre d'ordre n ; Pnm la fonction de Legendre associée ; r, θ et ϕ le rayon vecteur, la latitude et la longitude du point considéré.

Remarque : Dans la réalité, le terme J2, appelé premier harmonique zonal et qui représentel'aplatissement de la Terre, est dominant vis-à-vis des autres harmoniques. Il est d'ordre 10−3

tandis que les autres sont d'ordre 10−6.

De plus, les valeurs numériques observées pour les termes suivants semblent dépendre (dansune certaine mesure) du nombre de termes retenus dans le développement ainsi que de l'orbitedu satellite qui eectue la mesure.

101

14.1.2 Marées

La masse de la Terre n'est pas constante dans le temps, sa distribution de densité varie aucours du temps. La source principale de cette variation est due à l'attraction exercée par laLune sur toutes les masses présentes sur Terre.

Par dénition, on appelle marée terrestre la réponse de toutes les masses terrestres autresque les océans aux forces d'attraction exercées par la Lune et le Soleil.

On appelle marée océanique la réponse des océans à ces mêmes forces.

Pour tenir compte de ces eets, des facteurs correctifs, fonction du temps, sont rajoutés àl'expression du potentiel terrestre.

14.1.3 Attractions lunaire et solaire

Comme nous venons de le signaler, la Lune et le Soleil agisse sur les masses présentes surTerre. Elles agissent également directement sur le satellite en orbite terrestre. En théorie, toutemasse présente dans le système solaire (et même l'Univers) agit sur le satellite. En pratique,seules les inuences de la Lune et du Soleil sont signicatives.

14.1.4 Inuence sur les paramètres képlériens

On peut démontrer que si la force perturbatrice dérive d'un potentiel, il n'y a pas de va-riations séculaires de a, e et i.

Par contre, les paramètres Ω et ω présentent des dérives séculaires en présence de cesperturbations. Nous allons nous intéresser dans la suite aux dérives causées par le seul termeJ2 du potentiel terrestre.

102

Précession nodale

Fig. 14.3 Précession nodale.

A chaque tour d'orbite, le noeud se déplace (par rapport à un référentiel inertiel) dans lesens inverse du mouvement orbital selon :

dΩdt

= −32J2n

(REq

a

)2 1(1− e2)2

cos(i) (14.2)

où n représente le mouvement moyen du satellite : n =√

µa3 = 2π

T

Sur les 2 graphiques 14.4 et 14.5, nous avons étudié la dérive du noeud ascendant d'uneorbite circulaire (d'excentricité nulle) pour diérentes valeurs du demi grand axe et de l'incli-naison.

103

Fig. 14.4 Dérive du noeud de l'orbite.

L'altitude de l'orbite varie de 400 à 2000 km sur les courbes proposées.

Plus l'orbite s'approche du plan équatorial, plus la dérive devient importante. Par contre,la dérive est nulle pour une orbite polaire (i = 90). La dérive calculée est anti-symétrique depart et d'autre de l'orbite polaire. Ainsi, une orbite directe sera caractérisée par une dérivenégative tandis que la dérive d'une orbite rétrograde sera positive.

104

Fig. 14.5 Dérive du noeud de l'orbite - isovaleurs.

En ce qui concerne l'altitude, l'inuence de la perturbation est d'autant plus importanteque le satellite est proche de la surface. Pour des satellites proches de l'altitude géostationnaire,la dérive se calcule en centièmes de degrés par jour.

105

Précession de la ligne des apsides

Fig. 14.6 Précession de la ligne des apsides.

A chaque tour d'orbite, l'argument du périgée varie. L'orientation du demi grand axe del'ellipse tourne dans son plan.

Cette variation séculaire est donnée par

dω

dt=

32πJ2

4− 5 sin2(i)(1− e2)2

(REq

a

)2

(14.3)

Sur les 2 graphes suivants, nous avons de nouveau estimé la dérive de l'argument du périgéepour des orbites circulaires pour diérentes altitudes et inclinaisons.

La dérive est nulle pour des inclinaisons telles que

4− 5 sin2(i) = 0

⇔ sin(i) = ±√

45

(14.4)

⇔ i1 = 6326′ ou i2 = 11634′

106

Fig. 14.7 Dérive de la ligne des apsides.

Les courbes observées sont symétriques par rapport à l'orbite polaire. La dérive est nullepour les orbites inclinées de 6326′ (orbite directe) et de 11634′ (orbite rétrograde). On parlealors d'orbite à périastre gelé. Les orbites dont l'inclinaison est comprise entre ces 2 valeursprésentent des dérives négatives, les orbites situées en dehors de cet intervalle ont des dérivespositives.

107

Fig. 14.8 Dérive de la ligne des apsides - isovaleurs.

Comme pour la dérive du noeud, l'inuence de la perturbation diminue lorsque l'altitudeaugmente. Elle est importante pour les satellites en orbite basse.

Héliosynchronisme

En l'absence de perturbations, dans le cadre d'un mouvement purement képlérien, le plande l'orbite resterait invariant dans l'espace, xe par rapport aux étoiles. Au cours du mouve-ment de la Terre autour du Soleil, le satellite verrait alors son éclairement varier de jour enjour. Chaque jour, l'angle entre le plan orbital (ligne des noeuds) et la direction du Soleil variede 360

365.25jours = 0.986

jour .

Pour certaines missions d'imagerie, telles que SPOT, on souhaite que les conditions d'en-soleillement restent constantes tout au long des prises de vue, de manière à recombiner etcomparer plus facilement les images prises par le satellite. Une telle orbite est présentée à lagure 14.9.

108

Fig. 14.9 Héliosynchronisme.

Lorsqu'on dimensionne la mission et que l'on souhaite obtenir une orbite héliosynchrone,

on considère la dérive du noeud ascendant dΩdt = −3

2J2n(

REq

a

)21

(1−e2)2cos(i) causée par l'apla-

tissement de la Terre. Cette dérive pourrait donc nous permettre de faire tourner la ligne desnoeuds au même taux que la direction Terre Soleil.

Il apparaît clair qu'un choix judicieux des paramètres a, e, i peut créer une évolution duplan de l'orbite comparable à l'évolution de la Terre autour du Soleil. Nous obtiendrons ainsiun angle constant entre le plan orbital et la direction Terre Soleil.

A la gure 14.10, nous avons considéré le cas d'une orbite circulaire (d'excentricité nulle)et nous avons calculé les inclinaisons qui permettent de garantir l'héliosynchronisme pourdiérentes altitudes.

109

Fig. 14.10 Condition d'héliosynchronisme pour une orbite circulaire.

Ces orbites sont quasiment polaires. A la gure 14.11, nous avons calculé l'inclinaisonqui garantissait l'héliosynchronisme pour diérentes altitudes et excentricités. Il faut toutefoisnoter que pour une excentricité unitaire, la condition d'héliosynchronisme n'a plus de sens,puisque nous sommes alors en présence d'une parabole, cônique ouverte : le satellite ne restepas en orbite autour de la Terre. D'autre part, lors du calcul de la gure 14.11, certains couplesa, e ont été éliminés car ils concernaient des orbites non viables (le périgée se situant sousla surface terrestre).

