Auditorne vježbe # 4: Sinteza estimatora stanja i

primjene u regulaciji

� Projektirati će se regulator stanja elektromotornog pogona sa složenom

dinamikom radnog mehanizma (koja uključuje dvije zamašne mase i elastičnu

vezu) proširen estimatorom varijabli stanja punog reda.

� Estimator stanja punog reda proširiti će se modelom poremećajne veličine radi

postizanja statički točne procjene svih varijabli stanja.

� Nadalje, projektirati će se estimator momenta tereta (kao poremećaja) u sustavu

regulacije brzine vrtnje, te će se tako dobivena procjena momenta tereta koristiti

za unaprijednu kompenzaciju udarnog opterećenja

Literatura:

[1] K. J. Aström, B. Wittenmark: "Computer Controlled Systems", Prentice-Hall, London, 1984.

[2] R. Isermann: “Digital Control Systems", Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[3] D. Pavković, N. Perić, J. Deur: “Speed Control of Electrical Drives with Elastic Transmission

Utilizing State Estimators and Controllers", Proc. of 11th EDPE, Dubrovnik, Croatia, 2000.

[4] D. Pavković, J. Deur, I. Kolmanovsky: “Adaptive Kalman Filter-Based Load Torque

Compensator for Improved SI Engine Idle Speed Control”, IEEE Transactions on Control

Systems Technology, Vol. 17, No. 1, pp. 98 – 110, 2009.

Elektromotorni pogon s dvije zamašne mase i elastičnom vezom

� Pretpostavlja se da je pogonski istosmjerni elektromotor upravljan po struji armature.

Elektromotorni pogon s dvije koncentrirane zamašne mase i elastičnom vezom upravljan po struji:

principna shema (a) i blokovski dijagram modela procesa (b).

a

b

• Parametri pogona i elektromotora:

J1 = 0.02 kgm2 c = 100 Nm/rad Km = 1 Nm/A

J2 = 0.02 kgm2 d = 0.02 Nms/rad Kei = 1 Tei = 2 ms

M

1m

m

1ω 1α

c

dm

2m

2ω 2α

1J 2J

u

Chopper

Regulator

struje

aRi

ami

sT

K

ei

ei

+1mK

sJ1

1

s

1c

d

sJ2

1

+-

+ +

+

+-

-ai 1m 1ω 2ω

m2m

α∆ω∆

2ω

maRi

Reg. krug

struje

� Zanemarujemo utjecaj momenta tereta m2 (nemodelirani poremećaj) te se dobije model

procesa s jednim ulazom i jednim izlazom:

� Ekvivalentni vremenski-diskretni model u prostoru stanja dan je sljedećim izrazima:

gdje se uz uz pretpostavku ZOH na ulazu vremenski kontinuiranog modela procesa

pretpostavku i det(Ac) ≠ 0, parametri vremenski diskretnog modela procesa mogu odrediti

na sljedeći način (T – vrijeme uzorkovanja, I – jedinična matrica):

Jednadžba stanja

u

T

KKi

J

d

J

c

J

d

J

d

J

c

J

d

J

K

T

KK

Ti

c

c

a

ach

a

m

a

ea

aa

43421321

44444 344444 21

321&

&

&

&

&b

x

2

1

A

222

1111

x

2

1

0

0

0

0

1010

001

+

∆

−

−

−−

−−

=

∆

ω

α

ω

ω

α

ω

[ ]

321

4434421

x

2

1

c

2 1000

∆==

ω

α

ωω

ai

y

T

c

Jednadžba izlazaucc

bxAx +=& xcT

cy =

)(b)(xA)1(x kukk +=+ )(xc)( kkyT

=

TceA=A

T

c

Tcc =

c

T

cce b)I(Ab

-1−= A

Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja.

� Za modificirani sustav regulacije pojačanja po varijablama stanja i pojačanje

integrirajućeg elementa dobiju se na sljedeći način:

� Regulacijski sustav s PI regulatorom varijabli stanja može se prikazati sljedećim

blokovskim dijagramom (yR = ω2R , y = ω2):

Struktura regulacijskog kruga s PI regulatorom stanja

gdje su:

Karakteristični polinom P(z) koji opisuje željenu

dinamiku zatvorenog regulacijskog kruga (npr.

prema optimumu dvostrukog odnosa)

1

1

−z

[ ][ ] ( )*1*1****

1 Ab)A(bAb100]k[ Pkn

n

T −−+ =− LL

=

−=

0

bb

1

0AA

**

Tc

Estimator varijabli stanja punog reda

� Estimator varijabli stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju objekta upravljanja

proširenu povratnom vezom po mjerenjima (izlazima).

