I. FUNGSI DAN MODEL MATEMATIKA1

Topik: A. Gagasan dasar mengenai fungsi dalam kalkulus. B. Cara menyatakan fungsi. C. Fungsi-fungsi utama kalkulus. D. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong. E. Fungsi simetri. F. Fungsi naik dan fungsi turun. G. Transformasi fungsi. H. Kombinasi dan komposisi fungsi. I. Proses permodelan matematika.

J. Prinsip pemecahan masalah (dalam penyusunan fungsi atau pembuatan model matematika)

A. Gagasan dasar mengenai fungsi dalam kalkulus Fungsi muncul bilamana suatu besaran tergantung pada besaran yang lain. Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat dengan satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B (lihat Gambar 1). Fenomena dunia nyata dalam bidang (teknik) lingkungan banyak yang berhubungan dengan perubahan dan gerakan. Misalnya perubahan konsentrasi polutan dalam air sungai atau gerakan polutan di udara. Kalkulus berhubungan dengan perubahan dan gerakan, dan menangani besaran yang mendekati besaran lainnya. Sehingga untuk memecahkan permasalahan seperti perubahan konsentrasi polutan atau gerakan polutan dapat

menggunakan fungsi dalam kalkulus.

1

Disadur dari: Bab I Fungsi dan Model dalam Stewart J, 2002, Kalkulus Edisi Keempat Jilid 1 (Alih bahasa oleh: I Nyoman Susilo dan Hendra Gunawan), Erlangga, Jakarta.

1

x

f(x) x f f(x) keluaran

a f A a. Diagram panah untuk fungsi y

f(a) masukan B b. Diagram mesin untuk fungsi

daerah hasil y= f(x)

0 daerah asal c. Grafik fungsi Gambar 1. Ilustrasi fungsi dalam kalkulus B. Cara menyatakan fungsi Fungsi dapat dinyatakan (disajikan) secara: 1. Lisan (dengan uraian kata-kata). 2. Numerik (dengan tabel nilai). 3. Visual (dengan grafik). 4. Aljabar (dengan rumus eksplisit).

x

Berikut ini adalah contoh penyajian fungsi: a. Lisan: C adalah rata-rata tingkat CO2 di atmosfer (dalam ppm parts per million) di Observatorium Mauna Loa pada waktu t. 2

b. Numerik: Tabel 1. Rata-rata tingkat CO2 di atmosfer di Observatorium Mauna Loa antara tahun 1972 1990 Tahun 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 c. Visual:360

Tingkat CO2 di atmosfer (dalam ppm) 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 344,3 347,0 351,3 354,0

C

350

340

330

320

t1975 1980 1985 1990 1995

1970

Gambar 2. Grafik rata-rata tingkat CO2 di atmosfer di Observatorium Mauna Loa antara tahun 1972 1990

d. Aljabar: Sebaran titik-titik data tampak mengikuti suatu garis lurus. Sehingga sebaran data dapat dianggap diwakili oleh sebuah garis lurus. Dengan menarik garis yang menghubungkan titik data pertama dan titik data terakhir (Gambar 3), diperoleh garis dengan kemiringan:

3

Dan persamaan garisnya menjadi: C 327,3 = 1,483(t 1972) Sehingga fungsi untuk rata-rata tingkat CO2 di atmosfer di Observatorium Mauna Loa antara tahun 1972 1990 adalah: C = 1,483t 2597,83

360

C

350

340

330

320

t1975 1980 1985 1990 1995

1970

Gambar 3. Garis linier melalui titik data pertama dan titik data terakhir Atau dengan menggunakan prosedur statitika yang disebut regresi linier2, diperoleh garis yang mewakili sebaran data (Gambar 4). Garis ini memiliki persamaan: y = 1,496x 2624 Bila y = C dan x = t, maka fungsi untuk rata-rata tingkat CO2 di atmosfer di Observatorium Mauna Loa antara tahun 1972 1990 menjadi: C = 1,496t 2624

2

Perangkat lunak MS Excel menyediakan alat (tool) analisis yang dapat digunakan untuk memperoleh regresi dari kumpulan data.

