UNIVERZITET U NOVOM SADU POLJOPRIVREDNI FAKULTET

HIDROPNEUMATSKA TEHNIKA

PROF. DR MIRKO BABI i PROF. DR LJILJANA BABI

NOVI SAD, 2005.

SADRAJ

1. UVOD 1.1. Definicija mehanike fluida 1.2. Istorijat 1.3. Znaaj

2. FIZIKA SVOJSTVA FLUIDA 2.1. Definicija fluida i pritiska 2.2. Gustina 2.3. Stljivost 2.4. Brzina zvuka 2.5.Viskoznost 2.6.Ostala fizika svojstva

3. STATIKA FLUIDA 3.1. Uvod 3.2. Ojlerova jednaina za miran fluid 3.3. Osnovna jednaina statike fluida 3.4. Jednaina statike fluida u polju zemljine tee 3.4.1. Nestiljivi fluidi 3.4.2. Posledice i zakoni koji proistiu iz jedanine statike fluida u polju zemljine tee 3.5. Merenje pritiska 3.6. Pritisak tenosti na ravne povrine 3.7. Arhimedov zakon i plivanje tela 3.8. Relativno mirovanje tenosti pri translatornom kretanju 4. KRETANJE FLUIDA 4.1. Uvod 4.2. Definicije pojmova kretanja 4.3. Protok 4.4. Jednaina kontinuiteta 4.5. Osnovna jednaina kretanja fluida 4.6. Bernulijeva jednaina 4.6.1. Bernulijev integral 4.6.2. Fizika interpretacija 4.6.3. Bernulijeva jednaina za viskozni fluid 4.6.4. Bernulijeva jednaina za strujnu cev 4.7. Vrste strujanja 4.8. Gubici strujne energije pri kretanju fluida 4.8.1. Princip prorauna 4.8.2. Prave cevi 4.8.3. Lokalni gubici strujne energije 4.9. Merenje protoka 4.9.1. Egzaktni metod 4.9.2. Merenje protoka prigunicama 4.9.3. Pitova i Prandtlova cev 4.9.4. Merno koleno

4.9.5. Merilo sa lebdeim telom rotametar 4.9.6. Turbinsko merilo protoka 4.9.7. Indukciona metoda 4.9.8. Ultrazvune metode 4.9.9. Vrtlono merilo protoka

4.9.10. Termalne metode 4.9.11. Zapreminska merila protoka 5. CEVOVODI 5.1 Definicija 5.2. Cevi 5.3. Cevna armatura 5.3.1. Cevni zatvarai 5.4.2. Koleno 5.4.3. Elementi za spajanje cevi 5.4.4. Ostali elementi cevne armature 5.4. Proraun cevovoda 5.5. Sloeni cevovodi 5.6. Gradnja i eksploatacija cevovoda 6. HIDRAULINE MAINE 6.1. Definicija i klasifikacija 6.2. Turbomaine 6.2.1. Radijalne maine 6.2.2. Aksijalne maine 6.2.3. Radiaksijane maine 6.2.4. Osnovni radni parametri turbomaina 6.2.5. Potreban napor 6.2.6. Najvea dozvoljena usisna visina za pumpe 6.2.7. Karakteristika turbomaina 6.2.8. Regulisanje protoka 6.2.9. Zajedniki rad turbomaina 6.2.10. Nabavka, kontrola rada i odravanje 6.3. Zapreminske maine 6.3.1. Karakteristika zapreminskih maina 6.3.2. Klipne maine 6.3.3. Krilna pumpa 6.3.4. Zupasta pumpa 6.3.5. Vijasta maina 6.3.6. Membranska pumpa 6.3.7. Nabavka, kontrola rada i odravanje 6.4. Strujne maine

241

: : 2 : : , . :

. :, ,

, . . . . . . , , . . , .

1. , : , , , 1994, . 187. 2. ,

: -

: -

: -

45

. ( 100)

4. ( 40 ). 5. ( 30 ). 6. ( 30 ).

5.2 : 7O5O21 / : - Agricultural engineering : , : Hydropneumatic engineering (, , ): , , , : , , : : 5 : 2.

. .

. , , .

. . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . :, ,

. . . . . . . . . Q-H .

1. : , , 2006. ( ) 2. 2. : , , , 1996

242

: 3x15=45

: 2x15=30

: 0

. . , .

( 100) 10 35 5 35 15

5.2 : 7O5O22 / : - Undergraduate academic studies - Agricultural engineering : , : - gricultural tractors (, , ): , , , , : : 7 : :

: 4 x 15 = 60 : 2 x 15 = 30 (): 2 x 15 = 30

, . . , , .

. .

, , , , , , , , , , , , , . , , , . , . : 20. :, , (, ). , , , , . - , , , , , . . , , , , . 20 10

1. ., .: , , , 1990. 2. ., ., .: , , ,

1998. 3. ., ., ., , ., ., .: John

Deere, I-, , , 2002. .243. 4. .: , , , 1998 5. , : . ( ),

, , 2007. 6. . : ( ), , , 2007.

POLJOPROIVREDNA TEHNIKA BIOTEHNIKA I MENADMENT HIDROPNEUMATSKA TEHNIKA OCENJIVANJE Pohaanje nastave 10 poena Raunski testovi (tri testa) 35 poena (min 18) Usmeni 35 poena (min 18) Elementi hidropneumatske tehnike (seminarski rad) 20 poena (min10) Ukupno moguih 100 poena 55 poena 6 65 poena 7 75 poena 8 85 poena 9 92 poena* 10 (*10 moe dobiti samo student koji na vreme poloi ispit najkasnije do aprila)

1. UVOD 1.1. Definicija mehanike fluida Mehanika fluida je deo fizike. Bavi se prouavanjem mirovanja i kretanja fluida. Fluidi su tenosti i gasovi. Nestiljivi fluidi su oni fluidi koji ne menjaju zapreminu ni pod kojim uslovima. Takvi fluidi u stvarnosti ne postoje, meutim veliki broj sluajeva u tehnici je takav da su promene zapremine mogu zanemariti. Svi sluajevi sa tenostima, kada promene pritiska nisu ekstrmno velike, radi pojednostavljenja prorauna, mogu se smatrati nestiljivim fluidima, pri emi se svesno ini mala greka. I gasovi se u izvesnom broju praktinih sluajeva mogu smatrati nestiljivim fluidima, kada je re o malim promenama pritiska. Oblast mehanike fluida u kojoj se prouava mirovanje i kretanje praktino nestiljivih fluida naziva se hidraulika. Hidropneumatska tehnika je tehnika disciplina koja implementira teorijska znanja u praktinim inenjerskim problemima. Najvei broj praktinih problema u mainstvu i graevinarstvu moe se inenjerski svrstati u podruje primenjene hidraulike. 1.2. Istorijat Mehanika fluida je jedna od najstarijih nauka 7000 godina. Poetak ove nauke povezuje se sa velikim radovima u izradi kanala u Kini. Takav veliki inenjerski poduhvat bio je mogu samo ako su postojala odreena sistematizovana saznanja. Neto malo kasnije datiraju i graevinske aktivnosti u navodnjavanju u Indiji, Mesopotamiji i Egiptu. Procvat nauka u Grkoj i Rimu doprineo je unapreenju i ove nauke. Iz ovog vremena ostalo je naslee gradnje vodovoda i toplovoda. Velianstveni su akvadukti, gradski vodovodi, fontane, podno grejanje i drugi pronalsci iz rimskog perioda. Prvi pisani zakon iz mehanike fluida O telima koja plivaju, koji praktino vai u svom izvornom obliku je definisao starogrki naunik Arhimed. Nakon pada Rimskog carstva pa sve do renesanse nije bilo znaajnijeg razvoja mehanike fluida. Renesansni naunici Stevin, Leonardo da Vini, Galilej, Mariot, Njutn su zapoeli osnovna istraivanja u ovoj oblasti. Ipak osnove savremene mehanike fluida posatvio je u 18-tom veku Ojler, ali su velike zasluge za to imali i Njutn, Lagran i neto malo kasnije i Dalamber. Od 18-tog veka pa do danas mehanika fluida se intenzivno razvija i danas je jedna od najvanih nauka. Od tih vremena pa do danas neprekidno se istrauju pojave i zakonitosti u oblasti mehanike fluida. U savremeno doba veoma veliki broj naunika i inenjera prouava opte i pojedinane probleme koje je neophodno razjasniti radi unapreenja tehnike. Savremena mehnika fluida bavi se raznoraznim problemima 1.3. Znaaj Od svakodnevnih naprava, koje nas okruuju, do svemirskih letelica mali je broj onih naprava u koje nisu utkana znanja iz mehanike fluida. Jedna od najrasprostranjenijih savremenih maina je motor sa unutranjim sagorevanjem. Ve u ovom primeru moe se naznaiti znaaj mehanike fluida i hidropneumatske tehnike ako se zna da ova maina sadri strujanja vazduha, goriva, maziva, produkata sagorevanja i rashladne tenosti. Na Dizel motoru postoji ugraeno najmanje pet hidraulinih radnih maina: pumpe niskog i visokog pritiska, ventilator za hlaenje, pumpa za rashladnu tenost i pumpa za ulje za podmazivanje. Znaajna unapreenja savremenih motora SUS

odnose se i na svrsishodno i ekonomino kretanje ovih fluida. Primer ugradnje turbine za intenziviranje strujanja sveeg vazduha koji ulazi u cilindar je samo jedno od tih unapreenja. U poljoprivrednoj tehnici, hidropneumatska tehnika je prisutna u raznim oblastima:

- automatska regulacija i upravljanje bazirani na hidraulinim i pneumatskim sistemima, - suenje poljoprivrednih proizvoda, - pneumatske sejalice, - maine za zatitu bilja, - navodnjavanje, - separacioni procesi u kombajnima, preistaima i doradi poljoprivrednih proizvoda, - aspiracioni sistemi u skladitima, - traktori, - samohodne poljoprivredne maine - podmazivanje, - grejni i ventilacioni sistemi i dr.

2. FIZIKA SVOJSTVA FLUIDA Svojstva razliitih fluida uzrokovae njihovo razliito ponaanje pri spoljnjim dejstvima. Osnovna razlika izmeu vrstih tela i fluda je u tome to se pod dejstvom spoljnje sile vrsta tela deformiu do neke odreene mere, a fluidi se deformiu sve dok na njih deluje sila. Delovanje kontinualne sile na fluidni deli izaziva kretanje fluida koje se naziva strujanje. Fizika svojstva fluida mogu se podeliti u tri grupe:

1. mehanika svojstva 2. toplotna svojstva i 3. uzrokovana svojstva.

2.1. Definicija fluida i pritiska Materije se mogu nalaziti u tri osnovna fazna (agregatna) stanja: tenom vrstom i gasovitom. Mehanika fluida se bavi tenim i gasovitim faznim stanjem. Pojedine grane fizike su postavile razliite fizike modele materije radi jednostavnijeg matematikog opisivanja pojava. Za razliku od termodinamike gde se materija modeluje kuglicama (molekulima) koje se haotino kreu po prostoru u mehanici fluida prihvaen je model neprekidne materije. Delii materije potpuno ispunjavaju prostor. Zbog veoma velikog broja molekula u veoma malim zapreminama ova pretpostavka ne utie na matematiko opisivanje kretanja ili mirovanja i veoma malim zapreminama. Naprimer, u 1 m3 ima preko 31010 molekula vode, kao najmanjih delia reprezenata materije. Model fluida u stanju mirovanja se pojednosatvljuje jo i time to se uzima da u fluidu nema sila trenja izmeu delia. Trenje se javlja tek pri kretanju fluida. Pod nestiljivim fluidom, kao to je ve napomenuto, smatraju se fluidi kod kojih je zapremina nepromenjljiva. Idealan fluid je onaj fluid kod koga izmeu delia nema trenja. Stiljiv fluid je fluid kod koga su elestine sile dominantne, te zbog toga dolazi do promena zapremine. Model se najee primenjuje u dinamici gasova. Realan fluid se karakterie postojanjem i elastinih sila i sila trenja. Pritisak je specifino predstavljanje unutranih elastinih sila u fluidu. Posmatra se jedan proizvoljni prostor ispunjen fluidom. Ako se odstrani jedan njegov deo kao na slici (sl. 2.1) dejstvo tog dela moe se zameniti normalnom silom nP

r .

