74

BAB V

POTENSIAL LISTRIK

Sasaran pembelajaran

Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa di harapkan mampu mencari potensial

pada suatu titik yang diakibatkan oleh muatan titik, muatan yang terdistribusi merata

dalam dalam bentuk 1-D, 2-D dan 3-D untuk benda-benda berbentuk simetri (kawat,

plat tipis, bola).

Mampu menurunkan persamaan curl Maxwell (membuktikan bahwa medan listrik

statis adalah medan irrotasional) dan membuktikan hubungan antara medan listrik

dengan potensial listrik, mampu menurunkan persamaan Posisson dan persamaan

Laplace untuk medan listrik statis.

Deskripsi matakuliah

Bab ini membahas mengenai konsep dasar potensial listrik untuk muatan titikn dan

muatan kontinyu, membuktikan persamaan divergensi Maxwell dan curl Maxwell,

persamaan Posisson dan persamaan Laplace untuk medan listrik statis.

MODUL IV

POTENSIAL LISTRIK

4.1 PENDAHULUAN

Energi potensial gravitasi menyatakan bahwa jika sebuah massa berada pada

ketinggian h akan memiliki energi potensial sebesar mgh. Tetapi bila massa

tersebut bergerak dari tempat yang lebih tinggi ke tempat yang lebih rendah dalam

medan gravitasi bumi, maka akan kehilangan energi potensial. Peristiwa ini

dikatakan bahwa medan gravitasi melakukan kerja pada benda tersebut, sehingga

benda tersebut mengalami percepatan gravitasi bumi karena arah gerak benda

searah dengan arah medan gravitasi bumi (Rao, N.N., 1974).

Tetapi lain halnya bila massa tersebut digerakkan dari tempat yang lebih rendah

ke tempat yang lebih tinggi dalam medan gravitasi bumi, maka dibutuhkan usaha

untuk memindahkan massa tersebut dalam medan gravitasi bumi (medan gravitasi

bumi arahnya selalu menuju pusat bumi) karena dibutuhkan gaya luar yang

melawan arah gaya gravitasi bumi.

75

4.2. BEDA POTENSIAL LISTRIK

Analogi dalam medan listrik statis, andaikan sebuah muatan uji q bergerak di

dalam medan listrik E, jika arah gerak muatan uji searah dengan arah medan listrik,

maka muatan uji tersebut mendapat gaya sebesar qE, sehingga muatan uji

mengalami percepatan dalam medan listrik yang diakibatkan muatan titik tersebut.

Akan tetapi jika sebuah muatan uji q bergerak dalam medan listrik E yang

dihasilkan oleh muatan sumber yang ditempatkan pada pusat koordinat melawan

arah medan listrik E, maka diperlukan usaha W untuk memindahkan muatan uji

tersebut dalam medan listrik dari titik a ke titik b seperti pada gambar (4.1).

Gambar 4.1. Sebuah muatan uji q digerakkan dalam medan listrik E yang

dihasilkan oleh muatan q terletak pada pusat koordinat dari titik a ke

titik b.

Besarnya usaha/kerja yang dilakukan untuk memindahkan muatan uji dari titik a

ke titik b dalam medan listrik melalui lintasan dl dengan arah melawan medan

yang dihasilkan oleh muatan q yang berada pada pusat koordinat, harus

menyediakan energi sebesar :

lElF dqddW ' (4.1)

dengan,

dW adalah perubahan usaha/kerja (Joule), F adalah gaya Coulomb (N), q adalah

muatan yang menghasilkan medan listrik statis (C), E adalah medan listrik statis

(N/C) dan dl adalah elemen lintasan (m). Atau dapat ditulis sebagai

cos'EdlqdW , dan adalah sudut antara medan E dengan dl. Jadi kerja

yang diperlukan untuk memindahkan dari titik a ke titik b adalah :

76

b

a

ab dqW lE' (4.2)

Besarnya usaha dibagi dengan besarnya muatan uji dikenal sebagai beda

potensial listrik antara titik a dan b, sehingga:

(4.3)

Dengan,

Vab adalah beda potensial dari titik a ke titik b

kjil dzdydxd (dalam koordinat kartesian)

krl dzrddrd (dalam koordinat silinder)

rl drrddrd sin (dalam koordinat bola)

Satuan dari beda potensial adalah Newton meter/coulomb atau Joule/Coulomb,

secara umum dikenal dengan nama volt.

Contoh Soal 1 (Rao, N.N., 1974) :

Dalam koordinat kartesian, intensitas medan listrik dinyatakan dengan persamaan:

kjiE xyzxyz

Carilah beda potensial antara titik A(0,22.7,99) dan titik B(1,1,1).

Penyelesaian :

Dalam koordinat kartesian, kjil dzdydxd , sehingga :

kjikjilE dzdydxxyzxyzdV

B

A

B

A

AB

BA

B

A

B

A

AB xyzxyzdxydzzxdyyzdxV ( )

Selama Edl adalah turunan total dari fungsi x, y, z, bukan suatu lintasan khusus

untuk integral antara dua titik tersebut, sehingga VAB hanya bergantung pada

koordinat titik A dan B. Jadi diperoleh potensial antara titik A dan titik B adalah :

b

a

abab d

q

WV lE

'

77

11

99,7

1

7,22

1

0 xyzxyzVB

AAB

Jika suatu muatan titik q terletak di pusat koordinat, kemudian ditinjau pada suatu

titik P berjarak r dari pusat koordinat, maka medan listrik yang dihasilkan oleh

muatan tersebut di titik P pada jarak r tersebut sebesar :

rE2

04

1)(

r

qrP

, sehingga beda potensial antara titik a dan Titik b yang

diletakkan dalam medan listrik statis dengan jarak masing-masing dari pusat

medan ketitik tersebut adalah ra dan rb dapat dihitung untuk setiap lintasan.

Panjang elemen garis vektor dl dalam koordinat bola adalah :

rl drrddrd sin (4.4)

Dengan menggunakan persamaan (4.3), diperoleh :

rrlE

drrddrr

qdV

b

a

b

a

ab sin4

12

0

b

r

rr ar

q

r

qdr

r

qb

a00

2

0 444

1

(4.5)

Persamaan (4.5) menyatakan bahwa perbedaan potensial antara dua titik yang

terlatak dalam medan listrik akibat muatan q hanya bergantung pada jarak dari

muatan ke titik tersebut dan tidak bergantung pada lintasan dari titik a ke titik b.

Sehingga dapat dikatakan bahwa potensial di titik a adalah Va dan potensial di

titik b adalah Vb, jadi persamaan (4.4) menjadi :

a

ar

qV

04 (4.6)

b

br

qV

04 (4.7)

Ruas kanan persamaan (4.4) dapat ditambahkan dengan suatu konstanta

sembarang yaitu C tanpa mengubah nilainya, secara matematis ditulis sebagai :

C

r

qC

r

qV

ba

ab

00 44 (4.8)

78

Sehingga,

Cr

qV

a

a 04

(4.9)

Cr

qV

b

b 04

(4.10)

Jika 004 r

qC

, dengan 0r adalah konstan, maka persamaan (4.8) dan (4.9)

menjadi :

000 44 r

q

r

qV

A

a

(4.11a)

000 44 r

q

r

qV

B

b

(4.11b)

Bandingkan persamaan (4.11a) dengan persamaan (4.5), yang menyatakan

bahwa Va adalah potensial antara titik a dan titik lain yang ditempatkan pada

jarak 0r dari muatan titik, yang disebut dengan titik referensi. Sehingga potensial

di setiap titik dalam medan listrik adalah beda potensial antara titik tersebut

dengan titik referensi sembarang. Tetapi, apakah potensial di titik referensi

tersebut ? untuk menjawab pertanyaan ini yaitu dengan mensubsitusi 0rra pada

persamaan (4.11a) atau 0rrb , sehingga keduanya sama dengan nol. Jadi

potensial pada setiap titik adalah beda potensial pada titik tersebut dengan

potensial di titik referensi sama dengan nol.

Pada kasus muatan titik ini, titik referensi yang sesuai adalah 0r , sehingga :

r

qrV

04 (4.12)

Jadi untuk membawa muatan uji tersebut dari titik takberhingga ke suatu titik

dalam medan listrik pada jarak r dari pusat koordinat atau sebaliknya, maka

potensial pada titik tersebut dapat dinyatakan sebagai :

79

r

r

P ddrV lElE)( (4.13)

Ruas kanan persamaan (4.11) menyatakan medan potensial dari muatan titik.

Yang biasa juga dikenal senagai Potensial Listrik dari muatan titik yang

merupakan medan skalar. Jadi beda potensial antara dua titik yaitu titik a dan

titik b adalah :

b a

ddaVbV0 0

)( lElE

b

a

b

a

dddaVbV lElElE0

0

)( (4.14)

Menurut teorema gradien adalah :

b

a

dVaVbV l)(

Jadi, b

a

b

a

ddV lEl , sehingga hasil integralnya dapat dituliskan

sebagai,

VE (4.15)

Persamaan (4.15) merupakan bentuk differensial dari persamaan (4.13), yang

menyatakan bahwa medan listrik adalah gradien dari potensial skalar.

