BabIV PerhitunganProbabilita

KAT A KUNCI

Kombinasi: adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atauobyek yang berbeda-beda sebanyak j dari obyek sebanyak n dimana urutan pengaturan tidak dipermasalahkan.Permutasi: adalah suatu pengatum atau urutan beberapa elemen atau obyek yang berbeda-beda sebanyak j dari obyek sebanyak n dimana urutan pengaturan suatu hal yang penting.Probabilita suatu kejadian: adalah jumlah kejadian yang terjadi dibagi dengan seluruhjumlah kejadian yang mungkin terjadi.Pengambilan sam pel dengan pengembalian: adalah metode pemilihan sampel dimanasalah satu anggota yang telah dipilih dikembalikan lagi ke populasi dan dengan demikiandapat dipilih kembali.Pengambilan sam pel tanpa pengembalian: adalah suatumetode pemilihan sampel dimanasatu anggota yang telah terpilih tidak dikembalikan lagi pda populasinya dan dengandemikian tidak dapat dipilih lagi.

INTERPRETASIPROBABILITA

Apa sebenamya probabilita itu? Ini adalah suatu pertanyaan yang rumit.

Pemyataan iniperlu dipertimbangkan, "Jika kita melemparkan sebuah mata uang, makakemungkinan munculnya sisi H adalah 1/2." Apa arti pemyataan ini? Ini adalah pertanyaanfilosofis yang juga sulit. Menul1,ltpandangan frekuensi relatif tentang probabilita adalah:pemyataan itu berarti bahwa kemungkinan terjadinya kejaedian H dalam pelemparan matauang adalah mendekati 112jika anda melakukan pelemparan berkali-kali dalamjumlah yangbesar.

Pandangan yang bersifat subyektif menyatakan bahwa probabilita adalah estimasi yangdilakukan oleh seorang individu tentangkemungkinan kejadian yang akan terjadi. Dalam halini dua orang individu mungkin mempunyai estimasi probabilita yang berbeda.

Asumsi yang digunakan adalah bahwa kita mengerti arti dari pemyataan, "Dari suatupelemparan mata uang kemungkinan terjadinya kejadian H adalah 1/2." Jika ini benar makakita dapat menghitung probabilita untuk pelemparan mata uang berkali-kali.

40

--- - ---

RUANG PROBABILITAS (PROBABILITY SPACES)

Sekarangkita akan membentuk metode fonnal dalam menentukan probabilitas denganpercobaan acak (random). Pertama-tama kita akan membuat daftar semua kemungkinan hasildari percobaan yang kita lakukan. Kita akan menggunakan teknik nama himpunan untukdaftar hasil ini. Himpunan juga nama fonnal untuk menyatakan sekumpulan obyek. Berikutini beberapa contoh himpunan:

(Singapura, Philipina, Indonesia, Brunei){Surabaya, Bandung, Semarang, Yogyakarta, Jakarta, Palembang, Medan, Padang}{1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua metode. Kita dapat menggunakan metodemembuat daftar seperti yang kita lakukan di atas. Kita hanya menuliskan semua anggotahimpunandalamsuatutandakurung:{ }.Dengan demikianjelasapayangtennadukdalamanggota himpunan dan apa yang bukan anggota himpunan.

Himpunan juga dapat didefinisikan dengan membuat suatu aturan yang jelas yangmenerangkan apa yang menjadi anggota himpunan. Misalnya, himpunan di atas dapatdidefinisikan dengan suatu aturan sebagai berikut:

· himpunan negara-negara Asean· himpunan ibu kota-ibu kota Propinsi di Pulau Jawa dan Pulau Sumatera.· himpunan semua kemungkinan hasil pelemparan dadu.

Dalam himpunanyangkedl, metodependataan(penulisan)dan metodedenganmembuatsuaSu aturan cukup baik. Tetapi bila himpunan itu merupakan himpunan yang anggotanyabanyak maka metode dengan membuat suatu aturan (rule method) akan bekerja lebih baik.Sebagai contoh, akan sangat sulit untuk mendata semua anggota himpunan-himpunan ini:

· himpunan semua anggota dari 1 sampai 1juta· himpunan semua kemungkinan hasil pelemparan mata uang kemungkinan hasil darisuatu percobaan. Himpunan ini disebut ruang probabilitas (probability space) ataukadang-kadangjugadisebut ruang sampel (sample space).Di bawahini beberapaconothdari ruang probabilitas:· percobaan: pelemparan mata uang satu kaliruang probabilita: {H,T}

· percobaan: pelempran mata uang tiga kaliruang probabilitas: {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, TTT}

· percobaan: pelemparan dadu satu kaliruang probabilitas: {I, 2, 3,4, 5, 6}

· percobaan: pelemparan dadu dua kaliruang probabilitas: {(1,1)(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

41

- ---

. percobaan probabilitas: {as jantung, as berlian, as sekop, as keriting, dua jantung,dua berlian, dua sekop, dua keriting, dsb. }

(ada 52 e1emenyang yang harns ditulis di dalamnya).

Untuk menghindari kebosanan menulis ruang probabilitas, kadang-kadang kitamenggunakan huruf S (short for space) untuk menyatakan ruang probabilitas.

Satu hal yang penting bahwa setiap kemungkinan hasil dari suatu percobaan harnsjugadimasukkan ke dalam ruang probabilitas. Kita menggunakan s kecil untuk menyatakan totalhasildalarnruangprobabilitas s. Seperticontohdi atas,ruangprobabilitapertama mempunyaidua kemungkinan hasil dan yang lainnya mempunyak 8, 6, 36 dan 52 hasil, dan kitamengasumsikanbahwa setiaphasil adalahsarna.Kemudian,bilaadashasil, makaprobabilitassetiap hasil adalah 1/s.

