Appunti Di Matematica 1

7/23/2019 Appunti Di Matematica 1

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Universita degli Studi del Molise

Corso di laurea in InformaticaCorso di laurea in Scienze Biologiche

Appunti di Matematica scritti frijenno magnanno

1.1

Studiare significa prendersi cura di un particolare della realta. Non si studia, non ci

si prende cura di qualcosa se non si e agitati da domande. Non sarebbe studiare veramente.

Uno studente che non fa domande e uno spettatore. Un numero. Uno che paga tasse, va

a lezioni, agli esami, si laurea (forse) sperando che sporchi il meno possibile. E uno a

cui puoi consegnare senza troppo incomodo un bagaglio di nozioni. Un bagaglio da portare.

Acriticamente. Inutilmente. Uno a cui dare istruzioni. Uno docilmente nelle mani di chi

sa. O di chi finge di sapere. Uno studente che non fa domande e comodo, per chi si sente il

manovratore al comando. Ma un uomo che non fa domande e un uomo estinto. Si muove,

mangia, consuma: ma e estinto dentro.

D. Rondoni, 2007

1 Insiemi numerici

Premessa: Questi sintetici appunti hanno il solo scopo di ricordare allo studentequelle conoscenze sui numeri che egli ha gia appreso durante gli studi nella scuolasecondaria. Qui vengono sintetizzate brevemente le principali caratteristiche eproprieta dei piu importanti insiemi numerici. Per un approccio piu esteso,completo e rigoroso, non esclusa la teoria assiomatica, si rimanda ai libri ditesto.

1.1 I numeri naturaliLinsieme dei numeri naturali N e costituito da tutti i numeri interi positivi:

N = {1, 2, 3, 4, . . .} .

E un insieme infinito perche, come vedremo successivamente, puo esseremesso in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. E limitatoinferiormente, perche esiste un numero, 1, che e piu piccolo o uguale ad ogninumero naturale, ma e illimitato superiormente perche non esiste un numeronaturale maggiore o uguale di tutti i numeri naturali (n N m N :m n)

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Le operazioni interne ad N, cioe quelle per le quali il risultato e sempre un

numero naturale, sono laddizione e la moltiplicazione:

n, m N, n+m N,

n, m N, n m N.Se consideriamo anche lo zero estendiamo linsieme N nellinsieme

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} .

In N0 sono ben definite (operazioni interne) laddizione e la moltiplicazione ede possibile definire nel seguente modo loperazione di elevamento a potenza:

SianonN, m

N0, n

m = 1 sem = 0

n nm1

sem >0 .

Nellinsieme dei numeri naturali N e in N0 non e sempre possibile eseguireloperazione di sottrazione, ovvero non ammette soluzioni lequazione

x+n= 0.

1.2 I numeri interi relativi

Linsieme dei numeri interi Z e costituito da tutti i numeri interi, positivi enegativi:

N = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} .In Z, oltre alle operazioni ben definite in N, e possibile sempre effettuare

loperazione di sottrazione

n, m Z, n m Z,

ed e possibile definire loperazione di elevamento a potenza con base interaed esponente naturale:

Sianon Z, m N0, nm =

1 sem = 0n nm1 sem >0 .

La potenza 00 non e definita e, in contesti di analisi matematica, e consideratauna forma indeterminata.

Nellinsieme dei numeri interi relativi Z non e sempre possibile eseguire lo-perazione di divisione, ovvero se m non e multiplo di n, non ammette soluzionilequazione

n x+m= 0.

1.3 I numeri razionali

Linsieme dei numeri razionali relativi Q e costituito da tutti i numeri che pos-sono essere ottenuti come rapporto tra un numero intero relativo ed un numeronaturale:

Q =m

n, m Z, n Ne n,mcoprimi tra loro

.

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In Q, oltre alle operazioni ben definite in Z, e possibile sempre effettuare

loperazione di divisione con denominatore diverso da 0:

p Q e q Q-{0}, pq Q.

Se n = 0 allora n0

e impossibile mentre 00

e indeterminato.In Q e possibile definire loperazione di elevamento a potenzacon base

razionale ed esponente intero relativo:Sia n Qsem N0, nm =

1 sem = 0n nm1 sem >0 ,

se n = 0 e m 1 ed mnon e una potenzanesima allora non ammette soluzioni lequazione

xn +m= 0.

1.4 I numeri reali

Si definisceirrazionaleun numero che non puo essere posto in forma razionale,cioe come rapporto tra due numeri interi. I numeri irrazionali, quindi, sono queinumeri decimali illimitati ma non periodici.

Esempio:

= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 . . .

2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766. . .sono numeri irrazionali.

Si dimostra facilmente anche che

p, dovepe un numero primo, e un numeroirrazionale.

Linsieme dei numeri irrazionali e formato da due sottinsiemi con intersezionevuota: gli irrazionali algebrici e gli irrazionali trascendenti.

Gli irrazionali algebrici sono quei numeri irrazionali che possono essere solu-zione di equazioni algebriche a coefficienti interi. Le equazioni algebriche sono

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equazioni in cui si cercano gli zeri di un polinomio:

anxn +an1xn1 +an2xn2 +. . .+a1x+a0 = 0, ai Z

Esempio:2 e un irrazionale algebrico perche e soluzione dellequazione x2 2 = 0.

2 3

3 e un irrazionale algebrico perche e una soluzione dellequazione x324 = 0.

Linsieme formato dallunione di tutti numeri irrazionali e di tutti i numerirazionali costituisce linsieme dei numeri reali.

Nellinsieme dei numeri reali e possibile eseguire le stesse operazioni che e

possibile eseguire in Q, inoltre, e sempre possibile eseguire lelevamento a po-tenza con esponente razionale quando il denominatore dellesponente e dispari:

Sianop R, mn Q con n dispari, pmn = npm

Se il denominatore dellesponente e pari e possibile eseguire lelevamento apotenza solo se la base e non negativa:

Siano p R+0, m

n Q con n pari, pmn = npm

Gli insiemi numerici descritti formano la seguente catena di inclusioniN

N0

Z

Q

R

che puo essere rappresentata graficamente nel seguente modo:

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1.5 I numeri complessi

Nellinsieme dei numeri reali non e sempre possibile trovare soluzioni di unaequazione algebrica: lequazione x2 + 1 = 0, ad esempio, in R, non ammettesoluzione. Col fine di poter risolvere equazioni di questo tipo vengono introdottii numeri immaginari.

1.5.1 I numeri immaginari

Si definisce unita immaginaria il numero i tale che

i2 = 1.Volendo conservare le proprieta formali di R, diremo, poi, anche che

(i)2

= 1.Da cio e possibile dedurre che

1 = i.Seb e un numero reale, il prodottobi e detto numero immaginario. Per questiprodotti si conserva la proprieta commutativa, quindi bi = ib e, in particolare,

1 i= i 1 = i 0 i= i 0 = 0.Volendo conservare le usuali regole di calcolo, inoltre, avremo:

ib+ic= i(b+c) ib

ic= i(b

c) ib

c= i(bc) ib: c = i

b

c

.

Da quanto appena visto risulta che laddizione e la sottrazione di numeri im-maginari da come risultato un numero immaginario. Dalla definizione di unitaimmaginaria, invece, segue che il prodotto di due numeri immaginari ha comerisultato un numero reale: sianoa eb due numeri reali

ai bi= ab i2 =ab (1) = ab.Analogamente per la divisione: sia b = 0

ai: bi =a

b(i: i) =ab.

Per quanto concerne le potenze di un numero immaginario, definendo innanzi-

tutto le potenze ad esponente naturale dellunita immaginaria come gia fattoper gli altri insiemi numerici

Sia n N, in =

1 se n = 0i in1 se n >0 .

In questo modo:

i0 = 1 i1 =i i2 =i i= 1 i3 =i2 i= i i4 =i3 i= 1da cui, in generale, se n = 4 k+r

in =i4k+r =i4kir =

i4k

ir = 1kir =ir,

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cioe in e uguale ad ir dover e il resto della divisione di n per 4.`E possibile, a questo punto calcolare la potenza di qualsiasi numero imma-ginario, infatti, dalle usuali regole dellalgebra,

(ai)2 =a2i2 = a2 e (ai)2 =a2i2 = a2.E possibile in questo modo estrarre la radice quadrata di qualsiasi numero reale,infatti

a2 =

i2a2 = ai.

1.5.2 Forma algebrica di un numero complesso

Sianoaebdue numeri reali, definiamonumero complessoil numeroz = a+ib.Il numero a e detto parte realedel numero complesso z e b e detto coefficientedellimmaginario.

Se b = 0 il numero complesso z coincide con il numero reale a, se a = 0il numero complesso z coincide con il numero immaginario ib. Possiamo dire,allora, che linsieme dei numeri complessi C ha due sottinsiemi, linsieme deinumeri reali e linsieme dei numeri immaginari. Questi due insiemi hanno ununico elemento in comune, 0, che rappresenta sia il numero reale 0 che il numeroimmaginario 0 i= 0.

Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale e coefficienti dellim-maginario opposti si dicono complessi coniugati.

Esempio:

2 + 3i e 2 3i sono complessi coniugati.

5 +

7i e

5

7i sono complessi coniugati.

