Aufgabensammlung zur Übung„Einführung in die Mikroökonomik II:“

Lösungsansätze

(für Studierende der Politik-, der Regional-und der Verwaltungswissenschaften

sowie des Lehramtes Politische Bildung)

Allgemeiner Hinweis:Auf den nachfolgenden Blättern werden Lösungs-ansätze für einen Teil der bezeichneten Sammlungvon Übungsaufgaben skizziert. Diese Skizzen sol-len die Mitarbeit in der Übung (bzw. deren Vor-und Nachbereitung) erleichtern – mehr nicht!

Dipl.-Volksw. Albrecht KauffmannKarl-Marx-Str. 67Zimmernr.: 203Tel.: (0331) 977-4671alkauffm@rz.uni-potsdam.de

1–1

Aufgabe 1)

Welche Annahmen konstituieren die Marktform„Vollkommene Konkurrenz“?

• Atomistische Marktstruktur (Mengenanpasser,Preisnehmer)

• Homogener Markt – genau ein Preis:

− Homogenes Gut (Sachlich, physikalischgleichartig)

− Keine persönlichen Präferenzen zwischenAkteuren

− Keine räumliche Preisdiskriminierung (nurTransportkosten)

− Keine zeitliche Preisdiskriminierung

− Vollständige Markttransparenz (vollständigeInformation für alle)

2–1

Aufgabe 2)

Das Angebot und die Nachfrage auf einem Marktseien beschrieben durch die Funktionen

xA(p) = ap− b und xN(p) = m− np.

Die Koeffizientenwerte seien

a = 100,

b = 200,

m = 1000,

n = 100.

Ermitteln Sie bitte den Preis, die Menge, denMarktumsatz und die Preiselastizität der Nach-frage im Marktgleichgewicht.

2–2

Algebraische Lösung:

Preis und Menge:

xA := xN := x∗

ap∗ − b = m− np∗

(a + n)p∗ = m + b

p∗ =m + b

a + n

p∗ =1000 + 200100 + 100

p∗ = 6x∗ = 400

2–3

Graphische Lösung:

pmn

p∗ = 6

ba

−b 0 x∗ = 400 m x

E

2–4

Umsatz (Erlös) E:

E = x∗p∗ = 2400

Preiselastizität εx,p:

εx,p =dx

dp

p

x= −n

p∗

x∗

εx,p =−100 ∗ 6

400

εx,p = −1.5

Der Gleichgewichtspunkt befindet sich im elasti-schen Bereich der Nachfragefunktion.

3–1

Aufgabe 3)

Auf einem Markt mögen die Angebots- und Nach-fragefunktionen

xA(p) = ap− bl und xN(p) = mB − np

gelten. a, b, m und n sind positive Funktionspara-meter.

a) Wie ändert sich der Gleichgewichtspreis unddie Gleichgewichtsmenge, wenn entweder derLohnsatz l bei den Unternehmen oder dieKaufkraft B bei den Haushalten steigt?Argumentieren Sie bitte graphisch.

3–2

Ausgangslage:

pmBn

p∗

bla

−bl 0 x∗ mBx

3–3

Erhöhung des Lohnsatzes um ∆l:

pmBn

p∗0

bla

−bl 0 x∗0 mBx

E

E1p∗1

x∗1

}ba∆l

︸ ︷︷ ︸−b∆l

3–4

Erhöhung der Kaufkraft umd ∆B:

pmBn

p∗0

bla

−bl 0 x∗0 mBx

E

E1p∗1

x∗1

︷ ︸︸ ︷m∆B

}mn ∆B

3–5

b) Die Koeffizientenwerte seien

a = 100,

b = 50,

l = 4,

m = 2,

n = 100,

B = 500.

Existiert bei der genannten Konstellation einMarktgleichgewicht? Wenn ja: Welches sindGleichgewichtspreis und -menge?

Lösung:

xA := xN := x∗

100p∗ − 200 = 2 ∗ 500− 100p∗

200p∗ = 1200

p∗ = 6

x∗ = 400

3–6

c) Welches ist der höchste Wert von l, bei demgerade noch ein Gleichgewicht existiert?

Lösung:

mB

n≥ bl

a

1000100

≥ 50l

100

10 ≥ 0.5l

l ≤ 20

4–1

Aufgabe 4)

Zeigen Sie bitte graphisch, in welchen Fällen kein(eindeutiges) Marktgleichgewicht existiert. NennenSie zu diesen Möglichkeiten Beispiele.

Ausgangspunkt: Stabiles Gleichgewicht (normalesGut, positive Preise und Mengen)a) Angebotsüberschuß infolge Preisanstiegs: nachReaktion der Unternehmen geht überschüssigesAngebot zurück

p

p∗ > 0

0 x∗ > 0 x

E

∆XA

XA

XN

p > p∗

4–2

b) Nachfrageüberschuß infolge Preisrückgangs:nach Reaktion der Unternehmen Ausgleich vonAngebot und Nachfrage

p

p∗ > 0

0 x∗ > 0 x

E

∆XN

XA

XN

p < p∗

4–3

Kein Gleichgewicht bei positiver Menge:

p

x

XA

XN

Beispiele:

• veraltete Technologien• Produktinnovationen mit hohen Fixkosten und

unsicherem Absatz

Kein Gleichgewicht bei positivem Preis

p

x

XNXA

z.B. Freie Güter (Luft, Meerwasser)

4–4

Instabiles Gleichgewicht bei anomaler, flacherNachfragefunktion:

p

x

XN

XA

p∗

Ist eine anomale Nachfragefunktion steiler als dieAngebotsfunktion, stellt sich ein Gleichgewicht ein:

p

x

XN

XA

p∗

Für ein durchgängig anomales Preis-Nachfrage-Verhalten dürften sich in der Praxis keine Beispielefinden lassen.

4–5

Empirisch bedeutsam: Multiple Gleichgewichte beiS-förmiger Preis-Absatz-Funktion

p

x

XA

XN

E1

E2

E3

p1

p3

x1 x3

E1 und E3 sind stabile Gleichgewichte, E2 istinstabil.

5–1

Aufgabe 5)

geg.: Marktnachfrage: XN(p) = m− npUnternehmen i = 1 . . . I mit identischer

Produktionstechnikident. Kostenfkt.: Ki(xi) = cx2

i + FBedingungen vollkommener Konkurrenz

seien auf dem X-Markt erfülltges.: a) Gleichgewichtspreis p∗

b) Bei Verdoppelung der Anbieterzahl: p∗|i=1...2I

Lösung:

1. Angebotsfunktion der Firma i:

Preis = Grenzkosten

dKi

dxi= 2cxi = p

xAi =

p

2c

XA =I∑

i=1

xAi = Ixi

XA =I

2cp

5–2

2. Marktgleichgewichtspreis p∗:

XA := XN := X∗

I

2cp∗ = m− np∗

p∗ =2cm

I + 2cn

3. Marktgleichgewichtspreis bei doppelterFirmenzahl:

p∗|i=1...2I =2cm

2I + 2cn=

cm

I + cn

4. Verhältnis der Preise zueinander:

p∗|i=1...2I

p∗|i=1...I=

2cm

I + 2cn

I + 2cn

2cm=

I + 2cn

2I + 2cn

7–1

Aufgabe 7)

geg.: Marktnachfrage: xt = apt + b,a < 0, b > 0

Marktangebot: yt = cpt−1 + d,c > 0, d < 0

ges.: 1. Konkurrenzgleichgewicht2. Bedingung für Konvergenz

Lösungsansatz: Aus yt := xt bzw.

cpt−1 + d = apt + b

folgt als Gleichgewichtspreis für die jeweilige Peri-ode pt, bezogen auf den Preis der vorige Periodept−1:

pt =c

apt−1 +

d− b

a,

bzw.pt −

c

apt−1 =

d− b

a.

Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung1. Grades der Form

c1yt + c0yt−1 = a,

mit c1 = 1, c0 = − ca, a = d−b

a .

7–2

Exkurs: Inhomogene Differenzengleichungen ersterOrdnung mit konstantem Absolutglied

Die inhomogene Differenzengleichung erster Ordnung

c1 yt + c0 yt−1 = a (1)

kann anhand des nachfolgend aufgestellten Schemas1 leicht gelöst werden. DerLösungsansatz kann auch auf andere Differenzengleichungen erster Ordnung derForm

c1 yt + c0 yt−1 = g(t) (2)

übertragen werden. Hierbei steht das Zeichen t für die Zeit; c0, c1 und a sind Pa-rameter und yt = y(t) ist eine Funktion der Zeit.

• Finde eine spezielle Lösung yt für den inhomogenen Teil!

Versuche als erstes, einen Koeffizienten µ aus dem Ansatz

(c1 + c0)µ = a (3)

µ =a

c1 + c0(4)

zu finden. Ist dies möglich, dann ist µ die gesuchte spezielle Lösung, bzw.

yt =a

c1 + c0. (5)

Beachte: Ist c1 + c0 = 0, kann µ so nicht ermittelt werden. In diesem Fall istc1 = −c0 = c, bzw.

yt − yt−1 =a

c. (6)

Versuche dann, µt anstelle von yt und µ(t− 1) anstelle von yt−1 einzusetzen:

µt− µ(t− 1) =a

c(7)

µ =a

c(8)

yt =a

c(9)

• Ermittle die allgemeine Lösung yt|a≡0= A (−c0

c1)t des homogenen Teils von (1)

unter Verwendung der gefundenen speziellen Lösung:

Mit A = y0 − y0 und b = c0c1

wird

yt|a≡0= (y0 − yt)(−b)t (10)

1. Nach Gandolfo (1997) Kap. 1–3.

7–3

• Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (1) ergibt sichals Summe der Lösungen für den homogenen Teil und spezieller Lösung,

yt = (y0 − yt) (−b)t + yt. (11)

Literatur

Gandolfo, G. (1997): Economics Dynamics. Dritte Auflage. Berlin, Heidelberg:Springer.

