Appunti di Geometria e Topologia Istaff.matapp.unimib.it/~ferrario/geotop-2005/notes.pdfData di stampa: 7 giugno 2005 Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2004/2005)

Appunti di

Geometria e Topologia IDavide L. Ferrario

A.A. 2004/2005Dipartimento di Matematica e Applicazioni

Universita di Milano–Bicocca

c© Davide L. Ferrario, 2005

Prima bozza: Marzo-Maggio 2005.Copia Preliminare (Per uso didattico e personale): 30 Maggio 2005Data di stampa: 7 giugno 2005

Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2004/2005)Davide L. [email protected] di Matematica e ApplicazioniUniversita di Milano-Bicocca

Premessa

Queste sono le note per il corso di Geometria e Topologia I (primo anno del cdl in Matematica),tenuto nel secondo semestre dell’A.A. 2004/2005 presso il Dipartimento di Matematica e Ap-plicazioni dell’Universita di Milano-Bicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassuntiin modo molto schematico (e approssimativo nonche non esente da errori di varia natura);ogni settimana viene presentato un elenco di esercizi assegnati (facoltativi). La parte teoricadi queste note non puo essere considerata un testo su cui studiare, ma solo un compendioabbastanza dettagliato degli argomenti affrontati. Lo studio deve essere necessariamente svoltosui libri consigliati (o sui numerosi volumi presenti in letteratura e in biblioteca dedicati aquesti argomenti) e sui propri appunti, possibilmente confrontando quanto si legge con quantopresentato in queste note. Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, dimedia difficolta, oppure presentare difficolta significative (questi esercizi sono segnalati in ge-nere con un asterisco). A volte l’asterisco segnala semplicemente l’importanza dell’argomentoaffrontato nell’esercizio.

Milano, 30 Maggio 2005

Davide L. Ferrario([email protected])

i

Indice

1 Richiami di logica matematica 1

2 Richiami di teoria degli insiemi 4

3 Spazi metrici e continuita: topologia degli spazi metrici 6

4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico 13

5 Spazi topologici 15

6 Funzioni continue 20

7 Topologia prodotto 21

8 Spazi di identificazione e topologie quoziente 22

9 Compattezza 26

10 Compattezza in spazi metrici ed euclidei 31

11 Spazi metrici completi 36

12 Spazi connessi 40

13 Gruppi topologici 46

14 Gruppi di trasformazione 49

15 Spazi affini 56

16 Sottospazi affini 60

17 Mappe affini 65

18 Incidenza e parallelismo 69

19 Spazi affini euclidei 74

20 Angoli e proiezioni ortogonali 79

21 Spazi proiettivi 83

22 Coniche proiettive 92

23 Coniche affini e coniche euclidee 96

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1

1 Richiami di logica matematica

Definire cos’e un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposi-zioni). La definizione e data in termini di una proprieta dell’enunciato: l’essere vero o falso(logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verita sceltotra i due: vero oppure falso. Sistemi logici piu completi possono averne altri (indeterminato,per esempio).

Variabili : Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apicio pedici): A, x, B1, j, . . . Assegnamento di valore alle variabili.

Connettivi logici : : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuoveproposizioni a partire da proposizioni date.

• negazione: ¬p.

• congiunzione (AND): p ∧ q.

• disgiunzione (OR, p vel q): p ∨ q.

• disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p⊕ q.

• implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p =⇒ q.

• doppia implicazione (se e solo se): p ⇐⇒ q.

Valori di verita: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q, . . . assumo valori diverita 0/1, e possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verita.

p ¬p1 00 1

p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0

p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0

p q p XOR q1 1 00 1 11 0 10 0 0

p q p =⇒ q1 1 10 1 11 0 00 0 1

p q p ⇐⇒ q1 1 10 1 01 0 00 0 1

Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r, . . . sicostruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposi-zioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espres-sioni sono sempre vere (cioe assumono valore di verita 1 per ogni possibile scelta dei valoridelle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioe assumono va-lore di verita 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni.Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verita si dicono equivalenti . A e B sonoequivalenti se e solo se A ⇐⇒ B e una tautologia.

Le seguenti sono tautologie:

(i) A ∨ ¬A (terzo escluso);

(ii) ¬(A ∧ ¬A) (non contraddizione);

D.L. Ferrario 7 marzo 2005 1

2 7 marzo 2005 Geometria e Topologia I

(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);

(iv) A ∧ A ⇐⇒ A, A ∨ A ⇐⇒ A;

(v) A ∨B ⇐⇒ B ∨ A, A ∧B ⇐⇒ B ∧ A (commutativita);

(vi) associativita:

(A ∨B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C);

(A ∧B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C);

(vii) Leggi distributive:

A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧B) ∨ (A ∧ C);

A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨B) ∧ (A ∨ C);

(viii) Leggi di de Morgan:

¬(A ∧B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B;

¬(A ∨B) ⇐⇒ ¬B ∧ ¬A;

Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi disillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.

(i) (A ∧B) =⇒ A;

(ii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo);

(iii) (A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);

(iv) (A =⇒ B) ∧ ¬B =⇒ ¬A (modus tollens);

(v) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) (modus barbara, sillogismo ipotetico);

(vi) ((A ∨B) ∧ ¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).

Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state asse-gnate (variabili libere) si dice predicato, proprieta, funzione proposizionale o anche enunciatoaperto.

Quantificatori : I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false).Se ci sono piu variabili libere, si possono usare piu quantificatori. Le variabili con un valoreassegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.

• Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).

Uso: ∀x, p(x).

Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprieta p(x) e vera (cioe x gode dellaproprieta p). Anche: ∀x ∈ U, p(x).

• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).

Uso: ∃x : p(x).

Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la proprieta p(x) e vera(cioe x gode della proprieta p). Anche: ∃x ∈ U : p(x).

2 7 marzo 2005 D.L. Ferrario


• ¬(∀x, p(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x) (principio di negazione).

• ¬(∃x : p(x)) ⇐⇒ ∀x,¬p(x) (principio di negazione).

• ∀x, ∀y, p(x, y) ⇐⇒ ∀y, ∀, xp(x, y) (principio di scambio).

• ∃x : ∃y : p(x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : xp(x, y) (principio di scambio).

• ∃x : ∀y, p(x, y) =⇒ ∀y, ∃x : p(x, y) (principio di scambio).



2 Richiami di teoria degli insiemi

Concetti primitivi (non definiti):

• Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).

• Relazione di appartenenza: x ∈ X, x 6∈ X.

In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi1 si definisce un insiemecome collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioe si deve essere in grado di stabilire sex = y oppure x 6= y). Si assumono anche i seguenti principi:

(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

(ii) Principio di astrazione: Una proprieta p(x) definisce un insieme A con la convenzioneche gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P (x) e vera:

A = {x : p(x)}.

(iii) Assioma della . . .

Estensioni di questa notazione:

{x ∈ A : p(x)} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}

{f(x) : p(x)} Esempio: {x2 : x ∈ Z}

{1, 2, 3}, {1, 2}

Insieme vuoto: ∅. 2

Relazioni tra insiemi:

• (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A e un sottoinsieme diB.

• A ⊃ B: se B ⊂ A.

• A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).

Operazioni con gli insiemi:

• Unione A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

• Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (due insiemi sono disgiunti quandoA ∩B = ∅).

1G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva e usato anche poiche la sola intuizione dovrebbe essere ilcriterio per stabilire cosa e un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi(contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengonoa se stessi, cioe che non hanno se stessi come elementi (x 6∈ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora perdefinizione X 6∈ X, cioe X non appartiene a se stesso. Viceversa. . .

2Il concetto complementare di insieme vuoto e quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto– e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, . . .



• Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ={(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

• Complemento di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A′(= Ac = B r A) = {x ∈ B :x 6∈ A}.

• Insieme delle parti: P(X) = 2X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioe l’insieme dellefunzioni f : X → {0, 1}).

Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria∑

puoessere usato per definire la somma di una serie di numeri, cosı i simboli di unione e intersezionepossono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J → 2U

una funzione. Per ogni i ∈ J , il sottoinsieme f(i) ∈ 2U puo anche essere denotato con Xi, peresempio (cf. successioni xi vs. funzioni x = f(i)).

•⋃i∈J

Xi := {x ∈ U : (∃i ∈ I : x ∈ Xi)}, o equivalentemente3

⋃i∈J Xi := {x ∈ U : x ∈ Xi per qualche i ∈ I}.

•⋂i∈J

Xi := {x ∈ U : (∀i ∈ J, x ∈ Xi)}, o equivalentemente⋂i∈J Xi := {x ∈ U : x ∈ Xi per tutti gli i ∈ J}.

In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se ∀x ∈ X,∀y ∈ Y, (x 6=y =⇒ f(x) 6= f(q)), suriettiva se ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se e siainiettiva sia suriettiva.

(2.1) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y e un sottoinsieme di Y , lacontroimmagine di B e

f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.

3Si noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.



3 Spazi metrici e continuita: topologia degli spazi me-

trici

Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.

(3.1) Definizione. Uno spazio metrico e un insieme X munito di una funzione d : X×X → R

tale che per ogni x1, x2,x3 ∈ X:

(i) ∀x1,∀x2, d(x1, x2) ≥ 0 e d(x1, x2) = 0 se e solo se x1 = x2.

(ii) Simmetria: d(x1, x2) = d(x2, x1).

(iii) Disuguaglianza triangolare: d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3).

La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti.

(3.2) Esempio. Metrica su R: d : R×R→ R, d(x, y) = |x− y|, ha le proprieta che per ognix, y ∈ R

(i) |x− y| ≥ 0 e |x− y| = 0 ⇐⇒ x = y.

(ii) |x− y| = |y − x|.

(iii) |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.

Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza:

(3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x0 ∈ X (X spaziometrico):

Br(x0) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}.

(Anche piu esplicitamente Br(x0, X))

(3.4) Nota. Una funzione f : A ⊂ R→ R e continua nel punto x ∈ A se per ogni ε > 0 esisteun δ > 0 tale che |x− y| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε. Cioe, equivalentemente, f e continua inx ∈ R se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che y ∈ Bδ(x) =⇒ f(y) ∈ Bε(f(x)), cioe

f (Bδ(x)) ⊂ Bε(f(x)).

In generale, f : A→ R e continua in A ⊂ R se e continua per ogni x ∈ A, cioe se per ogniε > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ε e x) tale che f (Bδ(x)) ⊂ Bε(f(x)).

Dal momento che f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f−1B (esercizio (1.7) a pagina 12), la funzione f econtinua in A se e solo se per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ε e x) taleche Bδ(x) ⊂ f−1 (Bε(f(x))).

(3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un puntox ∈ U se contiene un intorno circolare di x, cioe se esiste δ > 0 tale che

Bδ(x) ⊂ U

Se U e un intorno di x, si dice che x e interno ad U .4U puo non essere aperto. . .



(3.6) Nota. Se U e un intorno di x e U ⊂ V , allora V e un intorno di V .

Con questo linguaggio, la definizione di continuita in x diventa: la controimmagine f−1(Bε(f(x)))di ogni intorno circolare di f(x) e un intorno di x. Notiamo che una palla e intorno di ognisuo punto (esercizio (1.10) a pagina 12).

(3.7) Se f : A ⊂ X → Y e continua in A, allora la controimmagine di ogni palla Br(y) in Y(intervallo!) e intorno di ogni suo punto.

Dimostrazione. Se x ∈ f−1Bε(y), cioe f(x) ∈ Bε(y), allora esiste r abbastanza piccolo per cuiBr(f(x)) ⊂ Bε(y). Dal momento che f e continua in x, f−1(Br(f(x))) e intorno di x. Ma

Br(f(x)) ⊂ Bε(y) =⇒ f−1 (Br(f(x))) ⊂ f−1 (Bε(y))

e quindi f−1 (Bε(y)) e un intorno di x. q.e.d.

(3.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice aperto se e intornodi ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenutoin A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A).

(3.9) Una palla aperta Br(x) e un aperto.

Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 12) q.e.d.

(3.10) Una funzione f : X → Y e continua in X se e soltanto se la controimmagine in X diogni palla Br(y) di Y e un aperto.

Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione e continua allora la controim-magine di ogni palla e un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni pallaBr(y) e un aperto. Allora, per ogni x ∈ X e per ogni ε > 0

f−1 (Bε(f(x)))

e un aperto, ed in particolare e un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni xe ε esiste δ > 0 tale che Bδ(x) ⊂ f−1 (Bε(f(x))), cioe f e continua. q.e.d.

3.1 Proprieta dei sottoinsiemi aperti

Se A ⊂ X e aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r(x) > 0 tale che Br(x) ⊂ A, e quindi A eunione di (anche infinite) palle aperte

A =⋃x∈A

Br(x)(x).

Viceversa, si puo mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte e un aperto. Quindivale:

(3.11) Un sottoinsieme A ⊂ X e aperto se e solo se e unione di intorni circolari (palle).

(3.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti e un aperto.

(3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzanonull’altro che proprieta degli intorni circolari in R. Dato che queste proprieta valgono ingenerale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici.



Si possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema.

(3.14) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) e continua se e solo se la con-troimmagine di ogni aperto di Y e un aperto di X.

Dimostrazione. Sia V un aperto di Y . Allora e unione di intorni circolari Bj := Brj(yj)

V =⋃j∈J

Bj

e dunque la sua controimmagine

f−1V = f−1

(⋃j∈J

Bj

)=⋃j∈J

f−1Bj

e unione di aperti, e quindi e un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Ye un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y e unaperto di X, e quindi f e continua. q.e.d.

La continuita di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famigliedi aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica.

(3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.

(3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione A∩B e un aperto.

Dimostrazione. Sia x ∈ A ∩B. Dato che A e B sono aperti, esistono rA e rB > 0 tali che

BrA(x) ⊂ A e BrB(x) ⊂ B.

Sia r il minimo tra rA e rB: Br ⊂ BrA , Br ⊂ BrB , e quindi Br ⊂ A∧Br ⊂ B(⇐⇒ Br ⊂ A∩B).Quindi A ∩B e intorno di x e la tesi segue dall’arbitrarieta di x. q.e.d.

Riassumiamo le proprieta degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle partiA ⊂ 2X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X.

(3.17) L’insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 7) di uno spaziometrico X verifica le seguenti proprieta:

(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,

(ii) B ⊂ A =⇒⋃B∈B B ∈ A,

(iii) B ⊂ A, B e finito, allora⋂B∈B B ∈ A.

(3.18) Possiamo riassumere le proprieta degli intorni circolari di uno spazio metrico X:

(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B 3 x.

(ii) L’intersezione di due intorni circolari B1∩B2 e un aperto, e quindi per ogni x ∈ B1∩B2

esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.



(3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X e la famiglia A di tutti i sottoin-siemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che e A e la topologia di X generata dagliintorni circolari (definiti a partire dalla metrica).

(X, d) 7→ (X, d,A)

Dal momento che per determinare la continuita di una funzione e sufficiente conoscere lefamiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che duemetriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia.

(3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti seinducono la stessa topologia su X.

(3.21) Due metriche d e d′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprieta e vera: perogni x ∈ X e per ogni palla Bd

r (x) (nella metrica d) esiste r′ > 0 tale che Bd′

r′ (x) ⊂ Bdr (x) (dove

Bd′

r′ (x) e la palla nella metrica d′) e, viceversa, per ogni r′ e x esiste r tale che Bdr (x) ⊂ Bd′

r′ (x).

Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d′ siano equivalenti e siano x e r > 0 dati.Per (3.9) la palla Bd

r (x) e aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologiaindotta da d′: pertanto esiste r′ tale che Bd′

r′ (x) ⊂ Bdr (x). Analogamente se si scambia il ruolo

di d e d′. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x ∈ Aesiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che

Bdr (x) ⊂ A,

ed un corrispondente r′ > 0 tale che

Bd′

r′ (x) ⊂ Bdr (x).

Cioe, per ogni x esiste r′ = r′(x) > 0 tale che

Bd′

r′ (x) ⊂ A,

e quindi A e aperto nella topologia indotta da d′. Analogamente, ogni aperto nella topologiaindotta da d′ e anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono.

q.e.d.

(3.22) Esempio. Esempi di metriche su R2:

(i) d(x, y) =√

(x1 − y1)2 − (x2 − y2)2 = |x− y| (metrica euclidea).

(ii) d(x, y) =

{0 se x = y

1 altrimenti(metrica discreta).

(iii) d(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|.

(iv) d(x, y) = maxi=1,2|xi − yi|.

(v) d(x, y) = mini=1,2|xi − yi| (?).

(vi) d(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (?).



(3.23) Esempio. Sia p ∈ N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una decom-posizione in fattori primi, per cui esiste unico l’esponente α per cui n = pαk, dove l’intero knon contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione | · |p definita da

|pαk|p = p−α

ogni volta che k e primo con p, e |n|p = 0 quando n = 0. Sia quindi d : Z × Z → Q ⊂ R lafunzione definita da d(x, y) = |x− y|p. Si puo vedere che e una metrica su Z.



Esercizi: foglio 1

(1.1) Dimostrare che:

(i) L’insieme vuoto ∅ e unico.

(ii) per ogni insieme A, ∅ ⊂ A.

(iii) per ogni insieme A, A ⊂ A.

(iv) per ogni insieme A, A = A ∪ ∅.

(1.2) Dimostrare (utilizzando le tautologie viste nella lezione 1) che se A, B, C e X sonoinsiemi arbitrari:

(i) A ∪B = B ∪ A.

(ii) A ∩B = B ∩ A.

(iii) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

(iv) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

(vii) Se A ⊂ X, allora X r (X r A) = A.

(viii) Se A,B ⊂ X, allora X r (A ∪B) = (X r A) ∩ (X rB).

(ix) Se A,B ⊂ X, allora X r (A ∩B) = (X r A) ∪ (X rB).

(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:

(i) A ⊂ B;

(ii) A ∩B = A;

(iii) A ∪B = B.

(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle parti P(X) di un insieme X e l’insieme dellefunzioni f : X → {0, 1}.

*(1.5) Siano A e B due insiemi e X l’insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a ∈ A, b ∈ B}.Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una bijezione X →A×B.

*(1.6) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A ⊂ X e B ⊂ Y sonosottoinsiemi di X e Y :

(i) f (f−1(B)) ⊂ B.

(ii) f e suriettiva se e solo se per ogni B ⊂ Y , ff−1(B) = B.

(iii) A ⊂ f−1f(A).



(1.7) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi, A ⊂ X e B ⊂ Y sottoinsiemi di X e Y .Dimostrare che:

f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f−1B.

(1.8) Sia X un insieme e f : X ×X → R una funzione tale che:

(i) f(x, y) = 0 se e solo se x = y.

(ii) ∀x, y, z ∈ X, f(x, z) ≤ f(x, y) + f(z, y).

Dimostrare che f e una metrica su X.

(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R e intorno di ogni suo punto.

*(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla e intorno di ogni suo punto (cioe e unaperto).

(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metricoe un aperto.

*(1.12) Sia {Bj}j∈J una famiglia di insiemi in Y e f : X → Y una funzione. Dimostrare che

f−1

(⋃j∈J

Bj

)=⋃j∈J

f−1Bj

(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R2 (con la metrica euclidea) sono aperti?

(i) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} ∪ {(1, 0)}.

(ii) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.

(iii) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}.

(iv) {(x, y) ∈ R2 : x4 + y4 ≤ −1}.

(v) {(x, y) ∈ R2 : x4 + y4 ≥ 1}.

*(1.14) E vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R e un aperto?Se la famiglia e finita?

*(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x0 ∈ X, la funzione f(x) =d(x, x0) e continua.

(1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metrichedell’esempio (3.22) sono equivalenti?

(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni).



4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico

(4.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x ∈ Xsi dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r > 0 l’intersezioneBr(x) ∩ A contiene almeno un punto oltre al centro x.

Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A.Se A = {xn}n∈N ⊂ X e una successione convergente, allora il limite della successione e puntolimite di A.

(4.2) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice chiuso secontiene tutti i suoi punti di accumulazione.

(4.3) Il complementare in X di un chiuso e aperto. Il complementare in X di un aperto echiuso. Quindi C ⊂ X e chiuso se e solo se X r C e aperto.

Dimostrazione. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X rC. Dato che C e chiuso, x non puo essere unpunto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui Br(x)∩C = ∅. Ma allora Br(x) ⊂ (XrC)e quindi X r C e intorno di x. Per l’arbitrarieta di x in X r C si ha che X r C e aperto.

Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X r A. Se x e un punto diaccumulazione di C allora non e un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui cisarebbe r > 0 tale che Br(x) ⊂ A, ma allora Br(x) ∩ C ⊂ A ∩ C = ∅, cioe x non sarebbe diaccumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C edunque C e chiuso. q.e.d.

(4.4) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprieta:

(i) ∅ ∈ C, X ∈ C,

(ii) B ⊂ C =⇒⋂C∈B C ∈ C,

(iii) B ⊂ C, B e finito, allora⋃C∈B C ∈ C.

Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (3.17) e il fatto che i chiusi sono i comple-mentari degli aperti (dualita). q.e.d.

(4.5) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi punti di accumu-lazione si dice chiusura di A in X e si indica con A.

(4.6) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A ⊂ B, si ha che A ⊂ B (esercizio(2.5)).

(4.7) La chiusura A di A e il piu piccolo insieme chiuso che contiene A (in altre parole:l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, e un chiuso.

Dimostrazione. Per prima cosa vediamo che A e chiuso e per farlo mostriamo che X r A eaperto. Se x ∈ X r A, cioe x non e ne punto di A ne punto di accumulazione, allora inparticolare esiste r > 0 per cui Br(x) ∩ A = ∅; l’altro canto Br(x) e aperto (cioe intornodi ogni suo punto), e quindi non puo contenere punti di accumulazione per A. Ma alloraBr(x) ∩ A = ∅, cioe Br(x) ⊂ X r A.

Ora, consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C, si ha che A ⊂ C,ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A ⊂ C, cioe A e contenuto in tutti i chiusiche contengono A. Essendo A chiuso, in particolare A e un chiuso contenente A, e quindi latesi. q.e.d.



(4.8) Corollario. Un insieme A ⊂ X e chiuso se e solo se coincide con la sua chiusuraA = A.

(4.9) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sonoequivalenti:

(i) f e continua

(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).

(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f−1(C) ⊂ X e chiuso.

Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2. Sia x ∈ A. Se x ∈ A,allora f(x) ∈ f(A) ⊂ f(A), e quindi f(x) ∈ f(A). Se x ∈ A r A, allora x deve essere diaccumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f(x) appartiene a f(A) oppure ne e punto diaccumulazione. Se f(x) ∈ f(A), allora non c’e altro da dimostrare. Supponiamo altrimentiche f(x) 6∈ f(A). Ora, dato che f e continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell’intornocircolare f−1 (Br(f(x))) e un intorno di x, e quindi esiste ε > 0 (che dipende da r e x) percui Bε(x) ⊂ f−1 (Br(f(x))). Ma x e di accumulazione per A, e quindi Bε(x) ∩ A 6= {x}, cioeesiste un punto z ∈ Bε(x) ∩ A, z 6= x, ed in particolare

f(z) ⊂ Br(f(x))

Dato che stiamo supponendo f(x) 6∈ f(A) e che z ∈ A, si ha che f(z) ∈ f(A) e quindif(z) 6= f(x). Cioe, per ogni r > 0 l’intorno Br(f(x)) contiene punti di f(A) diversi da f(x),e quindi f(x) e di accumulazione per f(A).

Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f−1C la sua controim-magine in X. Dal momento che f(A) ⊂ f(A), e che f(A) = C, f(A) ⊂ C = C, e quindiA ⊂ f−1C. Ne segue che A ⊂ A, da cui A = A, visto che anche A ⊂ A.

Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y e aperto, allora C = Y r A e chiuso in Y ,e quindi f−1C e chiuso in X, il che implica che X r f−1C e aperto. Ma

X r f−1C = {x ∈ X : f(x) 6∈ C} = f−1(X r C) = f−1(A),

quindi f−1(A) e aperto. q.e.d.

(4.10) Nota. Continuita: f(lim) = lim(f) . . .Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y 6= x ∈ X e r = d(x, y),

allora r > 0 e y ∈ Br/2(y) 63 x, cioe X r {x} e aperto.



5 Spazi topologici

Se si analizzano le dimostrazioni delle proprieta finora vista degli aperti, chiusi e funzionicontinue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famigliadegli intorni circolari e alcune proprieta caratterizzanti.

Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A ⊂ 2X che verifica le proprieta di (3.17)consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuita.

(5.1) Definizione. Una famiglia A ⊂ 2X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia severifica le seguenti proprieta:

(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,

(ii) B ⊂ A =⇒⋃B∈B B ∈ A,

(iii) B ⊂ A, B e finito, allora⋂B∈B B ∈ A.

Uno spazio X munito di una topologia A ⊂ 2X (spesso indicata con la lettera τ) viene dettospazio topologico5 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X.

E banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associaread ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (3.19), che e detta anche topologiametrica. Sappiamo gia che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (sele metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici pero ammettono l’esistenza di unametrica che genera la topologia (cioe, non tutti sono metrizzabili).

(5.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioe quella con piu aperti possibilee quella con meno aperti possibile.

(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {∅, X} ⊂ 2X (che devono esistere perpoter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (5.1)).

(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2X .

Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che e intrinseco per gli spazi metrici.

(5.3) Definizione. Se X e uno spazio topologico, A ⊂ X e un sottoinsieme e x ∈ A, si diceche A e un intorno di x se contiene un aperto B tale che x ∈ B ⊂ A.6 Allora x si dice puntointerno di A.

Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (3.14).

(5.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y si dice continuase per ogni aperto A ⊂ Y la controimmagine f−1A e aperto di X.

Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura puo essereesteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni deipropri punti.

5Cosı come uno spazio metrico X e piu propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologicodovrebbe essere indicato come coppia (X, τ) con τ ⊂ 2X , ma per brevita la topologia non viene espressamenteindicata, se non quando necessario.

6Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.



(5.5) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un puntox ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di xl’intersezione B ∩ A contiene almeno un altro punto oltre a x. La chiusura A di A e definitacome l’unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione.

(5.6) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizionisono equivalenti.

(i) X r C e aperto.

(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (4.3) sostituendo ovunque intorni apertiinvece che intorni circolari. q.e.d.

(5.7) Definizione. Un sottoinsieme C ⊂ X di uno spazio topologico si dice chiuso se unadelle due proposizioni equivalenti di (5.6) e verificata.

Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (4.7) si puo dimostrare che (vedi esercizio(2.8)):

(5.8) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X e il piu piccolo sottoinsieme chiuso di X checontiene A (in altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare,e un chiuso.

5.1 Base di una topologia

La topologia metrica e generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gliaperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si puo chiedere quando una famigliadi insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprieta degli intornicircolari di spazi metrici di (3.18).

(5.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X si dice base se leseguenti proprieta sono soddisfatte:

(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene x (equivalen-temente, X =

⋃B∈B B).

(ii) Se B1, B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2, allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2

(equivalentemente, B1 ∩B2 e unione di elementi della base).

Possiamo riscrivere (3.18) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo digenerare una topologia a partire da una base procede dall’osservazione che gli aperti sono leunioni di intorni circolari.

