! "#!%$&"')(* ( + !, -&". /')01%2')34 5$

687:9<;>=@? ACB%DEDGF>HI=J;)DLKJ;M=1? NPOQ;)DEDLRTS

U>VXWZYE[\W^]`_`aZb<cedGW\a8VXbEfg_ha8ikjlmanVoY/YEc>YqpdbL]rVXW8sb<]`_haZbEc)lman_tW8fuavWvikj!wIfg_yxEW8[ki8_r]`zY\p|Y<]h]`_rf~VobEsjw>fg_rxW8[viv_`]`z5b<[k/j!Y<]h]`_rf~Vob<sjE|&j!we

/<<<<

I// <

¡¢£g¤g¥!¦§§¨Z©/ªo«¬¦­\«®©E¤g¯­Z©J­\¨k¦/°L¢ «¤±³²¨Z¢/¦­\´g¢n¨I¯k© ­\«®©E¤g¯>©µX­\´g¢©E¤g¢8¶T¥X«¬¢n¤g¯\«®©E¤·¦ o¸ ¢n¨\¬2«¹¶º¦E¯\­k¦¶T» ¦¬½¼ ¸ º»¾ ¦­\­\«®¿^¢<ÀÁJ©E­\´Â²¨\«±<´­²¨Z¢/¦­\´g¢n¨Ã¦¤g¥Ä¥g¦¨\ÅƲ¨Z¢/¦­\´g¢n¨¯Z© ­\«®©E¤g¯C¦¨Z¢µh© ¤g¥eÀ)¡¢£g¤g¥G­\´·¦­­\´g¢2¢8ªo«®¯\­Z¢n¤g¿^¢2©µ ©¿/¦ «®¯k¢^¥Æ¼r²¨\«±<´­v¾&¯Z© ­\«®©E¤g¯!¥¢n§)¢n¤g¥¯ §)©E¤G­\´g¢¿^©o¢8Ç¿n«®¢n¤È­Z¯.©µ)¿ ²«®¿¦¤g¥É ¦¨\­\«®¿5­Z¢n¨\¬¯%©µ)­\´g¢5§)©E­Z¢n¤È­\«Ê¦ ¢n¤g¢n¨\± LË ±L¢n¤g¢n¨k¦ «®¯\«¤±¦¤¢/¦¨ «®¢n¨«¤g¢^É ¦ «­ ¥¢n¨\«°L¢^¥² ! ¦¬¢^¯#ÌÎÍ.ÏÑÐ5¿/¦E¥Òo¿n«oº¦¨\«®¯Ó<Ó XË<X<Ë ¼ <<X ¾TÔTÀ¡¢ ¯Z¢%­\´g¢¬¢n­\´g©o¥©µ5¬ ­\«§ ¢Ã¯Z¿/¦ ¢^¯­Z©¨Z¢^¥ ¿^¢­\´g¢¢^É ¦­\«®©E¤g¯©µ|¬©E­\«®©E¤Õµ`©E¨­\´g¢ ¦­\­\«®¿^¢­Z©+¦Ö¤g©E¤ «¤g¢/¦¨Òo¿k´¨Z×<¥X«¤±L¢n¨!¢^É ¦­\«®©E¤¦­ ¢/¦E¥X«¤±©E¨Z¥¢n¨&¦¤g¥´g¢n¤g¿^¢¿^©E¤g¯\­\¨ ¿n­!¦¤G¦E¯ ¬2§­Z©E­\«®¿µh©E¨\¬Øµh©E¨­\´g¢Ã²¨Z¢/¦­\´g¢n¨/À¡¢Ö¯\´g©ÙÚ­\´·¦­2«¤Æ­\´g¢¦²g¯Z¢n¤g¿^¢Ö©µ&¦¿ ²«®¿Ã§)©E­Z¢n¤È­\«Ê¦ ¢n¤g¢n¨\± ­Z¢n¨\¬ Ë ­\´g¢ ¦­\­\«®¿^¢¯ §§m©E¨\­Z¯¿^©E¬²«¤g¢^¥²¨Z¢/¦­\´«¤±E¶tÅo«¤ÅÙ.¦/°L¢8µ`©E¨\¬¯ÀIÛJ´g¢¦¬2§ «­ ¥¢©µ.²¨Z¢/¦­\´«¤±E¶Åo«¤Åo¯¿/¦¤2²)¢|¦¨\²«­\¨k¦¨\« ¯\¬¦ tË ¦E¯©E§§)©<¯Z¢^¥­Z©&­\¨k¦E¥X«­\«®©E¤·¦ ¬©E¤g©E­Z©E¤g¢5Åo«¤Åo¯ Ë Ù5´«®¿k´´·¦^°L¢¦¤g©E¤Ü/¢n¨Z©¬2«¤«¬ ¬,¦¬2§ «­ ¥¢«¤¯ ¿k´¯ ¯\­Z¢n¬¯Àg¡¢¦ ¯Z©§¨Z¢^¯Z¢n¤­&¤ ¬¢n¨\«®¿/¦ ¯\«¬ ¦¶­\«®©E¤g¯#©µ)­\´g¢ ¦­\­\«®¿^¢ Ë °L¢n¨\«¹µ «¤±­\´g¢|¯\´·¦§)¢³¦¤g¥°L¢ ©o¿n«­ ©µ)­\´g¢|­\¨k¦/°L¢ «¤±ÙJ¦^°L¢8µh©E¨\¬¯ Ë ¦¤g¥¿^©E¤X£g¨\¬2«¤±­\´g¢ ©E¤±E¶ «°L¢^¥¤·¦­ ¨Z¢!©µ¦ ¯ ¿k´¬©¥¢^¯À

W8zÝ%YE[qÞEi^ß²¨Z¢/¦­\´g¢n¨Z¯ Ë ¤g©E¤ «¤g¢/¦¨³ÙJ¦^°L¢^¯ Ë ¥X«®¯Z¿n¨Z¢n­Z¢!¯ ¯\­Z¢n¬¯ Ë)àáIl)ß < À â À ¶ã¦ Ëu< À â À ä°

å æçIè<éLêë%ì#íoè<îTê>ç

ïðrñ8òó8ôõnôÖö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ÷oó8ôCõ8ðrù*ôúqûIôó8ðrü·ý)ðyò÷oþ)ýÄñ8ûe÷Èõnð`÷ÿrÿGÿrü·òE÷oÿyðrñ8ôýÑñvüXÿmõ8ðrüXþmñü³òüuúû)ÿrôýò^øe÷oðrþmñü·þ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oóüXñvòðrÿyÿ`÷õ8üXó8ñ\þ Ñ÷oòÈ÷ ÷oþ)ýmö)ó Xôñvõn÷oö)ÿyðrñ8ømôýõnø)ô³ôuðyñvõnôþ)òô³ümñvõ^÷Èõnðrüoþe÷oóö)ó8ô÷õnømôó8ñ%ðrþ÷!ö)ó8ü÷ýó8÷oþ Xô³üuÿ`÷õvõnðyòô5ù*üuý)ôÿrñ \þõ8ø)ôðyóù+ôõnø)ü·ý!Èö)ó8ô÷õnømôó8ñJ÷oó8ô&üoömõ^÷oðyþ)ôýCö"òüoþgõ8ðrþ"e÷õ8ðrüXþ#tó8üXù õnømô&÷oþõnð®ú\òüXþõnðrþ"mùØÿyðrù*ðyõ

$.sbE_rc>bLÞLÞ<[\Wvivi^Wvi/ß&%'()*,+.-0/01213 '") 124"5!+6*71018%*2904):'&+;)=<>+./0? Ë@ 7 *)104=) *,+6A=)101B%05 3C*7 121B%*29C4=)'D+;)<E+6/2?+¼ ©E¤·¦­\´·¦¤GÐGF@¡Õ¦­\­\«®¯v¾8À

HJILKNMOIQPSROT,UV"W:XYP6TQT;KZ[T;\^]J_`ULKaPbKcIedBfcPbKcRfK g:hiV _kj[lmm:n

÷õ!ømðrò^øÆõnømôÃþ)ôõ üXóÆðrñó8ôýO)òôýÄõ8ü÷oþÄ÷oóvón÷ ü )þ)òü)û)ÿyôý üXñvòðrÿyÿ`÷õ8üXó8ñ \þÆõnø)ðyñÿrðyù+ðÊõ ö)ó8ô÷õnømôó8ñ+÷oóvô tü)þ)ý õnóvð·ð`÷oÿyÿ#ñvðrþ)òôÕüoþ)ôù÷ õn÷oôö)óvôE÷õ8ø)ôóvñtüoó!ø)ðrò^øüXþ)ÿ GüXþ)ôüXñvòðyÿrÿ`÷ÈõnüXó ðrñôuòðyõnôý!M÷oþ)ýõnømôüõnø)ôó8ñ!ó8ôù÷oðyþ÷õ!ó8ôñvõ:

ømðrñ.ù*ôõ8ø)ü·ýCðrñ#þ)üoõJ÷oû)û)ÿyðròE÷ö)ÿrô5õnüMôó8ù*ðÊú.÷oñkõ^÷Èúÿ`÷ù %ÿr÷õ8õ8ðròôñ#ü2)õnø)ô õQuû>ô ó8ñkõðyþoôñkõnð X÷õnôýÑö=Môó8ù*ð, NMñ8ðrþmòôõ8ø)ôñvôCý)ü+þ)üoõûIüoñ8ñ8ôñ8ñ2÷þ )þ)òü)û)ÿyôýÿrðyù+ðÊõðrþ!ø)ðyò^ø õnóvð·ð`÷oÿ|ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñÖôuðrñkõ ô oôókõnø)ôÿrôñvñ:5ô÷oó8ÿ ÷þe÷oÿgõ8ðròE÷ÿ ÷þ)ý þ"uúù+ôó8ðyòE÷oÿ!üXóðyþ)ý)ðrò÷õnôýGõnøe÷Èõ"# ÿ`÷õvõnðyòôñòü)ÿyýðrþ)ýmôôýñ)û)û>üXóvõ!ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ:eñvôôtüXóðrþ)ñkõ^÷oþmòô##÷oôþ)ü $ ÷þ)ý&%ðyògøe÷où ' ( ;#)÷õ8ôó³óvð Xüoó8ü)ñÖûmó8ü·ütñ tüXóôuðrñkõnôþ)òôðrþÕûe÷oóvõ8ðrò)ÿ`÷oó*"#Øù*üuýmôÿrñ* ôóvôCû)óvü+uðyý)ôý ö=,.ÿ`÷oò^ø #÷oþ)ý )ö)ó - N

.X÷ù+ôñ 0/ !û)ó8ôñ8ôþõ8ñ÷ û)ó8ü·üü2õ8ø)ô ôuðrñvõ8ôþ)òô1tþ)üXþ)ôuðrñvõ8ôþ)òô+üömó8ôE÷Èõnø)ôó8ñ*ðrþ Xôþmôón÷ÿ2ÿr÷õ8õ8ðròôñû)ó8ü+·ðrýmôýõnøe÷õõ8ø)ô ðyþõnôó8÷oòõ8ðrüXþû>üoõnôþõnð`÷ÿñn÷õ8ðrñ ôñ3·ðrüÈúÿ`÷õ8ôñ4÷Ñÿyüuò÷oÿ|øe÷oó8ýmôþ)ðyþ Æòüoþ)ý)ðyõ8ðrüXþE5·ù÷oÿyÿ³÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ!ðyõnø tó8ô76")ôþuúòðyôññ8ÿyð Xøõnÿ ÷oö>ü+XôÄõnø)ôÂû)ø)üoþ)üXþ öe÷oþ)ý1÷oó8ô tü)þmý8!ø)ôþ

B > 0*!ø)ôó8ô

B =V (4)(0)/2 − (V (3)(0))2 ÷oþ)ý õnømôðróþ)üXþ)ômðyñvõ8ôþ)òô+ðyñû)ó8ü+oôý tüoó

B < 0Vðyñõnø)ô

ðrþõnôón÷oòõnðyüXþÑû>üoõnôþõnð`÷ÿ;M÷oþ)ý ðrñò^ø)üXñ8ôþÆõnü+ñn÷õ8ðrñ V ′(0) = 0

÷oþ)ýV ′′(0) = 1

òúòüXù*ûe÷oþ=·ðrþO þ")ù*ôóvðròE÷ÿ9üXóÖö=:5u÷oþ)ò^ø)ô ;ú=<÷ >#> $( Iðyÿrÿ)ñvõ8ón÷õ8ôñJõnømôó8÷oþ Xô!ü÷oÿrðyý)ðyõQü2?.X÷où+ôñ7@>òôþgõ8ó8ôÃù+÷oþ)ð tüXÿrýõ8ôò^ø)þ)ð6")ôÃñ8ðyþ)òôCñ8ù+÷oÿrÿ%÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôömó8ôE÷Èõnø)ôó8ñ÷oó8ô òüXù*ûmõ8ôýC÷oþ)ý tümþ)ýCõnüöIô ðrþ# Xü·üuýC÷ Xó8ôôù*ôþõA!ðyõnøCÿrôE÷ý)ðrþ Èú\üXóvý)ôó÷oþ)÷oÿgõnðyòE÷oÿôuû)óvôñ8ñvðrüXþmñý)ôý)òôýÆö=,.X÷où*ôñ

Bømðrÿrñkõ#ô ·þmü0 üþ)üÃû)óvüuü2tñ tüXó5õ8ø)ôômðyñvõ8ôþ)òôüù*ü+uðyþ ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ ðrþÿr÷õ8õ8ðròôñ:õnø)ôðróÿrüXþO ú\ÿyðXôýþe÷õLmó8ôøe÷oñö>ôôþÆþ)üoõ8ôý!>÷oþmýÆøe÷oñðrþ)ñvû)ðróvôý ù+üXóvôý)ôõn÷oðrÿyôýÕñvõLmýOü|õnø)ôðróñvõ^÷ö)ðrÿyðyõQ ÷oþ)ý ù*üXö)ðyÿrðyõQ!5m÷oþ)ýO)ñ =CDD $2 &mñ8ô÷GòüoùÃö)ðrþ)÷õnðyüXþÑü5õ8ø)ôó8üoõn÷õnðyþ úE&÷FXôÆ÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ðrüXþG <HB I+õ8ü ý)ôñvòóvðrö>ôÄõ8ø)ôÆõnôù+û>üXó8÷oÿôXüXÿmõnðyüXþ ü÷ ömó8ôE÷Èõnø)ôó:õnü oôõnømôóJ!ðyõ8ø ÷:þ")ù+ôó8ðyòE÷oÿ2ñvüXÿmõ8ðrüXþüCðyõ8ññ8øe÷oû>ôKü õQ·ûIôñÑüñvõn÷õnðyüXþe÷oó ö)ó8ô÷õnømôó÷oó8ôtü)þ)ýML%üoþ)ô+òôþõnóvôý üoþ ÷Õÿ`÷õvõnðròôÖñ8ðÊõnô*÷oþ)ý üXþ)ô*òôþõ8ó8ôýöIôõôôþÿ`÷õvõnðròôJñ8ðÊõnôñ:+^)ù+ôó8ðyòE÷oÿñ8ðrù )ÿ`÷õ8ðrüXþmñ÷oþ)ýø)ô)ó8ðyñvõ8ðrò|÷oó )ù*ôþõnññvø)ü+ õnø)÷õõnø)ôYtüXóvù+ôóðrñ )þmñvõ^÷ö)ÿrô2õnüû>ôókõL)óvöe÷õnðyüXþ)ñN!ø)ðyò^ø ò÷)ñ8ôýÑù*üoõnðyüXþü%õnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóø)ô|ÿ`÷õvõnôóõQ·ûIô³ðrñEtü)þ)ýõnü!öIô5ñkõ^÷oömÿrô7ø)ôñvô óvôñ mÿyõnñõ8øBmñ%ñvø)ü+ õ8øe÷õö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ*T÷oñôÿrÿ>÷oñ ·ðyþgñO|ôuûIôó8ðyôþ)òô÷õQ·û>ôüP#ôðyôóvÿrñkú÷oö)÷oó8óvüû>üoõnôþõnð`÷ÿeöe÷oó8óvðrôó7Lø)ü+ ô Xôó:õnø)ôòüXþmòôûuõ2ü|÷oþ ôþ)ôó öe÷oóvó8ðyôó!ðrñþ)üoõ÷oñ mñ8ô6mÿ,tüXóö)ó8ô÷õnømôó8ñ÷oñgðyþgñ:>ñ8ðrþmòôðyõ8ñ5÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô ý)ôû>ôþmý)ñ üoþÃõnø)ô!ðrþõ8ôó8þ)÷oÿmû)ø)÷oñ8ô!üMõnømôö)ó8ô÷õnø)ôóQã÷oñ5ñvø)ü+!þ+ðyþ (R$ S

\þ õnø)ðyñûe÷ûIôó:Kô[)ñ8ô÷ñ·ù+ûuõnüoõ8ðrò*ù+ôõnø)ü·ý)ñõnü þ)ý ÿrô÷oý)ðyþ ú\üoó8ý)ôóôuû)ó8ôñ8ñ8ðyüXþ)ñtüXóõ8ø)ô tüXóvù ü2|ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ2ðyþ ÷GüXþ)ô/ú\ý)ðyù+ôþ)ñ8ðyüXþe÷oÿAeôóvù+ð®ú=.÷ñvõ^÷Lú=ÿr÷où ò^ø)÷oðrþ>!ðÊõnø÷oþ)øe÷ó8ù*üXþ)ðròûIüõnôþõ8ð`÷oÿN \þT5uôòõ8ðrüXþ$U ô+÷û)û)ÿõ8ø)ôÖñ8ôù+ð®ú\ý)ðyñ8òóvôõ8ôÃù )ÿÊõnðrûmÿrôúqñ8ò÷oÿrôù+ôõnø)ü·ýÕü"<!ôù*üXðyñ8ñ8ôþ)ôõ õ8ü+óvôý)òôõ8ø)ô# Xü+Xôóvþ)ðrþO +ô 6B)÷õnðyüXþ)ñõnü+÷*þmüXþ)ÿrðyþ)ôE÷ó5uò^ø)óWVXý)ðrþO Xôó* )A59÷õ#ÿrô÷oý)ðrþO üXóvý)ôóXømô÷oÿrðyý)ðyõQü)õnømðrñ%ù+ôõnø)ü·ýCøe÷ñ.ñ8ðyþ)òô öIôôþôñkõ^÷oö)ÿyðrñvø)ôý*ö=U5uò^ø)þ)ôðrý)ôó*YZB ÷ uþmô $\[ Ng÷oþ)ý*ö=U]ðr÷oþ)þ)ümÿrðrñJ÷oþ)ý ðrôÿoô# 0$ +( tüXóG÷ ù+üXóvô Xôþ)ôó8÷oÿ tüoó8ù üô76"e÷Èõnðrüoþ@ðrþC!ømðrò^ø@õnømôó8ôÑðrñG÷þ üXþuú\ñvðyõ8ô û>üoõnôþõnð`÷ÿ÷oñ ôÿrÿJ÷oñõnø)ôþ)ô÷oó8ôñvõkú\þ)ôð Xøgö>ü)ó2ðrþõ8ôón÷òõnðyüXþ)ñMø)ô^)A5Æô76"e÷ÈõnðrüoþÄ÷oý)ù*ðyõnñõüý)ð_Iôóvôþõ2õQ·ûIôñü³ñ8üXÿyðyõnüoþÑñ8üoÿmõ8ðrüXþ`tö)ó8ð Xøõ2üXóý)÷oó a tüXóõ8ø)ôÖö)óvôE÷õ8ø)ôó2ôþoôÿyüXûIô2

$

ý)ôû>ôþmý)ðrþ YmûIüXþÃõ8ø)ôòü·ô*òðrôþõ8ñ5üeõnø)ôò)ö)ðyò÷oþ)ý 6"e÷oókõnðyòõnôó8ù*ñJðrþCõ8ø)ô&û>üoõnôþõnð`÷ÿôþ)ôó 6)þmòõnðyüXþ! )ó÷oñ·ù*ûmõnüoõ8ðrò*÷oþe÷ÿ·ñ8ðyñ·ðyôÿrýmñðyþ)ô76"e÷oÿyðyõ8ðrôñ!ømðrò^ø ðyÿrÿmñvõnó8÷õnôø)ü+Qõnø)ôGñvð ;ôüõ8ø)ôñvôòü·ô*òðyôþõnñÃýmôõnôó8ù*ðrþ)ô*õnø)ô+õQuû>ôGü!ñvüXÿuõnðrüoþ!Pø)ðrñCÿrôE÷ý)ñõnüGòüXþ)ý)ðÊõnðyüXþ)ñ tüXóD!ømðrò^øÆõnømô"# ÿr÷õ8õ8ðròôñ)û)û>üXóvõ8ñö)óvð XøõüXóýe÷ó ö)ó8ô÷õnømôó8ñðrþõnø)ôÿ`÷Èõ8õnðyòô2\B ô þ)ý*õnøe÷õ ñvõn÷õnðyüXþe÷oó Öö)óvôE÷õ8ø)ôóvññn÷Èõnðrñ U.X÷où*ôñ7@gðyþ)ô76"e÷oÿyðyõQ

B > 0

!ø)ðrÿyô^tüoó³ù*ü+·ðrþ ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ ô þ)ýG÷ Xôþ)ôó8÷oÿrðyñ8ôý^Xôó8ñ8ðyüXþü2A.X÷où*ôñ7@·ðrþmô76"e÷oÿyðyõQ5uüXÿyðyõnüoþ ñvüXÿuõnðrüoþ)ñüCõ8ø)ôT)A5 ô 6B)÷õnðyüXþ ÷ó8ô )ñ8ôý õnü òüXþmñvõnó)òõÑÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôó÷oþe÷oÿ gõnðròtüXóvù+ñtüXóö)ó8ð XøõÖ÷oþ)ý ýe÷oó Äö)óvôE÷õ8ø)ôóvñÃðrþÂõnø)ô:"# ò^øe÷oðyþ!KB ô+û)ó8ôñ8ôþõó8ôñ )ÿÊõnñüJþ")ù*ôóvðròE÷ÿñ8ðrù )ÿ`÷õ8ðrüXþmñ&ü.õ8ø)ô2"#Øÿr÷õ8õ8ðròô2ðyþ>5·ôòõ8ðrüXþ( ô þ)ý oüuü·ý÷ Xóvôôù*ôþõ!ðyõ8øõnø)ôó8ôñ )ÿÊõnñ!û)óvôý)ðyòõnôý ö=Gõ8ø)ô÷oñ·ù*ûmõnüõnðrò÷þe÷oÿ·ñvðrñ:

\þJ5uôòõnðrüoþ ô2ñ8ø)ü+mö=+òüXþmñ8ðrýmôó8ðyþ Ãñvù÷oÿyÿ &÷FXôþ")ùÃö>ôó8ñeõnøe÷õ õnø)ôó8ô2÷ÿrñ8üôgúðrñkõ &÷FXôtüXó8ù*ñ !ø)ðrò^ø ÷oó8ôòüXùÃö)ðyþe÷õnðyüXþ)ñÃü2÷ ö)óvôE÷õ8ø)ôó+÷oþ)ý ÷ ·ðyþ ø)ôÕüXó8ý)ôóü2ù+÷ Xþ)ðÊõL)ýmôüõnømô,÷FXôþ")ùCöIôóGý)ôõ8ôóvù+ðyþ)ôñ !ø)ðrò^ø üõ8ø)ô õ ü òüXù+û>üXþ)ôþõnñý)üXù*ðrþe÷Èõnôñðrþ ñ)ò^øÂ÷ &÷FXôtüXó8ù ÷oþmýÂømôþ)òô!ø)ôõ8ø)ôó÷Gö)óvôE÷õ8ø)ôó2üXó÷ ·ðyþÕüXó2÷òüXùCö)ðrþ)ôý ö)óvôE÷õ8ø)ðrþO úQgðrþOÆðrñôuø)ðyö)ðyõ8ôý )ÿyõ8ðrù+÷õnôÿ!B ô*û)óvôñ8ôþõÖþ")ù+ôó8ðyòE÷oÿ5ñvðrùÖú)ÿ`÷Èõnðrüoþ)ñ !ø)ðyò^ø ñ8ømü04õnøe÷õõ8ø)ôñvô òüXùÃö)ðyþ)ôý ù*üuý)ôñù+ü+oô ÷ñõ8ón÷FXôÿrÿyðrþ 1÷FXôñü+Xôóðyþgõ8ôóvù+ôý)ð`÷õ8ô+õ8ðrù*ôñ8ò÷oÿrôñ:KB ôñvø)ü+ õ8øe÷õÃõ8ón÷oý)ðÊõnðyüXþe÷oÿN%ù*üXþ)üõnüXþ)ô2,gðyþgñÖðrþõnø)ô 6B)÷oóvõ8ðròJ"# ÿr÷õ8õ8ðròô+øe÷Foô÷Æþ)üXþuú ;ôóvüÆù*ðrþ)ðyù )ùP÷où*û)ÿrðÊõL)ýmô%÷oþ)ý õ8øe÷õCõ8ø)ôòüXùCö)ðrþ)ôý+ù*ü·ý)ôñ|÷oÿyÿrü+:õnó8÷+oôÿyÿrðrþO &÷FXôñ!ðyõ8ø*÷#gðrþOÖ÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôöIôÿrü+ õ8ø)ðrñ|ù*ðrþuúðrù mù KBø)ðrÿyñvõ.ÿgõ4;÷oþ)ðyñ,2 tü)þmý:÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ðrüXþmñõnü òüXùÃö)ðyþ)ôý õ8ón÷FúôÿyÿrðrþO ö)ó8ô÷õnø)ôókú ·ðyþgñCðyþÂõ8ø)ðrññ·ñkõnôù õnø)ôðróñ8üXÿmõnðyüXþ ÷oþ)ñn÷Èõ4;*ôuû)ÿrðyòðÊõnÿÆ÷oñ8ñ)ù*ôñõnø)ôÕôuðyñvõnôþ)òô üö>üoõ8ø@÷oþ üXñ8òðrÿyÿ`÷õ8üXó Tö)óvôE÷õ8ø)ôó4*÷oþmý ÷Âñ8ÿrü+!ÿ 1÷oó·ðrþO &6·ðyþaòüXù*û>üXþ)ôþõ8ñ#!ðÊõnø*ñ8ðyù+ðyÿ`÷oó.÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôñ: )ó³÷oûmû)ó8ü÷ò^øðrñJõ8ü üXó!ðyõnø+÷ý)ð_IôóvôþõtüXó8ù )ÿ`÷õ8ðrüXþÕü5õ8ø)ôÃû)óvüXö)ÿrôù I÷oþ)ý mñ8ô÷ñvüXÿmõ8ðrüXþÑ÷oþ)ñ8÷õ4;!ø)ðyò^ø øe÷oñüoþ)ÿ ÷oþ üXñZúòðyÿrÿ`÷ÈõnüXó ÖòüXù*û>üXþ)ôþõ:aø)ôôuðrñkõnôþmòôü%÷ñ8ÿrü+!ÿ o÷ó·ðrþ CòüXù*ûIüoþ)ôþõ S!ø)ðrò^øøe÷oñõnø)ô tüXó8ù ü³÷ gðyþaõnø)ôþÄ÷oó8ðyñ8ôñþe÷õ )ón÷ÿrÿÕ÷þ)ýÑõnømôÖ÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôü5õ8ø)ðrñó8ôñ)ÿyõn÷oþõù+ü·ý)ô&ðyñJý)ôõnôóvù+ðyþ)ôý÷ñ5ûe÷oóvõ|ü2>õ8ø)ôû)óvüXö)ÿrôù 0 ö)óvðrô>ñ)ù+ù+÷oó Ã÷oþmý*ñvüXù*ô&òÿyüXñ8ðyþ òüXù*ù*ôþõnñC÷oó8ô[ Xðoôþ ðyþ-5uôòõnðyüXþ [B \þ ûe÷oóvõ8ðrò)ÿ`÷oóHôý)ðrñvò:)ñvñÃñ8ôXôó8÷oÿ&ù*ôóvðyõnñüõnø)ôù+ôõnø)ü·ý)üXÿyü )ñ8ôýGðrþõnø)ðyñ û)÷oûIôó ü+oôóüõnø)ôóôE÷ó8ÿÖ÷oþe÷oÿ ·õ8ðrò!ù*ôõnømüuý)ñ ÷oû)ûmÿrðrôýõnüñ8ðyù+ðyÿ`÷oó³ÿ`÷Èõ8õnðyòôù*ü·ý)ôÿyñ:)ñ)ò^øÆ÷oñõ8ø)ôó8üoõn÷õnðyþ ú ÷FXô÷oûmû)ó8ü uðrù+÷õnðyüXþ!

gé îè mèEè<îãí!

