Appunti di comunicazioni elettriche

Indice

1 Introduzione alle comunicazioni 31.1 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Rumore termico in bipoli resistivi . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Rumore termico per sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 La cifra di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Rapporto segnale/rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Cascate di doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Propagazione guidata e in spazio libero . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Sistemi via cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Sistemi via etere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Descrizione sistemistica delle antenne . . . . . . . . . . . 8

2 Trasmissione di segnali analogici 92.1 Il segnale analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 L’inviluppo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Filtri passa banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Il rumore gaussiano bianco . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Modulazioni AM 123.1 La modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Densita spettrale dei segnali modulati . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Potenza media dei segnali modulati . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Definizioni di modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Demodulazione coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.1 modulazione AM-DSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Modulazioni Single SideBand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6.1 Modulazione Vestigial SideBand . . . . . . . . . . . . . . 163.7 Prestazioni AM (in presenza di rumore) . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7.1 Sistema AM di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7.2 Schema generale per sistemi AM . . . . . . . . . . . . . . 173.7.3 Sistemi AM a ricezione coerente . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Sistemi PCM 194.1 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 SNR di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Il canale binario BSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

INDICE 2

4.3.1 SNR per gli errori del canale . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2 SNR del sistema PCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Trasmissioni digitali 255.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Classificazione trasmissioni digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Occupazione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Capitolo 1

Introduzione allecomunicazioni

1.1 Rumore termico

Descriviamo ora la natura e le fonti del processo di rumore sempre presente negliapparati di telecomunicazione, e di come questo sia tenuto in considerazione nelprogetto degli stessi, in quanto il rumore e il principale elemento degradante diun sistema.

1.1.1 Rumore termico in bipoli resistivi

Ai capi di un resistore R a temperatura T e presente una tensione a vuoto v(t),realizzazione di un processo gaussiano a media nulla, che e l’effetto del motocaotico degli elettroni all’interno della resistenza. Questo moto casuale generauna certa tensione di rumore tranne allo zero assoluto, dove il moto cessa. Lospettro di densita di potenza della tensione a vuoto ha espressione:

Pv(f) = 2R[h|f |

2+

h|f |e

h|f|kT − 1

]in cui k = 1.38 · 10−23 Joule

K e la costante di Boltzman e h = 6.62 · 10−34Joule · se la costante di Planck.

Il primo termine deriva dal Principio di indeterminazione di Heisenberg (evale solo per comunicazioni ottiche). Il secondo termine, invece, si riferisceproprio al rumore dovuto al moto termico.

Per le applicazioni tipiche di comunicazioni classiche dove

• si ha una temperatura standard compresa tra i 0◦C e i 50◦C

• si lavora a frequenza inferiori al terahertz

si nota che e possibile applicare delle approssimazioni:

h|f |kT

<< 1 ⇒ eh|f|kT − 1 ' h|f |

kT

3

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI 4

Pv(f) = 2R · kT[V 2

Hz

]La statistica del rumore termico e rappresentabile con ottima approssi-

mazione come un processo di rumore bianco, in quanto valore medio nullo,ergodico1 e stazionario. Il suo valore “rms” (root mean square), ossia la suadeviazione standard, su una banda B e dato da:

Vrms =√< V 2 > =

√∫ B

−BPv(f) df =

√2kRT

∫ B

−Bdf =

√4kRTB [V ]

Accade allora che un bipolo passivo equivale allo stesso bipolo nonrumoroso (a temperatura zero assoluto), con in serie un generatoredi rumore con densita di potenza di tensione pari a Pv(f) ' 2kTR.Allo stesso modo si puo definire quella di corrente Pi(f) ' 2kT

R

In realta, la densita spettrale a noi utile e quella della potenza e, dato chelavoriamo su circuiti adattati, con un carico pari all’impedenza di ingresso, lapotenza efficace e la sua densita spettrale si ricavano in questo modo:

vL(t) =v(t)

2PL =

v2L(t)R

=v(t)4R

Pd(f) =PL(f)

4R=

2kRT4R

=kT

2

[W

Hz

]Questa definizione e effettivamente una potenza assoluta, anche dal punto

di vista dimensionale, e possiede quindi un significato fisico.Oltre a non dipendere dalla resistenza, possiamo notare che la potenza cosıdefinita in uscita da una filtro con banda B e di nuovo una potenza disponibile:

kT

2· 2B = kTB

1.1.2 Rumore termico per sorgenti

E’ possibile caratterizzare anche le sorgenti dal punto di vista del rumore. Unasorgente con una resistenza interna R generera una quantita di rumore che puoessere anche non termico . Pertanto, dal punti di vista sistemistico si introduce In realta,

un amicoTLC dice ilcontrario

la temperatura equivalente di rumore come:

Teq =Pd|inBkB

Questo Teq e la temperatura della resistenza se la sorgente e costituita da unasola resistenza. In caso diverso, con anche una sorgente di segnale, la tem-peratura equivalente sara anche superiore, in quanto viene introdotto ulteriorerumore.Per una sorgente generica essa puo NON essere la temperatura ambiente: spessoe superiore quando contiene componenti attivi o minore se e un’antenna.

1Un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche coincidono con lemedie temporali; di conseguenza, un processo ergodico deve anche essere stazionario. Inparticolare, si parla di ergodicita nella media quando la media temporale e la media statisticacoincidono; si parla di ergodicita nella correlazione quando la autocorrelazione statistica e laautocorrelazione temporale coincidono.


1.2 Doppi bipoli

I doppi bipoli lineari, quali gli amplificatori e gli attenuatori, si identificano peril guadagno, per il rumore associato.

Il suddetto guadagno e definito disponibile, ossia il guadagno di potenzanella condizione di adattamento ed e, in generale, espresso come rapporto tra ledensita spettrali di potenza di segnale in ingresso e in uscita (senza considerarel’effetto di rumore)

Gd(f) =Pout(f)Pin(f)

Per classificare il doppio bipolo dal punto di vista del rumore introdotto siprocede ad un esperimento ideale confrontando le potenze di rumore all’uscitadel doppio bipolo ideale (che non introduce rumore, ma amplifica il rumore in-trodotto) e il doppio bipolo reale. In questo modo, si puo introdurre la cosiddettacifra di rumore:

F (f) =Prealeout (f)Pidealeout (f)

=kT0

2 Gd + Pint(f)kT0

2 Gd(1.1)

Questo valore e sempre maggiore uguale a 1 e, pur essendo dipendente dallafrequenza, spesso lo si supporra indipendente da essa.

1.2.1 La cifra di rumore

La cifra di rumore, o “noise figure”, e definita in particolari condizioni:

1. sistema adattato in impedenza

2. resistenza in ingresso fissato a T0 = 290K (se e diversa, bisogna rifare iconti e non si puo usare tale semplificazione)

In queste condizioni, si puo esplicitare

Prealeout (f) = Gd(f)k

2[T0 + Teq(f)]

Prealeout (f) =kT0

2Gd(f)︸︷︷︸

rumore resistore

+kTeq

2Gd(f)︸︷︷︸

rumore intrinsecodove Teq e l’aumento fittizio e ideale di temperatura che deve dare al resistoredi ingresso per avere la corretta quantita di rumore in uscita, considerando ildoppio bipolo ideale.

Relazione tra Teq e F Si dimostra che, supponendo per semplicita tutte lequantita in gioco indipendenti dalla frequenza, quindi omettendo la variabile f:

Pout = Gdk

2(T0 + Teq) (1.2)

Pout = Gdk

2T0 · F (1.3)


Possiamo riscrivere l’equazione 1.2

Pout = GdkT0

2(1 +

TeqT0

) (1.4)

ed eguagliarla all’equazione 1.3 per ottenere

F = 1 +TeqT0

⇐⇒ Teq = T0(F − 1) (1.5)

1.2.2 Rapporto segnale/rumore

Per un sistema si puo introdurre un indice di prestazione: il Signal to NoiseRatio o SNR.

Supponiamo che ci sia un segnale utile, di potenza disponibile Ps, postoall’ingresso di un sistema e valutiamo i rapporti segnale-rumore in ingresso e inuscita al doppio bipolo.

All’ingresso l’unica fonte di rumore e la resistenza di adattamento:

SNRin|subandaB =PskTB

mentre all’uscita avremo sia il rumore che il segnale amplificato di un fattoreGd:

SNRout|subandaB =Ps ·��Gd

kTB · F (f) ·��GdDa queste due equazioni possiamo ricavare una seconda definizione per la

cifra di rumore che ne evidenzia il suo significato fisico:

F =SNRinSNRout

La cifra di rumore risulta essere il rapporto tra il rapporto segnale-rumore iningresso e quello in uscita dal doppio bipolo.

1.2.3 Cascate di doppi bipoli

Spesso capita di dover considerare delle cascate di doppi bipoli. Viene allo-ra spontaneo chiedersi quanto vale la densita spettrale di potenza di rumoreall’uscita di una generica cascata di questo tipo.

Considerando che, per semplicita, tutto sia indipendente dalla frequenza,avendo come unica fonte di rumore la resistenza d’adattamento, avremo che:

P(1)out(f) =

k

2Gd1(T0 + T (1)

eq )

P(2)out(f) = P

(1)out ·Gd2 +

k

2T (2)eq ·Gd2 =

=k

2[Gd1Gd2 · T0 +Gd1Gd2 · T (1)

eq +Gd2 · T (2)eq =

=k

2Gd1Gd2

[T0 +

(T (1)eq +

T(2)eq

Gd1

)]


Si ottengono i seguenti valori equivalenti:

Gdeq ←− Gd1 ·Gd2 TeqTOT ←− T (1)eq +

T(2)eq

Gd1

e quindi accade che i guadagni si moltiplicano e le temperature equivalenti sisommano ciascuna divisa per i guadagni disponibili dei blocchi precedenti.

Gdeq =M∏i=1

Gdi Teq =M∑i=1

T(i)eq∏i−1

j=1 Gfj

Notiamo che la temperatura equivalente di rumore dello stadio i-esimo edivisa per i guadagni degli stadi predente. In presenza di guadagni positivi (indB), i contributi piu critici per il rumore appartengono quindi ai primi stadi.

Inoltre, in maniera analoga, otteniamo una formula per la cifra di rumoreequivalente:

FTOT = F1 +F2 − 1Gd1

+F3 − 1Gd2 ·Gd1

+ . . .

per cui la cifra di rumore equivalente e la somma delle cifre, ciascuna ridotta di1 e divisa per i prodotti dei guadagni disponibili dei blocchi precedenti.

Esempio di cifra di rumore di un attenuatore passivo Consideriamoun attenuatore passivo costituito da un cavo coassiale ed una resistenza diadattamento.

Il guadagno disponibile e dato dal reciproco dell’attenuazione Gd = 1L .

Supponiamo che il sistema sia adattato e si trovi all’equilibrio termodinamico; inqueste condizioni, per motivi a noi ora sconosciuti, l’impedenza vista all’uscitae comunque solo R e quindi dal punto di vista fisico abbiamo che

Pout(f) =kT0

2(1.6)

Se trattiamo il cavo come un doppio bipolo, ricaviamo la Teq come

Pout(f) =kT0

21LFattenuazione (1.7)

Uguagliando le equazioni 1.6 e 1.7 si ha

1LFatt = 1 ⇒ Fatt = L

Accade quindi che il rumore in ingresso viene attenuato di una quantita parial rumore generato dall’attenuatore stesso: F = L.

Osservazioni Dal punto di vista del rumore ci serve una F bassa e quindi,in generale, conviene mettere prima un preamplificatore, a bassa immissione dirumore, prima di un attenuatore con F = L molto grande e che quindi portaad una cifra di rumore equivalente molto elevata:

FTOT = F1 +F2 − 1Gd1


1.3 Propagazione guidata e in spazio libero

La propagazione di un segnale puo essere suddivisa in

• via cavo (propagazione guidata con attenuazione del tipo e−γz

• via etere (propagazione libera con attenuazione del tipo Kz2

1.3.1 Sistemi via cavo

L’attenuazione di un tratto di cavo di lunghezza z, ad una determinata frequen-za, e regolata da

Pout = Pine−γz

dove γ e un coefficiente che dipende dalla frequenza di lavoro e dalle caratteris-tiche del cavo.

Se esprimiamo la relazione in scale logaritmiche:

Pout|dB = Pin + 10 log1 0e−γz = Pin + 10ln eγz

ln 10=

= Pin − 10γz

ln 10= Pin −

10 γln 10︸︷︷︸α

z =

Spesso i costruttori forniscono direttamente il valore α, che tipicamente vieneespresso in una delle seguenti unita di misure dB

m , dB100m , dB

km o dBfeet .

Pout|dB = Pin|dB − α z

L’attenuazione in decibel aumenta linearmente per un sistema di propagazioneguidato via cavo.

