NOM – Prénom Mercredi 5 janvier 2014

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Bac blanc de Mathématiques – TS2

Les 4 exercices ci-dessous sont indépendants. Vous rendrez l’énoncé en n’omettant pas d’inscrire vos nom et prénom en 1ère page.

Exercice 1 (sur 6 points)

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ;

s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;

s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul :

nG l’évènement « le joueur gagne la n -ième partie » ;

np la probabilité de l’évènement

nG

On a donc 1 0,1p

1. Montrer que 2 0,62p . On pourra s’aider d’un arbre pondéré

2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première. 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 1

1 3

5 5n np p

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, 3 13 1

4 4 5

n

np

.

6. Déterminer la limite de la suite ( )np quand n tend vers

7. a) A la calculatrice, déterminer la première valeur de l’entier n pour lequel 73

104

np

On note 0n cet entier

b) Un élève a programmé l’algorithme ci-dessous sur sa calculatrice avec l’objectif de déterminer

cet entier 0n . Celui-ci ne fonctionne pas convenablement, deux corrections doivent lui être

apportées ? Vous réécrirez l’algorithme corrigé dans le tableau ci-dessous :

Algorithme actuel Algorithme corrigé

n est un entier p est un réel

n prend la valeur 1 p prend la valeur 0,1

Tant que 73

104

p faire

Afficher n et p

p prend la valeur 1 3

5 5p

n prend la valeur 1n Fin Tant que

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Exercice 2 (sur 5 points)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. L'ensemble des points ( )M z tel que 2 3z i z est une droite

2. L’équation 10

6z

z

d’inconnue z admet deux solutions complexes : 3 i et 3 i

3. Soit 3 3z i , le complexe 8z est un imaginaire pur.

4. Soit z un complexe différent de i . On note M le point d’affixe z et z

Zz i

.

Z est un imaginaire pur

( )M z appartient au cercle de centre d’affixe 0,5i et de rayon 0,5 privé du point d’affixe i

5. Pour tout z , on a 1 1z z

Exercice 3 (sur 4 points)

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur 0; par ( ) cos sing x x x x .

1. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

2. En déduire le signe de ( )g x sur 0; .

Partie B:

Soit f la fonction définie sur ; par : sin

( )x

f xx

si 0x et (0) 1f . On rappelle que la

limite en 0 de f est 1.

1. Pour tout ;x privé de 0, calculer ( )f x .

Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?

2. Pour tout 0;x , calculer '( )f x et montrer que '( )f x et ( )g x sont de même signe, en

déduire les variations de f sur 0; .

3. Construire le tableau de variations de f complet sur ; .

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Exercice 4 (sur 5 points)

Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0; [ par 1

( ) xf x ex

1. Étude d’une fonction auxiliaire

a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [0; [ par 2( ) 1xg x x e . Étudier le sens de

variation de la fonction g .

b) Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0; [ tel que ( ) 0g a .

Démontrer que [0,703;0,704[a .

c) Déterminer le signe de ( )g x sur [0; [ .

2. Étude de la fonction f

a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en .

b) On note 'f la fonction dérivée de f sur l’intervalle ]0; [

Démontrer que pour tout réel strictement positif x , 2

( )'( )

g xf x

x

c) En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur

l’intervalle ]0; [ .

d) Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel 2

1 1m

a a

e) Justifier que 3,43 3,45m .

Correction BB – Janvier 2014

Remarques :

Dans cet exercice, lisez bien l’énoncé !

Pourquoi utiliser d’autres lettres pour nommer les événements ?

De plus choisir « p » comme lettre pour nommer un événement n’est pas forcément judicieux, on voit alors

apparaître p(p)=…

Le théorème des probabilités totales est :

( ) ( ) ( )p A p A B p A B

Et pas ( ) ( ) ( )B Bp A p A p A !!!!!!

Remarques :

On peut tout à fait définir la variable aléatoire X égale au nombre de partie gagnées MAIS X ne suit pas une loi Binomiale

puisqu’on ne répète pas des épreuves de Bernouilli identiques, la preuve 1 2p p

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Note :

On pouvait remarquer que les deux solutions complexes proposées n’étaient pas conjuguées ce qui est contraire à la

propriété donnée en cours. Conclusion les deux complexes ne pouvaient pas être des solutions d’une même équation

du second degré dans C.

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Note : Deux erreurs classiques :

« Puisque la puissance de z est 8 et que 8 est pair, il n’y aura plus de i dans la forme algébrique de 8z »

Tatatata !! 2

1 1 1 2 2i i i … il y a encore des « i » et pourtant 1 i est au carré.

3 3z i donc 8 8 83 ( 3) ...z i NON !!! de la même manière que 2 2 2a b a b

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Note : Que d’erreurs dans la dérivée !!! Apprenez vos formules ou rangez les dans votre Casio !

Rappelez vous : Evitez la notation : cos x x , écrire plutôt : cosx x

A chaque fois que vous faites un tableau de variations, recherchez plutôt deux fois qu’une l’ensemble de définition, à

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chaque ajout, interrogez vous sur la faisabilité (une fonction croissante qui tend vers , une fonction strictement

croissante de 0 vers 0 …)

Note : Attention au vocabulaire, f (la fonction) est paire donc Cf (sa courbe représentative) est symétrique par rapport à

(Oy) et non l’inverse.

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Note : Ce n’est pas parce que ( ) 3,4F a lorsque 0,703a et que ( ) 3,4F a lorsque 0,704a que l’on peut en

déduire que ( ) 3,4F x lorsque x est compris entre 0,703 et 0,704 , on peut très bien avoir une fonction

décroissante « fortement » entre 0,703 et 0,7035 , puis « fortement » croissante sur 0,7035 et 0,704 et du coup

avoir des valeurs de ( )F x très différentes de 3,4