7–4

Da die Bedingung c1 6= −c0 erfüllt ist, ergibt sichals spezielle Lösung yt für den inhomogenen Teil

yt =a

c1 + c0=

d−ba

1− ca

=d− b

a− c.

Die allgemeine Lösung des homogenen Teilsyt|a≡0 = A(−c0

c1)t lautet: (mit A = y0 − y0)

yt|a≡0 = (y0 − y0)(−c0

c1

)t

=(p0 −

d− b

a− c

)(c

a

)t

.

Die allgemeine Lösung für pt ergibt sich als Sum-me der allgemeinen Lösung des homogenen Teilsund der speziellen Lösung für den inhomogenenTeil (yt = yt|a≡0 + yt):

pt =(p0 −

d− b

a− c

)(c

a

)t

+d− b

a− c.

Wie wird sich pt in der Folge der Perioden t =1, 2, . . . entwickeln?

• wegen ca < 0 alterniert das Vorzeichen des

Ausdrucks(p0 − d−b

a−c

)(ca

)t

• pt oszilliert um den (stets positiven) Wert desAusdrucks d−b

a−c

7–5

• Drei Fälle:

| ca| > 1: pt entfernt sich immer mehr vom Zen-trum – kein stabiles Gleichgewicht

| ca| = 1: pt schwankt mit ±(p0 − d−b

a−c

)um d−b

a−c

| ca| < 1: Die Schwankungen um d−ba−c werden im-

mer kleiner ⇐⇒ pt konvergiert gegenden Gleichgewichtspreis p∗ = d−b

a−c.

• Die Bedingung für Konvergenz | ca| < 1 besagt:

− Es hängt vom Verhältnis der Steigungspa-rameter von Angebots- und Nachfragefunk-tion c und a ab, ob ein stabiles Gleichge-wicht erreicht wird

− Nur wenn die Steigung der Angebotsfunk-tion (in Bezug auf den Preis) flacher ist alsdie der Nachfragefunktion, kommt es zurKonvergenz

7–6

pt

xt, yt

p∗

x∗

E

p0

0

xt = apt + b

yt = cpt−1 + d

E1p1

x1

E2p2

x2

E3p3

x3

E4p4

x4

a = −1, c = 0.7

7–7

pt

xt, yt

p∗

x∗

E

p0

0

xt = apt + b

yt = cpt−1 + d

E1p1

x1

E2p2

x2

E3p3

x3

E4p4

x4

a = −1, c = 1.2

7–8

pt

xt, yt

p∗

x∗

E

p0 = p2

0

xt = apt + b

yt = cpt−1 + d

p1E1

x1

E2

x2

a = −1, c = 1.0

8–1

Aufgabe 8)

Ausgangssituation:

• 2 Wirtschaftssubjekte A, B verfügen über ihreErstaustattungen EAA = (xA, yA), EAB =(xB, yB) der Güter x und y

• Unter Anerkennung der durch die Erstausstat-tung gegebenen Ausgangsverteilung versuchensie, sich durch Tausch eines Teils ihrer Güterbesser zu stellen

a) Definieren Sie und erläutern Sie bitte graphischfolgende Begriffe:

• Tauschkurve

• Kontraktkurve

• Nutzenmöglichkeitenkurve

8–2

yA

yA

0A xA xA

EAA

yB

yB

0B xB xB

EAB

Schachteldiagramm (Edgeworth-Box)♥

yB

yB

0BxBxB

EAB

yA

yA

0A xA xA

EAA

xA

xA

xB

xB

y . . .

0A

0B

EAA

EAB

♥

Menge des Gutes x, dem A gehorend bzw. von A gewunschtErstaustattung des A mit dem Gut x

Menge des Gutes x, dem B gehorend bzw. von B gewunschtErstaustattung des B mit dem Gut x

analog fur y

Ursprung des (xA, yA)-DiagrammsUrsprung des (xB , yB)-DiagrammsOrt der Erstausstattung des A im (xA, yA)-DiagrammOrt der Erstausstattung des B im (xB , yB)-DiagrammFrancis Ysidro Edgeworth, engl. Okonom u. Philosoph(1845–1926)

8–3

yA

0A xA

EA

0BxB

yB

∆y

∆xyA

xA

xB

yB

V

P

EA

V∆x,∆y

P

Durch die Erstausstattungen bedingteGuterverteilungIrgendeine durch Tausch entstandene VerteilungGetauschte Mengen, die EA nach V uberfuhren∆x und ∆y entsprechende Preislinie

Tauschresultat und Preislinie

Der Anstieg ∆y∆x der Preislinie P entspricht dem

umgekehrten Preisverhältnis px

py.

8–4

yA

0A xA

EA

0BxB

yB

VV

P

UA

UB

UA

UB

Die EA enthaltende Nutzenindifferenzkurve des A

Die EA enthaltende Nutzenindifferenzkurve des B

Für den Tausch relevanter Bereich

Freiwillig wird jedes Wirtschaftssubjekt nur solcheMengen tauschen, bei denen es keine Verschlech-terung seiner Nutzenposition hinnehmen muß.

8–5

yA

0A xA

EA

0BxB

yB

V

VA

VB

P

UA0 UA1

UB1 UB0

UA1

UB1

Eine hoherem Nutzen als UA0 entsprechendeIndifferenzkurve des ADgl. fur B

Gewünschtes Tauschresultat bei gegebenem Preis

Um seinen Nutzen zu maximieren, strebt jedesWirtschaftssubjekt i eine Güterverteilung (xi, yi)an, bei der Betrag der Grenzrate der Substitution(=Anstieg der Nutzenindifferenzkurve) mit demumgekehrten Preisverhältnis übereinstimmt,

dyi

dxi=

px

py.

8–6

yA

0A xA

VA0 = EA

0BxB

yB

UA4

UA3

UA2

UA1

UA0

P4P3

P2

P1

P0

TA

VA1

VA2

VA3

VA4

P0–P4

UA0–UA4

VA0–VA4

TA

Funf zufallig ausgewahlte PreislinienDie P0–P4 tangierenden Indifferenzkurvendes A mit steigendem NutzenBei den geg. Preisen von A gewunschteTauschresultateTauschkurve des A

Tauschkurve des A: GewünschteTauschresultate bei alternativen Preisen

Da die Erstausstattung des A besonders viel vomGut x enthält, wird A insbesondere für eine klei-nere Menge des y-Gutes eine relativ große Mengedes x-Gutes anbieten.

8–7

yA

0A xA

VB0 = EA

0BxB

yB

UB0

UB5

VB3

VB4

VB5

TB

UB0–UB5

VB0–VB5

TB

Indifferenzkurven des B mit steigendemNutzenBei den geg. Preisen von B gewunschteTauschresultateTauschkurve des B

Tauschkurve des B

Auch B möchte zu einem für ihn möglichst güns-tigen Preisverhältnis tauschen. Im dargestelltenBeispiel bietet er das y-Gut im Austausch gegenGut x an.

8–8

Die Tauschkurve ist das Kontinuum der von einemWirtschaftssubjekt angestrebten – da nutzenmaxi-mierenden – (x, y)-Güterkombinationen, die es –ausgehend von seiner Erstausstattung mit diesenGütern und der eines Tauschpartners – bei Va-riation des gegebenen Güterpreisverhältnisses imfreiwilligen Tausch erwerben möchte.

Werden die Erstausstattungen zweier Wirt-schaftssubjekte A und B in einem x, y-Schachteldiagramm zusammengeführt (sog.Edgeworth-Box) und in dessen (x, y)-Ebene dieHöhenlinien der Nutzengebirge (Nutzenindifferenz-kurven) übertragen, ergeben sich die Tauschkurvendes A und des B als Tangentialpunkte aller durchden Punkt der Erstausstattungen EA hindurchge-hender Preislinien mit jeweils einer Nutzenindiffe-renzkurve.

8–9

yA

0A xA

EA

Vopt

0BxB

yB

UAmax

UBmax

TA

TB

Popt

VoptUAmax

UBmax

TA

TA

Popt

Pareto-optimales TauschresultatVon A im Paretooptimum maximal erreichbaresNutzenniveauVon B im Paretooptimum maximal erreichbaresNutzenniveauTauschkurve des A

Tauschkurve des BPreislinie bei Pareto-optimalem Tausch

Pareto-optimaler Tausch

Im Schnittpunkt der Tauschkurven des A und desB berührt eine Indifferenzkurve des A eine Indiffe-renzkurve des B. Beide Indifferenzkurven tangierenin diesem Punkt die gemeinsame Preislinie Popt.Die Verteilung Vopt ist optimal im Hinblick aufdie Tauscheffizienz bei gegebenen Erstaustattun-gen und Nutzenfunktionen.

8–10

yA

0A xA

0BxB

yB

Nutzenindifferenzkurven des A

Nutzenindifferenzkurven des B

KontraktkurveMax. Nutzenniveau des A im vorigen BeispielMax. Nutzenniveau des B im vorigen BeispielPreislinie des vorigen BeispielsErstausstattung(en) des A u. des B im vor. Bsp.

