Aufgabenblatt 1 S.1 SS19 - uni-kiel.de · Aufgabenblatt 1 S.2 SS19 c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nur die Frauen zusammensitzen möchten? d) BeantwortenSiedieselbenFragenfürzweiMännerundzweiFrauenund

Aufgabenblatt 1 S. 1 SS19

A1: Welche Mengen sind gleich?

a) r, s, t b) s, t, r, s c) t, s, t, r d) s, r, s, t

A2: Sei M = r, s, t. Welche Aussagen sind wahr?

a) r ∈M b) r ⊆M c) r ∈M d) r ⊆M

A3: Zeigen Sie: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

A4: Zwei Mengen A,B heißen disjunkt, falls A ∩B = ∅. Zeigen Sie:

Für je zwei Mengen A,B sind die folgenden Mengen paarweise disjunkt:

A\B,A ∩B,B\A

und es gilt: A ∪B = (A\B) ∪ (A ∩B) ∪ (B\A)

A5: Sei Ω Grundgesamtheit, A,B,C ⊆ Ω. Machen Sie sich klar:

a) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ Ω = Ω, A ∩ Ω = A.

b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

c) A ∪ Ac = Ω, A ∩ Ac = ∅.

d) (Ac)c = A, ∅c = Ω, Ωc = ∅.

e) A ⊆ A ∪B, B ⊆ A ∪B.

f) A ∩B ⊆ A, A ∩B ⊆ B.

g) A\B ⊆ A, B\A ⊆ B.

h) A ∪ A = A ∩ A = A.

i) A ⊆ B ⇒ A ∩B = A und A ∪B = B.

A6: Sei A = a, b, c, d. Listen Sie lexikographisch alle 2- und 3-Permutationenauf!

A7: Bestimmen Sie alle Permutationen von M = 1, 2, 3!

A8: Bestimmen Sie alle 3-Kombinationen aus M = 1, 2, 3, 4, 5!

A9: Angenommen, drei Männer und zwei Frauen wollen sich nebeneinander ineine Reihe setzen.

a) Wie viele Sitzplatzverteilungen sind insgesamt möglich?

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sowohl die Männer als auch dieFrauen zusammensitzen möchten?


c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nur die Frauen zusammensitzenmöchten?

d) Beantworten Sie dieselben Fragen für zwei Männer und zwei Frauen undlisten Sie hier zur Kontrolle die Möglichkeiten auf!

e) Wie wahrscheinlich sind die entsprechenden Ereignisse, falls die Sitzplät-ze zufällig verteilt werden?

A10: Auf wie viele Arten kann man beim Skat Karten geben? (Beim Skatspielerhalten drei Spieler je 10 von 32 Karten, 2 Karten bleiben übrig. Es kommthier nur auf das Ergebnis, nicht auf die Austeilprozedur an.)

A11: Ein Psychologe plant ein Experiment mit zwei Experimentalgruppen undeiner Kontrollgruppe. Ihm stehen 30 Vpn zur Verfügung, die er “per Zufall“so auf die drei Untersuchungsbedingungen aufteilen möchte, daß unter jederBedingung 10 Personen untersucht werden. Wie viele Aufteilungsmöglich-keiten bestehen?

A12: Aus einer Urne mit 10 Kugeln werden 4 Kugeln mit Zurücklegen mitBerücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Bestimmen Sie die Anzahl derMöglichkeiten!

A13: a) Wie viele k-Tupel aus 0, 1 gibt es, in denen r-mal (r ≤ k) die Einsvorkommt?

b) Wie viele Möglichkeiten des Ziehens mit Zurücklegen und mit Berück-sichtigung der Reihenfolge aus 0, 1 gibt es, in denen siebenmal die 0

und dreimal die 1 vorkommt?

c) Eine Münze (Kopf, Zahl) werde 10-mal geworfen. Wie viele Möglichkeitengibt es, bei einer solchen Sequenz von 10 Würfen ein Ergebnis zu erhalten,bei dem 4-mal Kopf auftritt?

A14: Ein Kaninchenzüchterverein bestehe aus 9 Männern und 3 Frauen. Er solleine Abordnung von 4 Mitgliedern auf eine Fachtagung entsenden.

a) Wie viele Abordnungen sind insgesamt möglich?

b) Wie viele von ihnen enthalten wenigstens eine Frau?

c) Wie viele von ihnen enthalten genau eine Frau?

A15: Bestimmen Sie (a+ b)3, (x+ y)5, (2u+ v2)4.

A16: Berechnen Sie(53

),(1411

),(9996

),(993

).


A17: Zeigen Sie: H(n,m, k) = H(n, k,m) (H ist die hypergeometrische Vertei-lung).


A1: Zeigen Sie die De Morgan’schen Regeln:

(A ∪B)c = Ac ∩Bc und (A ∩B)c = Ac ∪Bc

A2: Sei Ω = 1, 2, 3. Bilden Sie P(Ω) und bestimmen Sie |Ω| und |P(Ω)|.

A3: Ω sei eine Grundgesamtheit, A, B, C ∈ P(Ω) seien Ereignisse. SchreibenSie die folgenden Ereignisse als Mengen:

Von den drei Ereignissen A, B, C ereignen sich

a) nur A b) A und B, aber nicht C c) alle drei Ereignisse

d) wenigstens eines der Ereignisse e) wenigstens zwei der Ereignisse

f) genau eines der Ereignisse g) genau zwei der Ereignisse

h) keines der Ereignisse i) nicht mehr als zwei Ereignisse.

A4: Sei Ω = 1, ..., 6 × 1, ..., 6 die Ergebnismenge eines Werfens mit zweisymmetrischen und unabhängigen Würfeln.

Seien folgende Ereignisse gegeben:

D : „Augensumme = 6“, E : „Augensumme = 7“, F : „Pasch, d.h. gleicheZahl auf beiden Würfeln“.

Listen Sie diese Ereignisse als Mengen auf und veranschaulichen Sie sie sichin einem geeigneten Diagramm.

Sei G die Menge der geraden, U die Menge der ungeraden Würfelzahlen.

Berechnen Sie das Wahrscheinlichkeitsmaß P von D, E, F , G× U , U ×G.Listen Sie auch die letzten beiden Mengen auf und veranschaulichen Sie siesich. Wie würde man diese Ereignisse mit Worten beschreiben?

A5: Zwei unterscheidbare Würfel werden geworfen. Bekanntlich läßt sich diesesZufallsexperiment beschreiben durch die Grundgesamtheit Ω = 1, ..., 62.Sei A das Ereignis “ungerade Augensumme“, B das Ereignis “mindestenseiner der Würfel zeigt eine 6“. Beschreiben Sie die Ereignisse A∩B, A∪B,A ∩Bc. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A, B, A ∩B, A ∪B,A∩Bc unter der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarer-eignisse.

A6: Sei < Ω, P > W-Raum mit Ω = 1, ..., 6 und P (1) = q, P (2) =

2q, ..., P (6) = 6q; q ist geeignet zu wählen.

a) Wie groß ist P (1) ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl?


A7: In einem W-Raum < Ω, P > sei:

P (A) = 13, P (Bc) = 1

4, A,B ∈ P(Ω).

Können die Ereignisse A und B disjunkt sein?

A8: Auf einem Notizzettel eines Studenten finden sich die folgenden Ausführun-gen:

„Ω = a, b, c, d, e Grundgesamtheit, P sei W-Maß mit

P (a) := 0.34, P (b) := 0.17, P (c) := 0.09, P (d) := 0.36

Sei A := a, d, e, B := a, c, b, C := d, e;

P (A ∩B) = 0.34; P (B ∩ C) = 0; P (A ∩ C) = 0.43“

Was ist hier fehlerhaft? Korrigieren Sie!

A9: Ein Spielautomat besitzt zwei Scheiben, die beide Zahlen zwischen 1 und4 anzeigen können (Die Grundgesamtheit ist also 1, 2, 3, 4 × 1, 2, 3, 4).Der Mechanismus führt dazu, daß die möglichen Kombinationen mit fol-genden Wahrscheinlichkeiten auftreten (die Zeilen entsprechen wie üblichden Zahlen auf der ersten Scheibe, die Spalten denen auf der zweiten):

1 2 3 41 .1 .02 .03 .052 .05 .2 .01 .043 .09 .05 .1 .014 .06 .03 .06 .1

Es sei A das Ereignis „Beide Scheiben zeigen die gleiche Zahl“, B das Ereignis„Die Summe ist (echt) größer als 3“ und C das Ereignis „Die zweite Scheibezeigt eine gerade Zahl“.

a) Geben Sie folgende Ereignisse (durch Aufzählen ihrer Elemente) an undberechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeiten:

P (A ∩B), P ((A ∪ Cc) ∩B)

b) Berechnen Sie P (C|A) und P (Bc|C).


A10: An einer unbeleuchteten Tankstelle stehen vier Zapfsäulen: A, B, C undD. Ein Autofahrer, der tanken will, muß eine zufällig auswählen. Die An-ordnung der Säulen ist so, daß die Säule A mit einer Wahrscheinlichkeitvon 20% ausgewählt wird, die Säulen B und C mit 40% bzw. 30% Wahr-scheinlichkeit. Das Benzin hat eine unterschiedliche Qualität: Benzin aus Aführt in 10% der Fälle zu einem Motorschaden (und damit zum Stillstanddes Automobils), bei B beträgt diese Wahrscheinlichkeiten 20%, und bei Cund D kommt ein Schaden in 40% der Fälle vor.

a) Wie wahrscheinlich ist es, daß ein Auto nach dem Tanken einen Motor-schaden bekommt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Auto von Säule A getankthat, wenn es stehenbleibt? Wie groß sind die entsprechendenWahrschein-lichkeiten für B, C und D?

c) Zwei Statistiker schlagen Entscheidungsregeln für die Frage vor, aus wel-cher Säule gezapft wurde: Der erste vermutet bei Motorschaden die Säu-le B und andernfalls die Säule C, der zweite vermutet bei Motorschadendie Säule C und sonst die Säule A. Bei welcher Entscheidungsregel istdie Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung geringer? (Für ganzSchlaue - ohne Wertung: Wissen Sie eine noch bessere Regel?)

d) Eine weitere ebenfalls unbeleuchtete Tankstelle verkauft die gleichen Sor-ten Benzin (die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten für Motorschaden än-dern sich also nicht), nur hat sie die entsprechenden Säulen anders auf-gestellt, so daß die Wahrscheinlichkeiten, eine bestimmte Säule auszu-wählen, anders sind als bei der ersten Tankstelle. Bei dieser Tankstellesind die bedingten Wahrscheinlichkeiten, aus A, B, C oder D getankt zuhaben, falls das Auto stehenbleibt, alle gleich groß. Wie wahrscheinlichist bei dieser Tankstelle ein Motorschaden?

A11: Drei äußerlich nicht unterscheidbare Kästen enthalten jeweils zwei Mün-zen. Der erste enthalte zwei Goldmünzen, der zweite zwei Silbermünzen,der dritte sowohl eine Gold als auch eine Silbermünze. Nun wird zufälligein Kasten gezogen und daraus blind zufällig eine Münze entnommen. Wiegroß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die zurückbleibende Münze aus Goldist, wenn die entnommene aus Gold war?

A12: Ein amerikanisches TV-Unterhaltungsquiz hat als Höhepunkt folgendesSpiel: Der Kandidat wird vor drei Garagentüren geführt, von denen hintereiner ein Auto steht (hinter den beiden anderen eine Ziege). Der Kandidat


darf eine Tür auswählen. Diese wird jedoch nicht geöffnet, vielmehr öffnetder Quizmaster eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Daraufhin darfder Kandidat nochmal zwischen den beiden verbliebenen Türen wählen.Falls er die Tür mit dem Auto wählt, gehört das Auto ihm. Vergleichen Siedie Erfolgsaussichten der beiden folgenden Strategien mit Hilfe der Formelvon der totalen Wahrscheinlichkeit:

1) Der Kandidat bleibt bei seiner ersten Wahl

2) Der Kandidat wählt die andere Tür


A1: Für zwei Ereignisse A und B gelte P (A) = 1/4, P (B) = 1/3.

a) Wie groß ist P (A ∪B), falls A und B unabhängig sind?

b) Wie groß ist P (Ac ∪B), falls A und B disjunkt sind?

c) In einem anderen W-Raum gelte für zwei Ereignisse A und B

P (A) = .8, P (B) = .5, P (A ∪B) = .9

Sind die Ereignisse A und B unabhängig?

d) In einem weiteren W-Raum seien drei Ereignisse A, B und C (gemein-sam) unabhängig und es gelte:

P (A ∩B) = .3, P (A ∩ C) = .2, P (C) = .4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau zwei dieser Ereignisseeintreten?

A2: a) Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gelte: P (A) = .3 und P (B) =

.6. Wie groß ist P (A|B)?

b) Wie groß ist für die beiden Ereignisse aus Teil a) die WahrscheinlichkeitP (A\B)?

c) Wie groß ist für diese Ereignisse die Wahrscheinlichkeit P (Ac ∩Bc) (Ec

bezeichnet das Gegenereignis eines Ereignisses E)?

d) Für zwei weitere unabhängige Ereignisse C und D gelte P (C ∪D) = 1.Zeigen Sie, daß dann mindestens eines der beiden Ereignisse Wahrschein-lichkeit 1 haben muß.

A3: Beweisen Sie:

Sind A,B unabhängig und disjunkt, so gilt: P (A) = 0 oder P (B) = 0.

A4: Sei Ω := a, b, c, d Laplaceraum, seien A := a, b, B := a, c, C :=

b, c Ereignisse. Zeige: A, B, C sind zwar paarweise unabhängig, aber nichtgemeinsam unabhängig.

