Badanie współzaleŜności dwóch cech ilościowych X i Y ...agrobiol.sggw.pl/biometria/media//rajfura/STAT_Rol/Wyklad KORELACJE... · Analiza regresji prostej ... Testowanie hipotezy

Anna Rajfura, Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW 1

Badanie współzaleŜności dwóch cech ilościowych X i Y.

Analiza korelacji prostej

Badanie zaleŜności dwóch cech ilościowych.

Analiza regresji prostej

Kody znaków:

Ŝółte wyróŜnienie – nowe pojęcie czerwony – uwaga kursywa – komentarz


Zagadnienia 1. Związek deterministyczny (funkcyjny)

a korelacyjny.

2. Idea opisu współzaleŜności.

3. Testowanie hipotezy o korelacji.

1. Regresja liniowa Y względem X.

2. Prosta regresji.

3. Testowanie hipotezy o regresji.

4. Współczynniki opisujące regresję.


Wprowadzenie - przykład A

W firmie_A za 1 godzinę dyŜuru pracownik otrzymuje 10 zł. Zapytano 10 osób o ich tygodniowy czas pracy i zarobki. tygodniowy czas pracy w godzinach – cecha X tygodniowe zarobki w złotych – cecha Y

Firma_A osoba 1 osoba 2 osoba 3 osoba 4 osoba 5 osoba 6 osoba 7 osoba 8 osoba 9 osoba 10 czas pracy

1 40 40 34 21 7 16 12 31 9

zarobki 10 400 400 340 210 70 160 120 310 90



W firmie_A za 1 godzinę dyŜuru pracownik otrzymuje 10 zł. Zapytano 10 osób o ich tygodniowy czas pracy i zarobki. tygodniowy czas pracy w godzinach – cecha X tygodniowe zarobki w złotych – cecha Y

Firma_A osoba 1 osoba 2 osoba 3 osoba 4 osoba 5 osoba 6 osoba 7 osoba 8 osoba 9 osoba 10

czas pracy

1 40 40 34 21 7 16 12 31 9

zarobki 10 400 400 340 210 70 160 120 310 90

Posortowane rosnąco wg czasu pracy:

Firma_A osoba 1 osoba 6 osoba 10 osoba 8 osoba 7 osoba 5 osoba 9 osoba 4 osoba 2 osoba 3

czas pracy

1 7 9 12 16 21 31 34 40 40

zarobki 10 70 90 120 160 210 310 340 400 400



Firma A

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

czas pracy

zarobki



Firma A

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

czas pracy

zarobki

Zarobki zaleŜą od czasu pracy według wzoru: zarobki = 10*czas pracy

y=10x

Jest to zaleŜność funkcyjna (deterministyczna).


Wprowadzenie - przykład B

W firmie_B za 1 godzinę dyŜuru pracownik otrzymuje 8 zł+opłatę za interwencję. Zapytano 10 osób o ich tygodniowy czas pracy i zarobki. tygodniowy czas pracy w godzinach – cecha X tygodniowe zarobki w złotych – cecha Y

czas pracy

3 8 9 12 19 24 35 35 38 40

zarobki 44 120 72 128 310 260 427 310 380 430



Firma B

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

czas pracy

zarobki

Punkty nie leŜą na jednej prostej. Jest to zaleŜność korelacyjna.



Firma B

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

czas pracy

zarobki

Firma B

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

czas pracy

zarobki


wyniki

z pierwszego

poletka

wyniki

z drugiego

poletka

Idea opisu współzaleŜności cech

Przykład. Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli:

plon xi (kg)

20 21 22 23 22 25 30 27 24 26

zawartość skrobi yi (%)

17,1 16,9 17,0 16,8 16,9 16,5 16,3 16,6 16,5 16,4

Czy te wyniki wskazują na występowanie współzaleŜności między cechami X, Y?

Tworzenie wykresu.