Sekarang kita akan menggunakan ruang probabilita untuk memecahkan masalah yangpraktis. Anggaplah kita sedang bermain monopoli, dan kita sedang berada di Brastagi. Kitaingin memiliki suatu tarnan, dan itu kita harns berjalan sejauh tujuh langkah. Seperti yangtelah kita ketahui bahwa ada 36 kemungkinan hasil bila kita menggelindingkan dua buahdadu. Untuk mendapatkan nilai 7 ada beberapa kemungkinan yaitu (1,6) atau (2,5) atau (3,4)atau (4,3) atau (5,2) atau (6,1). Kita dapat meletakkan semua hasil tersebut dalarn suatuhimpunan. Kita selalumenggunakanhurufbesar untuk menyatakan suatuhimpunan,dan kitamenyatakan himpunan ini sebagai himpunan A.

A ={ (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,2) }

Kita juga dapat mendefinisikan himpunan A dengan menggunakan metode kaidah (rulemethod): himpunan A adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari penggelindingan duadadu dimana jumlah mata dadu yang dihasilkan adalah 7.

Himpunan A mempunyai anggota sebanyak 6. Jika kita menggelindingkan dua buah dadu,kita akan mempunyai kesempatan yang sarna untuk mendapatkan satu dari 36 kemungkinan hasil.Dari kasus di atas kita dapat mengetahui probabilitas untuk mendapatkan jumlah dua mata dadusenilai 7, yaitu 6/35 = 1/6.

Himpunan A adalah suatu contoh dari apa yang dinamakan kejadian. Kejadian adalahsuatu himpunan yang beranggotakan sekumpulan hasil. Dalarn kasus kita.(1,6), (2,5) (3,4),(4,3), (5,2) dan (6,1) adalah satu kelompok hasil, dan himpunan { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2)(6,1) } merupakan suatu kejadian.

Suatu kejadianjuga dapat didefinisikan sebagai himpunan bagian dari ruang probabilitas.Himpunan bagian adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan sebagian anggota(atau keseluruhan anggota) dari himpunan lain. Jika himpunan A merupakan himpunanbagian dari himpunan S, maka setiap hasil dalam himpunan A merupakan anggota darihimpunan S. Berikut ini adalah beberapa contoh himpunan bagian:

. Himpunan: semua orang yang tinggai di Propinsi Jawa Barat.Himpunan bagian: semua orang yang tinggal di kota Bandung.

42

· Himpunan: semua Sinetron TVRI.· Himpunan bagian: {Aksara Tanpa Kata, Kedasib, Dokter Sartika, Losmen}· Himpunan: Semua bilangan kurang atau samadengan 10: {1,2,3,}

Himpunan bagian: semua bilangan ganjil kurang dari 10· Himpunan: semua kemungkinan basil dari peoemparan sebuab mata uang sebanyaktiga kali· Himpunan bagian: semuakemungkinan basil terjadinya kejadian munculnya satu H daripelemparan mata uang sebanyak tiga kali: {HTT, THT, TTH}

YANG HARUS DIINGA T

1. Probabilitasdapat diinterpretasikanmenurutpandanganfrekuensirelatif ataupandangansubyektif.

2. Suatu himpunan dapat didefisinikan dengan membuat daftar semua anggotanya ataudengan membuat suatu aturan yang menjelaskan anggota dari bimpunan tersebut.

3. Himpunan semua kemungkinan basil dari suatu percobaan disebut ruang probabilitas.4. Apa yang terjadi dari suatu percobaan disebut basil.5. Menurut pendekatan klasik, probabilitas dari setiap basil cenderung sarna.

PROBILITASSUATU KEJADIAN

PROBABILIT A SUATU KEJADIAN AKAN TERJADI

Pertama-tama kita barns mengbitung semua basil dan menyatakannya dalam A.Katakanlah N (A). (dibaca jumlah kejadian A) fugat s adalah jumlah semua kemungkinanbasil dalam ruang probabilita S. Dengan demikian definisi probabilita:

N(A)Probabilita kejadian A terjadi adalah

s

Dengan kata lain, kita mengbitung jumlab semua kejadian A yang terjadi dankemudian dibagi denganjumlah semuakemungkinan basil. Untuk mempersingkat penulisan"Probabilita kejadia A terjadi", kita menggunan Pr untuk menyatakan probabilita, danmenulisnya sebagai berikut:

Pr (A) berarti "probabilitas terjadinya kejadian A".

Sebingga menjadi:

N(A)Pr(A) =

s

43

CONTOH SOAL PENENTUAN PROBABILIT AS SUATU KEJADIAN

SOALBeberapa probabilita munculnya satu sisi H dalam pelemparan sebuah mata uang

sebanyak tiga kali?

PENYELESAIAN

Dalarn kasus ini ada 23 = 8 kemungkinan hasil, sehingga s=8. Hasil dari kejadianmunculnya satu sisi H adalah (HIT, THT, ITH). Jadi bila A adalah kejadian munculny satukali H dalam tiga kali pelemparan mata uang, maka N(A) =3. Sehingga Pr(A) =3/8.

SOAL

Beberapa probabilita mendapatkanjumlah mata dadu 5 dari pelemparan dua buah dadu?

PENYELESAIAN

Ada 36 kemungkinan hasil, sehingga s = 36. B adalah kejadian mendapatkan mata daduberjumlah 5 dari pelemparan dua buah dadu, sehingga B berisi empat hasil yaitu:

B ={ (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) }Dengan demikian N(B) =4, sehinggaPr(B) =4/36

=1/9

SOAL .

Berapa probabilita mendapatkan kartu as jika kita mengarnbil satu kartu dari kocokan?

PENYELESAIANDari kasus ini ada 52 kemungkinan hasil, sehingga s =52. C adalah kejadian untuk

mendapatkan satu kartu as. Jumlah hasil C adalah 4 yaitu:

{as jantung, as berlian, as sekop, as keriting}Sehingga N(C) =4, danPr(C)= 4/52= 1/13

Untuk kejadian khusus. Misalnya kita akan mengukur probabilitas terjadinya kejadianS. Ingatlah bahwa S beranggotakan semua kemungkinan hasil dari suatupercobaan. Denganmenggunakan formula di atas:

N(S) s

Pr(S) = -s s

Hasil sangat jelas yaitu probabilitas adalah 100 persen kejadian ini akan terjadi.

