AUTOMATSKO UPRAVLJANJE

Naser M. Prljaa

Univerzitet u Tuzli, Oktobar, 2005

Uvod

Definicija:

Teorija automatskog upravljanja se bavi analizom i sintezom sistema upravljanja u cilju

postizanja eljenog dinamikog ponaanja fizikog sistema. Potrebe za automatskim upravljanjem su prisutne u svim sferama ljudske djelatnosti od regulacije temperature u sobi

do upravljanja letom svemirskih letjelica.

Teorija automatskog upravljanja se bazira na:

- Teoriji signala i sistema - Komunikacionoj teoriji - Tehnikama vjetake inteligencije - Tehnikama softverskog i hardverskog inenjeringa

U optem sluaju problem automatskog upravljanja se moe predstaviti kao na slici

Slika 1.

i formulisati:

nai ulaz u(t) takav da izlaz iz procesa y(t) bude to je mogue "blii" ili jednak eljenom izlazu yd(t).

Na slici 2 su prikazani y(t) i yd(t)

Izlaz je neka fizika veliina. Kada u(t) narinemo na sistem, izlaz sistema treba da bude to blie eljenom izlazu yd(t).

Slika 2.

U optem sluaju proces koji se upravlja je opisan diferencijalnom jednainom kretanja.

Slika 3.

Diferencijalne jednaine koje predstavljaju modele nekog stvarnog procesa se dijele na: - Obine diferencijalne jednaine - Parcijalne diferencijalne jednaine

U optem sluaju problem automatskog upravljanja moe biti rijeen na jedan od dva naina (ako je rjeenje uopte mogue):

1. upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi (Open Loop Control) 2. upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi (Closed Loop Control)

Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi

Problem upravljanja u otvorenoj povratnoj sprezi se svodi na nalaenje upravljakog signala u = u (t) u funkciji vremena i samo u funkciji vremena koji osigurava da izlazni signal

y(t) prati to je mogue bolje eljeno yd(t).

Primjer:

Potrebno je izvriti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladita do aviona lovca.

Slika 4.

Pri rjeavanju ovog problema treba slijediti slijedee korake: 1. definisati matematiki model sistema (jednaina kretanja kolica u zavisnosti od sile) 2. postavljanje specifikacija (zahtjeva) na eljeno ponaanje sistema (kako hoemo da

kolica odu do aviona.

Konkretno za ovaj primjer potrebno je zadovoljiti slijedee poetne uslove:

0)0( x pozicija

0)0( dt

dx brzina

i krajnje uslove:

LTx )( pozicija

0)( Tdt

dx brzina

Postoji neogranien broj naina da se ovi uslovi zadovolje kao npr na slici 5.

Slika 5.

Izaberimo rjeenje koje za najmanje vrijeme pree udaljenost L. To rjeenje implicira da e kolica u prvoj polovini puta maksimalno ubrzavati, a u drugoj maksimalno usporavati.

Slika 6. ubrzanje

Slika 7. brzina

Slika 8. pozicija

tt

AtAdtdttatvdt

tdx

00

)()()(

za 2/0 Tt

AtATAdtAdttv

t

T

T

2/

2/

0

)( za TtT 2/

2)()(

2Atdttvtx za 2/0 Tt

2/

0 2/

)()()(

T t

T

dttvdttvtx za TtT 2/

224)(

222 AtATt

ATATtx

za 4

)()(2AT

txLTxTt

Jednaina kretanja sistema je:

)(2

2

0 tFdt

xdm ;

TtTAm

TtAmtF

2/,

2/0,)(

0

0

Da bi odredili F moramo znati 0m i A.

Masa se kree u odreenim granicama pa se moe pisati: mmm 0 gdje je Mm ||

Parametre sistema ne moemo tano znati. Ubrzanje A se uzima iz kataloga (ubrzanje motora) i nije 100% tano. Prema tome diferencijalna jednaina realnog sistema je:

)()(2

2

0 tFdt

xdmm

gdje je sa m oznaeno odstupanje u masi i moe biti pozitivno ili negativno.

Prema tome, unutar vremena 2/0 Tt , sistem se moe opisati slijedeom diferencijalnom jednainom:

Amm

m

dt

xd

0

0

2

2

Odstupanje m unosi odstupanja u konanoj poziciji kolica za neko L kao na slijedeoj slici

Slika 9. odstupanja pozicije od eljene

Pored razmatranih promjena parametara sistema, na sistem uvijke djeluju sluajne vanjske smetnje (npr. u ovom sluaju vjetar). Jednaina koja bi opisala ovakav sistem je slijedea:

)()()(2

2

0 ttFdt

xdmm

gdje je sa )(t oznaena sluajna vremenska smetnja.

Oigledno je da ovakav nain upravljanja u otvorenoj sprezi upravlja pozicijom kolica samo u idealnom sluaju tj. kada nema promjena parametara sistema i kada na sistem ne djeluju

vanjske smetnje. Nalaenje upravljakog signla )(tF je bilo bazirano na poznavanju modela

sistema i njegovih poetnih uslova. Prema daljoj analizi se moglo zakljuiti da je svaki model sistema bolja ili loija aproksimacija stvarnog ponaanja. Na prethodnom sluaju to je dokazano na primjeru promjene ili nepoznavanja apsolutne mase kolica. Pored toga, na sistem

uvijek djeluju i vanjske smetnje, pa se moe zakljuiti da su sistemi sa upravljanjem u otvorenoj sprezi ograniene tanosti.

Upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi

Za razliku od upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, upravljanje sa

zatvorenom povratnom spregom zahtijeva nalaenje upravljanja u(t) koje je funkcija i stvarnog izlaza iz sistema y(t).

Slika 10. sistem sa zatvorenom pov. spregom

U najeem broju sluajeva signal povratne sprege y(t) se koristi za nalaenje razlike izmeu eljenog i stvarnog stanja (izlaza) sistema. Razlika izmeu eljenogi i stvarnog stanja se naziva greka odstupanja.

Slika 11. greka odstupanja

Kao to se moe vidjeti sa slike 11 upravljanje u(t) je funkcija greke. elimo postii to

manje e(t) tj. omoguiti da 0)( te .

Primjer:

Potrebno je izvriti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladita do aviona lovca koritenjem upravljanja u zatvorenoj sprezi.

Najprije se razvije odgovarajui matematiki model sistema tj. postave se diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje sistema.

)(2

2

0 tFdt

xdm

Izlaz sistema predstavlja poziciju kolica.

Krajnji uslovi:

LTx )(

0)( Tdt

dx

neka je upravljaka sila F(t) generisana na slijedei nain:

dt

dxKtxLKtF dp ))(()(

Dakle, upravljaka sila F(t) je funkcija pozicije i brzine gdje su pK i dK konstante.

Prema tome, dobija se slijedea diferencijalna jednaina:

LKtxKdt

dxK

dt

xdm ppd )(2

2

0

odnosno

Ltxdt

dx

K

K

dt

xd

K

m

p

d

p

)(2

2

0

Rjeavanjem prethodne jednaine dobijamo poziciju kolica. Stacionarno stanje (svi izvodi su

nule) daje LTx )( . Prema tome na ovaj nain je osigurano da kolica u trenutku T signu u

poziciju L.

Iz prethodnog primjera uoavaju se najvanije prednosti povratne sprege (feedback): - promjena mase ne utie na stacionaro stanje - stacionarno stanje ne zavisi od poetnih uslova - sistem je manje osjetljiv

- vanjska smetnja )(t se smanjuje u ovisnosti o parametru pK

Prema tome, sistem sa povratnom spregom se vrlo efikasno nosi sa poremeajima tipa: - poetnih uslova - promjenama parametara sistema - djelovanjem vanjskih sluajnih smetnji

Slika 12.

Historija automatskog upravljanja

1. Sistem sa centrifugalnim regulatorom vrtnje parne maine

Slika 13. Wattov sistem aut. upravljanja

2. Elektronsko pojaalo

Slika 14. el. pojaalo

Ulaz i izlaz su povezani jednainom:

ulizl Auu

ako nema povratne sprege pojaanje A se mijenja. Bode je 1927. uveo koncept povratne sprege. U sluaju upotrebe povratne sprege, pojaanje A je u irokom opsegu konstantno. Pojaanje B u direktnoj grani se moe mijenjati ali je pojaanje A konstantno.

3. Protivavionski top Upravljaka ema rada protivavionskog topa je data na slici 15.

Slika 15. Protivavionski top

Radar mjeri poziciju aviona i alje poziciju topu na dati ugao elevacije. Potenciometar u povratnoj sprezi mjeri ugao elevacije cijevi topa.

Primjeri modernih sistema automatskog upravljanja

1. Sistem upravljanja automobilom

Slika 16.

2. Robotski manipulator

Slika 17.

3. Upravljanje proizvodnjom elektrine energije

Slika 18. multivarijabilni sistem

4. Ekonomski sistem model sistema nacionalnog dohotka

Sistemom upravljanja u zatvorenoj sprezi se mogu modelirati i socijalni, ekonomski i politiki sistemi. Jedan takav primjer je model upravljanja nacionalnim dohotkom predstavljenim na

slici 19.

Slika 19. Model sistema nacionalnog dohotka

Dizajn upravljakog sistema

Na slici 20. je prikazan tipian primjer sistema sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 20.

Inenjerski dizajn je centralni zadatak svakog inenjeringa. Dizajniranje je kompleksan proces u kojem analiza i kreativnost igraju centralnu ulogu. Proces dizajniranja se u optem sluaju moe predstaviti pomou dijagrama toka kao na slici 21. Svakako najvei izazov koji se postavlja pred dizajnera je pisanje specifikacija za tehniki proizvod. Specifikacije definiu svrhu i nain rada sistema. Obino proces dizajniranja pretpostavlja izbor kompromisa izmjeu razliitih konfliktnih kriterija postavljenih na sistem. Problem dizajniranja sistema upravljanja se moe formulisati i na slijedei nain: Dat je model sistema, senzora, aktuatora i skupa ciljeva sistema. Problem se svodi na

nalaenje odgovarajueg kontrolera koji postie ciljeve sistema ili utvrdi da to nije mogue.

Slika 21. Procedura dizajniranja sistema upravljanja

Primjeri dizajna sistema upravljanja

Dizajn sistema za pokretanje magnetnog diska u otvorenoj sprezi

Slika 22. upravljanje brzinom diska

U ovom primjeru upravljanja u otvorenoj sprezi DC pojaava ima ulogu regulatora. DC motor ima ulogu aktuatora, a sam proces je disk koji se vrti odreenom ugaonom brzinom. Naponski izvor obezbjeuje napon proporcionalan eljenoj brzini obrtanja diska. Ovaj napon se dalje pojaava i vodi istosmjernom (DC) motoru koji okree disk. Ovaj sistem se moe predstaviti blok dijagramom kao na slici 23.

Slika 23. blok dijagram sistema upravljanja diskom

Ovakav sistem ne moe garantovati da e se disk okretati eljenom brzinom (promjena parametara sistema, vanjska smetnja) te ovakvo rjeenje ne moe zadovoljiti ako se trai velika tanost u brzini obrtanja diska.

Dizajn sistema upravljanja brzinom magnetnog diska u zatvorenoj povratnoj sprezi

Ovo rjeenje koristi povratu informaciju o stvarnoj brzini obrtanja diska, te omoguava precizniju kontrolu brzine.