" $# %'&4)($*+($,!-&.(E0/

B ôÃóvôñvõ8ó8ðyòõ2ümó2÷õ8õ8ôþõnðyüXþÑõ8üõnø)ôÖüoþ)ôúqý)ðrù*ôþ)ñvðrüXþ)÷oÿA"# ÿ`÷õvõnðyòô \þ ñ)ò^ø ÷+ÿ`÷õkúõnðyòôeû)÷oóvõ8ðròÿyôñðyþgõ8ôó8÷oòõ!ðyõ8øõnø)ôðróþ)ô÷oó8ôñvõþ)ôð XøgöIümó8ñ: ømô ÷oóvð`÷oö)ÿyô

qný)ôþ)üoõ8ôñ

õnø)ô!ý)ðyñ8û)ÿr÷oòôù+ôþõ ü2Iõ8ø)ônõnø*ûe÷oókõnðròÿrô tóvüXù ðÊõnñ|ô76")ðyÿrðrömó8ðmù û>üXñ8ðÊõnðyüXþ!ømô21÷où+ðyÿÊú

(

õnüXþmð`÷oþü#õnø)ðyññ·ñvõ8ôù ðyñ XðoôþÕö"

H =∞∑

n=−∞

(

12q2n + V (qn+1 − qn)

)

,c0

!ø)ôóvôVðrñ³õnø)ô2û>üoõ8ôþõnðr÷oÿIýO)ôõnüCþ)ôE÷oóvôñkõ!þ)ôð XøgöIümóðrþõ8ôón÷òõnðyüXþ)ñm÷oþmýGõnø)ôðyþ)ý)ô

nó)þ)ñ ü0oôó³õnø)ôôþõnðyó8ôüXþ)ô/ú\ý)ðyù+ôþ)ñ8ðyüXþe÷oÿeÿr÷õ8õ8ðròô2\ø)ô21÷où*ðrÿÊõnüXþ)ðr÷oþ c0D·ðyôÿrýmñ|õ8ø)ô

ô76"e÷õ8ðrüXþmñü2.ù*üoõnðyüXþ

qn(t) = V ′(qn+1 − qn) − V ′(qn − qn−1). $\

&õ!õnø)ðyñ&ûIüoðrþõ ôðrþõnóvüuýO)òôõ8ø)ôIo÷ó8ð`÷ö)ÿrôφn

)ý)ô þ)ôýÑ÷oñ&õnø)ôý)ð_ôó8ôþ)òôö>ôõ ôôþõnø)ôý)ðyñ8û)ÿr÷oòôù+ôþõnñü#õnø)ô

(n+ 1)õnøÕ÷oþ)ý

nõ8ø û)÷oóvõ8ðròÿyôñmþe÷où*ôÿ

φn = qn+1 − qn. (R

\þÕõ8ôóvù+ñü%õnømôþmô ÷oóvð`÷oö)ÿyôφn

A $\öIôòüXù*ôñ

φn = V ′(φn+1) − 2V ′(φn) + V ′(φn−1).6

5uðrþmòô ô*ñ8øe÷ÿrÿ5ö>ô[)ñvðrþ ÷oñ uù*ûmõ8üoõnðyò*ù*ôõ8ø)ü·ý)ñ2õnüÑýmôõnôó8ù*ðrþ)ôÖõ8ø)ôtüoó8ù üñ8ù+÷oÿrÿ÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ ô÷oóvô2üXþ)ÿ Gö>ô2òüXþ)òôóvþ)ôý,!ðyõnøõ8ø)ô ó8ñkõ^tô õ8ôó8ù*ñðrþGõ8ø)ôôuûe÷oþmñ8ðrüoþ ü

V (φ)9ø")ñD ôý)ô þ)ôõ8ø)ôûIüõnôþõ8ð`÷oÿE6mþ)òõ8ðrüXþ

V (φ)ö=

V ′(φ) = 12φ2 + 1

3aφ3 + 1

4bφ4,

[\

!ø)ôóvôa÷þ)ý

b÷oóvô óvôE÷oÿòüXþ)ñkõ^÷oþõnñø)ô³ô76"e÷Èõnðrüoþ)ñ#ü2)ù*üoõnðyüXþU.õnømôó8ôtüXó8ô öIôòüXù*ô

φn = (φn+1 − 2φn +φn−1)+a(φ2n+1 − 2φ2

n +φ2n−1)+ b(φ3

n+1 − 2φ3n +φ3

n−1).R

5·ðrþ)òô*ôñ8ôô:Öÿrü·òE÷ÿrðrñvôýÃñvüXÿuõnðrüoþ)ñ: ô!ôuû>ôòõ³õ8ø)ô!ôþ)ôó CõnüI÷oþ)ðrñvø*÷oñn→ ±∞

ø)ôþmòô' ôÃðrù*û>üXñ8ôõnø)ôCöIümþ)ýe÷oó òüXþ)ý)ðÊõnðyüXþ)ñqn → 0

÷ñn → −∞ ÷þ)ý

qn → q∞÷oñn→ +∞ tüXó³ñ8üoù+ôòüXþmñvõ^÷þgõ

q∞ ∈ R <!ôòE÷ÿrÿrðyþ 2õnø)ôý)ô þ)ðyõ8ðrüXþ*ü

φn

ðyþ+õnôó8ù*ñüqnðrþT (R9 ô þ)ý

qn =n−1∑

k=−∞

φk, /\

ø)ôþ)òôI ôôuû)ó8ôñ8ñõ8ø)ôÿ`÷õvõnôó&öIü)þ)ýe÷oó òüoþ)ý)ðyõ8ðrüXþ÷ñ

qn → q∞ =∞∑

n=−∞

φn

÷oñn→ ∞.

.R

B ôñ8øe÷oÿyÿ;gðrþ Xôþ)ôón÷oÿNgòüXþ)ñvðrý)ôó&ö>üoõnøq∞ = 0

÷oþ)ýq∞ 6= 0

ñ8üÃõ8øe÷õõ8ø)ô÷oóvð`÷oö)ÿyôqný)ôñvòóvðrö>ôñ÷ù*üuýmÿ`÷õ8ôýû)ÿyñ8ô

q∞ = 0üXó÷*ù*üuýO)ÿ`÷õ8ôý gðrþ

q∞ 6= 0&ü.ñ8üXù*ô

tüXó8ù

" " / *! ('-,!/.( /

B ô ó8ôñvõ8ó8ðròõÕü)ó÷õvõnôþõ8ðrüXþ õnü ÷ ñ8û>ôòð òÄòÿ`÷oñvñüCömó8ôE÷Èõnø)ôóÕñvüXÿuõnðrüoþ)ñ:&þ)÷où+ôÿõnø)üoñ8ôÖü ñ8ù+÷oÿrÿ#÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôJTðyþ

φ÷oþ)ý>!ø)üoñ8ôôþRXôÿrüXû>ô ÷oó8ðyôñ2ñ8ÿyü+!ÿ òüXù*ûe÷oóvôý

õnüÖõnø)÷õü#õ8ø)ôòE÷oóvó8ðyôóüXñvòðrÿyÿ`÷õ8ðrüXþmñ: eüXóñ )ò^ø ñ8üXÿmõnðyüXþ)ña ôC÷oûmû)ÿ+õnø)ôù*ôõnømüuýü÷oñ·ù*ûmõnüõnðròôuûe÷þ)ñ8ðyüXþ)ñ!ðÊõnøÆù mÿyõnðyû)ÿrô2ñvûe÷oòôÖ÷oþ)ýÆõ8ðrù*ôñvòE÷oÿyôñ tñ8ôô <ôù+üoðrñ8ñvôþ)ôõ $- õ8üý)ôõnôóvù+ðyþ)ô ÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ðrüXþmñõ8üö)óvôE÷õ8ø)ôó#ñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ 1ôþmòôðrþC÷oý)ý)ðÊõnðrüoþõnüÖõnømôo÷ó8ð`÷ö)ÿrôñ

n÷oþ)ý

t ôðyþõnó8ü·ý)òôþ)ô ñ8ÿrü+8÷oó8ðr÷oö)ÿrôñ

Xτ÷oþ)ý

Tý)ô þ)ôý

ö=X = εn, τ = εt

÷oþmýT = ε2t.

.RB ôòüXþ)ñ8ðyý)ôóõ8ø)ôý)ðrñvû)ÿ`÷oòôù*ôþõ

φn(t)õ8üöIô÷ 6)þ)òõnðrüoþÕü2.õnømôðyþ)ý)ôûIôþ)ý)ôþõ÷oó8ð®ú

÷oö)ÿyôñntXτ÷þ)ý

Tñvüõ8øe÷õ

φn(t) = φ(n, t,X, τ, T )=û)û)ÿ ·ðrþ 2õnømôò^øe÷oðyþ+ó)ÿrô

tüXóûe÷oókõnðr÷oÿý)ð_ôó8ôþgõ8ð`÷õ8ðrüXþEuõnømôýmôó8ð÷õnðXô2üXû>ôó8÷õnüXód/dt

ðrñó8ôû)ÿ`÷òôýö=

d

dt≡ ∂

∂t+ ε

∂

∂τ+ ε2 ∂

∂T.

R

B ôÃ÷oñ8ñ)ù+ôÃ÷ñ8ù+÷oÿrÿ®úZ÷où*û)ÿyðyõLmý)ô÷oñ ·ù+ûmõ8üoõnðyòCômû)÷oþ)ñ8ðyüXþ tüXóù+ü·ý)ÿr÷õnôýÑñvüXÿmõ8ðrüXþmñü Rü%õnø)ôYtüXóvù

φn(t) = εeiωt+ipnF (X, τ, T ) + ε2G0(X, τ, T )

+ ε2eiωt+ipnG1(X, τ, T ) + ε2e2iωt+2ipnG2(X, τ, T )

+ ε3H0(X, τ, T ) + ε3eiωt+ipnH1(X, τ, T )

+ ε3e2iωt+2ipnH2(X, τ, T ) + ε3e3iωt+3ipnH3(X, τ, T ) + · · ·+ c.c., 0

!ø)ôóvôc.c.

ý)ôþmüoõnôñ&õnø)ôòüXù*û)ÿrôòüXþ X÷õnô2)÷oþ)ýω÷oþ)ý

p÷oóvôõnømôtó8ô 6Bmôþ)ò÷oþ)ý

&÷Foôþ")ùÃö>ôóü2Jõnø)ôÿrðyþ)ôE÷oóò÷oó8óvðrôó÷FXôÃóvôñvûIôòõnðXôÿ B ôCñ mö)ñvõ8ðyõLuõnôõ8ø)ô÷oþ)ñn÷Èõ4; +|ðyþgõ8üõ8ø)ôô 6"e÷õnðyüXþ)ñ³üù*üoõnðyüXþ R|÷oþ)ý+ô76"e÷õ8ôòüuô.+òðrôþgõ8ñüôE÷oò^øGø)÷oó8ù*üXþ)ðyòðrþt÷Èõ!ôE÷oò^øÕüXó8ýmôó!ü

ε9ø)ðrñ ·ðrôÿrý)ñ&õ8ø)ôYtüXÿrÿyü+!ðrþ Ãô 6"e÷õnðyüXþ)ñ

O(εeiωt+ipn)

−ω2F = eipF + e−ipF − 2F,c0$\

O(ε2eiωt+ipn)

ωFτ = sin(p)FX , F(R

O(ε2e2iωt+2ipn)

ω2G2 = sin2(p)(G2 + aF 2), :

O(ε3eiωt+ipn)

2iωFT + Fττ + 2iωG1τ = cos(p)FXX + 2i sin(p)G1X

−8a sin2(

p

2

)

[FG0 + FG0 + FG2]

−12b sin2(

p

2

)

|F |2F, +[\

[

O(ε4e0)

G0ττ = G0XX + a(

|F |2)

XX.

Rø)ôÄô76"e÷õ8ðrüXþ tó8üoù O(ε2e0)

ðyñGõnóvð·ð`÷oÿñ8ü ðrñý)ðyñ8ò÷oó8ý)ôý!*B ôÂûmó8ü·òôôý õ8ü:ñ8üXÿXôõnø)ôC÷oö>ü0oôCñvôõü25ô76"e÷õ8ðrüXþmñ:#6"e÷Èõnðrüoþ- +$\euðyôÿyý)ñõ8ø)ôCýmðrñ8û>ôóvñ8ðyüXþÑóvôÿ`÷Èõnðrüoþ

ω2 =4 sin2(p/2)

Otó8üXù !ø)ðrò^ø ôòüXþ)òÿ)ý)ô2õ8øe÷õ

ω = 2 sin(

p

2

)

. +/\

üXþ)ñvðrý)ôó8ðrþO >c+(R)÷2hõnôóñ)ö)ñkõnðyõ mõnðyþ tüXóωtó8üXù 0/\)õnømðrñö>ôòüoù+ôñ

Fτ = cos(

p

2

)

FX , R

tó8üXù !ø)ðrò^ø ôðyþOtôó&õ8øe÷õFðyñ!÷õ8ón÷FXôÿrÿrðyþ '÷FXôCü2#õ8ø)ôYtüXó8ù

F (X, τ, T ) ≡ F (Z, T ), R

!ø)ôóvôZ = X − vτ

÷þ)ýÕõ8ø)ôIXôÿrü·òðyõQv = − cos (p/2)

9ø")ñ: tüXóp = π

ôø)÷+oô÷Gñvõn÷õnðyüXþe÷oó ÷FXô÷þ)ý tüXóüoõ8ø)ôó÷oÿ)ôñü

p÷ &÷Foô !ømðrò^øÄù+ü+oôñI!ðyõ8øÆñ8û>ôôý

öIôÿrü+ )þ)ðyõQ

6"e÷õ8ðrüXþC :ðyñ÷oþ ÷oÿ Xôömón÷oðyò*ô 6"e÷õnðyüXþ!H!ø)ðyò^ø ðrññ8üoÿXôý ô÷oñ8ðyÿÆõ8ü XðXôG2

ðrþõnôó8ù*ñü

F

G2 = a cot2(

p

2

)

F 2.E$ R

üoõ8ôõ8øe÷õtüoóñkõ^÷õ8ðrüXþe÷óJ÷+oôñU3!ømðrò^øÆü·òò)óQ!ø)ôþp = π

>õ8ø)ôóvôCðyñþ)ü oôþ)ôókú÷õnðyüXþü5÷ñ8ôòüXþmýÑøe÷oóvù+üoþ)ðrò2 üoõ8ôC÷ÿrñ8üÖõ8øe÷õ!ø)ôþ

a 6= 0õnø)ôôuû)óvôñvñ8ðrüoþ tüXó

G2öIôòüXù*ôñ|ñvðrþ mÿ`÷oó5÷ñp→ 0

\þ*ûe÷oókõnðrò)ÿ`÷ó:2tóvüXù $-R\ô!ñ8ôôõ8øe÷õ|ð p = O(ε1/2)üXóñvù÷ÿrÿrôó:õnømôþGõnømô

Fõ8ôóvù ðyþ +³ðrñ þ)üoõýmüXù+ðyþe÷oþõ göuõüñ8ðyù+ðyÿ`÷oó5ñvð ;ôõnüCõ8ø)ô

G2

õnôó8ù

)óvþ)ðrþ ü)ó÷õ8õ8ôþõnðyüXþ@õnü8c0[\? ô ÷þgõ8ðròðrûe÷õ8ôÑõnø)÷õGõnømðrññ8ømü)ÿrý óvôýmòôÄõnü:÷þ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oóU5uò^ø)óWVXý)ðrþO Xôó Q) 5 ô 6B)÷õnðyüXþ ðyþ õ8ø)ô÷oóvð`÷oö)ÿyô

F³÷oñ*ðrñõnømô ò÷oñ8ô tüXó

üoõnømôóÿ`÷õvõnðròôù+ü·ý)ôÿyñ2Tñ8ôô tüXóôm÷où*û)ÿrô2 <ôù+üoðrñ8ñvôþ)ôõ N %&÷oþ Y#ô·ó8÷oó8ý $ N÷oþ)ý:B ÷õ8õ8ðrñ (( S1ü0 ô oôóM÷õ&û)óvôñvôþõ )ðÊõ&ðyñòÿyôE÷oó³õnøe÷Èõ +[\ ÷oÿyñ8üðrþ)òÿ)ý)ôñõnôó8ù*ñðrþRXüoÿ·ðrþ

G1

÷þ)ýG0

ø)ôñ8ôCù )ñvõö>ôtü)þ)ýÕðrþõnôóvù+ñ!üFö>ôtüXóvôóvôýmòõnðyüXþõnü

õnø)ô Q) 5ô76"e÷ÈõnðrüoþÕò÷oþÕüuòò:)ó

ømôQ6"e÷oþõ8ðyõnðyôñG1

÷oþmýG0

÷oóvôømð Xø)ôókúqüXó8ý)ôó5òüXóvó8ôòõnðyüXþõnôóvù+ñ5õ8üõ8ø)ôÿyôE÷oýmðrþ üXóZúý)ôóA6"e÷oþõnðÊõQ

F ô&÷oñvñ )ù*ô5õnøe÷õ

G1

÷oþmýG0

óvôû)óvôñ8ôþõJû>ôóvõ )ó8ö)÷õnðyüXþ)ñõnó8÷FXôÿyÿrðyþ ÷õõnømôñ8÷où*ô oôÿyüuòðyõQ÷ñ

F ôøe÷FXôõnøe÷õ

G1(X, τ, T ) = G1(Z, T )÷oþ)ý

G0(X, τ, T ) = G0(Z, T ), $80

!ø)ôóvô÷oñJö>ôtüXóvôZ = X−vτ ÷þ)ý v = − cos (p/2)

qõDtüXÿyÿrü+!ñ,tóvüXùØõ8ø)ôÿrôhõvúqøe÷oþ)ýô76"e÷oÿyðyõQðyþ1 $80õnø)÷õ!õnø)ôõnôó8ù*ñðyþRXüXÿuðyþ

G1

üXþÕôðyõ8ø)ôóñ8ðyý)ôü2 +[\&ý)ðrñ8÷oû)û>ôE÷oó

ÿyñ8ü )ñvðrþ *õnø)ôó8ð Xøõvúqøe÷oþ)ýô76"e÷ÿrðyõQðyþTE$80 ô þ)ýÕõnøe÷õG0ττ = v2G0ZZ

>÷oþ)ýñ8ü*ô76"e÷õ8ðrüXþTc Rö>ôòüoù+ôñ

(v2 − 1)G0ZZ = a(|F |2)ZZ.E$$\

\þõnô Xón÷ÈõnðrþO Ãõnø)ðyñô 6"e÷õnðyüXþõ!ðròô !ðÊõnøó8ôñ8û>ôòõõ8üZ

XðXôñ

G0 =a

v2 − 1|F |2 = −a òüXñ8ôò 2

(

p

2

)

|F |2. E$X(R

üoõ8ôõnø)÷õðrþ E$(Ra ô2øe÷FXôõn÷oôþõ8ø)ôòüXþ)ñvõn÷oþõnñ!üðyþgõ8ô: Xó8÷õnðyüXþ+õ8üÖöIô;ôóvü9ø)ðyñtüXÿrÿyü+!ñ tó8üoù,õ8ø)ôòüoù+ù*ôþõnñó8ô: X÷oó8ý)ðyþ Öö>ü)þ)ýe÷ó+òüXþ)ýmðyõnðyüXþ)ñ ù÷oýmôðrù*ù+ôý)ð`÷Èõnôÿ ÷2hõnôóR"ÿrñ8üOu÷2 ÷oðrþE ôñvôôõ8øe÷õ³õnø)ôôuû)óvôñ8ñvðrüXþ tüoó

G0

$(R5öIôòüXù*ôñ ñ8ðrþO )ÿ`÷ó÷oñp→ 0

B ô*þ)ü+ ó8ôõL)óvþ õnü +[\ 58mö)ñvõ8ðyõLuõnðrþO tüoóG2

÷þ)ýG0

mñ8ðrþO `E$-\÷þ)ý& $(Ró8ô/úñ8û>ôòõnðoôÿ 9 ôC÷oóvó8ðXôõnømô2Q)A5ô 6B)÷õnðyüXþ tüXó

F÷oñ÷oþõnðyòðyûe÷õnôý

iFT + PFZZ +Q|F |2F = 0. $2

\þ1 $2)õnø)ôòüuô.+òðrôþgõ8ñP÷oþ)ý

QüFZZ

÷oþ)ý |F |2F ó8ôñvûIôòõ8ðXôÿÕ÷oóvôY XðoôþÕö=

P = 14sin

(

p

2

) ÷oþ)ýQ =

2a2 cos2(

p2

)

− 4a2 + 3b sin2(

p2

)

sin(

p2

) .E$[\

\þ üõnø)ôó*üXóvý)ñ:eõ8ø)ôù )ÿyõ8ðrû)ÿyôúqñ8òE÷ÿrô÷oþ)ñn÷Èõ4;U +ó8ôýO)òôñõ8ø)ô "# ô76"e÷õ8ðrüXþ)ñ2Rý)ô þ)ôý mûIüXþ+÷ý)ðrñvòó8ôõnôò^øe÷oðyþ*õ8ü÷òüoþgõ8ðrþ")ù û)÷oóvõ8ð`÷oÿ)ýmð_Iôó8ôþõnð`÷ÿ)ô76"e÷õ8ðrüXþ tõ8ø)ô)A5ô 6"e÷õnðyüXþ!aE$0 !tüXóõnø)ô ö)ó8ô÷õnømôó%ôþRXôÿrüXû>ô

F0ø)ôþ)ô·õ.õ^÷ñ ðrñõnüý)ôõ8ôóvù+ðyþ)ô

ñ8üXÿyðyõ8üXþñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ&ü2 E$2R?!ø)ðrò^ø Xðoô÷oþÕ÷oþe÷oÿ ·õ8ðròtüoó8ù )ÿr÷ tüXó&õnømôôþRXôÿyüXû>ôF

" & ( / )(S , / (, /

qõ.ðrñ,·þmü0!þÖõ8øe÷õ.õ8ø)ô&þ)üoþ)ÿrðyþ)ôE÷oó 5uò^ømó VXý)ðyþ XôóJô76"e÷õ8ðrüXþJE$2%÷oý)ù*ðyõ8ñ#ö)óvð Xøõ#ñ8üXÿyðyõ8üXþñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ'ã÷oÿyñ8ü[·þmü0!þÄ÷ñôþRoôÿrüoûIôÃñvüXÿrðÊõnüXþmñOð.õ8ø)ôÃòüuô.+òðrôþgõ8ñ

P÷oþ)ý

Q÷oóvôCü

õnø)ôñ8÷où+ôñ8ð oþ!e÷oþ)ýýe÷ó ñvüXÿrðÊõnüXþmñ ã÷oÿyñ8ü gþ)ü+!þÆ÷ñø)üXÿrôñ8üXÿyðyõnüoþ)ñO ð P÷oþ)ý

Q÷ó8ô

ü%üXû)û>üXñ8ðÊõnôñ8ð oþ Tñvôô <!ôù*üXðrñvñ8ôþmôõ $- ÷oþ)ý,5uòüoõ8õ $ ;BtüXó&ôm÷où*û)ÿyô+ ÿrô÷oó8ÿ Pðrñ&û>üXñvðyõnðXôtüoó÷oÿrÿ

pðrþ+õnø)ô2ðyþgõ8ôó o÷ÿ

[0, 2π]Tôuòôûuõ÷Èõ

p = 0÷oþ)ý

p = 2π 1ôþ)òô

tüXó|ö)ó8ð Xøõ|ñ8üXÿyðyõ8üXþÖñ8üXÿmõnðyüXþ)ñoõnø)ô÷oö>ü+XôòüXþ)ýmðyõnðyüXþÖó8ôý)òôñ õ8üQ > 0

\!ømðrò^ø mûIüXþó8ô÷oó8ó8÷oþ Xðyþ ÖöIôòüXù*ôñ

(

3b

2a2− 1

)

sin2(

p

2

)

> 1. $ R

\þ)ô76"e÷ÿrðyõQ E$ \ðrñCòó8ðÊõnðyòE÷oÿDtüXóý)ôõ8ôó8ù*ðrþmðrþ Õõnø)ôômðyñvõ8ôþ)òô÷oþ)ý þ)üXþmôuðrñkõnôþmòôüñvõn÷õnðyüXþe÷oó ýmðrñ8òó8ôõnô ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ÷oþ)ý ÿrüoþ ú\ÿyðoôý ù*ü+·ðrþ ömó8ôE÷Èõnø)ôóGù+ü·ý)ôñGðrþ õ8ø)ôüXþ)ô/ú\ý)ðyù+ôþ)ñ8ðyüXþe÷oÿ#"#,ò^øe÷oðrþE \þ:÷þe÷oÿ·ñvðrþ õnø)ðyñðyþ)ô76"e÷ÿrðyõQðyõðrñðrþ)ñkõnó mòõnðXô*õnü

/

òüXþmñ8ðrýmôó&õnømô(a, b)

ú\ûe÷oó8÷où*ôõnôókúqñ8ûe÷oòô eüXó÷ uôý &÷Foôþ")ùÃö>ôópaô2ñvôôõnø)÷õðrþ

üXó8ýmôótüXóõ8ø)ôðyþ)ô76"e÷ÿrðyõQÑõnüÑö>ô*ñn÷õ8ðrñ ôý!bù )ñvõö>ô XóvôE÷õ8ôóõnøe÷oþ ñ8üXù*ô*ñ8ðrù*û)ÿyô

6"e÷oý)ó8÷õnðyò 6)þ)òõ8ðrüXþüaeþe÷où*ôÿ

b >2

3

[

cosec2(

p

2

)

+ 1]

a2.E$/\

ø)ðrñðrþmô76"e÷oÿyðyõQðyñðyÿrÿ)ñvõ8ón÷õ8ôýðrþ.ð )ó8ô9!ø)ðyò^øÑñvø)ü+!ñõnø)ôðrþmô76"e÷oÿyðyõQTE$/\etüXótü)óý)ðrñkõnðyþ)òõ ÷+oôþ")ùÃö>ôóvñ

p = jπ/4!ðyõ8ø

j = 1, 2, 3, 4HMüoó÷þ" oðXôþT÷oÿ)ô

üaõnø)ô+ÿrü+ ôñvõCûIüoñ8ñ8ðyö)ÿrô ÷oÿmô+ü

bñ8÷õnðyñ ·ðrþ E$/\ü·òò)ó8ñ !ø)ôþ

p = πtõ8øe÷õ

ðrñ !ø)ôþcosec2(p/2)

õn÷oôñðÊõnñ&ù*ðrþ)ðyù )ù÷oÿmô2üe+ eüXóõ8ø)ðrñ*÷FXôþBmùÃöIôó: tüXó!ø)ðrò^ø*ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ ÷ó8ô!ñvõn÷õnðyüXþe÷oó X ôøe÷FXô

b > 43a2 Rø)ðyñ5ðrñ5ôm÷oòõnÿ Ãõnø)ô!ðyþ)ô76"e÷oÿyðyõQ

û)ó8ü+oôþCö= .X÷ù+ôñ 0/ tüXóõ8ø)ô5ôuðrñkõnôþ)òô³üuñvõ^÷Èõnðrüoþe÷oóö)óvôE÷õ8ø)ôóvñõ8øe÷õP ô|ý)ðrñvò:)ñvñ8ôýðrþ 5uôòõ8ðrüXþ MóvüXù E[\ ô þ)ý õnøe÷Èõ

V (3)(0) = 2a÷þ)ý

V (4)(0) = 6b 1ôþ)òô

.X÷où*ôñ7@òüXþmý)ðyõ8ðrüXþ#tüXó.ö)óvôE÷õ8ø)ôó5ôuðrñvõ8ôþ)òôðrþCõ8ø)ôN"# ò^ø)÷oðrþ XðXôñB = 3b−4a2 >

0 !ømðrò^øÕðrñõnø)ô2ñ8÷où*ôðyþ)ô76"e÷ÿrðyõQ*õnø)÷õô÷oóvó8ðoô÷õ÷oö>ü0oô

ømðrñðrþ)ô 6B)÷oÿrðÊõQGõnôÿrÿrñ )ñ!õnø)÷õþmüö)óvð Xøõö)ó8ô÷õnømôó8ñôuðrñkõö>ôÿyü+ õnø)ôò:)ó Xô !ø)ðrò^øòüXóvó8ôñ8û>üXþ)ý)ñõ8ü

p = πTñvôô #ð )óvô 0 ÷oþ)ý ñ8ü õ8ø)ðrñ+ðrñ*ô _Iôòõ8ðoôÿ ÷ þmôòôñ8ñ8÷oó

òüXþmý)ðyõ8ðrüXþ tüXóömó8ôE÷Èõnø)ôóôuðrñvõ8ôþ)òôðyþõnø)ô<ï "# ò^øe÷oðyþ!