Kemungkinan kejadian lain adalah suatuhimpunan tidak mempunyai anggota,jadi hasildari suatu kejadian adalah nol (=tidak ada). Dalarn kasus ini anda harus yakin bahwaprobabilita terjadinyakejadian ini adalahno!.Himpunan ini sering disebuthimpunan kosong,karena tidak mempunyai anggota sarna sekali.

Sehingga: Pr(himpunan) = 0

44

Himpunan kosong sering dilambangkan dengan nol yang diberi tanda miring (slash =/)yaitu: ~. Dengan demikian kita dapat mengatakan:

Pr(~) =0

PROBABILIT A SUATU KEJADIAN TIDAK TERJADI

Kadang-kadang kita ingin mengetahui probabilita bahwa suatu kejadian tidak terjadi.Misalnya dalam permainan monopoli. Anggaplah kita sedang berada di daerah TangkubanPerahu dan lawan kita mempunyai hotel di sekitar tempat kita berada. Dalam kasus ini kitaingin mengetahui probabilita untuk tidak mendapatkan 7. Sudah dijelaskan di atas bahwakemungkinan untuk mendapatkan 7 adalah 1/6, sehingga kemungkinan untuk tidakmendapatkan 7 adalah 5/6. Kasus ini dapat diperagakan sebagai berikut:

A adalah kejadian untuk tidak mendapatkan 7. Dalam kasus ini ada 30 hasil yaitu:

( (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,4) (4,5) (5,5) (5,6)

(5,1) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

Dengan demikian N(A) = 30, dan Pf(A)= 30/36= 5/6. Secaraumumjika p adalahprobabilita kejadian A terjadi, maka 1- p adalah probabilita kejadian itu tidak terjadi.

Kita akan memberikan nama khusus untuk himpunan hasil yang bukan himpunan A.Himpunan ini disebut komplemenA, dan biasa ditulis Ac (hurnf menunjukkan komplemen,simbol tersebut dibaca "Komplemen A"). Jadi:

Pf (N) = 1 - Pr(A)

Berikut ini adalah beberapa contoh komplemen:

· Jika percobaan adalah pelemparan mata uang, dan A adalah kejadian untuk mendapatkansisi H, maka ACadalah kejadian untuk mendapatkan sisi satunya lagi yaitu sisi T.· Jika percobaan adalah pelemparan empat mata uang, dan B adalah kejadian untukmendapatkan sisi H sebanyak 4, maka BCkejadian untuk mendapatkan paling tidak satuT

· Jika total himpunan adalah himpunan dari 52 buah kartu, dan R adalah kejadian untukmendapatkan satu buah kartu berwarna merah, maka RC adalah kejadian untukmendapatkan kartu hitam.· Jika total himpunan adalah himpunan pemain bulutangkis dan A adalah himpunan {Susi,Ardi}, maka ACadalah semua pemain bulutangkis yang bukan berasal dari Indonesia.

45

- -

PROBABILITAKESATUAN(UNION)

Anggaplah kita sedang bennain monopoli, dan kita sedang berada di North CarolinaAvenue, kemudian kita ingin mengetahui probabilita kita mendapatkan 5 atau 7. Ini seringterjadi dalam probabilita bahwa kita ingin mengetahui probabilita untuk mendapatkan satudari dua kejadian itu terjadi. Bila A adalah kejadian untuk mendapatkan 7, maka A akanmempunyai anggota:

{ (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }

B adalah kejadian untuk mendapatkan 5, maka B akan mempupyai anggota:

{ (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) }

C adalah kejadian untuk mendapatkan 5 atau 7, maka C akan mempunyai anggota:

{ (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }

Jumlah hasil kejadian C adalah 10, maka Pf (C) =10/36

Himpunan seperti himpunan C di atas mempunyai nama khusus yaitu himpunankesatuan (union). Dalam kasus ini C adalah gabungan (gabungan) dari himpunan A dan B.Dalammatematikakatakesatuan diberilambang(simbol)denganlambangsepertimenyerupaihuruf u: V. Sehingga kita dapat menulis C sebagai berikut:

C =A union A

C=AVB

atau

Berikut ini adalah beberapa contoh kesatuan (union):

. A adalah himpunan bilangan genap. B adalah himpunan bilangan ganjil. Maka A V Badalah himpunan semua bilangan.

. Jika V adalah himpunan huruf vokal dan C adalah himpunan huruf konsonan, maka VV C adalah himpunan semua huruf.

. Jika A adalah himpunan {AH, KH, QH, JH, 1OH}dan B himpunan {QH, JH, 1OHY, 9H,8H}, maka A V B adalah {AH, KH, QH, JH, 10H,9H, 8H}Ada hal yang dari menarik percobaan dua buah dadu. Kita telah menghitung bahwa

Pr(A) =6/36, Pr(B) =-4/36dan Pf (A VB) adalah 10/36.Dari sini dapat kita lihat bahwa kitahanya tinggal menambahkan probabilita dua kejadian itu untuk mendapatkan probabilitaskejadian bahwa satu dari dua kejadian itu akan terjadi. Kasus ini dapat difonnulasikansebagai berikut:

Pf (A) atau B) =Pf (A V B) =Pf(A) + Pf(B)

Tetapi hal ini hanya akan terjadi jika tidak ada kemungiinan bahwa kejadian A dan Bterjadi dalam waktu yang bersamaan. Misal kita melakukan pelemparan sebuah mata uang

46

sebanyak dua kali. probabilita untuk mendapatkan sisi H dalam pelemparan yang pertamaadalah 1/2dan pada pelemparan keduajuga 1/2,maka probabilita untuk mendapatkan sisi Hpada pelemparan pertama ataupelemparan kedua adalah 1/2+ 1/2=1.jelaslah bahwa hal initidak dapat dimasukkan dalam kasus ini. pada contoh pelemparan dua buah ddu kita dapatmenggunakan formula sederhana di atas karena tidak ada kemungkinan kita mendapatkan 5dan 7 dalam pelemparan tunggal sepasang dadu. Kejadian tersebut tidak dapat terjadibersama-sama sehingga disebut disjoint events.