A5: Für drei Ereignisse A, B und C gelte: A und C sind disjunkt und B undC sind unabhängig. Ferner sei bekannt:

P (C) = .6, P (A ∩B) = .1, P (B ∩ C) = .3 und P (A ∪B ∪ C) = 1.

Bestimmen Sie


P (B), P (A), P ((A ∪B)\C) und P ((A ∩B)|(A ∪B))

(Ein Venn-Diagramm könnte nützlich sein.)

A6: Gegeben sei die Situation aus Aufgabe 4 in Aufgabenblatt 2. BestimmenSie

P (F |D), P (D|F ), P (D|U × U), P (U × U |D), P (U × U |E).

Beschreiben Sie diese Ereignisse auch in Worten.

A7: Sei < Ω, P > der W-Raum für das Werfen mit zwei Würfeln.

(Ω = 1, ..., 6 × 1, ..., 6, Laplaceraum).

Gegeben seien die Zufallsvariablen

X : Ω→ R; X(ω1, ω2) := ω1 + ω2 (Augensumme),

Y : Ω→ R; Y (ω1, ω2) := ω1 (Augenzahl des ersten Würfels),

Z : Ω→ R; Z(ω1, ω2) := ω2 (Augenzahl des zweiten Würfels).

a) Berechnen Sie P (X > 7.5) !

b) Sei C = (1.3, 5.8). Berechnen Sie P (X ∈ C)!

A8: Sei < Ω, P > der W-Raum für ein Schildkrötenrennen mit Ω = a, b, c, d, e(Schildkröten) und der Siegwahrscheinlichkeit P . Sei f die zu P gehörendeW-Funktion.

Auf den Sieg der Schildkröten können Wetten abgeschlossen werden. DerWetteinsatz beträgt 1 DM. Es gibt zwei verschiedene Wettmöglichkeiten,die durch die ZufallsvariablenX und Y dargestellt werden:X und Y ordnenjeder Schildkröte den Gelderhalt bei ihrem Sieg zu. Die Werte entnehmeman der folgenden Tabelle:

ω f(ω) X(ω) Y (ω)

a 0.4 0 2

b 0.2 0 1

c 0.2 1 0

d 0.1 2 0

e 0.1 4 0

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen fX , fY !

A9: Bestimmen Sie zu den Situationen aus Aufgabe 7 und Aufgabe 8 die ge-meinsame Verteilung der Zufallsvariablen X und Y samt Randverteilungen!


A10: Gegeben sei die Situation aus Aufgabe 7. Bestimmen Sie

a) Die bedingten Verteilungen von X unter den Bedingungen Y = 2 undY = 5

b) Die bedingten Verteilungen von Y unter den Bedingungen X = 4, X = 7

und X = 10.


A1: Die Zva’en X, Y besitzen eine gemeinsame W-Verteilung, die folgenderma-ßen festgelegt sei:

X\Y 1 2 3

1 6/32 1/32 1/32

2 12/32 2/32 2/32

3 6/32 1/32 1/32

Bestimmen Sie die Randverteilungen sowie die bedingten W-Verteilungen.Sind die Zva’en X und Y voneinander unabhängig?

A2: Man werfe gleichzeitig zwei Würfel, einen roten und einen blauen. Bezeich-nen Sie mit X1 die Zva, die jedem Augenpaar die Augenzahl des roten, mitX2 diejenige, die jedem Augenpaar die Augenzahl des blauen Würfels zu-ordnet. Definieren Sie weiterhin die Zva’en Y1 := X1 +X2, Y2 := X1−X2.Die Würfel seien symmetrisch und unabhängig.

a) Beschreiben Sie die zugrundeliegende Grundgesamtheit: welche Wertekönnen die Zva X1, X2, Y1, Y2 annehmen? Geben Sie für die Zva’enX1, X2, Y1, Y2 jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilungen an; stellen Siediese Verteilungen graphisch dar!

b) Geben Sie die gemeinsame W-Verteilung von X1 und X2 sowie die vonY1 und Y2 an!

c) Sind die Variablen X1, X2 stochastisch unabhängig? Sind die VariablenY1, Y2 stochastisch unabhängig?

d) Geben Sie die bedingte W-Verteilung von Y1 an für Y2 = 0!

e) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) P (Y2 = 0)

b) P (Y1 = 12, Y2 = 0)

c) P (2 ≤ Y1 ≤ 5,−1 ≤ Y2 ≤ 1)

d) P (2 ≤ Y1 ≤ 12, Y2 = 0)

e) P (2 ≤ Y1 ≤ 12 |Y2 = 0)

f) P (−5 ≤ Y1 ≤ 1, −5 ≤ Y2 ≤ 1)

g) P (−5 ≤ Y1 ≤ 1 oder − 5 ≤ Y2 ≤ 1)

A3: X, Y seien unabhängige Zufallsvariablen mit folgendermaßen definierten W-Verteilungen:


X 1 2

PX 0.6 0.4

Y 0 1 2

PY 0.2 0.5 0.3

a) Man bestimme die gemeinsame W-Verteilung der ZufallsvariablenX undY .

b) Man bestimme die W-Verteilung der Zufallsvariablen X + Y, X · Y .

A4: Sei Ω eine Population. Auf Ω seien zwei Zva’en X und Y so definiert:

X : Ω→ R mit X(p) :=

0, falls Person p Nichtraucher1, sonst

Y : Ω→ R mit Y (p) :=

0, falls Person p nicht krebskrank1, sonst

Die gemeinsame W-Verteilung von X und Y sei durch folgende Tafel gege-ben:

X\Y 0 1

0 0.29 0.01

1 0.66 0.04

Man bestimme:

a) die Randverteilungen PX , PY

b) die bedingten W-Verteilungen.

A5: Unter den Kranken einer psychiatrischen Abteilung kommen die Körperbau-typen (K) pyknisch (p), leptosom (l) und athletisch (a) sowie die Erkrankun-gen (E) Schizophrenie (s), manisch-depressives Irresein (m) und Epilepsie(e) vor. In einer Stichprobe von 20 Patienten findet man:

Patient K E Patient K E Patient K E Patient K E1 p m 6 l e 11 l s 16 a e2 l m 7 p m 12 a e 17 p s3 p s 8 a e 13 p e 18 l s4 l s 9 a m 14 a s 19 a e5 p e 10 l m 15 a s 20 a m

Erstellen Sie die Kontingenztafeln der absoluten und relativen Häufigkei-ten der beiden Variablen mit Randverteilungen. Zeichnen Sie Diagrammefür die absoluten Häufigkeiten von K und E. Zeichnen Sie die Diagramme


für die gemeinsame Verteilung der beiden Variablen (relative Häufigkeiten).Zeichnen Sie ferner alle Diagramme der bedingten relativen Häufigkeiten.Überzeugen Sie sich davon, dass die relativen Randhäufigkeiten die gewich-teten Mittel der bedingten relativen Häufigkeiten sind.

A6: Wie sehen die unterschiedlichen Diagramme der relativen Häufigkeiten undbedingten relativen Häufigkeiten von zwei Variablen qualitativ aus, wennUnabhängigkeit vorliegt? Wie sehen sie qualitativ bei vollständiger Ab-hängigkeit aus? Gibt es Beziehungen zu den Diagrammen der Randvertei-lungen?

A7: Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

a) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat einen Ein-fluß auf den Wert des ϕ2-Koeffizienten, da die bedingten relativen Häufig-keiten bei unterschiedlicher Anordnung der Variablenstufen unterschied-lich ausfallen.

b) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat keinen Ein-fluß auf den Wert des ϕ2-Koeffizienten.

c) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat nur danneinen Einfluß auf den ϕ2-Koeffizienten, wenn die Zeilenzahl von der Spal-tenzahl differiert.

A8: Betrachten Sie die Kontingenztafel (mit absoluten Häufigkeiten):

B1 B2

A1 a bA2 c d

Zeigen Sie: ϕ2 = (ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Die Rechnung ist etwas kompliziert; wenn Sie die Lösung nicht in vertret-barer Zeit erreichen, nehmen Sie nur die Formel zur Kenntnis.

A9: Welche Aussagen sind richtig?

a) ϕ′ = 0 genau dann, wenn die die beiden Variablen unabhängig vonein-ander sind.

b) ϕ′ = 0, falls die beiden Variablen unabhängig voneinander sind. DieUmkehrung ist i.a. nicht richtig.


c) Die beiden Variablen sind unabhängig voneinander, falls ϕ′ = 0; DieUmkehrung ist i.a. nicht richtig.

A10: a) Die Verteilung von zwei Variablen X und Y in einer Stichprobe ist ineiner Kontingenztafel mit relativen Häufigkeiten zusammengefaßt, in derleider einige Zahlen unleserlich geworden sind.

X\Y 1 2 31 .02 .10 .42 .013 .02 .39

.09 .22

Ergänzen Sie die restlichen Zahlen und zeichnen Sie ein Schaubild derbedingten relativen Häufigkeitsverteilung von X für Y = 3

b) Von der Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten von zwei anderenVariablen U und V ist nur folgender kümmerlicher Rest übriggeblieben:

U\V 1 2 31 .12 .1 .1

1

Allerdings haben Sie folgende Zusatzinformationen: h(U = 1|V = 1) = .5

und h(V = 2|U = 2) = .25. Ergänzen Sie damit den Rest der Tafel!(Kümmern Sie sich zunächst um h(U = 2)!)

A11: In einer Stichprobe von 80 Versuchspersonen wurden zwei Variablen erho-ben. Aus der Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten sind die folgendenZahlen bekannt:

X\Y 0 2 41 5 5 202 20

20 80

a) Vervollständigen Sie die Tafel!

b) Berechnen Sie den ϕ2, ϕ′ und χ2!

c) Wie müßte das Innere einer Kontingenztafel aussehen, die die gleichenRandverteilungen hat wie die angegebene und zu einem χ2-Wert von 80führt?


d) Eine Kontingenztafel mit 4 bzw. 5 Ausprägungen der beiden Variablenführt zu einem χ2-Wert von 150. Wieviele Versuchspersonen wurdendann mindestens erfasst?

A12: a) Berechnen Sie den ϕ2, ϕ′ und χ2 für die folgende Kontingenztafel:X\Y 0 1 2 30 6 6 4 41 2 8 14 62 2 6 12 30

b) Ein Forscher entdeckt in seinen Aufzeichnungen die Randverteilungender absoluten Häufigkeiten einer Kontingenztafel:

x 1 2 3 y 0 1n(X = x) 6 5 9 n(Y = y) 8 ?

Er meint sich dunkel zu erinnern, daß die Variablen in der Stichprobeentweder unabhängig oder vollständig abhängig waren. Kann das sein,oder ist beides unmöglich?


A1: Der durchschnittliche IQ einer Gruppe von 40 Personen sei 90, der eineranderen Gruppe von 60 Personen 120. Wie groß ist der durchschnittlicheIQ aller 100 Personen?

Warum kann die Lösung als gewichtetes Mittel interpretiert werden?

A2: Die Jahreseinkünfte von vier Personen betragen 10.000 DM, 12.000 DM,13.000 DM und 60.000 DM. Berechnen Sie Mittelwert und Median. In wel-chem Sinne ist hier der Median typischer für die vier Einkommen als derMittelwert?

A3: Man gebe diejenige lineare Funktionsgleichung an, deren Gerade durch diePunkte (2,−3) sowie (4, 5) läuft. Wo schneidet diese Gerade die y-Achse?Welche Steigung besitzt sie?

A4: Es wäre schön, wenn die folgende Aussage allgemeine Gültigkeit hätte:

Zwischen dem ersten und dritten Quartil (jeweils einschließlich) liegen min-destens 50 % der Daten.

Ob die Aussage richtig ist, hängt auch von der Anzahl der Elemente derDatenreihe ab. Untersuchen Sie getrennt die Fälle, daß der Rest bei Divi-sion der Anzahl der Elemente durch 4 den Wert 0, 1, 2, 3 hat. In welchenvon diesen Fällen ist die Aussage immer richtig? Konstruieren Sie für dieanderen Fälle Beispiele, in denen die Aussage falsch ist und solche, in denensie richtig ist.

A5: Prüfen Sie für das Beispiel mit den Boxplots für drei Gruppen aus der Ver-anstaltung nach, ob die Zeichnungen alle korrekt sind (auch die Abbildungmit Mittelwerten ± Standardabweichung).


A1: Wann gilt 1n

n∑i=1

(xi −Mx)2 = 0?

A2: Zeigen Sie, daß für jede Datenreihe mit Mittelwert M und Median Md

folgendes gilt:

1

n

n∑i=1

|xi −Md| ≤ 1

n

n∑i=1

|xi −M |

Wenn Sie mit der allgemeinen Aussage Schwierigkeiten haben, so untersu-chen Sie die Datenreihe 1, 2, 3, 10, um eine Idee für den allgemeinen Fallzu bekommen.

A3: Es seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Es gelte a ≤ xi ≤ b für alle 1 ≤ i ≤ n. ZeigenSie, dass daraus a ≤MX ≤ b folgt.

A4: In einer Klausur sitzen 30 Studentinnen und 20 Studenten. Die Ergebnissewerden getrennt ausgewertet: Der Mittelwert der Ergebnisse bei den Stu-dentinnen ist 20 bei einer Streuung von 5, der Mittelwert der Studenten istdagegen nur 15 bei einer Streuung von 10.

a) Wie groß ist der Mittelwert der Gesamtgruppe?

b) Wie groß sind Varianz und Streuung in der Gesamtgruppe? (Hinweis:Ermitteln Sie zunächst den Mittelwert der quadrierten Werte!)

