Apuntes deMatemtica Discreta

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PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETACurso 1996-97

1.- Conjuntos y aplicaciones.Nocin intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unin e interseccin deconjuntos, producto cartesiano.Definicin de aplicacin, tipos de aplicaciones, composicin de aplicaciones, inversa de unaaplicacin.

2.- Relaciones y grafos.Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden,conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse.Conceptos bsicos y terminologa de grafos. Conexin de grafos. Grafos eulerianos yhamiltonianos. Grafos planos. rboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.

3.- Teora elemental de nmeros.Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, bsico y extendido. Nmeros primos. Teoremafundamental de la aritmtica. Principio de induccin. Ecuaciones Diofnticas.Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas denumeracin.

&RPELQDWRULD \ UHFXUUHQFLD

Principio de inclusin exclusin. Permutaciones con y sin repeticin. Combinaciones con ysin repeticin. Frmulas combinatorias, teorema binomial.Sucesiones definidas por recurrencia. Resolucin de relaciones recurrenter por iteracin.Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funcionesdefinidas recurrentemente.

&iOFXORGHSURSRVLFLRQHV

Sintaxis. Deduccin natural. Tablas semnticas. Resolucin.

%LEOLRJUDItD

Epp, S. S. Discrete Mathematics with Aplications. Ed. Wadsworth Publishing Company(1990).Biggs, N. L. Matemtica Discreta. Ed. Vicens Vives (1994).Bujalance, E. Elementos de Matemticas Discretas. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)Bujalance, E. Problemas de Matemticas Discretas. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)Liu, C. L. Elementos de Matemticas Discretas. Ed. McGraw-Hill (1995).Grimaldi, R. P. Matemtica Discreta y Combinatoria. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana(1989).

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&21-81726

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Representacin

A subconjunto de B : A B, o B AA subconj. propio de B : A B, o B A (notese como desaparece la lnea de igual al excluirsetal posibilidad)

Propiedades de la relacin reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A A

antisimetrica (no simetrica) : si A B y B A A=B

transitiva (B hace de intermediario) : si A B y B C A C

Se considera que todo conjunto no vaco tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.Las expresiones x A y {x} A son equivalentes, ambas expresiones significan que elconjunto que tiene a xcomo nico elemento es subconjunto de A.

$OJXQRV FRQMXQWRV

Nulo o {} : Es aquel que carece de elementos.Ojo ! : | |=0 pero { } porque este conjunto ( { } ), tiene un elemento: el nulo.

Universal U : Es la coleccin de todos los elementos implicados en el problema a considerar.

Iguales A=B : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden orepeticin.

Diferencia A- B : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : AB={x| x A,x B} )

Diferencia simtrica A B : (A B)(A B)= (A B ) ( A B), es decir, = { x A o x B | x A B }Potencia P(A)Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de A.

Para todo elemento hay 2 opciones: excluirlo o incluirlo, por lo tanto hay 2*2*2..(n veces)seleccionesposibles. Por tanto, :

dado A de n elementos, |P(A)| = 2n = K=0n( )Kn = Cn,k (Incluyendo A y )

Ej: Si A={a,b,c} P(A)={ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, A }

8QLyQ LQWHUVHFFLyQ \ FRPSOHPHQWDFLyQ

Conj. Unin A B : Es el formado por los elementos que pertenecen al menos a alguno de losdos.

A B ={x U x A x B}Conj. Interseccin A B : Es el formado por los elementos que pertenecen a la vez a ambosconjuntos.

A

B ={ x

U x A y x B},Si su interseccion es nula, se dice que A y B son disjuntos.

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Complementario

A o A : (De un conjunto A), es aquel cuyos elementos no son A : A ={ x |x U, x A}

Propiedades de la interseccin, complementacin y unin1 A = A

A = 2 A A = A A = A Idempotencia3 A B = B A , A B = B A Conmutatividad4 (A B) C = A (B C) Asociatividad (A B) C = A (B C)5 A (B C) = (A B) (A C) Distributividad A (B C) = (A B) (A C)6 A U = U

7 A A = U , A A =

8 ( ) ( )A B A B, A B A B = = Leyes de Morgan9 A (A B) = A (A B) = A

y otra de regalo : A- B = A B , Demostracin : x (A- B) x A y x B x A y x B x A B

Demostracin 8 : ( )A B A B (Ley de Morgan) : x ( )A B x A B x A y x B x A y x B x A B

: x A B x A y x B x A y x B x A B x ( )A BLa interseccin, complementacin y unin de conjuntos, se conocen como OperacionesBoleanas en honor

a George Boole, que se marco este rollo aun sin tener idea de su utilidad.

Producto cartesiano (A B)

DefinicinDados A,B U , Se define Producto Cartesiano de A por B (A B) como el conjunto loselementos

formados por todos los posibles pares del tipo (a,b) a A, b B.Ojo ! : (a,b) es un par ordenado, por lo tanto (a,b) (b,a) salvo que a=b, y no es lo mismo (a,b)que {a,b}

Propiedades|A B|=|A||B| (Regla del producto)Si tenemos A,B,C,D , entonces A B=C D A=C,B=D ?(A A ) B (A B) (A B) es decir: (a a , b ) ( (a,b) , ( a ,b) ) ?

Alejandro Ramirezes decir: (a ( , b )= ( (a,b) , ( ,b) )

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(A B) (A B)=(A B) (A B) ?Las coordenadas de los pares de A B definen un paralelogramo de lados paralelos a los ejes.Dados A,B U, cualquier subconjunto de A B se denomina relacin de A a B. Si B=A, larelacin se denomina relacin binaria en A (A A).

Ej : Para A={1,2,3}, B={2,5}. Son relaciones de A a B : , {(3,2)}, {(2,2),(1,2)}, A B,...El conjunto de todas las posibles relaciones posibles, es P(A B), y siendo |A|=m, |B|=n, como yavimos antes, tenemos que |P(A B)|=2mnAplicaciones (o Funciones -significa lo mismo- )

DefinicinSe define Aplicacin de A a B (f: Afi B), como la relacin que asigna a todo elemento de A unnico

elemento de B.

Es decir, para " x A, sin excepcin, $ un y solo un y B y=f(x). Por ello, |A| |B|Observese que cuando A y B son conj. finitos, el nmero de posibles funciones es B A

(Regla delproducto) .

En una f : Afi B, A y B se llaman dominio y codominio de f.

Conceptos Dados f:A fi B, g:Cfi D, se dice que f(a) y g(c) son Iguales (f=g), si y solo si : A=C y

B=D.Ojo ! : Aun cuando 2 funciones tengan un dominio comn A, y se cumpla f(a)=g(a), es posibleque f g.

Ej : Sea f : Zfi Z, g : Z fi Q, donde f(x)=x=g(x) para " x Z .Pero debido al codominio : f g!, porque f es inyectiva y suprayectiva, y g solo inyectiva.

Conj. Imagen (Im f), se define como : Im f = {b B $ a A, b=f(a)} ; b se denominaimagen de a.

F. Identidad (de un conj. en si mismo) : Se define como f:A fi A f(x)=x para " x A. F. Inclusin : Se define como in:A1 fi A in(x)=x para x A ? F. Restriccin

Sea f:Afi B y A1 A, se denomina Restriccin de la funcin f al conjunto A1 a la funcin g: A1fi B

Ademas, f se denomina Ampliacin de la aplicacin g.

Tipos de aplicaciones

InyectivaAquella en la que no existen dos elementos de A con la misma imagen.Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A| |B|. Ejemplo: la inclusinSobreyectiva (o suprayectiva)

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Aquella en la que todo elemento de B es imagen de un elemento de A( B siempre esta cubierto, es decir : " b B $ al menos un a A f(a)=b)Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A| |B|

BiyectivaAquella que es a la vez inyectiva y Sobreyectiva.Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|=|B|Propiedad:

Sea f:Afi B A,B finitos, si |A|=|B| y f es inyectiva tambin ser sobreyectiva y tambinbiyectiva.

Proyeccin sobre la 1a y 2a coordenadaSean los conjuntos A,B, y D A B : Se denomina proyeccin sobre la 1a coordenada a la aplicacin p A :Dfi A definida por

p A (a,b)=a. Se denomina proyeccin sobre la 2a coordenada a la aplicacin p B :Dfi B definida por

p B (a,b)=b. De forma general : p :Dfi Ai1 Ai2 ... Aim definida por p (a1, a2, ..., an)=( ai1, ai2, ...,

aim) es unaproyeccin de D sobre las i1-sima, i2-sima, ..., in-sima coordenadas.

(ver ejemplo en Grimaldi 82 3.12)

&RPSRVLFLyQ GH DSOLFDFLRQHV

F. compuesta (f g) : Siendo f:Afi C, g:Bfi C, f compuesta con g es (g f)(a)= g(f(a)) para " a A

La composicin : -es asociativa [h

(g

f)](a) = [(h

g)

f](a) no es conmutativa g f f g

Propiedades 1) f,g inyectivas

g

f inyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. a) 2) f,g Sobreyectivas

g

f Sobreyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. b)3) f,g biyectiva

g

f biyectiva Se desprende de las anteriores.4) g

f inyectiva

f inyectiva5) g

f Sobreyectiva

g Sobreyectiva6) La composicin de funciones es asociativa : ((h

g)

f)(x)=(h

(g

f))(x)

Demostraciones :

1) Sea a1, a2 A (g f)(a1)= (g f)(a2),Entonces, (g

f)(a1)= (g f)(a2) g(f(a1))=g(f(a2)), pues g es inyectiva.Adems f(a1)=f(a2) a1=a2 porque f es inyectiva.Por tanto, g

f es inyectiva.

2) Para g

f :A fi

C, sea z

C.Para g suprayectiva

$

y

B, con g(y)=z. Para f suprayectiva

$

x

A, con f(x)=y.Por tanto, z=g(y)=g(f(x))=(g

f)(x). Al ser vlido para cualquier z

C, queda demostrado

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que gf es suprayectiva.6) Para ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x)))

((h g) f)(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)))

$SOLFDFLyQ LQYHUVD

F. Inversa (f-1) : f-1(y)={x A f(x)=y}

Otra definicin de inversa de f:A fi B es g:B fi A g f=IdA y adems f g=IdBEj: f=x2, f-1= x2 ; f-1(4)={2,-2} ; f-1(2,6,8,4,16,25)={ 2, 4, 5} ; f-1(11,12,13,14)=

Propiedades Si f tiene inversa esta es nica.

Demostracin :Sean g1 , g2 inversas de f :Afi B, observando que g1 f =IdA , f g1= IdB,g2 f =IdA , f g2= IdB,

resulta fcil demostrar que g1=g2 : g1 = IdA g1 = (g2 f ) g1 = g2 (f g1) = g2 IdB = g2 f es inversible f es biyectiva

(Suponemos que dado f :A fi B, existe f -1 , lo cual probara que f es biyectiva, es decir sobreyectiva einyectiva)

Por definicin de inyectiva : a1,a2 A1 f(a1)=f(a2) a1=a2 Comprobamos que es inyectiva aplicando inversas :

f -1 (f(a1))= f -1 (f(a2)) fi ( f -1 f)(a1)=( f -1 f)(a2) fi a1=a2 Por definicin de sobreyectiva : " b B $ f(a)=b Hemos supuesto que dado un b B, $ f -1 (b) A f(a)=f( f -1 (b))=b Y puesto que f f -1 =Id(b), es lcito afirmar b=Id(b)=( f f -1 )(b)=f( f -1 (b))=f(a)

Por ser sobreyectiva, para cada b B, $ algn a A b=f(a). Con lo quedadefinida una funcin

g :Bfi A g(b)=a. El nico problema sera que g(b)=a1 a2=g(b) debido a quef(a1)=b=f(a2), pero

esto no ocurre porque f es inyectiva. Por lo tanto, g= f -1 .

PropiedadesSi A1,A2 A, B1,B2 B, entonces :

1 A1 A2 f(A1) f(A2)2 f (A1 A2) = f(A1) f(A2)3 f (A1 A2) f(A1) f(A2)4 A1 f -1( f(A1) )5 B1 B2 f -1(B1) f -1(B2 )6 f -1(B1 B2) = f -1(B1) f -1(B2 )7 f -1(B1 B2) = f -1(B1) f -1(B2 )8 f ( f -1(B1)) B1

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5

5HODFLRQHV\

HODFLRQHV\

JU

JUD

DI

IRV

RV

Relaciones binarias y de equivalencia. Conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntosordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptosbsicos y terminologia de grafos. Conexin de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos.Grafos planos. Arboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafosRelacin R: Es cualquier subconjunto de A B que cumpla la propiedad en concreto. Es decir, siendo x A,y A y grafo(grfica) R R A A, decimos que xRy si

(x,y) REl n de relaciones subconjuntos de A B ser 2 A B

Relacin n-aria: Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A1 A2 ... An(Una relacin binaria sera una relacin de A1 A2)Propiedades que puede cumplir una relacin:

1) Reflexiva, si " a A aRa2) Simtrica si " a,b / aRb bRa3) Transitiva, si " a,b,c / (aRb y bRc) aRc4) Antisimetrica, si " a,b / (aRb y bRa) a=b Todo elemento cumple las tres primeras consigo mismo. Cuidado con la 4: nosimetrica antisimetrica

Matriz de una relacin A B: - filas = elementos de A, columnas = elementos de B 1 si (ai,bj) R , 0 si (ai,bj) R

Relacin equivalente ~: Es la relacin binaria que verifica las propiedades reflexiva, simtricay transitiva.

Clase de equivalencia [x]: Dada una relacin de equivalencia en un conjunto A, se defineclase de equivalencia de un a A, como el conjunto de elementos de A equivalentes alelemento dado. Se denota como [a]={a A / a~a}El representante de la clase de equivalencia puede ser cualquier elemento del conjunto.Asi, se cumple: a~a [a]=[a] (prop. transitiva)

- y por tanto, x no~ a [x] [a] =

Por transitividad de ~ es imposible que [x] [a] [x] [a] porque las clases de equivalencia sonidenticas o disjuntasLa clase de equivalencia de cualquier elemento x cumple [x] porque x [x]Las clases de equivalencia forman una familia de subconjuntos y disjuntos entre si, (porquepor transitiva situvieran un elemento en comn seran iguales), cuya unin es A.Congruencia modulo n (es un ejemplo de relacin de equivalencia en Z)Dado un natural p>1 se dice que a es congruente con b mdulo p y se escribe a b (mod p)

7HPD

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si a=b+ l p, l Z ; es decir: a~b ab es mltiplo de pEsta relacin es una equivalencia, ya que: es reflexiva, todo elemento es congruente con si mismo mdulo p porque a-a=0 que es

multiplo de p para l =0 es simtrica, ya que si ab es mltiplo de p, entonces ba= tambin es mltiplo de p.

(porque b-a=-(a-b) y l puede ser + o - porque pertenece a Z) es transitiva, porque si ab, bc, son mltiplos de p, entonces ac=(ab)+(bc) tambin

es mltiplo de p.

3URSLHGDG

Seran congruentes mdulo p dan el mismo resto al dividirlos por p.Para comprobar tomamos los valores m,n y hacemos:

m q p rn q p r

1

2

= +

= +

m-n=(q1-q2)p p divide a (m-n)? (si fi congruente, nofi no

congruente)

m q p r ; 0 r pn q p r ; 0 r p

1 1 1

2 2 2

= +

= +

m-n=(q1-q2)p+(r1-r2), para que se cumpla debe ser r1r2=0, que

implica r1=r2

&RQMXQWRFRFLHQWH

Es el conjunto de clases de equivalencia de todos los elementos de A. Se denota A/ ~ .A/ ~ = { [x] x A } donde [x]={ y A y~ x}. Nunca es vaco porque " x, [x] porque siemprex~ x

Una particin es una coleccin de conjuntos distintos del vaco y disjuntos entre si. La unin departiciones de un

conjunto es el propio conjunto.Propiedades del conjunto cociente:

1) para a,b A/ ~ , a~ b [a]=[b]Demos : (suponemos a~b) x [a] x ~ a, y por transitiva x ~ a, a~ b x ~ b

x [b]Asi vemos que para cualquier x, si x [a] y x [b], [a]=[b]

Demos : (Suponemos [a]=[b]), por reflexiva a [a], y puesto que [a]=[b], entonces a [b] , ypor

tanto, a~b2) a,b A, a no~ b [a] [b]=

Demos : (Demostramos que [a] [b] es contradictorio), $ x [a] [b] x~ a, x ~ b a ~ b

Corolario:Siendo ~ una relacin de equivalencia en A vemos que: Las clases de equivalencia de A forman una particin de A Cada particin de A

define una ~ en A. Si existe equivalencia entre los elementos de una particin, esaparticin es clase de equivalencia

(Si a,b estn en la misma particin a~ b y [a]=[b])

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Si Ai, Ai A entonces cada Ai es una particin de A si A= Ai y Ai Aj=0 para i j(2 a 2)

Si dos fracciones son equivalentes, la irreducible sera la representante de clase.

Factorizacin cannica de una aplicacin

$~

F fi

%

1) a,

a A a~

a f(a)=f(b)2) A P fi A/ ~ Es la aplicacin que relaciona cada elemento con su clase de

equivalencia.a

fi

p(a)=[a] p de proyeccin.Es Sobreyectiva. Si $ A y A/ ~ $ p(a), a A3) Im f = { f(a) a A } B

Im i fi B i de inclusin.Es inyectiva b

fi

b

4) f2 :A/ ~ fi Im f biyectiva. [a]

fi

f2 ([a])=f(a)

Relacin de orden en un conjunto dado:Es una relacin binaria que cumple propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Se dice que (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado poset si verifica una relacin de orden.Un poset es adems un orden total si " x, y A se cumple xRy yRx.En caso contrario sera un orden parcial.

Diagramas de HasseEs la representacin de una relacin de orden, mediante aristas no dirigidas entre 2 elementos x, ysi y solo si y cubre a x. Se dice que y cubre a x cuando se cumplen los dos siguientesenunciados:

- x y- x z y y=z o x=z (no hay ningn elemento entre los dos)

Las aristas se leen de abajo arriba por convencin (al $ una direccin de lectura no hacen faltaaristas dirigidas).

Si R es una relacin de orden en A, se elabora un diagrama de Hasse para R en A trazandosegmentos de recta no dirigida de x a y, si x,y A, con xRy, pero solo si no hay otroelemento z A tal que xRz, zRy.Ver ejemplos Grimaldi 5.34, 5.36.En el grafo de una relacin de orden son superfluos los lazos y aristas multiples (sesobreentiende su existencia por las propiedades reflexiva y transitiva)

IsomorfosSean (P, ) y (Q, ) (Q c. imagen de P) conjuntos parcialmente ordenados. Se dice que sonIsmorfos si

$ f:P fi Q biyectiva que mantiene el orden para a,b P: a b f(a) f(b)Sea (A, ) un conjunto ordenado y C A C :

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- k A es Cota superior de C si x k, " x C,Supremo ser la menor de las cotassuperiores.

- k A es Cota inferior de C si k x " x C, nfimo ser la mayor de las cotasinferiores.

- Un elemento k de A" x C, x k k es mximo" x C, k x k es mnimo- x C es maximal/minimal de C si ningn elemento de C es >/< que x.

Todo conjunto poset finito tiene al menos 1 maximal y 1 minimal.Ejemplo: Sea U={1,2,3}, A=P(U)(A, ) tiene mnimo = minimal = , mximo = maximal = U

Sea (A,R) poset.- mximal = x A / " a A, a x x no relacionado con a- minimal = x A / " a A, a x a no relacionado con x- mximo = x A / " a A a R x

mnimo = x A / " a A x R a Todo poset finito tiene maximal y minimal. Los mximos ylos mnimos, si existen, son nicos.

Sea (A,R) poset con B A- cota inferior = x A / " b B x Rb- cota superior = x A / " b B b Rx- supremo o mnima cota superior = x A / x es cota superior y x R x con x=cq. otra

cota superior- nfimo o mxima cota superior = x A / x es cota inferior y x R x con x=cq. otra

cota inferiorEn todo B A con A=poset finito, el supremo e infimo, si existen, son nicos.

*UDIRV

Def. grafo: Un grafo G es el par (V,A) que representa una relacin entre un conjunto de Verticesy otro de Aristas.Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V.Grficamente representaremos los vrtices por puntos y las aristas por lneas que los unen.Un vrtice puede tener 0 o ms aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vrtices.Orden de un grafo: es su n de vrtices = |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En estecurso estudiaremos los grafos finitos.

$ULVWDV

Si la arista carece de direccin se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vrticesque une.

Lazo: arista que une un vrtice con si mismoArista incidente: Se dice que e es incidente en v si v esta en uno de los vertces de la aristaArista mltiple: Aquella que une los mismos vrtices que alguna otra.

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9pUWLFHV

Vrtices adyacentes: Se dice que v,w son adyacentes si $ e={v,w} E (o sea, existe unaarista entre los 2 )

Un vertice es adyacente a si mismo si tiene lazo.Grado de un vrtice : Es el n de aristas que inciden en l. Por ejemplo, un lazo aumenta elgrado en 2.