Si definisce somma di due numeri complessiz1 = a+ibez2 = c+idil numerocomplessoz che ha per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e percoefficiente dellimmaginario la somma dei coefficienti degli immaginari degliaddendi,z = (a+c) +i(b+d).

Esempio:

(2 + 3i) + (3 + 7i) = 5 + 10i.

5 + 4i+ (3 +i) = 2 + 5i.

La somma di due numeri complessi coniugati e un numero reale, (a+ib) +(a ib) = 2a. Il numero complesso 0 e neutro rispetto alla somma.

Due numeri complessi si dicono opposti se la loro somma restituisce lele-mento neutro, 0, rispetto a tale operazione. E facile dimostrare che due numericomplessi sono opposti se hanno parti reali opposti e coefficienti dellimmagina-rio opposti. Lopposto diz = a + ib ez= a ib. Esempio: 2 5i e2 + 5isono opposti.

Si definisce differenza di due numeri complessi z1 = a+ib e z2 = c+idil numero complesso z che e la somma del primo addendo per lopposto delsecondo: z1 z2 = z1+ (z2).

La differenza di due numeri complessi coniugati e un numero immaginario,(a+ib) (a ib) = 2ib.

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Si definisce prodotto di due numeri complessi z1 = a+ ib e z2 = c+ id

il numero complesso z che ha per parte reale la differenze dei prodotti delleparti reali e dei coefficienti dellimmaginario (ac bd) e per coefficiente dellim-maginario la somma dei prodotti incrociati delle parti reali con i coefficientidellimmaginario (ad+bc.

Con questa definizione sono salvguardate le ordinarie regole di calcolo perla moltiplicazione di due binomi:

(a+bi)(c+di) =ac+ibc+ida+i2bd= (ac bd) +i(bc+ad).

Il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato e un numero rea-le positivo dato dalla somma del quadrati delle parti reali e del quadrato deicoefficienti dellimmaginario:

(a+ib)(a ib) =a2

+b2

.

Il numero complesso 1 e neutro rispetto al prodotto.

Esempio:

(2 + 3i)(2 3i) = 4 + 9 = 13.(5 + 7i)(5 7i) = 25 + 7 = 32.

Si definisce reciproco del numero complesso z = a +ib quel numero com-plesso w che moltiplicato per z da lelemento neutro rispetto al prodotto, cioe1. Il reciproco di a + ibsi indica con 1a+ib . Da qui, moltiplicando e dividendo ilnumero per il suo coniugato:

1a+ib

= 1a+ib

a iba ib =

a iba2 +b2

.

In questo modo e possibile dire che il reciproco del numero complessoz = a+ibeil numero complesso che ha per numeratore il coniugato diz e per denominatorela somma dei quadrati delle parti reali e dei coefficienti dellimmaginario:

1

z =

a iba2 +b2

.

Esempio:

Il reciproco di 2 + 3i e 23i13

.

Il reciproco di5 + 7i e 57i32 .

Si definisce quoziente di due numeri complessi il prodotto del primo per ilreciproco del secondo:

Esempio:

(a+ib) : (c+id) = (a+ib) 1c+id = (a+ib) cidc2+d2 = ac+bdc2+d2 + bcadc2+d2 i.1+i2+3i = (1 +i) 12+3i = (1 +i) 12+3i 23i23i = (1 +i)23i13 = 113 + 513 i

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Naturalmente per calcolare la potenza nesima di un numero complessooccorre applicare le regole sulle potenze di un binomio e poi semplificare laddoveci sono le potenze dellunita immaginaria i.

Esempio:

(a + ib)3 =a3 + 3a2ib + 3a(ib)2 + (ib)3 =a3 + 3a2bi 3ab2 ib3 =a3 3ab2 +i(3a2b b3)

Lespressione z = a+ ib, di solito, viene chiamata forma algebrica delnumerico complessoz per distinguerla da altre modalita di rappresentazione ditale numero.

1.5.3 Forma geometrica di un numero complesso

Poiche un numero complesso z = a+ib e univocamente individuato dalla sua

parte realea e dal coefficiente dellimmaginariob, possiamo ritenere che la cop-pia ordinata di numeri reali (a, b) individui univocamente il numero z. Quindipossiamo aggiungere che linsieme dei numeri complessi C coincide con linsie-me di tutte le coppie ordinate (a, b) ovvero che C=RR dove con indica ilprodotto cartesiano tra due insiemi.

Come noto esiste una corrispondenza biunivoca tra le coppie ordinate dinumeri reali e i punti di un piano: alla coppia ordinata (a, b si associa il puntoPdi ascissa a ed ordinatab.

In questo modo, allora, e possibile rappresentare il numero complessoz = a+ibcon il punto del piano cartesiano di coordinate (a, b). In questo modo ciascunonumero reale si trova sullasse delle ascisse (che e detto asse reale), ciascunnumero immaginario sullasse delle ordinate (che e detto asse immaginario).

Il piano caratterizzato dallasse reale e dallasse immaginario e chiamatopiano di Gauss. In esso ogni punto rappresenta un numero complesso.

Figura 1: Rappresentazione di un numero nel piano di Gauss

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1.5.4 Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso

Un punto nel piano, oltre che con le coordinate cartesiane, puo essere rappre-sentato attraverso le coordinate polari.

Il vettore applicato nellorigine ed avente secondo estremo nel punto (a, b)puo essere individuato attraverso il suo modulo (lunghezza) e la sua direzione,cioe langolo che esso forma con lasse delle ascisse.

Figura 2: Rappresentazione di un punto in coordinate polari

In questo modo ogni coppia ordinata [, ] rappresenta un punto del piano.La corrispondenza, pero, non e biunivoca in quanto coppie con lo stesso mo-dulo ma con angoli che differiscono per multipli interi di 2 rappresentano,evidentemente, lo stesso punto.

Poiche ogni punto del piano rappresenta un numero complesso, e possibilerappresentare un numero complesso attraverso le coordinate polari del punto.Allora, e detto modulodel numero complessoz e anomalia o argomentodi z ed il numero complesso e rappresentato dalla coppia [, ].

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Figura 3: Coordinate cartesiane vs coordinate polari

Osservando il triangolo rettangolo nella figura sopra e possibile trovare leformule per il passaggio dalla rappresentazione algebrica z = a +ib alla trigo-nometrica e viceversa: infatti, dalla trigonometria,

a= cos

b= sin

e quindi il numero complesso z puo essere scritto come z = (cos + i sin ).Per quanto concerne le formul per il passaggio inverso

=

a2 +b2

t.c. cos =a

e sin =

b

.

Le condizioni su possono anche essere riassunte

= arctan ba sea >0

= arctan ba + sea


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1.5.5 Prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma trigo-

nometricaSianoz1 = [1, 1] ez2 = [2, 2] due numeri complessi. Essendo

z1 = 1(cos 1+i sin 1)

ez1 = 2(cos 2+i sin 2),

si ha

z1 z2 = 1(cos 1+i sin 1) (cos 2+i sin 2) ==12[(cos 1cos 2 sin 1sin 2) +i(sin 1cos 2+ cos 1sin 2).

e, dalle formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, si ottiene

z1 z2 = 12[cos(1+2) + sin(1+2)].Si puo dire, quindi, che il prodotto di due numeri complessi in forma trigono-metrica e un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e perargomento la somma degli argomenti.

Esempio:

Calcolare il prodotto dei numeri complessi z1 = 1 +i

3 e z2 =

3 +i dopoaverli espressi in forma trigonometrica.

1 =

12 +

32

= 2 e2 =

(3)2 + 12 = 2. Poi, cos 1 = 12 e sin 1 = 3

2

cos 1 = 3

, e cos 2 =3

2 con sin 2 =

12

in modo che2 = 56

.Il prodotto z = z1

z2 e dato, allora, da z = 4,

76

, cioe z =4 cos 76+i sin 76.Per quanto concerne il quoziente:

z1z2

=1(cos 1+i sin 1)

2(cos 2+i sin 2) =

= 12

(cos 1+i sin 1)

(cos 2+i sin 2) cos 2 i sin 2

cos 2 i sin 2 =Eseguendo i prodotti si ottiene, al numeratore, il coseno ed il seno della diffe-renza tra i due argomenti ed al denominatore cos2 2+ sin

2 2 = 1, ovvero

z1

z2=

1

2 [cos(1

2) +i sin(1

2)].

Esempio:

Calcolare il quoziente dei numeri complessi z1 = 10 10ie z2= 2 + 2idopoaverli espressi in forma trigonometrica.

1 =

(10)2 + (10)2 = 102 e 2 =

(2)2 + 22 = 22. Poi, cos 1 =10102

e sin 1 = 10102

cos1 = 54

, e cos 2 = 222

con sin 2= 2

22

in modo che

2 = 34

.Il quoziente z = z1

z2e dato, allora, da z =

5,

2

, cioe z = 5

cos

2+i sin

2

=

5i.

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1.5.6 Potenza e radice n-esima di un numero complesso in forma

trigonometricaApplicando ripetutamente la regola della moltiplicazione tra due numeri com-plessi in forma trigonometrica si ottiene la formula, detta formula di Moivre,per il calcolo della potenza nesima:

[, ]n = [, ] [, ] . . . [, ] = [n, n],quindi

[(cos +i sin )]n =n(cos n+i sin n).

