Appunti per il corso di Fisica di... sono tagliati sul corso di Fisica

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  • Appunti

    per il corso di Fisica Matematica

    Settore di Ingegneria dell’Informazione

    Anno accademico 2010–2011

    Giancarlo Benettin

  • ii

    Queste note discendono dai vecchi “Appunti di Meccanica Razionale” scritti ormai molti anni fa in collaborazione con i colleghi Luigi Galgani e Antonio Giorgilli. Assieme all’annesso Eserciziario, sono tagliati sul corso di Fisica Matematica che ormai da diversi anni tengo a Padova per gli studenti di Ingegneria del settore di Ingegneria dell’Informazione. Il confronto con i vecchi appunti mostra che alcune parti sono state eliminate, altre sono state aggiunte, e anche le parti rimaste sono state ampiamente rielaborate. L’impianto tuttavia è rimasto lo stesso, e soprattutto è rimasto lo stesso lo spirito, che è lo spirito classico della Fisica Matematica: mantenersi fedeli al rigore del procedimento e del linguaggio matematico, dando allo stesso tempo enfasi al senso fisico del formalismo introdotto, nella convinzione che i due punti di vista (qui e in ogni sviluppo della Fisica Matematica, o forse della Fisica e della Matematica), ben lungi dall’ostacolarsi, si completano a vicenda e sono entrambi necessari per capire.

    La rielaborazione delle note è permanente: ogni anno qualche cosa viene aggiunto o modificato, spesso su indicazione degli stessi studenti che segnalandomi inesattezze o difficoltà a comprendere mi hanno molto aiutato nel lavoro di revisione. Anche quest’anno conto sulla loro collaborazione: qualunque commento — dalla segnalazione degli errori sicuramente ancora presenti all’indicazione di quello che non è abbastanza chiaro e si potrebbe dire meglio — è molto gradito.

