6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Penelitian Sebelumnya

Penelitian tentang MARS telah banyak dilakukan. Salah satunya yaitu

penelitian yang berjudul Penerapan Metode Multivariate Adaptive Regression Splines

(MARS) untuk Mengidentifikasi Komponen Yang Berpengaruh Terhadap Peringkat

Akreditasi Sekolah pada SMA/MA di Provinsi Sumatra Barat oleh Febriyanti (2013).

Pada penelitian tersebut, peringkat akreditasi yang didapatkan oleh sekolah dapat

dikelompokan menjadi dua kelompok dengan kelompok 1 adalah sekolah yang

terakreditasi A atau B, dan kelompok 2 adalah sekolah yang terakreditasi C atau tidak

terakreditasi. Hasil pendugaan pengelompokan sekolah dengan metode MARS

menghasilkan beberapa variabel yang berpengaruh secara signifikan, antara lain :

komponen standar sarana dan prasarana (X5), komponen standar kompetensi lulusan

(X3), komponen standar penilaian (X8), komponen standar isi (X1), komponen standar

pembiyaan (X7), komponen standar proses(X2), dan komponen standar pengelolaan

(X6).

Selain itu, ada juga penelitian yang berjudul Pemodelan Kemiskinan di

Provinsi Jawa Timur dengan Pendekatan Multivariate Adaptive oleh Pintowati

(2012). Pada penelitian tersebut variabel respon yang digunakan adalah 3 indikator

kemiskinan meliputi persentase penduduk miskin, indeks kedalaman kemiskinan, dan

indeks keparahan kemiskinan. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan ada 10

7

variabel dari segi ekonomi, kesehatan, pendidikan dan lingkungan. Hasilnya

diperoleh tiga model yaitu untuk variabel respon persentase penduduk miskin model

MARS terbaiknya adalah model dengan BF=20, MI=2 dan MO=2, untuk variabel

respon indeks kedalaman kemiskinan model MARS terbaiknya adalah model MARS

dengan BF=20, MI= 2 dan MO=0, dan untuk variabel respon indeks keparahan

kemiskinan model MARS terbaiknya adalah model dengan BF=20, MI=1 dan

MO=3. Penelitian-penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis dalam penelitian

ini. Pada penelitian tersebut, MARS digunakan untuk permasalahan yang berdimensi

tinggi dan untuk data yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya. Berdasarkan

penelitian yang telah dilakukan mengenai MARS, akan dijadikan teori untuk

mendukung penelitian yang akan dilakukan.

2.2 Landasan Teori

2.2.1 Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS)

Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) merupakan pendekatan

untuk regresi multivariat nonparametrik yang menghasilkan pemodelan regresi yang

fleksibel. Metode ini diperkenalkan oleh Jerome H. Friedman pada tahun 1990.

Model MARS difokuskan untuk mengatasi permasalahan berdimensi tinggi, memiliki

variable prediktor 3<k<20 , ukuran sampel 50<N<1000. MARS mampu mengatasi

diskontinuitas pada data. MARS merupakan pengembangan dari pendekatan

Recursive Partition Regression (RPR) yang dikombinasikan dengan metode spline

sehingga model yang dihasilkan kontinu pada knot (Friedman, 1991).

a. Recursive Partition Regression (RPR)

8

Misal Y adalah peubah respon tunggal yang dipengaruhi oleh peubah predictor

X sebanyak p, dimana ),...,,( 21 PXXXX , maka Y dapat dinyatakan dalam model

regresi sebagai berikut :

),...,,( 21 PXXXfY (2.1)

Dengan domain D merupakan subset dari ruang berdimensi p. Sisaan diasumsikan

memiliki rataan nol dan ragam .2

Dari persamaan (2.1), misalkan terdapat sampel

sebanyak N untuk Y dan ),...,,( 21 PXXXX dinyatakan sebagai N

ipiiii xxxy121 ,...,,,

.

Ambil S

jjR1yang merupakan subset yang saling lepas dari domain D, sehingga

S

j jRD1

.RPR menduga fungsi )(xf yang tidak diketahui dengan

S

j

jj xBxCxf1

^

)()()( (2.2)

Dengan jj RxIxB )( , I adalah fungsi indikator yang bernilai 1 jika benar dan

bernilai 0 jika salah. dan Cj (x) adalah koefisien subregion. Setiap fungsi indikator

merupakan perkalian dari fungsi univariat yang menggambarkan setiap subregion jR .

