Matemtica Funes trigonomtricas

A macaxeira fonte de alim para milhares de famlias de entao e gerao de renda ribeirinhos na Amaznia

Matemtica Operaes com arcos Fsica Equilbrio de corpos Fsica Hidrosttica

pg. 02 pg. 04

pg. 06 pg. 08 pg. 10

Portugus Concordncia nominal I

s uadrado ra q s o r t e mil m a da Guanaba 0 1 2 km e sobre a Ba 9 , 3 1 io , Niteri o em equilbr o i R Ponte reto e asfalt de conc

Simulado do Aprovar no dia 28 de abrilCaro estudante, Chegamos ao nmero 18 e nos aproximamos da marca de 2 milhes de apostilas distribudas. Se voc est includo entre os mais de 30 mil finalistas do Ensino Mdio da rede pblica de ensino, no esquea de retirar a apostila do Aprovar na sua escola, seja na capital, seja no interior. Todas as edies do primeiro e segundo mdulos do projeto esto nas secretarias. As apostilas tambm esto disponveis na internet, nos endereos www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br. Acompanhar as aulas a partir da apostila importante, pois ela serve de apoio para as aulas que so veiculadas de segunda a sbado, pela televiso (TV Cultura, Amazonsat e RBN)e pelo rdio (Rio Mar, Seis Irmos do So Raimundo, Panorama de Itacoatiara, Difusora de Itacoatiara, Comunitria Pedra Pintada de Itacoatiara, Santo Antnio de Borba, Estao Rural de Tef, Independncia de Maus, Rdio Cultura). Simulado A data do primeiro Simulado do Aprovar j est definida. Ser no 28 de abril, em 13 escolas estaduais da capital e em todos os municpios do interior. Durante a prova, sero explorados os contedos das disciplinas referentes aos dois primeiros mdulos: Lngua Portuguesa, Literatura Brasileira, Histria e Geografia. A entrada gratuita e voc ainda confere o seu desempenho logo aps o teste. As respostas e comentrios dos professores sero exibidos em teles instalados nos locais de prova. Definitivamente incorporado vida estudantil do Amazonas, o Aprovar segue com timos ndices no vestibular da UEA. Nos ltimos trs anos, aproximadamente 2 mil alunos aprovados no concurso afirmaram ter estudado pelo Aprovar. Em 2006, por exemplo, das 3.709 vagas oferecidas, 600 foram preenchidas por alunos que estudaram pelo Aprovar, o que representa um ndice de aprovao de 16%. Na primeira etapa, o ndice de aprovao foi de 19%. Dos 8.815 estudantes que informaram ter estudado pelo Aprovar, 1.729 foram classificados para a segunda etapa. Em 2007, voc pode fazer parte desta estatstica. Ainda temos uma longa jornada at o vestibular. Portanto, hora de estudar. Retire a apostila em sua escola, ou no PAC mais prximo de sua casa. Voc ainda pode consultar e imprimir nmeros anteriores pela internet (www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br). Vamos em frente!

MatemticaProfessor CLCIO

Funes trigonomtricas1. Introduo Funes trigonomtricas na circunferncia trigonomtrica Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitrio. Escolhemos tambm um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA, e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido antihorrio, de 90 ou /2 radianos.

O domnio da funo seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y=sen x, a partir das transformaes sofridas pelo grfico dessa funo. Funo co-seno Consideremos a funo f(x)=cosx. Cada ponto do grfico da forma (x, cosx), pois a ordenada sempre igual ao cosseno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidades de medida de comprimento. O grfico dessa funo o seguinte:

Dado um nmero real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no crculo unitrio, de tal modo que o comprimento do arco AP x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP x radianos. Tambm podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ngulo central AP tem (180 x). Definimos as funes seno, cosseno e tangente do nmero real x da seguinte maneira: cos x: a abscissa de P sen x: a ordenada de P senx tgx = , se cosx 0 cosx Desse modo, dado um nmero x real, fica determinado, na circunferncia trigonomtrica, o ponto: P=P(x)=(cos x, sen x). Como conseqncia das definies de sen x, cos x e tg x, temos que: P(0)= A =(1,0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0, tg 0 = 0. P(/2)= (0,1) e, portanto, cos /2 = 0, sen /2=1, enquanto tg /2 no existe, pois cos /2= 0. Propriedades: i) sen(/2 + x)=cos x e cos(/2 + x)=senx; ii) sen( x)=sen x e cos( x)=cosx; iii) sen( + x)=sen x e cos( + x)=cosx; iv) sen(2 x)=sen x e cos(2 x)=cosx; v) sen(2 + x)=sen x e cos(2 + x)=cosx. Funo Seno Consideremos a funo f(x)=sen x. Cada ponto do grfico da forma (x, senx), pois a ordenada sempre igual ao seno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidade de medida de comprimento O grfico dessa funo o seguinte:

O domnio da funo co-seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo limitada e peridica de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo co-seno mais geral, y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo grfico dessa funo. Consideremos a funo f(x)= cos x. Cada ponto do grfico da forma (x, cos x), pois a ordenada sempre igual ao cosseno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidades de medida de comprimento. O grfico dessa funo o seguinte:

O domnio da funo co-seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo limitada e peridica de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo co-seno mais geral, y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo grfico dessa funo.

Aplicaes(UFMG) Calcular o valor da expresso 9 13 sen + sen 4 2 Soluo:

2. Equaes Trigonomtricas Introduo Equao trigonomtrica elementar, qualquer equao da forma senx = sena, cosx = cosa e tgx = tga, onde x um arco trigonomtrico incgnita a ser determinado e a um arco trigonomtrico qualquer.

2

Via de regra, qualquer equao trigonomtrica no elementar, pode ser transformada numa equao elementar, por meio do uso das relaes trigonomtricas usuais. Nota: os arcos a e a + k.2 onde k um nmero inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um nmero inteiro de voltas, ou seja: a + k.2 a = k.2 Observao: 2=360= uma volta completa. Para a soluo das equaes trigonomtricas elementares, vamos estabelecer as relaes fundamentais a seguir: Arcos de mesmo seno J sabemos que sen( a) = sena. Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonomtrico, as solues gerais da igualdade acima sero da forma: x = ( a) + k.2 ou x = a + k.2. x = + 2k. a ou x = a + k.2 x = (2k + 1) a ou x = 2k + a Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo senx = sena, ser x = (2k + 1) a ou x = 2k + a. Exemplo: Seja a equao elementar sen x = 0,5. Como 0,5 = sen 30 = sen/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: senx = sen /6, de onde conclui-se: x = (2k + 1). /6 ou x = 2k +/6, com k inteiro, que representa a soluo genrica da equao dada. Fazendo k variar no conjunto dos nmeros inteiros, obteremos as solues particulares da equao. Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituio na soluo genrica encontrada acima, x = /6 ou x = /6; fazendo k = 1, obteremos x = 17/6 ou x = 13/6, e assim sucessivamente. Observe que a equao dada, possui um nmero infinito de solues em IR. Poderemos escrever o conjunto soluo da equao dada na forma geral: S = {x|xR; x =(2k + 1) /6 ou x = 2k + /6, k Z} Poderemos tambm listar os elementos do conjunto soluo: S = { ..., /6, /6, 17/6, 13/6, ... } Arcos de mesmo co-seno J sabemos que cos (-a) = cos a. Poderemos escrever para as solues gerais da igualdade acima: x = (a) + 2k ou x = a + 2k, sendo k um nmero inteiro. Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo cosx = cosa, ser dada por: x = 2k + a ou x = 2k a, sendo k um inteiro.