Esempio:

Calcolare

3 + 3i3

.Trasformiano il numero complesso in forma trigonometrica

=

(

3)2 + 32 =

12 = 2

3

t.c. cos =

3

2

3=

1

2 e sin =

3

2

3=

3

2 .

Quindiz = 2

3

cos 3

+i sin 3

e z3 =

2

33

cos33

+i sin33

= 24

3(cos +i sin ) = 243

Per calcolare la radice nesima si puo seguire il seguente ragionamento:n

z = w z= wne quindi, se z = [, ] e w = [, ], allora

wn = [n, n]

pertantoz = wn, cioe [, ] = [n, n] se

n = = n

n= + 2k = +2kn conk Z.Quindi

n

[, ] = n

, + 2k

n kZ .La necessita di inserire 2k dove k e un qualsiasi numero intero, nasce,

evidentemente, dal fatto che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stessomodulo e gli argomenti differiscono per un multiplo intero di 2. E da notare,pero che, se ad esempio prendiamo k = n, la radice che si ottiene ha argomenton + 2 che coincide con la radice ottenuta per k = 0. Analogamente accadese si prende k = n+ 1 che individua la stessa radice che si ottiene prendendok= 1. Per averen radici distinte e sufficiente prendere k= 0, 1, . . . , n 1.

Nel piano di Gauss le n radici distinte di un numero complesso z sono ivertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza con centronellorigine degli assi e raggio uguale al modulo di z .

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Esempio:

Calcolare 61 +i.Occorre trasformare z = 1 +i in forma trigonometrica:

=

12 + 12 =

2

t.c. cos= 1

2=

2

2 e sin =

12

=

2

2 .

quindi 1 +i=

2(cos /4 +i sin /4). Allora

6

2, /4

=

12

2,/4 + 2k

6

k=0,1,2,3

.

Sei radici distinte sono allora

w1 =

12

2,/4

6

w2 =

12

2,/4 + 2

6

w3 =

12

2,/4 + 4

6

w4 =

12

2,/4 + 6

6

w5 =

12

2,/4 + 8

6

w6 =

12

2,/4 + 10

6

cioe

w1 = 12

2,

24

w2 =

12

2,3

8

w3 =

12

2,17

24

w4 =

12

2,25

24

w5 =

12

2,11

8

w6 =

12

2,41

24

.

Nel piano di Gauss queste 6 radici sono rappresentate, nellimmagine seguente,dai punti in rosso, vertici dellesagono inscritto nella circonfernza di raggio 12

2.

Figura 4: Le radici seste di z = 1 +i nel piano di Gauss

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2 Funzione reale di variabile reale

SianoA e B due sottoinsiemi di R, quindi A Re B R.Si definisce funzione f daA in B , f :A B, una legge che associa ad ogni

elemento diAuno ed un solo elemento di B . Ovvero

f e una funzione x A!y B :y = f(x)

Esempio:

y= x2 e la funzionefche ad ognix R associa il numero realey corrispondenteal quadrato di x.

y=

x

2 sex e un numero naturale pari

x+1

2

sex e un numero naturale dispari e una funzione f : N0

Z.

LinsiemeA e detto Dominio della funzione, linsiemeB e detto Codominio.In luogo di Dominio vengono utilizzati anche Campo di esistenza o Insiemedi definizione e in luogo di codominio Insieme dei valori.Inoltre, la variabile x e detta variabile indipendente, mentre la variabile y edetta variabile dipendente. Lay e detta anche immagine di x.

2.1 Funzione iniettiva

Si definiscefunzione iniettivauna funzione che ad elementi diversi del dominioassocia elementi diversi nel codominio:

y= f(x) e una funzione iniettiva x1, x2 A con x1=x2 si ha y1=y2

Esempio:

y =x2 non e una funzione iniettiva perche, ad esempio, ad x1 =4 e x2 = 4,associa lo stesso numero reale 16, cioe4 = 4 mentre f(4) =f(4).y = 2x + 1 e una funzione iniettiva perche se x1 = x2 allora 2x1 = 2x2 e2x1+ 1 = 2x2+ 1 cioe y1=y2.

y =

x2

sex e un numero naturale parix+1

2

sex e un numero naturale dispari e una funzione iniettiva

perche, se x1= x2 sono entrambi pari, allora y1 =x12 =x22 = y2; se sonoentrambi dispari allora x1+1

2 = x2+1

2 ; se, invece, uno e pari ed uno e dispari,

allora le loro immagini y1 ey2 sono una negativa ed una positiva e quindi sonodiverse. Pertanto, qualunque siano x1 e x2 conx1=x2 allora y1=y2.

2.2 Funzione suriettiva

Si definisce funzione suriettiva una funzione per la quale ogni elemento delcodominio e raggiunto da almeno un elemento del dominio:

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f :A B e una funzione suriettiva y1 Bx1 Atale che y1 = f(x1)

Esempio:

f :RR che ad xy =x2 non e una funzione suriettiva perche ogni numeronegativo del codominio non e raggiunto da alcun elemento del dominio in quantox2 0.f :R R+0 che adx y= x2 e una funzione suriettiva perche ogni elemento delcodominio (numero reale non negativo) e il quadrato di qualche numero reale.

f :RR che ad x y = 2x + 1 e una funzione suriettiva perche, preso unqualsiasiy1

R, allora lelemento x1 =

y112

e tale chef(x1) =y1.

f :N0Z che ad x y =x


x+12

sex e un numero naturale dispari e una

funzione suriettiva. Infatti preso un numero intero y1 0 allora troviamo ilnumero 2x1 0 tale che f(x1) = y1; se invece si prende un numero interoy1 0 allora troviamo il numero x1 = 2y1 1 tale che f(x1) =y1;

2.3 Funzione biettiva

Si definisce funzione biettivauna funzione che sia contemporaneamente siainiettiva che suriettiva:

f e una funzione biettiva f e iniettiva e f e suriettiva

Esempio:

f :R R+0 che ad x y = x2 non e una funzione biettiva perche e suriettivama non iniettiva.

f :RR che ad x y = 2x+ 1 e una funzione biettiva perche e sia iniettivache suriettiva.



x+12

sex e un numero naturale dispari e una

funzione biettiva perche e sia iniettiva che suriettiva.

Una funzione biettiva e anche detta corrispondenza biunivoca perche, inquesto caso, e possibile stabilire una corrispondenza uno ad uno tra gli elementidel dominio A e quelli del codominio B .

Grazie alla definizione di funzione biettiva e possibile definire la cardinalitadi un insieme (il numero di elementi che compongono un insieme).

Se nN, si dice che un insieme A ha cardinalita n (cioe e composto da nelementi e si scrive|A| = n) se esiste una corrispondenza biunivoca tra A elinsieme{1, 2, 3, . . . , n} dei primi n numeri naturali.

Poiche e immediato verificare che, sem =n, non esiste alcuna corrispodenzabiunivoca tra linsieme{1, 2, 3, . . . , n}e linsieme{1, 2, 3, . . . , m}, allora possia-mo dire che ogni insieme A di cardinalita n, quindi composto da un numero

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finito di elementi, non puo essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo

sottoinsieme proprio B: B A |B| < |A| .Viceversa, puo capitare che, se A e composto da un numero infinito di ele-

menti, cioe non e possibile trovare una corrispondenza biunivoca traA e linsie-me dei primi n numeri naturali, qualunque sia nN, allora e possibile trovareuna corrispondenza biunivoca tra A e un suo sottoinsieme proprio B. Anzi,questa proprieta caratterizza gli insiemi infiniti:

A e un insieme infinito esiste una corrispondenza biunivoca tra A ed unsuo sottoinsieme proprio.

Esempio:

N e infinito. Infatti la funzione f : x

N

2x

N2, dove N2 e linsieme dei

numeri postivi pari e una corrispondenza biunivoca perche e sia iniettiva chesuriettiva. Poiche linsieme dei numeri positivi pari e un sottoinsieme propriodiN allora N e infinito.

N0 e infinito. Infatti la funzione f : xN0 x+ 1N e una corrispondenzabiunivoca perche sia iniettiva che suriettiva.

Z e infinito. Infatti la funzione


2 se x e un numero naturale pari

x+12

se x e un numero naturale disparie una funzione biettiva, quindi tra NeZ esiste una corrispondenza biunivoca.

Ogni insieme infinito che puo essere messo in corrispondenza biunivoca conN e detto numerabile o che ha la potenza del numerabile. N, N0 e Z sono

insiemi numerabili.

Anche Q e numerabile. Infatti posizionando i numeri razionali nel seguendomodo ed allineandoli seguendo le frecce

11

12

13

14

15

21

22

23

24

25

31

32

33

34

35

41

42

43

44

45

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5 61

62

63

64

65

si ottiene la sequenza 1

1,2

1,1

2,1

3,2

2,3

1,4

1,3

2,2

3,1

4, . . .

che puo essere messa in corrispondenza uno a uno con la sequenza dei numerinaturali

{1, 2, 3, 4, . . .} .

16


17/70

Questo significa che anche Q+ e numerabile. Analogamente si puo dimostrare

per i numeri razionali negativi ed infine si dimostra cheQ e numerabile.Invece si puo dimostrare che R non e numerabile ma ha una cardinalitasuperiore al numerabile. Quella di R e detta cardinalita del continuo.

2.4 Funzioni invertibili

Se una funzione e biettiva e anche invertibile nel senso che ammette una funzioneinversa.

Per poter definire linversa di una funzione occorre specificare inversa ri-spetto a quale operazione e occorre definire lelemento neutro rispetto a questaoperazione.

2.4.1 Operazione di composizione di funzioni

Sia

f(x) :x A R y = f(x) B Re

g(x) :x C R z = g(x) D R;seB C e possibile comporre () le due funzioni nel seguente modo:

gf(x) :x A R z = g (f(x)) D R.

Esempio:

Sef(x) =x2 e g(x) =x+ 1 allora

gf(x) :x f x2 g x2 + 1.

Sef(x) =x+ 1 e g (x) =x2 allora

gf(x) :x f x+ 1 g (x+ 1)2.

Rispetto alloperazione di composizione, la funzione identita

id(x) :x y= x

risulta elemento neutro. Infatti, qualunque sia f(x)

fid(x) =f(x) e idf(x) =f(x).

Infatti

fid(x) :x id x f f(x)

e

idf(x) :x f f(x) id f(x).

17


18/70

E possibile, a questo punto, definire linversa di una funzione: sia f(x) una

funzione invertibile, g (x) e linversa di f(x) se:fg(x) =id(x) e gf(x) =id(x).

Linversa di una funzione f(x) si denota con f1(x).

Esempio:

Linversa della funzione f(x) =x3 e la funzione g (x) = 3

x. Infatti

gf(x) :x f x3 g 3

x3 =x

e

fg(x) :x g 3x f ( 3x)3 =x.

Linversa della funzione f(x) = 2x 1 e la funzione g (x) = x+12 . Infatti

gf(x) :x f 2x 1 g 2 x+ 1

2 1 =x

e

fg(x) :x g x+ 1

2

f 2 x+ 12

1 =x.

Seg(x) e linversa di f(x) allora il grafico di g(x) e simmetrico, rispetto allaretta bisettrice passante per il primo e terzo quadrante, del grafico di f(x).

2.5 Funzioni crescenti e decrescentiUna funzionefsi dice crescente se a valori piu piccoli del dominio sono associativalori piu piccoli del codominio:

y= f(x) e una funzione crescente x1, x2 A con x1 < x2 si ha y1 y2.y= f(x) e una funzione strettamente crescente x1, x2 A con x1 < x2 si hay1 < y2.

Una funzionefsi dice decrescentese a valori piu piccoli del dominio sonoassociati valori piu grandi del codominio:

y= f(x) e una funzione decrescente x1, x2 Acon x1 < x2 si ha y1 y2.y = f(x) e una funzione strettamente decrescente x1, x2 A con x1 y2

.

Una funzione crescente o decrescente e detta monotona. Una funzionestrettamente crescente o strettamente decrescente e detta strettamente mo-notona.

Esempio:

f : xR y = 2, cioe la funzione costante f(x) = 2, e una funzione siacrescente che decrescente ma non strettamente monotona.

f :x R y= 2x+ 1 R, e una funzione strettamente crescente.f :x R y= x2 R+0, e una funzione strettamente decrescente nellintervallo(, 0] ed e strettamente crescente nellintervallo [0, +) .

18


19/70

2.6 Funzioni pari e dispari

Una funzione f si dice pari se assume lo stesso valore nei punti opposti deldominio:

y = f(x) e una funzione pari x A si ha f(x) =f(x).

Una funzione f si dice dispari se assume valore opposto nei punti opposti deldominio:

y= f(x) e una funzione dispari x A si ha f(x) = f(x).

Naturalmente, una funzione puo essere ne pari ne dispari.

Esempio:

f :x R y= 2, cioe la funzione costante f(x) = 2, e una funzione pari.f :x R y= 2x R, e una funzione dispari.f :x R y = 2x+ 1 R, e una funzione ne pari ne dispari. Infatti, preso adesempiox = 3 allora f(3) = 2 3 + 1 = 7 mentref(3) = 2 (3) + 1 = 5 chee diverso sia da 7 che da7.f :x R y= x2 R+0, e una funzione pari.

2.7 Funzione periodica

Una funzione f si dice periodica se esiste un valore reale T >0 tale che, perogni puntox, il valore che la funzione assume nel punto x + T e lo stesso valoreche assume in x:

y= f(x) e una funzione periodica x A T >0 tale che f(x+T) =f(x).T e detto periodo della funzione f(x) e il reciproco di T, = 1

T, e detta

frequenzadella funzione.Se una funzione f(x) e periodica di periodoTla funzione compostaf(g(x))

in alcuni casi e ancora periodica con un periodoP. Per calcolare il nuovo periodooccorre seguire il seguente ragionamento: se f(g(x)) e periodica di periodo P

allora dovra esseref(g(x+P)) =f(g(x)).

Ma poiche f(x) e periodica di periodo Tvale luguaglianza

f(g(x) +T) =f(g(x)).

Eguagliando i primi membri si ottiene

f(g(x+P)) =f(g(x) +T).

Ricavando laP dalluguaglianzag (x + P) =g(x) + Tsi ottiene il periodo dellafunzione composta f(g(x)).

19


20/70

Esempio:

Sia g (x) = 2x allora se P e il periodo di f(2x) allora f(2(x+P)) =f(2x). Daf(2x+T) =f(2x) segue f(2(x+P)) =f(2x+T) e quindi 2(x+P) = 2x+Tda cui 2x+ 2P = 2x+T e

P = T

2.

In generale se g(x) = k x con kR+ allora da f(k(x+ P)) = f(kx). Daf(kx + T) =f(kx) seguef(k(x + P)) =f(kx + T) e quindi k(x + P) =kx + T.Pertanto il periodo P della funzione f(g(x)) e

P = T

k.

Sek


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3 Le funzioni elementari

Classificazione delle funzioni reali di variabile reale

algebriche trascendenti

razionali irrazionali esponenziali goniometrichelogaritmiche

intere fratte

3.1 Le funzioni razionali intere

Le funzioni razionali intere sono i polinomi. Un polinomio di grado n in unavariabile reale e una funzione che ad x associa una combinazione delle primenpotenze di x:

Pn(x) =c0+c1 x+c2 x2 +. . .+cn xn

dove c0, c1, . . . , cn sono n fissati coefficienti reali.

Tutte le funzioni polinomiali hanno dominio in tutto R.

3.1.1 La funzione costante

La funzione costante e la funzione polinomio di grado 0. In questo caso, ad ognix e associata un valore costante:

f(x) :x R y= c0Il dominio della funzione e R, il codominio e costituito dal solo numeroc0.

La funzione non e iniettiva, e sia crescente che decrescente.

21


22/70

Figura 5: Grafico di f(x) =c0

3.1.2 La funzione identita

La funzione identita e un particolare polinomio di primo grado, quello per ilquale il coefficiente dix e 1 ed il termine noto (coefficiente del termine di grado0) e 0.

f(x) :x R y= x R.

Figura 6: Grafico di f(x) =x

Il dominio della funzione e R, il codominio e R. La funzione e iniettiva esuriettiva, quindi e biettiva ed invertibile. La funzione, inoltre, e strettamentecrescente. A volte la funzione identita e identificata con id(x). Il grafico ecostituito dalla retta bisettrice passante per il primo ed il terzo quadrante.

22


23/70

3.1.3 La funzione polinomio di primo grado

Funzione polinomio di primo grado:

f(x) :x R y = a x+b R.Il dominio della funzione e R, il codominio e R. La funzione e iniettiva

e suriettiva, quindi e biettiva ed invertibile. La funzione, inoltre, se a > 0 estrettamente crescente sea 0, b > 0

Figura 8: Grafico di f(x) =ax+b cona >0, b < 0

23


24/70

Figura 9: Grafico di f(x) =ax+b cona 0

Figura 10: Grafico di f(x) =ax+b con a


25/70

Figura 11: Grafico di f(x) = 2x 1 e della sua inversa g(x) = x+12

3.1.4 La funzione potenza di secondo grado

La funzione potenza di secondo grado e una particolare polinomio di secondogrado:

f(x) :x R y= x2 R+0.Il dominio della funzione e R, il codominio e R+0. La funzione non e iniettiva,

e strettamente crescente nellintervallo [0, +

), e strettamente decrescente in(, 0]. Il grafico e costituito da una parabola convessa con vertice in (0, 0).

Figura 12: Grafico di f(x) =x2

Se il coefficiente di x2 e -1,

f(x) :x R y = x2 R0.

25


26/70

il codominio e R0, la funzione e strettamente decrescente nellintervallo

[0, +), e strettamente crescente in (, 0]. Il grafico e costituito da unaparabola concava con vertice in (0, 0).

Figura 13: Grafico di f(x) = x2

Se il coefficiente di x2 e maggiore di 1 il raggio di curvatura della paraboladiminuisce, se compreso tra 0 e 1 il raggio aumenta.

Figura 14: Grafici di f(x) = ax2 con a = 2 (piu interno), a = 1 (al centro) ea= 1/4 (piu esterno).

3.1.5 La funzione polinomio di secondo grado

Funzione polinomio di secondo grado :

f(x) :x R y= ax2 +bx+c B R.

26


27/70

Il dominio della funzione eR, il codominio e un intervallo illimitato propria-

mente contenuto in R. Il vertice della parabola ha ascissaxv = b

2a ed ordinataf(xv) = b24ac4a .

Figura 15: Grafico di f(x) =ax2 +c

La funzione non e iniettiva, sea >0 e strettamente decrescente nellintervallo[, xv) e strettamente crescente in [xv, +]. Se a 0, concava se a < 0. Se

b= 0 la parabola risulta solamente traslata lungo lasse delle ordinate rispettoalla parabola che rappresenta la funzione potenzax2

Figura 16: Grafico di f(x) =ax2 +bx+c con > 0

27


28/70

Figura 17: Grafico di f(x) =ax2 +bx+c con < 0

Figura 18: Grafico di f(x) =ax2 +bx+c con a 0

3.1.6 La funzione potenza di terzo grado

La funzione potenza di terzo grado e un particolare polinomio di terzo grado:

f(x) :x R y= x3 R.

Il dominio della funzione e R, il codominio e R. La funzione e iniettiva esuriettiva, e strettamente crescente in tutto il dominio. Il grafico e concavo finoal punto (0, 0) poi e convesso. Il punto in cui cambia la concavita e detto puntodi flesso.

28


29/70

Figura 19: Grafico di f(x) =x3

Se il coefficiente di x3 e -1,

f(x) :x R y= x3 R,La funzione e iniettiva e suriettiva, e strettamente decrescente in tutto il domi-nio. Il grafico e convesso fino al punto (0, 0) poi e concavo.

Figura 20: Grafico di f(x) = x3

Se y = ax3 la funzione e strettamente crescente nel dominio se a > 0,strettamente decrescente sea


30/70

Figura 21: Grafici di f(x) = ax3 con a = 2 (piu interno), a = 1 (al centro) ea= 1/4 (piu esterno).

Figura 22: Confronto tra le funzioni potenze di grado 1,2 e 3..

3.1.7 La funzione polinomio di terzo grado

Funzione polinomio di terzo grado :

f(x) :x R y= ax3 +bx2 +cx+d R.

30


31/70

Il dominio della funzione eR, il codominio eR. La funzione e suriettiva ma

niettiva solo in casi particolari.

Figura 23: Grafico di f(x) =ax3 +bx2 +cx+d cona >0; il polinomio ha, inquesto caso, tre radici reali

Figura 24: Grafico di f(x) = ax3

+bx2

+cx + d con a > 0; il polinomio ha,rispettivamente, una e due radici reali

La funzione, in generale, non e strettamente monotona nel dominio.

31


32/70

Figura 25: Grafico di f(x) =ax3 +bx2 +cx+d con a


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anbm

>0 la funzione + se anbm


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Figura 27: Grafico di f(x) = 1/x2

f(x) :x R {0} y= 1x3

R {0}.

Figura 28: Confronto tra i grafico di f(x) = 1/xef(x) = 1/x3

f(x) :x R {1} y= 3x+ 1x

1 B R.

Il grado del polinomio al denomimatore e uguale al grado del polinomio alnumeratore, quindi la funzione agli estremi dellasse delle ascisse (x )tende a a1b1 =

31

= 3. Dal dominio occorre, naturalmente, escludere il punto 1.

34


35/70

Figura 29: Grafico di f(x) = 3x+1x1

f(x) :x R {2} y = x2 3

x+ 2 B R.

Il grado del polinomio al denomimatore e minore del grado del polinomio alnumeratore, quindi la funzione agli estremi dellasse delle ascisse (x )tende all, per x , f(x) e per x +, f(x) +. Daldominio occorre, naturalmente, escludere il punto x = 2.

Figura 30: Grafico di f(x) = x23x+2

f(x) :x R y = x3 + 3x2 3

x2 + 2x 2 B R.Il grado del polinomio al denomimatore e minore del grado del polinomio alnumeratore, quindi la funzione agli estremi dellasse delle ascisse (x )tende all, per x , f(x)+ e per x+, f(x) . Poiche ilpolinomio a denominatore non si annulla mai il dominio della funzione e tuttoR.

35


36/70

Figura 31: Grafico di f(x) = x3+3x23

x2+2x

2

3.3 Le funzioni irrazionali

Una funzione irrazionale e una funzione in cui la variabile dipendentex comparesotto il segno di radice. Nel caso in cui lindice di radice e un numero disparinallora la radice non introduce limitazioni al dominio della funzione. Se n e pariil dominio si restringe ai valori x che rendono il radicando non negativo.

3.3.1 La funzione radice quadrata

Funzione radice quadrata:

f(x) :x R+0 y=

x R+0.

Il dominio in questo caso si riduce ai numeri reali x 0, anche il codo-minio coincide con R+0. La funzione e sia iniettiva (x1=x2

x1=

x2)

che suriettiva, quindi e invertibile. La funzione e strettamente crescente ed econcava.

Figura 32: Grafico di f(x) =

x

36


37/70

La funzione f(x) = x2 nel suo dominio R non e invertibile perche non e

iniettiva, ma la restrizione di f(x) = x2

al dominio R

+

0 e invertibile e la suainversa e la funzione g(x) = x. Infatti

gf(x) :x R+0 f x2 g

x2 =x.

e

fg(x) :x R+0 g

x f (x)2 =x.

Figura 33: Grafico della restrizione di f(x) =x2 e di g (x) =

x

3.3.2 La funzione radice cubica

Funzione radice cubica:

f(x) :x R y= 3x R.

Il dominio ed il codominio coincidono con linsieme dei numeri reali. Lafunzione e sia iniettiva che suriettiva, quindi e invertibile. La funzione e stret-tamente crescente ed e convessa in [

, 0] e concava in [0, +

].

37


38/70

Figura 34: Grafico di f(x) = 3

x

Figura 35: Confronto tra f(x) =

x e f(x) = 3

x

Come abbiamo gia visto in precedenza la funzionef(x) =x3 e linversadellafunzioneg (x) = 3

x.

38


39/70

Figura 36: Grafico di f(x) =x3 e g (x) = 3

x

3.3.3 Due semplici funzioni irrazionali

f(x) :x A R y= 4

x2 5x+ 6 R+0.Il dominio della funzione, A, e costituito dallinsieme dei numeri reali per

i quali il polinomio x2 5x+ 6 0, cioe lunione dei due intervalli (, 2] e[3, +). Il codominio e R+0. La funzione non e iniettiva (2 = 3 maf(2) =f(3))e strettamente decrescente fino a 2, strettamente crescente per x 3. Lafunzione e ovunque concava.

Figura 37: Grafico della funzione f(x) = 4

x2 5x+ 6

f(x) :x A R y= 3

x2 6x+ 5 B R.Poiche lindice di radice e dispari ed il radicando e un polinomio, il dominio

della funzione e costituito da tutto linsieme dei numeri reali. La funzione

39


40/70

non e iniettiva (1 = 5 ma f(1) = f(5)) e strettamente decrescente fino a 3,strettamente crescente perx 3. La funzione e concava fino ax = 1 e convessaper 1 x 5 e di nuovo concava per x 5.


x2 6x+ 5

3.4 La funzione esponenziale

Sia a un numero reale positivo e diverso da 1: a R, a >0, a = 1;si definisce funzione esponenziale di base a:

f(x) :x R y= ax R+.Il dominio di una funzione esponenziale e tutto R, il codominio e R+ in

quantoax >0,x >. La funzione e iniettiva e suriettiva, quindi biettiva ed in-vertibile. Quandoa >1, inoltre, sex1 < x2 alloraa

x1 < ax2 , quindi la funzionee strettamente crescente. Invece, quando 0 < a ax2 ,quindi la funzione e strettamente decrescente. Particolarmente importante nelleapplicazioni e la funzione esponenziale di base e con e= 2.1718281 . . . numerodi Nepero.

Figura 39: Grafico della funzione f(x) =ex

40


41/70

Figura 40: Grafico della funzione f(x) = 2x

Figura 41: Grafici delle funzioni f(x) =ex e g (x) = 2x.

41


42/70


x

3.5 La funzione logaritmo

Sia a un numero reale positivo e diverso da 1: a R, a >0, a = 1;si definisce funzione logaritmo di base a:

f(x) :x R+ y= logax R.Il dominio di una funzione logaritmo e R+, il codominio e tutto R. La

funzione e iniettiva e suriettiva, quindi biettiva ed invertibile. Quando a > 1,inoltre, se x1 < x2 allora logax1 < logax2, quindi la funzione e strettamente

crescente. Invece, quando 0 < a < 1, se x1 < x2 allora logax1 > logax2,quindi la funzione e strettamente decrescente. Particolarmente importante nelleapplicazioni e la funzione logaritmo di base e con e= 2.1718281 . . . numero diNepero. Spesso tale funzione viene individuata con ln x oppure con log x senzaindicare la base.