Plus l'excentricité est importante, plus l'orbite se rapproche du plan polaire pour garantirl'héliosynchronisme. Plus l'altitude est élevée, plus l'inclinaison doit être importante.

110

Fig. 14.11 Condition d'héliosynchronisme pour diérentes orbites.

14.2 Perturbations d'origine non gravitationnelle

Ces perturbations sont liées à des échanges de quantité de mouvement entre le véhicule etles particules qu'il rencontre en orbite.

Ces accélérations sont des phénomènes de surface, leurs amplitudes dépendent de la masse,de l'orientation et de la forme du satellite.

Ces forces ne sont donc pas conservatives. Eventuellement, on peut se servir de ces forcespour piloter naturellement le véhicule.

14.2.1 Frottement atmosphérique

Même à haute altitude, la présence d'une atmosphère raréée est accompagnée d'un frot-tement aérodynamique qui modie la trajectoire.

L'accélération créée par le frottement atmosphérique est modélisée par

γ =12ρS

MCDV

2 (14.5)

111

où ρ représente la densité atmosphérique ; S

m la masse alaire du véhicule ; CD le coecient aérodynamique de traînée ; V la vitesse relative du véhicule par rapport à l'atmosphère.

Ainsi, même si la densité est faible, la vitesse élevée du satellite (de 7 000 à 10 000 m/s)fournit malgré tout un freinage non négligeable.

En pratique, on considère que les eets de l'atmosphère se font sentir jusqu'à une altitudede 1 500km.

14.2.2 Pression de radiation solaire

Cette accélération est liée aux photons émis par le Soleil qui communique une certainequantité de mouvement au satellite. La pression de radiation solaire directe est évaluée suivant

γ = εSCp

MP0 (14.6)

où ε représente la fonction de visibilité, égale à 1 si le satellite voit le Soleil et 0 sinon ; Cp le coecient de réectivité (de l'ordre de 1.5).

14.3 Importances relatives de ces perturbations

Comme nous l'avons expliqué dans ce chapitre, les perturbations d'origine gravique nedépendent pas des caractéristiques du satellite, elles seront les mêmes quelles que soient saforme et sa masse. Elles ne dépendent que de la position du satellite.

Les perturbations d'origine non gravique, elles, sont plus complexes à décrire et vont dé-pendre de la masse du satellite, de sa forme, de son orientation... Ce qui les rend plus dicilesà estimer.

Nous pouvons néanmoins les estimer les comparer les unes aux autres. A la gure 14.12,nous comparons toutes les perturbations à l'attraction qu'exercerait une Terre parfaitementsphérique, seule dans l'univers et dénuée d'atmosphère.

On note que l'aplatissement de la Terre introduit des perturbations d'ordre 10−3 alors queles autres irrégularités de la forme du globe provoquent des perturbations d'ordre 10−6.

L'inuence du frottement atmosphérique dépend énormément de l'altitude de vol du sa-tellite.

112

Fig. 14.12 Importances relatives des diérentes forces perturbatrices.

113

Chapitre 15

Trajectoires interplanétaires

15.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons étudier le mouvement d'une sonde interplanétaire, un appa-reil qui quitte la banlieue terrestre, se déplace dans le Système Solaire et se place en orbiteautour d'une autre planète ou un satellite.

Au cours de ce transfert, la sonde est soumise à la force gravitationnelle de plusieurs corps :la planète de départ, le Soleil, la planète d'arrivée, ainsi que d'autres planètes éventuellementrencontrée en cours de mission. Nous sommes donc confronté à un système à N corps pourlequel il n'existe pas de solution analytique simple. Une manière d'appréhender ce type demouvement consiste à décomposer le vol de la sonde en diérentes phases, chacune décritepar un mouvement à 2 corps (mouvement képlérien). Ces diérentes portions de trajectoiresse raccordent ensuite pour reproduire l'ensemble du vol de la sonde. Cette technique porte lenom de méthode des côniques juxtaposées.

Typiquement, un transfert interplanétaire se décompose en : Une hyperbole de libération de la planète d'origine ; Une ellipse de transfert autour du Soleil ; Une hyperbole d'insertion autour de la planète d'arrivée.

Cette méthode est utilisée dans une première étape de dimensionnement de la mission.A ce niveau, on cherche à étudier la faisabilité d'un tel transfert. Le programme se trouvealors en phase 0, dite phase d'analyse mission. Lorsque le programme passe dans les phasessuivantes, des calculs plus précis sont nécessaires, des modèles à intégrations numériques sontindispensables.

114

15.2 Equation du mouvement

Fig. 15.1 Problème à N corps.

Considérons un système à N corps. L'équation du mouvement dans un repère inertiel liéau corps Pj , que l'on considèrera comme le corps principal du système est donnée par

−−→ssat = −µj

−−→ssat

s3sat

+∑i6=j

µ

(−→σi

σ3i

−−→si

s3i

)+

−→f

Msat(15.1)

comme la sonde est soumise à la force

−→F =

∑i

Msatµi

−−→SPi

SP 3i

+−→f (15.2)

−→f représente l'ensemble des forces d'origine non gravitationelle appliquée à la sonde, telle

la pression de radiation solaire, une accélération fournie par les propulseurs de la sonde...

L'accélération du satellite est donc la résultante de 3 composantes distinctes : D'une part, nous avons l'accélération due au corps principal qui, seule, produirait unmouvement purement képlérien ;

Le deuxième terme représente les perturbations gravitationnelles induites par les corpssecondaires ;

Le dernier terme représente les forces d'origine non gravitationnelle.

On obtient un système d'équations que l'on doit alors intégrer numériquement. Il existecependant une méthode simpliée qui permet d'obtenir des premiers résultats représentatifset qui pourront servir de base à une étude plus poussée.

115

15.3 Méthode des côniques juxtaposées

En fonction de l'importance relative de l'attraction exercée sur la sonde par le Soleil ouune planète, nous allons calculer une trajectoire képlérienne (à 2 corps) pour chaque phase duvol. Nous les raccorderons par la suite.

15.3.1 Notion de sphère d'inuence

Considérons une sonde soumise à l'inuence de 2 corps, d'une part le Soleil, d'autre partune planète. Le Soleil est caractérisé par sa masse mS , la planète par sa masse mP .

Fig. 15.2 Notion de sphère d'inuence.

En fonction de la distance qui sépare la sonde aux 2 corps, nous allons pouvoir considérerque l'un d'eux est principal et négliger le second. Par exemple, on comprend clairement quesi la sonde reste au voisinage de la planète, on peut négliger en première approximation l'ac-célération induite par le Soleil.

On se ramène ainsi à un problème à 2 corps, pour lequel il existe une solution analytique.Tant que le satellite est considéré soumis à l'inuence de la planète seule, nous dirons qu'il setrouve dans la sphère d'inuence de la planète considérée.

Calculons le rayon r de cette sphère. Pour cela, nous devons exprimer le mouvement dela sonde autour de la planète et autour du Soleil, calculer les rapports Q0 et Q1 entre lesaccélérations perturbatrices et les accélérations principales. Le rayon de la sphère d'inuencede la planète sera obtenu en égalant Q0 et Q1.

