Bab 8.-Momen Inersia

AykdakyM 22

Bagian atas balok tersebut mengalami tekanan dan bawahnya tertarik Momen M Sama dengan : Jumlah semua dari gaya-gaya elemen ; ∆F ∆Mx=y. ∆F= K.y2 ∆A .Apabila kita integralkan terhadap seluruh penampang di peroleh:

Integral dAky 2 di kenal sebagai momen ke dua atau momen inersia dari penampang balok

terhadap sumbu x di tulis dengan Ix, yang besarnya mengalikan tiap elemen dA dengan koordinat

Jaraknya dari sumbu x dan mengintegerasikan terhadap penampang balok. Karena hasil kali y2.dA selalu positif maka, Ix juga selalu positif

Bila suatu balok di lenturkan secara murni, maka gaya-gaya dalam tiap bagian merupakan gaya-gaya terbagi yang besarnya ∆F=ky. ∆A

8.1. Definisi Momen Inersia :

Ix adalah momen Inersia suatu bidang A terhadap sumbu X :

Iy adalah momen inersia suatu bidang A terhadap sumbu Y :

dAyIx .2 dan

dAxIy .2

8.2. Momen Inersia PolarMomen inersia polar adalah : momen inersia yang terjadi

pada penamp. silendris atau mengenai pemutaran suatu penampang.

dArIp .2Dapat di defisinisikan :

Dimana r = jarak elemen dA ke titik 0

M Inersia polar suatu bidang dapat dihitung dari m.inersiaIx dan Iy, bila integral-integral ini telah di ketahui

Dengan memperhatikan P2=y2+x2 Di dapat :

dAxdAyyxdArIp 22222 )(.

Jadi : Ip=Ix+Iy

Cara Pendekatan

Momen inersia suatu bidang dapat di tentukan agar cara pendekatan yaitu dengan membagi-bagi ke dalam jumlah bidang yang lebih kecil(a), Kemudia mengalikan bidang-bidang dengan jarak kuadratnya (y2).

Momen Inersia pendekatan : Ix=Σa.y2. contoh :

Ix=2 (a1,y12+a2y2

2+a3y32+a4y4

2+a5y52)

Karena ada 2 sisi (atas dan bawah x)

Luas a1=a2=a3=a4=a5

2.10=20 cm2

Ix=2 (20,92+20.72+20.52+20.32+20.12)

Ix= 6600 cm4.

M. inersia sebenarnya suatu bidang segi empat:

433 67,6666)20).(10.(121

121 cmbhIx

Rumus2 Ix dan Iy; diturunkanCara Integral

.31

..

303

22

3

bhbIx

dyybdAyIxhy

ho

Bagian kecil dA=b.dy sejajar

Sb x (lihat Gbr)

Bagian kecil dA=2πUdu

4

040

3

0

22

2

22

)2(

4

rIp

duuIp

uduudAuIp

rur

r

1. Ix “EMPAT PERSEGI” terhadap Alas-nya

2. Ix “LINGKARAN” terhadap Pusat-nya

dybdAdAA yI x ...2

2/

2/

32/

2/

2.31...

h

h

h

hx yyI bdyb

88.31

22..

31

3333 hhI bhhbx

hI bx

3..121

Ix terhadap titik pusatnya

Rumus2 Ix dan Iy; diturunkanCara Integral

3. Ix “EMPAT PERSEGI” thdp Ttk.Pusat-nya

A

h h

dyhbybydy

hbyhydAyIx

0 0

3222 ).()(.

dyhbyhdA

hbyhphyhbp

.)(

).(:)(:

430

43 ..43.4

.3

hhbhby

hbybIx

h

333

121

123

124 bhbhbhIx Ix∆ terhadap alasnya !!

Rumus2 Ix dan Iy; diturunkanCara Integral

4. Ix “SEGITIGA” thdp Alas-nya

Lihat skets :

dyh

byhdA

hbyh

phyhbp

..

32

.:)3

2(: 32

A

dAyIx 2

h

h

h

hhby dyybdy

hyhbyIx

32

31

32

31

32323

22 ...

Rumus2 Ix dan Iy; diturunkanCara Integral

5. Ix “SEGITIGA” thdp Ttk Pusat-nya

Lihat skets :

3

333

33

361

.787322187

787323645

787325832

32415

24318

bhIx

bhbhbhbhbhIx

Ix Segitiga terhadap T.B-nya !!

h

hbhbhhbhb

hbyby

Ix h

h 4)(

3)(

4)(

3)(

43

4313

31

324

323

32

3243

32

32

31

33

33

811.