Kontraktkurve: Kontinuum Pareto-optimaler Verteilungen im x-y-Raum

Die Indifferenzkurvenscharen (Höhenlinien derNutzenfunktionen des A und des B) wurden in dergezeigten Anordnung lotrecht auf die x-y-Ebeneder Edgeworthbox übertragen. Achtung: Den Be-rührungspunkten von Indifferenzkurven des A unddes B entsprechen nicht notwendig (sd. allenfallszufällig) Berührungspunkte der Nutzenfunktionen!

8–11

Liegen die Scharen der Indifferenzkurven des Aund des B dicht, muß es ein Kontinuum von Tan-gentialpunkten geben, von denen jeder einzelneein Tauschgleichgewicht beschreibt, in dem dasNutzenniveau des A nicht weiter gehoben werdenkann, ohne die Position des B zu schwächen, etvice versa.

Jeder möglichen Erstaustattungskombination –also jedem Punkt in der x-y-Ebene der Edgewor-thbox – entspricht genau ein solcher Tangential-punkt, den beide Parteien beim Tausch zu realisie-ren versuchen.

Die ununterbrochene Folge dieser Punkte wirddaher als Kontraktkurve bezeichnet.

Jeder auf der Kontraktkurve gelegene Punkt zeich-net sich gegenüber den übrigen Punkten der x-y-Ebene dadurch aus, daß jeder weitere Tausch dieNutzenposition zumindest eines Wirtschaftssub-jekts verschlechtert.

Umgekehrt kann der Nutzen zumindest eines Sub-jekts gesteigert werden, solange eine Güterver-teilung realisiert ist, der kein Punkt auf der Kon-traktkurve entspricht.

Ausschließlich in diesem Sinne (der Tauscheffi-zienz) sind die auf der Kontraktkurve gelegenenGüterverteilungen optimal.

8–12

Wird das Verteilungsergebnis anhand anderer Kri-terien beurteilt (z.B. Gerechtigkeit), wird man z.B.durch staatliche Umverteilung zu einer anderenGüterverteilung gelangen. Liegt diese außerhalbder Kontraktkurve, werden die Tauschpartner ihreNutzenposition durch bilaterale Aktionen zu ver-bessern trachten.

10–1

Aufgabe 10)

Was besagt das Walras’sche Theorem?

Sind n interdependente Märkte gegeben, so impliziert ein Gleichgewicht auf n − 1Märkten, daß auch auf dem n-ten Markt Angebot und Nachfrage übereinstimmen.Daraus folgt, daß der Preis auf einem Markt exogen gesetzt werden darf; die übri-gen Preise ergeben sich dann als Relativpreise.

Beweis (für 2 Märkte):

Geg. sei ein Modell mit 2 Individuen (A, B) und 2 Gütern (x, y). Die Erstaustat-tungen seien (xA, yA) sowie (xB, yB), daraus ergeben sich die Güterbestände(x, y). Die individuellen Güternachfragemengen seien mit (xA, yA, xB, yB), diePreise der Güter mit (px, py) bezeichnet.

Die individuelle Budgetrestriktion des A lautet:

pxxA + pyyA︸ ︷︷ ︸Wert des Angebots

= pxxA + pyyA︸ ︷︷ ︸Wert des Konsums

Eine einfache Umformung ergibt:

(1) px(xA − xA) + py(yA − yA) = 0.

Analog kann die Budgetrestriktion des B umgeformt werden zu:

(2) px(xB − xB) + py(yB − yB) = 0;

d.h., für alle Haushalte gilt:Die mit Preisen bewerteten Überschußnachfragen des Haushalts addieren sich zu Null.

Bei allen Transaktionen zwischen den Haushalten gilt die gesamtwirtschaftlicheRestriktion der Identität von Angebot und Nachfrage. Die Gleichgewichtsbedin-gungen auf den einzelnen Märkten lauten somit:

xA + xB = xA + xB,

yA + yB = yA + yB;

somit:

(3) (xA − xA) + (xB − xB) = 0,

(4) (yA − yA) + (yB − yB) = 0;

d.h., für alle Güter gilt:Die Überschußnachfragen aller Haushalte nach dem einzelnen Gut addieren sich zu Null.

Summation der Gleichungen (1) und (2) ergibt:

px(xA − xA) + py(yA − yA) + px(xB − xB) + py(yB − yB) = 0,

px(xA − xA) + px(xB − xB) + py(yA − yA) + py(yB − yB) = 0,

10–2

(5) px (xA − xA + xB − xB)︸ ︷︷ ︸(3)

+py (yA − yA + yB − yB)︸ ︷︷ ︸(4)

= 0.

Da der Ausdruck (3) jedoch Null ergibt, sofern sich der x-Markt im Gleichgewichtbefindet, muß auch der Ausdruck (4) Null ergeben, bzw. es muß sich auch der y-Markt im Gleichgewicht befinden, damit Gl. (5) erfüllt werden kann – et vice ver-sa.

Verbale Interpretation von (5):

Gesetz von Walras:Die (über alle Güter) aggregierten,

mit ihren Preisen bewerteten (über alle Haushalte) aggregiertenÜberschußnachfragen betragen identisch Null.

Konsequenzen:

1. Sind n − 1 Märkte eines interdependenten Marktsystems im Gleichgewicht, sogilt dies auch für den n-ten (d.h. letzten) Markt dieses Systems.

2. In einem System von n interdependenten Märkten kann es nur n− 1 voneinan-der unabhängige Preise geben. Der Preis genau eines Gutes muß als Numérairefestgelegt werden – z.B. p1 = 1 –, alle übrigen Preise ergeben sich dann alsRelativpreise.

11–1

Aufgabe 11)

geg.: 2 Haushalte i ∈ (G, K); 2 Güter xij (x1, x2)

Nutzenfkt.: ui(xi1, xi2) = x0,5i1 + x0,5

i2

xG1 = x1 = 9, xK1 = 0,

xG2 = 0, xK2 = x2 = 4,

p1 = 1.

ges.: a) Überschußnachfragefunktionen xi1, xi2:

Ziel: Max. ui =√

xi1 + x∗i1 +√

xi2 + x∗i2

bzw.

Max. uG =√

9 + x∗G1 +√

x∗G2,

Max. uK =√

x∗K1 +√

4 + x∗K2, u. d.

NB.:∑

j pjx∗ij = 0 (Einzelwirtschaftliche Restriktionen der Subjekte i),

bzw. x∗G1 + p2 x∗G2 = 0 (Restriktion des Gerd)

x∗K1 + p2 x∗K2 = 0 (Restriktion des Klaus)

Lagrange-Ansatz des G:

LG(x∗G1, x∗G2, λG) =

√9 + x∗G1 +

√xG2∗ − λ(x∗G1 + p2 x∗G2)

∂LG∂x∗

G1= 0,5√

9+x∗G1

− λ = 0 ⇔ λ = 0,5√9+x∗

G1

∂LG∂x∗

G2= 0,5√

x∗G2

− λp2 = 0 ⇔ λ = 0,5

p2

√x∗

G2√x∗G2p2 =

√9 + x∗G1

x∗G2 =9+x∗G1

p22

11–2

Einsetzen in ∂LG∂λG

= 0:

−∂LG∂λG

= x∗G1 + p2 x∗G2 = 0

x∗G1 +p2 (9+x∗G1)

p22

= 0

x∗G1 + 9p2

+x∗G1p2

= 0

(1 + 1p2

) x∗G1 = − 9p2

p2+1p2

x∗G1 = − 9p2

x∗G1 = − 9p2p2 (p2+1)

x∗G1 = − 9p2+1

x∗G2 =9+x∗G1

p22

=9− 9

p2+1

p22

x∗G2 =9(p2+1)−9

p2+1

p22

= 9p2

(p2+1)p22

x∗G2 = 9(1+p2)p2

Lagrange-Ansatz des K:

LK(x∗K1, x∗K2, λK) =

√x∗K1 +

√4 + xK2∗ − λ(x∗K1 + p2 x∗K2)

∂LK∂x∗

K1= 0,5√

x∗K1

− λ = 0 ⇔ λ = 0,5√x∗

K1

∂LK∂x∗

K2= 0,5√

4+x∗K2

− λp2 = 0 ⇔ λ = 0,5

p2

√4+x∗

K2

p22 (4 + x∗K2) = x∗K1

4p22 + p2

2 x∗K2 = x∗K1

11–3

x∗K2 =xK1−4p2

2

p22

Einsetzen in ∂LK∂λK

= 0:

−∂LK∂λK

= x∗K1 + p2 x∗K2 = 0

x∗K1 + p2x∗K1−4p2

2

p22

= 0

x∗K1 +x∗K1p2− 4p2 = 0

(1 + 1p2

)x∗K1 = 4p2

x∗K1 =4p2

2p2+1

x∗K2 =x∗K1−4p2

2

p22

=

4p22

p2+1−4p22

p22

x∗K2 = 4−4(p2+1)p2+1

x∗K2 = − 4p2p2+1

Anmerkung:Es ist auch möglich, die Gesamtnachfragen in die zu maximierende Nutzenfunk-tion und die Gesamtnachfragen abz. der Erstausstattungen in die Restriktioneneinzusetzen. Der Lagrangeansatz z.B. des G lautet dann

LG(xG1, xG2, λG) =√

xG1 +√

xG2 − λG(xG1 − 9 + p2 xG2).

Dieser Ansatz führt zum gleichen Ergebnis.

11–4

b) Geben Sie die Bedingungen des allgemeinen Gleichgewichts der Tauschwirt-schaft an, und ermitteln Sie die Gleichgewichtspreise. Wie hängen diese vom Ver-hältnis der Gesamtgüterbestände ab?