(5.10) Sia X un insieme. Data una base B ⊂ 2X , sia A ⊂ 2X la famiglia di tutte le unionidi elementi di B unita a ∅. Allora A e una topologia per X ed e la piu piccola topologia in cuigli elementi della base B sono aperti.

Dimostrazione. Esercizio. q.e.d.

(5.11) Definizione. La topologia generata come in (5.10) si dice topologia generata dallabase B.



5.2 Topologia indotta

Se X e uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indottaper restrizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioe, per definizione A ⊂ Y e aperto se e solo se esisteU ⊂ X aperto la cui intersezione con Y e A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni

A = Y ∩ U

di aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assumeche abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo.



Esercizi: foglio 2

(2.1) Dimostrare che, se A,B ⊂ X sono sottonsiemi di uno spazio metrico:

(i) A ∪B = A ∪B.

(ii) A ∩B ⊂ A ∩B.

(2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:

(i) { 1n

: n ∈ N, n > 0}.

(ii) { kn

: k, n ∈ N, n > 0}.

(iii) { k2n

: k, n ∈ N}.

(iv) { 1k

+ 1n

: k, n ∈ N, k, n > 0}.

*(2.3) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora

(i) A ∪B = A ∪B;

(ii) A ⊆ A;

(iii) (A) = A;

(iv) ∅ = ∅.

Viceversa, si consideri un operatore C : 2X → 2X con le seguenti proprieta:

(i) CA ∪ CB = C(A ∪B);

(ii) A ⊆ CA;

(iii) CCA = CA;

(iv) C∅ = ∅.

Dimostrare che, definiendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore C (CA = A) siottiene una topologia su X (cioe valgono gli assiomi. . . . Questi assiomi alternativi si chiamano⇐assiomi di Kuratowski ).

(2.4) Quali sono i punti di accumulazione per la successione { 1

n} (per n > 0) nella retta reale

R munita della metrica discreta d(x, y) =

{0 se x = y

1 altrimenti?

(2.5) Dimostrare che se A ⊂ B, allora A ⊂ B.

*(2.6) Dimostrare che uno spazio topologico con piu di due punti con la topologia banale none metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) e metrizzabile.

*(2.7) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguentiproposizioni sono equivalenti.



(i) X r C e aperto.

(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

*(2.8) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico X eil piu piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A.

(2.9) Sia X un insieme e Y ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ ⊂ 2X e unatopologia per X, allora τY = {U ∩ Y : U ∈ τ} e una topologia per Y , e che l’inclusionei : Y → X e una funzione continua.

(2.10) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie per X:

(i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.

(ii) {{}, {a}, {a, b, c}}.

(iii) {{}, {a, b, c}}.Le seguenti non sono topologie

(i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.

(ii) {{a}, {a, b, c}}.Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2X?

*(2.11) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia di tuttii sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioe tali che X r A ha un numero finito dielementi, unita all’insieme X (si vuole che ∅ sia aperto). Si dimostri che τ e una topologia.

(2.12) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R.

(i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

(ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.

(iii) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.

(iv) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioe quando le topologiesono contenute una nell’altra)?

(2.13) Dimostrare che se f : R→ R e una funzione continua, allora l’insieme {x ∈ R : f(x) =0} e chiuso in R mentre l’insieme {x ∈ R : f(x) > 0} e aperto in R.

*(2.14) Sia A ⊂ R un insieme e χA la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da

χA(x) =

{1 se x ∈ A;

0 se x 6∈ A;

In quali punti di R la funzione χA e continua?

*(2.15) Quale topologia deve avere R affinche tutte le funzioni f : R→ R siano continue?

*(2.16) Dimostrare che una funzione f : R → R e continua se e solo se per ogni successioneconvergente {xn} (cioe per cui esiste x tale che limn→∞ |xn − x| = 0) vale l’uguaglianza

limn→∞

|f(xn)− f(x)| = 0.

(2.17) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite.



6 Funzioni continue

Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si puo dimostrare, esattamentecome in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione.

(6.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le tre proposizioni seguenti sonoequivalenti:

(i) f e continua

(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).

(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f−1(C) ⊂ X e chiuso in X.

(iv) Se B e una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la controimmaginef−1B e aperto in X.

(6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue e continua.

Dimostrazione. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. Lacomposizione gf : X → Z e continua se e solo se (gf)−1(A) e aperto in X ogni volta che A eaperto in Z. Ora,

(gf)−1(A) = {x ∈ X : g(f(x)) ∈ A}= {x ∈ X : f(x) ∈ g−1(A)}= f−1(g−1(A))

e dunque se A e aperto anche g−1(A) e aperto in Y (dato che g e continua), e poiche f econtinua f−1(g−1(A)) e aperto in X. q.e.d.

(6.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia indotta,allora la restrizione f |A e continua.

Dimostrazione. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f−1(B) e aperta in X, dato che fe continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f |A e data dall’insieme

{x ∈ A : f(x) ∈ B},

e quindi da A∩ f−1(B). Per definizione di topologia indotta, questo e un aperto di A. q.e.d.

(6.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici e un omeomorfismo se ebiunivoca e sia f che la funzione inversa f−1 sono continue. Si dice allora che X e Y sonoomeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).

(6.5) Definizione. Una funzione f : X → Y e

(i) aperta se l’immagine f(A) di ogni aperto A di X e aperta in Y .

(ii) chiusa se l’immagine f(C) di ogni chiuso C di X e chiusa in Y .

(6.6) Una funzione f : X → Y e un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietae vera:

(i) f e biunivoca, continua e aperta.



(ii) f e biunivoca, continua e chiusa.

La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non e altroche un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che lafamiglia degli aperti viene conservata.

(6.7) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munitodella metrica d((ai,j), (bi,j)) = max

i,j(|ai,j − bi,j|). X e omeomorfo a R4 con la metrica euclidea

d((xi), (yi)) =√∑4

i=1(xi − yi)2 tramite l’omeomorfismo

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

)7→

a1,1

a2,1

a1,2

a2,2

(6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto e omeomorfa alla retta reale (proiezionestereografica).

7 Topologia prodotto

(7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X×Y ammette unatopologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base

base = {U × V ⊂ X × Y : U e aperto in X e V e aperto in Y }.

Affinche la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme diaperti sopra descritto costituisca una base per X × Y : esercizio (3.1).

Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1(x, y) = x e p2(x, y) = y sidicono le proiezioni .

(7.2) Se X × Y ha la topologia prodotto, allora X × Y ≈ Y × X (sono omeomorfi), e leproiezioni p1 : X × Y → X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.

Iterando il procedimento, si puo definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazitopologiciX1,X2, . . . , Xn, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U1×U2××Un ⊂X1 ×X2 × · · · ×Xn.

(7.3) Esempio. La retta e omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b) per ogni a < b.

(7.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) e ugualealla topologia prodotto.

(7.5) Esempio. I × I e il quadrato (pieno) di R2. Analogamente, In e il cubo di dimensionen.



8 Spazi di identificazione e topologie quoziente

Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprieta di composizione e restrizione difunzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.

Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X → X/∼ laproiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza).

(8.1) Esempio. (i) I0∼1.

(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ Z.

(iii) R2 con x = (x1, x2) ∼ y = (y1, y2) ⇐⇒ x− y ∈ Z2.

(iv) Striscia di Mobius.

In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y si puo vedere come insiemedelle classi di equivalenza date dalla relazione

∀x, y ∈ X, x ∈ y ⇐⇒ f(x) = f(y).

(8.2) Definizione. Se X e uno spazio topologico e f : X → Y una funzione suriettiva,allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e solii sottoinsiemi A ⊂ Y per cui la controimmagine f−1(A) ⊂ X e aperto. Lo spazio Y si dicespazio quoziente di X rispetto alla proiezione f .

(8.3) Se f : X → Y e continua e suriettiva, allora la topologia di Y e contenuta nella topologiaquoziente (cioe ogni aperto di Y e aperto nella topologia quoziente di X).

Dimostrazione. Per definizione di continuita, se f : X → Y e continua e A ⊂ Y e aperto nellatopologia di Y , allora f−1(A) e aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente eaperto nella topologia quoziente. q.e.d.

(8.4) Definizione. Se X e uno spazio topologico e A ⊂ X un sottospazio, si scrive X/A(quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che e lospazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singolipunti di X r A e A.

(8.5) Esempio. Il toro: [0, 1]× [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza. . . )

(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).

(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.

(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.

E omeomorfo a S1 × S1?

(8.6) Esempio. Il disco: D1(0,R2) = D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}, quozientato rispettoalla relazione di equivalenza:

x ∼ y ⇐⇒

{x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2 (x e y stanno sul bordo)

x = y altrimenti



(8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D2 quozientato rispetto alla relazione:

x ∼ y ⇐⇒

{x = −y se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2

x = y altrimenti

Analogo: S2/∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).

(8.8) Esempio. Nastro di Mobius:



Esercizi: foglio 3

(3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U × V , con U aperto in X e V aperto in Y euna base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X × Y .

(3.2) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sono sottospazi,allora A × B = A×B, e che A × B e aperto in X × Y se e solo se A e aperto in X e B eaperto in Y .

*(3.3) Dimostrare che [0, 1)× [0, 1) e omeomorfo a [0, 1]× [0, 1).

(3.4) Dimostrare che R = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha puntiinterni in R.

(3.5) Dimostrare che il quadrato {(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1} e omeomorfo alla circonfe-renza {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

(3.6) Dimostrare che la mappa diagonale ∆: X → X ×X definita da x 7→ (x, x) e continua.

*(3.7) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa e una mappa quoziente.

*(3.8) E vero che la mappe di proiezione p1 : X × Y → X e sempre una mappa chiusa?

(3.9) Sia p1 : R2 = R× R→ R la proiezione sulla prima coordinata. Sia

A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∨ y = 0},

e f : A→ R la restrizione di p1 a A. La mappa f e aperta/chiusa?

(3.10) Dimostrare che se f : X → Y e una funzione tra insiemi allora la relazione x ∼ y ⇐⇒f(x) = f(y) e una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tral’insieme delle classi di equivalenza e f(X) ⊂ Y .

*(3.11) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Mobius?

(3.12) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi:

(i) Cilindro = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 ∧ z2 ≤ 1}.

(ii) Cono = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 = x2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.

(iii) Toro (≈ S1 × S1 ≈ . . . ).

(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = −1) dibordo identificate ad un punto.

(v) La sfera {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.

(vii) Il piano R2.

*(3.13) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R.

(3.14) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R2:



(i) {(x, y) : xy = 1}.

(ii) (x, y) : x2 + y2 = 1}.

(iii) {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.

(iv) {(x, y) : x3 + y3 = 1} (e in generale, {(x, y) : xn + yn = 1}).

*(3.15) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzionecontinua g : Y → X (inversa destra) tale che f ◦ g e l’identita di Y , allora f e una mappaquoziente. Se g = i e l’inclusione di un sottospazio i : Y = A ⊂ X (dove A ha la topologiaindotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f ◦ i = 1Y , e cioe ∀x ∈A, f(x) = x, cioe la restrizione f |A e uguale all’identita 1A. In questo caso la mappa f si diceretrazione.

*(3.16) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ Q (se la differenzae razionale); Qual e la topologia dello spazio quoziente R/∼? (Dimostrare che e la topologiabanale.)

(3.17) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente e una mappa quoziente.

(3.18) Dimostrare che una funzione quoziente e iniettiva se e solo se e un omeomorfismo.

*(3.19) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Dimostrare che la funzioned : X × Y → R definita da

d ((x1, y1), (x2, y2)) =√dX(x1, x2)2 + dY (y1, y2)2

e una metrica sul prodotto X × Y . Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincidecon la topologia prodotto.

*(3.20) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze {(x, y) ∈ R2 : (x− 1n)2+y2 =

( 1n)2}, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2, e sia Y lo spazio ottenuto identificando

tutti gli interi Z ⊂ R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.



9 Compattezza

Alcune importanti proprieta di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se e chiuso elimitato):

(i) L’immagine di un compatto e compatta.

(ii) L’immagine di un intervallo chiuso e un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio).

(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso.

(iv) Ogni successione di Cauchy converge.

(v) Se A ⊂ R e compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessioneconvergente.

Vedremo che queste proprieta derivano da certe proprieta topologiche della retta reale.Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):

(9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali:

(i) Assiomi di campo:

(a) ∀x, y, z ∈ R, (x+ y) + z = x+ (y + z), (xy)z = x(yz).

(b) ∀x, y ∈ R, x+ y = y + x, xy = yx.

(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx+ 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x 6= 0 =⇒ 1x = x.

(d) ∀x ∈ R,∃ unico y ∈ R : x+ y = 0. ∀x ∈ R, x 6= 0,∃ unico y ∈ R : xy = 1.

(e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.

(ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che

(a) x > y =⇒ x+ z > y + z.

(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.

(iii) Proprieta dell’ordinamento (continuo lineare):

(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprieta dell’estremosuperiore (cioe ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo supe-riore).

(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.

(9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X,x 6= y, esistono due intorni Ux e Uy di x e y rispettivamente tali che

Ux ∩ Uy = ∅.

(9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile e di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)).

Abbiamo gia accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). De-finiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici.



(9.4) Definizione. Si dice che una successione {xn} in X converge ad un punto x ∈ X seper ogni intorno Ux di x esiste un intero n (che dipende da Ux) tale che

j ≥ n =⇒ xj ∈ Ux.

In tal caso si scrive

limnxn = x

e si dice che xn converge a x.

(9.5) Se xnk e una sottosuccessione di una successione convergente xn (con limite limn xn =x), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite limk xnk = x.

Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6). q.e.d.

(9.6) (Unicita del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {xn} una successione in X. Selimn xn = x e limn xn = y, allora x = y.

Dimostrazione. Esercizio (4.7). q.e.d.

(9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto{Ui}i di X (cioe una famiglia di aperti {Ui}i∈J tale che X = ∪i∈JUi) ha un sottoricoprimentofinito, cioe esiste un sottoinsieme finito di indici J0 ⊂ J tale che

X = ∪i∈J0Ui

(9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (conla topologia metrica) e compatto.

(9.9) Nota. Se B e una base di intorni per la topologia diX, eX e compatto, allora, in partico-lare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimentofinito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito,allora X e compatto (cioe ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito,non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {Ui} e un generico ricopri-mento di X, allora (visto che ogni Ui e aperto) Ui = ∪jBi,j dove i Bi,j sono una famiglia diintorni della base B (ogni aperto e unione di intorni aperti della base B). Ma allora

X = ∪iUi = ∪i ∪j Bi,j =⋃i,j

Bi,j,

e quindi {Bi,j}i,j e un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenzadi un sottoricoprimento finito

X = Bi1,j1 ∪Bi2,j2 ∪ · · · ∪BiN ,jN .

Dal momento che Ui = ∪jBi,j, per ogni i, j si ha Bi,j ⊂ Ui, e quindi

X = Ui1 ∪ Ui2 ∪ · · · ∪ UiN ,

cioe {Ui}i ammette sottoricoprimento finito.



(9.10) Se X e compatto e C ⊂ X e un sottoinsieme chiuso, allora C e compatto (con latopologia indotta).

Dimostrazione. Se {Ui}i∈J e un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso dinotazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C ∩ Ui}i∈J ,dove Ui sono aperti di X. Dato che C e chiuso X r C e aperto, e quindi

{X r C} ∪ {Ui}i∈J

e un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪iUi), e quindi esiste un sottoricoprimentofinito, che sara della forma

{X r C} ∪ {Ui}i∈J0

oppure {Ui}i∈J0 . In entrambi i casi, risulta

C ⊂⋃i∈J0

Ui,

e quindi la tesi. q.e.d.

(9.11) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff e chiuso.

Dimostrazione. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamoche C e chiuso. Sia x ∈ X r C. Per ogni c ∈ C, dato che X e di Hausdorff, esistono dueintorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩ Vc = ∅, c ∈ Uc, x ∈ Vc. Ora, {Uc}c∈C e un ricoprimentodi C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioe

C ⊂ Uc1 ∪ Uc2 ∪ · · · ∪ UcN .

L’intersezione di un numero finito di aperti e aperto, quindi

V = Vc1 ∩ Vc2 ∩ · · · ∩ VcN

e un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N , l’intersezione Vci ∩ Uci = ∅,

V ∩ C = ∅,

cioe V ⊂ X r C e quindi X r C e aperto per l’arbitrarieta di x, cioe C e chiuso. q.e.d.

(9.12) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua e compatta.

Dimostrazione. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrareche f(X) e compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto {Ui}i di f(X)in Y induce un ricoprimento aperto

{f−1(Ui)}i

di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X e compatto. La tesi segue dalfatto che per ogni i

f(f−1(Ui)) ⊂ Ui.

q.e.d.



(9.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X e compatto se esolo se Y e compatto.

Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X e compatto, allora f(X) = Y ecompatto. Viceversa, se Y e compatto, allora X = f−1(Y ) e compatto dato che f−1 e continua.

q.e.d.

(9.14) Teorema. Una funzione f : X → Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hau-sdorff e sempre chiusa, e dunque una mappa quoziente.

Dimostrazione. Se C ⊂ X e un chiuso di X, allora per (9.10) C e compatto. Ma per (9.12)f(C) e compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff e chiuso per (9.11), quindif(C) e chiuso. Una funzione continua, suriettiva e chiusa e una mappa quoziente (vedi esercizio(3.7)). q.e.d.

(9.15) Teorema (Thychonoff). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora ilprodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto) e compatto.



Esercizi: foglio 4

*(4.1) Sia A ⊂ R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m ∈ R e un maggiorante se∀a ∈ A, a ≤ m (per definizione, un insieme limitato superiormente e un insieme con almenoun maggiorante). L’insieme di tutti i maggioranti di A e chiuso? E limitato inferiormente(nota: l’estremo superiore supA e il minimo dell’insieme dei maggioranti)?

*(4.2) Dimostrare che se A ⊂ R e un sottoinsieme di R (con la metrica euclidea), allora supAe inf A appartengono alla chiusura A.

(4.3) Sia C ⊂ [a, b] ⊂ R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia indotta su[a, b] da R). Dimostrare che C e chiuso in R. Dimostrare che la stessa proprieta e falsa per gliaperti: trovare un sottoinsieme A ⊂ [a, b] ⊂ R aperto nella topologia di [a, b] ma non in quelladi R.

(4.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile e di Hausdorff.

(4.5) Sia A ⊂ X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x ∈ X e un puntodi accumulazione di A se e solo se

x ∈ Ar {x}.

(4.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge.

(4.7) Dimostrare l’unicita del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se X e uno spaziodi Hausdorff e {xn} una successione in X, allora limn xn = x e limn xn = y implica x = y.

*(4.8) Diciamo che uno spazio topologico X ha la f.i.p. (finite intersection property) se ognifamiglia di chiusi {Ci}i∈J di X con la proprieta

∀J0 ⊂ J, |J0| <∞ =⇒⋂i∈J0

Ci 6= ∅

(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi e non vuota) ha anche la proprita⋂i∈J

Ci 6= ∅.

Dimostrare che X e compatto se e solo se ha la f.i.p. (Suggerimento: XrCi e aperto, e quindi).

*(4.9) Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di R e ridondante (si puo dedurredai primi 7).


Geometria e Topologia I 6 aprile 2005 31

10 Compattezza in spazi metrici ed euclidei

(10.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Le seguenti proposi-zioni sono equivalenti:

(i) C e compatto ( Heine-Borel).

(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C ( Bolzano-Weierstrass).

(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C e com-patto per successioni).

Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che (i) =⇒ (ii), cioe che ¬(ii) =⇒ ¬(i). See vero 6= (ii), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun punto diaccumulazione in C (cioe nessun punto di C e di accumulazione per A, e quindi in particolarenessun punto di A e di accumulazione per A). Questo significa che ogni a ∈ A non e diaccumulazione, e quindi per ogni a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ A noncontiene altri punti oltre ad a, cioe

Ua ∩ A = {a} (10.2)

Si consideri ora il ricoprimento aperto di A:

A ⊂⋃a∈A

Ua.

Per la (10.2), il ricoprimento {Ua} di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che seA e infinito anche il ricoprimento e infinito, risulta che A non e compatto. Per mostrare cheC non e compatto, basta osservare che A e chiuso in C (dal momento che nessun punto di Ce di accumulazione per A, la chiusura di A in C e uguale a A): se C fosse compatto anche Adovrebbe essere compatto, per (9.10). Quindi C non e compatto.

Ora mostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia {xi}i∈J una successione di punti di C e A ⊂ Cl’insieme dei punti di {xi}i∈J . Se A e un insieme finito, allora c’e (in modo banale) unasottosuccessione {xi}i∈J0 con J0 ⊂ J che converge in C: basta prendere una successionecostante. Altrimenti, A e un insieme infinito, e dunque per (ii) esiste un punto x ∈ C che edi accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni ε > 0 l’intersezione

Bε(x) ∩ (Ar {x}) 6= ∅.

Cioe, per ogni ε > 0 esiste y ∈ A, y 6= x per cui

y ∈ Bε(x)

(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X e uno spazio metrico,segue che per ogni ε > 0 Bε(x)∩A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (5.2)). Ora, definiamola successione {nk} per induzione: si scelga y ∈ B1(x) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y.

Supponiamo di aver definito nk. Definiamo εk+1 =1

k + 1, ed allora esistono infinite scelte per

y ∈ Bεk+1(x) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazione

xn ∈ Bεk+1(x).

D.L. Ferrario 6 aprile 2005 31

32 6 aprile 2005 Geometria e Topologia I

Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk, che chiamiamo nk+1. E facile vedere che lasottosuccessione {xnk} converge a x ∈ C.

Infine mostriamo che (iii) =⇒ (i). Questa e la parte piu difficile della dimostrazione.Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {Ui} di C costituito esclusivamente daintorni circolari Ui = Bri(ci) e mostriamo che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intornoBδ(x)e contenuto in qualche Ui (cioe, per ogni x ∈ C esiste Ui = Bri(ci) tale che Bδ(x) ⊂ Bri(ci)).Se cio non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste x = x(δ) ∈ C tale che perogni i Bδ(x) 6⊂ Bi. Consideriamo la successione δn = 1

n. Allora, per ogni n ≥ 1 si puo definire

un elemento xn ∈ C per cui

∀i : Bδn(xn) 6⊂ Ui. (10.3)

Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) e vera, e quindi la successione {xn} ammette unasottosuccessione {xnk} che converge ad un certo y ∈ C. Dal momento che C e ricoperto dagliaperti Ui, esiste un aperto Uiy del ricoprimento che contiene y, cioe tale che

limkxnk = y ∈ Uiy .

Ma per ipotesi Uiy e aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br(y) ⊂ Uiy , e se k e grandeabbastanza si ha che xnk ∈ Br/2(y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi per ladisuguaglianza triangolare che

Br/2(xnk) ⊂ Br(y) ⊂ Uiy .

Dato che per k abbastanza grande δnk <r2, si puo trovare un k per cui

Bδnk(xnk) ⊂ Br(y) ⊂ Uiy .

Ma questo contraddice la definizione degli {xn} (equazione (10.3)), per cui l’ipotesi e falsa.Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ(x) e contenuto inqualche Ui del ricoprimento aperto.

Ora, mostriamo che per ogni ε > 0 l’insieme C puo essere ricoperto da un numero finito diintorni circolari di raggio ε. Se cio non fosse vero, per un certo ε > 0, si scelga x1 ∈ C; dato cheBε(x1) non puo ricoprire C (per ipotesi), esiste x2 ∈ C tale che x2 6∈ Bε(x1). Analogamente,si scelga x3 ∈ C r (Bε(x1) ∪Bε(x2)), e per induzione

xn+1 ∈ C r

(n⋃i=1

Bε(xi)

).

La successione (di infiniti punti distinti) esiste perche⋃ni=1 Bε(xi) non puo mai coprire C.

Inoltre, se h 6= k si ha

d(xh, xk) ≥ ε,

e quindi la successione {xi}i non puo avere sottosuccessioni convergenti. Ma dato che stiamoassumendo (iii) vera, ogni successione in C deve avere almeno una sottosuccessione conver-gente, e questa proprita e contraddetta dall’esistenza della successione {xi}. Quindi l’ipotesiera falsa, e per ogni ε > 0 l’insieme C e ricoperto da un numero finito di intorni circolari diraggio ε.

32 6 aprile 2005 D.L. Ferrario


Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari Bε(cj) di raggio ε e {Ui} ilricoprimento di C di intorni circolari definito sopra, con ε < δ. Dato che ε < δ, ogni per ogniintorno Bε(cj) (nell’insieme finito di intorni che ricopre C) esiste un intorno Ui = Ui(j) taleche Bε(cj) ⊂ Ui(j). L’insieme finito di intorni {Ui(j)}j ricopre C, dato che Bε(cj) ricopre C, ede quindi un sottoricoprimento finito di {Ui}. Per concludere la dimostrazione, bisogna trovaresottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici, e non solo per ricoprimenti di intornidella base di intorni circolari. Ma questo segue da (9.9). q.e.d.

(10.4) Esempio. L’intervallo [0, 1] di Q non e compatto. Per (10.1), basta trovare unasuccessione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale.

(10.5) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C e compatto, allora C echiuso e limitato.

Dimostrazione. Ogni spazio metrico e di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni compatto diuno spazio di Hausdorff e chiuso (vedi (9.11)), per cui se C e compatto di X allora C e chiuso.Dobbiamo quindi mostrare che C e limitato. Sia x0 un punto di X e Bn(x0) la successionecrescente di intorni circolari di raggio n ∈ N. Dato che {Bn(x0)}n e un ricoprimento aperto diC, deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioe deve esistere n0 ∈ N per cui C ⊂ Bn0(x0),cioe C e limitato. q.e.d.

(10.6) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R e compatto.

Prima dimostrazione. Sia {Ui}i∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo

F = {t ∈ I : [0, t] e coperto da una famiglia finita di intervalli di {Ui}i∈J .

Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non e vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F . Si considerim = supF (l’estremo superiore di F , che esiste per gli assiomi (9.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ Fe t > m =⇒ t 6∈ F . Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato che m ∈ [0, 1] e {Ui} ricopre [0, 1],esiste im ∈ J per cui m ∈ Uim . Ma Uim e aperto, e dunque esiste un intorno circolare di raggioε tale che Bε(m) ⊂ Uim . Visto che m− ε ∈ F , l’intervallo [0,m− ε] e ricoperto da un numerofinito di aperti Ui, che uniti ad Uim costituiscono un numero finito di aperti che copre [0,m],e dunque m ∈ F , cioe

F = [0,m].

Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0,m] sarebbe anche ricoprimento finito di[0,m+ ε] per un certo ε abbastanza piccolo, per cui deve essere m = 1, cioe F = [0, 1] (in altreparole, abbiamo trovato il ricoprimento finito di [0, 1]). q.e.d.

Seconda dimostrazione. Sia {Ui}i∈J un ricoprimento aperto di I0 = [0, 1]. Supponiamo perassurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I0 nelle due meta di lunghezza1

2:

[0, 1] = [0,1

2] ∪ [

1

2, 1].

Se entrambe le meta fossero ricoperte da un numero finito di Ui, cadremmo in contraddizione,per cui almeno una delle due non lo e, e la chiamiamo I1. Dividendo I1 in due meta, possiamodi nuovo applicare lo stesso argomento per definire I2, e cosı via una successione In di intervalli



chiusi non ricopribili da un numero finito di aperti Ui, di lunghezza 2−n, e con la proprietaIn ⊂ In−1 per ogni n ≥ 1.

