Asset Pricing

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Asset Pricing for Beginners

Text of Asset Pricing

  • Asset PricingECONM2035

    Richard PayneSchool of Economics, Finance and Management,University of Bristol

    c Richard G. Payne, September 25, 2008

    1

  • 2

  • Contents

    1 Introduction 13

    2 Review of Statistics 15

    2.1 Basic probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Example: rolling dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.2 Further conditions on probabilities . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.3 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.4 CDFs and PDFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.1.5 Discrete random variables: the probability mass function . . . 17

    2.1.6 Continuous random variables: the probability density function 18

    2.1.7 Features of PMFs and PDFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.2 Basic Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.1 Expectations and functions of RVs . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.2 The Variance and Standard Deviation . . . . . . . . . . . . . 20

    2.2.3 Manipulating Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3

  • 2.2.4 Skewness and Kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3 Multivariate probability and statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1 The joint distribution and marginal distributions . . . . . . . 23

    2.3.2 The conditional density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.3 Moments and functions of two random variables . . . . . . . . 24

    2.3.4 Properties of Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.3.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3.6 Independence and un-correlatedness . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3.7 Variances of combinations of RVs . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4 Sample moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4.1 The Sample Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4.2 The distribution of the sample mean . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4.3 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.4.4 Other sample moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5 Some univariate probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5.1 The 2 distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.5.2 The Student-t distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.5.3 The Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 Present values 33

    3.1 Present values and the time-value of money . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.1.1 Simple interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.2 Compound interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.3 Compounding for sub-periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.4 Continuous compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.1.5 Compounding and future values . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4

  • 3.2 Discounting and the time value of money . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.2.1 Present values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2.2 Discounting example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.3 Present values of streams of payments . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.2.5 Annuity example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.2.6 Present values and uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4 Fixed Income Securities and Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.4.1 Size of Bond Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.4.2 Types of bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.4.3 Zero coupon (discount) bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.4.4 Coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.4.5 Coupon bonds as portfolios of zero-coupon bonds . . . . . . . 45

    3.4.6 Slightly more exotic bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.4.7 Bonds and Geography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.4.8 Bonds with option-like features . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.4.9 Varieties of Government debt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4 Fixed income securities 49

    4.1 Bonds: valuation and the term-structure . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.1.1 The term-structure of interest rates . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.1.2 Valuation of zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.1.3 Valuation of coupon bonds: annual coupon payment . . . . . . 52

    4.1.4 Valuation of coupon bonds: semi-annual coupon payment . . . 53

    4.1.5 Zero-coupon bonds and the term structure . . . . . . . . . . . 53

    5

  • 4.1.6 Valuing a bond by replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.1.7 Example: coupon bond valuation . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.1.8 Coupon bonds and the term-structure . . . . . . . . . . . . . 56

    4.1.9 Example: bootstrapping the term structure . . . . . . . . . . 56

    4.2 Yield to maturity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.2.1 Features of YTMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.2.2 Example; YTM calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.2.3 YTMs and coupon rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2.4 Yields and returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.3 Corporate Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.3.1 Bond ratings and rating agencies . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.3.2 Example: Moodys bond ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.3.3 Bond ratings and probability of default . . . . . . . . . . . . . 62

    4.3.4 Default risk, bond prices and yields . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    5 Introduction to Equities and Risk 65

    5.1 Equity markets: basic facts and features . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.1.1 Variations on the simple equity security . . . . . . . . . . . . . 66

    5.1.2 Stock Market listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.1.3 Equity indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.1.4 Equity Market Movements: 01/01/1995 - present . . . . . . . 67

    5.1.5 Summary: key features of equities . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.2 Choice, uncertainty and risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.3 Choice under certainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.3.1 Axioms of choice under certainty . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    6

  • 5.3.2 Preferences and utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5.4 Choice under uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    5.4.1 Axioms of choice under uncertainty: . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.4.2 The Expected Utility Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.5 Preferences towards risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.5.1 Risk-aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.5.2 Risk-lovers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.5.3 Risk-neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.5.4 Real people . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.6 Measuring risk-aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.6.1 The Coefficient of Absolute Risk Aversion . . . . . . . . . . . 75

    5.6.2 The Coefficient of Relative Risk Aversion . . . . . . . . . . . . 76

    5.6.3 Absolute versus relative risk aversion . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.7 A selection of widely-used utility functions . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.8 Stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.8.1 First-order stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.8.2 Second-order stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.8.3 Mean-preserving spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    6 Portfolio Theory 83

    6.1 Statistical facts regarding stock returns . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    6.1.1 Stocks versus bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    6.1.2 Single stocks versus stock indices . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.1.3 Stock return correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.1.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    6.2 The Basic Mean-Variance Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    7

  • 6.2.1 What are portfolio weights? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6.2.2 Portfolio Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6.2.3 Preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.3 Frontier portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.4 The Portfolio Frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    6.4.1 Diversification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    6.5 The Efficient Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .