Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi ... · 6 A. Pollice - Appunti di Probabilità Nel caso di un numero ﬁnito o un’inﬁnità numerabile di elementi di

Appunti di Teoria della ProbabilitàUniversità degli Studi di Bari

Corso di Laurea in Scienze StatisticheA.A. 2011/2012

Alessio Pollice

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Capitolo 1

Eventi e probabilità

1.1 Premessa

• Etimologia e significato letterale

probabile agg. 1. Di quanto si ammette in base a motivi seri o attendibili ma non certi(...)probabilità s.f. 1. Attendibilità confortata da motivi ragionevoli (...) com. la misurain cui un evento si ritiene probabile (...) 2. In ambito filosofico o teologico, il caratteredistintivo dell’opinione, in quanto questa può essere sostenuta con ragioni tali che nonescludono la ‘possibilità del contrario’.[G. Devoto, G.C. Oli, Il Dizionario della Lingua Italiana]

• In una prima grossolana definizione la teoria della probabilità può essere individuata come labase per la rappresentazione di situazioni nelle quali sia necessario effettuare delle scelte o prenderedelle decisioni in condizioni di incertezza.

• Perché un corso di teoria della probabilità nel CdL in SSE.

Malgrado l’importanza e il crescente interesse nei metodi della statistica descrittiva,questa branca della disciplina costituisce oggi solo una parte, relativamente modesta, dellamoderna metodologia statistica. Lo sviluppo più cospicuo si è avuto nel campo dellacosiddetta statistica inferenziale o induttiva. Questa parte della statistica accoglie quellemetodologie che si occupano di indicare come trarre conclusioni (o inferenze) circa gliaspetti non noti dei fenomeni sulla base di limitate informazioni; conclusioni di solitonecessarie all’assunzione di decisioni.

Tuttavia, per affrontare la problematica inferenziale sono essenziali i concetti e le tec-niche sviluppati da un altro settore disciplinare, quello della teoria della probabilità. Infattila risoluzione di problemi inerenti la inferenza (statistica) presuppone la valutazione delleprobabilità con cui certi eventi possono manifestarsi; e tali valutazioni rivestono e giocanoun ruolo tanto importante nelle conclusioni che la stessa statistica, in certa misura, puòessere riguardata come l’area applicativa della teoria della probabilità.[D.M. Cifarelli, 1998]

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4 A. Pollice - Appunti di Probabilità

1.2 Eventi e loro rappresentazione matematica

Le situazioni alle quali è possibile applicare il ragionamento probabilistico vengono denominate eventi(aleatori): la probabilità è un numero associato ad un evento (risultante dall’osservazione di un esperi-mento) che può o meno verificarsi.

Esempio 1.1 Lancio una moneta (simmetrica) ed ottengo testa;

Esempio 1.2 Lancio due volte una moneta (simmetrica) e ottengo testa al primo lancio e croce alsecondo;

Esempio 1.3 Lancio un dado (non truccato) e ottengo 5 o 6;

Esempio 1.4 Estraggo (a caso) una carta da un mazzo di carte francesi e ottengo una carta di picche;

Esempio 1.5 Scelgo (a caso) un numero reale nell’intervallo [0, 1] e ottengo un numero inferiore a 0.3;

Esempio 1.6 Scelgo (a caso) un punto all’interno di un quadrato con vertici opposti nei punti dicoordinate (−1,−1) e (1, 1) e ottengo un punto la somma delle cui coordinate è inferiore all’unità.

Dagli esempi precedenti risulta che alla base della individuazione di un evento vi è una ben definitaprova o esperimento casuale (rispettivamente il lancio della moneta, il lancio del dado, l’estrazione dellacarta e così via).

Definizione 1.1 L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale è detto spazio dei risultati(o spazio campionario) e viene generalmente indicato con la lettera greca Ω.

Esempio 1.1 (cnt) Nel caso del lancio di una moneta lo spazio dei risultati è dato da Ω = T,C.

Esempio 1.2 (cnt) Nel caso di due lanci della stessa moneta (ovvero di un lancio di due monetedistinte) lo spazio dei risultati è dato da

Ω = (T, T ) , (T,C) , (C, T ) , (C,C)

Cap.1: Eventi e probabilità 5

Esempio 1.3 (cnt) Nel caso del lancio di un dado lo spazio dei risultati è dato da Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Esempio 1.4 (cnt) Nel caso dell’estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi lo spazio deirisultati Ω è dato dall’insieme che ha per elementi tutte le 52 carte del mazzo.

Esempio 1.5 (cnt) Nel caso della scelta di un numero reale nell’intervallo [0, 1] lo spazio dei risultatiΩ corrisponde all’insieme di tutti i punti dell’intervallo. Il numero di elementi di tale insieme è infinito.

Esempio 1.6 (cnt) Nel caso della scelta di un punto all’interno del quadrato lo spazio dei risultati Ωcorrisponde all’insieme di tutti i punti del quadrato. Anche in questo caso il numero di elementi dellospazio dei risultati è infinito.

Definizione 1.2 Gli elementi di Ω corrispondenti ai possibili risultati dell’esperimento casuale sono dettieventi elementari e vengono indicati con ϖ1, ϖ2, . . .. Se detti elementi sono in numero finito o un’infinitànumerabile, allora ogni sottoinsieme di Ω (ovvero ogni insieme di eventi elementari) è un evento.

Esempio 1.3 (cnt) L’evento “esce 5 o 6” corrisponde all’insieme che ha per elementi i due eventielementari “esce 5” ed “esce 6”.

Esempio 1.4 (cnt) L’evento “esce una carta di picche” è dato dall’insieme composto dai 13 eventielementari corrispondenti all’estrazione delle carte di picche presenti nel mazzo di carte francesi.

Definizione 1.3 Si dice che il generico evento A riferito allo spazio dei risultati Ω si è verificato (oppureche esso è vero) quando l’esperimento casuale produce un risultato (elementare) ϖ che implica A, ovveroquando ϖ ∈ A.

Esempio 1.3 (cnt) L’evento “esce 5 o 6” è vero quando lo è uno dei due eventi elementari “esce 5” ed“esce 6”.

Esempio 1.4 (cnt) L’evento “esce una carta di picche” si verifica quando è vero uno dei 13 eventielementari relativi alle carte di picche.

Definizione 1.4 Si definisce spazio o classe degli eventi e si indica con F l’insieme di tutti gli eventiassociati a un certo esperimento casuale (da non confondere con lo spazio dei risultati che è l’insieme deisoli eventi elementari).


Nel caso di un numero finito o un’infinità numerabile di elementi di Ω, lo spazio degli eventi F corrispondeall’insieme delle parti (o insieme di potenza) dello spazio dei risultati. Infine nel caso in cui la numerositàdi Ω sia finita e pari ad n lo spazio degli eventi F è formato da un numero di elementi (sottoinsiemi di Ω)pari a (

n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n

)=

n∑i=0

(n

i

)= (1 + 1)n = 2n (1.1)

Esempio 1.2 (cnt) Lancio di 2 monete distinte:Spazio dei risultati: Ω = (T, T ) , (T,C) , (C, T ) , (C,C);Esempio di evento: Ai = “esce i volte testa” i = 0, 1, 2;Tutti i possibili 24 = 16 sottoinsiemi di Ω sono eventi e formano lo spazio degli eventi F .

Esempio 1.3 (cnt) Lancio di un dado:Eventi elementari: ϖi = “esce la faccia i” i = 1, . . . , 6;Spazio dei risultati: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6;Esempio di evento: A = “esce un numero pari” = 2, 4, 6;Lo spazio degli eventi F è formato da 26 = 64 eventi corrispondenti a tutti i possibili sottoinsiemi di Ω.

Esempio 1.7 Conteggio del numero di nascite verificatesi in Italia nel 1999:Eventi elementari: ϖi = “esattamente i nascite” i = 0, 1, 2, . . .;Spazio dei risultati: Ω = 0, 1, 2, 3, . . .;Esempio di evento: A = “meno di 500 nascite” = 0, 1, . . . , 499 ;Lo spazio dei risultati Ω è un’infinità numerabile così come lo spazio degli eventi F .

Esempio 1.8 Conteggio del numero di piogge e misura del livello complessivo di piovosità:Evento elementare: ϖ = (7, 46.5);Spazio dei risultati: Ω = (i, x) ; i = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0i = “numero delle piogge”x = “precipitazione totale in cm”;Esempio di evento: A = (i, x) ; i = 5, . . . , 10, x ≥ 30;I possibili sottoinsiemi dello spazio Ω sono un’infinità (non numerabile), pertanto non tutti sono eventi.