Diagram korelacyjny

zawartość skrobi

16,216,316,416,516,616,716,816,9

1717,117,2

18 20 22 24 26 28 30 32

plon Interpretacja bieŜącego diagramu korelacyjnego.

wyniki

z pierwszego poletka


wyniki dla pierwszej jednostki doświadczalnej

wyniki dla n-tej jednostki doświadczalnej

Korelacja cech ilościowych

X, Y – cechy ilościowe obserwowane w doświadczeniu, n – liczba jednostek doświadczalnych, Wyniki doświadczenia:

wartości cechy X: x1 x2 x3 ... xn wartości cechy Y: y1 y2 y3 ... yn


Kierunek korelacji

Diagram korelacyjny 1

wartości cechy X

wartości cechy Y

y1

x1

Cechy X, Y są ujemnie skorelowane


Kierunek korelacji cd.


wartości cechy X

wartości cechy Y

Cechy X, Y są dodatnio skorelowane


Siła korelacji

Diagram korelacyjny 3 Diagram korelacyjny 4

X

Y

X

Y

Cechy X, Y są silnie skorelowane

Cechy X, Y są słabo skorelowane

Wyjaśnienie na tablicy.


Brak korelacji


wartości cechy X

wartości cechy Y

Cechy X, Y są nieskorelowane


Prezentacja braku korelacji cd.


wartości cechy X

wartości cechy Y

Cechy X, Y są nieskorelowane


Problem

Jak wykryć (opisać) współzaleŜność pomiędzy cechami za pomocą parametru

liczbowego?


* Przykłady teoretyczne

Doświadczenie losowe D - dwukrotny rzut monetą.

Czy zmienne losowe w poszczególnych przykładach są niezaleŜne czy zaleŜne?

Przykład 1. zm. los. X1: liczba orłów w obu rzutach zm. los. X2: (liczba orłów w obu rzutach)·2

Przykład 2. zm. los. X3: liczba orłów w pierwszym rzucie zm. los. X4: liczba orłów w drugim rzucie

Przykład 3. zm. los. X1: liczba orłów w obu rzutach zm. los. X5: (liczba orłów w obu rzutach)·(-1)

Przykład 4. zm. los. X1: liczba orłów w obu rzutach zm. los. X6: (liczba orłów w obu rzutach)2

Jak wykryć (opisać) współzaleŜność pomiędzy zmiennymi losowymi, kiedy znane

są tylko ich rozkłady?


Kowariancja

WspółzaleŜność między zmiennymi losowymi X i Y opisuje parametr kowariancja

ozn.: COV ( X, Y ) Definicja

COV ( X, Y ) = E [ ( X – EX ) · ( Y – EY ) ] = = E ( X·Y) – ( EX ) · ( EY ) Obliczanie kowariancji w przykładach 1 – 4.


* Kowariancja - przykłady

Doświadczenie losowe D -dwukrotny rzut monetą.

Czy zmienne losowe w poszczególnych przykładach są niezaleŜne czy zaleŜne - odp.

na podstawie wartości kowariancji:

Odp. intuicyjna

Kowariancja

P 1.

zm. los. X1: l. orłów zm. los. X2: (l. orłów)·2

zaleŜne COV(X1, X2)=1

P 2.

zm. los. X3: l. orłów w pierwszym rzucie zm. los. X4: l. orłów w drugim rzucie

niezaleŜne COV(X3, X4)=0

P 3. zm. los. X1: l. orłów zm. los. X5: (l. orłów)·(-1)

zaleŜne COV(X1, X5)=-0,5

P 4.

zm. los. X1: l. orłów zm. los. X6: (l. orłów)2

zaleŜne COV(X1, X6)=1


Współczynnik korelacji

Miarą współzaleŜności liniowej dwóch zmiennych losowych X, Y jest wskaźnik nazywany współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona,

oznaczany grecką literą ρ (czyt.: ro):

( )DYDX

YXCOV

⋅=

,ρ

Dla dowolnych dwóch zmiennych losowych X oraz Y zachodzi:

1,1ρ −∈


* Współczynnik korelacji – przykłady

Doświadczenie losowe D - dwukrotny rzut monetą

Czy zmienne losowe w poszczególnych przykładach są niezaleŜne czy zaleŜne – odp. na

podstawie współczynnika korelacji:

Odp. intuicyjna

Współcz. korelacji ρ

P 1.

X1: l. orłów X2: (l. orłów)·2

zaleŜne ρ1 = 1

P 2.