Secara umum, RPR mempunyai dua tahap yaitu tahap forward dan backward.

Dimulai dari subregion pertama R1=D, tahap forward memilah domain D secara

iteratif menjadi himpunan bagian (subregion) yang saling lepas M

jjR2, untuk

.SM Dengan M ditentukan sebarang. Selanjutnya, tahap backward berlawanan

dengan tahap forward yaitu menghilangkan atau memangkas subregion dari model

dengan dua kriteria yaitu evaluasi dugaan model dan jumlah subregion dalam model.

9

Tahap forward dan backward ini menghasilkan sekumpulan subregion yang tidak

saling tumpang tindih, sehingga )(^

xf mendekati )(xf untuk setiap subregion daerah

asal. RPR merupakan metode yang mampu mengatasi kesulitan dalam menentukan

knot karena knot ditentukan oleh data. Namun RPR masih memiliki kekurangan

dalam pemodelan regresi. Kekurangan RPR yaitu belum cukup mampu menduga

)(xf linier atau aditif dan model RPR menghasilkan subregion yang tidak kontinu

pada knot (Friedman, 1991).

b. Modifikasi Recursive Partition Regression (RPR)

Untuk mengatasi kekurangan dari RPR, Jerome H. Friedman melakukan

modifikasi. Untuk menduga fungsi linier atau aditif, Friedman melakukan inovasi

dengan cara tidak menghapus induk atau parent region selama pemilahan subregion

dilakukan. Sehingga pada iterasi selanjutnya parent dan pilahan subregion dapat

dipilah lebih lanjut, hal ini akan menghasilkan subregion yang saling tumpang tindih.

Selain itu, modifikasi ini juga menghasilkan model linier dengan pemilahan berulang

pada peubah prediktor yang berbeda serta menghasilkan model yang fleksibel

(Friedman, 1991).

Modifikasi tersebut belum dapat mengatasi diskontinuitas pada titik knot yang

disebabkan oleh adanya perkalian fungsi univariat. Oleh karena itu Friedman

mengganti perkalian fungsi univariat dengan regresi linier spline ordo satu. Pada

regresi splines ini sisi kiri (-) dan sisi kanan (+) truncated spline sebagai berikut :

10

js

i

jikjikijj xxSxB1

*

),(),( ))(()( (2.3)

Dengan jS jumlah pilihan subregion ke-j dari domain D, *

),( jikx merupakan

knot dari peubah prediktor ),( jikx dan ijS nilainya 1 atau -1 jika knot ada di kanan atau

di kiri subregion.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam membuat model MARS adalah

(Friedman, 1991) :

a. Knot merupakan nilai variabel prediktor ketika slope suatu garis regresi

mengalami perubahan yang dapat didefinisikan sebagai akhir dari sebuah garis

regresi (region) dan awal dari sebuah garis regresi (region) yang lain. Pada

setiap titik knot, diharapkan adanya kontinuitas dari fungsi basis antar satu

region dengan region lainnya. Minimum jarak antara knot atau minimum

observasi (MO) antara knot adalah 0,1,2, dan 3 observasi.

b. Fungsi Basis (BF) yaitu suatu fungsi parametrik yang didefinisikan pada tiap

region yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variable respon dan

variable prediktornya. Fungsi basis ini berupa selang antar knot yang berurutan.

Pada umumnya fungsi basis yang dipilih berbentuk polynomial dengan turunan

yang kontinu pada setiap titik knot. Maksimum fungsi basis yang diizinkan

adalah 2-4 kali jumlah variable prediktornya.

c. Interaction (interaksi ) merupakan hasil perkalian silang antar variable yang

saling berkorelasi. Jumlah maksimum interaksi (MI) yang diperbolehkan adalah

11

1,2, dan 3. Jika MI > 3 akan dihasilkan model yang semakin kompleks dan

model akan sulit untuk diinterpretasi.