A5: Es liege folgende Meßwertreihe vor: 8; 2; 10; 8; 4; 0; 2; 6; 2; 14; 6; 10

a) Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz!

b) Wie groß sind Modus und Median?

c) Ein Statistikdozent möchte den Aufwand beim Erstellen einer Statistik-klausur geringhalten und übernimmt die Daten einer Aufgabe aus demletzten Jahr, nachdem er sie der linearen Transformation y = 2x − 2

unterworfen hat. Wie groß wären der Mittelwert und die Varianz derfrüheren Daten gewesen, wenn die transformierten Daten die aus dieserAufgabe wären?

d) Eine Datenreihe liefert einen Mittelwert von 5 und eine Streuung von6. Die Daten sollen zum Vergleich mit einer anderen Untersuchung solinear transformiert werden, daß der neue Mittelwert gleich 10 und dieneue Streuung gleich 3 ist. Wie muß dann die lineare Transformationaussehen? Ist die Lösung eindeutig?


A6: Gegeben sei eine Datenreihe mit Mittelwert MX und Streuung SX Mansuche solche a, b ∈ R, daß MaX+b = 100, SaX+b = 15.

Verifizieren Sie Ihr Ergebnis für MX = 50, SX = 10! (Diese Transformationwird z.B. verwendet, wenn man Intelligenzwerte auf einer T-Skala in solcheeiner IQ-Skala umrechnet.)

A7: a) Forscher haben 51 Jahre lang das Klima in einem Wüstenstaat beob-achtet. Die Variable X gibt die Anzahl der Tage im Jahr an, an denenRegen fällt. Der Mittelwert von X war 5. Schätzen Sie die Anzahl derJahre ab, in denen es an mindestens 20 Tagen geregnet hat!

b) Bei einem neu entwickelten Intelligenztest hat eine Stichprobe von 200

Personen einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von10 ergeben. Können Sie die Anzahl der Personen abschätzen, die einenTestwert erreicht haben, der größer als 85 und kleiner als 115 ist?

A8: Ein Student A erreicht in einer Klausur 21 Punkte. Der Mittelwert dieserKlausur betrug 17, die Streuung 2 Punkte.

Wieviel Punkte muß ein Student in einer zweiten Klausur mit Mittelwert16 und Varianz 9 mindestens erreichen, um mindestens so gut zu sein wieStudent A in der ersten Klausur?

A9: a) Geben Sie je ein Beispiel für Meßwertreihen x1, ..., xn und y1, ..., yn, diedie folgenden Bedingungen erfüllen:Range (X) < Range (Y) und S2

X > S2Y

Range (X) = Range (Y) und S2X > S2

Y

Range (X) > Range (Y) und S2X > S2

Y

b) Geben Sie zwei Meßwertreihen (n=5) an, die den gleichen Mittelwertund die gleiche Varianz besitzen, ansonsten aber verschieden sind.


A1: Die Variablen X und Y seien unabhängig. Welche Aussage ist dann richtig?

a) S2X−Y = S2

X − S2Y

b) S2X−Y = S2

X + S2Y

c) S2X−Y = S2

X + S2Y + 2KovX,Y

A2: An einer Stichprobe seien die Variablen X und Y erhoben worden. Dabeihabe man folgende Größen errechnet:

MX = 50, SX = 5, MY = 30, SY = 10, KovX,Y = 25

Berechnen Sie:

a) S2X+Y b) rX,Y c) MX·Y

A3: Sei r2X,Y = 0.8, SX = 10, SY = 15, MX = 100, MY = 60. Wie groß istMX·Y ?

A4: In einer Untersuchung an 100 Personen habe man die Meßwerte zweierVariablen X, Y erhoben. Die Ergebnisse seien in der folgenden Häufigkeit-stabelle zusammengefaßt:

Y \X -2 -1 +1 +21 25 0 0 254 0 25 25 0

a) Berechnen Sie die Korrelation zwischen den Variablen X, Y .

b) Tragen Sie die Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

c) Berechnen Sie den ϕ2- und den χ2-Koeffizienten.

Was erkennt man an dieser Übungsaufgabe?

A5: 10 Erstsemester der Psychologie haben sich 1991 in das Tutorium „Grande“für Statistik I eingetragen. Jeder Teilnehmer mußte am Ende des Semestersangeben, wie viele Stunden er das Tutorium besucht hat. Gleichzeitig wur-de eine Statistik-Klausur geschrieben. Dem Tutor fiel auf, daß drei Studen-ten, die das Tutorium nie besucht hatten, überdurchschnittlich gute Arbei-ten abgegeben hatten, während viele Studenten, die oft anwesend gewesenwaren, schlecht abgeschnitten hatten. Den Tutor plagten Selbstzweifel. Ernahm an, daß sein Tutorium so schlecht sei, daß sich häufiger Besuch ne-gativ auf die Klausurergebnisse auswirke. Um dies zu überprüfen, stellte ereine Tabelle auf mit 10 Meßwertpaaren.


X = Tutoriumsbesuch in Stunden (max = 12)

Y = Klausurergebnis in Punkten (max = 50).

X 12 0 0 0 5 5 10 1 12 4Y 2 50 40 45 20 15 10 40 1 30

a) Berechnen Sie die Korrelation!

b) Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Annahme des Tutors!


A1: Gegeben seien drei Variable X, Y, Z mit Mittelwerten 2, 3, 5 und Kova-rianzmatrix 16 10 0

10 25 3

0 3 9

a) Bestimmen Sie die zugehörige Korrelationsmatrix.

b) Berechnen Sie die den Mittelwert und die Varianz von U := 2X + 3Y −Z + 1.

c) Wie groß ist die Korrelation von U und X − Y + 2Z + 5?

A2: Gegeben sei die Korrelationsmatrix von drei Variablen X, Y, Z mit Mit-telwerten 1, 5, 2 und mit SX = 2, SY = 5, SZ = 1:

1 0.5 0.5

0.5 1 0.4

0.5 0.4 1

a) Bestimmen Sie die zugehörige Kovarianzmatrix.

b) Jetzt werden zwei neue Variable gebildet: U := X+2Y −Z+2 und V :=

2X + 3Z − 4. Wie groß sind die Mittelwerte und Streuungen der beidenneuen Variablen? Wie groß ist ihre Kovarianz und ihre Korrelation?

A3: Zum Thema optimaler Entscheidungsregeln. Gegeben sei eine Krankheit(Ereignisse: Vorliegen: K+, Nichtvorliegen: K−) und ein Test (Ergebnisse:T+: positiv (deutet auf Krankheit hin) und T−: negativ).

Der Test sei durch folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten charakterisiert:P(T+|K+) = .99, P(T−|K−) = .9. Der Anteil der Kranken sei p (beispiels-weise .05).

Gesucht ist nun eine Entscheidungsregel, die optimal ist. Dies Problem wirdnatürlich erst dann sinnvoll, wenn präzisiert wird, was unter Optimalitätzu verstehen ist.

Eine Entscheidungsregel sei dabei eine Vorschrift, die jedem möglichen Te-stergebnis die Diagnose „K+“ (für „krank“) oder „K−“ (für „gesund“) zuord-net; eine weitere Entscheidungsmöglichkeit („weiß nicht“) sei nicht vorgese-hen (unterscheide also: K+ bedeutet: Krankheit liegt vor, „K+“ hingegen:Krankheit wird diagnostiziert).


Eine mögliche (wohl nicht besonders sinnvolle) Entscheidungsregel wärebeispielsweise (T+ →„K−“ , T− →„K+“).

Es liegt dabei die Vermutung nahe, dass (T+ →„K+“ , T− →„K−“) dieeinzig sinnvolle Entscheidungsregel ist (was schon durch die BezeichnungenT+ und T− nahegelegt wird), ob dies stimmt, ist jedoch hier gerade dieFrage.

Sinnvoll ist es vielleicht, Kurzbezeichnungen für die Regeln einzuführen,beispielsweise, indem nacheinander die Entscheidungen bei T+ und T− auf-geführt werden, wobei + für „K+“ und − für „K−“ steht. Dann könnte mandie beiden eben betrachteten Regeln beispielsweise mit R−+ und R+− ab-kürzen.

a) Welches sind die möglichen Entscheidungsregeln und wieviele gibt es?Machen Sie sich klar, dass man die Entscheidungsregeln sozusagen in‚komplementäre‘ Paare aufteilen kann (gegenteilige Entscheidungen).

b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der vier KombinationenK+∩T+ etc.als Funktion von p in einer Tabelle 1 an (rechnen Sie sie ggf. zunächstfür das konkrete p = .05 aus) (Hinweis: es müssen sich lineare Transfor-mationen von p ergeben). Sie können mit Hilfe dieser Tabelle übrigensdann schnell (mit einer zusätzlichen Division, wenn Sie erst noch dieRandwahrscheinlichkeiten bestimmen) die bedingten Wahrscheinlichkei-ten P(K+|T+) etc. als Funktion von p oder konkret für p = .05 angeben.

c) Nun mögen die Vor- und Nachteile der möglichen Entscheidungen quan-titativ fassbar sein (Nutzen und Kosten), beispielsweise durch die Wertein der folgenden Tabelle 2:

„K+“ „K−“K+ 10 −20

K− −5 0

Hier ist also der Schaden besonders groß (−20), wenn ein Kranker alsgesund diagnostiziert wird.Der Einfachheit halber seien die Einträge in der Tabelle als Nutzen be-zeichnet – ein negativer Nutzen sind dann eben entsprechende Kosten.Rechnen Sie nun für alle möglichen Entscheidungsregeln den Erwartungs-wert des Nutzens aus! Es müssen sich dabei überall lineare Funktionender Basiswahrscheinlichkeit p ergeben.(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst für jede Entscheidungsregel getrenntfür alle 4 Zellen der Tabelle 2 die Wahrscheinlichkeiten (also die Wahr-


scheinlichkeit für K+ ∩ „K+“ etc.). Benutzen Sie dazu die Tabelle 1 desvorangehenden Aufgabenteils.)

d) Skizzieren Sie grob die Funktionen, die für die jeweiligen Entscheidungs-regeln den Erwartungswert des Nutzens in Abhängigkeit von p angeben,in einem gemeinsamen Schaubild (skalieren Sie dabei die y-Achse pas-send). Es sollte nun klar werden, dass die ‚optimale‘ Regel, die den Er-wartungswert maximiert, für unterschiedliche Werte von p verschiedenist. Welche Regel in diesem Sinn optimal ist, hängt also von der Basisra-te p ab. Bestimmen Sie die Umschlagspunkte, also diejenigen Werte vonp, bei denen sich die optimale Entscheidungsregel ändert, und zusätzlichden Erwartungswert des Nutzens der optimalen Regel in diesen Punkten;bestimmen Sie diesen Erwartungswert auch für p = 0 und p = 1.

e) Führen Sie dasselbe auch für die folgende Nutzenfunktion durch:

„K+“ „K−“K+ 1 0

K− 0 1

Wie ist der Erwartungswert jetzt zu interpretieren? Beachten Sie, dassdie in diesem neuen Sinn optimale Entscheidungsregel nicht notwendigmit der aus dem letzten Aufgabenteil übereinstimmt, immerhin für be-stimmte Basisraten – für welche? Bemerkenswert – wenn auch banal –also das Ergebnis: Was optimal ist, hängt davon ab, wie man Optimalitätdefiniert.

A4: Wie wahrscheinlich ist es höchstens, bei einer fairen Wette mit Einsatz 1DMmindestens 10 DM ausgezahlt zu bekommen? (Eine Wette ist fair, wennder Erwartungswert des Nettogewinns 0 ist.)

A5: Wie wahrscheinlich ist es höchstens, bei einem fairen Lotteriespiel mit einemEinsatz von 10 DM mindestens 1 Million DM zu gewinnen? (Vgl. Aufgabe4 zum Begriff ‚fair‘.)

A6: In der Situation von Aufgabe 3 in Aufgabenblatt 4 bestimme man E(X),E(Y ), E(X + Y ) und E(X · Y ).

A7: Zwei Zvan X und Y besitzen folgende gemeinsame Verteilung:

X\Y 1 2 30 .1 .2 .41 .1 .1 .1


a) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion der Variablen Z := Y −X!

b) Wie groß ist der Erwartungswert von Z?

c) Wie groß sind Varianz und Streuung von Z?

d) Wie groß sind Erwartungswert und Streuung der VariablenW := −2Z+

3?

A8: a) Eine Zufallsvariable hat die Varianz 16. Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit, daß sie einen Wert annimmt, der vom Erwartungswert einenAbstand von mindestens 8 hat, höchstens?

b) Ein Morgenmuffel gibt sich bei der Auswahl des Käses, den er zum Früh-stück verzehrt, nicht viel Mühe. Er ißt einfach die Sorte, die ihm zufälligin die Hände fällt. Seine Freundin, die sehr auf ihre Figur achtet undderen Lieblingsfach die Statistik ist, beobachtet ihn längere Zeit undkommt zur Überzeugung, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der Fettgehaltdes Käses mindestens 60 Prozent beträgt, gleich 1/5 ist. Es sei X dieZufallsvariable ’Fettgehalt (in Prozent) des zufällig gewählten Käses’.Können Sie eine Aussage über den Erwartungswert von X machen?

A9: Beim Einkaufen hören zwei Tutorinnen zufällig eine russische Unterhaltung,in der es anscheinend um Statistik geht.

a) Herr M. glaubt, dass der Erwartungswert der Variable X: ‚an einem Tagverkaufte Schokoriegel‘ gleich 23 ist. Schätzen Sie – unter der Voraus-setzung, dass Herr M. recht hat – die Wahrscheinlichkeit ab, dass Xmindestens den Wert 30 annimmt.

b) Herr T. hat zusätzlich eine Vorstellung über die Varianz von X; er denkt,dass sie gleich 16 ist. Schätzen Sie unter dieser Voraussetzung die Wahr-scheinlichkeit ab, dass die Zahl verkaufter Schokoriegel zwischen 16 und30 (jeweils einschließlich) liegt.


