AUTOMATYKAi

ROBOTYKA

(wykład 2)

Wykładowca : dr inż. Iwona OprzędkiewiczNazwa wydziału: WIMiRNazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Przekształcenie Laplace’a

• Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a „s”.

• Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje się konieczne przekształcenia

• Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.

Definicja transformaty Laplace’a

0)( dtetf t

dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki:

£

0)()()( dtetfsFtf st

Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek:

Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem

s =σ + jω .

Podstawowe twierdzenia

1. Liniowość:

£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe

2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej:

£

s

sFdttf

t )()(

0

Podstawowe twierdzenia cd.

3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej:

£

1

0

)(1 )0()()( n

k

kknnn

n

fssFsdt

tfd

• pierwsza pochodna:

£ )0()()(

fssFdt

tdf

• druga pochodna:

£ )0(')0()()( 2

2

2

fsfsFsdt

tfd

Podstawowe twierdzenia cd.

sdssF

t

tf)(

)(

5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£

n

nnn

ds

sFdtft

)()1()(

4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£

Podstawowe twierdzenia cd.

6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej

£ T jest stałą

)()( sFeTtf sT7. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£ T jest stałą

asFtfeat )(

Podstawowe twierdzenia cd.

a

sF

aatf

1)(

9. Splot funkcji (twierdzenie Borela) :

£{f1(t) * f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £ dtfft

)()( 20 1

8. Zmiana skali :

£ ,a jest stałą dodatnią

Przykład wyznaczania transformaty z definicji

20

00 s

Adt

s

Ae

s

AtedtAtesF

ststst

Wtedy z definicji można zapisać:

Przy wyznaczaniu całki zastosowana została metoda całkowania przez części:

vduuvudv

gdzie u=At oraz dv=e-stdt

Dana jest funkcja liniowo narastająca:

0

00

tAt

ttf

Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji

Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)

1. )(

)(

Diracafunkcja

yjednostkowimpulst 1

2. )'(

)(1

aHeavysidefunkcja

yjednostkowskokt s

1

3. t 2

1

s

4. 1

)!1(

1

nt

t 1;

1n

s n

5. te s

1

6. tet 2)(

1

s

7. tn

et

t

)!1(

1

ns )(

1

8. tsin 22

s

9. tcos 22 s

s

10. tsinh 22

s

11. tcosh 22 s

s

12. te t sin 22)(

s

ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY LAPLACE'A DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ

RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

Etapy:

1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę s przez transformatę Laplace'a przy użyciu tablicy transformat.

2. Przekształcanie transformowanego równania algebraicznego i jego rozwiązywanie.

3. Rozkładu transformowanego równania algebraicznego na ułamki proste.

4. Wyznaczenie odwrotnej transformaty Laplace'a z tablicy transformat.

Przykład 1 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.

232

1

1

1

MJJ

ki

J

k

dt

d

vLL

ki

L

R

dt

diu

Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równań różniczkowych:

Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:

232

1

1)()()(

)(1

)()()(

MJ

sJ

ksI

J

kss

sVL

sL

ksI

L

RssI u

Przykład 2 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.

0)(2

2

3

3

EtDidt

diC

dt

idB

dt

idA

Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równania różniczkowego:

Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:

0)()()()( 23 EsDIssCIsBIssAIs

ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

)(

)()(

sM

sLsG Dana jest funkcja:

gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy założeniu, że rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być zapisany następująco:

011

1 ...)( asasasasM nn

nn

gdzie a0 , a1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.

Bieguny funkcji G(s) są jednokrotne

))...()((

)(

)(

)()(

21 nssssss

sL

sM

sLsG

gdzie s1 ≠ s2 ≠…≠ sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący:

Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki (i = 1, 2, ..., n). Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.

)(...