Angebot eines Gutes = Nachfrage nach diesem Gut

Für Gut 1: −x∗G1 = x∗K1

Für Gut 2: x∗G2 = −x∗K2

Einsetzen der Überschußnachfragefunktionen

Gut 1:

9p2+1 =

4p22

p2+1

94 = p2

2

p2 = 32

Zur Probe – Gut 2:

9(1+p2)p2

= 4p21+p2

94 = p2

2

p2 =√

94 = 3

2 – stimmt.

Der Relativpreis des Gutes 2 beträgt 32 . Die Beziehung zum gesamten Güterbe-

stand wird in der Relation p2p1

=√

x1x2

ausgedrückt. Sie ist auf die Erstaustattun-gen und Nutzenfunktionen des Gerd und des Klaus zurückzuführen.

11–5

c) Skizzieren Sie bitte die Situation in einer Edgeworth-Box. Bestimmen Sie bitteauch die Kontraktkurve.

Steigung der Kontraktkurve:

Kontraktkurve: = Kontinuum aller Punkte, für welche gilt:

GRSG = GRSK ,

hier (da beide ein und dieselbe Nutzenfunktion haben) muß gelten:

GRS =∂U∂x1∂U∂x2

=0,5√x1

0,5√x2

=√

x2√x1

,

somit√xG2xG1

!=

√xK2xK1

=√

x2−xG2x1−xG1

,

xG2xG1

= x2−xG2x1−xG1

,

xG2x1 − xG2xG1 = xG1x2 − xG1xG2,

xG2x1 = xG1x2,

xG2 = xG1x2x1

,

xG2 = 49xG1.

Die Kontraktkurve ist somit linear; sie ist eine gerade Linie, die die beiden Null-punkte der Edgeworthbox verbindet.

0G 275

xG1

yK2

x1K

x2G

EA

85

0K185

125

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

11–6

Erweiterung der Aufgabe 11:

Um das Verständnis der Wirkungsweise des allgemeinen Gleichgewichtsmodellszu erleichtern, wollen wir einige Parameter der Aufgabenstellung verändern undden Einfluß dieser Änderungen auf die Ergebnisse – also die Überschußnachfragen,Relativpreise und die Kontraktkurve – untersuchen.

1. Einfluß der Erstausstattung

1.1. Variation der zu verteilenden Menge eines Gutes

Seien x2 = xK2 = 6.25,

alle übrigen Parameter bleiben wie in der Aufgabenstellung gegeben.

Die Ableitungen des Lagrangeansatzes des Gerd nach x∗G1 und x∗G2, derenGleichsetzung, Umstellung nach z.B. x∗G2(x

∗G1) und Einsetzen in die Nebenbe-

dingung ∂LG∂λG

= 0 ergeben dieselben Überschußnachfragefunktionen wie in derursprünglichen Aufgabe.

Die entsprechenden Ableitungen des Lagrangeansatzes des Klaus etc. ergeben

x∗K1 =6.25p2

2p2+1 sowie

x∗K2 = −6.25p2p2+1 .

Aufgabe: Zeige dies!

Beträgt der Bestand bzw. die Erstausstattung des Klaus mit Gut 2 16 Einheiten,

x2 = xK2 = 16,

ergeben sich als Überschußnachfragefunktionen des Klaus entsprechend

x∗K1 =16p2

2p2+1 sowie

x∗K2 = − 16p2p2+1 .

Die Relativpreise p2 ergeben sich durch Einsetzen in z.B.

−x∗G1 = x∗K1

für x2 = 6.25 mit den Umformungen

9p2+1 =

6.25p22

p2+1

9 = 6.25p22 zu

11–7

p2 = 32.5(= 6

5) < 32 .

Für x2 = 16 ergibt sich p2 entsprechend zu 34 . Je reichlicher die beiden Tausch-

partner mit Gut 2 ausgestattet sind, um so niedriger wird der Preis des Gutes 2,ausgedrückt in Einheiten des Gutes 1.

Aufgabe: Zeige dies!

Wie in der ursprünglichen Konstellation, beträgt der Relativpreis des Gutes 2 inallen betrachteten Fällen p2 =

√x1x2

. Dies ist in den Nutzenfunktionen des Gerdund des Klaus begründet. Dies wird später noch deutlicher werden, wenn wir dieNutzenfunktionen modifizieren.

Die Ergebnisse der Variation des Bestands von Gut 2 faßt die folgende Tabellezusammen:

x2 4 6.25 16

p223

65

34

xG1275

5411

277

xG2125

7522

487

xK1185

4511

367

xK285

12544

647

Die Transformationskurve bleibt linear.

Frage: Warum?

Es ändern sich jedoch die Abmessungen der Edgeworthbox. Die Abbildung aufder nächsten Seite zeigt die ineinandergestellten Schachteldiagramme für x2 = 4

(schwarz), x2 = 6.25 (grün) und x2 = 16 (rot). Es sind nur die Preislinien unddie Kontraktkurven eingezeichnet – Indifferenzkurven würden hier nur Verwirrungstiften! Es sollte jedoch klar sein, daß auf jedem Punkt der Kontraktkurven je eineIndifferenzkurve des Gerd und des Klaus sich berühren.

11–8

0G 277

xG1

xK2

xK1

xG2

EA

647

0K367

487

1

1

1

1

Preislinie

Kontraktkurve

0G 5411

xG1

xK2

xK1

xG2

EA

12544

0K4511

7522

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

0G 275

xG1

xK2

xK1

xG2

EA

85

0K185

125

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

11–9

2. Variation der Verteilung der Güter

a) Umkehrung der Erstausstattung

Sei xK1 = x1 = 9, xG2 = x2 = 4,

d.h., vor Beginn des Tauschs verfüge Klaus über den Gesamtbestand des Gutes 1,Gerd über alle Einheiten des Gutes 2.

Da sich an den Güterbeständen und Nutzenfunktionen nichts geänder hat im Ver-gleich zur ursprünglichen Aufgabenstellung, werden auch die Überschußnachfrage-funktionen die ursprünglichen sein, allerdings vertauscht für die Güter und derenBesitzer. Entsprechend bleibt auch der Relativpreis p2 = 3

2 unverändert. Es ändertsich – aufgrund der unterschiedlichen Ausgangsverteilung – das Tauschergebnis,wie die nachstehende Edgeworthbox zeigt.

0G 185

xG1

xK2

xK1

xG2

EA

125

0K275

85

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

b) Erstaustattung im Inneren der Edgeworthbox

Es seien nun die Erstausstattungen so auf Gerd und Klaus verteilt, daß jeder vonIhnen in der Ausgangslage von jedem Gut etwas hat, doch bestehe weiterhin einAnreiz zum Tausch.

Frage: In welchem Fall bestünde kein Anreiz zum Tausch?

Auch in allen hier möglichen Fällen muß die Gleichsetzung von Angebot undNachfrage zum Relativpreis von p2 = 3

2 führen.

11–10

Frage: Warum?

In allen hier möglichen Fällen ergibt sich das Tauschergebnis als Schnittpunkt derdurch die Erstausstattung gehenden Preislinie und der Kontraktkurve. Das nach-folgende Schachteldiagramm zeigt den Fall xG1 = 5, xK1 = 4, xG2 = 1, xK2 = 3.

0G 3, 9 xG1

xK2

xK1

xG2

EA

3415

0K5.1

2615

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

3. Variationen der Nutzenfunktion des Klaus

Wir hatten bereits festgestellt, daß der Relativpreis p2 bei gegebenen Nutzenfunk-tionen des Gerd und des Klaus vom Verhältnis der Güterbestände abhängt. Indiesem Abschnitt wollen wir nun untersuchen, welcher Relativpreis sich einstellt,wenn hinsichtlich der Nutzenfunktion des Klaus andere Annahmen getroffen wer-den. Alle übrigen Gegebenheiten sollen denen der Ausgangssituation in Aufgabe11 entsprechen.

Es soll zunächst das Gewicht des Gutes 2 in der Nutzenfunktion des Klaus er-höht werden:

UK = x0.51 + 2x0.5

2

Während der Langrangeansatz des Gerd wieder unverändert aus Aufgabe 11übernommen werden kann, muß der des Klaus neu aufgestellt werden:

LK(x∗K1, x∗K2, λK) =

√x∗K1 + 2

√4 + xK2∗ − λ(x∗K1 + p2 x∗K2)

∂LK∂x∗

K1= 0,5√

x∗K1

− λ = 0 ⇔ λ = 0,5√x∗

K1

∂LK∂x∗

K2= 1√

4+x∗K2

− λp2 = 0 ⇔ λ = 1p2

√4+x∗

K2

14p2

2 (4 + x∗K2) = x∗K1

11–11

p22 + 1

4p22 x∗K2 = x∗K1

x∗K2 =xK1−p2

214p2

2

Einsetzen in ∂LK∂λK

= 0:

−∂LK∂λK

= x∗K1 + p2 x∗K2 = 0

x∗K1 + p2x∗K1−p2

214p2

2

= 0

x∗K1 + 4p2

x∗K1 − 4p2 = 0

(14p2+1

14p2

)x∗K1 = 4p2

x∗K1 =p22

14p2+1

x∗K2 =x∗K1−p2

214p2

2

=

p22

14p2+1

−p22

14p2

2

x∗K2 = 4−p2−414p2+1

x∗K2 = − p214p2+1

Im Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage z.B. nach Gut 1,

−x∗G1 = x∗K1

ergeben nach Einsetzen der entsprechenden Überschußnachfragen

9p2+1 =

P 22

14p2+1

.