A1: Betrachten Sie die folgenden Meßwertpaare:

X 0 0 1 2 3

Y 2 3 4 5 5

Die Geraden y = 2 ·x+2 und y = x+3 werden zur Beschreibung der Datenvorgeschlagen. Fertigen Sie eine Punktwolke an, zeichnen Sie obige Geradensowie die Regressionsgerade von Y bzgl. X ein und berechnen Sie für jededer drei Fälle die Summe der quadrierten Abweichungen. Vergleichen Siedie Ergebnisse!

A2: Angenommen, in zwei unterschiedlichen Untersuchungen habe man jeweilsdie Variablen X und Y erhoben. In beiden Fällen habe man die gleichen Re-gressionsgewichte b gefunden. Folgt daraus, daß in beiden Untersuchungenauch die Korrelationen zwischen X und Y identisch waren?

A3: In einer Situation der einfachen linearen Regression zeichne man (in Ge-danken) Parallelen zur Regressionsgerade, die von dieser einen Abstand (iny-Richtung gemessen) von kSY.X nach oben bzw. unten haben (k > 0 ist vor-gegeben). Zeigen Sie: der Anteil der Punkte in dem durch die beiden neuenGeraden begrenzten Streifen ist mindestens 1 − 1/k2 (die Begrenzungsge-raden sollen dabei nicht zum Streifen gehören). Hinweis: TschebyscheffscheUngleichung für den Fehler.

A4: Vier Personen liefern in Variable X die Werte 2, 2, 4, 4 und in Variable Y(in der gleichen Reihenfolge) die Werte 1, 3, 3, 5. Zeichnen Sie zunächst diePunktwolke. Zeigen Sie dann, dass es auf die Frage nach einer optimalenlinearen Vorhersagefunktion keine eindeutige Lösung gibt, wenn Sie als Op-timalitätskriterium nicht die Summe der quadrierten Abweichungen wählen,sondern die Summe der absoluten Abweichungen. Genauer: Zeigen Sie, dassalle Geraden in diesem Sinn optimal sind, die für x = 2 zwischen y = 1 undy = 3 verlaufen und für x = 4 zwischen y = 3 und y = 5. Welches ist dieoptimale Gerade im Sinne der kleinsten Quadrate?

A5: Welche Aussage ist richtig?

Wenn die Schätzfehlervarianz S2Y.X = 0, so gilt:

a) r2X,Y = 1

b) r2X,Y = 0

c) S2X.Y 6= 0


A6: Ein Psychologe stellt die These auf, daß die Variable Y : ’Dogmatismus’mit der Variablen X : ’durchschnittlicher täglicher Fernsehkonsum von In-formationssendungen’ zusammenhängt. Dabei sollen Menschen, die mehrInformationssendungen sehen, weniger dogmatisch sein. An sechs Versuchs-personen hat er folgende Werte erhoben:

X 1 2 1 2 4 2Y 7 6 6 3 4 4

a) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden (Regression von Yauf X)!

b) Stellen Sie die Daten graphisch dar und zeichnen Sie die Regressionsge-rade ein!

c) Welcher Wert würde für jemanden vorhergesagt, der 5 Stunden täglichInformationssendungen sieht? Wie groß ist der Standardschätzfehler?

d) Stellen Sie sich nun vor, alle Versuchspersonen würden 5 Stunden täglichfernsehen, wobei sie in der nach dem Sehen der Informationssendungenverbleibenden Zeit Unterhaltungssendungen anschauen. Die Variable Zgebe den täglichen Konsum an Unterhaltung an. Wie groß ist die Kor-relation zwischen X und Z und wie lautet die Regressionsgleichung derRegression von Y auf Z? (Beantworten Sie diese Fragen möglichst ohnenennenswerten Rechenaufwand!)

A7: Die folgenden Meßwertpaare werden erhoben:

X −1 −1 +1 +1

Y 0 −2 0 +2

Berechnen Sie: MX , MY , MX·Y , S2X , S

2Y , KovX,Y , rX,Y !

Erstellen Sie sowohl die Regressionsgleichungen für Y bzgl. X als auch fürX bzgl. Y . Stellen Sie beide graphisch dar (auch die Punktwolke), jeweilsin einem eigenen Koordinatensystem. Zeichnen Sie dann zum Vergleich bei-de Regressionsgeraden im gleichen Koordinatensystem ein. Vergleichen SieS2Y.X mit S2

X.Y .

A8: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:

x + y + z = 4

x − y + 2z = 4

2x + z = 4


A9: An fünf Personen sind drei Variablen X, Y und Z erhoben worden:

X: 5 0 5 5 5Y: 0 12 4 8 6Z: 12 -10 8 4 6

Zur Vorhersage von Z aus X und Y werden zwei Regeln vorgeschlagen:z = x − y + 6 und z = x + y − 6. Vergleichen Sie die beiden Regeln überdie Summe der quadrierten Abweichungen! Wie lautet die optimale Regel,und wie groß ist hier die Summe der quadrierten Abweichungen?

A10: Betrachten Sie die einfache lineare Regression als einen Spezialfall der mul-tiplen mit einem Prädiktor. Wie sehen dann die Normalengleichungen aus?Zeigen Sie, dass sich als Lösung das aus der einfachen Regression bekannteGewicht ergibt

A11: Stellen Sie sich vor, dass man Werte für ein Kriterium Y und potentiel-le Prädiktoren X1, . . . , Xm erhoben hat. Nun rechnet man zunächst einemultiple Regression nur mit den Prädiktoren X1, . . . , Xm−1. Anschließendrechnet man (mit denselben Daten) eine multiple Regression mit allen Prä-diktoren X1, . . . , Xm. Kann es sein, dass der Determinationskoeffizient beider zweiten Regression kleiner ist als der bei der ersten? (Anders: Kann derDeterminationskoeffizient bei Hinzunahme eines weiteren Prädiktors klei-ner werden?) Wenn ja, versuchen Sie, ein einfaches Beispiel zu finden, wennnein, geben Sie eine Begründung.


A1: Zwei PrädiktorenX1,X2 und ein Kriterium Y liefern (in dieser Reihenfolge)die Mittelwerte 2, 3, 5 und die Kovarianzmatrix4 5 1

5 16 11

1 11 25

a) Stellen Sie die Normalengleichungen auf und bestimmen Sie die optimale

Vorhersage.

b) Bestimmen Sie die Vorhersagevarianz, R2, die multiple Korrelation derPrädiktoren mit Y , Schätzfehlervarianz und Standardschätzfehler.

c) Bestimmen Sie die β-Gewichte über die Normalengleichungen mit denstandardisierten Variablen und überzeugen Sie sich, dass die Formeln fürdiese Gewichte auch hier stimmen. Wie sieht die optimale Vorhersage desstandardisierten Kriteriums durch die standardisierten Prädiktoren aus?

d) Vergleichen Sie die multiple Regression mit den einfachen Regressionenauf jeweils einen Prädiktor. Was fällt auf?

A2: Gegeben seien Werte von Variablen X1, X2, X3, Y :

X1 X2 X3 Y

8 10 17 21

8 2 10 13

8 6 15 14

4 10 14 16

4 6 9 12

4 6 11 12

4 2 6 8

0 6 5 10

0 2 2 3

0 10 11 11

a) Bestimmen Sie die Mittelwerte sowie die Kovarianz- und Korrelations-matrix.Zur Kontrolle: Als Kovarianzmatrix muss sich folgende Matrix ergeben:

9.6 0 9.6 9.6

0 9.6 9.6 9.6

9.6 9.6 19.8 18.6

9.6 9.6 18.6 20.4


b) Berechnen Sie die einfachen Regressionen von Y auf X1, X2, X3.

c) Berechnen Sie die multiplen Regressionen von Y auf jeweils zwei Prädik-toren (X1, X2), (X2, X3), (X1, X3).

d) Berechnen Sie die multiple Regression von Y auf alle drei Prädiktoren(X1, X2, X3).

e) Berechnen Sie jeweils den Determinationskoeffizienten, den multiplenKorrelationskoeffizienten, den Standardschätzfehler und die β-Gewichte.

f) Betrachten Sie die Beziehung zwischen den Determinationskoeffizientenfür die verschiedenen Regressionen. Gibt es irgendwo Additivität?

g) Bei der multiplen Regression verfolgt man oft zwei gegenläufige Ziele:Einerseits möchte man möglichst wenig Prädiktoren haben, andererseitsjedoch auch eine möglichst gute Varianzaufklärung. Man könnte sich nunfolgendes Verfahren zur Auswahl einer Vorhersageregel denken, die einenmöglichst guten Kompromiss liefert: Nimm als ersten Prädiktor denje-nigen, der die meiste Varianz aufklärt. Nimm dann denjenigen hinzu,der den größten Gewinn an zusätzlicher Varianzaufklärung bringt. Führedies so oft durch, bis die Varianzaufklärung befriedigend ist. Das Beispielzeigt, daß dies Verfahren nicht notwendig die optimale Vorhersageregelliefert (warum?).

h) Man beachte auch das Verhalten der Koeffizienten, wenn ein weitererPrädiktor hinzukommt. Welche Folgerungen sind für die Interpretationvon Vorzeichen zu ziehen?

i) Welche Merkwürdigkeiten, die bei multiplen Regressionen auftreten kön-nen, zeigen sich in dieser Aufgabe? Berücksichtigen Sie: Änderung vonGewichten (b und β) bei Hinzunahme weiterer Prädiktoren, Änderungin der Varianzaufklärung, Diskrepanzen zwischen Gewichten und Korre-lationen, Größe der β-Gewichte.


A1: Diese Aufgabe soll einige ‚ Merkwürdigkeiten ‘ demonstrieren, die bei Mul-tikollinearität auftreten können. Würdigen Sie die Ergebnisse in dieser Hin-sicht! Gegeben sind Werte der Variablen X1, X2 und Y für 4 Fälle:

X1 X2 Y

18 20 18

−20 −20 20

20 20 −18

−18 −20 −20

Bestimmen Sie Kovarianzmatrix und Korrelationsmatrix, ermitteln Sie dieb-Gewichte und daraus die β-Gewichte. Geben Sie die Varianzzerlegung undden Determinationskoeffizienten an. Rechnen Sie auch einfache lineare Re-gressionen von Y auf X1 und X2 und vergleichen Sie die multiple Regressionmit den einfachen. Beachten Sie insbesondere die Veränderungen, die sichergeben, wenn zu X1 als zweiter Prädiktor X2 hinzugefügt wird; was lei-stet in diesem Zusammenhang übrigens X2 als einzelner Prädiktor in einereinfachen linearen Regression?

A2: Die Kaufgier ist ein entscheidender Antrieb zum Geldausgeben. Allerdingskann zu große Gier auch zur Unfähigkeit führen, überhaupt sich noch ver-nünftig zu verhalten, weshalb zu erwarten ist, daß zwischen der VariableGier (X) und der Variable ausgegebene Geldsumme, in Hundertmarkschei-nen gemessen, (Y ) ein umgekehrt U-förmiger Zusammenhang besteht. Füreine Untersuchung wird dies so präzisiert, daß Y durch eine quadratischeFunktion von X von der Form ax2 + bx+ c möglichst gut vorhergesagt wer-den soll. In der Untersuchung hat man bei 7 Versuchspersonen die folgendenWerte von X gefunden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, und in der gleichen Reihenfolgedie zugehörigen Y -Werte 11, 27, 27, 32, 28, 22, 14.

a) Stellen Sie die Normalengleichungen auf, indem Sie die nötigen Varianzenund Kovarianzen ausrechnen1

b) Lösen Sie die Normalengleichungen!

c) Für welchen Wert von X wird ein maximales Y vorhergesagt, und wiegroß ist dieser Vorhersagewert?

d) Zeichnen Sie die Punktwolke mit der ermittelten Vorhersagefunktion!

A3: Jemand denkt sich zur multiplen Regression eine Aufgabe aus: Zwei Prädik-toren sollen unkorreliert sein und mit dem Kriterium jeweils eine Korrelati-on von .9 haben. Zeigen Sie, daß diese Angaben unsinnig sind! (Berechnen


Sie den Determinationskoeffizienten! Berechnen Sie auch die Partialkorre-lation der Prädiktoren!)

A4: Zu drei Variabeln X, Y, Z seien folgende Korrelationskoeffizienten gegeben:

rX,Y rX,Z rY,Za) 0 0.8 0.6

b) 0.3 −0.8 −0.8

c) 0.9 0.95 0.95

d) 0.3 0.4 −0.75

e) −0.9 0.95 −0.99

Berechnen Sie jeweils die Partialkorrelation rX,Y.Z . Was kann man an dieserAufgabe erkennen?

A5: a) In einer Stichprobe wurden drei Variablen X, Y und Z erhoben. Manfand folgende Kennwerte:

rXY = .1, rXZ = .4, rY Z = −.5.

Berechnen Sie rXY.Z

b) Für drei andere Variablen U, V und W ergab sich

rUW = rVW = 1/2 und rUV.W = 1/3.

Wie groß ist rUV ?


A1: Jemand beginnt eine Aufgabe zur multiplen Regression damit, dass zweiPrädiktoren die Korrelation .3 haben und der erste Prädiktor mit dem Kri-terium eine Korrelation von .9 besitzt. Bestehen nun Einschränkungen fürdie Korrelation des Kriteriums mit dem zweiten Prädiktor?