4

360

C

350

340

330

320

t1975 1980 1985 1990 1995

1970

Gambar 4. Garis regresi linier C. Fungsi-fungsi utama kalkulus Fungsi-fungsi utama dalam kalkulus adalah: 1. Fungsi linier. ( ) 2. Fungsi polinom. ( ) 3. Fungsi pangkat. ( ) , dengan a konstanta.

4. Fungsi rasional. Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom. ( ) ( ) ( )

5. Fungsi aljabar. Fungsi yang dibuat dengan menggunakan operasi aljabar yang dimulai dengan fungsi polinom. Sebarang fungsi rasional adalah fungsi aljabar. Contoh fungsi aljabar3: ( )

3

Fungsi ini adalah fungsi dalam teori relativitas yang menunjukkan massa partikel yang bergerak dengan kecepatan v, dimana m0 adalah massa partikel dalam keadaan diam dan c adalah kecepatan cahaya dalam ruang 5 hampa (3,0 x 10 km/detik).

5

6. Fungsi trigonometri. Contoh fungsi trigonometri: ( ) 7. Fungsi eksponensial. ( ) ( ) , dengan a konstanta positif.

8. Fungsi logaritma. , dengan a konstanta positif.

9. Fungsi transenden. Fungsi yang bukan aljabar, misalnya: trigonometri, eksponensial, logaritma dan fungsifungsi lain yang tidak diberi nama. D. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong Contoh fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong: ( ) {

E. Fungsi simetri Fungsi simetri adalah fungsi yang grafik fungsinya simetri terhadap salah satu sumbu atau titik asal atau garis (Gambar 5 dan 6). Contoh fungsi simetri: 1. f(x) = x5 + x, simetri terhadap titik asal.

4000 3000

20001000 0

-6

-4

-2

-1000-2000 -3000

0

2

4

6

-4000

Gambar 5. Grafik fungsi f(x) = x5 + x 6

2. f(x) = 2x x2, simetri terhadap garis x = 1.

4

0-4 -2 -4 0 2 4 6

-8

-12

-16

Gambar 6. Grafik fungsi f(x) = 2x x2

F. Fungsi naik dan fungsi turun Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) bila x1 < x2 di I Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) bila x1 > x2 di I G. Transformasi fungsi Grafik suatu fungsi dapat digeser dengan faktor pergeseran c, dimana c > 0 atau di regangkan atau dimampatkan dengan faktor peregangan atau pemampatan c, dimana c > 1 (Gambar 7).

7

4

0-4 -2 -4 0 2 4 6

-8

-12

-16

Gambar 7. Grafik fungsi f(x) = 2x x2 (garis biru) yang digeser dengan faktor 2 (garis merah) dan dimampatkan dengan faktor 2 (garis hitam) H. Kombinasi dan komposisi fungsi 1. Dua fungsi f dan g dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru dengan cara yang serupa seperti cara menambahkan, mengurangkan, mengalikan dan membagi bilangan nyata, sebagaimana definisi berikut: ( ( ( )( ) )( ) )( ) ( ) ( )( ) den ( )

( ) den ( ) den

nd e nd e l l *

l l

( ) ( ) den nd e

nd e

( )( )

| ( )

+

2. Dua fungsi f dan g dapat membentuk fungsi komposit (gabungan) yang didefinisikan oleh: ( )( ) ( ( ))

x masukan

g(x)

f(x) f(x)