I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . .

Ora, se definiamo

I∞ =∞⋂i=0

In,

osserviamo che I∞ non puo avere piu di un punto (infatti, x, y ∈ I∞ =⇒ ∀n ≥ 0, x, y ∈In =⇒ ∀n ≥ 0, |x − y| ≤ 2−n, che implica |x − y| = 0). Come conseguenza dell’esistenzadell’estremo superiore in R, si puo mostrare (vedi esercizio (5.3)) che I∞ non e vuoto, e che

I∞ = {inf(max In) = sup(min In)}.Sia p ∈ I∞. Dato che p ∈ I, esiste ip ∈ J per cui p ∈ Uip , e quindi esiste un ε > 0 tale che

Bε(p) ⊂ Uip .

Ma se n e abbastanza grande, In ⊂ Bε(p), e dunque esiste un n per cui

In ⊂ Bε(p) ⊂ Uip :

cio contraddice l’ipotesi che ogni In non si puo coprire con un insieme finito di Ui (un solo Uipe sufficiente!). q.e.d.

(10.7) Corollario. Per ogni a < b ∈ R, l’intervallo [a, b] e compatto.

Dimostrazione. Dato che l’intervallo [a, b] e omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue immediata-mente da (10.6). q.e.d.

(10.8) Teorema (Heine-Borel II). Se X = Rn con la metrica euclidea, allora C e compattose e solo se chiuso e limitato.

Dimostrazione. La proposizione (10.5) e la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ Rn e limitato,allora e contenuto nel parallelepipedo del tipo

C ⊂ [a, b]n ⊂ Rn,che e compatto per il corollario (10.7) unito al teorema (9.15). Quindi, se C e chiuso in X,e chiuso anche in [a, b]n e quindi e un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto, e quindi ecompatto per la proposizione (9.10). q.e.d.

(10.9) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato in Rn ha al-meno un punto di accumulazione.

Dimostrazione. Un insieme infinito e limitato in Rn e anche, come sopra, un sottoinsiemeinfinito di del compatto [a, b]n per qualche a, b. Per (10.1), (ii), esiste quindi un punto diaccumulazione. q.e.d.

(10.10) Teorema. Una funzione continua f : X → R definita su un dominio compatto X hamassimo e minimo.

Dimostrazione. Dato cheX e compatto, f(X) e compatto e quindi chiuso e limitato in R. Datoche e limitato, sia l’estremo superiore M = sup(f(X)) che l’estremo inferiore m = inf(f(X))esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla chiusura f(X) (vedi esercizio (4.2)), checoincide con f(X) dato che f(X) e chiuso, quindi m ∈ f(X), M ∈ f(X), e quindi sia m cheM sono assunti in X, cioe m = minx∈X f(x), M = maxx∈X f(x). q.e.d.



Esercizi: foglio 5

*(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall’insieme vuoto ∅ e dagli tutti i sot-toinsiemi di N con complementare finito. Sia X uno spazio topologico e {xn} una successionein X (vista come una funzione f : N→ X, definita da ∀n ∈ N : f(n) := xn).

(i) Dimostrare che τ e una topologia per N.

(ii) Dimostrare che se {xn} e una successione convergente, allora la corrispondente funzionef : N → X e continua all’infinito, cioe la controimmagine di ogni intorno del limitex = limn xn ∈ X e un aperto di N (nella topologia dei complementari finiti).

(iii) E vero che f e continua?

(5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spaziometrico X ha la seguente proprieta: ogni intorno di a in X interseca A in infiniti punti.

*(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi In =[an, bn] decrescenti In ⊃ In+1, per n → ∞. Si dimostri che se X ha la proprieta dell’estremosuperiore (cioe ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore), allora⋂

n

In 6= ∅.

(5.4) Dimostrare che il cilindro {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 ∧ z2 ≤ 1} con il bordo su z = 1identificato ad un punto e omeomorfo al cono {(x, y, z) ∈ R3 : z2 = x2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.

(5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (8.5), e omeomorfo a S1 × S1 (doveS1 e la circonferenza di raggio 1).

(5.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (8.6) e omeomorfo ad una sfera di dimensione 2.

*(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (8.7), e omeomorfo alquoziente S2/∼, dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).

(5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Mobius si ottiene una bottigliadi Klein (che cos’e una bottiglia di Klein?).

(5.9) Quali dei seguenti spazi e compatto?

(i) Q.

(ii) La sfera S2.

(iii) La sfera S2 meno un numero finito di punti.

(iv) La sfera S2 meno un disco chiuso.

(v) La striscia di Mobius.

(5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff e di Hausdorff.



11 Spazi metrici completi

(11.1) Definizione. Una successione {xn}n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se perogni ε > 0 esiste un intero N = N(ε) per cui

n,m > N =⇒ d(xn, xm) < ε.

(11.2) Una successione convergente in uno spazio metrico e di Cauchy.

Dimostrazione. Se limn xn = x, allora per ogni ε > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒d(x, xn) < ε. Quindi se n,m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) < 2ε,

e quindi la successione e di Cauchy. q.e.d.

(11.3) Ogni successione di Cauchy e limitata.

Dimostrazione. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m,n ≥ N =⇒ d(xn, xm) < 1. Maallora in particolare per ogni n ≥ N d(xn, xN) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1

d(xn, x1) ≤M = max{d(x1, x2), d(x1, x3), . . . , d(x1, xN)}+ 1,

e dunque {xn} ⊂ BM(x1) e limitata. q.e.d.

(11.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo!spazio metrico se ogni successionedi Cauchy in X converge in X.

(11.5) Uno spazio metrico X e completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammetteuna sottosuccessione convergente.

Dimostrazione. E ovvio che se e completo allora ognu successione di Cauchy converge, e dun-que basta prendere la successione stessa {xn}. Supponiamo invece che ogni successione diCauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia {xn} una successione di Cauchy e{xnk} la sottosuccessione convergente a x ∈ X. Per ogni ε > 0 esiste N tale che

m,n > N =⇒ d(xn, xm) < ε/2,

ed un K tale che k > K =⇒ nk > N e

d(xnk , x) < ε/2.

Ma allora se n > N si ha per ogni k > K

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk , x) < ε,

cioe {xn} converge a x. q.e.d.

(11.6) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Allora X × Y e uno spaziometrico con la metrica prodotto definita da

d ((x1, y1), (x2, y2)) =√dX(x1, x2)2 + dY (y1, y2)2




(11.7) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto e unospazio metrico completo.


(11.8) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo e completo se e solo se e chiusoin X.


(11.9) La retta reale R e uno spazio metrico completo. Per ogni n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn

e completo.

Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che R e completo. Se {xn} e una successione diCauchy, allora per (11.3) e una successione limitata che per (10.9) ha una sottosuccessioneconvergente ad un limite in R (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite. . . ). Maper (11.5) allora {xn} converge in R, e dunque R e completo. La seconda parte dell’enunciatosegue da (11.7). q.e.d.

(11.10) Nota. Il campo Q non e completo: basta trovare successioni convergenti a numeriirrazionali.



Esercizi: foglio 6

*(6.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metricaprodotto e uno spazio metrico completo.

*(6.2) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo e completo se e solo se e chiusoin X.

*(6.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti (a, b), con a, b ∈ Q,a < b (generata dalla metrica d(x, y) = |x− y|, notiamo che e una metrica a valori razionali).Dimostrare che se {xn} e {yn} sono due successioni di Cauchy in Q, allora la somma {xn+yn}e il prodotto {xnyn} sono successioni di Cauchy in Q. (Suggerimento: per la moltiplicazioneusare il fatto che ogni successione di Cauchy e limitata (11.3 ))

*(6.4) Consideriamo l’insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q. Dimostrare che R eun anello commutativo con unita, cioe che valgono i seguenti assiomi:

(i) ∀x, y, z ∈ R, (x+ y) + z = x+ (y + z), (xy)z = x(yz).

(ii) ∀x, y ∈ R, x+ y = y + x, xy = yx.

(iii) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx+ 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x 6= 0 =⇒ 1x = x.

(iv) ∀x ∈ R,∃ unico y ∈ R : x+ y = 0.

(v) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.

*(6.5) Sia R come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di Cauchy, e N ⊂ R ilsottoinsieme definito da

N = {{xn} ∈ R : limnxn = 0 ∈ Q}.

Mostrare che N e un ideale in R, cioe che N e un sottogruppo additivo e se {xn} e unasuccessione di Cauchy e {zn} una successione di Cauchy convergente a zero allora la successione{znxn} converge a zero. Dedurre che il quoziente (algebrico) R := R/N e un anello (cioel’insieme di classi di equivalenza di successioni di Cauchy, dove {xn} ≡ {yn} ⇐⇒ limn(xn −yn) = 0).

*(6.6) Dimostrare che R, definito come quoziente nell’esercizio precedente, e un campo, checontiene il campo dei razionali Q come sottocampo. (Suggerimento: basta far vedere che se{xn} 6∈ N , allora esiste ε > 0 per cui se n e abbastanza grande xn > ε (oppure xn < −ε), edunque. . . )

*(6.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q puo essere estesa a R ponendo x < y ⇐⇒y − x > 0 (e dunque e sufficiente descrivere l’insieme dei numeri reali positivi, cioe le classidi equivalenza di successioni di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioe che R e uncampo ordinato.

*(6.8) Dimostrare che R (definito sopra) e completo (cioe che ogni successione di Cauchy in Rconverge). (Suggerimento: una successione in R e una successione di classi di equivalenza disuccessioni: possiamo scrivere la successione {xn} come {[an,k]}, dove xn e uguale alla classedi equivalenza [an,k] della successione di Cauchy (in k) {an,k}k)



*(6.9) Dimostrare che R ha la proprieta dell’estremo superiore (cioe che ogni sottoinsieme limi-tato superiormente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo“bisezione di intervalli” per associare ad un insieme limitato superiormente una successionedecrescente di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi – razionali –di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (10.5 ))

*(6.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento degli esercizi precedentipartendo dalla metrica discreta su Q, cosa si ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Ilquoziente R/N e ancora una estensione del campo dei razionali Q? Quale?



12 Spazi connessi

Il teorema del valore intermedio si puo esprimere in termini di connessione:

(12.1) Definizione. Uno spazio topologico X e detto connesso se gli unici sottoinsiemi di Xsimultaneamente aperti e chiusi7 sono ∅ e X.

Quando si considera un sottospazio Y ⊂ X, allora Y e connesso se e connesso nellatopologia indotta da X. Osserviamo che se A ⊂ X e un sottoinsieme sia chiuso che aperto,anche il suo complementare X rA e sia chiuso che aperto. Quindi X = A ⊂ (X rA), cioe Xe unione disgiunta di due aperti non vuoti.

(12.2) Teorema. Uno spazio topologico X e connesso se e solo se X non e unione di dueaperti non vuoti e disgiunti X = A1 ∪A2. (Equivalentemente: uno spazio topologico X non econnesso se e solo se X e unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A1 ∪ A2).

(12.3) Esempio. Sia S0 = {−1,+1} la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell’equazione x2 = 1).Entrambi i punti sono chiusi in R, quindi S0 non e connesso.

(12.4) Definizione. Un intervallo in R (piu in generale: in un insieme ordinato) e un insiemeI ⊂ R contentente piu di un punto, tale che x, y ∈ I, s ∈ R, x < s < y =⇒ s ∈ I.

Dato che R ha la proprieta dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore, gli intervallisono tutti gli insiemi del tipo (−∞, b],(−∞, b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a,+∞), (a,+∞), cona < b. Mostreremo che tutti gli intervalli sono connessi. Cominciamo dall’intervallo compatto[a, b].

(12.5) Teorema. Ogni intervallo [a, b] ⊂ R e connesso.

Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l’intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiuntinon vuoti [a, b] = A1 ∪ A2 (dove A1, A2 6= ∅, A1 ∩ A2 = ∅, e quindi A1 e A2 sono chiusi nellatopologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A1 e A2 sono anch’essi chiusi e non vuoti in R(nota: non sono necessariamente aperti! Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superioree inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell’insieme stesso (vedi esercizio(4.2)), risulta supAi ∈ Ai, inf Ai ∈ Ai per i = 1, 2. Consideriamo per ogni y ∈ [a, b] l’insiemechiuso

By = {x ∈ A1 : x ≤ y} = [a, y] ∩ A1 ⊂ A1.

L’intersezione

B =⋂y∈A2

By = {x ∈ A1 : ∀y ∈ A2, x ≤ y}.

e dunque un chiuso contenuto in A1 (che consiste di tutti i minoranti di A2 in A1). Ora, a menodi cambiare gli indici, possiamo supporre che a ∈ A1 (e quindi a 6∈ A2, poiche A1 ∩A2 = ∅), equindi a ∈ B. L’estremo superiore s1 = supB (che esiste perche B 6= ∅) appertiene al chiusoB (e quindi e un minorante di A2), e dunque appartiene a A1 (che contiene B). D’altra parte,consideriamo l’estremo inferiore s2 di A2: si ha che s2 ≤ t per ogni t ∈ A2, e

t ∈ [a, b] ∧ t > s2 =⇒ ∃y ∈ A2 : t > y,

7In inglese: clopen.



(cioe non esistono minoranti piu grandi di s2, s2 e il massimo dei minoranti). Dato che perdefinizione di s1 (estremo superiore di B)

t ∈ [a, b] ∧ t > s1 =⇒ t 6∈ B,

si ha, equivalentemente,

t ∈ [a, b] ∧ t > s1 =⇒ ¬ (∀y ∈ A2, t ≤ y) .

Ma allora s1 = s2, e dunque s = s1 = s2 ∈ A1 ∩ A2 = ∅, che e assurdo. q.e.d.

(12.6) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (12.5), si puo dimostrare che A ⊂ Rnon e connesso se e solo se esistono x, y ∈ A, s 6∈ A tali che x < s < y (cioe A e connesso see solo se x, y ∈ A, x < s < y =⇒ s ∈ A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A1,A2, B, s1 e s2 come sopra (s1 = supB e s2 = inf A2), e deve risultare s1 < s2. Ma allora esistes 6∈ A tale che s1 < s < s2 – basta prendere s = 1

2(s1 + s2). Questo fa seguire dall’ultimo

assioma di (9.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y ∈ A e s 6∈ A tali che x < s < y,allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A:

A1 = {x ∈ A : x ≤ s} = {x ∈ A : x < s}A2 = {x ∈ A : x ≥ s} = {x ∈ A : x > s}

la cui intersezione e vuota e la cui unione e A.

(12.7) Teorema. Se X e connesso e f : X → Y e una funzione continua, allora f(X) ⊂ Y econnesso (con la topologia indotta da Y – si dice che l’immagine di un connesso e connessa).

Dimostrazione. Se f(X) fosse non connesso, esisterebbero A1 ⊂ f(X) e A2 ⊂ f(X) apertidisgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f(X) = A1 ∪ A2. Le controimmaginif−1A1 e f−1A2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali che X = f−1A1 ∪ f−1A2, edunque X non sarebbe connesso. q.e.d.

(12.8) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X e connesso se esolo se Y e connesso.

Dimostrazione. Come nella dimostrazione del corollario (9.13) q.e.d.

(12.9) Siano B ⊂ X e {Yw}w∈W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che∀w ∈ W,B ∩ Yw 6= ∅. Allora l’unione Y = B ∪

⋃w∈W Yw e connesso.

Dimostrazione. Supponiamo che A1 e A2 siano aperti disgiunti tali che Y = A1∪A2. Per ogniw ∈ W , A1 ∩ Yw e A2 ∩ Yw sono aperti disgiunti in Yw, e quindi non possono essere entrambinon vuoti, visto che Yw e connesso: cioe, Yw ⊂ A1 oppure Yw ⊂ A2. Lo stesso per A1 ∩ B eA2 ∩ B: supponiamo senza perdere in generalita che B ⊂ A1. Ma allora, poiche per ipotesiB ∩ Yw 6= ∅, deve anche essere ∀w ∈ W,Yw ⊂ A1, e cioe Y ⊂ A1. Ma allora A2 = ∅. q.e.d.

(12.10) Corollario. La retta reale R e connessa.

Dimostrazione. Basta osservare che si puo scrivere R = {0}∪⋃R>0[−R,R] e applicare (12.9).

q.e.d.

(12.11) Esempio. Rn e connesso: e unione di rette per l’origine. Rnr {0} e connesso.

Perche? Vedi esercizio (7.2).



(12.12) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X × Ye connesso.

Dimostrazione. Se X × Y e connesso, allora X e Y , in quanto immagini delle proiezionicanoniche p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y , sono connessi (vedi (12.7)). Viceversa, se Xe Y sono connessi, allora si scelga y0 ∈ Y : per ogni x ∈ X i sottospazi {x} × Y ⊂ X × Y eX ×{y0} ⊂ X × Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi entrambi connessi. Maallora

X × Y = X × {y0} ∪⋃x∈X

({x} × Y ),

e quindi possiamo applicare (12.9) con B = X × {y0} e Yx = {x} × Y . q.e.d.

(12.13) Definizione. Uno spazio non connesso e unione di sottospazi sia aperti che chiusi.Definiamo componenti connesse di X i sottospazi connessi massimali (cioe i sottospazi connessidi X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X).

(12.14) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] → R una funzione continua taleche f(a) < 0 e f(b) > 0. Allora esiste x0 ∈ (a, b) tale che f(x0) = 0.

Dimostrazione. L’intervallo [a, b] e connesso per (12.5), e quindi la sua immagine

f([a, b]) = {f(x) : a ≤ x ≤ b}

e connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (12.6)). Cioe, visto che f(a) ∈ f([a, b]) ef(b) ∈ f([a, b]), anche tutti i valori intermedi y ∈ [f(a), f(b)] appartengono all’immaginef([a, b]). In particolare, 0 ∈ [f(a), f(b), e quindi 0 ∈ f([a, b]), cioe esiste x ∈ [a, b] tale chef(x) = 0. q.e.d.

12.1 Spazi connessi per archi

Un arco (oppure un cammino) in uno spazio X e una mappa γ : [0, 1]→ X. Si dice che l’arcoparte da γ(0) e arriva a γ(1).

(12.15) Definizione. Si dice che uno spazio X e connesso per archi se per ogni coppia dipunti x0, x1 ∈ X esiste un arco γ tale che γ(0) = x0 e γ(1) = x1.

(12.16) Se f : X → Y e una funzione suriettiva e X e connesso per archi, allora Y e connessoper archi.

Dimostrazione. Siano y0, y1 due punti di Y . La funzione e suriettiva, e dunque esistono x0

e x1 in X tali che f(x0) = y0 e f(x1) = y1. Dato che X e connesso, esiste un camminoγ : [0, 1] → X tale che γ(0) = x0 e γ(1) = x1. Ma la composizione di funzioni continue econtinua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f : f ◦ γ : [0, 1] → X → Y e uncammino continuo che parte da y0 e arriva a y1. q.e.d.

(12.17) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X e connesso per archi see solo se Y e connesso per archi.

Dimostrazione. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (9.13). q.e.d.

(12.18) Teorema. Uno spazio connesso per archi e connesso.



Dimostrazione. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, edunque che esista A ⊂ X, A 6= ∅, A 6= X sia aperto che chiuso. Dato che A 6= ∅, possiamoscegliere un punto x0 ∈ A. Dato che A 6= X, possiamo scegliere un punto x1 6∈ A. Dato che Xe connesso, esiste un cammino γ : [0, 1]→ X che parte da x0 e arriva a x1. La controimmagineγ−1(A) e un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ e continua e A e chiuso) ed al tempostesso un sottoinsieme aperto (dato che γ e continua e A aperto). Ma [0, 1] e connesso, quindiγ−1A puo solo essere oppure tutto [0, 1]. Ma x0 ∈ γ−1A, e quindi γ−1A 6= ∅, e x1 6∈ γ−1A, equindi γ−1A 6= [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione. q.e.d.

(12.19) Teorema. Se X e un sottoinsieme aperto e connesso di Rn, allora X e connesso perarchi.

Dimostrazione. Vedi esercizio (7.19) q.e.d.



Esercizi: foglio 7

*(7.1) Dimostrare che gli intervalli semiaperti [a, b) sono connessi, cosı come gli intervalli(−∞, a), (−∞, a], (a,∞) e [a,∞) (vedi teorema (12.5) e (12.9)).

(7.2) Dimostrare che Rn r {0} e connesso.

(7.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi.

(7.4) Dimostrare che Q non e connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: Qnon ha la topologia discreta!)

(7.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli(dove diciamo che un sottoinsieme A ⊂ R e un intervallo se contiene almeno due punti distintie se x, y ∈ A, x < s < z =⇒ s ∈ A).

(7.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se X hala topologia discreta? E se ha la topologia banale?

(7.7) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R2 sono connessi:

(i) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.

(ii) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

(iii) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 1}.

*(7.8) Supponiamo che f : X → Z sia una funzione continua (dove Z, con la topologia indottada R, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare che X non e connesso.

*(7.9) Dimostrare che Rn r {0} e connesso per n ≥ 2.

(7.10) Dimostrare che le componenti connesse (definite in (12.13)) di uno spazio topologicosono disgiunte e (effettivamente) spazi connessi.

*(7.11) Sia X l’unione dei sottospazi A e B di R2 definiti da A = {(x, y) ∈ R2 : x = 0∧−1 ≤y ≤ 1} e B = {(x, y) ∈ R2 : y = cos 1

x∧ 0 < x ≤ 1}. Dimostrare che X e connesso.

(Suggerimento: dimostrare prima che A e B sono connessi)

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y



*(7.12) SianoA = {(x, y) : 12≤ x ≤ 1, y = 0} eB = {(x, y) : y = x

n, 0 ≤ x ≤ 1 per qualche n ∈ N}.

Dimostrare che X = A ∪B e connesso.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y

(7.13) Sia Sn = {x ∈ Rn+1 : |x|2 = 1}. Dimostrare che Sn e connesso. (Suggerimento:Rnr {0} e connesso)

*(7.14) Dimostrare che S1 non e omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: S1 meno unpunto . . . )

*(7.15) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.

(7.16) Dimostrare che un insieme X e connesso se e solo se ogni volta che si scrive comeX = A ∪B con A 6= ∅ e B 6= ∅ allora A ∩B 6= ∅ oppure B ∩ A 6= ∅.

(7.17) Dimostrare che se S ⊂ R non e un intervallo (cioe se esistono x, y, z con x < s < y,x, y ∈ S e s 6∈ S ) allora S non e connesso.

(7.18) Dimostrare che se uno spazio ha un numero finito di componenti connesse allora essesono sia aperte che chiuse. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti tutte chiusema mai aperte.

*(7.19) Dimostrare che se X ⊂ Rn e un sottoinsieme aperto e connesso di Rn, allora e ancheconnesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguentemodo: se γ : [0, 1] → X e un cammino che va da x0 ∈ X a x1 ∈ X, e γ′ : [0, 1] → X unsecondo cammino che va da x1 a x2, allora γ′ puo essere riparametrizzato (utilizzando unomeomorfismo [0, 1] ≈ [1, 2]) come γ′′ : [1, 2] → X. Ma allora e possibile definire un nuovocammino α : [0, 2] → X “incollando” i due cammini – e verificare che e ancora continuo.Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x0 ∈ X, lo spazio di tutti ipunti raggiungibili con un cammino che parte da x0 e un aperto (“incollando” al cammino unpezzettino di cammino rettilineo. . . ), ma e anche un chiuso (cioe lo spazio di tutti i punti nonraggiungibili con un cammino che parte da x0 e un aperto) . . . )

(7.20) Sia X uno spazio topologico, e ∼ la seguente relazione in X: x ∼ y se e solo se esistecammino γ : [0, 1] → X che parte da x e arriva a y. Dimostrare che la relazione “∼” e diequivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza?



13 Gruppi topologici

Ricordiamo gli assiomi di gruppo: un gruppo e un insieme G, munito di operazione binaria (disolito indicata con la moltiplicazione) G×G→ G che sia associativa, in cui esista l’elementoneutro 1 ∈ G, e per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g−1 (cioe un elemento g−1 tale chegg−1 = g−1g = 1.

(13.1) Definizione. Un gruppo topologico e sia un gruppo sia uno spazio topologico diHausdorff, con in piu le seguenti proprieta di continuita:

(i) Il prodotto G×G→ G, definito da (g, h) 7→ gh e una funzione continua.

(ii) L’inversione G→ G definita da g 7→ g−1 e una funzione continua.

(13.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispettoalla somma. I gruppi moltiplicativiQr{0}, Rr{0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto.

(13.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, puo essere visto come gruppotopologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma)e un gruppo discreto infinito.

(13.4) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G e un sottogruppo di G allora (con latopologia indotta da G) e un gruppo topologico.

Dimostrazione. Se H ⊂ G e un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappeottenute per restrizione:

m : H ×H ⊂ G→ G, i : H ⊂ G→ H,

e quindi sono continue. Questo dimostra (13.4) (insieme al fatto che un sottospazio di unospazio di Hausdorff e di Hausdorff). q.e.d.

(13.5) Siano dati N spazi topologici X1, X2, X3, . . . XN . Consideriamo il prodotto X = X1×X2×· · ·×XN e le proiezioni sulle componenti p1 : X → X1, p2 : X → X2, . . . , pN : X → XN .Allora una funzione f : Y → X1 × X2 × · · · × XN e continua se e solo se lo sono tutte lecomposizioni pi ◦ f : Y → Xi. (Di solito si scrive, per semplificare, fi = pi ◦ f)

Dimostrazione. Sappiamo per (7.2) che le proiezioni pi sono continue, per cui le composizionipi ◦ f sono continue se f e continua. Viceversa, supponiamo che le composizioni pi ◦ f sianocontinue e dimostriamo che f e continua. Sia A = A1 × A2 × · · · × AN un intorno (nellabase canonica di intorni del prodotto X) aperto in X, e consideriamo la sua controimmaginef−1(A). Essa si puo scrivere come

f−1(A) = {y ∈ Y : f(y) ∈ A}= {y ∈ Y : p1(f(y)) ∈ A1 ∧ p2(f(y)) ∈ A2 ∧ · · · ∧ pN(f(y)) ∈ AN

=N⋂i=1

{y ∈ Y : pi(f(y)) ∈ Ai}

=N⋂i=1

(pi ◦ f)−1Ai

che e intersezione di aperti, e quindi aperto. q.e.d.



(13.6) Lo spazio euclideo Rn e gruppo topologico rispetto alla somma

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Dimostrazione. E una conseguenza del fatto che la somma e una funzione continua (comeanche il prodotto), e del lemma (13.5). q.e.d.

(13.7) Sia GL(n) = GL(n,R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici in-vertibili n × n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munitodella topologia metrica – indotta dalla inclusione GL(n) ⊂ Rn2

. Allora GL(n) e un gruppotopologico.

Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n e isomorfo (come spaziovettoriale, per esempio) a Rn

2, per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo Rn

2lo

spazio delle matrici n× n. L’inclusione GL(n) ⊂ Rn2e indotta dall’inclusione di GL(n) nello

spazio di tutte le matrici n × n. Dal momento che Rn2

e metrico, GL(n) e di Hausdorff.Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continuem : GL(n) × GL(n) → GL(n) e i : GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha latopologia indotta da Rn

2, le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondenti

funzioni m : GL(n) × GL(n) → Rn2

e i : GL(n) → Rn2

, e quindi, per (13.5) se tutte lecomposizioni con le proiezioni pi sono continue (cioe, se ogni componente e continua). Ma ilprodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come

((ai,j), (bi,j)) 7→ (N∑k=1

ai,kbk,j),

cioe e un polinomio nei coefficienti delle matrici (ai,j) e (bi,j). Dal momento che ogni polinomioe funzione continua, la moltiplicazione e continua. Analogamente, il determinante di unamatrice e espressione polinomiale dei suoi coefficienti ed e sempre diverso da zero in GL(n),ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono come

polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i e continua. q.e.d.

(13.8) Il gruppo lineare GL(n,R) non e compatto.

Dimostrazione. Nella dimostrazione di (13.7) abbiamo usato il fatto che la funzione determi-nante det : Rn

2 → R e continua. Per definizione si ha

GL(n,R) = {M : det(M) 6= 0},

cioe GL(n,R) e la controimmagine del sottospazio aperto Rr{0} ⊂ R, ed e quindi un aperto.Per il teorema (10.8) un sottoinsieme di Rn

2e compatto se e solo se chiuso e limitato, e quindi

GL(n,R) non e compatto. q.e.d.

(13.9) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n× n a coeffi-cienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n) condeterminante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti.

Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) e formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n)tali che AAt = AtA = In (dove At indica la trasposta di A e In la matrice identica n × n).Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Rn2

, per (10.8) dobbiamo mostrare che e chiuso e limitato. La



moltiplicazione di matrici e continua, e chiaramente l’operazione di trasposizione induce unomeomorfismo Rn

2 → Rn2

, per cui la funzione

f : Rn2 → R

n2

definita da

A 7→ AAt

si puo scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli puntidi Rn

2sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme {In} ⊂ Rn

2e chiuso. Dunque f−1(In) e un

sottospazio chiuso di Rn2; ma

f−1(In) = {A ∈ Rn2

: f(A) = In}= {A ∈ Rn2

: AAt = In}= O(n)

e dunque O(n) e chiuso. Ora, si indichino con a:,1, a:,2, . . . a:,n i vettori colonna di A ∈ O(n).La condizione AAt = In si puo riscrivere come

a:,i · a:,j =

{1 se i = j

0 se i 6= j

dove v ·w indica il prodotto scalare standard in Rn, e dunque, considerando la prima equazione,si ha per ogni i

a:,i · a:,i == a21,i + a2

2,i + · · ·+ a2n,i = 1,

e quindi ai,j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n, Ne segue che∑i,j

a2i,j ≤ n,

e dunque O(n) e limitato nella metrica euclidea di Rn2.

Non rimane che dimostrare che SO(n) e compatto. Ma, dato che si puo scrivere come lacontroimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n)→ R, esso e unsottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (9.10) che esso e compatto. q.e.d.



14 Gruppi di trasformazioni

(14.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) suX se esiste una funzione φ : G×X → X, denotata da (g, x) 7→ g · x = gx, per cui

(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G e l’elemento neutro).

(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x) = (gh) · x.

L’insieme X si dice anche G-insieme.

(14.2) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:

(i) lo stabilizzatore di x: Gx = {g ∈ G : g · x = x}.

(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g ∈ X}.

(14.3) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x ∼ y ⇐⇒∃g ∈ G : gx = y e una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Leclassi di equivalenza sono le orbite di G in X.

Dimostrazione. Per mostrare che la relazione e di equivalenza, bisogna mostrare che e riflessiva,simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x, per cui e riflessiva. Inoltre, segx = y (cioe x ∼ y) allora g−1(gx) = g−1y, e quindi x = g−1y, cioe y ∼ x. Quindi e simmetrica.Infine, e transitiva: se x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g1 e g2 per cui g1x = y e g2y = z.Quindi (g1g2)x = g2(g1x) = g2y = z, cioe x ∼ z. Ora, e facile vedere che due punti stannonella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita. q.e.d.

(14.4) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo perl’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.

(14.5) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g ∈ G, g 6= 1 ∈ G, la mappaindotta g : X → X (da x 7→ g · x) non e l’identita 1X : X → X.

(14.6) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y ∈ X esisteg ∈ G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X e uno spazio omogeneo.

(14.7) L’azione e transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.

Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g ∈ G per cui g · x = y,cioe ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi e unica. Viceversa, supponiamoesista una sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui {g · x|g ∈ G} = X, e quindi per ogni y ∈ Xesiste g ∈ G tale che g · x = y. q.e.d.

(14.8) Nota. Se G e un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplica-zione a sinistra. L’azione e transitiva e fedele. Se H e un sottogruppo di G, anche H agisce suG per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazioneG/H quindi e consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H inG, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.

(14.9) Definizione. Se G e un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spaziotopologico X se esiste una funzione φ : G ×X → X che induca una azione di G su X (comenella definizione (14.1)) con l’ulteriore proprieta che la funzione

G×X → X

e continua. Allora X si chiama G-spazio.



(14.10) Esempio. E facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo) di traslazioni

(x, y) · (u, v) = (x+ u, y + v).

(14.11) Esempio. I gruppi GL(n,R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Comevisto sopra, si puo vedere facilmente che l’azione e continua, cioe che agiscono come gruppitopologici su Rn.

(14.12) Definizione. Se G e un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lospazio delle orbite X/G e uno spazio topologico con la topologia quoziente.

(14.13) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su Rmediante la somma (g, t) 7→ g+t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo spazio delle orbite e uguale allospazio R/ ∼ dell’esempio (8.1). Mostriamo che e omeomorfo a S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 = 1}.Sia f : R→ R

2 la funzione definita da

f(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).

Si vede subito che induce una funzione f(t) : R → S1 ⊂ R2, e che e continua (le funzioni

trigonometriche sono continue, poi si usa (13.5)). Dal momento che

f(g + t) = (cos(2πt+ 2gπ), sin(2πt+ 2gπ))= (cos(2πt), sin(2πt))= f(t),

la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f : R/Z→ S1. La funzione indottaf e continua: infatti, se U ⊂ S1 e un aperto di S1, la sua controimmagine f−1(U) in R/Z econtinua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsieme

p−1(f−1(U)

)⊂ R

e aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R→ R/Z. Ma

p−1(f−1(U)

)= {t ∈ R : f (p(t)) ∈ U}= {t ∈ R : f(t) ∈ U}= f−1(U),

che e aperto, visto che f e continua.Ora, la funzione indotta f : R/Z → S1 e iniettiva: se f(t1) = f(t2) si ha che cos(2πt1) =

cos(2πt2) e sin(2πt1) = sin(2πt2), e quindi t2 = 2kπ + t1 per un certo k ∈ Z, cioe esiste g ∈ Ztale che g · t1 = t2: i due punti t1 e t2 appartengono alla stessa G-orbita. E facile vedere chef e suriettiva. Osserviamo che l’inclusione [0, 1] ⊂ R e una funzione continua, e quindi lacomposizione [0, 1]→ R→ R/Z e anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la suaimmagine R/Z, per (9.12), e un compatto. Ora, f e una funzione continua e biunivoca da uncompatto ad uno spazio di Hausdorff (S1), e quindi un omeomorfismo per (9.14).

(14.14) Esempio. Sia G = Z2 ⊂ R

2 il reticolo degli interi (h, k) ∈ R2. Allora R2/G eomeomorfo a S1 × S1. Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S1. Per prima cosamostriamo che la funzione

f : R2/Z2 → R/Z× R/Z ≈ S1 × S1



definita da

(x, y) + Z2 7→ (x+ Z, y + Z)

e ben posta. Se (x′, y′)+Z2 = (x, y)+Z2 ∈ R2/Z2, allora per definizione x′−x ∈ Z e y′−y ∈ Z,e quindi x + Z = x′ + Z e y + Z = y′ + Z. E iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x′ + Z, y′ + Z),allora x− x′ ∈ Z e y − y′ ∈ Z, e quindi (x′, y′) + Z2 = (x, y) + Z2 ∈ R2/Z2. Analogamente sipuo mostrare che e suriettiva.

Dimostriamo che e continua: denotiamo con P : R2 → R2/Z2 la proiezione sul quoziente

e con p × p la mappa p × p : R × R → R/Z × R/Z (che e continua). Se U ⊂ R/Z × R/Z eun aperto, allora (p × p)−1(U) e aperto in R × R, e quindi e aperto in R2 (che e identificatocon R × R tramite la mappa f : R2 → R × R che induce f). Ma il sottoinsieme di R2 datoda f−1(p × p)−1(U) coincide con P−1(f−1(U)), che quindi e aperto. Ora, per definizione ditopologia quoziente f−1(U) e aperto se e solo se P−1(U) e aperto in R2, e quindi f−1(U) eaperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorffe un omeomorfismo.

(14.15) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S1. Ogni ele-mento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatorebanale e l’azione e transitiva e fedele. Fissiamo e0 = (1, 0) ∈ S1. L’orbita di e0 e tutto S1, equindi c’e una funzione continua

f : SO(2)→ S1

definita da f(g) = g · e0. L’azione e transitiva, e quindi f e suriettiva. Inoltre lo stabilizzatoree banale, e quindi f e iniettiva. Dato che SO(2) e compatto e S1 di Hausdorff, f e unomeomorfismo tra SO(2) e S1.

(14.16) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S2 (la sfera di dimensione 2, centronell’origine e raggio 1, contenuta in R3). L’azione e ancora transitiva (perche?), fedele, ma ognipunto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?).



Esercizi: foglio 8

(8.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H e definito come l’insiemedi tutti i laterali, cioe di tutti gli insiemi del tipo {gh : h ∈ H} per qualche g (fissato) in G.Equivalentemente, sia ∼H la relazione in G definita da: x ∼H y ⇐⇒ x−1y ∈ H. Dimostrareche la relazione ∼H e di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di Hin G.

(8.2) Dimostrare che GL(n,R) non e limitato.

(8.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ Rn2definita da A 7→ AAt (dove At indica la

trasposta di A) come composizione di funzioni continue.

(8.4) Sia G un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H diH in G e anch’esso un sottogruppo.

(8.5) Dimostrare che Z e un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.

(8.6) E vero che Q e un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?

(8.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema(12.7 ) con la mappa determinante)

*(8.8) Dimostrare che se S ⊂ R e un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologiadiscreta), allora e isomorfo a Z (cioe e un gruppo ciclico infinito).

(8.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n ∈ N. L’azione dasinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione e fedele? E transitiva? Cosa e l’insiemedelle classi di equivalenza?

(8.10) Mostrare che il quoziente R2/Z2 e compatto.

*(8.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y2 ≤ 1} ⊂ R2 tale cheX/G sia omeomorfo al cilindro S1 × [0, 1].

*(8.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y2 ≤ 1} ⊂ R2 tale cheX/G sia omeomorfo al nastro di Mobius.

*(8.13) Si consideri S2 con l’azione antipodale di G = Z2 (gruppo di due elementi) data dag · x = −x se g 6= 1. Che cosa e S2/G? E compatto? E connesso?

(8.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.

(8.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad un’azione di un gruppotopologico G e un sottogruppo chiuso di G.

(8.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agiscesulla circonferenza S1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1} ⊂ R2. Studiare, al variare di θ, la topologiadello spazio quoziente S1/G.

(8.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R2. Mostrare che lacomposizione r1r2 e una rotazione.



*(8.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R.Dimostrare che e un’azione di gruppo topologico. E transitiva? Lo spazio quoziente X/G e diHausdorff?

(8.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R r {0} su R data dalla moltiplicazione g · x = gx.Quali sono le orbite?

(8.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2, con azione data da g · (x, y) = (g + x, g + y)

per ogni g ∈ G e ogni (x, y) ∈ X. Che cosa e lo spazio delle orbite?

(8.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa e lo spazio delleorbite per l’azione di Z ⊂ G = R su X? E compatto? E connesso? E Hausdorff?

(8.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2? Che cosa e(cioe, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.

(8.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrareche lo spazio e “omogeneo”, cioe per ogni coppia di punti c’e un omeomorfismo f : X → X chemanda x in y (cioe un “cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo Re omogeneo? E Rn?

(8.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Piu in generale,se G e un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo, determinare un gruppo che agiscetransitivamente sullo spazio quoziente G/H.

*(8.25) Dimostrare che se G e un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora laproiezione sullo spazio delle orbite X → X/G e una mappa aperta. Se G e finito, e anchechiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X e un aperto, allora p(U) e aperto (chiuso) se e solo seGU = {g · x : g ∈ G, u ∈ U} e aperto (chiuso) in X.)

(8.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g ∈ G la mappax 7→ g · x e un omeomorfismo.


54 5 maggio 2005 Geometria e Topologia I

Esercizi: foglio 9

(9.1) Consideriamo il sottoinsieme Q ⊂ Q dei numeri razionali positivi o nulli: Q = {x ∈Q : x ≥ 0}. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti) e di rivisitare la costruzione dellesezioni di Dedekind in termini di connessione (cosı come la costruzione di Cantor dei numerireali come completamento di Q e fatta in termine di convergenza di successioni di Cauchy).8

Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perche?): esistono quindi due aperti-e-chiusi nonvuoti A1,A2 ⊂ Q tali che A1 ∪ A2 = Q. Definiamo le sezioni di Q come segue: una sezioneα ⊂ Q e un intervallo aperto e limitato di Q contenente lo 0, cioe

(i) 0 ∈ Q;

(ii) p ∈ α =⇒ ∃ε > 0, Bε(p) ⊂ α (α e aperto).

(iii) p ∈ α =⇒ [0, p) ⊂ α (α e un intervallo che contiene lo 0);

(iv) α e limitato (equivalentemente, α 6= Q, dal momento che α e un intervallo che contiene0).

Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprieta:

(i) α non e vuoto e α 6= Q;

(ii) Se p ∈ α e q ∈ Q e q < p allora q ∈ α;

(iii) Se p ∈ α allora p < r per qualche r ∈ α.

(9.2) Sia S l’insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione f : Q r {0} → Sdefinita da f(q) = α = [0, q), per ogni q ∈ Qr {0}. Dimostrare che e iniettiva (non e definitain 0).

*(9.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β ⇐⇒ α ⊂ β ∧ α 6= β e una relazione diordine totale su Q, cioe:

(i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti e vera: α < β, β < α,β = α.

(ii) (proprieta transitiva): se α, β e γ sono in S, e α < β ∧ β < γ, allora α < γ.

*(9.4) Dimostrare che l’insieme delle sezioni S ha la proprieta dell’estremo superiore: ogniinsieme non vuoto e limitato in S ammette estremo superiore. (Suggerimento: se A ⊂ S eun insieme limitato e non vuoto, allora si puo definire l’unione U =

⋃α∈A α – le sezioni sono

sı elementi di S, ma sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi e possibile definirel’unione. . . poi si dimostra che l’unione in effetti e una sezione, e quindi U ∈ S . . . e unmaggiorante di A, ed e poi possibile vedere che e il minimo dei maggioranti. . . )

*(9.5) Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si estendono a S.Definiamo la somma come

α + β = {a+ b : a ∈ α, b ∈ β}8Questa non e la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.

54 5 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 5 maggio 2005 55

e il prodotto come

αβ = {ab : a ∈ α, b ∈ β}.

Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che lafunzione f dell’esercizio (9.2) conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d’ordine:f(p+ q) = f(p) + f(q), f(pq) = f(pq), p < q =⇒ f(p) < f(q).

*(9.6) Dimostrare che se α, β ∈ S, e α < β, allora esiste un unico γ ∈ S tale che β = α + γ.

(9.7) Dimostrare che se α ∈ S, allora esiste un unico β tale che αβ = 1 (dove identifichiamo1 = [0, 1) = f(1).

*(9.8) Ora siano S+ e S− due copie di S, e sia R = S−∪{0}∪S+. Se α ∈ S, allora indicheremocon +α (o anche semplicemente con α) l’elemento corrispondente in S+, e con −α l’elementocorrispondente di S−. Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordinesu R in modo che R risulti un campo ordinato.

*(9.9) Mostrare che la funzione f di (9.2) si estende in modo naturale ad una inclusione dicampi

Q ⊂ R.

(Vale la pena di concludere osservando che R = R. . . ).

D.L. Ferrario 5 maggio 2005 55


15 Spazi affini

Sappiamo come e definita l’azione di un gruppo G su un insieme e l’azione di un gruppotopologico su uno spazio topologico. Ricordiamo anche che cosa e uno spazio vettoriale su uncampo K (per esempio, K = R, K = C).

(15.1) Definizione. Uno spazio vettoriale V e un gruppo abeliano (additivo) su cui il campodegli scalari K “agisce”; l’azione di un campo K su un gruppo abeliano e data in termini diuna legge di composizione (“prodotto per uno scalare”)

(k, v) ∈ K × V 7→ kv ∈ V

con le proprieta seguenti.

(i) Per ogni k ∈ K la funzione indotta v ∈ V 7→ kv ∈ V e un omomorfismo del gruppoadditivo V (cioe e additiva, manda lo zero nello zero, . . . )

(ii) Per ogni k1, k2 ∈ K, v ∈ V :

(a) (k1 + k2)v = k1v + k2v,

(b) (k1k2)v = k1(k2v)

(iii) 1v = v.

(15.2) Esempio. Sia Rn il prodotto diretto di n copie di R. Ha per elementi le n-uple dinumeri reali, ed e un gruppo additivo rispetto alla somma componente-per-componente. Ilprodotto di uno scalare per una n-upla e il modello di prodotto di scalare per vettore piu ingenerale. Infatti, in molti contesti non si distingue il concetto di vettore (riga o colonna) dalconcetto di n-upla.

L’idea di spazio affine e l’applicazione della omogeneita degli spazi vettoriali (vedi defini-zione (14.6)) rispetto al gruppo delle traslazioni: a meno di traslazioni, gli intorni dei puntiRn sono gli stessi. 9 Si puo dire che uno spazio affine e uno spazio che localmente e come uno

spazio vettoriale, e dati due punti c’e ben definita una unica trasformazione (traslazione) chemanda un punto nell’altro (trasporto parallelo). Vedremo poi come da questa idea si deduconoi concetti di parallelismo e incidenza.

(15.3) Definizione. Uno spazio affine X su un campo K e un insieme X (insieme di punti)su cui agisce in modo fedele e transitivo uno spazio vettoriale

−→X su K (considerato solo come

gruppo additivo – insieme delle traslazioni). Gli elementi di X si chiamano punti, gli elementidi−→X si dicono vettori affini o traslazioni , e il campo K viene detto campo dei coefficienti.

9La parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu riconosciuta come disciplinasoltanto dopo il l’avvio del programma di Erlangen di Felix Klein (1849–1925) – cioe il famoso discorso tenutonel 1872 da Klein nell’Universita di Erlangen, in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note altempo (euclidea piana e dello spazio, non-euclidea, proiettiva, affine, . . . ) con una interpretazione in termini digruppi di simmetria – o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono “spazi omogenei” rispetto aduna opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e le rototraslazioni per la geometria euclidea,le trasformazioni lineari per la geometria affine, . . . ) e le proprieta che si studiano sono quelle invarianti rispettoall’azione di tale gruppo (angoli, lunghezze, . . . ). Questo approccio ha avuto una significativa influenza sulmodo in cui la geometria e stata insegnata e divulgata nei successivi (≥ 50) anni.



(15.4) Sia X uno spazio affine e−→X lo spazio vettoriale (su campo K) associato. Allora

esiste (unica) una funzione X × X → −→X , indicata da (A,B) 7→ −→AB (indicato anche come−→AB = B − A), con le seguenti proprita:

(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ −→X , ∃ unico B ∈ X :−→AB = v.

(ii) ∀A,B,C ∈ X,−→AB +

−→BC =

−→AC.

Dimostrazione. L’azione di−→X su X e per definizione transitiva: dunque per ogni scelta di A

e B in X esiste v ∈ −→X tale che v + A = B. Ora, se v, w ∈ −→X sono due vettori di−→X tali che

v + A = B e w + A = B, allora si ha v + A = w + A, cioe il vettore v − w fissa il punto A((v − w) + A = A). Ma se v − w fissa il punto A allora, dal momento che (essendo l’azionetransitiva) ogni punto di X si puo scrivere come z +A per qualche z ∈ −→X , per ogni B ∈ X siha

(v − w) +B = (v − w) + (z + A)= (v − w + z) + A= (z + (v − w)) + A= z + (v − w + A)= z + A= B

e dunque v−w fissa ogni punto di X. Ma l’azione e fedele, e quindi deve essere v = w (cioe perogni A, B in X esiste unico v ∈ −→X per cui B = v + A. Si puo dunque indicare con

−→AB = v.

Ora mostriamo che ∀A,B,C ∈ X,−→AB +

−→BC =

−→AC. Infatti, per definizione risulta

−→AB + A = B−→BC +B = C

e quindi

C =−→BC +B = (

−→BC +

−→AB) + A

che per definizione (e commutativita) si legge come

−→AC =

−→AB +

−→BC.

q.e.d.

(15.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale−→X , insieme con

una funzione X ×X → −→X , indicata da (A,B) 7→ −→AB che soddisfa i due assiomi:


(ii) ∀A,B,C ∈ X,−→AB +

−→BC =

−→AC (assioma di Chasles.10)

Allora X e spazio affine rispetto all’azione

(v, A) ∈ −→X ×X 7→ A+ v,

dove si definisce A+ v l’unico punto B ∈ X tale che−→AB = v (primo assioma).

10Michel Chasles, matematico francese (1793–1880).




(15.6) Esempio.−→X = X = R

n. Allora lo spazio affine si indica con An(R). Analogamente,per K = C, lo spazio affine n-dimensionale si indica con An(C).

(15.7) Definizione. Una retta nello spazio affine X e un sottoinsieme di X che si puo scriverecome

r = {x0 + tv : t ∈ K}

per un certo x0 ∈ X e v ∈ −→X r {0}. 11 Si dice che la retta passa per un punto se il puntoappartiene alla retta.

(15.8) Due rette r = {A + tv : t ∈ K} e s = {B + tw : t ∈ K} coincidono se e solo se ivettori v e w sono linearmente dipendenti e A ∈ s ∧B ∈ r.

Dimostrazione. Supponiamo che r = s. Allora e ovvio che A ∈ s ∧ B ∈ r. Ora, dato cheA ∈ s, esiste tA ∈ K tale che A = B+ tAw; analogamente, esiste tB ∈ K tale che B = A+ tBv.Segue che

B − A = −tAw = tBv,

cioe tAw + tBv = 0. Se tA 6= 0 oppure tB 6= 0, allora abbiamo dimostrato che v e w sonolinearmente dipendenti. Altrimenti, tA = 0 = tB cioe A = B. Ma allora, dato che A+v ∈ r = s, esiste t′ ∈ K tale che A+ v = A+ t′w, e quindi v − t′w = 0 (ancora, v e w sono linearmentedipendenti).

Viceversa, supponiamo che A ∈ s e B ∈ R e che v e w siano linearmente dipendenti. Segueche A = B + tAw per un certo tA ∈ K e che esiste t′ ∈ K, t′ 6= 0, tale che v = t′w; quindi

r = {A+ tv : t ∈ K}= {B + tAw + tv : t ∈ K}= {B + tAw + tt′w : t ∈ K}= {B + (tA + tt′)w : t ∈ K}= {B + tw : t ∈ K}= s

q.e.d.

(15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A ∈ A2(K) e un punto e r una rettache non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca r (la parallela a rpassante per A).

Dimostrazione. Per definizione esistono un punto x0 e un vettore v 6= 0 per cui

r = {x0 + tv : t ∈ K},

e non esiste t ∈ K per cui x0 + tv = A (dato che r non passa per A). La retta

r′ = {A+ tv : t ∈ K}11In altre parole, una retta e l’orbita del punto x0 ∈ X mediante l’azione di un sottogruppo 1-dimensionale

(∼= K) dello spazio di traslazioni −→X



passa certamente per A. Supponiamo che r ∩ r′ 6= ∅. Allora esistono t1, t2 ∈ K tali che

A+ t1v = x0 + t2v ∈ r ∩ r′,

e quindi

A = x0 + (t2 − t1)v =⇒ A ∈ r

che e assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r.Supponiamo di avere due rette s e s′ tali che s ∩ r = ∅ e s′ ∩ r = ∅ e passanti per A.

Allora si possono scrivere con le equazioni s = {A+ tw} e s′ = {A+ tw′}. Per la proposizione(15.8) le due rette coincidono se e solo se w e w′ sono linearmente dipendenti. Analogamentea quanto visto sopra, s∩r = ∅ se e solo se non esistono t1 e t2 ∈ K tali che A+ t1w = x0 + t2v,cioe se e solo se l’equazione vettoriale (nelle incognite t1 e t2)

t1w − t2v = x0 − A

non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x0 − A non appartiene al sottospaziodi K2 generato da w e v. Ora, se v e w sono linearmente indipendenti allora tale sottospaziocoincide con K2, per cui la soluzione c’e. Affinche la soluzione non esista e necessario che v e wsiano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che w e necessariamente multiplo di v. Dato chelo stesso vale per w′, risulta che w e w′ sono linearmente dipendenti e quindi s = s′. q.e.d.



16 Sottospazi affini

(16.1) Definizione. Sia X uno spazio affine e−→X lo spazio vettoriale su campo K associato.

Se P ∈ X e un punto fissato di X e W ⊂ −→X e un sottospazio vettoriale, allora il sottospazio

S = {x ∈ X : x− p ∈ W}

di tutti i punti x per cui x−P ∈ W si dice sottospazio affine passante per P e parallelo a W .Il sottospazio W si dice giacitura di S. La dimensione di S e per definizione la dimensione diW .

(16.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l’azione del sottospazio W , che agiscemediante traslazioni sullo spazio affine. Osserviamo anche che, seguendo la definizione (16.1),le rette sono proprio i sottospazi affini di dimensione 1. Inoltre non e difficile vedere che i puntisono i sottospazi affini di dimensione 0. I sottospazi di dimensione dim(X)− 1 (codimensione1 in X) si dicono iperpiani . I sottospazi di dimensione 2 si dicono piani. Se n = 3, piani eiperpiani coincidono.

(16.3) Proposizione. Se S ⊂ X e un sottospazio affine con giacitura W ⊂ −→X , allora e unospazio affine con spazio vettoriale associato

−→S = W ⊂ −→X

Dimostrazione. Il gruppo additivo−→X agisce in modo fedele e transitivo su X per definizione,

e dunque W ⊂ −→X agisce in modo fedele e transitivo sulla sua orbita, che per definizione eS! q.e.d.

(16.4) Proposizione. Siano P1, P2 ∈ X due punti di uno spazio affine X, W1,W2 ⊂−→X due

sottospazi vettoriali e S1 = P1 +W1, S2 = P2 +W2 i due sottospazi affini passanti per Pi congiacitura Wi (i = 1, 2). Allora S1 = S2 se e solo se W1 = W2, P2 ∈ S1 e P1 ∈ S2. Cioe, unsottospazio affine e identificato da uno qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura.