Exemplos: 1) sen x >1/2 e sen x+tgx 2 so inequaes trigonomtricas. 2) ( sen 30) . (x 1) > 0 Resolver uma inequao como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos nmeros s, sendo s elementos do domnio de f e de g, tais que f(s) < g(s). O conjunto S chamado de conjunto soluo da inequao e todo elemento de S uma soluo da inequao. Assim, na inequao sen x >1/2, os nmeros 0, /4, /2 so algumas de suas solues e os nmeros 5/4 e 3/2 no o so. Resoluo de inequao trigonomtrica Quase todas as inequaes trigonomtricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequaes fundamentais. Vamos conhec-las, a seguir, por meio de exemplos. 1. caso : senx < sena (senx sena)2 2

Desafio Matemt ico01. Calcule o valor de sen 7/2:a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 3

02. Foram feitos os grficos das funes f(x) = sen4x e g(x)= x/100, para x no intervalo [0, 2[. Determine o nmero de pontos comuns aos dois grficos.a) 6 d) 7 b) 4 e) 8 c) 9

03. Calcule o valor da expresso: sen 330 + sen(450) . tg120.cotg(210)a) 1/2 d) 1/3 b) 1/2 e) 1 c) 1/3

04. Sendo x um ngulo do primeiro quadrante e tgx = 3, calcule senx.Por exemplo, ao resolvermos a inequao senx < sen/6 ou senx < 1/2 encontramos, inicialmente, 0 x /6 ou 5/6 b.

cos (180) = cos 180 = 1, etc. Se considerarmos a funo y = cosx, como cos(x ) = cosx , diremos ento que a funo cosseno uma funo par. Reveja o captulo de funes. Para finalizar, tente simplificar a seguinte expresso: y = cos(x 90) cos(x - 270). Resposta: 2senx Vimos a deduo da frmula do co-seno da diferena de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais frmulas da adio e subtrao de arcos sem as dedues, lembrando que essas dedues seriam similares quela desenvolvida para cos(a b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso. Sejam a e b dois arcos trigonomtricos, temos que: cos(a b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb sena . senb sen(a b) = sena . cosb senb . cosa sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa tga + tgb tg (a + b) = 1 tga.tgb tga tgb tg (a b) = 1 + tga.tgb

02. Calcule: L=sen(/2+x)sen( +x)+cos(/2+x) cos( x).a) b) c) d) e) L=2 L=1 L= 3 L=0 L= -2 Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condies, podemos concluir que o arco BA tem medida a b. Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ngulo que eles formam. Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o tringulo OAB: 2 2 2 AB = OB + OA 2. OB . OA . cos(a b). (Equao 1) Ora, OB = OA = 1 (raio do crculo trigonomtrico, portanto, unitrio). AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb). J vimos nesta pgina, a frmula da distancia entre dois pontos; se voc no se lembra, revise os textos sobre geometria analtica. Assim, substituindo os elementos conhecidos na frmula acima (equao 1), vem: 2 2 2 2 (cosa cosb) + (sena senb) = 1 + 1 2.1.1.cos(a b) Desenvolvendo, vem: 2 2 2 cos a 2.cosa.cosb + cos b + sen a 2 2.sena.senb + sen b= = 2 2cos(a b) 2 2 2 2 Lembrando que cos a + sen a = cos b + sen b = 1 (Relao Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo: 1+1 2cosa.cosb 2sena.senb=2 2cos(ab) Simplificando, fica: -2[cosa.cosb + sena.senb] = 2.cos(a b) Donde finalmente podemos escrever a frmula do cosseno da diferena de dois arcos a e b: cos(a b) = cosa . cosb + sena . senb Exemplo: cos(x 90) = cosx . cos90 + senx . sen90 Ora, como j sabemos que cos90 = 0 e sen90 = 1, substituindo, vem finalmente: cos(x 90) = senx. Se fizermos a = 0 na frmula do cosseno da diferena, teremos: cos(0 b) = cos0 . cosb + sen0 . senb E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica: cos( b) = cosb Portanto: cos(60)=cos60=1/2, cos(90)=cos90=0,

03. Se tg (x+y) = 33 e tgx = 3, calcule tg y.a) b) c) d) e) 4/10 3/10 7/10 3 3/2

Aplicaes01. (UEA) Calcular o valor de sen 15. a) d) Soluo: sen 15 = sen (30 + 45) = sen 30.cos 45 + sen 45.cos30 = = 02. (USP) Sendo tgA = 2 e tgB = 1, calcular tg(A B). a) 1/3 b) 2 c) 1/3 d) 2 Soluo: tgA tgB 21 1 tg(A B) = + = 1 + tgA.tgB 1 + 2.1 3 2. Arco duplo Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a frmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo: sen 2a = 2 . sen a . cos a Analogamente, usando a frmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a cos(a + b) = cosa . cosb sena .senb e fazendo a = b, obteremos a frmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo: 2 2 cos 2a = cos a sen a Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a frmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo: 2.tgA tg2a = 2 1 tg a A frmula acima somente vlida para tga 1 e tga 1, j que nestes casos o denominador seria nulo! Exemplos: sen4x = 2.sen2x.cos2x senx = 2.sen(x/2).cos(x/2) 2 2 cosx = cos (x/2) sen (x/2) 2 2 cos4x = cos 2x sen 2x, ... , etc. 3. Arco Metade Vamos agora achar as funes trigonomtricas b) c)

04. Sabendo que tg=1/3 e tg=1/7, calcule tg( ):a) b) c) d) e) 1/4 7/3 1/2 3/4 2/11

05. Calcule sen 2x, sabendo que tgx + cotgx = 3.a) b) c) d) e) 1/3 2/6 3/2 1/5 2/3

06. Se sen x cos x = 1/5, calcule sen 2x.a) b) c) d) e) 12/15 32/33 24/25 23/27 17/25

07. Calcule sen15+cos15.a) d) b) e) c)

08. Sendo tgA = 2 e tgB = 1, ache tg(A B).a) b) c) d) e) 2/3 2/5 1/3 2/5 1/6

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da metade de um arco, partindo das anteriores. Co-seno do arco metade 2 2 Ora, sabemos que cos2a = cos a sen a 2 2 2 Substituindo sen a, por 1 cos a, j que sen a 2 + cos a = 1, vem: 2 2 cos a = 2.cos a 1. Da, vem: 2 cos a = (1+cos2a) / 2 2 Fazendo a = x/2, vem, cos (x/2) = [1+cosx]/2. Podemos escrever ento a frmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. Seno do arco metade Podemos escrever: 2 2 2 cos2a = (1 sen a) sen a = 1 2sen a 2 2 Da vem: sen a = (1 cos a)/2 2 Fazendo a = x/2 , vem: sen (x/2) = (1 cosx)/2. Podemos escrever ento, a frmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. Tangente do arco metade Dividindo membro a membro as equaes 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

sen (a b) = sena . cosb senb . cosa Somando membro a membro estas igualdades, obteremos: sen(a + b)+ sen(a b) = 2.sena . cosb. Fazendo: a+b=p ab=q teremos, somando membro a membro: 2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q)/2 Agora, subtraindo membro a membro, fica: 2b = p q, de onde tiramos b = (p q)/2 Da ento, podemos escrever a seguinte frmula: p+q pq senp + senq = 2.sen . cos 2 2 Exemplo: sen50 + sen40 = 2.sen45.cos5 Analogamente, obteramos as seguintes frmulas: pq p+q senp senq = 2.sen . cos 2 2 p+q pq cosp + cosq = 2.cos . cos 2 2 p+q pq cosp cosq = 2.sen . sen 2 2 Exemplos: cos 30 + cos 10 = 2.cos20.cos10 cos 60 cos 40 = 2.sen50.sen10 sen 70 sen 30 = 2.sen20.cos50.

Desafio Matemt ico01. Calcule o valor de M, sabendo que M =(senx cosy)2+(seny cosx )2 e x + y = /6.a) b) c) d) e) 1 2 3 4 5

02. Determine um valor de nIN*, tal que /n seja soluo da equao: 8cos4 8cos2 +1=0.a) b) c) d) e) n n n n n = = = = = 2 4 16 8 1

Aplicaes01. (UTAM)Determine o valor da expresso y =cos70 + cos20. a) .cos25 b) cos25 c) .sen25 d) .cos25 Soluo: 70+20 7020 y =cos70 + cos20 = 2cos . = 2 2 = 2cos45.cos25= 02. (UEA) Transforme em produto a expresso y = sen(135+ x) + sen(135 x) a) .cosx b) cosx c) .senx d) senx Soluo: 135+x+135 x 135+x 135+x y=2sen()cos() 2 2 y= 2sen135 .cosx y= 2 .cosx= .cosx 03. (UFAM) Simplificando- se a expresso y = cos80 + cos40 cos20, obtm- se: a) 2 b) 1 c) 1 d) 0 Soluo: y = cos80 + cos40 cos20 80+40 80 40 y= 2cos . cos = 2 2 = 2cos 60.cos20 20 = 2. 1/2 cos20 cos20= 0 04. (UTAM) Determine o conjunto soluo da equao sen2x + senx = 0, no intervalo de [0,2]. Soluo: sen2x + senx = 0 2x+x 2xx 2sen .cos =0 2 2 3x x 2sen . cos = 0 2 2 3x 3x 2k sen =0 =k x= ou 2 2 3 x x cos =0 = +k x= +2k, kZ 2 2 2

03. Resolva a equao tg x 2 senx=0; 0 x /2.a) b) c) d) e) {0, {1, {0, {2, {1,

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

/3} /6} /4} /2} /8}

Aplicaes01. (UFPA) Sabendo que sena =1/2 e cosa = , calcular o valor de cos2a. a) 1 b) 1/2 c) 1 d) 1/2 Soluo: 2 2 Sabemos que cos2a = cos a sen a =

04. Se x um nmero real, tal que sen2x 3 senx = 2, para 0 x , ento x igual a:a) /2 d) /4 b) 3/2 e) c) 3/4

05. Determine o menor valor de x tal que 0 x 360 e cosx senx=a) x = 45 d) x = 60 b) x = 90 e) x = 180 c) x = 30

.

02. (PUC) Se tgx + cotgx = 3, calcule sen2x. a) 2 b) 3/2 c) 2/3 d) 2 Soluo: tgx + cotgx = 3

06. Sabendo-se que cos x = 2cos2. x/2 1 e cos2x + sen2x = 1, para quais valores de x no intervalo [0, 2] vlida a igualdade 2senx.cos2.x/2+ cos2x senx.cosx+1=0?a) b) c) d) e) S={2/4} S={3/2} S={4/2} S={3/4} S={4/3}

03. (UFAM) Se senx + cosx = 2, ento o valor de se2x igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Soluo: senx + cosx = 2 2 2 (senx + cosx) = 2 2 2 sen x + 2senx.cosx + cos x = 4 2 2 sen x + cos x + 2senx.cosx = 4 1 + sen2x = 4 sen2x = 3 4. Transformao de somas em produto Vamos deduzir outras frmulas importantes da Trigonometria. As frmulas a seguir so muito importantes para a simplificao de expresses trigonomtricas. J sabemos que: sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

07. Resolva a equao 2cos3x cosx = 0, sendo 0 x .a) b) c) d) e) S={/4, /2, 3/4} S={2/4, /2, /4} S={/4, 2/2, 3/4} S={/2, 3/2, 3/4} S={2/4, /2, 3/4}

08. Considere a funo f real, de varivel real, f(x)=2cos(2 x)+1. Calcule: f(3) + f(/3) f(5/2).a) 3 d) 4 b) 5 e) 0 c) 1

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Desafio Fsico01. (Enem) Um porto est fixo em um muro por duas dobradias, A e B, conforme a figura, sendo P o peso do porto. Caso um garoto se dependure no porto pela extremidade livre, e supondo que as reaes mximas suportadas pelas dobradias sejam iguais:

FsicaProfessor CARLOS Jennings

2. Mtodo dos componentes vetoriais Consideremos um ponto material em equilbrio sob a ao de trs foras (figura 4).

Equilbrio de corposEdifcios, pontes, automveis e embarcaes so exemplos de estruturas equilibradas. No entanto tais estruturas no permanecem equilibradas para sempre. Elas podem estar sujeitas a esforos dinmicos de grande intensidade: terremotos, estradas esburacadas (no caso dos automveis), mar agitado (no caso das embarcaes). EQUILBRIOS ESTTICO E DINMICO Conforme j estudamos na Apostila 16, um ponto material est em equilbrio se a soma das foras que agem nele nula. Um carro parado em uma estrada est em equilbrio esttico. Um carro em movimento, com velocidade vetorial constante em pista horizontal, est em equilbrio dinmico. Em ambos os casos, as foras esto equilibradas, ou seja, a fora resultante nula.

Devemos, inicialmente, obter as componentes vetoriais de cada fora nos eixos retangulares x e y (figura 5):

a) mais provvel que a dobradia A arrebente antes de B; b) mais provvel que a dobradia B arrebente antes de A; c) seguramente as dobradias A e B arrebentaro simultaneamente; d) nenhuma delas sofrer qualquer esforo; e) o porto quebraria ao meio, ou nada sofreria.

F = 0 R = 0

1. Mtodo da linha poligonal Se um ponto material encontra-se em equilbrio, a linha poligonal das foras que agem sobre ele fechada (figura 1).

F1x = F1.cos F2x = F2.cos F3x = 0 F1y = F1.sen F2y = F2.sen F3y = F3 Se o ponto material est em equilbrio, obrigatoriamente h equilbrio tanto na direo horizontal quanto na vertical:

F = 0 F1.cos F2.cos = 0 F = 0 F1.sen + F2.sen F3= 0Importante: 1. O mtodo dos componentes vetoriais vale para qualquer nmero de foras. 2. O componente vertical de uma fora horizontal nulo. 3. O componente horizontal de uma fora vertical nulo.

ArapucaDuas crianas de massas 30kg e 45kg usam uma tbua de 2,5m de comprimento como gangorra. Desprezando a massa da tbua, determine a que distncia da criana de 30kg deve ser colocado o apoio para que elas fiquem em equilbrio na horizontal, quando sentadas nas extremidades.Caso especial No caso especfico de equilbrio de um ponto material sob a ao de trs foras, a linha poligonal determina um tringulo (figura 2).

AplicaoAs cordas A, B e C da figura tm massa desprezvel e so inextensveis. As cordas A e B esto presas ao teto e unem-se corda C no ponto P . Um objeto de massa igual a 10kg est preso na extremidade da corda C. Considerando o sistema em equilbrio: a) Quais so as foras, em mdulo, direo e sentido, que agem no objeto? b) Determine as traes nos fios A e B. /2; Dados: g=10m/s2; sen60 = cos30= sen 30=cos60= 1/2

a) 2m b) 1,4 c) 1m d) 1,5m e) 3 Soluo: Diagrama de foras:

Como as trs foras representam os lados de um tringulo, as relaes entre as suas intensidades obedecem s propriedades dos tringulos. Aplicando a Lei dos Senos, temos: F2 F3 F1 = = sen sen sen

Soluo: a) Foras atuantes no objeto:

Peso de cada criana: P = mg P1 = 30 . 10 = 300N P2 = 45 . 10 = 450N Condio de equilbrio: |M1|=|M2| P1 . d = P2 . (2,5 d) 300 . d = 450 . (2,5 d) 2d = 3 . 2,5 3d 5d = 7,5 d = 1,5m

R = 0 TC = P = m . g

TC = P = 10 . 10 = 100N b) Diagrama de foras: Como + A = 180, temos sen = sen A; + B = 180, temos sen = sen B; + C = 180, temos sen = sen C, a expresso anterior pode ser escrita assim: F1 F2 F3 = = senA senB senC

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TB 1 sen30 = = TB = 50N 100 2 TA sen60 = = TB = 50 100 2 TIPOS DE EQUILBRIO

N

Equilbrio estvel Qualquer pequeno deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo corpo resulta em tendncia de retorno posio de equilbrio inicial. Equilbrio instvel Qualquer pequeno deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo corpo resulta em tendncia de continuar afastando-se da posio inicial. Equilbrio indiferente Qualquer pequeno deslocamento da posio de equilbrio resulta em uma nova situao de equilbrio.

No tringulo ABC, obtemos: sen = d / a d = a . sen E o momento da fora dado por: M = F . d M = Fa . sen Importante: 1. O momento de uma fora em relao a um ponto uma grandeza vetorial, possuindo mdulo, direo e sentido. Mas como utilizaremos somente foras coplanares, basta adotar uma conveno de sinais para os sentidos dos momentos. 2. O momento resultante de um sistema de foras coplanares, em relao a um ponto,

Desafio Fsico01. Duas foras de mdulo F e 2F, que formam entre si um ngulo de 60, agem sobre uma partcula. Para anular a ao dessas foras necessrio aplicar, convenientemente, sobre a partcula uma fora de mdulo igual a:a) F c) F b) F d) 3F e) 3,5F

EQUILBRIO DE CORPOS Corpos simplesmente apoiados Nessa situao, um corpo est sob a ao de apenas duas foras: a fora peso, devido sua interao com a Terra, e a fora de reao do apoio, devido sua interao com a superfcie sobre a qual est apoiado. Para que ocorra o equilbrio, essas duas foras devem ser colineares e opostas. Como o apoio aplica uma fora na base do corpo, a reta vertical que passa pelo centro de massa do corpo tambm deve passar pela base de apoio para que o corpo no tombe.

obtido pela soma algbrica dos momentos de cada uma das foras em relao ao ponto: MR = M 3. O momento de uma fora recebe tambm o nome de torque da fora. EQUILBRIO DE UM CORPO RGIDO Quando um corpo rgido, sujeito ao simultnea de vria s foras coplanares, encontra-se em equilbrio, temos:

02. (UERJ) Para abrir uma porta, voc aplica sobre a maaneta, colocada a uma distncia d da dobradia, conforme a figura, uma fora de mdulo F perpendicular porta. Para obter o mesmo efeito, o mdulo da fora que voc deve aplicar em uma maaneta colocada a uma distncia d/2 da dobradia, dessa mesma porta, :

F = 0 Equilbrio de translao (centro demassa em repouso ou em MRU).

M = 0 Equilbrio de rotao (em relao aqualquer ponto do corpo).

AplicaoUma barra AB, homognea, de 2m de comprimento e peso 100N, est em equilbrio. Sendo 200N o peso do bloco C, determine a trao no fio DE e a fora na barra no ponto A.

a) F/2 c) 2F

b) F d) 4F

03. (UnicampSP) Uma escada homognea de 40kg apia-se sobre uma parede, no ponto P , e sobre o cho, no ponto C. Adote g = 10m/s2. a) Desenhe o diagrama com as foras peso, normal e de atrito em seus pontos de aplicao. b) possvel manter a escada estacionria no havendo atrito em P?

MOMENTO DE UMA FORA Seja uma fora de intensidade F, aplicada no ponto A de uma barra que pode girar livremente em torno do ponto O, chamado de plo (figura 8): Soluo: Diagrama de foras:

O momento de F em relao a O, ou a tendncia de rotao que a fora F produz na barra em relao ao ponto O, dado por: M = F.d F a intensidade da fora, e d a distncia da linha de ao da fora ao eixo de rotao. A distncia d recebe o nome de brao da fora. Ateno: no caso em que a fora no perpendicular ao segmento de reta que une o ponto de aplicao da fora ao plo:

F = 0 FA + TDE PB TBC = 0 ( I )Fixando o ponto A como plo:

04. A figura mostra uma barra homognea de comprimento l e peso 12N, apoiada em um ponto situado a uma distncia l /4 de uma das extremidades, e equilibrada por uma fora F. Determine a intensidade dessa fora.