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

a

b

p=πp=3π/4p=π/2p=π/4

! "# $&%('*)+,%-.!.0/12-30/145#6+0798;:0<>=0?A@B?>C,:ED9:EFA8G=H8IKJL@B?>@M?>C,N<A=HO18;PQ@M?SRQ@MC1<>=H8UT3VWDL=XJ9IYD1IK8;?:Z[G8GN;D1IKIY8?:\:EF>J":JL]D*OL8^:0F>8_P0D1`M@BabN<A=HO18"ZP:!J":0@BD1?>JL=Hc]>=08J":EF>8;=0P9[9@M:0F

p = π8ed6@BP:fg6@MIK@M`-JL=H`Mc1Z#JL]DO18

:EF>8ahJLP0FA8aiN<>=O18kj −− l ZQ[G8m8ed6n8Ne:o:EDqph?>ar]>=H@BC1F:S]>=08J":EF>8;=0PU[9@5:EFp ≥ 3π/4

f

s

ø)ôñvô÷oóvôñ8ÿyü+!ÿù*ü0·ðyþ ù*üuýmôñ:Lñvðrþ)òô |v| < cos(3π/8) ≈ 0.38)þmðyõnñ#ûIôó#ñvôòüXþ)ý!

ö>ü+Xôõ8ø)ôýe÷oñ8ø·ú\ý)üoõvõnôýÑò:móWXôJ − · eö)óvôE÷õ8ø)ôóvñQ!ðÊõnøp ≥ π/2

ôuðrñkõFLeõnømôñ8ôù+ü+oô!ðyõ8øñvûIôôý |v| < 1/

√2 ≈ 0.707

)þ)ðyõ8ñûIôó#ñvôòüoþ)ý!0ö>ü0oô õ8ø)ôý)üõ8õnôýCò)óWoô(· · · ) ö)ó8ô÷õnømôó8ñ!ðÊõnø

p ≥ π/4ôuðyñvõ ø)ôñvôÃõnó8÷+oôÿ!ðÊõnøÆñvûIôôý |v| < cos(π/8) ≈ 0.92)þ)ðÊõnñ2û>ôó2ñ8ôòüXþmý!AMüoóôE÷oò^ø ÷+oôþ")ùÃö>ôó

p÷ñ8ðyù+ðyÿ`÷oóûe÷oó8÷oöIüoÿ`÷ðyñY Xôþ)ôón÷õ8ôý!J

ô!ò^ø)ü·üXñvô!õ8ü2òüXþmñ8ðrýmôó|÷oóvö)ðyõ8ón÷oóvðrÿñvù÷ÿrÿ&÷FXôþ")ùÃö>ôó8ñ·õ8ø)ôþðÊõ5ðrñ5òÿrôE÷ó tó8üXù E$/\õnøe÷ÈõÃñ8ù+÷oÿyÿ|÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóvñÃôuðrñkõÃüXþmÿÄðrþ ÷Ñþ)ôð Xøgö>ü)ó8ømüuü·ý ü2õnø)ô

bú\÷0uðrñ

õnøe÷Èõ!ðrñ:9!ømôþb a

]2ðoôþ(a, b)

ñn÷Èõnðrñ ·ðrþ ÖõnømôòüXþ)ý)ðÊõnðrüoþ tüXó÷ * ($, 2ö)ó8ô÷õnømôó!ðyõnøJ÷FXôþ")ùCöIôóp5þe÷ù+ôÿ8 $\/\Jõ8ø)ôþ ô ÷oÿyñ8üÄôuû>ôòõ+õnü þ)ý ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ !ðyõ8ø ÿr÷oó Xôó

pú ÷oÿ)ôñ

÷oþ)ý ðrþ:ûe÷oókõnðyò:)ÿr÷oóp = π

÷oþ)ý ø)ôþmòô ÷ /E (,!-& Gömó8ôE÷Èõnø)ôó+ù*üuýmôGõnüÄôuðrñkõ ó8ô÷oó8ó8÷oþ Xôù+ôþgõ+ü E$ Rñvø)ü+!ñ+õ8ø)ôóvôÑðrñ+÷Âõ8ø)ó8ôñ8ø)üoÿrý ÷FXôþBmùÃöIôó:

pmin

³÷oö>ü+Xô!ø)ðrò^øÂõnø)ô*ðrþmô76"e÷oÿyðyõQ E$ Rðrññn÷õ8ðrñ ôý! uû)ÿrðyòðÊõnÿEtüXóö)óvð Xøõñ8üXÿyðyõ8üXþÄñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ:õnø)ôI÷FXôþ")ùCöIôó

pù )ñkõñn÷õ8ðrñ

pmin < p ≤ π!ø)ôóvô

pmin = 2 sin−1

√

2a2

3b− 2a2.

E$2R

\þ-5uôòõ8ðrüXþ,(OH ôðyþoôñkõnð X÷õnôÖõnømô+û)óvüXû>ôóvõ8ðrôñü2&ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ2!ø)ðyò^ø òüoó8ó8ôñ8û>üXþ)ýÂõnü&÷Foôþ")ùÃö>ôó

p !ø)ôóvô

p → p+min

Müoó*þmü0# ôÑþ)üoõ8ôÕõ8øe÷õ+ðQô òüXþ)ñvðrý)ôó*õ8ø)ôñ8û>ôòð`÷oÿ#òE÷oñvôÃü³÷Gÿ`÷Èõ8õnðyòô !ðyõ8øÆñ·ù*ù+ôõnó8ðyò'6"e÷oókõnðyòCû>üoõnôþgõ8ð`÷oÿ

a = 0Iõ8ø)ôþ tóvüXù

E$\[ ô ñ8ôôÆõnøe÷ÈõGõnø)ô òüXþ)ý)ðÊõnðyüXþQ > 0

óvôýmòôñõ8üb > 0

\þ üõnø)ôó:üXóvý)ñ:û)ó8ü+·ðrýmôý

b > 0õnømôUQ)A5Äô 6B)÷õnðyüXþ& $2 ·ðrôÿrý)ñ2ömó8ð oøgõñvüXÿrðÊõnüXþ ñvüXÿuõnðrüoþ)ñ tüXó÷oÿyÿ

p ∈ (0, 2π)X÷oþ)ý ô þmý+þ)ü2õ8ø)ó8ôñ8ø)üXÿyýtüoóJõnø)ô*÷FXôþ")ùCöIôó

ptõ8øe÷õ|ðrñ

pmin = 0

ø)ðrñ!ò÷oñ8ôðrñòüXþ)ñvðrý)ôó8ôý ðrþù*üXó8ô2ýmôõ^÷ðrÿðyþ 5·ôòõ8ðrüXþ

ñ8ðyþ ô 6"e÷õnðyüXþ)ñE$2R 0%÷þ)ýJ /\Mô ý)ôõ8ôó8ù*ðrþmô÷oþôuû)óvôñvñ8ðrüoþ tüXóõnø)ô³ö)ó8ô÷õnømôóðrþÕõnø)ôüXó8ð Xðrþe÷ÿý)ðrñvû)ÿ`÷òôù*ôþõD÷oó8ðr÷oö)ÿrô

qn \þÑõnømôCó8ô XðrüoþÑ÷oö>ü+XôCõ8ø)ôCò)óWoôÃòüoó8ó8ô/ú

ñ8û>üXþ)ý)ðyþ +õ8ü÷+û)÷oóvõ8ðrò:mÿ`÷oóN÷+oôþ")ùÃö>ôópðrþ .ð mó8ô ôÃôuû>ôòõõnü þ)ýÆö)óvð Xøõ

ñ8üXÿyðyõ8üXþñ8üXÿmõnðyüXþ)ñõ8üE$\[\ü2#õ8ø)ôYtüXó8ù

F = Añ8ôò^ø

A

√

Q

2PZ

exp(

iQ

2A2T

)

,E$2R

!ø)ôóvôõ8ø)ôñ8üXÿyðyõ8üXþ÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôAðrñ!÷ tó8ôôûe÷oón÷ù+ôõnôó 58)ömñvõnðÊõLmõ8ðrþ E$2RðrþõnüÃõ8ø)ô

÷oþ)ñ8÷õ4;,c0^ oðXôñõnø)ôCö)ó8ô÷õnø)ôó2ñ8üXÿmõnðyüXþÆü \ðrþÑõ8ôóvù+ñü2 ü)óφn(t)

÷oó8ðr÷oö)ÿrôñõnüñ8ôòüXþmýuú\üXóvý)ôó÷oñ

φn(t) = 2εAñvôò^ø

εA

√

Q

2P

(

n + cos(

p

2

)

t)

cos (Ωt + pn)

+ 2aε2A2 csc2(

p

2

) ñvôò^ø 2

εA

√

Q

2P

(

n + cos(

p

2

)

t)

×(

cos2(

p

2

)

cos (2Ωt+ 2pn) − 1)

+ O(ε3), (-R

!ø)ôóvôP÷oþ)ý

Q÷oóvôýmô þ)ôýÑðyþ E$\[\&÷öIü+Xô2

Ω = 2 sin (p/2) +QA2ε2/2, (O0

ø)ôóvô)õ8ø)ôòüXùÃömðrþe÷õ8ðrüXþεA

ðyñ!÷Öñ8ðrþO Xÿrô tóvôôûe÷oó8÷où+ôõnôó:

B ô )ñvôõnømôÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôó³ñ8üoÿmõ8ðrüXþtüXóφn(t)

ðrþ (!R5õnüÃüoömõ^÷oðyþ÷oþGôuû)ó8ôñ8ñ8ðyüXþÕ÷õÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôó tüXó

qn)õnømôüoó8ð oðrþe÷oÿ>ý)ðyñ8û)ÿr÷oòôù+ôþgõo÷ó8ð`÷ö)ÿrô2aB ô÷ñ8ñ mù+ô2õnø)÷õ

qnðyñ

ü%õnø)ôYtüXóvù

qn(t) = 2εA[λ cos(Ωt + pn) + µ sin(Ωt+ pn)]

× ñ8ôò^ø

εA

√

Q

2P(n− vt)

+ O(ε2), (\$\

!ø)ôóvôv = − cos(p/2)

ðrñ!õnømôôþoôÿyüXûIô2XôÿyüuòðyõQ XðXôþÆðrþ \>÷oþ)ýλ÷oþmý

µ÷oóvô

òüXþmñvõ^÷þgõ8ñõ8üöIôý)ôõnôóvù+ðyþ)ôýðyþõ8ôóvù+ñüp9!ømðrò^øÕðrñ&õ^÷2oôþÕõnüö>ô O(1)

B ôÄñ )ömñvõnðÊõLmõ8ô& (R$\ðyþgõ8ü õnø)ôÄý)ô þ)ðrþO ô 6B)÷õnðyüXþ tüoóφn

(\ Xð·ðrþ ÷ ñ8ôòüXþ)ýôuû)óvôñ8ñvðrüXþ tüoó

φn(t)÷ÈõÃÿrô÷oý)ðyþ üoó8ý)ôó: #6"e÷ÈõnðrþO Ñòü·ô*òðrôþõ8ñÃüòüXó8óvôñ8û>üXþ)ýmðrþ

õnôó8ù*ñ&ðrþõ8ø)ðrñ&÷oþ)ýGõnømôÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôó³ôuû)óvôñvñ8ðrüoþ tüoóφn

(!\ ·ðrôÿyý)ñ õ8ø)ôtüXÿyÿrü+!ðrþO ñ8ðyù )ÿyõn÷oþ)ôü)ñô76"e÷Èõnðrüoþ)ñ tüXó

λ÷oþ)ý

µ

λ cos p+ µ sin p− λ = 1, ((R

−λ sin p+ µ cos p− µ = 0, (2

tó8üXù !ø)ðyò^ø ô þ)ýÆõ8øe÷õλ = −1/2

÷oþ)ýµ = (1/2) cot(p/2)

1ôþ)òôÖü+Xôó8÷oÿrÿK ôüXömõn÷oðrþ÷oþÕôuû)óvôñvñ8ðrüoþ tüXó&õ8ø)ôö)ó8ð Xøõ!ö)ó8ô÷õnø)ôóõnüÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôó

qn(t) =−εA[

cos(Ωt + pn) − cot(

p

2

)

sin(Ωt+ pn)]

× ñvôò^ø

εA

√

Q

2P(n− vt)

+ O(ε2), (\[\

!ø)ðrò^ø ðyñD÷oÿyðrý,!ø)ôþε 1

÷oþ)ýp = O(1)

Müoõnôõnøe÷õô76"e÷õ8ðrüXþmñ (\(\÷oþmý` (R÷oó8ôðyÿrÿÊúqûIüoñ8ôýðrþGõnømôÿyðrù*ðyõ

p→ 0

)÷oñkõnÿ +ðyþõnømðrñ&ñvôòõ8ðrüXþEa ôù÷2oô2÷ tô1óvôù+÷oó gñ&òüXù*ûe÷oó8ðyþ õ8ø)ô2û)øe÷ñ8ô tüXó&òóvôñkõ Xôÿrü·òðyõQ

vcrest

÷oþ)ýGõ8ø)ô Xóvü)û tüXóôþRXôÿyüXû>ô+oôÿrü·òðÊõQvenvelope

üõnø)ôòE÷oóvó8ðyôó?÷FXô

ü>õnø)ô!ö)óvôE÷õ8ø)ôó|ñ8üoÿmõ8ðrüXþ, (R[\ ÿrôE÷ó8ÿvenvelope = − cos(p/2)

ðrñ|÷ÿ÷·ñ|ÿrôñ8ñ5õnø)÷oþ)þ)ðÊõQ+ø)ô³òóvôñvõAXôÿrü·òðÊõQ2ðrñ XðXôþö= −Ω/p

÷þ)ýñvü^tóvüXù (O0õnø)ðyñðrñ%÷oÿyñ8ü!ÿrôñ8ñõnøe÷oþ)þ)ðÊõQPeüXó oôþ)ôón÷oÿ

põ8ø)ôÃõ ü !ðyÿrÿ#ý)ð_Iôóñ8ðyþ)òô

sin θ > θ cos θ6tüXó

0 < θ < π

\þõnømôÿrðyù+ðÊõ5üñ8ù+÷oÿyÿp·õ8ø)ôôþRXôÿyüXû>ô÷oþ)ýGòó8ôñkõ*Xôÿrü·òðÊõnðrôñ − cos(p/2)

÷oþ)ý −Ω/pó8ôñ8û>ôòõ8ðoôÿÆ÷oó8ôCòÿrüoñ8ô>ömõvcrest = −Ω/p

ðrñ÷oÿ÷ uñ2ÿr÷oó oôóðrþÆù+÷ Xþ)ðÊõL)ýmô2!ø)ôþõnø)ô O(ε2)

òüoó8ó8ôòõ8ðrüXþ õnôó8ù ðyñ2ðrþ)òÿ)ýmôý!Hø")ñõnømôó8ô*ðrñ2þmü ÷oÿ)ôÖüptüXó!ø)ðrò^ø

vcrest = venvelope

ÿrñvü.ðÊõÃðrñCûIüXñvñ8ðyö)ÿrôõ8ü )ñ8ôõ8ø)ôôuðrñkõnôþ)òôòóvðyõ8ôó8ðyüXþ $ R:tðrþ ûe÷óvõnðyò:)ÿr÷oó:%ðyõ8ñÃó8ô/ú÷oó8ó8÷oþ Xôù+ôþõ E$2R õnü þ)ýÄ÷þ )û)û>ôó2ö>ü)þ)ý tüXóõ8ø)ôÖôþRXôÿrüXû>ô'oôÿrü·òðÊõQ

venvelope

5uðrþmòô2õnø)ô ÷+oôþ")ùÃö>ôópðrñó8ôñvõ8ó8ðròõnôý õnüõnømôó8÷oþ Xô

pmin ≤ p ≤ π)õnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôó

Xôÿrü·òðyõQvenvelope = − cos(p/2)

ðrñó8ôñvõ8ó8ðròõnôýÕõ8üõ8ø)ôón÷oþO Xô

|venvelope| <√

3b− 4a2

3b− 2a2.

( R

ø")ñDtüXó.þ)üoþ9;ôó8üI÷oÿ)ôñJüaXömó8ôE÷Èõnø)ôóJù+ü·ý)ôñJøe÷FXô!÷oôÿrü·òðÊõQ2!ømðrò^øÖðrñ.öIümþ)ý)ôý

÷F&÷ tó8üoù õnømôñvûIôôý ü.ñvü)þ)ýÕðrþõ8ø)ôÿ`÷õvõnðròô

B ôY)ñvôõnø)ô2ñvüXÿmõ8ðrüXþ (R[\|õnü þ)ýÕ÷ÃÿyôE÷oý)ðyþ úqüXó8ý)ôó ôñvõ8ðrù+÷õnôtüoóõnø)ôõ8üoõ^÷ÿôþmôó 2ü%õnø)ôñ·ñkõnôù

H)ý)ô þ)ôýÑö=T 0 #üÿyôE÷oý)ðyþ ÖüXóvý)ôó

Hðyñ XðoôþÕö=

H ∼ 4εA sin(p/2)√

(6b− 4a2) sin2(p/2) − 4a2+pπ sin2(p)cosech

(

(pπ/εA)√

2P/Q)

(6b− 4a2) sin2(p/2) − 4a2.

(\/\

ôõ^÷ôÃ÷oÿyÿûe÷oón÷ù+ôõnôóvñõ8üö>ô O(1)ôuòôûuõYtüXó

ε 1eõ8ø)ôþÑõ8ø)ôCñvôòüXþ)ýÆõnôó8ù

üXþÆõnømôÖó8ð oøgõkú\øe÷þ)ýÆñ8ðyý)ôÃü (R/ðrñôuûIüoþ)ôþõnðr÷oÿrÿ Õñ8ù+÷oÿrÿ%ðrþε 1ôþmòôü+Xôó8÷oÿrÿN>õ8ø)ô

ôþ)ôó H

ðrñ÷oþ O(ε)6"e÷oþõ8ðyõQ \þ ò÷oÿrò)ÿ`÷ÈõnðrþO õ8ø)ôôñvõ8ðrù+÷õnô tüXó2õnømôôþmôó 2

H (R/R ôøe÷Foô)ñvôý+õ8ø)ôôuû)ó8ôñ8ñvðrüXþtüXóqn

Xðoôþ*ðrþ (R[ 5uðyþ)òô' (\[\.ðrñ ÷oÿrðyý !ø)ôþp = O(1)

LðyõJtüXÿyÿrü+!ñõnøe÷Èõ%õ8ø)ô³ôñvõ8ðrù+÷õnôDtüXóH

(R/ðyñ%÷oÿrñvüD÷oÿyðrýYtüXóõnø)ðyñûe÷oón÷ù+ôõnôóó8ô Xðrù*ô

" RU (O

B ôðrÿyÿ)ñkõnó8÷õnô³õnø)ôóvôñ mÿyõnñ|ü>ümó|÷oöIü+oô÷þe÷oÿ·ñvðrñJö=Öóvôtôóvó8ðyþ õnü2õnømôN#ü·ýe÷2ÿ`÷õvõnðyòô $2 ;!ø)ðyñÿ`÷õvõnðyòôòüXóvó8ôñvûIüoþ)ý)ñõ8ü

V (φ) = α[e−βφ + βφ − 1]/βðrþ1.ðyþ!ø)ðyò^ø

òE÷oñvôV ′(φ) = α(1−e−βφ)

#ôótüXóvù+ðyþ ÷#÷ uÿyüXó.ôuûe÷oþ)ñvðrüXþÖüV (φ)

÷oö>ümõφ = 0

ô þ)ýõ8øe÷õ

V ′(φ) ∼ αβ[φ−βφ2/2+β2φ3/6] üXù+û)÷oó8ðyþ 2õnø)ðyñ ômû)÷oþ)ñ8ðyüXþU!ðÊõnø

E[\+ô³ñ8ôô õnø)÷õ,tüoóõ8ø)ô%ü·ýe÷ÿr÷õ8õ8ðròôa = −αβ2/2

÷oþ)ýb = αβ3/6

qõ tüXÿrÿyü0!ñõ8øe÷õ3b = 2a2 ÷oþ)ýÃõ8ø)ôóvôtüXóvô&õnø)ô!ðrþmô76"e÷oÿyðyõQ:E$\/\ T÷oðrÿyñ#õnü2ømüXÿrý tüXóJ÷oþ=

p B ôòüXþ)òÿ)ý)ô

õnøe÷ÈõCö)óvð Xøõö)óvôE÷õ8ø)ôóvñCòE÷þ þ)ôXôóôuðrñkõÃðyþÂõ8ø)ôU%ü·ýe÷ ÿr÷õ8õ8ðròô2Hø)ðyñþ)üoþ)ôuðrñkõnôþ)òôó8ôñ )ÿÊõ!ðrñ!ôþõnðyó8ôÿGòüXþ)ñvðrñvõ8ôþõ!ðyõ8øõ8ø)ôÿrðÊõnôó8÷õLmó8ôüXþ,%üuýe÷Öÿr÷õ8õ8ðròô Tñ8ôô $ S

" 2-& / )(S, /

\þ õnø)ôó8ô: oðrüXþÕöIôÿrü+ÚõnømôCò:móWXôñðrþ .ð )ó8ô IòüXó8óvôñ8û>üXþ)ýmðrþ *õnüU÷FXôþBmùÃöIôó8ñp!ø)ôóvô E$/\DT÷ðrÿrñ\ôôuûIôòõ&õ8ü þmýGýe÷oó*ñvüXÿrðÊõnüXþ*ñ8üoÿmõ8ðrüXþ)ñ³üõ8ø)ôQ)A5+ô76"e÷õ8ðrüXþE

ø)ôñvôñvüXÿuõnðrüoþ)ñ&øe÷FXôõnømôtüoó8ùF (Z, T ) = D(Z, T )eiµ(Z,T ) !ø)ôó8ô Tñ8ôô øe÷oûmõ8ôó

[Öü2"<!ôù*üXðrñvñ8ôþ)ôõ $-

D(Z, T ) = B

1 −m2 ñvôò^ø 2

mB

√

−Q2P

Z

1

2

, (R

µ(Z, T )=

√

−Q2P

√1−m2BZ + tan−1

m√1−m2

tanh

mB

√

−Q2P

Z

−B2Q

2(3−m2)T.

