ARITUTICA PRACTICAPENTRU

CLASELE SECUNDARE

SPIRU C. HARETUProfesor la Universitatea din Bucuresci

EDITIUNEA a VI-a, rev6clutd

BUCURESCI1:EDITURA LIBRARIET SOCECU & Gomp.

21, CALEA VICTOETEY7 21

1896.

Pretui lei 1,50.

. .

r

/

DEI. .1

,

*ACADEM'IL1 4.

1W.\

www.dacoromanica.ro

ARITIETIOA PRACTICAPEN'TRU

CLASELE SECUNDARE

DE

SPIRU C. HARETUProfesor la Universitatea din Bucuresei

EDITIUNEA a VI-a, reveciutd

BUCURESCIEDITURA LIBRARIEI SOCECU & Comp.

21, CALEA yICTORIEY, 211896.

www.dacoromanica.ro

'9137. Stabilimentul grafic I. V. SOCECO". Bucuresci.

www.dacoromanica.ro

ARITMETICA PRACTICAPENTRU

CLASELE SECUNDARE

www.dacoromanica.ro

PR EFATA

Ctr Domnii Profesori de eoli seeundare

Programa cOlelor secundare prevede, in primeleclase, aritmetica elementara. De re-ce colarif poseddeja cunotinta ei din clasele primare, repetireaare de scop a intari acst cunotinta, inainte de ase intra in studiul altor parti de sciinta mai superiOre.Tot de o data insa, de re-ce etatea colarilor estemai inaintata, se pot cu dinii complecta i desvoltamai bine unele parti de materie, ceea ce nu se puteaface in clasele primare. Ast-fel, in unele puncte, nueste gret a se da chiar explicatiunea rationale a unorregule, fan a ei din limitele impuse de programa,care cere numal aritmetica practica; cu modul acesta,pe nesimtite se face un pas 'insemnat de introducerein aritmetica rationata.

De acea, cartea de fata, de i purtand acelatitlu ca i cea destinata claselor primare, se distingede dinsa prin adaogirea a dou capitule, asupra pro-

el

www.dacoromanica.ro

6prietatilor numerelor, 0 asupra puterilor 0 radacinilor,precum i a altor cate-va cestiuni, carl nu puteag gasiloc in cartea pentru incepatori. De alta parte, amrestrins, pe cat s'a putut, WA a compromite integri-tatea cursului, pailile de tot elementare a caror cu-noscint nu e cu putinta sa nu o aiba copil ce intrain scolile secundare. In fine, pe ici pe colo, nu m'amtemut a pune i ceva rationamente, de tot simple.

Peste tot, m'am silit sa fit deicea mai mare con-cisiune, convins fiind-ca, in mare parte, acusarea cese aduce programelor ca sunt prea incarcate, vinei din prolixitatea imora din manualele de c61.

A fi fericit daca a fi reuit a aduce inveta-mentuluI un servicia macar cat de mic.

S. C. H.

www.dacoromanica.ro

ARITMETICA PRACTICA

CAPITOLUL I.

Definitiunl. Numeratiunea.

1. Unitatea sat unimea Pste un lucru singur. Asa, unom, un mar, o carte, sunt unimi.

Unitate se mai chiam i mrimea cu care m6surammArimele de acelas fel. Asa, metrul, cu care masurrn hm-gimile, gramul cu care masurAm greutAtile, sunt unitati.

2. Num& se chiama, o grup6 de una sat mai multeunitati de acelas fel. Ast-fel, cinci oameni-, trei mere, sese

o easel, sunt numere.Tot numere sunt i dna, trel, sse, una, chiar cand

nu spunem anume ce fel de lucruri insemnza ele.3. Numb' concret, este acela in care se. spune felul lu-

crurilor ce insemnz11; si num& abstract, este acela in carenu se spund felul lucrurilor ce insemndz6,. Ast-fel, cincioamenr este numdr concret, iar cinct este numdr abstract.

4. Aritmetica este sciinta numerilor. Ea ne inva0 s5,numim numerele, s le scriem i sa. le calculam.

5. IVumerafiunea este partea din aritmeticA care se o-cup b. cu numirea, scrierea i citirea numerelor.

Numirea numerelor.

6. Cele d'intait zece numere at urmAtOrele numirT :Jena, doue', fret, patru, cincr, sise, pipe, opt, mull, zece.

0 grupA, de zece uniihl se chiamA o zecime.

arfr,

www.dacoromanica.ro

8O grup b. de tece zecimi se chiamA o sutd sau sutime.O grupa de zece sute se chiam o mie.Regula I. Pentru a numi un numer pima la o mie,

numim pe rand num&ul sutelor, zecimilor ,ri unimilor cecoprinde el.

Esemplu. Un numr care ar coprinde trel zecimi, opt unimisi cinci sutimi, se va nuini asa : cinci sute trel zed si opt (unimi).

Cuvintul de unimr de ordinar nu se mal spune.7. 0 grill:A, de o mie de ma se chiam5, un milion.O grup5, de o mie de miline se chiam un bilion.O grup, de o mie de biliOne se chiam D. un trilion.i asa mai departe.jirul numerelor este nesfar,cit.Regula II. Mule, milinele, bilinele, etc. se numh-d

ca unimile.Vom avea dar :Mil ;Zecimi de mil ;Sute de mii ;Miline;Zecimi de miline ;Sute de miliOne ;Biline;Zecimi de biline ;Sute de bilicine ;etc.8. Regula III. Pentru a numi un num& mar mare de

cat o mie, numim mar intai grupele de felul cel mai mare ; fipe urna, pe rand pe cele-lalte,mergand ',and la cele mai mice.

Esemplu. Dac .. un numr coPrinde :Dou6 sute-trel-spre-zece mil ;Patru sute opt miliOne ;Cinci-sute dou6-zeci si una de unitatl ;Dou6-zecI si patru de biline;

el se va spune asa :

www.dacoromanica.ro

9Dou-zecl i patru de biline, patru sute opt miline,dou6 Bute trei-spre-zece mil, cinci sute dou-clecl i una.

Scrierea numerelor.9. Prime le noul3 numere se suit cu urmacirele semne,

cari se chiama cilre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Tar semnul 0 se chiama zero sat nuld; el insemnza, nimic.

Regula I. Pentru scrierea numerelor cari nu suntcoprinse intre I i 9, se face invoire ca o cifrd pusd lastanga alteia se insemneze de zece ori mat mult de cat dacdar fi pusd in locul aceleia.

Esemple. I. Cand scriem83,

cifra 3 insemnza uniml; iar cifra 8, pus la stanga el, insem-nOza zeciml, carl sunt de zece orl me marl de cat unimile.

Din contra, scriind38,

cifra 8 insemnza unimi iar 3, care e la stanga unimilor,insemn6za zeciml.

II. J. numrul48709,

cifra 9 lnsemn6za unimi ;Cifra 0, pusa la stanga lui 9, tine locul zecimilor;Cifra 7, pusa la stanga lul 0, insemn6za sute ;Cifra 3, pusa la stanga lul 7, Insemn6za mil ;Cifra 4, pus la stanga lul 3, insemnza zeci de mil.II. Din regula I, urmza ca :Cifra cea mai de la dr6pta a unul numr insemneza unimLA doua cifra, spre stanga, zecimt ;A treia cifra, sute;A patra cifr, mit;A cincia cifra, zed' de mil' ;A 6sea cifra, sute de mit;A ptea cifra, miluMe;A opta cifra, zed' de milicine;A mina cif: a, sute de miline ;

10.

www.dacoromanica.ro

10

A zecea cifra, ;A un-spre-zecea cifr, zea de billne ;

douspre-zecea cifr, sute de biliime;A trel-spre-zecea cifra, trilione, etc. etc.Prima, a doua si a treia cifr, represint clasa unimilor;A patra, a cincea si a s6sea, clasaA leptea, a opta si a noua, clasa miliOnelor;A zecea, a un-spre-zecea si a doue-spre zecea, clasa

Iiimelor etc.12. Regula IL Ca sd scriem un num& in cifre, scriem

num&ul unimilor aeij fie-care fel, punand cifra care le re-presint la locul ce z se cuvine, chip regula I; lar dacduncle feluri de unimi lipsesc, locul lor ii implinim cu nule.

.Esemplu. S. se scrie in cifre numrul : patru bilidne,dou-sute opt-spre zece milidne, cind-sute trel-zeci de mil,noue-sute septe-zecI i se.

Acest nu mei- se scrie asa :4,218,530,976.

Am soils 4, pentru bilidne ;La drepta bilidnel or, am pus 2, pentru sute de milidne, pen-

tru c bilidnele aunt de zece orT mai marl de cat sutele de milidne;La drepta sutelor de milidne, am pus 1, pentru zed de

milidne.i asa maT departe.Neavend mil", am pus zero in locul lor.

Citirea numerelor.Regula. Pentru a citi un num& scris in cifre, 11 des-

parlim in despdrfituri de tre1 cifre, mergiind de la drePtaspre sfang-a, ,si citim fie-care cifrd, de la stanga spre dripta,spunind la fie-care numele felulia de unimi ce' represintd.

Esemplu. St se citsca numerul :12,624,308,116.

Dupa, ce-1 despart dupe regula, vac] a el se citeste asa :Dou-spre-qece biliOne ;se-sute dou-zecl i patru do miliOne;Trei-sute opt mii ;

A

miller;

03.

ti

www.dacoromanica.ro

11

0 sun, ssesprezece.Pentru a se scurta vorbirea, cuvintele

mit nu s'at repetat la fie-care cifr, ci s'a spus numai dupafie-care desprtitun de trei cifre.

CAPITOLUL II.Operatiuni asupra numerilor intregi.

Adunarea.14. Adunarea este operatia prin care unim unintile

mai multor numere de acela fel in un singur numr, carese chiam6, sumd.

Cand dou sail mai mlte numere trebue s se ad une unulcu altul, se pune intre dinsele semnul , care se citeste plus.

Esemplu. Cat fac 7 mere si cu 5 mere? R. 12 mere.12 este suma. Acsth adunare se scrie:

7 5.15. Adunarea numerelor de cate o cifrd se face din

memorie.Esemplu. 5 + 8 +3 + 7 23.16. Regul. Pentru a aduna numere de mal multe

cifre, le scrim unele sub altele, tqa ca unimile sa fie subunimi, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi, ,ri a,ra maideparte. Adundm cifrele din fie-care coland vertzcald,incepandde la unimi, ,si suma, dacd e mat mica de tht o scriemdedesubt ; iar dacd e mat nzre de cat zo, scriem dedesubtnumai unimz7e et, i zecimile le adundm la suma colonel' dealaturt de la stanga.

Esemplu. Sa se adune numerele 637, 5091 si 28.637

509128

5 756 . . . Suma.Suma colOnei unimilor a fost 16 ; am scris dedesubt uni-

mile 6, iar zecimea 1 am adunat-o la colOna zecimilor.Suma colemei zecimilor, Impreuna cu 1 zecime venit de la

adunarea unimilor, a fost 15; am pus pe 5 dedesubt, iar 1 zecime

biliOne, miliOne,

10,

www.dacoromanica.ro

32

de zeciml, care facea 1 sun., am adunat-o la coldna su-telor.

Suma coldnef-sutelor a fost 7, iar a coldnel miilor 5 ;le-am scris pe fie-care dedesubt.

17. Proba adunarii. Proba uneT operatil se chiamAo alt6, operatie, pe care o facem ca s ne incredintAm cAcea d'inttia a fost bine facuta.

Pentru a face proba adundrir, dacd am adunat nume-rele merglind de sus in jos, le vom aduna a doua oard mer-gyind de jos in sus ; ,si daa suma gasitd a doua oard estetot una tu cea gdsitd intlziii,i lucrdrea a lost bine facutd.

Esemplu. Proba. . . 5756687

509128

Sumn. . . 575618. Proba adundrir se mal pole face, desfdaind adu-

narea in mar multe adundrt par-gale, ,si adunnd sumeleafiate de la fie-care adunare par/jai d ; suma lor trebue sd fieeg-aM cu suma tutulor numelor date.

Esemplu. 32181405

7100347

629 75673 . . Suma, partialA.11803 88704

825222325 88223 . . Suma. partiala.

18650

341605483

Suma p-neraltt 508977 345081 . . Su ma, partialL508977 . . Su ma general.

www.dacoromanica.ro

13

Probleme. I. Cine va a vindut o casn, cu 5124 lei, ovie cu 9436 lei, i o gradina cu 3752 lei; -cati lei a luat cutotul ? (R. 18312 lei).

II. Intr'o gradina se afl 518 pruni, 87 meri, 359 peri, 413ciresi 0 92 alti arbori ; cati arbori sunt cu totul ? (R.1532 arbor!).

III. De la Giurgiu la Bucurescl sunt 67 kilometri; de laBucuresci la Pitesci 108 kilometri; de la Pitesci la Slatina, 81kilometri ; de la Slatina la Craiova, 61 kilometri ; cati kilo-metri sunt de la Giurgiu pana la Craiova? (R. 317 kilometri).