L'équation du mouvement de la sonde autour du Soleil est donnée par

d2r

dt2= −µS

r2+ µP

(1ρ2− 1a2

)(15.3)

Le rapport entre les accélérations perturbatrices et les accélérations principales vaut

Q0 =apert

aprinc=µP

(1ρ2 − 1

a2

)µS

r2

≈ µP

µS

(a

ρ

)2

(15.4)

en supposant que ρ est négligeable vis-à-vis de a.

116

De même, l'équation du mouvement de la sonde au voisinage de la planète (dans la sphèred'inuence de cette planète) est donnée par

d2ρ

dt2= −µP

ρ2+ µS

(1r2− 1a2

)(15.5)

On obtient

Q1 =apert

aprinc=µS

(1r2 − 1

a2

)µP

ρ2

≈ 2µS

µP

(ρa

)3(15.6)

Pour obtenir la valeur de r, on égalise Q0 et Q1. On obtient

ρ = 0.87055(µP

µS

) 25

a (15.7)

Le rayon de la sphère d'inuence d'une planète dépend donc de l'importance relativede sa force gravitationnelle par rapport au Soleil, ainsi que sa distance au Soleil. Dans letableau suivant, les valeurs correspondant aux plus proches planètes du Système Solaire ontété répertoriées.

Planète a [106km] µSµP

ρ [106km]Mercure 57.9 6 023 600 0.0978

Vénus 108.2 408 523.5 0.536

Terre 149.6 332 946 0.805

Mars 227.9 3 098 710 0.502

Jupiter 778.3 1 047.355 41.9

Saturne 1 427 3 498.5 47.5

15.3.2 Coniques juxtaposées

La méthode des coniques juxtaposées consiste à supposer que, tant que la sonde restedans la sphère d'inuence d'une planète, son mouvement peut être décrit par une conique sedéplaçant avec la planète et dont celle-ci est le foyer. D'autre part, lorsque la sonde se trouveà l'extérieur d'une sphère d'inuence, son mouvement est un mouvement héliocentrique décritpar une conique dont un foyer est le Soleil. La transition entre les 2 mouvements est réaliséesur la sphère d'inuence de la planète.

117

Fig. 15.3 Notion de sphère d'inuence.

La méthode revient donc à eectuer le changement de variables :( −→RS−→VS

)=

( −→rS−→vS

)+

( −→RP−→VP

)si on quitte la sphère d'inuence

( −→rS−→vS

)=

( −→RS−→VS

)−

( −→RP−→VP

)si on entre dans la sphère d'inuence (15.8)

Dans la première équation, le membre de gauche représente le mouvement héliocentriquede la sonde. Le premier terme du membre de droite décrit le mouvement planétocentriquede la sonde tandis que le second représente le mouvement héliocentrique de la planète. Laseconde équation exprime que le mouvement planétocentrique de la sonde est la diérence desmouvements héliocentrique de la sonde et de la planète.

Le transfert interplanétaire est donc décomposé en 3 phases : La phase planétocentrique de départ de la planète d'origine ; La phase de transfert héliocentrique ; La phase planétocentrique d'arrivée sur la planète visée.

15.3.3 Transfert interplanétaire

Stratégie de libération

L'objectif premier de cette étape est de quitter la sphère d'inuence de la planète. La sondedoit donc aller "à l'inni" de la planète. Si l'on suppose un départ du sol de la planète, nous

118

devons fournir au véhicule une vitesse Vd supérieure à la vitesse de libération parabolique L0

dénie par L0 =√

2µPrP

.

Pour la Terre, on retrouve la valeur donnée au début de ce cours de 11.18 km/s.

Si la vitesse fournie est supérieure à la vitesse de libération, la sonde va atteindre la limitede la sphère d'inuence sur un arc d'hyperbole à une vitesse V d

∞ que l'on calcule en utilisantla conservation de l'énergie

(V d∞)2

2− µP

r

∣∣∣r=∞

=V 2

d

2− µP

rP=V 2

d

2− L2

0

2(15.9)

Soit une vitesse à l'inni V d∞ =

√V 2

d − L20.

Il existe 2 stratégies de libération permettant de placer une sonde à l'inni du centre de laTerre avec la vitesse innie départ désirée.

La première consiste à en un tir direct (ce serait le cas d'une combustion continue de l'étaged'Ariane V allumé en série avec l'EPC, Etage Propulsif Cryogénique).

La deuxième stratégie consiste en l'utilisation d'une orbite intermédiaire dite "de parking".C'est le cas lors d'une mise en orbite basse circulaire eectuée par le lanceur Proton.

C'est cette seconde possibilité que nous allons étudier. Nous supposerons que l'injectionsur l'orbite hyperbolique s'eectue à partir d'une orbite circulaire d'altitude hp. Nous suppo-serons également que le plan de cette orbite contient la direction de V d

∞ (cela impliquera desconditions d'injection portant sur Ω et θd

∞).

Pour une hyperbole, la conservation de l'énergie exprimée à l'inni permet d'évaluer ledemi grand axe a = µP

(V d∞)2

. De même, l'excentricité est donnée par e = a+Rp

a . Rp représente le

rayon terrestre augmenté de l'altitude de l'orbite de parking.

119

Fig. 15.4 Stratégie de libération.

L'anomalie vraie du point à l'inni est donnée par

θ∞ = arccos(−1e

)(15.10)

120

Fig. 15.5 Stratégie de libération - dénition des angles.

On suppose que la direction du vecteur vitesse à l'inni est repérée dans le repère inertieléquatorial par son ascension droite αd

∞ et sa déclinaison δd∞. On suppose également que le plan

de l'orbite de parking, caractérisé par une inclinaison i donnée (xée au moment de l'insertionpar le lanceur), contient la direction de V d

∞. Nous sommes alors en mesure de déterminer l'as-cension droite Ω et l'argument ω du périastre de l'hyperbole de libération en utilisant l'anglede transfert θd

∞ entre le noeud ascendant et la direction de l'asymptote de départ.

Le triangle sphérique NAV est rectangle en A. En construisant le pentagone de Nepercorrespondant, on peut facilement établir les relations de trigonométrie sphérique entre lesangles intervenant dans le schéma.

121

Fig. 15.6 Pentagone de Neper - dénition des angles et relations.

On obtient le système d'équations suivantes :cos(θd

∞) = sin(

π2 − δd

∞)sin(

π2 − αd

∞ + Ω)

= cos(δd∞) cos(αd

∞ − Ω)cos(

π2 − δd

∞)

= sin(δd∞) = sin(i) sin(θd

∞)cos(

π2 − αd

∞ + Ω)

= sin(αd∞ − Ω) = cot

(π2 − δd

∞)cot(i) = tan(δd

∞)tan(i)

(15.11)

On peut tirer de la seconde relation la condition de coplanarité : le transfert sera possiblesi l'inclinaison de l'orbite de parking est comprise dans l'intervalle ]π − |δd

∞|, |δd∞|[. Plus la

déclinaison du vecteur vitesse à l'inni est importante, plus la "fenêtre" d'inclinaisons quipermettent le transfert se réduit. A la limite, lorsque la déclinaison est maximale (égale à π

2 ),la seule orbite possible est l'orbite polaire.