(R1ôó8ô

Bðyñ÷ tó8ôôûe÷ón÷où*ôõ8ôóUTý)ðyñvõ8ðrþ)òõ#tóvüXù .X÷où*ôñ @A%³ú\ûe÷ón÷où*ôõ8ôóý)ðrñvò:)ñvñ8ôý ðrþ

5uôòõnðyüXþ 0÷oþmým

0 ≤ m ≤ 1

!ðrñ÷+ûe÷oón÷ù+ôõnôó!õnø)÷õòüXþõnó8üoÿrñõ8ø)ôÃý)ôûmõnø ü2Jõnø)ôù+ü·ý)ÿr÷õnðyüXþü÷où*û)ÿyðyõLmý)ô# $- ;B\þõnømðrñ³òE÷oñvôuõ8ø)ôü+Xôón÷oÿyÿIñvüXÿuõnðrüoþ+üR³ðyþ+õnôó8ù*ñü³õnø)ôüXóvð Xðyþe÷oÿKo÷ó8ð`÷ö)ÿrôñõnü ó8ñkõüXó8ý)ôó2ðrñ

φn(t) = 2εDn(t) cos(ψn(t)) + O(ε2)

!ø)ôóvô

Dn(t) = B

1 −m2 ñ8ôò^ø 2

mBε

√

−Q2P

(

n+ cos(

p

2

)

t)

1

2

,.!R

ψn(t)=B

√

−Q(1 −m2)

2P

[

n + cos(

p

2

)

t]

− B2Q

2ε2(3 −m2)t + 2 sin

(

p

2

)

t+ pn

+

√

−Q2P

tan−1

m√1−m2

tanh

mB

√

−Q2P

(

n+cos(

p

2

)

t)

..+

ø)ôñvôñvüXÿmõ8ðrüXþmñø)÷+oôö>ôôþ üXö)ñvôó Xôý ûmó8ô ·ðyü)ñ8ÿ !tüXóô)÷ù+û)ÿyôö=T.ÿgõ ;E÷oþ)ðyñ: N

ì géÈîTí!³é Eìtè

\þ õ8ø)ðrñÖñvôòõ8ðrüXþ` ôÕþ")ù*ôóvðrò÷oÿrÿ ñvüXÿoôõ8ø)ôô76"e÷Èõnðrüoþ)ñ tüXóÃõnø)ô,"#ÿr÷õ8õ8ðròô E$\ø)ðrñ+ðrþ þ)ðyõ8ôÕñ ·ñvõnôù üþ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oóòü)ûmÿrôý ñ8ôòüXþ)ýuúqüXó8ýmôóGüXóvý)ðrþ)÷oó:ý)ð_ôó8ôþgõ8ð`÷oÿô76"e÷õ8ðrüXþmñðyñô76")ðo÷ÿrôþõõ8üõ8ø)ô ó8ñkõvúqüXó8ý)ôó!ñ·ñvõ8ôù

qn = pn,

pn = V ′(qn+1 − qn) − V ′(qn − qn−1),.R$\

0$

!ø)ôóvôpn = qn

B ôCò÷oó8ó ÑüuõõnømôCþ")ù*ôó8ðyòE÷oÿ%ñ8ðyù )ÿr÷õnðyüXþü5õnø)ôñ·ñvõ8ôù )ñ8ðyþ ÷tü)ókõnøuúqüXó8ý)ôó"< )þ Xô/úYmõvõ^÷ñvò^ø)ôù*ôòü·ý)ôýÖðyþ eüXóvõ8ón÷oþ!O )óJû)óvü Xón÷ùØñvüXÿoôñ.õ8ø)ôô76"e÷õ8ðrüXþmñü ù*üoõnðyüXþ tüXó

Nûe÷oóvõ8ðròÿrôñI!ø)ôó8ô

Nðyñ÷oþ=Äþe÷õLmón÷oÿ5þ")ùÃö>ôó# XóvôE÷õ8ôó

õnøe÷þ üXóC÷õCÿyôE÷oñkõCô 6"e÷oÿ|õnü õ8ø)ó8ôô%ömõõQuûmðròE÷ÿrÿ ÷oó8ümþ)ý -OPB ô+þ)üoõnôõnø)÷õõ8ø)ôòüXþmñ8ôó ÷õnðyüXþÆü|ù*ôò^øe÷þ)ðrò÷oÿ#ôþ)ôó

H 0!ü5õnø)ôCñ·ñvõ8ôù4ò÷oþ ö>ô )ñ8ôýÆõnüGò^ømôò

õnø)ôJ÷oÿyðrý)ðÊõQ üõnømô þ")ù*ôóvðròE÷ÿ&ó8üuõnðrþmôñ: ømôÕõ8üoõ^÷oÿôþ)ôó H

üõnø)ôÿ`÷Èõ8õnðyòôGðyñòüXù*ûmõ8ôý ô÷oñ8ðyÿÄñ8ðyþ)òôðyõÃðyñC÷Æñvðrù*û)ÿrôòüXùÃö)ðyþe÷õnðyüXþ ü2õnø)ô ÷oóvð`÷oömÿrôñ

qn÷oþ)ý

pnó8ôõL)óvþ)ôý@ö= õ8ø)ô þ")ù*ôóvðrò÷oÿñ8ò^ø)ôù+ô2 ÿrñvü"ô ñ8øe÷ÿrÿòüoù+ûe÷ó8ôõnø)ôÕþ")ù+ôó8ðyòE÷oÿyÿòüXù*ûmõ8ôýõnüoõn÷oÿôþ)ôó :!ðyõ8øõnø)ô÷oñ uù*ûmõ8üoõnðyò2ôñvõ8ðrù+÷õnôY oðXôþö" (R/\

5·ôõ8õ8ðrþ t = 0

Hô)ñvô+ümó tüXó8ù mÿ`÷ tüXóφn(t)

oðXôþ ðyþ (!Rõ8ü oôþ)ôón÷õ8ô*ðyþ)ðyõ8ð`÷oÿýe÷õn÷ tüoó

qn

qn(t) = q1(t) +n−1∑

i=1

φi(t) =n−1∑

i=1

φi(t),6R(R

!ø)ôó8ô2 tüoó!÷ömó8ôE÷Èõnø)ôóðyþ)ðyõ8ð`÷oÿyÿÿyüuò÷õnôýòôþõ8ón÷oÿyÿGðyþõnø)ôÿ`÷Èõ8õnðyòô2 ô2õn÷oôq1 = 0tüXÿrÿyü+!ðrþ õ8ø)ô!òüXù*ù*ôþõnñ|üXþ*ü)ó5ò^ø)üoðròô!üöIü)þ)ýe÷oó Öòüoþ)ý)ðyõ8ðrüXþmñ5ðrþNR=ñ8ðyù+ðyÿ`÷oó

ô76"e÷õ8ðrüXþø)üoÿrý)ñ tüXópn

9B ôþ)üoõnô÷oÿyñ8üÃõ8øe÷õ!õnø)ôòüXþ)ñvõn÷oþõq∞ = qN (0)

B ô!ðrù*ûIüoñ8ôû>ôó8ðyüuýmðròö>ü)þ)ýe÷óÖòüXþ)ý)ðÊõnðrüoþ)ñ|ö"ðyþõnó8ü·ý)òðrþ òõnðÊõnðrü)ñ5ûe÷oókõnðròÿrôñ|÷õôðÊõnø)ôóôþ)ý ü#õ8ø)ôÿ`÷õvõnðyòôuñn÷õ8ðrñ uðyþ

qN+1(t)= q1(t) + q∞,÷oþ)ý

q0(t) = qN (t) − q∞,

pN+1(t)= p1(t),÷oþ)ý

p0(t) = pN(t).6

ø)ðrñ.øe÷oñJõnømô&òüXþmñ8ô76")ôþ)òôõnøe÷Èõ5ö)ó8ô÷õnømôó8ñ5ù*ü+·ðrþ õ8üõnø)ôó8ð oøgõkútÿrôhõkú øe÷oþ)ýÖôý Xôü%õnø)ôò^øe÷oðyþô XôþõLe÷oÿyÿóvôôù+ôó XôYtó8üoù õnømôÿyôhõkúTó8ð Xøõvú= øe÷oþ)ýôý Xô

B ô÷oðrù õ8ü oôóvð õnø)ô÷oþe÷ÿgõnðyòE÷oÿ)óvôñ)ÿyõ8ñ üK5uôòõnðrüoþ:$8õ8øe÷õ ðrñ:\!ømôõnømôó õ8ø)ô÷oþe÷oÿ®ú·ñ8ðrñòüXó8óvôòõnÿû)ó8ôý)ðròõnñ&õ8ø)ô2ñ8øe÷ûIô÷oþ)ý:oôÿyüuòðyõQGü2#ñkõ^÷õ8ðrüXþ)÷oó÷oþ)ýù*ü0·ðyþ '÷+oôútüXó8ù*ñðrþõ8ø)ôò^øe÷oðrþE \þ ûe÷óvõnðyò:)ÿr÷oó: ô !ðrÿyÿüXö)ñvôó Xô !ø)ôõ8ø)ôóÿrüXþ Èú\ÿrðXôýGö)ó8ô÷õnømôóù+ü·ý)ôñ ômðyñvõ ðrþõnø)ôûe÷oó8÷où*ôõnôó|ó8ô: oðrüXþ)ñ !ø)ôó8ôôuûIôòõ8ôý!·õnøe÷õ³ðyñ:R!ø)ôþ

ab÷þ)ý

pñn÷õ8ðrñ õ8ø)ôðrþ)ô 6"e÷oÿrðÊõQ $ R5uðrþmòô&õnømô&ö)ó8ô÷õnømôó7@Îñ|ôm÷oòõ|ûIüXñvðyõ8ðrüXþÃðyñJøe÷oóvýÃõnü2ý)ôõnôókúù+ðyþ)ô tó8üXù û)ÿrüoõ8ñ|üõnømôö)óvôE÷õ8ø)ôó³û)óvü ÿrô2ù+ô÷oñ mó8ðrþO õ8ø)ôDoôÿyüuòðyõQüIõnø)ôö)ó8ô÷õnømôó÷oòò)ón÷Èõnôÿ ðrñ!ý)ð *ò:)ÿÊõ B ô þ)ýÕõ8øe÷õ!õnømðrñ!ðrñö>ôõvõnôó÷oò^ø)ðyô oôý mñ8ðrþO ÷û)ÿrüõ!ü#õ8ø)ôòôÿrÿôþ)ôó

en(t)9!ømôó8ô

en = 12p2

n + V (qn+1 − qn),.R[\

÷oþ)ýH =

∑Nn=1 en

tóvüXù c0 ñ ô÷oó8ôý)ô÷oÿrðyþ !ðyõ8øÑ÷Öñ8üoÿrðyõn÷oó^÷+oôtüXóvù tõnø)÷õðrñ÷*ÿrü·òE÷oÿyðrñ8ôý ýmðrñvõ )ó8ö)÷oþ)òô2!ø)üXñ8ôÃ÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôý)ôòE÷ ·ñõnü:;ôó8üG÷oñ

n → ±∞ Mõnø)ôôþ)ôó Õ÷ñ8ñ8ü·òðr÷õnôý,!ðÊõnøõnø)ôI÷FXôCðyñ÷oÿrñvü*ÿyüuò÷oÿrðyñ8ôý!1ôþ)òôðyþ üXóvý)ôóõ8üõ8ón÷oòGõ8ø)ôûIüoñ8ðyõ8ðrüXþ*üIõnø)ôö)ó8ô÷õnø)ôóIT÷oþ)ý+õ8ø")ñ&ý)ôõnôóvù+ðyþ)ôðyõnñ oôÿrü·òðÊõQ ôù÷ ô76"e÷ÿrÿmñ8ôõnø)ôÿyüuò÷õnðyüXþGü%õnø)ôù+÷0uðrù mù ÷oÿ)ô2ü

en

÷õ!ôE÷oò^ø,÷oÿ)ô2ü2t

#ðró8ñkõnÿ 9 ôÃû)ó8ôñ8ôþgõ2÷ñ8ðyù )ÿ`÷Èõnðrüoþü³÷+ñkõ^÷õ8ðrüXþe÷óö)óvôE÷õ8ø)ôóp = π

B ôò^ø)ü·üXñ8ô

+(

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

n

q

¼h¦L¾.º¨Z©£ ¢¦­t = 0

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

n

e

¼r²u¾Jº ©E­³©µenËH = 0.1189

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

n

q

¼`¿¾Jº¨Z©£ ¢¦­32.34T = 100

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

n

e

¼`¥·¾.º ©E­©µenËH = 0.1190

À

¸ «±gÀ À·Ò­k¦­\«®©E¤·¦¨ ²¨Z¢/¦­\´g¢n¨ Ë Ù.¦/°L¢n¤ ¬²m¢n¨p = π

À

õnø)ôó8ôù+÷oðyþ)ðrþ Õûe÷oó8÷où*ôõnôó2÷oÿ)ôñõnüÆö>ôa = 0.1

b = 2.0

N = 101

A = 1.0÷oþ)ý

ε = 0.1!ømðrò^ø*ñn÷õ8ðrñ õnø)ô!ômðyñvõ8ôþ)òôòó8ðyõ8ôóvðrüXþE$ RRømô!õ8ôù*ûIüoón÷oÿOtóvô76")ôþ)ò

üõ8ø)ô ò÷oó8óvðrôó^÷FXôÆðyñΩ = 2.2098

|÷oþmý@ø)ôþmòôÑðÊõ[tüoÿrÿrü+!ñÃõ8øe÷õ*õnø)ô ûIôó8ðrü·ý üüXñ8òðrÿyÿ`÷õ8ðrüXþðyñ

T = 2π/Ω = 3.0955+ømô ö)óvôE÷õ8ø)ôóðyñ%ðyþ)ðyõ8ð`÷oÿyÿ!ÿyüuò÷õnôý÷Èõ%õ8ø)ô|òôþgõ8ó8ô

ü%õnø)ôò^øe÷oðyþ1T÷oñ!ðrñ&õ8ø)ôòE÷oñvôtüoó!÷oÿrÿü2.ümóñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþ)ñ4u÷oþ)ýÕðrññvø)ü+!þÑðrþ,.ð )óvô$Nã÷RFø)ô|û)óvü ÿrô5ü2uõ8ø)ô|ö)ó8ô÷õnø)ôóðrñ÷oÿyñ8ü!ñ8ømü0!þ÷õ%÷ÿ`÷Èõnôóõ8ðrù*ô

t = 32.31T = 100ðrþ .ð mó8ô $Ntò+B&õ öIüoõ8ø+õ8ðrù*ôñ:·÷û)ÿrüoõ³üõnø)ôòôÿrÿ>ôþ)ôó *ðrñ ÷oÿyñ8ü# Xðoôþ!aeó8üXù õ8ø)ôôþ)ôó û)ÿyüoõnñ#ðÊõCðyñCòÿyôE÷oóõnø)÷õÖ÷2hõ8ôó[! ñvôòüXþ)ý)ñ.õnø)ôö)ó8ô÷õnø)ôóCøe÷ñÃþ)üoõCñ8û)óvôE÷oýüXó*ý)ðrñkõnüXókõnôý ñ8ð Xþ)ð òE÷oþõnÿ "B ôÑøe÷FoôÆ÷oÿyñ8ü ðyþ)òÿ)ý)ôý õnømô þ")ù*ôóvðròE÷ÿrÿ òüXù*ûmõ8ôý÷oÿ)ôñ!ü#õ8ø)ôõnüoõn÷oÿôþmôó 2

H hõ8ôó!Öñ8ôòüXþmý)ñ: ôñ8ôôõ8øe÷õ!õnømôò^ø)÷oþ Xôðrþ

Hðrñ!þ)ô Xÿrð Xðrö)ÿyô!ðyõ8ø∆H/H = 0.00084

ø)ôC÷ñ·ù+ûuõnüoõ8ðròôñkõnðrù+÷õ8ô2üH

Xðoôþ ö" (R/ðrñ O0[OK!ø)ðrò^ø ðyñÃ÷Æÿyðyõ8õ8ÿrôÿrü+ ôóCõ8øe÷oþ õ8ø)ôþ")ù+ôó8ðyòE÷oÿyÿ üXöuõ^÷oðyþ)ôý1÷oÿ)ôñø)ðrñ!ðyñ!õ8ü+ö>ôôuû>ôòõ8ôý!>ñ8ðyþ)òôðyþ ý)ôó8ðuðyþ (R/\ ôð oþ)üXó8ôý O(ε2)

õ8ôóvù+ñ9!ø)ðrò^øù÷2oô&÷ñvù÷ÿrÿgòüXþõ8ó8ðröOmõnðyüXþ!C\þ .ð )ó8ô (8 ô&øe÷FXôñvø)ü+!þ*÷ù+üoþgõn÷ Xô³üMñ8þ)÷oû)ñ8ømüoõnñü&õ8ø)ôGö)óvôE÷õ8ø)ôóC÷õõ8ðrù*ôñ

t = 05T

10T

15T

20T

÷þ)ý25T

Aeó8üoù õnø)ðyñ:Kô

ñ8ôôõnøe÷õõnø)ôömó8ôE÷Èõnø)ôóý)üuôñ&þ)üoõ&ñ8û)óvôE÷oýüXó&ýmðrù*ðrþ)ðyñ8ø*ðrþ÷où*û)ÿyðyõLmý)ôü+oôó&õnømðrñõ8ðrù*ôðrþõnôóW÷oÿN

2040

6080

100

0

20

40

60

80

−0.05

0

0.05

nt

q

¸ «±gÀgÓXÀ·Ò¤·¦§g¯\´g©E­Z¯ ©µI­\´g¢!¯\­k¦­\«®©E¤·¦¨ ²¨Z¢/¦­\´g¢n¨¦­5­\«¬¢^¯t = 0

Ë5TË10T

Ë15T

Ë20T

¦¤g¥25T

ËT = 3.0955

ÀB ô!þ)ü+ û)óvôñ8ôþõ&÷ñ8ðyù )ÿ`÷ÈõnðrüoþÃü÷2ù*ü+uðyþ ö)ó8ô÷õnømôó: eüXóJõ8ø)ðrñ\ôñ8ôõ÷FXôþBmùúöIôó

p = π/2:tüXóH!ø)ðyò^ø

v = − cos(p/2) = −1/√

2)þ)ðÊõnñû>ôóñ8ôòüXþmý!0ø)ô óvôù+÷oðrþ·ú

ðrþ ûe÷ón÷où*ôõ8ôó8ñ÷oóvôò^ø)üXñ8ôþ ÷oñ tüXÿyÿrü+!ñ a = 0.1

b = 2.0

N = 101

A = 1.0

÷oþmýε = 0.1

9!ø)ðrò^øÕñn÷Èõnðrñ Gõnømôôuðrñvõ8ôþ)òôðyþ)ô76"e÷ÿrðyõQ E$ R \þõnø)ðyñòE÷oñvôeõnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôótó8ô 6Bmôþ)òÄðrñ

Ω = 1.4353÷oþ)ýÄñ8üõ8ø)ôÖüXñ8òðrÿyÿ`÷õ8ðrüXþÕûIôó8ðyüuýÆðyñ

T = 4.3779!B ôÖý)ü

þ)üoõñvø)ü+ õ8ø)ôðrþ)ðÊõnð`÷ÿû)ó8ü ÿrôÖü|õnømôÖö)ó8ô÷õnø)ôóõnø)ðyñõnðyù+ô2>õ8ø)ü Xø ôÖøe÷FXôñ8ømü0!þõnø)ôûmó8ü ÿyô÷õJõ8ðrù*ôñ

t = 50÷oþ)ý

t = 91.76ðyþ .ð )ó8ôñ&Dã÷R#÷oþ)ýDTòF.ó8ôñvûIôòõ8ðXôÿ

\þ õnø)ô óvñvõü|õnømôñ8ô2HôñvôôÖõnøe÷Èõ2õnø)ôÖö)óvôE÷õ8ø)ôóøe÷ñ2ù+ü+XôýÂõ8üGõnø)ôÖÿyôhõ÷þ)ýÄøe÷oñ÷oÿrù*üXñkõó8ô÷oò^ø)ôýÄõ8ø)ôÖÿrôhõvúqøe÷oþ)ýÆôý XôÖü|õ8ø)ôÖò^øe÷oðyþ!E ÿyðyõ8õ8ÿrôI!ø)ðyÿrôÃÿr÷õnôó:>ðyõ2ý)ðyñn÷oû·úûIô÷oó8ñ&tóvüXùÚõnø)ðyñJñ8ðyý)ô÷oþmý*óvôE÷oûmûIô÷oó8ñ tóvüXù õnø)ôóvð Xøõvúqøe÷oþ)ýCôý Xô tñ8ôô.ð mó8ô Dtò+ ø)ðrñ2ðyñ2ý)ôÖõnüõ8ø)ôÖûIôó8ðyüuý)ðyòÃö>ü)þ)ýe÷óÆòüXþ)ý)ðÊõnðyüXþ)ñ:M% ò÷oÿrò)ÿ`÷õ8ðrþ

en

.[÷oþ)ýû)ÿrüõ8õnðyþ ðÊõ2÷ X÷oðrþ)ñkõ

n ô þ)ý!EtóvüXù .ð mó8ô Dtý >õnøe÷õõnø)ôÖ÷Foôón÷2 XôXôÿrü·òðyõQ ü

õnø)ôCö)ó8ô÷õnø)ôóðyñ −0.703)þ)ðyõ8ñû>ôóñ8ôòüXþ)ý! 1ôþ)òôÃõ8ø)ôCû>ôóvòôþõn÷ XôÃý)ð_ôó8ôþ)òôÃö>ôú

õôôþõnømô2÷oþe÷oÿ gõnðrò÷oÿ>÷oþ)ýGþ")ù*ôóvðrò÷oÿ!oôÿyüuòðyõnðyôñ³ðrñ −0.58 O\þJ.ð )óvôY ôøe÷Foôðrþ)òÿ)ýmôýÖõnø)ôþ")ù*ôóvðrò÷oÿrÿ òüXù*ûmõnôý o÷ÿ)ôñ5üIõ8ø)ôôþmôó 2

H ÷oðrþEX ôñvôôõnø)÷õ

õnø)ôó8ôGðyñCüXþmÿÂ÷ õ8ðrþ=Âò^øe÷oþ Xôðrþ õ8ø)ôGòüXù+ûOmõnôý÷oÿ)ô+ü+Xôóõnø)ô+ôþõnðyó8ôGýmón÷õ8ðrüXþ!!ðyõ8ø

∆H/H = −0.00083 ø)ôó8ô2ðrñ&÷oÿrñvüÖ÷ÃòÿyüXñ8ôù+÷õ8ò^ø:!ðyõnøGõ8ø)ô2÷oñ ·ù+ûmõ8üoõnðyòôñkú

õnðyù÷õ8ô tüXóH\!ø)ðyò^ø+õLmó8þ)ñ³ümõ|õnüö>ô2O 8=\þ #ð )óvô [8\ ôñ8ømü0 õnø)ôö)ó8ô÷õnømôó

÷õ÷oóvðrümññkõ^÷ Xôñü|ðÊõnñù*üoõ8ðrüXþ ÷oñðÊõõ8ón÷FXôÿrñÿyôhõ÷oó8ý)ñõnø)óvü XøÑõ8ø)ôÃò^øe÷ðrþ!!ø)ôÿ`÷oñkõ2ñ8þ)÷oû)ñ8ømüoõÃ÷Èõ

t = 142.86ñvø)ü+!ñõ8ø)ôÖö)ó8ô÷õnømôó÷oñ2ðyõø)÷oñ )ñvõòüXù+ûmÿrôõ8ôý üXþmô

!ø)üXÿyôCòðyó8ò)ðyõ÷oþ)ýÆóvôõLmó8þ)ôýÆõnüðyõ8ñðyþ)ðyõ8ð`÷oÿû>üXñvðyõnðyüXþ! \þÆõnømðrñôm÷où+ûmÿrô ôÖüXömñ8ôó Xô÷Öñ8ù+÷oÿrÿ÷ù+ümþgõ&ü.ôþ)ôó ôñvòE÷oû>ôtó8üXù,õnø)ôYtó8üoþgõ!ü2#õ8ø)ôö)ó8ô÷õnø)ôó:

B ô&÷ÿrñ8ü )ñ8ôü)ó.þ")ù*ôóvðrò÷oÿuñvò^ø)ôù*ôõ8ü6)óvõ8ø)ôó%õnôñvõJõ8ø)ôômðyñvõ8ôþ)òôðrþ)ô 6B)÷oÿrðÊõQ: $ R

0[

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

n

q

¼h¦L¾Jº¨Z©£ ¢¦­t = 50

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

n

e

¼r²u¾Jº ©E­³©µenËH = 0.1199

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

n

q

¼`¿¾Jº¨Z©£ ¢¦­t = 91.76

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

n

e

¼`¥·¾.º ©E­©µenËH = 0.1198

À

¸ «±gÀgâgÀ+©°«¤±²¨Z¢/¦­\´g¢n¨ Ë Ù.¦/°L¢n¤ ¬²)¢n¨p = π/2

À\þ 5uôòõnðyüXþ $8 (B ô2ñ8ømü0 ôýGõ8øe÷õ&÷Cþ)ôòôñvñn÷oó Gòüoþ)ý)ðyõ8ðrüXþtüXó³ö)ó8ô÷õnø)ôó&ôuðyñvõnôþ)òôðrþõnø)ô ò^øe÷oðrþÖðyñ.õnø)÷õ

3b > 4a2 \þ÷oýmý)ðyõ8ðrüXþCõ8üõnø)ðyñ:0tüXó a 6= 0Èõnø)ô÷FXôþBmùÃöIôó

pù )ñkõÖö>ô Xó8ô÷õnôóCõnø)÷oþ õnø)ôù*ðrþmðrù )ù &÷FXôþ")ùÃö>ôó

pmin

XðXôþ ö"Z $R qõÖðyñþe÷õ )ón÷oÿMõnü26")ôñkõnðrüoþ:!øe÷õ&ø)÷oû)û>ôþ)ñ÷ñ?÷+oôþ")ùÃö>ôó

p→ p+min

gõnø)÷õ&ðyñ:R!ø)ôþGõ8ø)ôôuðrñkõnôþ)òôòüoþ)ý)ðyõ8ðrüXþ>E$ \ ðrñ üXþ)ÿ )ñkõñn÷õ8ðrñ ôý!aB ôþmü01ñ8ømü0 õnø)÷õ&õnømôö)ó8ô÷õnømôóöIôòüXù*ôñN!ðyý)ôó!÷oñ

p÷oû)ûmó8ü÷oò^ømôñõnø)ðyñõnø)óvôñ8ømüXÿrý!

\þüXó8ý)ôó õ8ü6"e÷oþõnð *õ8ø)ðrñ ôðyþgõ8ó8ü·ý)òôõnømôþ)üoõ8ðrüXþ+ü%÷Cö)óvôE÷õ8ø)ôó @ ñ?!ðrýmõ8ø!8 P ôòüXþmñ8ðrýmôó2õnø)ôÖôþRXôÿyüXû>ô*ü2 õ8ø)ôö)ó8ô÷õnø)ôóY XðoôþÂö= (R[\õnømôÖôþRXôÿrüXû>ô+ø)÷oÿ`úE!ðrýmõ8øLhw

ðyñ³ù*ôE÷ñ )óvôý÷õ³øe÷ÿ>õnø)ôù÷Cmðyù )ù ÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ô&üIõnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôó !ø)ðyò^øðyñεA

\þ üõnø)ôó üXóvý)ñ:

Lhw

ñn÷õ8ðrñ ôñ2εAsech(εALhw

√

Q/2P ) = εA

Lhw =1

εA

√

2P

Qsech−1

(

1

2

)

.. R

ø)ô 6)ÿyÿD!ðyýmõnø üõnømôÆö)ó8ô÷õnømôóLfw

ðyññvðrù*û)ÿ õ!ðyòôÑõ8ø)ôÆøe÷ÿ`ú !ðyýmõnøEJõnøe÷õðrñ

2040

6080

100

0

50

100

150

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

nt

q

¸ «±gÀ À·Ò¤·¦§g¯\´g©E­Z¯³©µ­\´g¢¬©/°o«¤±²¨Z¢/¦­\´g¢n¨&¦­5­\«¬¢^¯t = 0

Ë50Ë91.76

¦¤g¥142.86

À

Lfw = 2Lhw

P<ô!ó8ðÊõnðrþO +õnømôÃõnôóvùQ/2P

÷oñ6b − 4a2 − 4a2 òüXñvôò 2 (p/2)