A questo punto dovrebbe essere chiaro che l’algebra degli insiemi costituisce un presupposto fonda-mentale per lo sviluppo della teoria della probabilità.

1.3 Algebra degli insiemi e logica degli eventi

L’evento Ω corrispondente all’intero spazio dei risultati dell’esperimento casuale è assimilabile all’insiemetotale o universo. Tale evento si verifica certamente (infatti certamente l’esperimento terminerà con unelemento di Ω) e viene chiamato evento certo.

Definizione 1.5 Il complementare o la negazione A di un insieme A è l’insieme di tutti i punti dell’u-niverso che non appartengono ad A.


Conseguentemente l’evento A è costituito da tutti gli eventi elementari ϖ di Ω che non appartengono ad A,ovvero dagli elementi di F diversi da A. Quindi , dato un evento A = ϖ ∈ Ω : ϖ ∈ A la sua negazioneA = ϖ ∈ Ω : ϖ /∈ A è l’evento che si verifica se e solo se non si verifica A. Si noti che vale la seguenteproprietà: A = A.

Esempio 1.9 Si determini il complementare A dell’insieme A rispetto allo spazio F :

1. F = x; 0 < x < 1A =

x; 5

8 ≤ x < 1

A =x; 0 < x < 5

8

;

2. F =(x, y, z) ; x2 + y2 + z2 ≤ 1

A =

(x, y, z) ; x2 + y2 + z2 = 1

A è l’insieme dei punti interni ad un sfera di raggio 1 e centro nell’origine di un riferimentocartesiano tridimensionale;

3. F =(x, y) ; x2 + y2 ≤ 1

A = (x, y) ; |x|+ |y| < 1A è l’insieme dei punti compresi tra il cerchio di raggio unitario e centro nell’origine ed un quadratodi vertici opposti (0,−1) e (0, 1) (l’insieme contiene i suoi punti di frontiera).

Definizione 1.6 Il complementare di Ω è l’insieme vuoto ∅ anche detto evento impossibile.

Definizione 1.7 L’unione A ∪ B di due insiemi A e B è l’insieme costituito dai punti appartenenti aduno dei due insiemi o a entrambi; l’evento A∪B si verifica dunque quando si verificano A, B o entrambi.

Si noti che l’unione gode delle seguenti proprietà:

A ∪B = B ∪A

A ∪A = A

A ∪ ∅ = A (1.2)A ∪ Ω = Ω

A ∪ A = Ω

Definizione 1.8 L’ intersezione A ∩ B di due insiemi A e B è l’insieme costituito dai punti comuni adentrambi gli insiemi; l’evento A ∩B si verifica dunque quando si verificano sia A che B.

Si noti che l’intersezione gode delle seguenti proprietà:

A ∩B = B ∩A

A ∩A = A

A ∩ ∅ = ∅ (1.3)A ∩ Ω = A

A ∩ A = ∅

Definizione 1.9 Due eventi A e B si dicono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibileA ∩B = ∅, cioé se è impossibile che si verifichino entrambi.


Teorema 1.1 Leggi associative:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Teorema 1.2 Leggi distributive:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Esempio 1.10 Siano A, B e C tre eventi appartenenti alla stessa famiglia F . Tramite le operazionilogiche di unione, intersezione e negazione si determinino le espressioni per i seguenti eventi:

1. “solo A si verifica”= A ∩B ∩ C;

2. “A e C si verificano, ma non B”= A ∩B ∩ C;

3. “tutti e tre gli eventi si verificano”= A ∩B ∩ C;

4. “nessuno dei tre eventi si verifica”= A ∩B ∩ C;

5. “due dei tre eventi si verificano”=(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

);

6. “almeno due dei tre eventi si verificano”=(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C);

7. “almeno uno dei tre eventi si verifica”=(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(

A ∩B ∩ C)∪(A ∩B ∩ C

)∪ (A ∩B ∩ C) = A ∪B ∪ C;

8. “al più uno dei tre eventi si verifica”=(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

);

9. “al più due dei tre eventi si verificano”=(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(

A ∩B ∩ C)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

).

Definizione 1.10 Si dice che l’insieme A è contenuto in o sottoinsieme di B e si indica A ⊂ B se ognielemento di A è anche elemento di B.

In tal caso se il risultato dell’esperimento casuale appartiene ad A appartiene anche a B, quindi A ⊂ Bequivale a dire che ogni volta che si verifica A si verifica anche B, ovvero che l’evento A implica B. Si notiche se A ⊂ B valgono le seguenti proprietà:

A ∪B = B

A ∩B = A

Definizione 1.11 In generale l’unione

A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An =

n∪i=1

Ai (1.4)

è l’evento che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi Ai per i = 1, . . . , n.

Definizione 1.12 In generale l’intersezione

A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An =n∩

i=1

Ai (1.5)

è l’evento che si verifica quando si verificano tutti gli eventi Ai per i = 1, . . . , n.


Teorema 1.3 Legge di de Morgan dell’unione

n∪i=1

Ai =

n∩i=1

Ai (1.6)

Teorema 1.4 Legge di de Morgan dell’intersezione

n∩i=1

Ai =

n∪i=1

Ai (1.7)

Definizione 1.13 Un insieme indicizzato di eventi Ai; i = 1, 2, . . . è detto successione.

Definizione 1.14 Il limite inferiore di una successione di eventi è definito da:

lim infi→∞

Ai = limi→∞

∞∩h=i

Ah =

∞∪i=1

∞∩h=i

Ah (1.8)

Il limite inferiore lim infi→∞Ai è dato dall’unione degli eventi∩∞

h=iAh e consiste pertanto nel verificarsidi almeno uno di tali eventi. Ciò equivale a dire che l’evento lim infi→∞Ai si verifica se esiste un valore dii per il quale si verificano tutti gli eventi Ai, Ai+1, Ai+2, . . .. In altri termini lim infi→∞Ai è l’evento che siverifica se e solo se si verificano tutti gli eventi della successione tranne al più un numero finito di essi.

Definizione 1.15 Il limite superiore di una successione di eventi è definito da:

lim supi→∞

Ai = limi→∞

∞∪h=i

Ah =∞∩i=1

∞∪h=i

Ah (1.9)

Con ragionamento analogo a quello esposto al punto precedente si può affermare che l’evento lim supi→∞Ai

equivale al verificarsi di tutti gli eventi∪∞

h=iAh, ovvero di infiniti tra gli eventi Ai.

Definizione 1.16 Una successione Ai; i ≥ 1 di eventi si dice crescente se vale Ai ⊂ Ai+1 per ogni i.

Definizione 1.17 Una successione Ai; i ≥ 1 di eventi si dice decrescente se vale Ai+1 ⊂ Ai per ognii.

Definizione 1.18 Il limite di una successione crescente di eventi è definito da

limi→∞

Ai =∞∪i=1

Ai (1.10)

Definizione 1.19 Il limite di una successione decrescente di eventi è definito da

limi→∞

Ai =∞∩i=1

Ai (1.11)


Esempio 1.11 Si determini il limite delle seguenti successioni crescenti di eventi:

1. Ai =x : 1

i ≤ x ≤ 3− 1i

, i = 1, 2, . . .

limi→∞Ai = x : 0 < x < 3;

2. Ai =(x, y) : 1

i ≤ x2 + y2 ≤ 4− 1i

, i = 1, 2, . . .

limi→∞Ai =(x, y) : 0 < x2 + y2 < 4

.

Esempio 1.12 Si determini il limite delle seguenti successioni decrescenti di eventi:

1. Ai =x : 2− 1

i < x ≤ 2, i = 1, 2, . . .

limi→∞Ai = x : x = 2;

2. Ai =x : 2 < x ≤ 2 + 1

i

, i = 1, 2, . . .

limi→∞Ai = ∅;

3. Ai =(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1

i

, i = 1, 2, . . .

limi→∞Ai =(x, y) : x2 + y2 = 0

.

Si noti come le seguenti tre proprietà risultano opportune per una semplice caratterizzazione matem-atica dello spazio degli eventi F :

Ω ∈ FA ∈ F ⇔ A ∈ F (1.12)

A1, A2 ∈ F ⇒ A1 ∪A2 ∈ F

E’ evidente come l’insieme di tutti gli eventi debba essere chiuso rispetto alle operazioni di unione e dinegazione (se si è in grado di dire se A è vero o falso, allora si è in grado di dire anche se A è vero o falso;analogamente se si è in grado di dire se A1 e A2 sono veri o falsi si è in grado di dire se A1 ∪A2 è vero ofalso).