Slika 24. upravljanje brzinom diska u zatvorenoj sprezi

U ovom sluaju koristimo tahogenerator koji na svom izlazu daje napon proporcionalan stvarnoj brzini obrtanja diska, pa se na taj nain dobija povratna informacija o stvarnoj brzini diska. Izlaz iz tahogeneratora se vodi na komparator gdje se vri oduzimanje signala eljene i stvarne vrijednosti i na taj nain formira signal greke koje se dalje vodi na pojaava. Ovaj sistem se moe predstaviti blok dijagramom kao na slici 25.

Slika 25. blok dijagram sistema upravljanja diskom u zatvorenoj sprezi

Matematiko modeliranje fizikih sistema

Da bi razumjeli i upravljali sloenim sistemima, prvo moramo doi do kvantitativnih matematikih modela sistema.Oni nam slue da bi analizirali relacije (veze) izmeu relevantnih varijabli u sistemu. Kako su sistemi koje razmatramo dinamiki, njihovi modeli su u formi diferencijalnih jednaina. Rjeavanjem dobijenih diferencijalnih jednaina dobijaju se veze izmeu varijabli sistema.

Matematiko modeliranje sloenih sistema se bazira na primjeni relevantnih fizikih zakona na dati sistem. Ova primjena vodi diferencijalnim jednainama kretanja datog sistema. U optem sluaju jednaine kojima opisujemo sisteme mogu biti u slijedeoj formi:

1. algebarske ili statike 0),( yxf

2. obine diferencijalne jednaine. U ovom sluaju imamo izvode po jednoj

promjenljivoj 0))(),(,...,,( )1()( tutxxxf nn . Ovakve jednaine opisuju sisteme sa

koncentrisanim parametrima. Varijable su funkcije vremena i nema prostornih

koordinata. Obine diferencijalne jednaine se mogu podijeliti na linearne i nelinearne. Linearne diferencijalne jednaine se predstavljaju u formi:

)()(... 01

)1(

1

)(

tutxadt

xda

dt

xdn

n

nn

n

U optem sluaju rjeenje diferencijalne jednaine se sastoji iz homogenog dijela i partikularnog dijela. Homogeni dio rjeenja je posljedica poetnih uslova (poetno energetsko stanje). Linearne diferencijalne jednaine mogu biti sa konstantnim ili sa promjenljivim koeficijentima ( koeficijenti su funkcije vremena a = a(t)). Sistemi

opisani linearnim diferencijalnim jednainama sa konstantnim koeficijentima se nazivaju linearni vremenski invarijantni sistemi (tzv. LTI sistemi).

3. parcijalne difrencijalne jednaine npr. 02

t

u

yx

u, gdje je ),,,( tzyxuu . Sistemi

sa distribuiranim parametrima se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednainam. Parametri su pored vremena ovisni i o prostornim koordinatama.

Slika 26.

Pored izgradnje matematikog modela pomou diferencijalnih jednaina, model sistema se moe dobiti i tzv. eksperimentalnom identifikacijom podesnom za kompleksne sisteme. Za dati ulaz se vri snimanje vrijednosti izlaza te na osnovu odgovarajueg postupka formira se model sistema.

Primjer:

Nai diferencijalnu jednainu kretanja sistema na slici 27.

Slika 27.

Postavljanjem strujnih i napomskih jednaina dobijamo:

)()( 111 teiR

dt

diLte oi

)()()( 321 tititi

dt

tdeC

R

teti oo

)()()(

2

1

LC

tete

LCR

RR

dt

tde

LCR

CRRL

dt

ted io

oo )()()()(

2

21

2

21

2

2

zamjenama:

LCR

RRao

2

21 i LCR

CRRLa

2

211

prethodna jednaina prelazi u slijedei oblik:

LC

tetea

dt

tdea

dt

ted ioo

oo )()()()(

12

2

S obzirom da su koeficijenti u ovoj diferencijalnoj jednaini konstantni, moe se zakljuiti da se radi o linearnom vremenski invarijantnom sistemu.

Primjer:

Potrebno je nai matematiki model mehanikog sistema predstavljenog na slici 28.

Sa oznakom B je oznaen tzv. priguiva. Ovaj parametar modeluje viskozno trenje koje postoji u veini mehanikih sistema. Ovaj koeficijent predstavlja odnos izmeu sile viskoznog trenja i brzine kretanja:

.

xBF Sa oznakom k je obiljeena konstanta opruge. Ovaj parametar modeluje elastina svojstva sistema. Parametar k se moe posmatrati i kao odnos izmeu djelujue sile i relativnog istezanja opruge:

kxF

Slika 28.

Sistem na slici 28 se moe opisati slijedeim diferencijalnim jednainama:

)()()( 1211

.

2

.

112

1

2

1 tFxxKxxBdt

xdm

)()()( 2222

221121

12

2

2

2 tFxKdt

dxBxxK

dt

dx

dt

dxB

dt

xdm

Prema tome, sistem sa slike 28 se moe predstaviti sistemom linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim koeficijentima.

Primjer:

Nai jednaine kretanja sistema datih na slikama 29 i 30.

Slika 29. Slika 30.

Brzinu kretanja e se oznaiti sa v (.

xv ), pa se mehaniki sistem na slici 29. moe opisati slijedeom jednainom:

)(2

2

tFKxdt

dxB

dt

xdm

odnosno

)(tFvdtKBvdt

dvm

t

S druge strane, elektrini sistem sa slike 30. se moe predstaviti slijedeom jednainom:

321 iiii

odnosno

)(1

tiudtLR

u

dt

duC

t

gdje je sa u oznaen napon na krajevima elemenata. Poreenjem dobijenih diferencijalnih jednaina mehanikog i elektrinog sistema moe se zakljuiti da izmeu njih postoji analogija. Zaista, slijedeim zamjenama:

)()( titF , Cm , R

B1

, uv i L

K1

jednaina kretanja mehanikog sistema postaje jednaina kretanja elektrinog sistema.

Prema tome, moe se zapaziti da se svi dinamiki sistemi sastoje od 3 tipa elemenata: 1. disipativni elementi, tj. elementi na kojima se bespovratno gubi energija u vidu

toplote.

2. elementi koji predstavljaju gomilita kinetike energije 3. elementi koji predstavljaju gomilita potencijalne energije

Analogija izmeu veliina omoguava generalisanje, odnosno izvoenja diferencijalnih jednaina primjenjivih na mehanike, elektrine, termike, hidraulike i druge sisteme. Analogija izmeu mehanikih i elektrinih sistema je predstavljena u tabeli na slici 31.

R

u

R

VVi

12

BR

1

vu Fi

BvvvBF )( 12

12 VVu

dt

diLu

Fi vu

KL

1

12 vvv

dt

dF

Kv

1

12 VVu

dt

duCi

mC Fi vu

dt

dvmF

Slika 31. Analogija mehanikih i elektrinih sistema

Rjeavanje matematikih modela dinamikih sistema

Linearni vremensko invarijantni sistemi se opisuju linearnim diferencijalnim

jednainama sa konstantnim koeficijentima tj.

)(...)(

)(...)()(

001

1

1 tubdt

tudbtya

dt

tyda

dt

tydm

m

mn

n

nn

n

Gdje su:

01021 ,...,,,,...,, bbbaaa mmnn

konstantni koeficijenti.

Ulaz u sistem se obiljeava sa u(t), izlaz sa y(t), n predstavlja red sistema i za svaki fiziki

sistem vrijedi mn . Svaki realni dinamiki sistem se ponaa kao niskopropusni (NF) filter. Za sistem n-tog reda imamo ukupno n poetnih uslova:

0)0( yy , 0)0( yy ,..., )1(

0

)1( )0(

nn yy

Rjeavanje linearne diferencijalne jednaine sa konstantnim koeficijentima

Linearne diferencijalne jednaine se mogu rjeavati na vie naina: - Metoda varijacije konstanti - Laplace-ova transformacija

Da bi se na fukciju f(t) moga primijeniti Laplace-ova transformacija moraju biti ispunjeni

slijedei uslovi:

0),(

0,0)(

ttf

ttf

i integral

0

|)(| dtetf t mora konvergirati za neko realno pozitivno .

Prema tome, za funkciju f(t) koja zadovoljava navedene uslove Laplace-ova transformacija se

definie kao:

dtetfsFst

0

)()( L{f(t)}

Inverzna Laplace-ova transformacija se definie kao:

L-1

{F(s)}=

j

j

stdsesFj

)(2

1

Osnovne osobine Laplace-ove transformacije:

L )()()}()({ 2121 sGasFatgatfa

L )0()(})(

{ fssFdt

tdf

L )0(...)0()(})(

{ )1(1 nnnn

n

ffssFsdt

tfd

L )()}({ sFetf s

Ls

sFdf

t)(

})({0

L )(*)(})()({0

sGsFdgtf

t

)(lim)(lim0

ssFtfst

)(lim)(lim0

ssFtfst

L )()}({ asFtfe at

Ln

nnn

ds

sFdtft

)()1()}({

Laplace-ove transformacije osnovnih funkcija

U slijedeoj tabeli su date Laplace-ove transformacije esto upotrebljavanih funkcija

Original Laplace-ova slika

Dirac-ov impuls: )(t

0,

0,0)(

t

tt , 1)(

dtt 1

Step funkcija: )(tu

0,1

0,0)(

t

ttu s

1

ate as

1

atnet 1)(

! nas

n

tcos 22 s

s

tsin 22

s

te at cos 22)(

as

as

te at sin 22)(

as

tt cos 222

22

)(

s

s

tt sin 222 )(

2

s

s

tte at cos ))((

)(22

22

as

as

Ukoliko je Laplace-ova slika )(sG racionalna funkcija kompleksne promjenljive u obliku:

0

1

1

0

1

1

...

...)(

asas

bsbsbsG

n

n

n

m

m

m

m

odnosno

))...((

...)(

1

0

n

m

m

ssss

bsbsG

tada je za nalaenje inverzne Laplace-ove transformacije potrebno sliku G(s) rastaviti u parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) i na taj nain svesti funkciju na sumu tablinih Laplace-ovih transformacija. Pri ovom postupku mogu se javiti slijedei karakteristini sluajevi:

- Svi polovi sistema (nule imenioca) su realni i jednostruki. Tada se funkcija G(s) moe

prikazati u obliku:))...((

)(

)(

)()(

1 nssss

sQ

sP

sQsG

, pri emu je: nsss ...21 .

Razvojem ove funkcije u parcijalne razlomke dobija se slijedei izraz:

n

k k

k

n

n

n ss

k

ss

k

ss

k

ssss

sQsG

11

1

1

...))...((

)()(

gdje su kk , nk ...1 konstante koje se odreuju na slijedei nain:

nn

kk

k

nk

kk kss

sskk

ss

ss

ssssss

sQsssGss

......

)()()(

)()()()( 1

11

odavde slijedi:

)())(()(

)(

)(

)()(lim

111 nkkkk

kk

ssk

ssssssss

sQ

sP

sQssk

k

Prema tome, vrijedi:

L-1

n

k

ts

k

n

k k

k kekss

k

11

}{

- Svi polovi sistema su jednostruki, ali postoji i konjugovano kompleksni polovi. Neka

vrijedi, radi jednostavnosti, *

12 ss , dok su ostali polovi prosti. Tada se funkcija G(s)

moe predstaviti u obliku:

n

n

ss

k

ss

k

ss

k

ss

k

sP

sQsG

...