Ricordiamo che la definizione di logaritmo di un numero e la seguente:il logaritmo in base a di x e uguale a y sey e lesponente a cui bisogna elevarea per avere x:

y= logax ay =x.

Figura 43: Grafico della funzione f(x) = ln x

42


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Figura 44: Grafico della funzione f(x) =log10x

Figura 45: Grafici delle funzioni f(x) = logex elog10x.

Figura 46: Grafico della funzionef(x) = log 12

x

La funzione f(x) = logax e linversa della funzione g(x) =ax. Infatti

gf(x) :x f logax g logaax =x.

e

43


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f

g(x) :x

g

ax f

alog

ax

=x.

Figura 47: Grafico di f(x) = ln x e g (x) = ex

3.6 Le funzioni goniometriche

Per definire le funzioni goniometriche occorre ricordare, innanzitutto, i concettidi angolo e arco di circonfernza. Si definsce angolo ciascuna delle due parti

nelle quali un piano viene diviso da due semirette aventi la stessa origine.Le due semirette sono dette lati dei due angoli e lorigine comune il lorovertice.

Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo, si chiamaarco quella parte di circonferenza, interna allangolo, avente per estremi i puntidi intersezione con i lati dellangolo stesso.

Figura 48: In verde chiaro langolo di lati a e b e vertice O

44


45/70

E possibile orientare un angolo ordinando i suoi due lati in uno dei due

modi possibili. Convenzionalmente si pone come verso positivo di percorrenzaquello antiorario. Analogamente e possibile definire larco orientato pensando almovimento di un punto sullarco partendo da un estremo ed arrivando allaltro.Anche in questo caso il verso positivo e individuato dal movimento in sensoantiorario.

3.6.1 Misura di un angolo in radianti

Per ogni angolo vale la seguente proprieta: e costante il rapporto tra la lunghezzadi un arco di circonferenza che individua langolo ed il raggio della circonfern-za su cui giace larco. Nella figura seguente questa proprieta viene esplicatanelluguaglianza

AB

AO =

AB

AO .

Figura 49:

Grazie a questa proprieta e possibile definire una unita di misura per gliangoli, il radiante. Si dice che un angolo misura 1 radiante, 1 rad, quando ilrapporto tra la misura dellarco che individua langolo coincide con la lunghezza

del raggio della circonferenza su cui giace larco.

45


46/70

Figura 50: Langolo misura 1rad poicheAB= AOA partire da cio, e possibile affermare che un angolo misura q radianti se q

e il rapporto tra larco che individua langolo ed il raggio della circonfernza sucui giace larco.

Dal fatto che la lunghezza dellintera circonferenza di raggio r misura 2rsegue che la misura in radianti dellangolo giro (360) risulta 2 rad. Da qui

nasce il fattore di conversione tra la misura in gradi sessagesimali di un angoloe la sua misura in radianti; infatti dalla proporzione:

360 : 2= xgradi: xrad

scaturisce chexrad= xgradi

180.

Esempio:

Langolo di 30o in radianti misura 6

;


;


.

3.6.2 La funzione Seno

A partire da un angolo , da una circonferenza con centro nel vertice dellan-golo e da un sistema di assi cartesiani con origine nel vertice dellangolo ed assedelle ascisse sovrapposto al primo lato dellangolo, e possibile costruire funzioninumeriche che abbiano come variabile indipendente larco che misura langolo(e quindi langolo) utilizzando lestremo dellarco che misura langolo (si parladi un solo estremo poiche il primo estremo, per la scelta effettuata, giace sem-pre sullasse delle ascisse e quindo e solo il secondo che determina lampiezzadellangolo).

46


47/70

Si definiscesenodellangolo il rapporto tra lordinata dellestremo dellar-

co che misura langolo e il raggio della circonferenza a cui larco appartiene.

sin() =

BH

BO

Il segmentoBH e orientato perche rappresenta la misura dellordinata del

puntoB che quindi ha segno positivo o negativo a seconda del quadrante in cuisi trova il punto B .

Dalla similitudine dei due triangoli,

OH B e

OHB,

che, avendo i 3 angoli congruenti, sono simili e quindi hanno i 3 lati in propor-zione, segue che la definizione di seno di un angolo prescinde dalla circonferenzascelta. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza con centro

47


48/70

nellorigine del sistema di assi cartesiani e raggio uguale a 1. In questo caso

il seno di un angolo coincide con lordinata dellestremo dellarco che misuralangolo.

Il dominio della funzione seno e linsieme R il codominio e lintervallo [1, 1]:

f(x) :x R y= sin x [1, 1].

Valori della funzione seno per angoli particolari.

Nella seguente tabella e espresso il valore della funzione seno per angoli parti-colari misurati sia in gradi che in radianti:

o

rad sin 0 0 0

18 10

514

30 6

12

45 4

22

Figura 51: Calcolo del seno di /6, /4 e /10rad

Calcolo del seno di 30o: nella circonferenza goniometrica tale valore coincide con

la lunghezza del lato B Hdel triangolo

OHB (in giallo nellimmagine a sinistra

nella figura precedente). Se si ribalta tale triangolo lungo il lato OHsi costruisceil triangolo

OB B. Esso e equiangolo perche ha tre angoli di 60o quindi e

equilatero. EssendoOB = 1, perche coincide con il raggio della circonferenza,alloraB B= 1 e quindi B H= 1

2.

Calcolo del seno di 45o: nella circonferenza goniometrica tale valore coincide

con la lunghezza del lato BH del triangolo

OH B (in giallo nellimmagine alcentro nella figura precedente). Se si ribalta tale triangolo lungo il lato OH

si costruisce il triangolo

OB B. Esso e rettangolo in O. Essendo OB = 1 e

48


49/70

OB = 1 perche sono raggi della circonferenza, allora per il teorema di Pitagore

BB = 2 e quindi B H=2

2 .

Calcolo del seno di 18o: nella circonferenza goniometrica tale valore coincide

con la lunghezza del lato BH del triangolo

OH B (in giallo nellimmagine adestra nella figura precedente). Se si ribalta tale triangolo lungo il lato OH,

langolo in O del triangolo

OB B misura 36o, decima parte di 360o, e quindi illatoBB coincide con il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza.La misura di tale lato coincide con la parte aurea del raggio, quindi

OH=

5 1

2 .

Pertantosin 18o =

5 14

.

Figura 52: Calcolo del seno di /3rad

Calcolo del seno di 60o: il triangolo

OHB con angolo in O di 60o (immagine

a sinistra nella figura qui sopra) e simile al triangolo

OHB con angolo in O

di 30o

(immagine a destra) poiche hanno angoli congruenti. Inoltre, poichesono congruenti le due ipotenuse (raggi delle circonferenze) i due triangoli sonocongruenti, quindi BH = OH e OH = OB . Cioe lordinata del punto Bcoincide con lascissa del punto B e lascissa del punto B con lordinata delpunto B. Quanto vale per gli angoli di 60o e 30o vale per ogni angolo edil suo complementare = 90o . A tal proposito si introduce la funzionecomplementare del seno.

3.6.3 La funzione Coseno

Si definisce cosenodellangolo il rapporto tra lascissa dellestremo dellarcoche misura langolo e il raggio della circonferenza a cui larco appartiene.

49


50/70

cos() = OHBO

Tutto quanto detto per la funzione seno vale anche per la funzione coseno.Anche dominio e codominio delle due funzioni coincidono:

f(x) :x R y= cos x [1, 1].

1a identita fondamentale della trigonometria.

In una circonferenza goniometrica (raggio=1) il seno ed il coseno di un angolocoincidono con la misura dei cateti (nella figura precedente BH e OH) di untriangolo rettangolo la cui ipotenusa (OB) e proprio il raggio della circonferenza.Da cio segue la prima idenita fondamentale della trigonometria: qualunque sialangolo

sin2 + cos2 = 1.

Naturalmente cio vale anche per una circonferenza di raggio r: infatti, in

questo caso le misure dei cateti saranno rispettivamente r sin e r cos e del-lipotenusa e r. Applicando il teorema di Pitagora e dividento tutto per r2 siriottiene lidentita precedente.

Valori della funzione coseno per angoli particolari.

Nella seguente tabella e espresso il valore della funzione coseno per angoliparticolari:

50


51/70

o rad cos

0 0 1

18 10

10+2

5

4

30 6

32

45 4

22

Per trovare tali valori e sufficiente, una volta noto il valore del seno di un

angolo, applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo

OH B(o la primaidentita fondamentale).

Per conoscere i valori delle funzioni seno e coseno di angoli compresi tra45o e 90o, e sufficiente utilizzare quanto detto in precedenza per gli angolicomplementati:

sin = cos (90 ) .

Pertanto

o rad sin cos

60 3

cos 30 =32

sin 30 = 12

72 2

5

cos 18 =

10+2

5

4

sin 18 =512

90 2

cos 0 = 1 sin 0 = 0

Per calcolare il valore delle funzioni seno e coseno per angoli il cui estremosi trova nel II quadrante e possibile seguire il seguente ragionamento: nellacirconferenza goniometrica riportata nella figura sottostante, il valore di sin coincide con lordinata del punto B. Tale valore, a sua volta, coincide conlordinata del puntoB che e lestremo dellarco che misura langolo = 180supplementare di . Cio e vero perche i due triangoli

OHB e

OB H sono

congruenti perche sono simili, avendo i 3 angoli congruenti, ed hanno le ipotenusecongruenti, essendo raggi della circonferenza. Da qui segue che

sin = sin (180 )

Analogamente, il valore di cos coincide con lascissa del puntoB . Tale valore,a sua volta, coincide con lopposto dellascissa del punto B che e lestremodellarco che misura langolo= 180 supplementare di. Da qui segue che

cos = cos (180 ) .