Depende solo de la estructura matemtica, (los isomorfos tienen elmismo).Vrtice de aristas mltiples: Es aquel que tiene ms de un arista.Se dice que un vrtice es par o impar segn lo sea su grado.Camino (o trayectoria)Para x,y V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesin finita no vaca dearistas distintas que

contengan a vx y vy en su primer y ltimo termino. As: {vx,v1},{v2,v3},...,{vn,vy}- El n de aristas de un camino se llama longitud del camino.- Si los vrtices no se repiten es un camino propio o simple.- Si hay un camino no simple entre 2 vertices, tambien habra un camino simple entre

ellos.- Cuando vertice de llegada=vertice de salida, el camino se llama circuito, ciclo, o

camino cerrado.- Un circuito es propio o simple si solo se repiten el primer y ltimo vrtice. En estos

apuntes los circuitos seran simples si no se indica lo contrario- Vrtices accesibles: son aquellos entre los que existe un camino. Todo vrtice es

accesible respecto a si mismo. La accesibilidad entre vrtices es una relacin deequivalencia cuyas clases son las componentes conexas de G.

Si el grado de cualquier vrtice de un grafo 2 el grafo tiene un circuito.

*UDIRV

Grafo simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas mltiplesPropiedades de un grafo G(V,E):

Como cada arista incide en 2 vertices o 2 veces en el mismo vertice si es un lazo,tenemos que: Suma de los grados de todos los vertices es = doble de las aristas:

v V

v=2|E|Demostracin: Al realizar la suma de los grados de todos los vertices, ya que cadaarista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces.

En un grafo finito existe un n par (o cero) de vrtices de grado impar.En general V dividido en: V1={v V v=impar}, V2={v V v=par }, V1 V2=V;V1 V2=

Demostracin: Sabemos que E2vp

1ii =s

=

para V={v1, ..., vp}. Sean v1, ..., vt los

vertices de grado impar y vt+1, ..., vp los de grado par E2vvp

1tii

t

1ii =s+s

+==

par+impar=impar, asi que debe ser n de vertices impares=0Sabemos que s vi es impar para i=t+1, ..., p, por lo que podemos expresarlo como

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2ni+1 para algun ni...? mirar en Grimaldi

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vrtices. Si ese grado es k se, llamara k-regular.

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vrtices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modoque no hayaadyacencias entre vrtices pertenecientes al mismo conjuntoGrafo completo o conexo: Aquel con una arista entre cada par de vrtices, (todos estan

conectados con todos).Dos grafos completos con mismo |v| son isomorfos. Un grafo completo con n vrtices se denotaKn.

Todo grafo completo es regular pq. cada vrtice tiene grado |v|-1 al estar conectado con todos losotros vrtices.

Un grafo regular no tiene porque ser completo.Un grafo bipartito regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto

de vrtices.

Complementario de un grafo G:

Es el grafo Gque tiene conectados los vertices no conectados de G y desconectados losconectados.

Si dos grafos son complementarios, sus isomorfos tambin. Un grafo+su complementario = grafocompleto.

Grafo plano: Aquel que admite una representacin bidimensional sin que se crucen sus aristas.En este ejemplo, vemos un grafo plano con su representacin plana:

Grafo pesado o grafo etiquetado - Aquel grafo cuyas aristas tienen todas un n real positivo quesera su peso o longitud. El peso del grafo sera el sumatorio de los pesos de las aristas.Si todas las etiquetas valen 1, la definicin de longitud del camino de un grafo pesado coincidecon la definicin de longitud del camino a un grafo.

*UDIRFRQH[R

Grafo conexo: Aquel en el $ un cmino entre cualquier par de vertices.

Componente conexa de G:

Def.: Un subgrafo conexo de G que no es subgrafo propio? de ninguna componente conexa de G.

Otra def.: Subgrafo de G de forma que ningn otro vrtice G esta conectado con vrtice algunode G

Otra def.: Son las clases de equivalencia de estar conectado.

Subgrafo de G=(V,E) es G (V ,E ) V V y E E (el grafo que se obtiene borrando algunaarista o vrtice de G)Multigrafo: Grafo que tiene alguna arista mltiple. Un multigrafo se transforma en grafoaadiendo un vertice en mitad de cada arista multiple.Pseudografo: Grafo con algn lazo.

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Digrafo: Grafo con todas sus aristas dirigidas. Por tanto, los pares de vrtices que definen lasaristas, son pares ordenados.

Cuidadn !: Multigrafo, pseudografo, subgrafo, digrafo y cualquiera de sus combinaciones(pseudomultidigrafo, etc), NO se consideran grafos.Isomorfismo de grafos:

- Dados G=(V,E) y G=(V,E), se denomina isomorfismo de G a G a la aplicacinbiyectiva f tal que para a,b V, {a,b} E se cumple {f(a),f(b)} E. Es decir, laaplicacin que relaciona biyectivamente pares de vertices de E con pares devertices de E, de modo que los vrtices conectados siguen estandolo.Se cumple que s a= s f(a)-: Isomorfismo es la biyeccin que mantiene la adyacencia de vertices

G y G se denominan isomorfos, y son matemticamente iguales, solo varia laapariencia, o sea, que se

mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, n de vrtices, n de aristas, etc. Si dos grafos son isomorfos, sus complementarios tambin. Se llama automorfismo al isomorfismo de un grafo en si mismo. Un conjunto de

automorfismos, sera por tanto, un conjunto de grafos isomorfos.

Dos grafos son isomorfos tienen mismo nmero de vertices y el nmero de vertices con ungrado dado es el mismo en los dos grafos.

A continuacin estudiaremos la representacin de grafos mediante matrices, lo que nos permitiraemplear tcnicas de algebra lineal en el estudio de grafos.

Cul es la diferencia entre automorfismo e isomorfismo? No son automorfismos todos losisomorfismos?

0DWUL] GHDG\DFHQFLD

Muestra adyacencias de vertices.Se define como A=(aij)n n (n=|V|) donde aij=1 si {vi,vj} E ; en caso contrario aij=0.

La matriz de adyacencia siempre es simtrica (y por tanto, no se modifica haciendo latraspuesta), porque aij = aji .Para cualquier k n se cumple que aki

i 1..n=

= vk (grado de un vrtice=sumatorio de la columna ofila de ese vrtice).

Para un grafo G de n vrtices con n>1, con A=matriz de adyacencia se cumple:(Uned 151)

El valor del coeficiente aijk de la matriz Ak , es el n de caminos de longitud k con extremosvi y vj

(Ak=AA...k veces...A)

Dado M= A ii 1..n=

, se cumple que:

M=Suma de matrices de adyacencia.

Teorema:Sea G=(V,E), A=matriz adyacencia de G.

- el grafo sera conexo, si y solo si, todos los elementos de M son distintos- la diagonal de la matriz nos indica el grado de los vrtices

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Si $ un camino de longitud m (m n) entre 2 vrtices cualquiera, entonces $ un caminode longitud n-1

entre esos dos vrtices.Ejemplo:

Para comprobar si dos grafos son isomorfos, comprobamos si sus matrices quedan igualesal permutar su orden.

Ejemplo:

? Sea un grafo con matriz de adyacencia A =

0 3 03 2 10 1 0 3 3

, habra que llegar a An-1=A2

A A+ =

+

=

20 3 03 2 10 1 0

9 6 36 14 23 2 1

9 9 39 16 33 3 1

, como " bij el grafo es conexo

0DWUL] GH LQFLGHQFLD

Muestra adyacencias de aristas en vertices.Es la matriz M de |V| filas y |E| columnas, donde mij=1 si vi es vrtice de la arista ej, en caso

contrario es 0.Solo puede definirse para grados simples.

Para comprobar si un grafo es conexo: Se halla la matriz adyacencia de orden n n y se eleva a la n-1 potencia Si todos sus elementos son 0, el grafo es conexo.

Arista de separacin o puente: Aquella que al ser suprimida deja desconectados sus dos vrtices.Si e=(u,v), e G es un puente y G tiene k componentes conexas, G-{e} tendra k+1 componentesconexas

Punto de corte: es un vrtice de un grafo conexo G que una vez suprimido convierte a G endisconexo.

*UDIRHXOHULDQR

Camino euleriano es el camino que contiene a todas las aristas, apareciendo cada unaexactamente una vez.Circuito euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vertice.

El grafo que admite algun circuito euleriano se llama grafo euleriano.

v1 v2 v3 v4 v5v1 0 1 1 0 0v2 1 0 1 1 0v3 1 1 0 1 1v4 0 1 1 0 0v5 0 0 1 0 0

v1 v2

v3 v4 v5

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Grafos eulerianosGrafo eulerianos: grafo con un circuito que contiene todas las aristas sin que se repitan. Elgrafo ser semieuleriano si la trayectoria no es cerrada. Las trayectorias correspondientesse llaman eulerianas y semiulerianas.

Ejemplo:

Lema: Si el grado de cualquier vrtice de un grafo 2 el grafo tiene un circuito.Demostracin:Pueden darse 2 casos:

a) G conexo. Si G no tuviera circuitos G sera un rbol |V|=|E|+1Pero (v V) 2|V| |V| |E|+1 no es un rbol tiene algun circuito.

b) G no conexo. Aplicamos a) a sus componentes conexas.Teorema: Un grafo conexo G=(U,E) es euleriano todo vrtice tiene grado par.

Demostracin: (por induccin en |E|=m)

a) Base de induccin |E|=1. Al ser |E|=1 el grafo es eulerianob) Suponemos que el teorema es cierto para grados en las mismas

condiciones y con menos de m aristas. Tenemos grafo G con todos losvrtices de grado par 0, es decir 2. Dado que G es conexo " v V, v>1 (porque existe un circuito euleriano). En cualquier caso v 2 $ xcircuitos en G. Suponiendo

b1) En x estn todas las aristas de G una vez fi circuito euleriano fi G eulerianob2) En x no estn todas las aristas fi ??

Los grafos bipartitos completos son eulerianos si son pares los bipartitos m,n.

CorolarioUn grafo conexo es semieuleriano tiene exactamente dos vrtices de grado impar.La trayectoria empezara en uno y terminara en otro. La demostracin es similar a la delteorema de Euler.

LemaSi un grafo es euleriano, todos los vrtices tienen grado par o solo 2 tienen grado impar.Demostracin: Si seguimos el circuito euleriano, vemos que contribuye en 2 al grado decada vertice. Si un vrtice cualquiera es el primero contribuye en 1 al principio y 1 al final.Si no lo es contribuye en 2.

7HRUHPDGH(XOHU

Si un grafo admite un camino euleriano, o todos sus vrtices son pares (camino cerrado) o 2 deellos son impares (camino abierto)Demos: Si el camino es cerrado estamos en el caso anterior. Si es abierto, ejemplo: sea G = uv , podemos hacer

G=G+{w} u w v para " x u, x v, gradoG(x) = gradoG(x) = par (pq. caminocerrado grado par)

y para u,v gradoG(u)= gradoG(u)-1, hacemos idem para v yvemos que la suma es par.Ver Uned 92, problema 8En un grafo conexo |V| |E|+1

1 2 El primero no es euleriano ni semieuleriano,

8 5 3 El segundo es euleriano6 4

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Ver Uned 89 acerca de como recorrer sin levantar el boli.

$OJRULWPRGH)OHXU\

Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construccin de un circuitoeuleriano.Se empieza por un vrtice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a2 condiciones:

1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas2) Solo se recorre una arista puente si no queda otra alternativa

Si el grafo es semieuleriano hay que empezar en un vrtice de grado impar.

Si quedas atrapado es que no es euleriano.

+DPLOWRQ

Camino Hamiltoniano: Es aquel que recorre todos los vrtices sin pasar 2 veces por lamisma arista. Solo puede existir en grafos simples donde no existan vrtices impares.Grafo Hamiltoniano - Aquel que admite un camino hamiltoniano.

Es Semihamiltoniano si tiene una trayectoria abierta y pasa una sola vez por cada uno de losvrtices

Todos los hamiltonianos son eulerianos y todos los semihamiltonianos son semieulerianos.

Teorema:

Si un grafo es conexo con |V| 3, 2 vertices no adyacentes, y v>n el grafo eshamiltoniano.No es imprescindible que se cumpla para ser hamiltoniano.

En un grafo, la relacin en el conjunto de vertices dada por estar conectado con es una relacinde equivalencia (Uned 145). Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de G.Cada vrtice tiene un grado superior a la mitad+1 del nmero de vrtices. ??

$UEROHV

rbol: Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos.Ejemplos:

n1: o n6: 6 arboles n2: oo = n7: 11

n8: 23 n3: ooo = n9: 47

n10: 106 n4: oooo = etc,...

n5: ooooo =

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Un grafo es un rbol entre cada par de vertices existe un y solo un camino simple.

Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos.

Teorema:

Sea G(V,E) a) G es un rbolb) Cada par de vrtices distintos de V esta conectado por un nico camino.c) G es conexo y toda arista de G es de separacin

*Arista de separacin es aquella tal que si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexosd) G no tiene circuitos y |V|=|E|+1e) G es conexo y |V|=|E|+1f) G no tiene circuitos pero al aadirle una arista a G se crea un nico circuito

Estas son condiciones equivalentes: a b c d e f aDemostracin

a b Porque por definicin es conexo y sin circuitos propiosb c Es conexo por b. Si hubiese ms de un camino entre 2 vrtices existira un

circuito. Por definicin derbol esto no puede ocurrir.

c d porque en circuito no existe separacin|V|=|E|+1Induccin en |V|: Base de induccin |V|=1 como mnimo 1 vrtice v |E|=0

|V|=|E|+1Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos

de n vrtices (n=|V|), G-{e}=GG1=(V1, E1) |V1|

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Otra def: Un rbol generado de G es un rbol T=(V,E) subgrafo de G y tal que V=VUn rbol generado se puede crear de 2 modos:1) Suprimir aristas que no sean de separacin2) Partiendo de los vrtices coger aquellas aristas de forma que no creamos ningn circuito

Para calcular el rbol de peso mnimo existen 2 algoritmos:- Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un rbol de

peso mnimo- Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean

aristas de separacin.Puede haber ms de un rbol generado de peso mnimo, pero todos deben tener el mismo peso.

Arbol arraigado o enraizado: Es un rbol con un vrtice distinguido llamado raz.Si le quitan la raz quedan rboles arraigados con raz T1,T2,...

En este tipo de rbol los vrtices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo, al vrticeadyacente que esta ms alejado de la raz que el nodo del que es hijo. Los nodos sin hijosse llaman hojas.

Un rbol es n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos.Ej(n=2binario)rbol arraigado ordenado: rbol arraigado cuyos subrboles tambin son rboles arrigadosordenados.

Nivel de un vrtice: El nmero de aristas que le separan de la raz. La raz tienen nivel 0.Altura de un rbol: Mximo nivel de sus vrtices.

En el grafo anterior c) v=3 Aqu se demuestra que no es necesaria w=3 esta condicin para ser

hamiltoniano.Puede serlo sin -------- cumplirse la condicin

6 n=20

Problema del vendedor ambulanteHay que pasar por cada ciudad a vender sin pasar 2 veces por la misma y con

el menor coste posible(no tiene solucin)

Problema Dado un grafo pesado es posible encontrar algn grafo Hamiltoniano de menor peso?

Conseguir la cota inferior del peso de cualquier grafo hamiltonianoa) G-{B}fi rbol exp. mnimo peso: 4+5+8=17 } 17+5=22 cota

inferior delb) Dos aristas de menor peso incidentes en B, peso 2+3=5: } peso de cualquier G. H.

A partir del dato conseguido anteriormenteBfi 22 W(CH) 1

Si quitamos el vrtice Afi 21 W(CH) 21 Con estos datos podemos decir que sedebe encontrar

Cfi 25 W(CH) 25 el grafo con peso 25Dfi 23 W(CH) 23Efi 24 W(CH) 24

En este grafo la solucin es que el peso es 26 ??

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La demostracin en este caso en concreto A ?c) AEDC rbol exp de G-{B} 2 6 ?d) AB,B,C B E ?

7 5 ?W( a) ) W( c) ) C 9 D ?W( b) ) W( d) ) 22 W (circuito H)

DEMOSTRACINSi se considera cualquier circuito del grafo hamiltoniano pesado y eliminamos un vrtice v (cualsea), obtenemos una trayectoria semihamiltoniana.Esta trayectoria es un rbol expandido de G-{V}.Por tanto cq. solucin al problema del vendedor ambulante.Debe consistir en un rbolexpandido de ese tipo junto con 2 aristas incidentes en el vrtice v.As, si tomamos el peso de un rbol expandido de peso mnimo de G-{V} y sumamos los 2 pesosmnimos de aristas incidentes en V encontraremos una cota inferior de peso de cq. circuitohamiltoniano. END-RAW *

Circuito hamiltoniano mnimoSea G grafo completo, para conseguir un circuito hamiltoniano mnimo (los grafos completos sonhamiltoniano) usamos el siguiente algoritmo:

- Partiendo de un vrtice cualquiera elegimos la arista a aquel vrtice no visitado quetenga menor peso.

- Repetimos hasta hacer cirucito al tiempo que vamos anotando los pesos.

abdeca un camino minimo,( no unico ni el mejor )

7HRUHPD

Sea M un mapa conexo con |V|>2, entonces |E|

3|V|6Demostracin:

Sea M un mapa conexo con |V|>2, |R| 3. Sabemos que 2|E|= s r, y como el grado de cada regines al menos tres, 2|E|= s r 3|R| fi |R| |E|2/3

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Sabemos que 2EVR =-+

=-+

E32R

2EVR*, **

fi

2E31V -

fi

6EV3 -fi

E6V3 -

*En caso de que E32R = fi 2E

31V =- .

**En caso de que E32R < fi 2E

31

de msV =

- fi 2E31V >-

TeoremaSea G=(V,E) un grafo conexo plano en el que no existe un subgrafo isomorfo a K3, entonces

4V2E -

Demostracin

Si G es 2V > y no tiene subgrafo isomorfo a K3, es que las regiones del mapa M de G tienengrado al menos 4. Sabemos que

s= rE2 , y como el grado de cada regin es al menos 4,

s= R4rE2 fi R4E2

=-+

R4E22EVR

*fi E21V2 -

*

=-fi=

>-fi=

-fi>

2E21V R2E Si

2E21V 2E

21de msV R2E Si

fi

2E21V -

Consecuencia:Def: Grafo bipartito completo Kn,m |V1|=n, |V2|=m cq. vertice de V es adyacente a cq.vrtice de

v2 y no $ conexin entre los vrtices de una misma parte y viceversa

DIBUJOK3,3 conexo,simple, no tiene subgrafo isomorfo a K3Si plano fi |E| 2|V|-4|E|=nm |E|=33 |V|=3 9 no 26-4 el grafo no es plano

Un grafo se dice que es plano si admite una representacin grfica en el plano de modo que cadaarista corta unicamente a otra arista en un vertice que sea extremo de ambas. Una representacingrfica de este tipo se llama mapa.

Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.

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Un mapa divide al plano en varias partes llamadas regiones. Cada regin de un mapa M estdelimitada por un circuito (si el mapa es conexo) o por varios circuitos (que no sonnecesariamente propios?). Tambin se cuenta como regin la exterior a la figura. Cada regin enun mapa esta bordeada por un camino que no siempre es un circuito.

Ejemplo:

Grado de una regin: longitud del camino que la bordeaDos regiones de un mapa se consideran adyacentes si el circuito que las bordea tiene algunaarista en comn.

TeoremaLa suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del nmero de aristas delgrafo al que representa. Es decir: r = 2|E|DemostracinToda arista es frontera simple de 2 regiones o doble de la misma regin, con lo que cada una

se cuenta doble.

Ejemplo de frontera doble: (en negrilla)

7HRUHPD

La representacin plana de un poliedro regular cumple la formulan caras + n vertices naristas=2donde cada cara corresponde a una regin, con lo que tenemos 2EVR =-+ (frmula de

Euler)*nota: la frmula de Euler solo es vlida para mapas conexos.

Demostracin:

Sea G un grafo conexo. Por induccin en |E|:

a) base |E|=0.

=

conexo Mapa0E

|V|=1, |R|=1. Esto verifica la frmula de Euler.

b) paso |E|= m 1Se dan dos casos

1) el grafo tiene algun circuitoConsideremos el subgrafo G resultante de suprimir una aristaperteneciente a un circuito. Tenemos que el mapa M de G seguira siendoconexo (pq. la arista perteneca a un circuito). El n de regiones disminuyeen una unidad porque las aristas pertenecientes a un circuito siempre sonfronteras de dos regiones.Para M tenemos que ( ) ( ) 21EV1R =--+- 2EVR =-+

2) el grafo no tiene algun circuito (es un rbol)Sea v el vertice extremo de una sola arista vw (si no existiera tal verticepodramos construir un circuito). Sea G el grafo resultante de suprimir v yvw en G. Puesto que |R| no disminuye tenemos que:( ) ( ) 21ER1V =--+- 2EVR =-+

Ejemplo:

Grafo plano Mapa delgrafo plano

4 1 2 3

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Una subdivisin elemental de un grafo G, es el grafo G obtenido colocando un vrtice en mediode una arista G.

Una subdivisin de un grafo G es el grafo obtenido efectuando un nmero finito de subdivisioneselementales sucesivas.

7HRUHPD.XUDNRZVNL

Un grafo G es plano no contiene algun subgrafo isomorfo a una subdivisin de K5 o K3,3.Demostracin: Demasiado complicada para este nivel.