ôñ8ôôõnøe÷Èõ √

(Q/2P )ý)ôòó8ô÷oñ8ôñõnü ;ôó8üÃ÷ñ

pý)ôòó8ô÷oñ8ôñõnü

pmin

gø)ôþ)òôõ8ø)ôD!ðyýmõnø+üõ8ø)ôö)ó8ô÷õnømôó

Lfw

ðrþ)òó8ôE÷ñ8ôñ !ðyõ8ø)ümõöIü)þ)ý ÷oñp → p+

min

* ôGò^ø)ü·üXñ8ôa = 1

÷oþ)ýb = 2

õnømôþtó8üXù E$\ðyõ!tüXÿyÿrü+!ñIõ8øe÷õpmin = π/2

:\þ .ð )ó8ô B7ô|ñvø)ü+ õnømô5ðrþ)ðÊõnð`÷ÿû)ó8ü ÿrôñü#õ üö)ó8ô÷õnømôó8ñ!ø)ðyò^øÕòüXó8óvôñvûIüXþmýÕõ8üõ üý)ð_Iôóvôþõ&÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ: MüoóöIüõnø!ô øe÷Foô ñ8ôõ

a = 1.0b = 2.0

N = 101

A = 1.0

÷oþmýε = 0.1

\þ.ð )ó8ô T÷R ôCñ8ôõ

p = π>÷oþmýÆðrþ.ð )ó8ô tö N ôCñvôõ

p = 1.7 !ømðrò^øÑðyñù )ò^ø

òÿyüXñ8ôó³õ8üõ8ø)ôõ8ø)ó8ôñ8ø)üoÿrýU÷oÿ)ô!üπ/2 ≈ 1.57

"ñ ômû>ôòõnôý!uõ8ø)ôömó8ôE÷Èõnø)ôó ðyñ³ù )ò^ø!ðrý)ôó^tüoó

p = 1.7õ8øe÷oþ tüXó

p = π ñ8ðrþO *õ8ø)ôýmô þ)ðÊõnðyüXþ16 R tüXó

p = πô þ)ý

õnøe÷ÈõLfw = 13.17

!!ømðrÿrô#tüXóp = 1.7

ô þmýLfw = 27.57

!ø)ðyò^ø ðrñù*üXó8ôõnøe÷þõ!ðròô÷ñ!ðyý)ô

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

n

q

¼h¦L¾p = π

À

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

n

q

¼r²u¾p = 1.7

À

¸ «±gÀXÀX¡ «®¥¢n¤«¤±C©µ²¨Z¢/¦­\´g¢n¨|§¨Z©£ ¢¦E¯p → p+

min = π/2À

0/

Tî îtèê2 ·çì gép→ 0

!$# %'&4)($*+($,!-& &40/ /

\þ õ8ø)ðrñÃñvôòõnðrüoþ` ôñ8ømü0 õnøe÷ÈõÖõnø)ô "#ÿr÷õ8õ8ðròô+òE÷oþ:ñ)û)û>üXóvõ ÷FXôtüoó8ù*ñÖù+üXóvôòüXù*û)ÿyôõnø)÷oþCö)óvð Xøõ%üXó%ýe÷oóömó8ôE÷Èõnø)ôó8ñ.üoó%õ8ón÷FXôÿrÿrðyþ gðrþgñ: ø)ôñ8ô&ù*üXó8ô|òüXù+ûmÿrô&÷FoôtüXóvù+ñ ÷oó8ðyñ8ôN!ø)ôþU ôòüXþ)ñ8ðyý)ôó|ñvù÷oÿyÿ ÷+oôþ")ùÃö>ôóvñ

p3 ôD6B)÷oþõnð '!øe÷õô

ù+ô÷oþÆö=\ñ8ù+÷oÿrÿ 2ù*üXó8ôû)ó8ôòðyñ8ôÿ Õðrþ 5uôòõ8ðrüXþ (RH5uðrþmòô2 ôÖòüoþ)ñ8ðyý)ôó2÷ó8ö)ðÊõnón÷ó8ðrÿ ñ8ù+÷oÿrÿA&÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ

pù+üXñkõü³õnø)ðyñ2ñ8ôòõnðyüXþ ðyñòüoþ)òôó8þ)ôýT!ðyõ8ø õnø)ôòE÷ñ8ôü³õnø)ô

6"e÷oóvõ8ðrò+ÿ`÷õvõnðròôõnøe÷ÈõÃðrñb > 0

a = 0

tõnømðrñ tüoÿrÿrü+!ñ#tó8üXùõnømôGòüXù*ù*ôþõnñÖ÷0hõnôóô76"e÷õ8ðrüXþ>E$\ 1ü0 ô oôó)ðrþ:5uôòõnðrüoþ O $8R ôþ)üoõ8ôõ8ø)ôö>ôø)÷+·ðyü)ó³üJgðrþgñ&ðyþ*õ8ø)ôÿ`÷õvõnðyòô!ðÊõnøò:mö)ðròþ)üXþmÿrðrþmôE÷oóvðyõQ*ðrþGõ8ø)ôûIüoõ8ôþõnðr÷oÿôþ)ôó Ahõnøe÷Èõ!ðrñ:

a > 0b = 0

ø)ðrñðrñõ8ü+ý)ôù+üoþ)ñvõ8ón÷õ8ôõ8øe÷õöIôøe÷F·ðrü)óðrþõnømôÿr÷õ8õ8ðròô!ðÊõnø,6"e÷oóvõ8ðròû>üoõnôþgõ8ð`÷oÿðyñ6")ðyõ8ô*ýmðrñvõ8ðrþ)òõ÷oþ)ý )þ")ñe÷oÿ !ø)ôþ òüXù*ûe÷oóvôý !ðyõ8øÄõ8øe÷õüXömñ8ôó Xôý ðrþ õnømô*ÿr÷õ8õ8ðròô!ðyõ8ø ÷Öò)ö)ðròû>üoõnôþõnð`÷ÿ;

#ðró8ñkõnÿ ô ñvø)ü+õ8øe÷õ tüoó+õnømô 6B)÷oóvõ8ðròÑÿr÷õ8õ8ðròô-a = 0

b > 0

õ8ø)ôÆñvüXÿmõ8ðrüXþ (!\óvôýmòôñõnü+÷gðyþðrþõnømôÿyðrù*ðyõ

p → 0 üoþ)ñ8ðyý)ôóvðrþ *üXþ)ÿ Gõnø)ôÿyôE÷oý)ðyþ úqüXó8ý)ôó

ôuûe÷oþmñ8ðrüoþ tüXóφn(t)

ôþ)üoõnôõnøe÷õ&÷oñp→ 0

cos(p/2) → 1

m÷þ)ý÷oÿrñvü tóvüXù (O0Ω → 0

÷oþ)ýø)ôþmòôcos(Ωt + pn) → 1

Xôón÷oÿyÿ; !ø)ôþp ε 1

ôø)÷+oô

φn(t) = 2εAñ8ôò^ø

A

√

Q

2P(εn+ εt)

+ O(ε3)..R/\

5uðrþmòôφn

ðrñ!ñ8ÿyü+!ÿJ÷oó·ðyþ +ðyþn E/\&òE÷þÆöIôó8ôû)ÿ`÷òôý ö=

qn =∫ n∞φk dk

>÷oþmýÑñ8ü./e Xðoôñ

qn(t) = 4

√

2P

Qtan−1

exp(εA

√

Q

2P(n + t))

,.R

!ø)ðrò^øý)ôñ8òó8ðrö>ôñ!÷ gðyþ*õ8ón÷FXôÿrÿyðrþ Ãÿyôhõ÷oó8ýmñõnø)óvü Xøõ8ø)ôò^øe÷oðyþ:!ø)üXñvôñvûIôôý!uõnüÿrô÷oý)ðrþO *üoó8ý)ôó:Mðrñ^)þ)ðÊõQ!ñvðrþ >.=R!÷oþ)ýN\ ô þ)ýÕõnøe÷õõnømôC÷où*û)ÿyðyõLmý)ô2ü.õ8ø)ôgðrþGðyñ Xðoôþö=

q∞ = 2π

√

2P

Q=

2π√6b.

.R5uüÖðrþ+õnø)ôÿyðrù*ðyõ

p→ 0·õ8ø)ô2ö)ó8ð Xøõ&ö)óvôE÷õ8ø)ôóñ8üXÿmõnðyüXþ XðXôþðyþ (-R³óvôýmòôñõ8ü

qn÷oñ XðoôþðrþT6=R?!ø)ðyò^ø ý)ôñ8òó8ðrö>ôñ÷Ãõnó8÷+oôÿyÿrðrþO ·ðyþ

B ô mñ8ôGümóþ")ù*ôóvðròE÷ÿ ñvðrù )ÿr÷õnðyüXþ õnüÕõnôñkõ!ø)ôõnø)ôó gðrþgñÃ÷ó8ôüoö)ñ8ôóWXôý:ðrþ õ8ø)ôÿ`÷õvõnðyòô tüXó oôóÃñ8ù+÷oÿrÿR÷+oôþ")ùÃö>ôóvñ

p B ô&ó)þÖü)óJñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþtüXó#õ8ø)ô&ûe÷ón÷où*ôõ8ôó

÷oÿ)ôñp = 0.01

a = 0.0

b = 2.0

N = 101

A = 1.0

÷þ)ýε = 0.1

\þ .ð mó8ô /8ôñvø)ü+1õ8ø)ôYgðrþ÷õðrþõ8ôóW÷oÿyñ&ü Ãñvôòüoþ)ý)ñ÷oñðyõù+ü+Xôñ!ÿrôhõ÷oóvý)ñ&õnø)óvü XøGõ8ø)ôò^øe÷oðyþ!PeüXó2ðrþmñvõ^÷þ)òô2ö"Ñõnø)ôÖõnðyù+ô

t = 30M ô*ñvôôÖõnø)÷õõnø)ô gðrþOÆðrñ2òÿrüXñvôÃõnüõnø)ô

ÿrôhõvú\ø)÷oþ)ý*ôý Xôüõ8ø)ôò^øe÷ðrþ! eó8üXù cRBtüoó#oôó ñvù÷oÿyÿ9&÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ*ôôuûIôòõõnø)ôñ8û>ôôýüõ8ø)ôgðrþOõ8üCö>ôQoôó+òÿyüXñ8ô!õnü )þ)ðÊõQañ8ðyþ õ8ø)ôù+ôõnø)ü·ýý)ôñ8òó8ðrö>ôýðrþ

2040

6080

100

0

10

20

30

0.5

1

1.5

nt

q

¸ «±gÀoÀ&«¤ÅCµ`©E¨5ÙJ¦^°L¢n¤ ¬²)¢n¨p → 0 a = 0

Ëb = 2

¦¤g¥p = 0.01

À5uôòõnðyüXþ (O0ôù*ôE÷oñ)ó8ô õnø)ôoôÿyüuòðyõQüMõnø)ôe·ðyþ÷oþ)ý þmý*ðÊõ#õ8ü2öIô −1.03

)þ)ðÊõnñJû>ôóñ8ôòüXþ)ýE 1ôþmòôÖõnø)ôó8ôÖðyñ2÷J( ýmð_Iôó8ôþ)òôÖö>ôõ ôôþÂõ8ø)ôÃõnømôüXóvôõnðyòE÷oÿ.÷oþ)ýÄüXö)ñvôó Xôý÷oÿ)ôñCü −1

÷oþmý −1.03)þ)ðÊõnñCû>ôóCñ8ôòüXþ)ý:ó8ôñ8û>ôòõnðoôÿ B ô÷oÿyñ8üÆù*ôE÷ñ )óvô+õnømô

ø)ôð Xøõ.ü2)õnø)ô gðrþ2õnüöIô1.8

+!ø)ðrò^øCðrñ%ðrþCòÿrüXñvô÷2 Xó8ôôù*ôþõT÷ý)ð_ôó8ôþmòôü2 −0.6 !ðyõ8øõ8ø)ôòE÷oÿyò:)ÿr÷õnôýJo÷ÿ)ô2ü O Xðoôþö=.=R

ømôòE÷oÿyò:)ÿr÷õnðyüXþCû)óvôñvôþõnôý+ðyþ,.=R XðoôñJõ8ø)ô÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôüMõnømô gðrþ#tüXó#õ8ø)ôñ8ù+÷oÿrÿ&÷Foôþ")ùÃö>ôóÃÿyðrù*ðyõ

p → 0K)÷õ8ôóðrþ5uôòõnðyüXþ (J ôU!ðrÿyÿJû)óvôñ8ôþõÃý)ôõ^÷oðyÿrñ2ü õnø)ô

òE÷oÿyò:)ÿr÷õnðyüXþÑü2q∞

tüoóõnømôÖù+üXóvô Xôþ)ôó8÷oÿJòE÷ñ8ôp = O(ε)

H#ðró8ñkõnÿ ôñ mù+ù+÷oó8ðyñ8ôñ8üXù*ôYgþ)ü+!þÑû)óvüXû>ôóvõ8ðrôñü2 gðrþO·ñ!ðyþõ8ø)ô "# ÿ`÷õvõnðyòô

! " &W S)($, ($, / ($, /0/.( , ($, * )($*+(S

\þÆõ8ø)ðrññ8ôòõnðyüXþ!!ôÖòüXþ)ñ8ðyý)ôóõnø)ô ÿ`÷õvõnðròô2!ðÊõnøÆôðyõnømôó2÷ò)ö)ðyòÃüXó÷:6"e÷óvõnðyòûIüõnôþõ8ð`÷oÿNAB ôñn÷Fðyþ õnø)ôûmó8ô ·ðyü)ññ8ôòõnðyüXþ õnø)÷õ tüXó'oôó:ñvù÷ÿrÿ#&÷FXôþ")ùÃö>ôó8ñp ε 1

õnø)ô+ö)ó8ô÷õnømôóñ8üXÿmõnðyüXþÄüõ8ø)ô 6"e÷oókõnðyòUQÿ`÷Èõ8õnðyòôÖóvôý)òôñCõ8üÑ÷õnó8÷+oôÿyÿrðrþO :&÷FXô^!ø)ðrò^øÂøe÷oñ2õ8ø)ô tüXó8ù ü2&÷ gðrþ 1ü+ ô oôó:õnó8÷FXôÿyÿrðyþ gðrþÆñvüXÿ·úõnðyüXþ)ñòE÷oþ öIô*ý)ôõ8ôóvù+ðyþ)ôý ý)ðróvôòõ8ÿ tóvüXù õnømô+ô 6B)÷õnðyüXþ)ñüù*üoõnðyüXþ Rû)óvü0·ðyý)ôýõnø)ôÕûe÷oó8÷où*ôõnôó8ñ

a÷oþ)ý

b÷oó8ôÕò^ø)üXñvôþ ÷û)û)ó8üoû)ó8ðr÷õnôÿ5·ðrþ)òôÕõ8ø)ô ýmðrñ8òó8ôõnôÕÿ`÷õvõnðròô

ô76"e÷õ8ðrüXþmñ÷oóvôþmüoõñvüXÿ÷oömÿrô!ôm÷oòõnÿRô÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ôõnø)ôù mñ8ðrþO Còüoþgõ8ðrþ")ùQ÷ûuúû)ó8ü uðrù+÷õ8ðrüXþ)ñQtðrþU!ømðrò^øGõnømôý)ðyñ8òóvôõ8ôðrþmý)ô

nðyþ \|ðyñó8ôû)ÿ`÷òôýö"+÷CòüXþõnðyþBmü)ñ

÷oó8ðr÷oö)ÿrôFRB ô )ñ8ô2óvôñ)ÿyõ8ñetó8üXù üXÿyÿrðyþ)ñ N üXÿyÿrðyþ)ñY <!ðròô / ;a<üoñ8ôþ)÷ $8 $\$ ÷oþ)ýJB ÷õ8õ8ðrñY (O N B ô÷oþe÷oÿ uñvôYgðrþ+ñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ&ðyþGõnø)ô2õ ü*ñvûIôòðr÷oÿòE÷ñ8ôñ!ü#ÿ`÷Èõ8õnðyòôñ

!ðyõ8ø ÷ñ·ù*ù+ôõnó8ðyò 6"e÷oóvõ8ðròû>üoõnôþgõ8ð`÷oÿNa = 0, b 6= 0

÷þ)ý ÷þ ÷oñ uù*ù*ôõnóvðròÖò)ö)ðròûIüõnôþõ8ð`÷oÿ#

a 6= 0, b = 0

! " $# (O (S ( =., ( a 6= 0 b = 0

\þ õ8ø)ôÖñ8ðyù+û)ÿyôñkõ2÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ-hõnøe÷õðyñ:>õnø)ôÖñkõ^÷oþ)ý)÷oó8ýÄòüoþgõ8ðrþ")ù4÷oû)û)óvü mðyù÷LúõnðyüXþ *õ8ø)ô ÿ`÷õvõnðyòôÑý8uþ)÷où+ðyòñ RG÷oóvô ÷oû)û)óvü mðyù÷Èõnôý ö=@õ8ø)ô ûe÷oókõnðr÷oÿý)ð_ôó8ôþgõ8ð`÷oÿô76"e÷õ8ðrüXþ

φtt = φxx + 112φxxxx + a(φ2)xx,

E[ R!ø)ðrò^øÕøe÷oñ÷Ãõnó8÷FXôÿyÿrðyþ &÷FoôñvüXÿmõ8ðrüXþðyþõnø)ôYtüXóvù ü.÷*ûO)ÿrñvôtüoó

φ

φ2s(z) =3(c2 − 1)

2a

ñ8ôò^ø 2(

z√

3(c2 − 1))

,E[B0

!ø)ôóvôz = x − ct

I÷oþ)ýcðyñõ8ø)ô2oôÿyüuòðyõQÕüJõ8ø)ôõ8ón÷FXôÿrÿrðyþ &÷FXô2Mø)ðyñ XðXôñó8ðyñ8ô

õnü÷õ8ón÷FXôÿrÿyðrþ gðrþCðrþõnø)ôN÷oó8ðr÷oö)ÿyôq!ø)ðrò^ø+øe÷oñ³÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô!÷þ)ý+ôþ)ôó XðXôþ+ö=

q(2s)∞

=

√

3(c2 − 1)

a, H2s =

√3(c2 − 1)3/2(9c2 + 1)

10a2.

E[$\

6B)÷õnðyüXþ E[ R|ðyñþ)üõ÷ Xü·ü·ýG÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ*õ8üCõnømôgðrþ)ôõnðyòñü2õnø)ôÿr÷õ8õ8ðròôô 6"e÷ÈúõnðyüXþT Rýmôõ8üðyõ!ö>ôðrþO Öðrÿrÿ®ú\û>üXñ8ôýHLgõnø)ôý)ðyñ8û>ôó8ñvðrüXþóvôÿ`÷Èõnðrüoþ tüXó E[\/ðrñ

ω2 = p2 − 112p4,

E[X(R

!ø)ðrò^ø ðyñÖ÷Æû>üuüXóC÷oû)û)óvü mðyù÷ÈõnðrüoþÂõ8ü 0/\eüXóÿ`÷oó Xôó &÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ>p > 2

√3

ô76"e÷õ8ðrüXþ, [(R XðoôñJóvðrñ8ô õnü2ðrù+÷ Xðyþe÷oó ÷oÿ)ôñ tüXóω

!ø)ðrò^øòüoó8ó8ôñ8û>üXþ)ýÖõnü)þ)û)ø=·ñkúðrò÷oÿ;ômû>üXþ)ôþõnð`÷ÿrÿú Xó8ü+!ðrþO X÷FXôñ !ø)ôó8ôE÷ñ 0/D oðXôñ

ω ∈ RtüXó³÷oÿyÿ9&÷FXôþ")ùú

öIôó8ñp

# ô )ñ8ô÷þ ðrù*û)ó8ü+Xôý òüXþõ8ðrþ")ù÷oû)û)óvü mðyù÷Èõnðrüoþ!eõnø)ôþ ôÖüXömõn÷oðrþÆ÷Gý)ð_Iôóvôþõ|ï ÷oû)û)óvü mðyù÷ÈõnðrüoþGü R)þ)÷où+ôÿ

φtt = φxx + 112φxxtt + a(φ2)xx.

E[0

ø)ðrñ!ûe÷óvõnðr÷oÿýmð_Iôó8ôþõnð`÷ÿô76"e÷õ8ðrüXþÕðrñ* ôÿyÿÊúqûIüXñvôý!møe÷Fuðyþ Öõnø)ôý)ðyñ8û>ôó8ñvðrüXþóvôÿ`÷Èõnðrüoþω2 = p2/(1 + 1

12p2)

N!ø)ðyò^ø XðXôñÕó8ô÷oÿI÷oÿ)ôñ ü2ω

tüoó ÷ÿrÿ÷+oôþ")ùÃö>ôóvñ:p

6B)÷õnðyüXþTE[2ñ)û)û>üXóvõ8ñ÷õ8ón÷FXôÿrÿrðyþ Öû)ÿyñ8ô tüXóφü%õnømôtüoó8ù

φ2i(z) =3(c2 − 1)

2a

ñ8ôò^ø 2

z√

3(c2 − 1)

c

.E[[\

eó8üXù½õ8ø)ðrñ"ô þ)ý ñ8ÿrð Xøõnÿ ù*üXó8ôÕ÷oòò:)ó8÷õnôÕôñkõnðyù÷õ8ôñ tüXóÖõnømô gðrþOú\÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô÷oþ)ýÕôþ)ôó

q(2i)∞

=c√

3(c2 − 1)

a, H2i =

c3√

3(c2 − 1)3/2

a2.

E[ R

$-

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

¼h¦L¾ &«¤Å´g¢n«±<´­q∞À

c

q∞

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

¼r²u¾ &«¤ÅÖ¢n¤g¢n¨\± HÀ

c

H

¸ «±gÀ À¢n«±<´È­ ¦¤g¥*¢n¤g¢n¨\± ©µÅo«¤Åo¯J«¤+¦¿k´·¦«¤*Ù5«­\´*¿ ²«®¿!§m©E­Z¢n¤­\«Ê¦ t˼a = 2

Ëb = 0

¾¼`¯Z¢^¢¢^É ¦­\«®©E¤g¯¼ < ¾5¦¤g¥Õ¼ L¾k¾8À

B ôÕþ)üoõ8ôõnøe÷õ*õnømôñ8ôÕøe÷FXôÕõnø)ôÕñn÷ù+ôö>ôøe÷F·ðrümó+÷ñc → 1

÷oñõnømüXñ8ô Xôþmôón÷Èõnôýtó8üXù õ8ø)ô*ñvõ^÷þ)ýe÷oóvý òüXþõ8ðrþ")ù ÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ!!\þ ûe÷oóvõ8ðrò)ÿ`÷oó tüoóö>üoõnøEK ôüoöuúñ8ôóWXôõnø)÷õ!÷oñ

c→ 1+ q∞ → 0+ ÷oþ)ýH → 0+ ÿrñ8üÖö>üoõ8ø ÷û)û)ó8ü uðrù+÷õ8ðrüXþ)ñ ·ðrôÿyý

ñ8ðyù+ðyÿ`÷oó!ö>ôøe÷F·ðrümó tüXóÿr÷oó oô ÷oÿ)ôñü2c øe÷õðrñ÷ñ

c → ∞ ôÖøe÷FXôq∞ → ∞÷oþ)ý

H → ∞ ø)ôû)ó8üoûIôóvõnðyôñ tüXó!öIüõnø õ8ø)ôñvõ^÷þ)ýe÷oóvýÆ÷oþ)ý ðrù*û)ó8ü+oôýÑòüXþõnðyþBO)ù÷oû)û)óvü mðyù÷Èõnðrüoþ)ñG÷oóvôÄðrÿrÿ)ñvõ8ón÷õ8ôý@ðyþ .ð )ó8ôB*!ø)ðrò^øñ8ømü0!ñÕû)ÿyüoõnñüõ8ø)ô ·ðyþXú÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô

q∞ðyþ`.ð mó8ôYT÷RC÷oþ)ý õ8ø)ôôþmôó 2

Hðrþ1.ð mó8ôTö J÷2 ÷oðrþmñvõCõ8ø)ô

Xôÿrü·òðyõQcJ\þ ö>üoõ8ø û)ÿyüoõnñõnø)ô)û)û>ôóò:)ó XôòüXó8óvôñvûIüXþmý)ñõ8üÕõ8ø)ô+ðyù+ûmó8ü+Xôý òüoþuú

õnðyþBO)ù ÷oû)û)óvü mðyù÷Èõnðrüoþ! ø)ðyñö>ôø)÷+·ðyü)ó!ðrñ÷oñôuû>ôòõ8ôý ÷þ)ýÑòüXþõnón÷ñvõnñ!ðyõ8øÕõ8ø)ôÿ`÷õvõnðyòô !ðyõnøÆ÷ 6"e÷oóvõ8ðròõnôóvù4÷þ)ýÆþ)üGò)ö)ðyòCõnôó8ù ðrþÑõ8ø)ôÃðyþgõ8ôó8÷oòõ8ðrüXþ ûIüoõ8ôþõnðr÷oÿ%÷oñôñ8ø)÷oÿrÿþmü0 ñ8ôô

! " " (O (S -& ( ., ( a = 0 b > 0

\þõnømðrñòE÷ñ8ô)õ8ø)ôñvõn÷oþ)ýe÷oóvý òüXþõnðyþBO)ù ÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþGü2Rðrñ

φtt = φxx + 112φxxxx + b(φ3)xx,

E[/\

!ø)ðrò^øðrñ ÷ ÷oðyþ÷oþ+ðrÿyÿÊú\û>üXñvôýûe÷oókõnð`÷ÿeý)ð_Iôóvôþõnðr÷oÿeô76"e÷õ8ðrüXþE1ü+ôXôóe÷õ8ón÷FXôÿrÿyðrþ ú&÷Foô*ñvüXÿuõnðrüoþÆòE÷oþÄñkõnðrÿyÿ#ö>ô tü)þmý tó8üXù ðyõ: !ø)ðyò^ø!ðrþÆõ8ø)ô

φ÷oóvð`÷oö)ÿyôñ> XðXôñ2ó8ðrñvô

õnüÖõnømôûO)ÿrñvôñvüXÿuõnðrüoþ

φ3s(z) =

√

2(c2 − 1)

b

ñvôò^ø (2z√

3(c2 − 1))

.E[2R

$8

eüXÿrÿyü0!ðyþ õnø)ô õnón÷þ)ñtüXóvù÷Èõnðrüoþöe÷òõ8üõnø)ôq÷oóvð`÷oömÿrôñK ô÷ ÷oðyþCøe÷Foô!÷õnó8÷FXôÿyÿrðyþ

gðrþ !ðÊõnø gðrþXú\÷où+ûmÿrðyõ )ý)ô÷oþ)ýÕôþ)ôó

q(3s)∞

=π√6b, H3s =

(5c2 + 1)

3b

√

c2 − 1

3.

E[2R

üoõ8ôõnø)÷õH3s

ø)÷oñõnømôôuû>ôòõ8ôýÕöIôøe÷F·ðrü)ó üH → ∞ ÷ñ

c→ ∞ ÷þ)ýH → 0+

÷oñc → 1+ 1ü0 ô oôó

q(3s)∞

ýmüuôñÖþ)üoõñ8ø)÷oó8ôGõ8ø)ôñvôÕûmó8üXû>ôókõnðrôñÖ÷oñÖðÊõÖðrñÃðyþ)ý)ôûIôþuúý)ôþõ*üõnø)ôñvûIôôý

c #÷oóvõ8ÿ õnø)ðyñÖðrñÖý)ôõ8üÄõ8ø)ôôuû)óvôñvñ8ðrüoþGE[2Rö>ôðrþO ÷ û>üuüoó

÷oû)û)óvü mðyù÷ÈõnðrüoþõnüÖõnømô ÷FXôtüXó8ù ü%õnø)ô2õ8ón÷FXôÿrÿrðyþ Ãûmÿrñ8ôñvüXÿmõ8ðrüXþE

\þ û)ÿ`÷òôü [\/\2÷oþ ðyù+ûmó8ü+Xôý ÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþÆõnü1 Rðrñ2õ8ø)ôU ôÿyÿÊú\û>üXñvôýÂûe÷oóvõ8ð`÷oÿý)ð_Iôóvôþõnðr÷oÿô 6B)÷õnðyüXþ

φtt = φxx + 112φxxtt + b(φ3)xx,

-R

!ø)ðrò^øÕñ mû)ûIüoóvõnñ÷û)ÿyñ8ô2ñ8üoÿmõ8ðrüXþü tüXóvù

φ3i(z) =

√

2(c2 − 1)

b

ñvôò^ø

2z√

3(c2 − 1)

c

. 80

ø)ôÆñvüXÿmõ8ðrüXþmñ> [R+÷þ)ý 80ñvø)ü+õ8øe÷õ*õnó8÷+oôÿyÿrðrþO gðrþgñ÷ó8ôÑôuûIôòõnôý õnü ö>ôñ )û>ôóvñ8üXþmðrò^

c > 1÷ñ&õnø)ô gðyþðyÿrÿmñvõnó8÷õnôýðyþ .ð mó8ôI/Jtôþ)ýü5uôòõ8ðrüXþ 0÷oñ

tü)þ)ýõ8üÖöIô2\þõnô: oón÷õ8ðrþ , [R üXóI O0#!ðyõnøóvôñvûIôòõ!õnüzñ8ø)ü+!ñõnømôY·ðyþ

q(z)õnü

øe÷FXôõnø)ô2ñ8÷où*ô tüXó8ù ÷oñ!þ)üoõnôýðrþT.=\mþ)÷où+ôÿA tan−1 eλz tüXó&ñvüXù*ô

A, λ eó8üoù

O+" ô þ)ý ù+üoó8ôÕ÷oòò)ón÷ÈõnôÕôuû)ó8ôñ8ñvðrüXþ)ñtüXóõnø)ô gðrþXúZ÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ô÷oþmý ôþmôó 2õnøe÷þÕõ8ø)üXñ8ôðyþ [Reþe÷où*ôÿ

q(3i)∞

=πc√6b, H3i =

2c3

b

√

c2 − 1

3.