51


52/70

In definitiva, possiamo dire che angoli supplementari hanno il seno coinci-dente ed il coseno opposto.

Per calcolare il valore delle funzioni seno e coseno per angoli il cui estremosi trova nel I II quadrante e possibile seguire il seguente ragionamento: nella cir-

conferenza goniometrica riportata nella figura sottostante, i due triangoli

OH B

e

OB H sono congruenti perche sono simili, avendo i 3 angoli congruenti, edhanno le ipotenuse congruenti, essendo raggi della circonferenza. In questo mo-do il valore di sin (180 +), lordinata del punto B, per quanto appena detto,coincide, a meno del segno, con lordinata del punto B che e lestremo dellarcoche misura langolo . Da qui segue che

sin (180 +) = sin .Analogo ragionamento si puo fare per il coseno e quindi

cos(180 +) = cos

In definitiva, possiamo dire che angoli che differiscono di un angolo piatto(180o o rad) hanno seni opposti e coseni opposti.

52


53/70

Per calcolare il valore delle funzioni seno e coseno per angoli il cui estremo

si trova nel IV quadrante e possibile seguire il seguente ragionamento: nellacirconferenza goniometrica riportata nella figura sottostante, il valore di sin coincide con lordinata del puntoB. Tale valore, a sua volta, coincide, a meno delsegno, con lordinata del punto B che e lestremo dellarco che misura langolo

= 360esplementare di. Cio e vero perche i due triangoli

OH Be

OB H

sono congruenti perche sono simili, avendo i 3 angoli congruenti, ed hanno leipotenuse congruenti, essendo raggi della circonferenza. Da qui segue che

sin = sin (360 )

Analogamente, il valore di cos coincide con lascissa del puntoB . Tale valore,a sua volta, coincide con lascissa del punto B che e lestremo dellarco chemisura langolo = 360

supplementare di . Da qui segue che

cos = cos (360 ) .

In definitiva, possiamo dire che angoli esplementari hanno il seno oppostoed il coseno coincidente.

E possibile calcolare il valore del seno e del coseno per angoli il cui estremo sitrova nel IV quadrante ipotizzando di aprire langolo nel verso orario. Pertantosi perviene allo stesso risultato degli angoli supplementari quando si considerano

gli angoli oppostie . E possibile, cioe ripetere il ragionamento appena fatto,considerando in luogo di 360 langolo. Ritroveremo allora

cos() = cos

sin() = sin .In definitiva, possiamo dire che angoli opposti hanno il seno opposto ed il cosenocoincidente.

Da qui possiamo anche affermare che il seno e una funzione dispari e il cosenopari.

53


54/70

sin

2

= cos

cos 2 = sin sin( ) = sin cos( ) = cos sin(+) = sin cos(+) = cos sin(2 ) = sin cos (2 ) = cos sin() = sin cos(

) = cos

Nella tabella che segue ricapitoliamo le proprieta appena viste per gli angoliassociati:

Naturalmente e immediato verificare che dopo aver effettuato un intero girosia in verso orario che antiorario le funzioni seno e coseno tornano ad assumeregli stessi valori:

sin(+ 2) = sin = sin( 2) e cos(+ 2) = cos = cos( 2).La stessa uguaglianza e verificata se langolo differisce da per un multiplointero di 2:

sin(+ 2k)k

Z= sin .

In base alla definizione data in precedenza, possiamo allora affermare che ilseno ed il coseno sono funzioni periodiche di periodo T = 2.

Figura 53: Grafico della funzione f(x) = sin x

Figura 54: Grafico della funzionef(x) = cos x

Per modificare il codominio delle funzioni seno e coseno e sufficiente, ad esem-pio, moltiplicare la funzione per una costante per modificare lampiezza dello-

54


55/70

scillazione o aggiugere una costante per traslare lungo lasse y il grafico della

funzione:Sia A Runa costante; alloraf(x) :x R y = A sin x [A, A];

Figura 55: Grafico della funzionef(x) =A sin x

e

f(x) :x R y = sin(x) +A [1 +A, 1 +A].

Figura 56: Grafico della funzionef(x) = sin(x) +A

Per modificare invece il periodo delle funzioni seno e coseno e sufficiente, adesempio, moltiplicare la variabile indipendentex per una costante. Per traslarelungo lasse x il grafico della funzione e sufficiente, ad esempio, aggiungere allavariabile indipendente x una costante. Tale costante e anche chiamata fase.

Sia A Runa costante; alloraf(x) :x R y= sin Ax [1, 1]

ha periodo T = 2A.

Figura 57: Grafico della funzionef(x) = sin Ax

e il grafico dif(x) :x R y= sin(x+A) [1, 1]

55


56/70

e traslato verso sinistra di uno spostamento A: infatti la funzione assume valore

0 in x = A.

Figura 58: Grafico della funzionef(x) = sin(x+A)

Esempio:

Calcolare periodo, frequenza e codominio della funzione f(x) = 12sin(2x) + 12 .

Per calcolare il periodo T e sufficiente dividere 2 per la costante che moltiplicala x. Quindi T = 2

2 = 1. Essendo la frequenza = 1T , in questo caso si ha

= 1. La funzione 12

sin(2x) oscilla tra 12

e 12

, aggiungendo lulteriore 12

presente in f(x), il codiminio diventa [0, 1].

Figura 59: Grafico delle funzioni f(x) = 12

sin x+ 12

(in blu) e f(x) = sin x (inrosso)

In 2.7 abbiamo visto un paio di regole per il calcolo del periodo di una fun-zione che e somma, differenza, prodotto o quoziente di due funzioni periodiche.Consideriamo qualche esempio:

56


57/70

Esempio: Calcolare il periodo della funzione f(x) = sin 2x+ sin 3x.

Il periodo della funzione sin 2x e T1 = 22

= . Il periodo della funzione sin 3xe T2 =

23

. Esiste un multiplo intero dei due periodi, cos il periodo di f(x) eT =mcm{, 2

3} =mcm{3

3, 2

3} = 6

3 = 2.

Esempio: Calcolare il periodo della funzione f(x) = sinx5

+ sin

x7

.

Il periodo della funzione sinx5

e T1 =

21/5 = 10. Il periodo della funzione

sinx7

e T2 =

21/7 = 14. Esiste un multiplo intero dei due periodi, cos il

periodo di f(x) eT =mcm{10, 14} = 70.Esempio: Calcolare il periodo della funzione f(x) = sin x+ sin (x).

Il periodo della funzione sin x e T1 = 2. Il periodo della funzione sin (x) eT2 =

2 = 2. Non ce un multiplo intero dei 2 periodi, la funzionef(x) non e

periodica.

Figura 60: Grafico delle funzionif(x) = sin2x+ sin 3x (in blu) e f(x) = sin x(in rosso)

57


58/70

Figura 61: Grafico della funzionef(x) = sin x5

+ sin x7

Figura 62: Grafico della funzione f(x) = sin x+ sin (x). La funzione non eperiodica

Esempio: Siano f(x) = sin x e g(x) = 1 sin x. Il periodo della funzione f(x)e 2. Il periodo della funzione 1 sin x e 2 ma la funzione h(x) =f(x) + g(x)non e periodica essendo h(x) = 1 x.

Figura 63: Grafico della funzione f(x) = sin x (in blu), g(x) = 1 sin x (inverde) eh(x) =f(x) +g(x) (in rosso). La funzione h(x) = 1 non e periodica

58


59/70

Esempio: Siano f(x) = sin x e g(x) = cos x. Sono entrambe periodiche di

periodoT = 2. Il periodo della funzione h(x) =f(x) g(x) e anchesso 2.Esempio: Siano f(x) = sin x e g(x) = cos x. Sono entrambe periodiche di

periodoT = 2. Il periodo della funzione h(x) =f(x)/g(x) e invece .

Figura 64: Grafico della funzioneh(x) = sin x cos x (in rosso) e f(x) = sin x(in blu). Anche h(x)ha periodo T = 2.

Figura 65: Grafico della funzione h(x) = sin x/ cos x (in rosso) e f(x) = sin x

(in blu). La funzione h(x)ha periodo T =.

Formule di addizione e sottrazione per le funzioni seno e coseno.

Siano e la misura di due angoli, e possibile dimostrare, in modo sufficiente-

mente semplice, che sono verificate le seguenti identita:

cos( ) = cos cos + sin sin cos(+) = cos cos sin sin sin( ) = sin cos sin cos sin(+) = sin cos + sin cos

59


60/70

Formule di duplicazione per le funzioni seno e coseno.

Nelle formule di addizione se = si ottengono le seguenti formulecos(2) = cos2 sin2 sin(2) = 2 sin cos

Formule di bisezione per le funzioni seno e coseno.

Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla prima identita fondamentalesegue che

cos(2) = cos2 sin2 == 2 cos2 1

Posto = 2 si ottiene cos = 2 cos2 2 1 e quindi

cos

2 =

1 + cos

2 .

Analogamente, e possibile ricavare

sin

2 =

1 cos

2 .

3.6.4 La funzione Tangente

Oltre alla funzione seno e coseno e utile definire una terza funzione goniometrica.Si definisce tangente goniometrica di un angolo il rapporto tra lordinata del

punto di intersezione tra il lato che individua langolo e la retta tangente allacirconferenza nel punto (r, 0) e il raggio r della circonferenza:

tan =

BH

OH.

60


61/70

Dalla definizione emerge subito che quando OH= 0 la funzione non e de-

finita. Cio accade, ad esempio per = 90o

e per tutti i multipli interi di 90.Pertanto il dominio della funzione tangente e linsiemeR2

+kcon k Z.Inoltre, e facile rendersi conto che per valori dellangolo 0 <

2 la tangente

assume tutti i valori nellintervallo [0, +).Se langolo

2 < la definizione di tangente comporta che il punto B si

trovi nelI Vquadrante. In questo modo, per tali valori di si ha che tan


62/70

Se langolo 32

< 2 la definizione di tangente di comporta che ilpuntoB si trovi nelI V quadrante, cioe e riconducibile a cio che accade, nel casoesaminato in precedenza, quando il lato dellangolo si trova nel I Iquadrante. Eevidente, quindi, che, anche in questo caso, se = +vale tan( +) = tan .

Possiamo, allora, generalizzare e ribadire che

tan(+) = tan .

Cio e sufficiente per dire che la funzione tangente e periodica di periodoT =.

2a identita fondamentale della trigonometria.

Dalla similitudine dei due triangoli,

OH B e

OHB,

62


63/70

che, avendo i 3 angoli congruenti, sono simili e quindi hanno i 3 lati inproporzione

BH :OH=B H: OH

cioer tan : r = r sin : r cos ,

segue lidentita

=

2+k, dove k

Z, tan =

sin

cos .

Questa identita e nota come 2a identita fondamentale della trigonometria.

Valori della funzione tangente per angoli particolari.

Nella seguente tabella e espresso il valore della funzione tangente per angoliparticolari misurati sia in gradi che in radianti:

o rad sincos tan

0 0 01

0

18

10

514

10+254

1 25

5

30 6

1232

33

45 4

2222

1

Per quanto concerne gli angoli maggiori di 45o e minori 90o e possibileapplicare quanto gia visto per il seno e coseno di angoli complementari:

tan(90o ) = sin(90o )

cos(90o ) =cos

sin =

1

tan ,

63


64/70

quindi

o rad tan

60 3

33

72 25

5 + 2

5

Per quanto concerne la valutazione della tangente per angoli il cui lato liberoe nel secondo quadrante e facile verificare, utilizzando gli angoli supplementari,che

tan( ) = sin( )cos( ) =

sin

cos = tan .

Cioe angoli supplementari hanno la tangente opposta.

Essendo, poi, la funzione tangente periodica di periodo , cio che succedenelIII e I V quadrante ripete cio che accade nel I e I Iquadrante.

Esempio:

tan120 = tan60 = 3.tan 5

4= tan

4 = 1.

tan330 = tan30 = 33

.

tan

6

= tan

6 = 3.

Figura 66: Grafico della tangente (in blu). In nero sono rappresentati gli asintotiverticali.

Formule di addizione e sottrazione per la funzione tangente.

Siano e la misura di due angoli, e possibile dimostrare seguenti identita:

tan( ) = tan tan 1 + tan tan

tan(+) = tan + tan

1 tan tan

64


65/70

Formule di duplicazione per la funzione tangente.

Nelle formule di addizione se = si ottengono le seguenti formule

tan(2) = 2tan

1 tan2

Formule di bisezione per la funzione tangente.

Dalle formule di bisezione di seno e coseno segue che

tan

2 =

1 cos 1 + cos

.

3.6.5 Le funzioni goniometriche inverse

Essendo periodiche le funzioni goniometriche, nel loro dominio, non possonoessere iniettive e quindi non sono biettive e pertanto non sono invertibili. Epossibile pero considerare le restrizioni di tali funzioni in un dominio in cui essesono biettive per poter considerare le loro inverse.

Consideriamo, ad esempio, la funzione f(x) data dalla restrizione della fun-zione seno allintervallo

2

, 2

. In questo caso la funzione

f(x) :x

2,

2

y= sin x [1, 1]

e una funzione biettiva e quindi invertibile.Si definisce funzione Arcosenodi x la funzione che associa ad un numero

x dellintervallo [

1, 1] la misura dellarco (angolo) il cui seno vale x.

f(x) :x [1, 1] y= arcsin x

2,

2

.

Figura 67: Grafico della funzione f(x) = arcsin x.

65


66/70

Figura 68: Grafico della funzionef(x) = sin x(in rosso) e della funzione inversaarcsin x (in blu). In verde la retta bisettrice del 1o e 3o quadrante

Consideriamo, adesso, la funzione f(x) data dalla restrizione della funzionecoseno allintervallo [0, ]. In questo caso la funzione

f(x) :x [0, ] y = cos x [1, 1]

e una funzione biettiva e quindi invertibile.Si definiscefunzione Arcocosenodixla funzione che associa ad un numero

x dellintervallo [1, 1] la misura dellarco (angolo) il cui coseno vale x.

f(x) :x [1, 1] y= arcsin x

2,

2

.

Figura 69: Grafico della funzione f(x) = arccos x.

66


67/70

Figura 70: Grafico della funzione f(x) = cos x(in rosso) e della funzione inversaarccos x (in blu). In verde la retta bisettrice del 1o e 3o quadrante

Infine, consideriamo la funzione f(x) data dalla restrizione della funzionetangente allintervallo

2

, 2

. In questo caso la funzione

f(x) :x

2,

2

y = tan x (, +)

e una funzione biettiva e quindi invertibile.Si definisce funzione Arcotangente di x la funzione che associa ad un

qualsiasi numero reale x la misura dellarco (angolo) la cui tangente vale x.

f(x) :x R y= arctan x

2,

2

.

Figura 71: Grafico della funzione f(x) = arctan x.

67


68/70

Figura 72: Grafico della funzionef(x) = tan x(in rosso) e della funzione inversaarctan x (in blu). In verde la retta bisettrice del 1o e 3o quadrante

3.7 Costruzione del grafico di una funzione a partire dal

grafico di unaltra

In alcuni casi e semplice costruire il grafico di una funzione g(x) quando e noto

il grafico di f(x).Se g1(x), g2(x), g3(x) e g4(x) sono le seguenti funzioni

g1(x) =f(x) g2(x) = f(x) g3(x) =f(x+a) g4(x) =f(x) +b

i loro grafici sono, a partire dal grafico di f(x), rispettivamente,

simmetrico rispetto allasse delley ; simmetrico rispetto allasse dellex; traslato dia lungo lasse delle x; traslato di b lungo lasse delle y ;

68


69/70

Figura 73: Grafici delle funzioni f(x) (in blu), f(x) (verde),f(x) (rosso),f(x+a) (marrone) e f(x) +b (arancio).

69


70/70

Intendo riferirmi al fatto che la piu parte degli studenti e, sopratutto delle loro fami-

glie, concepiscono lUniversita cone un ufficio in cui si rilasciano certi documenti: i diplomiche, al pari della fede di nascita e simili, sono purtroppo necessari per laccesso alle varie

carriere; e non come un luogo ove si studia e ci si prepara alla vita professionale. Da questa

errata concezione che non potra smantellarsi se non quando i datori di lavoro prenderanno

labitudine di mettere alla prova pratica gli aspiranti ai vari impieghi, invece d esaminarne

solo i loro diplomi, con eventuali acrobazie aritmetiche sui punti riportati discende un co-

rollario non meno erroneo e nocivo, che le buone Universita, i buoni professori non sono

gia quelli che fanno studiare di piu e meglio, bens quelli piu indulgenti e piu proclivi a dare

a tutti punti elevati. Per convincersi come queste concezioni siano effettivamente erronee

e nocive, puo ben servire, mi sembra, una considerazione assai poco ortodossa: confrontare

unUniversita con una scuola di ballo! Chi vuol prendere delle lezioni di ballo, sceglie forse

la scuola piu facilona e i maestri piu indulgenti? Si preoccupa forse del diploma che ricevera

alla fine, ammesso che un diploma finale ci sia? Evidentemente no; si preoccupa solo che gli

insegnino a ballare bene, e non abbia poi a fare delle meschine figure. Ebbene, il mio augurio

e che, un giorno, gli studenti e le loro famiglie considerino lUniversita alla stregua di una

scuola di ballo! Finiranno allora le solite malinconie sugli esami, i relativi appelli ecc. e se

qualche agitazione studentesca dovra esserci, si avra perche il professore Tizio insegna poco

e svogliatamente o perche il tale istituto non ha unattrezzatura adeguata, ma non perche il

Ministro o il Rettore non ha concesso un certo prolungamento di appello! E sara tanto di

guadagnato per tutti!

F. Tricomi, 1958

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