f(g(x)) keluaran

Gambar 8. Diagram mesin untuk fungsi komposit

8

I. Proses permodelan matematika Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi) dari fenomena dunia nyata. Tujuan model adalah untuk memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku fenomena di masa depan. Gambar 9 mengilustrasikan proses permodelan matematika. Diberikan suatu persoalan dunia nyata, langkah pertama adalah mengenali dan menamai variabel bebas dan tak bebas, membuat anggapan untuk menyederhanakan fenomena seperlunya sehingga tertelusuri secara matematika. Selanjutnya dengan menggunakan pengetahuan tentang situasi fisik dan keterampilan matematika, dicari persamaan yang mengaitkan variabel-variabel tersebut. Dalam situasi dimana tidak ada kaidah fisik yang dapat digunakan, perlu dilakukan pengumpulan data dan memeriksa data untuk mengenali pola. Dari pernyataan numerik suatu fungsi dapat digambarkan grafiknya. Dalam beberapa kasus grafik fungsi dapat memberi petunjuk rumus aljabar tertentu yang sesuai. Selanjutnya model matematika dipecahkan untuk mendapatkan kesimpulan matematika. Kemudian kesimpulan matematika tersebut ditafsirkan dengan membuat penjelasan dan prakiraan. Langkah terakhir adalah menguji prakiraan dengan menggunakan data nyata. Jika prakiraan tidak sesuai dengan kenyataan, maka model perlu diperbaiki dan proses permodelan diulangi kembali.

Persoalan dunia nyata

Rumuskan

Model matematika

Uji

Pecahkan

Prakiraan dunia nyata

Tafsirkan

Kesimpulan matematika

Gambar 9. Proses permodelan matematika

Model matematika tidak merupakan pernyataan akurat secara lengkap dari suatu fenomena, tetapi merupakan pengidealan. Model matematika yang baik menyederhanakan kenyataan sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika tetapi cukup akurat untuk memberikan 9

kesimpulan yang berharga. Sangat penting untuk mengetahui dan menyadari keterbatasan suatu model ketika menggunakannya untuk mempelajari atau membuat prakiraan persoalan dunia nyata. J. Prinsip pemecahan masalah (dalam penyusunan fungsi atau pembuatan model matematika) Seti p m memec l y n l y pec k n menj di4

tu n y n

el njutny

di un k n untuk

k nm

l in Descartes .

Tidak terdapat aturan pasti dan cepat yang akan menjamin keberhasilan dalam pemecahan masalah dalam penyusunan suatu fungsi atau pembuatan model matematika. Namun terdapat beberapa langkah umum berdasarkan akal sehat yang bermanfaat dalam pemecahan masalah. Langkah-langkah tersebut adalah: 1. Pahami persoalan

Langkah pertama adalah membaca dan memahami masalah secara jelas. Ajukan pertanyaanpertanyaan berikut ini: a. Apa yang tidak diketahui? b. Apa (besaran) yang diketahui? c. Apa persyaratan yang diketahui atau yang harus diikuti? Untuk banyak masalah akan bermanfaat untuk menggambarkan diagram dan kemudian mengenali besaran yang diketahui dan diperlukan pada diagram tersebut. Biasanya perlu digunakan notasi yang cocok dengan permasalahan. Menggunakan huruf awal sebagai lambang, misalnya t (time) untuk waktu seringkali membantu. 2. Pikirkan sebuah rencana itun y n tid k diket diket ui ke y n ui te ebut. Se in k li pe t ny tid k diket n b im n c t k it n untuk t u

Carilah kaitan antara informasi yang diketahui dan yang tidak diketahui yang memungkinkan untuk men men itk n y n ui? memb ntu d l m meli

menemukan gagasan untuk menyusun rencana untuk memecahkan masalah.

4

Rene Descartes (1596 1650), filsuf dan matematikawan Perancis, pencipta sistem koordinat Kartesius.