X3: l. orłów w pierwszym rz. X4: l. orłów w drugim rz.

niezaleŜne ρ2 = 0

P 3. X1: l. orłów X5: (l. orłów)·(-1)

zaleŜne ρ3 = -1

P 4.

X1: l. orłów X6: (l. orłów)2

zaleŜne ρ4 ≈ 0,94


Uwagi i terminologia

1. Jeśli zmienne losowe są zaleŜne liniowo, to nazywamy je skorelowanymi.

2. Do wykrywania korelacji (zaleŜności liniowej) słuŜy współczynnik korelacji ρ:

• jeśli ρ = 0, to zmienne są nieskorelowane,

• jeśli | ρ | = 1, to zmienne losowe są całkowicie

skorelowane (zaleŜne liniowo), o jeśli ρ = 1, to są skorelowane dodatnio,

o jeśli ρ = - 1, to są skorelowane ujemnie.

3. Współczynnik korelacji ρ słuŜy do opisywania siły

korelacji: • jeśli ρ ≈ 0, to zmienne są słabo skorelowane,

• jeśli | ρ | ≈1, to zmienne są silnie skorelowane. Diagram na tablicy.


Idea

Jak wykryć (opisać) współzaleŜność pomiędzy cechami?


Opis współzaleŜności

• W jednej populacji rozpatrujemy dwie cechy; modelują je zmienne losowe X, Y. W populacji występuje zaleŜność między X, Y opisana

współczynnikiem ρ, ale nie znamy jego wartości

liczbowej - moŜna ją estymować, testować hipotezy o tej wartości.

• Losujemy n-elementową próbę dwucechową: (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn);

• Oceniamy nieznaną wartość współczynnika

korelacji ρ na podstawie próby:

r=ρ

(współczynnik r jest oceną parametru populacyjnego ρ)


Opis współzaleŜności cd.

Obliczamy współczynnik korelacji r dla próby według wzoru:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑

∑∑

∑

==

=

==

=

−⋅−

⋅⋅−⋅=

−⋅−

−⋅−=

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yxnyx

yyxx

yyxxr

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

RównowaŜny zapis licznika:

( ) ( ) ∑∑==

⋅⋅−⋅=−⋅−n

iii

n

iii yxnyxyyxx

11


Opis współzaleŜności cd.

Oznaczenia upraszczające zapis wzoru:

( )∑=

−=n

iix xxSS

1

2

, ( )∑

=

−=n

iiy yySS

1

2

, ( ) ( )∑

=

−⋅−=n

iiixy yyxxS

1

Określenia: SSx – suma kwadratów odchyleń dla cechy X, SSy – suma kwadratów odchyleń dla cechy Y, Sxy – suma iloczynów odchyleń dla cech X, Y.

Uproszczony zapis wzoru na współczynnik korelacji liniowej Pearsona dla próby:

yx

xy

SSSS

Sr

⋅=


Testowanie współzaleŜności

Czy korelacja między cechami X, Y jest znacząca (istotna)?

Jeśli cechy X oraz Y mają rozkład normalny, moŜna weryfikować hipotezę dotyczącą korelacji:

Hipoteza zerowa o braku korelacji

Hipoteza alternatywna

0ρ:0 =H 0ρ:1 ≠H

• wybieramy poziom istotności α, • losujemy próbę dwucechową: (x1, y1), (x2, y2 ), ..., (xn, yn), • obliczamy współczynnik korelacji r dla próby według wzoru:

yx

xy

SSSS

Sr

⋅=


Test r • stosujemy test r: wartość empiryczna funkcji testowej remp = r, • odczytujemy wartość krytyczną r α , v = n -2 , • jeŜeli | remp | > r α , v = n – 2, to H0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H0 nie moŜna odrzucić.


Test t

MoŜna zastosować teŜ test t-Studenta:

• wartość empiryczna funkcji testowej wyraŜona jest wzorem

21 2

−⋅−

= nr

rtemp

• odczytujemy wartość krytyczną t α , v, gdzie

ν = n-2

• jeŜeli | temp | > t α , v, to H0 odrzucamy, w

przeciwnym przypadku H0 nie moŜna odrzucić.


