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Asset Pricing for Beginners

### Text of Asset Pricing

• Asset PricingECONM2035

Richard PayneSchool of Economics, Finance and Management,University of Bristol

c Richard G. Payne, September 25, 2008

1

• 2

• Contents

1 Introduction 13

2 Review of Statistics 15

2.1 Basic probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Example: rolling dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Further conditions on probabilities . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4 CDFs and PDFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.5 Discrete random variables: the probability mass function . . . 17

2.1.6 Continuous random variables: the probability density function 18

2.1.7 Features of PMFs and PDFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Basic Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Expectations and functions of RVs . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 The Variance and Standard Deviation . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Manipulating Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3

• 2.2.4 Skewness and Kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Multivariate probability and statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 The joint distribution and marginal distributions . . . . . . . 23

2.3.2 The conditional density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Moments and functions of two random variables . . . . . . . . 24

2.3.4 Properties of Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.6 Independence and un-correlatedness . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.7 Variances of combinations of RVs . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Sample moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 The Sample Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 The distribution of the sample mean . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.4 Other sample moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Some univariate probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 The 2 distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 The Student-t distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.3 The Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Present values 33

3.1 Present values and the time-value of money . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Simple interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2 Compound interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.3 Compounding for sub-periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.4 Continuous compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.5 Compounding and future values . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4

• 3.2 Discounting and the time value of money . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Present values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Discounting example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 Present values of streams of payments . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.5 Annuity example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.6 Present values and uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Fixed Income Securities and Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Size of Bond Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2 Types of bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3 Zero coupon (discount) bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.4 Coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.5 Coupon bonds as portfolios of zero-coupon bonds . . . . . . . 45

3.4.6 Slightly more exotic bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.7 Bonds and Geography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.8 Bonds with option-like features . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.9 Varieties of Government debt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Fixed income securities 49

4.1 Bonds: valuation and the term-structure . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 The term-structure of interest rates . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.2 Valuation of zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.3 Valuation of coupon bonds: annual coupon payment . . . . . . 52

4.1.4 Valuation of coupon bonds: semi-annual coupon payment . . . 53

4.1.5 Zero-coupon bonds and the term structure . . . . . . . . . . . 53

5

• 4.1.6 Valuing a bond by replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.7 Example: coupon bond valuation . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.8 Coupon bonds and the term-structure . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.9 Example: bootstrapping the term structure . . . . . . . . . . 56

4.2 Yield to maturity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Features of YTMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Example; YTM calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.3 YTMs and coupon rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.4 Yields and returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Corporate Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 Bond ratings and rating agencies . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.2 Example: Moodys bond ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.3 Bond ratings and probability of default . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.4 Default risk, bond prices and yields . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Introduction to Equities and Risk 65

5.1 Equity markets: basic facts and features . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Variations on the simple equity security . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.2 Stock Market listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Equity indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.4 Equity Market Movements: 01/01/1995 - present . . . . . . . 67

5.1.5 Summary: key features of equities . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Choice, uncertainty and risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Choice under certainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3.1 Axioms of choice under certainty . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6

• 5.3.2 Preferences and utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Choice under uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.1 Axioms of choice under uncertainty: . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.2 The Expected Utility Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5 Preferences towards risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5.1 Risk-aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.2 Risk-lovers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.3 Risk-neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5.4 Real people . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Measuring risk-aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6.1 The Coefficient of Absolute Risk Aversion . . . . . . . . . . . 75

5.6.2 The Coefficient of Relative Risk Aversion . . . . . . . . . . . . 76

5.6.3 Absolute versus relative risk aversion . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 A selection of widely-used utility functions . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.8 Stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8.1 First-order stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8.2 Second-order stochastic dominance . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.8.3 Mean-preserving spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Portfolio Theory 83

6.1 Statistical facts regarding stock returns . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1 Stocks versus bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.2 Single stocks versus stock indices . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.3 Stock return correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 The Basic Mean-Variance Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7

• 6.2.1 What are portfolio weights? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.2 Portfolio Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.3 Preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Frontier portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 The Portfolio Frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4.1 Diversification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.5 The Efficient Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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