11
B D S s S b BAB II DASAR TE Ga Selembar kai sebagaimana System(KES) berdasarkan: tensile( bend shear compre EORI ambar II.1 Berba n seperti ditu ditunjukan o (Kawabata, (stretch) ession agai macam jeni Gambar II.2 unjukan oleh oleh Gambar Niwa, & Ka is kain, dari kiri 2 Sulaman peny Gambar II.1 d II.2. Dengan awai, 1973) ke kanan: katun yusun kain disusun oleh n menggunaka selembar k n, wol, dan sutra sulaman ben an Kawabata kain dapat d 4 a ang benang a Evaluation didefinisikan

BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

B

D

S

s

S

b

BAB II

DASAR TE

Ga

Selembar kai

sebagaimana

System(KES)

berdasarkan:

• tensile(

• bend

• shear

• compre

EORI

ambar II.1 Berba

n seperti ditu

ditunjukan o

(Kawabata,

(stretch)

ession

agai macam jeni

Gambar II.2

unjukan oleh

oleh Gambar

Niwa, & Ka

is kain, dari kiri

2 Sulaman peny

Gambar II.1 d

II.2. Dengan

awai, 1973)

ke kanan: katun

yusun kain

disusun oleh

n menggunaka

selembar k

n, wol, dan sutra

sulaman ben

an Kawabata

kain dapat d

4

a

ang benang

a Evaluation

didefinisikan

Page 2: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

G

m

• friction

G

Gambar II.3,

mendapatkan

Gambar II.3 Eva

Gambar II.4

Gambar II.5 Ev

Gambar II.4,

n nilai nilai te

luasi tensile dan

4 Evaluasi bendin

valuasi compres

dan Gambar

ersebut.

n shear dengan

ng dengan meng

ssion dengan me

r II.5 menunju

menggunakan m

ggunakan mesin

enggunakan me

ukan mesin e

mesin KES FB1

n KES FB2.

esin KES FB3.

evaluasi Kawa

5

abata untuk

Page 3: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

6

Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan oleh Weil

(Weil, 1986), namun aplikasi simulasi pertama dibuat oleh Terzopoulos(Terzopoulos,

Platt, Barr, & Fleischer, 1987) pada 1987 dengan menggunakan persamaan Lagrange.

Volino(Volino, Cordier, & Magnenat Thalmann) mendeskripsikan perkembangan

simulasi kain ini dari mulai simulasi statis hingga interaktif. Dari berbagai metode yang

ada, simulasi dengan metode sistem partikel yang diusulkan oleh Provot(Provot, 1995)

adalah metode yang paling cepat komputasinya sehingga banyak digunakan dalam

aplikasi simulasi maupun animasi interaktif. Simulasi selembar kain pada tugas akhir ini

dibuat berdasarkan metode sistem partikel ini.

Gambar II.6 Simulasi sistem partikel pada kain.

2.1 Sistem Partikel Selembar Kain

Menurut Provot(Provot, 1995), selembar kain dapat disederhanakan menjadi sebuah

sistem partikel nm dimana partikel bermassa saling terhubung satu sama lain dengan

pegas. Pegas menghubungkan masing masing partikel bermassa dengan tetangganya

melalui tiga cara (Dencker, 2006), yang disebut sebagai pegas:

Page 4: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

7

• Struktural (Structural Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa

],[ ji dengan ]1,[ ji , dan partikel bermassa ],[ ji dengan 1],[ ji ;

• Gunting (Shear Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa ],[ ji

dengan 1]1,[ ji , dan partikel bermassa ]1,[ ji dengan 1],[ ji ;

• Lentur (Flexion Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa ],[ ji

dengan ]2,[ ji , dan partikel bermassa ],[ ji dengan 2],[ ji .

Gambar II.7 Pegas pegas dalam sistem partikel Provot.

Pada kasus pengguntingan kain, hanya pegas pegas gunting yang mengalami tekanan

(stress). Sedangkan pada pelipatan kain, hanya pegas pegas lentur yang mengalami

tekanan. Untuk peregangan kain, hanya pegas pegas struktural yang mengalami

tekanan.

Dalam pemodelan kain ini menjadi sebuah mesh dalam grafik tiga dimensi, setiap

partikel dapat merupakan sebuah vektor posisi. Sehingga untuk membentuk sebuah kain

diperlukan ( nm ) buah vektor, atau ( 1)(2)( nm ) buah poligon. Lebih lanjut

tentang pemodelan ini dapat dilihat pada Lampiran 1.