A2: Gegeben sei die Situation von Aufgabe 3 in Aufgabenblatt 11. Zeigen Siejetzt auch mit Hilfe der Vektorrepräsentation, dass die Angaben unsinnigsind.

A3: Gegeben sind zwei Variable X und Y mit SX = 2, SY = 1 und rXY = .5. Eswird die Linearkombination Z = 2X + 3Y + 4 gebildet. Bestimmen Sie SZund rXZ . Repräsentieren Sie die Variablen nun durch Vektoren, bestimmenSie SZ und rXZ graphisch und vergleichen Sie.

A4: Die Kovarianzmatrix von drei Variablen X1, X2, Y sei 4 7.8 −.79

7.8 16 0

−.79 0 3.24

.

Berechnen Sie zunächst die b- und β-Gewichte bei einer Regression von Yauf X1 und X2 (die additiven Konstanten sind hier irrelevant). BestimmenSie auch die Gewichte bei einfachen Regressionen von Y auf die beidenPrädiktoren und vergleichen Sie die Varianzaufklärung (die Situation istähnlich wie die in Aufgabe 1 in Aufgabenblatt 11). Veranschaulichen Siesich die Lage durch eine Vektorrepräsentation; repräsentieren Sie dazu diebeiden Prädiktoren durch Vektoren und tragen Sie in die Zeichnung dieRepräsentation von Y ein, wo Y die Vorhersage mit Hilfe beider Prädikto-ren ist. Wie liest man die Regressionsgewichte für die einfachen Regressio-nen in der Zeichnung ab (das veranschaulicht die Änderung der Gewichtebeim Hinzufügen des zweiten Prädiktors)? Woran ist in der Zeichnung zuerkennen, dass die Korrelation von X2 mit dem Kriterium 0 ist? Inwiefernveranschaulicht die Zeichnung den großen Sprung in der Varianzaufklärungbei Hinzunahme des zweiten Prädiktors? (Bemerkungen: 1. In Aufgabe 1in Aufgabenblatt 11 ist die analoge Zeichnung nicht so gut herstellbar. 2.Man könnte unsicher sein, ob die angegebene Matrix tatsächlich eine Ko-varianzmatrix ist; zum Nachweis fehlen uns praktikable Hilfsmittel).

A5: Veranschaulichen Sie sich die Ergebnisse von Aufgabe 4 in Aufgabenblatt11 grob mit Hilfe der Vektorrepräsentation.

Aufgabenblatt 13 S. 1 WS19/20

A1: Seien X1, ..., Xn unabhängige Versionen einer Zva X,

E(X) = µ, V (X) = 5. Sei X = 1n

n∑i=1

Xi.

Wie groß muß n sein, damit P (|X − µ| ≥ 0, 1) ≤ 1%?

A2: Gegeben sei eine Menge von Studenten Ω0 = a, b, c, d, e (Laplaceraum).Die Zufallsvariable X ordnet jedem Studenten aus Ω0 seinen Testwert für“Aggression“ zu:

ω X(ω)

a 2b 2c 6d 8e 12

In einem Experiment werden nun zwei Personen ohne Zurücklegen gezogen.Dieses Experiment wird beschrieben durch den WahrscheinlichkeitsraumΩ = (ω1, ω2)|ωi ∈ Ω0, ω1 6= ω2 (Laplaceraum).

Auf Ω seien folgende Zufallsvariablen (“Statistiken“) definiert:

X1: Aggressionswert der ersten gezogenen Person

X2: Aggressionswert der zweiten gezogenen Person

M : Mittelwert der beiden Personen (M = X1+X2

2)

S2: Varianz der Werte der beiden Personen (S2 =X2

1+X22

2−M2)

S: Streuung der Werte der beiden gezogenen Personen

a) Geben Sie die Verteilung (durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion), denErwartungswert, die Varianz und die Streuung von X an!

b) Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilung von X1 und X2. Sind X1 undX2 unabhängig?

c) Bestimmen Sie die Korrelation zwischen X1 und X2!

d) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung vonX1, X2, M , S2, S!

e) Vergleichen Sie die Erwartungswerte von X,X1, X2 und M !

f) Vergleichen Sie den Erwartungswert von S2 mit der Varianz von X!

g) Vergleichen Sie den Erwartungswert von S mit√E(S2),

d.h. gilt E(√S2) =

√E(S2)?


A3: Seien X1, ..., Xn unabhängige Versionen einer Zva X, E(X) = µ,

V (X) = σ2. Sei X = 1n

n∑i=1

Xi.

a) Es sei σ = 5. Wie groß muß n mindestens gewählt werden, damit das95%-Vertrauensintervall (nach Tschebyscheff) eine Länge von höchstens12besitzt?

b) Es sei σ = 10, n = 8. Wie groß ist das 90%-Vetrauensintervall?

c) Es sei σ = 10. Wie groß muß n mindestens gewählt werden, damit das90%-Vertrauensintervall eine Länge von höchstens 4 besitzt?

A4: Wie hängt die Länge des Vertrauensintervalls (nach Tschebyscheff) von σ, αund n ab?

A5: Von einer Zufallsvariable ist bekannt, daß sie die Varianz 27 besitzt.

a) Bei dreimaliger unabhängiger Realisierung ergibt sich ein Mittelwert von12. Wie sieht das 80%-Vertrauensintervall für µ nach Tschebyscheff aus?

b) Erläutern Sie einem Laien kurz, was dies bedeutet!

c) Das 99%-Vertrauensintervall nach Tschebyscheff soll nun eine Gesamt-breite von höchstens 1/2 besitzen. Wie groß muß die Stichprobe dannmindestens sein?

d) Jetzt soll das Experiment aus a) 15 mal unabhängig durchgeführt wer-den. Die Anzahl der Fälle, in denen das entsprechende Vertrauensinter-vall µ enthält, sei mit Y bezeichnet. Wie groß ist der Erwartungswertvon Y mindestens? (Zusatzfrage ohne Wertung: Warum steht hier dasWort „mindestens“?)

A6: Folgende Zva X sei gegeben:

X P (X = x)

0 1/2

4 1/4

12 1/4

X1, ...Xn seien unabhängige Versionen von X und X = 1n

n∑i=1

Xi.

a) Ermitteln Sie die Stichprobenverteilungen von X für n = 1, n = 2,n = 4! Die Rechnungen für n = 4 können Sie sich erleichtern, wennSie berücksichtigen, daß der Mittelwert von vier Realisierungen gleich


dem Mittelwert der Mittelwerte der ersten beiden und der letzten beidenZiehungen ist, die unabhängig sind, und deren Verteilung Sie schon fürn = 2 ermittelt haben.

b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktionen von X sowie die Verteilungsfunk-tionen der z-Transformierten von X für n = 1, 2, 4 alle im gleichen Maß-stab und vergleichen Sie jeweils!

A7: Eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert µX = 6 weist die folgende Ver-teilung der Stichprobenvarianzen bei zweimaliger unabhängiger Realisie-rung von X auf:

S2: 0 1 4p : .375 .500 .125

a) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung der Stich-probenvarianzen?

b) Wie sieht die Verteilung der korrigierten Stichprobenstreuung s aus?

c) Wie groß ist der Erwartungswert der Verteilung von s? Stimmt er mitder Streuung von X überein?

d) Wie sieht die Verteilung von X aus?


A1: Ein Pandämonium-Modell für eine Signalentdeckungsaufgabe könnte fol-gendermaßen aussehen: Die einströmenden Sinnesdaten werden von zweiDämonen überwacht, die beide die Aufgabe haben, auf einen bestimmtenReiz zu reagieren. Wenn einer der beiden den Reiz bemerkt, fängt er anzu schreien und veranlaßt dadurch den Ober-Dämon, den Befehl „Tastedrücken“ an den Bewegungskoordinationsdämon weiterzuleiten. Die beidenDämonen sind unterschiedlich sensibel: Der eine reagiert mit Wahrschein-lichkeit 0.6 auf den Reiz, der andere nur mit Wahrscheinlichkeit 0.5. Wiewahrscheinlich ist ein Tastendruck als Reaktion auf einen Reiz, wenn manannimmt, daß die beiden völlig unabhängig voneinander reagieren? Wiewahrscheinlich ist es, daß die Versuchsperson, in deren Kopf sich dies ab-spielt, bei 10 Reizdarbietungen 7 mal die Taste drückt? Wie ändern sichdie Wahrscheinlichkeiten, wenn der Ober-Dämon etwas taub ist, und dasGebrüll nur eines Wächter-Dämons lediglich mit Wahrscheinlichkeit 0.8 be-merkt, jedoch immer aufschreckt, wenn beide zugleich loskreischen?

A2: Drachentöter Siegfried hat infolge einer durch einen Jagdunfall erlittenenRückenverletzung etwas an Kampfkraft eingebüßt und erlegt einen Drachenjetzt nur noch mit einer Basiswahrscheinlichkeit von 1/3. In den anderenFällen muß er leider die Flucht ergreifen.

a) Wie wahrscheinlich ist es, daß er von den nächsten 6 Drachen genau dieHälfte erfolgreich bekämpft?

b) Wie wahrscheinlich ist es, daß er in genau vier von den sechs Fällen dasWeite suchen muß?

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens zwei Drachen erle-gen?

d) Der Wunderheiler Anabol Steroid verschreibt Siegfried ein neues Medi-kament, nach dessen Einnahme seine Kampfkraft wieder zunimmt. So istnun z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß er mindestens einen der nächstenvier Drachen erlegen wird, gleich 0.9744. Wie groß ist die neue Basis-wahrscheinlichkeit pro Drache?

A3: Beim Roulette gibt es 37 Felder, davon sind je 18 rot bzw. schwarz und einesdie Null. Die Behauptung “P (rot) = 0,4“ soll durch einen (linksseitigen)Test mit 8 Versuchen überprüft werden. Aufgestellt werden die Hypothesen

H0 : P (rot) = 1837

H1 : P (rot) = 0, 4.


Formulieren Sie die Entscheidungsregel zu α ≤ 0.05 und bestimmen Sie denβ-Fehler!

A4: Sei X binomialverteilt mit Parametern n, p. Zeichnen Sie für die folgendenParameter die Wahrscheinlichkeitsfunktion, berechnen Sie E(X), V (X) und(falls möglich) den kleinsten k-Wert mit der Eigenschaft P (X ≥ k) ≤ 0.05!

a) n = 5, p = 0, 05

b) n = 5, p = 0, 3

c) n = 5, p = 0, 8

d) n = 5, p = 0, 5

e) n = 5, p = 0, 95

A5: Gesucht ist ein zweiseitiger Test der Nullhypothese p = .5 mit 16 Durch-gängen auf dem 5%-Niveau (Binomialtest). Welches Problem veranschau-licht diese Aufgabe?

A6: Eine Statistikklausur bestehe aus 20 Fragen, wobei jede Frage entwederrichtig (=1) oder falsch (=0) beantwortet werden kann. Gesucht ist dieWahrscheinlichkeit dafür, daß ein Student 10 der 20 Fragen richtig beant-wortet, wenn er jede Aufgabe “per Zufall“ löst.

A7: Dem Institutsdirektor Prof. Dr. Zacharias Zipp fällt auf, daß der Dozent Fri-dolin Faux-Pas innerhalb von 14 Lehrveranstaltungen bereits sechsmal denOverhead-Projektor exekutiert hat. Ihn bescheicht deshalb der Verdacht,daß Fridolin im Umgang mit der Technik nicht die nötige Sorgfalt waltenläßt. Normalerweise zerlegen Dozenten an seinem Institut den Projektornämlich nur in 15% der Lehrveranstaltungen.

a) Testen Sie die Nullhypothese, daß Fridolin nicht von der Norm abweicht,auf dem 5%-Niveau!

b) Fridolins böswilliger Kollege Günther Gerücht formuliert die konkreteAlternativhypothese, Fridolin würde mit einer Wahrscheinlichkeit von60% in seinen Veranstaltungen den Projektor verschrotten. Wie groß istdann die Power Ihres Tests?

A8: Von einer Versuchsperson weiß man, daß sie in einem Wahrnehmungsexpe-riment einen Stimulus mit p = 0.35 richtig erkennt. Die zu testende Hy-pothese besagt, dies ändere sich unter einer neuartigen Droge. Aufgestelltwerden also


H0 : p = 0.35

H1 : p 6= 0.35

Es werden 20 Versuche durchgeführt; α ≤ 10%.

Zeichnen Sie die Power als Funktion von p! Für welche Werte von p ist diePower ≥ 80%? (Ermitteln Sie dies durch Ablesen!)

A9: Bei einer Krankheit gibt es 30% Spontanremissionen pro Woche. Es soll einneues Medikament auf seinen (positiven oder negativen) Einfluß getestetwerden. Grundlage für die Entscheidung ist die Anzahl der Patienten, dienach der Einnahme innerhalb einer Woche gesund werden. Das Signifikanz-niveau sei .1, die Anzahl der Vpn 14.

a) Wie sieht der Test aus?

b) Wie groß ist die Power für p = 0, 2 und p = 0, 8?