Coloracin de un subgrafoG=(V,E) , C={1,2..k} (conjunto de colores)

Una coloracin es una aplicacin f:v en c si v,w V son adyacentes f(v) f cwEl pseudomultigrafo dual de un mapa M, es aquel que se construye asociando un vrtice a cadaregin de M y una arista a cada par de vrtices que correspondan a regiones adyacentes.

Aunque al construirlo quede con forma plana, un pseudomultigrafo dual puede representarse deforma no plana.

Ejemplo de construccin:

Coloreado de un grafoSea G=(V,E) un grafo plano y C={1,2,..k} un conjunto de k colores. Una coloracin con kcolores del grafo G es una aplicacin de V a C de modo que si los vrtices u, v, sonadyacentes entonces f(u) f(v).

Teorema de los 4 coloresCualquier mapa plano puede colorearse con 4 colores o menos sin que haya dos regionesadyacentes del mismo color. La demostracin se basa en calculos con ordenador y esdemasiado complicada para este nivel.

CorolarioTodo grafo plano admite una coloracin con 4 colores.Demostracin: Sea G un grafo y M su mapa. Segn el teorema de los 4 colores, lacoloracin del pseudomultigrafo dual G de G dar una coloracin del grafo G, pues G=G.

DefinicinUn grafo G se dice que es bipartito si se puede colorear con 2 colores

7HRUHPD

Un grafo es bipartito no tiene circuitos de longitud impar.

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Demostracin Si G es bipartito, los vertices de cada circuito deben ir alternando de un color a otro. Para queel color del primer y ltimo vertice no coinciden, el n de aristas debe ser par.

(" circuito tiene longitud par). Hacemos induccin sobre |E| ...Camino ms corto entre 2 vrtices: Algoritmo de Dijkstra

Uned 163Aunque la explicacin del libro es un coazo es intuiitivo: Se recorren todos los caminos desdeel vrtice de partida, anotando la longitud de cada uno.

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7

7HRUtD HOHPHQWDO GHQ~PH

HRUtD HOHPHQWDO GHQ~PHU

URV

RV

Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, bsico y extendido. Ns primos. Teoremafundamental de la aritmtica. Principio de induccin. Ec. Diofnticas. Congruencias:teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeracin.

'LYLVLELOLGDGHQ=

Principio del buen orden: Todo subconjunto no vaco de Z+ tiene un primer elementoLo usaremos cuando veamos la induccin finita. Notese que el principio del buen ordenesta definido para Z, y no se cumple por ejemplo en Q+ o R+.

Propiedades de la suma y el producto en Z Son operaciones internas en Z Son asociativas y conmutativas Ambas tienen neutro, el de la suma es 0 y el de la multiplicacin es 1. El producto es distributivo respecto a la suma: a(b+c)=(ab)+(ac) Si ab=0 a=0 o b=0 Todo elemento tiene opuesto. (un n operado con su opuesto es 0)De estas propiedades se sigue que (Z,+) es un dominio con 1, y que (Z,+) es un grupoconmutativo o abeliano.

Siendo a,b Z, diremos que b es mayor que a, si existe un natural n tal que b=a+n. Lodenotaremos b>a.

Siendo a,b Z, diremos que b divide a a, si existe un entero q tal que a=qb. Lo denotaremosb|a.Propiedades de Z respecto a la divisin y el producto (chorradas)1. a0=02. a(b)=ab3. Si a 0 , ab=ac b=c4. Si a 0 y a|b a|bk, " k Z5. Si a 0, b 0 a|b y b|c a|c6. Sea a 0 si a|b, a|c a|(xb+yc) para cq. par de enteros x e y7. a,b>0, a|b a b8. a 0,b 0, a|b, b|a a=b a=b9. Si a b, m>0 am bm

Si a b, m>0 am bm

Demostracin usando las propiedades de la suma y el producto:1. a0=a(0+0) fi a0+a0= 0a

Sumando su opuesto a0 y queda 0+a0=0 Como 0=neutro de la suma nos queda a0=0

7HPD

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2. Por definicin de opuesto observamos que ab es opuesto de ab. Si a(b)=ab, como elopuesto es nico, se cumplira ab+a(b)=0. Esto es asi porque ab+a(b)=a(bb)=a0=0

3. Hay que demostrar a 0 , ab=ac b=c.ab+(ac)=ac+(ac) fi abac=0 fi a(bc)=0Se presentan dos casos: a=0 (imposible por enunciado), y bc=0 b=c.

4. a|b b=aq fi bk=aqk. Sea q=qk, entonces bk=aq y por tanto a|bk.5. Se cumple porque c=bk, y a|b a|bk6. a|b, a|c b=aq1, c=aq2.

bx+cy=aq1x+aq2y=a(q1x+q2y)=aq a|bx+cy7. a|b b=aq.

Como a,b son positivos, q es positivo. Por tanto, podemos escribir

sa)a...a(aa...ab veces1qveces q

+=+++=++=-

Como q es positivo y entero, q1 0, por tanto s 0. De b=a+s se deduce que a b.

8.

=

=

2

1

bqaa|baqbb|a

a=(aq1)q2 q1q2=1 q1=q2=1 q1=q2=1, por lo que a=b a=b

g) b=qa =a+...+a=a+(a+...+a) (q>0) q1 0k) a b ba 0

Ejemplo: a=b+c, m|a, m|b m|c? S, porque c es una combinacin lineal de a y b.

Valor absoluto

Es una aplicacin f:Z fi Z que a cada m Z, le asocia |m|Propiedades del valor absoluto en Z (chorradas)1. |a| 02. |a|=0 a=03. |ab| = |a||b|4. |a+b| |a|+|b|5. k>0 y |a| k k a kDemostracin |a+b| |a|+|b|:Se presentan tres casos:

a, b 0 fi a+b 0 fi |a+b|=a+b=|a|+|b|a, b < 0 fi a+b

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A los nmeros a, b, q y r se les llama dividendo, divisor, cociente y resto.

DemostracinDemostramos que existen unos q,r Z a=qb+r, 0 r

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Operador MODSean a,b, b 0, a|b. Si a=qb+r con 0 r

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La contradiccin se resolvera si r=0. Por tanto d|a , y analogamente podemos probar qued|b. d es adems el mximo de los divisores comunes:

Sea d tal que d|a, d|b. Esto implica d|(ax+by), y como d=(ax+by) entonces d|d, y portanto d d.De aqui tambin se saca que el mcd es el entero ms pequeo de esa forma, o habra otroque lo dividira. d es nico:

Si existieran d1, d2 = mcd(a,b), por definicin de mcd cumpliran d1|d2 y d2|d1.Para todo v,w Z, se tiene que v|w |v| |w|, por lo que |d1| |d2| y |d2| |d1|, es decir |d2| =|d1|.Por definicin de mcd, d2>0 y d1>0, as pues d2=d1.

$OJRULWPRGH(XFOLGHV EiVLFR\H[WHQGLGR

Algoritmo de Euclides Sirve para calcular el mcd de dos nmeros a y b.

Para enunciar este algoritmo nos serviremos de una proposicin y un teorema previos.

ProposicinConsiderando a/b con b 0, por el algoritmo de la divisin tenemos que a=bq+r, y adems secumple que:

1) Los divisores comunes de a y b tambin son divisores de r2) Los divisores comunes de b y r tambin son divisores de aDemostracin:

(1) Para todo a,b Z, existen q y r a=bq+r. Sea c tal que c|a, c|b, entonces a=cq1, b=cq2. Portanto cq2q+r =cq1 r=c(q1q2q) c|r.(2) Supongamos ahora c c|b, c|r con b=cq1, r=cq2. Por tanto a=cq1q+cq2 a=c(q1q+q2) c|a.

TeoremaEn una divisin el mcd(dividendo,divisor) = mcd(divisor,resto).Es decir, a=bq+r, con a,b,q,r Z, b 0, cumple mcd(a,b)=mcd(b,r).Demostracin:

Como vimos antes, dividendo y divisor tienen los mismos divisores que divisor y resto.Por tanto, ambos tendrn el mismo mximo comn divisor.

Algoritmo de EuclidesComo mcd(a,b)=mcd(|a|,|b|), podemos suponer sin perdida de generalidad que a b>0.Dividimos a por b: a=bq1+r1 , (r1 ser 0 r1... , de modo que llegaremos a un rn=0.Entonces:

rn1 = mcd(rn2, rn1) = ... = mcd(b,r1) = mcd(a,b)El nmero de pasos necesarios es como mximo 5 veces el nmero de dgitos del nmero mspequeo de entre los a,b por los que comenzamos a calcular el mcd

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Algoritmo extendido de EuclidesSirve para hallar los terminos de la combinacin lineal que dan origen al mcd. Para ello se realizael proceso inverso al seguido en el algoritmo de Euclides. (Ver el ejemplo que sigue)

Ejemplo:Calcular mcd(3120,270) y los terminos x,y tales que mcd(3120,270)=3120x+270y.Algoritmo de Euclides:

3120 = 11270 + 150270 = 1150 + 120150 = 1120 + 30120 = 430 + 030 = mcd(120,30) = mcd(150,120) = mcd(270,150) = mcd(3120,270)30 = mcd(3120,270)

Algoritmo extendido de Euclides:

Realizamos el camino inverso al algoritmo de Euclides empezando por la expresin donde el mcdes resto.

Iremos sustituyendo valores con el objeto de llegar a los nmeros de los que se hallo elmcd.

1501120 = 301501(2701150) = 30 fi 150270+150 = 30 fi 2150270 = 302(312011270)270 = 30 fi 2312022270270 = 30 fi 2312023270270 = 30

As pues, mcd(3120, 270) = 30 = 23120+(23)270. Luego, x=2, y=23.

Teorema (consecuencia del algoritmo de Euclides)Todo k Z+ cumple mcd(ka,kb) = |k|mcd(a,b)DemostracinPara ka, kb, podemos suponer sin perdida de generalidad que ka kb.ka kb ka=(kb)q1+r con 0 r

Pg.-33 de 53

1~PHURVSULPRV

Ns primosDecimos que p Z p>1, es primo si sus nicos divisores son 1 y p.En caso contrario decimos que es compuesto y puede expresarse como p=ab con 1

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Demostramos que todo nmero es factorizable mediante reduccin al absurdo:Sea el conjunto S, no vaco, tal que S={a Z a>1, y a no es factorizable}Por el principio del buen orden existe un primer elemento b.

Vemos que b no es primo (si no, la secuencia de primos cuyo resultado es b, sera la formada porl mismo).

