Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de

geometrie elementară pentru gimnaziu

Constantin Chirila Colegiul Naţional “Garabet Ibrãileanu”, Iaşi

Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Parcurgerea unității de învățare ,,Asemănarea triunghiurilor”-la clasa a VII-a are ca finalități înzestrarea elevului cu competențe care să-i permită:

Exprimarea ideilor privind asemănarea în vocabularul proporțiilor

Aplicarea rezultatelor-teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare-în rezolvarea de probleme practice

Programa școlară cuprinde următoarele competențe specifice, relativ la tema menționată:

CG1-6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date

CG2-6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite

CG5-6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelaţie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice

CG6-6. Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice

Conținuturi necesare pentru înțelegerea relației de asemănare

Este esențial să se conștientizeze la nivelul înțelegerii elevilor, faptul că prin asemănare se măresc/ micșorează distanțele dintre puncte, dar se păstrează forma figurilor geometrice.

Punerea în evidență a mărimilor proporționale este realizată printr-o gamă variată de probleme rezolvate de elevi în clasa a VI-a. În vederea predării relației de asemănare a figurilor geometrice un rol fundamental îl joacă teorema lui Thales și reciproca acesteia. Aplicații directe ale teoremei lui Thales, a căror demonstrație este instructivă sunt teorema bisectoarei interioare și teorema bisectoarei exterioare.

Teorema lui Thales

O paralelă la una din laturile unui triunghi, determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor, segmente

proporționale. Teorema reciprocă(Thales)

Dacă o dreaptă determină segmente direct proporționale pe două laturi (prelungirile lor) ale unui triunghi, atunci dreapta este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului ( dreapta nu conține nici un vârf a triunghiului)

Asemănarea triunghiurilor

Definiție

Fie triunghiurile ABC și A’B’C’. Dacă

(1) Unghiurile A,B,C sunt respectiv congruente cu unghiurile A’, B’, C’ si

(2)

spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A’B’C’ și se notează cu ∆ABC ~∆A’B’C’.

Definiție

Două triunghiuri ABC și A’B’C’ se numesc asemenea, dacă între ele există cel puțin o asemănare.

' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B B C C A

Teorema fundamentală a asemănării

Fie triunghiul ABC și DE||BC, A≠D, DϵAB, EϵAC.

Atunci ∆ADE~∆ABC.

Observația 1

Noțiunea de asemănare se poate extinde și pentru poligoane.

Observația 2

Pe baza teoremei fundamentale a asemănării se stabilesc condiții necesare și suficiente de asemănare a triunghiurilor, numite cazuri sau criterii de asemănare.

Observația 3

Relația de asemănare este o relație de echivalență pe mulțimea triunghiurilor din plan.

Clase de probleme relativ la asemănare

Proprietăți ale unor configurații geometrice

Relații între lungimi, arii sau volume ale unor figuri/corpuri geometrice

Probleme de coliniaritate- teorema lui Menelaos

Probleme de concurență- teorema lui Ceva

Relații metrice- teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora

Probleme de fixare a cunoștințelor

Problema 1

Se consideră ortocentrele H și H’ ale triunghiurilor ABC și A’B’C’ .

Dacă ∆BHC~∆B’H’C’ atunci

∆ABC~∆A’B’C’

Problema 2

Fie ∆ABC~∆DEF, MϵBC și NϵEF. Demonstrați că triunghiurile ∆ABM~∆DEN în următoarele ipoteze suplimentare:

a) AM și DN sunt mediane;

b) AM și DN bisectoarele interioare/ exterioare ale unghiurilor cu varful în A, respectiv în D;

c) AM și DN înălțimi;

d) MA:MB=NE:NF

Teorema lui Menelaos

Fie ∆ABC și punctele A’ϵBC, B’ϵAC și C’ϵAB.

Punctele A’, B’ și C’ sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația:

' ' '1

'C 'A 'B

A B B C C A

A B C

Teorema lui Ceva

Fie ∆ABC și punctele A’ϵBC, B’ϵAC și C’ϵAB.

Dreptele AA’, BB’ și CC’ sunt concurente într-un punct P dacă și numai dacă are loc relația:

' ' '1

'C 'A 'B

BA CB AC

A B C

Teorema lui van Aubel

Fie ∆ABC și punctele A’ϵ(BC), B’ϵAC și C’ϵAB.

Dacă dreptele AA’, BB’ și CC’ sunt concurente într-un punct P are loc relația:

Ind. Se aplică teorema lui Menelaos pentru ∆AA’C și punctele coliniare B,P,B’; se aplică th. Menelaos pt ∆AA’B și punctele coliniare C,P, C’. Se sumeaz[ rela’iile ob’inute etc.

' '

' ' '

B A C A PA

B C C B PA

Problema 3

Se consideră un triunghi neisoscel ABC. Bisectoarele exterioare corespunzătoare unghiurilor cu vârfurile în A, B și C, intersectează dreptele BC, AC, respectiv AB în punctele A’, B’, respectiv C’.

Să se arate că Punctele A’, B’ și C’ sunt coliniare ( dreapta antiortică a triunghiului ABC).

Ind. Se aplică teorema bisectoarei unghiului exterior și rezultă A’B/A’C=AB/AC etc. Se înmultesc rapoartele si se obține reciproca teoremei lui Menelaos.