IV. Cine-va a cump6rat o Casa cu 28316 lei, i o vindepe urma, mai castigand la vinzare 4126 lei ; cu cat a yin-dut'u ? (R. Cu 32442 lel).

V. 0 ostire num6ra 14515 solda.ti de infanterie si 5729 decavalerie ; cati soldati numra ea cu totul? (R. 20044 soldatl).

VI. Cine-va face o cash i cheltuesce 8226 lel cu cumpra-rea locului, 14369 lei cu zidirea case, 2962 lei cu lernnaria1413 cu feraria; cat il costa casa cu totul ? (R. 26970 lei).

VII. Un proprietar pune sal sape un put, i platescelucratorului 5 lei pe primul metru, 7 lei pe al douilea, 9lei pe al treilea, i asa mai departe, mailed plata cu cate 2lei la fie-care metru ; cat va plati cu totul, sciind ca adan-cimea putului a fost de 8 metri ? (R. 96 lei).

Scaderea.19. Scdelerea este operatia prin care sctem unimile

unul num6r mai mic din ale altuia mai mare de acelas. fel.Numrul cel mai mare se chiama desazut; numrul

cel mai mic se chiamil sceIzeltor; iar ceea ce remane dupace se face scaderea, se chiama rest sail difereng.

20. Scazatorul se scrie la dr6pta descazutului, i intredinsele se pune semnul care se citesce minus.

Esemplu. Din 8 mere se scad 3 mere ? cate ail mairmas ? R. 5 mere.

8 este descazutul, 3 sea ztorul, 5 restul. Acst sea-dere se scrie 8-3.

,

1

9Si

www.dacoromanica.ro

14

2 1. Din chiar definitia scaderii se vede c, daca adunampe scazator cu restul trebue sa regasim pe descazut; asa dar

R egula I. Descazutul este egal ca scdzatorul plus restul.As.t, in esernplul precedent, 8 = 3 + 5.22. Scaderea numerilor mici, de cede o cifrci sail dour,

se face din memorie.Esemplu- 13 8 = 5.23. Regula II. Pentru a scadea unul din altul dour

numere de mat multe cifre, scricm pe cel mai mic sub celmai mare, ca 19 adunare, ,si.scadem fie-care cifra de jos dincea de d'asupra et,scriind restul dedesubt. Daccl vre-una dincifrele de sus este mai mica de ciit cea de sub dinsa, o ma-rim cu 10, ci pe urma mdrim cu r cifra de jos din stanga.

Esemplu. S. se scada 4356 din 7503.7503 Desca zutul.4356 -Scaztorul.3147 .

6 unimi nu s'ati putut scadea din 3 unimi; am maritcu 10 pe 3, si atuncl 6 scazut din 13, a dat restul 7.

Pe 5 zecimi l'am marit cu 1, tacandu-se 6 din causa ma-rirel lui 3 de la unimile descazutului. Inn nu se p6te scadeadin 0; am marit pe 0 cu 10, si atuncl 6 din 10 da rest 4.

La sute, 3 de la scaztor facut 4, care scazutdin 5 da rest 1.

In fine, la mii, 4 din 7 ha rest 3.Restul este dar 3147.24. Proba scaderii. Proba scadera se face adunnd

pe scazrtor cu restul, suma trebue sa fie egala cu descazututlEsemplu. 7503 Descazutul.

4356 Scaztorul.3147 Restul.7503 Proba.

Pr oble m e. I. Cine-va avea o datorie -de 14302 lei; adinteinsa 4266 lei; frisa pe urma s'a maI imprumu-

tat cu 2118 lei ; cata datorie mai are? (R. 12154 lei).

Restul.

sail

pltit

www.dacoromanica.ro

15

IL 1ntr'o corabie s'a incarcat 76531 kilograme de marfa;pe drum se strica 14937 kilograme din acsta marfa ; catamarfa a mai r6mas bunk ? (R. 61597 kilograme).

III. Un judet are 236511 locuitori ; alt judet are 316083locuitori; cu cati locuitori este mai populat un judet de cataltul? (R. Cu 79569 locuitori).

IV. Un calator avea sa faca un drum de 263 kilo-metri ; el a facut dintr'insul 96 de kilometri; cat drum i-amai rOmas de facut ? (R. 167 kilometri).

V. Cine-va cumpra postav de 59 lei si da un bilet de100 lei ; cat rest i se cuvine ? (R. 41 lel).

VI. Doi negustori ail pus in tovarasie un capital de21500 lei; din care partea celui d'intaiil este de 13882 lei ;care este partea celui de al doilea ? (R. 7618 lel).

VII. 0 mosie s'a cumprat cu 49328 lei; inteinsa s'ailmai facut cheltuell de 12752 lei, si pe urma s'a vindut indou una de 42305 lei, iar alta de 27114 lei; cat s'acastigat la Oinsa? (R. 7339 lei).

Immultirea.

25. Immultirea este operatia prin care adunam un nu-m6r de mai multe

Num6rul care trebue sa se adune se uhiania deimmul-fit; numrul care arata de cate orl trebue sa se adune de-immultitul, se chiaina immulfitor.

Amandou6 cu un nunle, se chiama factort.Resultatul immultirei, se numesce produs.Semnul immultirei este X, care se citeste immultit cu.Esemplu. In clasa nOstra sunt 4 band, si in fie-care

banca se afla cate 6 copii ; cati copii sunt cu totul in clasa ?R. 6 + 6 6 + 6 copil, sail 24 copii.

In acest esemplu, factorii sunt 6 si 4, din earl 6 estedeimmultitul si 4 immultitorul ; produsul esle 21.

26. Regula I. Dacd deimmulfitul este nundr concret,

parti;

ori.

www.dacoromanica.ro

16

produsul este i el numer tonere% de acelal fel cu deim-mullitul.

Esemple. I. Un lucrator a primit in 4 zile, cate 6 lelpe zi; cat a primit peste tot ? R. 21 leI, pentru ca 6 lel+6 lel+ 6 lel+ 6 leI =21 lel.

Deinmultitul a fost id. i produsul tot let.S'at cumprat 7 metri de stofa, i s'a platit cate.

5 lei metru; cat costa OM stofa ? E. 35 leI, pentru ca. 5lel + 5 leT + 5 lel+ 5 lel + 5 leI + 5 leI + 5 lel =35 lel.

deimmultitul, i produsul at fost lel.27. Immullirea numerelor de ate o air ?! se face din

memorie.Pentru acesta serva tabla immultfrel numerelor de cate

o cifra, care se pune sub urmatOrea forma prescurtata :

Orizontale

1 2 3

2 1

3

4

5

6

7

8

9

4 5

4 6 8 10

6 9 12 15

8 12 16 v0

10 lb 20 25

12 18 24 80

14 21 28 35

16 24 32 40

18 27 36 45

67 7 8 1 912

18

24

30

36

21

28

35

42

24 1 27

32 1 36

40 1 45

48 54

42

48

54

49 56 63

56 64 72

63 72 81

AcstA tabla, se nuniesce labia lul Pitagvra.Pentru a gnsi inteinsa prod usul a dou numue de ate o

cifra, spre exemplu al lul 8 prin 6, cautam pe deimultitul 8 inprima linie orizontalA, i ne scoboram de la dinsul in jos pan6, la

0a>

14 16 13

II.

.1

,

1

--

--

www.dacoromanica.ro

17

Mita orizontala care trece prin nume'rul 6, pus in prima colOraverticalti la stanga ; i acolo gasim produsul 48.

28. Regula II. and inmultitorul are numai o cifrd.iar deinmultitul mat multe, inmultim cu pe fie-care din cifrele deinmultitulut, mergand de la drpta sprestanga. Dacd hrodusul este mai mic de cat io, ii scriemtsubcifra cu care Pam cdpdtat; iar dacd este Asaimare de cat 10, scriem dedesubt numar unimile hit ,ri num?-rul zecimilor addogim la produsul urmetor.

Esemplu. S. se inmultsca, 3078 cu 6.3078 . . . Deinmultitul.

6 . . Inmultitorul18468 . . . Produsul.

Am zis: de 6 ori 8 fac 48 ; am scris dedesbut cifra 8 a-unimilor, iar 4 de la zecimi ii tinem ca sA-1 adAogim la zecimi.

De 6 orl 7, fac 42; i cu 4, tinute de la Unirill, fac 46 ;scrit pe 6, si tin pe 4.

Urmand tot aa panA la fine, gAsesc produsul 18468.29. Regula III. Cand ,si deinmultitul

ad mai multe cifre, scriem pe inmultitor sub deinmulfit, caIa adunare; pe deinmullit cu fie-care cifrd a in-mullitorulur, dupd regula II, ,ci fie-care produs Ii scriemdedesubt, incepand de sub cifra ininuijitorulzd cu care lain.cdpdtat; adundm tote aceste produse ast-fel (tie sumaeste produsul total.

.Esemplu Sa se inmultsca 28453 cu 607.28453 . . . Deinmultitul.

607 . Inmultitorul.199171

17071817270971 . . . Produsul.

Am inmultit pe 28453 cu 7, i produsul 199171 l'anasods dedesubt, incepand de sub 7.

Am inmultit pe 28453 cu 6, i produsul 170718 l'amscris dedesubt, incepand de sub 6.

49137. AritInetka. Ed.. VI. 2

deinmulfitului

II

inmulfitorul,

pi

.

www.dacoromanica.ro

18

Zecimi nefiind la inmultitor, nu am inmultit cu ele.Adunam cele dou6 produse dobandite, asa cum sunt

aseclate, gasim 17270971, care este produsul total.30. Regula IV. Dacd vre-unul din factort, sail si a-

mndot, all nule a sfiirsit, inmulfim feird sti ne nitaln ladinsele, si le scriem numai la drepta produsulta.

Esemple. Sa se inmultsca 438000 cu 50600.43800050600

2628219022162600000

Am inmultit numaI pe 438 prin 506; si la drpta pro-dusulul 221628, am scris pe cele cinci nule de la deinmultitsi de la inmultitor.

II. SA se inmultsca 4286 cu 1000.Urmand dupa regu1a, gasesc ca produsul este 4286C00.

Asa dar, dacd inmullitorul este 1 urmat de nule, produsulse gtisesce scriind acele nule a drepta deinmulfitulur.

31. Proba inmultirel. Ca sd facem proba inmulfirei,schimbam rtindul factorilor, inmulfim din nal; dacd pro-dusul ce cdpittdm acum este tot una cu cel lucrareaa fost bund.

Esemplu.Inmulfire. Proba

Deinmultit 4608 527 . . . DeinmultitInmultitor 527 4608 . . Inmultitor

32256 42169216 3162

23040 2108Produs 2428416 2428416 . . . Produs

Probleme. I. Un stknjen de lemne costa 58 lel; catvor costa 26 stanjenl? (R. 1508 lel).

II. Un padurar taie si curta 28 de arbori pe zi; catT ar-boil putea el sa tale i s curete In 49 zile? (R. 3 127 arborI).

,si

. .

vs

www.dacoromanica.ro

19

III. Inteo zi sunt 24 de ore, si intr'o ora 60 minute;cate minute sunt in 8 zile ? (R. 11520 minute).

IV. Cat costa 27 bucatT de panza, de cate 56 metrifie-care bucata, cate 2 lei metrul? (R. 3024 lei).

V. Cat costa o mosie de 326 pogke, protul unui po-gon hind de 135 lei? (R. 44010 lei).

VI. Intr'o fabrica lucrza 42 de lucratori, a cate 3 lei pezi de fie-care lucrator. Cat se platesce la tog lucratorii pe zi? catli se platesce pe 6 zile? (R. 126 lei pe zi; 756 lei pe 6 zile).

VII. Un om castiga 118 lei pe luna; cat castiga pe? (R. 1776 lei).

VIII. Cate minute sunt intr'un an de 365 de zile? (R.525600 minute).

IX. 0 carte are 236 pagine ; pe fie-care pagina suntcate 28 de randurl, si in fie-care rand cate 39 de litere ;-cate litere sunt In OM cartea ? (R. 257712 litere).

Impartirea32. Imparfirea este o operatie prin care scadem pe un

nunir din altul de 01e-oil se 'Ate.Num6ru1 din care trebue s scadem, se chiama deim-

,peYrfit; numrul pe care trebiF, scadem, se chiarnaiar resultatul impartirei, se chiama tht.

33. Impartitorul se scrie la drpta deirnpartitului,intre dinsele se pune semnul : care se citesce imparfit cu.

Impartirea se m0 arata si scriind pe impartitor subdeimpartit, si despartindu-I printr'o linie dr6pta orizontala.

Esemple. I. In clasa nstra sunt 24 de scolari, si Infie-care banca incap cate 6 scolari; in cate band vor inca-pea toti colarii? R. In 4 band' ; pentru a punnd 6 sco-lari in banca 1.a, 6 in banca 2-a, 6 in banca 3.a si 6 inbanca 4-a , se implinesce numrul de 24 scolari.

24 este deimpartitul, 6 este impartitorul, si 4 este catul.Acesta irnpartire se scrie asa :

24sail24 : 6,

6

-

sail tut-pIrfiter;

pi

www.dacoromanica.ro

20

IL Cine va vrea sa imparta 20 mere la 5 copii; catemere trebue sa dee la fiecare cate 4 mere ; pentru ca(land mai intal fieadrui copil cate tin mar din cele 20,facand acsta de 4 ori, se isprveso tOte cele 20 de mere..