Por tanto b es compuesto, y puede expresarse como b=uv con 1

Pg.-35 de 53

- Si b es primo llegamos a una contradiccin por suponer que a no es divisible poralgun primo p a

- Si b es compuesto llegamos a una contradiccin, pues b compuesto podraexpresarse como producto de primos, y siendo p uno de ellos: b|a, p|b p|a,siendo p

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Sea d= p1max( a 1,b 1) ... p t max( a t,b t). Es claro que a|d y b|d. Supongamos que existe c tal que a|c, b|c.Entonces t1 t1 p...pc

dd

= donde d ia i, d ib i. Por tanto, d i mx(a i, b i), y por tanto d|c. Entoncesd=mcm(a,b).Ver ejemplo en Uned 46.

3ULQFLSLRGH LQGXFFLyQ

Principio De Induccin FinitaSea S N. Si cumple: 1) 1 S, - comprueba que el lmite inferior de S esigual al de N, o sea, 1. 2) para cada k 1, si k S k+1 S - comprueba que el lmite superior de S esigual al de N, o sea, .

entonces S=N.Este principio se usa para demostrar que ciertas propiedades se satisfacen para todo n natural n.

Demostracin: (por reduccin al absurdo) Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S N. Sea A=NS - aqui es legtimo aplicar PBO porque

A=conj. de enteros positivospor el PBO existe un a A menor elemento de A, que sera 1 (porque 1 S), y por lo tanto a 2 y1 a1

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Sea n0 Z. Supongamos la propiedad P tal que1) P(n0) es cierta2) Para todo k n0 se cumple que P(k) P(k+1)

Entonces P(n) cierta para " entero n n0Demostracin propuesta en uned 54

Principio Fuerte De Induccin uned55- Es lo mismo que el de induccin finita pero restringido a k1. Si k S 1 k n, se cumple que n S

Entonces S=NDemostracin: (por reduccin al absurdo) (Es casi la misma que la de induccin finita)

Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S N. Entonces existe A A=NS Por PBO $ n0 A n0>1 y n0=menor elemento de A. Se cuimple 1,2,...,n01 S Por 2) n0 S (contradiccin).

As pues, NS= y S=N.Corolario

uned58- lo mismo de antesSea P(n) una propiedad para los naturales. Si cumple :

1) P(1) cierta2) Sea un entero arbitrario n0>1. Si P(k) cierta para todo k 1 k n0 P(n0) cierta

entonces P(n) se satisface para todo N

Corolario uned58- lo mismo para n0 en vez de 1Sea n0 un nmero fijo n0 Z, sea M={ n Z, n n0 } . Si para S M, S cumple:

1) n0 S2) Para cada n>n0 y cada k n0 kn0 y cada k n0 k

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Demostracin:

nbyax|d by|d b|dax|d a|d

000

0=+

d=mcd(a,b) y por Bedut d= a a+ b b con a , b ZSean x0=na /d, y0=nb /d. Es suficiente probar que x0, y0 resuelven la ecuacin.Para ello los sustituimos:

nn =

b

+a

=

b

+a

=+d

bd

a

dbn

danbyax 00 / ??

TeoremaUned 65

Sea ax+by=n con d|n, y a,b,n enteros no nulos.Entonces la solucin particular de la ecuacin ax+by=n tiene la forma

l

-

l

+day,

db

x 00 donde l Z.

Demostracin en uned 65 (2 pginas).

Teorema Uned 70

La ecuacin diofntica x2y2=n con n>0, tiene solucin si y solo si n se puede factorizarcomo producto de dos nmeros de la misma paridad (ambos pares o ambos impares).Si existen, las soluciones de la ecuacin tienen la forma x a b a b= + = -

2 2, y , donde a y b

recorren todos los nmeros de la misma paridad y tales que n=ab.

Algoritmo de factorizacin de FermatUned 72

Permite conocer si un nmero natural impar es compuesto, y si lo es, hallar sus factores.Sea n un nmero natural impar. Si n es compuesto se tiene que n=ab donde a y b tambin

han de ser impares, y podemos suponer que a b>1. Por el teorema anterior se puede escribira b a b

n .+

-

-

=

2 2

2 2

Luego estudiar si un nmero impar es compuesto es un problema equivalente a resolver laecuacin x2y2=n , que puede escribirse x2n=y2.

El primer paso es determinar el mnimo entero positivo q que satisfaga q2 n yposteriormente habra que estudiar si alguno de los nmeros q2n, (q+1)2n, (q+2)2n, ... esun cuadrado.

Este proceso no es indefinido ya que n n n n n n+

- =

+ + -=

+

12

2 1 44

12

2 2 2

.

Esta solucin corresponde a la factorizacin trivial n=n1. Luego los nicos valores que hay que

estudiar son aquellos nmeros m que satisfacen q m< n + 12

.

Si existe algun m m2n que sea un cuadrado, entonces n es compuesto.

Para hallar sus factores tenemos quex=m, y=m2n y es un cuadrado

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Resolviendo a y b en

2b-a

y,2

bax =

+= , hemos terminado: n=ab.

TeoremaUned 74

Las soluciones de la ecuacin pitagorica x2+y2=z2 que satisfacen: mcd(x,y,z)=1, 2|x, conx,y,z>0

vienen dadas por las frmulas x=2stv=s2t2 ,z=s2+t2

para naturales s,t, s>t, con distinta paridad, tales quemcd(s,t)=1.

&21*58(1&,$6

DefinicinSea m>0. Dados a,b Z se dice que a y b son congruentes mdulo m si ab es divisible por m.

Simblicamente esta relacin se escribe: a

b mod(m)

m|(ab) .Ejemplo: El minutero del cronometro se pone a 0 cada 60 minutos. Si llevo cronometrados 95minutos, el cronometro marcar 35, que es un nmero congruente con 95 mdulo 60. Se denota35 95 mod 60 o tb. 95 35 mod 60.Teorema

Uned 90Para a,b enteros, se cumple que a

b mod(m)

a y b tienen el mismo resto al dividirlos porm

Demostracin

Sean a=q1m+r, b=q2m+r. Entonces ab=(q1m+r)(q2m+r)=(q1q2)m m|(ab), y portanto a

b mod(m).

........

PropiedadesTeorema Uned 91 m es una relacin de equivalencia en Z

Si h|a, h|b, mcd (h,m)=1 y a

b mod(m), entonces ah

bh

m mod( ).Si a

b mod(m) entonces ha

hb mod(m).............................

TeoremaUned 95

La ecuacin ax

b mod(m) tiene solucin

d|b d=mcd(a,m).Ademas el nmero de soluciones no congruentes mdulo m es exactamente d.

Teorema Chino del RestoUned 96

El sistema de congruencias xai bi mod(mi), i=1,2, ..., k donde mcd(mi , mj)=1 si i j y mcd(ai, mj)=1 para 1 i k , tiene una nica solucin x0 mdulo m1m2...mk y las demas solucionesson de la forma x=x0+ l m1m2...mk, l Z.

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Teorema de EulerUned 102

Sean a y m dos nmeros enteros con m 1, entonces si mcd(a,m)=1 se tiene que af (m) 1mod(m).Pequeo teorema de Fermat

Si p es un nmero primo que no divide al nmero a, entonces ap1 1 mod(m).Teorema de Wilson Uned104 y ver ejemplo 15.31

Si p es un nmero primo, entonces (p1)! 1mod(p).

SISTEMAS DE NUMERACINEn esta seccin se estudian sistemas de numeracin diferentes al usado convencionalemente, esdecir, sistemas no decimales.Terorema

Uned 110Sea b 2 un nmero natural llamado base. Todo nmero n N tiene representacin nica en

base b de la forman = akbk + ak1bk1 +...+ a1b + a0 ,

para algn k 0, con 0 ai

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&RPELQ

&RPELQD

DWRULD \

WRULD \

U

UHFX

HFXU

UU

UHQFLD

HQFLD

Principio de inclusin exclusin. Permutaciones con y sin repeticin. Combinaciones con ysin repeticin. Frmulas combinatorias. Teorema binomial. ENTRA HASTA AQU Sucesiones definidas por recurrencia. Resolucin de ecuaciones recurrentes por iteracin.Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funcionesdefinidas recurrentemente.

3ULQFLSLRV IXQGDPHQWDOHVGHO FRQWHR

Principio de la adiccinSi se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuarde n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio dem+n maneras de realizar una tarea.

Principio de la multiplicacinSi un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posiblesresultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total sepuede realizar, en el orden designado, de mn maneras.

Principio de la distribucinSean m,n,p nmeros naturales ( 0). Si se distribuyen np+m objetos en n cajas entonces

alguna caja deber contener, al menos, p+1 objetos.Demostracin: Supongamos que contienen menos de p+1, por ejemplo, p objetos;

entonces, el nmero total de objetos contenidos en las n cajas ser como mximonp0. Por tanto, al menos una de las cajas debe contener,como mnimo, p+1 objetos.

CorolarioDados n nmeros enteros positivos m1, m2, ..., mn tal que

,pn

mn

1i i > =

entonces para algn 1

i

n se tiene que mi>p.Demostracin: Observemos en primer lugar que el resultado es obvio para n=1, ya que si

(m1/1)>p entonces m1>p.La desigualdad del enunciado puede escribirse como

=

>n

1i i pm . As, existe m>0 tal que

=

+=n

1i i .mnpmSupongamos que disponemos de n cajas y que mi es el nmero de elementos de cada caja,

por el principio de la distribucin alguno de los mi debe ser estrictamente mayor que p.

7HPD

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3HUPXWDFLRQHV YDULDFLRQHV FRPELQDFLRQHV

Para un entero n 0, n factorial, expresado n!, se define por:0! = 1,n! = (n)(n1)(n2)...321, para n 1

Segn la regla del producto, las maneras de escoger n elementos de entre un total de N segnun determinado orden, son igual al producto de n operandos de la forma

N(N-1)(N-2)...(N-n+1)Esta expresin se conoce como Variaciones de N tomadas de n en n, y se representa como VN , n.Para llegar a una versin simplificada se opera as1:

N(N1)(N2) ... (Nn+1) N,nVn)!(N

N! (3)(2)(1) ... )1nn)(N(N

(3)(2)(1) ... )1nn)(NN(=

-

=

---

---

En el caso especial en que N=n, se llama permutaciones de N, y se representa PN.

!N!0!N

n)!(NN!PN ==-

=

En general, si hay N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un rsimo tipo,

donde n1 +n2 +...+nr = N, entonces hay !n ... !n!n!N

r21 permutaciones de los objetos dados.

Si se tratase de escoger n elementos pudiendose repetir cualquiera, el repertorio donde escoger nodisminuira y la expresin sera el producto de n veces N:

NN...N = Nn

Esta expresin se conoce como Variaciones con repeticin y se representa como NVR n,N = .