Definizione 1.20 Una famiglia di insiemi con le suddette caratteristiche (1.15) è detta algebra di Boole.

Inoltre dalle tre condizioni precedenti discendono le seguenti proprietà:

∅ ∈ FA1, A2 ∈ F ⇒ A1 ∩A2 ∈ F

A1, A2, . . . An ∈ F ⇒n∪

i=1

Ai ∈ F (1.13)

A1, A2, . . . An ∈ F ⇒n∩

i=1

Ai ∈ F

Definizione 1.21 Si ottiene una struttura algebrica denominata algebra di Boole completa o σ-algebrao classe additiva se alle tre condizioni che definiscono l’algebra di Boole si aggiunge la condizione che la


famiglia F sia chiusa rispetto all’unione infinita:

A1, A2, . . . ∈ F ⇒∞∪i=1

Ai ∈ F (1.14)

Quando Ω è un’infinità numerabile, l’insieme delle parti di Ω è una σ-algebra. Si può dimostrare inoltreche se F è una σ-algebra, allora essa è chiusa anche rispetto all’intersezione infinita, ovvero che vale laproprietà:

A1, A2, . . . ∈ F ⇒∞∩i=1

Ai ∈ F (1.15)

Quando lo spazio Ω non è finito né numerabilmente infinito, il problema della determinazione diF diviene più complesso. Essendo quello dei numeri reali uno dei più importanti insiemi infiniti (nonnumerabili) si supponga Ω = R (o più in generale Ω = Rk, k ≥ 1) e siano inoltre gli intervalli i sottoinsiemidi R ai quali si sia interessati.

Definizione 1.22 La minima classe di sottonsiemi di R che contiene gli intervalli ed è chiusa rispettoalla negazione ed all’unione (finita e infinita) è detta σ-algebra di Borel di R.

Come si capisce dalla definizione, la σ-algebra di Borel di R è molto vasta e comprende tutti gli insiemidi interesse nelle applicazioni, ovvero tutti i sottoinsiemi di R per i quali abbia senso parlare di lunghezza.In particolare contiene gli insiemi costituiti da singoli punti e tutti gli intervalli aperti e chiusi. Si intendeche in tal caso gli eventi sono comunque sottoinsiemi di Ω = R, viceversa non tutti i sottoinsiemi di R sonoeventi (ma solo quelli che appartengono alla σ-algebra di Borel).

Definizione 1.23 Alla coppia (Ω,F) si dà il nome di spazio misurabile, cioè atto ad essere misurato.

1.4 Diverse interpretazioni della probabilità

Le origini del calcolo delle probabilità sono relativamente recenti. Esso era infatti sconosciuto nel mondoantico, principalmente a causa dell’assenza del metodo sperimentale nella scienza antica. Già i filosofigreci discutevano del concetto di probabilità senza addentrarsi in valutazioni quantitative. Dei primitiviaccenni a valutazioni quantitative di probabilità sembra si trovino nella lettura ebraica di commento alleprescrizioni delle leggi.

Agli inizi dell’età moderna lo spirito sperimentale portò ad interrogarsi sulle regolarità riscontrabili nellefrequenze dei risultati dell’antico gioco dei dadi (sulla presenza di regolarità pur nella indeterminatezzadei risultati). La prima trattazione nota sulla probabilità risale al Rinascimento ed è dovuta a GerolamoCardano che nel libro “De ludo aleae” del 1526 (pubblicato postumo nel 1663) discute del calcolo delleprobabilità della somma dei risultati ottenuti lanciando tre dadi (in questo libro viene per la prima voltaenunciata la legge empirica del caso).

La vera nascita del calcolo delle probabilità viene comunemente collegata con gli studi di Blaise Pascale Pierre Fermat (sec. XVII), sollecitati dall’interesse crescente per scommesse e giochi d’azzardo. Peril primo lo studio della probabilità è inquadrabile in una precisa concezione filosofica contrapposta alrazionalismo di R. Descartes che lo precedeva di poche decine d’anni. Come in filosofia Pascal opponeva“le ragioni del cuore che la ragione non comprende” alle “idee chiare e distinte” di Descartes, così dava inizioal calcolo delle probabilità in contrasto con la perfetta e stabile sistemazione della geometria cartesiana.Mentre la posizione di Descartes può essere considerata alla base degli sviluppi del determinismo scientifico(conoscendo con precisione lo stato dell’universo in un determinato istante si può calcolare la sua evoluzionein tutti gli istanti successivi), quella di Pascal può essere vista come anticipatrice della moderna visionedella scienza (ed in particolare della fisica) secondo cui i fenomeni osservabili sono unicamente descrivibiliapprossimativamente e temporaneamente tramite modelli matematici basati su leggi probabilistiche.


Altri studiosi che hanno avuto un ruolo determinante nella nascita e nei primi sviluppi (secc. XVI-XVIII) del Calcolo delle Probabilità sono: Christiaan Huygens, Jakob e Daniele Bernoulli, Abraham deMoivre, Pierre Simon Laplace.

Definizione 1.24 La definizione classica della probabilità (già nota a Cardano come regola di calcolo,successivamente adottata come definizione da Pascal, poi da de Moivre e Laplace) di un evento corrispondeal rapporto tra il numero dei risultati favorevoli al verificarsi dell’evento in questione e quello di tutti irisultati possibili purché tutti ugualmente probabili.

Esempio 1.13 La probabilità di ottenere testa lanciando una volta una moneta simmetrica è pari ad 12 .

Esempio 1.14 La probabilità di ottenere 4 lanciando una volta un dado non truccato è pari ad 16 .

La grave difficoltà di questa definizione sta nel suo carattere tautologico: per definire la probabilitàoccorre sapere cosa significa probabile. Inoltre questa definizione ha un ambito di validità limitato: irisultati possibili dell’esperimento devono essere un numero finito e devono essere ugualmente probabili.

Tuttavia la definizione classica dà luogo ad alcune proprietà. In particolare

1. la probabilità di un evento A risulta essere un numero sempre compreso tra zero (quando nessunrisultato dell’esperimento è favorevole al verificarsi di A, ovvero A è l’evento impossibile ∅) e uno(quando tutti i risultati dell’esperimento sono favorevoli ad A,ovvero A è l’evento certo Ω)

P (∅) = 0 ≤ P (A) ≤ 1 = P (Ω) (1.16)

2. le probabilità di eventi incompatibili risultano additive, ovvero la probabilità dell’unione di dueeventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi

A ∩B = ∅ ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B) (1.17)

Esempio 1.15 La probabilità di ottenere 4 o 5 lanciando una volta un dado non truccato è pari a16 + 1

6 = 13 .

Esempio 1.16 La probabilità di ottenere una carta di picche estraendo a caso una carta da un mazzodi carte francesi è pari a 1

52 + · · ·+ 152 = 13× 1

52 = 14 .

È opinione comune che la probabilità del risultato di un certo esperimento sia strettamente legataalla frequenza delle prove nelle quali l’evento stesso si verifica (successi). Formalmente ciò può essereespresso nella cosiddetta legge empirica del caso: in una successione di prove fatte nelle stesse condizioni, lafrequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell’evento stesso, e l’approssimazione tende a migliorarecon l’aumentare del numero delle prove.

Definizione 1.25 Nella definizione frequentista di probabilità tale legge viene rovesciata: piuttosto chemettere in relazione la frequenza con la probabilità, è la stessa probabilità ad essere definita come limitedella frequenza relativa dei successi quando il numero delle prove tende all’infinito.


Ma poichè le frequenze sono numeri che dipendono dai dati rilevati sperimentalmente, la loro successionenon è governata da una legge matematica (può solo essere osservata per un numero grande ma finito diprove), e non c’è nulla che ne garantisca la convergenza. Inoltre anche in questo caso la validità delladefinizione è limitata ad esperimenti replicabili più volte nelle stesse condizioni.

Si osservi che anche per la definizione frequentista valgono le proprietà

1. la probabilità risulta essere un numero sempre compreso tra zero (quando l’evento non si è verificatoin nessuna prova - evento impossibile ∅) e uno (quando l’evento si è verificato in tutte le prove -evento certo Ω);

2. vale l’additività della probabilità per eventi incompatibili.

In questa concezione, come in quella classica, la probabilità è un valore numerico “vero” determinatodalla natura degli eventi. Essa assume pertanto un significato concreto, fisico, in altri termini, oggettivo.