Knot pada metode MARS ditentukan secara otomatis oleh data dan

menghasilkan model yang kontinu pada knot. Penentuan knot pada MARS

menggunakan algoritma forward dan backward (lampiran 3). Algoritma forward

digunakan untuk mendapatkan jumlah fungsi basis maksimum. dengan kriteria

pemilihan fungsi basis adalah dengan meminimumkan Mean Squared Error (MSE).

MSE dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

2

1

)(1

n

i

iMi xfyn

MSE

dengan :

ix

: variabel prediktor

iy

: variabel respon

n : banyaknya pengamatan

)( iM xf

: dugaan fungsi )(xf dengan metode Recursive Partition Regression

Pada tahap backward dipilih satu fungsi basis dan mengeluarkan basis

tersebut jika kontribusinya terhadap model kecil. Hal ini dilakukan untuk memenuhi

konsep parsimoni (model yang sederhana). Proses backward akan terus dilanjutkan

hingga tidak ada lagi fungsi basis yang dapat dikeluarkan atau dengan kata lain fungsi

basis yang tersisa pada model adalah fungsi basis yang berpengaruh signifikan

terhadap model. Ukuran kontribusi pada tahap backward dilakukan berdasarkan

12

kriteria validasi silang atau GCV (Generalized Cross Validation). Caranya adalah

dengan meminimumkan nilai GCV. Pada MARS, kriteria pemilihan model terbaik

adalah jika nilai GCV pada model tersebut mempunyai nilai yang paling rendah

(minimum) diantara model-model lain (Friedman, 1991).

Fungsi GCV minimum didefinisikan sebagai berikut :

(2.4)

Dengan

MSE : Mean Squared Error/Kuadrat tengah eror

ix :variabel prediktor

iy : variabel respon

)(MC : Trace [B(BTB)

-1B

T]+1

B : matrik berukuran nM

M : jumlah fungsi basis

n : banyaknya pengamatan

)(~

MC : C(M)+dM

d : nilai ketika setiap fungsi basis mencapai optimasi 42 d

Algoritma MARS tahap forward dan backward menghasilkan model MARS

sebagai berikut :

2~

2

1

2~

)(1

)(1

)(1

)(

n

MC

xfyn

n

MC

MSEMGCV

n

i

iMi

13

M

m

km

k

kmmkvkmm tXSaaxf1 1

),(0 )()( (2.5)

Dengan :

0a : fungsi basis induk atau konstanta regresi dari fungsi basis

ma : koefisien dari fungsi basis ke-m, m=1,2,…,M

M : maksimum fungsi basis (nonconstant basis function)

km : derajat interaksi

Skm : tanda pada titik knot. Bernilai +1 jika knot berada disebelah kanan

subregion dan bernilai -1 jika knot berada disebelah kiri subregion

Xv(k,m) : variabel prediktor

tkm : nilai knot dari variabel prediktor Xv(k,m)

2.2.2 Pengujian Signifikansi Model MARS

Uji signifikansi dilakukan untuk mengetahui signifikansi parameter dan

mengevaluasi kecocokan model. Uji signifikansi yang dilakukan meliputi pengujian

fungsi basis secara keseluruhan atau uji simultan dan pengujian masing-masing

fungsi basis atau uji parsial.

a. Pengujian Koefisien Regresi Simultan

Uji signifikansi yang dilakukan secara bersamaan untuk semua fungsi basis yang

terdapat pada model MARS.

1. Hipotesis : H0 : αm = 0 (model tidak signifikan)

H1 : minimal terdapat satu αm ≠ 0 (model signifikan)

14

dengan m=1,2,3,…,M

2. Taraf signifikansi : α

3. Statistik uji : 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝑦𝑖 −𝑦 2/𝑀𝑛

𝑖=1

𝑦𝑖−𝑦𝑖 2/𝑁−𝑀−1𝑛𝑖=1

4. Daerah kritis : Tolak H0 jika nilai Fhitung > Fα(M;N-M-1 ) atau P-value < α

dimana M= banyaknya fungsi basis dan N= banyaknya data

b. Pengujian Koefisien Regresi Parsial

Uji signifikansi secara individual untuk masing-masing fungsi basis yang terdapat

dalam model MARS.

