Appunti fluidodinamica

GOLIA: Fluidodinamica Industriale Cap.2.1

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Capitolo 2

FLUSSI IN CONDOTTI

Contenuti .2.1 Generalit: La lunghezza d'ingresso .2.2 Leggi di pareti per moti turbolenti .2.3 Flussi in tubi circolari .2.3.1 Soluzione laminare .2.3.2 Soluzione turbolenta .2.3.3 Effetti della rugosit di parete: labaco di Moody .2.3.4 Forme alternative dellabaco di Moody .2.3.5 Formula di Churchill .2.4 Flussi in condotti non circolari .2.4.1 Flusso tra pareti parallele .2.4.1.1 Regime laminare .2.4.1.2 Regime turbolento .2.5 Il concetto di diametro idraulico .2.6 Perdite minori in condotti .2.6.1 Perdite di ingresso/uscita .2.6.2 Subitanei cambiamenti di sezione .2.6.3 Raccordi a T, gomiti e valvole .2.6.4 Raccordi curvi .2.6.5 Variazioni di sezione


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.2.1 Generalit: La lunghezza d'ingresso Questo capitolo analizza i maggiori problemi di fluidodinamica interna di flussi viscosi. Essi sono prevalentemente dominati dal regime turbolento, la transizione dal laminare fissata dal numero di Reynolds ReD basato sul diametro e sulla velocit media. Le incapacit di misurare le rapide oscillazioni del moto turbolento hanno impedito agli sperimentazioni del pas-sato di essere coscienti di tale fenomeno, permettendo loro di misurare soltanto quantit medie (velocit, portate, pressioni, densit) e di trovarne correlazioni su basi sperimentali. Fu cos che Hagen, un ricercatore tedesco, nel 1839 misurando le perdite di pressioni lungo tubi di bronzo di lunghezza L e di raggio R con portata Q di acqua, dedusse la legge:

( ) ingresso di EffettiRLQcostantep 4 +=

notando che a grandi portate si verificava un secondo tipo di moto caratterizzato da strani movimenti nell' acqua per i quali il salto di pressione p variava con la seconda potenza della portata, ammettendo di non essere in gra-do di spiegare le ragioni del cambiamento. Evidentemente Hagen non cap che la costante doveva contenere la viscosit dell'acqua, d'altronde non poteva essere a conoscenza del numero di Reynolds che non era stato ancora inventato. Fu infatti nel 1883 che Osborne Reynolds, un professore inglese, con i suoi esperimenti su tubi di vetro cui im-metteva un inchiostro colorato, stabil che la transizione dal laminare al turbolento dipendeva da un numero a-dimensionale (ReD= V D / ) che successivamente prese il suo nome. Il grande risultato di Reynolds fu di trovare che per tubi adeguatamente lisci, per valori di ReD4000 il flusso completamente turbolento; nel campo inter-medio vi la transizione con periodi/parti laminari ed altri turbolenti. La differenza con i campi di moti esterni abbastanza evidente. Nei campi di moti esterni attorni a corpi, per velocit abbastanza alte, si sviluppa uno strato limite composto sempre da una parte laminare, ad una certa sta-zione avviene la transizione e successivamente ad una stazione ancora a valle si instaura il regime turbolento. Nei moti interni, invece, a parte il segmento di ingresso, di cui parle-remo in seguito, il regime sempre laminare o sempre turbolento a se-conda del ReD. Non esiste cio un tratto iniziale necessariamente lami-nare come per i campi esterni. La spiegazione sta nel fatto che se si ipotizza uno sviluppo dello strato limite sulle pareti di un condotto chiuso, si capisce chiaramente che questo interagisce fortemente con il campo esterno a causa della limita-tezza del volume, amplificando o smorzando le perturbazioni. Questo introduce il fatto che ad ogni imbocco deve esistere una regione di ingresso in cui il profilo di velocit varia con il raggio e con l'ascissa as-siale u=u(r,x), che deve essere rego-lata da profili di pressioni differenti, dalla regione di moto completamen-te sviluppato che segue, nella quale il profilo di velocit costante con x : u=u(r) e la pressione ha pendenza costante. La conservazione della massa impone portata Q costante:

.tcosAVdAuQ media ===

Lunghezza di ingressozona di sviluppo dello strato limite

Regione di flussocompletamente sviluppato

profilo di strato limite

cuore non viscoso

merging di strato lilite

u(r)

u(r,x)

perditadi

ingressoprofilo lineare

x

0 Le

pressione


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Essendo la lunghezza di ingresso Le, dipendente dal diametro D, velocit media V, densit , viscosit , consi-derazioni portano alla dipendenza adimensionale del tipo:

( )De RegVDgDL =

=

Per flussi laminari , la correlazione accettata : De Re06.0DL

Dal che si evince che il massimo valore della lunghezza di ingresso laminare si verifica per Recritico=2300 pari a Le = 138 D.

Per flussi turbolenti , la correlazione accettata : ( ) 6/1De Re4.4DL

Tale correlazione valida a partire dal valore di ReD>4000 al di sopra del quale il moto completamente turbo-lento. Valgono i seguenti valori orientativi (per il regime turbolento le caselle in grigio):

ReD 1 10 100 1000 2300 4000 104 105 106 107 108 Le/D 0.06 0.6 6 60 138 18 20 30 44 65 95

=^=^=^=^=^=

ESERCIZIO.2.1 Un tubo da mezzo pollice, lungo 18 metri porta 16 litri di acqua al minuto a 20C. Quale frazione del tubo occupata dalla regione di ingresso? Risp. 1.7%

=^=^=^=^=^= ESERCIZIO 2.2 Un tunnel a vento (fluido aria) di un metro di diametro, lungo 5 metri, con una velocit di 30 m/s rea-lizza condizioni di flusso completamente sviluppato? Risp. NO

=^=^=^=^=^= NOTA: le dimensioni dei tubi si danno nominalmente in pollici, ma il diametro nominale non corrisponde a quello interno, la corrispondenza :

.2.2 Leggi di pareti per moti turbolenti Prima di intraprendere l'analisi dei campi di moto interni, ricordiamo che per regimi turbolenti, la descrizione fatta per i campi esterni rimane valida, sia pure con qualche lieve modifica. In particolare per campi esterni la suddivisione dello strato limite fatto fatta, di solito, in tre sottostrati:

1. interno / laminare / di parete : dominato dagli effetti viscosi di tipo laminare 2. intermedio/overlap: dominato dalla combinazione di sforzi turbolenti e laminari 3. esterno: dominato dagli sforzi turbolenti e dal moto esterno

Per i moti in condotti ci si riduce, in pratica, soltanto ai primi due in quanto non presente una regione euleriana esterna. Rimangono quindi le leggi di parete trovate per i primi due sottostrati, in funzione delle variabili interne for-mabili in funzione della velocit di attrito:

= w*u *uuu =+ ; = *yu In funzione delle variabili interne, in particolare si ritrova, per il sottostrato laminare la legge lineare:

Nominale (in)

1/8 3/8 1 1 2 2 1/2 3

Dinterno (in) 0.269 0.364 0.493 0.622 0.824 1.049 1.610 2.067 2.469 3.068


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++ === y*yu

*uuu valida per 0 < y+ < 7

Per lo strato interno vale invece la famosa legge logaritmica:

Blnk1B*yuln

k1

*uuu +=+

==+ valida per 30 < y+ < 800

Per tubi le costanti di maggiore successo sono: k=0.41 , B=5.0 Come gi detto, per condotti, il sottostrato esterno presenta variazioni trascurabili rispetto a quello di overlap pu essere ingegneristicamente trascurato rimpiazzandolo con quest'ultimo. Vedremo nel seguito che l'uso di queste leggi, interpretate come leggi di similitudini, (capaci cio di rappresen-tare i profili di velocit in un piano trasformato) permetteranno, in modo stupefacentemente semplice, la deriva-zione del campo di moto in condotti e la soluzione di quasi tutti i problemi turbolenti in condotti. Rappresentiamo il classico profilo turbolento nel piano delle variabili interne.

=^=^=^=^=^= ESERCIZIO 2.3 Aria a 20C scorre in un tubo avente un diametro di 14 cm, moto completamente sviluppato con veloci-t sull'asse di 5 m/s. Assumendo la legge logaritmica derivare: la velocit di attrito u* Risp. 0.228 m/s lo sforzo alla parete w Risp. 0.062 Pa la velocit media V Risp. 4.17 m/s Il numero di ReD Risp. 38700 verificare se il moto effettivamente turbolento Risp. SI

Suggerimento: assumere y = R r, al centro y = R, sulla parete y=0

=^=^=^=^=^=


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2.3 Flussi in tubi circolari Come primo caso, consideriamo il campo di moto com-pletamente sviluppato di un fluido in un tubo circolare generato da un gradiente di pressione o dalla gravit, come nella figura che segue. La continuit, si riduce a:

22media11 QAVAVAVQ ====

ovvero V1=V2 essendo A costante. Il bilancio di quantit di moto fornisce: ( ) ( )

( ) 0VVQLR2LsinRgRp

21

w22

===+

ovvero:

( ) 'pRL2ghp w ==+

avendo definito la pressione corretta, cio la combinazione delle forze che generano il moto: p = p + g h Finora non abbiamo fatta alcuna ipotesi sul regime di moto. Analizzando la possibile dipendenza funzionale dello sforzo alla parte w, pensiamo che essa possa dipendere dalla densit del fluido , dalla velocit media V, dalla viscosit del fluido , dal diametro del tubo D, e dalla scabrosit superficiale : ( )= ,D,,V,hw

Lanalisi dimensionale ci dice che questa relazioni esprimibile adimensionalmente come:

=

D,Rehf

V8

D2w ;

L'p

2R

V8

V8f 22

w

==

dove il coefficiente adimensionale f detto coefficiente dattrito di Darcy, in memoria dellingegnere fran-cese che nel 1857 determin gli effetti della scabrosit superficiale sulla resistenza nei tubi. Nota che gli idraulici preferiscono definire una perdita di altezza (piezometrica) nei tubi , hf , scrivendo il teo-rema di Bernoulli nella forma:

g'p

gpzhhggzpgzp

notazionenostranella ff2

21

1

=

+=++=+

Per cui combinando le espressioni risulta:

g2V

DLfh

2

f =

che la relazione di Darcy-Weisbach, proposta dal professore tedesco nel 1850, per trovare le perdite in tubi e condotte. Equazioni del moto Lavoriamo in coordinate cilindriche z, r, ; (u, Vr, V) assumiamo moto simmetrico senza variazioni rispetto allanomalia , [V = d/d = 0] e completamente sviluppato Vz= u=u(r).

Lequazione di continuit: ( ) 0zuV

r1Vr

rr1

r =+

+

si riduce a: ( ) 0Vrrr

1r =

ovvero rVr = costante Ma la condizione di no-slip sulla parete @ r=R Vr=0 implica Vr=0 in tutto il campo.

(1): p1=p2+dp

(2): p2

h2

h1

dL=x2-x1

u(r)( )r

r

z


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Ne deriva quindi che lunica componente della velocit quella assiale: u = u( r ). La componente assiale dellequazione di equilibrio (lunica non identicamente nulla) si riduce quindi: ( )

rr

r1kg

dzdp0

zuu rz

++==

dove il termine a sinistra identicamente nullo perch u=u(r) , rz rappresenta lo sforzo viscoso (laminare o turbolento).

Questa equazione pu essere riscritta come: ( ) ( ) Cdz

'dpdz

hgpdr

rr1 rz ==+=

Esaminando questa equazione notiamo che il termine a sinistra per definizione soltanto funzione del raggio r , mentre il termine a destra varia solo con z; ne segue che entrambi i membri devono essere necessariamente pari ad una costante (posta pari a C). Possiamo quindi integrare l'equazione per trovare la distribuzione degli sforzi viscosi, utilizzando il fatto che rz(0)=0 (sulla linea media per simmetria):

( ) rCdz

'pdr21

rz =

=

Ne deriva la distribuzione lineare (come raffigurata in figura) che deve valere sia per regimi laminari che turbolenti; lo sforzo nullo in mezzeria (r = 0) ed massimo sulla parete (r = R) dove vale:

( ) ( )L

'pR21

dz'pdR

21

w =

=

Relazione identica a quella che era stata trovata mediante lanalisi integrale. .2.3.1 Soluzione laminare

In questo caso lo sforzo viscoso correlato al gradiente di velocit dalla viscosit dinamica: drdu

rz =

per cui lequazione di campo diventa: rC21

drdu

rz ==

Il valore della costante C determinata dalla condizione alla parete: dz

'dpR

2CRC21 w

w ===

Integrando ulteriormente si ricava: 12 CrC

41u +=

La costante di integrazione C1 pu essere valutata dalla condizione di no-slip sulla parete: u(R)=0 da cui:

21 RC

41C =

Per cui la soluzione diventa: ( )22 RrC41u =

Che solitamente viene scritta come: ( ) ( ) ( )2222 rR

dz'dp

41rRC

41)r(u

=

= Il segno meno discende dal fatto che la velocit positiva se la pressione corretta p diminuisce nella direzione assiale (i.e. il fluido va da zone a p maggiori verso quelle dove p minore). Il profilo di velocit laminare in un tubo quindi di tipo parabolico, con velocit nulla sulla parete e massima al

centro dove ha un valore pari a:

== dz'dp

4Ru

2

max

Per cui il profilo di velocit esprimibile come:

u

R

z


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= 2

2

max Rr1u)r(u

Tutti gli altri parametri di interesse si ricavano semplicemente:

Portata volumetrica :

==

== dx'dp8RRu21drr2Rr1udAuQ

42

max2

2

maxR

0

La velocit media 2

uRQ

AQV max2 == quindi la met di quella massima sullasse.

In funzione della portata, la caduta di pressione : 4RQL8'p

= In accordo con la formula derivata da Hagen.

Infine lo sforzo alla parete: Ru2

drdu max

Rrw

===

Espresso in termini della velocit media e del diametro diventa: D

V8w

= Da cui si ricava la dipendenza del fattore di attrito laminare alla Darcy:

( )DV

64V

D/V88V

8f 22w

=

= ergo:

Dlam Re

64f =

La perdita di altezza che ne segue: QDgL128V

DgL32

g2V

DL

DV64h 42

2

lam,f =

=

=

proporzionale alla velocit media (e quindi alla portata volumetrica) come aveva postulato Hagen. Nota: per ReD0 , flam nel mentre la w0 : questo dipende dal fatto che nella flam , la w adimensionalizzata rispetto alla pressione di-namica che comprende la densit ; di fatto dalle condizioni assunte il contributo dinamico si bilancia perfettamente ed globalmente nullo (non compare nelle equazioni del moto completamente sviluppato), per cui ladimensionalizzazione non , a rigore, appropriata. Questo campo di moto chiamato flusso di Hagen-Poiseuille per commemorare i lavori sperimentali di Hagen nel 1839 e di Poiseuille nel 1840 che avevano indipendentemente ricavato la legge di perdita di pressione nei tubi.

=^=^=^=^=^=

ESERCIZIO 2.4 Olio con =900 kg/m3 e =0.0002 m2/s scorre in un tubo di 6 cm di diametro inclinato verso lalto di 40. Ad una sezione (1), posta a quota z=0 si misura p1= 350000 pa, ad una sezione (2), posta 10 metri a valle della (1) si misura p2= 250000 Pa. Assumendo regime laminare determinare: la direzione del flusso Risp. da (1) a (2) determinare hf tra (1) e (2) Risp. 4.9 m calcolare: Q, V, Re Risp. 0.0076 m3/s; 2.7 m/s, 810 riverificare se il flusso laminare Risp: SI

=^=^=^=^=^=

ESERCIZIO 2.5 Un liquido [modello di viscosimetro a capillare] con peso specifico rg= 58 lb/ft3 fluisce, per gravit da un serba-toio in cui assume unaltezza di 1 ft, attraverso un tubo capillare di 0.004 ft, lungo 1 ft con una portata di 0.15 ft3/s il tutto in condizioni atmosferiche: Trascurando gli effetti di entrata determinare la viscosit del fluido Risp. = 1.60 10-5 slug/(ft s)


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.2.3.2 Soluzione turbolenta Se assumiamo che tutto il campo di moto regolato dalla legge logaritmica, stupefacente rilevare che non vi bisogno di risolvere lequazione differenziale derivante dalla quantit di moto.

Ponendo y = R - r dalla relazione: B*y)rR(lnk1

*u)r(u +

Possiamo calcolare la velocit media: Memo: 4

xxln2

xdxxlnx22

=

+=

+

== k3B2*uRlnk22*udrr2B*u)rR(lnk1R*uAQV R02

Da questa ponendo k=0.41 e B=5.5 otteniamo: 34.1*uRln44.2*u

V += Il fatto interessante notare che:

f8V

*uV

w

2=

direttamente correlata al coefficiente di attrito di Darcy, f

f8

2Re

V*uDV

21*uR D= direttamente collegata a ReD ed a f

Introducendo tali relazioni, e cambiando la base del logaritmo da naturale, (ln) , a base 10, (log) , risulta la rela-zione:

( ) 02.1fRelog99.1f

1D =

che la relazione ricavata da Prandtl nel 1935, successivamente aggiustata per meglio verificare i dati sperimen-tali in: ( ) 8.0fRelog0.2

f1

D =

E da rilevare che calcolando semplicemente la velocit media da una legge (interna) di velocit, abbiamo rica-vato una relazione tra il coefficiente di attrito di Darcy ed il numero di Reynolds. Questa la formula universalmente accettata per il moto turbolento in un condotto liscio. Questa relazione per difficilmente usabile nel caso si assegna ReD e si vuole determinare f Tra le molte correlazioni disponibili in letteratura, per la relazione f(ReD) le pi comuni sono:

( ) (1974) .White F Relog02.1

(1911) asius H.Bl Re0.316f

5.2D

-1/4D

La relazione di Blasius, lo stesso studente di Prandtl che studi anche lo strato limite isobaro, per se limitata a bassi Reynolds, 4000 < ReD < 105, interessante perch dimostra quello che Hagen aveva trovato:

g2V

DL

DV316.0

g2V

DLf

gph

24/12

f

=

= che si pu scrivere come:

75.175.44/14/34/74/54/14/3 QD241.0VD158.0Lp =


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Da notare come nei regimi turbolenti, la perdita di pressione proporzionale alla lunghezza del tubo, varia di poco con la viscosit dinamica del fluido (infatti la viscosit turbolenta quella che determina lattrito) e varia con una potenza di 1.75 della velocit media o della portata. A parit di portata la perdita di pressione varia fortemente ed inversamente con la 4.5 potenza inversa del diame-tro (ergo meglio usare tubo con grossi diametri).

La velocit massima si realizza allasse ( r=0 , y=R) e vale : B*Rylnk1

*uumax +

Questa pu essere correlata alla velocit media V mediante la relazione: f33.11

1u

V

max += ; 4/1

DRe316.0f =

che fornisce i seguenti valori:

Da questa tabella si nota come il profilo turbolento si appiattisce allaumentare di Reynolds. .2.3.3 Effetti della rugosit di parete: labaco di Moody

Fu soltanto nel 1880 che Coulomb, con i suoi esperimenti, stabil gli effetti della rugosit di parete sulla resi-stenza dei tubi.

Si verific cos che la rugosit ha piccolo effetto sulla resistenza nel regime laminare, mentre nel turbolento leffetto dipende dalle dimensioni della rugosit (media RSM).

In effetti soltanto nel 1926 Nikuradse, il solito studente di Prandtl, con le sue misure teorizz che gli effetti di-pendevano dal rapporto della rugosit rispetto alle dimensioni del sottostrato laminare.

Ipotizzando, per il sottostrato laminare, unaltezza critica di y+ = 7, egli rilev, per pareti rugose, tre tipi di re-gimi:

1) Flusso con pareti idraulicamente lisce: 0 < u*/ < 5 irrilevante leffetto della rugosit 2) Flusso di transizione 5 < u*/ < 70 effetto della rugosit e di Reynolds 3) Flusso con pareti completamente rugose 70 < u*/ trascurabile leffetto di Reynolds

In particolare Nikuradse studi il regime (3) in cui la rugosit era molto pi alta del sottostrato laminare, s da sconvolgerlo completamente, not, per tali regimi, che la legge del profilo di velocit, in variabile interne, ri-maneva simile a quella su parete liscia, ma spostata verso il basso e verso destra. Ne risulta che per flussi completamente rugosi la legge logaritmica deve essere modificata:

+=+== ++++ 5.3lnk1Byln

k1BByln

k1

*uuu

Ponendo le costanti appropriati, si ricava per tubi con regimi di pareti (fluidodinamicamente) rugose: la rela-zione:

5.8ylnk1

*uuu +==

+

ReD laminare 4000 104 105 106 107 108 V/umax 0.5 0.790 0.811 0.849 0.875 0.893 0.907

liscia

rugose

dB

u+

log( )

dB

+

1/k[ ln ] -3.5+per flussi completamenterugosi


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La sorprendente conclusione che si elimina linfluenza della viscosit (che entrava nelle espressioni di y+ ed di +), e quindi, se si considera flusso completamente sviluppato, il profilo di velocit, su parete rugosa, indipen-dente dal numero di Reynolds.

Infatti integrando lequazione, risulta per la velocit media in un tubo rugoso: 2.3Dln44.2*u

V +=

Ovvero la relazione del coefficiente di attrito per tubi completamente rugosi :

=7.3Dlog0.2

f1

Non vi alcun effetto di Re, la variazione di f dipende esclusivamente dal rapporto (/D). Alla fine degli anni 30 si era quindi stabilito che:

per regimi di pareti lisce valeva la relazione ( ) 8.0fRelog0.2f

1D =

i.e. f dipende da ReD

per regimi di pareti completamente rugose era invece:

=7.3Dlog0.2

f1

i.e. f non dipende da ReD si dovette aspettare fino al 1939 allorquando il furbo Colebrook propose di combinare le due relazione per rico-prire il vasto regime di transizione con la relazione:

+=

fRe51.2

7.3Dlog0.2

f1

D

Formula che universalmente accettata per la determinazione dellattrito turbolento in tubi. Nel 1944 Moody ebbe la geniale idea di rappresentare su di un diagramma le curve che derivavano per il regime viscoso e per quello turbolento, producendo il best-seller dellabaco di Moody, che rappresenta il pi famoso ed utile diagramma della fluidodinamica.


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A parte lapprossimazione ingegneristica (15%) questo abaco pu essere usato anche per tubi con sezioni non circolari, per canali a vena libera e, in emergenza, per strati limite. La parte ombrata dellabaco relativa alla transizione laminare/turbolenta [2000


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=^=^=^=^=^= ESERCIZIO. 2.9 Un olio, con =950 kg/m3 e =0.00002 m2/s, scorre in un tubo (/D=0.0002) con diametro pari a 30 cm e lungo 100 m. Determinare la velocit media e la portata Risp. 4.84 m/s; 0.342 m3/s

=^=^=^=^=^= ESERCIZIO. 2.10 Rielaborare lESERCIZIO 8.6 assumendo nota la perdita di carico (hf) e incognita la velocit.

=^=^=^=^=^= Abaco di Moody modificato per la determinazione del diametro D. In questo caso occorre eliminare il diametro D cosa che pi laboriosa ma fattibile introducendo due nuovi gruppi adimensionale e definiti come: 5

f3

35D L

hQg128Ref = DReD4

Q

=

e di rappresentare, nellabaco modificato, la relazione ( )=== ,ReDQ4VDRe DD

In questo modo, una volta assegnati : Q, L, , , , hf, , si pu calcolare , risalire direttamente a ReD e da questo al diametro D. Si verifica che tutte le curve per /D si raggruppano in una curva che mediamente rappresentabile (per il regi-me turbolento) con la formula di potenza:

416.0D 43.1Re che rappresenta un utile approssimazione.


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=^=^=^=^=^= ESERCIZIO.9.11 Riconsiderare lEsercizio. 8.9 , assumendo Q=0.342 m3/s, =0.06 mm e determinare D.

=^=^=^=^=^= ESERCIZIO.9.12 Riconsiderare lESERCIZIO.8.6, con Q=1.178 ft3/s e determinare D.

=^=^=^=^=^= NOTA: le dimensioni dei tubi si danno nominalmente in pollici, ma il diametro nominale non corrisponde a quello interno, la corrispondenza :

.2.3.5 Formula di Churchill Per l'uso dell'abaco di Moody in calcoli fluidodinamici valgono tre considerazioni: 1. L'uso dell'abaco non ovviamente possibile da parte di codici di calcolo che richiedono la stima della perdi-

ta di carico.

2. La relazione di Colebrooke

+=DarcyDDarcy fRe

51.27.3Dlog0.2

f1 non di agevole uso in quanto non

fornisce esplicitamente la relazione f=f(ReD,/D) in genere richiesta.

Nominale (in) 1/8 3/8 1 1 2 2 1/2 3

Dinterno (in) 0.269 0.364 0.493 0.622 0.824 1.049 1.610 2.067 2.469 3.068 Dinterno (cm) 0.63 0.925 1.252 1.579 2.093 2.664 4.089 5.250 6.271 7.793


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3. Infine le relazioni per il coefficiente f dipendono in modo forte dal regime di moto, per cui occorre fissare

la transione (di solito la transizione fissata a ReD=2300). Per ovviare a questi tre inconvenienti innumerevoli sono state le proposte per fornire relazioni esplicite del tipo f=f(ReD,/D): alcune ottimizzate per valori bassi, altre per valori alti del rapporto di rugosit. Ma tutte richiedono la prevalutazione del valore del ReD di transizione laminare/turbolento. Recentemente Churchill ha introdotto una relazione che realizza automaticamente la transizione lamina-re/turbolento e fornisce esplicitamente il valore del fattore di attrito. Una functions (FORTRAN):che attua la formulazione di Churchill fornita nel seguito:

c------------------------------------------------------------ function churchill(red,eod) c c calcola il fattore di attrito alla Fanning: c.....red= numero di Reynolds basato sul diametro (idraulico) c.....eod= rapporto rugosit/diametro idraulico c c c.golia 2001 c a1 =(7./red)**0.9 a2 =0.27*eod a =(2.457*log(abs(1.d0/(a1+a2))))**16. b =(37530/red)**16. f1 =(8./red)**12. f2 =(a+b)**(-1.5) churchill=2.*(abs(f1+f2))**(1.d0/12.) return end c------------------------------------------------------------

L'uso di tale function fornisce, per il fatttore di attrito alla Fanning, un abaco simile a quello di Moody come in figura:

Abaco secondo Churchill

ReD1e+3 1e+4 1e+5 1e+6 1e+7 1e+8

f Fan

ning

0.001

0.01

0.1

/D= 00.00001

0.000050.0001

0.00020.0004 0.00060.0008

0.0010.0020.0040.0060.0080.010.0150.02

0.030.040.05


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.2.4 Flussi in condotti non circolari .2.4.1 Flusso tra pareti parallele Come per il moto nei tubi assumiamo moto completa-mente sviluppato [u=u(y)], in una rappresentazione car-tesiana lequazione :

( ) Kdx

'dpghpdxd

dyd ==+=

.2.4.1.1 Regime laminare In questo caso = du/dy sicch lequazione si integra due volte per fornire:

212 CyCy

2K)y(u ++

=

Le due costanti C1 e C2 si possono determinare dalle condizioni alle pareti (y=h/2) da cui derivano i valori di C1=0, C2 = Kh2/(8), pertanto la distribuzione di velocit :

( )22 yhdx

'dp81)y(u

= distribuzione parabolica simile a quella nei tubi.

Tutti gli altri parametri ne derivano semplicemente:

Velocit media max2

u32

dx'dp

12hV =

=

Sforzo alla parete:

=dx

'dp2h

w

Fattore di attrito: h

2w

Re48

Vh48

V8f =

==

Come per i tubi il regime laminare diventa instabile per Reh=1150, oltre inizia la transizione al turbolento.

.2.4.1.2 Regime turbolento In questo caso conviene usare la legge logaritmica di parete, con unordinata che parte da una delle pareti (Y)

per cui vale: ( ) B*Yulnk1

*uYu +

Questa pu essere integrata per fornire la velocit media:

+== k1B*Yulnk1dYuh2*u1f8*uV2/h

0

Da cui: ( ) 588.0fRelog0.2f

1h = formula molto simile a quella per tubi circolari.

.2.5 Il concetto di diametro idraulico Per condotto non circolari, lapproccio del volume di controllo ancora valido ma si deve tenere in conto che lattrito si verifica soltanto sulle pareti bagnate da fluido la cui estensione chiamata Perimetro idraulico P. Ne segue che lequazione di equilibrio diventa:

0LsinLgAAp w =+ P ovvero: ( ) PAL

gg'p

gghph wf

=

=+=

h

umax

u(y) xy

Y

b = oo


Fluid_Ind_020.doc

Questultima relazione identica a quella ricavata per i tubi laddove al posto del Raggio si presenta il rapporto A/P.

Per queste ragioni si definisce raggio idraulico, Rh, il rapporto: baganto perimetrofluida sezionearea ARh == P

Sfortunatamente mala abitudine definire diametro idraulico, Dh che pari a quattro volte il Raggio idraulico:

baganto perimetrofluida sezionearea l' volte4A4Dh == P

rispetto al quale tutte le formule e correlazione trovate per il tubo circolare possono essere formalmente usate (con ignota approssimazione, di solito migliore per il turbolento). Altre sezioni non circolari In linea di principio un condotto con una sezione arbitraria pu essere risolto per il regime laminare, ma questo un esercizio pi o meno accademico, in quanto linteresse pratico nel regime turbolento. In questo caso luso del diametro idraulico permette laccesso agli abachi di Moody per una stima abbastanza approssimata delle per-dite. In realt la presenza di moti secondari e ricircolatori rendono sezioni triangolari e rettangolari a grande al-lungamento molto difficili da risolvere, ma fortunatamente tali forme sono raramente incontrate nella vita prati-ca. Nel seguito una tabella valida per regime laminare in sezioni rettangolari

Idem per triangoli isosceli. (gradi) 0.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 f ReDh 48.0 51.6 52.9 53.3 52.9 52.0 51.1 49.5 48.3 48.0

.2.6 Perdite minori in condotti In un sistema idraulico, oltre alle perdite di carico per attrito nei tubi, che si possono calcolare con labaco di Moody, esistono altri tipi di perdite, dette perdite minori che dipendono da: 1. ingresso/uscita 2. subitanei cambiamenti di sezione, 3. curve, gomiti, giunti , 4. valvole , 5. graduali variazioni di sezione.

E ovvio che queste perdite possono essere tuttaltro che minori se le valvole sono chiuse!.

In tutte queste situazioni la determinazione del campo di moto praticamente impossibile, per cui ci si limita a determinare globalmente le varie perdite, considerate concentrate, con luso di coefficienti K, determinati speri-mentalmente. Questi dati sperimentali raramente riportano la dipendenza dai parametri adimensionali dinamici quali il Re ed il rapporto di rugosit. Per questi motivi la determinazione delle perdite orientativa. Tutti i coefficienti K si riferiscono solitamente a regimi turbolenti.

I coefficienti di perdita K sono definiti come: g2V

hK 2m

sicch la perdita totale htot, riferita ad una velocit media V e ad un diametro di riferimento D si scrive:

B/A 0.0 0.05 0.1 0.125 0.167 0.25 0.4 0.5 0.75 1 f ReDh 96.00 89.91 84.68 82.34 78.81 72.93 65.47 62.19 57.89 56.91

b

a

2


Fluid_Ind_020.doc

+=+= KDLfg2Vhhh2

mftot

In genere si conviene di usare per L la lunghezza dello sviluppo completo del sistema (incluse tutte le curve, val-vole ecc.). Da notare che se il circuito contiene segmenti Li con diametri diversi Di il raggruppamento prima fatto impos-sibile e si dovranno sommare tutti i contributi delle perdite (distribuite e localizzate) separatamente. Nel seguito indicheremo i valori pi comuni dei vari tipi di perdite. .2.6.1 Perdite di ingresso/uscita Le perdite di ingresso dipendono dalla geometria, per quelle di uscita si assume K=1.

.2.6.2 Subitanei cambiamenti di sezione I valori sono dati dal grafico, la velocit di riferimento sempre quella del diametro pi piccolo. Per unespansione il bilancio globale fornisce il valore

2

2

2

ESPANSIONE Dd1K

=

Per una contrazione, si verifica sempre una separazione che genera il fenomeno della vena contratta, di difficile analisi, una buona approssimazione data dalla relazione

2

2

ECONTRAZION Dd142.0K

.2.6.3 Raccordi a T, gomiti e valvole

Valgono i coefficienti g2/V

hK 2= dati in tabella.

avvitato flangiato Diametro nominale (in.) 1 2 4 1 2 4 8 20 Valvole (completamente aperte) a globo 14 8.2 6.9 5.7 13 8.5 6.0 5.8 5.5 a saracinesca 0.30 0.24 0.16 0.11 0.90 0.35 0.16 0.07 0.03 a paratia a cerniera 5.1 2.9 2.1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 ad angolo 9.0 4.7 2.0 1.0 4.5 2.4 2.0 2.0 2.0 Angoli 45 regolare 0.39 0.32 0.30 0.29 45 grande raggio 0.21 0.20 0.19 0.16 0.14 90 regolare 2.0 1.5 0.95 0.64 0.50 0.39 0.30 0.26 0.21 90 grande raggio 1.0 0.72 0.41 0.23 0.40 0.30 0.19 0.15 0.10 180 regolare 2.0 1.5 0.95 0.64 0.41 0.35 0.30 0.25 0.20 180 grande raggio 0.40 0.30 0.21 0.15 0.10

K=0.78 K=0.4-0.5 K=0.2-0.25

piccolo raggio

K=0.05

grande raggio r=0.2Drientrante aguzzo


Fluid_Ind_020.doc

Raccordi a T Flusso in linea 0.90 0.90 0.90 0.90 0.24 0.19 0.14 0.10 0.07 Flusso laterale 2.4 1.8 1.4 1.1 1.0 0.89 0.64 0.58 0.41 Variazioni della perdita con l'apertura della valvola.

Valori del rapporto apertavalvola K

K

.2.6.4 Raccordi curvi Le perdite si riferiscono ai moti di ricircolazione ed a quelli secondari che si generano per effetto dellaccelerazione centripeta. Queste devono essere sommate a quelle relative allo sviluppo del tubo che si derivano dallabaco di Moody. Nella tabella:

la rugosit D il diametro del tubo R il raggio di curvatura

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12

Coeeficiente di perdita di carico per

Raccordi curvi

/D = 0 0-005 0.001 0.002 0.01

r/D

Condizione a saracinesca a globo aperta 1.0 1.0 25% chiusa 3.0 5.0 1.5 2.0 50% chiusa 12 22 2.0 3.0 75% chiusa 70 - 120 6.0 8.0


Fluid_Ind_020.doc

.2.6.5 Variazioni di sezione Per variazioni graduali di sezione, si parla di diffusore conico se il condotto si allarga , in questo caso le perdite dipendono molto dalle condizioni dellingresso. Il valore K correlato al coefficiente di pressione Cp dalla relazione:

( ) 2121 124

2

1p

4

2

12

1

m

Vpp

DD1C

DD1

g2VhK

=

==

Per una contrazione graduale la perdita piccola:

=^=^=^=^=^= ESERCIZIO 2.13 Acqua ( =1.94 slug/ft3 e =0.000011 ft2/s) pompata tra due serbatoi con una portata di 0.21 ft3/s con un con-dotto come in figura (/D=0.001) che contiene varie perdite minori. Determinare la potenza idraulica richiesta alla pompa. Risp 4.2 HP

Angolo di contrazione2 (in gradi)

30 45 60

K 0.02 0.04 0.07

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Appunti fluidodinamica