� Za realizaciju estimatora stanja punog

reda potrebno je poznavati sve parametre

procesa (tj. matrice A, b i cT).

Dinamički model SISO sustava i pripadajući estimator

stanja punog reda u sustavu regulacije stanja.

� Povratna veza po izlazima (pojačanja h)

osigurava točno slijeđenje stanja procesa.

� Dinamika estimatora stanja opisuje se

sljedećim izrazima:

)(x̂c)()(ˆ)()(

)(h)(b)(x̂A)1(x̂

kkykykyke

kekukk

T−=−=∆

∆++=+

� Kako je y(k) = cTx(k), dobije se sljedeći

izraz za dinamičko vladanje estimatora:

)(xch)(b)(x̂)chA()1(x̂ kkukkTT

++−=+

� Estimatori varijabli stanja važni su sa stanovišta regulacije varijabli stanja, jer u većini

slučajeva varijable stanja nisu izravno mjerljive.

� Iz navedenog se dobije sljedeći izraz za dinamiku pogreške estimacije:

)(xch)(b)(x̂)chA()(b)(xA)1(x̂)1(x)1(x~ kkukkukkkkTT

−−−−+=+−+=+

)(x~)chA())(x̂)(x)(chA()1(x~ kkkkTT

−=−−=+

� Prema tome, pogreška estimacije stanja mora težiti k nuli ako su moduli svojstvenih

vrijednosti matrice A – h.cT su manji od jedinice (uvjet stabilnog vladanja estimatora).

� Izraz za pojačanja estimatora može se prikladnim matričnim manipulacijama svesti na

oblik u kojem figuriraju izvorne matrice sustava u prostoru stanja:

� Podešavanje estimatora varijabli stanja može se opet provesti prema Ackermannovoj

formuli, no uvrštavaju se transponirane matrice sustava A i cT, te je rezultirajuća matrica

pojačanja estimatora h također transponirana:

[ ] ( )T

s

TP AQ100h

-1L=

( )

=

−

− 1

0

0

A

AAh

1

1

MMnT

T

T

c

c

c

P

Matrica osmotrivosti

]c)A(cAc[Q 1−= nTT

sL TT

)c(c =

� Sinteza estimatora stanja punog reda može provesti neovisno od sinteze regulacijskog

kruga zahvaljujući takozvanom principu odvojivosti (engl. separation principle).

� Dinamika estimatora stanja se obično izabire da bude 2 – 6 puta brža od željene dinamike

zatvorenog kruga s regulatorom stanja (ovisno o zahtjevima na potiskivanje šuma).

Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s

regulatorom varijabli stanja i estimatorom.

−−

−=

+

+

)(x̂

)(x

chkbAch

kbA

)1(x̂

)1(x

k

k

k

kTTT

T

� Supstitucija:

(dinamika pogreške estimacije)

)(x̂)(x)(x~ kkk −=

−

−=

+

+

)(x~)(x

chA0

kbkbA

)1(x~)1(x

k

k

k

kT

TT

Dinamika regulacijskog

kruga bez estimatoraDinamika pogreške

estimacije (stabilna)

[ ] [ ]TT

T

TT

zz

z

z

chAIdetkbAIdet

chA0

kbkbA

I0

0Idet

+−⋅+−=

=

−

−−

Dinamika estimatora je odvojena od dinamike

regulacijskog kruga s regulatorom stanja

Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja i

estimatorom stanja punog reda.

� Primjer: PI regulator varijabli stanja elektromotornog pogona s dvije zamašne mase i

elastičnom osovinom uz primjenu estimatora stanja (Tee = 10 ms).

� Pretpostavlja se da se mjeri samo brzina vrtnje na strani motora (čest slučaj u praksi).

Odatle slijedi da je matrica cT = [0 1 0 0].

b

A

+

+

u(k)Iz-1 cT

kT

-

y(k)x(k)x(k+1)

+

h

+

-

e(k)

b

A

++

Iz-1 cTy(k)x(k)x(k+1)

+ˆˆˆ

x(k)

Objekt

upravljanja

Estimator

stanja

punog reda

+

yR(k)

-

1

1

−zkn+1

xn+1

� Proračun pojačanja PI regulatora stanja i estimatora stanja:

% vremenski-kontinuirani model pogona u prostoru stanja

Ac = [-1/Tei 0 0 0;Km/J1 -d/J1 -c/J1 d/J1;0 1 0 -1;0 d/J2 c/J2 -d/J2]; bc = [Kei/Tei;0;0;0]; cTc = [0 1 0 0]; dc = 0;

% vremenski-diskretni model pogona u prostoru stanja

T = 2e-3; % vrijeme uzorkovanja T = 2 ms

[A,b,cT, d_] = c2dm(Ac,bc,cTc,dc,T,'zoh');

A_ = [A zeros(length(A),1); -cT 1]; % formiranje sistemske matrice objekta upravljanja s integratorom

b_ = [b;0]; % formiranje matrice ulaza objekta upravljanja s integratorom

D2 = 0.5 ; D3 = 0.5; D4 = 0.5; D5 = 0.5; Te = 50e-3; % dinamika zatvorenog regulacijskog kruga prema

% optimumu dvostrukog odnosa, Te = 50 ms

num = 1; den = [D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1];

[numd,dend] = c2dm(num,den,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma zatvorenog reg. kruga

% regulator

P = roots(dend); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga

kT_ = place(A_, b_, P); kT = kT_(1:4), knp1 = -kT_(5); % pojačanja P regulatora stanja i integratora

% estimator

Tee = 10e-3; % dinamika estimatora prema optimumu dvostrukog odnosa, Te = 10 ms

nume = 1; dene = [D4*D3^2*D2^3*Tee^4 D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1]; % integrator nije dio procesa

[numed,dened] = c2dm(nume,dene,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma estimatora

Pe = roots(dened); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga

h_ = place(A’, cT’, Pe); % pojačanja estimatora ... uočite da se za sintezu rabe transponirane matrice A i cT

h = h_’; % Ackermannova formula vraća transponiranu matricu pojačanja za estimator

Usporedni odzivi brzina vrtnje (a), torzijskog

momenta i reference struje armature (b), te

usporedba položaja polova regulacijskog

sustava s PI regulatorom varijabli stanja i

estimatorom stanja (c) (Tee = 10 ms).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

20

40

60

80

100

120

n1 [

1/m

in]

Te = 30 ms, T

ee = 10 ms

Te = 50 ms, T

ee = 10 ms

Te = 70 ms, T

ee = 10 ms

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

20

40

60

80

100

120

n2 [

1/m

in]

t [s]

ωR

ωR

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-2

0

2

4

6

8

m [

Nm

]

Te = 30 ms, T

ee = 10 ms

Te = 50 ms, T

ee = 10 ms

Te = 70 ms, T

ee = 10 ms

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-3

0

3

6

9

12

i aR [

A]

t [s]

mt

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Re(z)

Im(z

)

Process

CTRL. Te = 30 ms, T

ee = 10 ms

CTRL. Te = 50 ms, T

ee = 10 ms

CTRL. Te = 70 ms, T

ee = 10 ms

|z| = 1

(ζ = 0)

ζ = 0.707

Estimator poles(T

ee = 10 ms)

c

a b

Usporedni odzivi brzina vrtnje (a), te položaji polova (b) regulacijskog sustava s PI regulatorom

varijabli stanja sa i bez estimatora (Te = 30 ms, Tee = 10 ms).

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Re(z)

Im(z

)

State ctrl., Te = 30 ms

State ctrl., Te = 30 ms + estimator (T

ee = 10 ms)

|z| = 1

(ζ = 0)

ζ = 0.707

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

20

40

60

80

100

120n

1 [

1/m

in]

State controller, Te = 30 ms

State controller with estimator: Te = 30 ms, Tee = 10 ms

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

20

40

60

80

100

120

n2 [

1/m

in]

t [s]

ωR

ωR

a b

� PI regulator varijabli stanja s estimatorom varijabli stanja lošije potiskuje poremećaj

(moment tereta m2) u odnosu na regulator s izravnim mjerenjem svih varijabli stanja.

Dinamika s obzirom na skokovitu promjenu reference ωR je identična.

� Uzrok tome je inherentno kašnjenje estimatora (Tee = 10 ms), uslijed kojeg regulator ne

može odmah reagirati na promjenu brzine vrtnje tereta ω2, odnosno treba proći neko

vrijeme da se utjecaj poremećaja manifestira u estimiranim varijablama stanja.

Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u

regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 50 ms) i estimatorom stanja (Tee = 10 ms).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

20

40

60

80

100

120n

1 [

min

-1]

Process (measurement)

Estimator

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

20

40

60

80

100

120

n2 [

min

-1]

∆mt = 5 Nm

t [s]

t [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-1

0

1

2

3

4

∆α

[°]

Process (measurement)

Estimator

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-2

0

2

4

6

8

i a [

A]

∆mt = 5 Nm

t [s]

t [s]

� Pojavljuje se stacionarna pogreška estimacije varijabli stanja vezanih okretni moment

pogona (struje armature motora i kuta torzije osovine).

� Problematično sa stanovišta dijagnostike pogona.

� Primjena estimatora stanja koji ne uzima u obzir djelovanje poremećajne veličine

(utjecaj momenta tereta m2) ima za posljedicu stacionarnu pogrešku varijabli stanja.

� Primjenom estimatora varijabli stanja moguće je izbjeći mjerenje svih varijabli stanja,

odnosno za regulacijske svrhe mogu se koristiti samo one procesne varijable koje se

standardno mjere.

� Pri tome estimator varijabli stanja, koji je podešen za razmjerno brzi odziv (Tee = Te/6 -

Te/2) unosi razmjerno malo kašnjenje u odziv varijabli stanja u usporedbi sa slučajem

kada se regulator stanja zasniva na mjerenju svih varijabli stanja.

� Estimator varijabli stanja također nema nepovoljnog utjecaja na stabilnost regulacijskog

sustava, odnosno prigušenje odziva (što je posljedica principa separacije).

� S druge strane, regulacija zasnovana na takvom estimatoru jest statički točna zbog

primjene regulatora stanja proširenog s integrirajućim djelovanjem (PI regulator stanja).

Estimacija poremećajne varijable (estimator poremećaja)

� Ukoliko je neka od ulaznih varijabli objekta upravljanja (procesa) nemjerljiva i nije

moguće utjecati na nju, tada govorimo o poremećajnoj varijabli.

� Utjecaj poremećajnih varijabli moguće je u sustavu regulacije ukloniti korištenjem

integracijskog djelovanja u regulatoru stanja kako je već prije pokazano.

� No poremećajne varijable mogu prouzročiti značajnu statičku i dinamičku pogrešku

estimacije varijabli stanja, što može biti nepovoljno sa stanovišta dijagnostike sustava i

praćenja teško mjerljivih varijabli stanja primjenom estimatora.

� Stoga je potrebno estimator varijabli stanja proširiti odgovarajućim modelom

poremećajne veličine.

� Neka je razmatrani SISO objekt upravljanja opisan sljedećim modelom u prostoru stanja

(ξ(k) je poremećajna varijabla konstantnog iznosa koja djeluje na ulazu u proces):

{

[ ]

=

+

=

+

+

+

)(

)(x0c)(

)(0

b

)(

)(x

10

bA

)1(

)1(x

*

****

c

b)(xA)1(x

k

kky

kuk

k

k

k

T

T

kk

ξ

ξξ

321

3214342143421

)(xc)(

)(b)(b)(xA)1(x

kky

kkukk

T=

++=+ ξ

� Model procesa:

)()1( kk ξξ =+

� Model konstantnog poremećaja:

� Na osnovi tako zadanog modela procesa projektira se estimator varijabli stanja i

poremećaja, i to na sličan način kao i kod klasičnog estimatora, npr. postavljanjem

polova estimatora primjenom Ackermannove formule:

� Ovakav estimator se može primijeniti u regulaciji kako je prikazano ispod.

Regulacijski SISO sustav s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom varijabli stanja i poremećaja.

[ ] ( )T

s

TP

*-1*AQ100)h( L=

= − *1****

c)A(cAcQ nTT

sL TT

)c(c**

=TT)A(A

**=

++

(k+1)x (k)x

-

+ y(k)yR(k)

-

u(k)

+

+

+

Iz-1

h*+

-

e(k)

+

Objekt upravljanja

Estimator

stanja i

poremećaja

x*(k+1)^

-

(k)

x*(k)^

cT

A

b

10

bA

0

b]0c[

T

]1k[T

b

Iz-1

1

1

−zkn+1

xn+1

� Pritom se povratna veza po varijablama stanja x dovodi preko matrice (vektora) pojačanja

regulatora [kT -kn+1] dobivenog postupkom sinteze bez uzimanja u obzir poremećaja.

� Unaprijedno kompenzacijsko djelovanje proslijeđuje se izravno na ulaz procesa,

to jest na mjesto djelovanja poremećaja.

� Primjer: Estimator varijabli stanja dvomasenog sustava s elastičnom vezom sa

zanamarivom dinamikom momenta motora i estimatorom poremećaja na strani motora.

� Ovdje valja napomenuti da uslijed spregnutosti izvornih varijabli stanja procesa x i

poremećaja ξ unutar estimatora više ne vrijedi princip odvojivosti (separacije) varijabli,

odnosno dinamika estimatora poremećaja isprepletena je s dinamikom regulatora stanja.

( )

( )21

2

2

1

1

1

)(1

1

ωωωα

ωαω

ω

−=∆=∆

∆+∆=

−−=

&

&

&

dcJ

mmmJ

T

)(

0

0

1

101 1

1

2

1

222

111

2

1

Tmm

J

J

d

J

c

J

d

J

d

J

c

J

d

−

+

∆

−−

−−

=

∆

ω

α

ω

ω

α

ω

&

&

&

=>

b

Poremećaj (teret)

ξ

% vremenski-kontinuirani model pogona u prostoru stanja

Ac = [-d/J1 -c/J1 d/J1;1 0 -1;d/J2 c/J2 -d/J2]; bc = [1/J1;0;0]; bc_ = –bc ; cTc = [1 0 0]; dc = 0;

% vremenski-diskretni model pogona u prostoru stanja

T = 2e-3; % vrijeme uzorkovanja T = 2 ms

[A,b,cT,d_] = c2dm(A,b,cTc,dc,T,'zoh');

A_ = [A zeros(length(A),1); -cT 1]; % formiranje sistemske matrice objekta upravljanja s integratorom

b_ = [b;0]; % formiranje matrice ulaza objekta upravljanja s integratorom

D2 = 0.5 ; D3 = 0.5; D4 = 0.5; D5 = 0.5; Te = 40e-3; % dinamika prema optimumu dv. odnosa, Te = 40 ms

num = 1; den = [D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1];

[numd,dend] = c2dm(num,den,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma zatvorenog reg. kruga

% regulator

P = roots(dend); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga

kT_ = place(A_, b_, P); kT = kT_(1:3), knp1 = -kT_(4); % pojačanja P regulatora stanja i integratora

kT_d = [kT 1.0]; % vektor pojačanja po stanjima + kompenzacija poremećaja na ulazu

% estimator

Tee = 16e-3; D2e = 0.5; D3e = 0.5; D4e = 0.5;

nume = 1; dene = [D4e*D3e^2*D2e^3*Tee^4 D3e*D2e^2*Tee^3 D2e*Tee^2 Tee 1];

[numed,dened] = c2dm(nume,dene,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma estimatora

Ae = [A -b;zeros(1,length(A)) 1]; % Predznak minus jer poremećaj djeluje na ulazu s negativnim predznakom

be = [b;0]; cTe = [cT 0];

Pe = roots(dened); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga

he_ = place(Ae’, cTe’, Pe); % pojačanja estimatora proširenog modelom poremećaja

he = he_’;

Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u

regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 40 ms) i estimatorom stanja (Tee = 16 ms)

bez uključenog modela poremećaja (momenta tereta mT).

� Na skokovitu promjenu reference brzine postiže se očekivano stacionarno točno vladanje

regulacijskog kruga (podešenog za dobro prigušen odziv).

� Kao i u prethodnom slučaju, rezultati estimacije varijabli stanja karakterizirani su

značajnim statičkim pogreškama nakon udarnog opterećenja na strani motora zbog

nepoznavanja vanjskog poremećaja.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150n

1 [

1/m

in]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

n2 [

1/m

in]

t [s]

Stvarni

Estimirani

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

∆α

[deg]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

mT [

Nm

]

t [s]

Stvarni

Estimirani

Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u

regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 40 ms) i estimatorom stanja (Tee = 16 ms)

proširenim modelom poremećaja (momenta tereta mT).

� Estimacija varijabli stanja je sada statički točna nakon djelovanja poremećaja, te je

moguće primijeniti ovakav estimator u dijagnostici pogona (npr. za detekciju mogućeg

prekoračenja maksimalnog dozvoljenog momenta motora ili kuta torzije osovine).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

n1 [

1/m

in]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

n2 [

1/m

in]

t [s]

Stvarni

Estimirani

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

∆α

[deg]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

10

mt [

Nm

]

t [s]

Stvarni

Estimirani

� Primjer: Estimator momenta tereta Ottovog motora kao poremećajne varijable pogona.

� Ottov motor se regulira PI regulatorom brzine vrtnje (jednostavna implementacija –

klasičan pristup za praktične primjene), te se proširuje kompenzatorom momenta

tereta zasnovanim na estimatoru momenta tereta.

� U ovom slučaju se neće estimirati sve varijable stanja objekta upravljanja, već samo

poremećajna veličina (moment tereta).

� PI regulator brzine vrtnje se podešava za dobro prigušen odziv regulacijskog kruga

brzine vrtnje motora, dok se kompenzacijskim djelovanjem po estimiranom momentu

tereta koristi u svrhu potiskivanja poremećaja (npr. kod udarnog opterećenja).

� Estimator momenta tereta zasniva se na sljedećem jednostavnom modelu rotacijske

dinamike Ottovog motora:

[ ]bMpMJdt

d−= ),(

1ω

ωM, Mb - razvijeni moment motora i moment tereta,

ω - brzina vrtnje motora,

p - tlak zraka u usisnoj grani motora.

� Pretpostavlja se da je moguće rekonstruirati razvijeni moment motora iz standardno

mjerljivih signala ω i p.

� Model rotacijske dinamike proširuje se linearnim dinamičkim modelom poremećaja.

� Ukoliko je potrebno ostvariti stacionarnu točnost estimacije sporih promjena

momenta tereta (konstantan moment tereta) odabire se model poremećaja prvog reda.

� S druge strane, ukoliko je potrebno ostvariti točno praćenje nagibnih promjena

momenta tereta (rampi momenta tereta) odabire se model poremećaja drugog reda.

0

)(1

=

=

−=

dt

Md

Mdt

dM

MMJdt

d

b

bb

b

&

&

ω

Model poremećaja

drugog reda.

)(xc)(

)(b)(xA)1(x

kky

kMkk

T=

+=+

=

b

b

M

M

&

ω

x

−−

=++++=

100

10

)2/(/1

!3

A

!2

AAIA

2

3322

T

JTJTTT

T ccc L

=

+++=

0

0

/

b!3

A

!2

AIb

22JT

TTT

c

cc L [ ]001c =T

� Sretna okolnost je da su potencije sistemske matrice Ac vremenski kontinuiranog

sustava reda većeg od 2 jednake nuli (otud egzaktna rješenja za matrice A i b).

−

=

000

100

0/10

A

J

c

=

0

0

/1

b

J

c

NP filtar

444 3444 21

bM

−−= )(

)1()()()(ˆ z

T

zJzMzGzM Mb ω

012

23

0 )()(

MMM

MeM

azazaz

bzKzG

+++

−=

� Primjenom odgovarajućih matričnih manipulacija može se pokazati da estimator

momenta tereta zapravo predstavlja niskopropusni filtar primijenjen na “sirovu”

rekonstrukciju momenta tereta iz rekonstrukcije momenta motora i brzine vrtnje:

J

KT

J

KTKa

J

KT

J

KTKaKa

K

KTb

J

TKK

MMM

MMMM

M

MMMe

21

2233

1

20

212

0

&

&

&

−−+=

−−−=−=

−=−=

ω

ωω

))(x̂c)((h)(b)(x̂A)1(x̂ kkkMkkT

−++=+ ω

)(h)(b)(x̂)chA()(x̂I zzMzzzT ω++−=

� Struktura estimatora momenta tereta opisana je sljedećom dinamičkom jednadžbom u

prostoru stanja:

� Ovaj model se može prebaciti u z-područje čime se dobije:

T

MM KKK ][h &ω=

Matricu pojačanja h = [Kω KM KM] moguće

je odrediti rješavajući sustav jednadžbi (bez

primjene Ackermannove formule)

.

Sirova rekonstrukcija

momenta tereta

� Izrazi za pojačanja estimatora glase:

)1()53(2

3 21022102 MMMMMMMMM aaaT

JKaaa

T

JKaK +++−=−−−=+= &ω

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t [s]

Unit s

tep r

esponse

Tee

= 0.25 s

Tee

= 0.40 s

Tee

= 0.60 s

0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Re [z]

Im(z

)

Tee

= 0.25 s

Tee

= 0.40 s

Tee

= 0.60 s|z| = 1(ζ = 0)

ζ = 0.71

Usporedni odzivi estimatora poremećaja na jediničnu skokovitu promjenu momenta tereta (a), i položaji polova

estimatora (b) za različite izbore ekvivalentnih vremenskih konstanti Tee.

a b

� Odzivi estimatora su karakterizirani nadvišenjem (oko 45%), no ipak dobro prigušeni.

� Osjetno nadvišenje je posljedica nule bM0 u prijenosnoj funkciji estimatora (potrebna

da bi se moglo ostvariti dobo slijeđenje nagibnih promjena momenta tereta)

[ ]6.01.0

)/(exp

)/exp(

1

11

K=

−=

−=

−

−=

Σ

Σ

v

vTTz

TTz

z

z

KKK

fF

f

f

fF

tm

f

� Struktura regulacijskog kruga brzine vrtnje:

1

1

+sTθ

RK

-

+ Rθ

-

+Rω

PI regulator brzine vrtnje motora

-

+θ

1+sT

K

m

mtK

p

1

1

+sTd

M

Is

1

bM

ω

pK

ETC

Linearizirani model motora

-+eω

ZOH

T

T

1−z

zT

T

K s

I

R

Blokovski dijagram lineariziranog regulacijskog sustava brzine vrtnje Ottovog motora u

praznom hodu s PI regulatorom i kompenzatorom momenta tereta

fF

f

fzz

zzK

−

−

Rfθ

+

Ts

Pretkompenzator

Estimator

poremećaja

bM̂

))((ˆdTtpM −

M̂T

Tmω

ˆ

s estimatorom poremećaja.

� PI regulator se podešava primjenom kriterija optimuma dvostrukog odnosa:

1...)( 222

12

21 ++++⋅⋅⋅= −

− sTsTDsTDDDsA eenn

en

nnc

D2 = ... = Dn = 0.5 => optimalno prigušenje (ζ = 0.707)

Te - određuje brzinu odziva (osjetljivost na šum)

ptms

mdsminee

KKKTTI

TTTT

DD

ITT

)(ˆ

ˆ

32

,++

+++=≥

θ

θ

−

++= 1

ˆ

22 e

sp

tme

RTD

TTK

KKTD

IK θ

1

1

−

+=

R

peI

K

KTT

}

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24800

1000

1200

1400

1600

t [s]

ω [

rpm

]PI ctrl. only

PI + fast comp. (Tee

= 0.25 s)

PI + slow comp. (Tee

= 0.6 s)

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

1

2

3

4

t[s]

θR [

deg]

ωR

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24800

1000

1200

1400

1600

t [s]

ωe [

rpm

]

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24-2

0

2

4

6

8

t[s]

Mbe [

Nm

]

PI ctrl. only

PI + fast comp.

PI + slow comp.

Mb

Usporedni odzivi brzine vrtnje i referentnog iznosa kuta zaklopke (a), te estimirane brzine vrtnje i momenta

tereta (poremećaja) (b) u regulacijskom krugu s PI regulatorom i kompenzatorom momenta tereta

zasnovanim na primjeni estimatora poremećaja.

a b