20 este deimpartitul, 5 este impartitorul, si 4 este catul.III. S'a pldtit cate 7 lei pe metrul de postav ; cati

metri de postav se pot cump6ra cu 25 lei?Vom socoti asa :Din col' 25 lei, pot sd scot de 3 oil cate 7 lei: prim

urmare pot cumpara 3 metri de postav. Insa 3 metri, a 7lei, fac numai 21 leT; prin urmare ail mai rrnas 4 lei, eaearl nu pot cump6ra Inca in metru de postav.

In acest esemplu, impartitorul 7 riu s'a putut sc,ddeadin deimpdrtitul 25, asa incat O. nu mai r6mana uimicNum6ru1 4 care a t6mas se chiama restul imprfire ; ir im-prtirea se zice a nu se face exact.

34. Regula I. Rtstul este tot-d'a-una nue mic de catimptYrfitorul.

35. Din definitia impartirel, precum si din esempleleprecedente, se vede cd, daca adundm pe impartitor de ata-tea oil cate unimi are catul, i daca adunam Si restul, candse afla, trebue sa regasim pe deimprtit. Asa dar'

Regula II. DeimAyitul este egal cu imparlitorulcu catul, plus restul, and se afid

Ast-fel, in esemplul I, 24=6X4 ;in esernplul 11, 20=5X4 ;in esemplul III, 25.7>

21

icu caul, 3 lei; iar restul, 4 lei, este de acela fel cu de-ImpArtitul 25 la

37. Imparfirea numerilor celor mid se face din me-merle.

Esemple. I. SA se linpartA 40 prin 8.Catul este 5, pentru c 8x5----40.II. S. se impart 7 prin 9.Catul este 6, cu restul 3, pentru a 9 X 6+ 3=-57.38. Regula IV. Daca imparfitorul are mar multe

daca inmulfit cu 10 se face mar mare de cat deim-parfitul, despdrfim la stanga deimpdrfitulur una sa doue.cifre, cafe trebite ca porn confine prima cifrd a imparfito-rulur,si numerul desparfitll impartim prin acea prima cifrd

iMpdiforului cu claul afiat, inmulfim pe tot imparfito-produsul acesta II scadem din deimpdrfif. arca scd-

derea se pole face, catul aflat este bun; iar daca nu, el mal.trehue micsorat, si din nod trebue inmulfim pe impdrfitorcit dinsul i produsul sel scddem din deimpdrfit. Restul ce-va remane din acista scadere va fi restul impdrfirer, ci tre-hue sd _fie mar mic de cat imparfitorul.

Esemplu. SA se imparta 24305 prin 4753.Impartitorul este 4753; dacal inmultesc cu 10, adea daa

'1 adaog o nula la lne, el se face 47530, numr maT maxe de catdeimpAi titul 24305; aa dar impArtirea se face dupa regula IV

Deimpartftul . . 24303 4753 ImpArtitorul,23765 5 . . Catul.

R,estul . 540Prima cifra de la deimpArtit, 2, nu pOte coprinde pe prima

cifra de la impArtitor, 4 ; de acea luAm primele dou6 cifre dela deimpartit, i le Impartim eu 4. Catul este 6; insA dacA in-multesc pe 4753 cu 6, gasesc un produs mai mare de cat 24805;de aceea, lag pe 6 si pun pe 5 la cat. Produsul lui 4753 prin.5 este 23765, care este mai mic de cat 24305, si scadut din-tr'insul d restul 540, I-nal mic de cat 4753; prin urmarecatul impArtirel ml 24305 prin 4753 este 5, cu restul 540.

,vi

s

,rul, ,vi

ti-fee,

at

54

www.dacoromanica.ro

22

39. Regula V. Dacd impdrritorul inmulgt en ..to estemai mic de cat deimpdrfitul, desparlim.de Ia stavkz deim-

atatea cifre ate trebue ca th coprindli pe impdr-impdrlim dupd regula IV: La dripta restului ce va

remane, scriem cifra nrmdtOre a deimpdrfitului, i imparlinzdin nod prin imp4r/itov, urnzand ast fel pand se vor terminatote cifrele deimpdrlitului. Dacd vre-una din impdrfirile a-cestea nu se va putea face, vom pune zero la cat, iar lucra-rea se va urma intoczned dupd reguM.

Esemplu. SA se impartg 19110561 prin 3789.ImpArtitorul 3789 inmultit cu 10, face 37890, numr-

mai mic de cat deimpArtitul ; prin urmare vom aplica re-gula V.

Deimpgrtiitul . 19110564 3789 Impartitorul18945 5043 Catul

165561:5156

1400411367

Restul 2637De la dein-1.04ft, am despartit cifrele 19110, ate pot

coprinde pe 3789, si irnpArtind dup. regula V, am gasitcatul 5, pe care l'am scris la cat, i restul 165.

La drepta acestui rest, 165, scriu cifra 5, care vine ladeimpArtit indatA dupg 19110, si formez numrul 1655, pecare il impart rgsi prin impartitorul 3789 ; insa fiind-a-1655 e mai mic de cat 2789, pun 'zero la cat.

Urmand tot asa pang, se terming, tOte cifrele de la de-impartit, ggsesc catul 5043 si restul 2637.

Regula VI. Dacd impdrlitorul are nule Ia fine,le Mthm la o parte ; tdienz ,si de la finele deimpIrfitulut totatatea cifre cate nule all fost la imparfitor, imprfinz nu-nua numerele ce mai relme'n; iar la drepta restuluz scrientcifrele ce am tdiat de la ddmptIrlit.

filar, fi

40.

pdrfitulut

www.dacoromanica.ro

23

Esemplu. S6, se impartA 1046568330 prin 413000.1046568530 413000826 253122052065

1406123916781652

26530Am lnsat la o parte cele trei nule de la drepta Im-

pritoru1u, precum Si cele treT cifre 530, de la drpta de-ImpArtitului, si am impArtit numaY numerile ce a mai r6-mas, adica 1046'568 prin 413. Am gAsit catul 2531 i restul26. La drpta acestuY rest, am scris cifrele 530, thiate dela deimpArtit, asa, c restul adevrat este 26530.

41. Proba imprtirei. Proba in:par/ire se face in-mulfind pe impeir/itor cn thtul ci adunend restul, colnd seaft& Dacd resultatul este egal cu deimpdrlitul, operapa a lostbine fdcuM.

Esemple. I. SA se fac proba impArtirei lig 89816 prim827, la care am gAsit catul 108, farA rest.

827 . . . ImpArtitorul108 . . . CAtul

661682789316 . DeimpArtitul.

IL Am impArtit pe 173509 prin 4582, si am gAsitcatul 37 si restul 3975. SA se faca. pioba.

4582 . . . ImpArtitorul37 . CAtul

3207413746

16953439 3 Restul

173509 . Deimprtitul

,ri

.

www.dacoromanica.ro

24

Probleme, I. Pentru 426 chile de orz s'at platit 8946lei ; cat costa chila ? (R. 21 lel).

II. 31 de Omeni, lucrand impreuna, ai sapat un sant lungde 44-2 metri; cati metri a sapat fie-care din el? (R. Cate 13 m.)

III. S'at platit 708 lei pentru nisce lemne fie-care stan-jen costand cate 59 iei; cati gtanjeni de lemne cumna-rat ? (R. 12 stanjeni).

IV. Un cal merge 56 kilornetri in 7 ore ; cati kilometrimerge pe ora? (R. 8 kilometri).

V. Cine-va cheltuesce pentru hrana sa si a familieisale, 2190 lei pe an ; cat cheltues.;e pe zi, sciind c anulare `,165 zile? (R. 6 lel).

VI. Chila de porumb costa 47 lel; cate chile se potcumpra cu 3423 lel? (R. 115 chile, si mal r6nian 18 lei).

VII. Cine-va are o datorie de 4775 lei, i se invoesceplatsca cate 25 lei pe saptamana, pana la plata datoriei intregl;in cate saptamani se va plati el de.datorie ? (R. In 191 sApt.)

VIII. Un lucrator primesce cate 2 lei pentru fie-caremetru de stofa ce lucreza ; in 24 zile el primesce 288 lel ;cati Meth de stofa, a lucrat el pe fie-care zi ? (R. 6 metri).

IX. Cine-va are un venit de 3066 lei pe an, din carervrea sa economissca a 6-a parte; cate cat trebue sa chel-tniasca el pe zi ? (R. Cate 7 lei).

Probleme asupra celor patru operatiunTcu numere Intregf

I. Un oras este impartit in cinci colori (despartiri), din-tre carl una are 9524 locuitori i 893 case ; a doua, 11910locuitorl si 1013 case; a treia, 7922 locuitori si 729 case ;a patra, 11505 locuitori si 951 case; a cincea, 18137 locuitorisi 1287. case; cati locuitori si cate case are orasul intreg ?

II. Averea cui-va se .compune din o casa, in pret de42536 lei ; dou6 mosil, din earl una de 131508 lei, i altade 416256 lel; o vie de 14000 lei; o pAdure de 32175 lel,si bani in numrtOre 44613 leI ; cat nce tOta averea sa ?

s'at

sit

www.dacoromanica.ro

25

III. Inteo scOlh sunt 83 scolari in clasa f, 57 in clasa II,41 in clasa III si 31 in clasa IV; cati scolari sunt in -kith scOla ?

W. Prate-met cel mai mare s'a nhscut in anul 1858,in ce an va fi el de 43 ani?

V. 17n negutator a cumperat 26 metri de postav cu.385 lel, si vindut cu un castig de 32 let A doua Ora amai cumprat 37 metri cu 547 lei, si '1-a vindut cu untig de 69 lei. CAI' metri de postav a cump6rat el cu totul ?Cat a plhtit in totul ? Cat a castigat cu totul ?

VI. SA se fach socotla cheltuelilor urmhtOre :Haine pentru trei copii . . 98 leiProvisii pentru srbatori . . . 35Un stanjen de lemne . . . . 47Ufa servitOrei. 26

VII. Nisce marfh s'a crunp6rat cu 235 lei i s'a vindutcu 271 leT; cat s'a castigat la dinsa?

VIII. Un merar cantaresce cosurile sale pline cu mere,gasesce ch canthresc cu totul 53 kilograme; cate mere

are el, sciind ch cosurile Ole canthresc 8 kilograrne ?IX. Tata s'a nhscut in anul 1853; de catf ani este el astzi?X. Ion este astazi de 53 de ani; in ce an s'a nhscut el?XI. Un negutator castigh intr'un comert 4251 lei, iar

in altul perde 2633 lei ; cat 'I-a Minas castig curat ?XII. 0 buchthrsh se duce in piatA cu tin bilet de 20

leI; ea cumphrh came de 3 lei, legume de 2 lei, pane de 1leu si cafea de 4 lei; cati bani 'I mai r6man ?

XIII. Cine-va prinde 556 'lei din vintlarea until cal,until bot i unel vaci. Pe cal a luat 362 leT ; pe bou, cu 231lei mai putin de cat pe cal ; cat a luat pe vach ?

XIV. Un om avea 42534 leT ; din acestia el ia 124] 8leI ca fach o cash, i 3248 ca sh platesch o datorie ?cat 'I a mai rmas ?

XV. Un corp de armata consuma pe zi 2856 kilogramede pane, 652 kilograme de came si 1943 kilograme de legume;cath pane, cath carne i cate legume va consuma intr'un an ?

'1-a

saisl

www.dacoromanica.ro

26

XVI. cao locuitori are un district, in care se ancommie cu cate 2114 locuitori, 75 comune cu cate 913 lo-cuitori, 108 comune cu cate 522 locuitori, si 235 comune-cu cate 351 locuitori?

XVII. Cate zile sunt in 36 septarnani?XVIII. Un sticlar pune geamuri la 7 ferestre; fie-care-

ferestra are cate 8 giamuri, i pentru fie-mre giam se pla-tesce cate 2 lei; cat trebue sa primesca sticlarul?

XIX. 0 baterie de artilerie coprinde 6 tunuri; fie-caretun pete trage 25 lovituri pe ora; cate lovituri va puteatrage bateria intrega in 5 ore ?

XX. 13 pers6ne impart intre ele o sung', de ban], sifie care prirnesce cate 22 lei ; cat a fost suma intrega ?

XXI. 18 lucrtori a facut un lucru Ore-care in 16.zile; cate zile ar trebui pentru ca un singur lucrator sa facaacelas lucru ?

XXII. Un ceasornic inaintza cu cate 5 minute pe zi;iar altul r6rnane inapol cu cute 3 minute pe zi ; cu cat va fimai inainte cel d'intaiu de cat cel de al douile peste 15 zile ?

XXIII. Un lucratot este tocmit cu cate 4 lel pe zi;el lucreza 38 zile, si in timpul acesta primesce 69 lei; catmai are de primit ? -

XXIV. Intr'o fabrica lucreza 14 lucratori cu cate 3 leipe zi, si 18 lucratori cu cate 2 lei pe zi; cat va fi platatuturor lucratorilor pe o septamana de lucru, sciind c Du-minica nu se lucreza?