Sl. 2.1. Prikaz definicije pritiska

Pritisak se definie kao:

dAdP

AP

p nnA

==

rlim

0 (2.1)

Osnovna jedinica pritiska je 1 Pa (paskal) i definie se kao:

1Pa = 1 222 mskgm

mN =

2.2. Gustina Gustina je mehaniko svojstvo fluida. Kao i u ostalim granama fizike definie se na sledei nain:

dVdm

Vm

V==

0lim

3m

kg (2.2)

gde su: m (dm) elementarna masa i V (dV) elementarna zapremina U sluaju idealnih gasova (termodinamika definicija) gustina se moe jednostavno povezati sa veliinama stanja poznatom jednainom stanja idealnog gasa:

Tp R= (2.3) gde su: p [Pa] - pritisak gasa

R

kgK

J - gasna konstanta i

T [K] - apsolutna temperatura gasa Poznato je da se veliki broj realnih gasova moe smatrati idealnim gasom (vazduh, kiseonik, azot, vodonik i sl) U sluaju smee fluida udeo pojedinih komponenti se moe iskazati maseno ili zapreminski. Ako je poznat maseni udeo pojedinih komponenti tada je:

21 mmms += (2.4) ili

2211 VVVss += (2.5) odnosno

ss V

VV 2211 += (2.6) gde je: s, ms, Vs- gustina, masa i zapremina smee, 1, m1, V1 gustina, masa i zapremina prve komponente, 2, m2, V2 gustina, masa i zapremina druge komponente, Ako je dat zapreminski udeo komponenti tada je:

21 VVVs += (2.7) ili

2

2

1

1mmm

s

s += (2.8) odnosno

1221

21

mmms

s += (2.9)

Merenje gustine fluida moe se obaviti na razliite naine: - merenjem mase poznate zapremine (piknometri) - hidrostatikim merenjima (Vestfalova vaga i sl) - pomou U-cevi, - hidrometrom i dr.

Hidrometar

U-cev Vestfalova (Westphal) vaga

2.3.Stiljivost Pod dejstvom pritiska fluidi menjaju zapreminu. Ova pojava definie se kao svojstvo fluida. Smanjenje zapremine je u lineranoj zavisnosti od proveanja pritiska. Ovo svojstvo fluida iskazuje se koeficijentom stiljivosti. On se definie na sledei nain:

pVVso

1= ili diferencijalnom obliku dpV

dVso

1= (Pa-1) (2.10) Znak "minus" u jednaini ukazuje na to da se zapremina smanjuje pri poveanju pritiska.

Sl.2.2. Promena zapremine pri promeni pritiska stiljivog fluida

Reciprona vrednost koeficijenta stiljivosti je modul stiljivosti.

pV

Vs

o ==1 ili diferencijalnom obliku dp

dVV

so== 1 (Pa) (2.11)

Ako se poe od zakona o odranju materije (mase) koji vai u klasinoj fizici: m = V = const (2.12) ili u diferencijalnom obliku Vd + dV = 0 (2.13) odnosno

d

VdV = (2.14)

dobija se

dpds 1= ili

dpsdpd == (2.15) Poslednja jednaina u integralnom obliku je:

=

o o

p

pdpsd (2.16)

Integraljenjem ove jednaine u datim granicama dobija se )e os(p-po = (2.17)

U polju zemljine tee vai sledea jednaina (izvedena u poglavlju "Statika fluida"): dp = gdz (2.18) gde je z vertikalna koordinata usmerena nanie. Smenjujui jednainu 2.15 u 2.18 dobija se:

gdzsd = (2.19)

Ova jednaina u integralnom obliku glasi:

=z

zoodzsgd

2

(2.20)

Ovaj integral se reava u datim granicama. Reenje moe biti izraeno na dva naina:

)(1 ooo

zzs = (2.21)

ili

oppso sg

zzo

)(e1 = (2.22)

Izraz (j.2.21) moe posluiti za odreivanje promene gustine u zavisnosti od dubine u vodi (kanali, reke, mora i sl). Izraz (j.2.22) moe da poslui za odreivanje dubine na bazi izmerenog pritiska. 2.4. Brzina zvuka Brzina zvuka je brzina prostiranja malih mehanikih poremeaja kroz homogenu sredinu. To je svojstvo materije. Ovo svojstvo je zavisno od promena pritiska i gustine materije:

ddpc = (m/s) (2.23)

dizanjem na kvadrat prethodne jednaine i mnoenjem s faktorom = 1 dobija se:

ddpc =2 i uzimajui u obzir jednainu (j.2.15) dobija se:

=2c ili sc

12 = (2.24) Ova jednaina direktno povezuje stiljivost i brzinu zvuka kao osobine fluida. Za vrsta tela vai analogni izraz:

Ec =2 (2.25)

gde je E (N/m2) modul elastinosti. To znai postoji analogija izmeu modula elastinosti i modula stiljivosti. Mahov broj se definie kao odnos stvarne brzine fluida i brzine zvuka u fluidu:

cvMa = (2.26)

pa se moe napisati sleda jedaina:

2

2

v

Mas

= (2.27) 2.5.Viskoznost Viskoznost je svojstvo fluida koje se manifestuje samo pri kretanju fluida. Naime, pri posmatranju translatornog kretanja slojeva fluida jednog u odnosu na drugi, javlja se tangencijalni napon. Taj napon se javlja na njihovj meusobnoj dodirnoj povrini (s. 2.3). Na slici je prikazana promena brzine kretanja slojeva fluida u zavisnosti od poloaja sloja u pravcu y-ose. Promena brzine nije linearna (pravolinijska). Meutim, za difrencijalno tanak sloj (dy) moe se smatrati da je promena brzine linearna, a da se pritome ne napravi sutinska greka. Izmeu elementarnih slojeva javlja se suprotstavljanje kretanju (unutranje trenje) koje se manifestuje pojavom tangencijalnog napona . Davno je uoeno (Njutn) da ovaj napon zavisi od brzine meusobnog pomeranja slojeva fluida. Tanije, zakljueno je da tangencijalni napon zavisi od promene brzine u pravcu y-ose. Ta promena brzine iskazuje se gradijentom brzine dv/dy. Za veinu fluida vai Njutnov zakon:

dydv = (N/m2) (2.28)

Vidi se da tangencijani napon linerano zavisi od gradijenta brzine. Koeficijent proporcionalnosti je nazvan dinamika viskoznost - (Pa s), koja ustvari predstavlja svojstvo fluida.

Sl.2.3. Promena brzine kretanja slojeva fluida u pravcu y-ose i pojava tangencijalnog napona Definie se i kinematska viskosnost, koja je u direktnoj korelaciji sa dinamikom viskoznou:

= (m2/s = m2s-1) (2.29)

Viskoznost (i dinamika i kinematska) generalno opada sa porastom temperature fluida. Iskazivanje vrednosti viskoznosti, zbog istorijskih zaostavtina, je prisutno u literaturi i praksi na veliki broj naina. Primenjivane su, uglavnom, stepenaste skale koje su proistekle iz razliitih naina merenja viskoznosti. Ove skale su uglavnom nelinearne u odnosu na iskazivanje u ISO sistemu jednica, te je potrebno paljivo iz referentne literature nai uporedne tabele, dijagrame ili jednaine za preraunavanje. Neki fluidi se ne ponaaju po Njutnovom zakonu (j.2.28). Takvi fluidi se nazivaju nenjutnovski fluidi. Veza izmeu tangencijalnog napona i gradijenta brzine nije linearna:

n

o dydvK

= (2.30)

U prethodnoj jednaini K je konstanta koja u sebi sadri osobinu viskonosti fluida, n je eksponent koji moe biti biti vei ili manji od 1, a o je tangencijani prednapon koji se pojavljuje samo kod nekih tipova nenjutnovskih fluida (naprimer, Bingamova plastika). Nenjutnovskih fluida u poljoprivredi i prehrambenoj industriji ima mnogo. To su sve paste, pirei od voa i povra, mleko, mleni proizvodi itd. Mehanika nenjutnovskih fluida je posebna oblast mehanike fluida. Prorauni strujanja ovih fluida su veoma sloeni. Odreivanje viskoznosti za pojedine fluide obavlja se na razliite naine (sl.2.4). Veliina viskoznosti se za tenosti moe odrediti isticinajem, najee kroz kapilare ili veoma male otvore (sl.2.4 a, b i c). Naime, postoje posebno projektovane i dimenziono precizno definisane posude sa otvorom na donjoj strani kroz koji istie tenost. U ovakvim sluajevima meri se vreme isticanja pa se pomou vaeih tabela odreuje viskoznost. Ove metode se najee primenjuju kod ulja za podmazivanje i sl. Veoma su raireni savremeni torzioni viskozimetri (sl.2.4. d). U naunim ispitivanjima, a naroito u sluajevima nenjutnovskih fluida, ee se koriste viskozimetri (reometri) u kojma se meri intenzitet tangencijalnog napona u veoma tankom fluidnom sloju (sl.2.4. e).

a b c

d e

Sl.2.4. Razni tipovi viskozimetara (a Englerov viskometar, b kapilarni viskometri, c- maseni viskometar, d - torzioni viskometar(princip i foto), e reometar)

2.6. Ostala svojstva fluida Pored navednih glavnih, postoji veliki broj raznih fizikih svojstava fluida, koji u specifinim sluajevima moraju da se uzmu obzir pri proraunima. Povrinski napon nastaje usled neravnomernih sila privlaenja izmeu molekula na graninoj povrini fluida. Ova pojava je naroito izraena kod tenosti. Naime, ako se posmatra prvi sloj molekula tenosti u slobodnoj povrini, analizom privlanih sila dolazi se do zakljuka da njihova rezultanta deluje nanie. Ova pojava prouzrokuje veoma visoki lokalni napon, koji se naziva povrinski napon. Kapilarnost je direktna posledica povrinskog napona. U zavisnosti od vrste vrste povrine tenost moe da se "izdie" ili "sputa" ako se nalazi uz neku vrstu vertikalnu povrinu. Koji od ova dva sluaja e se desiti zavisi od osobine fluida i osobina vrste povrine. Ova pojava mora biti uzeta u obzir u sluajevima zaronjenih cevi malog prenika, jer ono to se vidi kao pojava u tim sluajevima ne odgovara zakonima statike fluida, koja ovu pojavu zanemaruje. Naroito je to vano u sluajevima kada u merenjima koristimo staklene cevi, jer e se napraviti greka merenja ako se ne uzme u obzir ova pojava. Kavitacija je posledica dostizanja ravnotenih pritisaka ili temperatura promene faze. Ova pojava je posledica termodinamikih svojstava tenosti. Ako se pritisak u struji tenosti snizi do ravnotenog nastaju mehuri zbog isparavanja tenosti. Nepoznavanje ove pojave moe dovesti do ozbiljnih erozija i havarija hidraulinih maina, jer sa kolapsiranjem mehurova (kondenzacijom pare u

mehuru) sitne kapljice velikom brzinom udaraju u vrste povrine maine i oteuju ih. S druge strane, pojava mehurova moe izazvati prekid strujanja tenosti kroz mainu. Temperatursko irenje fluida zbog promene temperature kao termodinamika veliina utie na proraune u sluaju neizotermskih strujanja. Dakle, ako se temperatura u struji fluida menja, to se mora uzeti u obzir, odgovarajuom promenom gustine odnosno zapremine.

3. MIROVANJE FLUIDA (STATIKA FLUIDA) 3.1. Uvod Saznanja o zakonitostima mirovanja fluida su najstarija saznanja mehanike fluida. Kao to je napomenuto viskoznost se ne manifestuje pri mirovanju fluida pa je razumevanje pojava u ovom sluaju jednostavnije. U stanju mirovanja fluida postavlja se zadatak utvrivanja meusobnog uticaja tri osnovne veliine: - pritiska p - gustine i - spoljnih sila F

r, koje deluju na fluid.

Unutranje sile u fluidu iskazuju se pritiskom. Kao to je pri definisanju naznaeno pritisak je skalarna veliina i iskazuje dejstvo sile po jednici povrine. Spoljnje sile su sile koje su posledica okruenja fluida. One dejstvuju po jednici mase fluida F (N/kg). 3.2. Ojlerova jednaina za miran fluid Zadatak statike fluida je da utvrdi uslove mirovanja svih delia u odreenom fluidu. Slino kao i u mehanici vstih tela i u ovom sluaju potrebno je nai uslov ravnotee svih sila koje deluju na fluid. U svrhu ovog zadatka posmatra se proizvoljna fluidna zapremina (sl. 3.1) koja je sastavni deo ukupne zapremine fluida. Na svaki elementarni fluidni deli zapremine dV deluje spoljna sila FdV. Ukupna spoljnja sila u uoenoj fluidnoj zapremni iznosi: V

dVFr (3.1)

Unutranja sila na uoenoj fluidnoj zapremini dejstvuje po njenim granicama jer se dejstvo pritiska izmeu elementarnih fluidnih delia dV potire. Unutranja sila na uoenu fluidnu zapreminu deluju po omotau te zapremine. Elementarna sila dejstvuje na elementarnu povrinu i ona iznosi Apd

r- .