1. Hipotesis : H0 : αm = 0 (koefisien αm tidak berpengaruh terhadap model)

H1 : αm ≠ 0 untuk setiap m (koefisien αm berpengaruh signifikan

terhadap model) dengan m=1,2,3,…,M

2. Taraf signifikansi : α

3. Statistik uji : 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝑎 𝑚

𝑆𝑒 𝑎 𝑚 𝑆𝑒 𝑎 𝑚 = 𝑣𝑎𝑟 𝑎 𝑚

4. Daerah kritis : Tolak H0 jika nilai thitung > t(α/2;N-M ) atau P-value < α

dimana M= banyaknya fungsi basis dan N= banyaknya data

2.2.3 Derajat Kesehatan

A. Definisi-definisi

Menurut WHO dalam Nona (2013), sehat adalah keadaan sejahtera secara

fisik, mental dan sosial yang merupakan satu kesatuan, bukan hanya terbebas dari

penyakit maupun cacat. Menurut Undang-Undang Kesehatan No. 36 Tahun 2009,

sehat adalah keadaan sejahtera dari badan, jiwa, dan sosial, sehingga memungkinkan

15

setiap orang dapat hidup produktif secara sosial dan ekonomi. Menurut KBBI, sehat

adalah keadaan seluruh badan serta bagian-bagiannya terbebas dari sakit

Derajat kesehatan adalah sesuatu yang ingin dicapai dalam bidang kesehatan.

Merupakan gambaran profil kesehatan individu atau kelompok individu (masyarakat)

di suatu daerah. Atau menyatakan tingkat/taraf kesehatan atau status kesehatan.

Dengan adanya derajat kesehatan akan tergambarkan masalah kesehatan yang sedang

dihadapi (Kementerian Kesehatan RI, 2014).

B. Indikator Derajat Kesehatan

Dalam menilai derajat kesehatan, beberapa indikator yang dapat digunakan

yaitu : indikator-indikator mortalitas, indikator-indikator morbiditas, dan indikator-

indikator status gizi (Kementerian Kesehatan RI, 2014)

1. Mortalitas adalah angka kematian yang diakibatkan oleh keadaan tertentu, dapat

disebabkan oleh penyakit ataupun sebab lainnya yang terjadi pada kurun waktu

tertentu dan tempat tertentu (Kementerian Kesehatan RI, 2014). Indikator-

indikatornya yaitu :

a. Angka Kematian Ibu (AKI) adalah jumlah perempuan yang meninggal pada

saat hamil, melahirkan, dan selama 42 hari setelah melahirkan (masa nifas)

yang disebabkan oleh gangguan kehamilan atau penanganannya selama

kehamilan dan bukan karena sebab-sebab lain, tanpa memandang lama

kehamilan dan tempat persalinan per 100.000 kelahiran hidup.

16

b. Angka Kematian Bayi (AKB) adalah jumlah bayi yang meninggal sebelum

mencapai usia satu tahun yang dinyatakan dalam 1.000 kelahiran hidup pada

tahun yang sama.

c. Angka Kematian Balita (AKABA) adalah jumlah anak yang meninggal

sebelum mencapai usia 5 tahun yang dinyatakan dalam per 1.000 kelahiran

hidup. Angka Kematian Balita mempresentasikan peluang terjadinya

kematian pada fase antara kelahiran dan sebelum umur 5 tahun.

d. Angka Harapan Hidup (AHH) adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan

dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur x, pada suatu

tahun tertentu dalam situasi mortalitas yang berlaku di lingkungan

masyarakatnya

2. Morbiditas adalah angka kesakitan, baik disebabkan oleh kecelakaan maupun

prevalen dari suatu penyakit (Kementerian Kesehatan RI, 2014). Morbiditas

dapat digunakan sebagai gambaran kejadian penyakit dalam suatu populasi pada

kurun waktu tertentu. Morbiditas dapat diukur dengan indikator-indikator : angka

kesakitan Tuberkulosis Paru (TB. Paru), angka kesakitan Demam Berdarah

Dengue (DBD), dan kesakitan terkena penyakit lainnya.