Dimostrazione. Supponiamo che S1 = S2. Allora e ovvio che P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1. Vogliamodimostrare che W1 = W2. Osserviamo che per definizione W1 = S1−P1 e W2 = S2−P2. Datoche P1 ∈ S1 = S2, per definizione il vettore P1−P2 appartiene a W2. Inoltre P2 = P1+(P2−P1)da cui si trae che

S2 = P2 +W2

= P1 + (P2 − P1) +W2

= P1 +W2

dato che w+W2 = W2 (come insiemi!) per ogni w ∈ W2 (vedi esercizio (10.4)), ed in particolareper P2 − P1. Ora, questo implica che S1 = S2 se e solo se

P1 +W1 = P1 +W2

ma questo accade se e solo se W1 = W2.Viceversa, se P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1 e W1 = W2, allora come sopra si puo scrivere S1 = P1 +W1

e S2 = P2 +W2, e quindi S1 = S2. q.e.d.

Osserviamo che la proposizione (16.4) generalizza la proposizione (15.8): basta considerarei sottospazi 1-dimensionali generati da v e w.



(16.5) Definizione. Consideriamo un insieme di d + 1 punti P0, P1, . . . Pd in uno spazioaffine X. Il piu piccolo sottospazio affine S ⊂ X che contiene tutti i punti P0, . . . , Pd si dicesottospazio affine generato dai d+ 1 punti P0, . . . , Pd.

(16.6) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (16.5) e ben posta, dal momento chepotrebbe non esistere un sottospazio con la proprieta cercata. Vediamo come.

(16.7) Proposizione. Il sottospazio affine di X generato da d + 1 punti P0, . . . , Pd ∈ X eil sottospazio passante per P0 e con giacitura

〈−−→P0P1,−−→P0P2, . . .

−−→P0Pd〉 ⊂

−→X ,

e non dipende dall’ordine con cui i punti P0, . . . , Pd sono stati scelti.

Dimostrazione. Sia S il sottospazio affine di X passante per P0 e con giacitura

W = 〈−−→P0P1,−−→P0P2, . . .

−−→P0Pd〉 ⊂

−→X .

Si ha ovviamente P0 ∈ S e, inoltre, per ogni i Pi ∈ S dato che per ogni i = 1, . . . d si haPi = P0 + (Pi − P0) ∈ P0 + W = S (per definizione Pi − P0 ∈ W ). Quindi S contiene tutti ipunti P0, . . . , Pd.

Supponiamo che S ′ sia un altro sottospazio affine contenente i punti P0, . . . , Pd. Inparticolare, P0 ∈ S ′, per cui esiste W ′ ⊂ −→X tale che

S ′ = P0 +W ′.

Dal momento che per ogni i = 1, . . . , d Pi ∈ S ′, e quindi Pi − P0 ∈ W ′,

W = 〈−−→P0P1,−−→P0P2, . . .

−−→P0Pd〉 ⊂ W ′.

Cioe S e contenuti in ogni sottospazio affine contenente i d+ 1 punti. Sia ora S ′ il sottospazioaffine costruito a partire da una permutazione dei d + 1 punti esattamente come S. Alloral’argomento di sopra si applica sia a S che a S ′, per cui S ⊂ S ′ e S ′ ⊂ S, cioe S = S ′. q.e.d.

(16.8) Nota. Consideriamo d+ 1 punti x0, x1, . . . , xd nello spazio affine X. A priori non hasenso scrivere la somma

d∑i=0

λixi =?

per dei coefficienti λi ∈ K, dal momento che non abbiamo definito prodotto di uno scalare λiper un punto xi (potremmo farlo solo moltiplicando vettori con scalari, non punti con scalari).Pero, si puo prendere un punto qualsiasi z ∈ X e definire tale somma solo nel caso

∑di=0 λi = 1:

d∑i=0

λixi =d∑i=0

λi(−→zxi) +

(d∑i=0

λi

)z

=d∑i=0

λi(−→zxi) + z

Possiamo in questo modo definire il baricentro di d + 1 punti, interpretando λi come masse(piu propriamente, densita di massa).



(16.9) Definizione. In uno spazio affine di dimensione n, si dice che d + 1 punti sono indi-pendenti se la dimensione del sottospazio affine generato e d, altrimenti si dicono dipendenti.E chiaro che se sono indipendenti, allora d ≤ n. Due punti sono dipendenti se e solo se coin-cidono. Tre punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad una stessa retta (e si diconoallineati . Analogamente, quattro punti sono indipendenti se non sono contenuti in un piano,per cui quattro punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad uno stesso piano.

(16.10) d + 1 punti x0, x1, . . . , xd sono dipendenti se e soltanto se esistono λ1, . . . , λn nontutti nulli tali che

∑di=0 λi

−−→x0xi = 0.

Dimostrazione. Segue dalla definizione. q.e.d.

(16.11) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. E vero che tre punti nellospazio sono allineati (dipendenti) se e soltanto se il determinante della matrice 3× 3 delle lorocoordinate e nullo? Quale direzione della doppia implicazione e vera e quale no?

(16.12) Definizione. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n ≥ 1. Unriferimento affine in X e (equivalentemente):

(i) Una scelta di n+ 1 punti di X linearmente indipendenti.

(ii) Una scelta di un punto x0 di X e di n vettori indipendenti di−→X (cioe, di una base per−→

X , visto che dim(−→X ) = dim(X) = n).

(16.13) (Equazioni parametriche) Sia S ⊂ X un sottospazio affine. Allora se si sceglieun riferimento affine x0, x1, . . . , xd ∈ S si puo scrivere S mediante le equazioni parametrichecome

S = {x0 +d∑i=1

ti−−→x0x1 : ti ∈ R},

o anche come

x = x0 +d∑i=1

ti−−→x0x1

(16.14) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette (x = x0 + tv) e piani(x = x0 + sv + tw).



Esercizi: foglio 10

(10.1) Dimostrare la proposizione (15.5): supponiamo di avere un insieme non vuoto X euno spazio vettoriale

−→X , insieme con una funzione X × X → −→X , indicata da (A,B) 7→ −→AB

che soddisfa i due assiomi:


(ii) ∀A,B,C ∈ X,−→AB +

−→BC =

−→AC

Allora X e spazio affine rispetto all’azione

(v, A) ∈ −→X ×X 7→ A+ v,

dove si definisce A+ v l’unico punto B ∈ X tale che−→AB = v.

*(10.2) Sia l una retta del piano affine A2(R). Dimostrare che l non puo incontrare tutti i latidi un triangolo.

(10.3) Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo e paralleloal terzo lato.

(10.4) Dimostrare che, se V e uno spazio vettoriale e v ∈ V , V = v + V = {v + w,w ∈ V }.

(10.5) Dimostrare che se S ⊂ An(K) e un sottospazio affine e v ∈ Kn e un vettore non nullo,allora S e parallelo al suo traslato v+S (S ‖ (v+S)). e che se v 6∈ −→S allora Determinare perquali v ∈ Kn si ha che S ∩ (v + S) = ∅.

(10.6) Si consideri la retta r in A3(R) di equazioni parametriche

xyz

=

012

+t

123

. Scrivere

l’equazione della parallela s a r passante per

111

.

(10.7) Determinare il piano/i piani (le equazioni di) che contengono le due rette r e sdell’esercizio (10.6).

(10.8) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A,B ∈ A4(R)

A =

1−1√

2

−√

2

, B =

√

2

−√

21−1

.(10.9) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A,B ∈ A4(C)

A =

1−1i−i

, B =

i−i1−1

.



(10.10) Dimostrare che due rette non parallele nel piano affine si intersecano esattamente inun punto.

*(10.11) (Teorema di Talete) Siano l1, l2 e l3 rette parallele e distinte del piano affine A2(R),e r1, r2 rette non parallele a l1, l2, l3. Per l’esercizio precedente (10.10), le intersezioni li ∩ rjper i = 1, 2, 3 e j = 1, 2 sono sei singoli punti, che chiamiamo Pi,j. Dimostrare che esiste t ∈ Rtale che {−−−−→

P1,1P3,1 = t−−−−→P1,1P2,1

−−−−→P1,2P3,2 = t

−−−−→P1,2P2,2.

(10.12) Determinare quali delle seguenti terne di punti di A3(R) sono allineate:

(i)

123

,

231

,

312

.

(ii)

246

,

462

,

354

.

(iii)

100

,

110

,

211

.

(10.13) Considerare le tre terne di punti dell’esercizio precedente. Siano S1, S2 e S3 i sot-tospazi affini di A3(R) generati da esse. Determinare quali tra S1, S2 e S3 sono parallele,sghembe o incidenti.

(10.14) Un piano e una retta in A3(R) possono essere sghembi?

(10.15) Si considerino i tre punti

[11

],

[22

],

[02

]di A2(R). Se costituiscono un riferimento

affine, scrivere esplicitamente il cambio di coordinate: un punto di coordinate (generiche) x, ysi scrivera come . . .

(10.16) Determinare l’equazione del piano di A4(R) passante per i tre punti

1001

,

0102

,

0013

.

(10.17) Determinare se i quattro punti di A4(R)

1001

,

0102

,

0013

,

1/31/31/32

costituiscono un

riferimento affine. Se sı, scrivere le equazioni del piano dell’esercizio precedente (10.16) inqueste coordinate.



17 Mappe affini

(17.1) Definizione. Siano X e Y due spazi affini sullo stesso campo K. Una funzionef : X → Y si dice affine (anche, mappa!affine o trasformazione!affine) se per ogni x ∈ X lafunzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti

−→X → −→Y definita da

v ∈ −→X 7→ f(x+ v)− f(x) ∈ −→Y

e lineare.

(17.2) Esempio. Se X = Y = K = R, allora le mappe affini sono le mappe che si possonoscrivere come x 7→ ax+ b.

(17.3) Esempio. Se f : X → Y e una mappa costante, allora e affine. L’identita e anche unamappa affine.

(17.4) Esempio. Tutte le traslazioni x 7→ x+ v sono mappe affini.

(17.5) Una funzione f : X → Y tra spazi affini su campo K e una mappa affine se esistex0 ∈ X per cui la funzione

v ∈ −→X 7→ f(x0 + v)− f(x0) ∈ −→Y

e lineare.

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che per ogni x ∈ X la funzione indotta v 7→ f(x +v) − f(x) e lineare

−→X → −→Y . Sia dunque x ∈ X arbitrario. Supponiamo che esista x0 come

nell’enunciato, e quindi sia L :−→X → −→Y la funzione lineare (omomorfismo di spazi vettoriali)

definita da

L(v) = v 7→ f(x0 + v)− f(x0).

Dal momento che per ogni v ∈ −→X

f(x+ v)− f(x) = f (x0 +−→x0x+ v)− f (x0 +−→x0x) ,

si ha

f(x+ v)− f(x) = f (x0 +−→x0x+ v)− f (x0) +− (f (x0 +−→x0x)− f (x0))= L(−→x0x+ v)− L(−→x0x)= L(−→x0x) + L(v)− L(−→x0x)= L(v)

che e quindi lineare in v. q.e.d.

(17.6) Definizione. Una mappa affine f : X → Y tra spazi affini su campo K si dice isomor-fismo affine se e una mappa affine biunivica. Se X = Y , allora si dice automorfismo affine oanche affinita.

(17.7) Teorema. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n. La scelta di unriferimento affine induce un isomorfismo di spazi affini X ∼= A

n(K). Quindi due spazi affinisu campo K con la stessa dimensione sono sempre tra loro isomorfi.



Dimostrazione. Se x0, x1, . . . xn e un riferimento affine per X, allora si puo definire la mappaf : An(K)→ X definita da

(λ1, . . . , λn) 7→ x0 +n∑i=1

λi−−→x0xi ∈ X.

Non e difficile verificare che f e una mappa affine. Dato che i punti x0, . . . , xn costituisconoun riferimento affine, la giacitura

〈−−→x0x1, . . . ,−−→x0xn〉

ha dimensione n, e quindi la funzione lineare indotta f(x0 + v) − f(v) e un isomorfismo dispazi vettoriali. Da cui segue che f e bijettiva. q.e.d.

(17.8) Teorema. Ogni mappa affine f : Ad(K) → An(K) (nel sistema di riferimento affine

standard) si scrivere in modo unico come

f(x) = Ax+ b = A(x− 0) + (b− 0),

dove A e una matrice n× d e b un vettore di Rn.

Dimostrazione. Basta considerare il punto z = (0, . . . , 0) ∈ Ad(K). Per definizione la mappaf(z + v) − f(z) e lineare, e dunque esiste A : Kd → Kn (rappresentata come matrice nellabasta standard) tale che f(z + v)− f(z) = Av. Ponendo f(z) = b− 0 si ha

f(z + v) = Av + b,

cioe f(x) = Ax+ b in coordinate di Kd. q.e.d.

(17.9) Corollario. Sia X uno spazio affine di dimensione n e Y uno spazio affine di dimen-sione d. Se p0, p1, . . . , pn sono un riferimento affine per X, allora per ogni scelta di n + 1punti q0, q1, . . . , qn in Y esiste una unica mappa affine f : X → Y tale che f(pi) = qi per ognii = 0, . . . , n.

Dimostrazione. Sia X ∼= An(K) l’isomorfismo indotto dalla scelta del riferimento affine. Il

riferimento corrispondente in An(K) e 0, e1, . . . , en, dove gli ei sono i versori canonici di Kn.Scelto un qualsiasi riferimento affine per Y , l’applicazione affine cercata si puo scrivere comef(x) = Ax + b, dove A e la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori q1, . . . , qn,mentre il termine noto b e il vettore colonna delle coordinate di q0. Infatti, se Ai,j indicano lecomponenti di A e bi le componenti di b, si ha (nelle coordinate scelte) per ogni i = 1 . . . n

f(pi) = Aei + b =

∑

i,1 Ai,1ej + b1∑i,2 Ai,2ej + b2

...∑i,dAi,2ej + bd

e f(p0) = b. Questo determina i coefficienti Ai,j in modo unico, come indicato sopra. q.e.d.

(17.10) Teorema (Equazioni cartesiane). Sia S ⊂ X = An(K) un sottospazio affine di

dimensione d. Allora esiste una mappa affine e suriettiva f : X → An−d(K) per cui

S = {x ∈ X : f(x) = 0}.

Viceversa, per ogni mappa affine suriettiva f : X → An−d(K) l’insieme {x ∈ X : f(x) = 0} e

un sottospazio affine di X di dimensione d.



Dimostrazione. Sia W la giacitura di S e P un punto di S, in modo tale che

S = P +W.

E sempre possibile trovare un completamento W ′ di W in−→X , cioe un sottospazio vettoriale

W ′ di−→X tale che

−→X = W ⊕W ′.

Se dim(W ) = d, allora dim(W ′) = n − d. Per ogni x ∈ X il vettore x − P si scrive in modounico come

x− P = w + w′

con w ∈ W e w′ ∈ W ′, ed e possibile definire la proiezione (lineare) L :−→X → W ′. Scelta una

base per W ′, e dato un isomorfismo W ′ ∼= Kn−d. Si consideri quindi (mediante l’identificazionenaturale tra An−d(K) e Kn−d) la funzione f : X → A

n−d(K) definita da

f(x) = 0 + L(x− P ) ∈ An−d(K)

(dove 0 appartiene a Kn−d). E facile vedere che e una mappa affine e che

f(x) = 0 ⇐⇒ x− P ∈ W⇐⇒ x ∈ P +W⇐⇒ x ∈ S,

e dunque S = {x ∈ X : f(x) = 0}.Viceversa, sia f : X → A

n−d(K) una mappa affine e suriettiva. Sia S = {x ∈ X : f(x) = 0}e x0 ∈ S. L’applicazione L :

−→X = Kn → Kd definita da Lv = f(x0 + v) − f(x0) e lineare e

suriettiva, ha quindi un nucleo W ⊂ Kn di dimensione n − (n − d) = d. Dal momento chex0 ∈ S, per definizione f(x0) = 0, e quindi un elemento x0 + v appartiene a S se e solo se

f(x0 + v) = 0 ⇐⇒ Lv = 0 ⇐⇒ v ∈ W,e quindi S = x0 +W , dove W ha dimensione d. q.e.d.

(17.11) Esempio. In dimensione 2 e 3, si ritrovano le equazioni cartesiane dei delle rette inA

2(R) (ax+ by+ c = 0 ), dei piani in A3(R) (ax+ by+ cz+d = 0) e delle rette in A3(R) (vistecome zeri di una funzione A3(R)→ A

2(R).{ax+ by + cz + d = 0

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

(17.12) Proposizione. Se f : X → Y e una mappa affine, allora l’immagine di una retta euna retta. Piu in generale, l’immagine di un sottospazio affine di X e un sottospazio affine diY e la controimmagine di un sottospazio affine di Y e un sottospazio affine di Y .

Dimostrazione. Sia S ⊂ X un sottospazio affine con giacitura−→S e passante per p ∈ X: S =

p+−→S . Allora, se L :

−→X → −→Y denota l’omomorfismo indotto da f (L(v) = f(x0 +v)−f(x0)),

si ha

f(S) = {f(p+ s) : s ∈ −→S }= {f(p+ s)− f(p) + f(p) : s ∈ −→S }= {L(s) + f(p) : s ∈ −→S }= {f(p) + w : w ∈ L(

−→S ) ⊂ −→Y }.

Dal momento che L e lineare, l’immagine L(−→S ) ⊂ −→Y e un sottospazio vettoriale, da cui segue

la tesi. In modo analogo si dimostra la seconda parte (vedi esercizio (11.18)). q.e.d.



18 Incidenza e parallelismo

(18.1) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X di uno spazio affine X sono paralleli se−→S ⊂ −→T , e si indica con S ‖ T . 12 I due sottospazi S e T si dicono incidenti se S ∩ T 6= ∅13.

(18.2) Proposizione. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli e S ∩ T 6= ∅,allora S ⊂ T oppure T ⊂ S.

Dimostrazione. Sia P ∈ S ∩ T . A meno di scambiare S con T , possiamo supporre dim(S) ≤dim(T ) e quindi V ⊂ W se V e W sono le giaciture di S e T rispettivamente. Per ogni x ∈ Ssi ha x− P ∈ V , e quindi x− P ∈ W , da cui x ∈ T . Cioe S ⊂ T . q.e.d.

(18.3) Corollario. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli, dim(S) = dim(T ),e S ∩ T 6= ∅ allora S = T .

Dimostrazione. Nella notazione della dimostrazione precedente, risulta V = W , e quindi S =T . q.e.d.

(18.4) Corollario. Se S ⊂ X e un sottospazio affine e x ∈ X e un punto di X, allora esisteun unico sottospazio affine T ⊂ X di dimensione dim(S) che contiene x e parallelo a S.

Dimostrazione. Due sottospazi T ′ e T con la stessa dimensione, contenenti x e paralleli a S,in particolare sono paralleli tra loro e con intersezione non vuota (x ∈ T ∩ T ′), per cui si puousare il corollario (18.3). q.e.d.

(18.5) Nota. Nel caso in cui X = A2(R), ritroviamo la proposizione (15.9) (quinto postulatodi Euclide – “assioma delle parallele”).

(18.6) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X si dicono sghembi se non hanno punti incomune e non sono paralleli.

(18.7) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X. Se l’intersezione S ∩ T non evuota, allora e un sottospazio affine di X, la cui dimensione soddisfa la disuguaglianza

dim(S) + dim(T ) ≤ dim(X) + dim (S ∩ T )

Vale l’uguaglianza nella disequazione di se e solo se dim(−→S +

−→T ) = dim(

−→X ).

Dimostrazione. Sia x0 ∈ S ∩ T . Allora risulta

S = x0 +−→S

T = x0 +−→T

da cui si deduce che

S ∩ T = x0 +−→S ∩ −→T ,

12Alcuni definiscono sottospazi paralleli i sottospazi per cui −→S = −→T , mentre se −→S ⊂ −→T allora S e T sonoparalleli in senso lato. Altri poi assumono in piu che spazi incidenti non sono affini.

13Forse sarebbe meglio, seguendo la tradizione italiana, definire incidenti due rette che si incontrano in unsolo punto, due piani dello spazio che si incontrano in una retta, una retta e un piano nello spazio che siincontrano in un punto, etc. etc. Nella tradizione anglosassone questi vengono chiamati concorrenti (inveceche incidenti). C’e il problema dell’uniformita: due piani nello spazio A3(R) che si incontrano in una rettasarebbero incidenti, ma lo sarebbero se immersi in A4(R), per esempio aggiungendo una coordinata nulla?



e quindi S ∩ T e un sottospazio affine con giacitura−−−→S ∩ T =

−→S ∩ −→T . Ora, la formula di

Grassmann (dimensioni di sottospazi vettoriali di uno spazio di dimensione finita) da

dim(−→S ) + dim(

−→T ) = dim(

−→S +

−→T ) + dim(

−→S ∩ −→T ), (18.8)

da cui si deduce

dim(S) + dim(T ) = dim(−→S +

−→T ) + dim(S ∩ T )

≤ dim(X) + dim(S ∩ T ),

dato che dim(−→S +

−→T ) ≤ dim(

−→X ) = dim(X). E altresı chiaro che vale l’uguaglianza quando

vale l’uguaglianza in quest’ultima disequazione. q.e.d.

(18.9) Nota. Osserviamo che dalla dimostrazione di (18.7) si puo dedurre un metodo percalcolare la dimensione dell’intersezione di due sottospazi affini (calcolando il rango dellamatrice del sistema di equazioni).

(18.10) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X tali che−→S +

−→T =

−→X . Allora

l’intersezione S ∩ T non e vuota.

Dimostrazione. Siano xS e xT punti di S e T rispettivamente. Un punto x ∈ X appartieneall’intersezione S ∩ T se e solo se esistono v ∈ −→S e w ∈ −→T tali che

x = xS + v = xT + w,

cioe l’intersezione e non vuota se e solo se esistono v ∈ −→S e w ∈ −→T tali che

xT − xS = v − w.

Ma per ipotesi−→S +

−→T =

−→X , e dato che xT − xS ∈

−→X esistono s ∈ −→S e t ∈ −→T per cui

xT − xS = s+ t.

Basta porre v = w ∈ −→S e w = −t ∈ −→T per ottenere le soluzioni v e w cercate. q.e.d.

(18.11) Definizione. Consideriamo un sottospazio affine S ⊂ X, S 6= X e un sottospazioW ⊂ −→X tale che

−→S ⊕W =

−→X (complemento). Allora si puo definire la proiezione di X su

S parallela a W , indicata con pS,W : X → S, come segue: se x ∈ X, allora per (16.4) esisteunico il sottospazio affine T = Tx,W passante per x con giacitura W . L’intersezione S ∩ Tx,We non vuota per (18.10), e dato che

−→S +

−−→Tx,W =

−→S + W =

−→X per (18.7), la dimensione e

dim(S ∩ Tx,W ) = 0, cioe consiste di un solo punto. Si puo dunque definire la proiezione su Sparallela a W pS,W mediante la relazione

∀x ∈ X, pS,W (x) ∈ S ∩ Tx,W .

(18.12) Definizione. In modo analogo definiamo la riflessione rS,W : X → X, lungo S

parallela a W ⊂ −→X (con−→S ⊕W =

−→X ), mediante la formula

rS,W (x) = pS,W (x) +−−−−−→xpS,W (x)

(18.13) Proposizione. Riflessioni e proiezioni sono mappe affini. Le riflessioni sono affinitacon la proprieta che r2 = r ◦ r = 1X . Se S e la sottovarieta su cui si proietta (risp., lungo laquale si riflette), allora S rimane fissata dalla proiezione (risp., dalla riflessione).



Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che le proiezioni sono mappe affini: sia f = pS,W ,

dove S e un sottospazio affine di X e W un sottospazio vettoriale di−→X complemento di

−→S .

E facile dedurre dalla definizione che se x ∈ S, allora f(x) = x. Vogliamo mostrare cheper qualche x ∈ X la mappa L :

−→X → −→S definita da L(v) = f(x + v) − f(x) e lineare in

v. Per definizione {pS,W (x + v)} = S ∩ Tx+v,W e {pS,W} = S ∩ Tx,W , dove Tx,W e Tx+v,W

sono le sottovarieta con giacitura W passanti per x e x+ v rispettivamente. Nulla ci vieta diconsiderare x ∈ S, per cui si ha f(x) = x. Dal momento che per ipotesi

−→X =

−→S ⊕W , ogni

v ∈ −→X si scrive in modo unico come v = s + w con s ∈ −→S e w ∈ W . Ora, se w ∈ W , alloraper ogni y ∈ X i sottospazi con giacitura W passanti per y e per y + w coincidono

y +W = y + w +W,

e quindi

Tx+v,W = Tx+s+w,W = Tx+s,W ,

da cui f(x+v) = f(x+s). Ma dato che x ∈ S e s ∈ −→S , anche x+s ∈ S, per cui f(x+s) = x+s.Ma allora

f(x+ v)− f(x) = f(x+ s)− f(x) = x+ s− x = s,

cioe L(v) = s, ovvero L :−→X =

−→S ⊕W → −→S e la proiezione (vettoriale) sul primo fattore, ed

e lineare.Passiamo a dimostrare che le riflessioni sono affini: se r = rS,W e una riflessione X → X,

allora si scrive mediante la formula vista poco sopra

r(x) = p(x) +−−−→xp(x) = p(x) + (p(x)− x)

dove p e la corrispondente proiezione parallela. Scelto x ∈ X, la corrispondente funzioneL(v) = r(x+ v)− r(x) e quindi uguale a

L(v) = p(x+ v) + (p(x+ v)− (x+ v))− (p(x) + (p(x)− x))= p(x+ v)− p(x) + (p(x+ v)− p(x)− (x+ v) + x)= 2(p(x+ v)− p(x))− v,

che e lineare in v dato che p(x+v)−p(x) lo e (e quindi e somma di funzioni lineari in v). q.e.d.

(18.14) Nota. Se K = R oppure K = C (con la topologia metrica), allora ogni spaziovettoriale V ∼= Kn ha la topologia data dal prodotto. Quindi, se X e uno spazio affine conspazio vettoriale associato

−→X ∼= Kn, e possibile, fissato x0 ∈ X, definire una topologia su X

tramite la biiezione−→X → X definita da

v 7→ x0 + v.

Si puo mostrare che la topologia non dipende dalla scelta di x0 e che tutte le traslazioni sonoomeomorfismi. Quando non indicato altrimenti, uno spazio affine si intende munito dellatopologia di Kn. In questo modo si puo facilmente vedere che tutte le mappe affini sonocontinue, e che le affinita sono omeomorfismi. Tutti i sottospazi affini risultano chiusi (datoche sono controimmagini di 0 mediante mappe affini, cioe funzioni continue).



Esercizi: foglio 11

(11.1) Presi due punti p1 e p2 in uno spazio affine X, come osservato nella nota (16.8), si puodefinire il punto

p = λ1p1 + λ2p2

ogni volta che λ1 + λ2 = 1. Consideriamo il caso in cui il campo K = R. Dimostrare cheil punto ottenuto ponendo λ1 = λ2 = 1/2 e il punto medio del segmento con estremi p1 e p2,cioe e tale che −→p1p = −→pp2.

(11.2) Proseguendo con l’esercizio precedente (spazio affine con coefficienti reali), i punti delsegmento di estremi p1 e p2 possono essere definiti come tutti i punti per cui esistono λ1 ≥ 0,λ2 ≥ 0 tali che λ1 + λ2 = 1 e

p = λ1p1 + λ2p2.

Dimostrare che ogni segmento e omeomorfo all’intervallo [0, 1] ⊂ R.

(11.3) Dimostrare che se S ⊂ An(R) e un sottospazio affine (proprio) e W un sottospaziocomplementare di

−→S in

−→X (cioe

−→S ⊕W =

−→X ), allora se p indica la proiezione su S parallela

a W e r la riflessione rispetto a S parallela a W , allora per ogni x ∈ X il punto p(x) e il puntomedio del segmento con estremi x e r(x).

(11.4) Dimostrare che la riflessione r rispetto ad un sottospazio affine S fissa tutti i punti diS (cioe, per ogni x ∈ S, r(x) = x).

(11.5) Determinare, se esiste, la mappa affine A3(R) → A2(R) tale che

000

7→ [01

],

100

7→[10

],

010

7→ [11

]e

111

7→ [00

].

(11.6) Determinare una mappa affine A2(R)→ A2(R) che sia zero solo sulla retta di equazione

x = y.

(11.7) Si determinino le equazioni cartesiane del piano di A3(R) che passa per i tre punti100

,

1/21/20

,

1/31/31/3

.

(11.8) Dare un esempio di due rette sghembe in A4(R). E possibile trovare due piani sghembiin A4? E due sottospazi di dimensione 3?

(11.9) Trovare, se esistono, due piani paralleli di A4(C).

(11.10) Esiste una retta r parallela alla retta di equazioni parametriche

xyz

= t

111

e

incidente alle due rette di equazioni

xyz

= t

100

e

xyz

=

010

+ t

001

?



(11.11) Si scriva l’equazione (cartesiana) della retta di A3(R) di equazione

xyz

=

110

+

t

001

.

(11.12) Determinare la dimensione dell’intersezione dei due piani di A4(R) (con coordinatex1, x2, x3, x4) di equazioni {

x1 − x3 = 1

x2 − x4 = 1

e x1

x2

x3

x4

=

1100

+ u

1111

+ v

1001

.(11.13) Scrivere le equazioni parametriche (del primo) e le equazioni cartesiane (del secondo)dei due piani dell’esercizio precedente (11.12).

(11.14) Determinare il valore del parametro k per cui i tre punti di A3(R)

21k

,

1k0

,

110

.

sono allineati. Scrivere l’equazione della retta per questi tre punti in forma parametrica ecartesiana.

*(11.15) Dimostrare che una affinita manda sottospazi paralleli in sottospazi paralleli, sotto-spazi incidenti in sottospazi incidenti, sottospazi sghembi in sottospazi sghembi. E vero ancheper una mappa affine?

(11.16) Trovare una mappa affine A3(R)→ A2(R) che manda due rette sghembe in due rette

parallele. E possibile mandare due rette parallele in due rette incidenti e distinte? E in duerette coincidenti? Viceversa, e possibile mandare due rette incidenti in due rette parallele?

(11.17) Siano in A3(R) date le rette di equazioni: r1:

xyz

=

100

+ t

010

, r2:

xyz

=010

+t

001

e r3:

xyz

=

001

+t

100

. Quali di queste rette sono sghembe, parallele, incidenti?

Trovare una affinita A : A3(R)→ A3(R) tale che A(r1) = r2, A(r2) = r3 e A(r3) = r1.

(11.18) Dimostrare che se f : X → Y e una mappa affine e T ⊂ Y un sottospazio affine diY , allora f−1(T ) e un sottospazio affine di X (Vedi proposizione (17.12 )).



19 Spazi affini euclidei

(19.1) Definizione. Uno spazio vettoriale euclideo e uno spazio vettoriale E di dimensionefinita su campo R, munito di una forma bilineare definita positiva e simmetrica (cioe b : E ×E → R e simmetrica e bilineare, e ∀x 6= 0, b(x, x) > 0). Scriviamo b(x, y) = 〈x, y〉 = x · y echiamiamo questo numero il prodotto scalare di x con y.

(19.2) Definizione. La norma di un vettore x e definita da x =√x · x.

(19.3) Definizione. Se x · y = 0, allora x e y sono ortogonali . Un insieme di vetto-ri {e1, e2, . . . , en} ⊂ E si dice ortogonale se i suoi elementi sono a due a due ortogonali:∀i, j, i 6= j =⇒ ei · ej = 0, e ortonormale se e ortogonale e in piu i vettori hanno norma uno,cioe ∀i, |ei| = 1. Se l’insieme di vettori {e1, e2, . . . , en} e una base per E, allora si dice che labase e ortogonale (risp. ortonormale) quando lo e come insieme di vettori.

(19.4) Esempio. L’esempio standard di spazio vettoriale euclideo e E = Rn, con il prodottoscalare canonico dato da

〈

x1

x2...xn

,y1

y2...yn

〉 =n∑i=1

xiyi.

(19.5) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare) Per ognix, y ∈ E si ha:

|〈x, y〉| ≤ |x||y||x+ y| ≤ |x|+ |y|.

Quindi la distanza definita su E da d(x, y) = |x − y| e una metrica (che rende E spaziotopologico, con la topologia metrica).

(19.6) (Formula del parallelogramma) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalledue identita (equivalenti)

|x+ y|2 = |x|2 + |y|2 + 2〈x, y〉

〈x, y〉 =1

2(|x+ y|2 − |x|2 − |y|2) .

(19.7) Definizione. Uno spazio affine euclideo e uno spazio affine (X,−→X ) per cui lo spa-

zio delle traslazioni (dei vettori)−→X e uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine

{A0, A1, . . . , An} di X e ortonormale se (−−−→A0A1,

−−−→A0A2, . . . ,

−−−→A0An) e una base ortonormale per−→

X . Allora X e uno spazio metrico con la metrica definita da

d(A,B) = |−→AB|,

dove la norma e la norma euclidea in−→X .

(19.8) Definizione. Una isometria tra due spazi affini euclidei f : X → Y e una biiezioneche conserva le distanze: per ogni A,B ∈ X, |f(A)− f(B)|X = |A−B|Y (dove la norma | · |Xe la norma di X e la norma | · |Y e la norma di Y ).



(19.9) Ogni spazio affine euclideo di dimensione n e isometrico allo spazio standard Rn.

Dimostrazione. Sia X uno spazio affine euclideo di dimensione n. Scelto un punto O ∈ X, siha la biiezione X ∼= −→X data da

x ∈ X 7→ −→Ox ∈ −→X .

Ora, lo spazio vettoriale euclideo−→X ha sicuramente una base ortonormale (per esempio, con

il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) {e1, e2, . . . , en} ⊂ E, mediante la quale sipuo scrivere un isomorfismo

f :−→X ∼= R

n

definito da

f(v) =

〈v, e1〉〈v, e2〉. . .〈v, en〉

La composizione X → −→X → R

n e una isometria. Vediamo per prima cosa come e definita. Sex ∈ X, il vettore associato in

−→X e x−O, che viene mandato da f in

f(x−O) =

〈x−O, e1〉〈x−O, e2〉

. . .〈x−O, en〉

.Ora, presi x, y ∈ X, se definiamo per ogni i = 1, . . . , n i numeri xi = 〈x − O,wi〉 e yi =〈y −O,wi〉 , si ha che

x−O =n∑i=1

xiei

y −O =n∑i=1

yiei,

e quindi

f(x−O) =

x1

x2...xn

∈ Rn

f(y −O) =

y1

y2...yn

∈ Rn



da cui segue che

dX(x, y) = |x− y|−→X= |(x−O)− (y −O)|−→X

= |n∑i=1

(xi − yi)ei|−→X

=

√√√√〈 n∑i=1

(xi − yi)ei,n∑j=1

(xj − yj)ej〉

=

√√√√ n∑i,j=1

(xi − yi)(xj − yj)〈ei, ej〉

=

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

= |f(x)− f(y)|Rn = dRn(f(x), f(y)).

q.e.d.

(19.10) Siano X e Y spazi affini euclidei e f : X → Y una isometria (cioe una mappa taleche |f(x) − f(y)|Y = |x − y|X per ogni x, y ∈ X). Allora f e un isomorfismo affine (unatrasformazione affine invertibile).

Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che f e una mappa affine, cioe, per la definizione(17.1), che per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti

−→X → −→Y

definita da

v ∈ −→X 7→ f(x+ v)− f(x) ∈ −→Y

e lineare. In realta, per (17.5), basta farlo vedere per un solo x0 ∈ X. Sia T :−→X → −→y la

funzione definita da T (v) = f(x0 + v)− f(x0). Per ipotesi si ha che per ogni v ∈ −→X

|v|−→X = |(x0 + v)− x0|X= |f(x0 + v)− f(x0)|Y= |T (v)|−→Y ,

e quindi la trasformazione T conserva la norma. Osserviamo anche che per v = 0 questoimplica che |T (0)| = 0, e quindi T (0) = 0 (dove qui con un abuso di notazione usiamo insimbolo 0 sia per indicare 0X ∈

−→X che 0Y ∈

−→Y . Se v, w ∈ −→X sono due vettori, allora si ha

|v − w|−→X = |(x0 + v)− (x0 + w)|X= |f(x0 + v)− f(x0 + w)|Y= |f(x0 + v)− f(x0) + f(x0)− f(x0 + w)|Y= |T (v)− T (w)|−→Y ,

cioe

|T (v)− T (w)|2 = |v − w|2.

Per la formula del parallelogramma (19.6), si ha quindi per ogni v, w ∈ −→X

2〈T (v), T (w)〉 = |T (v)− T (w)|2 − |T (v)|2 − |T (w)|2= |v − w|2 − |v|2 − |w|2= 2〈v, w〉,



cioe T conserva anche il prodotto scalare (non solo la norma).Non rimane che finire dimostrando che T e lineare: siano a, b ∈ R due scalari e v, w ∈ −→X

due vettori. Allora, per ogni scelta di un terzo vettore e ∈ −→X si ha

〈T (av + bw), T (e)〉 = 〈av + bw, e〉= a〈v, e〉+ b〈w, e〉,

ed anche

〈aT (v) + bT (w), T (e)〉 = a〈T (v), T (e)〉+ b〈T (w), T (e)〉= a〈v, e〉+ b〈w, e〉,

cioe per ogni e ∈ −→X si ha

〈T (av + bw), T (e)〉 = 〈aT (v) + bT (w), T (e)〉.

Ora, dato che f e una biiezione, anche T lo e, per cui necessariamente deve essere

T (av + bw) = aT (v) + bT (w),

e quindi T e lineare. Per mostrare che e un isomorfismo, basta notare che e una biiezione, percui esiste l’inversa (che e naturalmente una isometria – vedi anche la definizione (17.6)). q.e.d.

(19.11) Una isomorfismo affine f : X → Y e una isometria se e soltanto se l’applicazio-ne lineare associata L : v 7→ f(x + v) − f(x) e una trasformazione ortogonale (cioe unatrasformazione lineare che conserva la norma o, equivalentemente, il prodotto scalare).

Dimostrazione. Nella dimostrazione della proposizione precedente (19.10) abbiamo di fattodimostrato anche che la trasformazione L associata ad una isometria conserva il prodottoscalare e le norme (abbiamo usato questa proprieta per mostrare che e lineare), e cioe che euna trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine f : X → Yabbia la proprita che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale. Allora L(v − w) =L(v)− L(w) per ogni v, w ∈ −→X , e quindi per ogni x = x0 + v e y = x0 + w in X si ha

|f(x)− f(y)| = |f(x0 + v)− f(x0 + w)|= |f(x0 + v)− f(x0) + f(x0)− f(x0 + w)|= |L(v)− L(w)|= |v − w|= |x0 + v − (x0 + w)|= |x− y|,

cioe f e una isometria. q.e.d.

(19.12) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi diriferimenti ortonormali, come

x 7→ Ax+ b,

dove A e una matrice ortogonale e b un vettore.

Dimostrazione. Come la dimostrazione di (17.8) (esercizio (12.2)). q.e.d.

(19.13) Le traslazioni sono isometrie.




20 Angoli e proiezioni ortogonali

(20.1) Definizione. Con il prodotto scalare definito su uno spazio euclideo non solo si possonomisurare le distanze tra punti, e quindi in generale lunghezze, ma anche gli angoli (orientati)tra vettori, mediante la formula

cos θ =〈v, w〉|v||w|

.

Questo consente di calcolare l’angolo, per esempio in A, di un triangolo ABC, moltiplicando(mediante prodotto scalare) i vettori

−→AB e

−→AC.

(20.2) Nota. Ricordiamo che in uno spazio metrico X la distanza tra un punto p e unsottoinsieme S ⊂ X e definita con l’estremo inferiore delle distanze d(p, x), al variare di p inS. In particolare, se X e uno spazio euclideo, si puo definire la distanza di un punto p ∈ X dauna retta, da un piano, . . . , da un sottospazio affine S ⊂ X proprio come l’estremo inferioredelle distanze tra punti di S e il punto p.

(20.3) Definizione. Due sottospazi U,W di uno spazio vettoriale euclideo E si dicono or-togonali se per ogni u ∈ U , per ogni v ∈ V i vettori u e v sono ortogonali, cioe il prodottoscalare 〈u, v〉 e nullo.

(20.4) Definizione. Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo con

giacitura−→S ⊂ Rn. Sia W il complemento ortogonale di

−→S in Rn, cioe l’unico sottospazio

ortogonale a−→S tale che

−→S +W = Rn (e in questo caso si scrive

−→S ⊕W invece che

−→S +W ).

Allora per ogni x ∈ En si puo definire la proiezione su S parallela al complemento ortogonaleW , seguendo la definizione (18.11)

pS,W : En → S.

Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di En su S ⊂ En. Dal momento che il

complemento ortogonale W esiste ed e unico, la proiezione e unicamente determinata da S.

(20.5) Sia r ⊂ En una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno spazio affine euclideocon giacitura

−→S = 〈v〉 ⊂ Rn e A un punto di r. Allora la proiezione di un punto x ∈ En sulla

retta r si scrive come

pS(x) = A+〈x− A, v〉〈v, v〉

v.

Dimostrazione. La proiezione di x su r e un punto Q di r per cui Q − r e ortogonale a r. Efacile vedere che tale punto Q e unico (altrimenti si formerebbe un triangolo con due lati di90◦). Dobbiamo trovare un punto Q per cui

〈x−Q, v〉 = 0

e quindi, dato che Q = A+ tv per un certo t ∈ R, tale che 〈x− (A+ tv), v〉 = 0, ovvero

〈x− A, v〉 − t〈v, v〉.

Ma allora per t =〈x− A, v〉〈v, v〉

(v 6= 0!) si ottiene il punto cercato

pS(x) = Q = A+〈x− A, v〉〈v, v〉

v

come annunciato. q.e.d.



(20.6) Definizione. Se pS e la proiezione ortogonale pS : En → S ⊂ En definita sopra, allorasi puo definire come in (18.12) l’isometria (i.e. trasformazione ortogonale)

rS : x 7→ pS(x) + (pS(x)− x),

chiamata riflessione attorno a S14. E una involuzione (cioe r2S e la trasformazione identica,

l’identita) che fissa S.

(20.7) Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo, e p ∈ En un punto nondi S. Allora la distanza di p da S e uguale alla distanza di p dall’unico punto q di S per cuiil vettore p− q e ortogonale a S (cioe la proiezione ortogonale di p su S).

Dimostrazione. Supponiamo che la distanza di p sulla sua proiezione q sia maggiore di quellatra p e un terzo punto A. Dal momento che −→qp per definizione e ortogonale a S, e ortogonaleanche al vettore

−→qA, che appartiene a

−→S (dato che sia q che A appartengono a S). Ma allora,

visto che−→Ap =

−→Aq +−→qp,

d(A, p)2 = |−→Ap|2

= 〈−→Ap,−→Ap〉= 〈−→Aq +−→qp,−→Aq +−→qp〉= 〈−→Aq,−→Aq〉+ 〈−→Aq,−→qp〉+ 〈−→qp,−→Aq〉+ 〈−→qp,−→qp〉= |−→Aq|2 + 0 + 0 + |−→qp|2≥ |−→qp|2= d(q, p)2,

cioe q realizza la minima distanza (e facile vedere che il minimo si ottiene per |−→Aq|2 = 0, cioequando A = q). q.e.d.

Ripetendo la dimostrazione del teorema (17.10), si puo dimostrare il seguente teorema:

(20.8) Teorema. Se S ⊂ En e un sottospazio affine passante per A, allora esiste un sotto-spazio vettoriale W ⊂ Rn (il complemento ortogonale di

−→S in Rn) per cui i punti di S sono

tutti e soli i punti x di En tali che x − A e ortogonale a W . Se S e un iperpiano (cioe unsottospazio di dimensione n − 1 in En), allora la dimensione di W e 1, per cui i punti di Ssono tutti i punti tali che x − A e ortogonale ad un vettore fissato non nullo a di W (che sipuo chiamare vettore normale a S):

S = {x ∈ En : 〈x− A, a〉 = 0}.

(20.9) Nota. Dato che 〈x − A, a〉 = 0 se e solo se 〈x, a〉 = 〈A, a〉, ritorniamo a vedere chel’equazione di un iperpiano e

a1x2 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

dove b = 〈A, a〉. Per sottospazi generici (cioe non solo di dimensione n−1, basta prendere unabase del complemento ortogonale W (e questi saranno vettori ortogonali a S) e, nello stessomodo, scrivere S come luogo delle soluzioni di un sistema di equazioni.

14Di solito si chiama riflessione una trasformazione isometrica di questo tipo solo quando la dimensione diS e uguale a n − 1 – come se S fosse uno specchio. Per esempio, se S e un punto, quello che si trova e unainversione centrale, per cui la scelta del nome non sembrerebbe appropriata. Se S e un punto e n = 2 si ottienela rotazione di 180◦.



Esercizi: foglio 12

*(12.1) Dimostrare che se {e1, e2, . . . , en} sono un insieme di vettori ortogonali di uno spaziovettoriale euclideo E, allora sono linearmente indipendenti. E vero anche il viceversa (cioe chese si considerano n vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo E allorasono ortogonali)? (Suggerimento: se sono linearmente dipendenti allora si possono trovare ncoefficienti non tutti nulli λ1, λ2, . . . , λn tali che λ1e1 + λ2e2 + · · ·+ λnen = 0. Ma se λi 6= 0e si moltiplicano entrambi i membri per ei – con il prodotto scalare – si ottiene . . . . Per ilviceversa: in A2(R) trovare due vettori linearmente indipendenti ma non ortogonali.

*(12.2) Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi diriferimenti ortonormali, come

x 7→ Ax+ b,

dove A e una matrice ortogonale e b un vettore. (Suggerimento: come nella dimostrazione(17.8 ))

(12.3) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.

*(12.4) Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio euclideo En su unsuo sottospazio affine S di dimensione d < n, dato un punto di S e una base ortonormale per−→S . (Suggerimanto: si veda la dimostrazione di (20.5 ), in cui si proietta su un sottospazio didimensione 1 – una retta. Proiettare sulle rette generate dagli elementi della base e sommare. . . )

(12.5) Siano A,B,C ∈ En tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre punti A′, B′, C ′ ∈En, dimostrare che esiste una isometria f : En → E

n tale che f(A) = A′, f(B) = B′ ef(C) = C ′ se e solo se f conserva le distanze tra i punti, cioe

|A′ −B′| = |A−B|, |B′ − C ′| = |B − C|, |A′ − C ′| = |A− C|.

(12.6) Siano A =

100

, B =

010

, C =

001

tre punti di E3. Esiste una isometria f : E3 → E3

tale che f(A) = B, f(B) = C e f(C) = A? Se sı, quale (scriverla in forma matriciale)?

(12.7) Siano r1 e r2 due rette di E3. Sotto quali condizioni esiste una isometria che mandar1 in r2?

(12.8) Calcolare la distanza tra il punto

111

di E3 e il piano passante per

123

ortogonale al

vettore

100

.

(12.9) Determinare un vettore ortogonale al piano di E4 di equazione

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5 = 0.



*(12.10) Una similitudine f : En → En e una funzione che conserva i rapporti tra le distanze,

cioe una funzione per cui esiste una costante k > 0 tale che |f(x)− f(y)| = k|x− y| per ognix, y ∈ En. Dimostrare che le similitudini conservano gli angoli: se A,B,C ∈ En sono tre punti,allora l’angolo tra B −A e C −A e uguale (a meno di orientazione) a quello tra f(B)− f(A)e f(C)− f(A).

*(12.11) E vero che una similitudine, come definita nell’esercizio precedente (12.10), e sempreuna mappa affine? E una isometria? (Suggerimento: si veda la dimostrazione di (19.10 ))

(12.12) Si consideri il piano affine euclideo E2. Dimostrare che ogni isometria del piano sipuo scrivere componendo un numero finito di riflessioni lungo rette. (Suggerimento: anche letraslazioni e le rotazioni si possono scrivere come composizione di due riflessioni lungo duerette . . . parallele oppure no . . . )

(12.13) Dimostrare che se S ⊂ En e un sottospazio e pS e la proiezione ortogonale pS : En →S, allora la funzione f : En → E

n definita da

f(x) = pS(x) + (pS(x)− x)

e una isometria che fissa tutti e soli i punti di S (cioe tale che f(x) = x se e solo se x ∈ S).

(12.14) Scrivere una isometria del piano che manda i punti

[00

],

[10

] [01

]ad una distanza

dall’origine di almeno 4 unita.

(12.15) Sia S la retta di equazione parametrica

[x1

x2

]=

[01

]+t

[11

]in E2. Scrivere le equazioni

della riflessione (ortogonale) di E2 attorno a S.

*(12.16) Sia S la retta di equazione parametrica

[x1

x2

]=

[p1

p2

]+ t

[v1

v2

]in E2. Determinare i

valori dei coefficienti ai,j e bi per cui la trasformazione affine[x1

x2

]7→[a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

] [x1

x2

]+

[b1

b2

]e la riflessione (ortogonale) attorno a S.

(12.17) Determinare tutte le isometrie del piano euclideo che fissano almeno un punto.(Suggerimento: usare (19.11 ) e trovare tutte le trasformazioni ortogonali di O(2).)

(12.18) Dimostrare che ogni isometria del piano puo essere scritta come la composizione dial piu tre riflessioni (lungo rette). (Suggerimento: se A, B e C sono tre punti linearmenteindipendenti del piano, cioe non allineati, allora le immagini A′, B′ e C ′ sono anch’esse trepunti non allineati del piano. Con una riflessione (quale?) si puo mandare A in A′. Poi sipuo mandare B in B′ riflettendo lungo una retta passante per A = A′, e quindi trovarsi conA = A′, B = B′ . . . )


Geometria e Topologia I 1 giugno 2005 81

21 Spazi proiettivi

(21.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Lo spazio proiettivo generatoda V (il proiettivizzato di V , denotato con P(V )), e il quoziente di V r {0} con la relazionedi equivalenza v ∼ w ⇐⇒ ∃λ ∈ K∗ = K r {0} : w = λv. La dimensione di P(V ) e uguale adim(V )− 1.

(21.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale Kn+1 didimensione n+ 1. Il proiettivo associato si indica con Pn(K) (dunque Pn(R) e Pn(C) indicanolo spazio proiettivo reale e complesso di dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), cosıcome An(K) ha la topologia generata da quella di K, anche Pn(K) ha una topologia naturale:la topologia quoziente.

(21.3) Nota. Osserviamo che la definizione (21.1) puo essere data anche in termini di gruppidi trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli K∗ = Kr {0} e un gruppo rispetto all’ope-razione di moltiplicazione (gruppo moltiplicativo), che agisce su V r {0} (moltiplicazione peruno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzato P(V ) e uguale allo spazio delle K∗-orbite

P(V ) = V r {0}/K∗ .

Se V ha dimensione 1, allora V ∼= K e V r {0} ∼= K r {0}; non e difficile vedere che quindiP(V ) e costituito da un elemento solo.

(21.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo e la seguente: P(V ) e l’insiemedi tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizio-ne coincide con la definizione (21.1) (cioe che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca).

(21.5) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo Pn(K) di dimensione n su campo K.Un punto di x ∈ Kn+1 si scrive come (n+ 1)-upla con coordinate xi ∈ K

(x0, x1, . . . , xn).

Se x 6= 0 (cioe non tutte le coordinate xi sono nulle), la classe di equivalenza di x si puoindicare con [x] ∈ Pn(K). Le coordinate xi di x si chiamano coordinate omogenee, e si scrive

[x] = [x0 : x1 : · · · : xn]

(21.6) Siano p = [p0 : p1 : · · · : pn] e q = [q0 : q1 : · · · : qn] due punti di Pn(K). Allora p = qse e solo se esiste λ ∈ K r {0} tale che

∀i = 0, . . . n, qi = λpi.

Dimostrazione. E una conseguenza immediata della definizione (21.1). q.e.d.

(21.7) La funzione

j0 : An(K)→ Pn(K),

definita da

(x1, x2, . . . , xn) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn]

D.L. Ferrario 1 giugno 2005 81

82 1 giugno 2005 Geometria e Topologia I

e iniettiva. La sua immagine e

j0(An(K)) = {[p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : p0 6= 0},

e si puo definire l’applicazione inversa

{[p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : p0 6= 0} → An(K)

[p0 : p1 : · · · : pn] 7→ (p1

p0

,p2

p0

, . . . ,pnp0

).

Dimostrazione. E ovvio che j0 e ben definita. Per mostrare che e iniettiva, basta mostrare chel’applicazione definita sopra e la sua inversa (definita su {p0 6= 0}). Infatti, la composizione

(x1, x2, . . . , xn) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn] 7→ (x1

1,x2

1, . . . ,

xn1

)

e chiaramente l’identita di An(K), mentre la composizione

[p0 : p1 : · · · : pn] 7→ (p1

p0

,p2

p0

, . . . ,pnp0

) 7→ [1 :p1

p0

:p2

p0

: · · · : pnp0

]

e l’identita dato che esiste λ = p0 6= 0, λ ∈ K r {0} tale che

λ(1,p1

p0

,p2

p0

, . . . ,pnp0

) = (p0, p1, . . . , pn).

q.e.d.

(21.8) Nota. E chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j0 considerandonon la prima coordinata (p0), ma una qualsiasi delle n + 1 coordinate di Kn+1. In questomodo possiamo “includere” lo spazio affine An(K) nello spazio proiettivo Pn(K) in almenon+ 1 modi distinti. Piu in generale, cambiando le coordinate in Kn+1 e in An(K) si possonotrovare infiniti modi di definire tale inclusione.

(21.9) Definizione. Per ogni i = 0, . . . , n il sottoinsieme di Pn(K) definito da

{[p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : pi 6= 0}

si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simbolo Ani (K). E il complementare delsottospazio definito dall’equazione pi = 0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o puntiall’infinito. I punti della i-esima carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anchecoordinate affini relative a i, mediante l’applicazione inversa j−1

i :

[p0 : p1 : · · · : pn] = [p0

pi: · · · : pi−1

pi: 1 :

pi+1

pi: · · · : pn

pi] 7→ (

p0

pi, . . . ,

pi−1

pi

pi+1

pi, . . .

pnpi

)

(21.10) Definizione. Sia V ⊂ Kn+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Kn+1.Allora e ben definita l’inclusione

P(V ) ⊂ Pn(K).

Il sottospazio P(V ) ⊂ Pn(K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di Pn(K) didimensione dim(P(V )) = dim(V )− 1.

82 1 giugno 2005 D.L. Ferrario


(21.11) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quellidi dimensione 2 piani, quelli di dimensione n− 1 (codimensione 1) iperpiani.