1.3.2 Sistemi via etere

Nei sistemi di propagazione via etere sono fondamentali le antenne di trasmis-sione e di ricezione, nonche il materiale di propagazione. La potenza ricevutadipende da:

• la potenza trasmessa P

• la distanza tra le antenne R

• la caratteristica delle antenne

• la frequenza di trasmissione

1.3.3 Descrizione sistemistica delle antenne

Tutte le antenne sono descritte avendo come riferimento concettuale l’antennaisotropica: essa e un’antenna che emette idealmente in tutte le direzione nellostesso modo e ha come potenza per unita di superficie, ad una distanza R laseguente equazione:

PTX4πR2

Un’antenna reale emettera in maniera diversa a seconda della direzione, mafissata questa, si puo definire il guadagno di antenna (CONTINUA)

Capitolo 2

Trasmissione di segnalianalogici

I segnali analogici possono essere classificati in base al loro spettro nel seguentemodo:

• in banda base quando le componenti spettrali sono concentrati attornoalla frequenza f = 0 e sono nulle al di fuori di un certo range.Appartengono a questa categoria i segnali audio in uscita da un microfonoe i segnali logici.

• in banda traslata quando le componenti spettrali sono concentrate at-torno ad una frequenza centrale fc 6= 0, detta frequenza della portante.Appartengono a questa categoria tutti i segnali radiotelevisivi.

I segnali in banda traslata rappresentano gran parte delle trasmissioni elet-triche, soprattutto via etere. Essi sono generati da sistemi che si basano sullamodulazione in ampiezza (AM), di fase (PM) o di frequenza (FM).Questi segnali sono cosı importanti che e stata introdotta una propria rappre-sentazione matematica, detta segnale analitico.

2.1 Il segnale analitico

Il segnale analitico permette di rappresentare matematicamente un segnale trasla-to. Sia questo v(t), si definisce segnale analitico v(t) un segnale ad esso associatoe definito graficamente come segue:

dove H(f) = 2 · u(f) e di conseguenza

V (f) = H(f) · V (f)

v(f) = F−1{V (f)

}= F−1 {H(f) · V (f)} = h(t) ∗ v(t)

v(f) = h(t) ∗ v(t) = δ(t) ∗ v(t) + j1πt∗ v(t)

In pratica, il segnale analitico e il segnale che spettralmente contiene solo lefrequenze positive del segnale di partenza. Per tale motivo, esso e asimmetricoin f e, quindi, rappresenta un segnale complesso nel dominio nel tempo.

9

CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SEGNALI ANALOGICI 10

In questi termini il segnale reale di partenza coincide con la parte reale delsegnale analitico complesso.

v(t) = Re {v(t)}

In alternativa e possibile recuperare il segnale di partenza tramite la costruzionegrafica dello spettro.

2.2 L’inviluppo complesso

Il segnale analitico fa ancora parte di quei segnali in banda traslata. Si e,quindi, cercata una seconda rappresentazione che permettesse di ottenere unsegnale corrispondente in banda base, anche se complesso. A tale scopo, datoun generico segnale v(t), in banda traslata e concentrato attorno alla frequenzafc, si definisce il suo inviluppo complesso il seguente segnale:

g(t) = v(t) · e−j2πfct

Dall’inviluppo complesso si puo ritornare al segnale di partenza:

v(t) = Re{g(t)e+j2πfct

}= x(t) cos(2πfct)− y(t) sin(2πfct)

dove si nota che l’inviluppo g(t) = x(t) + jy(t) e composto da una componentein fase ed una in quadratura di fase rispetto alla portante e+j2πfct.

Da questa definizione si ricavano le seguenti proprieta:

V (t) = F{Re[g(t) ej2πfct

]}=

12

[G(f − fc) + G∗(−f − fc)] (2.1)

Pv(f) =14

[Pg(f − fc) + Pg(−f − fc)] (2.2)

Si noti che non e un semplice sdoppiamento perche lo spettro a frequenzenegative subisce un cambiamento di segno ed e quindi ribaltato.

DISEGNO

Dimostrazione della formula 2.1

v(t) = Re{g(t) ej2πfct

}Re {z} =

12z +

12z∗

v(t) =12g(t) ej2πfct +

12g∗(t) e−j2πfct

V (t) =12F{g(t) ej2πfct

}+

12F{g∗(t) e−j2πfct

}poiche F {g(t)} = G(f) e F {g∗(t)} = G∗(−f)

F{g(t) ej2πfct

}= G(f − fc) F

{g∗(t) e−j2πfct

}= G∗(−f − fc)

V (f) =12

[G(f − fc) + G∗(−f − fc)]

CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SEGNALI ANALOGICI 11

Calcolo della potenza media

Per esercizio, calcoliamo la potenza media del segnale in funzione della potenzamedia dell’inviluppo complesso.

Pv =< v2(t) >=∫ +∞

−∞Pv(f) df =

∫ +∞

−∞

14

[Pg(f − fc)] +14

[Pg(−f − fc)] df

ma la potenza rimane identica a quella in banda base dell’inviluppo complesso∫ +∞

−∞Pg(f − fc) df = Pg

∫ +∞

−∞Pg(−f − fc) df = Pg

pertanto si avra, come aspettato, che

Pv =14

(Pg + Pg) =Pg2

Il segnale v(t) ha una potenza pari a meta del corrispondente inviluppo comp-lesso g(t).

Es: v(t) = A cos(2πfct) = Re{A ej2πfct

}⇒ Pv =

A2

2

2.2.1 Filtri passa banda

Quando lavoriamo con un segnale in banda traslata, la funzione di trasferimentodi un filtro passa banda e anch’esso in banda traslata. Si puo quindi ricavare ilrispettivo inviluppo complesso k(t):

h(t) = Re{k(t) ej2πfct

}in termini di trasformate di Fourier

Gout(f) =12Gin(f) ·K(f)

2.2.2 Il rumore gaussiano bianco

Anche per il rumore, gaussiano bianco, e utile avere una rappresentazione inbanda traslata, soprattutto in presenza di filtri passabanda.

Come operato in precedenza, scriviamo il rumore tramite l’inviluppo comp-lesso:

n(t) = Re[n(t) ej2πfct

]ed essendo tale inviluppo n(t) = n1(t) + j n2(t) dove n1 e n2 sono entrambi seg-nali reali in banda base. Essi sono processi casuali statisticamente indipendentie, si puo dimostrare, hanno la stessa funzione di autocorrelazione e, quindi, lostesso spettro di potenza.