PROBABILITA DARIIRISAN (INTERSECTION)

Sekarang kita akan menekankan pada dua kejadian yang dapat terjadi bersama-sama.Anggaplah anda mengambil satu kartu dari kocokan dan anda ingin mengetahui probabilitasmendapatkan kartu wajah merah yaitu kartu merah jack, queen, dan king. Katakanlah Fadalah kejadian untuk mendapatkan kartu wajah, maka anggota F adalah:

{JH, JD, JC, JS, QH, QD, QC, KH, KD, KC, KS}

dimana:J=jack, Q=queen, K=king, D=diamon, C=c1ubs,H=hearts dan S=speedesN(F) = 12, maka probabilitas untuk mendapatkan kartu wajah adalah 12/52.R adalah kejadian untuk mendapatkan kartu merah, maka anggota R adalah:

{AH, 2H, 3H, 4H, 5H, 6,H, 8,H, 9H, IOH, JH, QH, KH,AD, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, lOD, JD, QD, KD}

R mempunyai anggota sebanyak 26, maka Pr (R) = 26/52 = 1/2.

C adalah kejadian yang merupakan gabungan dari kejadian F dan R. Dengan kata lainC adalah kejadian untuk mendapatkan kartu merah dan kartu wajah. Hasil dari kejadian C ada6 yaitu:

{JD, JH, QD, QH, KD, KH}

Dengan demikian, Pr(C) =N(C)/s =6/52.

Nama khusus untuk himpunan yang elemennya adalah anggota dari dua buah himpunandisebut irisan (intersection). Seperti contoh di atas, himpunan C adalah irisan dari himpunanF dan himpunan R. Simbol dari irisan adalah kebalikan dari simbol union: (I. Sehinggacontoh di atas dapat kita tulis:

C =himpunan yang elemenya anggota himpunan A dan BC =irisan A dan B, atauC=ANB

Berikut ini adalah beberapa contoh irisan:

· Jika V adalah himpunan huruf vokal dan C adalah himpunan huruf konsonan, maka V(I C adalah {y}.

47

---

· Jika A adalah himpunan 5 kartu yang berada di tangan dan B adalah himpunan 5 kartuyang berada di tangan dan B adalah himpunan 5 kartu yang sarna, maka A n B adalahhimpunan yang anggotanya 5 kartu yang sarna seperti yang berada di tangan.· Jika anda melemparkan sebuah mata uang sebanyak dua kali, dan A adalah kejadianmendapatkan H pada pelemparan pertama dan B adalah kejadian mendapatkan sisi hpada pelemparan kedua, maka A n B adalah {HH}.

Oalam irisan dua kejadian tidak adaformula khusus untukprobabilitas, tetapi dalam BabV akan membahas formula yang kadang-kadang digunakan. Saat ini kita hanya menjumlahhasil dari irisan kemudian menghitung probabilitasnya secara langsung.

Jika dua kejadiantidak dapat terjadisecarabersamaan (merupakandisjointevents), makairisan dari dua himpunan itu merupakan himpunan kosong. Sebagai contoh, kita tidak akanmendapatkan sisi H dan sisi T pada satu pelemparan mata uang, sehingga jika H =kejadianuntuk mendapatkan sisi H dan T =kejadian untuk mendapatkan sisi T, maka Pr (H dan T) =Pr (H n T) =O.Jika A dan B saling meniadakan (disjoint), maka A N B = 0 dan Pf (A n B)=0.

Sekarang kita memperhatikan kemungkinan kita mendapatkan sebuah kartu wajah atausebuah kartu merah bila kita mengambil satu kartu dari kocokan. Jika F adalah kejadianmendapatkan sebuah kartu wajah, dan R adalah kejadian untuk mendapatkan sebuah kartumerah, maka:

Pf (F atau R) =Pr (F U R)

Kita tidak dapat menggunakan formula Pr (F) + Pr (R), karena kedua kejadian itu dapat terjadisecara bersama-sama. Kita akan membuat daftar hasil dari FUR:

{AH, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, IOH, JH,QH, KH, JC, QC, KC, AO,20, 30,40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, JO, QO, KO, JS, QS, KS}

Keseluruhannya ada 32 hasil, sehingga:

Pr (F atau R) = Pr (F U R) = 32/52

Sekarang kita dapat membuat formulasi umum untuk probabilitas dari A U B. Kita tahubahwa :

N(A) = (semua hasil kejadian A tetapi tidak termasuk dalam kejadian B) +(semua hasil kejadian yang temasuk dalam kejadian A dan kejadian B).

= (semua hasil kejadian B tetapi tidak termasuk dalam kejadian A) +(semua hasil kejadian yang temaduk dalam kejadian A dan kejadian B).

N(B)

48

Jika kita menjumlahkan N(A) dan N(B), maka kita akan mendapatkan:

N(A) + N(B) = (semua hasil kejadian A tetapi tidak termasuk dalam kejadian B) +9semua hasil kejadian B tetapi tidak termasuk dalam kejadian A) + (2(semua hasil kejadian yang termasuk dalam kejadian A dan kejadian B).

Tetapi kita mengetahui jumlah hasil dari A U B adalah:N(A U B) = (semuahasilkejadianAyangtidaktermasukdalamkejadianB)+(semua

hasil kejadian B yang tidak termasuk dalam kejadian B\A) + (semuahasilkejadian yang termasuk baik dalam kejadian A maupun kejadian B).

Bila kita menjumlahkan N(A) dan N(B) begitu saja, maka kita menghitung hasil (A UB) dua kali. Sehingga bila kita ingin mendapatkan hasil dari A U B, kita harns mengurangiN (A « B) seperti berikut :

N(A U B) =(N (A) + N(B) - N(A n B)

Sehingga,

Pr (A atau B) =Pr (A) + Pr (B) - Pr (A n B)

Atau ditulis secara matematis:

Pr (A UB) =Pr(A) + Pr (B) - Pr (A N B)

CONTOH SOAL PROBABILIT AS KESA TUAN (UNION)

SOAL

Dalam permainan backgammon, anda ingin mengetahui probabilitas bahwa anda akanmendapatkan mata dadu yang berjumlah 8 atau mendapatkan mata dadu yang kembar.