De la troisième relation, on déduit qu'il existe 2 orbites de parking d'inclinaison i quicontiennent la direction du vecteur vitesse inni départ. Les ascensions droites de ces 2 orbitessont données par Ω1 = αd

∞ − arcsin(

tan(δd∞)

tan(i)

)Ω2 = αd

∞ + arcsin(

tan(δd∞)

tan(i)

)− π

(15.12)

L'ascension droite du noeud ascendant dépend donc uniquement de la direction du vecteurvitesse à l'inni.

De même, pour l'angle θd∞, 2 solutions sont possibles. Si l'on se place dans le plan de

l'orbite, on a le schéma suivant (gure 15.7). L'angle est relié à l'argument du périastre parla relation θd

∞ = θ∞ +ω. Rappelons que l'angle θd∞ repère l'asymptote de l'hyperbole à partir

du noeud ascendant, θ∞ est l'anomalie vraie du point à l'inni, caractéristique de l'hyperboleet dénie à partir du point d'injection et ω est l'argument du périastre.

122

Fig. 15.7 Argument du périastre.

Le point d'injection (où l'on fournit l'impulsion qui permet au véhicule de quitter l'orbitede parking pour suivre l'hyperbole de libération) correspond au périastre de l'hyperbole. C'estla solution optimale en termes de consommation de propergols, l'impulsion est tangente à latrajectoire initiale circulaire.

La donnée de la direction de la vitesse inni départ conditionne donc l'ascension droitedu noeud ascendant et l'argument du périastre de l'orbite. Ainsi, l'hyperbole de départ estentièrement dénie.

La latitude du point est calculée directement en fonction de i et ω. On est en présenced'un triangle sphérique rectangle. On en déduit immédiatement sin(δ) = sin(i) sin(ω).

Phase de transfert proprement dite

Dans la phase de transfert héliocentrique, nous pouvons négliger les phases planétocen-triques en première approximation. La trajectoire de transfert est très proche d'un arc d'ellipsejoignant les centres des 2 planètes.

Le problème du transfert entre 2 planètes P1, de vitesse héliocentrique−−→VP1 et P2, de vitesse

héliocentrique−−→VP2, situées à des distances R1 et R2 du Soleil à des instants t1 et t2 est alors

de trouver la conique passant par−→R1 et

−→R2, parcourue par la sonde en ∆t = t2 − t1. Il s'agit

du problème de Lambert.

On en déduit les vitesses héliocentriques−→V1S et

−→V2S de la sonde au départ et à l'arrivée.

Etant données les vitesses héliocentriques des planètes de départ et d'arrivée, on en déduit lesimpulsions à fournir au véhicule pour s'assurer un transfert correct. Ces 2 impulsions peuventêtre assimilées aux vitesses hyperboliques à la limite des sphères d'inuence, V d

∞ et V a∞.

En supposant que les orbites des planètes autour du Soleil sont circulaires et coplanaires,nous nous ramenons au transfert de Hohmann, qui est décrit dans le chapitre consacré auxmanoeuvres. Dans ce cas, la trajectoire est une ellipse bitangente aux orbites de P1 et P2. Lesplanètes sont en opposition de phase au départ et à l'arrivée. Le demi grand axe est donné paraT = a1+a2

2 . Cette conguration se reproduit toutes les périodes synodiques Tsyn = T1T2|T1−T2| ,

où T1 et T2 sont les périodes des planètes P1 et P2. La durée du transfert se calcule par la

123

formule t = Ttransfert

2 = π√

a3T

µS, puisqu'on ne décrit qu'une demi ellipse.

Par exemple, ce type de transfert entre la Terre et Mars ne peut être réalisé que tous les2.13 ans et dure 259 jours.

Phase d'arrivée

La vitesse d'arrivée de la sonde est la diérence entre la vitesse héliocentrique d'arrivée à

P2 et la vitesse de la planète−→vS =

−→VS−

−→VP . Cette vitesse est assimilée à la vitesse hyperbolique

d'arrivée−→V a∞ et l'on arrive au voisinage de la planète P2 sur une branche d'hyperbole.

Les diérents paramètres de l'hyperbole d'arrivée peuvent être déterminés de manièresimilaire à celle utilisée pour l'hyperbole de libération, durant la première phase du vol.

15.4 Assistance gravitationnelle

Lorsqu'une mission interplanétaire se révèle être trop coûteuse en termes de propergols,une solution consiste à se servir de l'assistance gravitationnelle réalisée lors du survol d'uneplanète massive. La masse de la planète modie la direction du vecteur vitesse de la sonde.

Dans le référentiel inertiel, l'assistance gravitationnelle est un transfert d'énergie de la pla-nète vers le véhicule. La variation des paramètres orbitaux de la planète est imperceptible carla masse de la sonde est négligeable comparée à celle de la planète. Par contre, les paramètresorbitaux du véhicule sont considérablement modiés si l'altitude du périastre de l'hyperboleest susamment faible.

La sonde arrive au voisinage de la planète suivant une hyperbole dont on peut faire va-rier le rayon de périastre rp. Intuitivement, on comprend que plus ce rayon sera faible, plusl'inuence de la planète se fera ressentir, la déviation de la sonde sera d'autant plus importante.

Dans le référentiel planétaire, en 2 points symétriques de l'hyperbole, le module de la vi-tesse est égal. A la limite de la sphère d'inuence, les vitesses V a

∞ et V d∞ sont identiques puisque

l'énergie sur l'hyperbole est déterminée par a, constant. Ce qui change, c'est la direction de lavitesse du véhicule relative à la planète.

A la gure 15.8, l'angle θ représente l'angle entre les directions des vitesses−→V a∞ et

−→V d∞.

124

Fig. 15.8 Assistance gravitationnelle.

D'après la formule (15.10), le cosinus de l'angle entre l'asymptote de l'hyperbole avec laligne des apsides est donné par la relation :

cos(θ +

π − θ

2

)= −1

e(15.13)

D'où l'on tire la relation permettant de caractériser la déviation de la vitesse à l'inni :

sin(θ

2

)=

1e

=(

1 +rpV

2∞

µp

)−1

(15.14)

On constate l'inuence du rayon rp sur l'ecacité de la manoeuvre. La vitesse héliocen-trique est obtenue en ajoutant vectoriellement la vitesse de la planète. On obtient :

−→V a

S =−→Vp +

−→V a∞

−→V d

S =−→VP +

−→V d∞ (15.15)

L'ecacité de la manoeuvre est donnée par

|−→V d∞ −

−→V a∞| et |∆V | = 2V∞ sin

(θ

2

)(15.16)

125

Fig. 15.9 Assistance gravitationnelle - vecteurs vitesses.

Soit

∆V =2V∞

rpV 2∞

µ + 1(15.17)

126

Chapitre 16

Où l'on rentre sur Terre : trajectoires

de rentrée atmosphérique

16.1 Arc orbital

L'arc orbital est dénit depuis le point 0 où l'impulsion permettant au véhicule de quitterson orbite est donnée, jusqu'au point E à l'altitude de rentrée, que l'on choisit ici égale à 100km.