XXV. Un negutator cumpera o bute de 68 vedre de'yin cu cate 13 lei vadra, vinde cu cate 11 lei vadra ;cat a perdut in acest comert ?

XXVI. Cat trebue st pltesca pentru 15 duzine debatiste, fie-care batista costand 35 ban!?

XXVII. Cat costa 13000 crarnicii, a 38 lei mia ?XXVIII. 0 cismea da 18 litri de apa pe alta

mea cla cate 15 litri pe ork iar a treia cate 12 litri ; cati litride apa vor da ele in 2 zile si 6 bore, curgend impreuna ?

ora; cis-

ill

pil

www.dacoromanica.ro

27

XXIX Un negustor cump6ra 525 metri de panza cuate 2 lei metrul; el vinde dintr'insa 85 metri cu catelei, iar restul cu cate 3 lei metrul; cat a castigat?

XXX. Pentru construirea, unel case, s'aa intrebuintat 15lucratori in timp de 13 zile, cate 3 lei pe zi de fie-care. Materialele de constructie aa costat 834 lei. Casa a fostpe urma vinduta cu un castig de 214 lei; cu cat s'a vindut?

XXXI. Un ciasornic intarzie cu 3 minute pe sapta-mann, ; in cate saptamani va intarzia cu o ora ?

XXXII. 9531 kilograme de marfa trebue incarcate In9 carute; cate cat trebue pus in fie-care caruta?

XXXIII. I7n negutator a cumparat 8 metri de pos-tav cu 152 1i, i vrea vanza cu un castig total de 21lei; cu cat trebue sa, vinza fie-care metru de postav?

XXXIV. 0 suma de 931 lei se imparte la 5 persOne;cele dou6 iaa fiecare cate 216 ; cate cat trebue saia fie-care din cele-alte trel ?

XXXV. Nisce marfa a fost cumparata cu cate 3 leikilogramul, s.i a costat 450 lei; cheltuelile de transport aufost de 55 lei. Cat sa se vinda kilogramul de acsta marfapentru a avea un castig total de 93 lei ?

XXXVI. S'a pltit 1800 lei la 25 lucratori pentru 24zile de lucru; cat era platit pe zi fie-care lucrator ?

CAPITOLTJL III.Numere zecimale

Despre fractiunl in genere42. Fragiunea se chiama una sail mai mune din par-

tile egale in earl' se imparte unirnea, sat mai multe unirni.Esemplu. Linia dr6pta AB se imparte in 9 parti egale,

si se ia partea AC, care coprinde 5 parti din aceste; AC

Aeste o fractie din linia intrega.

4

platindu-li-se

d'intaiti

sIt

www.dacoromanica.ro

28

43. Ca sa cundscem marimel unei fractiuni trebue s.scim dona lucruri:

1,0. In cate parti egale s'a impartit unimea ;20 . Cate din acele prtits'a luat.Ast-fel, in esemplul precedent, ca sa, scim cat de mare

este AC, a trebuit s, scim c linia intrga s'a iiiipartit In9 i ca din acele parti s'a luat 5.

Numerul care arattl in gate pdrp egale s'aunimea se chiamii numitor; iar cel care aratcl cate s'aii luat

acele pdr11 .ge chiamd nurnrtor.In esemplul precedent, nuinitorul este 9, iar numra-

torul este 15.Numratorul i numitorul, amibdoi irnpreona, se chiama

iermenit44. Regula I. 0 fraclie .se scrie punand pe numitor

sub numerlitor, j despcirlindu'i prin o linie dreptd; iar lacitire se citesce i,ztjzi numcrlitorul, pe nrmd numitorul, pu-nand intre dan,fil cuvintul din, sail pe, sail a.

Asa, fractia 5 parti din 9 din esemplulprecedent, se va scrie

59 '

si se va piti : 5 din 9; sail 5 pe 9 ; sail 5 a 9-a.45. Regula II. Dintrc doue cari ail acela,r numdrator,

fractia cea mat mica este cea care are numitorul mat mare ;pentru c atunci unimea se imparte in `parti mai multe,da acea partile sunt mai mici.

Esemplu. Fractia ps- este mai mica de cat pentruc i una, si alta coprinde 5 parti din unime ; insa in u-nimea s'a impartit in 9 parti, iar in P8- in 18 parti, prinurrnare partile din sunt mai midi de cat cele din -R.

46. Regula III. Din regula II urmeza, ca dacel se In-multesce numitorul une fraclit cu Ufl numer, fraclia se Im-parte ca acel numer; iar daccl se Imparte numitorul cu unnumer. frac/la se inmultesoe cu acel numer.

parti,impelrfit

fracfier.

;;;

158-

din

www.dacoromanica.ro

29

Escutple. I. Fie fractiafractia 5 5Inmulfindnumitorul cu 3, avem 9X 3=27' care

este de 3 .orl mat mind de cat /55-.Impdrlind nurnitorul cu 3, avern fractia 5 =

3a

care9 : 3 'este de 3 ori mat mare de cat

II. Fractia T1-6 este de 10 off mai mare decatTh de 10 ori mai mare decat 1-1515.; 13175-0. de 10 oil maimare do cat 10-0-; etc.

47. Regula IV. Dintre done fracfil cart ali acelaslnumitor, fragia cea vial mare este cea care are numrtormat mare; pentru ca atunci se iaU mai multe din partile incarl s'a impartit unirnea.

Esemplu. Fractia Tr este mai mare de cat ?,; pentrui in una, i in alta unimea s'a impartit tot in 9 parti, insa, incea d'intaia luat 7 parti, iar in cea de a doua nutnal 5.

48. Regula V. Din regula IV urmz c daccl se in-multesce numeratorul uuei fracjit cv un numer, fragia seinmultesce cu acel numer ; iar dacd se imparte nunterdtorulcv un numer, fraclia se imparte cu acel numer.

Esemplu. Fie fractia4 X2Inmultind num6ratoru1 cu 2, avem fractia 9 9 '

care este de 2 ori mat mare de cat 41.1Implirfind numrtorul cu 2, avem fractia 4 : 2 29 9

care este de 2 oil mar mica' de cat49. Regula VI. Din regulele III i V urmza, c dacet

inmulfim saz impeIrlim ambit terment a unel acelasnumer, val6rea frac/id nu se schimbd; pentru c atunci CUcat se inmultesc de o parte se imparte de cea alta parte.

Esemple. I. Fractia t este tot atat de mare cat i5 X3=159X3 27' pentru ca, inmultindul numratorul cu 3, am fa-

1.Tto

ca,

s'at

8

t.

fracf il" cv

www.dacoromanica.ro

30

,cut'o de 3 ori mai mare ; i inrnultinclu'l numitorul cu 3 amfacut'o de 3 oil mai mica ; asa ca ea a r6mas neschimbata.

II. Fractia este tot atat de mare cat si 6 : 3 nen.

facut'o de 3 offam facut'o de 3

tru Ca, impartindu'i numeratorvl cu 3 ammai mica ; i impartindu'i numitorul cu 3,mai mare; asa ca ea a rtnas neschimbata.

50. Fractiuni zecimale sunt aceleaeste ro, sag zoo, sati z000, saii r0000, etc.

Fractiunile carT pot avea ca numitorchiam frac/hie ordinare.

Esemple. lb- sunt fractiiFractiiie A, sunt fractii ordinare.51. Num6r zecimal se clziamd un

prinde fi intregi, fractie zecimald.

Scrierea numerelor zecimale

in care numitorul

ori ce numr se

zecimale.

numer care co-

52. Regula I. La numerele zecimale, se scrid mai In-tiz dacd sunt; iar dacd nu sunt, se pune o nuld inload lor. Dupd intregr se pune o virguld. Dupd virguld,cea cifrd care vine se socote,ste ca avt'nd de numitorpe ro ; a doua pe roo; a treia, pe r000 ; a patra pe r0000;

a,sa mai departe.Esempu. In nuinrul

36,47853,partea 36 insemnza intregl, dupa cari este pusa virgula.

Cifra 4, care vine indata dupa virgula, este zecimalecu numitorul 10, si se 'numesce din ro.

Cifra 7, care vine a doua dupa virgula, este din 100,i se numesc 7 din roo.

Cifra 8, care vine a treia dupa virgu1a, este din 1000,se citesce 8 din woo.

asa mai departe.

1

ri a

intregit

4

23 ;

A

dintaid

Ii

www.dacoromanica.ro

31

53. Din acest esemplu se vede a, intr'un numrunimile aratate de fie-care cifra sunt de 10 orl mai

marl de. cat unimile aratate de cifra urmatdre, pentru ca nu-mitorii cresc din 10 in 10, cand trecem de ht o cifra la ceaurm6tre. Asa, cifra 4 arata unitti din 10, iar cifra 7 unitatidin 100 ; cele d'intaia sunt de 10 ori mai marl de cat cele de aldoilea. Tot asa unittile ar6tate de cifra 7 sunt de 10 ori maimarl de cat unitatile artate de cifra 8, si asa mai departe.

54. Din acelas esemplu se mai vede ca o fractie zeci-mala pOte coprinde WO de mai multe feluri. Asa in 36,47853,avem 4 p5rti din 10 ; 7 din 100; 8 din 1000 ; 5 din 10000,

3 din 100000.55. Observare. Regula de mai sus nu este alt ceva de

cat regula I de la scrierea numerelor (10), intinsa la frac-iunile

In adevr, dupa acea reguIA, o cifrd pusti la stangaalteia inseinnezd de zece ad nal multe uniteifi de cat driedar fi pusd in local aceleia.

In numrul36,47853

cifra 6 insemnza unimi ;cifra 4, find la drepta unimilor, insemn6za de 10 oil

mai putin de cat daca ar fi la unimi, adica din 10 ;cifra 7, fiind la drpta celor din 10, insemnza de 10

.ori mai putin de cat daca ar fi in locul lor, adica din 100 ;cifra 8, fiind la dr6pta celor din 100, insemnza de 10

oil mai putin de cat ar fi in locul lor, adica din 1000 ;Si asa mai departe.56. Regula III. Pentru a scrie un num& zecimal,

scriem mat mnthii2 Intregi i punem virgula dupddupd virguM scriem num&dtorul frac/id, aFa cd cea din urmdcifrel a luz sit aibit locul ardat de numitorul fracJie, dupdregula I ; iar clacd cif rele numerdtorulut nti sunt de ajunspentru acsta, mar addogim yule hare virguld ,ri num&dtor-

ze-

cimal,

zecimale.

dinsit;

www.dacoromanica.ro

32

Esemple. I, SA se scrie numrul zecimal : dou6zecicirid de intregi, i patru sute dou6 zed SI noun din o mie.

In acest num6r, 25 sunt intrPgii, 429 este numrnto-rul, si 1000 este numitorul. El se scrie asa :

25,429Am sods partea intregn 25, si am pus virgula; pe urma

am scris nurarntorul. 429, asa c& cea din urmA cifrA, 9, skfie din 1000, adicn a treia dupn virgula.

IL SA se scrie : cinci-zeci si sapte din zece mil.Intregi nu sunt, si de aceea se va pune zero in local

lor ; numerntoruL este 57, iar numitorul 10000. Num6ru1 sescrie asa

0,0075Am pus zero pentru intregi; iar dupn virguln, a,m pus

mai int= dou6 nule, pentru c fractiunea fiind din 10000,trebuia ca cifra 7 sn fie a patra chip& virgulA.

Esercieil. S.1 se scrie in cifre numerile urm6tOre :I. Cinci-zeci si opt din o sutn.II. Tref spre-zece din o sutn.III. Doi intregi i trel-zeci i una din zece mil.IV. Dou sute sase dinteun milion.V. NicT un intreg i patru zeci i doi din o sutn de mitVI. Trei mil cinci sute de intregi si patru din o mie.

Citirea numerilor zecimale

57. Reguya. Pentru a citi un num& zecimaCcitimmat Int iii intregir; le urmll citim partea zecimald, carevine dupa virgul4, intocrnal ca Dri cum ar fi intregi, spunand,s.i vumitorul cifrel el de la urmd.

Esemplu. Sn se citscn num6ru1 2,000297.Acest numbr se citesce: doi intregi, i dou6 sute nou6-

zeci i apte dinteun rnilion. Am zis dintr'un Indian, pen-tru cn cifra 7 de la finele pArtif zecimale este a ,thea chip&virguln, si prin urmare dinteun milion.

www.dacoromanica.ro

33

Esercifit. sa se cit6sca numerele:48,502 5,0450010,06 0,3231740,0028 75,271.00,0000005 0,000202

829,060430 500,0007

Proprietap ale numerelor zecimale.58. Regula I. 0 fracliune zecimaM este cu atat mai

mare c' ctt ctfra cea Inca apropiaa dupa vilguM este marmare.

Esesfteplu. Dintre fractiunile 0,054; 0,007034 si 0,01489,cea mai mare este 0,054, pentru ca intr'iusa a doua cifra dupavirgula este 5, pe cand in a doua fractiune este 0, si in a treia 1.

59. Regula II. Un num& zecimal schimbd va-lOrea, dacd i se adaoge sag i se tale ort crite nide. la ince-put sail la fine.

Esemple. Numerul 5,07 este tot atit de mare cat si5,0700, precum si 005,0700. Tot asa, fractiunea 0,0730000este egale cu 0,730 cu 0,73.

Causa este ca, adaogind sat taind nule de la finele untilnumer zecimal, inrnulOm sat impartim, i pe numerator, i penumitor, cu acelas numer; iar nulele adaogite sat taiute de lainceput, nu schimba de loc, nici pe numerator, nici pe numitor.

Ast-fel fractia 0,730000 are de numerator pe 730000 si denumitor pe 1000000; iar 0/13 are de numerAtor pe 73, careeste de 10000 de on mal mic de cat 730000 ; iar de numi-tor pe 100, tot de 10000 de off maI mic de cat 1000000.

Numerele 5,07 si 005,07 sunt egale, pentru Ca aman-doue ail de numitor pe 100.

6o. Regula III. Un num& zecimal se inmulfesce cu zodacd i se mutd virgula cu o triptd cdtre dr pta; se inmul-/eyte cu zoo, data virgula se mug cu doue trepte catre drepta ;cu moo, (lath' se mutd cu trel &epic; cu z0000, dacd se mutdcu patru trepte ; Fi aa mal departe.

49137. Aritmetica. Ed. VI, 3

si

nuz,a

www.dacoromanica.ro

31

Esemple' I. Fie fractiile :7382,501496,73825,01496,738250,1406,7382501,496,

cari nu se deosibesc intre ele de cat prin locul uncle este pus4 vir-gula. A doua dintre dinsele este de 10 off mal mare de cat cea

; a treia de 100 ori mai mare ; a patra de 1000 deoff mai mare, etc. ; pentru a in a doua, virgula este mutata spredrepta cu o treptA; in a treia, cu dou, in a patra, cuArei; etc.

Causa c fractiunea se inmultesce cu 10, cu 100, cu 1000..cand virgula se muta cAtre drepta cu una, dou, trei..., trepte,este a atunci numitorul sell se face de 10, de 100, de 1000...de or! mai mic. Ast-fel in exemplul de mai sus, prima fractieare numitorul 1000000 ; in a doua, 100000 ; a treia 10000;a patra 1000.

II. SA se inmatesca numrul zecimal 23,51 cu 1000.Ar trebui sa mut virgula spredrdpta cu patru trepte ; dar,

ffind-cA nu am patru zeci male, i adaog dou nule, si-lscria 23,5100pe urni mut virgula cu patru -trepte, i asa gAsesc num6rul235400.

61. Regula IV. Un num& zecimal se imparte cu zo,dacd i se mutel virgula cu o triptd spre stanga: se impartecu zoo, dacd virgula se mutd cu ((ma trepte spre stanga ; CU1000, dacd virgula se mutd cu tre trepte spre stanga; ,ri a,samiii departe

Esemple I. Fie fractiunlle :7382,501496,736,2301496,73,82001496,7,382501496,

0,7362501496,

A doua este de 10 ori mai micA de cat cea pentrua virgula este inteinsa cu 0 trpta mai spre stanga de cat in

d'intaiii

d'intaiu,

www.dacoromanica.ro

35

cea d'intait; a treia este de 100 de oil mai mica; a patra,(le 1000 de ori mai mica ; a cincea, de 10000 de oil mai mica.

Causa ca fractiunea se imparte cu 10, cu 100, cu 1000,..cand virgula se muta catra stanga cu una, dou6, trei... trep-te, este ca. atunci numitorul WI se face de 10, de 100, de1000,... de oil mai mare.

Ast-fel, In esemplul de mai sus, prima fractie are numi-torul 1000000; a doua, 10000000 ; a treia, 100000000, etc.

IL sa se imparta num6ru1 zecimal 7,503 cu 10000.Ar trebui se mut virgula spre stanga cu patru trepte;

numerul nu are destule cifre la stanga virgulei, indaog nule, scrit 00007,503. Mutand acum virgula spre.stanga cu patru trepte, gasese 0,0007503.

III. SA se imparta num6ru1 360514 cu 1000.Numerul 380514, fiind intreg, se pOte socoti ca un numr

zecimal, thra parte zecimala ; prin urmare, virgula s'ar puneinteinsul tocmai la fine, dupe cifra 4- Pentru a imparti cu1000, mntam virgula cu trei trepte spre stanga, i gasim

-380,514..Esercitii. I. S. se spuna care este cel mai mare si

care este cel mai mic din numerele urmatOre :0,0125; 0,00838 ; 0,10.

II. SA se scrie una dape alta, in ordinea marirnei lor,fractiile urmatre :

0,23; 0,659 ; 0,0196; 0,4000715 ; 0,2300III. Sa se faca, de 10, de 100, de 1000 de oil mai

mari numerele :7,5426 21,58

15,25143 4,50,417 0,12.

IV. Sa se fan de 10, de 100, de 1000 de oil maimid numerele :

2551,11 1,1837318,392 8,291

815,17 0,5

dir flind-cai.1

www.dacoromanica.ro

36

Adunarea numerelor zecimale.62. Regulk Pentru a aduna mai multe numere zed-

male, le scriem unul sub altul, a,ca ca virgulele sd fie unasub alta. fi adundm ca la numerele intregi; punand la sumdvirgula tot in drcptul virgulelor celor-alte.

Esemplu. sa se adune numerele zecirnale 8,574 ;154,00792; 0,5; 13,2314.

Operatiunea se as6zA asa:8,574

154,007920,5

13,2314176,31332

Eserci/ii. SA se fad, adunArile urrnAtOre:4,558 + 0,7193+ 432,5.1,4091 + 11,53+ 0,00073.0,594 + 18,74 +0,45.9,2504+ 0,17 + 84,00514+ 4693,1.0,0025 + 0,0000333 +0,0000116+0,00001012.

Scaderea numerelor zecimale.

63. Regul. Pentru a scdolea un numrr .zecimal dinaltul, scriem pe scelzNor sub descazut, astfel Ca virgulele sdfie una sub alta; dacd descelzutul are mai Mine zecimale-de cat scdze'torul, addogim nule la fine piina ce are acela,sizum?r de zecimale; pe urna scddem ca la intregi, punandla rest virgula tot sub virgulele cele.alte.

Esemplu. Din 18.59 sA se scadA, 13,0738.DescAzutul are numai dou6 zecimale, pe cAnd scAzty-

rul are patru; de acea la drepta descazutului mai scriemdou6 nule, ca sA aibA si el patru zecimale, si apoi scAdemdui-A regulA

18,590013,07385,5162

7

www.dacoromanica.ro

3 I

Esercifii. SA se facA scAderile urmAtOre28 05 4,3244,387 2,1538,38_ 5,9826

14,524 7.281517,8256 8,14

Inmultirea numerelor zecimale.

64. Regulg. Pentru a face inmullirea numerelor ze-cimale, le inmulpm intoemal ca pe thee numere intregi,fdrela Ina virguldc in Mgare de smd; iar la produs, despelrlimdespre dripta atatea zeczmale cate au fost la amandoue nu-Inerele date.

Esemple. I. SA se inmultsca, 824 prin 52,43.824

52,432472

39961648

412043202,32

Am inmultit ca la intregY, frA a ne uita la virgule,lar de la produs am desp6r1it dou6 zecimale, pentru cN unulAin factori avea dou zecimale, iar cel alt nici una,

II. SA se inmultsca 18,254 prin 4,17.48,254

4,1712777818251

7301676,11918

Am lucrat tot ca la esemplu I; insA de la produs amAespArtit cinci zecimale, pentru cA unul din factori aveatreI zecimale, iar cel alt dou.

www.dacoromanica.ro

38

EserciA se faca Inmultirile urmatdre:3,72 X 4 3,272 X 8,0529,39 X 2,4

215,7 x 8,39456 X 7,13

0,012 x 4 851,0073 X 0,03

33,1705 X 1,171

Impartirea numerelor zecimale.

65. Regula I. Pentru a face impdifirea numerelorzecimale, stergem vii-gula de la impdrfitor, clacd este, tar ladeimpd, fit mutdm virgula spre drepa cu atatea trepte catezecimale a avut impdrEitorul, mid addogind nule la dripterdeimpdifitulia, dacd el a avut mai pufine zecimale de cat

pe urmd impdrfim ca la intregt, punnd vir-gula la cat indatd ce se terminei impdrfirea intregilor de lez

Esemple. S6, se Imparta 634,32 prin 18.

631,32 1854 35,24

904336

72720

Fiind-ca imOrtitorul 18 nu are zecimale, virgula dela deimpartit am lasat-o unde este, si am impartit ca la in-tregi; insa am pus virgula la cat indata ce am terrninatimpartirea intregilor 634 prin 18. Catul este 35,24.

IL Sa se imparta 82,75431 prin 8,69.Impartitorul 8,69 are dou6 zecimale. II stergem vir-

gula, iar la deirnpartit muthin virgula spre drOpta cu dou6

impdt fitorul;

debagarfit.

www.dacoromanica.ro

39

trepte, punand-o dupa cifra 5; pe urma impartim ca la esem-plul I. Catul este 9,522, iar 813 este rest.

8275,431 8697821 9,5225,11

434519931738

25,511738813

III. Sa se imparta 8,364 prin 12.8,364 1272 0,69711610884

0Am impartit ca si in esemplul precedent ; insa, ffind-ca im-

partitorul 12 este mai mare de cat nurnrul 8 al intregilor de ladeimpartit, am pus la cat zero ca intregi. Catul este 0,697.

IV. Sa se imparta 752 prin 4,15.Impartitorul, 4,15 are dou zecimale. Ii tergem vir-

gula, iar la deirnpartit trebue s'o mutrim spre drpta cudoua trepte; si de vreme ce ast deimpartit, 752 nu are ze-cimale, '1 adaogim dou nule. Catul este 181, cu restul 85.

75200 415415 18133703320500415

so.

84

www.dacoromanica.ro

40

66. Regula II. Pentru a gdsi catul impdrfirel nume-relor zecimale cu lin numb- cerut de zecimale, dupd ce ampregatit numerele ca la regula I, addogim nule la dreptadeimparritulul, sad mar tdiem din zecimalele ce are el, pandva avea atatea zecimale cate se cer la cat; ,ri pe urmd im-pdrlim dupd regula I.

Esemple. I. Sa se imparta 3,2517 prin 18,405, catultrebuind sa alba trei zecimale.

Mai intaia prepar numerele ca la regula I, adica stergvirgula de la impartftor, iar la deimpartit o mut cu trei treptespre drOpta. Deimpartitul devine atund 3251,7, si are numalo zecimala ; fiind-ca la cat se cer trei zecimale, 'I mai adaogdou6 nule, si se face 3251,700. Acum impart dupa regula I.

3251,700 1840532517 0,17618405141120128835

122850110430

12420Catul este 0,176.

II. Sa se imparta 1,317852 prin 0,6, mergdnd 'Dana laa doua zecimala.

Preparand numerele dupa regula I, deimpartitul devine13.17852 si are cinci zecimale. La cat cerandu-se numai dou,tail"' pe cele trei de la urma, si fac nurnal imprtirea urmatre:

13,17 611 2,19

573

Catul este 2,19.III. Sa se imparta 369 prin 26, mergand pana la a

patra zecimala.Aci numerele date sunt amandou6 intregi. Nu avem de

www.dacoromanica.ro

41

eat sa punern virgula la drpta deimpartitulul, s1 adaogimpatru nule cerute pentru cat, si sa impartim dupa regula I.

369,0000 26109 14,n23

50240

6080

2Catul este 14,1923.

Esercifit. I. S. se faca impartirile urinate-re :12,548 : 92 5,7 : 0,214

258,32 : 8 524: 8,177,54 : 0,12 310,03 : 4,017

8,4526 : 13,6 71.25 : 3,2427II. Sa se fad impartirile urmatere, catul trebuind sa

alba dou, trel, patru sa due zecimale :1,71 : 3,28 0.81725149 : 7,08

0,00716 : 0,23 413,5 : 752,7 : 8,313 5837 : 817

CAPITOLUL IV.Sistemul metric.

Numirea i descrierea unitatilor de msurd.67. A msura o melritne va s zica a vedea de cate

ori incape Intr'insa o marime cunoscuta, de acela fel, care-se numesce unitatca de mesurel.

.Ast-fel, a m6sura lungimea unei sfori, insemneza, acauta de cate oil incape intr'insa lungimea cunoscuta subnumele de metru; i daca, metrul incape intr'insa de 43 deoff, se zice c sfra e lunga de 43 de metri. Metrul a fostaci unitatea de msura pentru lungime.

De Ore-ce marimile nu se pot msura de cat cu ma-rirrIT de acela fel trebue ca la fie-care fel de marirne detasurat sa avem cate o unitate de m6sura.

www.dacoromanica.ro

42

Principalele marimi ce avem de msurat in viata de tOtezilele sunt : lungimile, suprafetele, volumele, capacittile,greutatlle si valorile banescl. Avem dar sose feluri de uni-tati de m6surrt:

10 Lungimile se msOra cu o lungime nurnita metru ;2 Suprafetele se msOra cu o suprafata numita, metru pci-

trat, care are forma unui patrat, cu tOte laturile de cate un metru ;30 Volumele se msr cu un volum numit metru cub,

care are forma unui cub cu tote laturile de cate un metru ;4 Capacitatea vaselor pentru liquide i grane, se m6-cu o capacitate numita litru ;5 Greutatfle se Inse:Ira cu o greutate numita gram;

Metrul prttrat.4---117ieVeL; --4

lletrul cub.

6 Valorile banescr se msra cu valOrea unei monedede argirn. numita leil.

Aceste saseunitatise nurnesc principah de m&urti.68. Daca rnarirnea pe care voim s o mesuram este prea

mare, este greu a o msura cu unitatea principala de msura.Spre esemplu, daca este vorba a mOsura distanta de la Bu-

curesci pana la Ploesci, ar trebui s punem metrul in lunguldrumului acestuia de cate ori se pOte, ceea ce ar fi prea lung.

De aceea, pentru marimile mai marl, se intrebuinteza u-nitati de msura mai man de cat unitatile principale i anume:unittI de 10 ori mai marl de cat unitatea principala ;

de 100de 1000de 1000077

77 7)

77 77 7)

77 7)

gra

anthill

)1 )7

,,)7 71

)1 71,,

www.dacoromanica.ro

earn

BeER

AS

Num

irea

un i

tatil

or

10 P

entru

lung

init

Met

rul

Dec

amet

rul

..

Ecto

met

rut .

..

.

Kdo

met

rul .

..

.

Miri

amet

rul.

..

.

20 P

entru

sup

rafe

teM

etru

l pat

rat.

..

Dec

amet

rul p

atra

t .Ec

tom

etru

l pat

rat .

Kilo

met

rul p

atro

l.

tmet

rul p

atro

l.30

Pen

tru v

olum

e.M

etru

l cub

..

..

Dec

amet

rul c

ab.

.

Fcto

met

rul c

ub .

.

Kilo

met

rul c

ub.

.

Miri

amet

rul c

ub .

40 P

entru

cap

acita

tlLi

trul

Dec

alitr

ul .

Ecto

lttru

l50

Pent

ru g

reut

ati

Gra

mul

Dec

agra

mul

.Ec

togr

amul

.K

ilogr

amul

..

.

1m

.1

Dm

.1

Em.

1 K

m.

1 M

m.

1 m

pp.

1 D

me.

1 Em

p.1

Km

p,1

Mm

p.

1 m

e.1

Din

e.1

Em1

K m

e,1

Mm

c.

1 L.

1 D

L.1

EL.

1 gr

.1

Dgr

.1

Egr.

1 K

gr.

Cfit

pret

uesc

Form

a ce

au

1 m

.10

tn.

100

m. s

ad 1

0 D

rn.

1000

in. s

an 1

0 Em

.10

000

m. s

an 1

0 K

m.

1 in

. p.

100

m. p

.10

00 m

. p. s

ad 1

00 D

mp.

1000

000

rn.p

. sau

10

) Emp

,10

000

000

m. p

.sa

u 1

00 K

mp.

1 m

. c.

1000

rn. C

.10

0000

0 in

. c. s

au 1

000

Dm

c.10

0000

0000

m. c

. sau

100

0 Em

r.10

0000

0000

000

in. c

,sau

1000

Km

e.

1 lit

ru10

litri

100

litri

sad

10 D

L.

1 gr

am10

gra

me

100

grar

ne sa

d 10

Dgr

.10

00 g

ram

e sa

d 10

Egr

.

Un

pAtr:

en

latu

rea

de 1

mtr,

11lo

mtr.

If77

1110

0 m

tr.7)

)110

00 1

11 tr

.17

.7

1000

0 m

tr.

Un

cub

cu la

t ure

a de

1 m

etru

1.0

met

i i71

1)10

0 m

etri

met

ri10

000

mob

il

c(1--

CD

r..-

(-3(1)

CAD

.

Miri

n

1000

-

1101

1.

..

.

..

..

.

..

.

www.dacoromanica.ro

44

Observam ca unitatile de lungime, de capacitate si degreutate cresc din 10 in 10; cele de suprafata, din 100 in100; iar cele de volum, din 1000 in 1000.

60 Pentru .Monede.Pentru monede nu este obiceiul a se intrebuinta uni-

tati mal marl de cat leul.Esercifii. I. Cati metri fac 18 miriametri, 7 kilometri,

5 decametri 0 525 metri cubic)?II. Cati metri cubici fac 7 kilometri cubici, 22 deca-'

metri cubici 0 425 metri cubici ?III. cag litri fac 426 ectolitri, 3 decalitri i 2 litri ?IV. CAI decarnetri patrati fac 4276 metri patratl?V. Cate ectograme fac 18 kilogr., 37 decagrame i 400 gr.VI. Sa se desfaca in metri cubici, decametri cubici, ecto-

metri cubici i kilometri cubici numrul 36023000508 m. c.VII. Sa se desfaca in metri patrati, decarnetri patrati,

etc. numrul 826005003176 m. p.VIII. A cata parte din tr'un kilometru este un ectometru?IX. A cataparte dintr'unkil. patr. este un ectometru patr.?X. Cate slecagrame coprinde un kilogram?

cag decametri cubici coprinde un miriametru cubic?XII. Cati decalitri se afla intr'un ectolitru?69. Daca marimea pe care voim s o msuram este

mai mica de cat unitatea principala, nu o putem m'esura-cu acsta unitate principala.

Spre esemplu, daca voim s m6suram lungimea unui ere-ion, nu putem s o msuram cu metrul, pentru ca metrul estemai lung de cat creionul, 0 nu incape nici ()data intr'insul.

De acea, pentru marimile mai mid de cat unitateaprincipala, se intrebuinteza unitatl de m6sura mai mid decat unitatile principale i anurne :

unitati de 10 ori mai mid de cat unitatea principala ;de 100 )7de 1000I) 77 11

Numirile acestor unitati mai mid se form6za din nu-merile unitatilor principale, adaogind la incPputul !or cuvin-tele urmatre :Decipentruunitatile de 10 off mai micr de cat unimea principala ;Centi

27 7) 100 77 7/ 77Mili 1000 77 7) 1) )7

XI.

7),

www.dacoromanica.ro

Ap

dar

avem

inc6

,urm

atr

ele

un

ittT

:

Numirea unitritilor Csurri,l'e Cat pretuesc Forma ce ail

10 Pentru lungimiDecinzetrui . . .Centinzetrul . . . .Milimetrul . . .20 Pentru suprafete

Decimetrul ptitrat .Centimetrul pitrat .Milimetrul pear at .

30 Pentru volume

Decimetrui cub . .Centimetrul cub . .Milimetrul cub . .

40 Pentru capacitit1DecilitrulCcntilttrul

50 Pentru greutit1Decigramul . . . .Centigramul. . . .Miligraiiul. . .

60 Pentru monedeBanul

1 din.1 cm1 mm.

1 dmp.1 amp.3 ramp,

a 10a parte din im, sa 0m,1a 100a parte din lm, sau 0m,01, sau Odm,1a 1000a parte din lm, sad 0m,001 sau Ocm,1

a 1001 parte din Impcsau 010,01a 100001 parte din 1mP, sail OmP,0001. sai0dmP,01a 1000000a parte din imp, sail Omp,000001, sau OcmP,01

1 dmc. a 1000a parte din lmo, sau Olnc,0011 cmc. a 1000000a parte din ime. sauOmc,000001, saiip,amc011 mine. a 1000000000a parte dinlmcsauOme,000000001saii0cmc,001

1 dL. a 10a parte din 11,, sail 0 L,11 cL. a 100a parte din 1 L sail 0 L,01, saii OdL,1

1 dgr. a 10a parte din lgr, sau Ogr,11 cgr. a 1000 parte din lgr, sa Ogr,01 sail 0 dgr,11 mgr. a 10000a parte din 1 gr, saU Ogr,001 sat 0 gr,1

1 b. a 100a parte din 11, sau 01,01

Un patr. cu laturoa de 1 dm.)7 '7 Of de 1 cm.If At 1, de 1 mm

Uri cub cu laturea de 1 dm.de 1 cm.de 1 mm

.

n

,

s

www.dacoromanica.ro

46

Observam c unitatile de lungime, de capacitate si degreutate descresc din 10 in 10; cele de suprafata, din 100in 100 ; iar cele de volum, din 1000 in 1000.

Esercifiz. I. CAI milirnetri patrati fac 2 metri pnrati18 centirnetri patrati si 37 milimetri Strati.

II. Cat1 decilitri fac 8 ectolitri 12 litri 7 decalitri?III. Cate centigrarne fac 812 kilograme 27 grame 4

decigrame si 3 centigrame?IV. Cate grame, decigrame, centigrame si rniligyame

fac 83043 miligrarne.V. sa se prefaca in centimetri cubici, decametri cu-

bid etc. numrul 710057380000173 cmc.VI. Sa se desfaca in lei si bani nurn6rul 42705 b.VII. S. se desfaca in metri, decametri, etc. nurnrul

2700514003 centimetri.VIII. Cate decigrame si cate miligrame fac 38790383

miligrame ?IX. A cata parte dintr'un decimetru este un milimetru ?X. A cata parte dintr'un decimetru patrat este un

milimetru patrat?XI. Cate deAmetre cubice incap intr'un decametru cubic?XII. Cate centigrame coprinde un ectogram ?70. Este de observat c unittile de m6sura din fie-care

fel merg t6te crescand sad micsoranclu-se din 10 in 10, afara decele pentru suprafete, care merg din100 in 100, si cele pentru volume, carImerg din 1000 in 1000.

In adev6r, st luam un patrat, ABCD,ale chrui laturi sa zicem c sunt decate 1 metru; p5tratul acesta va fi

F 1 metru patrat. Impartim laturea ADII i I I L 1 in 10 partl egale ; fiecare din acesteA parti este dar de cate 1 decimetru.

Ducand prin fie-care din aceste puncte de irnpartire cate 08

D

www.dacoromanica.ro

47

paralela la laturea AB, despartim intregul metru patrat in10 fasii, lungi de cate 1 metru si late de cate 1 decimetru.

Imparthid acum latura AB in 10 parti egale de Ole un de-cimetru, i prin punctele de impartire ducand paralele la latureaAD, impartim fasia ABEF in 10 patrate egale, a caror latureeste de cate 1 decimetru, si cari prin urmare bunt decimetrepatrate. Asa dar fasia ABEF coprinde 10 decimetri patrati,

fiind-ca intregul metru patrat coprinde 10 fasii de acestea,el coprinde cu totul de 10 orl 10 decimetri patrati sail 100decimetri patrati.

71. SA Warn acum un cub, ABCDEFGH, ale carui laturi szicem ca sunt de cate un metru ; caul acesta va fi 1 metru cub.

/1 E r1

(#cELL

A

Am vzut ca fata ABCD se 'Dote dsparti in 100 deci-metre patrate. Pe fie.care din aceste decimetre patrate septe pune cate 1 decimetru cub : in totul 100 decimetrecubice. Aceste 100 decimetre cubice formza dar un stratcare acopere tOta f4a ABCD, si care este inalt de 1 deci-metru. Daca am pune 10 straturi de acestea unul peste altul,inaltiinea lor totala ar fi dar de 10 decimetri, adeca de unmetru, si prin urmare ar umpie cu totul metrul cub, careeste inalt si el tot de un metru. Asa dar metru cub co-prinde 10 straturi de cate 100 decimetre cubice saa, cutotul, 1000 decimetre cubice.

Tot asa s'ar rationa i pentru cele alte m6suri de su-prafata si de volum.

72. Pentru a cunsce cu usurinta lungimea metruthi,

LI.4

si

www.dacoromanica.ro

48

se intrebuitrteza un bat, lung de un metru, pe care se faimprtirile in decimetri, centimetri si milimetri.

,111

Decnnetrul.Pentru lungimile mai mail, se intrebuinteza panglice

sat lanturi, lungi de 10 sat 20 metri, si imprtite in metrisi decimetri.

Unitatile de greutate se fac de alama sat fier, si a-nume cele mai mari de cat un kilogram, de fer, iar cele maimici de alama.

Pentru decilitru si centilitru,se fac cane de cositor sat de tinichia, cu ferr,tOrta sat Para trta, cari coprind un

un decilitru sat uri centilitru.. Unita-tile mai mail, pentru msurarea granelor,precum este ectolitrul, se fac de lemn.

73. Pe langa unitatile si numirilearatate pana ad, se mai intrebuinteza inpractica si cele urrnatre

Decametru patrat se numesce ar, cand se intrebuin-tza pentru msurarea suprafetelor de pamdrit, precum moiTlivezi, grdini etc.

100 are fac un cc/ar; prin urmare un ectar este egalcu Ufl ectometru patrat.

A 100" parte dintr'un ar se chiama centiar; prin ur-mare centiarul este egal cu metrul patrat.