(21.12) Proposizione. Se L e un sottospazio proiettivo di Pn(K) di dimensione d, allora perogni carta affine Ani (K) ⊂ Pn(K) l’intersezione Ani (K) ∩ L, se non vuota, e un sottospazioaffine di Ani (K) ∼= A

n(K) di dimensione d. Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂ Ani (K)di dimensione d esiste un sottospazio proiettivo L ⊂ P

n(K) di dimensione d tale che S =Ani (K) ∩ L.

Dimostrazione. Sia V ⊂ Kn il sottospazio vettoriale per cui P(V ) = L. Senza perdere ingeneralita, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i = 0. Come abbiamo gianotato nella dimostrazione di (17.10), e sempre possibile scrivere V come luogo degli zeri diuna applicazione lineare (suriettiva) Kn+1 → Kn−d, cioe come sistema di n − d equazioni(omogenee e indipendenti) nelle n + 1 incognite (le coordinate di Kn+1, cioe le coordinateomogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n− d)× (n + 1) (unafunzione lineare M : Kn+1 → Kn−d) di rango n− d tale che

V = {v ∈ Kn+1 : M(v) = 0}.

L’intersezione An0 (K)∩L e quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x1 : x2 : · · · : xn] di An0 (K) taliche

M(

1x1

x2

. . .xn

) = 0.

Ma M e lineare, per cui si puo scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matriceper un vettore, e quindi esistono coefficienti bi, ai,j tali che i punti di An0 (K) ∩ L sono tutti esoli i punti di coordinate (x1, x2, . . . , xn) tali che

b1 a1,1 a1,2 . . . a1,n

b2 a2,1 a2,2 . . . a2,n...

......

. . ....

bn−d an−d,1 an−d,2 . . . an−d,n

1x1

x2...xn

=

00...0

il che e equivalente a scrivere che

b1

b2...

bn−d

+

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n...

.... . .

...an−d,1 an−d,2 . . . an−d,n

x1

x2...xn

=

00...0

.L’insieme di soluzioni, se non vuoto, e uno spazio affine. Per verificare che si tratta di unospazio affine di dimensione d, basta osservare che il rango della matrice (ai,j) e proprio n− d.Infatti, il rango della matrice (ai,j) puo essere uguale soltanto a n−d e n−d−1, dal momentoche la matrice (ai,j) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (bi, ai,j)(che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango e uguale a n − d − 1, allora il vettore (bi)



non e combinazione lineare dei vettori colonna di (ai,j), e quindi il sistema non ha soluzioni.Quindi deve necessariamente essere uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d.Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.

Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e quindi l’insieme disoluzioni di Ax+ b = 0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che lamatrice M = (bi, ai,j) ha rango n− d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensioned+ 1 tale che P(V ) = L cercato. q.e.d.

(21.13) Nota. Come segue da (21.12), lo spazio proiettivo Pn(K) puo essere pensato comel’unione di uno spazio affine An0 (K) con coordinate [1 : x1 : x2 : · · · : xn] piu un iperpiano dipunti all’infinito (i punti impropri) di coordinate [0 : x1 : x2 : · · · : xn]. I sottospazi proiettividi Pn(K) sono quindi i sottospazi affini in An0 (K) cui sono stati aggiunti i loro punti all’infinito.

(21.14) Definizione. Se S ⊂ An(K) e un sottospazio affine e An(K) ∼= Ani (K) ⊂ Pn(K) e

una carta affine, il sottospazio proiettivo L ⊂ Pn(K) tale che Ani (K)∩L = S della proposizioneappena dimostrata si dice il completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di L.

(21.15) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta S diA

2(R) di equazione x1+x2 = 1. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo A2(R)come carta affine di P2(R), con coordinate [1 : x1 : x2]. Per trovare la chiusura proiettiva diS in P2(R) dobbiamo trovare una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate [z0 : z1 :z2], che definisca un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2 (che corrisponde alla rettaproiettiva L cercata). Cioe

b1z0 + a1z1 + a2z2 = 0

in modo tale che

b1 · 1 + a1x1 + a2x2 = 0

sia l’equazione di S nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come

−1 + x1 + x2 = 0,

e quindi definire b1 = −1, a1 = 1, a2 = 1. La retta proiettiva L ha quindi equazione

−z0 + z1 + z2 = 0

nelle coordinate omogenee [z0 : z1 : z2] di P2(R). I punti all’infinito sono le intersezioni di Lcon la retta impropria di equazione z0 = 0, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema{

−z0 + z1 + z2 = 0

z0 = 0

che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : −1] (che possiamoscrivere come [0 : t : −t] per ogni con t 6= 0).



21.1 Isomorfismi proiettivi e proiettivita

(21.16) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V ) →P(W ) si dice isomorfismo proiettivo se esiste un isomorfismo di spazi vettoriali F : V → Wtale che per ogni v ∈ V si ha f([v]) = [F (v)].

V r {0} F∼=

//

��

W r {0}

��P(V )

f // P(W )

Si dice che F induce l’isomorfismo f e che P(V ) e P(W ) sono isomorfi. Se V = W (e quindiP(V ) = P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si dice proiettivita.

(21.17) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K) sono isomorfi, percui due spazi proiettivi sullo stesso campo e con la stessa dimensione sono isomorfi. Quindisenza perdere in generalita si puo sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo Ksia Pn(K). Osserviamo anche che se λ ∈ K∗, allora gli isomorfismi F : V → W (di spazivettoriali) e λF inducono lo stesso isomorfismo proiettivo f : P(V ) → P(W ) – isomorfismivettoriali diversi possono indurre lo stesso isomorfismo proiettivo. Se indichiamo con GL(V )il gruppo di tutti gli isomorfismi dello spazio vettoriale V in se e PGL(V ) il gruppo di tutte leproiettivita di P(V ) in se, si ha un omomorfismo (di gruppi) GL(V )→ PGL(V ) suriettivo (perdefinizione) ma non iniettivo. Si puo dimostrare che il suo nucleo e proprio dato dall’insiemedi tutti i multipli di 1V (identita di V ) del tipo λ1V , con λ ∈ K∗.

(21.18) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S ′ ⊂ Pn(K) sono proiettivamente equivalentise esiste una proiettivita f : Pn(K)→ P

n(K) tale che f(S) = S ′.

21.2 Incidenza e parallelismo

(21.19) Definizione. Cosı come nella definizione (16.5), presi d+ 1 punti [p0], [p1], . . . , [pd]di Pn(K) si puo definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme ditutte le combinazioni lineari

[λ0p0 + λ1p1 + · · ·+ λdpd]

con i coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. I punti [pi] ∈ Pn(K) si dicono linearmente dipendentise i corrispondenti vettori pi ∈ Kn+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendentise lo sono i vettori.

(21.20) Se S, T ⊂ Pn(K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T ) ≥ n, allora

S ∩ T 6= ∅, cioe S e T sono incidenti.

Dimostrazione. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di Kn tali che P(V ) = S ⊂ P(Kn+1)e P(W ) = T ⊂ P(Kn+1). Per definizione si ha dim(S) = dim(V )− 1, dim(T ) = dim(W )− 1.Per la formula di Grassmann si ha dim(V +W ) + dim(V ∩W ) = dim(V ) + dim(W ), e quindi

dim(V ) + dim(W )− dim(V ∩W ) ≤ n+ 1 = dim(Kn+1).



Dato che dim(S ∩ T ) + 1 = dim(V ∩W ), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo sedim(V ∩W ) ≥ 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T ) ≥ n siha

dim(S ∩ T ) = dim(V ∩W )− 1≥ (dimV + dimW − n− 1)− 1= (dimS + 1 + dimT + 1− n− 1)− 1≥ 0,

e quindi la tesi. q.e.d.

(21.21) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P2(K) si incontrano sempre inun unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P3(K), siincontrano sempre in un unico punto.

Dimostrazione. Per (21.20) in entrambi i caso l’intersezione non e vuota. A questo puntoosserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazioproiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti.Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi(13.12) e (13.15)). q.e.d.

(21.22) Nello spazio proiettivo Pn(K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno unpunto in comune.

Dimostrazione. Di fatto si tratta di n sottospazi di Kn+1 di dimensione n (codimensione 1),cioe di n equazioni (omogenee) nelle n+ 1 coordinate di Kn+1. La dimensione dello spazio disoluzioni e sempre almeno 1. q.e.d.

(21.23) Se H ⊂ Pn(K) e un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni retta passante perP incontra H esattamente in un punto.

Dimostrazione. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ⊂ Kn+1. Dire che P = [p] ∈Pn(K) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sial una retta per P , cioe l = P(W ), con W ⊂ Kn+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, eP = [p] ∈ l, cioe p ∈ W . Dato che la somma delle dimensioni dim(l) + dim(K) e esattamenten, per (21.20) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune.Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V ∩ W sarebbe≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H. Ma questo non puo essere dato che P 6∈ H (vedi ancheesercizio (13.15)). q.e.d.

(21.24) Nota. Mediante (21.23) si puo dimostrare che e possibile definire la proiezione pro-iettando non solo parallelemante (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), maanche proiettando da un punto di Pn(K). Vediamo come: se Q ∈ Pn(K) e un punto fissatoe H e H ′ due iperpiani di Pn(K) che non contengono Q, per ogni [x] ∈ H esiste una (unica)retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H ′ in un unico punto, che chiamiamof([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H ′ (chiamata anche proiezione pro-spettica, o prospettiva, di H su H ′). E un isomorfismo proiettivo tra H e H ′. Per mostrarequesto, osserviamo che H = P(V ) e H ′ = P(V ′) con V e V ′ sottospazi di Kn+1 di dimensionen. La funzione f e un isomorfismo proiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo dispazi vettoriali) che induce f . Ora, sia q ∈ Kn+1 un vettore per cui [q] = Q. Dal momentoche q 6∈ V ′, si puo scrivere Kn+1 come somma (diretta) di sottospazi vettoriali

Kn+1 = 〈q〉 ⊕ V ′



e di conseguenza si puo definire la proiezione π : Kn+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q(meglio, del sottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di π a V eanch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo e la composizione F : V → Kn+1 →V ′, che e un isomorfismo dato che q 6∈ V . Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si ha[F (x)] = f([x]). La retta per [x] e Q e il sottospazio (di dimensione 2) generato da x e da q. Echiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con la sua proiezione mediante π definita sopra(che proietta su V ′), dato che la proiezione e parallela a q e [q] = Q e un punto della retta (equindi del piano che stiamo considerando), cioe che l’intersezione e generata da F (x).

(21.25) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezioneprospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sara definita in alcuni punti degli iperpianiaffini).



Esercizi: foglio 13

(13.1) Dimostrare che la definizione (21.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite me-diante l’azione del gruppo moltiplicativo del campo e equivalente (nel senso che gli insiemiottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (21.4), cioe P(V ) el’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .

(13.2) Dimostrare che P1(R) e omeomorfo alla circonferenza S1.

*(13.3) Dimostrare che P1(C) e omeomorfo alla sfera S2.

*(13.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi Pn(R) e Pn(C), per n ≥ 1, sono compatti.(Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di Rn+1

r {0} conl’azione del gruppo moltiplicativo R∗, si puo considerare il quoziente solo della sfera Sn ⊂ Rn+1

di equazione x20+x2

1+· · ·+x2n, che e compatta . . . e quindi l’immagine di un compatto mediante

la mappa (continua) quoziente e . . . )

(13.5) Dimostrare che A2(R) e omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P2(R) si puoscrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito(che, siccome e omeomorfa a P1(R), e omeomorfa a una circonferenza S1).

(13.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ Pn(K) di dimensione d e omeomorfoallo spazio proiettivo Pd(K).

(13.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P2(R). Dimostrare che nonsono allineati (cioe che non c’e una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono puntiimpropri per la carta affine {[1 : x : y] : x, y ∈ R} ⊂ P2(R)?

(13.8) Si consideri il piano proiettivo P2(R) con carta affine A2(R) = {[1 : x : y]} comenell’esercizio precedente. Esiste una retta in A2(R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e[0 : 0 : 1]?

(13.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, inqualsiasi chiusura proiettiva.

(13.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P2(K) hanno sempre uno e unsolo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).

(13.11) Dimostrare che due rette parallele di A2(K) hanno lo stesso punto all’infinito inqualsiasi chiusura proiettiva di A2(K) (cioe dimostrare che due rette con punti all’infinitodistinti si devono incontrare).

(13.12) Dimostrare che per due punti distinti di Pn(K) passa e una sola retta (sottospazioproiettivo di dimensione 1).

(13.13) Sia S ⊂ Pn(K) il sottoinsieme di Pn(K) definito come segue: presi in Pn(K) d + 1punti [p0], [p1], . . . , [pd], i punti di S sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee)come combinazioni lineari

[λ0p0 + λ1p1 + · · ·+ λdpd]

per certi coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. Dimostrare che S e un sottospazio proiettivo eche ogni sottospazio proiettivo di Pn(K) si puo scrivere in questo modo. (Vedi la definizione(21.19 ))



(13.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di Pn(K) generato da d + 1 punti e il piupiccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i d+ 1 punti.

(13.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione d chepassa per d+ 1 punti di Pn(K) linearmente indipendenti.

(13.16) Dimostrare che una retta proiettiva e generata da due suoi punti distinti.

(13.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di Pn(K) passa per d+ 1 punti, alloraS contiene il sottospazio proiettivo generato dai d + 1 punti (cioe l’unico spazio proiettivo didimensione d dell’esercizio (13.15)).

(13.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto

[11

]∈ A2(R), dalla retta di

equazione {(x, y) ∈ A2(R) : y = 0} alla retta di equazione (x, y) ∈ A2(R) : x = 0}.

(13.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di P2(R)dove Q = [0 : 1 : 1], H = {[x0 : x1 : x2] ∈ P2(R) : x1 = 0} e H ′ = {[x0 : x1 : x2] ∈ P2(R) : x2 =0}. E una trasformazione affine di H in H ′?

(13.20) Determinare le equazioni omogenee (in P2(R)) della retta di A2(R) di equazionex+ y = y − 1. Qual e il suo punto all’infinito?

(13.21) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = x + b, con b ∈ R. Calcolare, alvariare di b, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

(13.22) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = mx, con m ∈ R, m 6= 0. Calcolare,al variare di m, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

*(13.23) Determinare le proiettivita : P2(R)→ P2(R) che fissano la retta (impropria) {x0 = 0}

(cioe ogni punto della retta impropria viene mandato in se).

(13.24) E possibile scrivere una traslazione di A2(R) come restrizione ad una carta affine diuna proiettivita di P2(R)?

(13.25) Esiste una proiettivita che manda i punti

[00

],

[10

],

[01

]di una carta affine in

[00

],[

10

]e

[20

]?

*(13.26) Sia An(K) ⊂ Pn(K) una carta affine e T : An(K)→ An(K) una affinita. Determinare

(in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettivita P che manda An(K) in se(e quindi l’iperpiano dei punti impropri in se) e che ristretta a An(K) sia proprio uguale a T .(Suggerimento: Si scriva T come x 7→ Ax+ b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare lamatrice F corrispondente della proiettivita (che sara una matrice (n+1)× (n+1)), si osservache se l’iperpiano dei punti impropri va in se, allora la prima riga di F ha un solo termine nonzero . . . e a meno di moltiplicare F per una costante si puo supporre questo termine uguale a1 . . . poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare cone matrici 3× 3 all’inizio. )



22 Coniche proiettive

(22.1) Definizione. Sia K[x0, x1, . . . , xn] l’anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili)x0, x1, . . . , xn. Un polinomio di K[x0, x1, . . . , xn] si dice omogeneo se tutti i suoi monomihanno lo stesso grado.

(22.2) Nota. L’insieme costituito dal polinomio nullo e da tutti i polinomi omogenei di gradod fissato e uno spazio vettoriale rispetto alla somma di polinomi; una base e costituita da tuttii monomi (con coefficienti 1) di grado d. Per esempio, se d = 2 i seguenti monomi costituisconouna base:

x20, x

21, x

22, x0x1, x0x2, x1x2.

(22.3) Un polinomio p(x0, x1, . . . , xn) non nullo di K[x0, x1, xn] e omogeneo di grado d se esolo se per ogni t ∈ K si ha

p(tx0, tx1, . . . , txn) = tdp(x0, x1, . . . , xn).

Dimostrazione. Se p e omogeneo, cioe somma di monomi di grado d, allora la proprieta e veradato che lo e per monomi di grado d. Viceversa, raggruppando i monomi dello stesso gradopossiamo scrivere p = f0 + f1 + f2 + · · · + fl, dove ogni fi e omogeneo di grado i. Ma se perogni t ∈ K si ha p(tx) = tdp(x) (qui scriviamo x = (x0, x1, . . . , xn) in forma vettoriale perbrevita), allora

f(tx) = f0(tx) + f1(tx) + f2(tx) + · · ·+ fl(tx) = f0(x) + tf1(x) + t2f2(x) + · · ·+ tlfl(x)

tdf(x) = tdf0(x) + tdf1(x) + tdf2(x) + · · ·+ tdfl(x).

Osserviamo che possiamo considerare f(tx) e tdf(x) come polinomi in K[t], considerando xcome coefficiente fissato. Ma i polinomi

f0(x) + tf1(x) + t2f2(x) + · · ·+ tlfl(x) = tdf0(x) + tdf1(x) + tdf2(x) + · · ·+ tdfl(x)

coincidono se e soltanto se i coefficienti dei monomi (in t) con lo stesso grado coincidono:quindi deve essere che tutti gli fi sono zero tranne fd, cioe p = fd (ovvero, p e omogeneo digrado d). q.e.d.

Consideriamo il piano proiettivo P2(K) reale (K = R) o complesso (K = C).

(22.4) Definizione. Una conica di P2(K) e l’insieme delle soluzioni dell’equazione (dettaequazione della conica)

f(x0, x1, x2) = 0,

dove f e un polinomio omogeneo a coefficienti in K di grado 2.15

(22.5) Esempio. Le seguenti sono equazioni omogenee (nelle coordinate omogenee [u : x : y])di coniche in P2(R):

15In molti testi si definisce l’insieme delle soluzioni come supporto della curva, mentre la curva e la classedi equivalenza del polinomio f costituita da f e da tutti i suoi multipli scalari – come per i punti dello spazioproiettivo. Questa definizione sarebbe piu appropriata, perche tiene conto della molteplicita delle soluzioni, incasi degeneri, anche se accade che una conica possa ridursi ad un punto o all’insieme vuoto.



(i) x2 + y2 = u2;

(ii) x2 + y2 − xu = xy;

(iii) x2 + xy − y2 = ux;

(22.6) Definizione. Due coniche C,C ′ ⊂ P2(K) sono proiettivamente equivalenti se esisteuna proiettivita T : P2(K)→ P

2(K) tale che T (C) = C ′.

(22.7) Sia p(x) = 0 l’equazione di una conica in P2(K), con x = [x0 : x1 : x2]. Allora esisteuna matrice 3 × 3 con coefficienti in K (unica – a meno di fattore scalare in K∗) A = (ai,j)simmetrica tale che l’equazione della conica si scrive come p(x) = txAx = 0, cioe

[x0 x1 x2

] a0,0 a0,1 a0,2

a1,0 a1,1 a1,2

a2,0 a2,1 a2,2

x0

x1

x2

= 0

Dimostrazione. Sia p(x) il polinomio omogeneo di grado 2 con coefficienti a, b, c, d, e, f in K,cioe

p(x0, x1, x2) = ax20 + bx2

1 + cx22 + dx0x1 + ex0x2 + fx1x2.

D’altro canto si ha

txAx =[x0 x1 x2

] a0,0x0 + a0,1x1 + a0,2x2

a1,0x0 + a1,1x1 + a1,2x2

a2,0x0 + a2,1x1 + a2,2x2

=x0(a0,0x0 + a0,1x1 + a0,2x2) + x1(a1,0x0 + a1,1x1 + a1,2x2) + x2(a2,0x0 + a2,1x1 + a2,2x2)=a0,0x

20 + a0,1x0x1 + a0,2x0x2 + a1,0x0x1 + a1,1x

21 + a1,2x1x2 + a2,0x0x2 + a2,1x1x2 + a2,2x

22

=a0,0x20 + a1,1x

21 + a2,2x

22 + (a0,1 + a1,0)x0x1 + (a0,2 + a2,0)x0x2 + (a1,2 + a2,1)x1x2

Basta quindi porre a0,0 = a, a1,1 = b, a2,2 = c, a0,1 = a1,0 = d/2, a0,2 = a2,0 = e/2 ea1,2 = a2,1 = f/2. q.e.d.

(22.8) Definizione. La matrice simmetrica A della proposizione (22.7) si dice matrice asso-ciata alla equazione della conica.

(22.9) Sia T : P2(K) → P2(K) una proiettivita (isomorfismo proiettivo). Se p(x) = 0 e

l’equazione della conica C, allora p(T−1x) = 0 e l’equazione della conica T (C). La matriceassociata al polinomio omogeneo di secondo grado p(T−1x) e uguale a

tT−1AT−1, dove A e la

matrice associata al polinomio p(x).

Dimostrazione. Ricordiamo che la proiettivita si scrive come matrice 3× 3 invertibile a coef-ficienti in K, per cui possiamo scrivere, semplificando, T (x) = Tx e T−1x = T−1(x). SiaC ′ = {x = [x0 : x1 : x2] ∈ P2(K) : p(T−1x) = 0}. Osserviamo che se x ∈ C (cioe p(x) = 0), siha che p(T−1Tx) = 0, cioe Tx e un punto di C ′. In altre parole, T (C) ⊂ C ′. AnalogamenteT−1(C ′) ⊂ C, e quindi T (C) = C ′. Sia A la matrice (simmetrica) associata a p(x), e quindip(x) = txAx. Allora si ha

p(T−1x) =t(T−1x)AT−1x

= txtT−1AT−1x.

q.e.d.



(22.10) Nota. Se T e una matrice in GL(3, K), segue dalla dimostrazione della proposizioneprecedente che le coniche di equazioni

txAx = 0 txtTATx = 0

sono proiettivamente equivalenti.

Ricordiamo ora alcuni teoremi relativi alle matrici simmetriche con coefficienti in K (formebilineari simmetriche):

(22.11) Ogni forma bilineare simmetrica A su Kn e diagonalizzabile, cioe se A e una matricen× n simmetrica allora esiste una matrice M ∈ GL(n,K) tale che tMAM e diagonale.

(22.12) Se K e algebricamente chiuso (per esempio K = C), per ogni forma bilineare sim-metrica A esiste M ∈ GL(n,K) tale che tMAM e diagonale e gli elementi della diagonalesono tutti 1 oppure 0, cioe

tMAM =

[Ir 00 0

]dove Ir e la matrice identica r × r e il resto della matrice ha coefficienti nulli (r e il rango diA).

(22.13) (Sylvester) Se K = R, per ogni forma bilineare simmetrica A esiste M ∈ GL(n,K)tale che tMAM e diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti ±1 oppure 0, cioe

tMAM =

Ip 0 00 −Ir−p 00 0 0

dove Ip e la matrice identica p× p, Ir−p analoga e il resto della matrice ha coefficienti nulli.

22.1 Classificazione proiettiva delle coniche

(22.14) Teorema (Forme canoniche su R). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P2(R):

(i) x20 + x2

1 + x22 = 0 (conica senza punti reali: ∅).

(ii) x20 + x2

1 − x22 = 0 (conica non degenere).

(iii) x20 + x2

1 = 0 (conica degenere: un punto [0 : 0 : 1]).

(iv) x20 − x2

1 = 0 (conica degenere: due rette x0 = x1, x0 = −x1).

(v) x20 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x0 = 0, x0 = 0).

Ogni conica C ⊂ P2(R) e proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3,4. 5.



Dimostrazione. Abbiamo visto sopra che ogni conica nel piano proiettivo puo essere riscritta,mediante una proiettivita, come una delle coniche dell’elenco. Dobbiamo mostrare che nonsono proiettivamente equivalenti per stabilire l’unicita della forma canonica. E chiaro che la3 non e equivalente alle altre, dato che e formata da solo un punto mentre le altre hannoinfiniti punti. Dato che una proiettivita porta rette in rette, 4 e 5 non sono equivalenti: al-trimenti la proiettivita trasformerebbe una retta nell’unione di due rette distinte, cioe unaretta coinciderebbe con l’unione di due rette distinte. Per concludere la dimostrazione dob-biamo dimostrare che la conica generica non e proiettivamente equivalente ne ad una rettane all’unione di due rette (cioe che l’insieme delle soluzioni di una equazione con matrice nonsingolare non puo essere proiettivamente equivalente all’insieme di soluzioni di una equazionecon matrice singolare). Mostriamo a questo scopo che l’intersezione di una retta con unaconica non degenere ha sempre solo al massimo un numero finito di punti. A meno di uncambio di coordinate x = x0 + x1, y = x0 − x1 e z = x2 possiamo supporre che l’equazionedella conica sia xy − z2 = 0. L’equazione di una retta generica l in coordinate omogenee eax + by + cz = 0. Consideriamo la carta affine di coordinate [x : y : 1]. Se la retta l coincidecon la retta all’infinito (di equazione z = 0), allora le intersezioni sono i due punti [0 : 1 : 0]e [1 : 0 : 0]. Altrimenti, se assumiamo che l’intersezione tra la conica e la retta e compostada infiniti punti, allora ce ne sono infiniti nella parte affine dell’intersezione, dal momento chel’intersezione della conica con l e con la retta all’infinito e contenuta nell’intersezione di l conla retta all’infinito, che ha un punto solo. Ma nella carta affine le intersezioni sono le soluzionidel sistema di equazioni {

xy = 1

ax+ by + c = 0

con a oppure b diversi da zero. Questo puo avere infinite soluzioni soltanto per a = b = c = 0,contro l’ipotesi. q.e.d.

(22.15) Teorema (Forme canoniche su C). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P2(C):

(i) x20 + x2

1 + x22 = 0 (conica generica non degenere).

(ii) x20 + x2

1 = 0 (conica degenere: due rette).

(iii) x20 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x0 = 0, x0 = 0).

Ogni conica C ⊂ P2(C) e proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3.

Dimostrazione. Dato che C e algebricamente chiuso, si puo usare la classificazione delle formebilineari simmetriche su C di (22.12) per vedere che ogni conica di P2(C) e proiettivamenteequivalente ad una delle tre coniche dell’elenco (in funzione del rango della matrice associata).Poi si prosegue come nella dimostrazione della proposizione precedente (vedi anche esercizio(14.9)). q.e.d.



23 Coniche affini e coniche euclidee

Se C ⊂ P2(K) e una conica proiettiva (dove K = R oppure K = C) e A20(K) e una carta

affine di P2(K), allora l’intersezione C ∩ A20(K) si dice conica affine, o anche parte affine (al

finito) della conica C. Se K = R e A20(K) e anche euclideo, allora l’intersezione si dice conica

euclidea. Il problema della classificazione e analogo a quello della classificazione proiettiva:diciamo che due coniche affini Γ e Γ′ sono affinemente equivalenti (oppure, equivalenti dalpunto di vista affine) se esiste una affinita T : A2

0(K)→ A20(K) tale che T (Γ) = Γ′.