\$\

\þJR$\+ ôþ)üõnô|õnøe÷õH3i

ñvøe÷oóvôñ.ñvðrù*ðrÿr÷oóû)óvüXûIôóvõ8ðrôñK!ðyõ8øH3s

-1ü+ôXôóq(3i)∞

þmü0ñn÷õ8ðrñ ôñ.õ8ø)ôòüXþ)ý)ðÊõnðyüXþ

q(3i)∞

→ ∞ ÷ñc→ ∞ öOmõ5÷oñ

c→ 1+ q(3i)∞

→ π/√

6b 6= 0

ø)ô!÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôq∞

÷oþmý*ôþ)ôó Hü2>õ8ø)ô gðrþñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ tüXó.õnømôN6B)÷oóvõ8ðrò&û>üoõnôþõnð`÷ÿ

ðrñû)ÿrüoõvõnôý ðrþ1.ð mó8ô[O ÷oðyþ!õnø)ô[)û)û>ôóÃò)óWoôGòüXóvó8ôñ8û>üXþ)ý)ñÃõ8ü õnømôGðrù*û)ó8ü+oôýòüXþõ8ðrþ")ù ÷û)û)ó8ü uðrù+÷õ8ðrüXþ!

eüXó6B)÷oóvõ8ðròñ·ñvõ8ôù*ñD!ømðrò^ø ÷oó8ô2ðyþ)ðyõ8ð`÷õ8ôý !ðÊõnøöIü)þ)ýe÷oó ýe÷õn÷Öü#õ8ø)ôYtüXó8ù

qn → q∞ as n→ ∞qn → 0 as n→ −∞,

(R

!ðyõ8øq∞ > π/

√6b

ôù+ð XøõôuûIôòõõ8ø)ôÃÿ`÷ó Xô/úqõnðyù+ôô Xüoÿmõ8ðrüXþ üJõnømôCñ·ñkõnôù õnüöIô Xü+Xôó8þ)ôýÃö=Ã÷^·ðyþ2üM÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ô

q∞0!ø)ðyò^øCõnó8÷+oôÿyñJ÷õ.÷ñvûIôôýÖ÷oûmû)ó8ü uðrù+÷õnôÿ

ô76"e÷oÿ³õnüq∞

√6b/π

1ü+ôXôó tüXóC÷Ññ·ñvõ8ôù !ø)ðrò^ø ðyñCðyþ)ðyõ8ð`÷õ8ôý !ðyõnø öIü)þ)ýe÷oó

$\$

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

¼h¦L¾ &«¤Å´g¢n«±<´­q∞À

c

q∞

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

¼r²u¾ &«¤ÅÖ¢n¤g¢n¨\± HÀ

c

H

¸ «±gÀXÀ¢n«±<´È­ ¦¤g¥*¢n¤g¢n¨\± ©µÅo«¤Åo¯J«¤+¦¿k´·¦«¤*Ù5«­\´*É ¦¨\­\«®¿§)©E­Z¢n¤È­\«Ê¦ t˼a = 0

Ëb = 2

¾¼`¯Z¢^¢¢^É ¦­\«®©E¤g¯¼ L¾5¦¤g¥Õ¼ ¾k¾8Àýe÷õn÷Æüõnø)ô tüoó8ù \(RI!ðyõ8ø

q∞ < π/√

6b#õ8ø)ôóvôGðrñCþ)üÆõnó8÷+oôÿyÿrðrþO gðrþÂü!õnømðrñ

÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô!ø)ðyò^øÕò÷oþö>ô2÷oþ÷õvõnón÷òõnüoó tüXóõ8ø)ôÿr÷oó Xô/úqõ8ðrù*ôýO·þe÷ù+ðyòñ: ø)ðyñÿrôE÷Foôñõnø)ôÄüXû>ôþ û)óvüXö)ÿrôù ü !øe÷õtð÷oþ= òüXø)ôó8ôþõ ñvõ8ó )òõL)óvôñ ü)ÿyýöIôÄüXö)ñvôó Xôý÷õ+ÿ`÷oó XôGõnðyù+ôñ*ðyþ ÷Âñ·ñvõ8ôù !ðyõ8ø ñ)ò^ø@ðrþmðyõnðr÷oÿý)÷õ^÷OeüXóòüoþoôþ)ðyôþ)òôô,!ðrÿrÿø)ôóvô:)û>üXþÕý)ô þ)ô

q(c)∞

:= π/√

6b

! * ($,!(, / &4 .&/2-, ($, / ($, % -($,

B ô|ó8ôõL)óvþõ8üõ8ø)ô5ù*ü0·ðyþ !ö)ó8ô÷õnø)ôóù+ü·ý)ôñ!tüoóH!ø)ðrò^ø÷oñ·ù*ûmõnüõnðrò|÷û)û)ó8ü uðrù+÷õ8ðrüXþ)ñôó8ôò÷oÿrò)ÿ`÷õ8ôý ðyþ`5uôòõnðyüXþ $8 (B \þ õnømðrñCñvôòõnðrüoþ! ô÷oó8ôòüXþ)òôóvþ)ôý`!ðyõ8ø ñ8ù+÷oÿrÿ&÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ:

p 12\þÖüXó8ý)ôó&tüXó.ü)óJù*ôõnømüuýÃõ8üY Xôþ)ôón÷õ8ô÷ù*ü0·ðyþ ö)óvôE÷õ8ø)ôó

ù+ü·ý)ô!ðyõnø÷ó8ö)ðÊõnón÷ó8ðrÿ 2ñ8ù+÷oÿyÿ ÷FXôþ")ùCöIôópX ôòüXþ þ)ô!÷õvõnôþõ8ðrüXþCõ8üõnø)ô6B)÷oóvõ8ðrò

"#Úÿ`÷õvõnðròô a = 0

b > 0

õnø)óvü Xø)ümõ!õnø)ðyññ8ôòõnðyüXþ!

B ôÕñ8ø)ü+ õnø)÷õ |ðrþ:õnømôqn(t)

÷oóvð`÷oö)ÿyôñJõnø)ôÕù+ü+·ðrþO ö)óvôE÷õ8ø)ôó+ù+ü·ý)ôòüoùÃö)ðrþmôñöIüõnø gðrþÑ÷oþ)ýÂö)ó8ô÷õnø)ôóôÿrôù+ôþõnñ:÷oþ)ý ô*÷oþe÷ÿ·ñ8ôÃõ8ø)ôó8ôÿr÷õnðXôÃðyù+û>üXókõ^÷oþ)òôÃüôE÷oò^øòüXù+û>üXþ)ôþõ \eóvüXù (!Rõ8ø)ô!÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô³üeõ8ø)ôö)ó8ô÷õnømôóJòüXù+û>üXþ)ôþõ5ðrñ O(ε)

ø)ôñ8ð;ôü%õnømôY·ðyþ*òüXù*ûIüoþ)ôþõ

q∞ðyñ Xðoôþö=Gõnømô2ñ )ù ðrþ N\aB ô÷oóvôY)þe÷oö)ÿyô

õnü þ)ý ÷oþ ôm÷oòõôuû)óvôñvñ8ðrüoþ tüXóq∞

tüXó^ Xôþmôón÷ÿ#ñvù÷oÿyÿpMömõQôòE÷oþ þ)ý

q∞õnü

ÿrô÷oý)ðrþO ÃüXó8ýmôó: B ô!ðyÿrÿ>ñ8ôôõnøe÷õq∞

ý)ôû>ôþ)ýmñ^mûIüXþGõ8ø)ô2ó8ôÿ`÷õ8ðoôñ8ð;ôñüp÷oþ)ý

ε

üoõ8ôYtó8üXù E$\[\ õ8øe÷õ √Q/2P =

√6bðyþ)ý)ôû>ôþmý)ôþõü

peñ8ðrþmòô

a = 0

eóvüXù õ8ø)ôý)ô þmðyõnðyüXþüq∞

A.RM÷þ)ýÕõ8ø)ôñ8üXÿmõnðyüXþ tüXóφn

(!\9 ôøe÷FXô

q∞ =∞∑

n=−∞

φn ∼∞∑

n=−∞

2εA cos(pn+ Ωt− s)

cosh[εA√

6b(n− n0 − vt)],

2

$(

!ø)ôóvôn0

÷þ)ýsó8ôû)ó8ôñ8ôþgõ÷ó8ö)ðÊõnón÷óñ8ømðhõnñ³ðrþ*õnø)ôQ&÷FXôtüXó8ù,üõ8ø)ôôþoôÿyüXûIô÷oþ)ý

õnø)ôû)ø)÷oñ8ôÕüõnø)ôòE÷ó8ó8ðyôó÷FXô<!ôû)ÿr÷oòðyþ õnø)ôñ)ù ö= ÷oþ:ðrþõnô Xón÷ÿ Tñvðrþ)òôõ8ø)ôñ )ù*ù+÷oþ)ýðrññvÿrü+!ÿUo÷ó·ðrþ ðyþ

nýO)ôõ8ü

ε 1÷oþ)ý

p 1? ôüXömõ^÷ðrþ

q∞ ∼ 2π√6b

ñ8ôò^ø ( πp

2εA√

6b

)

cos ((pn0−s) + (pv+Ω)t) . \[\

)ñ8ðyþ tüXóvù )ÿ`÷'(OkO (Ãü]ó8÷oý)ñ8øõ8ô·þ Y < ;ø)ð ;9ømô2ôñvõ8ðrù+÷õnô R[\ tüXóq∞÷oû)û>ôE÷oóvñÖõnü õnðyù+ô/ú\ý)ôûIôþ)ý)ôþõ:Jõnø)üO Xø ðÊõÖô oüXÿoôñ*ü+Xôó+÷oþ:ô·õ8ó8ôù*ôÿ ÿrüoþ õnðrù*ôú

ñ8ò÷oÿrô2eñ8ðrþmòôYtüXóñ8ù+÷oÿyÿp÷oþ)ýÕñ8ù+÷oÿyÿ

ε ôøe÷Foô

pv + Ω ∼ 112p(

p2 + 9bε2A2)

. R

ö=` (80÷oþmýv = − cos(p/2)

!ø")ñðc tüXóôm÷où+ûmÿrôp = O(ε)

õ8ø)ôþq∞

ô oüXÿoôñü+XôóC÷õ8ðrù*ôñvòE÷oÿyôÖü

t = O(ε−3)J * ô+÷oó8ô*òüXþmòôóvþ)ôýT!ðyõnøÄõnømô+ôXüXÿmõnðyüXþ ü+oôó

õnðyù+ôñ8òE÷ÿrôñ mûÕõ8ü O(ε−2)mõnømôþ R[\ò÷oþÕöIô2õnóvôE÷õ8ôý ÷oñõnðyù+ô/ú\ðrþmý)ôû>ôþ)ýmôþõ

ÿyôE÷oóvÿ[tó8üXù R[\)õnømôñvð ;ôüq∞

ý)ôû>ôþmý)ñ mûIüXþõnømôóvôÿr÷õnðXô2ù+÷ Xþ)ðÊõL)ý)ôñüp÷oþ)ý

ε!eüXóðrþ)ñkõ^÷oþmòôMð

p εõnø)ôþÑõnø)ôC÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô2ü2Jõnø)ô#gðrþðyññvù÷ÿrÿ;O\þ)ý)ôôý

÷oñp÷û)û)ó8üX÷oò^ø)ôñ O(1)

·õnø)ô2÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ôüõnø)ôYgðyþ+ö>ôòüXù*ôñ&ômû>üXþ)ôþõnð`÷ÿrÿ*ñvù÷oÿyÿðrþεI÷þ)ýÑø)ôþ)òôCðrþõnø)ðyñóvô: Xðyù+ô2)õnø)ô÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô2ü2Jõnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóý)üXù*ðrþe÷õ8ôñõnø)÷õ

üõnømô gðrþ 1ü+ ô Xôó:5ð p ε

üXóp ∼ ε

%õ8ø)ôþ õ8ø)ôG÷où*û)ÿyðyõLmý)ôüõnø)ô[gðrþÄðrñO(1)

÷þ)ýÕõ8ø)ðrñýmüXù+ðyþe÷õ8ôñ&õnømôömó8ôE÷Èõnø)ôó'S!ø)ðrò^øÕøe÷oñ÷où*û)ÿyðyõLmý)ô O(ε)tüXó!÷ÿrÿ

p

B ô÷oÿyñ8üþmüoõnôetóvüXù R[õnø)÷õ 9TðSõnø)ô&÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôq∞

ðrñ#ù÷Cmðyù+ðyñ8ôý2!ø)ôþs = pn0

õnøe÷Èõ|ðrñ:\!ømôþõnø)ô!ù+÷0uðrù )ù ü>õnø)ô!ôþRoôÿrüoûIô

n = n0

òüoðrþ)òðrý)ôñ#!ðÊõnø*÷2ù÷Cmðyù )ùüõ8ø)ô*òE÷oóvó8ðrôóI&÷FXô

cos(pn + Ωt − s)LTðyðSõnømôó8ô*ðrñ÷üXþ)ô/ú\ûe÷oó8÷où*ôõnôóYT÷où+ðyÿ ü

ö)ó8ô÷õnømôó8ñ!ðyõ8øÑ÷òòüoù+ûe÷þ"·ðyþ ;ôóvü gðrþOú\÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ô2uõ8øe÷õ!ðrñtüXós = pn0 + π/2õnø)ô÷où*û)ÿyðyõLmý)ôü%õnø)ôgðrþOòüoù+û>üXþ)ôþgõ÷oþ)ðyñ8ø)ôñ:eÿyôE÷F·ðrþ ÷û)óvôömó8ôE÷Èõnø)ôó:

B ôù+ôþõnðrüoþ ðyþÕû)÷oñ8ñvðrþ õnøe÷ÈõðyþÕõ8ø)ôÿrðrù*ðyõp → 0

A \[\÷ Xó8ôôñ!ðyõ8øõnø)ôû)ó8ôÿrðyù+ð®úþe÷oó óvôñ)ÿyõ.=\eö>üoõnø Xð·ðrþO ÷gðrþø)ôð Xøõü

2π/√

6b B ôCñvø)ü+Ø÷+û)ÿyüoõü

q∞ XðoôþGö= R[\³÷ ÷oðyþ)ñvõ&÷Foôþ")ùÃö>ôóptüXó õ üÖý)ð_Iôóvôþõ*÷oÿ)ôñ ü

εðrþJ#ð )óvô O

ø)ô )ûmûIôóCò:móWXôòüXóvó8ôñvûIüoþ)ý)ñCõ8üε = 0.025

%÷oþ)ý õ8ø)ôÿyü0 ôóõnüε = 0.01

Kø)ôó8ôù÷oðyþ)ðrþO ûe÷oón÷ù+ôõnôóvñðrþ R[÷oó8ôñ8ôõÃ÷ñ

n0 = 0s = 0

A = 1

÷oþ)ýb = 2

ðrþöIüõnøÕû)ÿrüoõ8ñ: üoõnô2õnø)÷õ!õnø)ô2õ üò:móWXôñøe÷Foôõnømôñ8÷où*ô ÷oÿ)ô2ðrþõnømôÿyðrù*ðyõ

p → 0

õnøe÷Èõ!ðrñ:2π/

√6b ≈ 1.81

ømôó8ôðrñ ÷oþðyþõnôóvù+ôý)ð`÷Èõnôó8ô: oðrù*ôðyþ^!ømðrò^øp 1

÷oþ)ýε 1

ðyþU!ø)ðyò^ø gðrþ*÷oþmýö)ó8ô÷õnømôóø)÷+oôòüoù+ûe÷ón÷oö)ÿyô÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ôñ=ñôóvôýmòô

puðÊõðyñ÷õ õnø)ðyñ ù+÷ XþmðyõLmý)ô

õnøe÷Èõ2òümû)ÿrôý ö)ó8ô÷õnø)ôókú ·ðyþgñ^3!ø)ðyò^ø>ôÃõ8ôóvù &4 ($, ($, / tüXóòüoþoôþ)ðyôþ)òô+öIôòüXù*ôù+üXñkõ÷oû)ûe÷oóvôþõ !%üý)ôõnôóvù+ðyþ)ô2õnø)ôù÷2 Xþ)ðyõ )ý)ô2ü.õnø)ðyñ÷FXôþBmùÃöIôó:M ô ó8ñkõþ)üoõ8ôÃõnøe÷õõnø)ô÷où*û)ÿyðyõLmý)ôCü|õ8ø)ôÖö)ó8ô÷õnømôóðrñ

εtüXó2÷ÿrÿ

pM%ü þ)ý õnø)ô÷oÿ)ô

üptüXó'!ømðrò^ø õnømô÷où+ûmÿrðyõ )ý)ôñCüõ8ø)ô gðrþC. XðXôþ ö=8R[\ Ã÷oþ)ý ö)óvôE÷õ8ø)ôó÷ó8ô

$2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5

2

p

q∞

¸ «±gÀ / ÀLº ©E­#©µq∞

±<«°L¢n¤² ¼ ¾¦±È¦«¤g¯\­ÙJ¦^°L¢n¤ ¬²m¢n¨pÀEÛJ´g¢ §§)¢n¨#¦¤g¥ ©/Ù.¢n¨#¿ ¨\°L¢^¯

¿^©E¨\¨Z¢^¯\§)©E¤g¥Ö­Z©ε = 0.025

¦¤g¥ε = 0.01

¨Z¢^¯Z§m¢^¿n­\«°L¢ Àñ8ðyù+ðyÿ`÷oó ôñ8üXÿXô

q∞ ∼ 4π√6b

exp

(

−πp2εA

√6b

)

∼ ε,R/\

tó8üXù !ø)ðrò^ø ôý)ôý)òôõ8øe÷õ

p ∼ 2εA√

6b

πlog

(

4π

ε√

6b

)

. R

1ôþ)òô#tüXóp = O(ε log(1/ε))

mõ8ø)ôö)ó8ô÷õnø)ôó÷þ)ý gðyþòüXù*û>üXþ)ôþõ8ñø)÷+oôCòüXù+û)÷Èúón÷oömÿrô÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôñ:m÷oþ)ý ôøe÷Foô

ε p 1

ømôù*üXñvõ#þe÷õ )ón÷oÿgó8÷oþ Xô|õnüñvõLmýO 6móvõnømôó%ðrñp = O(ε)

!ø)ðrò^øÃýmð_Iôó8ñ%üXþ)ÿ ñ8ÿyð Xøõnÿ tó8üXù R B ôò÷oÿrò)ÿ`÷õ8ôõnø)ôôþmôó 2

Hõ8ü+ÿyôE÷oý)ðyþ ÖüXóvý)ôóM5·ðrþ)òô

p ∼ ε9ô !ó8ðÊõnô

p = κεa!ø)ôó8ô

κ = O(1) ø)ôõnüoõn÷oÿôþ)ôó

Hmðyñe XðXôþö= c0 %üÖñ8ðrù*û)ÿyð Ãõ8ø)ô

ôþ)ñ)ðrþO Õò÷oÿrò)ÿ`÷Èõnðrüoþ)ñ: ô)ñvôθ÷þ)ý

ψõnüýmôþ)üoõ8ô

pn + Ωt÷oþ)ý

εA√

Q/2P (n +

cos(p/2)t)óvôñ8û>ôòõnðXôÿ > hõnôóý)ð_ôó8ôþgõ8ð`÷õ8ðrþ

qn(t) (\[\!ðÊõnøÆóvôñ8û>ôòõ2õnü

t÷oþ)ý

ñ )ömñvõnðÊõLmõ8ðrþ tüXóqn÷oþ)ý

φn

ðyþ 09ôøe÷Foô

H ∼∞∑

n=−∞

12ε2A2sech2ψ

4 cos2 θ + Ω2[

sin θ + cot(

p

2

)

cos θ]2

. R

5uðrþmòôp = κε

ðÊõtüXÿyÿrü+!ñõ8øe÷õcot(p/2) ∼ 2/εκ

÷oþmýÆõnøe÷õΩ ∼ 2 sin(p/2) ∼ εκ

ÿyñ8ü ôÃøe÷FXôCõ8øe÷õ

ψ = εA√

6b(n + t)÷oþmý

θ = εκ(n + t) = κψ/A√

6b!ø")ñ:

$\[

50 100 150 200 250 300 350 400

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

q

¸ «±gÀ < ÀÁ.¨Z¢/¦­\´«¤±E¶tÅo«¤ÅÙ5«­\´q∞ < q

(c)∞

¥X«®¯\§ ¦ ¢^¥Ö¢n°L¢n¨ Ã<< ­\«¬¢ ¤«­Z¯#µr¨Z©E¬t = 0

­Z©t = 2400

Àó8ôõ^÷oðyþ)ðrþ Ãõ8ôóvù+ñ&õ8ü*ÿyôE÷oýmðrþ ÖüXóvý)ôó!üXþmÿaô þ)ýõnøe÷Èõ2 Rö>ôòüXù*ôñ

H ∼ 4εA√6b

∫

∞

−∞

cos2

(

κψ

A√

6b

)

sech2ψ dψ,E/ R

!ø)ôó8ôõ8ø)ôñ)ùPðrþ R2øe÷oñöIôôþ óvôû)ÿr÷oòôý ö= ÷þ ðrþõ8ô: Xó8÷oÿ;Jû)û)ÿ·ðyþ tüXóvù )ÿr÷(O R$8 Cü?]2ón÷ý)ñ8øõnô·þ Y < ;ø)ð ; ôÃõ8ø)ôþÑøe÷FXô÷oþÆôñvõ8ðrù+÷õnôtüXóõ8ø)ôõ8üoõ^÷ÿôþ)ôó J!ømôþõnø)ôI÷+oôþ")ùÃö>ôó

p = O(ε)ü

H ∼ 4εA√6b

+2κεπ

3b sinh(

κ/A√

6b) = O(ε).

/80

! * .& ( &40/ a $/

B ôøe÷FXôó)þ:þBmù+ôó8ðrò÷oÿñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþ)ñü!õnø)ôñ ·ñvõnôù !ðyõ8ø ñ8ù+÷oÿrÿ&÷FXôþ")ùÃö>ôó8ñõnüÄðrþRoôñvõ8ð ÷ÈõnôGõnømôöIôøe÷Fuðyü)óÖüö)óvôE÷õ8ø)ðrþO gðyþgñ:"%üÄðrÿrÿ)ñvõ8ón÷õ8ô+õ8ø)ôðyóÃñvõn÷oö)ðrÿyðyõQôûmó8ôñvôþõÖõnømôGó8ôñ )ÿÊõnñÃü÷Ñÿr÷õ8õ8ðròô+ü!ñvð ;ô

N = 400%ñ8ðyù )ÿr÷õnôý tüXóC÷Ñõnðrù*ô*ü

T = 2400õ8ðrù*ô )þ)ðÊõnñ:ø)ôþ)üXþmÿrðrþmôE÷oó5ðyþgõ8ôó8÷oòõ8ðrüXþû>üoõnôþgõ8ð`÷oÿmøe÷oñ

a = 0b = 2

÷oþ)ýôñ8ôõ

ε = 0.01p = 0.075

÷oþ)ýA = 1

ø)ôó8ôñ )ÿÊõnñ÷oó8ôý)ðrñvû)ÿ`÷ Xôýðrþ .ð mó8ô#

4ñ8þe÷oûmñ8ø)üoõÕðyñGñ8ø)ü+!þ ô oôó@üoõnø)ôóõnðyù+ô õnøe÷õõnø)ô>÷FXôÄûe÷oñvñ8ôñõ8ø)ô òôþgõ8ó8ôÄüõnø)ô*ÿ`÷Èõ8õnðyòô tñ8ðyþ)òôõnø)ôÿr÷õ8õ8ðròôÖø)÷oññ8ð ;ô

N = 400÷oþ)ýÄõnømô^oôÿrü·òðÊõQ ü³õnø)ô ÷+oô

ðrñòÿrüXñvôÄõ8ü mþ)ðyõQ&õnø)ðyñüuòò:)óvñÑ÷oûmû)ó8ü uðrù+÷õnôÿ ô oôó !-:ñvôòüXþ)ý)ñ4Dø)ô ÷FXô

$

ù+ü+oôñõnüÄõnø)ôÿrôhõ JñvüÂõ8øe÷õ*ô oôó òðróvò:)ðÊõ .õ8ø)ôÿ`÷õvõnðròôñ8ðÊõnôý)ðyñ8û)ÿr÷oòôù+ôþgõ8ñqn(t)ó8ô Xðrñkõnôó÷ ó8÷oðrñvô ü

q∞ ≈ 0.12Tó8ôòE÷oÿyÿõnø)÷õJô ÷oóvô )ñ8ðyþ :ûIôó8ðrü·ý)ðyòÑö>ü)þ)ýe÷ó

òüXþmý)ðyõ8ðrüXþ)ñ4 Bømðrÿrñkõ!ôE÷oò^ø ðrþ)ýmð·ðrý)÷oÿñ8þ)÷oû)ñ8ømüoõü2#õ8ø)ô ÷FXôðrþ,.ð )ó8ô òÿyôE÷oóvÿñ8ø)ü+!ñ*öIüõnø:üXñ8òðrÿyÿ`÷õ8üXóCTömó8ôE÷Èõnø)ôóOÖ÷oþ)ý gðrþ ò^øe÷oón÷òõnôó8ðyñvõnðyòñÖüõnømô ÷FXôtüXó8ù tó8üXù õ8ø)ôù*üXþõ^÷2 Xô+ü2ó8ôñ )ÿÊõnñ:õnømô^÷FXô÷oòõLe÷oÿyÿÄ÷û)ûIô÷oó8ñõnü øe÷FXôõ8ø)ô[tüoó8ùü÷:õ8ón÷FXôÿrÿyðrþ 1÷FXôDø)ðyñÕðyñöIôòE÷)ñvô tüoóÕñvù÷ÿrÿ

põnø)ôÄû)øe÷ñ8ô XôÿyüuòðyõQ

ω/p =1 − p2/24 + O(p4)

÷oþ)ý õ8ø)ôÆôþoôÿyüXûIôXôÿyüuòðyõQ v = 1 − p2/8 + O(p4)

+÷oóvô÷oÿrù*üXñkõðrý)ôþõnðrò÷oÿ;Oþ=ðrþõnôó8þe÷ÿö)ó8ô÷õnømðrþ *ðrþõnømô ÷FXôüuòò:)óvñüXþ ÷Öõnðrù*ôñvòE÷oÿyôüO(1/p2)

!ø)ðyò^øÆðrñ!õnü·üÿyüXþ +õ8üüXömñ8ôó XôÖðyþ õnømôCñ8ðyù )ÿr÷õnðyüXþ)ñ* ôÃøe÷FXôÃò÷oó8óvðrôýÆümõ:#üüXö)ñ8ôóWoô+÷+ý)ð_Iôóvôþ)òôÃðrþ,Xôÿyüuòðyõ8ðrôñMðyõ ü)ÿyýÆö>ôCþ)ôòôñvñn÷oó ÆõnüüXö)ñ8ôóWoô÷ñ8ø)ð hõüc.ñ8÷ oôÿ`÷õvõnðyòôñvûe÷oòðrþ Xñ !ø)ðyò^ø õ^÷ôñ÷Ñõnðyù+ô+ü ∼ 5/∆v = 60/p2 ≈ 104