Nach einigen Umformungen

9(14p2 + 1) = p2

2(p2 + 1),

94p2 + 9 = p3

2 + p22

erhält man die Gleichung 3. Grades

p32 + p2

2 − 94p2 − 9 = 0.

Sie besitzt genau eine positive reelle Lösung, die mit Hilfe numerischer Verfahrennäherungsweise bestimmt werden kann:

p2 = 2, 103551245 . . .,

11–12

d.h., der relative Preis des Gutes 2 in Einheiten des Gutes 1 ist gestiegen.

Wie verläuft nun, nachdem die Symmetrieannahme hinsichtlich der Nutzenfunk-tionen des Gerd und des Klaus aufgegeben wurde, die Kontraktkurve?

Werden aus den partiellen Grenznutzen des Gerd

∂UG∂x1

= 0,5√x1

; ∂UG∂x2

= 0,5√x2

und des Klaus

∂UK∂x1

= 0,5√x1

; ∂UK∂x2 = 1√

x2

die Grenzraten der Substitution bestimmt und gleichgesetzt,∂UG∂x1∂UG∂x2

!=

∂UK∂x1∂UK∂x2

;0,5√xG10,5√xG2

!=

0,5√xK11√

xK2

führen einige Umformungen√

xG2√xG1

!=

√xK2√xK1

= 12

√x2−xG2√x1−xG1

,

xG2xG1

= 14

x2−xG2x1−xG1

,

4xG2(x1 − xG1) = xG1(x2 − xG2),

4(xG2x1 − xG2xG1 = xG1x2 − xG1xG2,

4xG2x1 − 3xG1xG2 = xG1x2,

(4x1 − 3xG2)xG2 = xG1x2,

z.B. zur Form xG2 = f(xG1):

xG2 = 436−3xG1

xG1

Diese Funktion ist offensichtlich nicht linear; die ihr entsprechend Kontraktkurvewird in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

11–13

0G xG1

xK2

xK1

xG2

EA

0K

1

1

1

1Preislinie Kontraktkurve

Wird das Gewicht des Gutes 1 in Klaus’ Nutzen erhöht (bei ansonsten unver-änderten Gegebenheiten der in Aufgabe 11 geschilderten Situation), z.B.

UK = 3x0,51 + x0,5

2 ,

fällt der Relativpreis von Gut 2 auf

p2 = 1, 148535272 . . .,

was durch Einsetzen der geänderten Nutzenfunktion in den Lagrangeansatz desKlaus und Lösen der in Verbindung mit dem Lagrangeansatz des Gerd resultie-renden kubischen Gleichung ermittelt werden kann. Kontraktkurve, Preislinie undTauschergebnis sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

0G xG1

xK2

xK1

xG2

EA

0K

1

1

1

1Preislinie

Kontraktkurve

xG2(xG1) = 369+8xG1

xG1

15–1

Aufgabe 15)

geg.: Ui(yri ) ∀i mit dU

dyr > 0, d2Udyr2 < 0 (Nutzenfkt.)

Y r =∑

i yri (gesamtes Realeinkommen)

a) ges.: yri

Y r ∀i (Einkommensverteilung)

i. Nutzenfunktion nach J. Bentham:

Ziel: Maximiere U =∑

i Ui(yri )

unter der Nebenbedingung Y r =∑

i yri .

Lagrange-Ansatz:

L(~y, λ) =∑

i Ui(yri ) + λ(Y r −

∑i y

ri )

Die Ableitungen nach den Einkommen aller i ergeben

∂L∂yr

i= dUi

dyri− λ = 0 ∀i;

⇐⇒ dU1dyr

1= dU2

dyr2

= . . . = dUidyr

i,

d.h., die Benthamsche gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion impliziert dieGleichheit der Grenznutzen aller Individuen. Weisen jedoch – wie in unsererAufgabe unterstellt – alle Individuen übereinstimmende Nutzenfunktionen auf,stimmen die Grenznutzen genau dann überein, wenn die Realeinkommen inunserer angenommenen Nutzenfunktion übereinstimmen. Es wird also Gleich-verteilung der Einkommen gefordert.

ii. Wohlfahrtsfunktion nach Rawls:Die Wohlfahrtsfunktion nach Rawls impliziert gleichen Nutzen aller Individu-en. In unserem Falle übereinstimmender Nutzenfunktionen führt bedeutet diesauch die Gleichverteilung der Realeinkommen.

.

b) ges.: Einkommensverteilung bei abweichender Nutzenfunktion einesIndividuums

geg.: U13 = 0, 5Ui(yr13)

Die Konsequenz einer abweichenden Nutzenfunktion soll anhand der folgendenAbbildungen gezeigt werden: Ausgleich der Grenznutzen bedeutet Gleichheit desAnstiegs der an die Nutzenfunktionen gelegten Tangenten. Im Bentham-Fall muß

15–2

somit der 13te Bewohner unseres fiktiven Landes soviel abgeben an seine Mitbe-wohner, bis sein Grenznutzen dem der Mitbewohner entspricht. Ist die Zahl derEinwohner des Landes groß, wird sich am Grenznutzen der Mitbewohner fastnichts ändern. (Warum?)

Ui

yri

Ui(yri )

U13(yr13)

U∗i

U∗13

yr∗13 yr∗

i0

Konsequenzen der Wohlfahrtsfunktion vom Bentham-Typ

Das Rawlssche Kriterium fordert, daß alle Glieder der Gesellschaft den gleichenNutzen (in unserem Fall aus dem Realeinkommen) ziehen. Dies bedeutet, daß alleMitbewohner dem 13ten soviel von ihrem Realeinkommen abgeben müssen, bisdessen Nutzen das gleiche Niveau erreicht hat, wie ihr eigener.

Ui

yri

Ui(yri )

U13(yr13)

U∗i

yr∗i yr∗

130

Konsequenzen der Wohlfahrtsfunktion vom Rawls-Typ

17–1

Aufgabe 17)

Ermitteln Sie bitte für die im folgenden genanntenPreis-Absatz-Funktionen die zugehörigen Grenzer-lösfunktionen:a) p(x) = n−mx

Exkurs: GrenzerlösWählt ein Anbieter mit (z.B. monopolistischer) Marktmacht die Absatzmenge alsAktionsparameter, bewirkt eine Ausweitung der Absatzmenge eine Preisänderungentsprechend der Preis-Absatz-Funktion. Diese kann als Inverse der Nachfrage-funktion aufgefaßt werden, sofern es sich bei dieser um eine streng monoton fallen-de Funktion handelt. Dies trifft auf alle normalen Güter mit

εx,p =dxxdpp

< 0

zu. Während eine marginale Ausweitung der Absatzmenge zum Ansteigen des Er-löses E(x),

E(x) = p(x) x

(um p dx) führt, wirkt der Preisrückgang – der ja die gesamte verkaufte Mengebetrifft – in entgegengesetzter Richtung ( dp

dx x < 0).

Der Grenzerlös bezeichnet die Auswirkung der letzten (bzw. einer zusätzlich) ver-kauften Einheit auf den Gesamterlös und ist als Resultat von Preis- und Mengen-effekt zu verstehen. Die Grenzerlösfunktion GE(x) ist die Ableitung der Erlösfunk-tion,

GE(x) =dE

dx=

dp

dxx + p.

Das Vorzeichen eines Funktionswertes wird davon bestimmt, welcher Effekt über-wiegt.

17–2

Zurück zur gegebenen Preis-Absatz-Funktion:

Wegen E(x) = p(x) x = (n−mx)x = −mx2 + nx wird

GE(x) = −2mx + n.

Der Schnittpunkt mit der Mengenachse (GE(x) = 0) bestimmt sich zu x = n2m .

p

n

0 n2m

nm

x

p(x) = n−mx

GE(x)

Fazit: Wird eine lineare Preis-Absatz-Funktion angenommen, so hat die zugehö-rige Erlösfunktion die Form einer Parabel. Die Grenzerlösfunktion ist linear undschneidet die Mengen-Achse in der Mitte von Nullpunkt und Sättigungsmenge; ihrAnstieg ist doppelt so steil wie bei der Preis-Absatz-Funktion.

b) p(x) = (n−mx)2

Mit p(x) = m2x2 − 2mnx + n2 wird

E(x) = m2x3 − 2mnx2 + n2x;

somitGE(x) = 3m2x2 − 4mnx + n2.

Als relevant ist nur der fallende Ast der parabelförmigen Preis-Absatz-Funktionanzusehen (0 ≤ x ≤ n

m).

17–3

Die Schnittpunkte der Erlös- und Grenzerlösfunktion mit der Mengenachse kön-nen durch Nullsetzen und Lösen der entsprechenden Polynomgleichung ermitteltwerden; im vorliegenden Fall schneidet die Grenzerlösfunktion die Mengenachse imPunkt x = n

3m .

p

n

0 n3m

nm

x

p(x) = (n−mx)2

GE(x)

Fazit: Wird eine quadratische Preis-Absatz-Funktion angenommen, so folgt alsErlösfunktion ein Polynom 3. Grades. Die Grenzerlösfunktion ist ein Polynom2. Grades und steiler als die Preis-Absatz-Funktion (für Polynome n-ten Gradeskann leicht eine entsprechende Regel abgeleitet werden). Der Schnittpunkt vonGrenzerlösfunktion und Mengenachse befindet sich nun nicht mehr in der Mittevon Null- und Sättigungspunkt. Diese Eigenschaft ist Polynomen 1. Grades vorbe-halten.

c) p(x) = n−mx2

In diesem Falle wirdE(x) = nx−mx3;

somitGE(x) = n− 3x2.