)(

)()(

3

3

*

1

*

1

1

1

Neka je js 1 , jss *

12 , jbak 1 i jbak *

1 , tada se dobija:

n

k k

k

ss

k

js

jba

js

jbasG

3)()()(

Sreivanjem prethodnog izraza dobija se:

n

k k

k

ss

k

s

b

s

sasG

32222 )(

2

)(

)(2)(

Prva dva lana prethodne sume se mogu pronai u tabeli Laplace-ovih transformacija, a trei lan se svodi na prethodni sluaj, pa konano, za inverznu Laplace-ovu transformaciju se dobija:

g(t)= L-1

n

k

ts

k

tt kektbetaesG3

sin2cos2)}({

- Pored jednostrukih polova sistema, postoje i viestruki polovi sistema. Neka je pol 1s

viestrukosti 3, dok su ostali polovi jednostruki. Tada se funkcija G(s) moe prikazati u obliku:

n

k k

k

nss

k

ss

k

ss

k

ss

k

ssssss

sQ

sP

sQsG

41

13

2

1

12

3

1

11

4

3

1)()()()()()(

)(

)(

)()(

Konstante 1211,kk i 13k se mogu odrediti na slijedei nain:

n

k k

k

ss

kssssksskksGss

4

3

1

2

11311211

3

1 )()()()()(

Odavde slijedi:

)()(lim 31111

sGsskss

)()(lim 31121

sGssds

dk

ss

)()(lim2

1 312

2

131

sGssds

dk

ss

Inverzna Laplace-ova transformacija se dobija na slijedei nain:

)(tg L-1

n

k

ts

k

tststs kekekteketk

sG4

1312

211 111

2)}({

Primjena Laplace-ove transformacije na rjeavanje linearnih diferencijalnih jednaina

Laplace-ova transformacija prua elegantan nain rjeavanja linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim koeficijentima. Ona prevodi problem iz vremenskog domena u kompleksni domen, tj. diferencijalne jednaine prevodi u algebarske.

Opta forma linearne diferencijalne jednaine sa konstantnim koeficijentima je:

)(...)(

)(...)()(

001

1

1 tubdt

tudbtya

dt

tyda

dt

tydm

m

mn

n

nn

n

gdje su: 001 ,...,,...,, bbaa mn konstantni koeficijenti i vrijedi mn .

Neka su zadati poetni uslovi:

)1(

01

1

00

)0(...,,

)0(,)0(

n

n

n

ydt

ydy

dt

dyyy

S obzirom da je:

L)1(

0

1 ...)0()(}{

nnn

n

n

yyssYsdt

yd

Primjenjujui Laplace-ovu transformaciju na cijelu jednainu dobija se:

0)1(012110011 ...)(.........)( bsbsUyasasyasassY mmnnnnnnn Dalje se moe pisati:

0

1

1

)1(

0

0

1

1

0

......

1...

......

...)()(

asasy

asas

bsbsUsY

n

n

n

n

n

n

n

m

m

Ako prvi sabirak sa desne strane znaka jednakosti obiljeimo sa IY , a ostale sa IIY , tada se

prethodna jednaine moe krae napisati u obliku:

III YYsY )(

IY predstavlja faktor djelovanja ulaza, a IIY je faktor djelovanja poetnih usolva (akumulirane

energije u poetnom trenutku).

Prenosne (transfer) funkcije linearnih sistema

Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom

(tzv. SISO Single Input Single Output) se definie kao odnos Laplace-ovih funkcija izlaza i ulaza sistema sa nultim poetnim uslovima. To znai da prenosna funkcija opisuje dinamiku sistema koji se posmatra tj. predstavlja njegovu ulazno-izlaznu deskripciju (opis).

Linearni vremensko invarijantni sistem je opisan slijedeom diferencijalnom jednainom:

)(...)(

)(...)()(

001

1

1 tubdt

tudbtya

dt

tyda

dt

tydm

m

mn

n

nn

n

Primjenom Laplace-ove transformacije na prethodnu jednainu uz nulte poetne uslove dobija se slijedee:

011011 ...)(...)( bsbsbsUasassY mmmmnnn Odavde slijedi:

0

1

1

0

1

1

...

...

)(

)(

asas

bsbsb

sU

sYn

n

n

m

m

m

m

Odnos )(

)(

sU

sY se obiljeava sa )(sG i naziva prenosna funkcija sistema.

Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplace-ova transformacija ulaza tada se Laplace-

ova transformacija izlaza moe dobiti na slijedei nain: )()()( sUsGsY

Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i daje se u vidu kolinika dva polinoma:

)(

)()(

sP

sQsG

Polinom P(s) se naziva karakteristini polinom sistema, a jednaina 0)( sP se naziva

karakteristina jednaina sistema. Korijeni karakteristine jednaine se nazivaju polovi sistema.

Korijeni jednaine 0)( sQ se nazivaju nule sistema.

Prenosna funkcija )(sG se esto pie i u tzv. pol-nula formi:

)()(

)()()(

1

1

n

n

ssss

zszsKsG

Prenosna funkcija sistema G(s) moe se pisati i u tzv. vremenska konstanta formi:

)1()1(

)1()1()(

1

1

ss

ssKsG

ana

bmb

Vano je napomenuti da prenosna funkcija sistema nosi kompletnu informaciju o sistemu, odnosno o njegovom impulsnom odzivu. To znai da ako se sistem pobudi ulaznim Dirac-ovim impulsom tada vrijedi:

)()( sGsY

jer je Laplace-ova transformacija Dirac-ovog impulsa 1. Ako se u ovom sluaju potrai inverzna Laplace-ova transformacija dobija se:

L-1 )}({ sY L-1 )()}({ thsG

i naziva se impulsni odziv sistema.

Proizvod Laplace-ovih transformacija u kompleksnom domenu je ekvivalentan konvoluciji

funkcija u vremenskom domenu. Prema tome,

)(*)()()()()( tutgtysUsGsY

dalje vrijedi:

tt

dutgdtugty00

)()()()()(

Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema

U narednim primjerima bie izvedene prenosne funkcije nekih karakteristinih sistema

Slika 32. realni integrator

RCsRCssU

sU 1

1

1

)(

)(

1

2

)1( RC

Slika 33. realni diferencijator

RCsRCs

RCs

sU

sU

1)(

)(

1

2 )1( RC

Slika 34. Invertujue pojaalo

21

1

2

)(

)(

R

R

sU

sU

Slika 35. Integrator sa operacionim pojaalom

RCssU

sU 1

)(

)(

1

2

Slika 36. Diferencijator sa operacionim pojaalom

RCssU

sU

)(

)(

1

2

Prenosne funkcije multivarijabilnih sistema

Prenosna funkcija multivarijabilnih sistema (MIMO Multi Input Multi Output) dovodi u vezu Lalace-ovu transformaciju vektora ulaza i vektora izlaza sistema uz pretpostavku svih nultih poetnih uslova.

Slika 37. Multivarijabilni sistem

U ovom sluaju vrijedi:

)()()( sUsGsY

gdje je sa )(sY obiljeena Laplace-ova transformacija vektora izlaza dimenzija (px1), sa

)(sU je obiljeena Laplace-ova transformacija vektora ulaza dimenzija (rx1), a sa )(sG je

oznaena matrica dimenzija (pxr) i predstavlja prenosnu funkciju multivarijabilnog sistema.

prp

r

GG

GG

sG

1

111

)(

Koeficijent )(sGij u matrici )(sG predstavlja prenosnu funkciju izmeu j-tog ulaza i i-tog

izlaza kada su svi ostali ulazi nula.

Dijagram blokova

Grafiki opis je vrlo pogodan nain prezentacije dinamikih sistema. Grafiki opis daje jasnu sliku svih komponenata u dinamikom sistemu, te toka signala u sistemu. Takva prezentacija sistema se naziva dijagram blokova. On moe biti iskoriten za nalaenje relacija izmeu ulazno-izlaznih varijabli, odnosno prenosnih funkcija. Najjednostavniji mogui dijagram blokova je primjer SISO sistema dat na slici 38.

Slika 38. dijagram blokova SISO sistema

Strelice u dijagramu blokova se koriste za oznaavanje toka signala.

Vidljivo je i osnovno pravilo dijagrama blokova: )()()( sUsGsY , tj. izlazni signal )(sY je

proizvod prenosne funkcije )(sG i ulaznog signala )(sU .

Osnovna struktura sistema sa povratnom spregom

Slika 39. Osnovna struktura sistema sa pov. vezom

Prenosna funkcija sistema na slici 39. se moe odrediti na slijedei nain:

)()()()()()()( sGsYsHsUsGsEsY dalje slijedi:

)()()(1

)(

)(

)()()()()(1)( sM

sHsG

sG

sU

sYsUsGsHsGsY

Prema tome prenosna funkcija sistema ima oblik:)()(1

)()(

sHsG

sGsM

Opta struktura sistema sa povratnom spregom

Na slici 40. je predstavljena opta struktura sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 40.

U blok dijagramu na slici 40. upotrijebljene su slijedee oznake:

)(sGr -prenosna funkcija regulatora (kontrolera) sistema

)(sGp -prenosna funkcija objekta upravljanja (opisuje dinamiku sistema)

)(sU -referentna (zadana) vrijednost

)(sY -izlaz sistema (upravljana varijabla)

)(sd -vanjska smetnja (sluajna i nemjerljiva)

Prenosna funkcija objekta upravljanja se obino sastoji od:

)(sGa - prenosna funkcija aktuatora

)(0 sG -prenosna funkcija procesa (dinamika sistema)

)(sGs -prenosna funkcija senzora

Sada se mogu formulisati osnovne uloge koje kontroler treba ostvariti:

1. Stabilizacija sistema. Sistem je stabilan ako ogranien ulaz uzrokuje ogranien izlaz 2. Poboljanje tranzijentnog odziva sistema (ubrzavanje reakcije sistema) 3. Redukcija (ili eliminacija) greke u stacionarnom stanju 4. Redukcija (ili potpuna eliminacija) dejstva vanjske sluajne smetnje

Oito da sistem dat na slici 40. ima dva ulaza: )(sU i )(sd . Za izlaz sistema se moe pisati:

)()()()( sLsUsMsY

prenosne funkcije )(sM i )(sL se mogu odrediti na slijedei nain:

- Neka je 0)( sd (SISO sistem) tada vrijedi:

)()()( sYsUsE

)()()()( sGsGsEsY pr

Eliminacijom )(sE iz prethodne dvije jednaine dobija se:

)()()(1

)()(

)(

)(sM

sGsG

sGsG

sU

sY

pr

pr

- Neka je sada 0)( sU , tada se )(sL moe odrediti na slijedei nain:

)()()()( sYsGsdsF r

)()()( sFsGsY p

Eliminacijom )(sF iz prethodne dvije jednaine dobija se:

)()()(1

)(

)(

)(sL

sGsG

sG

sd

sY

pr

p

Sada na osnovu )()()()( sLsUsMsY vrijedi:

)()()(1

)()(

)()(1

)()()( sd

sGsG

sGsU

sGsG

sGsGsY

pr

p

pr

pr

Prenosna funkcija objekta upravljanja je fiksna i ne moe se mijenjati. Mijenjati se moe

transfer funkcija kontrolera )(sGr . Poeljno je da 1)( sM to znai da e izlaz bolje pratiti

ulaz kad )(sM tei 1 a to je sluaj ako je |)(| sGr 1, meutim poveavanjem pojaanja

kontrolera sistem se moe dovesti u nestabilnost.

S druge strane analizirajui uticaj smetnje moe se zakljuiti da 0|)(| sL kad |)(| sGr .