74. Metru cub se numesce ster cand se intrebuintzapentru m6sura lemnelor de foc.

10 steri fac un decaster.A 10" parte dinteun ster se chiama un decister.75. 0 greutate de 100 kilogr. se chiarna un ciintar metric..0 greutate de 1000 kilogr. so chiama o tond metricd.Esercifir. I. Cati decimetri cubic! coprinde un decister ?II. A catea parte dintr'un decametru cubic este un decaster?

. 2.111 hHhhL 9

litru,

kl 111 11 111111 111111111

ham,

www.dacoromanica.ro

49

III. Cate centigrams se afla int'un cantar metric ?IV. Cate decigrame se Oa in 27 tone 8 kilogr. 304 grams?IT. Cate decimetre patrate fac 37 ectare 18 are si 3

centiare?

Serierea Ei calcularea mrimilor msurate cu unitatile metrice.

76. TOte unitatile de msura aratate pana aci formOzaimpreuna sisiemul metric, i se numesc unitelft metrice.

Aceste unitll1 merg tote crescand sat micsorandu-se nu-mai din 10 in 10, sat din 100 in 100, sat din 1000 in 1000, etc.De aceea sistemul metric se mai chiama i sistem zecimal.

Tot din acesta causa, am vzut ca fie-care din unita-tile mat mid de cat unitatea principala se Krill cu o frac-tiune zecimala, Ast-fel decimetru s'a scris Om-,1; centime-tru Om.,01 ; miligramul, 0gr.,001; decimetrul cubic, Onle.,001;centimetrul patrat, OmP.,0001 ; etc. Sj tot sub forme zeci-male se pOte scrie ori-ce numr de unitati metrice.

Esemple. I. S. se scrie 7 decimetre.1 decimetru este a 10-a parte din metru, prin urmare

7 decimetre sunt 7 a lo-a parte din metru, adecaII. sa se scrie 3 centimetri.1 centimetru este a 00-a parte din metru; asa dar 3

centimetri sunt 3 a 100-a din metru, adeca 0n2.,03.Tot asa 8 miligrame se vor scrie 0gr.,008 ;37 decimetre cubice se vor scrie Ocle,037;58 centimetre patrate se vor scrie OmP.,0058 ;489 ccutimetri cubice se vor scrie 0nic-,000489 ;48 ceritigrame se vor scrie 0gr.,48.III. Sa se scrie in metri 3 ectonietre.1 ectometru este 100m.; asa dar 3 ectometre vor fi 30Com-IV. SA, se scrie in grams 18 kilograme.1 kilogram find 1000gr., 18 kilograme von fi 18000gr.

Sa se sciie nurnerele urmatOre :83 decimetre patrate.49[37. Aritmetica. Ed. VI. 4

Esercitir.

www.dacoromanica.ro

50

139 milimetre cubice.8 centimetre pAtrate.

18 miligrame.36 milimetre cubice.88 bani.8 centilitri.7 decametre.

39 ectometre cubice.8 ectolitri.

96 cAntare metrice.81 kilograme.

77. Regula I. Pentru a scrie in forma zeczmald unnumer ore-care de unitag metrice de mdrimr deosebite, lescriem uncle dupd allele, In ordinea mdrimer kr, incepeindde la cele mar mart, i observiind c trelme sel avem thte ocifrd pentru fie care fel de unime de lungime, de capacitate sagde greutate ; clzte doue czfre, pentru unimile de suprafafd ,side monedd; -1 chte trei ci ire pentru uniinzle de volum.Dacdnu avem acest numer de cifre, sad dath unele felurr de unimilipsesc en totul, implinim locurile gOle cu nule. Pe urmd pu-nein virgula dupd uninzile in care se socotesc cele-alte.

Esemple. sa se scrie lii metri nunirul 92Min Km'4DM. 9m. 5cm.

Fie-care fel de unimi trebue sA alba cate o cifr4, pen-tru cA sunt unimi de lungime.

Scrim fie care fel de unime in ordinea in care s'aildictat punend cate o nulA in locul ectometrelor si al deci-metrelor carT lipsesc ; pe urmft punem virgula dupa cifra 9a metrilor, i ast-fel avem numrul

921049m-,05.II. SA se scrie in metrii cubici 3Kn'c. 725Dmc. 58mc.

3124mc. 25cmc.Aceste unimi fiind de volum, trebue ca pentru fie-care

fel de unimi sA avem cate trel cifre. Trebue incA sA punemnule in locul ectometrelor cubice, curl lipsesc, precum i la

www.dacoromanica.ro

51

metril cubicl si la centimetri cubic, cad afl numai cateklou cifre. Avem ast-fel num6ru1

300725058mc., 312015Am pus virgula dupla metri, pentru c numrul s'a

(:erut a se scrie in metri cubic!.III. SA se scrie in decametri pAtrati num6ru1 8Mmp-

711mp. 3Emp. 9mp. 5dmp.Urmand regula, i punand ate dou cifre pentru fie-

cAre fel de unimi, avem :807030mnp., 0905.

lv. sa se scrie in ectolitri num6ru1 8 decalitri 5 litricentilitri.

Acest num r este :OEL., 8503.

Am pus nul pentru ectolitri, care lipsia.V. SA se scrie in centigrame num6ru1 5Dgr. lgr. 7mgr.Acest num6r este :

45100cgr', 7.VI. SA se scrie in lei num6rul 4231 7bani.Acest nurnr este :

4231,07.Esercilii. SA se scrie in forma zecimale nurnerele ur-

gnatore34Icmp. 38Emp. 8nv. 13emP., in decametrii pAtrati.27EL. 8L. 6, in litri.23451- 29b., in lel.8Kv. 7Egr. 3Dgr. 5rngr., in24tone 7c. I 3Kgr. 12gr. 3egr., in clecagra me.12Dgr' 17egr', in kilograme.3tona 13Kgr. 6dgr., ectograme.78. Regula II. Pentru a face adunarea, saderea, In-

mu4irea imprtirea marimilor mesurate cu unitalile me-trice, le scriem in formeI zecimale ,ci lucrdm dupa reguleledate pentru numerele zecimale.

Esemple. I. S'ail cumparat diuteun loc 8Kgr' 7Dgr. 4gr. 5dgr.

1Kgr.

grame.

in

S

,ai

www.dacoromanica.ro

52

de cafea; din alt loc, 13kgr. 8gr. ; din al treilea loc, 5Egr. 3Dgr.4dgr'; cate kilograme de cafea s'a cumporat cu totul ?

Fiind-ca ni se cere numrul kilogramelor, scriem aceste,trei numere in kilograme, i le adunam dupa regula zecimalelnr:

8kgr-,074513kgr.,008okar.,5304

2 lkgr ,6129Cu totul s'a curnp6rat 21 Kgr. 6Egr. 1Dgr. 2gr 9dgr.

S'a platit cate 4101 1513- metrul de o stof Ore-care;cat vor costa 4Dm. 8m. 7dm. 5. de acesta stofa ?

Scriem primul num6r in leI, pe al doilea in metri,inmulti m : 48m. 75

41. 15243754875

195002021. 3125

Costul stofeI intregi va fi de 2021ey 31banI i fractiuneaob., 25.

III. S'a plait 85101 12ban1 pe 48Kgr* 6Egr' 4Egr. de zachar ;cat costa kilogramul?

Scriem pe primul numr in lel, i pe al doilea in ki-lograme, i facem impartirea pana la a doua zecimala (63),ca sa, gasim banii, pentru ca. banil rnerg pana, la a doua ze-cimala dupa

851- ,12 : 48Kgr',61sa 85121. 0

4864 11. ,7586480340482432024320

0Asa dar kilogramul de zachar a costat 1 let 75 ban)...

II.

lei:

www.dacoromanica.ro

53

Probleme asupra celor patru operatit cu numere zecimale.

I. Cine-va face la bacanie urm6tOre1e cumparaturl: cafea,4 lei 60 bani ; zachar 7 lei 37 bani; un pachet de chibri-turl 60 banl ; luminarY, 4 lei 80 banl; otet, 75 banl. La catse ridica tOt socotla ?

II. 0 bucata de postav are 20m. 38cm.; dintr'insa se ia5m. 30cm. pentru o hain, 2m. 15cm. pentru o pereche de pan-talonl i i 5cm pentru o vesta. cat a mai rmas dinteinsa 2

Un lucrator pune la casa de economie inteun rand27 lel 30 bani ; in altul, 43 lei i 25 ban! ; i in altu 86lei 85 bani. Din acestI bani, el ia inapoi, intr'un rand 11 lel50 buff i in alt rand 39 lel 75 bani. cat 1-a mai rmas.

IV. Dinteo gradina de 8 ectare, 11 are, 7 centiare, sevinde o bucata in intindere de 3 ectare 25 are. cat a mair6inas.

V. Un butoit de yin costa 78 lei 25 banl ; cat costabutOie.

VI. Tona de carbuni de pamesnt costa 58 lel 15 bani;cat vor costa 28t. 416Kg. 8Egr. ?

VII. Cine-va se duce in piata cu un bilet de 20 lei.El cump6ra 2Kgr 350g r. de carne a 85b.kilogramul; 1Kgr. 400gr.de zahar, a 1 let 65 banl kilogramul; 11- 6a de yin a 55bani litrul. Cat 1-a mai rmas din biletul de 20 lei?

VIII. Un lucrator a lucrat la o casa 23 zile, cu cate3 lei 45 bani pe zi; el a primit arvuna 11 lel 60 ban!. Catse cuvine sa mai primesca ?

IX. 0 bucata de stora lunga de 22m. 8em a costat cate3 lei 15 ban! metrul. cat se va c4tiga la dinsa, vinzand-ocate 3 lel 80 bani metrul?

X. Pe un 'Warier il costa o palarie 8 lei 14 bani. Catc4tiga, el la 43 Wadi, vinzandu-le cate 10 lel 20 ban! una ?

XI. Un negutatot cumpara o bucata de panza de 433metri cu cate 1 Je 48 banl metrul; el vinde dintr'insa128m. 16cm. cu cate 1 lea 80 ban! metrul, iar restul cu

III.

9

www.dacoromanica.ro

54

tate 1 let 65 bail metrul. Cat a castigat eL la intregabucata?

XII. La cat se ridiCa in total cheltuelile urmatre:48E1. 3m. 8L. de grail a 12 lel 50 Wait ectolitru. 46E1. 46 D1,de orz a 7 lei 55 bani ectolitru; 2 sape d fer, a tate 5 let'15 bani una ; 3 duzin ie surupuri a tate 56 bani duzina;plata trasurei pentru niers la ora 9 lei 50 bani ?

XIII. Inteun timp de fOrnete se impart 836E1- 181- deporumb la 326 familii ; cate cat s'a dat fie-carei familii?

XIV. 8 carute trebue sa transporte 12thne 8cAntare 76Kgr..de rnarfa ; cate cat trebue s se puna de fie-care caruta?

XV. Un butoib de spirt -de 2881'. a costat 582 lei 20bani; cat costa litrul, de spirt ?

XVI. Inteo casa, se cheltuesce 1428 lel 70 bani pe an ;cat se cheltuesce pe zi ?

XVII. Un lucrator sapa la un sant, i i se platescetate 2 lei 25 bani pe fie-care zi de lucru ; tate zilo trebue

lucreze el, ca sa casiige 42 leT 75 bald?XVIII. 0 mosie de 328 ectare, 13 are, 4 c

vindut cu 72518 lei, tate cat vine ectarul?XIX. Un cultivator are 52E1- 2m. de porumb, pe ciie

vinde cu tate 9 lei 25 bani ectolitru. Cu ceea-cepe porumb, cati ectolitti de grail pOte sa clump( re, sciindc. ectolitru de grab costa, 16 lei 55 bani?

XX. Un zidar lucreza la o casg, si primesce tate 24 162 bani pentru fie-care metro cub de zidarie; casa coprinde172ine 16dcm. de zidarie; cat se cuvine sa, prim6sca zidarul?

CAPITOLTJL VProprietitt ale numerilor

Divisibilitatea79. Un numr se ZiCe ca este divisibil prin altul, a.

tundi cand se imparte esact printr'insul.Ast-fel, 15 este divisibil prin 3, pentru ca se imparte

esact prin 3.

sas'L

pOsemok

www.dacoromanica.ro

55

89. Divisibilitatea cu 2. Un num& este divisibilprin2, atund dind cifra unimilor sele este zero* saz q czjrii ciesob (cifrele cu sot sunt 2, 4, 6 si 8).

Asa, 4580, 3816, 184, sunt divisibil prin 2, pentrucifra unimilor lor este zero, sat 6, sat 4.

81. Divisibilitatea cu 3. Un num& este divisibil prin3 atunci dud, faceind suma cifrelor lug, athst11 sumlf se im-parte esact cu 3.

Fie numiul 4587. Fac suma cifrelor sale;4-F5 -1-8-1- 7=24.

Suma 24 se imparte esact cu.3 (24 : 3-.8); asa darnumkul 1587 este divisibil prin 3.