(23.1) Se T : A20(K)→ A

20(K) e una affinita, allora esiste una proiettivita f : P2(K)→ P

2(K)che manda A2

0(K) in A20(K) (e la retta all’infinito nella retta all’infinito) tale che per ogni

x = (x1, x2) ∈ A20(K) si ha T (x) = f([1 : x1 : x2]). Viceversa, ogni proiettivita che manda la

carta affine in se induce (nello stesso modo) una affinita sulla carta affine.

Dimostrazione. La trasformazione affine si scrive come[x1

x2

]7→[a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

] [x1

x2

]+

[b1

b2

]per certi coefficienti ai,j e bi. Ma questo si puo scrivere, aggiungendo la terza coordinatax0 = 1, anche come 1

x1

x2

7→ 1 0 0b1 a1,1 a1,2

b2 a2,1 a2,2

1x1

x2

SeM e la matrice

1 0 0b1 a1,1 a1,2

b2 a2,1 a2,2

, si vede subito che e invertibile se e solo se A e invertibile, per

cui la matrice M induce una proiettivita M : P2(K)→ P2(K), che manda la retta all’infinito

(di equazione x0 = 0) in se stessa, e il piano A20(K) = {[x0 : x1 : x2] : x0 6= 0} in se. Viceversa,

e facile vedere che una proiettivita che manda la retta all’infinito in se, in particolare devemandare i punti [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] nella retta all’infinito, per cui la matrice di unaproiettivita di questo tipo si scrive comem1,1 0 0

m2,1 a2,2 a2,3

m3,1 a3,2 a3,3

Ma m1,1 6= 0, altrimenti la matrice e singolare, e dato che la proiettivita e definita a menodi una costante, si puo supporre (dividendo per m1,1 tutti i coefficienti mi,j) senza perdere ingeneralita che m1,1 = 1. q.e.d.

(23.2) Teorema (Forme canoniche su affini reali). Consideriamo le seguenti equazionidi coniche in A2(R):

(i) x2 + y2 − 1 = 0 (ellisse/circonferenza).

(ii) x2 − y2 = 1 (iperbole).

(iii) y − x2 = 0 (parabola).



(iv) x2 − y2 = 0 (iperbole degenere: due rette secanti).

(v) x2 = 1 (parabola degenere: due rette parallele).

(vi) x2 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti).

Ogni conica C ⊂ A2(R) con piu di un punto e affinemente equivalente ad una e una sola delleconiche dell’elenco.

Dimostrazione. Scriviamo l’equazione (affine) della conica come

txMx+ 2tbx+ c = 0,

dove M e una matrice simmetrica 2 × 2, b un vettore 2 × 1 e c uno scalare. Se cambiamovariabile mediante una affinita del tipo x = Ay (dove A e invertibile), allora l’equazione diventa

tytAMAy + 2tbAy + c = 0.

Possiamo quindi diagonalizzare M mediante la matrice A (teorema di Sylvester), e supporre

che M e diagonale M =

[m1,1 0

0 m2,2

]. Tramite una traslazione del tipo y = v + z possiamo

poi trasformare l’equazione in

(tv + tz)M(v + z) + 2tb(v + z) + c = 0.

tvMv + 2tvMz + tzMz2tbv + 2tbz + c = 0

tzMz2tvMz + 2tbz + tvMv + 2tbv + +c = 0.

Se det(M) 6= 0 (cioe M e invertibile), basta prendere v tale che 2tvM+2tb = 0, per trasformarel’equazione in

tzMztvMv + 2tbv + +c = 0,

cioe esistono tre costanti a1, a2 e a3 tali che l’equazione diventa

a1z21 + a2z

22 + a3 = 0.

Abbiamo mostrato che se det(M) 6= 0 si puo comunque diagonalizzare la matrice mediantetrasformazioni affini. Se invece det(M) = 0 (se M non e invertibile), potrebbe essere che nonesiste tale v. Dal momento che M e diagonale,

tvM + tb =[v1 v2

] [m1,1 00 0

]+[b1 b2

]=[m1,1v1 + b1 b2

]quindi almeno e possibile trovare v per cui m1,1v1 + b1 = 0: l’equazione quindi, dopo latraslazione, si puo scrivere come

m1,1x21 + 2b2x2 + c = 0.

per una certa costante c. Ulteriori cambi di coordinate (tenendo conto che si possono prendereradici quadrate di numeri positivi) ci portano alla lista dell’enunciato. q.e.d.



(23.3) Teorema (Forme canoniche su affini euclidee). Consideriamo le seguenti equa-zioni di coniche in E2, per a, b > 0:

(i) x2

a2 + y2

b2= 1 (ellisse/circonferenza).

(ii) x2

a2 − y2

b2= 1 (iperbole).

(iii) y = ax2 (parabola).

Ogni conica C ⊂ A2(R) non degenere con piu di un punto e isometrica (congruente) ad unae una sola delle coniche dell’elenco.

Dimostrazione. Il procedimento e come quello della dimostrazione del teorema precedente,con la limitazione che si deve diagonalizzare M mediante trasformazioni ortogonali e chele similitudini non si possono piu usare (si possono usare solo traslazioni e trasformazioniortogonali). I dettagli della dimostrazione si possono facilmente dedurre dal procedimentousato sopra (vedi esercizio (14.12)). q.e.d.

(23.4) Nota. Supponiamo che A2(R) = A20(R) ⊂ P2(R). Sia

M =

a0,0 a0,1 a0,2

a1,0 a1,1 a1,2

a2,0 a2,1 a2,2

la matrice associata all’equazione di una conica affine, C il suo completamento proiettivo, e

A =

[a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

]il minore 2x2. Si puo vedere che, mediante una trasfomazione affine, A viene

trasformata in A′ = tTAT , per cui il segno e la nullita di det(A) vengono conservati. Si puodimostrare (vedi esercizio (14.10) che se C e una conica non degenere allora

det(A) = 0 se C e una parabola

det(A) < 0 se C e una iperbole

det(A) > 0 se C e un’ellisse

Lo stesso vale per coniche euclidee.



Esercizi: foglio 14

*(14.1) Sia f : R → R una funzione derivabile e con derivata continua (C1) tale che per uncerto k ∈ R ∀λ ∈ R,∀x ∈ R, f(λx) = λkf(x) (f e omogenea di grado k). Dimostrare chel’identita di Eulero e soddisfatta:

∀x ∈ R, xf ′(x) = kf(x).

Scrivere una identita analoga per le derivate successive, per funzioni di classe Cp omogenee digrado k. Dedurre che se f e omogenea di grado k e di classe Ck allora f(x) = xk. Mostrareche la condizione di essere di classe Ck e necessaria.

(14.2) Dimostrare che non esiste una proiettivita T : P2(K)→ P2(K) che manda una retta r

nell’unione di due rette distinte s, s′ ⊂ P2(K), cioe T (r) = s ∪ s′.

(14.3) Dimostrare che l’intersezione tra la conica di equazione xy = z2 in P2(R) e la retta(generica) di equazione ax+ by + cz = 0 e composta da 0, 1 oppure 2 punti.

(14.4) Considerare la conica Γ in A2(R) di equazione y = x2. Sia C la chiusura proiettiva(aggiungendo una terza variabile z e omogeneizzando l’equazione) di Γ in P2(R). Determinarel’intersezione tra C e la retta all’infinito.

*(14.5) Dimostrare che se una retta ha un solo punto di intersezione con una conica, allora etangente. (Suggerimento: la definizione di tangente ad una curva in un punto e . . . )

(14.6) Scrivere le equazioni di una proiettivita che manda la conica di equazioni x2 + y2 = z2

nella conica di equazioni yz = x2.

(14.7) Determinare se la conica di equazione

x2 + 5y2 + 7z2 + 8xy + 10xz + 11yz = 0

e degenere oppure no.

*(14.8) Dimostrare che una conica e una retta in P2(C) hanno sempre almeno un punto diintersezione e non piu di due punti di intersezione.

(14.9) Dimostrare che le coniche di P2(C) di equazioni x20 +x2

1 +x22 = 0, x2

0 +x21 = 0 e x2

0 = 0non sono proiettivamente equivalenti. (Questo conclude la dimostrazione della classificazionedelle coniche di P2(C) (proposizione (22.15 )))

*(14.10) Dimostrare che, a seguito della classificazione delle coniche affini reali (23.2), unaconica non degenere e parabola, ellisse o iperbole a seconda che la matrice 2x2 ottenutaconsiderando la parte omogenea di secondo grado dell’equazione ha determinante det(A) = 0,det(A) > 0 oppure det(A) < 0, e che e degenere se e solo se il determinante della matriceassociata e 0.

(14.11) Dimostrare che ogni conica affine si puo scrivere con l’equazione

txMx+ 2tbx+ c = 0,

dove M e una matrice simmetrica 2× 2, b un vettore 2× 1 e c uno scalare.



*(14.12) Completare i dettagli della dimostrazione del teorema (23.3): ogni conica non dege-nere in E2 e isometrica ad una conica tra le seguenti:

(i) x2

a2 + y2

b2= 1 (ellisse/circonferenza).

(ii) x2

a2 − y2

b2= 1 (iperbole).

(iii) y = ax2 (parabola).

(14.13) Determinare se la conica di equazione

20x2 − 12xy + 5y2 − 1 = 0

e degenere, e se non lo e determinare di quale tipo si tratti (iperbole,ellisse,parabola).

(14.14) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica:

16xy + 8x− 8y2 = 4y + 1

(14.15) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica:

5y + y − 4x2 − 4xy − y2 = 1

*(14.16) Siano F1 e F2 due punti di E2. Determinare il luogo di punti P tali che la sommadelle distanze |P − F1| + |P − F2| e costante (i due punti si dicono fuochi). (Suggerimento:basta considerare il caso in cui F1 e F2 giacciono su uno degli assi, e il loro punto medio el’origine. Allora le coordinate . . . )

*(14.17) Siano F1 e F2 due punti di E2 (detti fuochi). Determinare il luogo di punti P taliche la differenza delle distanze |P − F1| − |P − F2| e costante.

*(14.18) Sia F un punto di E2, d una retta (chiamata direttrice) non passante per F e e unacostante positiva. Determinare il luogo di tutti i punti di E2 tali che il rapporto della distanzatra punto e F con la distanza tra il punto e d e uguale alla costante e (chiamata eccentricita).Studiare, al variare di e, il tipo della curva ottenuta. (Suggerimento: prendendo un opportunosistema di riferimento, si puo assumere che la retta d e il punto F abbiano coordinate . . . Poiosservare che se l’eccentricita e 1 per la parabola, < 1 per l’ellisse e > 1 per l’iperbole).

(14.19) Calcolare le coordinate dei fuochi e l’eccentricita della conica di equazionex2

9+y2

16=

1.

(14.20) Determinare l’intersezione della conica di equazione

x2 + xy + y2 + x+ y + 1 = 0

con la retta di equazione x+ y = −1.

(14.21) Sia y = x2 la parabola di A2(R). Nella chiusura proiettiva, quante sono le intersezionidella parabola con la retta all’infinito? E per l’iperbole?

*(14.22) E possibile distinguere tra una ellisse e una iperbole in A2(C)? Come si potrebberodefinire?


Geometria e Topologia I 99

Riferimenti bibliografici

Testi consigliati

[1] Carlos R. Borges: Elementary Topology and Applications, World Scientific, 2000.[2] V.Checcucci, A.Tognoli, E.Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli, 1977.[3] H.S.M.Coxeter: Introduction to geometry. John Wiley and Sons, 1961, 1969, 1989.[4] D.Hilbert and S.Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination, Chelsea, 1952.[5] M.Nacinovich: Elementi di geometria analitica. Serie di matematica e fisica, 1996.[6] E.Sernesi, Geometria, vol.I-II. Bollati–Boringhieri, 1991,1994,2000.[7] M.I.Stoka, Corso di Geometria. Cedam, 1995.

Approfondimenti

[8] Bredon, G.E.: Topology and Geometry, Springer, 1993.[9] Conforto, F. and Benedicty, M.: Introduzione alla topologia, Roma (1960), pag. 82.

[10] Dieudonne, J: Algebra lineare e geometria elementare. Feltrinelli, 1970.[11] Enriques, F.: Lezioni di geometria proiettiva. Zanichelli, 1996. (Ripr. anast. dell’ed:

Zanichelli, 1904).[12] Hilbert, D. e Cohn–Vossen, S.: Geometria intuitiva: complemento: I primi fondamenti

della topologia, di Pavel Sergevic Aleksandrov/ Davide Hilbert e Stefan Cohn–Vossen.Bollati Boringhieri, 2001.

[13] Janich, K.: Topologia, Zanichelli, 1994.[14] Kosniowski, C.: Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, 1988.[15] Singer, I.M. and Thorpe, J.A.: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,

Springer, 1967. Traduzione in italiano: Lezioni di topologia elementare e di geometria,Boringhieri, 1980.

[16] Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).

D.L. Ferrario 99

Indice analiticoA

accumulazionepunto di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)

affinespazio:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)

affinita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)allineati

punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)angoli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)aperta

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)aperti

di una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 43 (20 aprile 2005)

apertodi uno spazio metrico:. . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)

arco: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)assioma

delle parallele: . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)assiomi

del campo dei numeri reali: . . pag. 28 (31 marzo 2005)di gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)di Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)di una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)

associativaoperazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 49 (27 aprile 2005)

automorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)

azioneantipodale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)di gruppi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)di un gruppo topologico: . . . . . pag. 53 (28 aprile 2005)

pag. 59 (11 maggio 2005)fedele:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 52 (28 aprile 2005)transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)

Bbaricentro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 64 (12 maggio 2005)base

di una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 17 (17 marzo 2005)Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 33 (6 aprile 2005)bottiglia

di Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)

Ccammino:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)campo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)

degli scalari: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)dei coefficienti: . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)ordinato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)

Cantor, G.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 5 (7 marzo 2005)carta affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 89 (1 giugno 2005)Cauchy

successione di: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)Cauchy-Schwartz: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)Chasles, M.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 60 (11 maggio 2005)chiusa

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)chiusi

insieme dei: . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)

di uno spazio topologico: . . . . .pag. 17 (17 marzo 2005)e limitato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 35 (7 aprile 2005)insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)

chiusura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)pag. 17 (17 marzo 2005)

dei razionali in R: . . . . . . . . . . . .pag. 26 (24 marzo 2005)di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)

proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 91 (1 giugno 2005)circonferenza:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 102 (9 giugno 2005)

pag. 104 (9 giugno 2005)classificazione

delle coniche affini: . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)delle coniche affini euclidee: . pag. 104 (9 giugno 2005)delle coniche affini reali: . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)proiettiva delle coniche: . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)

clopen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)cofattori

di una matrice: . . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)compattezza

degli intervalli chiusi di R: . . . . . pag. 36 (7 aprile 2005)degli spazi proiettivi: . . . . . . . . . pag. 96 (6 giugno 2005)

compattoinsieme di R: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)per successioni: . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 33 (6 aprile 2005)spazio topologico: . . . . . . . . . . . .pag. 29 (31 marzo 2005)

complementare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)di un aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)di un chiuso:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)

complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)complemento ortogonale: . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)completezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)

(non) dei numeri razionali: . . . pag. 40 (14 aprile 2005)dei numeri reali: . . . . . . . . . . . . . .pag. 40 (14 aprile 2005)di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)

componenticonnesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)

pag. 47 (21 aprile 2005)composizione

di funzioni continue: . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)congiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)conica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 98 (8 giugno 2005)

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)degenere:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)doppiamente degenere: . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)non degenere: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)senza punti reali: . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)

connessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)degli intervalli: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)dei numeri razionali: . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)di Rn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)

connessione per archidegli aperti connessi di Rn: . . .pag. 46 (20 aprile 2005)di uno spazio connesso: . . . . . . .pag. 46 (20 aprile 2005)

connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)per archi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)

connettivi logici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)continuita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)

di funzioni su spazi metrici: . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)di una funzione tra spazi topologici:pag. 22 (23 marzo

2005)contrimmagine

di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)controimmagine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)

di un chiuso:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 15 (16 marzo 2005)di un intorno circolare: . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)di un sottospazio affine: . . . . .pag. 77 (19 maggio 2005)

coordinate omogenee: . . . . . . . . . . . . . . pag. 88 (1 giugno 2005)coppie ordinate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)

DDedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)

pag. 57 (5 maggio 2005)determinante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)diagonalizzabilita

di una matrice simmetrica: . . pag. 100 (8 giugno 2005)

100


dimensione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)dipendenti

punti di uno spazio affine: . . pag. 65 (12 maggio 2005)direttrice

di una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)disgiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)

esclusiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)

di un punto da un sottoinsieme: . . .pag. 83 (26 maggio2005)

minima da un piano:. . . . . . . .pag. 84 (26 maggio 2005)disuguaglianza

triangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)disuguaglianza triangolare: . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)

Eeccentricita

di una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)elemento neutro:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 49 (27 aprile 2005)ellisse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)

pag. 104 (9 giugno 2005)enunciato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)

proprieta di un: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)equazione

omogenea:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 91 (1 giugno 2005)omogenea di una conica:. . . . . .pag. 98 (8 giugno 2005)omogeneizzata: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 91 (1 giugno 2005)

equazionicartesiane: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 70 (18 maggio 2005)parametriche: . . . . . . . . . . . . . . .pag. 70 (18 maggio 2005)

equivalentimetriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)

equivalenzaaffine di coniche: . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)proiettiva di coniche: . . . . . . . . . pag. 99 (8 giugno 2005)relazione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)

Erlangenprogramma di: . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)

espressioniequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)logiche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)

estremoinferiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)

pag. 43 (20 aprile 2005)inferiore delle distanza: . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)superiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 32 (31 marzo 2005)

pag. 43 (20 aprile 2005)Euclide

quinto postulato: . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)

identita di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)

Fforma bilineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)forme canoniche

di coniche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)di coniche affini euclidee: . . . . pag. 104 (9 giugno 2005)di coniche affini reali: . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)

formuladi Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)

formula del parallelogramma: . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)

aperta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)caratteristica: . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 20 (17 marzo 2005)chiusa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)

pag. 16 (17 marzo 2005)fuochi

di una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)

Ggiacitura

di un sottospazio affine: . . . . .pag. 63 (12 maggio 2005)Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)

formula di: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 73 (19 maggio 2005)gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)

delle rotazioni del piano: . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)delle rotazioni dello spazio: . . . pag. 54 (28 aprile 2005)delle simmetrie di un quadrato: . . . . .pag. 56 (28 aprile

2005)lineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)

pag. 55 (28 aprile 2005)ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)speciale ortogonale: . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)

pag. 59 (11 maggio 2005)

HHausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 33 (6 aprile 2005)

Iidentificazione

di punti in uno spazio topologico: . . pag. 24 (24 marzo2005)

identitadi Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)

immaginedi un compatto: . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)

pag. 30 (31 marzo 2005)di un connesso: . . . . . . . . . . . . . . .pag. 44 (20 aprile 2005)di un intervallo chiuso: . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)di una rette con una mappa affine: pag. 71 (18 maggio

2005)implicazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)

doppia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)indipendenti

punti di uno spazio affine: . . pag. 65 (12 maggio 2005)insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)

aperto:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)delle parti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)vuoto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)

pag. 9 (9 marzo 2005)insiemi

complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)inclusionedi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)intersezione di: . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 6 (7 marzo 2005)prodotto cartesiano:. . . . . . . . . . . .pag. 6 (7 marzo 2005)unione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 5 (7 marzo 2005)

interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)intersezione

di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)di intorni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)di rette proiettive: . . . . . . . . . . . . pag. 94 (6 giugno 2005)finita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)

intervalliconnessione degli: . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)nella retta reale: . . . . . . . . . . . . . pag. 20 (17 marzo 2005)

intervallodi razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 35 (6 aprile 2005)in un insieme ordinato: . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)semiaperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)

intornicircolari, base: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 17 (17 marzo 2005)

intorno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)circolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 7 (9 marzo 2005)in uno spazio topologico: . . . . .pag. 16 (17 marzo 2005)

inversione

D.L. Ferrario 101

102 Geometria e Topologia I

in un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)involuzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 84 (26 maggio 2005)iperbole:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 102 (9 giugno 2005)

pag. 104 (9 giugno 2005)iperpiani affini:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 63 (12 maggio 2005)iperpiano

dei punti impropri: . . . . . . . . . . . pag. 89 (1 giugno 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 90 (1 giugno 2005)

isometria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 79 (25 maggio 2005)come trasformazione affine: . pag. 80 (25 maggio 2005)

isomorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 93 (6 giugno 2005)

KKlein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)

bottiglia di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)

Llaterali

di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)lineare

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)linearmente dipendenti: . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)logica

bivalente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)dei predicati:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 3 (7 marzo 2005)

MMobius

nastro di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)

maggiorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)mappa

diagonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 26 (24 marzo 2005)tra spazi topologici: . . . . . . . . . .pag. 22 (23 marzo 2005)

massimodi una funzione continua: . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)

pag. 37 (7 aprile 2005)matrice

associata ad una conica: . . . . . . pag. 99 (8 giugno 2005)matrici

invertibili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)

p-adica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 11 (9 marzo 2005)discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)esempi di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)

metricheequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 10 (9 marzo 2005)

metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 32 (31 marzo 2005)

spazio topologico: . . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)minimo

di una funzione continua: . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 37 (7 aprile 2005)

minorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)

Nnastro

di Mobius: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)

negazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 2 (7 marzo 2005)norma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 42 (14 aprile 2005)

Oomeomorfismo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 22 (23 marzo 2005)

operazionebinaria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)

orbita:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 52 (28 aprile 2005)orecchini

delle Hawaii: . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 27 (24 marzo 2005)ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)

Ppalla: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)parabola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)

pag. 104 (9 giugno 2005)paralleli

sottospazi affini: . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)parallelogramma

formula del: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)parte

affine di un sottospazio proiettivo: . . pag. 90 (1 giugno2005)

affine di una conica: . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)parti

insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)piano

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 63 (12 maggio 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 90 (1 giugno 2005)proiettivo reale: . . . . . . . . . . . . . . pag. 96 (6 giugno 2005)

piano proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 25 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)

polinomioomogeneo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 98 (8 giugno 2005)

prodottocartesiano di insiemi:. . . . . . . . . . .pag. 6 (7 marzo 2005)di matrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)di spazi connessi: . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)di spazi metrici: . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)in un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)

prodotto scalare: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)proiettivita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)proiettivizzato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 88 (1 giugno 2005)proiezione

di uno spazio affine su un sottospazio: . . . . pag. 73 (19maggio 2005)

ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)prospettica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 94 (6 giugno 2005)

pag. 97 (6 giugno 2005)stereografica: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)sullo spazio delle orbite: . . . . . . pag. 56 (28 aprile 2005)sullo spazio quoziente: . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)

proiezioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)proposizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)punti

all’infinito di uno spazio proiettivo: . pag. 89 (1 giugno2005)

di uno spazio affine: . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)di uno spazio proiettivo: . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)impropri di uno spazio proiettivo: . . .pag. 89 (1 giugno

2005)punto

di accumulazione: . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)pag. 17 (17 marzo 2005)

di uno spazio metrico:. . . . . . . . . .pag. 7 (9 marzo 2005)interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)

pag. 16 (17 marzo 2005)limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)

pag. 17 (17 marzo 2005)medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 76 (19 maggio 2005)

Qquantificatore

esistenziale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 4 (7 marzo 2005)univerale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3 (7 marzo 2005)

quantificatori: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3 (7 marzo 2005)

102 D.L. Ferrario


quinto postulato di Euclide: . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)

Rrelazione

di equivalenza: . . . . . . . . . . . . . . .pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 48 (21 aprile 2005)

restrizionedi funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)

reticolodegli interi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)

retrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 27 (24 marzo 2005)retta

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 61 (11 maggio 2005)tangente ad una conica: . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)

retteparallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 61 (11 maggio 2005)proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)

riferimentoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 86 (26 maggio 2005)

riflessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 84 (26 maggio 2005)parallela ad un sottospazio affine: . pag. 74 (19 maggio

2005)riflessioni

lungo rette: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)rotazioni

gruppo delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)Russell, B.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 5 (7 marzo 2005)

Sscalari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)segmento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 66 (12 maggio 2005)

pag. 76 (19 maggio 2005)sezioni

di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 57 (5 maggio 2005)sfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)

di dimensione 0: . . . . . . . . . . . . . .pag. 43 (20 aprile 2005)sghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)simboli

primitivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)similitudine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 87 (26 maggio 2005)sottogruppo

di un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)

chiuso di un compatto: . . . . . . pag. 30 (31 marzo 2005)compatto di uno spazio di Hausdorff: . . . . . pag. 30 (31

marzo 2005)sottoinsiemi

di uno spazio topologico: . . . . .pag. 18 (17 marzo 2005)sottospazi

euclidei ortogonali: . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)

sottospazi affinisghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 72 (19 maggio 2005)

sottospazioaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 63 (12 maggio 2005)affine generato da punti: . . . . pag. 64 (12 maggio 2005)affine, paralello e passante per un punto: . . pag. 72 (19

maggio 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 90 (1 giugno 2005)proiettivo generato da punti: . pag. 93 (6 giugno 2005)

pag. 97 (6 giugno 2005)sottosuccessione

convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)di una successione convergente: . . . . pag. 29 (31 marzo

2005)spazi

omeomorfi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)spazio

affine euclideo: . . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)

di identificazione: . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)omogeneo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)

pag. 56 (28 aprile 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 88 (1 giugno 2005)quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)vettoriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)vettoriale euclideo:. . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)

spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)spazio metrico

completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)spazio vettoriale

euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)stabilizzatore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)successione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)

convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 29 (31 marzo 2005)convergente in uno spazio metrico: . .pag. 39 (14 aprile

2005)di Cauchy:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)

pag. 39 (14 aprile 2005)Sylvester: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)

Ttangente

ad una conica: . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)tautologie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)teorema

del valore intermedio: . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)di Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . .pag. 37 (7 aprile 2005)di Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . pag. 35, 36 (7 aprile 2005)di Sylvester: . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)di Thychonoff: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 31 (31 marzo 2005)

Thychonoffteorema di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 31 (31 marzo 2005)

topologiabanale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)definizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)dei complementi finiti: . . . . . . . pag. 20 (17 marzo 2005)di uno spazio affine: . . . . . . . . pag. 75 (19 maggio 2005)di uno spazio metrico: . . . . . . . . pag. 10 (9 marzo 2005)discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)generata dalla base:. . . . . . . . . .pag. 18 (17 marzo 2005)indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 18 (17 marzo 2005)metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)

toro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 38 (7 aprile 2005)toro bidimensionale:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 24 (24 marzo 2005)

pag. 54 (28 aprile 2005)traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)

insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)

Uunicita

del limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 29 (31 marzo 2005)della parallela per un punto: pag. 61 (11 maggio 2005)

unionedi insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)di una famiglia di intorni circolari: . . . pag. 9 (9 marzo

2005)

Vvalore di verita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)variabili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)verita

tabelle di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 2 (7 marzo 2005)valori di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)

vettori affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)vettori ortogonali

indipendenza lineare dei: . . . .pag. 86 (26 maggio 2005)

D.L. Ferrario 103

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Appunti di Geometria e Topologia Istaff.matapp.unimib.it/~ferrario/geotop-2005/notes.pdfData di stampa: 7 giugno 2005 Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2004/2005)