PENYELESAIAN

Misalnya, EI adalah kejadian untuk mendapatkan mata dadu berjumlah 8, maka:

EI = { (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) }Pr (El) = 5/36

E2 adalah kejadian mendapatkan dua mata dadu yang kembar, maka :

E2 = ( (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)Pr(E2) = 6/36

Duakejadian inibukan merupakan kejadian yangdisjoint,karena andadpatmemperolehmata dadu yang berjumlah 8 danjuga mata dadu yang kembar, yaitu (4,4). maka (EI N E2)adalah kejadian untuk mendapatkan (4,4) dan mempunyai probabilita 1/36. Sekarang kitadapat menggunakan formula seperti di atas:

Pr (mendapatkan mata dadu berjumlah 8 atau kembar)

49

- -

= fr (~l "HUI~,);; pr (E1)t Pr (B,) -Pr (Bl dan BZ)= 5/36 + 6/36 - 1/36 = 10/36

SOAL

Berapa probabilitas kita mendapatkan paling tidak satu dadu bermata 6 daripenggelindingan dua buah dadu?

PENYELESAIAN

Misalnya, E1adalahkejadian mendapatkandadu bermata 6 pada dadu yangpertama danE2 adalah kejadian mendapatkan dadu bermata 6 pada dadu kedua. Kemudian kejadianbahwaakanmendapatkanpalingtidaksatudadubemata6 adalahEl u E2.Kita tahu bahwaPr (El) =Pr (E2) == 1/6.Jika El (I E2 adalahkejadianmendapatkandadubermata6 daripenggelindingan dua dadu tersebut, maka probabilitas hal itu terjadi adalah 1/36. Dengandemikian kita dapat menggunakan formula seperti di atas:

Pr (El u E2) == Pr (El) + Pr (E2) - Pr (El (I E2)== 1/6 + 1/6 - 1/3 == 11/36

YANG HARUS DIINGAT

1. Jika ada s hasil, danjika adaN(A) hasil kejadian A, maka probabilitakejadian A terjadiadalah:

N(A)Pr(A) ==

s

2. Jika A dan B adalah dua kejadian yang bersifat disjoint (tidak dapat terjadi bersama-sama), maka probabilita terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah:

Pr(A atau B) == Pr (A) + Pr (B)

Dengan kata lain: perhitungan probabilita satu dari dua kejadian yang bersifat disjointterjadi adalah sederhana yaitu hanya menjumlahkan probabilitas dua kejadian tersebut.

3. Jika A dan B tidak bersifat disjoint, maka:

Pr (A atau B) ==Pr (A) + Pr (B) - Pr (A dan B)

PRINSIP PERKALIAN

Bila kita mempunyai sebuah himpunan, maka probabilitas kejadian A terjadi adalah:

N(A)Pr (A) ==

s

50

dimana N(A) adalah jumlah hasil kejadian A dan s adalah jumlah total kemungkinanhasil. lni berarti bahwajika kita dapat menentukan duajumlah ini yaitu N(A) dan s kita dapatmenghitung probabilitas secara langsung. Bagian probabilitas yang perlu diperhatikansehubungan dengan kejadian adalahjika hasil dari suatu kejadian itu tidak banyak maka kitadapat menuliskan daftarnya. Tetapi bila hasil sedemikian besar maka kita tidak mungkinmembuat daftar hasil dari suatu kejadian.

Anggaplah kita ingin memilih satu mobil, warna mobil yang tersedia ada 4 yaitu: merah,bim, hijau dan kuning. Kita tertarikpada 3tipe yang berbeda yaitu4 pintu, 2pintu dan wagon.Ada berapa tipe mobil yang akan kita pertimbangkan? Kita dapat menuliskan daftarnya:

merah - 4 pintu, merah - 2 pintu, wagon merahbim - 4 pintu, bim - 2 pintu, wagon bimhijau - 4 pintu, hijau -2 pintu, wagon hijaukuning - 4 pintu, kuning - 2 pintu, wagon kuningTerdapat 12 kemungiinan tipe, yaitu 12=3 x 4

Kita akan membuat pernyataan umum tentang prinsip ini. Anggaplah kita sedangmelakukan dua percobaan. Percobaan pertama akan menghasilkan akemungkinan hasil, danpercobaan kedua menghasilkan b kemungkinan hasil, dan anggaplah berbagai kombinasidari dua hasil dapat terjadi. Maka total jumlah hasil dari dua percobaan itu adalah:

axb

Hasil ini disebut prinsip perkalian. Di bawah ini adalah beberapa contoh yangmencerminkan prinsip perkalian:

· Jika andamelemparkandua amtauang, setiappelemparan mempunyaidua kemungkinanhasil, jadi total kemungkinan hasil adalah 2 x 2 =4.· Andaikan anda melemparkan dua buah dadu. Satu dadu mempunyai 6 kemungkinanhasil, sehingga total kemungkinan hasil dari pelemparan dua buah dadu adalah 6 x 6 =36.

· Ada 12Tim dalam Liga Nasional dan 14tim dari Liga Amerika, maka akan ada 12 x 14= 168 kemungkinan seri pertandingan.

PENGAMBILAN SAMPEL DENGAN PENGEMBALIAN

Anggaplah anda mempunyai 5 buah sweater dalam lemari. Setiap pagi anda memilihsatu sweater secara acak (random). Pada sore hari anda mengembalikan lagi sweater yangtelah dipakai dan menggabungkannya dengan yang lainnya. Pada pagi hari berikutnya andamengambil sweater lagi. Berpa banyak cara yang berbeda dalam menggunakan sweater itudalam satu minggu?

Kita dapat menggunakan prinsip yang sarna, hanya sekarang yang kita lakukan lebih daridua percobaan. Ada 5 kemungkinan sweater yang dapat anda pergunakan pada hari Minggu.Demikian juga pada hari Senin dan hari-hari berikutnya, anda mempunyak 5 kemungkinan

51

---- -- -

sweater yang dapat digunakan, sehingga ada 25 kemungkinan kombinasi sweater yangberbeda yang dapat digunakan pada hari Minggu dan Senin. Untuk hari Rabu ada 25 X 5kemungkinan pola penggunaan sweater dalam 3 hari. Sehingga untuk minggu pertama ada5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =57=78125pola penggunaan sweater yang berbeda dalam seminggu.

