ARBORI n arbore - Propozi¥£ia 2. Orice arbore cu n>=2 noduri con¥£ine cel pu¥£in dou¤’ noduri terminale

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ARBORI n arbore - Propozi¥£ia 2. Orice arbore cu n>=2 noduri con¥£ine cel...

  • 1

    ARBORI

    Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă va sosi cablul dintr-un singur loc şi, eventual, de la ea va porni cablul către altă casă. Dacă analizăm situaţia prezentată prin prisma teoriei grafurilor, vom avea un graf conex (fiecare casă trebuie conectată), iar graful nu va conţine cicluri. Dacă ar conţine un ciclu, atunci, evident, putem renunţa la cablul care uneşte două case care aparţin ciclului respectiv. Astfel, obţinem un graf cu proprietăţile de mai sus, numit arbore. În figura de mai jos este reprezentat grafic un arbore

    Arborii au fost numiţi astfel de cãtre Cayley în 1857, datoritã aspectului asemãmãtor cu arborii din botanicã. Cayley a studiat arborii şi posibilitatea aplicãrii lor în chimia organicã

    ARBORELE LIBER Definiţia arborelui liber

    Se numeşte arbore liber A un graf neorientat conex şi fără cicluri.

    Observaţie. De obicei se omite adjectivul „liber”, referirea la un graf conex aciclic făcându-se numai cu numele arbore. Definiţie Se numeşte subarbore al arborelui A=(X,U), orice arbore S=(Y,V) care are proprietatea: Y⊆⊆⊆⊆X şi V⊆⊆⊆⊆U. Exemplu 1 Graful G1 cu 8 noduri din figură este un arbore (un graf neorientat conex şi aciclic), iar graful G2 este un subarbore al acestuia.

  • 2

    Proprietăţile arborilor liberi

    Teorema 1 Următoarele definiţii sunt echivalente pentru un graf G cu n noduri şi m muchii: (1) G este un arbore. (2) G este un graf aciclic cu n-1 muchii. (3) G este un graf conex cu n-1 muchii. (4) G este un graf fără cicluri maximal (dacă în graful fără cicluri G unim două noduri oarecare neadiacente printr-o muchie, graful obţinut conţine un ciclu). (5) G este un graf conex minimal (dacă în graful conex G suprimăm o muchie oarecare, graful obţinut nu mai este conex). (6) Orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ şi numai unul. Demonstraţie. Este suficient să se demonstreze implicaţiile (1)⇒(2), (2) ⇒ (3), (3) ⇒ (4), (4) ⇒ (5), (5) ⇒ (6) şi (6) ⇒ (1). Prin tranzitivitatea acestor implicaţii rezultă implicaţiile (2) ⇒ (1), (3)⇒ (2), (4)⇒ (3), (5) ⇒ (4), (6)⇒ (5) şi (1) ⇒ (6). Din aceste implicaţii rezultă că (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3), (3) ⇒ (4), (4) ⇒ (5), (5) ⇒ (6) şi (6) ⇒ (1). Din tranzitivitatea relaţiei de echivalenţă rezultă oricare două din cele 6 propoziţii sunt echivalente. (1) ⇒ (2). Ipoteza: Graful G este conex şi aciclic – din definiţia arborelui (1). Concluzie: Graful G este aciclic şi are n-1 muchii (2). Proprietatea că graful G este aciclic este comună ipotezei şi concluziei. Trebuie demonstrat doar că un graf conex aciclic are n-1 muchii. Dacă G este conex aciclic, nu trebuie eliminată nici o muchie pentru a se obţine un graf parţial conex aciclic. Cum numărul de muchii care trebuie eliminate dintr-un graf conex pentru a obţine un graf parţial conex aciclic este egal cu m-n+1, înseamnă că în acest caz, m-n+1=0. Rezultă că m=n-1. (2) ⇒(3). Ipoteza: Graful G este aciclic şi are n-1 muchii – din definiţia arborelui (2). Concluzie: Graful G este conex şi are n-1 muchii (3). Proprietatea că graful G are n-1 muchii este comună ipotezei şi concluziei. Trebuie demonstrat doar că un graful cu n-1 muchii fiind aciclic este şi conex. Se ştie că într- un graf cu p componente conexe, numărul de muchii care trebuie eliminate pentru a obţine un graf parţial aciclic este egal cu m-n+p. Graful G este aciclic (m-n+p=0) şi are n-1 muchii (m=n-1) şi (n-1)-n+p=0. Rezultă că p=1 (graful are o singură componentă conexă, deci este conex). (3) ⇒ (4). Ipoteza: Graful G este conex şi are n-1 muchii (3).