Bidang permukaan dimana potensial listrik berharga sama di kenal sebagai

permukaan ekipotensial. Permukaan ekipotensial selalu ortogonal dengan garis

medan listrik yang radial kearah luar untuk muatan positif, seperti ditunjukkan

pada gambar 4.2. Hal ini berlaku bukan hanya pada muatan titik tetapi pada

muatan yang terdistribusi merata. Jika suatu muatan uji digerakkan pada suatu

permukaan ekipotensial dari titik ke titik lain pada lintasan tersebut, maka tidak

ada kerja yang dilibatkan.

80

Gambar 4.2. Garis medan (garis tegas) menggambarkan arah medan listrik

sedangkan garis putus-putus adalah ekipotensial.

Jika terdapat banyak muatan titik, maka seperti halnya pada medan listrik pada

potensial listrik juga memenuhi prinsip superposisi untuk menghitung besarnya

potensial di titik P yang diakibatkan oleh semua muatan titik tersebut. Secara

matematis dituliskan sebagai :

(4.16)

Dengan mensubsitusi besarnya medan yang dihasilkan oleh masing-masing

muatan titik tersebut, maka diperoleh persamaan :

n

j j

j

Pr

qV

1 04 (4.17)

Contoh Soal 2.

Carilah potensial listrik di dalam dan di luar kulit bola dengan jari-jari R yang

membawa muatan serba sama pada permukaannya seperti pada gambar 4.3.

Gunakan titik takberhingga sebagai titik referensi (Griffith, D.J., 1999).

Penyelesaian :

P

nP

P

P

dV

dV

lEEE

lE

...21

n

nP

r

q

r

q

r

qV

020

2

10

1

4...

44

Gambar 4.3. Muatan yang terdistribusi merata pada

kulit bola.

81

Dengan menggunakan hukum Gauss, kuat medan di luar bola adalah :

rr

q

4

12

0E

Dengan q adalah total muatan yang terdapat pada kulit bola. Kuat medan listrik

di dalam bola sama dengan nol. Jadi untuk titik di luar bola yaitu r > R adalah :

r

q

r

qdr

r

qdrV

rrr

00

2

0 4

1

4

1

4

1)(

lE

Untuk mencari potensial di dalam bola (r > R), maka integrasi di bagi menjadi

dua bagian yaitu :

R

q

r

qdrdr

r

qrV

rr

R

R

00

2

0 4

10

4

10

4

1)(

Catatan bahwa potensial di dalam bola tidak sama dengan nol, meskipun kuat

medan listriknya sama dengan nol. Potensial konstan di daerah ini, sehingga

0V .

Pada kasus dipol listrik seperti pada gambar 4.3, carilah potensial listrik pada

jarak yang sangat jauh yaitu di titik P dibandingkan dengan jarak antara dipol

yaitu sejauh 2a .

Berdasarkan notasi pada gambar 4.4, maka potensial listrik pada titik P dapat

dituliskan sebagai berikut :

2010 44 r

q

r

qrVP

(4.18)

Untuk r >> d, persamaan (4.16) dapat didekati sebagai,

200 cos4cos4 ar

q

ar

qrVP

Gambar 4.4. Dipol listrik

82

202220 4cos2

cos4

cos2

r

qa

ar

qa

(4.19)

Persamaan (4.17) menjadi benar dalam batas 0d , dengan menganggap

momen dipol qap 2 adalah konstan, sehingga diperoleh medan potensial dari

momen dipol kp p , dituliskan sebagai :

3

0

2

0

2

0 44

4

cos

rr

r

r

prVP

rpp

dengan

r

rr (4.20)

Medan potensial untuk multipol bervariasi yaitu ,..., 5411

rrdari persamaan (4.18),

dicatat bahwa permukaan ekipotensial untuk medan dipol adalah 2/cos r =

kontan, atau sec2r konstan.

4.3. PERSAMAAN CURL MAXWELL UNTUK MEDAN LISTRIK

Andaikan sekarang ditinjau ada dua lintasan yang berbeda berada yaitu ACB

dan ADB ditempatkan dalam daerah dengan medan listrik yang dihasilkan oleh

muatan Q, seperti terlihat pada gambar di bawah ini, maka :

Gambar 4.5. Lintasan tertutup ACBDA berada dalam medan listrik E .