Die Nichtnegativitätsbedingung wird nur vom fallenden Ast der Parabel E(x) er-füllt. Die Schnittpunkte von Erlös- und Grenzerlösfunktion mit der Mengenachsesind in der folgenden Abbilldung eingezeichnet.

17–4

p

n2

0 √n

3m

√nm

x

p(x) = n−mx2

GE(x)

Fazit: Die beim Lösen von Aufgabe 17b) gewonnenen Einsichten finden auch indiesem Beispiel Bestätigung.

18–1

Aufgabe 18)

p

0 x

p(x)E(x)

GE(x)

GK(x)

pM

pP

α tanα = dEdx

xM xP

K(x)

Kf

Πmax

Gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination des Monopolisten

Legende:Menge – xPreis – pPreis-Absatz-Funktion – p(x)Erlösfunktion – E(x)Grenzerlösfunktion – GE(x)Kostenfunktion – K(x)Grenzkosten (hier konstant angenom-men) – GK(x)

Fixkosten – Kf

Monopolpreis – pM

Abgesetze Menge im Monopolfall – xM

Polypolpreis – pP

Abgesetze Menge im Polypolfall – xP

Gewinnmaximum – ΠmaxAnstieg der Erlösfunktion im Cour-notschen Punkt – tan α

18–2

p

0 x

p(x)

E(x)

GE(x)

GK5

...

GK0

p5...

p0

α tanα = dEdx

︸ ︷︷ ︸x5 . . . x0

Lage des Cournotschen Punkts bei alternativen Grenzkosten

Die (hier nicht eingezeichnete) Kostenfunktionist – bei unterstellten konstanten Grenzkosten –eine lineare Funktion. Ihr Anstieg entspricht denGrenzkosten und ist gleich dem Anstieg der Erlös-funktion im Gewinnmaximum.

18–3

p

0 x

p(x)

GK(x)pP

xP

KRP

Konsumentenrente im Polypol bei konstanten Grenzkosten

Im Polypol fließt bei konstanten Grenzkosten diegesamte aus dem Nachfrageverhalten resultierendeRente den Konsumenten zu (Konsumentenrente –KRP ).

18–4

p

0 x

p(x)

GE(x)

GK(x)

pM

pP

xM

KRM

PRM WVM

Konsumentenrente im Monopol bei konstanten Grenzkosten

Der Monopolist stellt dem Markt nur die – gerin-gere – Menge xM zur Verfügung, entsprechendder Preis-Absatz-Funktion bildet sich am Marktder Preis pM . Damit sichert er sich die Produzen-tenrente PRM ; der Nachfrageseite verbleibt nurnoch die Konsumentenrente KRM . Da wenigerproduziert und verbraucht wird, entsteht ein „to-ter“ Wohlfahrtsverlust WVM .

18–5

p

0 x

p(x)

GK(x)pP

xP

KRP

PRP

Konsumentenrente im Polypol bei steigenden Grenzkosten

Bei steigenden Grenzkosten entfällt auch auf dieAnbieter im polypolistischen Markt eine Produzen-tenrente PRP .

18–6

p

0 x

p(x)

GE(x)

GK(x)

pM

pP

xM xP

KRM

PRM WVM

Konsumentenrente im Monopol bei steigenden Grenzkosten

Das Marktergebnis im Monopolfall wird auch beisteigenden Grenzkosten von der „Grenzerlös =Grenzkosten“-Regel bestimmt. Es verringert sichjedoch der „tote“ Wohlfahrtsverlust.

20–1

Aufgabe 20)

a) geg.: q = 10− 3p (Nachfragefunktion q in Abh. v. Preis p)C = 2q + Cf (Kostenfunktion mit variablen und fixen Kosten)

ges.: gewinnoptimale Preis-Mengen-Kombination (p∗, q∗)

Lösung:Max. Π = E(q(p))− C(q(p)) = (10− 3p)p− 2 ∗ (10− 3p)− Cf

Π = 10p− 3p2 − 20 + 6p− Cf = −3p2 + 16p− 20− Cf

dΠ

dp= −6p + 16 = 0

p =8

3

Einsetzen in die Nachfragefunktion ergibt:

q = 10− 3 ∗ 8

3

q = 2

Das Gewinnmaximum des Monopolisten ist erreicht, wenn er die Menge 2 zumPreis von 8

3 anbietet.

b) Was versteht man unter perfekter Preisdiskrimi-nierung im Monopol? Wie ändern sich die Ergeb-nisse gegenüber a), und wie ist diese Veränderungzu beurteilen?

Exkurs: Preisdiskriminierung

Definition: Aufspaltung eines Marktes in Teilmärk-te mit unterschiedlicher Preissetzung (= Diskrimi-nierung, wertneutraler Begriff!) mit dem Ziel, Teileder Konsumentenrente abzuschöpfen.

20–2

PRM

KRM

WVM

p

ppr

pM

pP

0 xM

GE(x)

xS x

GK(x)

Wohlfahrt im Monopol ohne Preisdiskriminierung

20–3

KR

KR

PR

WV

p

ppr

p2

pM

pP

0 x2 xM xS x

GK(x)

Aufspaltung in zwei Teilmärkte (p2 > pM )

20–4

KR

KR

WV

PR

p

ppr

p1

pM

pP

0 x1xM xS x

GK(x)

Aufspaltung in zwei Teilmärkte (p1 < pM )

20–5

KR

KR

WV

KR

KR

KRPR

WV

p

ppr

p2

p1

pM

pP

0 x1xMx2 xS x

GK(x)

Aufspaltung in drei Teilmärkte

20–6

Voraussetzungen:

• monopolistische oder oligopolistische Markt-macht

• fallende Preis-Absatz-Funktion, die eine Konsu-mentenrente hervorruft

• Aufspaltung des Marktes anhand von praktika-blen Kriterien (Heterogenität der Güter)

• Verhinderung von Arbitragegeschäften seitensder Marktteilnehmer

Kriterien für die Marktseparierung:

• sachlich• zeitlich• räumlich• personell

20–7

Aufgabe: Finde Beispiele für die genannten Kriteri-en!

Perfekte Preisdiskriminierung liegt vor, wenn esdem Monopolisten gelingt, von jedem Nachfragereinen Preis entsprechend seiner Zahlungsbereit-schaft zu verlangen. In diesem Fall erhält er diegesamte Konsumentenrente; die abgesetzte Mengeentspricht der des Polypolfalles und kann anhandder „Preis = Grenzkosten“-Regel bestimmt wer-den.

Ist die Anzahl der Nachfrager groß und ihre Zah-lungsbereitschaft entsprechend der Preis-Absatz-Funktion annähernd gleichverteilt, entsprichtdie Produzentenrente im Beispiel auf Folie 20–8 (mit konstanten Grenzkosten) der halben Flä-che des Rechtecks mit den Seitenlängen xPPd undpPr − pmin.

20–8

PR

p

ppr

0 xPPd xS x

GK(x)pmin

Perfekte Preisdiskriminierung

20–9

Vergleich mit der Monopollösung im Beispiel a):Es wird die doppelte Menge abgesetzt (q = 4);der Nachfrager mit der geringsten Zahlungsbereit-schaft muß den Grenzkosten-Preis p = 2 zahlen.Die Konsumentenrente beträgt Null, die Wohlfahrterhöht sich jedoch im Vergleich zur Monopollö-sung (kein „toter“ Wohlfahrtsverlust). Die gesam-te Fläche zwischen der Grenzkosten-Horizontaleund der Preis-Absatz-Funktion geht als Rente anden Produzenten.

21–1

Aufgabe 21)

geg.: K = 150x2 + 600 (Kostenfunktion, x: Anz. Telefonate)

P (x) = 20− 225x (Preis-Absatz-Funktion)

ges.: a) P ∗ (Gewinnmax. Preis des Monopolisten)x∗ (Gewinnmax. Angebot des Monopolisten)

Lösung:

Max.: Π = E(x)−K(x) (Π(x): Gewinnfunktion, E(x): Erlösfunktion)

Π = (20− 2

25x)x− 1

50x2 − 600

Π = − 4

50x2 + 20x− 1

50x2 − 600

Π = − 1

10x2 + 20x− 600

dΠ

dx= −1

5x + 20 = 0

1

5x = 20

x = 100

P ∗ = 20− 2 ∗ 100

25= 12

Kann das Telekommunikationsunternehmen seinen Preis monopolistisch setzen,wird es 100 Gespräche zum Preis von 12 anbieten.

21–2

ges.: b) PGK (Preis in Höhe der Grenzkosten)x|P=GK(x) (Menge bei Grenzkosten-Preissetzung)

Lösung:

K(x) =1

50x2 + 600

GK(x) =dK

dx=

1

25x

P (x) = GK(x)

20− 2

25x =

1

25x

20 =3

25x

x|p=GK(x) =500

3

PGK = 20− 500 · 23 · 25

= 20− 40

3

PGK =20

3

Würde man den Monopolisten veranlassen, seinen Preis in Höhe der Grenzkostenfestzulegen, böte er 500

3 Gespräche zum Preis von 203 an.

21–3

ges.: c) DB|P=PM(Deckungsbeitrag bei monop. Preissetzung)

DB|P=GK (Deckungsbeitrag bei GK-Preissetzung)KR|P=PM

(Konsumentenrente bei monop. Preissetzung)KR|P=GK (Konsumentenrente bei GK-Preissetzung)

Lösung:

DB(x) = E(x)−Kv(x) (Kv(x): Variable Kosten)Kv(x) = 1

50x2

DB|P=PM= 100 · 12− 1002

50DB|P=PM

= 1000

DB|P=GK =500

3· 20

3− 5002

50 · 32=

10000

9− 5000

9

DB|P=GK =5000

9

Der Deckungsbeitrag (=Produzentenrente) des Telekommunikationsunternehmensbeträgt bei monopolistischer Preissetzung 1000, bei Festlegung des Preises in Höheder Grenzkosten 5000

9 Geldeinheiten. Während bei monopolistischer Preissetzungein Gewinn verbleibt, erreicht der bei Grenzkosten-Preissetzung zu erzielendeDeckungsbeitrag für eine Deckung der Fixkosten in Höhe von 5400

9 nicht aus.