Przykład Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli: plon xi 20 21 22 23 22 25 30 27 24 26 zawartość skrobi yi

17,1 16,9 17,0 16,8 16,9 16,5 16,3 16,6 16,5 16,4

Diagram korelacyjny zawartość skrobi (%)

16,216,316,416,516,616,716,816,9

1717,117,2

18 20 22 24 26 28 30 32

plon


Przykład cd. Przyjmujemy, Ŝe: 1. cecha X - plon z poletka, cecha Y – zawartość skrobi mają rozkłady normalne, oraz 2. ρ jest współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X, Y; jego wartość jest nieznana. • Obliczamy współczynnik korelacji r między cechami X, Y na podstawie próby ze wzoru:

yx

xy

SSSS

Sr

⋅=

,


Przykład cd.

kgx 24= , %7,16=y , 84=xSS , 680,SS y =

, 86,S xy −=

r = - 0,90,

Czy korelacja między cechami X, Y jest znacząca (istotna)?


Przykład cd. • stawiamy hipotezę o braku korelacji:

0ρ:0 =H , 0ρ:1 ≠H ,

• wybieramy poziom istotności α = 0,05, • stosujemy test r; wzór funkcji testowej:

remp = r gdzie: r - współczynnik korelacji między cechami X, Y obliczony na podstawie próby; w przykładzie r = - 0,9, zatem remp = - 0,9, • odczytujemy wartość krytyczną r α , v = n -2 = r 0,05 , 8 = 0,632, • poniewaŜ | remp | = | - 0,90 | > r 0,05, 8 = 0,632, więc hipotezę H0 odrzucamy.

Stwierdzamy statystycznie istotną korelację między plonem bulw ziemniaczanych a zawartością skrobi.


Przykład cd.

Zastosowanie testu t-Studenta:

( )84,5210

9,01

9,02

1 22−=−⋅

−−

−=−⋅−

= nr

rtemp

• odczytujemy wartość krytyczną t α , v = n -2 = t 0,05 , 8 =2,31,

• poniewaŜ | temp | = 5,84 > 2,31 = t 0,05 , 8, to H0 odrzucamy.


Badanie zaleŜności dwóch cech ilościowych.

Analiza regresji prostej


Badanie zaleŜności cechy Y od X Przykład. Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli: plon xi 20 21 22 23 22 25 30 27 24 26 zawartość skrobi yi

17,1 16,9 17,0 16,8 16,9 16,5 16,3 16,6 16,5 16,4

Diagram korelacyjny zawartość skrobi (%)

16,2

16,3

16,4

16,5

16,6

16,7

16,8

16,9

17

17,1

17,2

18 20 22 24 26 28 30 32

plon

Analiza korelacji przeprowadzona przy poziomie istotności 0,05 wykazała istotną korelację między plonem bulw a zawartością skrobi. Wyznaczono współczynnik korelacji Pearsona r = -0,90. Plon bulw i zawartość skrobi są ujemnie skorelowane.

O tej zaleŜności moŜna powiedzieć więcej (wzór zaleŜności, idea opisu)...


Oznaczenia i terminologia

Opis zaleŜności cechy Y od cechy X (opis regresji cechy Y względem cechy X)

cecha X : objaśniająca, opisująca, niezaleŜna

cecha Y : objaśniana, opisywana, zaleŜna

Postać funkcji regresji II rodzaju:

g (x) = β1 ∙ x + β0 lub g (x) = β ∙ x + α współczynnik regresji stała regresji


Opis zaleŜności cechy Y od X X, Y – cechy obserwowane w doświadczeniu, Y~N n – liczba jednostek doświadczalnych (liczebność próby), Próba:

nr jednostki doświadczalnej 1 2 3 n wartości cechy X: x1 x2 x3 ... xn wartości cechy Y: y1 y2 y3 ... yn

Diagram korelacyjny:

prosta regresji

cecha X

cecha Y

11β b= , 00β b=

równanie prostej regresji:

y = b1*x + b0

b1 - współczynnik regresji

b0 - stała regresji


Prosta regresji

Estymacja parametrów β1 i β0 metodą najmniejszych kwadratów

(MNK):

Komentarz...

ei

cecha X

cecha Y

równanie prostej regresji:

y = b1*x + b0

b1 = ? b0 = ?

y (xi) = b1*xi + b0

ei = y( xi ) – yi

min1

2 →∑=

n

iie

yi

xi

y(xi)


Prosta regresji cd. Estymatory uzyskane metodą najmniejszych kwadratów:

( ) ( )

( )∑

∑

=

=

−

−⋅−= n

ii

n

iii

xx

yyxx

b

1

2

11

xbyb ⋅−= 10


Prosta regresji cd.

Oznaczenia upraszczające zapis wzoru:

( )∑=

−=n

iix xxSS

1

2

, ( )∑

=

−=n

iiy yySS

1

2

,

( ) ( )∑=

−⋅−=n

iiixy yyxxS

1

Określenia:

SSx – suma kwadratów odchyleń dla cechy X, SSy – suma kwadratów odchyleń dla cechy Y, Sxy – suma iloczynów odchyleń dla cech X, Y.

Estymatory uzyskane metodą najmniejszych kwadratów:

x

xy

SS

Sb =1

, xbyb ⋅−= 10

Interpretacja współczynnika regresji b1...


Test t

Czy badana zaleŜność jest znacząca (istotna)?

Stawiamy hipotezę:

H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0

(hipoteza o braku regresji)

Wybieramy poziom istotności α, stosujemy test t-Studenta:

b

emps

bt 1=

, gdzie ( ) x

xyy

bSSn

SbSSs

⋅−⋅−

=2

1

Odczytujemy z tablic wartość krytyczną: 2,α −== nvkryt tt

Wnioskujemy:

Jeśli | temp | > t kryt to H0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku

H0 nie moŜna odrzucić.


Test F Stawiamy hipotezę:

H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0


Wybieramy poziom istotności α, stosujemy test F-Fishera:

xyy

xy

empSbSS

nSbF

1

1 )2(

−−⋅⋅

=

Odczytujemy z tablic wartość krytyczną: 2,1,α 21 −=== nvvkryt FF

Wnioskujemy:

Jeśli Femp > Fkryt to H0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H0 nie moŜna odrzucić.


Przykład W przykładzie: n=10, kgx 24= , %7,16=y , SSx = 84, SSy = 0,68,

Sxy = -6,8.

Wyznaczamy równanie prostej regresji.

Współczynniki w równaniu

081,084

8,61 −=−==

x

xy

SS

Sb

64,1824)081,0(7,1610 =⋅−−=⋅−= xbyb

Prosta regresji: y = 18,64 – 0,081x

y = – 0,081x + 18,64 Uwaga o odczytaniu znaku współczynnika regresji.


Przykład cd.

Badamy istotność regresji cechy Y względem cechy X (istotność zaleŜności Y od X)

Stawiamy hipotezę:

H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0


Poziom istotności α = 0,05, stosujemy test t-Studenta:

( ) ( ) 014,0672

1292,0

84210

)8,6()081,0(68,0

2

1 ==⋅−

−⋅−−=⋅−⋅−

=x

xyy

bSSn

SbSSs

79,5014,0

081,01 −=−==b

emps

bt

31,2tt 8,05,0kryt ==

Wnioskujemy: |temp| = 5,79 > 2,31 = t kryt , zatem H0 odrzucamy.

Stwierdzono statystycznie istotną zaleŜność zawartości skrobi od plonu bulw ziemniaka.


Przykład cd. Zamiast testu t moŜna zastosować test F:

11,341292,0

4064,4

)8,6()081,0(68,0

2)-(10)8,6()081,0()2(

1

1 ==−⋅−−

⋅−⋅−=−

−⋅⋅=

xyy

xy

empSbSS

nSbF

11,34=empF 32,58,1,05,0 == FFkryt

Wnioskujemy: Femp = 34,11 > 5,32 = F kryt , zatem H0 odrzucamy.


Zgodność znaków współczynników b1 oraz r

Prosta regresji: y = b0 + b1*x

Dla cech X, Y znaki współczynnika regresji b1 i współczynnika

korelacji r są jednakowe. Na podstawie współczynnika regresji

b1 moŜna powiedzieć, jaki jest kierunek korelacji badanych cech.

W przykładzie

Prosta regresji y = 18,64 – 0,081x b1 = -0,081

zatem współczynnik korelacji r < 0.

Zawartość skrobi jest ujemnie skorelowana z plonem bulw ziemniaka. Kiedy plon rośnie, zawartość skrobi maleje.