A10: Der Statistikdozent Max Varianz hat sich auf Anregung der Studentenhin überlegt, daß er statt der bisherigen Form der Präsentation der Stati-stikklausuren in Zukunft einen Multiple-Choice-Test vorgeben möchte. DieKlausur soll zukünftig aus 20 Aufgeben bestehen, die jeweils 4 Antwortmög-lichkeiten haben, von denen die richtige anzukreuzen ist. Für jede richtigeAufgabe gibt es einen Punkt (die maximale Punktzahl ist also 20). Jetztstellt sich für Herrn Varianz die Frage, wieviele Punkte wohl ein Studenterreicht, wenn er rät.

a) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X: „er-reichte Punktzahl“ unter Ratebedingungen?

b) Herr Varianz möchte höchstens ein Risiko von 5% eingehen, daß einStudent nur durch Raten die nötige Punktzahl erreicht. Welche Min-destpunktzahl zum Bestehen der Klausur muß er dann festsetzen?

c) Die Studentin Luise Listig behauptet, jede Aufgabe mit 100-prozentigerWahrscheinlichkeit richtig lösen zu können. Wie groß ist dann die Wahr-scheinlichkeit, daß sie die Klausur besteht, wenn das Kriterium das ausTeil b) ist? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn die Wahrschein-lichkeit der richtigen Lösung einer Aufgabe bei der Studentin nur 80%beträgt, und wenn man davon ausgeht, daß die Aufgabenbearbeitungenunabhängig voneinander sind?

d) Nun sitzen in der Klausur 16 Studenten, die keine Ahnung vom Stoffhaben. Wie wahrscheinlich ist es, daß mindestens einer davon die nöti-ge Punktzahl (aus Teil b) erreicht, wenn man von der (realistischen?)


Annahme ausgeht, daß sie die Klausur unabhängig voneinander durchRaten zu bewältigen versuchen?

A11: Sie machen ein Münzwurfexperiment mit einer fairen Münze.

a) Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunkti-on der Zufallsvariable X: „Häufigkeit von Zahl bei 5 Würfen“!

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen genau acht mal Kopfzu erhalten?

c) Ein Spieler in der Fußgängerzone fordert Sie zum Spiel heraus. Sie ver-einbaren, daß er 5 Würfe macht. Wenn er mindestens viermal Kopf wirft,gewinnt er 5 Mark von Ihnen, wenn er mindestens zweimal Zahl wirft,gewinnen Sie 5 Mark von ihm. Sie verlieren Ihre 5 Mark und ärgern sich.Schlagen Sie einen Test zum Niveau 5% vor, um zu überprüfen, ob dieMünze fair ist, oder ob Kopf mit höherer Wahrscheinlichkeit auftritt alsZahl; dabei soll achtmal geworfen werden. Formulieren Sie insbesonderedie Hypothesen.

d) Wie groß ist Ihre Chance, den Spieler mit dem Test zu überführen, wenndie Wahrscheinlichkeit von Kopf 2/3 beträgt?

A12: Nachdem Sie gehört haben, dass Journale am liebsten nur signifikante Er-gebnisse veröffentlichen, und dass andererseits Ergebnisse auch bei Gültig-keit der Nullhypthese zufällig signifikant werden können, zweifeln Sie amSinn der Forschung und fragen sich, was wohl an den veröffentlichten Er-gebnissen richtig ist. Um sich eine etwas genauerer Vorstellung zu schaffen,treffen Sie folgende vereinfachenden Modellannahmen:

1. Es gibt nur drei Typen von Untersuchungen: einerseits solche, bei denendie Nullhypothese gilt und andererseits solche, in denen die Alternativhy-pothese richtig ist, wobei hier die Power entweder .4 oder .8 ist.

2. Diese Fälle treten mit unterschiedlichen Basisraten auf: Die Untersuchun-gen mit richtiger Nullhypothese haben eine Wahrscheinlichkeit von .5, diemit einer Power von .4 haben eine Wahrscheinlichkeit von .2 und die miteiner Power von .8 haben eine Wahrscheinlichkeit von .3.

3. Journale veröffentlichen alle signifikanten Ergebnisse und keine nichtsi-gnifikanten Ergebnisse.

4. Alle Tests werden auf dem 5%-Niveau durchgeführt, und das Signifikanz-niveau wird auch immer ausgeschöpft.


a) Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten einer Veröffentlichungfür die drei Typen von Untersuchungen?

b) Wie groß ist die totale Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis einer Un-tersuchung veröffentlicht wird?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die (Alternativ-)Hypotheseeiner Untersuchung falsch ist unter der Bedingung, dass das Ergebnis ver-öffentlicht wird? (Also: Welcher Anteil der veröffentlichten Ergebnisse istfalsch?)

d) Nehmen Sie nun als weitere Vereinfachung an, dass für alle Untersuchun-gen, bei denen die Alternativhypothese stimmt, die Power gleich .6 ist;es gibt also nur noch zwei Typen von Untersuchungen, deren Auftre-tenswahrscheinlichkeit jedoch jetzt unbekannt sei. Wie groß muss dannder Anteil der Untersuchungen mit richtiger Nullhypothese sein, damitdie Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse einer veröffentlichten Unter-suchung falsch sind, gleich .5 ist (damit also die Hälfte aller Veröffent-lichungen falsch sind)?

A13: Eine Aufgabe für alle angehenden Bayesianer:

Gegeben sei die bekannte Situation des Testens der Hypothesen

H0 : p = 1/6

H1 : p = .3 ,

ob die 6 bei einem Würfel mit der vorgeschriebenen Wahrscheinlichkeitoder öfter kommt. Der Test soll mit Hilfe von 5 unabhängigen Versuchenbei a ≤ .05 durchgeführt werden.

Nun stellen Sie sich vor, daß jemand (z.B. das Schicksal) immer wiederunterschiedliche Würfel zum Testen liefert. Das geschieht so, daß ein nor-maler Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von b (für Basisrate) vorkommtund einer, bei dem die 6 mit Wahrscheinlichkeit .3 auftritt, entsprechendmit Wahrscheinlichkeit 1 − b. Für den Hypothesentester, der sich diesemSchicksal ausgeliefert sieht, ist es jetzt durchaus angemessen, auch den Hy-pothesen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen (nämlich b und 1 − b). Daherdarf jetzt auch die Wahrscheinlichkeit des Verwerfens von H0 unter der Be-dingung, daß H0 gilt, als eine bedingte Wahrscheinlichkeit aufgefaßt werdenetc..

Es seien nun A und B die Ereignisse „Anzahl der Sechsen ≥ kritischerWert“ bzw. „Anzahl der Sechsen < kritischer Wert“ (bei der üblichen Ent-


scheidungsregel äquivalent dazu, daß H0 verworfen bzw. nicht verworfenwird).

a) Geben Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten von A und B unter H0

und H1 an!

b) Berechnen Sie mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahr-scheinlichkeit, H0 zu verwerfen, als Funktion von b (wie groß ist dieseWahrscheinlichkeit z.B. für den Fall, daß b = .5 ist, daß also beide Hy-pothesen gleichwahrscheinlich sind?) Stellen Sie diese Wahrscheinlichkeitgraphisch als Funktion von b dar!

c) Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit P (H0|A) mit Hilfe der Bayes-Formel auch wieder als Funktion von b und stellen Sie diese Funktiongraphisch dar! Wie groß ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit zum Bei-spiel für die Werte 0, .25, .5, .75, 1 von b? Überzeugen Sie sich davon, daßdie notorische Fehlinterpretation der Irrtumswahrscheinlichkeit auch imBayesschen Rahmen Unsinn ist!

d) Was können Sie sagen, wenn in einem konkreten Experiment A eingetre-ten ist? Können Sie z.B. sagen, daß jetzt die Wahrscheinlichkeit von H0

soundsogroß ist?

e) Während man b und 1−b die a-priori-Wahrscheinlichkeiten nennt (warumwohl?), heißen P (H0|A) und P (H1|A) auch a-posteriori-Wahrscheinlich-keiten (für den Fall des Ereignisses A). Entsprechendes gilt für den Falldes Eintretens vonB. Wären Sie bereit, diese a-posteriori-Wahrscheinlich-keiten als subjektive Wahrscheinlichkeiten für die Gültigkeit vonH0 bzw.H1 im Lichte des Ergebnisses Ihres Experiments zu bezeichnen? (Auf die-se Frage gibt es natürlich nur eine subjektive Antwort.) Überlegen Siediese Frage sowohl für den Fall, daß b bekannt ist (woher auch immer),als auch für den Fall, daß b unbekannt ist. Welche dieser beiden Mög-lichkeiten halten Sie für realistischer?

f) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten einer Fehlentscheidung (insge-samt, also erster oder zweiter Art) als Funktion von b für die folgendendrei Entscheidungsregeln: 1. Entscheidung für H0, egal, welches Ergeb-nis das Würfeln bringt. 2. Entscheidung für H1, egal, welches Ergebnisdas Würfeln bringt. 3. Entscheidung für H1, falls A eintritt und für H0,falls B eintritt. Stellen Sie die drei Funktionen graphisch dar, und unter-suchen Sie, welche Enscheidungsregel die günstigste ist in Abhängigkeitvon b!


g) Nun etwas komplizierter: Unterschiedliche Arten von Entscheidungensollen unterschiedliche Konsequenzen haben, die man messen kann (z.B.in Geld). Bewerten Sie zum Beispiel den Fehler erster Art mit −10, denFehler zweiter Art mit −5 und beide korrekte Möglichkeiten mit 1 (Sieführen jetzt also Zufallsvariablen Xi: Konsequenz bei Entscheidungsregeli ein). Berechnen Sie nun die Erwartungswerte von Xi in Abhängigkeitvon b. Beantworten Sie erneut die Frage, welche der Entscheidungsregelnfür welche Werte von b optimal ist.

h) Denken Sie jetzt nochmal über alles nach und erwägen Sie, wenn Sie dieseFragen und Überlegungen interessant finden, ob Sie Bayesianer werdenmöchten.

Nachbemerkung: Man kann die Aufgabe auch etwas anders einkleiden unddamit Überlegungen im Sinne der Bayesianer aus demWeg gehen. Beispiels-weise könnte es in einer Würfelfabrik eine Maschine geben, die einen Fehlerhat und Würfel mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit der Sechs produziert.Der Anteil der von dieser Maschine produzierten Würfel wäre dann 1 − b.Untersucht werden soll ein zufällig gezogener Würfel, bei dem dann dieFrage ist, ob er von der defekten Maschine produziert wurde (ausgedrücktdurch H1) oder nicht (H0). Damit kann man die Denkschritte oben ganzim klassischen Rahmen machen.


A1: Gegeben sei die Situation aus Aufgabe 6 in Aufgabenblatt 13. ZeichnenSie auch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung im gleichenMaßstab und vergleichen Sie mit den Diagrammen der Verteilungsfunktio-nen der z-transformierten Mittelwerte! Wofür ist dies eine Illustration?

A2: Z sei Variable, deren Wahrscheinlichkeitsdichte eine Standardnormalvertei-lung ist. Sei z = 1, 2. Wie groß sind jeweils die schraffierten Flächen?

a)

.......................................................................................................................................................................................................

0 z

b)

.......................................................................................................................................................................................................

0 z

c)

.......................................................................................................................................................................................................

0 z

d)

.......................................................................................................................................................................................................

0−z

e)

.......................................................................................................................................................................................................

0−z z

f)


.......................................................................................................................................................................................................

0−z z

A3: Welche Werte schneiden bei einer N(20, 36)-verteilten Variablen symme-trisch links und rechts insgesamt 10% ab?

A4: Sei X ∼ N(µ, σ2), σ = 5, n = 100.

Bilden Sie die 95%-Vertrauensintervalle für µ

a) nach Tschebyscheff

b) unter der Normalverteilungsannahme

und vergleichen Sie!

A5: Sei X ∼ N(µ, 64). Wie groß muß n mindestens sein, damit die Länge des90%-Vertrauensintervalles für µ kleiner als 1 wird?

A6: Seien X ∼ N(5, 64), Y ∼ N(2, 16), ρ(X, Y ) = 14. X, Y seien gemeinsam

normalverteilt. Berechnen Sie P (X2− Y ≥ 1)!

A7: X1, X2, X3 seien gemeinsam normalverteilte Zufallsvariable mit folgenderKovarianzmatrix:

25 10 0

10 16 5

0 5 9

Es gelte E(X1) = 1, E(X2) = 2, E(X3) = 3, Y := X1 − X2/2 + X3.Berechnen Sie P (2 ≤ Y ≤ 8)!

A8: Vergleichen Sie die Längen der Vertrauensintervalle für µ nach Tschebys-cheff und unter Normalverteilungsannahme für 90%, 95% und 99%. (Be-stimmen Sie jeweils das Verhältnis der Längen zueinander.)

A9: Erläutern Sie noch einmal den Begriff der Stichprobenverteilung der Mit-telwerte.

Auf die Bemerkung, die Stichprobenverteilung der Mittelwerte von Stich-proben vom Umfang n = 5 sei normalverteilt, falls die zugrundeliegendeVariable normalverteilt sei und falls Zufallsstichproben betrachtet würden,entgegnet ein Student: “Eine Stichprobe vom Umfang 5 kann doch nichtnormalverteilt sein.“ Antworten Sie dem Studenten!


A10: a) Welcher Wert schneidet bei einer Standardnormalverteilung links 2%ab? Welche Werte schneiden beidseitig symmetrisch insgesamt 8% ab?

b) Eine Variable Y sieN(4, 25)-verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß Y Werte zwischen 3 und 7 annimmt? Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit, daß der Mittelwert aus vier unabhängigen Realisierungen von Yzwischen diesen beiden Werten liegt?

c) Die Körpergröße von Ehepaaren sei als gemeinsam normalverteilt ange-nommen. Die Größe der Männer sei dabei N(180, 225)-verteilt, und dieder Frauen sei N(170, 400)-verteilt (Angaben in cm). Die Korrelationbetrage 2/3. Nun gibt es in einer einfallsreichen Game-Show ein Spiel,das erfordert, daß sich die Frau mit einer 20cm langen brennenden Ker-ze auf dem Kopf auf den Kopf des Mannes stellt, um mit der Flammeeinen Faden zu durchtrennen, der in 360cm Höhe angebracht ist. Wenndas gelingt, wird ein Mechanismus in Gang gesetzt, der einen Tresoröffnet. Man kann davon ausgehen, daß der Faden gerade noch durch-trennt wird, wenn sich die Flamme 10cm unterhalb des Fadens befindet.Wie wahrscheinlich ist es, daß ein zufällig ausgewähltes Ehepaar mangelsKörpergröße in diesem intelligenten Spiel scheitert?

d) In einem Lehrbuch finden Sie den Satz: „Die Intelligenz ist normalver-teilt mit einem Mittelwert von 100 und einer Streuung von 15“. GebenSie Gründe dafür an, daß dies streng genommen nicht richtig sein kann!(Zusatzfrage ohne Wertung: Was an diesem Satz ist bereits auf seman-tischer Ebene falsch?)