Tous les paramètres qui vont nous permettre d'établir les équations du mouvement duvéhicule sont représentés à la gure 16.1. On y retrouve les paramètres liés à l'impulsion detransfert qui permet au véhicule de quitter son orbite initiale, ainsi que les caractéristiques del'arc orbital entre le point de déorbitation et le point d'entrée.

127

Fig. 16.1 Paramètres de l'impulsion de transfert et de l'arc orbital OE.

L'orbite initiale est caractérisée par les paramètres rS et−→VS , de module VS et de pente γS .

L'impulsion de transfert est décrite par le point d'application r0 = rS et−−→∆V , de module

∆V , d'angle ω par rapport à l'horizontale locale et d'angle ω′ par rapport au plan déni par−→VS et le centre de la Terre.

L'arc orbital est déni en ses 2 extrémités. Au point de déorbitation, il faut connaître la

position r0 = rS et la vitesse−→V0, de module V0, de pente γ0 et d'écart latéral ψ.

Au point d'entrée, il faut connaître la position rE = RT +100km, la vitesse−→VE de module

VE et de pente γE .

L'angle αE représente la portée angulaire de l'arc orbital, l'angle βE représente le déportangulaire latéral. les distances xE et yE sont données par les relations

xE = rEαE et yE = rEβE (16.1)

Tous ces paramètres ne sont pas indépendants, il existe plusieurs relations entre eux.

128

Au point de déorbitation, le triangle des vitesses fournit la relation

−→V0 =

−→VS +

−−→∆V (16.2)

Si l'on projette ces équations suivant les 3 axes, on obtient

V0 cos(γ0) sin(ψ) = ∆V sin(ω′) (16.3)

V0 cos(γ0) cos(ψ) = VS cos(γS) + ∆V cos(ω′) cos(ω) (16.4)

V0 sin(γ0) = VS sin(γS)−∆V cos(ω′) sin(ω) (16.5)

Sur l'arc orbital, nous exprimons la conservation de l'énergie mécanique et la conservationdu moment cinétique pour obtenir

V 2E = V 2

0 + 2µ(

1rE− 1r0

)(16.6)

cos(γE) = cos(γ0)r0V0

rEVE(16.7)

L'équation de la portée s'exprime sous la forme

µ1− cos(αE)r0V 2

0 cos2(γ0)− r0rE

+cos(αE + γ0)

cos(γ0)= 0 (16.8)

Enn, une simple relation de trigonométrie sphérique permet de calculer le déport latéral

sin(βE) = sin(αE) sin(ψ) (16.9)

En général, les conditions au point d'entrée E, VE , γE , xE et yE sont fonction de 6 para-mètres : rS , VS , γS , ∆V , ω et ω′.

Si l'on considère le cas d'une orbite initiale circulaire, le paramètre γS est nul et on a larelation rSV

2S = µ. La rentrée atmosphérique n'est plus conditionnée que par 4 paramètres. Si

l'on considère le cas particulier d'un arc orbital contenu dans le plan de l'orbite, l'impulsionest nécessairement dans le plan de l'orbite et l'angle ω′ est nul, de sorte qu'il ne reste plus que3 paramètres. Si l'angle ω′ n'est pas nul, le plan de l'orbite subit une rotation d'angle ψ.

16.1.1 Transfert à partir d'une orbite circulaire basse

Nous supposerons que l'arc orbital et l'orbite initiale sont coplanaires, de sorte que ω′ = 0.Les paramètres d'entrée VE , γE et xE dépendent des 3 paramètres rS , ∆V et ω.

Optimisation de la déorbitation

Lorsque l'on souhaite quitter une orbite circulaire caractérisée par rS , il existe une doubleinnité d'ellipses de transfert dépendant de ∆V et ω. Si l'on impose la valeur de la pented'entrée γE , on xe un degré de liberté, il reste une innité simple d'ellipses de transfert.Parmi ces ellipses, il en existe une qui permet de minimiser la valeur ∆V de l'impulsion dedéorbitation. Nous allons rechercher la valeur de ω correspondante (il s'agit de l'angle destuyères qui fournissent l'impulsion).

129

Nous allons introduire les variables adimensionnelles

δ =∆VVS

ρ =r0rE

(16.10)

où VS =√

µrS

et ρ ≥ 1.

Si l'on applique la relation de Pythagore généralisée au triangle des vitesse au point dedéorbitation, on obtient

V 20 = V 2

S + ∆V 2 + 2V0VS cos(ω) (16.11)

∆V 2 = V 20 + V 2

S − 2V0VS cos(γ0) (16.12)

La relation (16.11) s'écrit en adimensionnel

V0 = VS

√1 + δ2 + 2δ cos(ω) (16.13)

Nous avons besoin du résultat intermédiaire suivant (établi à partir des équations (16.13)et (16.12))

cos(γ0)V0

VS= 1 + δ cos(ω) (16.14)

A partir de la conservation de l'énergie mécanique (équation (16.6)), on obtient

V 2E = V 2

0 + 2µ(

1rE− 1r0

)= V 2

S

[(∆VVS

)2

+ 2∆VVS

cos(ω)− 1 + 2r0rE

](16.15)

VE

VS=

√δ2 + 2δ cos(ω)− 1 + 2ρ (16.16)

A partir de l'équation de conservation du moment cinétique (équation 16.7) et à l'aide desexpressions que nous venons d'introduire (équations (16.14) et (16.16)), nous obtenons

cos(γE) =r0rE

cos(γ0)V0

VS

VS

VS

= ρ1 + δ cos(ω)√

δ2 + 2δ cos(ω) + 2ρ− 1(16.17)

Cette équation peut être réécrite sous la forme suivante

cos2(γE)(δ2 + 2δ cos(ω + 2ρ− 1)

)− ρ2(1 + δ cos(ω))2 = 0 (16.18)

Nous cherchons à optimiser l'impulsion de déorbitation, c'est-à-dire à déterminer l'angleω de l'impulsion pour qu'elle soit minimale. Nous étudions donc la fonction δ(ω). Si nouscalculons la dérivée de (16.18) par rapport à ω, on obtient

δ′(δ cos2(γE) + cos(ω) cos2(γE)− ρ2(1 + δ cos(ω)) cos(ω)) = δ sin(ω) cos2(γE)− ρ2(1 + δ cos(ω))δ sin(ω)(16.19)

130

Nous cherchons un minimum pour δ, ce qui correspond au point où δ′ = 0.