Notese que cuando calculabamos VN,n estabamos hallando el nmero de grupos de n elementosdistintos, multiplicado por el nmero de posibilidades de ordenar internamente esos grupos de nelementos (PN).Si quisieramos hallar el nmero de maneras de escoger n de entre N elementos distintos sinrepeticin y sin orden tendramos la expresin

N

nN,

P

V, que se llama combinanciones de N tomadas de n en n y se representa CN,n

n

N.

En general, dados N objetos distintos de los cuales se quiere tomar n objetos con repeticin, sunmero sera

-+=

-

-+

n

1nN)!1N(!n)!1nN(

.

En consecuencia, el nmero de combinaciones con repeticin de N objetos, tomados de n en n, esC(N+n1,n).

1 Notese que aadimos una fraccin cuyo resultado es 1.

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Resumen

Variacin es el nmero de ordenaciones de n elementos tomados de un total de N.

Permutacin es el nmero de ordenaciones de los N elementos de un conjunto.Variacin con repeticin es el nmero de ordenaciones de n elementos, tomados repetidos o no,de un total de N.

Combinacin es el nmero de conjuntos de n elementos tomados de un total de N.Combinaciones con repeticin es el nmero de conjuntos de n elementos, tomados repetidos o no,de un total de N.

n)!(NN!VN,n-

= , !NPN = , NVR n,N = , N

nN,n,N P

VC = , n,1nNn,N CCR -+=

Adems, en el caso de N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un rsimo tipo, donde n1 +n2 +...+nr = N, el nmero de permutaciones de los objetos dados es

!n ... !n!n!N

r21.

7HRUHPDELQRPLDO

Teorema binomialGrimaldi 14

Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces

(x+y)n = n x y n x y n x y nn

x yn

nx y

n

kx yn n n n n

k

nk n k

0 1 2 10 1 1 2 2 1 1 0

0

+

+

+ +-

+

=

- - -

=

-

... .

Demostracin:En el producto (x+y) (x+y) (x+y) ... (x+y)

el coeficiente de xkynk , 0 k n, es el nmero de formas distintas en que se pueden seleccionarlas kx (y en consecuencia las (nk)y) de las nx disponibles en los n fatores.Por ejemplo, una forma es elegir x de los primeros k factores e y de los ltimos nk factores.El n total de las selecciones de tamao k de una coleccin de tamao n es C(n,k) de donde resultael teorema.

De este resultado se observa que(x+y)n = nn k

x yk

nk n k

-

=

-

0. Debido a este teorema,

n

k

suele

denominarse coeficiente binomial.

CorolarioPara cualquier entero n>0,

a) n n n nn

n

0 1 22

+

+

+ +

=...

b) n n n nn

n

0 1 21 0

-

+

+ + -

= ... ( )

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Demostracin: El apartado a) resulta del teorema binomial al hacer x=y=1. Cuando x=1 ey=1, resulta el apartado b).

TeoremaUned 240

Para cada n, k N {0} y para k n se cumple la siguiente igualdad

++

++

=

+

+

kn

...

k1k

kk

1k1n

Teorema multinomial (generalizacin del teorema binomial)Uned 14

Para los enteros positivos n, t, el coeficiente de x x x xn1 n n tnt

1 22

33

... en (x1 + x2 + x3 + ... + xt)n

es n

n n n n t

!! ! !... !1 2 3

donde cada ni es un entero con 0 ni n, para toda 1 i t y

n1+n1+n1+...+nt=n.

3ULQFLSLRGH LQFOXVLyQH[FOXVLyQ

Sea S un conjunto finito y P1, P2, ..., Pn propiedades que cada uno de los elementos de Spuede o no satisfacer. Para cada i=1, 2, ..., n, sea

Si = {x S tal que x satisface Pi}entonces

{ }n1,2,...,i ,P spropiedade las de una menos al satisface x que talSxS in

1ii ==

=

( ) { }n1,2,...,i ,P spropiedade las de ninguna satisface no x que talSxSSS in

1ii

n

1ii ===-

==

donde Si es el complementario de Si en S.

Teorema (principio de Inclusin-Exclusin)Uned 252

Con la notacin anterior:

-+-++-+-===

12n

ik2i1ik

3i2i1i2i1i

n

1ii

n

1ii .SS)1...(S...SS)1(...SSSSSSSS

donde para 2 k n, las sumas

ik2i1i S...SS se extienden a todas las combinacionesde orden k,{i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}.

CorolarioUned 253

El nmero de elmentos de S que satisfacen al menos una de las propiedades P1, P2, ..., Pn es

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-

++-+++--=

-

-

==

n

n

ikiik

iiiii

n

ii

n

ii

SSS

SSSSSSSSSSS

...)1(

......)1(...

121

211

3212111

donde para 2 k n, las sumas

ik2i1i S...SS se extienden a todas las combinacionesde orden k,{i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}.

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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios I

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Expliquebrevemente la

respuesta. 9 a) 8 f) { } 9 k) {a,b} {a,b, {a,b} }

8 b) 9 g) { } { } 8 l) {a,b} {a,b, { { a,b } } }

9 c) { } 8 h) { } { } 9 n) {a, } {a, {a, } } 9 d) { } 9 i) {a,b} {a,b,c, {a,b,c} } 8 m) {a, } {a,{a, }} 8 e) { } 8 j) {a,b} {a,b,c, {a,b,c} } Hay que tener en cuenta que todo conjunto tiene como subconjunto a si mismo y al vacio, yque un conjunto A es subconjunto de otro B, si A aparece como elemento del conjunto potencia de B.

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones acerca de conjuntos arbitrarios A, By C son verdaderas. Justifique la respuesta.

a) Si A B y B C, entonces A C

9, porque " b B b C

b) Si A B y B C, entonces A C A aparece como elemento en C, lo cual no garantiza que los elementos de A esten en C. 8, contraejemplo : Sea A={a}, B={ {a}, b, c }. Vemos que A B. Sea C={ {a}, b, c,d }, vemos que B C, pero {a} P(C), por lo que no se cumple A

C

c) Si A B y B C, entonces A C A no aparece como elemento, aunque sus elementos formen parte de un elemento de C.

8, contraejemplo : Sea A={a}, B={a,b}, C={ {a,b}}. Vemos que A C solo se cumpliria si

C={...,{a},....,...}

d) Si A B y B C, entonces A C Los elementos de A no aparecen en C, sino integrando un elemento de C.

8, contraejemplo : Sea A={a}, B={a,b}, C={{a,b}} pero P(C)={ , {{a,b}} } , por lo que no se cumple A

C

3. Sean (A C) (B C) y (A C ) (B C ), demostrar que A B.

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Sabemos que C C =U y A=A U, asi que A=A (C C ), que desarrollado, = (A C) (A C ) Y observando el enunciado : ((A C) (A C )) ((B C) (B C )) fi A B

4. Que se puede decir de los conjuntos P y Q ?a) P Q = P P Q ? Dems. : Para cualquier x P : P=(P Q) x (P Q) x Q

b) P Q = P Q P ? Dems. : Para cualquier x P : P=(P Q) x (P Q) x Q

c) P Q = P Q= ?, es decir : (P Q)(P Q)=P Q= ? Es erroneo suponer que Q= , Dems. :

Si x Q : x P x P Q P P Q x P x P Q P P Q

d) P Q = P Q P=Q ? Dems : Para " x P P Q = P Q, x Q P=Q

5. a) Sean A B y C D. Siempre sucede que (A C) (B D)?

S, x A Cx A x Bx C x D x B D

Siempre sucede que (A C) (B D)?

S, x A Cx A x Bx C x D x B D

b) Sean A B y C D. Siempre sucede que (A C) (B D)? No. En a) demostramos que son subconjuntos, ahora refutaremos demostrando que son

iguales. Contraejemplo : A={1,2}, B=D={1,2,3}, C={2,3}, vemos que A B y C D, pero (A C)=(B D)

Siempre sucede que (A C) (B D)? Contraejemplo : A={1,2}, B={1,2,3}, C={1,4}, D={1,4,5} vemos que A B y C D, pero(A C)=(B D).

6. a) Puesto que (A B)=(A C), es necesario que B=C?No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={3,4,6}, C={2,4,6}

b) Puesto que (A B)=(A C), es necesario que B=C?No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={2,3,5}

c) Puesto que (A B)=(A C), es necesario que B=C?A B=(A B)(A B), A C=(A C)(A C)

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Para x Bx A B x A, o x A Cx A B x A, o x A C x C

Para x Cx A C x A, o x A Bx A C x A, o x A B x B

7. Sean A,B,C conjuntos arbitrarios.a) Demostrar (AB)C=A(B C)

AB= A B (AB)C fi (A B )C fi (A B ) C fi A (B C ) fi A (B C) fi A(B C)

b) Demostrar (AB)C=(AC)B (AB)C fi (A B ) C fi (A C ) B fi (AC)B

c) Demostrar (AB)C=(AC)(B C) A(B C) = A(C (BC)) fi A(B C) A(C B)

x B C -

-

- -

x C x (B C) C x B

x C x (B C) C x C x B C (B C) C

Como son iguales, se verifica la demostracin.

8. Sean A=estudiantes de 1er curso, B=estudiantes de 2, C= estudiantes de I.T. Informtica, D= estudiantes de I. Informtica, E= estudiantes de MD, F= estudiantes que fueron al concierto, G= estudiantes que se acostaron tarde

Expresar :a) Todos los del 1 curso de I. Informtica cursan MD : A E=Ab) Los del curso de MD o los que fueron al concierto se acostaron tarde : E F=Gc) Ningn estudiante de MD fue al concierto : E F= d) El concierto fue solo para estudiantes de 1 y 2 : ( )A B F= e) Todos los de 2 que no son de I. T. Informtica ni de I. Informtica, fueron al

concierto. F (BCD )=F

9. Sea A={ }. Sea B=P(P(A)). P(A)={A, ,{ } }, B=P(P(A))= { A, , { }, {A}, {{ }}, {A, }, { ,{ }} }

9 a) B 9 b) B 9 c) { } B 9 d) { } B 9 e) {{ }} B 9 f) {{ }} B

10. Verdadero o falso?

8 a) A P(A) = P(A)

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Contraejemplo : Sea A={1,2} ; P(A)={ , {1}, {2}, A}, A P(A)= {1, 2, , {1}, {2}, {1,2} }

8 b) A P(A) = A Ver Contraejemplo anterior.

9 c) {A} P(A) = P(A) Porque {A} P(A)

8 d) {A} P(A) = A Porque A P(A)= {1,2} { , {1}, {2}, A} = {A} 9 clase?

9 e) AP(A) = A A esta como elemento en P(A), y ningun conjunto se tiene a si mismo como elemento.