Naravno, pojaanje kontrolera se ne moe birati proizvoljno veliko. Nameu se slijedea ogranienja:

- Ekonomska isplativost - Fizikalno je teko napraviti kontroler sa vrlo velikim pojaanjem - Velika potronja energije

Veliko pojaanje kontrolera datog prenosnom funkcijom )(sGr znai i da se greka e bre

poveava (upravljaki signal veliki) pa sistem bre reaguje.

Algebra dijagrama blokova

Algebra dijagrama blokova je skup pravila koja omoguavaju modifikacije i simplifikacije dijagrama blokova. To su jednostavna pravila bazirana na principima algebre:

- Kaskadna (serijska) veza blokova

Slika 41. kaskadna veza blokova

Prenosna funkcija ovog sistema je data slijedeim izrazom:

n

i

in GGGGsU

sYsG

1

21)(

)()(

- Paralelna veza blokova

Slika 42. paralelna veza blokova

Prenosna funkcija sistema sa slike 42. je data slijedeim izrazom:

n

i

iGsU

sYsG

1)(

)()(

- Struktura sa povratnom vezom

Slika 43. struktura sa jedininom povratnom spregom

Prenosna funkcija ovog sistema se moe odrediti prema slijedeem izrazu:

)(1

)()(

sG

sGsGe

Ako su u povratnoj grani nalazi prenosna funkcija )(sH onda se ekvivalentna

prenosna funkcija rauna prema slijedeem izrazu:

)()(1

)()(

sHsG

sGsGe

Pored algerbarskih pravila, algebra dijagrama blokova je komplementirana sa nekoliko

"geometrijskih" pravila:

Slika 44.

Slika 45.

Kao primjer primjene algebre blokova, potrebno je odrediti prenosnu funkciju )(

)()(

sU

sYsG

sistema predstavljenog dijagramom blokova kao na slici 46.

Slika 46.

Primjenom pravila algebre blokova dobija se slijedee pojednostavljenje:

Slika 47.

Sada se dva sumatora mogu zamijeniti pa se dobija slijedei dijagram blokova:

Slika 48.

Sada se moe uoiti kaskadna veza )(1 sG i )(2 sG zajedno sa povratnom vezom preko )(1 sH

i paralelna veza 1

3

G

G sa jedininom prenosnom funkcijom. Prema tome sada se dijagram

blokova znatno pojednostavljuje i dobija se:

Slike 49.

Konano se dobija:

Slika 50.

Dakle, ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 46 je 121

21

1

3

11)(

HGG

GG

G

GsG

Graf toka signala

Pored algebre blokova, za nalaenje ekvivalentne prenosne funkcije sistema u upotrebi je i tzv. graf toka signala ili Mason-ovo pravilo. Postoji ista analogija izmeu dijagrama blokova i grafa toka signala.

Glavni elementi grafa toka signala su vorovi i grane. Grane povezuju vorove grafa. Grana je ekvivalentna bloku u dijagramu blokova i predstavlja prenosnu funkciju. Ona se sastoji od

ulaznog, izlaznog vora i strelice koja pokazuje tok signala. Sa ovakvom granom je asocirana prenosna funkcija. vor u grafu predstavlja signal. Osnovno pravilo za vor je da je signal u voru jednak sumi signala koji dolaze u taj vor iz vanjskih grana (vano je znati da se raunaju samo signali koji dolaze u vor, ali ne i oni koji iz njega odlaze). Signal koji ulazi u vor A neke grane je jednak ulaznom signalu te grane pomnoenom sa prenosnom funkcijom te grane.

Na primjer, ekvivalentni graf toka signala sistema sa slike 51. je predstavljen na slici 52.

Slika 51. dijagram blokova sistema sa povratnom spregom

Slika 52. graf toka signala sistema sa slike 51

Potrebno je uvesti jo neke termine vezane za graf toka signala: 1. vor izvor (source node) je vor u grafu toka signala iz kojeg signali samo izviru

(ulazni signali su predstavljeni vorovima) 2. vor ponor je vor u grafu u kojeg signali samo poniru (izlazni signali) 3. put je serija grana u grafu od vora izvora do vora ponora koje imaju strelice u istom

smjeru, a koje ne prolaze niti jedan vor vie od jednom. 4. petlja je zatvoren put grana sa strelicama u istom smjeru u kome se ni jedan vor ne

pojavljuje vie od jednom. vor izvor i vor ponor ne mogu biti dio petlje. Pojaanje petlje je proizvod svih prenosnih funkcija u petlji.

5. Nedodirujue petlje su dvije petlje koje nemaju zajedniki vor.

Primjer:

Slika 53.

1. U je vor izvor 2. Y je vor ponor 3. Postoje dva puta:

P1: 154321 11 PGGGGG

P2: 215461 11 PGGGGG

4. Postoje etiri petlje:

111 HGL

2432 HGGL

3543213 HGGGGGL

354614 HGGGGL

5. Postoje dvije nedodirujue petlje:

111 HGL

2432 HGGL

Mason je otkrio elegantnu formulu za nalaenje prenosne funkcije izmeu ulaznih i izlaznih vorova za sisteme date grafom toka signala:

N

k

kkP

sG 1)(

gdje su:

- kP - pojaanja puteva koji vode od ulaza do izlaza

- N - broj puteva izmeu ulaznog i izlaznog vora - - determinanta grafa toka signala

- k - kofaktor puta k

Determinanta grafa toka signala se rauna na slijedei nain:

...1 32 sss PPP

gdje je:

- sP je proizvod svih pojaanja petlji

- 2sP je proizvod pojaanja svih moguih kombinacija nedodirujuih petlji koje se

uzimaju po dvije

- 3sP je proizvod pojaanja svih moguih kombinacija nedodirujuih petlji koje se

uzimaju po tri

Kofaktor puta k k je jednak za graf toka signala koji se dobije od originalnog grafa kad se

iz njega izdvoji dati put.

Primjer:

Odrediti prenosnu funkciju sistema predstavljenog dijagramom blokova na slici 54.

Slika 54.

Ekvivalentna prenosna funkcija sistema bie izraunata koritenjem Mason-ovog pravila tj. prevoenjem dijagrama blokova u ekvivalentni graf toka signala.

Slika 55. graf toka signala sistema sa slike 54.

Analizom grafa toka signala sa slike 55. dobija se slijedee:

- Putevi: 43211 GGGGP

43512 GGGGP

- Petlje:

1211 HGGL

2322 HGGL

1223513 HGHGGGL

343514 HGGGGL

343515 HGGGGL

343215 HGGGGL

- Nedodirujuih petlji nema

Prema tome vrijedi:

)(1 54321 LLLLL

11 , 12

Za prenosnu funkciju )(sG itavog sistema dobijamo:

)(1)(

54321

21

LLLLL

PPsG

odnosno

)()1(1

)()(

25343111232221

52431

GGHGGGHGHGGHGG

GGGGGsG

Linearizacija modela dinamikih sistema

Kao to je poznato postoji samo opta teorija analize i sinteze linearnih dinamikih sistema. Nekada je mogue izvriti dobru aproksimaciju nelinearnih sistema odgovarajuim linearnim modelom tj. mogue je izvriti linearizaciju nelinearnih sistema oko nominalnih radnih trajektorija (radnih taaka), te ih je mogue analizirati kao linearne sisteme.

Linearizacija nelinearnog sistema I reda

U optem sluaju sistem je opisan slijedeom diferencijalnom jednainom:

))(),(()(

tutxfdt

tdx , 0)0( xx

Neka sistem funkcionira oko nominalne trajektorije )(txn pogonjen ulazom )(tun . Tada se

sistem opisuje jednainom:

))(),(()( tutxftx nn

Neka se sistem kree oko nominalne trajektorije kao na slici 56.

Slika 56.

Neka je stvarno kretanje sistema oznaeno sa )(tx . Tada se moe pisati:

)()()( txtxtx n

dakle, stvarno kretanje se moe prikazati kao suma nominalnog stanja i odstupanja oznaenog

sa )(tx .

Analogno se moe predstaviti upravljaki signal )(tu :

)()()( tututu n

Sada se jednaina kretanja sistema moe pisati u obliku:

))()(),()(()()())(),(()( tututxtxftxtxtutxftx nnn

Razvojem funkcije ))()(),()(( tututxtxf nn u Taylor-ov red uz zanemarivanje lanove

vieg reda dobija se:

uu

fx

x

fuxftxtx nnn

),()()(

odnosno

uu

fx

x

ftx

nn uuxx

||)(

Dobijena linearna diferencijalna jednaina opisuje odstupanja od nominalnih radnih taaka. Moe zapisati u obliku:

ubtxatx )()(

u optem sluaju koeficijenti a i b su funkcije vremena tj. )(taa i )(tbb . Ako sistem

radi u okoline nominalnih radnih taaka koeficijenti a i b su priblino konstantni.

Linearizacija sistema II reda

Sistem II reda je u optem sluaju dat slijedeom diferencijalnom jednainom:

))(),(),(),(()( tututxtxftx , 00 )0(,)0( xxxx

Nominalna trajektorija sistema se kao u prethodnom sluaju obiljeava sa )(txn a nominalni

upravljaki signal sa )(tun .

Kao u prethodnom sluaju sistema I reda moe se pisati:

)()()( txtxtx n

)()()( tututu n

gdje su sa )(tx i )(tu obiljeene stvarne trajektorije sistema i upravljakog signala

respektivno.

Sada se diferencijalna jednaina sistema II reda moe napisati u obliku:

),,,()()( uuuuxxxxftxtx nnnnnn

Razvojem funkcije ),,,( uuuuxxxxf nnnnn u Taylor-ov red, zanemarivanjem

lanova vieg reda i sreivanjem dobija se slijedei izraz:

uu

fu

u

fx

x

fx

x

ftx

)(

pri emu su parcijalni izvodi raunati u radnoj taki ),,,( nnnn uxux .

ububxaxax 1021

Dobijena jednaina opisuje odstupanje trajektorije sistema od nominalne. Ista tehnika se jednostavno proiruje na sisteme vieg reda.

104

Specifikacija performansi sistema automatskog upravljanja

Tranzijentni i ustaljeni odziv

U analizi i sintezi sistema upravljanja vrlo je vano nai metod specifikacije performansi sistema automatskog upravljanja. Takva specifikacija se prirodno daje u

vremenskom domenu. U optem sluaju specifikacije sistema se odnose na specifikacije tranzijentnog i ustaljenog ponaanja sistema. Odziv svakog linearnog sistema je u optem sluaju sastavljen iz dvije komponente:

)()()( tytyty sstr

gdje je:

- )(tytr - tranzijentni odziv sistema

- )(tyss - ustaljeni odziv sistema

Pri emu za stabilne sisteme vrijedi: 0)(lim

tytrt

.

Nakon uspostavljanja specifikacija ponaanja sistema u vremenskom domenu, bie odreene relacije izmeu parametara u vremenskom domenu i pozicija nula i polova u domenu kompleksne promjenljive s.

Tranzijentni odziv sistema II reda

Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom je prikazan na slici 57.

Slika 57. sistem II reda

Ekvivalentna prenosna funkcija je odreena izrazom:

22

2

2 2)(

)()(

nn

n

ss

T

K

T

ss

T

K

sU

sYsG

pri emu je:

- T

Kn prirodna uestanost sistema

- Tn

2

1 faktor priguenja sistema

Svaki sistem II reda se moe svesti na ovu formu. Kao testni ulaz se najee koristi odskona (step) funkcija. Za ovakav tesni signal se jednostavno mogu porediti razliiti sistemi odnosno njihovi odzivi.

Karakteristina jednaina ovog sistema je: 02 22 nnss . Rjeavanjem karakteristine

jednaine dobiju se polovi sistema:

dnnn jjs 2

2/1 1

gdje je sa 21 nd oznaena priguena uestanost

105

Poloaj polova sistema u kompleksnoj ravni je prikazan na sklici 58.

Slika 58. polovi sistema II reda u kompleksnoj ravni

Promjenom i n mijenja se poloaj polova u kompleksnoj ravni i u zavisnosti od toga,

odziv sistema. U zavisnosti od vrijednosti parametra mogu se pojaviti tri karakteristina

sluaja:

- 1 tzv. kritino priguen sistem

- 1 tzv. nadkritino priguen sistem

- 1 tzv. podkritino priguen sistem

U sluaju kritino priguenog sistema vrijedi:

2

2

22

2

)()2()(

n

n

nn

n

ssssssY

)(ty L-1 )}({ sY = L-1 })(

11{

2

n

n

n sss

Nalaenjem inverzne Laplace-ove transformacije dobija se odziv sistema u vremenskom domenu:

)()(1)( tytyteety trsst

n

t nn

odziv u ustaljenom stanju je: 1)( tyss , a tranzijentni dio odziva je t

n

t

trnn teety

)(

Moe se zakljuiti da tranzijentni odziv iezne tokom vremena.

U sluaju nadkritino priguenog sistema )1( vrijedi:

)2()(

22

2

nn

n

ssssY

106

U ovom sluaju sistem ima dva realna pola:

dnnns 12

2/1

Rastavljanjem )(sY na parcijalne razlomke dobija se:

dndn s

K

s

K

ssY

21

1)(

Za vremenski odziv se dobija: tt dndn eKeKty)(

2

)(

11)(

Tranzijentni dio odziva tt

trdndn eKeKty)(

2

)(

1)( iezava sa vremenom brzinom

koju odreuje najsporiji pol sistema.

Poveavanjem prirodne uestanosti n sistem se ubrzava..

U sluaju podkritino priguenog sistema )1( vrijedi:

)2()(

22

2

nn

n

ssssY

U ovom sluaju polovi sistema su konjugovano kompleksni: 2

2/1 1 nn js

Vremenski odziv se dobija inverznom Laplace-ovom transformacijom i iznosi:

)1sin(1

1)( 22

te

ty n

tn

Sada se u odzivu javljaju oscilacije.

Na slici 59 su prikazani odzivi sistema za razliite vrijednosti parametra priguenja .

Slika 59. odziv sistema u ovisnosti o priguenju

107

Standardne performanse sistema se obino definiu u odnosu na dziv sistema na odskonu (step) funkciju kao to je to prikazano na slici 60.

Slika 60. parametri odziva sistema

Slijedei parametri definiu odziv sistema:

- rT - vrijeme porasta (rise time) je vrijeme za koje odziv sistema proe vrijednosti od 0

do 100 % vrijednosti u stacionarnom stanju. Ovakva definicija vremena porasta se

upotrebljava u podkritino priguenim sistemima

- 1rT - vrijeme porasta je vrijeme za koje odziv sistema proe vrijednosti od 10% do

90% vrijednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritino

priguene sisteme )1(

- pT - vrijeme preskoka (peak time) je vrijeme za koje se desi maksimalni preskok

stacionarne vrijednosti.

- sT - vrijeme smirenja (settling time) je vrijeme za koje odziv sistema dostigne i ostane

u intervalu od -5% do 5% stacionarne vrijednosti.

- Preskok u oznaci OS (overshoot) se definie kao razlika )()( max trty gdje je )(tr

jedinina step funkcija

Obino se za definisanje odziva koriste vrijeme smirenja i veliina preskoka.

Da bi odredili vrijeme preskoka pT i veliinu preskoka potrebno je odrediti 0)(

dt

tdy gdje je

odziv sistema dat sa:

)1sin(1

1)( 22

te

ty n

tn

gdje je: )arccos( i 10 .

Nakon sreivanja dobija se:

108

21

n

pT

}1

exp{1)(2

1 2

eTyOS p

Preskok se esto daje u procentima:

%100}1

exp{2

MPOS

gdje je sa MPOS (Maximum Percent OverShoot) oznaen maksimalni preskok u procentima. Iz posljednjeg izaraza se moe zakljuiti da je preskok samo funkcija priguenja. Iz izraza za odziv sistema u vremenskom domenu se vidi da tranzijentni dio nestaje sa vremenskom

konstantom 1)( n . Obino se uzima da je svaki prelazni proces zavren za 53 pa

sa vrijeme smirenja esto definie kao:

n

sT

3

Dakle, za zadato vrijeme smirenja i maksimalni prekok, koeficijent priguenja i prirodna

uestanost se moe dobiti iz izraza za preskok i vrijeme smirenja. Na ovaj nain je uspostavljena veza izmeu parametara koji karakteriu vremenski odziv sistema i lokacija polova u kompleksnom domenu.

Tranzijentni odziv sistema vieg reda

U prethodnom izlaganju je izvrena karakterizacija odziva sistema II reda. U optem sluaju nije mogue izvesti analitike izraze za karakterizaciju tranzijentnog odziva sistema vieg reda. Ipak, esto je mogue aproksimativno odrediti parametre tranzijentnog odziva sistema vieg reda pomou parametara odziva sistema II reda. Sistem upravljanja sa jedininom povratnom vezom se moe predstaviti u slijedeem obliku:

)())(2(

)(

)(

)(

)(1

)()(

21

22

nnn pspsss

sQ

sP

sQ

sG

sGsM

Dinamiku sistema praktino odreuju tzv. "spori" polovi tj. polovi najblii imaginarnoj osi. Oni dalji bre ieznu u vremenu.

Slika 61. dominantni polovi sistema vieg reda

109

Sistem vieg reda se moe dobro aproksimirati sistemom II reda ukoliko ima par konjugovano kompleksnih polova koji su mnogo blie imaginarnoj osi od svih ostalih polova. Ovi polovi se nazivaju dominanti polovi i predstavljeni su na slici 61.

Greke ustaljenog stanja

Na slici 62. data je opta struktura sistema upravljanja sa jedininom povratnom vezom.

Slika 62.

Najprije e se izvriti analiza odziva sistema i greaka ustaljenog stanja po pretpostavkom da nema djelovanja smetnje d.

Kao to je ranije pokazano, vremenski odziv sistema se moe predstaviti u vidu sume tranzijentnog i stacionarnog dijela:

)()()( tytyty trss

pri emu za stabilan sistem vrijedi:

)(lim)( tytyt

ss

0lim

trt

y

Na ulaz se dovodi referentni signal )(tr koji predstavlja eljeni izlaz sistema. Formira se

razlika izmeu referentnog ulaza i stvarnog izlaza i dobija signal greke )()()( tytrte .

Ovaj signal zajedno sa kontrolerom )(sGr pogoni sistem u cilju redukcije greke )(te . Na

osnovu strukture sistema moe se pisati:

)()()()()( sGsGsEsRsE or

ako se oznai )()()( sGsGsG or dobija se:

)(1

)()(

sG

sRsE

Sada se greka stacionarnog stanja moe dobiti na slijedei nain:

)(1

)(lim)(lim)(lim)(

00 sG

sRsssEtete

sstss

Prema tome vidi se da greka zavisi od sistema, regulatora i od ulaza. Najee se kao referentni ulazi koriste slijedei signali:

- step funkcija definisana kao:

0,1

0,0)(

t

ttr

- rampa funkcija definisana kao:

0,

0,0)(

tt

ttr

- parabola funkcija definisana kao:

0,

0,0)(

2 tt

ttr

110

Tip sistema upravljanja sa povratnom spregom definie broj polova sistema u koordinatnom poetku prenosne funkcije otvorenog sistema (direktne grane). Prema tome, za sistem se kae da je tipa j ako se prenosna funkcija dir. Grane moe

predstaviti u obliku: 0,)(

)()(

i

i

j

ip

pss

zssG

Ako je na ulaz sistema sa slike 62. doveden step referentni ulaz 0),1)(( ttr tada

vrijedi:

)(lim1

1

)(1

1

lim)(1

)(lim)(

0

00 sGsG

ss

sG

sRste

s

ssss

Neka je )(lim0

sGKs

p

, tada se za greku stacionarnog stanja dobija: p

ssK

te

1

1)(

Da bi greka stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana potrebno je da pK , a to

e biti zadovoljeno u slijedeem sluaju:

1)(

)(lim

0

jza

pss

zsKK

i

j

i

sp

Prema tome da bi greka stacionarnog stanja odziva sistema na step ulaz bila svedena na nulu

potrebno je da postoji bar jedan pol u )()()( sGsGsG or bilo u kontroleru ili u objektu

upravljanja.

Ako je na ulaz sistema sa slike 62. rampa funkcija ttr )( , tada je 2

1)(

ssR , pa se

greka stacionarnog stanja moe raunati potpuno analogno prethodnom sluaju.

vs

sssss

KssGsGssG

sRssEe

1

)(lim

1

))(1(

1lim

)(1

)(lim)(lim

0

000

gdje je: )(lim0

ssGKs

v

. Da bi se greka potpuno eliminisala potrebno je da vK , a to e

biti zadovoljeno u slijedeem sluaju:

2)(

)(lim

0

jza

pss

zsKsK

i

j

i

sv

Prema tome, u direktnoj grani mora postojati dvostruki integrator (bilo u kontroleru ili objektu

upravljanja).

U sluaju da je na ulaz sistema doveden parabola ulaz, analogno se moe zakljuiti da

je potreban trostruki integrator u direktnoj grani odnosno pol 0s viestrukosti 3.

Osnove funkcije regulatora (kontrolera) su stabilizacija sistema, popravka dinamikih karakteristika i redukcija vanjske smetnje. Vanjska smetnja je u optem sluaju stohastika veliina i ne moe se analitiki opisati, mada je esto mogue aproksimirati smetnju sa nekim poznatim funkcijama npr. step amplitudno skaliranim step funkcijama. Zbog toga je potrebno

ispitati kako se sistem nosi sa djelovanjem konstantne smetnje .)( consttd S tim ciljem

neka je sada 0)( tr , tj. nema ulaznog signala jer se analizira odziv sistema samo u odnosu

na djelovanje smetnje. Sada se moe pisati:

111

)()( sYsE i )()(1

)()()(

sGsG

sGsdsE

or

o

uz pretpostavku da vrijedi: s

sdtd1

)(1)( , dobija se:

)(lim

1)(lim

1

)()(1

)(lim

)()(1

)()()(lim)(lim

0

0

00

sGsG

sGsG

sG

sGsG

sGsdsssEte

os

rs

ro

o

sor

o

st

Iz prethodnog izraza se vidi da e greka zbog djelovanja smetnje biti eliminisana ako

)(lim0

sGrs

tj. ako kontroler ima bar jedan pol u nuli, odnosno integrator.

Slika 63. Eliminacija step smetnje.

112

Prema tome, da bi sistem pratio referentni step ulaz potrebno je da postoji bar jedan integrator

ili u kontroleru ili u objektu upravljanja. Da bi se uz to izvrila i eliminacija step smetnje potrebno je da kontroler sadri integrator. Dakle, kontroler sa integratorom omoguava eliminaciju greke stacionarnog stanja i eliminaciju djelovanja step smetnje. Na slici 63. je dat uporedan prikaz odziva sistema (sa integratorom u kontroleru) bez

djelovanja step smetnje, vremenski izgled smetnje i odziva sistema sa djelovanjem smetnje.

Vidi se da sistem potpuno potiskuje smetnju.

Analogno sa prethodnim izlaganjem moe se zakljuiti da e sistem potisnuti smetnju u vidu rampa vremenske funkcije ako kontroler sadri dvostruki pol u nuli, odnosno dvostruki integrator.

Stabilnost dinamikih sistema

Za sistem se kae da je stabilan ako za svaki ogranien ulaz sistem reaguje oranienim izlazom. Ovo je tzv. BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilnost. To se matemaiki moe zapisati u obliku:

NtyMtr )()(

Ako sistem daje neogranien izlaz, tada u samom sistemu postoje izvori energije (npr. nuklearna reakcija).

Prenosna funkcija sistema, kao to je poznato, se moe zapisati u obliku:

)(

)()(

sP

sQsG

Ako se sitem pobudi Dirac-ovim impulsom tada vrijedi:

)()( ttu L )()()()()(1)( sGsYsUsGsYtg Prema tome moe se pisati:

)(

)()(

sP

sQsY

vremenski odziv se dobija nalaenjem inverzne Laplace-ove transformacije:

)(ty L-1 })(

)({

sP

sQ

i mogui su slijedei sluajevi:

1. 0)(lim

tyt

. Za ovakav sistem se kae da je asimptotski stabilan

2.

Mtyt

)(lim . Ovakav sistem konzervira ubaenu energiju. Kao primjer moe

posluiti oscilatorno LC kolo bez gubitaka (bez R), tada postoji oscilovanje energije konstantnim amplitudama.

3.

)(lim tyt

. Za ovakav sistem se kae da je nestabilan. U sistemu se proizvodi

energija i sistem se ne vraa u stacionarno stanje. Fizikalno, amplituda odziva ne moe rasti proizvoljno, ve ide u zasienje.

Stabilnost sistema direktno zavisi od lokacije polova u kompleksnoj ravni. Prenosna funkcija

sistema se moe napisati u slijedeem obliku:

)(*)()()(

)(

)(

)()(

2

2

2

21 i

q pspspsps

sQ

sP

sQsG

gdje je:

113

- 11 p realni pol sistema viestrukosti q

- jp 22 kompleksni pol viestrukosti 2

- jp 22 konjugovano kompleksni pol viestrukosti 2

- iip realni pol sistema viestrukosti 1

Pod pretpostavkom da je sistem pobuen Dirac-ovim impulsom vrijedi:

)(ty L-1 )}({ sG L-1 )}({ sY

)(ty L-1 }*)()(*)()()(

{2

2

24

2

2

23

2

22

2

21

1 1

1

i i

iq

ii

i

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

Odnosno, u vremenskom domenu:

i

tp

i

t

q

q

i

t

q

tpi

iieKtteCteCetCty )sin()sin()( 22

1

11

1 221

Prema tome da bi sistem bio stabilan odnosno 0)(lim

tyt

, mora biti ispunjen slijedei uslov:

izapR ie ,0 to znai da je oblast stabilnosti lijeva poluravan kompleksne ravni. Ako postoji jednostuki pol u nuli tada vrijedi:

Mtyt

)(lim

pa je sistem marginalno stabilan. Ako su polovi konjugovano kompleksni i nalaze se na

imaginarnoj osi tada su na izlazu sinusne oscilacije konstantne amplitude.

Sistem je nestabilan ako:

1. postoji barem jedan pol za koji vrijedi: 0}Re{ ip

2. na imaginarnoj osi postoje viestruki polovi.

Algebarski kriterijumi stabilnosti

Za davanje odgovora na pitanje da li je sistem stabilan ili ne, nije neophodno nai polove sistema. Dovoljno je odrediti da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni. Algebarski

kriterijumi stabilnosti daju odgovor na pitanje da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni,

ali ne i na pitanje koje su vrijednosti polova.

Karakteristina jednaina sistema se moe predstaviti u obliku:

0... 01

1

asasn

n

n

Rjeavanjem prethodne jednaine dobiju se polovi nppp ,, 21 . Ako su svi polovi negativni

tada se karakteristini polinom sistema moe napisati u obliku:

0

1

111 ...)()()()( asassspspsn

n

n

nn

gdje je ii p . Tada svi koeficijenti karakteristinog polinoma: 110 ,, naaa moraju biti

pozitivni. Obrnuto ne vai. Teorema:

Ako je bilo koji od koeficijenata karakteristinog polinoma nula ili manji od nule, onda dati sistem ne moe biti asimptotski stabilan.

Prethodna teorema daje dovoljne uslove za nestabilnost sistema i u isto vrijeme daje potrebne

uslove za stabilnost sistema.

Ako vrijedi 0 ia , tada je potrebno dalje ispitivanje.

114

U upotrebi su najee dva kriterijuma stabilnosti: - Routh-ov - Hourwitz-ov

Routh-ov kriterij

Za karakteristinu jednainu sistema: 0... 01

1

asasn

n

n, Routh-ov kriterij se

svodi na formiranje slijedee tabele: ns na 2na 4na ...

1ns 1na 3na 5na ...

2ns 1A 2A 3A ...

3ns 1B 2B 3B ...

4ns 1C 2C 3C ...

... 0s 1H

Koeficijenti iii CBA ,, - se raunaju na slijedei nain:

1

321

1

n

nnnn

a

aaaaA

1

541

2

n

nnnn

a

aaaaA

1

2131

1A

AaaAB nn

1

3151

2A

AaaAB nn

1

21211

B

BAABC

1

3131

2B

BAABC

Da bi karakteristina funkcija imala sve polove u lijevoj s-poluravni (asimptotski stabilan sistem) potrebno je i dovoljno da su svi koeficijenti u prvoj koloni koeficijenata Routhove

tablice pozitivni.

Primjer:

Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedeom prenosnom funkcijom:

412136

1)(

234

sssssG

Odgovarajua Routh-ova tablica je:

Prema tome, sistem je asimptotski stabilan.

Primjer:

Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedeom prenosnom funkcijom:

1223

12)(

23456

ssssss

ssG

4s 1 13 4 3s 6 12 0 2s 11 4 1s 9.8 0 0s 4

115

Odgovarajua Routh-ova tablica je:

Prema tome, moe se zakljuiti da je sistem nestabilan.

Teorema:

Broj promjena znaka u prvoj koloni koeficijenata Routh-ove tablice odreuje broj nestabilnih polova.

Prednost kriterija stabilnosti je, u optem sluaju, mogunost analize stabilnosti sistema u funkciji nepoznatog parametra.

Primjer:

Odrediti parametar K tako da sistem dat prenosnom funkcijom:

32

1)(

234

sKsss

ssG

bude asimptotski stabilan.

Za dati sistem se formira slijedea Routh-ova tablica:

Da bi sistem bio stabilan potrebno je da budu ispunjeni slijedei uslovi:

02

12

K i 0

12

132

K

K

Odavde slijedi 5.6K . Prema tome sistem je stabilan za vrijednosti parametra 5.6K .

Prilikom primjene Roth-ovog kriterija je mogua pojava nultih elemenata u prvoj koloni koeficijenata. Pored ovoga, mogue je da se pojavi i kompletan nulti red. U oba sluaja sistem nije asimptotski stabilan, ali je interesantno razmatrati ove sluajeve u cilju otkrivanja da li je sistem moda marginalno stabilan ili nestabilan. U sluaju da se pojavi nulti element u prvoj koloni koeficijenata, tada se umjesto nula

zamijeni sa nekim malim pozitivnim brojem i procedura se dalje nastavi. Na kraju se

potrai 0

lim

i izvri klasina naliza prve kolone koeficijenata.

Primjer

6s 1 3 1 1 5s 1 2 2 0 4s 1 -1 1 3s 3 1 0 2s -1.33 1 1s 3.25 0 0s 1

4s 1 K 4 3s 2 1 0

2s 2

12 K 3

1s 12

132

K

K 0

0s 3

116

Ispitati stabilnost sistema datog slijedeom prenosnom funkcijom:

65432

16)(

2345

sssss

ssG

Za dati sistem formira se Routh-ova tabela:

U treem redu Routh-ove kolone se pojavila nula koja se zamjenjuje sa (gdje je 0 ).

Routh-ova tablica kada se pusti 0

lim

dobija slijedei oblik:

Prema tome, uoavaju se dvije promjene predznaka pa se moe zakljuiti da je sistem nestabilan i da ima dva nestabilna pola (u desnoj s poluravni).

U sluaju kada se pojavi kompletan nulti red sistem nije asimptotski stabilan, ostaje da se ispita da li je evantualno marginalno stabilan. Procedura je slijedea:

1. Kada se pojavi nulti red formira se pomoni parni (neparni) polinom )(sd od

koeficijenata reda iznad nultog reda.

2. Nae se ))(( sdds

d, a zatim koriste koeficijenti ovog polinoma umjesto dobijenih

nultih koeficijenata.

3. Nastavi se standardno formiranje tabele

)()()( sdsPsP

Primjer:

Ispitati stabilnost slijedeeg sistema:

122

1)(

2345

ssssssG

Prva tri reda Routh-ova tablica:

5s 1 3 5 0 4s 2 4 6 0 3s 1 2 0 2s 6

1s

62 0

0s 1

5s 1 3 5 0 4s 2 4 6 3s 1 2 0

2s 0 6

1s 0 0s 1

5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 0 0 0

117

U ovom sluaju u treem redu se pojavljuje nulti red, pa se formira pomoni polinom

12)( 24 sssd

Dalje je:

sssdds

d44))(( 3

sada Routh-ova tablica poprima slijedei oblik:

Sada se ponovo pojavljuje nulti red, sada u petom redu tablice. Ponovo se formira pomoni polinom:

1)( 21 ssd

diferenciranjem se dobija:

ssd 2)(1

Konano tablica ima slijedei izgled:

S obzirom da je:

jsssd 2/12

1 01)(

jsjssdsd 4/32/12

1 ,0))(()(

sistem je nestabilan jer na imaginarnoj osi postoje polovi j viestrukosti 2.

Hurwitz-ov kriterijum

Za datu karakteristinu jednainu formira se matrica oblika:

02

1

2

31

42

531

0000

0

00

00

0

0

aa

a

aa

aa

aaa

aaa

nn

nn

nnn

nnn

h

5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 4 4 0 2s 1 1

s 0 0

5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 4 4 0 2s 1 1 1s 2 0 0s 1

118

Potreban i dovoljan uslov da je sistem sa karakteristinom jednainom:

0... 01

1

asasn

n

n

asimptotski stabilan (ima sve polove u lijevoj s poluravni) je da su svi dijagonalni minori

matrice i koeficijent na pozitivni.

To se moe zapisati na slijedei nain:

0na

011 na

02

31

2

nn

nn

aa

aa

,0

0 31

42

531

3

nn

nnn

nnn

aa

aaa

aaa

Posljednji dijagonalni minor n je sama Hurwitz-ova determinanta. Poto su svi elementi

osim posljednjeg, zadnje kolone jednaki nuli, zuadnji minor se moe predstaviti u slijedeem obliku:

10 nn a

Prema tome, ako su svi prethodni minori pozitivni, onda se uslov da posljednji minor bude

takoe vei od nule svodi na to da slobodni lan karakteristine jednaine 0a bude pozitivan.

Sistem e biti granino stabilan akao je posljednji dijagonalni minor jednak nuli, a svi

prethodni vei od nule. Posljednji dijagonalni minor n e biti nula ako je 00 a , 01 n i

010 na . Ako je 00 a , tada sistem ima pol u koordinatnom poetku, a ako je 01 n

sistem ima par konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi.

Primjer:

Ispitati stabilnost sistema:

1

1)(

23

ssssG

Na osnovu karakteristine jednaine ovog sistema: 0123 sss , formira se Hurwitz-ova matrica:

110

011

011

vrijedi:

013 aan , 011 , 02 i 03

Sistem je nestabilan jer je minor 01 .

119

Geometrijsko mjesto korijena GMK (Root Locus)

Na slici je dat tipian primjer sistema upravljanja u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Slika 64.

Neka je prenosna funkcija kontrolera: KGr , dakle samo pojaanje. Prenosna funkcija

cjelokupnog sistema je:

)(

)(1

)(

)(

)(1

)(

)(

)(

sP

sQK

sP

sQK

sKG

sKG

sR

sY

o

o

Karakteristina jednaina sistema je:

0)(

)(1

sP

sQK

pri emu se pojaanje K mijenja u granicama K0 . Pomou metode GMK analizira se poloaj polova u kompleksnoj ravni sistema sa zatvorenom spregom kada se statiko pojaanje K mijenja u granicama od 0 do . Prema tome, GMK daje geometrijsko mjesto korijena u zatvorenoj sprezi u funkciji statikog pojaanja K direktne grane.

Geometrijsko mjesto korijena (GMK) se moe definisati na vie naina. Dvije mogue definicije su:

1. GMK sainjavaju krive u s-ravni po kojima se kreu polovi funkcije zatvorenog sistema tj. korijeni karakteristine jednaine kada se faktor pojaanja K kree u

granicama K0 .

2. GMK se satoji od taaka u s-ravni za koje vrijedi: 1)(

)(

sP

sQK i

)12(})(

)(arg{ k

sP

sQ gdje je ,2,1,0 k

Druga definicija GMK je direktna posljedica karakteristine jednaine sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom.

Na slici 66. prikazano je geometrijsko mjesto korijena za sluaj sistema datog na slici 65:

)2()(

)()(

ss

K

sP

sQKsGo

Slika 65.

120

Slika 66. GMK sistema sa slike 65.

U optem sluaju moe se pisati:

)()()( 1 mzszssQ

)()()( 1 npspssP

sa ip su oznaeni polovi sistema, a sa iz nule sistema i vrijedi mn .

Konstrukcija GMK

Konstrukcija GMK se zasniva na slijedeim pravilima: 1. GMK poinje za K=0 iz polova sistaema sa otvorenom povratnom spregom. Polovi

sistema se dobijaju rjeavanjem jednaine 0)( sP .

Za sistem )3)(2)(1(

)(

sss

KsG poloaj polova je prikazan na slici 67.

Slika 67. poloaj polova u kompleksnoj ravni

2. GMK zavrava za K u m konanih nula sistema sa otvorenom povratnom

spregom, dok ostalih mn grana ide u beskonanost. 3. GMK se sastoji od ukupno m grana.

121

4. GMK je simetrian u odnosu na realnu osu. Iz same definicije GMK slijedi:

1 1

( ) ( ) (2 1)m n

i i

i i

s z s p k

5. Taka na realnoj osi pripada GMK ako je ukupan broj nula i polova sistema sa otvorenom povratnom spregom udesno od te take neparan.

6. Uglovi asimptota koje odgovaraju mn grana koje zavravaju u beskonanosti su dati sa:

mnkl

)12(

a taka presjeka asimptota je data sa:

mn

zpi

i

i

i

a

7. Take odvajanja grana od realne ose date su rjeavanjem jednaine po 0 :

011

1 01 0

m

i i

n

i i zp

8. Kritino pojaanje K za koje neke od grana GMK presjecaju imaginarnu osu se odreuje na osnovu Routh-ovog kriterija primijenjenog na jednainu:

0)()( sKQsP

Na osnovu prethodnih pravila mogue je nacrtat GMK. Primjer izgleda GMK za sistem zadat

prenosnom funkcijom )(sG je predstavljen na slici 68.

Slika 68. GMK

122

Sinteza kontrolera u kompleksnom domenu

Za sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom na slici 69. problem sinteze

se svodi na slijedee korake: 1. Izbor strukture regulatora (broj nula i broj polova) 2. Odreivanje parametara (pojaanje, nule i polovi)

Slika 69. opta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom

U optem sluaju prenosna funkcija kontrolera se moe predstaviti u obliku:

n

i

i

m

i

i

r

ps

zsK

sG

1

1

)(

)(

)(

Analiza uticaja dodavanja nula i polova kontrolera na karakteristike sistema bie sprovedena na jednostavnom primjeru sistema:

)2(

1)(

sssGo

Najjednostavniji regulator predstavlja samo statiko pojaanje tj. KsGr )( . GMK ovakvog

sistema je prikazan na slici 70.

Slika 70. GMK sistema sa kontrolerom KsGr )(

Promjena pojaanja K uzrokuje kratanje polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom (na slici prikazani kvadratiima) po granama GMK. Promjenom pojaanja oblik GMK se ne mijenja.

123

U sluaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika:

)()(

as

KsGr

tj. pored statikog pojaanja uvodi se pol )0(, aas . GMK ovakvog sistema za sluaj

4a ima slijedei oblik:

Slika 71. GMK sistema sa kontrolerom 4

)(

s

KsGr

Analizirajui sliku 71. moe se zakljuiti da dodavanje pola zakree grane GMK udesno. Sistem postaje "manje stabilan". Promjena pojaanja K uzrokuje pomicanje polova sistema po granama GMK i sada postoji odreeno kritino pojaanje za koje sistem postaje nestabilan. U sluaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika:

)()( bsKsGr

GMK ovakvog sistema za sluaj 4b je prikazn na slici 72.

Slika 72. GMK sistema sa kontrolerom )4()( sKsGr

U sluaju dodavanja nule, grane GMK se zakreu ulijevo. Sistem postaje "stabilniji" i bri.

Interesantno je primijetiti da sistem dat prenosnom funkcijom )()( bsKsGr predstavlja

idealni diferencijator, to praktino nije mogue ostvariti jer je takav sistem nekauzalan. Ovakav sistem diferencira greku i moe imati nepovoljan efekat naroito u sluaju prisustva

124

uma mjerenja koji je inherentno visokofrekventni, pa moi doi do znatnog izoblienja

signala. Na primjer neka se neki signal )(ty moe prikazati u obliku:

)()()( tstyty t

gdje )(ts predstavlja um mjerenja i neka se )(ts moe aproksimirati izrazom tats sin)( .

Diferenciranjem signala )(ty dobija se:

tadt

tdy

dt

tdy t cos)()(

dakle, dolo je do znaajnog pojaavanja uma za faktor . Opta struktura kontrolera je data prenosnom funkcijom:

n

i

i

m

i

i

r

ps

zsK

sG

1

1

)(

)(

)(

Teorijski gledano nule kontrolera se mogu izabrati tako da skrate neeljene polove sistema, a polovi regulatora se onda mogu izabrati tako da se u potpunosti zadovolje postavljene

specifikacije. Meutim ovakav pristup ima dva vana nedostatka: 1. Kontroler je veoma kompleksan i skup 2. Prenosna funkcija objekta nikada nije 100% poznata pa nije mogue izvriti idealno

kraenje neeljenih polova objekta i nula kontrolera.

Cilj je imati to bolje performanse uz to je mogue jednostavniju strukturu kontrolera.

Dinamiki regulatori (P,PI,PD,PID)

Osnovni elementi dinamikih regulatora su proporcionalni, derivativni i integralni lan. Proporcionalni element vri pojaanje ulaznog signala tj. izlazni signal je proporcionalan ulaznom signalu. Proporcionalni lan regulatora se opisuje jednainom:

)()( tKuty

proporcionalni lan je prikazan na slici 73.

Slika 73. Proporcionalni element

Integralni lan vri integraciju ulaznog signala i opisuje se slijedeim izrazom:

t

dttuty )()(

Slika 74. integralni element

Prenosna funkcija integralnog elementa je daata izrazom: ssU

sY 1

)(

)(

Integralni lan se fiziki realizira pomou operaciong pojaala.

125

Slika 75. fizika realizacija integratora.

Integrator prikazan na slici 75 se moe opisati izrazom:

t

dttuRC

tu )(1

)( 12

Derivativni lan vri diferenciranje ulaznog signala i opisuje se slijedeim izrazom:

dt

tduty

)()(

Slika 76. derivativni element

Prenosna funkcija derivativnog elementa je: ssU

sY

)(

)(. S obzirom da je isti diferencijator

nekauzalan sistem, realni diferencijator se opisuje slijedeom prenosnom funkcijom:

1)(

)(

s

s

sU

sY

Derivativni element se fiziki realizira pomou operacionog pojaala.

Slika 77. fizika realizacija diferencijatora

U praksi su najee u upotrebi dinamiki regulatori sastavljeni od proporcionalnog, integralnog i derivativnog lana tzv. PID regulatori.

126

Ako se sa )(te obiljei ulazni signal, a sa )(tu izlazni signal, PID regulator se opisuje

slijedeim izrazom:

t

idp dtteKdt

tdeKteKtu )(

)()()(

a prenosna funkcija regulatora je:

s

KsKK

sE

sUG idpPID

)(

)(

Prema tome, projektovanje PID regulatora predstavlja odreivanje konstanti idp KKK ,, tako

da performanse sistema to bolje ispunjavaju postavljene specifikacije. PID regulator je jednostavan regulator koji se moe koristiti da popravi tranzijentna ponaanja sistema i karakteristike usteljenog stanja sistema. Opta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PID regulatorom je data na slijedeoj slici.

Slika 78. Sistem upravljanja sa PID regulatorom

Ponekad i jednostavni P regulator moe rijeiti upravljaki problem. U otem sluaju pri sintezi bilo kakvog regulatora treba krenuti od P regulatora.

U optem sluaju specifikacije se postavljaju na tranzijentni i ustaljeni dio odziva. Spefikacije na tranzijentni dio odziva se obino daju u obliku eljenog maksimalnog preskoka i eljenog vremena smirenja. S druge strane, specifikacije na ustaljeni dio odziva obino se odnose na greku u ustaljenom stanju (najee se zahtjeva njena potpuna eliminacija). S obzirom da se maksimalni preskok rauna po izrazu:

100}1

exp{2

MPOS

to se za zadani preskok (OverShoot) moe izraunati koeficijent priguenja po izrazu:

100(ln

)100

(ln

22

2

MPOS

MPOS

Prirodna uestanost n se moe izraunati na osnovu zadatog vremena smirenja i izraunatog

koeficijenat priguenja po formuli:

s

nT

3

127

Na osnovu izraunatih parametara i n par konjugovano-kompleksnih polova koji

uzrokuju eljeno ponaanje je odreen izrazom: 22/1 1 nn js .

Primjer:

Za sistem dat prenosnom funkcijom )1(

1)(

sssG dizajnirati kontroler tako da performanse

sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedee:

- Tranzijenti dio odziva: %20MPOS i sTs 6

- Ustaljeni dio odziva: 0)()(lim

tete sst

za step ulaz

Na osnovu zadatog maksimalnog preskoka i vremena sirenja izraunaju se koeficijent priguenja i prirodna uestanost:

45.0

100(ln

)100

(ln

22

2

MPOS

MPOS

s

rad

Tsn 11.1

3

odavde slijedi:

99.05.01 22/1 jjs nn

Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je dato na slici 79.

Slika 79.

Kao to se vidi sa slike grane GMK proaze kroz eljene polove, pa je samo potrebno nai

pojaanje za koje je su polovi sistema 99.05.02/1 js . Pojaanje sistema se rauna na

slijedei nain:

25.1||

||

i

i

ps

zsK

128

S obzirom da objekat upravljanja sadri integrator to se, na osnovu prethodnih izlaganja, moe zakljuiti da e greka u stacionarnom stanju biti nula. Prema tome jednostavan P regulator je dovoljan da rijei zadati upravljaki problem.

Primjer:

Za sistem dat prenosnom funkcijom )2)(1(

1)(

sssG dizajnirati kontroler tako da budu

performanse sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedee:

- Tranzijentni dio: %20MPOS

- Ustaljeni dio: 0)( tess za step ulaz

Odmah se moe vidjeti da prenosna funkcija procesa ne sadri integrator, pa uslov nulte stacionarne greke ne moe biti ispunjen koritenjem P regulatora. Minimalno je potrebno

upotrijebiti PI regulator (integralni dio za eliminaciju greke )(tess ). Prema tome, zadati

upravljaki problem nije mogue rijeiti upotrebom P regulatora.

Algoritam dizajna P regulatora

Algoritam dizajna P regulatora se sastoji u slijedeem: 1. Prevesti vrijednosti specifikacija u lokaciju dominantnih polova sistema 2. Konstrukcijom GMK utvrditi da li grane GMK prolaze dovoljno blizu eljene lokacije

dominantnih polova. Ako je to sluaj, onda se potrebno pojaanje K odreuje po formuli:

n

i

i

m

i

i

ps

zs

K

1

1

||

||

3. Provjeriti da li su zadovoljene specifikacije ustaljenog stanja 4. Ukoliko bilo koji od 1-3 nije zadovoljen, P regulatorom nije mogue rijeiti zadani

upravljaki problem

Dizajn PI regulatora

PI regulator je dat prenosnom funkcijom: s

KKsGsG ipPIr )()(

PI regulator se moe zapisati i u neto drugaijoj formi:

s

zsK

s

KsK

s

KKG cp

ipipPI

gdje je: p

ic

K

Kz

PI regulator se koristi da popravi tranzijenta stanja sistema (koliko je to mogue) i da eliminie greku ustaljenog stanja pri konstantnim referentnim vrijednostima i konstantnim

smetnjama. Na osnovu same prenosne funkcije PI regulatora vidi se da ukoliko je cz

dovoljno blizu nule, onda se efekat lana szs c /)( moe skoro zanemariti jer se taj lan

ponaa kao dipol i ne dolazi do znatnog pomjeranja grana GMK.

129

Algoritam dizajna PI kontrolera

Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedeih koraka: 1. Iz tranzijentnih specifikacija sistema odrediti da li je mogue postii te specifikacije sa

P regulatorom i sraunati odgovarajue pK . Jasno je da e ustaljeni reim zahtjevati

pol u nuli u regulatoru.

2. Izabrati nulu regulatora cz dovoljno malu odnosno dovoljno blizu polu u nuli (npr.

)1.001.0 cz . Na osnovu vrijednosti cz izraunati konstantu iK po formuli:

pci KzK

3. Provjeriti ponaanje sistema analizom GMK i simulacijom

Primjer:

Izvriti sintezu regulatora sistema datog prenosnom funkcijom )22)(10(

6)(

2

sss

ssG

tako da su zadovoljene slijedee specifikacije:

- %20MPOS

- 0)( tess pri .)( consttr i .)( consttd

Za zadati maksimalni preskok dobije se koeficijent priguenja: 45.0

S obzirom da je cos , gdje je ugao koji prava povuena iz koordinatnog poetka u

kompleksnoj ravni zatvara sa negativnim dijelom realne ose. Izraz cos je koriten ranije

kod nalaenja vremenskog odziva sustema II reda, sada ugao dobija jasno geometrijsko znaenje. GMK ovog sistema je dat na slici 80.

Slika 80. GMK sistema

Lokacija eljenog pola se nalazi u presjeku pravaca koji predstavljaju ogranienje za

koeficijent priguenja 45.0 i grana GMK. eljeni polovi se mogu dobiti geometrijskim

putem ili nekim pogodnim numerikim potupkom. Pokazuje se da su za pojaanje 10K polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom dovoljno blizu eljenim. Time je zadovoljen uslova da preskok nije preko dozvoljenog. S druge strane postoji zahtjev za

130

eliminacijom greke ustaljenog stanja. To implicira da kontroler mora sadravati integrator,

pa se kao prirodno rjeenje namee upotreba PI kontrolera. Za nulu se bira 1.0 cz tako

da sa polom u ishoditu obrazuje dipol, kako ne bi dolo do znaajnijeg pomjeranja grana GMK. Prema tome za prenosnu funkciju kontrolera se konano dobija:

ss

ssGsG PIr

110

)1.0(10)()(

Simulacijom u MATLAB-u za odziv sistema se dobija:

Slika 81. Odziv sistema )(sG na step ulaz

Dizajn PD regulatora

PD regulator je dat prenosnom funkcijom: sKKsGsG dpPDr )()(

Prenosna funkcija PD regulatora se moe zapisati i u slijedeem obliku:

)()()( cddpPDr zsKsKKsGsG

gdje je d

p

cK

Kz .

Kao to se moe vidjeti iz prenosne funkcije PD regulator dodaje nulu u sistem upravljanja to za posljedicu ima zakretanje grana GMK ulijevo. U optem sluaju PD se koristi za popravak tranzijentnog odziva sistema, i minimizaciju uticaja vanjskih smetnji. Jedan od

efekata PD regulatora je priguivanje oscilacija odziva sistema. Upotrebljava se u sluajevima kada je potrebno da se zadri brzina odziva, a smanji amplituda oscilacija. Karakteristina jednaina sistema sa zatvorenom povratnom spregom kada se koristi PD regulator je data slijedeim izrazom:

0)()(1 sGzsK c

Odavde slijedi

)}()arg{( sGzs c

ili u drugaijem obliku:

131

1 1

( ) ( ) ( )m n

c i i

i i

s z s z s p

Posljednji izraz, zapravo, predstavlja uslov da taka cs z pripada GMK. Taj uslov se moe

iskoristiti za odreivanje vrijednosti cz .

Slika 82. odreivanje ugla c

Odreivanje vrijednosti cz je mogue preko odreivanja ugla c koji se odreuje iz uslova

da eljena taka pripada GMK. Prema tome, vrijedi:

1 1

( ) ( ) ( )m n

c c i i

i i

s z s z s p

Na osnovu poznatog ugla c izraunatog pod uslovom da eljeni pol 21d n ns j

pripada GMK slijedi:

2( 1 )nc cc

z tgtg

Dalje se pojaanje K rauna kao:

1

1

| |

| | | |

m

d i

id n

d c d i

i

s p

K

s z s z

Algoritam dizajna PD kontrolera

Algoritam dizajna PD regulatora (kontrolera) se sastoji od slijedeih koraka:

1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova ds

2. Pokuati rijeiti problem sa P regulatorom

3. Ako se problem ne moe rijeiti sa P regulatorom onda odrediti nulu cz koritenjem

izvedene formule

4. Odrediti pojaanje dK preko izvedene formule

5. Provjeriti analizom GMK i simulacijom da li sistem postie eljene performanse.

132

Primjer:

Za sistem dat prenosnom funkcijom otvorene grane 10

( )( 1)( 2)( 12)

sG s

s s s

izvriti

sintezu kontrolera tako da su postignute slijedee performanse:

- 20%MPOS i vrijeme smirenja 1.5sT s

Za zadate specifikacije izraunaju se koeficijent priguenja i n i na osnovu njih par

dominantnih polova: 0.45 , 4.348 2 3.86n drad

s js

Slika 83. GMK sistema ( )G s

Na slici su pored GMK ucrtana i ogrannienja vezana za koeficijent priguenja 0.45

(prave) i prirodna uestanost 4.348n (elipsa). Kao to se vidi grane GMK ne prolaze blizu

eljenih polova, pa se problem ne moe rijeiti P regulatorom. Grane GMK je potrebno zakrenuti ulijevo, a to se postie dodavanjem nule, odnosno PD regulatorom.

Na osnovu prethodno izvedenih formula za c , cz i dK dobija se: 24.18cz i 0.825dK

Prema tome prenosna funkcija kontrolera je: ( ) ( ) 0.825( 24.18)r PDG s G s s .

Slika 84. odziv sistema ( )G s sa regulatorom ( )PDG s

133

Kao to se vidi sa like 84. postoji greka u ustaljenom stanju, ali to se moglo i oekivati s obzirom da ni proces ni kontroler ne sadre integrator, no to specifikacijama nije ni traeno. Da bi se izvrila eliminacija greke ustaljenog stanja potrebno je koristiti i integralni dio tj. PID regulator.

Dizajn PID regulatora

PID kontroler je najuniverzalnija kombinacija i koristi se kako za poboljanje tranzijentnog odziva tako i za eliminaciju greaka ustaljenog stanja. PID kontroler je dat slijedeom prenosnom funkcijom:

( ) ( ) ir PID p dK

G s G s K K ss

Prenosna funkcija se moe zapisati i u slijedeoj formi:

2

1 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

pd iPID d c c PD PI

d d

KK KG s s s K s z s z G s G s

s K K s

Algoritam dizajna PID regulatora

Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji od slijedeih koraka:

1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova ds i

analizirati zahtjeve na ustaljenim stanjem

2. Izvriti sintezu PD regulatora tj. odrediti dK i 1cz prema prethodno razvijenom

algoritmu sinteze PD regulatora

3. Izabrati nulu kontrolera 2cz dovoljno blizu nuli ( 20.01 0.1cz )

4. Analizom GMK i simulacijom provjeriti da sistem zadovoljava eljene performanse

Primjer:

Za sistem dat prenosnom funkcijom direktne grane: 10

( )( 1)( 2)( 12)

sG s

s s s

izvriti

sintezu regulatora tako da budu zadovoljene slijedee performanse:

- 20%MPOS , 1.5sT s

- ( ) 0sse t pri ( ) .r t const i ( ) .d t const

S obzirom da se u ovom sluaju zahtjeva potpuna eliminacija greke u ustaljenom stanju jasno je da e kontroler sadravati integrator. Da bi se omoguilo da grane GMK prou dovoljno blizu eljenim polovima potrebno je izvriti sintezu PD kontrolera (prethodni primjer). U prethodnom primjeru su izraunate konstante PD regulatora:

1 24.18cz

0.825dK

Da bi se izvrila eliminacija greke mora se dodati integrator tj. pol u koordinatnom poetku.

Parametar 2cz se bira da bude vrlo blisko nuli kako bi sa polom u ishoditu obrazovao dipol

sa ciljem da ne doe do znaajnog pomjeranja grana GMK. Prema tome, prenosna funkcija PID regulatora dobija oblik:

0.825( 24.18)( 0.1)( )PID

s sG s

s

134

Odziv sistema sa dizajniranim regulatorom je predstavljena na slici 85.

Slika 85. Odziv sistema sa PID regulatorom

U slijedeoj tabeli je prikazan kako promjene pojedinih parametara PID r