Az egyik legszebb logikai fejtörő.pdf

Aznbeteljesthitek s amatematika

Molnr Attila

FormalizlsJtkszablyokKimaradottak

Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds

ModlislogikaJtkszablyokModalitsok

A legszebbfejtrA feladvnyA formalizlsA megolds

Az nbeteljest hitek s a matematikas az egyik legszebb logikai feladvny

Molnr Attila

Diana teadlutn

2011. december


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A klasszikus elsrend nyelvKezdetnek egy rmiszt plda

Ketten llnak a buszmegllban.

Van egy x s van egy ettl klnbz y , melyre igaz, hogy, x abuszmegllban ll s y a buszmegllban ll, s nincs ms, aki

a buszmegllban llna s x-tl s y -tl klnbzne.

xy(x 6= y B(x) B(y) z(B(z) z 6= x z 6= y))


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A klasszikus elsrend nyelvUgyanez lpsrl lpsre

Ketten llnak a buszmegllban.

Van egy xx

s van egy ettl klnbz y , melyre igaz, hogyy(x 6= y

x a buszmegllban llB(x)

s y a buszmegllban llB(y)

s nincs ms ,z(

aki a buszmegllban llnaB(z)

s x-tl is s y -tl is klnbzne.z 6= x z 6= y))

xy(x 6= y B(x) B(y) z(B(z) z 6= x z 6= y))


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Formalizls: Tantsunk gpet!

ltalban is kpesek vagyunk a termszetes nyelvikijelentsek egy jelents rszt formalizlni.

Erre tekinthetnk gy is, hogy egy gp szmra rthetvtesszk a nyelvnk egy rszt.

Megtantjuk a gpet arra, hogy hogyan hasznljuk a nem,s, vagy, minden, stb. alapvet ktszavainkat, azazmegtantjuk ezek helyes hasznlatra; megtantjuk a szerepketa helyes kvetkeztetsek krben.

Egy dia erejig ki is trnk arra, hogy hogyan tantjuk meg anem, s, vagy, ha . . . , akkor szavakat.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Alapvet logikai jtkszablyok

A BA

A BB

AB

A B

[A]...C

[B]...C

A B

C

AA B

BA B

AA BB

[A]...B

A B

AAB

[A]...

B BA


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Alapvet logikai jtkszablyoks a kimaradt metafizika

A 20. szzad egyik legizgalmasabb matematikafilozfiaivitjhoz vezet az, hogy a fenti kvetkeztetsi szablyok mgnem tantjk meg egy gpnek teljesen azt a logikt, amithagyomnyosan hasznlni szoktunk.Az eddigiek nem azt a logikt adjk vissza, amiben azigaz-hamis szavakat hasznlni szoktuk. Ez azt a logikt rjale, amiben a bebizonytottuk-megcfoltuk s tudjuk,hogy-tudjuk hogy nem kifejezseket szoktuk hasznlni.Az igaz-hamis logikhoz egy tovbbi, (nem pusztn logikai,hanem) metafizikai ambcival alaposan megvdolhatalapszablyt kell mg megtantani a gpnek:

A A


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




A 20. szzad egyik legizgalmasabb matematikafilozfiaivitjhoz vezet az, hogy a fenti kvetkeztetsi szablyok mgnem tantjk meg egy gpnek teljesen azt a logikt, amithagyomnyosan hasznlni szoktunk.

Az eddigiek nem azt a logikt adjk vissza, amiben azigaz-hamis szavakat hasznlni szoktuk. Ez azt a logikt rjale, amiben a bebizonytottuk-megcfoltuk s tudjuk,hogy-tudjuk hogy nem kifejezseket szoktuk hasznlni.Az igaz-hamis logikhoz egy tovbbi, (nem pusztn logikai,hanem) metafizikai ambcival alaposan megvdolhatalapszablyt kell mg megtantani a gpnek:

A A


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




A 20. szzad egyik legizgalmasabb matematikafilozfiaivitjhoz vezet az, hogy a fenti kvetkeztetsi szablyok mgnem tantjk meg egy gpnek teljesen azt a logikt, amithagyomnyosan hasznlni szoktunk.Az eddigiek nem azt a logikt adjk vissza, amiben azigaz-hamis szavakat hasznlni szoktuk. Ez azt a logikt rjale, amiben a bebizonytottuk-megcfoltuk s tudjuk,hogy-tudjuk hogy nem kifejezseket szoktuk hasznlni.