Page 5: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

8

2.1.1 Dinamika Sistem Partikel

Dalam sistem nm partikel ini, posisi partikel bermassa pada waktu t adalah )(, tjiP

dimana mi ,1,2,= dan nj ,1,2,= . Berdasarkan dinamika Newtonian, gaya yang

bekerja pada setiap partikel adalah:

jiji ,, = aF (1)

dengan adalah massa partikel jiP , dan ji ,a adalah percepatan yang disebabkan oleh

gaya ji ,F .

Gaya gaya yang bekerja pada partikel jiP , (Nikolic) adalah:

• Gaya gaya internal, yaitu gaya gaya yang muncul ketika terjadi tekanan deformasi

pada kain (lenturan, lipatan, dan lainnya);

• Gaya gaya eksternal, seperti gaya oleh gravitasi, angin, dan hambatan angin.

Pada tugas akhir ini gaya gaya yang dilibatkan adalah gaya internal dan gaya oleh

percepatan gravitasi.

2.1.2 Gaya Internal

Gaya internal pada pegas didefinisikan berdasarkan hukum Hook untuk pegas teredam,

)(= vLF disCk , yang pada sistem ini adalah:

))(])[((=)( ,,,,

,,,0,,,,,,,,,

),(, jidis

lkji

lkjilkjilkjilkji

Rlkjiint ClKP v

ll

lF (2)

di mana:

• R adalah kelompok dalam ),( lk dimana partikel lkP , terhubung oleh

sebuah pegas dengan jiP , ,

• lkji ,,,l adalah vektor jarak antara jiP , dengan lkjilk PPP ,,, ,

Page 6: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

9

• 0,,, lkjil adalah jarak normal antara ji ,P dengan lk ,P tanpa pengaruh gaya,

• lkjiK ,,, adalah koefisien pegas yang menghubungkan ji ,P dengan lk ,P ,

• disC adalah koefisien redaman pegas,

• ji,v adalah vektor kecepatan partikel ji ,P .

2.1.3 Gaya Eksternal

Gaya oleh percepatan gravitasi g yang merupakan berat partikel jiP , adalah:

gW =)( , jiP (3)

Sedangkan gaya oleh aliran fluida angin dengan kecepatan konstan,

jijifluidjivijivi CP ,,,, )]([=)( nvunF (4)

dengan ji,n adalah vektor normal pada permukaan di titik jiP , , viC adalah koefisien

fluida, dan fluidu adalah vektor kecepatan fluida.

2.1.4 Persamaan Gerak

Gaya pada persamaan (2), (3), dan (4) dapat digunakan untuk mendapatkan )(, tjiF ,

yaitu,

).()()(=)( ,,,, jivijijiintji PPPt FWFF (5)

2.2 Metode Verlet

Metode Verlet adalah metode integrasi numerik yang banyak dipakai untuk perhitungan

lintasan partikel dalam simulasi dinamika molekul (molecular dynamics). Integrasi Verlet

jauh lebih stabil jika dibandingkan dengan metode Euler yang lebih sederhana. Dan

memiliki ketelitian mendekati Runge Kutta Orde 4.

Page 7: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

10

Algoritma verlet pada dasarnya adalah ekspansi Taylor untuk dan

sebagai berikut:

(6)

(7)

Dengan menambahkan persamaan (6) dan (7)didapat:

(8)

Persamaan inilah digunakan dalam metode Verlet. Untuk dibutuhkan

yang tidak mungkin didapat. Oleh karena itu untuk insialisasi digunakan:

(9)

Kecepatan didapat dengan menggunakan:

(10)

Sepertihalnya untuk mendapatkan , hanya bisa didapat jika ada untuk

dan . Untuk itu metode verlet ini dapat dioptimasi dengan

memasukan kecepatan, disebut juga metode verlet kecepatan (velocity verlet), yaitu:

(11)

(12)

Setelah gaya pada , maka percepatan didapat dengan

, sehingga

(13)

2.2.1 Perbandingan Metode

Untuk menunjukan perbandingan metode numerik yang akan digunakan dalam tugas

akhir ini, digunakan dua contoh kasus. Pertama, pegas sederhana seperti pada Gambar

II.8.

