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Libro de apoyo sobre trigonometria secundaria.
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CONTENIDO TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................ 1
1. ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA ............................................................................................. 1
2. ÁNGULOS ................................................................................................................................. 1
3. ANTES DE EMPEZAR. ............................................................................................................... 2
a) Agudos ................................................................................................................................. 5
b) Rectos .................................................................................................................................. 6
c) Obtusos ............................................................................................................................... 6
4. TRIÁNGULOS............................................................................................................................ 6
Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el
triángulo se llama obtusángulo. .............................................................................................. 9
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................. 9
6. Ejemplos ................................................................................................................................ 10
7. . Teorema de Pitágoras ......................................................................................................... 15
EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 16
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ............................................................. 20
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TRIGONOMETRÍA
1. ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han
requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y
otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los
antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de
procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un
triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al
pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta
un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar
inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual
dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra
visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal),
acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El
objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las
medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo
con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible
calcular las unas mediante las otras.
2. ÁNGULOS
Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana
como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en
geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar
el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de
ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de
medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras
magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como
magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a
arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace
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intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones
aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en
tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción
geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.
Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR
del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen
común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina
ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.
3. ANTES DE EMPEZAR.
La trigonometría nace con la observación de los fenómenos astronómicos.
El primer antecedente escrito de la trigonometría lo encontramos en el
problema 56 del papiro de Rhind. Escrito por Ahmés alrededor del 1800 a.C.
transcribiendo otro del 500 a.C.
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En el conjunto megalítico de Stonehenge (Gran Bretaña), construido entre 2200
y 1600 a.C., la alineación de dos grandes piedras indica el día más largo del año.
En la antigua Babilonia se introdujo la medida del ángulo en grados.
La división de la circunferencia en 360º, probablemente va unida a la del año en
360 días. Así, como el sol recorre una circunferencia en un año, un grado sería el
recorrido en un día.
Con la cultura griega la trigonometría experimentó un nuevo y definitivo impulso.
Aristarco de Samos (s. III a.C.) halló la distancia al sol y a la luna
utilizando triángulos. Hiparlo de Nicea (s. II a.C.) es considerado como el “inventor”
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de la trigonometría.
Ptolomeo, en el siglo II, escribió el “Almagesto” que influyó a lo largo de toda la
Edad Media.
El desarrollo de la trigonometría debe mucho a la obra de los árabes, quienes
transmitieron a Occidente el legado griego.
Fueron los primeros en utilizar la tangente.
Hacia el año 833, Al-Kwuarizmi construyó la primera tabla de senos.
En Europa se publica en 1533, el primer tratado de trigonometría: “De trianguli
omnia modi, libri V”. Escrito en 1464 en Köningsberg, por Johann Müller,
conocido como el Regiomontano.
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Newton utiliza en 1671 las coordenadas polares.
La física de los fenómenos ondulatorios, como el producido por una cuerda que
vibra, llevó a Euler (1707-1783) al estudio de las funciones trigonométricas.
Hoy, en nuestros días, las utilidades de la trigonometría abarcan los más diversos
campos: de la topografía a la acústica, la óptica y la electrónica
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los
triángulos.
a) Agudos
Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son
característicos de los triángulos acutángulos.
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b) Rectos
Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos
rectángulos.
c) Obtusos
Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son
característicos de los triángulos obtusángulos.
4. TRIÁNGULOS
El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que
cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las
diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con
un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos,
los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el
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llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de
las dimensiones espaciales.
I. CLASIFICACIÓN POR LADOS
a. Isósceles
Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama
base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales;
recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a
dichos ángulos también serán iguales.
b. Equilátero
Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo
equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de
un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un
triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo
que tiene los tres ángulos iguales se llaman, como se acaba de mencionar,
triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.
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c. Escaleno
Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.
II. CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS
a) Acutángulo
Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que
90º) se llama acutángulo.
b) Rectángulo
Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.
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c) Obtusángulo
Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el
triángulo se llama obtusángulo.
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría es el estudio de la relación entre
los lados y los ángulos del triángulo rectángulo.
Muchas aplicaciones de la trigonometría
dependen de esta relación. A estas relaciones las
denominamos funciones trigonométricas.
Sea el triángulo ABC un triángulo rectángulo con
el ángulo recto en el vértice C. Sus lados a y b
son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada
ángulo, en el triángulo tiene un lado opuesto, lado
de frente al ángulo, y un lado adyacente, lado
que forma parte del ángulo en cuestión.
De la forma en que ha sido configurado el
triángulo en este ejemplo, el vértice A tiene al
cateto a como lado opuesto y al cateto b como
lado adyacente. De igual forma el vértice B tiene
al cateto b como lado opuesto y al cateto a como
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lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre sí para
los dos ángulos que no son el ángulo recto en el triángulo rectángulo.
En el caso del ángulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la
hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y
adyacentes respecto a un ángulo es sumamente importante a la hora de definir las
funciones trigonométricas. En esta unidad solamente definiremos las tres
funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas son las
convenientes y utilizadas en Física para resolver problemas. Estas son:
6. Ejemplos
a. Seno
Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre
el lado opuesto y la hipotenusa. Matemáticamente esta proporción se expresa
como:
Donde el símbolo θ se utiliza para denotar el ángulo que estaremos considerando.
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Observa la figura de la izquierda.
En ella hay un triángulo con unas
cantidades medidas. Sea el ángulo
igual a 30° y su lado opuesto igual a
5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm,
entonces el seno de 30° es:
El procedimiento para calcular el
seno sería:
Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidades ya que se
cancelan. También son independientes del tamaño del triángulo. El seno de 30°
siempre es igual a 0.5. El triángulo que mejor nos muestra esta relación es:
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b. Coseno
La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la
hipotenusa. Esta función se expresa como:
Sea el ángulo igual a 45° y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10
cm, entonces el coseno de 45° es:
Puedes notar que se utilizó la función de
Esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recíproco de la función lo
cual representa un número que nos da el ángulo correspondiente. Puedes usar
la calculadora para obtener el resultado. El triángulo básico que mejor nos muestra
esta relación es:
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c. Tangente
La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el
adyacente. Esta función se expresa como:
Sea el ángulo igual a 60° y
su lado opuesto igual a 8 cm
y el adyacente igual a 4.62
cm, entonces la tangente de
60° es:
Puedes usar la calculadora para revisar los cálculos aquí demostrados y sustituir
otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor triángulo que representa
la situación del ejemplo es:
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7. . Teorema de Pitágoras
Los lados de un triángulo rectángulo se
pueden relacionar entre sí por medio del
teorema de Pitágoras. La ecuación que
describe esa relación es la siguiente:
c2 = a2 + b2
No importa el tamaño del triángulo, la
proporción existente entre los lados, a partir
de un ángulo de referencia, se mantiene
constante. Esto es, dibuja dos triángulos rectángulos de diferente tamaño con uno
de sus ángulos iguales. Mide los lados de
cada triángulo y establece la proporción para
cada lado según se definen las funciones
trigonométricas y verás que las proporciones
entre los dos triángulos se mantienen
independientemente del tamaño del triángulo.
Sea ABC un triángulo rectángulo con lados a,
b y c, como muestra la figura superior de la
derecha.
Si el lado c es la hipotenusa, entonces:
c² = a² + b²
Si el cateto a = 2 cm y el cateto b = 3 cm, entonces
c² = a² + b²
c² = (2 cm) ² + ( 3 cm)²
c² = 4 cm² + 9 cm²
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c² = 13 cm²
c = 3.6 cm
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Se conocen la hipotenusa y un cateto:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
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C = 90° - 42° 25′ = 47° 35 ′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
2) Se conocen los dos catetos:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
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3) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
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4) Se conocen un cateto y un ángulo agudo:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
5) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes
elementos
6) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes
elementos.
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