δ sin(ω)[cos2(γE)− ρ2(1 + δ cos(ω))] = 0 (16.20)

Il existe 2 solutions. Soit sin(ω) = 0, soit

1 + δ cos(ω) =cos2(γE)

ρ2(16.21)

On a le résultat :

δ cos(ω) =cos2(γE)− ρ2

ρ2(16.22)

On introduit ce résultat dans l'équation (16.18) qui conduit à l'expression de l'impulsionadimensionnelle

δ =

√3− 2ρ− cos2(γE)

ρ2(16.23)

Cette valeur représente la valeur optimale, c'est-à-dire la vitesse minimale (adimension-nelle) permettant de réaliser la déorbitation dans les conditions souhaitées (pour se trouverà l'entrée de l'atmosphère suivant des valeurs ρ et γE xées). On introduit cette expressiondans l'équation (16.22)

cos(ω) =cos2(γE)− ρ2

δρ

=cos2(γE)− ρ2√

3ρ4 − 2ρ5 − cos2(γE)ρ2(16.24)

Il faut que la condition suivante soit vériée :

cos2(ω) =(cos2(γE)− ρ2)2

3ρ4 − 2ρ5 − cos2(γE)ρ2≤ 1

cos4(γE)− ρ2 cos2(γE) + ρ4 − 3ρ4 + 2ρ5 ≤ 0 (16.25)

Cette dernière relation conduit à la condition

(2 cos(γE)− ρ2)2 − ρ4(9− 8ρ) ≤ 0 (16.26)

Si cette condition est vériée, on obtient

cos(ω) =cos2(γE)− ρ2

ρ√

3ρ2 − 2ρ3 − cos2(γE)(16.27)

Les résultats sont schématisés à la gure 16.2.

131

Fig. 16.2 Direction de l'impulsion optimale en fonction du rayon vecteur initial et de lapente d'entrée.

Dans la condition (16.26), le premier terme est positif ou nul. La valeur maximale quepeut atteindre ρ est limitée par le second terme et vaut ρmax = 9

8 . Pour cette valeur de ρ,la valeur maximale de la pente γE est de 37.3. Au-dessus des courbes de la gure 16.2, lasolution optimale est la rétrofusée (ω = 180). Les valeurs situées en dessous de ρ = 1 sontsans intérêt puisque le point de déorbitation est toujours situé au-dessus du point de rentrée(sans quoi le satellite se trouverait sur une orbite non viable).

A la gure 16.3, nous avons eectué un agrandissement sur le domaine des orbites bassesavec des pentes de rentrée faibles. La portion du graphique en rouge correspond au domaineoù la rétrofusée pure est la solution optimale.

132

Fig. 16.3 Direction de l'impulsion optimale - agrandissement.

Lorsque la rétrofusée n'est pas la solution la plus économique, la direction à donner àl'impulsion de déorbitation varie rapidement avec la pente de rentrée γE , comme on peut leremarquer à la gure 16.4. Le cas particulier où le véhicule se trouve déjà à l'altitude de rentréeest schématisé par la courbe rouge. Une impulsion de 90 ne modie pas la pente de rentrée.La pente augmente ensuite linéairement avec l'angle de l'impulsion. Pour atteindre une pentede 20 à la rentrée, il faut un braquage de 110.

133

Fig. 16.4 Direction de l'impulsion optimale.

Valeurs de l'impulsion

A la gure 16.5, nous avons reporté la valeur de l'impulsion en fonction de la pente γE

pour 4 directions ω. L'altitude de l'orbite initiale est zS = z0 = 500km. A cette altitude, pourles pentes achées, la solution optimale est la rétrofusée (voir gure 16.3). On constate quelorsqu'on choisit une direction de 150, la pénalisation n'est pas trop importante. Lorsqu'onutilise une direction de 120 ou même de 90circ, la pénalisation devient inacceptable.

134

Fig. 16.5 Variation de l'impulsion en fonction de la direction ω.

Vitesse de rentrée

La vitesse de rentrée est l'une des conditions initiale de la phase atmosphérique. Plusl'altitude de l'orbite initiale est importante, plus cette vitesse augmente. Pour l'orbite géosta-tionnaire, cette vitesse vaut 10.3km/s. Pour le retour des missions lunaires, elle est voisine dela vitesse de libération, soit 11km/s.

Nous avons tracé les valeurs de la vitesse de rentrée en fonction de la pente γE et del'altitude de l'orbite initiale à la gure 16.6. la courbe correspondant à z0 = 200km présenteune discontinuité tangentielle, il s'agit du passage de la rétrofusée (ω = 180) à la solutionsolution optimale ω0.

On peut constater que l'inuence de la pente γE est négligeable pour les altitudes initialesélevées mais devient importante pour les orbites basses.

135

Fig. 16.6 Inuence de l'altitude de l'orbite initiale sur la vitesse de rentrée.

Portée longitudinale

Nous avons reporté à la gure 16.7 la portée en fonction de la pente de rentrée γE pourdiérentes orbites initiales. La portée parcourue entre le point de déorbitation et le pointd'entrée diminue lorsque la pente augmente et diminue avec l'altitude de l'orbite initiale.Lorsque la pente de rentrée est nulle, il s'agit d'une orbite elliptique bitangente semblable àcelles des transferts d'Hohmann. On retrouve bien le résultat selon lequel le véhicule parcourtune demi-ellipse le long du transfert, soit une portée αE = 180, quelle que soit l'altitudeinitiale.

136

Fig. 16.7 Portée longitudinale angulaire de l'arc orbital.

Pour des pentes d'intérêt pratique, de l'ordre de 2 ou 3, et pour une altitude initiale de400km (altitude proche de celle de la station spatiale internationale), la distance parcourueest de l'ordre d'un quart de la circonférence terrestre.

Ecart latéral

Lorsque l'orbite initiale et l'arc orbital ne sont pas coplanaires, cela signie que l'impulsionde déorbitation n'est pas coplanaire, ω′ 6= 0.

Une impulsion en dehors du plan de l'orbite initiale revient à faire tourner le plan del'orbite d'un angle ψ. l'impulsion réalisée en 0 doit d'une part réaliser la déorbitation pouratteindre le point de rentrée avec la pente γE souhaitée, d'autre part permettre la rotation duplan de l'orbite.

La composante de l'impulsion hors du plan permet de le faire tourner. Elle est donnée parla formule (cfr. le chapitre sur les manoeuvres)

∆Vlat = 2VS sin(ψ

2

)(16.28)

137

En la combinant à la composante de l'impulsion dans le plan de l'orbite par la relation

∆V =√

∆V 2plan + ∆V 2

lat, nous sommes en mesure de calculer la valeur de l'impulsion nécessaire

pour atteindre l'altitude de rentrée avec la pente souhaitée et avec la rotation voulue. Lescourbes correspondantes sont représentées à la gure 16.8. Elles supposent une altitude del'orbite initiale de 400km et une déorbitation par rétrofusée pure.

Fig. 16.8 Impulsion nécessaire pour une rentrée sous pente donnée avec une rotation duplan de l'orbite.

138

16.2 Arc atmosphérique

Nous xerons l'altitude limite de l'atmosphère à 100km. L'arc atmosphérique commencedonc à cette altitude jusqu'à l'impact au sol (il s'agit du niveau de la mer dans le cas desmissions américaines, les capsules soviétiques retournant généralement sur le continent).

16.2.1 Notion de corridor de rentrée

Pour que le véhicule puisse traverser l'atmosphère sans encombre, la rentrée doit se faireà l'intérieur d'un corridor de rentrée, déni par 2 valeurs limites de la pente γE , fonctions dela vitesse VE et de l'altitude zE au point de rentrée E.

Suivant la valeur de la pente, on peut distinguer 4 types de trajectoires.