Dari informasi di atas kita dapat menjawab pertanyaan lain: berapa probabilitas andamenggunakan sweater yang sama setiap hari? Jika 78125 adalah semua kemungkinan hasil,dan hanya ada5 kemungkinan hasil andamenggunakan sweater yang sama setiap hari. Makaprobabilita memilih sweater yang sama setiap hari adalah:

5

78125

Proses pemilihan sweater yang dijelaskan di atas adalah salah satu contoh dari pengambilansampel. Pengambilan sampel berarti pemilihan beberapa obyek dari sekelompok besar obyekyang disebut populasi. Dalam kasus ini 5 sweater tersebut disebut populasi. Kita memilihsampel satu sweater pada hari Minggu, satu sweater pada hari Sehoin dan seterusnya sampaitujuh kali pemilihan. Tipe pengambilan sampel seperti ini disebut pengambilan sampel denganpengembalian. Secara umum bila anda mengambil sampel sebanyak n kali dari populasi sebesarm obyek, maka akan ada mn kemungkinan cara untuk memilih obyek -obyek ini.

Ide kunci dari pengambilan sampel dengan pengembalian adalah bahwa satu obyek yangtelah dipilih dapat dipilih lagi. Pelemparan sebuah mata uang adalah contoh pengambilansampel dengan pengembalian. Dalam kasus ini populasinya ada 2 yaitu sisi H dan sisi T. Bilaanda telah mendapatkan sisi H tidak berarti anda tidak akan mendapatkan sisi H padakesempatan kemudian. Sehingga jika kita melemparkan sebuah mata uang sebanyak n kali,maka ada 2° kemungkinan hasil.

Penggelindingan dadu juga merupakan contoh lain dari pengambilan sampel denganpengembalian. Dalam hal ini populasinya ada 6, sehingga ada 6° total kemungkinan jika andamenggelindingkan dadu sebanyak n kali.

CONTOH SOAL PENGAMBILAN SAMPEL DENGAN PENGEMBALIAN

SOAL

Anggaplah anda harns mengerjakan 20 pertanyaan pilihan ganda. Setiap pertanyaanmempunyai 5 pilihan jawaban. Berapa probabilita bahwa anda mampu menjawab semuadengan benar hanya dengan menerka saja?

PENYELESAIAN

Dalam kasus ini kita mengambil sampel sebanyak 20 kali dari populasi sebesar 5, sehinggatotal cara pemilihan adalah 520 = 9.5 x 1013. Hanya ada satu kemungkinan hasil dimanakeseluruhan jawaban pilihan adalah benar. Dengan demikian probabilita untuk mendapatkanjawaban dimana semua jawaban adalah benar hanya dengan menerka saja adalah

1/(9.5 x 1013)= 10-14(kurang lebih).

52

SOAL

Andaikata anda sedangmencoba menerka nomor plat mobil ternan anda. Diasumsikanbahwa setiap nomor plat mobil terdiri dari 3 hurnf yang diikuti oleh 3 angka, misalnya DGM235.

PENYELESAIAN

Pertama-tama hitung berapa banyak kemungkinan cara menyusun tiga hurnf. Ini berartipengambilan sampel sebanyak 3 kali dengan pengembalian dari populasi sebanyak 26 Uumlahhurnf ada 26), sehingga ada 263=17576 cara memilih tiga hurnf. Jumlah angka ada 10, makaada 103= 1000 cara untuk memilih tiga angka yang digunakan sebagai nomorplat mobil. Setiapkombinasi hurnf digabungkan dengan setiap kombinasi angka untuk mendapatkan nomor platmobil yang benar, sehingga jumlah total kombinasi nomor plat mobil adalah: 17576 x 1000 =17576000. Dengan demikian anda mempunyai prob abilitas menerka nomorplat mobil denganbenar adalah: 1/17576000=5.69 x 10-8.

SOAL

Anggaplah anda berada dalam suatu kelompok yang beranggotakan 15 orang. Andaingin membandingkan hari ulang tahun masing-masing anggota. Berapa banyakjumlah polayang anda dapatkan?

PENYELESAIAN

Mula-mula kita mengabaikan bahwa ada seseorang lahir pada tanggal 29 Pebrnari,sehingga ada 365 hari ulang tahun. Pengambilan sampel dilakukan 15 kali dari total populasi365, sehinggajumlah total kemungkinan pola hari ulang tahun adalah 36515=2.7 X 1038.

PENGAMBILAN SAMPEL TANPA PENGEMBALIAN

Anggaplah anda mempunyak 7 T-shirt, setiap pagi anda mengambilnya dalam lemari danmemilih secara acak (random) untuk dipakai pada hari itu. Namun setelah dipakai anda tidakmengembalikannya dalam lemari tetapi anda memasukkannya ke dalam tas pakaian kotor untukdicuci (karena akan diambil oleh binatu seminggu sekali). Berapa banyak cara memilih 7 T-shirtdalam seminggu?

Pada hari Minggu anda mempunyai 7 kemungkinan untuk memilih. Tetapi pada hariSenin anda hanya mempunyai 6 T-shirt bersih yang dapat dipilih. Dengan demikian ada 7 x6 =42 kemungkinan cara untuk memilih T-shirt yang akan digunakan selama 2 hari. Pada hariRabu hanya tinggal5, sehingga ada 7 x 6 x 5 =210 cara untuk memilih selama 3 hari pertama.Proses ini berjalan terns sampai akhir minggu. Kita dapat melihat bahwa ada 7 x 6 x 5 x 4 x3 x 2 x 1 =5040 cara untuk dapat memilih T-shirt dalam satu minggu.

Kita telah memberi istilah untuk hasil dari 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 sebagai 7 faktorial,atau ditulis 7! (lihat Bab III). Jika anda mempunyai n obyek, maka ada n cara untuk memilihobyek tersebut.

53

--- -- -

---

CONTOH SOAL PENGAMBILAN SAMPEL TANPA PENGEMBALIAN

SOAL

Ada berapa cara pengocokan 52 kartu?