MA = 0 TBC . DAB PB . dAF + TDE . dAD = 0 ( II )Como TBC = PC = 200N, e substituindo os valores em (II): 200 . 2 100 . 1 + TDE . 1,7 = 0 TDE = 294N Substituindo os valores em (I): FA + 294 100 200 = 0 FA = 6N

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Anot a A! Os navios modernos so metlicos, basicamente construdos de ao. Por ser um material de elevada densidade, o ao afunda rapidamente na gua, quando tomado em pores macias. No entanto os navios flutuam na gua porque, sendo dotados de descontinuidades internas (partes ocas), apresentam densidade menor que a da gua.

FsicaProfessor CARLOS Jennings

HidrostticaDe maneira simples, pode-se dizer que um fluido adquire o formato do recipiente que o contm. So considerados fluidos os lquidos e os gases. Nesta aula, estudaremos as propriedades dos lquidos em equilbrio esttico, embora tais propriedades possam ser estendidas aos fluidos em geral. Massa especfica de uma substncia a razo entre a massa de uma quantidade da substncia e o correspondente volume ocupado por essa substncia: m = v Uma unidade muito usada para massa especfica g/cm3. No S.I., utiliza-se kg/m3. A relao entre essas duas unidades : 6 g 10 kg kg 1 = = = 103 3 6 3 3 cm 10 m m Densidade de um corpo a razo entre a massa do corpo (poro limitada de matria) e o correspondente volume que ele ocupa: m d = v Presso Conceito que relaciona a fora aplicada sobre uma superfcie com a rea dessa superfcie. Assim, a presso de uma fora sobre uma superfcie a razo entre a componente normal da fora e a rea da superfcie na qual ela atua: F p = A No S.I., a unidade de presso N/m2, tambm conhecida como pascal (Pa). Presso atmosfrica A atmosfera, composta de vrios gases, exerce presso sobre a superfcie da Terra. Ao nvel do mar, tem-se: patm = 1,01 . 105 N/m2 = 1,01 . 105 Pa. Presso hidrosttica (ou efetiva) a presso exercida pelo peso de uma coluna fluida em equilbrio. Considere um cilindro com um lquido at a altura h e um ponto B marcado no fundo de rea A. O lquido exerce uma presso no ponto B, dada por:

Aplicaes01. (FAAPSP) Calcular, em N/m2, a presso que exerce uma determinada quantidade de petrleo sobre o fundo de um poo, se a altura do petrleo no poo for igual a 10m e a sua densidade 800kg/m3. Dado: g = 10m/s2. Soluo: d = 800kg/m3; h = 10m; g = 10m/s2. A presso pedida hidrosttica (ou efetiva): p=d.h.g p = 800 . 10 . 10 p = 80.000N/m2 02. No interior do Amazonas, comum a prtica da pesca do bod com as mos. Se um pescador mergulhar a 10m de profundidade, em relao superfcie de um lago, para capturar alguns desses peixes, qual ser a presso a que ele estar submetido? Dados: patm = 105N/m2 (presso atmosfrica local); dgua = 103kg/m3. Soluo: Deseja-se calcular a presso total (ou absoluta) sobre o mergulhador: pabs = patm + pef pabs = patm +dgh pabs = 105 + 103 . 10 . 10 pabs = 2,0 .105 Pa LEI DE STEVIN

Em algumas praias tradicional o passeio de buggy. Esses veculos so geralmente equipados com pneus que apresentam banda de rodagem de largura maior que o normal (pneus talalarga). Devido maior rea de contato com o solo, a presso exercida pelos pneus sobre a areia torna-se menor, dificultando o atolamento.

Na experincia ilustrada na figura abaixo, quando o corpo (sem porosidades) introduzido na jarra preenchida com gua at o nvel do seu bico, certo volume do lquido extravasa, sendo recolhido no pequeno recipiente lateral. O volume de gua extravasado exatamente igual ao volume do corpo, e a intensidade do empuxo recebido por ele igual do peso do lquido deslocado (Teorema de Arquimedes).

As presses em A e B so: pA = po + dghA pB = po + dghB Ento, a diferena de presso (p) entre A e B : pA pB = dg (hA hB) ou p = dgh Concluso: dois pontos na mesma horizontal dentro de um fluido em equilbrio esto submetidos mesma presso.

AplicaoP p = ,como P = mg, temos: A mg m p = ,como d= m =dV, temos: A V dVg P= , como V=Ah (volume do cilindro), temos: A dAhg p = p = dhg A Importante! A presso hidrosttica ou efetiva depende da densidade do fluido (d), da altura do fluido acima do ponto considerado (h) e do lugar da experincia (g), independendo do formato e do tamanho do recipiente. Presso absoluta (ou total) No fundo do recipiente, a presso total leva em conta a presso atmosfrica: pabs = patm + pef pabs = patm +dgh No tubo em U da figura, tem-se gua e leo em equilbrio. Sendo hA= 10cm a altura da gua, determine a altura hB do leo, sendo dados: dA = 1,0g/cm3 (densidade da gua); dB = 0,8g/cm3 (densidade do leo).

Soluo: Na horizontal que passa pela superfcie de separao dos lquidos, a presso hidrosttica a mesma:

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p1 = p2 dB . hB . g = dA . hB . g dB . hB = dA . hA 0,8 . hB = 1,0 . 10 hB = 12,5cm EMPUXO Quando um corpo colocado totalmente imerso em um lquido, duas foras agem sobre ele: a fora peso, devido sua interao com a Terra, e a fora de empuxo, devido sua interao com o lquido.

Se d= f, o peso igual ao empuxo e o corpo encontra-se em equilbrio (R = 0). PESO REAL E PESO APARENTE Suponha que um bloco cbico, macio, de alumnio, imerso no ar, seja pendurado em um dinammetro (medidor de foras) que indica um valor P para o peso do bloco. Em seguida, o bloco imerso em gua, e uma nova leitura feita. Seja Pa a indicao do dinammetro para o peso do bloco na nova situao.

Desafio Fsico01. (UFRGS) Um corpo cuja massa 1kg flutua inteiramente submerso na gua (massa especfica 1g/cm3). Qual o mdulo da fora resultante com que o corpo afundaria no lcool (massa especfica 0,8g/cm3)? Considere g=10m/s2 e despreze o atrito do corpo com o lcool.a) 1N d) 8N b) 2N e) 10N c) 4N

Se ele permanece parado no ponto em que foi colocado, a intensidade do empuxo igual intensidade da fora peso (E = P). Se ele afunda, a intensidade do empuxo menor do que a intensidade da fora peso (E < P). Se ele levado para a superfcie, a intensidade do empuxo maior do que a intensidade da fora peso (E > P) durante a subida.

AplicaoUm mergulhador e seu equipamento tm massa total de 80kg. Qual deve ser o volume total do mergulhador para que o conjunto permanea em equilbrio imerso na gua? Soluo: Dados: g = 10m/s2; dgua = 103kg/m3; m = 80kg. Como o conjunto deve estar imerso na gua, o volume de lquido deslocado (Vld) igual ao volume do conjunto (V). Condio de equilbrio: E=P d . Vld .g = m . g 103 . V . 10 = 80 . 10 V = 8 . 102m3 PRINCPIO DE ARQUIMEDES Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilbrio, sofre, por parte deste, a ao de uma fora vertical, para cima, cuja intensidade igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. m f = f . Vf E = Pf = mf . g E = f . Vf . g

O valor P o peso real. O valor Pa o peso aparente. Assim: P > Pa A diferena entre o peso real e o peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo lquido: E = Preal Paparente E = P Pa Importante: quando um corpo flutua em um lquido, o seu peso aparente nulo: Pa = P E E = P Pa = 0 PRINCPIO DE PASCAL O acrscimo de presso produzido num lquido em equilbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do lquido.