Rn1(τ) = Rn2(τ)) = N0δ0

Pn1(t) = Pn2(t) = N0

Capitolo 3

Modulazioni AM

La modulazione in ampiezza e la modulazione piu semplice e, proprio perquesto, e stata la prima ad esser sta impiegata nelle trasmissioni radio, in modoparticolare da Guglielmo Marconi (1895).

Quando parliamo di modulazione intendiamo una manipolazione di un seg-nale m(t) in banda base in modo da:

1. spostare lo spettro attorno ad una certa frequenza f0, detta portante

2. poter ricostruire il segnale di informazione m(t) al momento della ricezione

3.1 La modulazione AM

Avendo introdotto il formalismo del segnale analitico, definiamo la modulazioneAM in termini di inviluppo complesso nel seguente modo:

g(t) = Ac[1 +m(t)]

dove m(t) e il segnale modulante che contiene l’informazione.Il segnale modulato sara il corrispondente segnale reale dato da

s(t) = Re{g(t) ej2πfct

}= Ac(1 +m(t)) cos(2πfct)

m(t) e un segnale fisico e quindi saranno tali sia l’inviluppo g(t) = Ac[1 +m(t)] sia il segnale modulato s(t) = Ac[(1 +m(t)] cos(2πfct). Inoltre, possiamoutilizzare le seguenti ipotesi:

• m(t) e un segnale reale, in quanto fisico

• m(t) ∈ [−1,+1] −→ s(t) ∈ [2Ac,−2Ac](caso tipico per la modulazione AM)

• m(t), in genere, varia piu lentamente nel tempo della portante cos(2πfct)

3.2 Densita spettrale dei segnali modulati

Calcoleremo ora la densita spettrale di potenza del segnale modulato s(t) infunzione di quello modulante m(t).

12

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM 13

Dalle osservazioni fatte sui segnali analitici sappiamo che lo spettro risultantee dato da

Ps(f) =14

[Pg(f − fc) + Pg(−f − fc)] (3.1)

da questa formula e possibile ricavare lo spettro del segnale modulato attraversoil calcolo dello spettro dell’inviluppo. Per utilizzarla e molto conveniente passaredall’autocorrelazione dei due segnali.

g(t) = Ac[1 +m(t)]

Rg(τ) = E[g(t) g∗(t+ τ)] = A2cE[(1 +m(t)) (1 +m(t+ τ))]

Per semplificare i calcoli e necessario fare delle osservazioni sul segnale mod-ulante m(t). Quest’ultimo, infatti, trasporta l’informazione e, quindi, non puoessere un segnale determinato. Esso e necessariamente un processo stocasticoreale di cui si puo ipotizzare che sia:

a media nulla (sempre verificato nella realta)

stazionario ossia che la media sia indipendente dal tempo e l’autocorrelazionedipenda esclusivamente dalla distanza tra due istanti τ1 τ2

ergodico ossia che i valori aspettati (o medie di insieme) siano uguali alle medietemporali

Posto E[m(t) m(t+ τ)] = Rm(τ), otteniamo:

Rg(τ) = A2cE[1 +m(t+ τ) +m2(t) +m(t)(1 +m(t+ τ))] =

= A2c +A2

c

{��E[m(t+ τ) +��E[m(t)] + E[m(t) m(t+ τ)]

}e sfruttando l’ipotesi < m(t) >= 0:

Rg = A2c [1 +Rm(τ)]

Tramite la trasformata della funzione di autocorrelazione si ottiene la densitaspettrale del segnale di inviluppo g(t), che sara in funzione dello spettro delsegnale modulante m(t).

Pg(f) = F [Rg(τ)] = F{A2c [1 +Rm(τ)]

}= A2

c [δ(f) + Pm(f)] (3.2)

DISEGNOPer avere la densita spettrale della modulata in funzione di quella modulante

bisogna sostituire l’equazione precedente alla formula 3.1 scritta all’inizio:

Ps(f) =14

[Pg(f − fc) + Pg(−f − fc)] =

=14

[Pg(f − fc) + Pg(−f − fc)] = perche funzioni pari

Ps(f) =A2c

4[δ(f − fc) + Pm(f − fc) + δ(f + fc) + Pm(f + fc)]

DISEGNONotiamo quindi che, rispetto al segnale modulante, con la modulazione in

ampiezza:


• l’occupazione spettrale e doppia, in quanto si passa da una banda B inbanda base a 2B in banda traslata;

• il contenuto spettrale di m(t) e stato spostato attorno alla frequenza fc;

• si e aggiunta (nell’inviluppo) una riga spettrale che, pur non portandoinformazione, rientra nella potenza del segnale stesso-

3.3 Potenza media dei segnali modulati

Avendo calcolato la densita spettrale del segnale modulato, possiamo utilizzarequanto fatto per il segnale analitico nel capitolo precedente. In modo particolaresappiamo che

Ps =Pg2

dove g(t) = Ac[1 +m(t)]

Pg = A2c < |1 +m(t)|2 >= A2

c [1 +< m2(t) >︸︷︷︸Pm

+2��< m(t) >]

Ipotizzando il segnale modulante a media nulla si ha quindi:

Pg = A2c(1 + Pm) Ps =

Pg2

=A2c

2(1 + Pm) (3.3)

3.4 Definizioni di modulazione AM

Data Ac l’ampiezza della portante non modulata, si definisce percentuale dimodulazione totale

Amax −Amin2 Ac

· 100 =max[m(t)]−min[m(t)]

2· 100

Si definisce percentuale di modulazione positiva

Amax −AcAc

· 100 = max[m(t)] · 100

Si definisce percentuale di modulazione negativa

Ac −AminAc

· 100 = −min[m(t)] · 100

quindi, se il segnale modulante ha max[m(t)] = 1 e min[m(t)] = −1, si diceche il segnale AM e modulato al 100%.

Nella modulazione AM standard si vuole che 1 +m(t) ≥ 0 −→ m(t) ≥ −1perche per demodulare e sufficiente usare un rivelatore di inviluppo (undiodo ed un condensatore). Se m(t) ≤ 1 per qualche t allora e presente unasovramodulazione. La percentuale di modulazione (negativa in questo ca-so) sara superiore al 100%. Nel caso vi sia sovramodulazione non e possibilericondursi al segnale modulante e assisteremo al fenomeno di distorsione

DISEGNOEsista un altro tipo di definizione, l’efficienza di modulazione, che si riferisce

all’energia, piuttosto che alle ampiezze, come nel caso delle percentuali.


Supponendo < m(t) >= 0, abbiamo visto che

Ps =< s(t) >=12Pg =

12A2c︸︷︷︸+

12A2c Pm︸︷︷︸

dove la prima indica la potenza relativa alla riga della portante, mentre la secon-da e la potenza utile che porta l’informazione. La potenza della riga portantee in un certo senso una potenza sprecata, pertanto si definisce l’efficienza dimodulazione:

E =potenza utilepotenza totale

=< m2(t) >

1+ < m2(t) >Tenendo conto che, per non avere sovramodulazioni, m(t) ∈ [−1, 1], il segnale

modulante con potenza massima e media nulla e l’onda quadra con < m2(t) >=1 per cui E% = 1

1+1 · 100 = 50%. Essendo questo il caso limite, l’efficienza dimodulazione che si puo ottenere se NON si vuole la sovramodulazione e pari al50%. Questo significa che almeno il 50% della potenza viene sprecata solo pertrasmettere il segnale della portante.

Esempio sinusoide sia m(t) una sinusoide m(t) = 1 · cos(2πfmt), la potenzasara < m2(t) >= 1

2 e l’efficienza E% = 0.51+0.5 · 100 = 33.3%

3.5 Demodulazione coerente

Abbiamo visto come con un semplice ricevitore, come un rivelatore di invilup-po, gran parte dell’energia e utilizzata solo per trasmettere il segnale por-tante. Si e cercato, quindi, un metodo di trasmissione alternativo, in grado diridurre o perfino annullare la potenza relativa alla portante, anche accettandola sovramodulazione.

A questo scopo si suppone di poteri ricostruire al ricevitore un segnale conmodulo e fase uguale alla portante, ad esempio tramite un Phase Lock Loop(PLL).

DISEGNOTramite quest’ultimo dispositivo viene generato un segnale SPLL = k cos(2πfct)

che ha la stessa frequenza e la stessa fase (omodina) del segnale in ricezioneSRX = Ac[1 +m(t)] cos(2πfct):

x(t) = SRX(t)·SPLL = k Ac [1+m(t)] cos2(2πfct) =kAc

2[1+m(t)][1+cos(4πfct)]

Un filtro passabasso eliminera la parte di segnale a frequenza doppia 2fc, otte-nendo in uscita:

xF (t) =kAc

2[1 +m(t)]

Si e cosı ottenuto un segnale identico, a meno delle costanti, al segnale modu-lante. Inoltre, la ricostruzione non necessita di nessuna restrizione o richiestadel segnale stesso. E’ anche ammessa la sovramodulazione: < m2(t) > puoanche essere molto piu grande di 1 e l’efficienza massima tende al 100%:

E% =< m2(t) >

1+ < m2(t) >= 100% se < m2(t) >� 1

Possiamo raggiungere il 100% d’efficienza.


3.5.1 modulazione AM-DSB-SC

Dal momento che non vi sono richieste sul segnale m(t), si puo pensare disopprimere la riga della portante (SC suppressed carrier) ed avere al limite:

s(t) = Ac[�1 +m(t)] cos(2πfct)

xF (t) =kAc

2m(t)

Avendo soppresso la portante, la densita spettrale e ora

P(f) =14A2c [Pm(f − fc) + Pm(f + fc)]

Non si hanno piu le righe nello spettro di potenza, pur rimanendo la sinusoide.Il ricevitore coerente permette quindi di demodulare correttamente un seg-

nale anche con forte sovramodulazione o, al limite, di tipo SC. Abbiamo, in-oltre, un migliore utilizzo della potenza, che puo raggiungere anche il 100% perl’AM-DSB-SC. In compenso, il ricevitore sara molto complesso. Si noti che l’oc-cupazione in banda traslata e ancora il doppio di quella in banda base (DSBDouble SideBand).

3.6 Modulazioni Single SideBand

La banda via etere e sempre di piu occupata. La sua allocazione e quindi moltocostosa e si cercano metodi per limitare sempre di piu la banda utilizzata. Atal fine si sfrutta il fatto che un segnale reale ha lo spettro simmetrico rispettol’asse delle ordinate. Nel caso, quindi, di un segnale in banda traslata avremoquattro copie dell’informazione. E’ questo il caso del Double SideBand o DSB.

Potremmo ottimizzare la banda ponendo un filtro iniziale che dimezzi ilconsumo di banda. In questo caso ci troviamo in una modulazione SSB oSingle SideBand.

Quando lavoriamo con quest’ultima modulazione abbiamo la possibilita discegliere se occupare la parte a frequenze maggiori (USP o Upper SideBand) oquella a frequenze minori (LSP o Lower SideBand).

3.6.1 Modulazione Vestigial SideBand

Le modulazioni SBB risparmiano la banda occupata, ma non avendo la cor-rispondente riga per la portante necessitano di un demodulatore coerente peressere ricevuti. Per una maggiore compatibilita con i ricevitori a rivelatore diinviluppo, si puo filtrare meta banda, come nelle normali SBB, ma lasciando unaparte della portante. Questo tipo di modulazione e detta vestigial sidebanded e quella usata per le trasmissioni del segnale televisivo.

3.7 Prestazioni AM (in presenza di rumore)

Dal punto di vista delle prestazioni dei vari sistemi AM in presenza di rumore,essi sono confrontati in funzione della potenza ricevuta e della densita spettraledel rumore al ricevitore. Tutto cio serve a calcolare il rapporto segnale/rumore.