82. Divisibilitatea cu 9. Un numer este divisthil cuq, atund cnd, suma cifrelor mI1 acestd sumli se inz-

parte esact CU 9.Fie numrel 3017-13. Fac suma cifrelor sale:

3+ 0+1 + 74-4,--1- 3=18Suma 18 sd impaite esact cu 9, (IS : 9.2); at dar

num6rul 301743 este Ovisibil prin U.83. Divisibilithtea cu 4. Un numb- este drisibil prin

4, atund thud numerul fa, mat de cele deice cifre de /a armaale lza se imparte esaa ell 4.

N'urarul 29752 este d visibil prin 4. l entiu ei ulti-mole luI cifre formfzt. num6rul 52, care se iml arte csactcu 4 (52 4=13)

84. Divisibilitatea cu 8. Un numb- este divisibil prin8, atunrt ccind numerul format de cele tree cifre de lcz urmeiale lad se impaite esact cu 8.

Num6ru1 729526 este divisibil prin 8 pentru et ulti-mele lui trei cifre form6zt, numrul 536, care se impartesact cu 8 (536 : 8=67).

85. Divisibilitatea cu 5. Un numer este divisz.bil grin5, *fauna thud c?fra unamilor sale este zero sail 5.

/eland

GA

t

www.dacoromanica.ro

56

Numerile 2870 si 435 sunt divisibile prin 6, pentruca primul se termina cu zero, iar al doilea cu 5.

86. Divisibilitatea cu 6. Un nunar este divisibil prin6, atuncI child e divisibil ,ri prin 2, 7. prin 3.

Num6ru1 4578 se imparte esact i cu 2, si cu 3; asadar el este divisibil i prin 6.

87. Divisibilitatea cu Jo, cu. Ion, cu moo etc.Un num& este divisibil prin 10, cand are la fine un zero ;prin zoo, cand are la fine dor zero ; prin woo, and are lafine tret zero, etc.

Numrul 2780 este divisibil prin 10; num6ru1 .4800prin 100; numrul 385000 prin 1000.

88. Divisibilitatea prin ii. Pentru a cunbsce dac.4 unnumb- este divisibil prin ii, adundm de o parte pe cifrli a

cu a 3-a,.cu etc., de altd parte pe a 2-a cu a4ta Cu a 6-a etc.; scadem o sunid din cea-raltd ; ci dacdferenla este zero, sale dac se imparte esact cu ir, nunaruldat este divisibil prin

Esemple, Fie numrul 2612038. Prima 10 cifra este 2;a treia este 1; a cincea este 0; a saptea este 8; suma loreste 2+1+0+8=11. Suma cifrei a doua, cu a patracu a sasea, este 6+2+3=11. Scazand acsta suma dincea precedenta, gasirn diferenta zero ; prin urmare numaruldat 2612038 este divisibil prin 11.

Fie Inca numrul 8175937. Prima surna este :8+7+9+7=31, a doua suma este 1+5+3=9. Sea-

zand pe a doua din cea gsim diferenta 31 9=22,care se imparte esact prin 11 ; prin urmare num6ru1 dat8175937 este divisibil prin 11.

Divisor% comuni divisori, cel maT marecomun divisor.

89. Divisor al unui num6r se chiama un num6r careii imparte esact.

r6lut a 5-a, ,si

rr.

di

si

d'intaia,

www.dacoromanica.ro

57

Ast-fel 5 este divisor al lui 15, pentru on imparteesact (45 : 5=9).

Un numr 1)1:Ste sA aibA mai multi divisor!. Ast fel 60are de divisor! pe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.De asemenea, num6rul 72 are de divisor! pe 1, 2, 3, 4, 6,8, 9, 12, 18, 24, 86, 72.

go. Comuni divisors la dou6 sat mai multe numeredate se chiamA numerele :..arl impart esact pe tOte numereledate.

Ast-fel 1, 2, 3, 4, 6, 12 sunt comuni divisor! la 60 sila 72, pentru cA impart esact si pe 60, si pe 72.

91. Cel mai' mare comun divisor a dem) sat mai multenumere date se chiamtt cel mai mare dintre numerele car!impart esact de odatA pe tOte numerele date.

Ast-fel vedem cA dintre numerele 1, 2, 3, 4, 6, 12,car! Impart esact de odatA si.pe 60 si -pe 72, cel mai mareeste 12 ; asa dar 12 este cel mai mare comun divisor alnurnerdor 60 si 72.

Cautarea celulf mar mare comun divisor 'nitre doue numere.

92. Regul. Pentru a gdsi pe cel mai' mare comundivisor intre doue numere, imparlim pe cel mai mare printel mar mth; dacd remane rest, cu dinsul impdrlim pe nu-merul cel mai mic; dacd tar remane rest, cu dinsul impdr-lint pe restul precedent; pi urmdm a,ra, pand te imparlirease va face esact; atunci' numerul cu care am imparrit marin urmd este eel mai mare comun divisor cdutat.

Esemple. I. SA se gAsescA cel mai mare comun divisorintre numerele 648 si 288.

Operatia se asez 5. ast fel :

684576

2288216

21087236

1

7272

236

108 72 0

www.dacoromanica.ro

56

Am impartit pe 684 prin 288 ; caul 2 l'am soils d'a-supra lui 288, si am gasit restul 108.

Cu 108 am impartit pe 288 ; am gasit restul 72.Cu 72 am impartit pe primul rest, 108 ; am glisit res-

tul 36.Cu 36 am impartit pe restul precedent, 72, si de asta

data impartirea s'a facut esact.Asa dar numrul 36, cu care am impartit la urm!.1, est3-

cel mai mare comun divisor intro numerelo date 681 si 288.II. Sa se afle cel mai mare comun divisor intre nu

merele 609 si 87.7

609 87609

0Lucrand dupa, regula, am gsit ea chiar cea (..intaitt

impartire se face eact; asa_dar chiar 87, cu care ani im-partit, este cel mai mare comun divisor cautat.

Sa se gasesca cel mai mare comun divisor intra297 si 140.

2 8 4 4297 1401 17 4 1280 1361 16 4

171 41\ 11 01Aplicand regula, am glIsit ca cel mai mare comun divisor

este 1. Asa dar, de vreme ce 1 este cel mai mic din numerileintregi, cele douenumere date nu ail alt divisor comun de cit pe 1.

Numerele care nu at alt divisor comun de cat ipe 1,se numesc numere prime intre dinsele.

Esercifil. S1 Se gasesca ct-I mai mare Lomun diviSorintre nurnerele urmetre :

585 si 225 ;510 si 96 ;

39 si 312 ;378 si 216 ;

1439 si 199 ;408 i 154 ;

III.

www.dacoromanica.ro

59

Numere prime

93. Numer prim este acela care nu se pOte impartiesact de cat prin sine insusl i prin 1.

A sa 7 este numr prim.Eaca lista nurnerelor prime de la 1 pana la In() :1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Descompunerea until numr In factoril sel primi

94. A descompune pe un numer In factori sI prim!va s a gsi numPrele prime earl, inmultfte intre ele,

produc6, pe nurn6rul dat.- Esemplu. A descompune pe 60 in factori primi, va st

qica a gasi numerele prime 1, 2, 3 si 5, earl inmultite intreele fac 60.

95. Regul. Pentru a,descompune pe un numer Infac --tori2- sef rrim7. pe rind cu fie-care numer primen care se tole esa I. de (-tile on' se tote; flumere/eprime en c ul am imprfil s7nE faciord trimr

Esorphr. ;-4rt StJ (.1-scOMpJ; it numi.rul 232 in factorilST p,

)2 2196 263 3z 1 3

1

Numrul 252 s'a putut irnpaiti esact cu num6rul prim2. Catul 126 inca s'a impartit cu 2. Al doilea cat 63 s'aimpartit de dou off cit 3. In fine, 7 impartit cu 7.

Asa dar252.2x2X3X3X7.

Factoril primi al lul 252 sunt dar, 2, 2, 3, 3, 7.

fjicasa

if imp Witsimpli

I lie top.

7 7

www.dacoromanica.ro

60

96. Se chiamA putere a until numr produsul aceluinumr de mai multe ori prin sine insust

Ast-fel 8 x8 X8 este o putere a lui 8.Puterea a doua sat plitratul unui num6r, este produsul

acelui numr luat de dou oil ca factor.Asa, 8X8 este ptratul lui 8.Puterea a treia sail cubul unui numr este produsul

acelui numr luat de trei ori ca factor.Asa, 8 X8 x8 este cubul lui 8.Puterea a patra, a cincea, etc., a until numr este pro-

dusul acelui numr luat de patru, de cincl, etc. oil ca factor.Asa 8 x 8 X 8 X8 este puterea a patra a lui 8.0 putere se scrie, pun 'end .in drpta numrului dat si.

ceva mai sus, uumrul care aratA la ce putere se ridicA el.Asa, pAtratul lui 8 se scrie 82; cubul Jul 8, 83; pu-

terea a patra a lui 8, 84, etc.Numerele 2, 3, 4, cari aratA la ce putere se ridicA nu-

mrul, se chiam4 esponent.Cu modul acesta, numrul 252, descompus in factori

priml, se /Ate scrie mai scurt:

252=22X32X7Esercilit. SA se descompunA in factori primi numerele

450, 72, 810, 540, 144, 96, 324, 216, 378.

Cautarea celuT maT mare comun divisor Intre (loudsad maT Mune numere.

97. Regul. Pentru a afla pe cel mai' mare comundivisor intre doue sail mai' multe numere, le descompunemin factorit lor primt, Fi lutIm pe factoril ce var .fi comunt latOte numerile date, cu cel mat mic esponent ; produsul aces-ior factori este cel mat mare comun divisor atutat.

www.dacoromanica.ro

61

Esemplu. Sa se afle cel mai mare comun divisor alnumerelor, 168, 360, 252.

Descompunnd numerele date in factori primi, avem168=22X3X7;360=28X32X5 ;252=22X32X7

Factorii comuni la tote numerele sunt 2 si 3. II luAmcu esponenVI cei mai mid, i formAm pe eel mai mare co-mun divisor.

22x3=12Esercifil. SA se afle cel mai mare comun divisor.intre

numerele urmtOre :I. 450, 72, 810 ; II. 540, 144, 96; III. 324, 216, 378 ;

IV. 312, 210, 520.

Cdutarea celui mai mic multiplu comun al maTmultor numere.

98. Multiplu al unui numr, se chiama un num6r carese bpparte esact prin num6ru1 dat.

Spre esemplu, 54 este multiplu In! 9, pentru ca se im-parte esact prin 9.

99. Multiplu comun al mai multor numere, se nu-mesce un uumr care se imparte esact prin numerele date.

Spre esemplu, 60 este multiplu comun al numerelor15 si 12, pentru ca se imparte esact prin 15, si prin 12.

100. Cel rnaI mic multiplu eamun al mai multor nu-mere se chiama, cel mai mic din tOte numerele car! se potimprti esact cu numerele date.

Spre esemplu, 60 este cel mai mic multiplu comun alnumerelor 15 si 12, pentru ca nu este Mei un nufar maimic de cat 60, care sa se imparta esact de-odat i prin 15,

prin 12.

www.dacoromanica.ro

62

101. Regul. Pent/ u a glisi pe cel mal mic multiplu.comun al mar multor numere, le descompunem in factorillor prim!, lulim pe factorzi comunt i necomuni, encel ma: mare esponent. Produsul lar va fi eel mai mictiplu comnn cautat.

Esemplu. SA se afle cel mai mic multiplii comun alnumerelor 168, 368 si 252.

Aceste numere, descompuse in factoril lor primi, sunt:168==.2'X3X7.360---23X32X5,252.22x32>

63

cle cate on numratorul este mai mare, de atatea oil frac--tiunea este mai mare.

In fine scim (9) ca, valrea unei fractii nu se schimbadaca inmultim sa impart'im, i pe num6ratoru1, i pe nu-mitorul ei cu acelas numr.

103. Numer fracfionar se chiamA un numr care co-prinde i intregi, i fractil. Ast fel 7+1 sail '71 este un nu-tn6r fractionar.

Fracliune subunitard este acea in care numrAtoruleste mai mic de cat numitorul.

Fracfiune supraunitara este acea in care num6ratoru1este mai mare de cat numitorul.

Frac/lune equiunitara este acea in care num6ratoru1este egal cu numitorul.

Esemple. Fractiunea -,5r, este sub-unitara ; 1T este su-praunitara ; -7r este equiunitara.

104. Fraeliunea subunitard este mai mica de cht uni-.tatea, pentru ca coprinde parti mai putine de cat dinsa.

Ast-fel in fractia 4-, unimea s'a impartit in 7 parti,s'aa luat numai 5 din ele.

Fracliunea supraunitara este mat mare de cat I, pen-tru ca coprinde parti mai multe de cat dinsa.

Aa in y, o unime s'a imparit In 7 parti, insa fractiadata coprinde 10 ; adica s'a luat o unime Intrga, 0 3 partidin alta unime.

Fracfiunea equiunitara este eg-ala cu I, pentru C co-prinde tot atatea parti cat si dinsa.

105. Reguld, Pentru a gasi intregit ce coprinde ofrac/ie supraunitara, impartim pe numerator prin numitor,tar restulut, claca este, 'I dam de numitor tot pe