)()()(

)()(

2

2

1

1

n

n

ss

K

ss

K

ss

K

sM

sLsG

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

)3)(2(

43)(

2

sss

ssG

Zapisujemy podaną funkcję w następującej postaci:

32)3)(2(

43 3212

s

K

s

K

s

K

sss

ssG

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:

)2()3()3)(2(43 3212 ssKssKssKs

Przekształcając: 13212

3212 6)235()(43 KsKKKsKKKs

Porównując współczynniki równania:

46

0235

3

1

321

321

K

KKK

KKK

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy:

3

2323

2

3

2

1

K

K

K

Przykład cd.

Po podstawieniu otrzymujemy:

3

1

3

23

2

12

1

3

2

)3)(2(

43)(

2

ssssss

ssG

Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne

))...()(())...()((

)(

)(

)()(

2121 nn ssssss

resztowywielomianC

ssssss

sL

sM

sLsG

C-liczba całkowita

Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy niż stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika

Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów

))...()((

)(

)(

)()(

21 niii

i

sis

ii ssssss

sL

sM

sLssK

Tzw. metodą residuów, polega na obustronnym pomnożeniu wyrażenia G(s) przez (s- si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie współczynnika Ki. Odbywa się następująco:

Przykład

)3)(2(

43)(

2

sss

ssG

Rozwiązanie:

3

2

6

4

)3)(2(

43))((

0

2

01

s

s ss

sssGK

42

8

)3(

43))()2((

2

2

22

s

s ss

ssGsK

3

23

)23(3

23

)2(

43))()3((

3

2

33

s

s ss

ssGsK

Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuów) funkcję operatorową:

Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne

rss

sL

sM

sLsG

)(

)(

)(

)()(

1

W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) może być wyrażona w sposób:

Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej G(s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas można zapisać:

rr

ss

A

ss

A

ss

A

sM

sLsG

)(...

)()()(

)()(

12

1

2

1

1

współczynniki A1 , A2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą zostać wyznaczone metodą (klasyczną) podaną dla poprzedniego przypadku.

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na ułamki proste odbywa się według zależności:

Rozwiązanie:

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano :

Po uporządkowaniu:

)2()1(

1)(

3

ssssG

35

24321

3 )1()1(12)2()1(

1

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

sss

)2()2)(1()2()1()1()2()1(1 542

33

23

1 ssKsssKsssKssKssK

154321

254321

34321

4321

2)2227(

)3539()435()(1

KsKKKKK

sKKKKKsKKKKsKKK

Przykład cd.

Porównując współczynniki równania otrzymujemy:

12

02227

03539

0435

0

1

54321

54321

4321

321

K

KKKKK

KKKKK

KKKK

KKK

Rozwiązanie układu:

1

0

12

12

1

5

4

3

2

1

K

K

K

K

K

Po rozłożeniu na ułamki proste funkcja G(s) zapisujemy w postaci::

3)1(

1

1

1

2

1

2

11

2

1)(

sssssG

Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne-metoda residuów

sis

rir sM

sLssA

)(

)()(

• Współczynniki wyznaczane są w następujący sposób:

sis

rir sM

sLss

ds

dA

)(

)()(1

sis

rir sM

sLss

ds

dA

)(

)()(

!2

12

2

2

sis

rir

r

sM

sLss

ds

d

rA

)(

)()(

!1

11

1

1

……………………………………………….

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

Rozwiązanie:

)2()1(

1)(

3

ssssG

2

1

)1(

1))(2(

2322

ss ss

sGsK

1)2(

1))(1(

11

33

ss ss

sGsK

0)2(

1))(1(

11

34

ss ssds

dsGs

ds

dK

1

)2(

22))(1(

2

1

1221

3

2

2

5

s

s ss

s

ds

dsGs

ds

dK

2

1

)2()1(

1))((

0301

ss ss

ssGK

Funkcja G(s) ma bieguny zespolone

W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci:

)(

)(

)(

)()(

2 cbss

sL

sM

sLsG

gdzie: b, c – stałe oraz

Rozkładając tego typu funkcję na ułamki proste, funkcję G(s) zapisujemy:

qps

DBs

cbss

sLsG

22 )()(

)()(

042 cb

Przykład

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową :

)102(

8)(

2

sss

ssG

Otrzymujemy rozwiązanie:

102)102(

8)(

2321

2

ss

KsK

s

K

sss

ssG

sKsKssKs )()102(8 322

1

1312

21 10)2()(8 KsKsKsKKs

5

135

45

4

3

2

1

K

K

K

Przykład cd.

