Articolul 20

7/27/2019 Articolul 20

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3 D M S C / E M A S S i m u l a t i o n

o f a T h r e e P h a s e P o w e r T r a n s f o r m e r

b y M e a n s o f A n i s o t r o p i c M a t e r i a l P r o p e r t i e s

D r . E . S c h m i d t , S . O j a k

U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y V i e n n a

I n s t i t u t e f o r E l e c t r i c a l M a c h i n e s a n d D r i v e s

G u s s h a u s s t r a s s e 2 5 - 2 9

V i e n n a A - 1 0 4 0 , A u s t r i a

A b s t r a c t

T h i s p a p e r d e a l s w i t h t h e M S C / E M A S s i m u l a t i o n o f a t h r e e p h a s e p o w e r t r a n s f o r m e r

u s i n g a 3 D n i t e e l e m e n t m o d e l . T h e m o s t i m p o r t a n t p a r t o f t h e p r e s e n t e d s i m u l a t i o n i s

t h e m o d e l l i n g o f t h e m u l t i t u r n w i n d i n g s a n d t h e i r o n c o r e b y m e a n s o f a n i s o t r o p i c m a t e r i a l

p r o p e r t i e s . C h a r a c t e r i s t i c c a l c u l a t i o n r e s u l t s w i t h t h e d e r i v e d t r a n s f o r m e r m o d e l w i l l s h o w

t h a t t h e m o d e l l i n g t e c h n i q u e i s p r a c t i c a b l e f o r m a n y l o w f r e q u e n c y a p p l i c a t i o n s .

1


2/11

I n t r o d u c t i o n

I n f r e q u e n t c a s e s b o t h t h e h i g h v o l t a g e a n d t h e l o w v o l t a g e w i n d i n g s o f t h r e e p h a s e p o w e r

t r a n s f o r m e r s c o n s i s t o f m a n y s i n g l e t u r n s . D u e t o t h e h i g h n u m b e r o f t u r n s o f t h e m u l t i t u r n

w i n d i n g s , i t i s i m p o s s i b l e t o m o d e l e a c h t u r n w i t h n i t e e l e m e n t s . T h e r e f o r e , a r e p l a c e m e n t

m e t h o d o f s p r e a d i n g t h e m u l t i t u r n w i n d i n g s w i t h a m i n i m u m o f c h a n g e s w i t h i n t h e e l d

a n d e n e r g y d i s t r i b u t i o n i s n e c e s s a r y .

T h e p o w e r f u l t e c h n i q u e o f m o d e l l i n g m u l t i t u r n w i n d i n g s u s i n g a t t a c h e d 0 D c i r c u i t e l e m e n t s

a n d 1 D l i n e e l e m e n t s [ 1 , 2 ] c a n b e u s e d i n a w i d e r a n g e o f m u l t i t u r n w i n d i n g s . H o w e v e r ,

t h e r e a r e n o t i c e a b l e d i e r e n c e s i n t h e e l d a n d e n e r g y d i s t r i b u t i o n i n t h e r e g i o n s o f t h e

w i n d i n g s d u e t o t h e r e d u c e d n u m b e r o f t u r n s o f e a c h w i n d i n g . B e c a u s e o f t h i s r e a s o n , i t

i s n e c e s s a r y t o d e v e l o p a n o t h e r m o d e l l i n g m e t h o d f o r m u l t i t u r n w i n d i n g s w h e n t h e e l d s

o f i n t e r e s t a r e t h e m u l t i t u r n w i n d i n g s t h e m s e l v e s .

T h e c a l c u l a t i o n s a r e m a d e u s i n g t h e n i t e e l e m e n t p r o g r a m M S C / E M A S i n c o n j u n c t i o n

w i t h t h e g r a p h i c a l u s e r i n t e r f a c e M S C / X L . W i t h i n M S C / E M A S e a c h n o d e i n t h e n i t e

e l e m e n t m o d e l h a s f o u r d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f t h e m a g n e t i c v e c t o r

p o t e n t i a l

~

A a n d t h e t i m e i n t e g r a t e d e l e c t r i c s c a l a r p o t e n t i a l [ 5 ] . T h e e l d q u a n t i t i e s a r e

r e l a t e d t o t h e p o t e n t i a l s b y

~

B = c u r l

~

A ; ( 1 )

~

E =

@

@ t

~

A + g r a d

( 2 )

T h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e e l d q u a n t i t i e s a r e u s e d i n t h e f o r m

~

B = [

~

H ; ( 3 )

~

J = [

~

E ; ( 4 )

~

D = [

~

E ; ( 5 )

w h e r e t h e t h r e e e l e c t r o m a g n e t i c m a t e r i a l p r o p e r t i e s ( p e r m e a b i l i t y , c o n d u c t i v i t y , p e r -

m i t t i v i t y ) c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n i s o t r o p i c t e n s o r s i n a n y c a r t e s i a n , c y l i n d r i c a l o r s p h e r -

i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m .

T h r o u g h o u t t h e c a l c u l a t i o n s , x e d i n p u t v o l t a g e s a c c o r d i n g t o a t h r e e p h a s e s y s t e m a r e

a p p l i e d t o t h e 3 D n i t e e l e m e n t m o d e l . T h e r e f o r e , t h e u n s y m m e t r i c b e h a v i o u r o f t h r e e

p h a s e p o w e r t r a n s f o r m e r s c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t .

2


3/11

T r a n s f o r m e r m o d e l l i n g

T h e n e w m o d e l l i n g m e t h o d f o r m u l t i t u r n w i n d i n g s i s d e m o n s t r a t e d o n a s i m p l i e d 3 D

m o d e l o f a t h r e e l e g p o w e r t r a n s f o r m e r w i t h c y l i n d r i c a l w i n d i n g s a s d e p i c t e d i n F i g u r e ( 1 ) .

F i g u r e ( 2 ) s h o w s t h e d e t a i l e d c r o s s s e c t i o n o f t h e t r a n s f o r m e r l e g w i t h t h e i r o n c o r e , t h e

h i g h ( H V ) a n d l o w ( L V ) v o l t a g e c o i l w i n d i n g s a n d t h e s u r r o u n d i n g a i r . I n a d d i t i o n t o t h e

f u n d a m e n t a l c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m a l o c a l c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m i s d e n e d

f o r e a c h o f t h e t h r e e t r a n s f o r m e r l e g s .

F i g u r e 1 : P l e a s e s e e n e x t p a g e

T h e d i m e n s i o n s o f t h e i r o n c o r e a r e c h o s e n t o m a x i m i z e t h e i r o n c o r e a r e a w i t h i n t h e

c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n a r e a o f t h e w i n d i n g s [ 6 ] . F i r s t , t h e s h o w n g e o m e t r y i s m o d e l l e d f o r

t h e t h r e e p h a s e s u s i n g 2 D n i t e e l e m e n t s . T h e n t h e 3 D n i t e e l e m e n t m o d e l i s g e n e r a t e d

b y s u c c e s s i v e e x t r u d e o p e r a t i o n s i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n o f t h e t r a n s f o r m e r l e g s .

T h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e l a m i n a t e d i r o n c o r e a r e b u i l t w i t h a n i s o t r o p i c p e r m e a b i l i t y

a n d c o n d u c t i v i t y t e n s o r s r e l a t e d t o t h e f u n d a m e n t a l c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m ,

[

F e

=

2

4

x x

x y

x z

y x

y y

y z

z x

z y

z z

3

5

; [

F e

=

2

4

x x

x y

x z

y x

y y

y z

z x

z y

z z

3

5

( 6 )

T h e l a m i n a t e d i r o n c o r e i s r e p r e s e n t e d b y a n e e c t i v e p e r m e a b i l i t y o b t a i n e d f r o m t h e

r a t i o o f a i r g a p t h i c k n e s s t o l a m i n a t i o n t h i c k n e s s . A t p r e s e n t , t h e d i e r e n t m a g n e t i z a t i o n

3


4/11


5/11

d i r e c t i o n s ( e a s y a n d h a r d ) o f t h e l e g s a n d y o k e s a r e n o t t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . B a s e d

u p o n t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m t h e a n i s o t r o p i c p e r m e a b i l i t y a n d

c o n d u c t i v i t y t e n s o r s c a n b e w r i t t e n a s

[

F e

=

2

6

4

0

r

0 0

0

0

r

( 1 k

F e

)

r

+ k

F e

0

0 0

0

r

3

7

5

; [

F e

=

2

4

F e

0 0

0 0 0

0 0

F e

3

5

( 7 )

F i g u r e 2 : P l e a s e s e e t h e n e x t p a g e

T h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e h i g h a n d l o w v o l t a g e c o i l w i n d i n g s a r e d e s c r i b e d w i t h r e g a r d

t o t h e l o c a l c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m s . H e n c e , t h e a n i s o t r o p i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r f o r

e a c h w i n d i n g c a n b e e x p r e s s e d a s

[

C u

=

2

4

r r

r

r z

r

z

z r

z

z z

3

5

( 8 )

B e c a u s e o f t h e a p p l i e d v o l t a g e , t h e r e i s n o n e e d t o d e a l w i t h a n i m p r e s s e d c u r r e n t d e n s i t y

i n t h e c o i l w i n d i n g s . A s t h e r e a r e n o s u b s t a n t i a l e d d y c u r r e n t e e c t s i n t h e m u l t i t u r n

w i n d i n g s , a n a s s u m p t i o n o f t h e c u r r e n t d e n s i t y

~

J i n t h e f o r m o f a s p i r a l l i n e w i t h a

c o n s t a n t r a t i o

c =

J

z

J

( 9 )

4


6/11


7/11

o f t h e z c o m p o n e n t a n d t h e c o m p o n e n t o f t h e c u r r e n t d e n s i t y i s v a l i d . S u b s t i t u t i n g t h i s

a s s u m p t i o n i n t o e q u a t i o n ( 4 ) y i e l d s f o r t h e a n i s o t r o p i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r o f t h e m u l t i t u r n

c o i l w i n d i n g

[

C u

=

2

4

0 0 0

0

C u

c

C u

0 c

C u

c

2

C u

3

5

( 1 0 )

T h e s l o p e c o e c i e n t s o f t h e s p i r a l l i n e s c a n b e d e r i v e d e a s i l y f r o m t h e g e o m e t r y o f t h e

h i g h v o l t a g e ( k = 1 ) a n d l o w v o l t a g e ( k = 2 ) c o i l w i n d i n g s [ 6 ] . F r o m t h e h e i g h t h

k

, t h e

a v e r a g e d i a m e t e r d

k

a n d t h e n u m b e r n

k

o f t u r n s p e r l a y e r f o l l o w s

c

k

=

h

k

n

k

d

k

; k = 1 ; 2 ( 1 1 )

F u r t h e r m o r e , t h e i s o t r o p i c p e r m e a b i l i t y

0

i s a s s u m e d f o r t h e w i n d i n g s a n d t h e s u r r o u n d i n g

a i r , a n d f o r a l l m a t e r i a l s t h e i s o t r o p i c p e r m i t t i v i t y

0

i s u s e d .

T o o b t a i n a u n i q u e s o l u t i o n , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e

~

A d e g r e e s o f f r e e d o m a r e s e t

i n s u c h a w a y a s t h e y k e e p t h e m a g n e t i c u x d e n s i t y t a n g e n t i a l t o t h e s i x o u t e r p l a n e s

o f t h e w h o l e m o d e l . I n a d d i t i o n , t h e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e c o n s t r a i n e d t o z e r o o n t h e

l o w e s t b o u n d a r y o f t h e i r o n c o r e .

T r a n s f o r m e r e x c i t a t i o n a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s

T h e w i n d i n g s o f t h e s t a r - c o n n e c t e d h i g h v o l t a g e s i d e a r e f e d b y a v o l t a g e s o u r c e i n f o r m o f a

n o r t o n e q u i v a l e n t c i r c u i t d e r i v e d f r o m a c u r r e n t s o u r c e e x c i t a t i o n . T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n

t h e e q u i v a l e n t c i r c u i t a n d t h e h i g h v o l t a g e w i n d i n g s i s b u i l t u s i n g m u l t i p o i n t c o n s t r a i n t s

f o r t h e d e g r e e s o f f r e e d o m a s s h o w n i n F i g u r e ( 3 ) . T h r o u g h o u t t h e c a l c u l a t i o n s , l a r g e

c a p a c i t o r s a r e u s e d f o r t h e e x t e r n a l i m p e d a n c e s c o n n e c t e d t o t h e h i g h v o l t a g e w i n d i n g s .

T h e r e f o r e , t h e t o t a l m a g n e t i c e n e r g y a n d t h e t o t a l p o w e r l o s s e s o f t h e t r a n s f o r m e r a r e

o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m t h e M S C / E M A S o u t p u t [ 5 ] .

S e v e r a l d e t a i l e d c a l c u l a t i o n s r e p r e s e n t i n g a n y c o m m o n o p e r a t i n g c o n d i t i o n a r e c a r r i e d

o u t t o c h e c k t h e v a l i d i t y o f t h e m o d e l l i n g m e t h o d f o r t h e m u l t i t u r n w i n d i n g s . T h e d a t a

r e p o r t e d h e r e h a v e b e e n c h o s e n t o s h o w s o m e s i g n i c a n t r e s u l t s f o r t h e s t a r - c o n n e c t e d l o w

v o l t a g e s i d e w i t h a t u r n s r a t i o n

1

= n

2

= 2 a n d

{ n o - l o a d c o n d i t i o n ,

{ s y m m e t r i c l o a d c o n d i t i o n w i t h a 0 1 r e s i s t o r ,

{ s h o r t - c i r c u i t c o n d i t i o n ,

w i t h a p p l i e d v o l t a g e s a c c o r d i n g t o a s y m m e t r i c t h r e e p h a s e e x c i t a t i o n .

5


8/11


9/11


10/11

T h e f o l l o w i n g t a b l e s h o w s t h e n e c e s s a r y c o m p u t e r r e s o u r c e s f o r t h e p e r f o r m e d f r e q u e n c y

d o m a i n c a l c u l a t i o n s :

N u m b e r o f N o d e s 1 6 7 0 0

N u m b e r o f E l e m e n t s 1 6 5 6 0

N u m b e r o f D O F s 5 9 1 0 6

C o m p u t e r u s e d D E C 3 0 0 0 - 6 0 0 A X P

C P U u s e d 2 1 0 0 0 s e c

I O u s e d 3 0 6 0 0 s e c

D i s k s p a c e u s e d 2 2 0 0 M B y t e s

C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r a n e w m e t h o d f o r m o d e l l i n g m u l t i t u r n w i n d i n g s i s p r e s e n t e d w h i c h g i v e s

g o o d r e s u l t s i n t h e c a s e s w h e r e t h e l e a k a g e u x o f t h e c o i l w i n d i n g s i s o f i n t e r e s t . T h e

n e w m o d e l l i n g t e c h n i q u e c o n s i s t s o f u s i n g a n a n i s o t r o p i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r f o r t h e c o i l

w i n d i n g s , w h i c h i s e s p e c i a l l y m e a n i n g f u l w h e n a p p l i e d v o l t a g e s a r e u s e d w i t h t h e w i n d -

i n g s . T h e r e p l a c e m e n t m e t h o d i s u s e d t o a n a l y s e t h e b e h a v i o u r o f a t h r e e p h a s e p o w e r

t r a n s f o r m e r i n c a s e o f t y p i c a l l o a d c o n d i t i o n s w i t h a 3 D n i t e e l e m e n t m o d e l . T h e c a l c u -

l a t i o n s w i t h a p p l i e d A C v o l t a g e s d e m o n s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f t h e m o d e l f o r s i m u l a t i o n s

o f u n s y m m e t r i c w i n d i n g f a u l t s i n f u t u r e r e s e a r c h s t u d i e s .

L i s t o f s y m b o l s

~

A m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l

~

B m a g n e t i c u x d e n s i t y

~

D e l e c t r i c d i s p l a c e m e n t c u r r e n t d e n s i t y

~

E e l e c t r i c e l d s t r e n g t h

~

H m a g n e t i c e l d s t r e n g t h

~

J e l e c t r i c c o n d u c t i o n c u r r e n t d e n s i t y

L

s

s h o r t - c i r c u i t i n d u c t a n c e p e r p h a s e

a

1

; a

2

r a d i a l t h i c k n e s s o f t h e c o i l w i n d i n g s

c

1

; c

2

s l o p e c o e c i e n t s o f t h e s p i r a l l i n e s

d

1

; d

2

a v e r a g e d i a m e t e r s o f t h e c o i l w i n d i n g s

d

s

a v e r a g e d i a m e t e r o f t h e a i r - g a p

h

1

; h

2

h e i g h t s o f t h e c o i l w i n d i n g s

8


11/11

h

s

a v e r a g e c o i l h e i g h t

k

F e

l l i n g c o e c i e n t o f t h e l a m i n a t e d i r o n c o r e

n

1

; n

2

n u m b e r o f t u r n s p e r l a y e r o f t h e c o i l w i n d i n g s

t t i m e

x ; y ; z c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s

r ; ; z c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s

a i r - g a p b e t w e e n t h e c o i l s

p e r m i t t i v i t y

p e r m e a b i l i t y

c o n d u c t i v i t y

t i m e i n t e g r a t e d e l e c t r i c s c a l a r p o t e n t i a l

R e f e r e n c e s

[ 1 ] B r a u e r J . R . , M a c N e a l B . E . : " F i n i t e E l e m e n t M o d e l i n g o f M u l t i t u r n W i n d i n g s w i t h

A t t a c h e d E l e c t r i c C i r c u i t s " . I E E E T r a n s a c t i o n s o n M a g n e t i c s , V o l . 2 9 , M a r c h 1 9 9 3 .

[ 2 ] B r a u e r J . R . , M a c N e a l B . E . , H i r t e n f e l d e r F . : " N e w C o n s t r a i n t T e c h n i q u e f o r 3 D F i n i t e

E l e m e n t A n a l y s i s o f M u l t i t u r n W i n d i n g s w i t h A t t a c h e d E l e c t r i c C i r c u i t s " . I E E E

T r a n s a c t i o n s o n M a g n e t i c s , V o l . 2 9 , N o v e m b e r 1 9 9 3 .

[ 3 ] J i n J . M . : T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d i n E l e c t r o m a g n e t i c s . J o h n W i l e y , 1 9 9 3 .

[ 4 ] M i r i A . M . , H a u s e r A . O . , R w a k a s e n y i S . : " 3 D C a l c u l a t i o n o f T r a n s i e n t P o t e n t i a l D i s -

t r i b u t i o n i n H i g h - V o l t a g e T r a n s f o r m e r W i n d i n g s " . P r o c e e d i n g s o f t h e 2 0 t h M S C E u -

r o p e a n U s e r s C o n f e r e n c e , V i e n n a , 1 9 9 3 .

[ 5 M S C / E M A S U s e r s M a n u a l , V e r s i o n 3 . T h e M a c N e a l - S c h w e n d l e r C o r p o r a t i o n , L o s

A n g e l e s , 1 9 9 4 .

[ 6 ] O j a k S . : " E r s t e l l u n g e i n e s d r e i d i m e n s i o n a l e n F i n i t e - E l e m e n t e - M o d e l l s f u r e i n e n D r e h -

s t r o m - T r a n s f o r m a t o r " . D i p l o m a t h e s i s , T U W i e n , 1 9 9 5 .

[ 7 ] R i c h t e r R . : E l e k t r i s c h e M a s c h i n e n , B a n d 3 , T r a n s f o r m a t o r e n . B i r k h a u s e r , 1 9 6 3 .

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Articolul 20