Si la pente γE est nulle, le véhicule ne subit pas le freinage atmosphérique, le véhiculene rentre pas sur Terre ;

Si γE = γ2, la trajectoire est tangente à la surface de la Terre, en tenant compte dufreinage atmosphérique ;

Si γE = γ3, la trajectoire permet eectivement de rentrer sur Terre mais les chargesthermiques et mécaniques subies durant la rentrée sont trop importantes pour le véhi-cule ;

Si γE = 90, on parle de rentrée directe.

Les 2 valeurs γ2 et γ3 délimitent le corridor de rentrée. Ces valeurs dépendent du véhicule,de ses caractéristiques mécaniques et thermiques. En pratique, ces valeurs sont inférieures à10, le corridor est large de quelques kilomètres.

16.2.2 Equations du mouvement

Pour décrire le mouvement d'un véhicule de rentrée, nous adopterons les hypothèses sui-vantes :

la Terre est parfaitement sphérique, de rayon RT = 6378km et en rotation à la vitesseω autour de l'axe Nord-Sud ;

nous ne conservons que le terme le premier terme de l'accélération de la pesanteur(nous supposons ainsi que la Terre est parfaitement sphérique et homogène, de sortequ'on puisse la représenter par un point aecté de la masse totale terrestre). On a

g = gT

(RTr

)2où gT représente l'accélération de la pesanteur au niveau de la mer.

la densité atmosphérique varie en fonction de l'altitude z suivant une loi de la formeρ(z) = ρie

−βi(z−zi). On parle d'atmosphère standard. Un modèle d'atmosphère standardutilisé communément est le modèle américain US76. Dans un tel modèle, l'atmosphèreest décomposée en couches horizontales successives. Au sein de chaque couche limitée parles altitudes (zi, zi+1), le paramètre βi est constant mais dière d'une couche à l'autre.

On considère que le véhicule vole sans dérapage. Ainsi, la résultante des forces aérodyna-miques (portance et traînée) et le vecteur vitesse se trouvent dans le plan de symétrie duvéhicule. La résultante aérodynamique dépend alors de 2 coecients de portance et detraînée, Cz et Cx. Ces coecients sont liés par l'équation de la polaire f(Cx, Cz) = 0. Lapolaire est graduée en fonction de l'incidence aérodynamique α. Ainsi, le choix de la loi

139

d'incidence α(t) inue directement sur l'évolution des coecients au cours de la rentréeCx(t) et Cz(t). Le choix de l'incidence est limité. L'incidence maximum correspond plusou moins au maximum de portance en aérodynamique (environ 40. Pour déterminerl'orientation de la résultante aérodynamique, un second angle est nécessaire, il s'agit de

l'angle µ de roulis (angle entre le plan de symétrie du véhicule, contenant−→V et le plan

vertical passant par−→V .

on négligera les mouvements du véhicule autour de son centre de gravité. Nous n'étu-dierons que le mouvement du centre de gravité, supposant que l'attitude du véhicule estéquilibrée.

En tenant compte de l'ensemble de ces conditions, nous allons pouvoir décrire la trajec-toire du véhicule. Celui-ci est repéré par ses coordonnées géographiques (latitude λ, longitudeφ et rayon r). Le vecteur vitesse est représenté par son module V , sa pente γ et son azimut1 χ.

Les équations du mouvement sont reproduites ci dessous.

V = −g sin(γ)− 12ρV 2SCx

m(16.29)

γ = −g cos(γ)V

+12ρV

SCz

mcos(µ) +

V

rcos(γ) + 2ω sin(χ) cos(λ) (16.30)

χ =12ρV

SCz

m

sin(µ)cos(γ)

+V

rcos(γ) sin(χ) tan(λ) + 2ω [sin(λ)− cos(λ) cos(χ) tan(γ)](16.31)

r = V sin(γ) (16.32)

λ =V

rcos(χ) cos(γ) (16.33)

φ =V

r

sin(χ) cos(γ)cos(λ)

(16.34)

L'intégration de ce système d'équations permet de calculer la trajectoire du véhicule surl'arc atmosphérique pour diérentes congurations de départ.

Avant d'entamer les simulations numériques, nous allons utiliser une approche simpliée.

Nous supposerons que la rentrée atmosphérique ne commence que lorsque les forces aéro-dynamiques sont prépondérantes vis-à-vis des autres. On a alors :

12ρV 2SCx mg sin(γ) (16.35)

12ρSV 2Cz mg cos(γ)−mV 2 cos(γ)

RT(16.36)

Ces 2 équations sont déduites de (16.29) et (16.30) et expriment que le poids et la forcecentrifuge sont négligeables comparées à la traînée et la portance.

Au début de l'arc atmosphérique, la masse volumique de l'air, ρ, augmente plus rapidementque ne diminue le carré de la vitesse, V 2. On reporte (16.35) dans l'équation longitudinale(16.29) :

mdV

dt=

12ρV 2SCx (16.37)

1L'azimut est mesuré par rapport à la direction du Nord, positif vers l'Est.

140

en tenant compte de la relation :

dV

dt=dV

dz

dz

ds

ds

dt= −dV

dzsin(γ)V (16.38)

où s représente l'abscisse curviligne.

D'après la représentation de l'atmosphère standard :

ρ = ρ0e−bz ⇒ dρ

dz= −bρ (16.39)

Nous sommes en mesure de décrire l'évolution de la masse volumique d'après la vitesse :

dV

dρ= − SCx

2mb sin(γ)V (16.40)

Si nous voulons intégrer l'équation (16.40), nous devons connaître l'évolution de γ, lesautres paramètres sont connus. Nous allons envisager 2 cas limites : le rebond atmosphériqueet la trajectoire équilibrée.

16.2.3 Le rebond atmosphérique

Lorsque la portance (paramètre Cz) est susamment important, on peut assister à unrebond atmosphérique. Si nous étudions l'équation transversale (16.30), en considérant queles autres forces sont négligeables vis-à-vis de la portance, nous obtenons :

mVdγ

dt= −1

2ρSV 2Cz (16.41)

En décomposant

dγ

dt=dγ

dρ

dρ

dz

dz

ds

ds

dt(16.42)

on arrive au résultat

dγ

dρ= − SCz

2mb sin(γ)(16.43)

que l'on intègre pour obtenir

cos(γ) = cos(γE) +SCz

2mb(ρ− ρE) (16.44)

Si l'on veut exprimer l'évolution de la pente en fonction de la vitesse, on combine leséquations transversale (16.40) et longitudinale (16.43) :

dγ =Cz

Cx

dV

V(16.45)

Une fois intégrée, cette équation fournit :

γ = γE +Cz

Cxln(V

VE

)(16.46)

Cette relation permet de comprendre qu'une portance positive permet de diminuer la pentede rentrée γ, d'où l'eet de rebond ou de ricochet atmosphérique qui caractérise les enginsfortement portant. Inversement, une forte traînée a pour eet de minimiser la tendance aurebond.