Page 8: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

P

D

J

Persamaan ge

Dengan

Jika diketahu

eraknya berd

dan kondisi

i k = 0.04 dan

Gambar

dasarkan huku

i awal d

n m = 1 didap

r II.8 Pegas sede

um Newton a

dan

, dengan

at tabel berik

erhana

dalah:

didapat solu

n

kut:

usi khusus:

11

Page 9: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

12

t

Euler Midpoint RK4 Verlet

v y v y v y v y

0 0 10 0 10 0 10 0 10

1 0,4 9,6 0,398 9,602 0,398338 9,60166 0,395 9,8

2 0,78 8,82 0,7762 8,8258 0,776842 8,82482 0,770299 9,21098

3 1,125 7,695 1,119743 7,70606 1,120633 7,70419 1,11112 8,26031

4 1,42155 6,27345 1,415303 6,29075 1,41636 6,28783 1,404208 6,98954

5 1,658273 4,61518 1,651593 4,63916 1,652724 4,6351 1,638344 5,45256

6 1,826297 2,78888 1,819798 2,81936 1,820899 2,8142 1,804774 3,71336

7 1,919589 0,86929 1,913902 0,90546 1,914866 0,89934 1,897534 1,84334

8 1,935165 1,065873 1,930896 1,025433 1,931621 1,032284 1,913657 0,081574

9 1,873178 2,939052 1,870871 2,896304 1,871265 2,903549 1,853265 1,984032

10 1,736884 4,675936 1,736983 4,633287 1,736971 4,64052 1,719529 3,788349

11 1,532478 6,208414 1,535295 6,168582 1,534824 6,175343 1,518518 5,423514

12 1,268817 7,477231 1,274509 7,443092 1,273552 7,448895 1,258924 6,825969

13 0,957039 8,434271 0,965593 8,408685 0,964151 8,413046 0,951688 7,942079

14 0,610098 9,044369 0,62132 9,030004 0,619426 9,032472 0,609544 8,730166

15 0,242222 9,286591 0,255743 9,285748 0,253459 9,285931 0,246492 9,162059

16 0,13166 9,154928 0,11637 9,169374 0,11896 9,166972 0,12277 9,224078

17 0,49654 8,658384 0,48016 8,689216 0,48293 8,684042 0,48346 8,917437

18 0,83791 7,82047 0,82121 7,868006 0,82404 7,860002 0,82125 8,258049

19 1,14235 6,678117 1,12619 6,74182 1,12893 6,731075 1,12291 7,275742

20 1,39805 5,280062 1,3833 5,358515 1,38581 5,345265 1,37675 6,012932Tabel II 1 Tabel perbandingan metode numerik untuk pegas sedehana

Dari Tabel II 1didapat plot grafik untuk kecepatan dan posisi yang didapat dari metode

metode tersebut sebagai berikut:

Page 10: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

13

Gambar II.9 Plot kecepatan dan posisi masing masing metode

Contoh kasus kedua adalah pemecahan persamaan diferensial non linier:

Didapat tabel sebagai berikut:

t Euler Midpoint RK4 Verlet

1 1 1 1 11,025 1,063935 1,066817 1,066869 1,0668691,05 3,864942 1,141178 1,141332 1,1364191,075 5,747953 1,227026 1,227418 1,2094981,1 6,154987 1,333901 1,335079 1,287579

1,125 7,026081 1,502286 1,510449 1,3736631,15 8,944495 1,330172 1,559585 1,476041,175 9,423525 1,494791 2,140575 1,6482341,2 10,42227 1,272216 2,125942 1,924863

1,225 12,97113 1,397009 2,109932 2,206691Tabel II 2 Tabel perbandingan metode numerik untuk kasus persamaan diferensial non linier

15

10

5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25

Euler

Midpoint

RK4

Verlet

Page 11: BAB II DASAR TEORI - digilib.itb.ac.iddigilib.itb.ac.id/files/disk1/624/jbptitbpp-gdl-rioanditas-31191-3... · Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan

14

Dari Tabel II 2 didapat plot grafik sebagai berikut:

Gambar II.10 Plot perbandingan berbagai metode pada kasus persamaan diferensial non linier

Pada Gambar II.10 terlihat ketidakstabilan metode Euler. Terlihat pula metode Verlet

dapat mendekati Runge Kutta orde 4.

2.3 Pemecahan Persamaan Gerak dengan Metode Verlet

Subtitusi persamaan (1) dan (5) dengan persamaan (11), (12), dan (13) didapat:

(14)

(15)

(16)

(17)

dengan,

).()()(=)( ,,,, jivijijiintji PPPt FWFF

Persamaan (14), (15), (16), dan (17) inilah yang akan digunakan dalam perhitungan

simulasi sistem partikel.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

Euler

Midpoint

RK4

Verlet