!ðyõ8øÑõnø)ôCûe÷oón÷ù+ôõnôó÷oÿmôñ2÷oñðrþ #ð )óvô[ ømôÃñ8ðyù )ÿ`÷Èõnðrüoþ ðyÿrÿmñvõnó8÷õnôýÑ÷öIü+Xô2ø)ü+ôXôó:oòüXþ óvù+ñõ8øe÷õõnø)ô³ù*üuý)ô5ðyñô·õnóvôù*ôÿÿrüXþ Èú\ÿrðXôý÷oþ)ýñn÷õ8ðrñ ôñ%öIümþ)ýe÷oó òüXþmý)ðyõ8ðrüXþ)ñ?!ø)ðrò^ø ÷oó8ô2ðyþe÷oòòôñvñ8ðyö)ÿrôõ8üÃõnón÷ý)ðyõ8ðrüXþe÷ÿ>gðrþO+õnó8÷FXôÿyÿrðyþ &÷FoôñvüXÿmõ8ðrüXþmñü "# ÿ`÷õvõnðròôñH!ðÊõnø 6"e÷oóvõ8ðrò5ðyþgõ8ôó8÷oòõ8ðrüXþ2û>üoõnôþõnð`÷ÿrñ#tñ8ôô5õ8ø)ô|òÿrüoñ8ðrþO òüXù*ù+ôþõnñü5uôòõnðyüXþ $+ø)ô³ÿrô÷oý)ðrþO ú\üXóvý)ôóôñvõ8ðrù+÷õnô&tüoó

q∞ XðXôþö= R[>tüXóõnø)ô|ûe÷oó8÷où*ôõnôó

÷oÿ)ôñ)ñ8ôý ðyþÄõ8ø)ðrñ2ñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþ oðXôñ÷J÷oÿ)ôÖü O+$-O!!ø)ðrò^øÂðrñoôóÄòÿrüXñvôÖõnüõnø)ôù*ôE÷ñ )óvôý÷oÿmô O 0$8ømðrñ÷oÿ)ô&ðrñ.òüXþ)ñvðrý)ôón÷oömÿñ8ù+÷oÿrÿyôóõnøe÷oþÃõ8ø)ôù*ðrþ)ðyù )ù÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôü.òÿ`÷oñvñ8ðyòE÷oÿù*üXþ)üõnüXþ)ô·ðyþgñD!ømðrò^øÕðrñ

q(c)∞

= π/√

6b ≈ 0.907

Bømðrÿrñkõ2õnø)ô+÷oö>ü+Xôôm÷où+ûmÿrôñ8ø)ü+!ñõnøe÷õö)óvôE÷õ8ø)ðrþ ÈúQgðrþgñôuðyñvõ !ðyõnøq∞ < q(c)

∞

õnøe÷ÈõÄðrñ:ðrþÚõnømô ón÷oþ oô üG÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ôñ,!ø)ôóvô õnón÷ý)ðyõ8ðrüXþe÷ÿõ8ón÷FXôÿrÿrðyþ gðrþO·ñÂ÷oóvôtüXó8ömðrý)ý)ôþtñ8ôô-5uôòõnðrüoþ $D ô þ)ü+Pô)÷ù+ðyþ)ô ömó8ôE÷Èõnø)ðyþ úQgðyþgñÑðrþ õnø)ô ón÷oþO Xôq(c)∞

< q∞ < 2q(c)∞

\þ õ8ø)ðrñÿ`÷õvõnôóûe÷ón÷où*ôõ8ôóCó8÷oþ Xô2#ö>üoõ8ø ö)óvôE÷õ8ø)ðrþ ÈúQgðrþgñC÷oþ)ýõnó8÷oý)ðyõ8ðrüXþ)÷oÿNtù+üXþmüoõnüXþmô+gðrþgñôuðyñvõ PB ôÖõnø)ôó8ôtüoó8ôðrþRXôñvõ8ð ÷õ8ôþBmù+ôó8ðrò÷oÿrÿ õ8ø)ôñvõn÷oö)ðrÿyðyõQ üö)ó8ô÷õnømðrþ ú gðrþgñ:.ñ8ðrþmòô tüXóÖôm÷où*û)ÿyô.ðÊõðrñÃû>üXñvñ8ðrömÿrôGõnø)÷õÖõnø)ôù*ü·ý)ôòümÿrý ýmôòüoù+û>üXñ8ô+ðrþõnüÑ÷Ññ mûIôó8ñ8üoþ)ðrò>

c > 1òÿ`÷oñvñ8ðyòE÷oÿQTù*üXþ)üõnüXþ)ôFgðyþÂ÷oþ)ý ÷

ñ )ömñ8üXþ)ðyò^c < 1

òÿ`÷oñvñ8ðrò÷oÿömó8ôE÷Èõnø)ôó: .ð )óvô 0$Cñ8ømü0!ñõ8ø)ô2ó8ôñ )ÿÊõnñ&ü%ñ)ò^øÑ÷ÃñvðrùÖú)ÿ`÷Èõnðrüoþ! eüXó õnø)ðyñ: ôøe÷FXôñ8ôõ

a = 0b = 2

ε = 0.01

A = 1

÷oþ)ýp = 0.025

òümó8ñ8ô2ñ8ðrþmòôõnø)ðyñ2òüXóvó8ôñvûIüoþ)ý)ñõ8üÕ÷oþ ôXôþ ñ8ù+÷oÿrÿyôó÷FXôþBmùÃöIôóõ8øe÷oþÄõnø)ô*û)ó8ô/ú·ðrü)ñôm÷où*û)ÿrô2>õ8ø)ôÖôuû>ôòõ8ôý õnðyù+ô#tüXóömó8ôE÷Èõnø)ðyþ GõnüGö>ôÃüXömñ8ôó Xôý ðyñüXþ)òôÖ÷ ÷oðyþöIôXüXþmý÷ ñvõ8ón÷oð Xøõ tüXó &÷ó8ý þ")ù*ôóvðrò÷oÿ!ñ8ðrù )ÿ`÷õ8ðrüXþ8tó8ô 6Bmðró8ðyþ ÷oþ@ðrþõ8ô: Xó8÷õnðyüXþ:ðrþôuòôñ8ñü

t = 105 Hømô ÷FXô*ù+ü+oôñ2õnüGõ8ø)ôÿrôhõ:÷oþmýÂðyñ2ý)ôûmðròõ8ôýÄðrþ .ð )óvô 0$÷õÖõnðyù+ôñ

t = 0Tòôþõnón÷ÿò:)ó Xô+

550Tó8ð XøõÖò:móWXôFÖ÷oþ)ý

1250TÿyôhõÖò)óWoô+Ãñ8ôòú

üXþ)ý)ñï)óvðrþ Gõ8ø)ôñvôÖðrþõnôóW÷oÿyñ:ðÊõù+÷oôñ÷GòüXù*û)ÿyôõnôòðyó8ò:mðyõ tüXóõ8ø)ôóvôE÷oö>ümõ8ñOüõnø)ôÕÿ`÷Èõ8õnðyòô2"ø)ô XôókõnðyòE÷oÿ!ý)ðyñ8û)ÿr÷oòôù+ôþgõ*ðyñ+÷ý)ñvõ8ôý ù+ü·ý)ÿyü

q∞õ8ü ÷oÿyÿrü+ ôE÷oñ

òüXù*ûe÷oóvðrñvüXþÖüõ8ø)ôN&÷FoôtüXóvù \B ô!ñ8ôô!õnø)÷õ|õnø)ô!ù*üuý)ôðyñ|÷õnón÷Foôÿrÿyðrþ ÷FXôüû>ôóZúù÷þ)ôþõ tüXóvù ü0oôóõ8ø)ðrñõ8ðrù*ôñvòE÷oÿyô ø)ôÖüXö)ñvôó Xôý ÷oÿmôCü

q∞ðyñ÷oûmû)ó8ü uðrù+÷õnôÿ

R[8a!ømðrò^øðrñðrþGômòôÿyÿrôþõ!÷2 Xó8ôôù*ôþõN!ðyõ8øõnø)ôõ8ø)ôüoó8ôõ8ðrò÷oÿ!÷oÿ)ôü R[2 Xðoôþö=1R[\

\þ õnø)ðyññvôòõ8ðrüXþôÃø)÷+oôÃý)ôù+üXþmñvõnó8÷õnôýÑõnø)÷õðyþÑõnømô'6"e÷oókõnðrò2"# ÿr÷õ8õ8ðròô)õnó8÷oý)ð®úõnðyüXþe÷oÿgðyþCõnó8÷FXôÿyÿrðyþ I&÷FXôñ8üXÿmõnðyüXþ)ñ5øe÷Foô÷oþ+÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôü

q∞ > q(c)∞

:= π/√

6bTñvôô&õnømôó8ð Xøõvúqøe÷oþ)ýÃñvðrý)ô ü!.ð )ó8ô F(\o÷oþ)ýCõ8ón÷FXôÿe÷õ.ñ )û>ôóvñ8üXþ)ðyò&ñ8û>ôôý)ñ: Tò 0B ôøe÷FXôõnø)ôþÆñ8ø)ü+!þÆõ8øe÷õ^tüXóñvù÷ÿrÿM÷FXôþ")ùCöIôó8ñ

p>ü)óö)óvôE÷õ8ø)ôóù+ü·ý)ôñ^ XðXô

$\/

100 200 300 400 500 600−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n

q

¸ «±gÀ / ÀeÁ.¨Z¢/¦­\´«¤±E¶tÅ«¤ÅGÙ5«­\´q(c)∞ < q∞ < 2q

(c)∞

¥X«®¯\§ ¦ ¢^¥ ¦§§¨Z©/ªo«¬¦­Z¢ ¢n°L¢n¨ <¯Z¢^¿^©E¤g¥¯Àó8ðyñ8ôõ8ü&÷FXôñN!ø)ðrò^øñ8ø)÷oó8ôtô÷õLmó8ôñü2#ö>üoõ8øõnó8÷+oôÿyÿrðrþO gðrþgñ÷oþmýö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ!÷oþmý!ðrþÃû)÷oóvõ8ðrò:mÿ`÷oóÈôuø)ðrö)ðÊõ&gðrþOC÷où*û)ÿyðyõLmý)ôñ%ðrþCõ8ø)ô&ó8÷oþ Xô

0 < q∞ < 2q(c)∞

tñ8ôô&õnø)ô&ÿyôhõkúøe÷oþ)ýÄñvðrý)ôÖü.ð )ó8ô +(RMø)ôñvô*òüXùÃö)ðyþ)ôýÄö)óvôE÷õ8ø)ðrþO úQgðrþO·ñõ8ón÷FXôÿ5ñ )ömñ8üXþ)ðyòE÷oÿyÿtõ8øe÷õ!ðrñ

c < 1

q(c)∞

2q(c)∞

¸ ©E¨ ¦­\­\«®¿^¢^¯5Ù5«­\´²m© ¤g¥g¦¨ ¿^©E¤g¥X«­\«®©E¤g¯0 < q∞ < 2q

(c)∞

˲¨Z¢/¦­\´«¤±E¶tÅ«¤ÅX¯³©o¿^¿ ¨|´g¢n¨Z¢

¸ ©E¨ ¦­\­\«®¿^¢^¯|Ù5«­\´²)© ¤g¥g¦¨ ¿^©E¤g¥X«­\«®©E¤g¯

q∞ > q(c)∞

ˬ©E¤g©E­Z©E¤g¢!Å«¤ÅX¯|©µ­\´g¢&µ`©E¨\¬¼ ¾.¢8ªX«®¯\­5´g¢n¨Z¢

¸ «±gÀ ÓXÀÛ §)¢^¯|©µÙ.¦^°L¢8µh©E¨\¬ Ù5´«®¿Z´¬¦ ©o¿^¿ ¨|«¤Ö­\´g¢!É ¦¨\­\«®¿ ¸ º» ¿Z´·¦«¤ Ë¥¢n§)¢n¤g¥X«¤± §)©E¤­\´g¢!¯\«Ü/¢©µ

q∞À ©E­Z¢!­\´·¦­

q(c)∞ := π/

√6bÀ

ø")ñtüXóÿ`÷Èõ8õnðyòôñ!ðyõnøÄö>ü)þ)ý)÷oóÄòüXþ)ý)ðÊõnðrüoþ)ñ^ \(\ðrþ õnø)ô*ón÷þ Xô0 < q∞ < q(c)

∞ôCøe÷FXô÷U÷FXôtüoó8ù !ømðrò^ø ù+÷Õö>ôCüXömñ8ôó XôýÂðyþÑõnømôÃÿ`÷oó Xôõnðrù*ôÿrðrù*ðyõ:ÿyñ8ütüXóÿ`÷õvõnðyòôñN!ðÊõnøÑö>ü)þmýe÷oóòüXþ)ý)ðÊõnðyüXþ)ñ!ðrþõnø)ôón÷þ Xô

q(c)∞< q∞ < 2q(c)

∞

õ8ø)ôóvôCðyñþmü0õnø)ôûIüXñvñ8ðyö)ðrÿyðyõQüeõ üõQ·ûIôñ5ü ·ðyþñ8üXÿmõnðyüXþþ)÷où+ôÿõnømôõnó8÷oý)ðyõ8ðrüXþ)÷oÿgù+üXþmüoõnüXþmô

$

õnó8÷+oôÿyÿrðrþO ÷FXôm÷oþ)ýõ8ø)ôömó8ôE÷Èõnø)ðyþ úQgðyþ Rø)ðrñ òüXóvó8ôñvûIüoþ)ý)ñõ8üõnømôñ8ø)÷oý)ôýöe÷oþ)ýðrþ,.ð )ó8ô +(O 6"e÷õ8ðrüXþT \[\e Xðoôñ÷oþ ÷oñ·ù*ûmõnüõnðròôñvõ8ðrù+÷õnô tüoó&õnø)ôó8ôÿ`÷õ8ðrüXþmñ8ø)ðyûöIôõôôþ

q∞÷oþ)ý,&÷Foôþ")ùÃö>ôó

pp 1

÷oþ)ý û)øe÷oñvôñvø)ðhõ8ñn0

÷oþ)ýs!ø)ðrò^øÑ÷oþ=

ö)ó8ô÷õnømðrþ ú gðrþ+ù )ñvõ!ñ8÷õnðyñ !L)õnømðrñó8ôÿ`÷õ8ðrüXþmñ8ø)ðyûðrñðrÿyÿ)ñkõnó8÷õnôýGðrþ,.ð )ó8ô O

îEíì EîTê>ç

\þ õ8ø)ðrñCûe÷oû>ôó:,)ñ8ðyþ ÷oñ ·ù+ûmõ8üoõnðyò÷oþe÷ÿ·ñ8ðyñ:Kôøe÷Foôó8ôýO)òôý õ8ø)ôGô76"e÷Èõnðrüoþ)ñÃüù+üõnðrüoþ tüXóÑ÷oþG"#½ÿr÷õ8õ8ðròô !ðÊõnøÚ÷ ûIüXÿ ·þ)üXù*ð`÷oÿ2û>üoõnôþõnð`÷ÿ

Võnü ÷ þmüXþ)ÿrðyþ)ôE÷ó

5uò^ø)óWVuý)ðyþ Xôó, )A59Ãô 6B)÷õnðyüXþ! <!ô76")ðyó8ðrþO Æõnø)ô,)A5 ô76"e÷õ8ðrüXþ õ8üÂø)÷+oô ÿyüuò÷oÿrðyñ8ôýñ8üXÿyðyõ8üXþÑñvüXÿmõ8ðrüXþmñÿrô÷oý)ñõ8üGõnø)ôCðrý)ôþgõ8ð ò÷õnðyüXþÆü³÷Góvô: XðyüXþÆü³ûe÷ón÷où*ôõ8ôóñvûe÷oòôÖðrþ!ø)ðrò^øõnømôQ ÿr÷õ8õ8ðròôòE÷oþ*ñ )ûmûIüXókõ³ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ ømðrñ|ðrñ|÷2ó8ô Xðrüoþ*ðyþ !ø)ðrò^øõnø)ô!òüúô*òðyôþõ|ü>õnø)ôN6"e÷óvõnðyò&þ)üXþmÿrðrþmôE÷oóvðyõQù )ñkõ|ôuòôôý*ñ8üXù*ôù )ÿÊõnðrûmÿrô³üMõnø)ôñW6B)÷oó8ô!üõnø)ô!ò)ö)ðròòüuô.*òðrôþõ Rø)ôó8ôðrñJõnømôþ+÷ó8÷oþ Xôü2 ÷FXôþ")ùCöIôó8ñ tüoó"!ø)ðrò^ø*ö)ó8ô÷õnømôóù+ü·ý)ôñôuðrñkõ2Tñ8ôôðyþ)ô76"e÷ÿrðyõQ E$ \W B ôøe÷Foô÷ÿrñ8ü XðXôþ ÷ 6)ÿyÿý)ôñ8òó8ðrûuõnðrüoþÕü2%õ8ø)ôûe÷oókõnñ*ü

(a, b, p)ûe÷oó8÷où+ôõnôó*ñvûe÷oòô!ø)ôó8ôÑÿyüuò÷oÿrðyñ8ôý ù+ü·ý)ôñ*ðrþRoüXÿoôý ðyþ ôþ)ôó

õnó8÷oþ)ñ8û>üXókõômðyñvõ:u÷þ)ýû)óvü+uðyý)ôý÷û)ø=·ñ8ðyòE÷oÿ )ñkõnð òE÷õ8ðrüXþtüXó5õnø)ôðrþmô76"e÷oÿyðyõQÖû)óvü+Xôþö=,.X÷où*ôñ# +/ !tüXóñkõ^÷õ8ðrüXþe÷óGömó8ôE÷Èõnø)ôó8ñ:

)ó*ñ·ñkõnôù+÷õ8ðròÕý)ôóvð÷õnðyüXþ:ü2ô 6B)÷õnðyüXþ)ñ*ý)ü+!þ õnü O(ε4)·ðrôÿrý)ñÖõ8ø)ô óvñvõ+òüXóZú

ó8ôòõnðyüXþ õnôó8ù ÷ñôÿrÿ!÷oñÃõ8ø)ôÿrô÷oý)ðrþO üXó8ý)ôóÖöIôøe÷F·ðrü)ó"ø)ôòE÷ÿrò:mÿ`÷õ8ðrüXþ ü2õ8ø)ôö)ó8ô÷õnømôóñ8øe÷oû>ô# XðoôþÕö"1 (-R&ðrñõnôò^ø)þ)ðrò÷oÿrÿ Gò)ùÃö>ôó8ñvüXù*ôñvðrþ)òôô 6"e÷õnðyüXþ)ñ tó8üXùO(ε)

mûÑõnü O(ε4)ù )ñvõ2ö>ôCñvüXÿoôý )ñkõõ8üGüXömõn÷oðrþÕõnø)ôÃÿyôE÷oýmðrþ +üXó8ý)ôó O(ε)

ñ8üXÿuúõnðyüXþ tüXóõ8ø)ô2ö)óvôE÷õ8ø)ôó9 mù+ôó8ðrò÷oÿñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþ)ñ³ðrþJ5uôòõnðrüoþ('oôóvð ôýõ8ø)ô2ðrþmô76"e÷oÿ®úðyõQ $ R÷oñ ô+üXömñ8ôó Xôý ö)óvð Xøõ2ö)óvôE÷õ8ø)ôóñvüXÿmõ8ðrüXþmñtüXó÷oû)ûmó8üXû)óvð`÷õ8ôÃûe÷oó8÷où*ôõnôó÷oÿ)ôñ:PB ôøe÷FXôG÷oÿrñvüÑþ)üoõ8ôýÂõnøe÷õ2!ø)ôþ õnø)ôó8ôG÷ó8ôö>üoõ8ø ò:mö)ðrò÷oþ)ý6"e÷óvõnðyò÷þuúøe÷oóvù+üXþmðròðÊõnðyôñ.ûmó8ôñvôþõ³ðrþÖõnømôðrþõnôón÷oòõnðrüoþÖûIüoõ8ôþõnðr÷oÿ;Èõnø)ôömó8ð oøgõ|ömó8ôE÷Èõnø)ôó5ñ8üXÿmõnðyüXþòô÷oñ8ôñ.õnüôuðrñvõJ÷oñõnø)ô&÷FXôþ")ùÃö>ôó5ðrñ%ó8ôý)òôýÃõnüñ8üXù*ô þ)ðyõ8ôû>üXñ8ðÊõnðoô o÷ÿ)ô2Xø)ðyñðrñ2ýmô*õ8üõ8ø)ô !ðrýmõ8ø ü2 õ8ø)ô+ôþRXôÿyüXû>ô6mþ)òõ8ðrüXþÂý)ðoôó Xðrþ ÷ÈõñvüXù*ôÖòó8ðÊõnðyòE÷oÿ÷FXôþ")ùÃö>ôó oðXôþ ö=CE$\Kø)ðrñ# XðXôñó8ðyñ8ôõnüÆ÷Õù÷Cmðyù )ù oôÿyüuòðyõQ tüXóö)ó8ô÷õnømôó8ñõnøe÷Èõ!ðrñ:uón÷õ8ø)ôó&õ8øe÷oþômðyñvõ8ðrþ ÷õ÷ÿrÿ>ñ8û>ôôýmñ^tóvüXù ;ôóvümûõ8üÖõnø)ô2ñvûIôôýÕü%ñ8ü)þmý!õnø)ôó8ôðrñ!÷þ )ûmûIôóÿyðrù*ðyõ üXþõnø)ôñvûIôôý! XðXôþÕö=ô76"e÷Èõnðrüoþ ( R

\þC5uôòõnðyüXþ 5ö= òüoþ)ñ8ðyý)ôóvðrþ Äñ8ù+÷oÿyÿ&÷Foôþ")ùÃö>ôóvñ:#ô tü)þ)ý`÷+oôtüXóvù+ññ)ûuúûIüoóvõnôý ö=Gõ8ø)ôÿ`÷õvõnðyòôõ8øe÷õ÷oó8ô2ù*üXóvô2òüXù*û)ÿrôGõ8øe÷oþÕö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ B ôøe÷FXôõnôó8ù*ôýõnø)ôñ8ô Zö)óvôE÷õ8ø)ðrþ ÈúQgðrþgñ 5ö>ôòE÷2)ñ8ô÷oÿyõ8ø)ü Xøõnømô÷oû)û>ôE÷ó%õ8üøe÷Foô õnømô tüXóvùÚümõ8ón÷FúôÿyÿrðrþO ÷FXôñ:5÷Õñ8þe÷oûmñ8ø)üoõÃøe÷oñõnø)ô÷oû)û>ôE÷oó8÷oþ)òô+ü!÷ÑòüXùÃö)ðyþe÷õ8ðrüXþÄü!÷Õö)ó8ô÷õnømôó÷oþ)ý+÷Y·ðyþ \B ô!øe÷Foôñvø)ü+!þ+õnø)÷õ5õnø)ô!ñ uù*ù*ôõnóvðrò"#@ÿr÷õ8õ8ðròôI3!ø)ôó8ô!õnø)ô!û>üoõnôþuúõnðr÷oÿøe÷ñüoþ)ÿG÷ 6"e÷óvõnðyò2þ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oó8ðÊõQu÷oþ)ýÕþ)üò:)ömðrò2òüoù+û>üXþ)ôþgõOñ )ûmûIüXókõnñõnó8÷oý)ð®úõnðyüXþe÷oÿ)ù*üXþ)üõnüXþ)ôõ8ón÷FXôÿrÿrðyþ Ygðrþgñ üXþ)ÿÃ÷oö>ü0oô÷òóvðyõnðyòE÷oÿ)÷où+ûmÿrðyõ )ý)ô2

q(c)∞

\!ø)ôóvôE÷oñö)ó8ô÷õnømðrþ ú gðrþgñø)÷+oô gðrþÕ÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôñðrþÑõ8ø)ôCó8÷oþ Xô

0 < q∞ < 2q(c)∞

Mø)ôõQuû>ôü÷FXôtüXó8ù ôuø)ðyö)ðyõ8ôý )ÿyõ8ðrù+÷õnôÿ+ðrñý)ôõnôó8ù*ðrþ)ôýÑö=õnø)ôüXóvý)ôó!ü.ù÷ oþ)ðyõ )ý)ô2üq∞

!!ø)ðrò^ø ý)ôûIôþ)ý)ñ2ðyþÑõL)óvþ )û>üXþÑõnømôÖó8ôÿr÷õnðXôù÷2 Xþ)ðyõ )ý)ôñü5õ8ø)ô'÷+oôþ")ùÃö>ôó

$

p÷oþmýGö)ó8ô÷õnømôó&÷ù+û)ÿyðyõ )ý)ô

ε÷oñ? ôÿyÿ÷oñ³õnôù+û>üXón÷ÿI÷þ)ýGñ8û)÷õnðr÷oÿMû)øe÷oñvôú\ñvø)ðhõ8ñ

s÷oþ)ý

n0MB ô tü)þ)ýÄõnø)÷õðrþ õnø)ôÿyðrù*ðyõ

p → 0õnø)ôgðrþOÆý)üXù*ðrþe÷Èõnôñ÷oþ)ýÄõnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôó

òüXù*û>üXþ)ôþõ!øe÷ñ*o÷þ)ðrñvø)ðrþ oÿ*ñ8ù+÷oÿrÿI÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôaMüoó O(1)&÷FXôþ")ùÃö>ôó8ñeõnø)ô÷oùÖú

û)ÿrðÊõL)ýmôüõ8ø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóý)üXù*ðrþe÷õ8ôñ|õnøe÷Èõ&üõ8ø)ô gðrþ ø)ôõ üÖòüXù*ûIüoþ)ôþõnñ øe÷FXôñ8ðyù+ðyÿ`÷oó÷où*û)ÿyðyõLmý)ôñ !ø)ôþ

p = O(ε log(1/ε))tñ8ôô ô76"e÷õ8ðrüXþ RW? )ù*ôóvðròE÷ÿ

ñ8ðyù )ÿ`÷Èõnðrüoþ)ñ!û)ó8ôñ8ôþõ8ôýÂðrþ 5uôòõ8ðrüXþ òüXþ ó8ù*ôýÆõnø)÷õö)óvôE÷õ8ø)ðrþO úQgðrþO·ñû)ó8üoûe÷ ÷õ8ô÷oñõ8ón÷FXôÿrÿyðrþ ^&÷FXôñ tüXóÿyüXþ +ûIôó8ðrü·ý)ñü5õnðyù+ô !ðyõ8øÆñ8û>ôôý )ñvõöIôÿrü+ )þ)ðÊõQ÷oþ)ýôÿyôù*ôþõ^÷oó ÷oþe÷oÿ uñvðrñ!ðyõ8ø÷+oôþ")ùÃö>ôóvñ

püJõ8ø)ôÃñ8÷où+ôüXóvý)ôó÷oñõ8ø)ôÖ÷où*û)ÿrðÊõL)ýmô

ü5õnømôÖö)ó8ô÷õnø)ôó ε!ñ oôñvõ8ñõnøe÷Èõõnø)ðyññvø)ü)ÿyý þ)üoõT÷ðrÿ%öIôtüXó8ô

t = O(ε−2) ø)ô

ñn÷où*ôõnðrù*ôñvòE÷oÿyôü÷oÿyðrý)ðÊõQÆðrñtü)þmý!ù+üXóvô+óvð Xüoó8ü)ñvÿö=15·ò^ø)þ)ôðyý)ôóY B ÷ ·þ)ô $[ ;)÷oþ)ýÕö" ]ðr÷oþ)þ)ümÿrðrñY ðyôÿô F( !tüXó!÷ó8ôÿ`÷õ8ôýû)ó8üoö)ÿrôù

üoùÃö)ðrþmôýÖö)óvôE÷õ8ø)ðrþ ÈúQgðrþù*üuý)ôñJøe÷FXô!ö>ôôþ*üoö)ñ8ôóWXôýðyþÖþBmù+ôó8ðrò÷oÿmñvðrù mÿ`÷õ8ðrüXþ)ñöIôtüXó8ô2 tüoóðrþmñvõ^÷þ)òô2Iö= 1 e÷oþO & N B ÷oþ (! NM]÷oðyý)ðrýmôð*& J÷oþ)ý%ðrògøe÷ù , ( N 1ü+ôXôó÷ñ·ñvõ8ôù+÷õnðyòõ8ø)ôüXó Xð·ðrþO õ8ø)ôðyóñvð ;ôMñ8øe÷ûIôC÷oþ)ýñ8û>ôôýøe÷ñ:)þõnðyÿXþ)ü+<ö>ôôþÿ`÷ò·ðyþ B ô5ù*ôþõnðyüXþõnømô# üXóü .ÿgõ4;÷oþ)ðyñ?H" N!ø)üÕ÷oÿrñvü þ)ýÂ÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ)ñ!õnüõnó8÷+oôÿyÿrðrþO ö)óvôE÷õ8ø)ôóvñðyþÆõnø)ðyññ·ñkõnôù ÷oþ)ýÆõ8ø)ôñ8øe÷ûIôüö)ó8ô÷õnømðrþ ú gðrþgñ:RB ôö>ôÿyðrô oôõ8ø)ôõ8ó8ôE÷Èõnù*ôþõ XðXôþGø)ôóvôðyññ8ðyù+ûmÿrôó5õ8øe÷oþõnøe÷Èõ XðXôþÆö=>.ÿ gõ4;E÷þ)ðrñ #ñ8ðyþ)òô ôÃ÷oþe÷oÿ uñvôõ8ø)ô

φú\ô76"e÷Èõnðrüoþ16ó8÷õnø)ôó

õnøe÷þÕõ8ø)ôqú\ô 6"e÷õnðyüXþE$\ ý)ý)ðyõ8ðrüXþ)÷oÿrÿ gõnø)ôðró!ñ8üXÿmõnðyüXþÕ÷oþ)ñ8÷õ4;÷oñ8ñ)ù*ôñ!õnø)ôôuðrñZú

õnôþ)òô!üIöIüõnø*÷oþüXñ8òðrÿyÿ`÷õ8üXó÷oþmý÷ñvÿrü+!ÿ2o÷ó·ðrþ 2òüXù*ûIüXþmôþõnñ !ðyõ8øÖñ8ðyù+ðyÿ`÷oó#÷oùÖúû)ÿrðÊõL)ýmôñ: uû)ÿrðyòðÊõnÿXõnø)ô÷oþ)ñn÷Èõ4;ü2A.ÿgõ4;÷oþ)ðyñI! û>üXñvõ )ÿ`÷Èõnôñ³õnø)ôôuðrñkõnôþ)òôü>öIüõnø gðrþ÷oþ)ýÖömó8ôE÷Èõnø)ôó5òüXù*ûIüoþ)ôþõnñD

qn ∼ εF10+εeiωt+ipnF11 +O(ε2)+c.c.