02. (UFRGS) Um morador da ilha de Fernando de Noronha costuma mergulhar no mar, sem equipamento, at profundidades de 25m. Sendo po a presso atmosfrica ao nvel do mar, a 25m de profundidade ele submete seu corpo a uma presso de aproximadamentea) 26po d) 2,5po b) 6po e) 2,0po c) 3,5po

CORPOS IMERSOS Para corpos totalmente imersos em um fluido, o volume de fluido deslocado pelo corpo igual ao prprio volume do corpo.

Dois recipientes ligados pela base so preenchidos por um lquido (geralmente leo) em equilbrio. Sobre a superfcie livre do lquido so colocados mbolos de reas S1 e S2. Ao aplicar uma fora F1 ao mbolo de rea menor, o mbolo maior ficar sujeito a uma fora F2, em razo da transmisso do acrscimo de presso p. Segundo o Princpio de Pascal: F1 F2 p1 = p2 = S2 S1 Importante: o Princpio de Pascal largamente utilizado na construo de dispositivos ampliadores de fora macaco hidrulico, prensa hidrulica, direo hidrulica, etc.

ArapucaNuma prensa hidrulica, as reas dos mbolos so SA=100cm2 e SB=20cm2. Sobre o mbolo menor, aplica-se uma fora de intensidade de 30N que o desloca 15cm. Determine: a) a intensidade da fora que atua sobre o mbolo maior; b) o deslocamento sofrido pelo mbolo maior.Soluo: a) Pelo Princpio de Pascal: FB FA 30 FA = FA = 150N = S1 S2 100 20 b) O volume de lquido transferido do mbolo menor para o maior o mesmo: V = SA . hA = SB . hB 100 . hA = 20 . 15 hA = 3cm

03. (UFRGS) Considere as afirmaes seguintes: I. A fora de empuxo sobre um copo de vidro totalmente submerso na gua (e cheio de gua) igual soma das foras de empuxo que sofreriam os cacos desse copo, se ele se quebrasse dentro da gua. II. A fora de empuxo que sofre uma canoa de alumnio que flutua sobre a gua maior do que a fora de empuxo que sofreria a canoa totalmente submersa na gua (e cheia de gua). III. A fora de empuxo sobre uma pedra irregular totalmente submersa na gua, mas suspensa por um cordo, maior do que a fora de empuxo sobre a mesma quando, livre do cordo, est depositada no fundo do recipiente. Quais esto corretas? a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) Apenas II e III 04. (UFRGS) Duas esferas macias, X e Y, de mesmo volume, flutuam em equilbrio na gua. Se X tem o dobro da massa de Y,a) X est menos submerso do que Y b) X e Y possuem pesos iguais. c) X e Y possuem massas especficas iguais. d) X e Y sofrem foras de empuxo iguais. e) X desloca mais gua do que Y.

Assim, o peso do corpo e o empuxo sofrido por ele so dados por: Pc = mc . g = dc . Vc . g E = mf . g = mf . Vf . g Lembrando que Vc = Vf e comparando as duas expresses, observa-se que: Se d > f, o peso maior do que o empuxo e o corpo fica sujeito a uma fora resultante para baixo (R = P E). Se d < f, o peso menor do que o empuxo e o corpo fica sujeito a uma fora resultante para cima (R = E P).

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Desafio gramaticalArapuca(FGV) Assinale a alternativa aceitvel segundo a norma culta.a) Ela mesmo quis se apresentar para a diretoria. b) H bastante coisas a serem feitas antes da chegada do nosso diretor. c) Aqueles funcionrios so o mais capacitados possvel. d) Eles pediram emprestado a caixa de documentos. e) Anexo segue os documentos.

PortugusProfessor Joo BATISTA Gomes

7. Todo colgio vai participar dos jogos estaduais. (certo)

4. TODO + NUMERALa) Numeral + substantivo Usa-se o artigo obrigatoriamente. b) Numeral sem substantivo No se usa o artigo. Veja construes certas e erradas: 1. Todos os trs alunos estavam envolvidos com drogas. (certo) 2. Todos trs alunos estavam envolvidos com drogas. (errado) 3. Todos os cinco deputados presentes votaram contra o projeto. (certo) 4. Todos cinco deputados presentes votaram contra o projeto. (errado) 5. Por serem rus primrios, todos quatro receberam penas leves. (certo)

Concordncia Nominal I1. ANEXO, INCLUSO, JUNTOa) Anexo, incluso e junto so adjetivos; por isso, concordam em gnero e nmero com o substantivo a que se referem. b) A expresso em anexo, apesar de muito empregada na redao comercial e/ou oficial, no aceita pela norma culta da lngua. c) Junto invarivel quando faz parte das locues prepositivas junto com, junto a, junto de. Veja construes certas e erradas: 1. Anexa presente carta vai a relao das mercadorias. (certo) 2. Vo anexos os pareceres da comisso tcnica. (certo) 3. Segue anexa, para sua apreciao, a cpia do contrato. (certo) 4. Seguem inclusos os nomes dos alunos faltosos. (certo) 5. Incluso ao processo vai a fotografia do ru. (errado) 6. Em anexo, vo as cartas do cliente. (errado) 7. Anexas, vo as cartas do cliente. (certo) 8. As certides negativas seguem junto com a documentao oficial. (certo) 9. Quero que todos fiquem bem juntos de mim. (errado)

5. TODO O MUNDO, TODO MUNDOa) No sentido de todas as pessoas, toda a gente, deve-se preferir a expresso todo o mundo, mas no se pode condenar o emprego de todo mundo. b) Quando mundo equivale a Terra, o uso do artigo obrigatrio. Veja construes certas e erradas: 1. Hoje em dia, todo mundo gosta de novelas. (certo) 2. Hoje em dia, todo o mundo gosta de novelas. (certo) 3. Ela fala mal de todo mundo. (certo) 4. Ela fala mal de todo o mundo. (certo) 5. A poluio da gua o grande problema de todo mundo. (errado) 6. A poluio da gua o grande problema de todo o mundo. (certo)

Caiu no vestibular01. (FGV) Leia o estrofe seguinte.Quando ser que toda a vasta Esfera, Toda esta constelada e azul Quimera, Todo este firmamento estranho e mudo, Tudo que nos abraa e nos esmaga, quando ser que uma resposta vaga, Mas tremenda, ho de dar de tudo, tudo?!(Cruz e Souza)