41

271.

92

32416.

41

278..

92

hbhbhbhb

Ix

3333

3241

3242

32416

24316 bhbhbhbhIx

Momen Inersia Bentuk Geomaetrik Umum

Mencari Ix dan Iy dgn Teori Sumbu Sejajar:

Y

X

yo

xo

dA

A ∆y

∆x

y +∆y

x + ∆x

xy

Momen Inersia Sb Xo = Ixo

Momen Inersia Sb Yo = Iyo

dAxIydandAyIxA

oA

o .. 22

Maka : dAyyIxA

.2

dAyyyyIxA

..2 22

A AA

dAydAyydAyIx .)(..2. 22

J a d i : 2. yAIxIx o 2. xAIyIy o Dan

Statis momen A thdp Xo = 0

Sumbu-SUMBU UTAMA & M.Inersia UTAMA

Artinya ; Sepasang sumbu yang memberikan nilai M.Inersia yg Utama. Apabila M.Inersia dihitung thdp sb Utama, maka harganya

merupakan harga yg Ekstrim (maks atau Minimum) dan

disebut, “MOMEN INERSIA UTAMA”.Sifat –sifat

Sumbu UTAMA :

Sb.Utama s aling tegak lurus satu sama lainnya.Setiap sb. Simetris merupakan sb. Utama.

Y=V

c

Y=V

X =U c

Y=V

X =U c

Y=V

X =U c

Gbr di atas ini : Sb.x-y dan Sb u-v Merupakan sb.Utama

Bagaimana Kalau SIKU ?: y

x

Untuk SIKU :

Sb.x-y bukan Sb. UtamaTetapi, Sb u-v adalah Sb.Utama→ dlm hal ini , θ =450 pada penamp. Siku saja.

uv

θθ

┘

PENURUNAN RUMUS....??

Penurunan Rumus

sinyxCosu

sinxyCosv

Sumbu Utama :Amati skets :

ydAxIxy

dAxIydandAyIx

.

22

Produk momen InersiaUntuk mencari besaran-besaran terhadap sb U dan V

Maka dapat kita masukkan harga-harga u dan v ke dalam rumus di samping :

Besaran-besaran terhadap sbx dan sumbu y

2sinsin..

.2sinsin

).sin.2sin(

)(

22

2222

2222

222

2

IxyIyCosIxIu

ydAxdAxdAyCosIu

dACosxyxCosyIu

dACosyIu

dAvIu

Dengan cara yang sama di dapat

222 ... SinIxySinIxCosIyIv

)22()(sin)(sin 2222 SinSinIxyCosIyCosIxIvIu

IyIxIvIu Kontrol :

221212

221122

22

22

CosSinSinCos

CosCosCosCos

Ingat Rumus:

Selanjutnya :

2222

222

222

2

2)221()

221(

IxySinCosIyIxIyIxIu

IxySinIyCosIyIxCosIxIu

IxySinCosIyCosIxIu

Secara Analog di dapat juga :

2222

IxySinCosIyIxIyIxIv

Momen Inersia Iuv =..??

22sin2

22

222

22sin

22)(.

)..(

))((..

2222

2222

IxySinAIyIxIuv

IxSinIySinIxyCos

dAydAxSindASinCosyx

dAYSinXCosSinyCosSinxyCosx

dAxSinyCosySinxCosdAvuIuv

Selanjutnya - Momen Inersia utama dicari dari :

2

2

022

0

IyIx

Ixytg

IxyCosSinIyIxddIv

2

2

0222

0

IyIx

Ixytg

IxyCosSinIyIxddIu

Jadi sudut ø yang memberikan nilai/harga

Inersia utama adalah sudut dimana :

)(22IyIxIxytg

pIxySindan

pCos

IyIx

22 2

Maka didapat Rumus :

22

22

2

22

2

.2.22

2222

IxyIyIxIrIxIext

pIxyIyIxIext

PIxyIxy

p

IyIxIyIxIyIxIextrem

IxySinCosIyIxIyIxIu

IyIx

Dengan Catatan :1. Harga Ixy dapat + atau –

2. Jika salah satu sb atau keduanya sb simetris, maka Ixy=0

Produk Inersia :

ydAxIxy .