Znak minus potie od suprotnog usmerenja sile u odnosu na jedinini vektor povrine. Ukupna sila na celoj povrini uoene fluidne zapremine iznosi:

A

Apdr

(3.2)

S.3.1. Dejstvo sila na proizvoljnu fluidnu zapreminu

Uslov ravnotee fluida je da je zbir svih sila koje deluju na uoenu fluidnu zapreminu jednak nuli.

0= AV

ApddVFrr (3.3)

Uzimajui u obzir Gausovu teoremu vai:

=A V

gradpdVApdr

(3.4)

gde je u Dekartovom parvouglom koordinatnom sistemu,

kzpj

ypi

xpgradp

rrr+

+= (3.5)

dobija se: ( ) =V

dVgradpF 0r (3.6)

Reenje ovog integrala je (dV ne moe biti jednako nula jer to nema fizikog smisla): 0= gradpFr (3.7)

ili

gradpF 1=r (3.8)

Ova vektorska jednaina naziva se Ojlerova jednaina za miran fluid. Skalarni oblik ove jednaine u pravouglom Dekartovom koroordinatnom sistemu je:

xpX

= 1

ypY

= 1

zpZ

= 1 (3.9)

Reenje Ojlerove jednaine za miran fluid je jednostavno ako je = const (nestiljivi fluid) ili ako je poznata funkcija = (p) - barotropni fluid. 3.3. Osnovna jednaina statike fluida Ako se prethodne jednaine (j.3.9) pomnoe sa dx, dy i dz,sukcesivno, dobija se sistem jednaina:

dxxpXdx

= 1 dy

ypYdy

= 1 dz

zpZdz

= 1 (3.10)

Sabiranjem prethodnih jednaina (j.3.10) dobija se jedna jednaina:

dzzpdy

ypdx

xpZdzYdyXdx

++

=++ 111

ili

+

+=++ dz

zpdy

ypdx

xpZdzYdyXdx

1 (3.11)

Izraz u zagradi je totalni diferencijal pritiska. Uzimajui ovo u obzir sledi:

dpZdzYdyXdx 1=++ (3.12)

Jednaina (j.3.12) naziva se osnovna jednaina statike fluida. U ovoj jednaini, kao to je i bio cilj, povezane su veliine gustine, pritiska i spoljnjih sila.

3.4. Jednaina statike fluida u polju zemljine tee Jedina spoljnja sila koja deluje na fluid koji miruje u polju zemljine tee je gravitaciona sila, koja je jednaka ubrzanju zemljine tee g (m/s2 = N/kg). Uobiajeno je da se koordinatni suistem u polju zemljine tee postavlja tako da je z-osa usmerena vertikalno navie. Iz prethodne diskusije sledi: dX = 0; dY = 0; dZ = -g (3.13) zamenom jednaina (j.3.13) u jednainu (j.3.12) dobija se:

dpgdz = (3.14)

Ovaj izraz je jednaina statike fluida u polju zemljine tee. Samo ako je u celom posmatranom fluidom prostoru ova jednaina zadovoljena fluid e mirovati. 3.4.1.Mirovanje nestiljivog fluida u polju zemljine tee U sluaju nestiljivog fluida reenje jedaine je jednostavno. Naime potrebno je integraliti jednainu u zadatim granicama:

= 21

2

1

z

z

p

pdzgdp

Reenje je:

)( 1212 zzgpp = (3.15) Obino se prethodna jednaina izraava na sledei nain:

22

11 z

gp

zg

p +=+ (3.16)

Za prvi lan jednaine g

p

1 obino se kae da je to pritisna visina, dok se drugi lan jednaine z

naziva geodezijskom visinom. Iz ovoga sledi da je zbir pritisne i geodezijske visine, za neki jedinstveni (neperkinuti) fluidni prostor, konstantan. Grafiki prikaz ovakvog razumevanja jednaine (j.3.16) dat je na slici (sl. 3.2).

Sl.3.2. Grafiko prikaz jednaine statike fluida u polju zemljine tee

Iz jednaine (j. 3.16) sledi da je pritisak u bilo kojoj taki unutar tenosti koja se nalazi u otvorenom rezervoaru jednak:

gHpp a += (3.17) gde je ap atmosferski pritisak, a H (m) dubina poloaja posmatrane take, odnosno vertikalno rastojanje te take od slobodne povrine. Proizvod gH naziva se hidrostatiki pritisak. 3.4.2. Posledice i zakoni koji proitiu iz jednaine statike fluida u polju zemljine tee Iz jednaine statike fluida u polju zemljine tee izvodi se vei broj zakona i zakljuaka. 1. Zakon spojenih sudova je direktna posledica jednaine (j.3.17). Poto su pritisci na slobodnoj povrini jednaki sledi da te slobodne povrine u jedinstvenom fluidnom prostoru moraju biti na istoj visini (sl.3.3 a). 2. Slobodna povrina tenosti je uvek horizontalna. Zakljuak proistie iz jednaine statike fluida. 3. Prtisci u istim horizontalnim ravnima jedinstvenog fluidnog protora su jednaki. Ovaj zakljuak proistie, takoe, iz jednaine statike fluida. Ovaj zakljuak, mada na prvi pogled izgleda trivijalno, neobino je vaan u reavanju zadataka iz statike fluida. 4. Paskalov zakon glasi: Promena pritiska (poveanje ili smanjenje) u bilo kojoj taki jednistvenog fluidnog prostora izazvae istu toliku promenu pritiska u svim takama tog fluidnog prostora. Zakon se moe isvesti posmatrajui sliku (sl. 3.3. b). Na osnovu jednaine statike fluida moe se napisati da je:

ghpp += 21 (3.18) Ako se pritisak p1 povea za neku vrednost p1 ona de moe pretpostaviti da e doi do poveanja pritiska p2 za neku vrednost p2. Promenjeno stanje opisuje se jednainom:

ghpppp

pp

++=+ 4342143421'

2'

1

2211 (3.19)

Ako se od jednaine (j.3.19) oduzme jednaina (j.3.18) dobija se: 21 pp = (3.20)

to se elelo i dokazati.

Sl. 3.3. Spojeni sudovi

5. Hidrauna presa je naprava u kojoj se koristi jednaina statike fluida u tehnikim

problemima. Hidraulina presa je maina pomou koje se malom silom (na primer runa sila) ostvariti veoma velika sila potrebna za ceenje, presovanje, dizanje i sl.

Hidraulika presa se sastoji od dva cilindra sa klipovima razliitih prenika, cevovoda koji povezuje te cilindre (sl. 3.4). Malom silom F1 deluje sa na klip I. Povrina ela klipa je A1. Posledica dejstva sile na klip je pritisak p1, ija vrednost se izraunava po sledeem izrazu:

1

11 A

Fp = (3.21)

U jednostavnijem sluaju, kakav je prikazan na slici, elo klipa I i elo klipa 2 su u istoj

horizontalnoj ravni. S obzirom da su cilindri spojeni cevovodom pritisci tenosti na oba ela klipa, po jednaini statike fluida, su jednaki:

21 pp = (3.22)

Sl. 3.4. Hidraulina presa (1- cilindar I, 2 cilindar II, 3 klip I, 4 klip II, 5 cevovod,

6 objekt koji se presuje, 7 podloga) Dejstvo pritiska tenosti p2 na klip II izaziva silu F2, koja deluje navie na objekt koji se

presuje. Ta sila je jednaka:

222 ApF = (3.23) iz ega sledi:

2

22 A

Fp = (3.24)

Ako se zamene vrednosti pritisaka (j. 3.21 i j. 3.24) u jednainu (j. 3.22) dobija se:

2

2

1

1AF

AF = (3.25)

iz ega sledi:

11

22 FA

AF = (3.26) Pomou izraza (j. 11) moe se izraunati sila kojom se pritiskuje objekt. Vidi se da ta sila

zavisi od veliina eonih povrina klipova i sile kojom se dejstvuje na klip I. Iz prethodnog proizilazi da se malim silama mogu izazvati veoma velike sile pritiska na objekt. Prethodni izrazi vae za sluaj da su klipovi u istoj horizontalnoj ravni. U sluaju da to nije tako, potrebno je korigovati izraz (j. 3.22) za vrednosti razlike hidrostatikog pritiska koja zavisi od visinske razlike eonih povrina klipova.

3.5. Merenje pritiska Osnovne definicije naziva pritiska (sl. 3.5): 1. Apsolutni pritisak p je ukupni pritisak u nekoj taki fluidnog prostora. Prethodno

objanjavanje pritiska se odnosilo na ovaj pojam. 2. Atmosferski pritisak pa je pritisak koji vlada u okolnom vazduhu. Pri normalnim

termodinamikim uslovima uzima se da on iznosi pa= 101325 Pa. U svakom sluaju, on se meri i tako se utvruje njegova vrednost u konkretnim sluajevima lokalni uslovi.

3. Nadpritisak ili manometarski pritisak pm je razlika izmeu apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska, ako je apsolutni pritisak vei od atmosferskog:

pm = p -pa (3.27) 4. Podpritisak ili vakumetarski pritisak je razlika izmeu atmosferskog pritiska i apsolutnog

pritiska, ako je atmosferski pritisak vei od apsolutnog. pv = pa p (3.28)

Sl. 3.5. Definicije nadpritiska i podpritiska

Pritisak se meri na razliite naine, to zavisi od vrste fluida i veliine pritiska. Najednostavniji i pouzdan nain merenja malih nadpritisaka i podpritisaka je pomou U cevi (sl. 3.6).

Sl. 3.6. Merenje pritiska pomou U - cevi Za preciznija merenja veoma malih nadpritiska i podpritisaka koristi se mikromanometar sa kosom cevi (sl. 3.7). U ovom sluaju jedan krak U-cevi je nagnut pod poznatim uglom . Ako je ovaj ugao manji preciznost oitavanja je vea. Ovaj mikromanometar najee slui za merenja razlika

izmeu dva pritiska. Ta razlika se odreuje oitavanjem duine l i sledeim izraunavanjem (sl.3.7): p = pa p = t l sin (3.29)

Sl. 3.7. Mikromanometar sa kosom U-cevi

Za odreivanje veih nadpritisaka i podpritisaka u praksi se najee koriste manometri sa Burdonovom cevi (sl. 3.8). Ovaj manometar funkcionie na elastinom deformisanju savijene cevi. Naime, cev (poz.1 na sl. 3.8) se pod dejstvom pritiska elastino deformie tako da se ispravlja, a ta deformacija se prenosti na mehanizam (poz. 3,4,5 i 6, sl.3.8), to ima za posledicu zakretanje kazaljke (poz. 7, sl. 3.8). Na kalibrisanoj skali (poz. 8, sl. 3.8) oitava se vrednost pritiska. Elastina cev je elipsastog poprenog preseka.

Sl. 3.8. Manometar sa Burdonovom cevi

U svakodnevnom okruenju esto se sree aneroidno merilo pritiska (sl.3.9). Ovo merilo funkcionie na principu promene zapremnine gasovitog fluida u nekoj komori i prenosu promene te zapremnine na membranu. Komora moe biti harmonikasta ili jednostavna cilindrina sa osetljivom membranom. Ovim merilom mere se male razlike pritiska. Najee se meri atmosferski pritisak (sl.3.8.b). Na slici (sl.3.8. a) prikazana je konstrukcija aneroidnog manometra sa harmonikastom komorom.

a b

Sl.3.9. Aneroidno merilo pritiska

3.6. Pritisak tenosti na ravne povrine Teni fluidi nalaze se, najee, u posudama, rezervoarima i sl. Zbog prisustva hidirostatikog pritiska oni pritiskajue dejstvuju na zidove rezervoara. Potrebno je poznavati intenzitet tog dejstva. Dejstvo na neku konkretnu potoljenu povrinu manifestuje se rezultujuom silom pritiska. Pored toga, vano je da se sazna gde je napadna taka te sile. Ovde e se razmotriti sluaj kada je povrina na koju dejstvuje sila pritiska fluida ravna. To je jednostavniji sluaj u odnosu na sluaj kada je ta povrina zakrivljena. Neka se posmatrana ravna povrina A nalazi na ravni , koja je nagnuta pod uglom u odnosu na ravan slobodne povrine tenosti gustine (sl. 3.10). Pravougli koordinatni sistem postavlja se tako da je osa x u preseku ravni i ravni slobodne povrine tenosti. Osa y nalazi se, takoe, u ravni slobodne povrine tenosti. Osa z usmerena je nanie.