ðrù*û)ÿrðyòðÊõnÿ@÷oñ8ñ)ù*ðrþ @õ8øe÷õÆõ8ø)ôðyó ÷où*û)ÿrðÊõL)ý)ôñÑøe÷Foô õnø)ô ñ8÷où+ô üoó8ý)ôóÆü*ù÷2 Xþ)ðÊúõL)ýmô )ó!÷oû)ûmó8ü÷oò^ø ÷oÿyñ8üÖù+÷oôñþmü+÷ñ8ñ mù+ûmõ8ðrüXþ÷öIüuõõnø)ô2ômðyñvõ8ôþ)òôü#ù*ü0·ðyþ ö)ó8ô÷õnømðrþ ú gðrþgñ7L ô)ñ8ô*÷ñ8üXÿmõnðyüXþÄ÷oþ)ñ8÷õ4;c0Q!ø)ðyò^ø øe÷ñüoþ)ÿÆ÷oþÄüXñ8òðrÿrÿr÷õnüoóòüXù*û>üXþ)ôþõ:H!ðyõnøÄõnømôtüoó8ù

φ ∼ εeiωt+ipnF + O(ε2) + c.c.Pø)ô*ôuðrñkõnôþ)òô*ü÷

ñ8ÿyü0!ÿ '÷oó uðyþ 2òüoù+û>üXþ)ôþgõS!ø)ðrò^øøe÷oñ5õ8ø)ô tüXó8ù ü÷YgðrþO #õ8ø)ôþ+÷oóvðrñ8ôñ5þe÷õ )ón÷oÿyÿtó8üXù4ü)ó÷oþe÷oÿ uñvðrñK móvõnømôó8ù*üXóvôõnømô÷où*û)ÿyðyõLmý)ôÖüõ8ø)ðrñó8ôñ )ÿÊõ^÷oþõù*üuý)ôðyñý)ô/úõnôó8ù*ðrþ)ôý÷oñ³ûe÷oókõü2õnømôû)óvüXö)ÿrôù ÷oþ)ýE!ømðrÿrñkõ³ðyõnñ ÷où*û)ÿrðÊõL)ýmô*^ !öIôòüXù*ûe÷oó8÷oö)ÿyôõnüõnø)÷õü|õnø)ôö)óvôE÷õ8ø)ôóðrþ Xôþ)ôó8÷oÿ;>õnø)ô*÷où*û)ÿyðyõLmý)ôõn÷oôñ ÷oÿ)ôñ tóvüXù O(1)

õnüôuû>üXþ)ôþõ8ð`÷oÿyÿ+ñ8ù+÷oÿrÿðyþ

ε

\þ òÿrüoñ8ðrþO Pôý)ðyñ8ò)ñ8ñÃñvô oôón÷ÿ÷oý ÷oþõ^÷2 XôñÃü2&õnø)ôñ8ôù*ðÊúqý)ðrñvòóvôõnô+ù )ÿÊõnðrûmÿrôúqñ8ò÷oÿrôù+ôõnø)ü·ý*üP<!ôù*üXðrñvñ8ôþ)ôõ $- Mü+Xôóüoõ8ø)ôó³ôE÷oóvÿ÷þe÷oÿgõ8ðròù*ôõnømüuý)ñ\B ôö>ôÿrðyô oô!õ8ø)ôù+ôõnø)ü·ý:üù )ÿyõ8ðrû)ÿyôGñ8ò÷oÿrôñ*ðyþ õnø)ôÕñ8ôù+ð®ú\ý)ðyñ8òóvôõ8ôÿrðrù*ðyõõnüÄö>ôÑ÷ ù*üXó8ôó8ð XüXóvü)ñ:ÿrü oðròE÷ÿ÷oþ)ý ñ·ñvõ8ôù+÷õnðyò÷ üòüXþ)ñkõnó)òõ8ðrþ ÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ôñ8üXÿmõnðyüXþ)ñÖõnøe÷þ!DtüXóðrþ)ñkõ^÷oþmòôõ8ø)ôó8üoõn÷õnðyþ ú ÷FXô*÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ <HB Ymñ8ôýT!ðrý)ôÿÆðyþ ô÷oó8ÿ ÷oþ)÷ÈúÿgõnðyòU üXó gñ,tñ8ôôJ#÷ôþ)ü& $ N.üXó'%ðrògøe÷ù ( SABømðrÿrñkõCõ8ø)ôJ<HB ·ðrôÿyý)ñ!ñ8ðyù+ðyÿ`÷oó ó8ôñ)ÿyõ8ñ:Mðyõðyñ÷þ1 ù*ôõ8ø)ü·ý !ømðrò^ø õQ·û)ðyòE÷oÿyÿüoþ)ÿýmôõnôó8ù*ðrþ)ôñõnø)ôÿyôE÷oýmðrþ úqüXó8ýmôóJ÷û)û)ó8ü uðrù+÷õ8ðrüXþ!÷oþ)ýÖõ8ø)ô!÷oòò)ón÷òÖü÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ)ñ.ù+÷oý)ôðrþõnø)ôÖûmó8ü·òôýO)ó8ô*÷oóvôÖÿrôhõ )þ96"e÷oþõnð ôýEK|óvüXö)ÿyôù*ñ!ðyõnøÆõ8ø)ô^<HB ôó8ôüXóvð Xðyþe÷oÿrÿ ø)ð oø)ÿrð Xøõnôý ö= 1üoó8ð?Y #÷oôþ)üG +[ $/ ?!ømü þ)üoõnôý õnøe÷õ tüXÿrÿyü+!ðrþ õnø)ôG÷oþ)ñn÷Èõ4;un(t) = φn(t) cos(kn− ωt)

÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ðrüXþmññ mò^øÑ÷oñφ2

n+1 + φ2n−1 + φn+1φn−1 ≈

3φ2n

È÷oþ)ý(φn+1+φn−1)φn ≈ 2φ2

n

!ø)üXñvô&÷oòò:)ó8÷oòðrñ )þ)ý)ôõnôó8ù*ðrþ)ôý!o÷ó8ô³ó8ô76")ðyó8ôý!

(!

\þÑòüXþõnón÷ñvõ MõnømôCù*ôõnømüuýÕü|÷oñ ·ù+ûmõ8üoõnðyòôuûe÷oþ)ñvðrüXþmñó8ôõ^÷oðyþ)ñðrþOtüXóvù÷ÈõnðrüoþGüXþ õ8ø)ôñ8ð;ôüôó8ó8üoó|õ8ôóvù+ñ³÷oþ)ýE·ö=)ñvðrþ ÷oþ+ôuûe÷oþ)ñvðrüXþEgõ8ø)ôñvôôó8óvüXó³õ8ôóvù+ñ³÷oóvôòüXó8óvôòõ8ôýtüXóðrþ2õ8ø)ô ò÷oÿrò)ÿ`÷Èõnðrüoþümõ8ôóvù+ñümø)ð oø)ôóZú\üXóvý)ôó :ñ8ô76")ôþ)òô ü)ô 6"e÷õnðyüXþ)ñðrññvüXÿoôýõnü þmý+÷2ñvô76")ôþmòôü>ø)ð XømôókúqüXó8ýmôó5÷oûmû)ó8ü uðrù+÷õnðyüXþ)ñXø)ô*÷oÿyðrý)ðÊõQüMõnø)ðyñJù+ôõnø)ü·ýøe÷oñ&óvôòôþõnÿ Gö>ôôþôñvõn÷oö)ÿrðyñ8ø)ôýó8ð XüXó8ü)ñ8ÿ +ö=:]ðr÷oþ)þ)ü)ÿrðyñ?Y ðyôÿô 0$ +( Etüoó&÷ó8ôÿ`÷õ8ôýû)ó8üoö)ÿrôù !ø)ðyò^ø+ðyþ)òÿ)ý)ôñ|÷þ÷oýmý)ðyõ8ðrüXþe÷ÿuüXþ·ú\ñ8ðÊõnôû>üoõnôþõnð`÷ÿ;X÷þ)ýö"U5·ò^ø)þ)ôð®úý)ôóY B ÷ ·þ)ô $\[ Nqõ!øe÷oñ!÷ÿrñ8üCöIôôþ ÷oû)û)ÿyðrôýñ )òòôñvñ6)ÿyÿGõ8üÖø)ð oø)ôóZú\ý)ðyù+ôþ)ñ8ðyüXþe÷oÿÿ`÷õvõnðyòôñ)ñ8ôôtüXóôm÷où+ûmÿrô9%emõ8õQY B ÷õvõnðyñ [ ;

, N .* ., $/

Q%&ümÿrýÿrðoôõ8ü*÷oògþ)ü+!ÿrôýO Xô þe÷oþ)òð`÷oÿ÷oñ8ñvðrñkõ^÷oþ)òô tó8üXù,õnø)ô 5þ oðrþ)ôôó8ðyþ ÷oþ)ý5ø"·ñvðròE÷ÿA5uòðyôþ)òôñQ<ôñ8ôE÷ó8ò^ø ü)þ)òðyÿ;

gé uç%í!

5 )ö)ó ] üoû)ðrýe÷2·ðyñ:m÷oþ)ý ÷oýmôÿröO)ó ³÷oó8ðr÷õnðyüXþe÷oÿ>û)óvüuü tüXóøe÷ó8ýý)ðrñZúòó8ôõnôö)óvôE÷õ8ø)ôóvñðyþ ñvüXù+ô2òÿ`÷oñvñ8ôñü 1÷où*ðrÿÊõnüXþmð`÷oþ+ýO·þe÷où*ðròE÷ÿñ·ñvõ8ôù*ñ: ( / 7 , ,! /7 å !$\/B $8PE$ !O0

$C %&÷oþ ÷þ)ýG #ô·ón÷oóvý! 1ð Xø)ôóCüXóvý)ôóö)ó8ô÷õnømôó8ñCñ8üXÿmõnðyüXþ)ñõnü ÷Ñýmðrñ8òó8ôõnôþ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oó 2ÿrôðrþuú=]üXóvý)üXþ+ù+ü·ý)ôÿN % /.( å $\$8H R[\

(0 5 <`%ðrògøe÷où X58 ðyñ8ôÿrô È÷oþ)ý5uðrôXôó8ñ&.O5gõ^÷õ8ðrüXþe÷ó÷oþ)ýù+ü+·ðrþO ðyþgõ8ó8ðyþ)ñ8ðyòÿrü·òE÷oÿyð ;ôý ù*üuý)ôñðrþ:üXþ)ô/ú\ý)ðyù+ôþ)ñ8ðyüXþe÷oÿ ù+üXþ)÷õnüXù*ðròÿ`÷õvõnðròôñ!ðÊõnø:ò:)ömðrò ÷oþ)ý6B)÷oóvõ8ðrò÷oþ)ø)÷oó8ù*üXþ)ðyòðyõQ % /7 J $- $8Hc\(\

2 Q %emõ8õ³÷þ)ýU.ï&B ÷Èõ8õnðyñ:ïðrñ8òó8ôõnô!ö)ó8ô÷õnømôó8ñ5ðyþ*÷õüúqý)ðrù*ôþmñ8ðrüoþe÷oÿ9#ôó8ù*ðÊú³÷ñvõ^÷Lú=ÿr÷où,ÿ`÷õvõnðròô9% /7 Q.,! R[\[ BHE$-! R

[C Q %emõ8õ ÷oþmý:.ï B ÷õ8õ8ðrñïðrñvòóvôõnôö)óvôE÷õ8ø)ôóvñ³ðyþ*÷2õ üúqý)ðrù*ôþ)ñvðrüXþ)÷oÿ)ø)ô)÷2 úüXþe÷oÿ .ôóvù+ð®ú=|÷oñvõn÷Èú=ÿ`÷où ÿ`÷õvõnðròô % /7 & +$( +$ E$-!\/\

0 üXÿrÿyðrþ)ñ 6"e÷oñvðròüoþgõ8ðrþ")ù ÷oû)ûmó8ü uðrù+÷õnðyüXþ tüXó*ñ8üoÿrðyõ8üXþ)ñ+ðrþ@÷þ÷õnüXù*ðròò^øe÷oðrþE .*^ % /7K (R$ a(/BP O0

/C üXÿrÿyðrþ)ñ÷oþ)ý 5 <!ðròô2H5·üXù+ôCû)ó8üXû>ôókõnðyôñü|ÿr÷oó oôÃ÷où*û)ÿrðÊõL)ýmôù*üoõnðyüXþÑðyþÄ÷oþ÷oþ)øe÷oóvù+üoþ)ðrò5ò^øe÷ðrþ2!ðÊõnøþ)ôE÷oóvôñkõJþ)ôð Xøgö>üXó#ðyþõnôó8÷oòõ8ðrüXþmñ: .*^% /7 $ !R/ a$ R$\$8M R$\

0 eôó8ù*ð;X..÷oñkõ^÷Oo÷oþ)ý^5'ÿ`÷où X5·õLmý)ðrôñ.üMþ)üoþ)ÿrðyþ)ôE÷oó%û)óvüXö)ÿrôù+ñ)üXñ,ÿr÷où+üoñ5uòðyôþõnð ò<!ôû>üXóvõ:PcRgüXó8ð Xðrþe÷ÿrÿ )þ)ûmö)ÿrðyñ8ø)ôý!9)÷õ8ôó&ûmö)ÿrðyñ8ø)ôýðrþJ)ôò/úõL)óvôñ!ðrþ ûmû)ÿrðyôý Ñ÷õ8ø)ôù+÷õ8ðròñ å J R( +[ OPcR/2R

0 5.ÿr÷oò^ø! mðyñvõ8ôþ)òôÖü5ÿrü·òE÷ÿrð ;ôýôuòðyõ^÷Èõnðrüoþ)ñðyþÑþ)üoþ)ÿrðyþ)ôE÷oó 1÷ù+ðyÿyõnüoþ)ð`÷oþÿ`÷õkúõnðròôñ % /7 å J0[-\( 0[-R/8M R[\

22 .ÿgõ ;E÷oþ)ðyñ:5&5þ)ô ·ù+÷õnðoüXñ÷oþ)ý <!ôù*üXðrñvñ8ôþmôõ 2ðrþ ömó8ôE÷Èõnø)ôó÷oþ)ý÷oñ·ù*ù+ôõnó8ðyòôþRXôÿrüXû>ôGüXóýe÷oó ÄñvüXÿrðÊõnüXþ)ñðrþ þ)üXþ)ÿyðrþ)ô÷oóò^øe÷oðrþmñ %ù+üXþ)÷õnüXù*ðròò^øe÷oðrþE % /7 E% /7 å ! -\( B \$OPcR[

(O

: ]÷ðrý)ðyý)ôðNK< 1 J÷oþmý A] ôókõnôþ)ñ: 5þRXôÿrüXû>ôñ8üXÿyðyõn÷oó ÷+oôñüXþ õ üúý)ðrù*ôþ)ñvðrüXþ)÷oÿÿ`÷õvõnðyòôñD!ðyõ8øÆðrþuúqû)ÿ`÷þ)ôýmðrñ8ûmÿ`÷oòôù*ôþõnñ & % /7 & ,! J $\[\/ $/8Pc\

+$0'. ]2ð`÷oþmþ)ü)ÿyðrñ÷oþmý ðyôÿoôNømô þ)üoþ)ÿrðyþ)ôE÷oóJ5uò^ø)ó Voý)ðrþ oôóô76"e÷õ8ðrüXþ1÷oñÕ÷ù÷oòó8üXñvòüXûmðròCÿyðrù*ðyõ tüXó÷oþ üXñvòðrÿyÿ`÷õ8üXó!ò^øe÷oðyþ !ðyõ8ø ò:)ö)ðyòÃþ)üXþmÿrðrþmôE÷oóvðyõnðyôñ , )($,M -&.(S 0 å ![[8 [ \[8P $-!

F(2'. ]2ð`÷þ)þ)ü)ÿyðrñ÷oþ)ý ðyôÿô5ïðrñ8û>ôóvñ8ðXôô oüXÿmõ8ðrüXþ ü2ûO)ÿrñvôñÖðrþ üoñ8òðyÿrÿr÷õnüXóò^øe÷oðrþmñ'!ðyõ8ø Xôþ)ôón÷oÿ ðrþõnôón÷oòõnðyüXþ û>üoõnôþgõ8ð`÷oÿyñ: ( / 7 , ,! /7 !=\( [$(OME$-! R

:# 5T]2ón÷oýmñ8øõnôuþ ÷oþ)ý < ;ø)ð 7 ., -& / H.&.(E0/ -, %'& / /.(\ > -(S(, ò÷oý)ôù*ðrò 5óvôñ8ñ!)üoþ)ý)üXþ!A $-!!\ +[0 1üXó8ð#÷oþ)ý 5 #÷ôþ)ü! ü+·ðrþ ñvôÿ`úqÿrü·òE÷oÿyð ;ôýù+ü·ý)ôñ tüXóõnø)ôÃýmðrñ8ûmÿ`÷oòôù*ôþõ

ôÿyýÂðyþÄ÷üXþ)ôúqý)ðrù*ôþmñ8ðrüoþe÷oÿ.ÿr÷õ8õ8ðròôÃñ·ñvõ8ôù !ðÊõnø 6"e÷oóvõ8ðrò÷oþmøe÷oó8ù*üXþ)ðyòðÊõQ % /7 7 -, å !$8 $8OPcR$\

2'] 1^e÷oþ 5uø)ðNJ÷oþmý ! ñ uù*ù*ôõnóvðrò+ðrþõnóvðrþ)ñvðrò*ÿrü·òE÷oÿyð ;ôý ù*üuýmôñCðyþ ÷ø)üXù*ü Xôþmôü)ñ.ÿ`÷õvõnðròô?!ðÊõnøÖò:mö)ðrò÷þ)ý 6B)÷oóvõ8ðrò÷oþmøe÷oó8ù*üXþ)ðyòðÊõQ!% /7 !:[ OP (R

+/0']G.X÷où+ôñ: uðrñkõnôþmòôü2ö)ó8ô÷õnømôó8ñ³üXþ "# ÿr÷õ8õ8ðròôñ: # R .( %*-& ( / [8 [ 8PE$ !O0

22<5 Ñ÷oò ÷ ÷oþ)ý 5 )ömó25ó8ü·üGü2ôuðrñkõnôþ)òô@ü2ö)ó8ô÷õnømôó8ñ tüXóÄõnðrù*ôúó8ô oôóvñ8ðrömÿrôüXó 1÷où+ðyÿyõ8üXþ)ð`÷þ þ)ôõüXógñ+üD ôE÷gÿ òü)ûmÿrôý:üXñvòðyÿrÿ`÷ÈõnüXóvñ: , )($,M -&.(S 0 J R$( R(OM

2 <!ôù*üXðrñvñ8ôþmôõ !)ü+&úZ÷où*û)ÿyðyõLmý)ô2ö)ó8ô÷õnømôó÷þ)ýÑôþoôÿyüXûIôñ8üXÿyðyõ8üXþ)ñ!ðrþ,6"e÷oñ8ð®úüXþ)ôúqý)ðrù*ôþmñ8ðrüoþe÷oÿ>û)ø=uñvðrò÷oÿù+ü·ý)ôÿyñ: % /7 !$( $(\$8PcR[\

$ 2 <ôù+üoðrñ8ñvôþ)ôõ 0/#S )(S, /7 , O!$/ -, .& ($* ., / ($& -(S (, 95uû)ó8ðyþ Xôókú |ôó8ÿr÷ 9% ôó8ÿyðrþ!H R

$B:2><üoñ8ôþ)÷!Èï ·þe÷où*ðròñ%ü2)þ)üXþmÿrðrþmôE÷oóù+÷oñvñkú\ñvû)ó8ðyþ ò^øe÷oðrþmñ%þmôE÷oóõnømô òüXþõnðrþ"mùÿrðrù*ðyõ:% /7 K å>å ! $\$$ $\$\/BP R

$$02 <!üXñvôþe÷Eï ·þe÷ù+ðyòñGüý)ôþ)ñvô ÿ`÷õvõnðyòôñ % /7 !*[2 [2R/ O \/\

$X(22%G5oþ)ò^ømô7;ú<ôK] .X÷où*ôñP. )ôo÷ñ:÷oþmý .\"< ó8ò^ø)ðyÿrÿr÷O %ó8ð Xøõ2÷oþmýÆýe÷oóö)ó8ô÷õnø)ôó8ñ%ðrþ2.ôóvù+ð®ú=|÷oñkõ^÷Èúÿ`÷ù1ÿr÷õ8õ8ðròôñ: % /7 O R(!8 E$--

$0 IB 5u÷oþ)ý)ñ=.\%.÷2 Xô.÷oþ)ý 5·ò^ø)ù+ðyýmõ 5·õn÷oö)ðrÿyðyõQÂ÷oþmý ù+üoõ8ðrüXþ ü!ðrþ·úõnó8ðyþ)ñ8ðyòÖÿrü·òE÷oÿyð ;ôýÆù*üuýmôñðrþÄþ)üXþmÿrðrþmôE÷oó2û>ôóvðrü·ý)ðròÃÿr÷õ8õ8ðròôñ:% /7 !O O O OM R$\

$[0']Z5uò^ømþ)ôðyý)ôó³÷oþ)ý B ÷ ·þ)ô2 ü)þõnôókú\ûmó8üXûe÷2 ÷õnðyþ ÷FXôñ|üXþ mðrýÃñ)óT÷oòôñ÷oþ)ý õnø)ô*òüoþgõ8ðrþ")ù4ÿrðrù*ðyõü õnø)ô^eôóvù+ð®ú=.÷ñvõ^÷Lú=ÿr÷où ù*üuý)ôÿ;ûmû (! "ü%C.ðyôý)ÿyôó: ]2ó V Xôó . 5uû)ó8ôoôÿrñItôý)ñ4 \þõnôó8þe÷Èõnðrüoþe÷oÿ üXþOtôó8ôþmòôüXþïð_IôóZúôþõnðr÷oÿ 6"e÷õnðyüXþ)ñ9B üXóvÿrý,5uòðrôþgõ8ð ò2 <ðXôó |ýO Xô .OAE$-!-R

$ 2# 5uòüoõvõ , )($,M -& .(E., O /+ , -(S(, BtüXóvý þ)ðXôó8ñ8ðÊõQ |óvôñvñ:BtüXóvý!KcR

$/0'5 .÷ôþ)ü ÷oþ)ý 1üXóvð;# û)ó8üoûe÷ ÷õ8ðrþ ñ8ôÿ `ú\ÿyüuò÷oÿrð;ôýØù*üuý)ô ðrþQ÷ üXþ)ô/úý)ðrù*ôþ)ñvðrüXþ)÷oÿMÿ`÷õvõnðròôQ!ðÊõnø 6"e÷oóvõ8ðrò2÷þ)øe÷oóvù+üXþmðròðÊõQ % /7 7 -, (!\(R/ (!OM !R

$22'52.÷2oôþmü 2ðrñvüuýe÷8÷þ)ý I.I5·ðrô oôóvñ:\þõ8ó8ðrþmñ8ðrò ÿrü·òE÷oÿyð ;ôý uðyö)ón÷Èõnðrüoþe÷oÿù*üuý)ôñ

(R$

ðrþ÷oþ)ø)÷oó8ù*üXþ)ðyòòó uñkõ^÷oÿyñ: %'& R & % /7 ! $2$ a$ OH R $22 %ü·ýe÷O & , )($,M -& H (O0/ 5·û)ó8ðyþ Xôó %ôóvÿrðyþ!PcR/R (-2'5 B ÷oþ C\þ môþ)òô&üeò)ö)ðrò ÷oþ)ø)÷oó8ù*üXþ)ðyòðyõQüXþCø)ð Xøtó8ô76")ôþ)òCù+ü·ý)ôñ:!% /7

A E J\( OPcR[ (8:'.ï B ÷Èõ8õnðyñ: û)û)óvü mðyù÷Èõnðrüoþ)ñ õ8ü ñ8üXÿyðyõ^÷ó &÷FoôñÂüXþ ÿ`÷õvõnðròôñ 6"e÷oñ8ð®ú

òüXþõnðyþ")ù ù+ôõnø)ü·ý)ñtüXó[T÷ñvõ÷oþ)ý@ñvÿrü+ &÷Foôñ: 9 % /7 Q.,! !!\( +$-OH (R

(\$0'.ïCB ÷õ8õ8ðrñ: ³÷oóvð`÷õ8ðrüXþe÷ÿg÷oû)û)óvüuðyù÷õ8ðrüXþmñ%õ8ü2ö)ó8ô÷õnø)ôó8ñJðyþCõnømôý)ðrñvòó8ôõnô&ñvðrþ)ô/ú]üXóvý)üXþô76"e÷õ8ðrüXþ Èù+ü+·ðrþ ö)ó8ô÷õnømôó8ñ.÷oþ)ý 5ôðrôóvÿrñZú=÷öe÷oó8óvüôþ)ôó Xðrôñ: , )($,M -&.(S 0 J0[\( 0[OM R

((2'.ïB ÷õvõnðyñ:K5·õn÷õnðyüXþe÷oó Æö)óvôE÷õ8ø)ôóù*üuýmôñ2ü Xôþmôón÷ÿrð ;ôýÄþ)üXþmÿrðrþmôE÷oó 2ÿrôðrþuú]üXóvý)üXþÿr÷õ8õ8ðròôñ: % /7 Q.,! å (\(-O a(\(\$(OM R

(\(