PENYELESAIAN

Dalam kocokan pertama ada 52 kemungkinan, ada 51 kemungkinan untuk pengocokankedua dan seterusnya. Sehingga keseluruhan ada 52! =8.07 x 1067cara pengocokan.

SOAL

Andaikan anda mempunyak 5.menu makan malam untuk 5 hari, yaitu hamburger,hotdog, pizza, makaroni dan tacos. Ada berapa cara pengaturan 5 menu makanan sehinggaanda tidak mengulangi menu yang sama selama 5 hari.

PENYELESAIAN

Jika ada 5makanan,makajumlah pengaturan yangmungkin untuk5hari adalah 5!=120.

SOAL

Anggaplah bahwa tim anda adalah bagian dari 12liga tim. Selama musim ini tim andaakan bermain dengan tim lain sebanyak 1kali. Ada berapa cara pengaturan skedul (jadual)permainan?

PENYELESAIAN

Dalam kasus ini ada Illawan, maka ada II! =39916800 kemungkinan cara pengaturanskedul permainan.

SOAL

Andaikan anda mengundang 20 orang untuk makan malam bersama. Berapa besarnyaprobabilitas bahwa mereka datang ke rumah anda menurut urutan huruf?

PENYELESAIAN

Ada 20 orang tamu, berati ada 20! = 2.43 x 1018kemungkinan urutan yang berbeda.Tetapi hanya ada satu yang berdasarkan urutan huruf, maka probabilitasnya = 1/(2.43 x 1018)=4.12X lO-i9.

SOAL

Seorang manajer baseball bimbang dalam mencoba setiap kemungkinan urutan memukulsebelum memutuskan urutan yang terbaik bagi timnya. Berapa banyak permainan untukmenguji setiap kemungkinan urutan tersebut?

PENYELESAIAN

Ada 9 pemain (asumsi tidak ada pemain cadangan), sehingga ada 9! = 362880 urutanyang berbeda.

54

YANG HARUS DIINGAT

1. Prinsip perkalian menyatakan bahwa jika percobaan pertama dari 2 percobaan yangdilakukan mempunyai 1 kemungkinan hasil dan percobaan kedua mempunyai bkemungkinan hasil, maka berbagai kombinasi hasil yang dapat terjadi yaitu sebanyak:

axb

2. Dalampengambilansampeldenganpengembalian,obyekyangtelahdipilihdikembalikanlagi pada populawsinya dan kemudian dapat dipilih kembali.

3. Dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian, satu obyek yang telah dipilih tidakdikembalikan lagi pada populasinya sehingga tidak dipilih lagi.

PERMUTASI

Anggaplah sekarang anda mempunyai 10 T-shirt (dan T-shirt dicuci setiap minggu).Berapa banyak cara pemilihan T-shirt selama 7 hari? Catatan dalam kasus ini anda tidakmenggunakan setiap T-shirt setiap minggu.

Di sini ada 10pemilihan untuk T-shirt yang anda gunakan pada hari Minggu, kemudian9 pilihan pada hari senin, 8 pilihan pada hari Rabu dan seterusnya 4 pilihan pada hari Sabtu.Sehingga total jumlah pilihan adalah:

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =604800

Kita ingin mempersingkat cara penulisan, sehingga kita menulis seperti berikut:

10x9x8x7xx6x5x4x3x2xl

10x9x8x7x6x5x4x3x2xl=

3x2xl

20!=

3!

Apa yang kita lakukan adalah memilih sampel sebanyak 7 dari populasi sebesar 10.Pengambilan sampel tanpa pengembalian berarti bahwa bila suatu obyek sudahdipilih sekalitidak dapat dipilih lagi.

Bila kita memilih j obyek tanpa pengembalian dari populasi sebanyak n obyek, makaada:

nl

(n - j)!

55

-- - -

--

cara untuk memilih obyek. Setiap cara pemilihan obyek disebut pennutasi dari obyek,sehingga fonnula n!/(n -j)! menunjukkan pennutasi dari j obyek terhadap n obyek. Simbolyang melambangkan hal ini adalab nPj.

CONTOH SOAL PENGGUNAAN PERMUT ASI

SOALAnggaplab anda mencoba menemukan berapa cara mendistribusikan hari ulang tahun

diantara 15 orang sehingga tidak ada dua dari mer~ka mempunyai hari ulang tabun yangsarna. Ini berarti ada 365 kemungkinan untuk hari ulang tabun orang pertarna 354 pilihanuntuk yang kedua dan seterusnya.

PENYELESAIAN

Ini adalab contoh pemilihan sampel sebesar 15 hari populasi sebesar 365. Dengandemikian ada:

SOAL

Andaikan anda menghadiri perlombaan delapan kuda, dan anda mencoba menerkaurutan tiga besar yang masuk dalam final tanpa mengetabui apapun tentang kuda-kuda itu.Berapa probabilitas babwa terkaan anda benar?

PENYELESAIANMemilih 3 kuda dari 8 kuda, kondisi ini sarnaartinya dengan memilih sarnpel sebanyak

3 dari populasi sebesar 8, sehingga ada:

8! 8!- = 8 x 7 x = 336

(8 - 3)! 5!

kemungkinan. Dan probabilitas terkaan anda benar secara random adalab 1/336 =0.003.

KOMBINASI

Anggaplab anda sedang bennain kartu dan menurut perjanjian anda memegang limabuab kartu di tangan dari 52 kartu yang ada. Ada 52 kemungkinan kartu pertarna andaterarnbil, dan 51 kemungkinan kartu kedua terambil dan seterusnya. Kasus ini adalab contohdari pemilihan sarnpel sebanyak 5 tanpa pengembalian dari populasi sebanyak 52. Sehinggaada:

52! 52!--

(52 - 5)! 47!

56

365! 365!=

(365-15)! 350!= 2.03 x 1038

= 52 x 51 x 50 x 49 x 48

= 311875200 cara pengambilan kartu.