Potensial dari pada lintasan ACB dama dengan potensial pada lintasan ADB,

sehingga dapat ditulus sebagai :

(4.21)

Dengan ,

Persamaan (4.19) dapat diubah menjadi,

ADBACB

dEd llE

rr

Q

4 20E

83

atau ACBDA

d 0lE (4.22)

Jika terdapat beberapa muatan titik atau muatan kontinyu, maka dapat digunakan

prinsip superposisi, sehingga untuk setiap medan listrik statis E secara umum

dapat ditulis sebagai :

(4.23)

Persamaan (4.22) menyatakan bahwa intergral disepanjang lintasan tertutup

sembarang akan sama dengan nol.

Apabila kedua ruas persamaan (4.22) dikalikan dengan muatan uji 'q , maka

diperoleh:

0' ldEq

(4.24)

Persamaan (4.23) menyatakan bahwa kerja kerja yang dilakukan untuk

menggerakkan muatan uji di sepanjang lintasan tertutup dalam pengaruh medan

listrik statis akan sama dengan nol. Pernyataan ini merupakan pernyataan

Hukum Kekekalan Energi dalam elektrostatis. Semua vektor medan yang

memenuhi sifat ini dikenal sebagai medan konservatif.

Dari definisi vektor curl, diperoleh bahwa :

(4.25)

Dengan S adalah luasan yang di batasi oleh lintasan tertutup C dan n adalah

vektok normal luasan. Karena 0lE d , maka persamaan (4.23) menjadi :

0 E (4.26)

Persamaan (4.24) adalah persamaan Curl Maxwell untuk medan listrik statis. Ini

menyatakan bahwa curl dari vektor medan listrik statis dimanapun sama dengan

nol. Semua vektor medan yang memenuhi sifat ini dikenal dengan medan

irrotasional.

0

0

BDAACB

ADBACB

dd

dd

lElE

lElE

0lE d

n

lE

E lim0 S

dC

s

84

Jadi sifat medan listrik statis memenuhi dua persamaan yaitu :

1. 0

E , merupakan persamaan divergensi Maxwell (4.27)

2. 0 E , merupakan persamaan curl Maxwell. (4.28)

4.4. HUBUNGAN ANTARA MEDAN LISTRIK DAN POTENSIAL

Ternyata medan listrik E adalah medan yang mempunyai sifat khusus yaitu curl

dari sebuah vektor sama dengan nol 0E . Ini berarti bahwa medan listrik

statis E merupakan medan vektor yang dapat dinyatakan sebagai gradien dari

suatu medan skalar (Rao,N.N.,1974), jika VE , maka 0 V . Dari

persamaan (4.15), dapat dikatakan bahwa vektor medan listrik statis E dapat

dinyatakan sebagai negatif gradien dari suatu fungsi skalar sembarang misalkan

V , dan dengan mensubsitusi persamaan (4.15) ke dalam persamaan divergensi

Maxwell (4.27) untuk medan listrik statis, diperoleh :

0

)(

V (4.29)

V

adalah Laplacian dari V yang dinotasikan sebagai V2 , sehingga

diperoleh persamaan,

0

2

V (4.30)

Persamaan (4.30) dikenal sebagai persamaan Poisson. Ini merupakan

persamaan differensial yang menghubungkan potensial pada suatu titik dari

suatu rapat muatan dalam suatu volume. Jika rapat muatan dalam daerah

tersebut nol, maka persamaan (4.30), menjadi :

02 V (4.31)

Persamaan (4.31) dikenal sebagai persamaan Laplace dari potensial listrik

statis.

85

4.5. POTENSIAL DISTRIBUSI MUATAN

Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik, tetapi muatan

tersebut terdistribusi kontinyu dalam bentuk tertentu yang simetri berupa garis,

lempengan tipis, atau berupa bongkahan misalkan : silinder dan bola bermuatan

yang memiliki volume tertentu seperti pada kasus medan listrik. Maka potensial

listrik untuk muatan terdistribusi merata tersebut adalah :

1. Potensial oleh muatan berbentuk garis (1 Dimensi) adalah :

C

Pr

dlV

04

1

(4.19)

adalah rapat muatan garis yaitu total muatan persatuan panjang garis dan

ld adalah elemen garis.