2. MESMOa) Mesmo, no papel de palavra expletiva (= prprio), concorda com o substantivo. b) Mesmo = realmente, de fato, de verdade, passa a ser advrbio, portanto invarivel. Veja construes certas e erradas: 1. Eles mesmos faro a apreenso dos produtos contrabandeados. (certo) 2. Vocs mesmos podem resolver esses problemas, meninas. (errado) 3. Eles estavam namorando mesmo? (certo) 4. Estas histrias so verdicas: aconteceram mesmo! (certo) 5. Os dois acusados so mesmo criminosos. (certo)

6. Sa) S = adjetivo Equivale a sozinho, solitrio, nico, ermo, deserto; varirvel: concorda com o substantivo a que se refere. b) S = advrbio Equivale a somente, apenas; palavra invarivel. c) A ss locuo adverbial invarivel. Significa sem mais companhia; consigo. Veja construes certas e erradas: 1. O pai era a s companhia que Deus lhe deixou. (certo) 2. Durante muitos anos, eles viveram s. (errado) 3. Durante muitos anos, eles viveram s para os estudos. (certo) 4. Ele e ela viajaram ss. (certo) 5. S ele e ela viajaram. (certo)

Assinale a alternativa em que a palavra toda tenha o mesmo significado que o da ocorrncia grifada no primeiro verso.a) Toda sala foi limpa. b) A campanha foi realizada por toda empresa. c) Toda a natureza se revolta contra os ataques do homem. d) Toda vez que voc vier, no se esquea de falar com o secretrio. e) Toda criana tem direito a ser tratada com respeito.

3. TODO O, TODA Aa) Todo, toda (sem artigo depois) significam qualquer; tm valor de pronome indefinido. b) Todo, toda seguidos de artigo (todo o, toda a) significam inteiro, completo; tm valor de adjetivo. Veja construes certas e erradas: 1. Toda famlia, at os empregados, viajaram para o interior. (errado) 2. Toda a famlia, at os empregados, viajaram para o interior. (certo) 3. Toda criana tem direito escola. (certo) 4. Toda a criana tem direito escola. (errado) 5. Quando adolescente, eu lia todo livro que me dessem. (certo) 6. Todo o colgio vai participar dos jogos estaduais. (certo) 10

02. (FGV) H m construo gramatical quanto concordncia em:a) Os mdicos consideravam inevitvel nos pacientes pequenas alteraes psicolgicas. b) As internaes por si ss j causam certos distrbios psicolgicos aos pacientes. c) Uma e outra alterao psicolgica podem afetar os pacientes hospitalizados. d) Distrbios e alteraes psicolgicos so normais em pacientes hospitalares.

7. BASTANTE, MUITO, POUCOa) Advrbios Bastante e muito equivalem a abundantemente, em alto grau, com intensidade; pouco equivale a no muito, insuficientemente. Modificam um verbo ou um adjetivo; so, pois, invariveis. b) Pronomes indefinidos Bastante e muito equivalem a algo (coisa ou indivduo) em grande quantidade; pouco equivale a algo (coisa ou indivduo) em quantidade inferior ao desejado. Modificam um substantivo e com ele devem concordar. c) Mui forma reduzida de muito; s pode ser empregada antes de adjetivos ou de advrbios terminados em -mente.

Aplicao 1Assinale a opo com erro de concordncia nominal.a) O juiz tinha razes bastante para condenar o ru. b) Promotores pblicos granjeiam bastantes inimizades. c) Vezes bastantes conversamos a esse respeito. d) Vivia de renda; tinha bastantes prdios alugados. e) Depois de muita insistncia, recebeu-nos mui zangado.

1. Ou tu s muilo lesa ou ento te finges disso, Gabriela. 2. Ele nos trata como se fssemos lesos.

11. EM DIAEm dia locuo adverbial, portanto invarivel. Significa sem atraso, pontualmente. 1. Eu estou em dia com as prestaes da casa prpria. 2. Ns estamos em dia com as prestaes da casa prpria. 3. Com essa crise, h poucas pessoas em dia com o pagamento de impostos.

Desafio gramatical01. (ACAFE) Preencha as lacunas das frases abaixo.1. Vocs esto .............. com a tesouraria. 2. As janelas ............... abertas deixavam entrar a leve brisa. 3. Vai ............... presente a relao dos livros solicitados. 4. As matas foram .......................... danificadas pelo fogo. 5. ...................... a entrada de animais. A alternativa contendo a seqncia verdadeira, de cima para baixo, : a) quite meia anexa bastantes proibida; b) quites meia anexa bastantes proibida; c) quite meio anexo bastante proibido; d) quites meio anexa bastante proibida; e) quites meio anexo bastante proibido.

12. MENOSNo existe a palavra menas. Menos sempre invarivel tem vrias classes gramaticais. a) Pronome indefinido Ope-se a pouco; significa inferior em nmero, quantidade, condio ou posio. 1. H menos vestibulandos aqui do que no Sudeste. 2. No sou menos humano s porque me coloco a favor da pena de morte. b) Advrbio Significa em nmero ou quantidade menor; com menos intensidade. 1. Hoje em dia, chove menos na Regio Norte. 2. Depois do infarto, passou a comer menos. c) Substantivo Sugere aquilo que tem a menor importncia; o que mnimo; o menor preo. 1. O menos que pode acontecer-me no ser aprovado. 2. Se voc fizer um menos, levo logo uma dzia de sapotis. d) Preposio Equivale exceo de; exceto, afora, salvo. 1. Esqueo tudo que ele me fez, menos as agresses fsicas. 2. Todos foram ao rio Uatum, menos eu. e) A menos que locuo conjuntiva condicional. Equivale a salvo se, a no ser que.

8. BARATO E CAROa) Adjetivos Modificam um substantivo; esto, quase sempre, em construes com verbos de ligao (ser, estar, parecer, permanecer, continuar, ficar), exercendo a funo de predicativo. b) Advrbios Modificam um verbo (invariveis, portanto). Aparecem em construes com os verbos alugar, cobrar, comprar, custar, vender. c) Preo barato, preo caro Expresses sem sentido. O substantivo preo tem que ser modificado pelos adjetivos alto, elevado, baixo, mdico.

Aplicao 2Assinale a opo com erro de concordncia nominal.a) Vendeu as duas casas por um preo muito barato. b) Produtos importados, mesmo na Zona Franca, so caros. c) Produtos importados, mesmo na Zona Franca, custam caro. d) No Sul, roupas de algodo so baratas. e) Mesmo no interior, os peixes nobres custam muito caro.

02. (F. C. Chagas) (Desafio da TV) Elas (...) providenciaram os atestados, que enviaram (...) s procuraes, como instrumentos (...) para fins colimados.a) b) c) d) e) mesmas, anexos, bastantes mesmo, anexo, bastante mesmas, anexo, bastante mesmo, anexos, bastante mesmas, anexos, bastante

9. QUITEQuite adjetivo; por isso, concorda em nmero com o substantivo ou pronome a que se refere. Significa livre, desobrigado, desembaraado. Veja construes certas e erradas: 1. S pode inscrever-se para o concurso quem estiver quites com o Servio Militar Obrigatrio. (errado). 2. Aqui, todos esto quites com as mensalidades escolares. (certo) 3. Finalmente, a famlia conseguiu ficar quites com o Sistema Financeiro de Habitao. (errado)

13. BOM, PROIBIDO, NECESSRIOa) Sujeito determinado por adjunto adnominal O adjetivo predicativo (bom, proibido, necessrio) concorda com o ncleo do sujeito. 1. A entrada de menor ser proibida. 2. necessria muita pacincia. b) Sujeito sem determinao O adjetivo predicativo (bom, proibido, necessrio) fica no masculino. 1. Entrada de menor ser proibido. 2. necessrio pacincia.

03. (Mackenzie) (Desafio do Rdio) Assinale a alternativa incorreta quanto concordncia nominal:a) O narrador pulou longos pginas e captulos. b) Ele pulou longos captulos e pginas. c) Ele escreveu captulos e pginas compactas. d) Ele escreveu captulos e pginas compactos. e) Ele escreveu pginas e captulos compactos.

10. LESOa) Que ofende Significando que ofende, adjetivo, provoca hfen e concorda com a palavra a que se refere. 1. Agindo assim, voc comete crime de lesa-ptria. 2. Suas atitudes de leso-matrimnio podem magoar muita gente. 3. Contratar maus professores crime de lesa-cultura. b) Tolo, idiota Significando idiota, amalucado, tolo, adjetivo: concorda com o substantivo ou pronome a que se refere.

04. (MACK-SP) Identifique a frase em que a palavra ss invarivel.

Aplicao 3Assinale a opo com erro de concordncia nominal.a) No permitida a permanncia de menores aqui. b) Toda cerveja muito boa para o fgado. c) necessrio muita pacincia para trabalhar com alcolatras. d) Toda entrada de menor, neste Carnaval, ser proibida. e) necessrio pacincia para suportar ingratides.

a) Elas partiram ss, deixando-me para trs aborrecida e bastante magoada. b) Chegaram ss, com o mesmo ar exuberante de sempre. c) Ss, aquelas moas desapareceram, cheias de preocupaes. d) Aqueles jovens rebeldes provocaram ss essa movimentao. e) Depois de to pesadas ofensas, prefiro ficar a ss a conviver com essa agressiva companhia.

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Encarte referente ao curso pr-vestibular Aprovar da Universidade do Estado do Amazonas. No pode ser vendido.

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Loureno dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo Gonalves Pr-Reitor de Planejamento e Administrao Antnio Dias Couto Pr-Reitor de Extenso e Assuntos Comunitrios Ademar R. M. Teixeira Pr-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa Walmir Albuquerque Coordenadora Geral Munira Zacarias Coordenador de Professores Joo Batista Gomes Coordenador de Ensino Carlos Jennings Coordenadora de Comunicao Liliane Maia Coordenador de Logstica e Distribuio Raymundo Wanderley Lasmar Produo Aline Susana Canto Pantoja Renato Moraes Projeto Grfico Jobast Alberto Ribeiro Antnio Carlos Aurelino Bentes Heimar de Oliveira Mateus Borja Paulo Alexandre Rafael Degelo Tony Otani Editorao Eletrnica Horcio Martins

ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de Fsica. So Paulo: Harbra, 1979, 3v. LVARES, Beatriz A. et al. Curso de Fsica. So Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemtica. 2.a ed. So Paulo: Moderna, 1996. BONJORNO, Jos et al. Fsica 3: de olho no vestibular. So Paulo: FTD, 1993. CARRON, Wilson et al. As Faces da Fsica. So Paulo: Moderna, 2002. DANTE, Luiz Roberto. Matemtica: contexto e aplicaes. So Paulo: tica, 2000. GIOVANNI, Jos Ruy et al. Matemtica. So Paulo: FTD, 1995. Grupo de Reelaborao do Ensino de Fsica (GREF). Fsica 3: eletromagnetismo. 2.a ed. So Paulo: Edusp, 1998. PARAN, Djalma Nunes. Fsica. Srie Novo Ensino Mdio. 4.a ed. So Paulo: tica, 2002. RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os Fundamentos da Fsica. 8.a ed. So Paulo: Moderna, 2003. TIPLER, Paul A. A Fsica. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2000, 3v.

DESAFIO MATEMTICO (p. 3) 01. D; 02. C; 03. A; 04. D; 05. D; 06. D; 07. A; 08. D; 09. C; 10. B; DESAFIO MATEMTICO (p. 4) 01. A; 02. B; 03. C; 04. A; 05. B; 06. B; 07. B; 08. D; DESAFIO MATEMTICO (p. 5) 01. D; 02. B; 03. D; 04. C; 05. D; DESAFIO FSICO (p. 6) 01. E; 02. A; 03. E; 04. C; 05. A; 06. B; 07. A; DESAFIO FSICO (p. 7) 01. A; 02. E; 03. E; 04. B; 05. A; 06. A; 07. B; 08. D; EXERCCIOS (p. 9) 01. C; 02. A; DESAFIO FSICO (p. 9) 2 01. a) 5m/s , b) 40m e c)4.000J 02. a) Houve e b) FAT; negativo; 03. 40J 04. 20m/s; 05. 20m; 06. 20m; 4 2 07. a) 5.10 m/s e b) 40Ns; 08. E; DESAFIO LITERRIO (p. 10) 01. B; 02. D; 03. E; 04. B; DESAFIO LITERRIO (p. 11) 01. E; 02. E;

Este material didtico, que ser distribudo nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, base para as aulas transmitidas diariamente (horrio de Manaus), de segunda a sbado, nos seguintes meios de comunicao: TV Cultura (7h s 7h30); sbados: reprise s 23h Amazon Sat (21h30 s 22h) RBN (13h s 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satlite) Rdio Rio Mar (19h s 19h30) Rdio Seis Irmos do So Raimundo (8h s 9h e reprise de 16h s 16h30) Rdio Panorama de Itacoatiara (11h s 11h30) Rdio Difusora de Itacoatiara (8h s 8h30) Rdio Comunitria Pedra Pintada de Itacoatiara (10h s 10h30) Rdio Santo Antnio de Borba (18h30 s 19h) Rdio Estao Rural de Tef (19h s 19h30) horrio local Rdio Independncia de Maus (6h s 6h30) Rdio Cultura (6h s 6h30 e reprise de 12h s 12h30) Centros e Ncleos da UEA (12h s 12h30) Postos de distribuio: PAC So Jos Alameda Cosme Ferreira Shopping So Jos PAC Cidade Nova Rua Noel Nutles, 1350 Cidade Nova I PAC Compensa Av. Brasil, 1325 Compensa PAC Porto Rua Marqus de Santa Cruz, s/n. armazm 10 do Porto de Manaus Centro PAC Alvorada Rua desembargador Joo Machado, 4922 Planalto PAC Educandos Av. Beira Mar, s/n Educandos

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