A1: Es sei X eine B(10, 0.2) verteilte Zva. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß diese Variable Werte ≤ 8 annimmt? (Benutzen Sie einmal die Bino-mialverteilungstabelle und einmal die Normalverteilungsapproximation zurBerechnung dieser Wahrscheinlichkeit!)

A2: Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit p = 0.3

und n = 6 mit denen, die Sie bei einer Approximation durch die Normal-verteilung erhalten. Führen Sie diesen Vergleich auch für die Binomialver-teilung mit p = 0.5 und n = 6 durch. Welche Approximation ist besser?

A3: X ∼ B(20, 0.3) Berechnen Sie P (2 ≤ X ≤ 6)

a) mit Tabelle,

b) mit Normalverteilungapproximation!

A4: Der Forscher Dirk Reiss behauptet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%bei einem Menschen durch einen tiefen Blick in dessen Augen das Sternzei-chen richtig bestimmen zu können (es gibt 12 Sternzeichen). BeantwortenSie die folgenden Fragen mit Hilfe einer geeigneten Approximation!

a) Er führt diesen Versuch bei 200 Menschen durch, die er zufällig auswählt.Wie groß ist, wenn seine Behauptung stimmt, die Wahrscheinlichkeit,daß er zwischen 35 und 42 (jeweils einschließlich) Sternzeichen richtigbestimmt?

b) Bei den 200 Versuchen trifft er 30 mal ins Schwarze. Würden Sie unterdiesen Umständen die Nullhypothese ablehnen, daß er nur rät? (Signifi-kanzniveau 5%)

c) Wie groß wäre die Power des Tests aus dem letzten Teil gewesen, wennseine Behauptung stimmt?

d) Nun fragen Sie sich, wie wahrscheinlich es (bei Richtigkeit seiner Behaup-tung) ist, daß er in 20 Versuchen genau 6 Treffer erzielt. Vergleichen Sieden Wert, der sich mit Normalverteilungsapproximation ergibt, mit demin der Binomialtabelle!

A5: Welche Werte schneiden bei den χ2-Verteilungen mit 10, 100 und 123 dfrechts 5% ab? Bestimmen Sie die Werte mit Hilfe geeigneter Programmeund zum Vergleich auch mit der Tabelle, soweit sie dort vorhanden sind.Bestimmen Sie die Werte ferner näherungsweise mit der Normalverteilungs-approximation und vergleichen Sie!


A6: Sechs Beobachtungen seien zufällig und unabhängig voneinander aus einernormalverteilten Population gezogen worden:

106, 98, 97, 103, 101, 99

Bestimmen Sie das 95%-Vertrauensintervall für die Populationsvarianz!

(Zusatz für die Spezialisten: Wie ändert sich das Intervall, wenn man µX =

100 als bekannt voraussetzt?)

A7: Sei X ∼ χ2n, δ2 . Man zeige: E(X) = n+ δ2

A8: Es besteht die Vermutung, dass die Streuung einer Variable X nicht, wiefrüher geglaubt, gleich 4 ist, sondern größer. Die Frage soll mit Hilfe einerStichprobe beantwortet werden; diese liefert die Werte 5, 12, 2, 14, 8, 15, 7.Die Variable X sei als normalverteilt vorausgesetzt.

a) Formulieren Sie die Hypothesen und testen Sie auf dem 5%-Niveau.

b) Viele Computerprogramme geben bei der Durchführung von Signifikanz-tests p-Werte an. Welchen p-Wert würde ein solches Computerprogrammhier angeben? (Benutzen Sie zur Beantwortung der Frage ein geeignetesProgramm).

c) Wie groß ist die Power des Tests, wenn die Streuung in Wahrheit 5 ist?(Benutzen Sie auch hier zur Antwort ein geeignetes Programm).

A9: Welcher Wert y (welche Werte −y, y) schneidet bei einer t-Verteilung mitν = 9 Freiheitsgraden

a) rechts 5% ab

b) symmetrisch links und rechts insgesamt 5% ab

c) symmetrisch aus der Mitte 99% heraus

d) links 1% ab

e) links 90 % ab?

Man fertige jeweils eine Skizze an!

A10: Eine Variable X sei als normalverteilt vorausgesetzt. Aus einer Stichprobeerhält man folgende Werte:

15, 12, 18, 12, 23, 15, 24, 11, 5

a) Konstruieren Sie ein 95%-Vertrauensintervall für den Erwartungswertvon X.


b) Wie hätte dies Intervall ausgesehen, wenn Sie zusätzlich gewußt hätten,daß die (theoretische) Streuung der Variablen 6 ist?

c) Die Varianz sei wieder als unbekannt vorausgesetzt. Konstruieren Sie ein90%-Vertrauensintervall für σ2!

d) Erläutern Sie einem Laien kurz, was das Ergebnis aus c) bedeutet!


A1: a) Welcher Wert schneidet bei der t-Verteilung mit 30 df rechts .001 ab?Welcher schneidet bei einer mit 4 df links .1 ab?

b) Zwischen welchen Werten liegen die mittleren 99% einer χ2-Verteilungmit 19 df?

c) Welcher Wert schneidet bei der F -Verteilung mit 3 Zähler- und 9 Nen-nerfreiheitsgraden rechts 5% ab? Welcher Wert schneidet bei der F -Verteilung mit 40 Zähler- und 12 Nennerfreiheitsgraden links 1% ab?

d) Wie wahrscheinlich ist es, daß eine χ21-verteilte Zva einen Wert ≤ 4 an-

nimmt? Erinnern Sie sich an die Definition und benutzen Sie dann dieTabelle für die Standardnormalverteilung!

A2: Es wird gefragt, ob zwei Variablen X und Y unkorreliert sind oder nicht.In einer Stichprobe erhält man folgende Werte:

X 11 7 9 3 3 9 5 1 7 5Y 7 6 5 3 6 5 1 3 3 1

Setzen Sie gemeinsame Normalverteiltheit voraus und testen Sie auf dem5%-Niveau. Wie entscheiden Sie? Welcher p-Wert würde sich ergeben?

A3: Wie groß muss ein Korrelationskoeffizient mindestens sein, damit er beieinem einseitigen Test auf dem 5%-Niveau bei eine Stichprobengrößen von5, 10, 50, 100, 1000 signifikant wird? Wie sind die entsprechenden Wertebei zweiseitigen Tests? Werden die Werte größer oder kleiner, wenn nichtauf dem 5%-Niveau, sondern auf dem 1%-Niveau getestet werden soll?

A4: Leiten Sie für den Test auf Nullkorrelation die direkt für r formulierte Regelaus der her, die den transformierten Korrelationskoeffizienten mit Hilfe einert-Verteilung testet.

A5: Seien X1, ...Xn unabhängige Versionen von X ∼ N(µ, σ2), a ∈ R. Danngilt: M−a

s/√n∼ tn−1,δ mit δ = µ−a

σ/√n

=√n · µ−a

σ

Man beweise dies!

A6: Die Suchtabteilung unseres Instituts erhält einen Auftrag des Wodka-Her-stellers Smirnoff, herauszufinden, ob die auf einer geeigneten Skala gemes-sene Sympathie für ihr Produkt normalverteilt ist mit Erwartungswert 8

und Varianz 4. Eine Stichprobe von 5 Probanden liefert die Werte 5.2, 8.7,10.1, 7.3, 5.2. Testen Sie auf dem 5%-Niveau und veranschaulichen Sie denTest durch eine geeignete Graphik.


A7: Jemand vermutet dass Männer weniger über Feng-Shui Bescheid wissen alsFrauen. In zwei Stichproben findet man bei 8 Frauen 6, die Bescheid wissen,und bei 6 Männern einen, der Bescheid weiß. (Es gibt hier nur die beidenMöglichkeiten ‚Bescheid wissen‘ und ‚nicht Bescheid wissen‘). Geben Siedie Hypothesen an und testen Sie auf dem 5%-Niveau. Wie entscheiden Siesich?

A8: Schildern Sie kurz die Problematik bei der Verwendung des χ2-Tests zurBegründung dafür, daß eine bestimmte Variable normalverteilt ist.

A9: Zwei Variablen sollen auf Unabhängigkeit getestet werden. Wie groß mußbei einer 3 x 5-Kontingenztafel ϕ2 werden, damit H0 auf dem 5%-Niveauverworfen werden kann?

a) n = 100

b) n = 1000

c) n = 10000

A10: An 30 zufällig gezogenen Studenten wird mit Hilfe eines Persönlichkeits-fragebogens der Neurotizismuswert ermittelt. Es ergeben sich folgende Da-ten:

12, 24, 15, 30, 11, 23, 11, 5, 17, 22, 14, 35, 2, 14, 4, 13, 16, 30, 26, 29, 5, 31,33, 32, 14, 4, 6, 15, 3, 14

Testen Sie auf dem 5%-Niveau die Hypothese, daß der Neurotizismus un-ter Studenten normalverteilt ist! Wählen Sie dabei (dem Korrektor zuliebe)folgende Klassengrenzen: 7.5, 13.5, 19.5, 25.5! Welche Schlußfolgerung zie-hen Sie aus dem Ergebnis?

A11: Eine bekannte Theorie teilt die Menschen in die Kategorien „leptosom“,„pyknisch“ und „athletisch“ ein. Ein Forscher ist der Meinung, daß der ath-letische Körperbau mit 64% der häufigste sei. Die beiden anderen Typensollen gleichwahrscheinlich sein. Bei 250 Personen findet man 40 leptosome,38 pyknische und 172 athletische.

a) Wie groß sind die erwarteten Häufigkeiten, wenn der Forscher recht hat?

b) Machen Sie die Meinung des Forschers zur Nullhypothese! Wie lautet dieAlternativhypothese? Welchen Test führen Sie durch? Sind die Voraus-setzungen für seine Anwendung erfüllt?

c) Testen Sie nun auf dem 5%-Niveau! Wie ist das Ergebnis zu werten?


d) Wieso befindet sich der Forscher in einer unbefriedigenden Situation,wenn er seine These untermauern möchte?

A12: In einem Experiment, in dem der Einfluß von Emotionen auf das Ge-dächtnis untersucht werden sollte, wurden 60 Versuchspersonen mit Hil-fe eines geeigneten Fragebogens entweder als fröhlich gestimmt oder alstraurig gestimmt klassifiziert. Dann wurde jede Vp aufgefordert, eine kurzeEpisode aus ihrem Leben zu erzählen. Diese Kurzgeschichten wurden einerGruppe von Experten vorgelegt mit der Aufforderung, die Geschichten indrei Kategorien einzuteilen: fröhlich, neutral, traurig. Es ergab sich folgendeKontingenztafel für die Variablen Stimmung (S) und Geschichte (G):

S \ G traurig neutral fröhlichtraurig 16 6 8fröhlich 7 10 13

a) Sind die beiden Variablen unabhängig? Testen Sie auf dem 5%-Niveau!Wie verhalten Sie sich nach dem Test?

b) Der Forscher läßt die Daten der Kategorie „neutral“ diskret in der Schub-lade verschwinden und tut bei einem zweiten Test (α = 5%) so, als gäbees nur die Kategorien „fröhlich“ und „traurig“. Wie fällt der Test dies-mal aus, und wie würde man sich verhalten, wenn man nichts von denManipulationen des Forschers wüßte?

A13: Eine Firma, die Feinwaagen produziert, behauptet, daß die Standardab-weichung der Meßergebnisse σ = 0, 005 g sei. Es soll die Nullhypothese

H0 : σ = 0, 005 g gegen die Alternativhypothese

H1 : σ > 0, 005 g getestet werden.

Die Grundgesamtheit der Meßergebnisse kann als normalverteilt angenom-men werden. Man lege einen α-Fehler von 0,01 fest. Eine Stichprobe von12 Meßergebnissen erbringe s = 0, 00949. Bestimmen Sie den kritischenχ2-Wert und geben Sie Ihre Entscheidung an!

Formulieren Sie die Voraussetzungen des durchgeführten statistischen Tests.

A14: Der Fettgehalt der Milch von Jerseykühen liegt im allgemeinen bedeu-tend höher als der von Schwarzbunten. Es ist die Frage zu klären, ob dieVariabilität des Fettgehaltes bei beiden Rassen gleich ist oder nicht. EineStichprobe vom Umfang n1 = 25 von Jerseykühen hatte die Stichprobenva-rianz s21 = 0, 128. Eine Stichprobe vom Umfang n2 = 31 von Schwarzbuntenhatte die Stichprobenvarianz s22 = 0, 072. Die Nullhypothese


H0 : σ21 = σ2

2

soll für α = 0, 05 gegen die Alternativen

a) H1 : σ21 > σ2

2

b) H1 : σ21 6= σ2

2

getestet werden. Die Voraussetzungen für den F -Test (welche sind es?) gel-ten als erfüllt.

A15: Es sei X ∼ N(µ, σ2), σ2 bekannt. Die Hypothesen lauten:

H0 : µ = µ0

H1 : µ = µ1

Entwickeln Sie für einen linksseitigen Test (d.h. µ1 < µ0) bei vorgegebenemα-Fehler die Formeln für den kritischen Wert c, den β-Fehler und die Power!

A16: Gesucht ist die Stichprobenmindestgröße n, bei der die Power eines Testsmit exakter Alternativhypothese ≥ p (bei vorgegebenem p mit p ≥ α) wird.

Für den rechtsseitigen Test findet man: n ≥ (uα−up)2·σ2

(µ1−µ0)2

Zeigen Sie, daß diese Formel auch für den linksseitigen Test gilt!

A17: Sei X ∼ N(µ, 16). Die Hypothesen lauten:

H0 : µ = 10

H1 : µ > 10

a) Zeichnen Sie die Power Pµ(“H1“) für n = 16 und n = 100 (α betragejeweils 5%)!

b) Was ändert sich bei einem linksseitigen Test?

A18: Die Verteilung des Ergebnisses X eines IQ-Test sei in einer PopulationX ∼ N(100, 225). Es besteht die Vermutung, daß der Erwartungswert ineiner anderen Population geringer ist (die Varianz sei ebenfalls als 225 an-genommen). Für relevant hält man Abweichungen ab 3 Punkten. WählenSie daher n so, daß die Power bei µ ≤ 97 größer als 90% wird!

A19: Zeichnen Sie die Power des zweiseitigen Tests mit bekannter Varianz fürµ0 = 10, σ = 4, n = 16, α = 0.05 und vergleichen Sie die Zeichnung mit derentsprechenden Zeichnung für den einseitigen Test!

A20: Gegeben sei eine normalverteilte Variable mit σ = 10.


a) Eine Stichprobe vom Umfang 16 liefert die Werte110, 114, 98, 101, 103, 105, 115, 87, 93, 106, 104, 105, 106, 116, 122, 95.Testen Sie die HypothesenH0 : µ = 100, H1 : µ = 105

auf dem 5%-Niveau!

b) Wie groß muß die Stichprobe mindestens gewählt werden, um bei einemα von 0.01 einen β-Fehler von höchstens 0.02 zu riskieren? Wie groß istdann der kritische Wert?

A21: “Bei großem n wird alles signifikant.“ Was ist an dieser Aussage richtig?Ziehen Sie Gleichungen, Zeichnungen etc. für Ihre Argumentation heran.

A22: Zur Veranschaulichung der Effektstärke. Die Zvan X1 ∼ N(µ1, σ2) und

X2 ∼ N(µ2, σ2) mögen die Verteilung eines Merkmals in zwei Populatio-

nen beschreiben (Beispiel: Intelligenz bei Männern und Frauen); dabei seiµ2 > µ1. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Wert des Merkmals bei einerzufällig gezogenen Person aus Population 2 höher ist als bei einer unabhän-gig davon zufällig gezogenen Person aus Population 1? Drücken Sie dieseWahrscheinlichkeit mit Hilfe der Effektstärke aus und berechnen Sie siefür Effektstärken von .2, .5 und .8. Hinweis: Welches ist die Verteilung derDifferenz der beiden gezogenen Werte? Wie wahrscheinlich ist daher eineDifferenz > 0?


A1: a) Wie groß muß beim rechtsseitigen Testen mit unabhängigen Stichprobenfür σ1 = σ2 = σ (bekannt) und n1 = n2 = n die Stichprobengröße nmindestens sein, damit die Power ≥ p (mit vorgegebenem p ≥ α) wird?(Beachten Sie den Zusammenhang mit der Effektstärke!)

b) Im konkreten Beispiel sei X1 der IQ von Frauen,X2 der IQ von Männern,und X1 ∼ N(101, 225), X2 ∼ N(100, 225). α = 5%. Wie groß muß man nwählen, damit man mit mindestens 90%iger Sicherheit ein signifikantesErgebnis erhält (d.h. die Power mindestens 90% beträgt)?

c) Wie wahrscheinlich ist es unter den Bedingungen von Teil b), daß einezufällig gezogene Frau intelligenter ist als ein zufällig gezogener Mann?Wie wahrscheinlich ist es, daß der Mittelwert von 100 Frauen größerist als der Mittelwert von 200 Männern? Welche Rolle spielt hier dieEffektstärke?

A2: Was passiert, wenn jemand im Fall des Zweistichprobentests mit bekannterVarianz fälschlicherweise den Test für unabhängige Stichproben rechnet?Vergleichen Sie die kritischen Werte für die Mittelwertdifferenz (beispiels-weise für den rechtsseitigen Test)! Vorausgesetzt sei, dass die Varianz inbeiden Bedingungen gleich ist (nämlich σ2). Zeigen Sie, dass die Frage, obder Fehler sich auszahlt oder bestraft wird, von der Korrelation ρ der Wertein den beiden Bedingungen abhängt – wie?

A3: Aufgrund längerer Aufzeichnungen sei bekannt, daß unter Standardbedin-gungen eine bestimmte Züchtung von Laborratten vom Zeitpunkt ihrer Ge-burt bis zum Alter von 90 Tagen eine mittleren Gewichtszunahme von 70Gramm aufweist. Die mittlere Gewichtszunahme kann als normalverteiltangenommen werden. Ein Experimentator ist daran interessiert, ob eineAufzucht der Ratten in völliger Dunkelheit einen Effekt auf die Gewichts-zunahme hat. Er stellt also auf:

H0 : µ = 70 g

H1 : µ 6= 70 g

Der Experimentator ist lediglich dann daran interessiert, H0 zu verwerfen,wenn |µ− 70|/σ ≥ 0, 25 ist. Wie groß muß er die Stichprobe wählen, wenner ein solches µ mit einer Mindestpower von 0,9 bei α = 0, 05 aufdeckenmöchte?

A4: Zeigen Sie: Beim zweiseitigen Testen (Einstichprobenproblem, Varianz un-bekannt) wird H0 genau dann auf Niveau α verworfen, wenn das (1 − α)-Vertrauensintervall für µ den Wert µ0 nicht enthält.


A5: Es wurden zwei Stichproben von Berlinern und von Kielern gezogen undnach ihrer Einstellung zu Umfragen befragt. Es sei vorausgesetzt, daß dieEinstellungswerte in beiden Populationen normalverteilt sind mit gleicherVarianz.

Die Werte waren im einzelnen:

Kieler: 2, 3, 5, 6, 7, 5, 6, 8, 3

Berliner: 5, 8, 5, 6, 7, 7, 6, 8, 9, 4, 8, 10, 8

a) Geben Sie erwartungstreue Schätzungen für die Erwartungswertdifferenzund für die Varianz ab!

b) Sind die Erwartungswerte der Einstellungen unterschiedlich? Testen Sieauf dem 5%-Niveau!

c) Wie groß ist etwa die Power dieses Tests, wenn der wahre Erwartungs-wertunterschied 1 ist, und die Varianz in beiden Populationen 4 beträgt?

d) Sie streben an, daß die Power 80% werden soll, und planen, zwei gleich-große Stichproben zu ziehen. Wie groß müssen sie diese dann wählen?


A1: Um der Frage nachzugehen, ob ein längerer Urlaub die Leistungsfähigkeitvon Fußballspielern steigert, werden aus einer großen Population von Spie-lern acht zufällig herausgegriffen und nach einem ersten Leistungstest inFerien geschickt. Danach wird ein zweiter Test durchgeführt. Die Ergebnis-se:

Vorher: 6 7 3 7 7 6 4 8Nachher: 7 9 6 7 9 10 9 7

a) Wie lauten die Hypothesen? Testen Sie auf dem 1%-Niveau!

b) Wie groß ist etwa die Power dieses Tests, wenn der Erwartungswertun-terschied gleich 1, die Varianz der Leistungen vorher und hinterher gleich2 ist, und die Leistungen vor und nach dem Urlaub eine Korrelation von.25 aufweisen?

c) Wird die Power mit wachsender Korrelation größer oder kleiner (Begrün-dung!)

d) Wie groß muß die Stichprobe werden, wenn unter den Voraussetzungenvon b) die Power 70% sein soll?

A2: Wie kommt die Varianzanalyse zu ihrem Namen?

A3: Erläutern Sie die folgenden Begriffe:

Abhängige Variable, unabhängige Variable, Stufen der unabhängigen Va-riablen, Fehlervarianz.

A4: Ist die Alternativhypothese einer Varianzanalyse gerichtet oder ungerichtet?

Führt man einen zweiseitigen oder einseitigen Test durch?

A5: Beantworten Sie folgende Fragen:

a) Bei welchen Fragestellungen benutzt man eine Varianzanalyse?

b) Formulieren Sie die Voraussetzungen der Varianzanalyse!

c) Welche Prüfverteilung benutzt man bei der Varianzanalyse?

A6: Ein Pädagoge möchte die Wirksamkeit von vier unterschiedlichen Lehrme-thoden vergleichen. Ihm steht eine Gruppe von 20 Personen zur Verfügung,von der er annimmt, daß sie als Zufallsstichprobe aus der ihn interessieren-den Population angesehen werden kann. Er teilt die Gruppe per Zufall in


vier gleich große Gruppen auf. Diese werden nun mit den unterschiedlich-sten Lehrmethoden unterrichtet. Mit einem Test wird dann der Lernerfolgermittelt. In der folgenden Tabelle stehen die so erhaltenen Ergebnisse:

Methode A B C D12 26 15 2510 19 17 2417 24 24 2920 23 21 -11 - 23 -

(In Gruppe B und D fehlen Meßwerte, da der Bus mit den betreffendenSchülern zum Testtermin zu spät kam.)

a) Man untersuche mit Hilfe der Varianzanalyse, ob diese Daten für unter-schiedliche Wirksamkeit der Methoden sprechen.

b) Welche Annahmen müssen gemacht werden?

c) Man schätze die Erwartungswerte µ1, µ2, µ3, µ4, die Effektgrößen α1, α2, α3, α4

sowie σ2.

A7: Betrachten Sie folgende Gruppen von Daten:

A B C D1.69 1.82 1.71 1.691.53 1.93 1.82 1.821.91 1.94 1.75 1.861.83 1.63 1.64 1.91

a) Führen Sie eine Varianzanalyse durch und prüfen Sie auf Signifikanz beiα = 0, 05!

b) Da die Daten zu kompliziert erscheinen, vereinfachen wir sie, indem wir1 subtrahieren und das Ergebnis mit 100 multiplizieren. Führen Sie auchmit diesen transformierten Daten eine Varianzanalyse durch (gleicherα-Fehler). Beeinflußt die Transformation das Ergebnis des F -Tests?

c) Beeinflußt die Transformation die Werte der mittleren QuadratsummenMSbetween und MSwithin? Wenn ja, wie?


A1: Zeigen Sie, daß der zweiseitige Zweistichproben-t-Test der Varianzanalysebei zwei Gruppen äquivalent ist! Führen Sie dazu folgende Zwischenschrittedurch:

a) Zeigen Sie, daß der quadrierte empirische t-Wert gleich dem F -Bruch derVarianzanalyse ist!

b) Es sei U eine tN−2-verteilte Variable. Zeigen Sie, daß U2 dann F1,N−2-verteilt ist. Dies gilt auch für nichtzentrale Verteilungen, wobei das δ (imNonzentralitätsparameter) bei beiden Verteilungen dasselbe ist.

c) Für die α-Fraktile gilt: t2N−2;α/2 = F1,N−2;α. Machen Sie sich dazu klar,daß eine Variable einen Wert ≤ −c oder ≥ c (c > 0) genau dann an-nimmt, wenn die quadrierte Variable ≥ c2 ist.

d) Setzen Sie nun die Ergebnisse der Teilschritte zur Begründung der Aus-gangsbehauptung zusammen!

A2: Bei einer Varianzanalyse mit drei Gruppen der Größen 3, 8 und 5 habensich Mittelwerte von 6, 16 und 15 ergeben. Die (unkorrigierten) Varianzenin den Gruppen betragen 4, 6 und 3. Berechnen Sie den F -Bruch! Wird erauf einem Niveau von 5% signifikant?

A3: Zeigen Sie, dass sich f 2, δ2 und ω2 nicht ändern, wenn man die abhängigeVariable einer Varianzanalyse linear transformiert!

A4: Sie möchten herausbekommen, ob sich die Faserdicke einer bestimmtenBaumwollsorte in drei Anbaugebieten unterscheidet. Sie setzen α = 0, 05

und wünschen einen Unterschied von ω2 ≥ 0, 3 mit einer Power von 1−β =

0, 8 aufzudecken. Wie groß müssen Sie dann Ihre Untersuchungsgruppenjeweils wählen?

A5: Als Maß für die Größe des Effektes wurde f 2 definiert:

f 2 :=

∑Jj=1(nj/N)α2

j

σ2,

wobei σ2 die Populationsvarianz, αj und nj Effektgröße und Zellbesetzungder Stufe j und J die Anzahl der Stufen bezeichnen.

Zeigen Sie: f 2 ist invariant gegenüber linearen Transformationen! Das sollheißen: Wenn man die abhängige Variable linear transformiert, so ergibtsich der gleiche Wert von f 2 für die transformierte Variable.


A6: Zeigen Sie: Die Effektstärke f 2 ist in dem Spezialfall gleicher Gruppengrö-ßen gerade der Quotient aus der Varianz der Gruppenerwartungswerte µjund der Fehlervarianz σ2.

Documents

Aufgabenblatt 1 S.1 SS19 - uni-kiel.de · Aufgabenblatt 1 S.2 SS19 c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nur die Frauen zusammensitzen möchten? d) BeantwortenSiedieselbenFragenfürzweiMännerundzweiFrauenund