2. Potensial oleh muatan berbentuk plat tipis (2 Dimensi) adalah :

C

Pr

dV

A

04

1 (4.32)

adalah rapat muatan luas yaitu total muatan persatuan luas permukaan

dan Ad adalah elemen luasan.

3. Potensial oleh muatan berbentuk bola, silinder ( 3 Dimensi), adalah :

C

Pr

dVV

04

1 (4.33)

adalah rapat muatan volume yaitu total muatan persatuan volume dan dV

adalah elemen volume.

Contoh Soal 3.

Carilah potensial listrik dari muatan yang tersebar merata dalam kulit bola yang

berjari-jari R, seperti pada gambar 4.6, (Griffith, D.J., 1999):

86

Penyelesaian :

Kasusnya sama dengan contoh soal 2, tetapi kasus sekarang harus menggunakan

persamaan (4.20) yaitu :

C

Pr

dV

A

04

1

Dengan menggunakan hukum kosinus dalam trigonometri untuk menyatakan r

dalam koordinat polar dengan sudut , maka diperoleh :

'cos2222 RzzRr dan Ad adalah elemen luasan pada bola yaitu

'''sin2 ddRd A , jadi :

'cos2

'''sin4

22

2

0

RzzR

ddRzVP

''cos2

'sin2

022

2

dRzzR

R

0

22

2

2 )'cos21

(2 RzzRR

R

RzzRRzzRz

R22

2 2222

22 )()(2 zRzRz

R

Untuk titik-titk di luar bola, z lebih besar dari R dan RzzR 2 ; untuk

titik-titik yang ada di dalam bola, zRzR 2 . Sehingga ,

Gambar 4.6. Muatan tersebar merata pada kulit

bola dengan jari-jari R.

87

z

RRzzR

z

RzV

0

2

02

; potensial di luar bola;

002

RzRzR

z

RzV ; potensial di dalam bola.

Jika total muatan pada kulit bola, 24 Rq , zqzV /4

1

0

, atau secara

umum dapat dituliskan sebagai :

r

qzV

04

1

; untuk titik di luar bola,

R

qzV

04

1

; untuk titik di dalam bola.

Soal-soal latihan :

1. Berapa besar potensial listrik pada permukaan inti emas jika jari-jari inti emas 6,6 x

10-15

m dan nomer atomnya Z = 79.

2. Berapakah besarnya potensial di pusat sebuah segiempat kuadratis dari Gambar 9,

jika diketahui q1

= +1 x 10-8

C, q2

= -2 x 10-8

C, q3

= +3 x 10-8

C, q4

= +2 x 10-8

C

dan a = 1 m.

3. Carilah potensial listrik di dalam dan di luar bola pejal dengan jari-jari R dengan

total muatan adalah q. Gunakan titik takberhingga sebagai titik referensi.

Hitunglah gradien dari potensial dalam masing-masing daerah dan periksa

hasilnya apakah benar.

88

4. Gunakan persamaan (4.17) dan (4.33) untuk menghitung besarnya potensial

listrik pada jarak z di atas pusat distribusi muatan seperti pada gambar di bawah

ini. Pada masing-masing kasus gambar (a), (b) dan (c), hitung pula VE

(Griffiths, D.J., 1999).

5. Ujilah bahwa persamaan (4.20) memenuhi persamaan Poisson dengan

menerapkan Laplacian dan gunakan )(41 32 rr

.

6. Buat ringkasan dengan benar.

Umpan Balik

1. Mahasiswa harus menyelesaikan semua yang ada secara benar dan memahami arti

fisis semua parameter yang berkaitan dengan permasalahan

2. Bila hanya mampu menyelesaikam sebagian dari soal yang tersedia (kurang 40%).

Mahasiswa harus mengulang materi bab ini sampai mahasiswa mampu

menyelesaikannya secara keseluruhan dan benar.

Kunci Jawaban.

1. VoltxV 7107,1

2. VoltV 500

3. Lihat Griffiths, D.J., 2004 halaman 28.

4. Griffiths, D.J., 2004.

(a). 2

2

20

2

4

1

dz

qV

(b).

zLzL

xzxxz

dxV

L

L

L

L

22

0

22

022

0

ln4

ln44

1

(a) (b) (c)

89

(c). zzRV 2202

Daftar Bacaan.

1. Griffiths, D.J., 1999, Introduction of Electrodynamics, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey.

2. Griffiths, D.J., 2004. Introduction of Electrodynamics-Solution, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey.

3. Rao, N.N., 1974 Basic Electromagnetics with Application, Prentice Hall of India, New Delhi.