Az igaz-hamis logikhoz egy tovbbi, (nem pusztn logikai,hanem) metafizikai ambcival alaposan megvdolhatalapszablyt kell mg megtantani a gpnek:

A A


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




A 20. szzad egyik legizgalmasabb matematikafilozfiaivitjhoz vezet az, hogy a fenti kvetkeztetsi szablyok mgnem tantjk meg egy gpnek teljesen azt a logikt, amithagyomnyosan hasznlni szoktunk.Az eddigiek nem azt a logikt adjk vissza, amiben azigaz-hamis szavakat hasznlni szoktuk. Ez azt a logikt rjale, amiben a bebizonytottuk-megcfoltuk s tudjuk,hogy-tudjuk hogy nem kifejezseket szoktuk hasznlni.Az igaz-hamis logikhoz egy tovbbi, (nem pusztn logikai,hanem) metafizikai ambcival alaposan megvdolhatalapszablyt kell mg megtantani a gpnek:

A A


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Amik vgkpp kimaradnak

Az itt bemutatottnl sokkal ersebb s legelterjedtebbelmleteknek persze mg gy is tmrdek hibja akad mg, ha atermszetes nyelv modellezsre akarnnk hasznlni.

A kontextusAz oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)a fiktv entitsok,ide-oda mutat nvmsok,stb.

A logikusok foglalkoznak azzal, hogy ezekre a jelensgekrekln-kln rzkeny logikai elmletet alkossanak.Mentsgnkre szolglhat, hogy ezek a logikk bizonyosterleteken tkletesek: Pl. a matematika terletn a fentikifogsok mindegyike alaptalan.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





A kontextus

Az oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)a fiktv entitsok,ide-oda mutat nvmsok,stb.



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





A kontextusAz oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)

Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)a fiktv entitsok,ide-oda mutat nvmsok,stb.



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





A kontextusAz oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)

a fiktv entitsok,ide-oda mutat nvmsok,stb.



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





A kontextusAz oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)a fiktv entitsok,

ide-oda mutat nvmsok,stb.



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





A kontextusAz oksg (Jones meghalt, mert halat evett fagylalttal.)Idbelisg (A Megette s kihnyta. nem ugyanaz, mint aKihnyta s megette.)a fiktv entitsok,ide-oda mutat nvmsok,

stb.A logikusok foglalkoznak azzal, hogy ezekre a jelensgekrekln-kln rzkeny logikai elmletet alkossanak.Mentsgnkre szolglhat, hogy ezek a logikk bizonyosterleteken tkletesek: Pl. a matematika terletn a fentikifogsok mindegyike alaptalan.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






A logikusok foglalkoznak azzal, hogy ezekre a jelensgekrekln-kln rzkeny logikai elmletet alkossanak.

Mentsgnkre szolglhat, hogy ezek a logikk bizonyosterleteken tkletesek: Pl. a matematika terletn a fentikifogsok mindegyike alaptalan.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A Flnyeg.

A tovbbiakban arrl lesz sz, hogy hogyan kell akzpiskolainl egy kicsit tbbet mond logikt kszteni.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Az elbukott logika

De elbb megmutatjuk, hol bukott el egy igen merszvllalkozs.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.

Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.

Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.

Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.

A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.

Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxona

Ez a mondat hamis.

Ha igaz a mondat, akkor amit mond gy van, teht akkor hamis.Ha pedig hamis, akkor amit mond, pont hogy nem gy van,teht akkor igaz.Krbertnk: Teht pontosan akkor hamis, ha igaz.Ez a prototipikus logikai ellentmonds.A klasszikus formlis logika szablyai szerint ilyenkor borulminden: Minden formulra, igazra, hamisra lehet majdrvnyesen kvetkeztetni.Ms szval kiresedik a kvetkezmnyfogalom.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A hazug paradoxonaEgy szomor trtnet ngy dudsrl.