102

134

5

11

5

4

)102(

8)(

22

ss

s

ssss

ssG

91

134

5

11

5

4)( 2

s

s

ssG

albo:

Po rozłożeniu na ułamki proste podana transmitancja przyjmuje postać:

Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a

Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru:

£-1

jc

jc

st

t

ttfdsesF

jsF

0,0

0),()(

2

1)(

gdzie c jest stałą .Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest

przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.

Przykład 1

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):

3

1

3

23

2

12

1

3

2

)3)(2(

43)(

2

ssssss

ssG

Odczytując wprost z tablicy transformat:)(1

3

21

3

2£ 1 t

s

i z własności transformat ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£ asFtfeat )(

)(122

1£2

2

12£ 211 te

sst

)(13

23

3

1£

3

23

3

1

3

23 31 tess

t

1£

Przykład 1 cd.

)(1]3

232

3

2[)(1

3

23)(12)(1

3

2)( 3232 teetetettf tttt

)3)(2(

43)(

2

sss

ssGTransformata odwrotna (czyli oryginał ) funkcji

ma następującą postać:

Przykład 2

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):)2()1(

1)(

3

ssssG

3)1(

1

1

1

2

1

2

11

2

1)(

sssssGPo rozłożeniu na ułamki proste:

)(12

11

2

1£ 1 t

s

)(12

1

2

1£

2

1

2

1

2

1£ 211 te

sst

)(11

1£

1

1£ 11 te

sst

Przykład 2 cd.

3)1(

1

s

1

)!1(

1

nt

t1;

1n

s n

Lp.

Oryginał f(t) Transformata F(s)

4.

Składnik należy obliczyć następująco:

2

3

1

2

11£ t

s

Korzystamy z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£ asFtfeat )(tet

s12

31

2

1

)1(

1£

Otrzymujemy:

)(12

1)(1)(1

2

1)( 2 tettettf tt

Wyznaczony oryginał:

Przykład 3

Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):)102(

8)(

2

sss

ssG

102

134

5

11

5

4)(

2

ss

s

ssG

Oryginał pierwszego składnika: )(15

41

5

4£ 1 t

s

Drugi składnik należy przekształcić w następujący sposób:

22222 3)1(

3

5

3

3)1(

1

5

4

102

134

5

1

ss

s

ss

s

Korzystając z własności „Liniowość” £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s)

Otrzymano:

22

1

22

1

2

1

3)1(

3£

5

3

3)1(

1£

5

4

102

134

5

1£

ss

s

ss

s

Przykład 3 cd.

Korzystając z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:

£ asFtfeat )(

tcos22 s

s

tsin22

s

Lp.

Oryginał f(t) Transformata F(s)

9.

8.

t-t-2

1 sin(3t)e5

3cos(3t)e

5

4

102

134

5

1£

ss

s

t-t- sin(3t)e5

3cos(3t)e

5

4)(1

5

4)( ttf

Otrzymujemy:

Odwrotna transformata:

Przykład 4

Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniższym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a.

Rozwiązanie:

atdla

atadlaA

atdlaA

tdla

tf

2,0

2

0,

0,0

)( Podaną funkcję zapisujemy:

Albo f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a

F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)}

222 )1()21(11

21

)( asasasasas es

Aee

s

Ae

sAe

sA

sAsF

Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy: