AUTÓMATAS CELULARES

AUTÓMATAS CELULARES

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SONIA FUENTE DE LA FUENTELEIRE GONZÁLEZ HOCASAR


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INDICE

Página

Introducción................................................................................................ 2

Historia ....................................................................................................... 2

Definición................................................................................................... 3

Características ............................................................................................ 3

Reglas.......................................................................................... 4

Vecindad ..................................................................................... 5

Clasificación............................................................................................... 5

Modelización .............................................................................................. 6

Ejemplos y Aplicaciones ............................................................................ 7

Triángulo de Pascal..................................................................... 8

Juego de la vida......................................................................... 10

Células ...................................................................................... 11

Hormigas y plantas ................................................................... 11

Sistema Predador-Presa ............................................................ 12

Bibliografía............................................................................................... 13


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INTRODUCCIÓN

Dentro de la Vida Artificial, los Autómatas Celulares son el más claro ejemplo dela búsqueda de la inteligencia. Simulan la evolución temporal de las diferentes especiescon unas pocas reglas de gran simplicidad, a pesar de lo complejo que pueda ser elsistema, pudiendo observar las funciones básicas de la vida tales como son lareproducción, la alimentación y la muerte. A veces tan sólo es necesario identificar sucomportamiento global y con ello deducimos un conjunto de reglas de evolución.

Los Autómatas Celulares son útiles en la construcción de modelos donde loselementos del sistema son de similar naturaleza y comportamiento y con ello poder asísolucionar problemas o tener una comprensión más detallada de la dinámica delsistema.

Más adelante nos adentraremos con mayor profundidad en cómo es un AutómataCelular.

A continuación veremos algo de historia de cuando y quienes fueron los quedesarrollaron la idea del primer Autómata Celular.

HISTORIA

Los Autómatas Celulares fueron introducidos a finales de los años 40 por John vonNewmann siguiendo la sugerencia planteada en la Red Infinita de Stanislav Ulam con elobjetivo de crear un modelo real del comportamiento de sistemas extensos y complejos.

Lo que hizo Ulam fue desarrollar a partir del fenómeno del crecimiento del cristal,un medio ambiente diferente: una red infinita, desplegada como un tablero de damas.Cada cuadrado de la red podría ser visto como una ‘célula’. Cada célula sería unamáquina separada de estados finitos que actuaría de acuerdo con un conjuntocompartido de reglas.

Newmann por tanto replanteó su Autómata Autorreproductor, siendo esteconocido como el primer Autómata Celular (AC). En un AC los objetos que pueden serinterpretados como datos y los que hacen la función de dispositivos de computación seencuentran al mismo nivel y sometidos a las mismas leyes, todo lo contrario a losmodelos convencionales de computación tales como la máquina de Turing que hacenuna distinción clara entre la estructura del ordenador y los datos sobre los que elordenador trabaja.

El interés de Newmann estaba dirigido principalmente a dar una explicación aciertos aspectos de la biología. Los mecanismos que propuso para la auto-replicación seasemejan bastante a los que utilizan los organismos vivos.

Tres décadas después con el “Juego de la vida” de John Conway los AutómatasCelulares alcanzaron gran popularidad. Se convirtió en un objeto de culto para unageneración de jóvenes científicos cuando se publicó en la sección de juegosmatemáticos de la revista Scientific American en octubre de 1970.

Más adelante, a principios de los 80's, en la Universidad Autónoma de Puebla,México, se han estado dedicando al estudio de los autómatas celulares generandomúltiples herramientas y programas de computadora para el estudio de los autómatas


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celulares, como los diagramas de Bruijn (gráfica dirigida que nos indica todos losposibles ancestros para una cadena de longitud n), los diagramas de subconjuntos y losdiagramas de parejas.

DEFINICIÓN

Los Autómatas Celulares son herramientas útiles para modelar cualquier sistemaen el universo. Son estructuras ideales para la representación directa y discreta decomportamientos complejos de algunos sistemas físicos, como interacciones entrepartículas, formación de galaxias…, así como diversos sistemas biológicos a nivelcelular, multicelular y poblacional, sistemas químicos e inclusive mecánicos. Elmodelamiento está basado en métodos y expresiones matemáticas, las cualesrepresentan teóricamente el comportamiento de dichos sistemas.

Podríamos decir que los Autómatas Celulares son redes de autómatas simplesconectados localmente. Cada autómata simple produce una salida a partir de variasentradas, modificando en el proceso su estado según una función de transición.

Es un sistema dinámico donde el espacio y el tiempo son discretos. Describe laevolución de un sistema espacialmente explícito. En cada instante de tiempo cada celdaanaliza el estado de un conjunto de celdas vecinas llamadas vecindario, su propio estadoy en función de un conjunto de reglas de evolución de estado, se determina el cambio ono de estado de cada celda que constituye el espacio.

CARACTERÍSTICAS

Todo Autómata Celular tiene las siguientes características:

- El espacio está formado por un conjunto finito de subespacios homogéneos,llamadas celdas distribuidas en una rejilla regular n-dimensional. Si el autómataes unidimensional las celdas se distribuyen a lo largo de una línea, si esbidimensional a través de una rejilla plana que puede ser triangular, cuadrada,hexagonal, etc.

- Cada celda puede estar en un único estado en determinado instante de tiempo.Este estado debe estar definido en un conjunto finito de estados asociados alespacio del autómata.

- Una configuración inicial que consiste en asignarle un estado inicial a cadacelda del autómata.

- El estado de las celdas cambia de un instante a otro de acuerdo a un conjuntode reglas de evolución comunes a todas las celdas. Define como debe decambiar de estado dependiendo del estado inmediatamente anterior de suvecindad. Con este conjunto de reglas podemos ver como partiendo de una


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situación inicial el mundo evoluciona y con sólo modificar levemente una de lasreglas podemos observar como la evolución cambia drásticamente.

- Estas reglas son esencialmente una máquina de estado finito, especificadas enuna tabla de reglas (también conocida como función de transición), con unaentrada para todas las posibles configuraciones del vecindario.

- El vecindario de una celda está formado por las celdas adyacentes y se defineigual para todas las celdas del autómata. Se define las reglas que indican si unacélula es contigua a otra, indicando sus posiciones relativas respecto de la celdamisma. Cuando el espacio es de tamaño finito siempre se considera condicionesde contorno periódicas, es decir, la celda en la posición 0 tiene como vecina a lacelda de la posición N y viceversa.

- Un reloj virtual de Cómputo conectado a cada celda del autómata quegenerará pulsos que indican cuando debe establecerse los cambios de estado delas células según las Reglas de Evolución, haciendo que todas las célulascambien de estado al mismo tiempo.

Podemos tener distintos casos entre una secuencia de estados: puede que tenga unúnico ancestro, que tenga más de un posible ancestro o que carezcan de ancestros.

- Organización: partiendo de un estado inicial el AC evoluciona reduciendo elnúmero de configuraciones finales. Hay una disminución del desorden.

- Irreversibilidad local: en un AC diferentes situaciones iniciales pueden darlugar a la misma situación final. De manera que conociendo sólo al hijo esimposible saber quien es el padre. No es posible volver atrás en el tiempo yreconstruir la historia completa.

- Jardines del Edén: Es el caso en que la secuencia de estados no tengaancestros. Situaciones que sólo se dan como configuración inicial y no puedenpresentarse como producto de la evolución del autómata, sino solamente alinicio de dicho proceso.

REGLAS

Tipos de reglas:

- Legales: son reglas simétricas, aquellas en que la vecindad nula da siempre unvalor nulo.

- Totalísticas: aquellas en que la regla de evolución sólo depende de la suma delos estados de los vecinos: Si (t) = �n

i x i (t). Una regla totalística depende sólo


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del valor de Si (t). En un espacio bidimensional de radio 1, los posibles valoresde S son 0, 1, 2, 3, así pues el código de la regla viene dada por:

R = 2 0� � .�0 + 2 1� � .�1 + 2 2� � .�2 + 2 3� � .�3- Elementales: son las reglas legales con radio 1 en un espacio bidimensional.

Por ser reglas legales serán también simétricas haciendo que la vecindad 110debe dar lo mismo que la 011 (.�6� � .�3) y que la 100 debe dar lo mismo que la001 (.�4� � .�1).