Sl.3.10. Pritisak tenosti na ravne povrine

Hidrostatiki pritisak tenosti u bilo kojoj taki prostora koju zauzima tenost, na osnovu jednaine statike fluida je:

zgp = (3.30) Uoava se elementarna povrina dA u posmatranoj povrini A. Sila pritiska na tu povrinu je:

gzdAdApdP == (3.31) Za izraunavanje ukupne sile pritiska P na povrinu A potrebno je integraliti prethodnu jednainu.

=A

zdAgP (3.32) Izraz

AzdA je statiki moment inercije povrine A u odnosu na x,y-ravan. Poznato je da on iznosi:

AzzdA CA

= (3.33) gde je zC najkrae rastojanje teita C do do slobodne povrine tenosti (x,y-ravan). Imajui ovo u vidu dobija se daje sila pritiska:

AzgP C= (3.34) ili P = pC A (3.35) Bilo koja od jednaina (j.3.34 ili j.3.35) moe posluiti da se odredi intenzitet sile hidrostatikog pritiska na datu povrinu. Pri tome je pC vrednost hidrostatikog pritiska u taki C, koja je teite povrine A. Za odreivanje napadne take D sile pritiska P potrebno je primeniti Varinjonovu teoremu. Ona glasi: Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenti. Primenjujui Varinjonovu teoremu za x,z-ravan dobija se:

PyzydAg DA

= (3.36) za y,x-ravan:

PzdAzg DA

= 2 (3.37) i za z,y-ravan:

PxxzdAg DA

= (3.38) U prethodnim izrazima (j.3.36, 3.37 i 3.38) koordinate xD, yD i zD se odnose na napadnu taku. Ove veliine su, za sada, nepoznate. Cilj naredne analize da se one odrede. U tu svrhu uvodi se pojednostavljenje. To pojednostavljenje je svoenje problema na dvodimenzijsko u novom ravanskom koordinatnom sistemu , . Kao to je na slici (sl. 3.10) pokazano -osa se podudara sa x-osom, a -osa se nalazi u ravni u kojoj je i povrina A. Transformacija koordinata je sledea: y = cos; z = sin; x = (3.39)

Uvodei smenu koordinata u jednainu (j.3.36) i uzimajui u obzir jednainu (j.3.34) dobija se:

443442143421P

Cy

DA

AgdAg

D

sincoscossin2 = (3.40)

Skraivanjem se dobija: AdA CD

A = 2 (3.41)

ili

A

dA

C

AD

=

2

(3.42)

Izraz iznad razlomake crte u prethodnoj jednaini je moment inercije I za osu , pa se moe napisati:

AI

CD

= (3.43) Dobijen je izraz koji na bazi poznatih veliina odreuje jednu kordinatu poloaja napadne take D. Zamena koordinata se moe uvesti i u jednainu (j.3.38):

{ 4434421P

CxD

AAgdAg

D

sinsin = (3.44) Sreivanjem prethodne jednaine dobija se:

AdA CDA

= (3.45) ili

AI

A

dA

CC

AD

==

(3.46)

gde je I centrifugalni moment inercije za ,-ravan. Ako su povrine A simetrine u odnosu na osu tada je: I = 0, odnosno = 0 to je najjednostavniji sluaj. Moment inercije povrine A za osu , koja se nalazi u ravni slobodne povrine tenosti moe se predstaviti zbirom sopstvenog momenta inerecije I i poloajnog momenta inercije AC2, pa je

AI

AAI

CC

C

CD

'2'

+=+= (3.47) Formule za izraunavanje sopstvenog momenta inercije za proste povrine nalaze se u prirunicima. U sluaju sloenih povrina analiza veliine sile hidrostatikog pritiska sprovodi se za svaki deo sloene povrine.

3.7. Arhimedov zakon i plivanje tela Iz svakodnevnog iskustva poznato je da tela, koja se zarone u tenost, nisu "tako teka", kao to su bila pre zaranjanja. Oigledno je da dejstvo hidrostatikih sila prouzrokuje sile koje deluju navie, tako da rezultujua sila, koja deluje na telo, postaje manja od teine G ili se izjednaava sa nulom. Prouavanje ovog fizikog fenomena zasnovano je na analizi sila hidrostatikog pritiska koje deluju na telo. Telo zapremine V zaronjeno je u tenost gustine (sl.3.11).

Arhimed (287-212. pr.n.e.)

Sl.3.11. Analiza dejstva sila pritiska na telo koje je zaronjeno u mirnu tenost Analiza poinje posmatranjem elementarne zapremine zaronjenog tela, dimenzija dx, dy i dz, koja se nalazi na dubini z. Na ovu elementarnu zapreminu deluju sile pritiska sa svih strana. Bone sile pritiska koje dejstvuju na povrine dxdz su meusobno jednake jer su na istoj dubini, pa poto su suprotnog smera potiru se. isto vai i za sile koje deluju na povrini dydz. Ali na elementarnoj povrini dxdy koja se nalazi dublje (dole) deluje neto vea sila nego na onu koja se nalazi gore. Ako se primeni ve izvedena jednaina (j.3.34) na ovaj sluaj moe se izraziti rezultujua sila dP: dP = - gzdxdy + g(z+dz)dxdy (3.48) Sreivanjem izraza dobija se: dP = gdzdxdy = gdV (3.49) Ako se pomou zapreminskog integrala rei rezulttujua sila za celokupnu zapreminu V, dobija se:

=VV

dVgdP (3.50) ili P = g V (3.51) Izraz (j.3.51) je uveni Arhimedov zakon. Rezultujua sila P naziva se sila potiska (ili krae potisak). Vidi se da je intenzitet sile potiska koja deluje na telo zavisan od gustine tenosti u koju je telo zaronjeno i od njegove zapremine. Sila potiska usmerena je uvek navie. U ovoj analizi tenost je smatrana nestiljivom ( = const). Ukupna sila potiska P na potuno zaronjeno telo moe biti vea, manja ili jednaka teini tela G. U zavisnosti od ovog tela mogu da plivaju, tonu ili da lebde (sl.3.12): 1. sluaj - telo pliva (sl.3.12. a)

Uslov za plivanje tela je da je P > G. Kada je to tako telo e jednim delom isplivati na povrinu toliko dok se dejstvo hidrostatikog pritiska ne smanji dotle da se izjednai sa teinom G. Dejstvo hidrostatikog pritiska - sila P', u ovom sluaju je posledica hidrostatikog pritiska na okvaenu povrinu A. Dakle, vaie G = P.

2. sluaj telo lebdi (sl.3.12. b) U ovom sluaju sila potiska jednaka je siteini tela P = G. Telo e biti potpuno okvaeno, ali ne mora da potone do dna.

3. sluaj telo tone (sl.3.12.c) U ovom sluaju sila postiska je manja od teine tela P < G.

Sl.3.12. tela u tenosti mogu da plivaju (a) da lebde (b) ili da tonu (c) Tela koja plivaju mogu se ponaati na razliite naine (sl. 3.13). Ako je teite C ispod napadne take sile potiska D telo e stabilno plivati (stabilna ravnotea). Na slici je primer jedrilice kod kojih se obavezno na kobilici (odozdo) dodaju tegovi, kako bi se teite cele jedrilice spustilo nie. Na slici je, takoe, prikazan sluaja kada se telo izvede iz ravnotee. U tom sluaju pojavljuje se spreg sila P i G (one su na rastojanju l) koji rezultuje momentom M ija je tenja da telo vrati u ravnoteu. U sluaju labilnog plivanja napadna taka sile potiska je ispod teita pa ako se telo izvede iz ravnotee ono e nastaviti da se rotira, to plivanje ini nestabilnim (labilnim). Kada se sila napadna taka sile potiska D poklapa sa teitem C, ne pojavljuje se nikakav rezultujui moment, tako da telo rotira dok na njega deluje dodatna spoljnja sila. Primer za ovaj sluaj je "tranje po balvanima koji plivaju". Na slici (sl.3.12) prikazane su mehanike analogije za sluajeve ravnotee, zasnovane na fizikom klatnu i ravnokrakoj poluzi.

Sl.3.13. Stabilnost plivanja

3.8. Relativno mirovanje tenosti pri translatornom kretanju U praksi se esto javlja sluaj transporta tenosti u rezervoarima. Pri tome se dogaa da se vozilo sa rezervoarom ubrzava ili usporava. U ovakvim i slinim sluajevima se, pored gravitacione sile javljaju inercijalne sile kao spoljnje dejstvo na fluid. Sluajevi promenjljivog kretanja mogu biti veoma razliiti. Najednostavniji sluaj je pravolinijsko jednako ubrzano kretanje. Naravno, sluaj jednako usporenog kretanja je identian jednako ubrzanom kretanju, s tim to je vektor ubrzanja suprotno orijentisan u odnosu na smer kretanja. U ovakvim sluajevima potrebno je poznavati pritiske u pojedinim takama u rezervoarau i geometriju "naginjanja" tenosti. Dakle, odreuje se polje (raspored) pritiska u tenosti i oblik slobodne povrine. Radi toga razmotrie se opti sluaj parvolinisjkog jednako ubrzanog kretanja tenosti u rezerevoaru (sl. 3.14) ubrzanjem a. Celokupna materija tenosti e u ovakvom sluaju zauzeti neki poloaj i pri tome se nee dalje kretati u odnosu na rezervoar. Zbog ove injenice ovaj sluaj spada u statiku fluida. Na rezervoar, koji se kree translatorno u horizontalnom pravcu, moe se "privrstiti" koordinatni sistem, koji se kree jednako kao i rezervoar. Delii tenosti nee se kretati u odnosu na ovakav koordinatni sistem. Koordinatni poetak nalazi se na sredini rezervoara, a na slobodnoj povrini tenosti. Osa y usmerena je u pravcu i smeru kretanja.

Sl. 3.14. Relativno mirovanje tenosti prihorizontalnom translatornom kretanju Jenaina statike fluida (j.3.12) glasi:

dpZdzYdyXdx 1=++

Spoljnje sile u ovom sluaju su: X = 0; Y = -a; Z = -g (3. 52) Ovde treba zapaziti da je jedinina inercijana sila Y (N/kg) jednaka ubraznju, ali je suprotnog predznaka. Uvrtavanjem vrednosti spoljnih sila u jednainu statike fluida dobija se:

dpgdzady 1= (3.52)

U prethodnoj jednaini vrednosti x i z su nezavisno promenjljive, a p je zavisno promenjljiva. Jednaina se reava neodreenim integralom, pri emu se tenost smatra nestiljivom ( = const).

= dpdzgdya 1

ili

Cpgzay += 1 (3.53)

U ovoj jednaini C je konstanta integracije. Granini uslovi integracije se uzimaju na slobodnoj povrini u koordinatnom poetku, y = 0; z = 0; p = pa, tako da se moe izraunati konstanta intergacije C:

apC = (3.54)

Ako se ovo uzme u obzir sledi: ( )gzaypp a += (3.55) Ova jednaina (j.3.55) opisuje polje pritisaka u tenosti koja se kree translatorno i relativno miruje u odnosu na rezervoar. Ako se eli doznati jednaina slobodne povrine tenosti u prethodnu jednainu zamenjuje se p = pa, pa se dobija:

0=+ gzay (3.56) Ovo je jednaina ravni. Slobodna povrina tenosti nije zakrivljena, ona je ravna i nagnuta pod uglom u odnosu na ravan y,x. Ovaj ugao se odreuje iz sledeeg izraza:

ga

yztg == (3.57)

Ako se ele odrediti povrine (ravni) istog pritiska u tenosti tada se uzima da je p pa = K, gde je K konstanta. Na osnovu ovoga se dobija jednaina povrina u kojima su meusobno jednake vrednosti pritiska:

Kgzay =+ (3.58) Iz prethodne jednaine (j.3.58) zakljuuje se da je povrina u kojoj su jednake vrednosti pritiska ravna i da je paralelna slobodnoj povrini tenosti. Dakle, i ova povrina je nagnuta u odnosu na ravan y,x pod uglom . Prethodna naliza i dobijeni izrazi omoguavaju izraunavanje pritiska u bilo kojoj taki unutar prostora koju zauzima tenost. Pored toga, lako se izraunava ugao pod kojim se tenost naginje u odnosu na horizontalnu ravan. U sluaju kada je translatorno kretanje tenosti u pravcu koji nije horizontalan, tada je potrebno uzeti u obzir da jedinina inercijalna sila i sila gravitacije moraju da se projektuju na novi korodinatni sistem, koji se ne kree horizontalno.

