Arrows Umulighedssætning og dens Historie - math.ku.dk · Ikke-Euklidisk geometri Arrows umulighedssætning første i socialvidenskab Department of Mathematical Sciences d s. Dias

Dias 1

Department of Mathematical Sciences

Arrows Umulighedssætningog dens Historie

Jesper Lützen

Institut for Matematiske Fag

Københavns Universitet

Dias 2


Arrow og hans umulighedssætning

1972: Kenneth Arrow modtog Nobel Prisen i Økonomi

Presemeddelelse:

“Som det nok vigtigste af Arrows mange bidrag til velfærdsteorien skal nævnes hans “mulighedssætning” ifølge hvilken det er umuligt at konstruere en social velfærdsfunktion ud af individuelle præfferencefunktioner”

Dias 3

Et nyt paradigme

Arrows bog og sætning som Paradigmatiske:

“Arrows sætning … om sammenfatning af individuelle præferencer er så overraskende og robust og betydningsfuld, at den gav anledning til en ny gren af socialvidenskaberne kaldet socialvalgsteori” (Campbell and Kelly 2002, 37)

“Det big bang som karakteriserede begyndelsen [af moderne socialvalgsteori] kom i skikkelse af en “umulighedssætning” nemlig Arrows (1950, 1951) “Generelle Mulighedssætning”. Denne sætning havde en afgørende indflydelse på udviklingen af den moderne socialvalgsteori…” (Armatya Sen 1986, 1074)


1.ed. 1951

2. ed. 1963

Dias 4

En Revolution?

Jerry S. Kelly sammenlignede Arrow’s sætning med

• Einsteins relativitetsteori

• Gödels ufuldstændighedssætning

• Crick and Watson opdagelse af DNA

“Et lignende dramatisk tilfælde er Kenneth Arrows 1950 … artikel. Denne artikel (eller 1951 bogen) har været den primære kilde til næsten al moderne teori om kollektive valg og har stærkt påvirket teoretisk velfærdsøkonomi, moral-og politisk filosofi og den matematiske behandling af mikroøkonomisk teori” (Kelly 1978, 1)

Afgørende ændring af den matematiske model


Dias 5


Berg-son1938

Dias 6

Arrow


Dias 7

Spørgsmål

1. Hvad ledte Arrow til ændring af den matematiske model for socialvalgsteorien

fra analytisk model (kontinuert, brug af differentialregning, optimering…)

til diskret model (aksiomatisk defineret ordnede mængder, matematisk logik)?


Dias 8

Spørgsmål

Arrow forenede to forskellige grene af socialvidenskaben:

a. Velfærdøkonomi

b. Teori for afstemninger (valg)

2. Hvordan skete det?

3. Hvilken rolle spillede den teoretiske matematik?

4. Hvilken rolle spillede politiske og etiske overvejelser?


Dias 9

Foredragets plan

1. Condorcets paradox

2. Arrow’s vej til umulighedssætningen, bl.a. hans matematiske baggrund, og hans prioritets ”strid” med Duncan Black

3. Modtagelsen af Arrow’s ideer


Dias 10

Umulighed som en kreativ kraft

Matematiske umulighedsresultater standser sjældent fremskridt

Genererer ofte ny vigtig matematik

Fx:

1.

Intet fælles mål

Forholdslæren (Euklid bog V)

2. Umulighed af ligningsløsning

a. Komplekse tal

b. Galois teori

3. Umulighed af at bevise parallelpostulatet

Ikke-Euklidisk geometri

Arrows umulighedssætning første i socialvidenskab


sd

Dias 11

Matematisk, historisk oprindelse1. Valg eller afstemninger

Valgprocedurer.

Middelalderen: Ramond Llull (1283) og Nicolas fra Cusa (1433)

Valg af paver, abbeder, kejsere.

Første omhyggelige undersøgelse og opdagelse af hovedproblemet:

Nicolas de Condorcet (1743-1794)

Essay om anvendelsen af analysen på sandsynligheden af beslutninger fundet ved pluralitet af stemmer (1785)

Tilegnet

Jacques Turgot “var overbevist om at sandheden af de moralske og politiske videnskaber kan behandles med samme sikkerhed som de fysiske videnskaber og selv som de grene fx astronomi, som synes at nærme sig matematisk sikkerhed” (Condorcet1785, i).


Dias 12

Condorcet. Problem med flertalsafgørelser

Valg med to kandidater: Sandsynlighedsregning, Store tals lov.

Ingen særlige problemer:

Tre eller flere kandidater:

Kandidaten med flest stemmer kan være den mest upopulære:

Fx: 6 vælgere: 1,2,3,4,5,6, 6 kandidater: A,B,C,D,E,F

Rangordning:

Top

Sidst


1 2 3 4 5 6

A A B C D E

B B F B B B

C C C D C C

D D D E E D

E E E F F F

F F A A A A

Dias 13

Condorcet-vinderen

Condorcet: Den sande vinder er den kandidat som

Vinder over hver af de andre i flertalsafstemninger mellem to kandidater.

B er

Condorcet-vinderen


1 2 3 4 5 6

A A B C D E

B B F B B B

C C C D C C

D D D E E D

E E E F F F

F F A A A A

Dias 14

Condorcet-paradokset

Der er ikke altid en Condorcet-vinder.

Fx. 3 vælgere: 1,2,3, 3 kandidater: A,B,C

Dekomponer i parvise afstemninger:

A slår B 2 mod 1

B slår C 2 mod 1

C slår A 2 mod 1

Kombinationen er intransitive (inkonsistent): A>B>C>A

For ethvert valg af kandidat er der en anden kandidat som slår ham/hende i en topersoners flertalsafstemning.

Problem. Paradoks.


1 2 3

A B C

B C A

C A B

Dias 15

En mangfoldighed af afstemningsmetoder

1770: Jean-Charles de Borda

Ingen kontinuert tradition, mange isolerede forslag

Forskellige metoder brugt i praksis ved nationale valg, juryer, firmaer, universiteter,….

Uhensigtsmæssigheder ofte påpeget.

Forslag fra mange hold:

Statsmænd: Hamilton and Jefferson

Arkitekter: William Robert Ware

Jurister: Andrew Inglis Clark and Thomas Hare

Matematikere: Edward J. Nanson, Carl Andræ,

Thorvald Nicolai Thiele and Charles Dodgson.

=

Lewis Carroll


Dias 16

Arrows umulighedssætning

Alle afstemningsprocedurer har uhensigtsmæssigheder.

Arrow interesseret i afstemninger i 11-årsalderen

Demokraternes konvent i 1932

Ikke det, der ledte ham til umulighedssætningen

Men Matematik-økonomi


Dias 17

Kenneth J. Arrow (1921-2017)


Født i New York City i jødisk familie

Læste matematik ved City College i New York

Interesseret i logik

1940: Alfred Tarski Polsk-jøde (matematisk logik)

Forelæsning ved City College i New York

Arrow fulgte dem

Arrow læste korrektur på engelsk oversættelse af Tarskis

Einführung in die mathematische Logik (1937)

Oversat af

Olaf Helmer Tysk jødisk flygtning (matematiker, logiker, filosof)

https://en.wikipedia.org/wiki/File:AlfredTarski1968.jpeg

Dias 18

Ordnede mængder

Aksiomer for ordningsrelationer:

I forbindelse med de reelle tal:

Dedekind (1872), Hilbert (1900)

I logik (velordningssætningen):

Schröder 1890-95,

Hausdorff 1914: Mengenlehre: Aksiomer for totalt og partielt ordnede mængder.

Mere generelt: Garrett Birkhoff 1940 (Gitterteori)

Brugt i et økonomisk arbejde:

Von Neumann and Morgenstern:

Theory of Games and Economic Behavior (1944)


Dias 19


Ordningsrelationer kendt i matematik i 1940ene.

Men: ”notationen var ikke almindeligt brugt i økonomi” (Arrow 1950, 331)

Arrow’s kendskab til abstrakt ordnede mængder blev afgørende.

Kandidat studium ved Columbia University (New York)

Matematisk økonomi

Lærte meget af statistiker og mat-økonom

Harold Hotelling

Specielt forskel på ordinal og kardinal tilgang

til velfærdsøkonomi


https://en.wikipedia.org/wiki/File:Harold_Hotelling.jpg

https://secretary.columbia.edu/

Dias 20

Velfærdsøkonomi

Den politisk-økonomiske rod til Arrow’s ideer

Oprindelse i utilitarismen

Jeremy Bentham 1748 – 1832

Filosofi, Etik:

Det etisk korrekte er at maximere “nytten”

“it is the greatest happiness of the greatestnumber that is the measure of right and wrong”

Samfundet skal maximere den totale “nytte”

Sum af individuelle nyttefunktioner


Dias 21

Matematisering af Økonomi

Cournot, Walras og Edgeworth 1800-tallet

Bruger differentialregning.

Maximer total nyttefunktion

Liberalistiske økonomer prøvede at bevise at

fuldkommen konkurrence maximerer nytte.

Ideer forfinet af Abraham Bergson: A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics (1938)

Udviklet videre af Paul A. Samuelson:

Foundations of Economic Analysis (1947)


Dias 22

Kritik af matematisk økonomi

Mange økonomer afviste brug af matematik

Matematiske økonomer anklagede hinanden for brug af

uklare begreber

forkerte eller ustringente argumenter

forkerte fortolkninger

Samuelson kritik af forgængere

Specielt sjuskede brug af infinitesimaler.

Typisk kommentar:

“Og hvis Marshall faktisk når til konklusioner, som ikke er heltforkerte, er det alligevel klart at han når til dem af de forkerte grunde.” (Samuelson 1945, 207).


Dias 23

Kardinal og ordinal

Kardinal nyttefunktion:

Reel funktion af mange økonomiske (og evt ikke økonomiske variable)

Angiver nytten (fx målt i kroner) af en bestemt social eller økonomisk situation for et individ eller et samfund.

Ordinal Nytte: En ordning af de forskellige mulige sociale tilstande. Uden at tilskrive dem talværdier.

I begyndelsen af 1900-tallet begynder økonomer at sætte spørgsmålstegn ved kardinalt mål for nytte.

Ordinal tilgang bliver fremherskende.

”Nye Velfærdsteori”


Dias 24

Sammenfatning af individuelle nyttefunktioner

Hvordan dannes en total nyttefunktion for samfundet ud fra individernes nyttefunktioner?

1: Kardinal nyttefunktion: Adder dem

Eller gang dem eller …..

2. Ordinal mål for nytte: ????

Det er det spørgsmål Arrow stiller.


Dias 25

Ordinal teori med kardinal indikator

Bergson og Samuelson

Tilhængere af ordinal teori.

Men brugte ”kardinal indikator”

Velfærdfunktionen


Dias 26

Velfærd-funktionen

Bergson + Samuelson:

Centrale begreb: Velfærd-funktionen

W(x,y,z,….)

“Funktionen behøver kun være ordinal defineret men det kanvære bekvemt at arbejde med et kardinalt index ellerindicator … Hvis vi burger en af de uendelig mange indikatorer eller kardinale indekser kan vi skrive dennefunction på formen

𝑊 = 𝑊 𝑧1, 𝑧2, …

hvor z’erne repræsenterer alle de mulige variable, hvorafmange af dem kan være ikke-økonomiske (Samuelson 1945, 221)

Resultat skal være uafhængige af valg af cardinal indicator, sålænge ordnen er uændret.


Dias 27

Bergson, Samuelson

Ordinal filosofi

Men

Matematiske udledninger bruger kardinal indikator

Stadig brug af matematisk analyse

Hvorfor?

For økonom ca. 1945 kunne en ordning mest naturligt beskrives ved en afbildning ind i de reelle tal

Kun få økonomer kendte til abstrakt teori for ordnede mængder

Men det gjorde Arrow!


Dias 28

Arrows

Arrow om Hotellings undervisning:

”Jeg lærte den ikke særlig udbredte ide at forbrugere vælger forbrugsvektorer som et mest foretrukket punkt (den ordinale fortolkning), i modsætning til det gamle synspunkt at der var en nytte-funktion med numeriske værdier som de maksimerer (den kardinale fortolkning). Identiteten af dette synspunkt med det logiske begreb om en ordning var oplagt nok.” (Arrow 1991)

Så allerede ca. 1941 indså Arrow sammenhæng mellem

1. Ordinal velfærdsøkonomi og

2. Aksiomatik for ordnede mængder (logik)

Gik ikke videre med ideen.


Dias 29


1941 Kandidat i mat. økonomi

Krigsarbejde i luftvåbnets vejrtjeneste

1946-49: PhD studerende ved Colombia University

Og Forsknings assistent ved Cowles Commission for Research in Economics, University of Chicago

PhD projekt (aldrig færdiggjort) om erhvervsøkonomi.

Ledte Arrow til opdagelsen af Condorcet’s paradox


Dias 30

Arrow’s opdagelse af Condorcets paradoks 1946-47

”Jeg havde observeret at store aktieselskaber ikke var individer men forventedes at afspejle deres mange aktionærers ønsker. … Men da forskellige aktionærer har forskellige forventninger (til fremtiden) kan de meget vel ordne forskellige investeringsstrategier forskelligt. Min første tanke var den oplagte…: Hvis der er to investeringsstrategier kaldet A og B, vælges den, som har en majoritet blandt aktionærerne.”

Mere end to: ”Det forekom mig naturligt at vælge den, som ville have majoritet over hver af de andre. Men jeg fik en ubehagelig overraskelse. Det er muligt at A har majoritet over B og B majoritet over C, men at C har majoritet over A, ikke A over C…. Det forekom mig at denne observation måtte være opdaget af andre, og jeg undrede mig over om jeg havde hørt om det et sted. … Hvorom alting er var effekten snarest at det fik mig til at droppe hele sagen og studere noget andet” (Arrow 1986, 48-49)


Dias 31

Arrow’s opdagelse af Condorcets paradoks

Refererer til Condorcet i 2. udgaven af bog (1963)

1946-47: Så Condorcet paradokset som et problem, opgav problemet med at finde en Selskabsstrategi ud fra aktionærernes strategi.

”Mit arbejde med socialvalgsteorien kom ikke som et resultat af langvarige undersøgelser af et tidligere anerkendt problem. Det forekom mere som et begreb som besatte mig og som havde prøvet at besætte mig i en stykke tid” (Arrow 1983, 1)

Platonisk!


Dias 32

Arrows opdagelse af Single peakedpræference kurver

1948 ved Cowles Commission i Chicago

”Et år senere vente mine tanker uden min vilje igen tilbage til spørgsmålet om afstemninger. Jeg opdagede at under visse særlige, men ikke helt unaturlige antagelser angående vælgernes præferencer, kunne det paradoks, jeg tidligere havde opdaget ikke indtræffe. Jeg mente at det var værd at skrive om. Men da jeg var gået i gang med det faldt jeg over et tidsskrift hvori jeg fandt det samme resultat i en artikel af en engelsk økonom Duncan Black. Det resultat, som Black og jeg havde fundet, kunne have været udtænkt på ethvert tidspunkt inden for de sidste 150 år. At vi to kom på det næsten samtidigt er et tilfælde, som jeg ikke kan forklare. Prioritet er en spore inden for videnskaben, og at være blevet foregrebet var tilsvarende frustrerende. Igen droppede jeg studiet af afstemninger” (Arrow 1986, 49)


Dias 33

Duncan Black (1908-1991)

Skotte

Uddannet 1. i matematik, 2. i politisk økonomi

Professor ved Dundee school of Economics

University College of North Wales

Glasgow University

Artikler om afstemninger fra 1948


Dias 34


Arbejdede hele livet på en ”pure science of politics”

Black: Illustrerede præferencer på kurve:

1942:

Single –peaked præference kurver:

I dette tilfælde er medianen en Condorcet-vinder


Median:Is a Condorcet-winner

1234567

EX: politiske partier: Højre-venstreOptimale værdi af et tal, fx, arbejdslønnen

Dias 35

Duncan Black (1908-1991) opdager Condorcet Paradokset.

Senere opdagede Black at der ikke altid er en Condorcet vinder.

“I de første måneder, hvor jeg arbejdede med den geometriske version af teorien, tog jeg det for givet, at når man brugte simpel majoritet ville svaret være bestemt uanset præferencekurvernes udseende. Senere da jeg udarbejdede et aritmetisk eksempel, opstod der en intransitivitet, og jeg mente at det måtte skyldes en regnefejl. Da jeg fik overbevist mig om at mine beregninger var korrekte og intransitiviteten ikke ville forsvinde gjorde min mave oprør med noget der lignede fysisk kvalme. Ikke bare var det problem jeg havde givet mig i kast med mere kompliceret end jeg havde antaget, det havde en anden karakter. Resultatet var kun bestemt for særlige forløb af præferencekurverne.

(Black 1998, 390)

Følelsesladet opdagelse


Dias 36


Undersøgte spørgsmål som:

1. Hvor (u)sandsynligt er det at der opstår intransitiviteter

2. Hvad sker der når man stemmer om en kombination af to single peaked spørgsmål

Slutningen af 1940ene: Black prøvede at få sine resultater publiceret.

Artikler blev afvist af de ledende britiske men blev udgivet af mindre kendte udenlandske tidsskrifter 1948-49

Bog afvist af britiske forlag

November 1949: Artikel forfattet sammen med R.A Newingsendt til Econometrica.

Ventede på svar i 1½ år. Så svar fra redaktøren:

“Hvis sammenhængen med Arrows nyudkomne monografi bliver forklaret igennem hele artiklen, vil jeg meget gerne anbefale at Deres manuscript bliver udgivet i Econometrica”

(citeret af Coase 1998, xii)


Dias 37


Black blev vred.

Han var kommet først og ville ikke underordne sine ideer under Arrows senere synspunkt.

Opdagede at redaktøren af Econometrica var visedirektør for forskning ved Cowles Commission, hvor Arrow havde skrevet sin bog

Lignede et bevidst forsøg på at forsinke udgivelsen af Black’sarbejde for at give Arrow prioritet

De trak manuskriptet tilbage. Publ som privat udgivelse.

1958: Theory of Committees and Elections. Cambridge University Press

Historiske studier (specielt om Dodgson) udgivet som 2. del.

Black udgav meget lidt derefter.


Dias 38

Black og Arrow

Parallel udvikling af ideer

Begge uddannet i matematik og økonomi

Begge så sammenhængen mellem beslutningsprocesser i firmaer og afstemninger (valg)

Begge opdagede Condorcet paradokset og begge fandt det ubehageligt

Begge opdagede single peaked rangordninger

(Black i omvendt rækkefølge)

Begge følte sig i prioritetskonkurrence med den anden.

Fra 1948-49 gik de hver sin vej.


Dias 39

Arrows opdagelse af umulighedssætningen

Forår 1948: Opdagede at Black havde opdaget resultatet om single peaked rangordninger før ham selv

”Igen droppede jeg studiet af afstemninger”

Sommer 1948. Arrow inviteret til Rand Corporation.

RAND: Prøvede at bruge spilteori til at analysere internationale konflikter.

I kaffepause: Olaf Helmer fortæller Arrow om skrupler:

Spilteori er baseret på nyttefunktioner for individer. Men spillerne i internationale konflikter er ikke individer men lande. Kan man tillægge dem nyttefunktioner?

Arrow: Det problem er løst af Bergson ved hans begreb om velfærdsfunktionen:

Helmer: Skriv Bergsons løsning ned.


https://www.google.com/imgres?imgurl=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Rand_Corporation_logo.svg/2000px-Rand_Corporation_logo.svg.png&imgrefurl=https://en.wikipedia.org/wiki/RAND_Corporation&docid=KcP0eoMOUzkMjM&tbnid=18YQlsU6sxewfM:&vet=1&w=2000&h=2000&bih=725&biw=1536&ved=0ahUKEwjWsu_G1LjeAhVD3SwKHUzVBEUQMwg6KAAwAA&iact=c&ictx=1

https://www.workforgood.org/employer/90880/the-rand-corporation/

Dias 40

Arrow’s opdagelse af umulighedssætningen

Opdagede problemer:

”Jeg opdagede hurtigt at det ordinale synspunkt, som jeg helt havde tilegnet mig, betød at den eneste information om præferencer som kunne transmitteres ud over individniveau var en ordning. Social velfærd kunne kun være en sammenhobning af ordninger”

Tidligere resultater havde lært ham at

”man ikke altid kan udlede en præference-ordning for en nation ud fra dens borgeres præference-ordninger hvis man bruger majoritetsafstemninger til at sammenligne et alternativ med et andet.”

Er det muligt at der er andre måder at aggregere individuelle præference-ordninger til at danne en social ordning, som overholder transitivitet?


Dias 41

Arrow’s opdagelse af umulighedssætnigen

1948

”Et par ugers arbejde klargjorde svaret”

1. Et par dages arbejde: fornemmede at der var et umulighedsresultat.

2. Hurtigt derefter fandt han resultatet

3. 3 ugers arbejde: Præcis formulering af resultatet og skitse af bevis

Ph.D afhandling forsvaret 1949

1949: Præsenteret ved møde i Amer. Economic Society

1950: Publ. Artikel i Journal of Political Economy.

1951: Monografi:


Dias 42

Arrow’s model for velfærdsøkonomien

Velfærdsøkonomi handler om sociale tilstande

Antag at der er endelig mange sociale tilstande

Hvert individ har en rangordning al alle sociale tilstande bestemt af hans smag og værdier (incl. økonomiske interesser).

På basis af disse individuelle rangordninger skal samfundet vedtage en samfunds-ordning af de sociale tilstande.

Hovedproblem: Hvordan kan det gøres på en rimelig måde?


Dias 43

Arrow’s præference-relation

Betragt en endelig mængde S af sociale tilstande (alternativer)

R er en relation på S

xRy læses: “x foretrækkes eller er indifferent til y”

R opfylder to aksiomer:

Aksiom I: For alle x og y, gælder enten xRy eller yRx.

“Axiom II: For alle x,y, z: xRy and yRz medfører xRz

Arrow tillader at xRy and yRx for nogle x≠y.

I så tilfælde: xIy (x er indifferent til y)

xPy betyder non-yRx (x foretrækkes for y)

Arrow antog at både individuelle og samfunds-rangordninger skal opfylde disse aksiomer


Dias 44

Arrow’s nye model

Nye problem for sociale valg:

Haves: Individuelle rangordninger (R1, R2, R3,…,Rn) af sociale tilstande

Social velfærdsfunktion

Samfundets rangordning: R.

Helt forskellig fra Bergsons og Samuelsons velfærdsfunktion


Dias 45

Velfærdsøkonomi og valgmetoder

Sociale valg knyttet til teorien om afstemninger (valg):

Mange mulige sociale velfærdsfunktioner

Bestem den etisk mest acceptable velfærdsfunktion (valgmetode)


Sociale valg Valg

Sociale tilstande Kandidater

Individuelle rangordninger: R1, R2, R3,…,Rn

Stemmesedler

Samfundets ordning R Valgets udfald

Social velfærdsfunktion Valgmetode

Dias 46

Arrows nye tilgang til valgmetoder(velfærdsfunktionen)

Tidligere forfattere om valgmetoder:

Valgmetode Egenskaber

Arrow:

Egenskaber Hvad kan man sige om

Betingelser valgmetoden Aksiomer velfærdsfunktionen

Overraskende svar: Ingen social velfærdsfunktion

tilfredsstiller betingelserne.

Dette er Arrows umulighedssætning


Dias 47

Arrows betingelser

Betingelse 1: Der eksisterer tre alternativer, som individerne kan ordne i hvilken somhelst rækkefølge.

Senere ofte erstattet med stærkere “uindskrænket domæne”

Positiv (eller ikke-negative) respons til ændringer:

Betingelse 2: Hvis en af de sociale tilstande x flyttes op (eller I al fald ikke ned) i hvert individs ordning uden at der sker nogen andre ændringer i disse ordninger, og hvis x var foretrukket for et andet alternativ y [i samfundets ordning R) før ændringen så vil x stadig være foretrukket for y i samfundets ordning efter ændringen” (Arrow 1950, 336-337).

Senere kaldt “monotonicitet”


Dias 48

Arrows betingelser

Indifferens over for irrelevante alternativer:

If S is a subset of the alternatives then a social welfare function gives rise to a social choice C(S) function that maps a collection R1, R2, R3,…,Rn of individual rankings into the set of maximal alternatives in S i.e. such that for every y in S, xRy.

Condition 3: Let R1, R2, R3,…,Rn and R’1, R’2, R’3,…,R’n be two sets of individual orderings and let C(S) and C’(S) be the corresponding social choice functions. If, for all individuals iand all x and y in a given environment S, xRiy if and only xR’iy, then C(S) and C’(S) are the same (independence of irrelevant alternatives)

Med andre ord:

“Ligesom for et enkelt individ skal samfundets valg blandt en givet mængde af alternativer være uafhængig af eksistensen af alternativer udenfor den givne mængde”

(Arrow 1950, 337)


Dias 49

Arrows betingelser

“Definition 4: En social velfærdsfunktion kaldes pålagt (imposed) hvis xRy for to bestemte alternativer x, y for alle individuelle ordninger R1,…, Rn, hvor R er samfundets ordning svarende til R1,…, Rn.”

Betingelse 4: Den sociale velfærdsfunktion må ikke være pålagt.

Borgernes suverænitet


Dias 50

Arrows betingelser

“Definition 5: En social velfærdsfunktion kaldes “diktatorisk” hvis der findes et individ i så at for alle x og y, xPiymedfører xPy uanset alle andre individers ordninger, hvor Per samfundets præference relation svarende til disse ordninger.”

Betingelse 5: Den sociale velfærdsfunktion må ikke være diktatorisk.


Dias 51

Arrows umulighedssætning

“Theorem 2 (General Possibility Theorem). If there are at least three alternatives among which the members of society are free to order in any way, then every social welfare function satisfying Conditions 2 and 3 and yielding a social ordering satisfying Axiom I and II must be either imposed or dictatorial.”

Bevis (8 sider) ikke særligt svært

Bruger ideer hentet fra Condorcets Paradoks (3 alternativer)

“ Teorem 2 viser at hvis man ikke antager noget apriori om individernes ordning, er der ingen valgmetode som fjerner afstemningsparadokset (Condorcet’s paradoks), hverken pluralitetsafstemning eller hvilken somhelst proportional repræsentations-metode uanset hvor indviklet den måtte være. Ligeså kan markedsmekanismer ikke skabe et rationalt social valg.” (Arrow 1951, 59)


Dias 52

Mulighed eller umulighed

Navn i 1950 artikel og 1951 monografi:

”Generel muligheds sætning” (General possibilitytheorem”

Sen (2014) tilskriver dette ”muntre navn” til Arrow’s”sunny disposition”

Arrow svarer: Jeg er en dyster realist (gloomy realist).

Det var Tjalling Koopmans som insisterede på at kalde det en mulighedssætning:

”Han hadede følelsen af at noget ikke kunne ske eller ændres”

Var direktør for Cowles commission, som udgav Arrow’s bog.

Så Arrow fulgte Koopmans’ ønske

Ca 1970: sætn. kaldes umulighedssætning


https://mk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0:Tjalling_Koopmans.jpg&filetimestamp=20150304215513&

Dias 53

Den aksiomatiske metodes vigtighed

Berømt ikke for bevisets vanskelighed

Men den ny model og den ny bevismetode

“Mine studier inden for logik hjalp mig med at formulere spørgsmålet klart.” (Arrow, 1986, 50)

Hjalp på to måder:

1: Aksiomatik for ordnede mængder

2. Ny formulering af problem:

Find en metode der opfylder

bestemte aksiomer


Dias 54

Modtagelsen af Arrows ideer

Først ringe genklang

Omkring 1970: eksplosion af Arrow-style Social choice artikler

5 slags reaktioner

0. Vi må opgive demokratiske valg. (sjælden reaktion)

1. Arrow har lavet en fejl (Blau 1957)

2. Arrow’s resultat er irrelevant (Black, Bergson, Samuelson)

3. Vi må prøve at omgå umulighedsresultatet

4. Bevis af andre umulighedsresultater i stil med Arrows


Dias 55

3. Omgåelse af umuligheden

Arrow selv åbnede for denne mulighed:

“Hvis vi ønsker at tage sociale velfærdsbeslutninger som afhænger af alle individuelle værdier, dvs som ikke er pålagt eller diktatoriske så må vi slække nogle af de stillede betingelser”

(Arrow 1950, 343)

Arrow: eneste acceptable afsvækning er i betingelse 1: “uindskrænket domæne”

Arrow: Single peaked præferencer er et eksempel

Median opfylder alle betingelser (på nær 1)

Nævner Black.

Andre forfattere foreslår andre afsvækninger

Især uafhængighed af irrelevante alternativer


Dias 56

Lignende umulighedssætninger

Kelly, Jerry S. (1978) Arrow Impossibility Theorems.

ca 50 umulighedsresultater bevist af forskellige forfattere efter 1970.

Det er umuligt at finde en social velfærdsfunktion som opfylder nogle uskyldigt udseende betingelser i lighed med Arrows

Mange andre bevist efter 1978

Afsvækninger Umulighed

Mulige metoder

Kelly 1978 : “Vanskeligheden som denne reaktion (afsvækning) nu står over for er meget simpel: For hver af Arrows betingelser er der nu en umulighedssætning, som ikke benytter denne betingelse”


Dias 57

Gibbard-Satterthwaite sætningenSpilteori

Sætning: Ved et valg med mere end 3 kandidater er der ingen valgfunktion (metode til at finde en vinder) som ikke kan manipuleres

Formodet af økonomen Farquharson and filosoffen Dummett fælles artikel fra 1961

1960: Vickrey formoder at Arrows betingelser er forbundet med manipulerbarhed.

Sætningen bevist uafhængigt af

1. filosoffen Allan Gibbard 1971 (publ 1973) ved at følge Vickreys hint

2. Økonomen Mark A. Satterthwaite 1973 (publ. 1975). Bevis ved induction, bygger ikke på Arrows bevis.


Dias 58

Konklusion

Fulgt proces som ledte til en ny matematisk gren af velfærdsøkonomien: Socialvalgsteorien og til Arrow’sumulighedssætning

Fusion af velfærdsøkonomi og teori for afstemninger

Arrow opstillede ny matematisk model og formulerede og beviste fundamental umulighedssætning

Hvad var drivkræfterne bag udviklingen?


Dias 59

Drivkræfterne

Filosofiske.

Arrow og andre diskuterer ofte filosofiske (især etiske) problemer

Bl.a. afvisning af en platonisk ideal social tilstand (pålagt)

Afvisning af en meningsfuld kardinal velfærdsfunktion

Politiske: ”problem om sociale valg i fremvoksende velfærdsstater som England, Frankrig og Skandinavien.”


Dias 60

Drivkræfterne

Den kolde krig og dens institutioner

Arrows arbejde ved Cowles commissionen og RAND ledte ham i flere omgange til spørgsmålet om at danne en kollektiv ”nyttefunktion” ud fra individuelle nyttefunktioner

Blev støttet af disse grupper da han havde gjort sit gennembrud

Black arbejdede isoleret. En forklaring på Arrows større gennemslagskraft

Dog også videnskabelige grunde


Dias 61

Drivkræfterne

Prioritet

Personlig og national stolthed

Amerikanske institutioner og individer hjalp Arrow

Senere: Blacks støtter er britter.


Dias 62

Moderne aksiomatisk strukturmatematik

Matematiske drivkræfter:

Hvorfor blev det Arrow og ikke Black eller Samuelson, som fandt på den nye model for sociale valg?

Fordi Arrow i modsætning til de andre var optrænet i moderne aksiomatisk tankegang

1. Brugte aksiomer for ordningsrelationer

2. Brugte ideen i Hilberts aksiomatiske metode: Opstillede en række aksiomer (betingelser) og undersøgte hvad der følger af dem (i dette tilfælde en umulighed)


Dias 63

Kenneth Arrow døde 2017


Dias 64


Documents

Arrows Umulighedssætning og dens Historie - math.ku.dk · Ikke-Euklidisk geometri Arrows umulighedssætning første i socialvidenskab Department of Mathematical Sciences d s. Dias