Automatsko upravljanje 2014/2015

Prof.dr.sc. Nedjeljko Peric, Prof.dr.sc. Zoran VukicProf.dr.sc. Mato Baotic, Doc.dr.sc. Nikola Mikovic

Zavod za automatiku i racunalno inenjerstvoFakultet elektrotehnike i racunarstva

Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 1 / 22

Uvod

Saetak Predavanja 19

PID regulator i iz njega izvedeni regulatori (PI, PD, P, I) nairoko seprimjenjuju u automatizaciji proizvodnih i radnih procesa(energetika, industrija, transport. . . )

Diskretizacijom prijenosne funkcije PID regulatora u kontinuiranomvremenu dobije se rekurzivna jednadba algoritma PID regulatora

Rekurzivna jednadba programski se realizira u programirljivomured

_aju (mikroprocesorskom ured

_aju, programirljivom logickom

kontroleru-PLC, procesnom racunalu)

Stvorene su podloge za proirivanje znanja o specificnim svojstvimaPID regulatora, ogranicenjima koja ima PID regulator te potrebiukljucivanja dodatnih funkcija osnovnom algoritmu PID regulatora

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 2 / 22

Uvod

Cilj

Razumjeti postupak parametriranja regulatora pomocu integralnihkriterija

Razumjeti Ziegler-Nicholsov postupak parametriranja PID regulatora

Stvoriti podlogu za usvajanje metoda optimalnog upravljanjasustavima

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 3 / 22

Pokazatelji kvalitete : Podsjetnik na Predavanje 10

Pokazatelji kvalitete : Podsjetnik na Predavanje 10

Pri analizi kakvoce upravljanja (regulacije) promatra se vremenskiodziv upravljane (regulirane) velicine y(t) odnosno regulacijskoodstupanje e(t) uz djelovanje odabranog ispitnog signala

Odziv sustava na referentnu velicinu tipa odskocne funkcije(prijelazna funkcija s obzirom na referentnu vrijednost) y(t) = hr(t)prikazana je na Slici 20.1

Prijelazna funkcija s obzirom na poremecajnu velicinu y(t) = hz(t)prikazana je na Slici 20.2

Za opis prijelazne funkcije hr(t) (odnosno hz(t)) koriste se sljedecipokazatelji kvalitete:

maksimalno nadvienje m vrijeme prvog maksimuma tm vremena porasta tr , ta, ta,50 vrijeme ustaljivanja t vrijeme zadravanja tz ulazno vrijeme tu

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 4 / 22

Pokazatelji kvalitete : Podsjetnik na Predavanje 10

Pokazatelji kvalitete prijelazne funkcije hr(t): Podsjetnik

0%

50%

100%

y(t)=hr(t)

tz ta

t50 tu tm t

2

t

tangenta u

toki infleksije

W

tr

90%

10%

m

Slika 20.1 : Neposredni pokazatelji kvalitete odziva sustava upravljanja naodskocnu funkciju referentne velicine

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 5 / 22

Pokazatelji kvalitete : Podsjetnik na Predavanje 10

Pokazatelji kvalitete prijelazne funkcije hz(t): Podsjetnik

0

100%

y(t)=hz(t)

t

2

t

s regulatorom

bez

regulatora

m

Slika 20.2 : Neposrednji pokazatelji kvalitete odziva sustava upravljanja naodskocnu funkciju poremecajne velicine

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 6 / 22

Integralni kriteriji

Integralni kriteriji (1)

Iz Slike 20.1 je vidljivo da povrina izmed_u prijelazne funkcije hr(t) i

pravca iznosa 100% predstavlja mjeru odstupanja regulacijskogkruga od idealnog vladanja s obzirom na referentnu vrijednost

Jednako tako, povrina izmed_u prijelazne funkcije hz(t) (Slika 20.2) i

vremenske osi predstavlja mjeru odstupanja regulacijskog krugaod slucaja idealnog potiskivanja smetnji

U oba se slucaja radi o ukupnoj povrini ispod regulacijskogodstupanja e(t) = r(t) y(t) kojim se moe opisati odstupanje odidealnog regulacijskog kruga

Prema tome, integral

Ik =

0

fk [e(t)]dt (20-1)

predstavlja mjeru kvalitete upravljanja, gdje funkcija fk [e(t)] moeimati razlicite oblike, npr. e(t), |e(t)|t , e2(t), ...

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 7 / 22

Integralni kriteriji

Integralni kriteriji (2)

U takvoj integralnoj mjeri kvalitete mogu se uzeti u obzir i vremenskederivacije regulacijskog odstupanja kao i amplitude izvrnihvelicina

Najvanija svojstva integralnih kriterija Ik dana su u Tablici 20.1

Upravljanje je u smislu odabranog integralnog kriterija utoliko boljeukoliko je Ik manji

Prema tome, potrebno je provesti minimizaciju Ik , pri cemu se tomoe izvesti prikladnim izborom slobodnih (podesivih) parametarasustava r1, r2, ..., rp (parametara regulatora)

Time integralni kriterij (20-1) poprima oblik:

Ik =

0

fk [e(t)]dt = Ik(r1, r2, ..., rp) (20-2)

a cilj je pronaci optimalne vrijednosti parametara r1 , r

2 ,...,r

p

r1 , r

2 , ..., r

p = argmin Ik(r1, r2, ..., rp) (20-3)

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 8 / 22

Integralni kriteriji Tablica 20.1: Svojstva integralnih kriterija Ik

INTEGRALNI KRITERIJ SVOJSTVA

I1 =

0e(t)dt

Linearna povrina regulacijskog odstupanja:Prikladna je za analizu jako priguenih ili mo-notonih sustava upravljanja; jednostavna ma-tematicka obradba

I2 =

0|e(t)|dt

Linearna povrina apsolutne vrijednosti regula-cijskog odstupanja: Prikladna je za oscilatornesustave upravljanja; mukotrpna matematickaobradba

ISE - kriterij

I3 =

0e2(t)dt

Kvadraticna povrina regulacijskog odstupa-nja: Daje vece vrijeme ustaljivanja t nego I2.U mnogim slucajevima moguc analiticki prora-cun

ITAE - kriterij

I4 =

0|e(t)|tdt

Vremenski oteana linearna povrina apsolutnevrijednosti regulacijskog odstupanja: Djelova-nje kao I2, ali dodatno uzima u obzir trajanje re-gulacijskog odstupanja

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 9 / 22

Integralni kriteriji Tablica 20.1: Svojstva integralnih kriterija Ik

INTEGRALNI KRITERIJ SVOJSTVA

I5 =

0e2(t)tdt

Vremenski oteana kvadraticna povrina regu-lacijskog odstupanja: Djelovanje kao I3, ali do-datno uzima u obzir trajanje regulacijskog od-stupanja

I6 =

0[e2(t) + e2(t)]dt

Poopcena kvadraticna povrina regulacijskogodstupanja: Djelovanje povoljnije od I3; izbor te-inskog koeficijenta opcenito je subjektivan

I7 =

0[e2(t) + u2(t)]dt

Kvadraticna povrina regulacijskog odstupanjai energetsko forsiranje: Veca vrijednost m imaza posljedicu t bitno krace; izbor teinskog ko-eficijenta opcenito je subjektivan

Tablica 20.1 : Svojstva integralnih kriterija Ik (ISE - Integral of Squared Error, ITAE -Integral of Time Multiplied by Absolute Value of Error)

Napomena: Ako u regulacijskom krugu postoji trajno regulacijsko odstupanje e , tada

se u navedenim relacijama koristi e(t) e umjesto e(t), kako bi integrali konvergirali

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 10 / 22

Integralni kriteriji ISE kriterij

ISE kriterij (1)

ISE kriterij (izracunavanje kvadraticne povrine regulacijskogodstupanja) pokazao se veoma prikladnim u mnogim primjenama

Pri izracunavanju kvadraticne povrine regulacijskog odstupanja

0e2(t)dt polazi se od kompozicijskog teorema o konvoluciji u

frekvencijskom podrucju (p kompleksna varijabla integracije):

L{f1(t)f2(t)} =

0

f1(t) f2(t)estdt =

1

2pij

c+jcj

F1(p) F2(s p)dp

(20-4)

Uz izbor s = c = 0 i f1(t) = f2(t) = f (t) dobije se Parsevalovajednadba:

0

f 2(t)dt =1

2pij

+jj

F(p) F(s p)dp (20-5)

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 11 / 22

Integralni kriteriji ISE kriterij

ISE kriterij (2)

Pri tome se pretpostavlja da integrali

0|f (t)|dt i

0|f (t)|2dt

konvergiraju

Uz f (t) = e(t) iz Parsevalove jednadbe (20-5) slijedi ISE-kriterij:

I3 =

0

e2(t)dt =1

2pij

+jj

E(s)E(s)ds (20-6)

U slucaju da je E(s) racionalna funkcija

E(s) =C(s)

D(s)=

c0 + c1s + ...+ cn1sn1

d0 + d1s + ...+ dnsn(20-7)

ciji polovi lee u lijevoj poluravnini s-ravnine tada se ISE kriterij (20-6)moe odrediti pomocu izracunavanja reziduuma. U Tablici 20.2dani su analiticki izrazi za ISE kriterij za sustave do cetvrtog reda (I3,1,I3,2, I3,3, I3,4).

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 12 / 22

Integralni kriteriji ISE kriterij

I3,1 =c20

2d0d1

I3,2 =c21d0 + c

20d2

2d0d1d2

I3,3 =c22d0d1 +

(c21 2c0c2

)d0d3 + c

20d2d3

2d0d3 (d0d3 + d1d2)

I3,4 =

c23(d2

0d3 + d0d1d2) + (c

22 2c1c3)d0d1d4 + (c

21 2c0c2)d0d3d4 + c

20(d1d

24+ d2d3d4)

2d0d4(d0d23 d2

1d4 + d1d2d3)

Tablica 20.2 : ISE kriterij I3,n za racionalnu funkciju E(s) reda n = 1, 2, 3, 4

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 13 / 22

Integralni kriteriji ISE kriterij

Odred_ivanje optimalnih parametara prema ISE kriteriju

Pretpostavimo da je potrebno odrediti optimalne parametreregulatora regulacijskog kruga u smislu minimizacije ISE kriterija. Uzzadanu vodecu odnosno poremecajnu velicinu ISE kriterij postajefunkcijom parametara regulatora r1, r2, ..., rp

I3 =

0

[e(t) e]2dt = I3(r1, r2, ..., rp) (20-8)

a cilj je pronaci optimalne vrijednosi parametara r1 , r

2 , ..., r

p (vidiizraz (20-3))

Optimalne vrijednosi parametara r1 , r

2 , ..., r

p dobiju se rjeenjemsustava jednadbi (koje slijede iz tzv. nunog uvjeta optimalnosti):

I3r1

r1,...,rp

= 0,I3r2

r1,...,rp

= 0, ...,I3rp

r1,...,rp

= 0, (20-9)

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 14 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Ziegler-Nicholsova pravila parametriranja PID regulatora

U praksi se koriste brojna pravila za parametriranje standardnihregulatora do kojih se dolo empirijski ili simulacijom naodgovarajucim matematickim modelima

Veoma cesto koritena empirijska pravila za parametriranjeregulatora definirali su Ziegler i Nichols 1942. godine

Ova su pravila izvedena empirijski na temelju parametriranjaregulatora, pri cemu se dobije smanjenje amplitude po periodioscilacije u prijelaznoj funkciji zatvorenog regulacijskog kruga zaoko 4 puta

Pravila su prikladna za parametriranje regulatora s ciljem dobrekompenzacije utjecaja poremecajne velicine

Pri koritenju parametriranja prema Ziegleru i Nicholsu naraspolaganju su dvije mogucnosti:

Metoda ruba stabilnosti Metoda prijelazne funkcije

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 15 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Metoda ruba stabilnosti (Varijanta I)

Ovdje se provode sljedeci koraci:

1 Standardnom regulatoru koji se nalazi u zatvorenom regulacijskomkrugu odabere se samo P djelovanje (iskljucena I i D djelovanja)

2 Pojacanje KR regulatora tako se dugo povecava dok se uzatvorenom regulacijskom krugu ne proizvedu trajne oscilacije.Pojacanje uz koje se dobiju trajne oscilacije oznacava se kriticnimpojacanjem regulatora KRkr (engl. ultimate gain)

3 Mjeri se iznos perioda Tkr - kriticni iznos perioda (engl. ultimateperiod)

4 Na temelju KRkr i Tkr odred_uju se vrijednosti parametara regulatora

(KR , TI i TD) pomocu relacija danih u Tablici 20.3

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 16 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Tip Vrijednosti parametara

regulatora KR TI TD

P 0.5KRkr - -

PI 0.45KRkr 0.85Tkr -

PID 0.6KRkr 0.5Tkr 0.12Tkr

Tablica 20.3 : Ziegler-Nicholsova pravila za metodu ruba stabilnosti (Varijanta I)

Napomena: Pravila za podeavanje parametara regulatora prema Ziegleru i

Nicholsu priblina su pravila. Njima se moe priblino postici zahtjevana

kvaliteta sustava upravljanja. Stoga se cesto za postizanje kvalitetnijeg

upravljanja u praksi koristi simulacija na racunalu pri sintezi sustava upravljanja,

gdje vrijednosti parametara regulatora dobivene prema Ziegler - Nicholsovim

pravilima mogu posluiti kao dobri pocetni parametri za optimiranje sustava

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 17 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Metoda prijelazne funkcije (Varijanta II)

Cesto je nemoguce (tetno) dovoditi regulacijske krugove upostrojenjima i procesima u granicno stabilno stanje

Med_utim, odred

_ivanje (mjerenje) prijelazne funkcije hp(t) procesa

(u otvorenom regulacijskom krugu) u pravilu ne predstavljapotekocu

Stoga je druga varijanta Ziegler - Nicholsovih pravilaparametriranja regulatora u tim slucajevima pogodnija, a temelji

se na nagibu tangente u tocki infleksijeKpta

i na vremenu

zadravanja tz prijelazne funkcije hp(t) (Slika 20.3)

Iz vrijednosti tz iKpta

te izraza danih u Tablici 20.4 jednostavno seodrede vrijednosti parametara regulatora

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 18 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Mnogi industrijski procesi mogu se opisati prijelaznom funkcijomhp(t) s cistim aperiodskim vladanjem kakvo je prikazano naSlici 20.3

p

p

p

z a

1 t

Slika 20.3 : Aproksimacija PT - clana vieg reda pomocu PT1Tt - clana

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 19 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Cesto se ovakvi procesi mogu opisati pojednostavljenimmatematickim modelom:

Gp(s) =Kp

1+ TpseTt s (20-10)

Clan s usporenjem prvog reda s mrtvim vremenom Ttzadovoljavajuce dobro aproksimira sloeniji matematicki modelprocesa

Pri tome se prijelazna funkcija hp(t) karakterizira pomocu trijuvelicina koje su odred

_ene tangentom u tocki infleksije W: Kp

(koeficijent pojacanja procesa), ta (vrijeme porasta) i tz (vrijemezadravanja)

Uz grublju aproksimaciju vrijedi:

Tt = tz i Tp = ta

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 20 / 22

Empirijski postupci parametriranja regulatora Ziegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulator

Tip Vrijednosti parametara

regulatora KR TI TD

P 1Kp

tatz

- -

PI 0.9Kp

tatz

3.33tz -

PID 1.2Kp

tatz

2tz 0.5tz

Tablica 20.4 : Ziegler-Nicholsova pravila za metodu prijelazne funkcije(Varijanta II)

Napomena: Pravila za podeavanje parametara regulatora prema Ziegleru i

Nicholsu priblina su pravila. Njima se moe priblino postici zahtjevana

kvaliteta sustava upravljanja. Stoga se cesto za postizanje kvalitetnijeg

upravljanja u praksi koristi simulacija na racunalu pri sintezi sustava upravljanja,

gdje vrijednosti parametara regulatora dobivene prema Ziegler - Nicholsovim

pravilima mogu posluiti kao dobri pocetni parametri za optimiranje sustava

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 21 / 22

Zakljucak

Zakljucak

Parametri regulatora mogu se odrediti na vie nacina: obrad_eni su

integralni kriteriji za parametriranje regulatora te empirijski postupciprema Ziegler-Nicholsu

Za parametriranje regulatora pomocu integralnih kriterija naraspolaganju su prikladni alati sadrani u Matlab/Simulinku

Ziegler-Nicholsovi postupci parametriranja PID regulatorajednostavni su empirijski postupci koji nalaze iroku primjenu u praksi

Iako su izvorno Ziegler-Nicholsova pravila koritena zaparametriranje regulatora s ciljem dobre kompenzacije utjecajaporemecajne velicine, uobicajeno se koriste kao pocetnevrijednosti parametara regulatora koji osiguravaju dobro slijed

_enje

referentne vrijednosti

Automatsko upravljanje :: Predavanje 20 - Parametriranje PID regulatora c 2014 Peric,Vukic,Baotic,Vaak&Mikovic 22 / 22

UvodPokazatelji kvalitete : Podsjetnik na Predavanje 10Integralni kriterijiTablica 20.1: Svojstva integralnih kriterija IkISE kriterij

Empirijski postupci parametriranja regulatoraZiegler-Nicholsova pravila prametriranja PID regulatora

Zakljucak