Interpretacja współczynnika regresji b1


Jeśli wartość cechy X wzrośnie o jednostkę (w jednostkach

cechy X), to wartość cechy Y zmieni się o |b1| jednostek

(w jednostkach cechy Y), a dokładniej:

• wzrośnie, gdy b1 > 0

• zmaleje, gdy b1 < 0

Interpretacja współczynnika regresji b1 w przykładzie

Prosta regresji y = 18,64 – 0,081x b1 = -0,081

Jeśli plon bulw ziemniaka wzrośnie o 1 kg, to zawartość skrobi zmniejszy się o 0,081%.


Interpretacja – współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji, ozn. d

d = r2 · 100%, gdzie r – współczynnik korelacji

Interpretacja współczynnika determinacji

Współczynnik d przedstawia udział zmienności cechy Y

objaśnionej (wytłumaczonej) zmiennością cechy X.

W przykładzie:

r = - 0,9, to d = (- 0,9)2· 100% = 0,81· 100% = 81%

W 81% zmienność zawartości skrobi jest wytłumaczona zmiennością plonu, natomiast 19% zmienności zawartości skrobi nie jest wytłumaczona zmiennością plonu.


Predykcja wartości cechy Y

Obliczanie wartości przewidywanej dla cechy zaleŜnej Y oparte na równaniu regresji.


Przewidywana wartość cechy Y

Gdy cecha X przyjmie wartość x, to cecha Y

przyjmie wartość, którą oznaczymy y .

Ocena punktowa:

xbby 10ˆ +=

Ocena przedziałowa: ( )regrregr stystyY ⋅+⋅−∈ ν,αν,α

ˆ;ˆ

α1−=P


Predykcja wartości cechy Y cd.

We wzorze:

( )regrregr stystyY ⋅+⋅−∈ ν,αν,αˆ;ˆ

α1−=P

mamy:

( )x

xy

regrSS

xx

nn

SSbSSs

221 1

2

−+⋅−

−=


Przykład - predykcja wartości cechy Y W przykładzie:

Prosta regresji y = 18,64 – 0,081x

n=10, kgx 24= , %7,16=y , SSx = 84, SSy = 0,68, Sxy = -6,8

Dla plonu x=20 kg przewidywana zawartość skrobi wyniesie: Ocena punktowa (%):

02,1720*)081,0(64,18ˆ10 =−+=+= xbby

Ocena przedziałowa: ( )regrregr stystyY ⋅+⋅−∈ ν,αν,α

ˆ;ˆ

α1−=P


Przykład - predykcja wartości cechy Y cd. W przykładzie:

Prosta regresji y = 18,64 – 0,081x

n=10, kgx 24= , %7,16=y , SSx = 84, SSy = 0,68, Sxy = -6,8

Dla plonu x=20 kg przewidywana zawartość skrobi wyniesie

%02,17ˆ =y

Ocena przedziałowa dla poziomu ufności P=1-α=95%

( )

( )

068,05390,01269,0

84

2420

10

1

210

84)81,0(68,0

1

2

22

221

=⋅=

=−+⋅−

⋅−−=

=−+⋅−

−=

x

xy

regrSS

xx

nn

SSbSSs


Przykład - predykcja wartości cechy Y cd.

W przykładzie:

t α, ν = t 0,05, 8 = 2,3060, s regr = 0,068 ( )regrregr stystyY ⋅+⋅−∈ ν,αν,α

ˆ;ˆ

α1−=P

( )068,03060,202,17;068,03060,202,17 ⋅+⋅−∈Y

05,01−=P

( )16,002,17;16,002,17 +−∈Y 95,0=P

( )18,17;86,16∈Y %95=P

Dla plonu na poziomie 20 kg przewidywana zawartość skrobi wyniesie między 16,9 a 17,2% z p-stwem 95%.

Praktyczne warunki ustalania cechy zaleŜnej i niezaleŜnej. Wykorzystanie prostej regresji.

Documents

Badanie współzaleŜności dwóch cech ilościowych X i Y ...agrobiol.sggw.pl/biometria/media//rajfura/STAT_Rol/Wyklad KORELACJE... · Analiza regresji prostej ... Testowanie hipotezy