8 f) P(A){A} = P(A) P(A){A} = { , {1}, {2} }

11. Sea A y B conjuntos arbitrarios.a) Demostrar P(A B)= P(A) P(B), o mostrar contraejemplo Para un x P(A B) x A B x A y x B x P(A) y x P(B) x P(A) P(B), de modo que P(A B)=P(A) P(B)

b) Demostrar P(A B)= P(A) P(B), o mostrar contraejemplo Sea U={1,2,3}, A={1}, B={2}. Entonces {1,2} per P(A B), pero {1,2} P(A) P(B)

12. Mostrar ejemplo de conjuntos con ms de 4 elementos A y B y una funcin f:A fi B talque :

a) f no sea inyectiva ni sobreyectiva 14a)b) f sea inyectiva y no sobreyectiva. 13e)c) f no sea inyectiva y s sobreyectiva. 13d)d) f sea inyectiva y sobreyectiva 13a)

13. Para cada una de las siguientes funciones f:Z fi Z, determinar si la funcin es inyectivay/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f.

a) f(x)=x+7 Inyectiva : f: Z fi Z. Sobreyectiva : x fi x+7

b) f(x)=2x3 Inyectiva, sobreyectiva.c) f(x)=-x+5 Inyectiva, sobreyectiva.d) f(x)=x2 No inyectiva : f(3)=9=f(-3). Sera inyectiva si f: Z+ fi Z. Sobreyectiva, pues para " x2 Z, $ |x| Z .e) f(x)=x2+x Inyectiva, no sobreyectiva.f) f (x)=x3 Inyectiva, no sobreyectiva.

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14. Para cada una de las siguientes funciones f:R fi R, determinar si la funcin es inyectivay/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f.

a) g(x)=x+7 b) g(x)=2x3 c) g(x)=x+5 f) g(x)=x3d) g(x)=x2 imagen = [0,+ )e) g(x)=x2+x imagen = [-1/4,+ )a), b), c), y f) son inyectivas y suprayectivas, d) y e), ni inyectivas, ni suprayectivas.

15. Dadas las funciones f,g:R fi Rf(x)= 1

3x2 + y g(x)=x2+3x+4 hallar f $ g y g $ f .

g $ f = (f(x))2+3x+4 fi ... ; f $ g= 13(g(x))2 +

fi ... ;

16. Sean f:Afi B y g:Bfi C aplicaciones (por tanto, g $ f : Afi C). Demostrar que:a) Si f y g son inyectivas entonces g $ f es inyectivab) Si f y g son sobreyectivas entonces g $ f es sobreyectivac) Si f y g son biyectivas entonces g $ f es biyectiva Ver demostracin en apuntes.

17. En las mismas condiciones del ejercicio anterior demostrar que :a) Si g $ f es inyectiva entonces f y g tambin lo sonb) Si g $ f es sobreyectiva entonces f y g tambin lo sonc) Si g $ f es biyectiva entonces f y g tambin lo son

18. a) Sea f una aplicacin $ la inversa, f--1. Demostrar que f--1 tiene inversa y es la propia f,o sea (f -1)-1.

Segn Pg 86 3.17 : Si f :Afi A, se define f-1=f, y para n Z+, fn+1=f (fn) ( demostracin ?)

b) Sean f y g aplicaciones biyectivas y componibles. Demostrar que la inversa de g $ f es(f -1) $ (g-1) .

Para f, g invertible f y g son biyectivas g f es biyectiva g f es invertible.Como (g f) (f-1 g-1)=IdC y (f-1 g-1) (g f)=IdA , f-1 g-1 es una inversa de g f.Por la unicidad de los inversos, f-1 g-1=(f g)-1 .

19. Sean f: A fi B, g:B fi C y h: C fi A aplicaciones tales que h $ g $ f es inyectiva, g $ f $h es sobreyectiva y f $ h $ g es sobreyectiva. Demostrar que f, g y h son aplicacionesbiyectivas. La composicin de funciones es asociativa, y ya vimos antes que si la composicin de 2 funcioneses inyectiva, tambin lo son las 2 funciones, e idem con la sobreyectiva. Por tanto, son biyectivas.

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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios II1. Estudiar las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto Z :

a) x R y xy > 08 reflexiva : 00 =0; (0,0) R9 simetrica (si xRy yRx) : porque el producto es conmutativo en Z9 transitiva (xRy, yRz xRz) : xy>0 y zy>0 (xy)(yz)>0 fi y2xz>0 fi xz>0

b) x R y xy 09 reflexiva : para x=0 fi 00=0 y para x= fi x2=+ >09 simetrica : el producto es conmutativo9 transitiva (xRy, yRz xRz) : xy 0 y zy 0 (xy)(yz) 0 fi y2xz 0 fi xz 0

2. En Z Z* se define la relacin (a,b)R(c,d) si, y solo si, ad=bc. Demostrar que se trata deuna relacin de equivalencia y hallar el conjunto cociente. (Z*=Z{0} )9 reflexiva (x,y)R(x,y) : xy=yx, porque el producto es conmutativo en Z y Z*9 simetrica (a,b)R(c,d) (c,d)R(a,b) : ad=bc y cb=da9 transitiva (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) (a,b)R(e,f) :

ad=bc y cf=de af=be ? s porque fad=bcf y bcf=deb fad=deb fifa=eb

Conjunto cocienteZ Z*/~ = { [(a,b)] (a,b) Z Z* } , [(a,b)]= { (c,d) Z Z* (a,b)R(c,d) }ad=bc fi a/b=c/d, el conjunto cociente seran todas las fracciones

proporcionales a a/b,por consiguiente todas las clases unidas seran el conjunto de los nmeros

racionales Q

3. En el conjunto a={0,1,2,4} se da la siguiente relacin : Dados x,y A, xRy x2+x =y2+y. Demostrar que es una relacin de equivalencia y hallar el conjunto cociente.

4. Sea f : A B una aplicacin cuya descomposicin cannica es f=i $ f1$

c. Demostrar :a) f es inyectiva c es inyectiva.b) f es sobreyectiva i es sobreyectiva.c) f es biyectiva c,i son biyectivas.

5. Demostrar que la relacin R definida en el conjunto de las partes de un conjunto U, P(U),por : A,B P(U), A R B A B es una relacin de orden. Es una relacin de orden total?.

6. Sea A un conjunto, donde Card(A)=n. Determinar si las siguientes proposiciones sonverdaderas o flasa, en cuyo caso dar un contraejemplo.

a) Si R es una relacin reflexiva en A, entonces Card(R) n.b) Si R es una relacin en A y Card(R) n, entonces R es reflexiva.

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c) Sean R1, R2 dos relaciones en A con R1 R2. Si R1 es reflexiva ( respectivamentesimetrica, antisimetrica, transitiva) entonces R2 es reflexiva( respectivamentesimetrica, antisimetrica, transitiva).7. Determinar si las siguientes relaciones definidas en el conjunto A son de equivalencia : a) A={a,b,c,d}. R={(a,a), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (d,c) } b) A={1,2,3,4,5}. R={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (2,3), (3,3), (4,4), (3,2), (5,5) } En caso afirmativo calcular las clases de equivalencia

MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios V1. Demostrar por induccin lo siguiente : a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n1) = n2. base de induccin : 9 para n=1 ? s, porque para 1+3+5+...+(2n1)=n2 , con n=1 nos queda1=1

paso inductivo : suponemos 9 para k 1, 9 para k+1? . O sea (2i - 1) =i=1

k

k2 ,

(2i - 1) =i=1

k+1

(k+1)2 ?

vemos que se cumple, porque (2i - 1)i=1

k

+(2(k+1)-1)=(k+1)2 fi k2 +2k+21=(k+1)2 fi(k+1)2=(k+1)2

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n1) = n(2n1)(2n+1) / 3 . base de induccin : 1=1

paso inductivo : (2i -1)2i=1

k

=k(2k1)(2k+1) / 3 , (2i -1)2i=1

k+1

= (k+1)(2(k+1)1)(2(k+1)+1)/3?

(2i -1)2i=1

k

+ (2(k+1)1)2 = 43

13

k k3 - fi ( k(2k1)(2k+1)/3 ) + (2(k+1)1)2 = (k+1)(2(k+1)

1)(2(k+1)+1) / 3 fi fi

43

113

1k k + 4k3 2+ + = 43

113

1k k + 4k3 2+ +

- estos son exactamente la misma movida c) 13 + 24 + 35 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7) / 6 . d) 1

i(i+1)n

n+1i=1

n

=

e) 2 2 2 111 0

1i

i

ni

i

nn-

= =

-

= = -

f) i n (n 1)4

ii

n 2 2

i

n3

1 1

2

= =

=

+=

- este es igual pero para las tres partes : la 1 con la 2, y la 2 con la 3

2. Demostrar que para cada n 0, el nmero 42n+1 + 3n+2 es mltiplo de 13.

-

Es decir : 13 | (42n+1 + 3n+2) , y por tanto : 42n+1 + 3n+2 = 13q

base de induccin : n=0, 420+1 + 30+2=13 (que es mltiplo de 13) paso inductivo : 42k+1 + 3k+2=13q, 42(k+1)+1 + 3(k+1)+2 ?

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42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 42k+3+3k+3 = 4(2k+1)+2 +3(k+2)+1 = 424(2k+1)+33k+2 = 164(2k+1)+33k+2 = = 164(2k+1)+33k+2+( 133k+2133k+2 ) = 164(2k+1)+163k+2 133k+2 = 16(4(2k+1)+3k+2)133k+2 = 16(13q)133k+2 = 13( 16q3k+2 ) que evidentemente es mltiplo de 13

4. Para n Z, probar que : n2 < (n2n) / 12 . - lo mismo que los anteriores

5. Sea P(n) la proposicin para n Z+, i (n ( / ))i

n

=

=

+

1

21 22

.

Demostrar que la veracidad de P(k) implica la veracidad de P(k+1) para todo k 1. -lo mismo de antes ! Es verdadera P(n) para todo n Z+ ?

6. Demostrar que todo nmero natural n 24 se puede expresar como la suma decincos y sietes .

8. Probar que la suma de los ngulos internos de un polgono convexo de n lados es(n2) p radianes.

PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETA4.- Combinatoria y recurrencia5.- Clculo de proposicionesBibliografa.ConjuntoSubconjuntoAlgunos conjuntosUnin, interseccin y complementacinComposicin de aplicacionesAplicacin inversa

PropiedadConjunto cocienteA/(( B

GrafosAristasVrticesGrafosGrafo conexoMatriz de adyacencia:Matriz de incidencia:Grafo eulerianoTeorema de EulerAlgoritmo de FleuryHamiltonArbolesTeoremaTeoremaTeorema KurakowskiTeoremaDivisibilidad en ZAlgoritmo de Euclides, bsico y extendidoNmeros primosPrincipio de induccinECUACIONES DIOFANTICASCONGRUENCIASPrincipios fundamentales del conteoPermutaciones, variaciones, combinacionesTeorema binomialPrincipio de inclusin exclusin