3.7.1 Sistema AM di riferimento

Per non considerare tutte le possibili combinazioni si e scelto di riferirsi ad unsistema equivalente di modulazione in banda base. Si suppone, quindi, di averecome riferimento una trasmissione in banda base con potenza di segnale Ps,banda occupata B, densita di rumore all’ingresso del ricevitore pari a N0/2 edun filtraggio di tipo passabasso ideale di banda B.

r(t) = s(t) + n(t)

Nota la potenza del segnale, sappiamo che la potenza relativa al rumore e datada:

Pn =∫ +∞

−∞Pnout(f) df =

∫ +B

−B

N0

2|H(f)|2 df = N0B

Da qui si ottiene che il rapporto segnale-rumore, che prenderemo come riferi-mento, e dato da (

S

N

)BB

=PsN0B

3.7.2 Schema generale per sistemi AM

DISEGNOI parametri che entreranno in gioco sono:

• Ps la potenza del segnale modulato

• B la banda del segnale modulante

• BT = 2B la banda del segnale modulato (traslato)

• SNRin all’ingresso del ricevitore, calcolato sulla banda BT = 2B

• SNRout all’uscita del ricevitore, calcolato sulla banda B, perche il segnalee tornato nella sua banda base

3.7.3 Sistemi AM a ricezione coerente

Il ricevitore coerente presenta un filtro IF, in grado di selezionare il canale econ banda intesa pari a quella del segnale modulato BT , ed un filtro passabassoideale della stessa banda del segnale modulante.

sRX(t) = Ac [1 +m(t)] cos(2πfct)

n(t) = xn(t) cos(2πfct)− yn(t) sin(2πfct)

r(t) = sRX(t) + n(t)

Il rumore n(t) ha densita spettrale N0/2; le sue componenti xn(t) e yn(t)hanno densita N0. Il rapporto segnale-rumore in ingresso, calcolato sulla bandaBT , e dato da: (

S

N

)in

=PRXN0BT

=PRX2N0B


Il segnale che prima del mixer e dato da

r(t) = {Ac[1 +m(t)] cos(2πfct)}+ {xn(t) cos(2πfct)− yn(t) sin(2πfct)}

dopo il mixer sara

rm(t) = r(t)k cos(2πfct) =

=k

2{Ac[1 +m(t)] + xn(t)} [1 +��cos(4πfct)]−

k

2yn��sin(4πfct)

I termini a frequenza doppia 2fc sono stati anticipatamente sbarrati percheverranno filtrati dal passabasso ideali che segue il mixer. Questa semplificazionepuo sembrare affrettata, ma ci evita di calcolare termini il cui contributo verracomunque annullato dal filtro.

Supponendo che il filtro elimini tutte le componenti a frequenza doppia, chefaccia passare il segnale utile senza distorcerlo e che limiti il rumore, avremoche il segnale all’uscita del ricevitore e dato da

yout(t) = rm(t) ∗ h(t) =k

2{Ac[1 +m(t)] + xn(t)} =

=k

2{Ac[1 +m(t)] + xn(t) ∗ h(t)}

Di questa formula riconosciamo le componenti

utilek

2Acm(t) =⇒ k2

4A2c < m2(t) >

di rumorek

2xn(t) ∗ h(t) =⇒ k

2< [xn(t) ∗ h(t)]2 > =

k

42N0B

Il rapporto SNR all’uscita del ricevitore e quindi:(S

N

)out

=potenza segnale demodulato

potenza rumore= �

�k2

4 A2c < m2(t) >

��k4 2N0B

Le prestazioni non dipendono da k, ma dall’ampiezza della portante Ac1 e dallapotenza con cui si trasmette la modulante.

Questa formula non e molto comoda da usare perche contiene Ac. Sarebbepiu conveniente esplicitare la prestazione in funzione della potenza utile PRX ,piu facilmente misurabile.

Ricaviamo dalla 3.3:

PRX =A2c

2[1+ < m2(t) >] =⇒ A2

c =2PRX

1+ < m2(t) >

e sostituendo abbiamo:(S

N

)out

=A2c < m2(t) >

2N0B=PRXN0B

< m2(t) >1+ < m2(t) >︸︷︷︸

Confrontiamo come promesso con il sistema di riferimento e otteniamo che(S

N

)out

=(S

N

)BB

< m2(t) >1+ < m2(t) >︸︷︷︸ '

(S

N

)BB

1in realta l’ampiezza tendera ad essere attenuata dal canale di trasmissione

Capitolo 4

Sistemi PCM

La Pulse-Code Modulation, o PCM, (in italiano: modulazione codificata diimpulsi) e un metodo di rappresentazione digitale di un segnale analogico. Essoe il sistema piu usato per trasmettere un segnale analogico in modo digitale. E’dunque una particolare forma di conversione A/D.

Esso si basa sul campionamento dell’ampiezza del segnale a intervalliregolari, quindi nel dominio del tempo. I valori letti vengono digitalizzati(quantizzazione), generalmente in forma binaria, e trasmessi in un canaletramite una codifica seriale dei bit.

4.1 Teorema del campionamento

Alla base delle conversioni A/D abbiamo il teorema del campionamento.Si consideri un segnale w(t) limitato in banda, tale per cui:

W (f) = 0 per |f | > B

dove B e detta banda assoluta del segnale w(t).Nel campionamento otteniamo un segnale campionato pari a:

w∆(t) =+∞∑i=−∞

Tc w(iTc)∆(t− iTC)

nel dominio del tempo questo segnale dipende solo dai campioni di w(t) quindiesso contiene la stessa informazione di un vettore w[i] = w(iTc). In frequenzainvece accade quanto segue:

W∆(f) = F {w∆(t)} = F

{+∞∑i=−∞

w(iTc) · Tc∆(t− iTC)

}

W∆(f) =+∞∑i=−∞

W (f) ∗∆(f − i

TC

)Lo spettro del segnale di partenza viene periodicizzato dal campionamento. Perevitare che due ripetizioni si sovrappongano generando il fenomeno di aliasinge necessario che:

fc −B ≥ B =⇒ fc ≥ 2B

19

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM 20

Inoltre, si puo notare che un metodo semplice per ricostruire lo spettro delsegnale di partenza consiste in un filtro passa basso.

Operando in questo modo, il campionamento non conduce ad una perdita di informazione.

4.2 Quantizzazione

L’operazione di quantizzazione e principalmente un passaggio dalla funzionecontinua w(t) ad una sequenza discreta di numeri reali. Per ciascun istante dicampionamento si deve convertire la tensione corrispondente Vin, che assumevalori continui, in un numero finito, discreto, di tensioni Vout detti livelli.

La conversione piu semplice e quella uniforme a 8 livelli: il range dellatensione in ingresso viene suddivisa equamente in 8 intervalli.

DISEGNOOsserviamo che, per definizione, introduce una perdita di informazione per

quei valori intermedi. Si parla appunti di errore di quantizzazione eq, che enecessario calcolare e tenere sotto controllo.

Con un sistema di quantizzazione uniforme, l’errore massimo che si puocommettere, per i valori agli estremi degli intervalli, e di max[eq] = ∆

2 , dove ∆e l’intervallo coperto da ciascun livello.

4.2.1 SNR di quantizzazione

Per valutare un sistema PCM e utile calcolare l’SNR dovuto alla sola quantiz-zazione. A tal scopo introduciamo delle ipotesi:

• utilizziamo una quantizzazione uniforme a M livelli di ∆ = 2VM ;

• il segnale ha una densita di probabilita uniforme in un certo range [−V, V ](che coincide con quello di quantizzazione).

Sotto tali condizioni, si osserva che anche l’errore di quantizzazione eq =Vout − Vin e distribuito uniformemente e va da −∆/2 a +∆/2. Pertanto taleerrore e a valore medio nullo e il suo valore quadratico medio (e varianza inquesto caso) e pari a

E[e2q] =

∫ +∞

−∞x2feq(x) dx =

∫ + ∆2

−∆2

x2 1∆dx =

=1∆

[x3

3

]+ ∆2

−∆2

=∆12

=112

(2VM

)2

=V 2

3M2

Per quanto riguarda la potenza del segnale risulta

E[V 2in] =

∫ +V

−Vx2 1

2Vdx =

12V

[x3

3

]+V

−V=V 2

3(4.1)

e l’SNR relativo alla sola quantizzazione sara(S

N

)Q

=V 3/3

M2 · V 3/3= M2


In genere, la quantizzazione e una digitalizzazione in forma binaria, quindiil numero di livelli e M = 2nbit. Pertanto l’SNR diventa:(

S

N

)Q

=(2nbit

)2(S

N

)Q dB

= 10 log1 0(22n) = 2n ∗ 10 log1 0(2) ∼= 6n

Accade quindi che, anche in situazioni piu complesse, aumentare di 1 bit ilnumero di livelli fa aumentare di 6 dB le prestazioni in termini di SNRQ.

4.3 Il canale binario BSC

Un sistema di trasmissione digitale e essenzialmente caratterizzabile come unsistema che trasmette dei bit con una certa probabilita di errore.

Dal punto di vista sistemistico, spesso si modella come un canale binariosimmetrico o BSC. Con questo termine si intende un sistema che ha una certaprobabilita di trasmissione:

p0 = P(0RX |1TX) per simemtria P(1RX |0TX)

.Per semplicita, consideriamo che i bit generati dal trasmettitore siano equiprob-

abili P(1TX) = P(0TX) = 12 . In questo caso, la probabilita di errore

complessiva diviene

P (e) = P(e|1TX)P(1TX + P(e|0TX)P(1TX = P(e|1TX) = p0 = Pe = BER

dove BER sta per Bit Error Rate.

4.3.1 SNR per gli errori del canale

Come fatto per l’errore di quantizzazione, valutiamo il rapporto SNR per unostream di dati trasmesso in un canale BSC con una certa probabilita di errorePe.

All’uscita del quantizzatore avremo una n-upla di bit, i cui valori sarannosupposti, per semplicita, pari a +1 e −1. La codifica piu semplice, che seguira 0 e 1 ci com-

plicano i cal-coli delle var-ianze

la quantizzazione, e data da

Q(x) = V

n∑j=1

aj

(12

)jCon questa espressione, ad esempio, associamo an = [1, ...., 1] il valore di ten-sione Q(x) = V ( 1

2 + 14 + . . .+ 1

2n ) = V − V2n = V − V

M = V − ∆2 , ossia il livello

piu grande.Il vettore a di bit attraversera il canale BSC generando al termine un secondo

vettore b. Il segnale sara ricostruito come segue:

y = V

n∑j=1

bj

(12

)j


Per valutare il “rumore”, ossia la perdita di informazione dovuta agli errorisui bit, valutiamo il suo valore quadratico medio:

eb = y −Q(x) =⇒ E[e2b ] = E[(y −Q(x))2]

E[e2b ] = E

V 2

n∑j=1

(bj + aj)(

12

)j2 =

= V 2E

n∑j=1

(bj + aj)2−j ·n∑k=1

(bk + ak)2−k

=

= V 2n∑j=1

n∑k=1

2−j−k (E [(bj − aj)(bk − ak)]) =

= V 2n∑j=1

n∑k=1

2−j−k (E[bjbk]− E[ajbk]− E[bjak] + E[ajak])

Dato che tra due bit di una sequenza si suppone non esserci correlazione edipendenza statistica, si ha che per j 6= k:

E[bjbk] = E[bj ]E[bk] = 0 E[ajak] = 0 E[ajbk] = E[aj ]E[bk] = 0

dato che le medie E[aj ] = E[ak] = E[bj ] = E[bk] = 0.Invece, per j = k si ha che

E[ajak] = E[bjbk] = 1

e rimane due sole sommatorie, con E[a2j ] = E[b2j ] = 1, che va da 1 a n.

Quel che dobbiamo ancora considerare sono i termini misti E[ajbj ], di cui visono 4 combinazioni:

aj bj P(ajbj) ajbj

1 1 12 (1− Pe) 1

1 -1 12Pe -1

-1 1 12Pe -1

-1 -1 12 (1− Pe) 1

E[ajbj ] = (+1)12

(1−Pe)+(−1)12Pe+(−1)

12Pe+(+1)

12

(1−Pe) = 1−Pe−Pe = 1−2Pe


Allora possiamo concludere che:

E[e2b ] = V 2

n∑j=1

2−2j(E[b2j ]− 2E[ajbj ] + E[a2

]

)=

= V 2n∑j=1

2−2j (1− 2(1− 2Pe) + 1) =

= V 2Pe

n∑j=1

(14

)j4︸︷︷︸ =

43V 2Pe

M2 − 1M2

dove nell’ultimo passaggio si e sfruttata la somma infinita della serie geometricae si e sostituito 4n = M2.

In sostanza, il valore quadratico medio dell’errore dipende da Pe in modo lineare.Ricordandoci della 4.1, l’SNR dovuto al canale e(

S

N

)e

=V 2/3

4/3 V 2PeM2−1M2

=1

4PeM2−1M2

4.3.2 SNR del sistema PCM

Valutiamo ora entrambi gli errori precedentemente osservati:

E[e2out] = E[e2

q] + E[e2b ] =

V 2

3M2+

43V 2Pe

M2 − 1M2

=V 2

3M2

[4Pe(M2 − 1) + 1

]il rapporto SNR, confrontato con 4.1, e dunque:(

S

N

)e

=M2

1 + 4(M2 − 1)Pe

GRAFICODal grafico notiamo che per valori bassi di Pe le prestazioni sono pressoche

costanti; mentre da un certo valore di soglia di Pe le prestazioni peggioranodrasticamente.