KR(x) = 12(Ppr − P )x (Ppr: Prohibitivpreis)

KR|P=PM=

1

2(20− 12) · 100

KR|P=PM= 400

KR|P=GK =1

2· (20− 20

3) · 500

3

KR|P=GK =10000

9≈ 1111

Die Konsumentenrente beträgt bei monopolistischer Preissetzung 400 Geldeinhei-ten; bei Grenzkostenpreissetzung würde sie sich auf ca. 1111 erhöhen.

21–4

p, E,K

ppr = 20

pM

p′R = DK

pR = GK

0 xM x′r

xr xs = 250 x

DK(x)

GK(x)

GE(x)

p(x)

DKmin

Wohlfahrtsverlust bei P = PM

Wohlfahrtsverlust bei monopolistischer Preissetzung

Legende:Menge – xPreis – pPreis-Absatz-Funktion – p(x)Grenzerlösfunktion – GE(x)Grenzkostenfunktion – GK(x)Durchschnittskostenfunktion – DK(x)Monopolpreis – pM

Abgesetze Menge im Monopolfall – xM

Regulierter Preis (P = GK) – pR

Regulierter Preis (P = DK) – p′RAbgesetzte Menge bei GK-Preissetzung– xR

Abgesetzte Menge bei DK-Preissetzung– x′R

21–5

ges.: d) Was versteht man unter einem natürlichen Monopol?

(hier: nur Ein-Produkt-Unternehmung.)

• Aufgrund fallender Durchschnittskosten im relevanten Bereich der Nachfragekann ein Anbieter die gesamte nachgefragte Menge kostengünstiger produzie-ren, als dies bei Erstellung von Teilmengen durch mehrere Firmen möglichwäre

• Aus einem angenommenen Wettbewerb ginge ein Unternehmen als Sieger her-vor, bzw. ein eingesessener Monopolist würde (potentielle) Wettbewerber imPreis unterbieten

• Fallende Durchschnittskosten werden i.d.R. durch hohe Fixkosten begründetund (jedoch nicht notwendig) durch steigende Skalenerträge begünstigt

• Typische Beispiele: Energie- und Wasserversorger (nur Netzbereich), Telekom-Festnetzbetreiber

• Verbesserung der gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrt erfordert Regulierung desMonopolbereichs durch eine staatliche Behörde

• Preissetzung in Höhe der Grenzkosten ist bei Setzung nur eines Preises nichtmöglich (Monopolist erleidet Verlust – s. Abb.)

• Abhilfe: z.B. Preissetzung in Höhe der Durchschnittskosten, Preisdiskriminie-rung

• Im Falle von Mehrproduktunternehmen ergeben sich weitere Probleme undMöglichkeiten der Regulierung

21–6

p, E,K

ppr = 20

pM

p′R = DK

pR = GK

0 xM x′r

xr xs = 250 x

DK(x)

GK(x)

GE(x)

p(x)

DKmin

Verlust bei P = GK

Verlust des Monopolisten bei Preissetzung in Höhe der Grenzkosten

23–1

Aufgabe 23)

Nennen Sie Ihnen bekannte Oligopoltypen undihre jeweiligen Charakteristika.

a. Homogen:

• Cournot-Oligopol:

− Menge ist strategische Variable− Konjekturale Reaktionen:

dqj

dqi= dqi

dqj= 0 (symmetrisch)

• Bertrand-Oligopol:

− Preis ist strategische Variable− Konjekturale Reaktionen:

dpj

dpi= dpi

dpj= 0 (symmetrisch)

• Stackelberg-Oligopol:

− Menge ist strategische Variable− Konjekturale Reaktionen:

dqj

dqi6= 0, dqi

dqj= 0 (asymmetrisch,

Mengenführerschaft des i,Abhängigkeitsposition des j)

23–2

b. Inhomogen:

• Launhardt-Hotelling-Oligopol:

− Preis ist strategische Variable− Konjekturale Reaktionen:

dpj

dpi= dpi

dpj= 0 (symmetrisch)

• Monopolistische Konkurrenz(Chamberlain-Modell):

− Atomistische Marktstruktur− Güter sind unterschiedlich, aber sub-

stituierbar− Konjekturale Reaktionen:

dqj

dqi= 0 ∀(i, j) (symmetrisch)

24–1

Aufgabe 24)Betrachten Sie einen Markt mit der Preis-Absatz-Funktion p(x) = u − vx, wobeiu und v positive Parameter, p der Preis und x die Menge des Gutes sind. Das Gutwird produziert, ohne daß Kosten anfallen.

a) Wie hoch ist die produzierte Menge und wie hoch der Preis des Gutes, wenndie Nachfrage durch einen Monopolisten bedient wird?

Herangehensweise:

1. Aufstellen der gegebenen und gesuchten Größen und ihrer Symbole

2. Formalisieren des Lösungsansatzes: Gewinnfunktion des Monopo-listen aufstellen, Preis-Absatz-Funktion in die Erlösfunktioneinsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen, erste Ablei-tung bilden und nullsetzen, s.o.c. überprüfen

3. Menge ermitteln

4. Menge in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen, Preis ermitteln

5. Antwortsatz formulieren

geg.: p(x) = u− vx, (u, v) > 0

K(x) = 0 (Kostenfunktion)

ges.: xM , pM

Lösung von Teilaufgabe a:

Π(x) = E(x) keine Kosten: Gewinn ist Erlösfunktion!

E(x) = p(x)x = (u− vx)x

Max.: E(x) = −vx2 + ux

dE(x)dx = −2vx + u

d2Edx2 = −2 < 0 s.o.c.: Max.

−2vx + u = 0

xM = u2v

pM = u− v u2v Menge in Preis-Absatz-Fkt. einsetzen

pM = u− u2

pM = 12u

Unter den gegebenen Annahmen wird der Monopolist die gewinnmaximale Mengex = u

2v zum Preis von p = 12u bereitstellen.

24–2

b) Ein anderes Unternehmen (2) entdeckt die erforderliche Geheimformel und istab sofort ebenfalls in der Lage, das Gut ohne Kosten zu produzieren. Jedes derbeiden Unternehmen hält die angebotene Menge des jeweils anderen für gegeben(Cournot-Wettbewerb).Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Menge des Unternehmens 1 in Abhängig-keit der Menge von Unternehmen 2.Zeichnen Sie die Reaktionsfunktionen.

Herangehensweise:

1. Aufstellen der gegebenen und gesuchten Größen und ihrer Symbole

2. Der Monopolist in Teilaufgabe a) ist nun Unternehmen 1

3. Beachte die dem Cournot-Wettbewerb zugrundeliegende Annahmehinsichtlich der konjekturalen (d.h.: vermuteten) Reaktionen:Symmetrische Reaktion von Null, d.h., jeder vermutet vom ande-ren, dieser werde auf seine Aktionen (d.h.: Mengenänderungen)nicht reagieren

4. Formalisieren des Lösungsansatzes: Aufgrund der symmetrisch an-genommenen konjekturalen Reaktionsfunktion reicht ein Lösungs-ansatz für „das“ Unternehmen i: Gewinnfunktion des Unternehmensaufstellen, Preis-Absatz-Funktion in die Erlösfunktion einset-zen

Beachte: 1. Menge beider Unternehmen bestimmt den Preis,2. Die in das Gewinnmaximierungskalkül des Unternehmens i einge-hende Vermutung über das Verhalten des Unternehmens j (d.h., diekonjekturale Reaktion) muß im Cournot-Fall nicht berücksichtigt

werden, da ja φi,j =dxj

dxi

∣∣∣vermutet

= 0 gilt

5. Ausmultiplizieren und zusammenfassen, erste Ableitung bilden,nullsetzen, s.o.c. überprüfen

6. Um die gewinnoptimale Menge zu produzieren, muß jedes Unter-nehmen seinen Output an das Gesamtangebot -- das vom anderenUnternehmen mit bestimmt wird -- anpassen: Es reagiert auf dieGesamtmarktsituation und damit auf das Angebot des Anderen, da-her die Bezeichnung Reaktionsfunktion (xi(xj))

7. Reaktionsfunktion ermitteln und in die Form a− bxj bringen

8. i und j einsetzen -- Bestimmung der Reaktionsfunktionen des 1und auch des 2 (wird für Zeichnung benötigt)

9. Antwortsatz formulieren

geg.: Unternehmen (i, j) mit φi,j =dxj

dxi

∣∣vermutet = 0 (konjekturale Reaktion)

ges.: xi(xj), xj(xi)

24–3

Lösung von Teilaufgabe b:

Πi(xi, xj) = Ei(xi, xj) keine Kosten: Gewinn ist Erlösfunktion!

Ei = p(xi + xj)xi

Ei = (u− v(xi + xj))xi

Max.: Ei = −vx2i + (u− vxj)xi

dEidxi

= −2vxi + u− vxj

d2Ei

dx2i

= −2 < 0 s.o.c.: Max.