4. KRETANJE FLUIDA 4.1. Uvod Prouavanje kretanja fluida je veoma sloen zadatak. Ako se posmatra opti sluaj kretanja potrebno je voditi rauna o velikom broju veliina u celoj zapremini koju zauzima fluid, a koje se menju tokom vremena. Zbog ove sloenosti prouavanje se moe pojednostavljivati na nekoliko naina. Idelaizacije modela fluida pomau da se matematiki jednostavnije opie kretanje ili mirovanje fluida. U sluaju kretanja fluida, pored pritiska, gustine i spoljnih sila pojavljuje se brzina kretanja estica fluida. Naravno, ve je napomenuto da se viskoznost manifestuje tokom kretanja fluida. Istrorijski posmatrano, mehanika fluida u domenu kretanja razvijala se u dva pravca. 1. Lagranev (Joseph-Louis Lagrange) princip zasnovan je na posmatranju estice fluida koja se kree, slino kao u mehanici vrstih tela. Princip se sastoji u tome da se estica fluida "prati" tokom njenog kretanja. 2. Ojlerov (Ledonhard Euler) princip zasnovan je na posmatranju celokupnog prostora koji zauzima fluid. "Prate " se promene svih bitnih veliina u nekoj taki prostora koji zazima fluid. Pri ovakvom posmatranju fluid se smatra potpuno plastinom (deformabilnom) materijom koja u potpunosti ispunjava prostor. Ojlerov princip generalno je preovladao zbog pogodnije primene, mada se u pojednim specifinim sluajevima primenjuje i Lagranev princip. Pojednostavljenje kretanja fluida koje doprinosi jednostavnijem matematikom opisivanju esto se moe usvojiti tako da se posmatrani parametri fluida u posmatranoj taki fluidnog prostora ne menjaju tokom vremena. U ovakvom sluaju ovakav kretanje je stacionarno ("ustaljeno"). Kada se posmatrane veliine u nekoj taki menjaju tokom vremena kretanje je nestacionarno ("neustaljeno"). 4.2.Osnovni pojmovi kretanja Radi jednoznanog razumevanja pojmova u oblasti kretanja fluida objasnie se osnovni pojmovi pri kretanju fluida. Strujnica je kriva linija koja spaja tangente brzina fluidnih delia. Ova linija doarava tendenciju orijentacije kretanja ovih delia (sl.4.1. a).

Joseph-Louis Lagrange, (1736-1813)

Ledonhard EULER (1707-1783)

Sl. 4.1. Osnovni pojmovi kretanja fluida

Putanja je geometrijsko mesto taaka kroz koje je proao fluidni deli. To je u otem sluaju kriva linija po kojoj se kretao posmatrani fluidni deli. Kae se da je to "trag" kretanja fluidnog delia. Pri stacionarnom kretanju strujnica i putanja se podudaraju (poklapaju) (sl.4.1. a). Strujno vlakno predstavlja skup ("zbir") strujnica i ono predstavlja elementarnu (diferencijalnu) strujnu cev (sl.4.1. b). Strujna cev je konani zbir strujnih vlakana (sl.4.1. c). Strujni tok je zbir vie strujnih cevi koje razgranjavaju i spajaju (razgranate cevne mree, reke sa kanalima i sl) (sl.4.1. d). 4.3.Protok Protok je koliina fluida koja protekne kroz posmatranu povrinu preseka u jednici vremena. Definicija protoka moe se odrediti na osnovu definicije gustine. Poznato je (j. 2.2) da je:

dVdm=

Odavde je na osnovu slike (sl 4.2): dm = dV = dsdA (4.1) gde je ds elementarni preeni put.

Sl.4.2. Definisanje protoka Protok se definie na dva naina kao maseni i zapreminski. Maseni protok se definie na osnovu jednaine (j.4.1):

vdAdAdds

ddmmd ===& (kg/s) (4.2)

U prethodnoj jednaini d je elementarno vreme, koje je proteklo tokom prelaska puta ds, a izraz

dds je trenutna brizana fluida u posmatranoj taki. Zapreminski protok se odreuje kao:

vdAvdAmddQVd ====

&& (m3/s) (4.3)

4.4. Jedanina kontinuiteta

Kada se opti zakon klasine fizike o odranju mase (materije) primeni na na strujanje fluida dobije se jednaina kontinuiteta. Posmatrae se sluaj stacionarnog kretanja. Prethodno je definisan maseni protok fluida (j.4.2). Ako se posmatra elementarna strujno vlakno (sl. 4.3) maseni protok du njega e biti jednak, zato to se "masa ne moe dobiti ni izgubiti". Zbog toga e vaiti:

Sl.4.3. Proticanje fluida kroz strujno vlakno

constmdmdmd ==== &L&& 21 (4.4) Ako se uzme u obzir jednaina (j.4.2) dobija se

constvdAdAvdAv ==== L222111 (4.5) Jednaina (j.4.5) je traena jednaina kontinuiteta u elementarnom obliku. U sluaju nestiljivog fluida, s obzirom da je =const, jednaina se pojednostavljuje:

constvdAdAvdAvdQ ===== L2211 (4.6) Za srujnu cev potrebno je sabrati protoke kroz strujna vlakna od kojih je ona sastavljena (sl.4.1.c). Ukupni maseni protok kroz strujnu cev je: ( )=

AAdvmrr& , (4.7)

a za nestiljiv fluid: ( )=

AAdvQrr, (4.8)

Jendaina kontinuiteta za strujnu cev se formulie na sledei nain:

constm =& (4.9) ili

constQ = (4.10) Za praktinu primenu jednaine kontinuiteta najee se koristi pojam srednje brzine u strujnoj cevi. Ova veliina definie se na sledei nain:

( ) AvAdvm srA

== rr& , (4.11) odakle sledi da je: ( )

A

Advv Asr

=

rr, (4.12)

Izraz u zagradi, pod integralom, je skalarni proizvod vektora. Brojana vrednost ovog proizvoda jednaka je proizvodu komponente brzine koja je normalna na povrinu i elementarne povrine. Radi jednostavnosti moe se napisati da je vrednost srednje brzine jednaka:

A

vdAv Asr

= (4.13)

gde je v komponenta brzine koja je normalna na povrinu poprenog preseka strujne cevi. Ove komponente su razliitog intenziteta po preseku (sl.4.4).

Sl.4.4. Vrednost normalne komponente brzine je razliita po preseku strujne cevi S druge strane vrednost integrala iz jednaine (j.4.13) jednaka je ukupnom protoku (j.4.8), pa se moe napisati da je:

AQvsr = (4.14)

Ovo je najei nain definisanja srednje brzine u strujnoj cevi. U mehanici fluida postoje i druge definicije srednje brzine, koje se primenjuju u specifinim sluajevima. kad se razmatra strujanje kroz strujnu cev u hidropneumatskoj tehnici brzina se obeleava samo sa v, a podrazumeva se da je re o srednjoj brzini da bi se pojednostavilo pisanje. Jednaina kontinuiteta za stacionarno stujanje kroz strujnu cev se pie u sledeem obliku:

constvAAvAvm ===== L& 222111 (4.15) a za nestiljive fluide ( =const):

constvAAvAvQ ===== L2211 (4.16)

Ovaj oblik jednaine kontinuiteta najee se koristi u praktinim problemima hidropneumatske tehnike. Na slici (sl. 4.5) dat je primer strujne cevi u kojoj se du strujanja menja povrina poprenog preseka. Primena jednaine kontinuiteta u ovom sluaju je: Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = A1 v1 = A2 v2 = A3 v3 = A4 v4

Sl. 4.5. Primer strujne cevi railiite povrine poprenog preseka du strujanja (1,2,3 i 4 razliiti popreni preseci cevi)

4.5.Osnovna jednaina kretanja fluida (Ojlerova diferencijalna jednaina za kretanje fluida) Posmatra se neviskozni fluid pri stacionarnom strujanju. Polazite za razmatranje kretanja je jednaina statike fluida (j.3.8).

gradpF 1=r

Pri kretanju neviskoznih fluida, pored spoljnih sila, javljaju se inercijalne sile. One su posledica Njutnovog zakona:

dtdvmmaFi == (4.17)

Za jedininu masu fluida ovaj zakon glasi:

dtdvFi = (4.18)

Dinamika ravnotee fluida moe se iskazati kao ravnotea unutranjih i spoljnih sila (statika fluida) i ravnotea inercijalnih sila:

gradpFFi 1= r (4.19)

ili

gradpFdtdv

1= r (4.20)

Vektorska jednaina (j.4.20) razlae se u skalarni oblik, u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu:

xpX

ddvx

=

1 (4.21)

ypY

ddv y

=

1 (4.22)

zpZ

ddvz

=

1 (4.23)

Ako se jednaina (j.4.21) pomnoe sa vrednou dx, jednaina (j.4.22) sa vrednou dy i jednaina (j.4.23) sa vrednou dz, dobija se sledei sistem jednaina:

dxxpXdxdx

ddvx

=

1 (4.24)

dyypYdydy

ddv y

=

1 (4.25)

dzzpZdzdz

ddvz

=

1 (4.26)

Sabiranjem prethodne tri jednaine dobija se:

dzzpdy

ypdx

xpZdzXdxYdydz

ddv

dyd

dvdx

ddv zyx

++=++

111 (4.27)

Preureenjem prethodne jednaine (j.4.27) dobija se sledea forma:

{ { { 4444 34444 21dp

z

v

y

v

x

v

dzzpdy

ypdx

xpZdzXdxYdydv

ddzdv

ddydv

ddx

zyx

++=++

1 (4.28)

Uoavaju se izvodi xvddx = , yvd

dy = i zvddz = , koji predstavljaju komponente brzine u pravcima

pojednih koordinata. Takoe, uoava se totalni diferencijal pritiska dp. Jednaina (j.4.28) poprima sledei oblik:

dpZdzXdxYdydvvdvvdvv zzyyxx 1++=++ (4.29)

Vrednost brzine fluida u nekoj taki moe se iskazati na sledei nain:

2222zyx vvvv ++= (4.30)

Ako se ovaj izraz (j.4.30) diferencira dobija se: ( ) zzyyxx dvvdvvdvvvd 2222 ++= ili, ako se prethodna jednaina podeli sa 2:

zzyyxx dvvdvvdvvvd ++=

2

2 (4.31)

Leva strana jednaine (j.4.28) jednaka je desnoj strani jednaine (j.4.30), pa se moe napisati sledee:

dpZdzXdxYdyvd 1

2

2++=

(4.32)

Ovo je poznata Ojlerova jednaina za kretanje fluida. Ona vai za stacionarno strujanje i za neviskozni fluid. 4.6. Bernulijeva jednaina Ojlerova diferencijana jednaina kretanja je opti zakon. Od posebnog praktinog interesa je da se ova jednaina primeni u polju zemljine tee. U tom sluaju od spoljnjih sila postoji samo sila zemljine tee. Komponente spoljnje sile su: X = 0; Y = 0; Z = -g (4.33) Koordinatna osa z usmerena je vertikalno navie. Ako se vrednosti iz prethodne jednaine (j.4.33) zamene u Ojlerovu jednainu kretanja (j.4.32), dobija se:

dpgdzvd 1

2

2=

(4.34)

ili

012

2=++

dpgdzvd (4.35) Ako se ova diferencijana jednaina integrali dobija se:

Cdpdzgvd =++

12

2 (4.36)

gde je C konstanta integracije. Sreivanjem jednaine (j.4.36) dobija se:

constdpgzv =++ 1

2

2 (4.37)

Da bi se reio integral u prethodnoj jednaini potrebno je poznavati funkciju = (p). Ako je ova funkcija postoji re je o barotropnom fluidu. Ako je u pitanju nestiljivi fluid ( =const) reenje integrala u jednaini (j.4.37) je jednostavno:

constpgzv =++ 22

(4.38)

Ovo je jedna od oblika poznate Bernulijeva jednaina. Ona vai za strujnu cev. Ovako izvedena, ona ima velika ogranienja. Ogranienja su sledea: - neviskozni fluid, - stacionarno strujanje i - nestiljivi fluid. I pored ovako velikih ogranienja, ova jednaina ima veoma veliki praktini znaaj.