Ez a mondat hamis.

A fenti rvels tbb olyan elvet is kvetett, amelyen rdemeskicsit elidznnk.

1 Van egy olyan tulajdonsgunk, ami pontosan az igazmondatokat jellemzi. Azaz az igazsg ugyanolyantulajdonsg, mint a tbbi.

2 Ebben a prediktumban tetszleges mondat szerepelhet akr sajt maga is!

3 Minden mondatnak kell legyen igazsgrtke, s ezek nemlehetnek msok, mint az igaz s a hamis. (ez a Kizrtharmadik elve)

4 Egy kijelents nem lehet egyszerre igaz s hamis. (ez azEllentmonds elve)

Ez egyfajta ttel: ez a ngy duds nem fr meg egycsrdban.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Alapelvek itt, alapelvek ott. . .





A klasszikus matematikai logika vlasztsa:

Kivgjuk (1)-et s (2)-t.

A termszetes nyelv vlasztsa:

?Mindenesetre senki sem akad fenn az (1)-(2) elven. Igaz a keletkez

ellentmonds sem okoz akkora fejfjst, mint ahogy azt egy formlis

logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:

Kivgjuk (1)-et s (2)-t.A termszetes nyelv vlasztsa:



logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:Kivgjuk (1)-et s (2)-t.

A termszetes nyelv vlasztsa:



logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:Kivgjuk (1)-et s (2)-t.A termszetes nyelv vlasztsa:



logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:Kivgjuk (1)-et s (2)-t.A termszetes nyelv vlasztsa: ?

Mindenesetre senki sem akad fenn az (1)-(2) elven. Igaz a keletkez


logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:Kivgjuk (1)-et s (2)-t.A termszetes nyelv vlasztsa: ?Mindenesetre senki sem akad fenn az (1)-(2) elven.

Igaz a keletkez


logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








A klasszikus matematikai logika vlasztsa:Kivgjuk (1)-et s (2)-t.A termszetes nyelv vlasztsa: ?Mindenesetre senki sem akad fenn az (1)-(2) elven. Igaz a keletkez


logikban tenn.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Az nreferencia visszacsempszse

Hogyan lehetne megmenteni mgis valamit abbl azigazsg-tulajdontsbl (azaz (1)-bl), hogy korrekt formlislogiknk maradjon?Ltezik a logiknak egy tpusa, amelyik egy olyan opertort ismkdtet, ami affirmatv;Affirmatv: Valamilyen mdon megersti az lltst

Most bemutatjuk, mi ez a logika.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hogyan lehetne megmenteni mgis valamit abbl azigazsg-tulajdontsbl (azaz (1)-bl), hogy korrekt formlislogiknk maradjon?

Ltezik a logiknak egy tpusa, amelyik egy olyan opertort ismkdtet, ami affirmatv;Affirmatv: Valamilyen mdon megersti az lltst



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hogyan lehetne megmenteni mgis valamit abbl azigazsg-tulajdontsbl (azaz (1)-bl), hogy korrekt formlislogiknk maradjon?Ltezik a logiknak egy tpusa, amelyik egy olyan opertort ismkdtet, ami affirmatv;

Affirmatv: Valamilyen mdon megersti az lltst



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hogyan lehetne megmenteni mgis valamit abbl azigazsg-tulajdontsbl (azaz (1)-bl), hogy korrekt formlislogiknk maradjon?Ltezik a logiknak egy tpusa, amelyik egy olyan opertort ismkdtet, ami affirmatv;Affirmatv: Valamilyen mdon megersti az lltst



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Igazsg s az igazsg mdja

Az elbukott logika: Melyik mondat igaz?

Modlis logika: Melyik mondat igaz egy bizonyosmdon?


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszernem, s, vagy, ha . . . , akkor

Ez a logika rszknt tartalmazza azt, amit anno a gpnknekmegtantottunk:

A BA

A BB

AB

A B

[A]...C

[B]...C

A B

C

AA B

BA B

AA BB

[A]...B

A B

AAB

[A]...