−2vxi + u− vxj = 0

xi(xj) =u−vxj

2v

xi(xj) = u2v −

12xj

x1(x2) = u2v −

12x2

x2(x1) = u2v −

12x1

Unter den Annahmen des Cournot-Wettbewerbs ergibt sich die gewinnmaximaleMenge des Unternehmens 1 in Abhängigkeit der Menge des Unternehmens 2 zux1(x2) = u

2v −12x2.

24–4

Zeichnen der Reaktionsfunktionen:

1. Die beiden ermittelten Reaktionsfunktionen können im x1 − x2-Diagramm dargestellt werden

2. Es handelt sich um lineare, fallende Funktionen

3. Größte Menge wird angeboten, wenn der Konkurrent nichts anbie-tet: die Monopolmenge u

2v

4. Bietet der Konkurrent j die Menge uv an (dies ist genau die

Sättigungsmenge entsprechend der Preis-Absatz-Funktion), ziehtsich Unternehmen i aus dem Markt zurück (xi = 0)

5. Wir legen zuerst die Sättigungsmenge und dann die Monopolmenge(= halbe Sättigungsmenge) auf jeder Achse fest

6. Die Verbindungslinie des Monopolpunktes des i oder j mit dem ge-genüberliegenden Sättigungspunkt ist die Reaktionsfunktion die-ses Unternehmens

7. Der Monopolpunkt eines Unternehmens ist Ausgangspunkt seinerReaktionsfunktion -- daran läßt sich die Zugehörigkeit der Kur-ven unverwechselbar erkennen

8. Unter den getroffenen Verhaltensannahmen ist es für jedes Un-ternehmen am günstigsten, wenn es bei gegebenem Verhalten desAnderen einen Produktionspunkt auf seiner Reaktionsfunktionsucht (siehe auch Exkurs unten), daher ist das Gleichgewicht(Schnittpunkt beider Geraden) stabil

24–5

x2

xM2

xC−O2

0 xC−O1 xM

1x1

x1(x2)

x2(x1)

E

Reaktionsfunktionen der Unternehmen 1 und 2 im Cournot-Oligopol

Legende: xMi – Monopolmenge des i

xC-Oi – Menge des i im Cournot-O.

E – Gleichgewichtspunkt im Cournot-O.

24–6

Exkurs: Reaktionsfunktionen

• Die Reaktionsfunktion des Unternehmens 1 x1(x2) zeigt an, welche Menge Un-ternehmen 1 bei gegebener Menge des Unternehmens 2 anbietet und dabei sei-nen eigenen Gewinn maximiert

• vice versa zeigt x2(x1) die gewinnmaximale Produktionsmenge des Unterneh-mens 2 bei gegebener Menge des Unternehmens 1 an

• Daß alle auf der Reaktionsfunktion eines im Cournot-Dyopol operierenden Un-ternehmens dessen Gewinn maximieren, kann anhand der Isogewinnlinien imx1–x2–Diagramm leicht nachvollzogen werden: Produziert Unternehmen 1 z.B.eine höhere Menge als die – bei unveränderter Menge des 2 – aus der Reakti-onsfunktion folgende, so gelangt es durch Drosselung der Menge so lange aufhöhere Isogewinnlinien, bis es den entsprechenden Punkt auf seiner Reakti-onsfunktion erreicht hat. Weiteres Zurücknehmen der Menge würde indes denGewinn des 1 schmälern (Verlassen der höchstmöglichen Isogewinnlinie).

Was sind Isogewinnlinien?

− Isogewinnlinien eines Unternehmens i im Dyopol sind das Kontinuum al-ler (xi, xj)-Kombinationen, bei denen der Gewinn des Unternehmens i denselben Betrag aufweist

− Die Gewinnfunktion des Unternehmens 1 im Beispiel (mit Kosten = Null)lautet

Π1 = p(x1 + x2)x1

Π1 = (u− v(x1 + x2))x1

Π1 = −vx21 + ux1 − vx2x1

Für alle (p, x1)-Kombinationen mit Π1 = px1 (d.h., mit konstantem GewinnΠ1) gilt somit

vx2x1 = −Π1 − vx21 + ux1,

bzw.

x2|Π1

=−Π1

vx1− x1 +

u

v(24− 1)

− Die fallende lineare Funktion −x1 + uv verbindet die beiden Punkte (S1, S2),

welche den Sättigungsmengen auf der x1- und der x2-Achse entsprechen(Vgl. Abb. nächste Seite).

− Die Hyperbel h(Π1,k) =Π1,k

vx1schneidet die Strecke S1S2 in höchstens 2

Punkten, bzw. tangiert sie im Monopolfall im Punkt ( u2v , u

2v ) (der Index kbezeichnet unterschiedliche Gewinniveaus).

Aufgabe: Zeige dies!

− Dem vertikalen Abstand zwischen h(Π1,k) und S1S2 entspricht der vertikaleAbstand zwischen den entsprechenden Punkten auf der x1-Achse und derIsogewinnlinie Π1,k, die auf diese Weise konstruiert werden kann

− Der Punkt des Gewinnmaximums im Monopolfall entspricht dem Anfangs-punkt der Reaktionsfunktion xM

1

24–7

x2

0 xM1

x1

x1(x2)

S2

S1

h(Π1,M )

h(Π1,1)Π1,1

Herleitung der Isogewinnkurve

− Die Isogewinnfunktion Gl. (24-1) weist ein Maximum auf, wie leicht gezeigtwerden kann:

dx2dx1

= Π1

vx21− 1 = 0 (Ableitung v. Gl. (24-1) Null setzen)

Π1x1

= vx1

Beachte: Wegen K(x) = 0 gilt Π1 = px1, somit:

vx1 = p

Wird u− v(x1 + x2) für p eingesetzt, folgt

vx1 = u− v(x1 + x2),

x1 = uv − x1 − x2,

2x1 = uv − x2,

x1 = −12x2 + u

2v

d.h., jede Isogewinnlinie des Unternehmens 1 hat ein Maximum, das aufseiner Reaktionsfunktion liegt. (Gleiches gilt natürlich auch für Unterneh-men 2.)

24–8

− x2|Π1

= 0 in Gl. (24-1) eingesetzt,

0 = − Π1

vx1− x1 +

u

v,

führt zu der quadratischen Gleichung

x21 −

u

vx1 +

Π1

v= 0

mit den Lösungen

x1,2 =u

2v∓Θ, Θ =

√( u

2v

)2− Π1

v;

d.h., die Isogewinnlinien beginnen und enden symmetrisch links und rechtsder Monopolmenge xM

1 .

− Es kann keine Isogewinnlinie außerhalb des Intervalls (0, Si) beginnen oderenden.

Aufgabe: Zeige dies!

− Außerdem ist leicht ersichtlich, daß für Π1 = 0 und x1 > 0 die Isogewinn-linie auf der Strecke S1S2 liegt. Alle weiteren Isogewinnlinien (außer PM

1 )liegen somit innerhalb des Dreiecks S20S1.

− Eine freihändig gezeichnete Isogewinnlinie sollte somit symmetrisch um PMi

beginnen und enden, bis zum Erreichen des Maximums auf der Reaktions-funktion des i stetig steigen und anschließend stetig fallen; sie darf wederandere Isogewinnlinien noch die xj-Achse oder die Strecke S1S2 berühren.

24–9

x2

x10 xM1

S2

S1

Einige Isogewinnlinien des Unternehmens 1

x2

xM2

x10 xM1

S2

S1

Einige Isogewinnlinien der Unternehmen 1 und 2

24–10

x2

x10 xM1

AB

Π1,2

Π1,1

Optimale und suboptimale Menge im Cournot-Modell

• Produziert Unternehmen 1 jenseits seiner Reaktionsfunktion (z.B. auf PunktA der Abbildung oben), kann es seinen Gewinn steigern (in der Abbildung vonΠ1,2 auf Π1,1). Hierfür muß es den der gegebenen Menge des Unternehmens2 entsprechenden Punkt auf seiner Reaktionsfunktion wählen (Übergang aufPunkt B in derselben Abbildung).

24–11

c) Wie lauten Absatz eines Unternehmens und Preis und des Gutes im Gleichge-wicht?

Herangehensweise:

1. Aufstellen der gesuchten Größen und ihrer Symbole

2. Es wird das Unternehmen i betrachtet, das auf die Menge des jreagiert, dessen Verhalten ebenfalls von einer Reaktionsfunk-tion beschrieben wird (die Reaktionsfunktionen wurden in Tei-laufgabe b) hergeleitet)

3. Einsetzen der Reaktionsfunktion des j in die Reaktionsfunktiondes i

4. Aus der Abbildung der Reaktionsfunktionen wurde bereits er-sichtlich, daß der gewinnoptimale Punkt für beide im Schnitt-punkt der Reaktionsfunktionen liegt -- aufgrund dieser Symme-trie gilt das Ergebnis einer Firma auch für die andere

5. Gesamten Absatz (1+2) in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen

6. Antwortsatz formulieren.

ges.: x∗i , P∗

Lösung von Teilaufgabe b:

x∗i = u2v −

12x∗j (Reaktionsfunktion des i)

x∗i = u2v −

12( u

2v −12x∗i ) (Reaktionsfunktion des j einsetzen)

u2v −

u4v + 1

4x∗i

34x∗i = u

4v

x∗i = u3v

x∗j = x∗i (Symmetrie des Modells)

p∗ = u− v(x1 + x2) (Preis-Absatz-Funktion)

p∗ = u− v 2u3v

p∗ = 13u

Jedes der Unternehmen setzt die Menge u3v zum Preis von 1

3u ab.