Las reglas definen el estado de las celdas en la próxima generación y cada reglacorresponde a alguna combinación de estados de la celda y de sus vecinas. Si tenemos tresreglas y consideramos dos vecinas (la de la izquierda y la de la derecha), tendremos 27 reglas(= 33).

VECINDAD

Matemáticamente la vecindad se denota como:V i (t) = {x i (t), x i+1 (t), x i-1 (t),…}

Representa el conjunto de celdas alrededor de la celda i y la misma celda.

En un espacio bidimensional el número de vecinos que representamos por Nv, será2r + 1 (siendo r el radio) y el número de posibles vecindades es k 2r+1.

Si estamos en un espacio de dimensión 1 o bidimensional y radio 1, tomamoscomo vecinos a la celda de la izquierda y al de la derecha. Por tanto tendríamos lasiguiente vecindad:

L – C – R

(L: vecino de la izquierda, R: vecino de la derecha y C: celda central.)

Pero si estamos en un espacio de dimensión 1 y de radio 2, tendríamos unavecindad como esta:

LL – L – C – R – RR

CLASIFICACIÓN DEL COMPORTAMIENTO

Existen cuatro grupos básicos en los que se clasifican los Autómatas Celularesque formuló S. Wolfram según su comportamiento espacio-temporal:

- Clase I: El estado final es homogéneo (todas las celdas en estado ‘0’ ó ‘1’si sólo puede tener dos estados).

- Clase II: El estado final está formado por un conjunto de estructurasestables o periódicas, como por ejemplo líneas verticales.


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- Clase III: La evolución conduce a un conjunto de patrones bien definidospero organizados en forma caótica (Estado final caótico).

- Clase IV: Aparecen estructuras localizadas y complejas que perduran a lolargo del tiempo. Estructuras organizadas.

En la siguiente figura podemos observar un a auto-organización de los autómatasgenerando patrones caóticos pero bien definidos, lo que lo convierte en un AutómataCelular de Clase III:

MODELIZACIÓN

Para modelar un sistema del mundo real por medio de un Autómata Celular loprimero es conocer al menos su comportamiento global.

Desarrollaremos el autómata por el Problema Inverso, si lo que se quiere esdeducir el conjunto de reglas que genere el comportamiento conocido previamente.

En cambio desarrollaremos el autómata por el Problema Directo, si lo quequeremos es primero experimentar y ajustar una Regla de Evolución pseudo-aleatoriahasta lograr un comportamiento similar al del sistema real.

También podríamos desarrollar el autómata por el Problema Intermedio. A partirde comportamientos locales del sistema real construir una regla de evolución local y laponemos a prueba para determinar si se logra un autómata que modele elcomportamiento del sistema global.


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EJEMPLOS Y APLICACIONES

Inspirados en los primero autómatas, en los últimos años han surgido multitud demodelos que intentan resolver un determinado problema o representar y simular algúnaspecto de nuestro universo real o imaginario, la gran mayoría sobre procesos de lavida.

Algunos ejemplos de Autómatas Celulares más conocidos son:

- “El Juego de la Vida” de Conway que simula la existencia de diferentesformas de vida sobre un espacio bidimensional.

- “Evolución” de Dewdney que simula como un conjunto de microbiossobreviven comiendo bacterias.

- “Mayoría Alineada” de Dewdney también, que muestra como es elcomportamiento de la tensión superficial entre líquidos no permeables.

- “Células” de Meter Donnelly.

- “Reacción Química de Belousov-Zhabotinski”. Modelo Celular deDewdney.

- “HPP-GAS” (modelo de dinámica de fluidos), de Hardy, Pazzis y Pomeau.

- “Triángulo de Pascal”

- “Hormigas y Plantas”

También existen una serie de aplicaciones donde los Autómatas Celulares hansido utilizados exitosamente en las siguientes áreas de investigación:

- Crecimiento urbano. La línea más importante es la desarrollada porCouclelis, Batty y Clarke (1996). Los trabajos de White y Engelen se concentran enprocesos de estructuración del espacio urbano y la búsqueda del desarrollo. Clarkeaplicó su modelo al estudio del área metropolitana de San Francisco, CA.

- Dinámica del mercado de bienes raíces. Los autómatas celulares hansido utilizados también por Cecchini y Sichirollo para investigar la dinámica delmercado inmobiliario en el área de la ciudad de Mestre, Italia.

- Ecología urbana. Spiekermann y Wegenerel (1995) utilizaron losautómatas celulares para modelar el patrón de difusión de contaminantes urbanos sobrela base de la localización de las fuentes de contaminación.

- Sistemas de transporte urbano. Esta herramienta ha sido exitosamenteaplicada en el modelado y simulación de redes de transporte urbanas. Esta línea de


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investigación la comienzan Nagel y Schreckenberg (1992) y Schadschnieder (1993). Seaplicó estos modelos al estudio del sistema de las autopistas alemanas.

Un tipo muy común de autómata unidimensional sería el “Triángulo de Pascal”.

“Triángulo de Pascal”

La ubicación que utiliza es una matriz M(n)=[m(i)] , las vecinas serían 2representadas como [m(i-1), m(i+1)]

Podemos definir la función de transición con dos posibles estados (‘0’ ó ‘1’) de lasiguiente manera:

δ1: (0, [0,0]) ⇒ 0 δ5: (0, [1,0]) ⇒ 1δ2: (0, [0,1]) ⇒ 1 δ6: (0, [1,1]) ⇒ 0δ3: (1, [0,0]) ⇒ 0 δ7: (1, [1,0]) ⇒ 1δ4: (1, [0,1]) ⇒ 1 δ8: (1, [1,1]) ⇒ 0

Se inicializa el autómata central con estado igual a ‘1’ y los demás a ‘0’.

Los estados anteriormente definidos se representarían de la siguiente manera:

La celda superior central sería el estado actual del Autómata Celular, las celdaslaterales son los estados de la vecina derecha e izquierda y por último la celda inferiores el nuevo estado actual del autómata.

La figura que vemos a continuación es el gráfico inicialmente generado con 31generaciones:


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Podemos observar como con una simple regla genera un gráfico bastantecomplejo. Queda claro que con simples estados y simples reglas se pueden generarcondiciones generales complejas.

La siguiente figura el es gráfico visto de forma ampliada, teniendo ya 299generaciones:

Podemos observar que el patrón inicial se reproduce nuevamente al amplificarse,esto genera un patrón llamado patrón fractal.

A continuación nos vamos a centrar en uno de los Autómatas clásicos: el “Juegode la Vida” de Conway, ya que es uno de los más importantes y con el que alcanzó granpopularidad los Autómatas Celulares.


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“El Juego de la Vida”

Se caracteriza por ser un autómata celular simple de dos posibles estados (activo einerte) para cada celda, que depende de su estado actual y el de sus 8 vecinas paraevolucionar. El universo es cerrado e ilimitado siendo vecinas las celdas superiores delas inferiores y viceversa. Cada generación surgirá en un instante determinado detiempo reemplazando completamente a la anterior. La evolución es discreta ysimultanea.

Las reglas que definió Conway para la evolución de las células son:

- Muerte: Una célula se inactiva (o permanece inactiva) si posee menos de 2ó más de 3 vecinas activas.

- Conservación: Una célula mantiene su estado si tiene tan solo 2 célulasvecinas activas.

- Nacimiento: Una célula cobra actividad (o permanece activa si ya loestaba) cuando la rodean 3 células activas.

Hay sitios donde he visto sólo dos reglas de evolución, pero básicamente dicen lomismo.

Con estas sencillas reglas y dependiendo de la configuración inicial, la cual esaleatoria, se podrán observar comportamientos complejos tales como la extinción,oscilación, estabilización, proliferación compleja, interacciones a distancia, etc…

Es un sistema que muestra con mucha frecuencia como ciertas formas aleatoriasderivan en sistemas pulsantes o estables, como si dentro del caos hubiera fuerzas que lehacen evolucionar hacia formas más estables y organizadas, periódicas o no.

Langton afirma que el Juego de la Vida posee ciertas propiedades como decatálisis (acciones de construcción arbitrarias), de transporte, regulación, defensa einformativas. Esto hace que los Autómatas Celulares sean equiparables a loscomponentes básicos de la vida en nuestro planeta.

Este es uno de los muchos juegos implementados siguiendo las reglas del “Juegode la Vida” de Conway:


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"Células"El programa "células" fue propuesto por primera vez por Peter Donnelly y

Dominic Welsh. Pero fue en el artículo “Cinco piezas sencillas” para ScientificAmerican donde A. K. Dewdney donde describió en más detalle. Como pretendesimular una votación política fue llamado “votación”.

De lo que trata es lo siguiente: Un conjunto de casillas son coloreadas de blancoo negro aleatoriamente representando la opinión política. Al azar se selecciona una delas casillas y su color (su opinión política) cambia de acuerdo con el color de uno de sus8 vecinas también elegido al azar.

Si dejamos que vaya evolucionando vemos como primero existen grandesbloques de casillas del mismo color, todos con la misma opinión política endeterminadas zonas. Después empiezan a migrar los bloques y durante un tiempobuscan su predominancia. Al final acaban votando por igual, dominando a los votantesdel otro partido político.

Existen otras interpretaciones relacionadas con la vida, la muerte, lareproducción y la supervivencia de la especie.

” Hormigas y Plantas”Se trata de una rejilla de dos dimensiones donde cada una de las celdas es un

autómata simple con cuatro posibles estados:-Vacío

-Ocupado por una hormiga- Ocupado por una planta- Ocupado por un obstáculo

Cada celda cambia de estado en función del estado de las celdas vecinas (si hayuna hormiga al lado de una planta, la celda planta pasa a estar vacía) o según ciertaprobabilidad (decisiones de pasar un hormiga por una determinada celda), resultado deuna función pseudoaleatoria uniforme, si se cumplen las otras condiciones.

El estado de cada celda puede estar definido por distintas variables: por unacierta cantidad de energía, por una inercia en cuanto a la dirección del movimiento y untipo, ya que hay hormigas de distintos colores que corresponden con distintasprobabilidades de moverse, regar, pelearse o reproducirse.

En este autómata, los cambios de estado de las celdas son debidos únicamentepor las celdas ocupadas por una hormiga.

Después también veremos una aplicación de autómatas como solución alproblema de plagas en las plantaciones: “Sistema Predador-Presa”.


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Sistema Predador-Presa

Hoy en día ha aumentado el interés en la modelización de los ecosistemas quepermiten hacer predicciones acerca de su evolución futura. Son consecuencia de laintroducción de técnicas de control biológico para el tratamiento de plagas enplantaciones como alternativa al uso de sustancias químicas.

La meta que se persigue es estabilizar la población de la plaga en un nivel bajo ycontrolado mediante la introducción de otra especie que se alimenta de la primera,evitando a su vez la extinción de cualquiera de ambas especies. Si los predadores semueren de inanición, podrá plagarse otra vez la plantación y se habrá perdido dinero. Loque hay que conseguir es que los predadores mantengas a las presas (la plaga) pordebajo de un nivel de umbral que la plantación pueda tolerar y así unos pocospredadores podrán sobrevivir para plagas futuras. Se intenta conocer cuantos predadoreshabría que añadir al sistema para alcanzar una situación ideal.

Las poblaciones de presas y predadores se encuentran distribuidas en unasuperficie de dos dimensiones y cada celda puede tener tres posibles estados: vacía, conun predador o con una presa. La regla de evolución está compuesta de tres partes:nacimiento, muerte y reproducción de las dos especies.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA


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http://yupana.autonoma.edu.co/publicaciones/yupana/005/autocelular/Automatas.html#2

http://www.redcientifica.com/gaia/ac/auto_c.htm

http://www.luventicus.org/laboratorio/AutomatasCelulares/

http://www.geocities.com/Eureka/Office/4595/duac.html

http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/oldweb/s1997/abdiel/acl.html

http://complex.us.es/~jimenez/CA/ac/ac.html

http://www.laflecha.net/canales/ciencia/articulos/ac/

http://www.imagia.com.mx/hmm/va/Automatas.htm

http://cesimo.ing.ula.ve/INVESTIGACION/PROYECTOS/BIOCOMPLEXITY/automatas.htmhttp://nutriserver.com/Cursos/La_frontera_de_la_vida/Capitulos/Automatas_Celulares/Conway/Conway_Introduccion.html

http://www.dei.uc.edu.py/tai2001/automatasc/Archivos/Unim.htm

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