Definizione 1.26 Nella sua definizione soggettiva (già accennata da Pascal, espressa da J. Bernoulli,sviluppata in tempi più recenti da B. de Finetti e J. Savage), invece, la probabilità rappresenta un giudizioquantitativo individuale espresso dalla misura del grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi di unevento. Tale misura dipende dall’individuo stesso, ovvero dalle sue conoscenze ed informazioni riguardoall’evento e può perciò variare da individuo a individuo.

La ricerca di un metodo per misurare l’opinione individuale sul verificarsi di un evento porta a considerareuna ipotetica scommessa sul verificarsi dell’evento stesso come punto di partenza per la definizione opera-tiva di probabilità dal punto di vista soggettivo (dovuta essenzialmente a B. de Finetti). La probabilità diun evento corrisponde al prezzo che un individuo è disposto a pagare (riscuotere) per ricevere (pagare) 1se l’evento si verifica e 0 se l’evento non si verifica. Le alternative tra parentesi stanno a significare che ladefinizione non cambia se ci si riferisce allo scommettitore o al banco. La valutazione soddisfa il cosiddettoprincipio di coerenza o equità secondo il quale la scommessa in questione (anche se replicata più volte)non dà luogo a guadagni o perdite certi.

Si osservi che anche per la definizione soggettiva valgono le proprietà

1. la probabilità risulta essere un numero sempre compreso tra zero e uno. Infatti se Ω è l’evento certo epago P (Ω) per ricevere certamente 1, allora il guadagno è 1−P (Ω). Se P (Ω) < 1 si avrà una vincitacerta, mentre se P (Ω) > 1 si avrà una perdita certa in violazione del principio di coerenza, dunquein tal caso dovrà essere P (Ω) = 1. Se invece ∅ è l’evento impossibile, allora il guadagno è −P (∅),dunque, affinché per il principio di coerenza tale guadagno sia nullo, dovrà essere necessariamenteP (∅) = 0.

2. vale l’additività della probabilità per eventi incompatibili. Siano infatti A e B due eventi incompat-ibili, dunque gli eventi A, B e A ∪B sono incompatibili e necessari, ovvero hanno intersezione nullae unione pari all’evento certo.

P (A) + P (B) + P(A ∪B

)= P

(A ∪B ∪

(A ∪B

))= P (Ω) = 1

anche gli eventi A ∪B e A ∪B sono incompatibili e necessari, quindi

P (A ∪B) + P(A ∪B

)= P

((A ∪B) ∪

(A ∪B

))= P (Ω) = 1

dal confronto delle due espressioni precedenti si ottiene

A ∩B = ∅ ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B)


1.5 Assiomi e rudimenti della probabilità

In un sistema assiomatico si parte da un insieme di assiomi o postulati che definiscono gli oggetti trattati dalpunto di vista matematico. Tramite le operazioni logiche, dagli assiomi vengono tratte delle conseguenze,e la teoria che ne deriva può applicarsi ad un certo contesto se e solo se in quel contesto sono validi gliassiomi di partenza.

Nei paragrafi precedenti si è visto come ciascuna delle diverse interpretazioni della probabilità implichialcune proprietà di cui essa gode. Con la definizione assiomatica (dovuta ad A. Kolmogorov) della proba-bilità questo procedimento viene ribaltato, e la probabilità viene vista come una qualsiasi attribuzione diun valore numerico a un evento, nel rispetto di determinati requisiti matematici o assiomi.

Definizione 1.27 Posto che gli eventi sono sottoinsiemi dello spazio dei risultati possibili Ω e formanouna σ-algebra F , si definisce misura di probabilità di un evento A ∈ F una funzione reale P (A) tale che

1. P (A) ≥ 0;

2. P (Ω) = 1;

3. A1, A2, . . . ∈ F con Ai ∩Aj = ∅ per i = j ⇒ P (∪∞

i=1Ai) =∑∞

i=1 P (Ai).

Definizione 1.28 La terna formata dallo spazio Ω, dalla σ-algebra F e dalla funzione P viene dettaspazio di probabilità (Ω,F , P ).

Definizione 1.29 Il valore P (A) della funzione P in corrispondenza dell’evento A è detto probabilitàdell’evento A.

Mentre i primi due assiomi sono compatibili con le tre definizioni di probabilità illustrate in precedenza,il terzo richiede che la probabilità sia additiva per un’infinità numerabile di eventi (additività completa).L’ultima condizione è ben più restrittiva rispetto all’additività finita derivante dalle definizioni classica,frequentista e soggettiva, ma implica importanti conseguenze in termini di proprietà matematiche.

Ricordando che in analisi matematica si chiama misura una funzione di insieme non negativa, com-pletamente additiva e che valga 1 se applicata all’intero spazio a cui è riferita, si può affermare che laprobabilità è una misura definita per gli elementi di F .

Ogni applicazione della definizione assiomatica di probabilità richiede un’adeguata specificazione dellaterna (Ω,F , P ), un procedimento che coinvolge un certo grado di astrazione da parte di chi affronta ilproblema.

Quando Ω è composto da un numero finito n di eventi elementari ϖ1, . . . , ϖn, a questi può essereassociata la stessa probabilità che, per il secondo e terzo assioma, risulta pari ad 1/n. È questo il caso incui gli eventi elementari sono assunti equiprobabili. Se l’evento A è composto da n(A) eventi elementari(ovviamente incompatibili), il terzo assioma permette di calcolare la probabilità di A, nel modo seguente

P (A) =∑ϖi∈A

1

n=

n (A)

n=

#(eventi elementari in A)

# (eventi elementari in Ω)(1.18)

In altri termini quando i casi possibili (gli eventi elementari) sono ugualmente probabili, la probabilitàdi un evento A è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad A (gli eventi elementari che com-pongono A) e il numero di casi possibili [si osservi come tale risultato porti a considerare la definizioneclassica di probabilità come l’unico modo per valutare la probabilità di un evento in presenza di un numerofinito di alternative equiprobabili].


Esempio 1.17 Si lancino insieme una moneta e un dado. In tal caso lo spazio dei risultati hadimensione n = 12, infatti è

Ω = T1, T2, . . . , T6, C1, C2, . . . , C6

1. La probabilità che la moneta presenti testa è pari a 612 = 1

2 ;

2. La probabilità che il dado presenti un numero pari è 612 = 1

2 ;

3. La probabilità che il dado presenti una potenza di due è 412 = 1

3 .

Esempio 1.18 Si estragga una pallina a caso da un’urna contenente 90 palline numerate (da 1 a 90).In tal caso lo spazio dei risultati ha dimensione n = 90, infatti è Ω = 1, 2, . . . , 90.

1. La probabilità che il numero estratto sia pari è 4590 = 1

2 ;

2. La probabilità che il numero estratto sia inferiore a 20 è 1990 ;

3. La probabilità che il numero estratto sia superiore a 9 è 8190 = 9

10 ;

4. La probabilità che il numero estratto sia compreso tra 11 e 25 (estremi inclusi) è 1590 = 1

6 ;

5. La probabilità che il numero estratto sia di due cifre di cui la prima sia 1 è 1090 = 1

9 .

Il campo nel quale più direttamente si può applicare la definizione classica di probabilità è quello deigiochi d’azzardo. In essi le regole individuano con precisione le diverse alternative e si può ragionevolmentesupporre che esse siano ugualmente probabili. Poiché in tal caso nel calcolo del numero dei risultatifavorevoli e di quelli possibili gioca un ruolo fondamentale il calcolo combinatorio, si parla a volte diprobabilità combinatorie. Allo scopo nel seguito vengono riportate alcune definizioni utili agli sviluppisuccessivi.

Definizione 1.30 Dato un insieme di n oggetti distinti, il numero degli allineamenti che si possono for-mare con r oggetti scelti tra gli n, ritenendo diversi due allineamenti o perché contengono oggetti differentio perché gli stessi oggetti si susseguono in ordine diverso o perché uno stesso oggetto si ripete un numerodiverso di volte, è dato da nr. In tal caso gli allineamenti vengono detti disposizioni con ripetizione di noggetti in classe r.

Definizione 1.31 Dato un insieme di n oggetti distinti, il numero degli allineamenti che si possono for-mare con r oggetti scelti tra gli n, ritenendo diversi due allineamenti o perché contengono oggetti differentio perché gli stessi oggetti si susseguono in ordine diverso, è dato da n (n− 1) · · · (n− r + 1) = n(r). In talcaso gli allineamenti vengono detti disposizioni semplici o senza ripetizione di n oggetti in classe r.