4.7. Fiziko tumaenje Bernulijeve jednaine Ako se u proizvoljnoj strujnoj cevi (sl. 4.6) uoe dva preseka, Bernulijeva jednaina (j.4.38) moe se napisati na sledei nain:

2

2

221

1

21

22p

gzvp

gzv ++=++ (4.39)

Daniel Bernouli (1700-1782)

Sl.4.6. Fizika interpretacija Bernulijeve jednaine Ako se jednaina (j.4.39) pomnoi sa elementarnom masom dm dobija se:

dmp

dmgzdmv

dmp

dmgzdmv

p

prpo

k

dE

dEdEdE

2

2

221

1

21

22++=++

44 344 21321321321

(4.40)

Prvi lan jednaine se prepoznaje kao kinetika energije 2

21 dmvdEk = elementarne mase fluida

dm. Drugi lan jednaine dmgzdE po 1= je poloajna (ili visinska) energije, a trei lan dm

pdE pr

1= je pritisna energija elementarne mase fluida. Zbir drugog i treeg lana je, ustvari, ukupna potencijalna energija fluida, koja se sastoji od poloajne i pritisne energije dEp = dEpo+dEpr. Moe se zakljuiti da Bernulijeva jednaina predstavlja opti zakon klasine fizike o odranju (konzervaciji) energije, primenjen na strujanje fluida zbir kinetike i potencijalne energije je nepromenjiv (konstantan). U ovom zakonu posmatrani su samo oblici fluidne enegrije. Opet se naglaava da je re o neviskoznom i nestiljivom fluidu, pri stacionarnom strujanju. Poznavanje jednaine kontinuiteta (zakon o odranju mase) i Bernulijeve jednaine (zakon o odranju energije) je veoma dobra osnova za reavanje praktinih zadataka. Ove jednaine (j. 4.15. ili 4.16. i 4.38) su mono oruje za proraune strujanja, bez obzira na sva ogranienja koja su ranije navedena. Dimenzinom analizom prvog lana Bernulijeve jednaine (j.4.38) dobija se:

constpgzv =++ 22

{ kg

JkgNm

kgm

s

kgm

kgs

mmkg

s

m

T

L

N

222

2

2

2==== (4.41)

Analiza pokazuje da se, zaista, dobija specifina fluidna energije koliina energije po jedinici mase fluida. Ako se Bernulijeva jednaina (j.4.38) pomnoi sa , dobija se druga forma ove jednaine:

constpgzv =++ 2

2

=

3m

JPa (4.42)

Ovo je, takozvana, pritisna forma Bernulijeve jednaine. I u ovoj formi uoava se njena energetska sutina. Ovde je koliina energije izraena po jednici zapremine. Ako se, pak, prethodna jednaina podeli sa g dobija se visinska (geodezijska) forma iste jednaine:

constgpz

gv =++ 2

2

=

NJm (4.43)

U ovom sluaju koliina energije izraena je po jedinici teine. Sva tri oblika Bernulijeve jednaine se primenjuju u praksi. Koji oblik e biti odabran za primenu zavisi od vrste problema koji se reava. Generalno, pritisna forma (j.4.42) ee se koristi u sluajevima strujanja gasova, a visinska forma (j.4.43) u sluajevima strujanja tenosti. Prva navedena forma Bernulijeve jednaine (j.4.38) naziva se njena brzinska forma. Pri korienju ve definisane srednje brzine (j.4.14) u Bernulijevoj jednaini za strujnu cev (j.4.38) pravi se izvesna greka. Naime, srednja brzina izraunata na osnovu kolinika protoka i povrine poprenog preseka u prvom lanu Bernulijeve jednaine je na drugom stepenu. S obzirom da je ukupna kinetika energija zbir pojednianih kinetikih energija delia koji se trenutno nalaze u posmatranom preseku moe se konstatovati da to ne odgovara prethodnoj primeni srednje brzine. Matematiki iskazano: "zbir kvadrata nije jednak kvadratu zbira". Razmatrajui Bernulijevu jednainu bilo bi doslednije nai ukupnu kinetiku energiju u posmatranom preseku pa iz nje definisati srednju brzinu. Ova, uoena greka u jednaini se koriguje "dodavanjem" korekcionog faktora ispred kinetikog lana, pa taj lan jednaine tada glasi:

2

2v (4.44) U veini praktinih problema moe se smatrati da je 1. U sluaju znatno veih brzina ovaj faktor mora da se uzme u obzir, jer je on vei od 1. 4.8. Bernulijeva jednaina za viskozni fluid (Proirena Bernulijeva jednaina) Pri izvienju Ojlerove diferencijane jednaine (j.4.32) unutranje trenje izmeu estica fluida, koje je posledica viskoznosti fluida, nije uzeto u obzir. Uvoenjem viskoznih sila analiza se uslonjava. Posledica te sloene matematike anailze su poznate Navije-Stoksove (Navier, Stockes) diferencijalne jednaine kretanja, koje se izvode samo za jednu vrstu idealizovanog kretanja. Dalje uslonjavanje problema pojavljuje se zbog razliitih tipova strujanja i specifinosti strujanje uz vrste granice strujne cevi. Teorijska razmatranja i teorijsko-eksperimentalni rezultati u ovoj oblasti mogu se pronai u literaturi. Za potrebe inenjerske prakse formulisana je proirena Bernulijeva jednaina koja obuhvata probleme kretanja viskoznih fluida. Proirenje ve poznate Bernulijeve

energijske jednaine za neviskozni fluid (j.4.38), se ostvaruje tako to se sa desne strane jednaine dodaje lan gH koji predstavlja "gubitak" energije zbog viskoznog trenja izmeu dva posmatrana preseka. Re je o koliini fluidne energije koja e se zbog postojanja trenja pretvoriti u toplotnu. Toplotna energija se prenosi u okolinu. Za posmatrana dva preseka u strujnoj cevi (sl. 4.6) dobija se proirena Bernulijeva jednaina:

+++=++ 21

22

221

1

21

22 gH

pgz

vpgz

v (4.45)

Ovo je, takoe, jednaina koja proistie i opteg zakona klasine fizike o odranju energije. lan

21

gH predstavlja koliinu strujne energije, koja se zbog viskoznog trenja pretvara u neke druge

oblike energije i odlazi iz fluida. Ova koliina energije se "izgubila" izmeu preseka 1 i 2. Zadatak inenjera je da se ova koliina energije izrauna i uvrsti u jednainu. Veliki broj istraivaa je teorijski i eksperimentalno prouavao ove gubitke energije. Na bazi velikog broja eksperimentalnih podataka u praksi se izraunavaju gubici u zavisnosti od toga kolika je brzina fluida, koji je fluid u pitanju, kakva je geometrija strujne cevi, kolika je hrapavost povrine cevi itd. Geometrijsko i fiziko tumaenje proirene Bernulijeve jednaine prikazano je na slici (sl.4.7).

Sl.4.7. Geometrijsko i fiziko tumaenje proirene Bernulijeve jednaine U donjem delu slike (sl.4.79) prikazana je proizvoljna strujna cev. U pravcu strujanja menjaju se sve tri karakteristine veliine v, p i . Zbog toga se menjaju i koliine sve tri vrste fluidne energije. Nain kako se one menjaju u ovom sluaju prikazan je na dijagramu iznad cevi. Ukupna koliina

energije u preseku 1 cevi iznosi EU1. Ona je, ustvari zbir kinetike, visinske i pritisne energije u preseku 1. Posmatrajui stanje du strujanja, uoava se da se ukupna koliina fluidne energije

smanjuje EUX - u proizvoljnom preseku X. Smanjenje je za koliinu energije X1

gH , odnosno za

koliinu energija koja je utroena za savladavanje viskoznog trenja od preseka 1 do preseka X. Posmatrajui dva konkretna preseka cevi 1 i 2, analiza je analogna. Pri strujanju od preseka 1 do preseka 2 izvesna koliina fluidne energije e se koristiti ("troiti") za savladavanje viskoznog trenja izmeu ova dva preseka. Ukupna koliina fluidne energije u preseku 2 je EU2. Ona je zbir tri vrste energije u tom preseku, kinetike, visinske i pritisne. Zbog postojanja viskoznog trenja ova

koliina energije je manja u odnosu na EU1 za gubitke 21

gH . Koliki e biti pojedni sabirci fluidne

energije u preseku 2 zavisi od konfiguracije cevi i od promene povrine poprenog preseka. Ako se cevovod uspinje poveae se koliina visinske energije, a ako se sputa ona e biti manja nego u preseku 1. Ako se cevovod proiruje poveava se povrina poprenog preseka, pa se zbog toga smanjuje brzina, odnosno kinetika energije fluida. Ako se cevovod suava kinetika energija raste zbog poveanja brzine fluida. Poveanje ili smanjenje pojedinih vrsta energije uvek je na raun preostale dve vrste. Linija b na slici (sl.4.7) predstavlja ukupni zbir fluidne energije. Linija a pokazuje ukupnu koliinu energije za neviskozni fluid. Linije c i d pokazuju meusobne odnose pojedinih vrsta energije. 4.9. Vrste strujanja Davno je uoeno da tenosti struje "ureeno" ili "haotino". Primer za to je svakodnevno iskustvo pri posmatranju vode koja istie iz slavine. Kada se slavina malo otvori, na gornjem delu toka, blizu izlaznog dela slavine, voda struji "ureeno" ("glatko"). Malo nie poinje "haotino" kretanje vode (sl. 4.8). Ovaj fenomen je zainteresovao naunike, jer je utvreno da vrsta strujanja utie na ukupne gubitke fluidne energije pri strujanju. Zapaeno je da pri veim brzinama fluida dolazi do pojave "haotinog" strujanja.

Osborne Reynolds (1842-1912)

Sl. 4.8. "Ureeno" i "haotino" strujanje

Rejnolds (Osborne Reynolds) je prouavao ovaj fenomen. Eksperimente je izvodio na aparaturi koja je principijelno prikazana na slici (sl.4.9). U osnovni tok fluida uputao je obojeni fluid iz posebnog rezervoara. Ekperimentisao je sa razliitim fluidima (i tenim i gasovitim). U eksperimentima je menjao brzine strujanja osnovnog fluida. Ekperimentisao je i sa razliitim prenicima cevi u kojoj je strujao fluid. On je izveo veoma veliki broj eksperimenata. Zapazio je da promena reima strujanja zavisi od vrste fluida, odnosno njegove viskoznosti, od brzine strujanja i od prenika cevi u kojoj fluid struji. "Ureeno" strujanje je nazvao laminarno strujanje, a "haotino" je nazvao turbulentno strujanje. Postupnim poveavanjem brzine fluida u cevi dostizao je moment kada je laminarno strujanje prelazilo u turbulentno. Na velikom broju ponovljenih eksperimenata za isti fluid i za istu cev, uvek pri odreenoj brzini fluida dolazilo je do promene reima strujanja. Njegov veliki doprinos nauci bio je taj to je uspeo da utvrdi kriterijum pri kome dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno strujanje. taj kriterijum kasnije je nazvan ba po Rejnoldsu i zove se Rejnoldsov broj. On je definisan na sledei nain:

vd=Re (-) (4.46)

gde je v brzina fluida, d prenik cevi, a kinematska viskoznost. Dimenzionom analizom moe se zakljuiti da je Rejnoldsov broj bezdimenzionalan. Ta bezdimenzionalnost mu daje odreenu univerzalnost znaenja. Fiziko tumaenje ovog broja moe se iskazati kao odnos inercijalnih i viskoznih sila u fluidu.

Sl.4.9. Rejnoldsov eksperiment (1 posuda sa obojenim fluidom, 2 strujna cev) Rejnolds je ekperimentima utvrdio da je promena reima strujanja nastajala pri tano odreenoj vrednosti Rejnoldsovog broja, bez obzira na vrstu fluida, brzinu fluida i prenik cevi. Laminarno strujanje uvek je egzistiralo za vrednosti Re 2320. Turbulentno strujanje uvek je egzistiralo pri strujanjima za koje je bilo Re 10000. Ako se paljivo poveava brzina strujanja iznad Re = 2320 moe se odrati laminarno strujanje, ali je ono nestabilno, lako se promeni u turbulentno. Isto tako, ako se sniava vrednost Rejnoldsovog broja ispod 10000 moe da egzistira turbulentni reim. Zbog ovih injenica strujanje u podruju definisanim opsegom 2320 Re 10000 naziva se prelazni reim strujanja. U ovom podruju mogue je da postoji i laminarno i turbulentno strujanje. Sumirajui prethodno moe se napisati: Re 2320 Laminarni reim strujanja

2320 Re 10000 Prelazni reim strujanja Re 10000 Turbulentni reim strujanja. Reim strujanja utie na brzinsko polje fluida u cevi. Ovo polje naziva se i profil brzine fluida u cevi. Ako je strujanje fluida u cevi laminarno profil brzine fluida u cevi definisan je parabolom. U sluaju turbulentnog strujanja profil brzine je ravnomerniji, ali pri tome treba znati da je uz zidove cevi strujanje laminarno, a u jezgru cevi je turbulentno. Izmeu laminarnog i turbulentnog podruja nalazi se podruje prelaznog reima strujanja (sl.4.8).

