ATOM HIDROGENIK Bagian 1

Dr. PEKIK NURWANTORO FMIPA UGM

GambaranFisis

•  AtomHidrogentersusunatas2par5kelyaitu1protondan1elektronyangsalingterikat

•  KestabilansistemterbentukolehadanyainteraksitarikanCoulombantaraproton,yangberperansebagaiin5atom,denganelektron

•  Protonyangberperansebagaiin5atomdapatdigan5kanolehsejumlahZpar5kelbermuatanposi5p,yangdikenalsebagaisistemHidrogenikataubak-Hidrogen(Hydrogen-like)

ProsedurPenyelesaian

•  BentukeksplisitpersamaanSchrodingerdiperolehsesuaidenganbentukeksplisitpotensialCoulomb

•  Bentukpersamaandiferensialparsialkemudiandiselesaikanmenggunakansistemkoordinatyangsesuaisehinggadapatdimanfaatkanmetodepemisahanvariabel

•  Dengandemikianpersamaandiferensialdapatdiubahmenjadiseperangkatpersamaandiferensialbiasa

•  Masing-masingpersamaandiferensialbiasatersebutkemudiandiselesaikan,analogpenyelesaiansistem1-D

Penyelesaiandalam3-D

•  Berbedadenganmasalah1-D,penyelesaianatomHidrogenikmelibatkan3variabelruangpadafungsigelombang,operatortenagapotensialVdanoperatortenagakine5kK

ψ r( ) =ψ x, y, z( )V r( ) =V x, y, z( )

K = −!2

2m∇2 = −

!2

2m∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

HamiltoniandanPersamaanSchrodingerAtomHidrogenik

•  BentukeksplisittenagapotensialCoulomb•  BentukeksplisitHamiltoniandanpersamaanSchrodingerAtomHidrogenik

;

V (r) = − Ze2

4πε0r

H = −!2

2me∇2 −

Ze2

4πε0r( ) ( ) ( )H Eψ ψ=r r r

SistemKoordinatBola

•  Dalamsistemkoordinatbola,3variableruangtersebutdapatdikaitkanke3variabelruangdalamsistemkoordinatkartesianmelaluikaitan:

r,θ,φ( )

x, y, z( )r = x2 + y2 + z2 ;

θ = arccos zx2 + y2 + z2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

φ = arctan yx⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

PemilihanSistemKoordinat

•  KarenabentukoperatortenagapotensialpadaatomHidrogenikhanyabergantungpadavariabelr,ataubiasadisebutmedansentralmengingatarahmedanyangsearahdenganarahradial,makapenyelesaiansistemakansesuaidenganmenggunakansistemkoordinat

•  Secaramatema5ka,karenavariabelsalingtergandengmakametodepemisahanvariabelpadakoordinatkartesianakangagaluntukdimanfaatkan

x, y, z( )

BentukeksplisitOperatordalamKoordinatBola

•  OperatorLaplasianberbentuk:•  DenganoperatorMomentumSudutadalah:

22 2

2 2 2

1 Lrr r r r

∂ ∂⎛ ⎞∇ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ h

L2 = −!2 1sinθ

∂∂θ

sinθ ∂∂θ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1sin2θ

∂2

∂φ 2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

PersamaanSchrodingerdalamKoordinatBola

•  MakapersamaanSchrodingeruntukAtomHidrogenikmenjadi:

( ) ( ) ( )H Eψ ψ=r r r

−!2

2mr2∂∂rr2 ∂ψ(r)

∂r⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+L2ψ(r)2mr2

−Ze2

4πε0rψ(r) = Eψ(r)

KekekalanBesaranFisis

•  BerdasarbentukHamiltoniantersebut,makauntukatomHidrogenikberlakukaitankomutatorberikut:

•  Denganungkapantersebutdapatdisimpulkanbahwatenagatotal,momentumsuduttotaldankomponenmomentumsudutkearahsumbuzmerupakan3besaranfisisyangkekaldalamatomHidrogenik

•  Jugadapatdisimpulkanbahwafungsigelombangserentakyangmemenuhifungsieigenbagike5gaoperatortersebutakandapatdiperoleh

[H , L2 ]= 0[H , Lz ]= 0

BentukFungsiGelombang

•  Denganpehamamantersebut,fungsigelombangdapatdinyatakansecaraterpisahantarabagianradial&bagiansudutyaitu:

•  Dalamhalini,bagiansudutmerupakanfungsieigendarioperatorL2danLzyaitu:

( ) ( ) ( ) ( )lmr R r Yψ ψ θ φ θ φ= , , = ,r

LzYlm θ ,φ( ) =m!Ylm θ ,φ( )L2Ylm θ ,φ( ) = l l +1( )!2Ylm θ ,φ( )