B BA

A A


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



AximarendszerA modalitsra vonatkoz elvrsok

Msrszt tudja mg a kvetkez kt szablyt:

(A B) (A B) AAItt az a bizonyos affirmci, az igaz egyfajta rnyka.Ezekbl mr sok minden kvetkezik! (A is egyfajta(halvnyabb) rnyk: A def . A)

(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





(A B) (A B) AA

Itt az a bizonyos affirmci, az igaz egyfajta rnyka.Ezekbl mr sok minden kvetkezik! (A is egyfajta(halvnyabb) rnyk: A def . A)



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





(A B) (A B) AAItt az a bizonyos affirmci, az igaz egyfajta rnyka.

Ezekbl mr sok minden kvetkezik! (A is egyfajta(halvnyabb) rnyk: A def . A)



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






(A B) (A B)

(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






(A B) (A B)(A B) (A B)

(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)

(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)

(A B) (A B)(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds






(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)

(A B) (A B)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds








Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Modalitsok

(A B) (A B) AAPl.:

Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.Szksgszer, hogy :Ha szksgszer, hogy A esetn Bvan, akkor ha szksgszeren van A, akkor szksgkppvan B . Ha logikai mdon belttam A-t, akkor belttam aztis, hogy szksgszer, hogy A.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Modalitsok

(A B) (A B) AA

Pl.:Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.Szksgszer, hogy :Ha szksgszer, hogy A esetn Bvan, akkor ha szksgszeren van A, akkor szksgkppvan B . Ha logikai mdon belttam A-t, akkor belttam aztis, hogy szksgszer, hogy A.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Modalitsok

(A B) (A B) AAPl.:



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Modalitsok

(A B) (A B) AAPl.:

Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.

Szksgszer, hogy :Ha szksgszer, hogy A esetn Bvan, akkor ha szksgszeren van A, akkor szksgkppvan B . Ha logikai mdon belttam A-t, akkor belttam aztis, hogy szksgszer, hogy A.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Modalitsok

(A B) (A B) AAPl.:



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

(A B) (A B) AA

Ktelez, hogy :Ha ktelez, hogy ha A, akkor B , akkorha A ktelez, akkor B is az. Ha logikailag belttam A-t,akkor belttam azt is, hogy ktelez, hogy A legyen.Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

(A B) (A B) AA

Ktelez, hogy :Ha ktelez, hogy ha A, akkor B , akkorha A ktelez, akkor B is az. Ha logikailag belttam A-t,akkor belttam azt is, hogy ktelez, hogy A legyen.

Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

(A B) (A B) AA

Ktelez, hogy :Ha ktelez, hogy ha A, akkor B , akkorha A ktelez, akkor B is az. Ha logikailag belttam A-t,akkor belttam azt is, hogy ktelez, hogy A legyen.Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

A tovbbiakban csak figyeljnk oda erre a kettre:

Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

A tovbbiakban csak figyeljnk oda erre a kettre:Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.

Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

A tovbbiakban csak figyeljnk oda erre a kettre:Hiszem, hogy : Ha elhiszem, hogy A esetn B van,akkor ha elhiszem, hogy A van, akkor azt is elhiszem, hogyB van. Ha belttam A-t, akkor belttam azt is, hogyelhiszem, hogy A.Bizonythat, hogy Ha bizonythat, hogy ha A, akkorB , akkor ha A bizonythat, akkor B is az. Ha logikailagbelttam A-t, akkor belttam azt is, hogy bizonythat,hogy A legyen.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

Ezekre ms is igaz:A A

Ez egyfajta nreflexv gondolkodst vr a hiszem-fleinterpretcitl:Ha elhiszek valamit, akkor azt is elhiszem, hogy elhiszem azt.A bizonythatsggal kapcsolatos modalitsra pedig fennll egynagyon klns trvnyszersg:

(A A) A

Ha valamire teljesl az az aprsg, hogy bizonythat, hogyamikor bizonythat, akkor igaz is, akkor ebbl mr az iskvetkezik, hogy ez egy bizonythat llts is egyben.Ez a bizarr trvnyszersg Lb ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer

Ezekre ms is igaz:

A AEz egyfajta nreflexv gondolkodst vr a hiszem-fleinterpretcitl:Ha elhiszek valamit, akkor azt is elhiszem, hogy elhiszem azt.A bizonythatsggal kapcsolatos modalitsra pedig fennll egynagyon klns trvnyszersg:

(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer



(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer


Ez egyfajta nreflexv gondolkodst vr a hiszem-fleinterpretcitl:

Ha elhiszek valamit, akkor azt is elhiszem, hogy elhiszem azt.A bizonythatsggal kapcsolatos modalitsra pedig fennll egynagyon klns trvnyszersg:

(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer


Ez egyfajta nreflexv gondolkodst vr a hiszem-fleinterpretcitl:Ha elhiszek valamit, akkor azt is elhiszem, hogy elhiszem azt.

A bizonythatsggal kapcsolatos modalitsra pedig fennll egynagyon klns trvnyszersg:

(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer



(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer



(A A) A

Ha valamire teljesl az az aprsg, hogy bizonythat, hogyamikor bizonythat, akkor igaz is, akkor ebbl mr az iskvetkezik, hogy ez egy bizonythat llts is egyben.

Ez a bizarr trvnyszersg Lb ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Aximarendszer



(A A) A



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Kis kitr Lb ttelreGdel ttele.

Pl. helyettestsnk be valami egyszerbbet ebbe a kpletbe:

(A A) A

Mondjuk az Ellentmondst Magt.

def .

p p

( ) Mivel az, ami ellentmondsra vezet, nem igaz (lsd a gpnektantottakat!):

()


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





(A A) A


def .

p p

( )

Mivel az, ami ellentmondsra vezet, nem igaz (lsd a gpnektantottakat!):

()


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





(A A) A


def .

p p

( ) Mivel az, ami ellentmondsra vezet, nem igaz (lsd a gpnektantottakat!):

()


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




()

Az, hogy nem bizonythat az ellentmonds, azt jelenti, hogykonzisztens, azaz ellentmondsmentes az elmletnk. A j sszeretett, vgyott matematikai elmletek azok, amik(remlhetleg) ilyenek.A fenti kplet azt mondja, hogy ha bizonythat egy elmletenbell a konzisztencia, akkor az elmlet ellentmondsos.Magyarul sosem lehet bizonytatni az ellentmondsmentessget.Valsznleg ez a rpke kvetkezmny a 20. szzadmatematikjnak legjelentsebb ttele.

Ez Gdel ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




() Az, hogy nem bizonythat az ellentmonds, azt jelenti, hogykonzisztens, azaz ellentmondsmentes az elmletnk. A j sszeretett, vgyott matematikai elmletek azok, amik(remlhetleg) ilyenek.

A fenti kplet azt mondja, hogy ha bizonythat egy elmletenbell a konzisztencia, akkor az elmlet ellentmondsos.Magyarul sosem lehet bizonytatni az ellentmondsmentessget.Valsznleg ez a rpke kvetkezmny a 20. szzadmatematikjnak legjelentsebb ttele.

Ez Gdel ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




() Az, hogy nem bizonythat az ellentmonds, azt jelenti, hogykonzisztens, azaz ellentmondsmentes az elmletnk. A j sszeretett, vgyott matematikai elmletek azok, amik(remlhetleg) ilyenek.A fenti kplet azt mondja, hogy ha bizonythat egy elmletenbell a konzisztencia, akkor az elmlet ellentmondsos.

Magyarul sosem lehet bizonytatni az ellentmondsmentessget.Valsznleg ez a rpke kvetkezmny a 20. szzadmatematikjnak legjelentsebb ttele.

Ez Gdel ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




() Az, hogy nem bizonythat az ellentmonds, azt jelenti, hogykonzisztens, azaz ellentmondsmentes az elmletnk. A j sszeretett, vgyott matematikai elmletek azok, amik(remlhetleg) ilyenek.A fenti kplet azt mondja, hogy ha bizonythat egy elmletenbell a konzisztencia, akkor az elmlet ellentmondsos.Magyarul sosem lehet bizonytatni az ellentmondsmentessget.Valsznleg ez a rpke kvetkezmny a 20. szzadmatematikjnak legjelentsebb ttele.