    G. B. — a.a. 2010–2011

  • iii

    INDICE

    Capitolo 1: Introduzione alla teoria qualitativa

    delle equazioni differenziali ordinarie

    1.1. Considerazioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie

    1.1.1 Esempi elementari

    1.1.2 Esempi di forze dipendenti dalla velocità

    1.1.3 Un esempio non meccanico: il sistema di Lotka–Volterra

    1.2. Risultati generali

    1.2.1 Il teorema di esistenza e unicità e il problema ai dati iniziali (o di Cauchy)

    1.2.2 Equilibrio e stabilità

    1.2.3 Costanti del moto e stabilità

    1.2.4 Il teorema di Ljapunov

    1.3. Sistemi conservativi a un grado di libertà

    1.3.1 Il ritratto in fase per sistemi conservativi a un grado di libertà

    1.3.2 Trattazione analitica completa

    1.4. Studio locale attorno ai punti singolari

    1.4.1 Linearizzazione delle equazioni in prossimità di un punto singolare

    1.4.2 La classificazione dei punti singolari in R2

    1.4.3 Il problema in Rn; linearizzazione e stabilità

    1.4.4 Ritratti in fase in R2 per sistemi non conservativi

    1.4.5 Biforcazioni

    1.5. Il fenomeno del ciclo limite

    1.5.1 L’orologio meccanico

    1.5.2 L’equazione di Van der Pol

    1.5.3 La biforcazione di Hopf (cenno)

    1.6. Introduzione ai moti caotici

    1.6.1 Fenomenologia dei moti caotici

    1.6.2 Considerazioni sui moti caotici

    Appendici al capitolo 1

    A. Una funzione di Ljapunov per l’oscillatore armonico smorzato

    B. Classificazione dei punti singolari: il caso di autovalori nulli o coincidenti

    C. Complementi sull’equazione di Van der Pol

    C.1 Una realizzazione elettrica di un’equazione di tipo Van der Pol

    C.2 Dimostrazione dell’esistenza di un ciclo limite per ogni β > 0

    D. Le oscillazioni forzate

    D.1 L’oscillatore armonico con forzante sinusoidale

    D.2 Il caso smorzato

    Capitolo 2: Meccanica Lagrangiana

    2.1. Introduzione

    2.1.1 Il punto materiale in coordinate arbitrarie

    2.1.2 Il punto materiale vincolato

    2.1.3 Moti relativi e vincoli mobili

  • iv

    2.2. Sistemi eventualmente vincolati di N punti materiali

    2.2.1 Vincoli olonomi e coordinate libere

    2.2.2 Vincoli anolonomi (cenno)

    2.2.3 Vincoli ideali

    2.3. Energia cinetica, lavoro ed energia potenziale

    2.3.1 Energia cinetica

    2.3.2 Forze, lavoro, energia potenziale

    2.4. Le equazioni di Lagrange

    2.4.1 Deduzione delle equazioni

    2.4.3 Sistemi lagrangiani generali

    2.4.4 Forma normale delle equazioni di Lagrange

    2.4.2 Semplici esempi

    2.4.5 Equazioni di Lagrange e corpi rigidi

    2.4.6 Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange

    2.5. Potenziali dipendenti dalla velocità

    2.5.1 La forza di Coriolis

    2.5.2 La forza di Lorentz

    2.6. Leggi di conservazione in meccanica lagrangiana

    2.6.1 La conservazione dell’energia

    2.6.2 Coordinate ignorabili e riduzione

    2.6.3 Il Teorema di Noether

    2.7. Soluzioni di equilibrio, stabilità e piccole oscillazioni

    2.7.1 Equilibrio

    2.7.2 Stabilità dell’equilibrio

    2.7.3 Linearizzazione delle equazioni attorno a un punto di equilibrio

    2.7.4 Modi normali di oscillazione e coordinate normali

    2.7.5 Linearizzazione e stabilità

    2.7.6 Non linearità e moti caotici

    2.8. I principi variazionali della meccanica

    2.8.1 Funzionali

    2.8.2 Variazione di un funzionale

    2.8.3 Stazionarietà di un funzionale ed equazione di Eulero-Lagrange

    2.8.4 Il principio di Hamilton

    Appendici al Capitolo 2

    A. Esempi di vincoli anolonomi

    B. Equazioni cardinali, idealità del vincolo e equazioni di Lagrange per un corpo rigido

    C. Stabilizzazione magnetica

    D. La corda vibrante discreta

    E. La brachistocrona

  • Capitolo 1

    Introduzione alla teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie

    1.1 Considerazioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie

    Richiamiamo qui, in modo non sistematico e basandoci su esempi tratti dalla meccanica, alcune nozioni di base riguardanti le equazioni differenziali ordinarie, utili anche al fine di precisare la nomenclatura e fissare alcune notazioni.

    1.1.1 Esempi elementari

    L’equazione di Newton ma = F (x, v, t) per un sistema a un grado di libertà, tipicamente un punto di massa m su una retta, soggetto a forza F dipendente dalla posizione x, dalla velocità v e dal tempo t, è il più comune esempio (anzi, in un certo senso il prototipo) di equazione differenziale ordinaria. Usando la notazione ẋ e ẍ per le derivate prima e seconda di x rispetto al tempo, ovvero per la velocità e l’accelerazione, e dividendo tutta l’equazione per m in modo da eliminare una costante, l’equazione di Newton prende la forma

    ẍ = f(x, ẋ, t) , ove f = F/m . (1.1.1)

    E’ questa un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine in forma normale:

    – differenziale perchè vi compaiono le derivate della funzione incognita x;

    – ordinaria perchè c’è una sola variabile indipendente, il tempo t;

    – del secondo ordine perchè la derivata di ordine più elevato è la derivata seconda;

    – in forma normale perché è risolta rispetto alla derivata di ordine massimo.1

    1L’equazione differenziale del primo ordine ẋ2 = x non è invece in forma normale. Estraendo la radice si trovano due equazioni in forma normale, ẋ = ±√x, ma ci sono problemi in un intorno di x = 0 (non si applica il teorema di Cauchy, si veda più avanti al paragrafo 1.2.1).

    1

  • 2

    L’incognita di un’equazione differenziale come la (1.1.1), ricordiamo, è una funzione x = x(t), x : R → R, che in ambito meccanico è detta movimento (è la funzione che a ogni istante t assegna la posizione x del punto). Dire che x(t) è soluzione vuol dire che risulta, identicamente in t,

    ẍ(t) = f(x(t), ẋ(t), t) .

    L’equazione del secondo ordine (1.1.1) è equivalente a una coppia di equazioni del primo ordine, precisamente {

    ẋ = v

    v̇ = f(x, v, t) , (1.1.2)

    per la coppia di variabili (x, v).

    Vediamo subito alcune semplicissime equazioni con le rispettive soluzioni.

    i) La particella libera (moto per inerzia)

    ẍ = 0 .

    L’equazione è risolta da tutte e sole le funzioni con derivata seconda nulla, cioè dalle funzioni lineari

    x(t) = at + b , (1.1.3)

    con a e b costanti arbitrarie.

    ii) L’oscillatore armonico: F è la forza elastica −kx (k > 0), e corrispondentemente si ha

    ẍ = −ω2x , ω2 = k/m .

    L’equazione è risolta da

    x(t) = a cos ωt + b sin ωt , (1.1.4)

    o equivalentemente2 da

    x(t) = A cos(ωt + ϕ)

    o ancora da

    x(t) = Ceiωt + De−iωt .

    iii) Il “repulsore armonico”

    ẍ = ω2x ,

    che descrive ad esempio un punto su una retta rotante con velocità angolare ω, soggetto alla sola forza centrifuga. La soluzione è

    x(t) = aeωt + be−ωt , (1.1.5)

    ancora con a e b arbitrarie.

    Le equazioni che abbiamo scritto sono

    – lineari omogenee, brevemente lineari (il secondo membro è funzione lineare omogenea della funzione incognita);

    2L’insieme delle funzioni, scritte in un modo o nell’altro, è identico: basta fare la corrispondenza a = A cos ϕ, b = −A sin ϕ, oppure a = C + D, b = i(C − D).

  • 1.1.1 — Esempi elementari 3

    – autonome3 (non c’è dipendenza esplicita da t);

    – posizionali (il secondo membro non dipende dalla velocità ẋ).

    Nelle soluzioni che abbiamo scritto compaiono sempre due costanti arbitrarie: ciò vuol dire che le so