3. Status Gizi adalah hasil keseimbangan antara zat-zat gizi yang masuk (asupan

gizi) dalam tubuh manusia dan jumlah yang dibutuhkan dalam penggunaannya

untuk berbagai fungsi biologis termasuk pertumbuhan fisik, perkembangan,

aktivitas dan pemeliharaan kesehatan (Kementerian Kesehatan RI, 2014). Status

17

gizi diukur berdasarkan berat badan (BB), tinggi badan (TB), dan umur.

Indikatornya dapat berupa cukup gizi, gizi buruk dan gizi kurang.

C. Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Derajat Kesehatan

Menurut Hendrik L. Blum dalam (Nona, 2013), derajat kesehatan dipengaruhi

oleh empat faktor yaitu : faktor perilaku, faktor lingkungan, faktor pelayanan

kesehatan, dan faktor genetik. Sedangkan menurut Kementerian Kesehatan RI (2014),

derajat kesehatan dipengaruhi oleh banyak faktor. Faktor-faktor tersebut berasal dari

sektor kesehatan seperti pelayanan kesehatan serta ketersediaan sarana dan prasarana

kesehatan. Selain itu juga dipengaruhi oleh faktor yang berasal dari luar kesehatan

seperti faktor ekonomi, pendidikan, lingkungan sosial, keturunan dan perilaku.

1. Perilaku

Perilaku yang dimaksud adalah perilaku hidup bersih dan sehat (PHBS).

PHBS adalah semua perilaku yang dilakukan atas kesadaran sehingga setiap anggota

keluarga dapat menolong dirinya sendiri dibidang kesehatan dan berperan aktif dalam

kegiatan-kegiatan kesehatan masyarakat. PHBS di rumah tangga adalah upaya untuk

memberdayakan anggota rumah tangga agar tahu, mau dan mampu mempraktikkan

perilaku hidup bersih dan sehat serta berperan aktif dalam gerakan kesehatan di

masyarakat. Indikator perilaku sehat adalah (Kementerian Kesehatan RI, 2014) :

a. Persentase rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat (PHBS)

b. Persentase bayi yang diberi ASI eksklusif

c. Persentase posyandu yang aktif

d. Kunjungan ibu hamil (K4)

18

e. Persentase peserta KB aktif

f. Persentase kunjungan neonatus 3 kali

2. Lingkungan

Menurut Kementerian Kesehatan RI (2014), lingkungan merupakan salah satu

variabel yang mendapatkan perhatian khusus dalam menilai kesehatan masyarakat.

Indikator-indikator sebagai berikut :

a. Persentase rumah sehat

b. Persentase keluarga yang memiliki jamban sehat

c. Persentase keluarga dengan sumber air minum terlindung

3. Pelayanan kesehatan dapat dilihat dengan indikator-indikator sebagai berikut

(Kementerian Kesehatan RI, 2014) :

a. Persentase pelayanan ibu nifas

b. Persentase persalinan yang ditolong oleh tenaga kesehatan

c. Persentase ibu hamil mendapat tablet Fe3

d. Persentase pelayanan balita

4. Genetik

Genetik atau keturunan berpengaruh terhadap derajat kesehatan, karena ada

beberapa penyakit yang diturunkan lewat gen seperti albino, leukemia, diabetes,

hemofilia. Kondisi ini terjadi ketika individu lahir dari dua individu sehat pembawa

kelainan satu atau lebih gen, dan dapat juga terjadi ketika kelainan satu atau lebih

gen merupakan gen yang dominan. Faktor ini sulit untuk diatasi karena merupakan

bawaan seseorang sejak lahir (Kementerian Kesehatan RI, 2014).

19

5. Ekonomi

Menurut Dinas Kesehatan Provinsi Bali (2014), tingkat ekonomi masyarakat

berpengaruh terhadap derajat kesehatan masyarakat. Indikatornya yaitu :

a. Jumlah penduduk yang bekerja di sektor pertanian

b. Jumlah masyarakat miskin

6. Pendidikan

Menurut Dinas Kesehatan Provinsi Bali (2014), tingkat pendidikan

masyarakat berpengaruh terhadap derajat kesehatan masyarakat. Indikatornya yaitu :

a. Jumlah murid SD dan SMP

b. Jumlah penduduk menurut tingkat pendidikan tertinggi yang ditamatkan

(sarjana)