Misalnya anda mengambil kartu berikut ini:

5C, 8D, AH, AD

Tidak menjadi masalah bila urutan pengambilan adalah sebagai berikut:

8D, 5C, 6H, AH, AD

Dalam permainan kartu urutanpengambilan kartu tidak dipermasalahkan, yang menjadimasalah adalahkartu apayang akanterambil. Dalamkasusini adabanyakurutanpengambilankartu.

Berapa banyak urutan yang ada? Jika ada 5 kartu, maka 5!=120cara yang berbeda-bedadalam mengurutkan kartu-kartu dari pengambilan kartu. Kenyataannya untuk setiap 5 kartuyang berada di tangan mempunyai 120cara penyusunan atau pengurutan. Formula 52!/(52- 5)! menyatakan totaljumlah aturan atau penyusunan yang berbeda, tetapi dalam kasus inikita memperhatikan hanya total jumlah variasi dari 5 kartu yang berbeda-beda macamnyatanpa memperhatikan urutan dari kelima kartu tersebut. Jadi hasil dari formula tersebutterlalu banyak dan kita harns membaginya dengan 120. Sehingga:

52!

(52-5) 5!

= 2598960

Seandainya kita ingin memilih sebanyak j obyek tanpa dikembalikan dari populasisebanyak n obyek dan kita hanya tertarik pada total jumlah seleksi tanpa memperhatikanurutan, maka jumlah kemungkinan hasil dinyatakan dengan formula berikut:

n!

(n-j)! j!

Pengaturan obyek tanpa memperhatikan urutannya disebut kombinasi. Formula n!/(n-j)! j! mencerminkanjumlah kombinasi sering menggunakan formula ini dalam probabilitasdan statistik. Penulisan formula di atas dapat dipersingkat dengan menggunakan simbulberikut ini:

n n!=

J (n-j)! jl

57

--- ---

Jumlah kombinasi sering dilambangkan sebagai nCj, yang berarti;

Penggambaran seperti itu disebut juga binomial coefficient karena menggunakanformula matematika yang disebut teori binomial.

Perhatikan contoh berikut ini. Anggaplah kita mempunyai 5 kotak dan kita inginmemilih 3dari 5kotak itu. Kotak-kotak itu diberinama ABC D E, maka kita dapat membuatdaftar semua kemungkinan permutasi:

Dengan demikian ada 60 permutasi dalam daftar itu. Hasil ini dapat dihitung denganmenggunakan formula berikut ini:

5! 5!= = 60

(5-3)! 2!

Apabila kita perhatikan dengan seksamadaftar di atas,dapat kita lihat bahwa pada setiapbaris berisi huruf-huruf yang sama hanya berbeda dalam urutan. Daftar tersebut berisisepuluh baris. Kombinasi huruf antara baris yang satu dengan baris yang lain berbeda,sehingga dalam daftar tersebut terdapat 10 kombinasi huruf yang berbeda. Formula untukmendapatkan jumlah kombinasi itu adalah sebagai berikut:

5! 5!= = 10

(5-3)! . 3! 2!

58

ABC ACB BAC BCA CAB CBAABD ADB BAD BDA DAB DBAABE AEB BAE BEA EAB EBAACD ADC CAD CDA DAC DCAACE AEC CAE CEA EAC ECAADE AED DAE DEA EAD EDABCD BDC CBD CDB DBC DCBBCE BEC CBE CEB EBC ECBBDE BED DBE DEB EBD EDBCDE CED DCE DEC ECD EDC

CONTOH PERHITUNGAN SOAL KOMBINASI

SOAL

Berapa banyak kornbinasi 13kartu yang diambil dari kurnpulan kartu bridge yang terdiridari 52 kartu?

PENYELESAIAN

Kita dapat rnenggunakan formula kornbinasi sebagai berikut:

52! 52!=

(52-B)! 13! 39! 13!= 6.35 x 1011

Sekarang kita telah rnernpunyai sernua alat yang kita butuhkan untuk rnernecahkan berbagairnasalah probabilitas. Tidak ada rnetode yang pasti yang dapat terus bekerja karena banyakrnasalah-rnasalah yang rurnit yang sulit untuk dijabarkan.

SOAL

Anggaplah anda dan ternan anda berada dalarn satu kelornpok yang terdiri dari 20 orang,dan 5 orang dipilih secara acak untuk hadir dalarn suatu perternuan. Berapa probabilitas andadan ternan anda terpilih untuk rnengikuti perternuan itu?

PENYELESAIAN

Jurnlah Total cara pernilihan adalah:

=15504

Kernudian kita akan rnenghitung probabilitas anda dan ternan anda ikut dalam perternuan itu.Jika anda dan ternan anda telah terpilih, rnaka 3 orang lagi harns dipilih dari 18 orang yangrnasih tersisa, dan ada:

=816

cara pernilihan.Dengan dernikianprobabilitas anda dan ternananda terpilihadalah 816/1504=0.053.

SOAL

Misalnya ada 18 orang yang akan dibagi dalarn 2 tirn baseball. Berapa probabilitasbahwa 9 pernain terbaik berada dalam satu tirn?

59

--- --- --

PENYELESAIAN

Dari kasus ini ada (18/9 ) = 48620 cara untuk memilih tim pada pukulan pertama.Kemudian, kesempatan untuk semua pemain terbaik pada pukulan pertama adalah 1/48620.Tetapi hanya ada satu kesempatan baik bahwa semua pemain terbaik berada dalam satu timpada pukulan kedua, sehingga kesempatan mereka berada dalam satu tim adalah 2/48620 =4 x 10-5.

YANG HARUS DIINGA T

1. Yang harns dilakukan dalam menghitung probabilitas adalah menghitung semuakemungkinan hasil yang akan dijumpai dalam kondisi tertentu. Dua konsep pentingdalam menghitung hasil yaitu permutasi dan kombinasi.

2. Permutasi: obyek sejumlah j yang diambil dari populasi sebanyak n dengan cara yangberbeda dengan memperhatikan urutan pengambilan. Jumlah kemungkinan hasil:

n!

(n-j)!

3. Kombinasi: obyek sejumlah j yang diambil dari poplasi sebanyak n dengan cara yangberbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihan. Jumlah kemungkinan hasil:

n!=

j! (n-j)!

60