1

22/09/2013

Matematika Teknik Kimia II

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

2 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

• Kesalahan yg terjadi dlm interpolasi linier adalah krn kurva dr

fungsi didekati dg garis lurus.

• Untuk mengurangi kesalahan yg terjadi maka perkiraan

dilakukan dg menggunakan garis lengkung.

Apabila garis lengkung terdapat 3 titik data order 2

(Interpolasi Quadratic)

Dipakai untuk bentuk polinomial

order 2 (kuadratik/parabolik).

f(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)

Dijabarkan lebih lanjut:

f(x)=b0+b1x-b1x0+b2x2-b2xx1-b2xx0+b2x0x1

=(b0-b1x0+b2x0x1)+(b1-b2x1-b2x0)x+b2x2

=a0+a1x+a2x2

3 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Cara menghitung koefisien2 pada

persamaan:

b0→pada x=x0:f(x0)=b0+0+0→b0=f(x0)

b1→nilai b0 disubstitusikan ke

persamaan pada x=x1:f(x1)=f(x0)+b1(x1

-x0 )+0

4

01

011

xx

)f(x)f(xb

22/09/2013 Matematika Teknik Kimia II

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

b2→nilai b0 & b1 disubstitusikan ke persamaan pada x=x2:

Dengan manipulasi matematis:

5

)xx)(xx(b)xx(xx

)f(x)f(x)f(x)f(x 1202202

01

01

02

02

01

01

12

12

2xx

xx

)f(x)f(x

xx

)f(x)f(x

b

22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh :

Dengan menggunakan formula interpolasi kuadratik(polinomial orde 2), tentukan nilai ln(2) pada data f(x)=ln(x) yg melalui titik2 data:x0=1,f(x0)=0 ; x1=4,f(x1)=1.3862944 ; x2=6,f(x2)=1.7917595.

Bila nilai sesungguhnya ln(2)=0.69314718, maka kesalahan relatif dgn data (x0,x1)=33.3%. (lht Cth 1.1)

6 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh 1.2 (lanjutan):

Mencari koefisien persamaan:

b0=f(x0)=0

7

462098.0 xx

)f(x)f(x)x,f(xb

01

01

011

05187309.0xx

)x,f(xxx

)f(x)f(x

xx

)x,f(x)x,f(x)x,x,f(xb

02

01

12

12

02

0112

0122

22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh 1.2 (lanjutan):

f(x)=0.462098(x-1)-0.05187309(x-1)(x-4)

f(2)=0.56584418

Kesalahan relatif=

8

18.3659% x100%69314718.0

69314718.056584418.0

22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Interpolasi dgn polynomial Lagrange digunakan untuk

memudahkan penyelesaian polynomial Newton, terutama

dgn order>2.

Persamaan yg mendasari:

9

ji

j

0i

n

0i

iin xx

xxx)(Ldengan )f(x x)(L x)(f

n

ijj

22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Tanda π menunjukkan “hasil kali dari”

Contoh utk versi linier (n=1), maka:

Utk versi order-2

10

)x(f)x(x

)x-(x)f(x

)x(x

)x-(x)(xf 1

01

00

10

11

)f(x)xx)(x(x

)x-x)(x-(x)x(f

)xx)(x(x

)x-x)(x-(x)f(x

)xx)(x(x

)x-x)(x-(x)(xf 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212

22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Utk versi orde 3

11 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Sehingga untuk versi orde 3

12 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Penyelesaian:

13 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

462098.0)3862944.1()1(4

)1-(2)(0

)4(1

)4-(2)(2f1

Matematika Teknik Kimia II

)(1.7917595)46)(1(6

)4-2)(1-(2)3862944.1(

)64)(1(4

)6-2)(1-(2)(0

)61)(4(1

)6-2)(4-(2)(2f2

56584437,0)(2f2

Contoh:

Diketahui f(x)=ln(x)

xo =1 f(1) = 0

x1 =4 f(4) = 1.3862944

x2 =6 f(6) = 0.69314718

Ditanya : x=2, f(x)=?

Untuk orde 1 (linier):

Untuk versi order-2

14 22/09/2013

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh:

Diketahui log 654 = 2.8156

log 659 = 2,8189

log 661 = 2,8202