Definizione 1.32 Dato un insieme di n oggetti distinti, il numero degli allineamenti che si possono for-mare con tutti essi, ritenendo diversi due allineamenti perché gli stessi oggetti si susseguono in ordinediverso, è dato da n (n− 1) · · · 1 = n!. In tal caso gli allineamenti vengono detti permutazioni di n oggetti.

Definizione 1.33 Dato un insieme di n oggetti distinti, il numero degli allineamenti che si possono for-mare con r oggetti scelti tra gli n, ritenendo diversi due allineamenti perché contengono oggetti differenti,è dato da n(r)

r! =(nr

). In tal caso gli allineamenti vengono detti combinazioni senza ripetizione di n oggetti

in classe r.


Esempio 1.19 Da un mazzo di 52 carte francesi vengono estratte casualmente 13 carte. La probabilitàdi ottenere un poker d’assi è data dall’espressione(

44

)(489

)(5213

)Esempio 1.20 Da un’urna contenente 20 palline delle quali 6 sono bianche vengono estratte a casosimultaneamente 4 palline.

1. la probabilità che vengano estratte 2 palline bianche è data da(62

)(142

)(204

)2. la probabilità che venga estratta una pallina bianca è data da(

61

)(143

)(204

)3. la probabilità che non venga estratta alcuna pallina bianca è data da(

60

)(144

)(204

)4. la probabilità che vengano estratte almeno 3 palline bianche è data da(

63

)(141

)(204

) +

(64

)(140

)(204

)Esempio 1.21 Da un’urna contenente X palline bianche ed Y palline rosse vengono estrattesimultaneamente 2 palline.

1. L’estrazione di due palline dello stesso colore si verifica quando esse sono entrambe rosse ovveroentrambe bianche. La probabilità di estrarre due palline dello stesso colore è data pertantodall’espressione (

X2

)(Y0

)(X+Y

2

) +

(X0

)(Y2

)(X+Y

2

) =X (X − 1) + Y (Y − 1)

(X + Y ) (X + Y − 1)

2. Se la probabilità appena calcolata è nota essere uguale a 12 , allora la relazione tra X ed Y è data

daX (X − 1) + Y (Y − 1)

(X + Y ) (X + Y − 1)=

1

2

ovvero dopo alcuni passaggiX + Y = (X − Y )2


1.6 Prime proprietà e teoremi della probabilità

Alcune proprietà della probabilità si deducono immediatamente dagli assiomi.

Teorema 1.5 La probabilità che un evento A non si verifichi è data da 1− P (A)

P(A)= 1− P (A) (1.19)

Dimostrazione: essendo A ∩ A = ∅ ed A ∪ A = Ω, dal primo e dal terzo assioma si ha 1 = P(A ∪A

)=

P (A) + P(A).

Esempio 1.17 (cnt) Vengono lanciati insieme un dado e una moneta.

1. La probabilità che la moneta presenti croce è pari a 1− 12 = 1

2 ;

2. La probabilità che il dado presenti un numero dispari è 1− 12 = 1

2 ;

3. La probabilità che il dado non presenti una potenza di due è 1− 13 = 2

3 .

Esempio 1.18 (cnt) Viene estratta casualmente una pallina da un’urna che contiene 90 pallinenumerate.

1. La probabilità che il numero estratto sia dispari è 1− 12 = 1

2 ;

2. La probabilità che il numero estratto sia superiore o uguale a 20 è 1− 1990 = 71

90 ;

3. La probabilità che il numero estratto sia inferiore o uguale a 9 è 1− 910 = 1

10 ;

4. La probabilità che il numero estratto sia inferiore a 11 e superiore a 25 è 1− 16 = 5

6 ;

5. La probabilità che il numero estratto sia inferiore a 10 e superiore a 19 è 1− 19 = 8

9 .

Teorema 1.6 Se A è un evento che implica l’evento B, cioè se A ⊂ B, allora

P (B) = P (A) + P(A ∩B

)≥ P (A) (1.20)

Dimostrazione: essendo B = A∪(A ∩B

)ed essendo inoltre A ed A∩B eventi incompatibili, considerando

il terzo assioma, si ottiene l’enunciato del teorema.

La prima importante conseguenza del precedente teorema è che per qualsiasi evento A si ha P (A) ≤ 1e si ottiene considerando B = Ω nell’enunciato. Inoltre se A e B sono eventi equivalenti, ovvero se A ⊂ Be B ⊂ A, il teorema precedente porta a concludere che P (A) = P (B).

Si noti come dalle proprietà elementari dell’unione e dell’intersezione di eventi è possibile ricavare leseguenti proprietà:

P (A ∩ ∅) = 0P (A ∪ ∅) = P (A)P (A ∩ Ω) = P (A)P (A ∪ Ω) = 1

(1.21)


Inoltre l’applicazione ripetuta del precedente teorema permette di estenderne il risultato ad unasuccessione finita o numerabile di eventi Ai (disuguaglianza di Boole)

P

(∪i

Ai

)≤∑i

P (Ai) (1.22)

Un’altra proprietà molto importante della probabilità risulta dal seguente teorema.

Teorema 1.7 Se A1, A2, . . . ∈ F è una successione di eventi crescente o decrescente con A = limi→∞Ai,si ha

P (A) = P

(limi→∞

Ai

)= lim

i→∞P (Ai) (1.23)

Dimostrazione: nel caso di una successione crescente di eventi A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ∈ F , posto A0 = ∅, si ha

P (A) = P

( ∞∪i=1

Ai

)= P

( ∞∪i=1

(Ai ∩Ai−1

))=

∞∑i=1

P(Ai ∩Ai−1

)l’ultimo passaggio è dovuto al fatto che gli eventi Ai∩Ai−1 sono a due a due incompatibili per i = 1, 2, . . ..Inoltre poichè P (Ai) = P (Ai−1) + P

(Ai ∩Ai−1

)posso scrivere

∞∑i=1

P(Ai ∩Ai−1

)=

∞∑i=1

(P (Ai)− P (Ai−1))

= limn→∞

n∑i=1

(P (Ai)− P (Ai−1))

= limn→∞

(n∑

i=1

P (Ai)−n∑

i=1

P (Ai−1)

)= lim

n→∞P (An)

In conclusione si ha P (A) = P (limi→∞Ai) = limi→∞ P (Ai) c.v.d..Nel caso di successione decrescente di eventi A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ∈ F si osservi che vale A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ∈ F

ed inoltre limi→∞Ai =∪∞

i=1Ai =∩∞

i=1Ai = A, quindi dalla prima parte della dimostrazione si ha chevale P

(A)= P

(limi→∞Ai

)= limi→∞ P

(Ai

)e quindi

P (A) = P

(limi→∞

Ai

)= lim

i→∞P (Ai)

c.v.d..

Le proprietà espresse dal precedente teorema vengono dette continuità dal basso (nel caso di successionecrescente di eventi) e continuità dall’alto (nel caso di successione decrescente) della misura di probabilità.

Si è già parlato della probabilità dell’unione di due o più eventi incompatibili. In questo paragrafoviene trattato lo stesso caso facendo cadere la condizione di incompatibilità.

Teorema 1.8 (Probabilità dell’unione di eventi compatibili) La probabilità che si verifichi almeno uno didue eventi A e B è data da

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (1.24)

Dimostrazione: si noti come valgano le seguenti due uguaglianze

A ∪B = A ∪(A ∩B

)B = (A ∩B) ∪

(A ∩B

)


le due unioni a secondo membro nelle due espressioni precedenti sono tra eventi incompatibili, quindi

P (A ∪B) = P (A) + P(A ∩B

)P (B) = P (A ∩B) + P

(A ∩B

)Sostituendo nella prima uguaglianza l’espressione di P

(A ∩B

)ricavata dalla seconda si ottiene l’enunci-

ato. c.v.d.

Esempio 1.22 Lanciando due dadi distinti (ad esempio uno rosso e l’altro verde) si hanno 36 possi-bili risultati o eventi elementari rappresentati da coppie di numeri Ω = (i, j) : i, j = 1, 2, . . . , 6. Seattribuiamo a tutti risultati la stessa probabilità questà sarà pari a 1/36.

1. La probabilità dell’evento A =“il dado rosso dà 6” è pari a 636 = 1

6 ;

2. Analogamente la probabilità dell’evento B =“il dado verde dà 6” è pari ad 16 ;

3. La probabilità dell’evento A ∩B =“entrambi i dadi danno 6” è pari a 136 ;

4. La probabilità dell’evento A ∪B =“almeno un dado dà 6” è pari ad 16 + 1

6 − 136 = 11

36 ;

5. La probabilità dell’evento A ∪B =“nessun dado dà 6” è pari ad 1− 1136 = 25

36 ;

6. La probabilità dell’evento C =“solo il dado rosso dà 6” è pari a 536 ;

7. Analogamente la probabilità dell’evento D =“solo il dado verde dà 6” è pari a 536 ;

8. La probabilità dell’evento C ∪D =“solo uno dei due dadi dà 6” è pari a 1036 .

L’applicazione ripetuta del precedente teorema permette di estenderne il risultato ad una successionefinita o numerabile di eventi Ai: per n eventi, la probabilità dell’unione è data dalla somma delle probabilitàdegli eventi meno la somma delle probabilità delle intersezioni a due a due, più la somma delle probabilitàdelle intersezioni a tre a tre, e così via sino alla probabilità dell’intersezione di tutti gli n eventi col segno(−1)n+1

P

(n∪

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai)−∑

1≤j<h≤n

P (Aj ∩Ah)

+∑

1≤k<l<m≤n

P (Ak ∩Al ∩Am)− · · · (1.25)

+ (−1)n+1 P (A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An)


Esempio 1.23 I primi n numeri interi vengono scritti a caso in un certo ordine, assumendo che cias-cuno dei possibili n! ordinamenti abbia la stessa probabilità. Si dice che vi è una “coincidenza” se ilnumero r occupa l’r-esima posizione nell’ordinamento.

1. La probabilità dell’evento Ai che si verifica quando l’ordinamento presenta una coincidenza nella i-esima posizioneè pari a

P (Ai) =(n− 1)!

n!=

1

ni = 1, . . . , n

2. La probabilità di due coincidenze nella i-esima e nella j-esima posizione è pari a

P (Ai ∩Aj) =(n− 2)!

n!1 ≤ i < j ≤ n

3. La probabilità di tre coincidenze nella k-esima, nella l-esima e nella m-esima posizione è pari a

P (Ak ∩Al ∩Am) =(n− 3)!

n!1 ≤ k < l < m ≤ n

4. Più in generale la probabilità di k specifiche coincidenze è pari per k = 1, . . . , n a

P (Ai1 ∩Ai2 ∩ . . . ∩Aik) =(n− k)!

n!1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n

5. La probabilità di almeno una coincidenza è dunque data da

P(∪n

i=1 Ai

)= nP (Ai)−

(n2

)P (Ai ∩Aj) +

(n3

)P (Ak ∩Al ∩Am)

− · · ·+ (−1)k+1 (nk

)P (Ai1 ∩Ai2 ∩ . . . ∩Aik) + · · ·

+ (−1)n+1 P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An)

= n 1n−(n2

) (n−2)!n!

+(n3

) (n−3)!n!

− · · ·

+ (−1)k+1 (nk

) (n−k)!n!

+ · · ·+ (−1)n+1 1n!

= 1− 12!

+ 13!

− · · ·+ (−1)k+1 1k!

+ · · ·+ (−1)n+1 1n!

6. La probabilità di nessuna coincidenza è data da

1− P

(n∪

i=1

Ai

)=

1

2!− 1

3!+ · · · − (−1)k+1 1

k!− · · · − (−1)n+1 1

n!

Se A e B sono due eventi relativi a un certo esperimento, si indica con P (A|B) la probabilità (con-dizionata) di A dato B. In altri termini con P (A|B) si indica la probabilità dell’evento A condizionatadal verificarsi di B, cioè la probabilità che ha A di verificarsi quando si sappia che B si è verificato. Ladifferenza tra la probabilità di A e quella di A dato B è che nel primo caso si assume che gli eventielementari (i possibili risultati dell’esperimento) siano gli elementi di Ω, mentre nel secondo caso gli eventielementari sono solo quelli contenuti in B.

Definizione 1.34 Dati due eventi A e B con P (B) = 0 la probabilità (condizionata) di A dato B è datadall’espressione

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)(1.26)


Esempio 1.24 In una mano (estrazione in blocco di 13 carte dal mazzo di 52) di carte francesi sidetermini la probabilità di ottenere almeno tre K condizionata all’ipotesi che la mano ne contenga almenodue.Sia nK l’evento che si verifica quando la mano contiene esattamente n K.

P (“almeno tre K”|“almeno due K”) = P (3K ∪ 4K|2K ∪ 3K ∪ 4K)

= P ((3K∪4K)∩(2K∪3K∪4K))P (2K∪3K∪4K)

= P (3K∪4K)P (2K∪3K∪4K)

= P (3K)+P (4K)P (2K)+P (3K)+P (4K)

=

(43)(4810)

(5213)+(44)(

489 )

(5213)(42)(

4811)

(5213)+(43)(

4810)

(5213)+(44)(

489 )

(5213)

∼= 0.041+0.0030.213+0.041+0.003

∼= 0.171

Si dimostra agevolmente che per ogni prefissato B ∈ F la probabilità condizionata P (·|B) data dalladefinizione precedente gode delle proprietà

1. P (A|B) ≥ 0 ∀A ∈ F

2. P (Ω|B) = 1

3. A1, A2, . . . ∈ F , Ai ∩Aj = ∅, i = j

P (∪∞

i=1Ai|B) =∑∞

i=1 P (Ai|B)

Dunque la probabilità condizionata soddisfa i tre assiomi che definiscono una misura di probabilità suF . Inoltre poiché P (Ω|B) = P (B|B), P (·|B) è anche una misura di probabilità sulla σ-algebra B ⊂ Fgenerata da B ⊂ Ω e dà luogo allo spazio di probabilità (B,B, P (·|B)).

Inoltre dalla definizione precedente è immediato ottenere la relazione nota sotto il nome di legge delleprobabilità composte che permette di calcolare la probabilità dell’intersezione di due eventi A e B quandosi conoscano la probabilità condizionata e quella dell’evento condizionante

P (A ∩B) = P (A|B)P (B) (1.27)


Esempio 1.25 Un’urna contenga 7 palline nere e 5 bianche. La probabilità che 2 palline estratte a casosenza reinserimento (in blocco) siano nere è data da

1. soluzione meccanica (72

)(50

)(122

) =7

22

2. soluzione ragionata

N1 =“la prima pallina estratta è nera”

N2 =“la seconda pallina estratta è nera”

P (N1) = 712 , P (N2|N1) = 6

11

P (N1 ∩N2) = P (N2|N1)P (N1) = 6×711×22 = 7

22

Esempio 1.26 Una persona sbadata cerca di aprire la sua porta di casa prendendo una chiave a casoda un mazzo di n chiavi ed eliminando di volta in volta le chiavi che ha già provato. Si vuole calcolarela probabilità che egli provi x chiavi (con x = 0, . . . , n− 1) prima di trovare quella giusta.Sx =“le prime x chiavi sono sbagliate”Gx+1 =“la (x+ 1)-esima chiave è quella giusta”

P (Sx ∩Gx+1) = P (Gx+1|Sx)P (Sx) =1

n− x

(n−1x

)(10

)(nx

) = · · · = 1

n

La legge delle probabilità composte può essere facilmente estesa per induzione a una famiglia di neventi A1, A2, . . . , An

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) = P (A1)P (A2|A1) · · ·P (An|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) (1.28)


Esempio 1.27 Un’urna contiene 3 palline rosse e 5 verdi.Vengono estratte successivamente e senzareinserimento 4 palline.Ri =“pallina rossa alla i-esima estrazione” i = 1, . . . , 4Vi =“pallina verde alla i-esima estrazione” i = 1, . . . , 4

1. La probabilità che i due colori si alternino nelle quattro estrazioni è data da

P [(R1 ∩ V2 ∩R3 ∩ V4) ∪ (V1 ∩R2 ∩ V3 ∩R4)]

= P (R1 ∩ V2 ∩R3 ∩ V4) + P (V1 ∩R2 ∩ V3 ∩R4)

= P (V4|R1 ∩ V2 ∩R3)P (R3|R1 ∩ V2)P (V2|R1)P (R1)