141

16.2.4 La trajectoire équilibrée

Le cas de la trajectoire équilibrée correspond au cas où la portance compense exactementla pesanteur, de sorte que d'après l'équation (16.30) l'angle de rentrée soit constant :

dγ

dt= 0 (16.47)

Nous pouvons déduire de cette équation le coecient de portance nécessaire pour conserverune pente constante durant le vol atmosphérique :

Cz =2mg cos(γE)

ρS

(1V 2

− 1gRT

)(16.48)

Ainsi, au début de la rentrée, la faible densité de l'air implique un coecient de portancerelativement élevé pour équilibrer la trajectoire. Ensuite, la portance devra diminuer au coursde la rentrée.

On intègre alors l'équation longitudinale suivant :

V = VEe−λρ0(e−bz−e−bzE ) (16.49)

avec :

λ =SCx

2mb sin(γE)(16.50)

Sur la gure 16.9, nous avons utilisé les données suivantes : VE = 7.8 km/s ; zE = 65 km ; γE = 5 ; m = 100 kg ; Sref = 15 ; Cx = 1 ;

Comme nous l'avons signalé au début de ce paragraphe, on constate qu'au début de larentrée, la vitesse varie très lentement alors que l'altitude diminue fortement. La densité del'air augmente exponentiellement, la force de traînée fait ensuite diminuer la vitesse quasimentlinéairement. En n de vol, la vitesse est fortement diminuée et seule l'altitude varie de façonsignicative.

142

Fig. 16.9 trajectoire équilibrée.

16.2.5 Evolution des phénomènes

Au cours du vol atmosphérique, l'ensemble des eets aérodynamique peuvent être repré-sentés par une forme générale fonction de la masse volumique et de la vitesse :

I = kρmV n (16.51)

Chaque phénomène aérodynamique est caractérisé par un couple de valeurs m,n particu-lier. Ainsi, on a :

i ≈ 1, j ≈ 2 pour les forces aérodynamiques ; i ≈ 1, j ≈ 1 pour le nombre de Reynolds2 (Re = ρV L

µ ) ;

i ≈ 12 , j ≈ 3 pour les ux de chaleur laminaires (Φ ≈ √ρV 3).

Au cours du vol, la densité ρ augmente, la vitesse V diminue. La fonction I peut présenterun extremum dans le cas d'une trajectoire équilibrée. On a :

dI

I= m

dρ

ρ+ n

dV

V(16.52)

2Le nombre de Reynolds permet de décrire les phénomènes de viscosité dans un écoulement.

143

En tenant compte des relations :

dρ

ρ= −bdz dV

V= −λdρ (16.53)

Pour calculer l'altitude d'un extremum, il sut de poser dI = 0, soit :

dρ

dz= −mb

nλ= −bρ (16.54)

L'altitude recherchée est donnée par :

zM =1b

ln(ρ0

ρM

)(16.55)

où ρM = mnλ .

Au-dessus de cette altitude, le phénomène considéré est régi par l'augmentation de lamasse volumique. En dessous, c'est l'augmentation de la vitesse qui est prépondérante. Ainsi,dans le cas présenté ci dessus, l'altitude correspondant au ux de chaleur maximum est de 27km, celle correspondant aux forces aérodynamiques est de 19.5 km, et celle correspondant aumaximum du nombre de Reynolds est de 14.5 km.

144

16.2.6 Résultats numériques

Dans cette section, nous considérerons un véhicule présentant les caractéristiques sui-vantes :

masse m de 2 000 kg ; surface caractéristique S de 15 m2.

Nous supposerons également que l'angle de roulis µ est nul, de manière à simplier leséquations.

Nous avons d'abord considéré le cas d'un véhicule de portance nulle (Cz = 0) ou, c'estéquivalent, de nesse nulle (f = Cz

Cx= 0)

Dans ce cas limite, on constate qu'au début de la phase de rentrée, la pente augmentelégèrement pour terminer pratiquement à la verticale au niveau du sol. Bien entendu, à unealtitude de 10 ou 20 km, le véhicule déploit ses parachutes pour freiner l'impact au sol, desorte que les équations utilisées jusqu'ici ne sont plus valables.

La vitesse du véhicule passe de la valeur en orbite circulaire (de l'ordre de 7 800 km/s)à une valeur raisonnable pour l'ouverture des parachutes. L'altitude diminue pratiquementlinéairement au cours de la rentrée.

Remarque : Si la pente initiale est nulle, on observe un rebond atmosphérique. Au lieude rentrer sur Terre, le véhicule ricoche sur l'atmosphère et repart dans l'espace. Sa vitessediminue mais son altitude augmente (par conservation de l'énergie mécanique, les frottementsrestant limités), ainsi que la pente de la vitesse. Le retour devient impossible.

Le comportement de la pente qui diminue rapidement en n de vol est lié à la diminutionimportante de la vitesse. On peut voir dans l'équation (16.30) que le premier terme −g cos(γ)

Vaugmente rapidement, la pente diminue de plus en plus au fur et à mesure que le véhiculefreine.

145

Fig. 16.10 Vitesse pour une nesse nulle. Fig. 16.11 Pente pour une nesse nulle.

Fig. 16.12 Altitude pour une nesse nulle.

146

Nous avons ensuite considéré le cas d'un véhicule caractérisé par une nesse f de 0.2. Nousétudions donc un planeur atmosphérique. La pente de la vitesse à l'interface-entrée vaut γ = 5.

Les résultats sont reproduits sur les gures suivantes.

On observe tout d'abord le comportement de l'altitude qui se remet à augmenter légère-ment après 2 minutes de vol, avant de rediminuer jusqu'à l'impact au sol. On observe ainsi unléger rebond atmosphérique.

Durant cette phase du vol, la pente du vecteur vitesse augmente jusqu'aux environs de 0

puis diminue fortement.

Au cours du rebond, la vitesse décroît rapidement, le véhicule est "capturé" par l'atmo-sphère terrestre.

A la gure 16.16, nous avons tracé l'évolution de la vitesse en fonction de l'altitude. Onpeut constater que le vol est constituer de diérentes phases distinctes.

Dans la première phase du vol, le véhicule se déplace à haute vitesse dans la partie hautede l'atmosphère, son altitude décroît rapidement.

Ensuite, durant la seconde phase du vol, l'altitude du planeur reste relativement constantemais sa vitesse diminue rapidement par frottement dans les zones plus denses de l'atmosphère.

Enn, lorsque la vitesse devient susamment faible, vitesse et altitude décroissent en-semble jusqu'à l'impact au sol.

A la gure 16.17, nous avons reporté la position du planeur atmosphérique sur un plani-sphère terrestre. Le point de rentrée (à l'altitude de 100km) a été xé à 30 de latitude nord et−60 de longitude, avec un azimut de 45, de manière à ce que le véhicule ne survole aucunezone habitée et se pose sur l'océan atlantique.

147

Fig. 16.13 Vitesse pour une nesse de0.2.

Fig. 16.14 Pente pour une nesse de 0.2.

Fig. 16.15 Altitude pour une nesse de 0.2.

148

Fig. 16.16 Prol de vitesse en fonction de l'altitude durant la phase de rentrée atmosphé-rique.

149

Fig. 16.17 Position du véhicule au cours de la rentrée atmosphérique.

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