Sl.4.10. Profil brzine fluida u cevi za laminarni i turbulentni reim strujanja

4.10. Odreivanje gubitaka fluidne energije Proirena Bernulijeva jednaina, koja se odnosi na viskozni fluid (j.4. 45) prua mogunost za razne proraune strujanja:

+++=++ 21

22

221

1

21

22 gH

pgz

vpgz

v (4.45)

da bi to bilo mogue potrebno je poznavati lan jednaina 21

gH . Kao to je spomenuto, veliki broj

istraivaa radio je na odreivanju vrednosti ovog lana jednaine. Ovi gubici se odreuju eksperimentalno. Uniformnost odreivanja gubitaka fluidne energije je postignuta tako to se uzima da je gubitak fluidne energije proporcionalan kinetikoj energiji fluida. Za svaki pojedniani uzrok nastanka gubitka eksperimentom je utvreno na koji nain on zavisi od kinetike energije fluida. Ta zavisnost je iskazana na sledei nain:

2

2vHg ii = (4.46) gde je i koeficijent otpora, koji se odreuje eksperimentalno. Specifinost pojedinih vrsta otpora iskazana je vrednou ovog koeficijenta. Generalno, gubici fluidne energije razvrstavaju se u dve vrste. Prva vrsta gubitaka su oni koji nastaju pri strujanju kroz prave cevi, a druga vrsta je ona koja nastaje zbog promene pravca strujnica i zbog promena lokalnih brzina fluida. Ova druga vrsta gubitaka naziva se lokalni gubici fluidne energije.

4.10.1. Gubici fluidne energije pri strujanju kroz prave cevi Prvi pokuaji odreivanja gubitaka fluidne energije pri strujanju kroz prave cevi pokazali su da postoji uticaj veeg broja faktora. Nikuradze (Nikuradze) je eksperimentima utvrdio da su to sledei faktori. e hrapavost unutranje povrine cevi (sl.4.11), d prenik cevi, kinematska viskoznost, v brzina fluida i l duina cevi.

Sl.4.13. Hrapavost unutranje povrine cevi Uzimajui u obzir Rejnoldsove postavke, prethodne faktore on je sveo na sledeu zavisnost:

= ldeHgtrHgtr Re,,

gde je

de - relativna hrapavost,

Re Rejnoldsov broj i l duina cevi. On je obavio veliki broj eksperimenata iz ove oblasti, koji su posluili drugim istraivaima. Darsi (Darcy) je prethodna istraivanja Nikuradzea objedinio u izraz, koji je saglasan sa jednainom za gubitke energije (j.4.46):

2

2vdlHgtr = (4.47)

gde je koeficijent trenja u pravim cevima. Dalja istraivanja su se usmerila ka iznalaenju naina odreivanja koeficijenta trenja . Veoma znaajan doprinos u ovoj oblasti dao je Mudi (Moody). On je obradio podruje laminarnog, prelaznog i turbulentnog strujanja. Za laminarni reim je utvrdio da hrapavost ne utie na koeficijent trenja. Kod ovog reima strujanja (Re 2320) koeficijent trenja se odreuje na sledei nain:

Re64= (4.48)

Dakle, koeficijent trenja, u ovom sluaju, zavisi od brzine, prenika cevi i kinematske viskoznosti. U sluaju turbulentnog strujanja proraun gubitaka neto je sloeniji. Mudi (Moody) je nastavio istraivanja Nikuradzea i formirao dijagram, na osnovu koga se odreuje koeficijent trenja. To je uveni Mudijev dijagram (sl. 4.12). Dijagram je izraen u logaritamskim koordinatama. Na apscisi je Rejnoldsov broj Re, a na ordinati koeficijent trenja . Obe kordinate su logaritamske. U levom delu dijagrama je laminarno podruje (Re 2320). Linija zavisnosti koeficijenta trenja od Rejnoldsovog broja je prava zbog logaritamskih koordinata. Ta zavisnost je, inae, hiperbola

(j.4.48). U desnom delu dijagrama, za Re 2320, povuene su linije razliitih relativnih hrapavosti e/d. Procedura odreivanja koeficijenta trenja, u nekom konkretnom sluaju, je sledea: 1.Izraunavanje vrednosti Rejnoldsovog broja, 2.Odreivanje reima strujanja, 3.Ako je Re 2320, strujanje je laminarno i koristi se jednaina (j.4.48), 4. Ako je Re 2320, strujanje je prelazno ili turbulentno. U tom sluaju se odreuje relativna hrapavost e/d. Na bazi ove vrednosti se pronalazi odgovarajua kriva u Mudijevom dijagramu. Ako je potrebno obavlja se interpolacija. Sa apscise gde je naneena izraunata vrednost Rejnoldsovog broja povlai se vertikalna prava linija do preseka sa odreenom linijom relativne hrapavosti. Iz take tog preseka povlai se horizontalna prava do ordinate gde se oitava vrednost koeficijenta trenja . Nakon odreivanja koeficijenta trenja koristi se izraz (j.4.47) za odreivanje gubitaka fluidne energije u pravim cevima.

Sl.4.12. Mudijev dijagram

U sluaju kada cevi nisu krunog poprenog preseka Rejnoldsov broj se izraunava na osnovu hidraulikog radijusa:

vRh4Re = (4.49)

gde je Rh hidrauliki radijus. Hidrauliki radijus se odreuje na sledei nain:

OARh = (4.50)

gde je A povrina poprenog preseka cevi, a O okvaeni obim poprenog preseka. Primeri razliitih oblika poprenog preseka dati su na slici (sl.4.13). Pri odreivanju okvaenog obima treba voditi rauna da je to duina koja odgovara samo onom delu obima cevi koji je u kontaktu sa fluidom koji struji podebljana linija na crteu (sl.4.13).

Sl.4.13. Razliiti popreni preseci strujne cevi

Za date primere na slici napisani su izrazi za odreivanje Povrine poprenog preseka, okvaenog obima i hidraulikog radijusa (tab. 4.1) Tabela 4.1. Hidrauliki radijusi za osnovne poprene preseke (saglasno sa sl.4.13) Oznaka na sl. 4.13..

Presek strujne cevi

Povrina A

Okvaeni obim O

Hidrauliki radijus Rh

A Kvadrat 2a 4a 4a

B Pravougaonik ba 2( ba ) ( )baba+

2

C Krug 4

2d d 4d

D Pravougaonik ba 2b + a ab

ba+

2

E Trapez hba

2+ a+2c ( )( )ca

hba22 +

+

4.10.2. Lokalni gubici fluidne energije Zbog promene pravca strujnica i zbog promene brzine strujanja na pojedinim mestima du strujanja javljaju se dodatni, lokalni gubici fluidne energije. Primeri za to su skretanje fluida (koleno), cevni zatvarai (ventili, zasuni i slavine), proirenja cevi, suenja cevi, filteri, rave i sl (sl.4.14).

Sl.4.14. Mesta nastanaka lokalnih gubitaka fluidne energije Ova vrsta gubitaka odreuje se na osnovu jednaine:

2

2vHg = (4.51) gde je koeficijent lokalnog otpora. Ovaj koeficijent odreuje se pomou prirunike literature, u kojoj su sistematizovani razliiti sluajevi i date vrednosti za koeficijent lokalnog otpora. U svakom konkretnom sluaju potrebno je pronai identian primer u tabelama i odrediti koeficijent. Lokalni gubitak fluidne energije moe se iskazati ekvivalentnom duinom cevovoda, ako se izjednae desne strane jednaina (j.4.47 i j.4.51).

22

22 vvd

lekv = (4.52) odakle je:

dlekv = ili

dlekv = (4.53) pa se lokalni gubitak fluidne energije moe iskazati i na sledei nain:

2

2vd

lHg ekvlok = (4.54)

1

4.11. Merenje brzine i protoka fluida Veliki broj razliitih potreba merenja brzine i protoka fluida uticao je na to da je razvijen veoma veliki broj odgovarajuih metoda. Potrebno je meriti od veoma malih do veoma velikih brzina i protoke. Potrebno je meriti brzine i protoke u cevima, ali i brzine u otvorenim tokovima. prisutan je i veoma veliki broj razliitih fluida. Neki fluidi su hemijski agresivni, a neki ne. Neki fluidi su provodnici elektrine struje, a neki ne. Sve navedeno, ali i druge razlike uzrokovale su razvoj velikog broja razliitih metoda i instrumenata za merenje. Metode merenja brzine i protoka fluida mogu se podeliti u sledee grupe:

1. Direktno merenje protoka tenosti 2. Merenje protoka prigunicama, 3. Merno koleno, 4. Merenje brzine fluida pomou zaustavnog pritiska, 5. Merila sa lebdeim telom - rotametri 6. Turbinska merila protoka, 7. Indukciono merilo protoka, 8. Ultrazvuno merilo brzine i protoka, 9. Termalne metode merenje brzine, 10. Vrtlonim merilo protoka, 11. Anemometri, 12. Zapreminske metode merenja protoka i dr.

4.11.1. Direktno merenje protoka tenosti Ova metoda je nastarija, najtanija i direktna. Naalost, moe se primenjivati samo u veoma malom broju tehnikih sluajeva. Metoda se sastoji u odmeravanju zapremine tenosti pomou menzure i hronometra (sl. 4. 15). Primenjiva je samo za tenosti. Kada za to postoji mogunost, pomou menzure se meri zapremina tenosti V, koja je istekla u odreenom vremenu , a zapreminski protok odredi se na sledei nain:

VQ = (m3/s) (4.55)

4.11.2. Merenje protoka prigunicama Kada se u cev postavi element, za koji nam je potpuno poznata zavisnost gubitka fluidne energije od protoka tada je mogue odrediti protok ako se odredi gubitak pritisne energije. Gubitak pritisne energije posredno se iskazuje smanjenjem pritiska. U strunoj literatururi ova veliina naziva se pad pritiska pri strujanju. Element koji se postavlja u cev naziva se prigunica. Postoji veoma veliki broj prigunica koje se postavljaju u cev sa svrhom merenja protoka. Da bi se eliminisalo raznovrsno konstruisanje ovih prigunica kada to nije potrebno, prigunice su standardizovane. Mada postoji vei broj standardnih prigunica, najee su tri vrste: merna prigunica, mlaznica i Venturi cev (sl. 4.16). Razlika pritiska p meri se ispred i iza merne prigunici ili mlaznice. U sluaju Venturi cevi razlika pritisaka meri se ispred nje i u najuem preseku. Ovako izmerena razlika pritiska slui da se opdredi protok. On se odreuje prema sledeem izrazu:

Sl.4.15. Direktno merenje protoka tenosti

2

pAQ 22= (4.56)

gde je: (-) - koeficijent ekspanzije, (-) - protoni koeficijent, A2 (m2) povrina poprenog preseka u suenom delu, p (Pa) izmereni pad pritiska i (kg/m3) gustina fluida. Koeficijent ekspanzije uzima u obzir stiljivost fluida. Ova osobina dolazi do izraaja, pri ovakvom nainu merenja, u sluaju brzina gasova koje su bliske brzini zvuka. U ostalim sluajevima moe se uzeti da je 1. Koeficijent protoka odreuje se na bazi Rejnoldsovog broja i konstrukcionih dimenzija prigunice iz posebnih tabela, koje su sastvani deo standrada.

Sl. 4.16. Merne prigunice (a - mlaznica,b - merna prigunica i c-Venturi cev

Maseni protok odreuje se na bazi poznate gustine fluida:

Qm =& (4.57) Pri korienju ove metode merenja protoka potrebno je paljivo primeniti sve odredbe standarda. Upotreba ove metode merenja protoka dosta je rairena u praksi i naunim istraivanjima, jer je precizna i ima dobru ponovljivost. Ova metoda zahteva preciznu izradu i ne mora se obavljati badarenje.

3

4.11.3. Merno koleno Merno koleno je jednostavna metoda, u kojoj se koristi efekt razlike pritiska fluida u poprenom preseku, pri strujanju kroz koleno cevi (sl. 4.17). N slici je prikzana promena pritiska u poprenom preseku kolena. Na osnovu izmerena razlike pritiska na spoljnjoj i unutranjoj strani kolena p odreuje protok:

pAQ k = (4.58) gde je Ak merna konstanta, koja se odreuje badarenjem.

Sl.4.17. Merno koleno

4.11.4. Merenje brzine fluida pomou zaustavnog pritiska Mernje brzine strujanja fluida mogue je primenom Bernulijeve jednaine. Osnovni princip merenja primenjen je u Pitovoj cevi (Pitot). Princip merenja prikazan je na slici (sl. 4.18).