+P (R4|V1 ∩R2 ∩ V3)P (V3|V1 ∩R2)P (R2|V1)P (V1)

ed essendoP (R1) =

38

P (V1) =58

P (V2|R1) =57

P (R2|V1) =37

P (R3|R1 ∩ V2) =26= 1

3P (V3|V1 ∩R2) =

46= 2

3

P (V4|R1 ∩ V2 ∩R3) =45

P (R4|V1 ∩R2 ∩ V3) =25

si ha che la probabilità cercata è data da

3× 5× 1× 4

8× 7× 3× 5+

5× 3× 2× 2

8× 7× 3× 5=

1

7

2. La probabilità di ottenere la prima pallina verde alla terza estrazione è data da

P (V3 ∩R1 ∩R2) = P (V3|R1 ∩R2)P (R1 ∩R2)

= P (V3|R1 ∩R2)P (R2|R1)P (R1)

= 56· 27· 38= 5

56

3. La probabilità di ottenere la prima pallina verde alla (x+ 1)-esima estrazione (x = 1, 2, 3) è data da

P (Vx+1 ∩R1 ∩ . . . ∩Rx) = P (Vx+1|R1 ∩ . . . ∩Rx)P (R1 ∩ . . . ∩Rx)

= 58−x · (

3x)(

50)

(8x)x = 1, 2, 3


Esempio 1.28 Tre signori lasciano i loro cappelli in un guardaroba buio. Si vuole determinare laprobabilità che scegliendo a caso nessun signore recuperi il proprio cappello.Ei =“l’i-esimo signore recupera il suo cappello”, i = 1, 2, 3La probabilità richiesta dalla traccia è

1− P (E1 ∪E2 ∪ E3) = 1− [P (E1) + P (E2) + P (E3)− P (E1 ∩E2)

− P (E1 ∩ E3)− P (E2 ∩ E3) + P (E1 ∩E2 ∩ E3)]

poiché èP (E1) = P (E2) = P (E3) =

13

P (E1 ∩ E2) = P (E1 ∩ E3) = P (E2 ∩ E3) = P (E2|E3)P (E3) =12 · 1

3 = 16

P (E1 ∩E2 ∩ E3) = P (E1|E2 ∩E3)P (E2 ∩ E3) = 1 · 16 = 1

6

dunque la probabilità cercata è

1−(3 · 1

3− 3 · 1

6+

1

6

)=

1

3

Teorema 1.9 (Legge delle probabilità totali) Sia B1, B2, . . . una famiglia di eventi dei quali uno e unosolo si verifica (necessari e incompatibili). In altri termini

1.∪∞

i=1Bi = Ω;

2. Bi ∩Bj = ∅, i = j;

3. P (Bi) > 0, i = 1, 2, . . ..

Sia A un qualunque altro evento, allora

P (A) =

∞∑i=1

P (A ∩Bi) =

∞∑i=1

P (A|Bi)P (Bi) (1.29)

Dimostrazione:

A = A ∩ Ω = A ∩

( ∞∪i=1

Bi

)=

∞∪i=1

(A ∩Bi)

Essendo gli eventi A ∩ Bi a due a due incompatibili per i = 1, 2, . . ., dall’applicazione del teorema delleprobabilità totali per eventi incompatibili segue che

P (A) =

∞∑i=1

P (A ∩Bi) =

∞∑i=1

P (A|Bi)P (Bi)

Il risultato precedente (ovviamente valido in particolare per una famiglia finita B1, B2, . . . , Bn di neventi) risulta essere estremamente utile per il calcolo delle probabilità di eventi mediante l’uso di prob-abilità condizionate, ovvero quando è difficile calcolare P (A) e invece risulta più agevole determinareP (A|Bi) per i = 1, 2, . . ., cioè la probabilità dello stesso evento A supponendo che si sia verificato Bi peri = 1, 2, . . ..


Esempio 1.29 In un esperimento per valutarne le capacità di apprendimento un animale da laboratorio(cavia) può scegliere tra due diverse fonti di cibo poste a destra e a sinistra della gabbia. Nella mangiatoiaa destra viene aggiunto un additivo inodore ed incolore che rende il cibo disgustoso. Si assume cheall’inizio dell’esperimento la cavia abbia la medesima probabilità di mangiare da entrambe le mangiatoie.Dopo aver mangiato il cibo buono la probabilità che la cavia vada a destra al tentativo successivo è 0.4.Tuttavia la cavia reagisce in modo più evidente al cibo disgustoso e la probabilità che, avendolo mangiatoessa torni a destra al tentativo successivo è pari a 0.2. Si vogliono conoscere le probabiiltà che la caviavada a destra al secondo e al terzo tentativo.Di =“la cavia va a destra (cibo disgustoso) per la i-esima volta”Si =“la cavia va a sinistra (cibo buono) per la i-esima volta”Il problema richiede di determinare P (D2) e P (D3) sapendo che

P (D1) = P (S1) = 0.5

P (Di+1|Si) = 0.4 ⇒ P (Si+1|Si) = 0.6

P (Di+1|Di) = 0.2 ⇒ P (Si+1|Di) = 0.8

Dall’applicazione del teorema delle probabilità totali si ottiene

P (D2) = P (D2|D1)P (D1) + P (D2|S1)P (S1) = 0.2× 0.5 + 0.4× 0.5 = 0.3

ed essendo P (S2) = 1− P (D2) = 0.7,

P (D3) = P (D3|D2)P (D2) + P (D3|S2)P (S2) = 0.2× 0.3 + 0.4× 0.7 = 0.34

Analogamente possono essere calcolate le probabilità relative ai tentativi successivi

P (D4) = 0.332P (D5) = 0.336P (D6) = 0.3328P (D7) = 0.3334

· · ·

che mostrano come al protrarsi dei tentativi la probabilità che la cavia vada a destra tenda a stabilizzarsiattorno al valore 0.3.

Spesso si dispone di informazioni sotto forma di probabilità condizionate del tipo P (A|B) quandoservirebbe conoscere P (B|A). In altri termini spesso occorre invertire il ruolo di evento condizionato edevento condizionante. A titolo di esempio si pensi al caso di un test clinico per la diagnosi di una certamalattia. Se T indica la presenza della malattia accertata dal test ed M indica l’effettivo stato di salute delpaziente, nella gran parte dei casi si conoscono le probabilità P (M) (da fonti epidemiologiche) e P (T |M)(caratteristiche operative del test) e si vogliono conoscere P (M |T ) e P

(M |T

), ovvero le probabilità

relative all’affidabilità della diagnosi.

Teorema 1.10 (di Bayes) Data una famiglia finita o numerabile di eventi B1, B2, . . . incompatibili enecessari (per i quali cioè valgono Bi ∩ Bj = ∅ per i = j e

∪∞i=1Bi = Ω con P (Bi) > 0) e un qualunque

altro evento A con P (A) > 0, si ha

P (Bi|A) =P (A|Bi)P (Bi)∑∞i=1 P (A|Bi)P (Bi)

i = 1, 2, . . . (1.30)


Dimostrazione: per la legge delle probabilità composte vale

P (Bi|A) =P (A ∩Bi)

P (A)=

P (A|Bi)P (Bi)

P (A)

Utilizzando il teorema 5 per il calcolo del denominatore dell’espressione precedente si ottiene l’enunciatodel teorema, c.v.d..

L’espressione precedente, che corrisponde ad una delle formule più utili della teoria della probabilità,è dovuta al teologo e matematico inglese Thomas Bayes (1702-1761). Gli eventi Bi possono essere con-siderati come possibili cause dell’evento A ed il teorema di Bayes permette di individuare la probabilitàdi tali cause una volta osservato l’effettivo verificarsi dell’evento A. Le probabilità P (Bi) sono dette prob-abilità a priori o iniziali, mentre P (Bi|A) sono le probabilità a posteriori o finali (valutate sapendo chesi è verificato A). Il verificarsi di A modifica dunque le probabilità degli eventi Bi e a determinare talemodifica sono le cosiddette verosimiglianze P (A|Bi).

Esempio 1.30 La produzione in serie di un certo manufatto abbia una difettosità pari al 2% dei pezziprodotti. Si sa che un test per il controllo in corso di produzione ha una probabilità pari a 0.03 di scartareun pezzo non difettoso e una probabilità pari a 0.05 di accettare un pezzo difettoso.D =“il pezzo è difettoso”T =“il pezzo è difettoso secondo il test”

P (D) = 0.02 P(D)= 0.98

P(T |D

)= 0.03 P

(T |D

)= 0.97

P(T |D

)= 0.05 P (T |D) = 0.95

La probabilità che il pezzo analizzato sia difettoso posto che il test dà un risultato non soddisfacente è

P (D|T ) = P (T |D)P (D)

P (T |D)P (D) + P(T |D

)P(D) ∼= 0.39

Esempio 1.31 Si sappia che 5 uomini su 100 e 25 donne su 10000 sono daltonici. Nell’ipotesi cheuomini e donne siano in ugual numero, si voglia conoscere la probabilità che una persona daltonica sceltaa caso sia di sesso femminile.M =“la persona scelta a caso è di sesso maschile”F =“la persona scelta a caso è di sesso femminile”D =“la persona scelta a caso è daltonica”

P (M) = P (F ) = 12

P (D|M) = 5100 = 1

20 P (D|F ) = 2510000 = 1

400

La traccia richiede di determinare la probabilità seguente:

P (F |D) =P (D|F )P (F )

P (D|F )P (F ) + P (D|M)P (M)=

1400 · 1

21

400 · 12 + 1

20 · 12

=1

21


Esempio 1.32 Si consideri il gioco seguente. Due buste contengono rispettivamente due banconote da$100 e una da $1 e una banconota da $100 e due da $1. Dopo aver scelto a caso una delle due buste,si osservi il valore di una sola delle tre banconote contenute e si decida quale delle due buste tenere. Sicalcoli la probabilità di ottenere la busta con più soldi se si adotta la strategia che porta a tenere la bustase la banconota osservata vale $100 e a prendere l’altra se invece vale $1.B1 =“scelgo la busta con 2 banconote da $100 e una da $1”B2 =“scelgo la busta con 2 banconote da $1 e una da $100”A =“la banconota osservata vale $100”

P (B1) = P (B2) = 12

P (A|B1) = 23 P (A|B2) = 1

3

La probabilità richiesta dalla traccia è

P (B1|A) = P (A|B1)P (B1)

P (A|B1)P (B1) + P (A|B2)P (B2)=

23 · 1

223 · 1

2 + 13 · 1

2

=2

3

Intuitivamente dire che A è stocasticamente indipendente da B significa dire che il verificarsi di B noninfluisce sulla probabilità del verificarsi di A. In altre parole la probabilità di A condizionata al verificarsidi B è uguale alla probabilità di A (non condizionata)

P (A|B) = P (A) (1.31)

Definizione 1.35 Due eventi A e B si dicono stocasticamente indipendenti se e solo se

P (A ∩B) = P (A) · P (B) (1.32)

Si noti come l’indipendenza stocastica risulti reciproca, essendo la condizione che la definisce simmet-rica rispetto ai due eventi. Si noti inoltre come definizione di indipendenza stocastica corrisponda allarelazione P (A|B) = P (A) quando P (B) = 0, ovvero quando è possibile sostituire a P (A|B) la suaespressione definitoria.

Esempio 1.33 Due arceri tirano indipendentemente l’uno dall’altro una freccia per ciascuno sullo stessobersaglio. Le probabilità che hanno rispettivamente di centrare il bersaglio sono pari a 7

9 per il primoarcere e a 9

11 per il secondo. La probabilità che il bersaglio sia centrato da uno dei due arceri è data daC1 =“il primo arcere fa centro”C2 =“il secondo arcere fa centro”

P (C1 ∪ C2) = P (C1) + P (C2)− P (C1 ∩ C2)

= P (C1) + P (C2)− P (C1) · P (C2)

= 79 + 9

11 − 7×99×11 = 95

99


Esempio 1.34 Si lancino insieme un dado verde e uno rosso.F =“il dado verde mostra la faccia 4”E1 =“la somma dei punti e uguale a 6”

P (E1 ∩ F ) = 16 · 1

6 = 136

P (E1)P (F ) = 536 · 1

6 = 5216

P (E1 ∩ F ) = P (E1)P (F )

E1 ed F non sono indipendenti;E2 =“la somma dei punti e uguale a 7”

P (E2 ∩ F ) = 16 · 1

6 = 136

P (E2)P (F ) = 636 · 1

6 = 136

P (E2 ∩ F ) = P (E2)P (F )

E2 ed F sono indipendenti;E3 =“la somma dei punti e uguale a 8”

P (E3 ∩ F ) = 16 · 1

6 = 136

P (E3)P (F ) = 536 · 1

6 = 5216

P (E3 ∩ F ) = P (E3)P (F )

E3 ed F non sono indipendenti.

La nozione di indipendenza stocastica può essere estesa con riferimento a più di due eventi.

Definizione 1.36 Gli eventi A1, A2, . . . , An si dicono mutuamente (stocasticamente) indipendenti se esolo se

P (Ai1 ∩Ai2 ∩ . . . ∩Aik) = P (Ai1) · P (Ai2) · · · · · P (Aik) (1.33)

per ogni k = 2, 3, . . . , n e per ogni allineamento i1 < i2 < · · · < ik dei numeri 1, 2, . . . , n.

Si noti come l’indipendenza tra gli eventi presi a due a due non sia sufficiente a garantire la mutuaindipendenza tra tutti gli n eventi.


Esempio 1.35 Vengono lanciati indipendentemente un dado verde e un dado rosso. Le probabilità deitre eventiA1 =“il dado verde mostra un numero pari”A2 =“il dado rosso mostra un numero pari”A3 =“la somma dei risultati dei due dadi è pari”risultano intuitivamente P (A1) = P (A2) = P (A3) =

12 . Inoltre si verifica facilmente che

P (A1 ∩A2) = P (A2 ∩A3) = P (A1 ∩A3) =14

P (A1 ∩A2 ∩A3) =14

I tre eventi non risultano dunque indipendenti, pur essendo indipendenti a due a due. Si noti come siaimmediato concludere circa la non indipendenza dei tre eventi, infatti se si verificano A1 e A2, allora siverifica necessariamente anche A3. In altri termini l’evento A1 ∩A2 implica A3, quindi A1 ∩A2 ∩A3 =A1 ∩A2 e di conseguenza P (A3|A1 ∩A2) = 1.

Esempio 1.36 Sia p la probabilità di nascita di una femmina e 1 − p quella di un maschio. Assuntal’indipendenza del sesso dei figli di una stessa coppia, la probabilità che una coppia abbia tre figlie femmineè p3, quella che abbia tre maschi è (1− p)3, quella che abbia tre figli dello stesso sesso è p3 + (1− p)3.

Esempio 1.37 Sia p la probablità di vincere a ciascun lancio di un dado. Il giocatore A lancia il dado laprima volta e se perde lo passa al giocatore B che lo lancia a sua volta. Continuano a lanciare e passarsiil dado sinché uno dei due vince. Le rispettive probabilità di vincita del giocatore A e del giocatore Bsono date da

P (“A vince”) = p+ (1− p) (1− p) p+ (1− p) (1− p) (1− p) (1− p) p+ · · ·= p+ (1− p)

2p+ (1− p)

4p+ · · ·

= p

∞∑x=0

[(1− p)

2]x

= p · 1

1− (1− p)2

=1

2− p

P (“B vince”) = (1− p) p+ (1− p)3p+ (1− p)

5p+ · · ·

= p (1− p)

∞∑x=0

[(1− p)

2]x

=1− p

2− p


Esempio 1.38 (estrazioni senza reimmissione) Da un’urna contenente M palline di cui m bianche edM − m nere, si estraggono successivamente n palline senza reimmissione (o in blocco). La probabilitàche x delle n palline estratte siano bianche è data, come è noto, da(

mx

)(M−mn−x

)(Mn

) sup (0, n−M +m) ≤ x ≤ inf (n,m) (1.34)

l’espressione precedente, considerata come funzione dell’argomento x a valori naturali, prende il nomedi distribuzione ipergeometrica.

Esempio 1.39 (estrazioni con reimmissione) Da un’urna contenente M palline di cui m bianche ed M−m nere, si estraggono successivamente n palline con reimmissione. In altri termini ciascuna estrazioneviene effettuata con la medesima composizione dell’urna. Intuitivamente i risultati di estrazioni successivesono indipendenti tra loro e la probabilità di estrarre una pallina bianca è costante per ogni estrazione epari a m

M . La probabilità che x delle n palline estratte siano bianche è data da(n

x

)(mM

)x (1− m

M

)n−xx = 0, 1, . . . , n (1.35)

Infatti(mM

)x (1− m

M

)n−x è la probabilità che si verifichi una particolare sequenza di n estrazioni di cuix risultano in una pallina bianca e le restanti n − x in una pallina nera, mentre

(nx

)è il numero com-

plessivo di possibili sequenze di questo tipo, ovviamente tra loro incompatibili. L’espressione precedente,considerata come funzione di x, prende il nome di distribuzione binomiale.

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