Ez Gdel ttele.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Logika s nreferencia

A kvetkezkben alkalmazzuk a modlis logikt, egy tipikusannreferencilis (magra utal ) gondolatmenetben.

Azt fogjuk beltni, hogy (adott felttelek mellett) a msodik,megdbbent llts, a Lb ttelnek megfelel kplet ahiszem-mel is mkdik.

(A A) A

St, ez formula szerint ugyanaz a bizonyts lesz, mint amitegy emelt szint szeminriumon hallhatnnk.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A trtnet hse egy klns betegsgtl szenved, ezrt elmegyaz orvoshoz, akiben felttlen megbzik. A diagnzis: Kedves Uram, igen, n valban beteg, de nyugodjon meg, abetegsg pszicholgiai termszet. Meg fog gygyulni, hahisz abban, hogy meg fog gygyulni.

Hsnk bzik az orvosban, de nagyon gyenge a hite; Csakakkor hisz el valamit, ha bebizonytjk neki.

Egy logikushoz fordul ezrt, hogy bizonytsa be neki, hogyhinni fog abban, hogy meg fog gygyulni. Sok furcsasgothallott mr a logikusrl, ezrt nem tudja, megbzzon-e bennegy, mint az orvosban, de azt gondolta: Egy prbt megr.


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A trtnet hse egy klns betegsgtl szenved, ezrt elmegyaz orvoshoz, akiben felttlen megbzik. A diagnzis:

Kedves Uram, igen, n valban beteg, de nyugodjon meg, abetegsg pszicholgiai termszet. Meg fog gygyulni, hahisz abban, hogy meg fog gygyulni.




Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A trtnet hse egy klns betegsgtl szenved, ezrt elmegyaz orvoshoz, akiben felttlen megbzik. A diagnzis: Kedves Uram, igen, n valban beteg, de nyugodjon meg, abetegsg pszicholgiai termszet. Meg fog gygyulni, hahisz abban, hogy meg fog gygyulni.




Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A logikus diagnzisa a kvetkez: Kedves Uram, ha elhiszi, hogy igazat mondok, meg foggygyulni.

Erre gondolkodott egy kicsit, majd meggygyult.

Mirt?


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A logikus diagnzisa a kvetkez:

Kedves Uram, ha elhiszi, hogy igazat mondok, meg foggygyulni.


Mirt?


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



Smullyan fejtrje

A logikus diagnzisa a kvetkez: Kedves Uram, ha elhiszi, hogy igazat mondok, meg foggygyulni.


Mirt?


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A fejtr megoldsaFormalizls

Hsnk meggygyul: c

A Logikus igazat mond: k

Hsnk gy hiszi, hogy:

Orvos: Ha hsnk elhiszi,hogy meggygyul,akkor meggygyul: c c

Logikus: Ha hsnk gy hiszi,hogy a Logikus igazat mond,akkor hsnk meggygyul: k c


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hsnk meggygyul: c



Orvos: Ha hsnk elhiszi,hogy meggygyul,akkor meggygyul:

c c



Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hsnk meggygyul: c






Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hsnk meggygyul: c




Logikus: Ha hsnk gy hiszi,hogy a Logikus igazat mond,akkor hsnk meggygyul:

k c


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Hsnk meggygyul: c






Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds



A fejtr megoldsaTrivilis megllaptsok formalizlsa

Ha a Logikus igazat mond,akkor igaz, amit mond: k (k c)

Ha amit a Logikus mond, igaz,akkor a logikus igazat mond: (k c) k

A helyzet, amit a Logikus(nreflektv) kijelentsnek ksznhetnk: k (k c)

(gy ragadja meg a logiknkaz nreferencilis mondatokat!)


Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds




Ha a Logikus igazat mond,akkor igaz, amit mond:

k (k c)





Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds









Molnr Attila


Az elbukottlogika

A hazug

A ngyduds





Ha amit a Logikus mond, i

Documents

Az egyik legszebb logikai fejtörő.pdf