Sl. 4.18. Pitova cev

4

Ako se Bernulijeva jednaina primeni na oznaenu strujnicu onda sledi:

2

221

21

22pvpv +=+ (4.59)

pri emu je z1 = z2. Na uoenoj strujnici u taki 2 fluid se zaustavlja, tako da je brzina fluida u toj taki v2 = 0. Na osnovu ovoga sledi:

pppv 2

)(2 121 == (4.60)

Prandtl je unapredio Pitovu cev to je pojednostavio merenje razlike pritiska (sl. 4.19). Na Prandtlovoj cevi postoje male rupice sa strane kroz koje dolazi signal pritiska p1. Meri se razlika pritisaka p. Ova razlika pritiska se esto u literaturi naziva dinamiki pritisak. Pritisak p1 naziva se statiki pritisak, a pritisak p2 totalni prtisak. Pored Prandtlove cevi, sline izvedbe i istog principa rada je NPL sonda. Na slici (sl.4.20) prikazane su osnovne konstrukcione karakteristike sve tri sonde.

Sl. 4.19 Prandtlova cev

Sl. 4.20 Pitova, Prandtlova cev i NPL sonda

4.11.5. Merilo sa lebdeim telom - rotametar Ovo merilo zasnovano je na principu uravnoteenja uzgonske sile (sile otpora tela strujanju fluida), sile potiska i teine tela koje se postavi u vertikalnu struju fluida (sl. 4.21). Uglavnom se primenjuje

5

za merenje protoka tenosti. merilo se badari, pri emu se odreuje konstanta badarenja k. Protok se oitava sa strane konine staklene cevi na ibadarenoj skali.

Sl. 4.21. Merilo sa lebdeim telom rotametar

Ova merila pogodna su za one sluajeve kada je potrebno trenutno poznavanje protoka tenosti, kako bi se on kontrolisao i podeavao. Zavisnopst protoka od poloaja lebdeeg tela u cevi je:

==

44

22 dDkQm& (4.62) gde je k koeficijent badarenja. 4.11.6. Turbinsko merilo protoka U cevni element postavljena je merna turbina (sl. 4. 21). Uestanost obrtanja turbine zavisna je od brzine, odnosno protoka fluida. Sa strane se postavlja senzor koji registruje uestanost obrtanja turbine. Kod preciznijih merila, na uzstrujnom delu, ugrauje se laminator, koji ima zadatak homogenizacije strujnog polja brzine fluida.

Sl. 4.21. Turbinsko merilo protoka ( presek levo, spoljni izgled u sredini, merna turbina

desno, 1 telo,2 merna turbina, 3 oslonci) Protok kod ovih merila je srazmeran uestanosti obrtanja:

nkQ = (4.63)

6

gde je k konstanta badarenja. Zavisnost vrednosti konstante baarenja od uestanosti obtanja data je na slici (sl. 4. 22). Sa slike se vidi da je u domenu malih uestanosti obratanja, gde je kretanje fluida laminarno, merilo neprecizno. Zbog toga se ograniava upotreba ovih merila za protoke manje od 10% opsega merenja.Turbinska merila su, inae, veoma precizna. Upotrebljavaju se, pored ostalog, za merenje protoka nafte i prirodnog gasa u merno-regulacionim stanicama u komercijalne svrhe. Postoje maine za zatitu bilja koje imaju ugraena turbinska merila radi kontrole protoka rastvora zatitnih sredstava.

Sl. 4. 22. Zavisnost konstante badarenja od uestanosti obratanja kod turbinskog merila protoka

4.11.7. Indukciono merilo protoka Rad indukcionog merila protoka zasnovan je na elektromagnetnom principu. Koristi se za merenje protoka fluida koji su provodnici elektrine struje. Kretanje fluida (provodnika elektrine struje) kroz magnetno polje indukuje elektromotornu silu (sl. 4.23).

Sl. 4.23. Indukciono merilo protoka (princip rada levo, spoljni izgled desno) Merenjem indukovane elektromotorne sile indirektno se odreuje brzina, odnosno protok fluida:

cDvBE = (4.64) gde je: E elektromotorna sila, B magnetna indukcija, D prenik cevi i c- konstanta badarenja.

7

4.11.8. Ultrazvuno merilo protoka U cevi su postavljeni predajnici i prijemnici ultra zvuka, kao to je pokazano na slici (sl. 4.24). Ova merila se postavljaju na postojee cevi i to im je velika prednost. Mana im je to su relativno skupa.

Sl. 4.24. Ultrazvuno merilo protoka (princip rada levo, spoljni izgled desno)

Kretanje zvuka niz struju fluida je bre nago uz struju zbog prenosne brzina fluida. Uz merilo je ugraena oprema koja registruje razliku tih brzina. Razlika tih brzina f zavisna je od brzine fluida:

Lvf cos2= (4.65)

Mogue su izvedbe sa predanicima i prijemnicima na istoj strani cevi (sl.4.24. desno). U tom sluaju unutranjost cevi na suprotnoj strani reflektuje zvuk. Jedna od varijanti ultrazvunog merila protoka je zasnovana na Doplerovom efektu. 4.11.9. Termalne metode merenja brzine fluida Ova merila upotrebljaaju se za merenje veoma malih brzina. Najee se koriste za merenje prirodnog kretanja vazduha u protorijama i u slinim sluajevima. Veoma su osetljiva.

Sl. 4.25. Termalno merilo brzine fluida (princip levo, spoljnji izgled desno)

Princip merenja zasnovan je na zavisnosti prenosa toplote od brzine strujanja preko usijane ice (sl. 4.25). ica se zagreva zbog protoka elektrine struje. Preciznim merenjem intenziteta struje,

8

odnosno osloboene koliine toplote, pomou Vitstonovog mosta, indirektno se odreuje brzina fluida. 4.11.9. Anemometri Anemometri bi se mogli svrstati u turbinska merila, ali zbog njihove specifine namene izdvajaju se u posebnu grupu. Koriste se za merenje brzine gasovitih fluida na poetku ili na kraju cevovoda ili za merenje brzine vetra. Sve meteoroloke stanice imaju anemometre. Turbina je postavljena ili aksijalno ili popreno u odnosu na pravac brzine fluida (sl. 4.26).

Sl. 4.26. Anemometri

4.11.10.Vrtlono merilo protoka Odavno je poznata zavisnost uestanosti otkidanja laminarnog graninog sloja od brzine kretanja fluida. To je fenomen Karmanovih vrtloga. Ako se postavi prepreka u struji fluida, iza nje e periodino da se kreu vrtlozi koji ija uestanost zavisi od brzine fluida. Meutim, trebalo je protekne dugo vreme da se tehniki tano i pouzdano registruju vrtlozi. Registrovanje vrtloga je danas reeno veoma precizno, to je rezultovalo izradom veoma preciznih merila (sl. 4.27).

Sl. 4.27. Princip rada vrtlonog merila protoka

4.11.11. Zapreminska merila protoka Ova merila bazirana su na odmeravanju zapremine fluida koji protie kroz cevovod. Postoje dve osnovne grupe merila. To su klipna merila (4.28) i rotaciona merila (sl. 4.29). Najmasovnije je rotaciono zapreminsko merilo protoka koje se koristi za merenje protkoka vode kod potroaa (sat

9

za vodu). Rotaciono merilo koristi se za merenje protoka tenog goriva kod veih suara u poljoprivredi.

Sl. 4.28. Klipno merilo protoka - prikazana su dva takta merenja (1- klip, 2 cilindar, 3 merni

zasun)

Sl. 4.29. Rotaciono zapreminsko merilo protoka (princip levo, spoljni izgled desno)

1

5. CEVOVODI 5.1 Definicija Cevovodi su sloeni sistemi za transport fluida sastavljeni od strujnih cevi i cevne armature, koji mogu biti spojeni na razliite naine. Cevovodi mogu biti prosti i sloeni. Prosti cevovodi su oni kod kojih se cevi i cevna armatura reaju linijski (jedno za drugim). Kod sloenih cevovoda postoji grananje toka. 5.2. Cevi Cevi se grade od razliitih materijala. U poljoprivrednoj tehnici zastupljen je veliki broj razliitih materijala za cevi: elik, bakar, plastini materijali, sivi liv, guma, armirana guma, platno, kompozitni materijali, azbest, keramika itd. Prenici cevi i debljine zidova su za veinu materijala standardizovani. Cevi se uobiajeno deklariu sa nominalnim prenikom. Naprimer, oznaka NO 32 znai da je u pitanju cev nominalnog otvora od 32 mm. Za manje prenike u praksi je prisutno i oznaavanje u inima, naprimer, 1''. Debljina zida cevi zavisi od predvienog pritiska fluida koji vlada u cevi i od vrste materijala. Postoje standardi za cevi koji definiu debljinu zida cevi u zavisnosti od pritiska, naprimer, oznaka NP 10 oznaava cev, u kojoj je dozvoljeni pritisak 10 bar. eline cevi mogu biti avne i beavne. avne cevi se izrauju oblikovanjem traka i uzdunim zavarivanjem, koje moe biti pravolinijsko i spiralno. Beavne cevi se izrauju izvlaenjem (Manesman postupak). Radi zatite od korozije eline cevi se galvanizuju, najee cinkom pocinkovane cevi. eline cevi koje se polau u zemljite pored antikorozionih premaza mogu da se zatite i elektrinim putem katodna zatita. Deonice cevi se nastavljaju zavarivanjem, lemljenjem, lepljenjem, prirubnikim spojevima, navojnim spojevima ili elementima cevne armature. 5.3. Cevna armatura Cevna aramatura su elementi cevovovoda koji slue za promenu, zatvaranje ili otvaranje protoka, za promenu pravca strujanja, za spajanje deonica cevovoda, za ravanje i druge potrebe. 5.3.1. Cevni zatvarai Cevni zatvarai su: - ventili , - zasuni i - slavine. Ventili su cevni zatvarai koji se konstrukciono karakteriu naleganjem peurke ventila na sedite ventila (sl. 5.1).

Sl. 5.1. Ventil (princip rada levo, presek desno)

2

Zasuni su cevni zatvarai koji se karakteriu pregradom koja se pomera popreno na pravac strujanja (sl. 5.2).

Sl. 5.2. Zasun (presek levo, spoljni izgled desno)

Slavina se karakterie zakretanjem pregradnog elementa. Ova pregrada najee je kugla ili ploa. Kada je pregrada kugla, re je o kuglastoj slavini, a kada je ploa re je o leptirastoj slavini (sl. 5.3).

Sl. 5.3. Slavine (leptirasta levo, kuglasta desno) 5.4.2. Cevno koleno Cevna kolena su elementi cevovoda koji slue za promenu pravca (sl. 5.4). Ovi elementi nazivaju se i lukovi. Najee se izrauju kao kolena 90o ili 135o. Sa cevima se spajaju zavarivanjem, lemljenjem, lepljenjem, prirubnicama, navojnim spojevima i dr.

3

Sl. 5.4. Cevna kolena 5.4.3. Elementi za spajanje cevi Elementi za spajanje cevi su cevni naglavci ("mufovi"), cevni uglavci ("niple") i cevne spojnice ("holenderi"), a kada postoji potreba promene prenika koriste se redukcioni cevni uglavci i naglavci ("reducir") (sl. 5.5, sl.5.6. i sl. 5.7).

Sl. 5.5. Cevni naglavak - muf (levo) i cevni uglavak- dupla nipla (desno)

Sl. 5.6. "Holender" (presek desno, spoljni izgled levo)

Sl.5.7. Cevni elementi za redukciju preseka cevovoda 5.4.4. Ostali elementi cevne armature U ostale elemente cevne armature spadaju rave (sl. 5.8), epovi (s. 5.9), prirubnice, zaptivai, filteri i dr.

Sl. 5.8. Rave

4

Sl. 5.9. epovi 5.4. Proraun cevovoda Analizira se prosti cevovod kroz koji struji tenost, prikazan na slici (sl. 5.10). Uzet je primer, u kome poetna i krajnja taka strujanja imaji isti pritisak. Pored toga, zbog veoma male brzine kretanja nivoa slobodne povrine ova brzina se zanemaruje.

Sl.5.10. Primer prostog cevovoda (C deonice cevi, V ventili, K kolena, R redukcija prenika,

S, slavina, F filter) Ako se napie proirena Bernulijeva jednaina za strujnicu od take 0 do take I dobija se:

+++++++++++=++ 423121122

22 CKCVCKCizlazIII

ooo