10

Cara-cara berikut ini dapat membantu untuk menyusun sebuah rencana: a. Mengenali sesuatu yang dikenal. Hubungan situasi yang diketahui ke pengetahuan sebelumnya. Perhatikan yang tidak diketahui dan coba untuk mengingat kembali persoalan yang lebih dikenal yang mempunyai hal yang tidak diketahui yang serupa atau mirip. b. Mengenali pola. Beberapa masalah dipecahkan melalui pengenalan bahwa terjadi semacam pola. Pola itu mungkin bersifat geometri, atau numerik, atau aljabar. Jika terlihat ada keteraturan atau pengulangan dalam suatu masalah, maka mungkin akan dapat diduga apa pola yang berkelanjutan dan kemudian membuktikannya. c. Analogi Mencari masalah serupa tetapi lebih sederhana dan kemudian memcahkannya akan dapat memberikan petunjuk cara memecahkan masalah yang lebih rumit. Misalnya menggunakan bilangan yang lebih kecil sebelum menggunakan bilangan yang lebih besar. d. Perkenalkan sesuatu tambahan Kadangkala bermanfaat untuk mengenalkan suatu tambahan yang membantu membuat kaitan antara yang diketahui dan yang tidak diketahui. Misalnya menambahkan garis pada diagram. e. Mengambil kasus. Kadangkala memisahkan permasalahan menjadi beberapa kasus dan memberikan argumentasi serta tafsiran yang berbeda untuk masing-masing kasus dapat membantu memecahkan keseluruhan masalah. f. Bekerja mundur Kadangkala bermanfaat untuk membayangkan bahwa masalah anda terpecahkan dan bekerja mundur langkah demi langkah sampai pada data yang diketahui. Kemudian membalikkan langkah-langkah yang diambil untuk membangun penyelesaian terhadap masalah semula. g. Membuat sasaran bagian Dalam menyelesaikan masalah yang rumit seringkali berguna untuk menetapkan sasaran bagian (bersifat situasi yang dikehendaki hanya terpenuhi sebagian). Jika sasaran bagian ini dapat dicapai boleh jadi akan dapat dikembangkan untuk memecahkan sasaran akhir. 11

h. Penalaran tak langsung Kadangkala suatu masalah dapat diselesaikan secara tak langsung, misalnya ketika ingin membuktikan bahwa P benar dan Q salah, dapat dilakukan dengan menganggap P benar dan Q salah selanjutnya mencoba melihat mengapa ini tidak mungkin terjadi. i. Induksi matematika Seringkali penggunaan prinsip induksi seperti berikut ini membantu membuktikan suatu pernyataan. Prinsip induksi matematika: Misalkan Sn adalah pernyataan tentang bilangan bulat positif n, andaikan bahwa S1 benar dan Sk+1 benar bilamana Sk benar maka Sn benar untuk semua bilangan bulat positif n. 3. Laksanakan rencana

Setelah rencana disusun maka langkah berikutnya adalah melaksanakan seluruh rencana secara bertahap dengan rinci. 4. Lihat kembali

Setelah pemecahan masalah diperoleh, adalah bijaksana untuk melihat kembali seluruh proses, apakah telah terjadi kesalahan dalam proses pemecahan masalah, apakah ada cara yang lebih mudah untuk memecahkan masalah tersebut.

Tugas: Pakar biologi telah memperhatikan bahwa laju mengerik jangkrik jenis tertentu terkait dengan suhu, dan berikut ini adalah tabel yang menunjukkan laju mengerik untuk beragam suhu. Suhu (oF) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Laju mengerik (kerikan / menit) 20 46 79 91 113 140 173 198 211

a. Buatlah diagram sebaran untuk data di atas. Berikanlah ulasan anda mengenai sebaran data, dan gunakan ulasan tersebut sebagai dasar untuk memilih fungsi yang mewakili. b. Carilah fungsi yang mewakili banyaknya kerikan pada suhu tertentu. Apa yang dinyatakan oleh fungsi yang pilih? 12

c. Apa pendapat anda tentang fungsi yang anda peroleh? Apakah anda cukup puas dengan fungsi yang anda pilih? Berikan alasan kuantitatif untuk mendukung jawaban apakah anda puas atau tidak pada fungsi yang anda pilih. d. Jika jangkrik mengerik dengan laju 150 kerikan tiap menit, taksirlah suhu. e. Gunakan fungsi tersebut untuk menaksir laju mengerik pada suhu 100 oF. f. Berikan ulasan tentang kemungkinan menggunakan fungsi yang ada pilih untuk menaksir laju mengerik pada suhu yang lebih rendah dari 50 oF dan lebih tinggi dari 90o

F.

13