  • 3

    Concluzie: Graful G este aciclic maximal (4). G fiind conex, numărul de componente conexe p este egal cu 1. Numărul de muchii m ale grafului G este egal cu n-1. Rezultă că numărul de muchii care trebuie eliminate din graful G ca să se obţină un graf parţial aciclic este egal cu: m-n+p = (n-1)+n+1 = 0, adică nici o muchie. Rezultă că graful G este aciclic. Graful este maximal pentru această proprietate, deoarece fiind conex, orice muchie [xi,xj] care se va adăuga va forma un ciclu cu lanţul L(xi,xj) – existenţa acestui lanţ rezultă din conexitatea grafului G. (4) ⇒ (5). Ipoteza: Graful G este aciclic maximal (4). Concluzie: Graful G este conex minimal (5). a. Presupunem că graful G nu este conex. El are cel puţin două componente conexe: C1 şi C2. Înseamnă că există două noduri x∈C1 şi y∈C2 pe care le putem lega cu muchia [x,y]. Dar, din ipoteză, rezultă că orice muchie am adăuga la graf, el va conţine un ciclu. Rezultă că prin adăugarea muchiei [x,y] graful va conţine un ciclu şi că, între nodurile x şi y există deja un lanţ şi ele aparţin aceleiaşi componente conexe, ceea ce contrazice presupunerea făcută. Înseamnă că graful G este conex. b. Presupunem că graful G care este conex nu este minimal cu această proprietate. Înseamnă că prin eliminarea unei muchii se obţine graful parţial H care are n noduri şi m-1 muchii, este conex şi aciclic. Graful G fiind conex şi aciclic, înseamnă că numărul de muchii care trebuie eliminate pentru a obţine un graf parţial conex aciclic este egal cu 0, adică m-n+1=0 şi m=n-1. Numărul de muchii ale grafului H este egal cu m-1=n-2. Fiind aciclic înseamnă că numărul de muchii care trebuie eliminate pentru a obţine un graf parţial aciclic este egal cu 0, adică (n-2)-n+p=0. Rezultă că p=2, adică graful parţial H conţine două componente conexe, ceea ce contrazice presupunerea că el este conex. (5) ⇒ (6). Ipoteza: Graful G este conex minimal (5). Concluzie: Orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ şi numai unul (6). Graful G fiind conex, înseamnă că există cel puţin un lanţ care leagă oricare două noduri x şi y. Presupunem că există cel puţin două lanţuri între nodurile x şi y: L1 şi L2. Înseamnă că, suprimând o muchie din lanţul al doilea, graful rămâne conex, deoarece nodurile x şi y vor fi legate prin lanţul L1, ceea ce contrazice ipoteza că graful G este conex minimal. Rezultă că cele două noduri x şi y nu sunt legate decât printr.un singur lanţ. (6) ⇒(5).Ipoteza: Orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ şi numai unul (6). Concluzie: Graful G este conex şi aciclic – din definiţia arborelui (1). Deoarece în graful G, orice pereche de noduri x şi y este legată printr-un lanţ, înseamnă că graful G este conex. Presupunem că graful G conţine cel puţin un ciclu. Considerând două noduri oarecare x şi y care aparţin acestui ciclu, înseamnă că între cele două noduri există două lanţuri diferite, ceea ce contrazice ipoteza. Rezultă că graful G este aciclic.

  • 4

    Propoziţia 1 Orice arbore cu n noduri are n-1 muchii. Demonstraţie. Arborele fiind un graf conex minimal, înseamnă că are n-1 muchii. Propoziţia 2. Orice arbore cu n>=2 noduri conţine cel puţin două noduri terminale. Demonstraţie prin reducere la absurd. Presupunem că nu există decât un singur nod terminal x. Oricare alt nod din arbore are cel puţin gradul 2. Alegem din arbore, dintre lanţurile elementare care au o extremitate în nodul x, lanţul de lungime maximă: L(x,y). Nodul y având gradul mai mare decât 1, înseamnă că mai există, în afara nodului care îl precede în lanţ, cel puţin un nod z care este adiacent cu el. Lanţul fiind elementar, înseamnă că nodul y nu există în lanţ decât la extremitatea lui, iar muchia [y,z] nu face parte din lanţ şi putem adăuga această muchie la lanţ. Lanţul fiind de lungime maximă, înseamnă că nodul z aparţine lanţului şi prin adăugarea acestei muchii la lanţ se închide un ciclu, ceea ce contrazice definiţia arborelui (graf aciclic).

    ARBORELE PARŢIAL Să presupunem că într-un judeţ se impune repararea tuturor şoselelor care unesc diversele localităţi. Pentru aceasta s-a obţinut un credit extern care permite ca toate şoselele să fie recondiţionate. Desigur, se doreşte ca repararea şoselelor să se facă cât mai repede, dar, în acelaşi timp, trebuie ca în timpul reparaţiilor să se poată circula, astfel încât să nu rămână localităţi inaccesibile pentru traficul rutier. Se cere un număr minim de şosele care să nu intre în reparaţii în prima fază, astfel încât condiţia de mai sus să poată fi respectată. Dacă considerăm graful în care nodurile sunt localităţile, iar muchiile sunt şoselele, va trebui să păstrăm un număr minim de muchii, astfel încât graful să rămână conex. Care este acel număr minim de muchii care conservă conexitatea? Evident, n-1. Cum graful rămâne conex, în urma eliminării anumitor muchii se obţine, aşa cum rezultă din teorema dată în paragraful anterior, un arbore. Definiţia arborelui parţial Dacă un graf parţial al unui graf G este arbore, el se numeşte arbore parţial al grafului G

    Teorema 2

  • 5

    Un graf G conţine un arbore parţial dacă şi numai dacă este un graf conex. Demonstraţie. Notăm cele două propoziţii, astfel: (1) – Graful G conţine un arbore parţial. (2) – Graful G este conex. Trebuie să demonstrăm că (1) ⇒⇒⇒⇒ (2) şi (2) ⇒⇒⇒⇒ (1). (1)⇒⇒⇒⇒(2). Să considerăm că graful G conţine arborele parţial H. Din definiţia arborelui rezultă că H este un graf con