Per questo motivo, e utile definire una probabilita d’errore critica, perla quale il rapporto SNR totale e meta (−3 dB) rispetto alla SNRQ = M2:(

S

N

)sogliaOUT

=12

(S

N

)Q

=⇒ 1 + 4(M2 − 1)P ∗e = 2

si ottiene che tale valore eP ∗e =

14(M2 − 1)

Detto cio, il sistema PCM e detto

“sopra soglia” se Pe < P ∗e (condizione regolare di funzionamento)

“sotto soglia” se Pe < P ∗e (condizione di fuori servizio)

Osservazioni Nelle trasmissioni digitali si dimostrera che la P (e) stessa dipen-dera da SNRBB . Tuttavia, nel caso del PCM abbiamo visto che lavorandosopra soglia si ottengono prestazioni indipendenti da P (e) e dipendenti solo dalnumero di bit utilizzati per la quantizzazione.


Capitolo 5

Trasmissioni digitali

Le trasmissioni numeriche, o digitali, si basano sulla divisione dell’asse dei tem-pi in intervalli di durata Ts. Su ciascun intervallo si trasmette una particolareforma d’onda, detta simbolo, di durata Ts, presa da un insieme di M formed’onda, detto costellazione. Ad ogni forma d’onda viene associata una sequen-za di nbit bit che la identifica. In genere, la costellazione contiene M = 2nbit

simboli.

5.1 Definizioni

Si elencano alcune definizioni relative alla velocita di trasmissione.

Baud rate

Il Baud, indicato con la sigla D, e il numero di simboli che viene trasmesso inun secondo (unita di tempo).

B =# simboli

unita tempo=

1Ts

[simbolo

sec

]dove Tb e definito come tempo di bit e spesso non ha un significato stretta-

mente fisico.Il termine Baud prende il nome da Emile Baudot, inventore del codice Bau-

dot utilizzato in telegrafia. Il Baud rate o velocita Baud indica il massimonumero di variazioni che un segnale puo subire in un secondo.

Bit rate

Nelle telecomunicazioni digitali, il bit-rate, indicato con R o Br, e il numero dibit trasmessi in un’unita di tempo, in genere il secondo. Viene quindi misuratoin Kbit/sec o Kbps.

Br =nbit

Ts=

1Tb

[bitsec

]Si noti che:

R = Br = nbit ∗ Dpertanto, per trasmissioni binarie, il bitrate coincide con il baud rate.

25

CAPITOLO 5. TRASMISSIONI DIGITALI 26

Esempio di trasmissioni multilivello

Sia nbit = 2, M = 2nbit = 22 = 4, la costellazione conterra 4 forme d’onda.DISEGNOR = 2 ·D, in quanto per ogni simbolo vengono trasmessi due bits. Si parla

di trasmissione multilivello perche si ha la stessa forma d’onda con ampiezzediverse.

5.2 Classificazione trasmissioni digitali

I sistemi di trasmissione digitale posso differire per le diverse forme d’ondache costituiscono la costellazione e per l’associazione tra forme d’onda e bit(codici di linea).

Le classificazioni possibili sono relativi alla forma d’onda

sistemi binari con due forme d’onda M = 2 ;

sistemi multilivello con piu di due forme d’onda M > 2 ;

oppure alla posizione dello spettro

sistemi in banda base con lo spettro centrato attorno a fc = 0

sistemi in banda traslata con lo spettro centrato attorno a fc 6= 0

5.3 Occupazione spettrale

Per i sistemi di trasmissione digitale e molto importante stimare l’occupazionespettrale. In questo modo e, infatti, possibile scegliere in modo opportuno icomponenti del sistema e operare una multiplazione a divisione di frequenza(nel quale per mandare un segnale di risposta devo variare la frequenza).

Il primo limite che incontriamo e teorico: la minima banda di trasmissionedeve essere maggiore di meta del baud rate.

B ≥ D

2

Per continuare il calcolo dell’occupazione spettrale e necessario introdurredelle ipotesi. Supponiamo, infatti, di poter scrivere il segnale trasmesso come:

x(t) =+∞∑

n=−∞anf(t− nTs)

dove f(t) e una certa forma d’onda di durata Ts; an e da intendersi una variabilecausale, che assume per ogni n-esimo intervallo, un valore preso da un set diM valori discreti (in genere +1 e −1), a seconda dei bit da trasmettere.

Dall’ultima osservazione, comprendiamo che cio che dobbiamo studiare e ilprocesso casuale x(t), definito dall’evoluzione temporale dei termini casualian. Tale processo e quasi determinato perche la dipendenza dal tempo edecisa da noi ed e, quindi, nota; e caratterizzato, inoltre, dalla statistica di an,anch’esse a noi note.


Media d’insieme

E[x(t)] = E

[+∞∑

n=−∞anf(t− nTs)

]=

+∞∑n=−∞

E [an] f(t− nTs)

E’ lecito supporre che la media E[an] non dipenda da n (ipotesi verificata intutti i sistemi di trasmissione digitale).

E[x(t)] = E [an]+∞∑

n=−∞f(t− nTs)

Si nota che la media non e stazionaria. Trattandosi pero di una serie infinita sipuo verificare che E[x(t)] = E[x(t+ Ts)], pertanto e ciclostazionaria.

Funzione di autocorrelazione

Rx(t, τ) = E[x(t)x∗(t+τ)] = E

[+∞∑

n=−∞

+∞∑m=−∞

anamf(t− nTs)f(t+ τ −mTs)

]=

=+∞∑

n=−∞

+∞∑m=−∞

E[anam]f(t− nTs)f(t+ τ −mTs)

Anche qui si puo vedere che l’autocorrelazione non e in generale stazionaria, macircostazionaria.

Densita spettrale

La densita spettrale sarebbe la trasformata della funzione di autocorrelazione seil processo fosse stazionario. Dal momento che esso non lo e, e possibile renderlotale se ne consideriamo la media temporale della funzione di autocorrelazione:

Ps(f) = F {< Rx(t, τ) >}

oppure, come faremo, e possibile utilizzare la funzione troncata ad un solointervallo:

XT (f) = F {xT (t)} =∫ + T

2

−T2

x(t)e−j2πft dt

Ps(f) = limT→∞

E[|XT (f)|2]T

Calcoliamo la densita spettrale come qui di seguito

x(t) =+N∑

n=−Nanf(t− nTs) T = (2N + 1)Ts

XT (f) = F {xT (t)} =+N∑

n=−NanF {f(t− nTs)} =

=+N∑

n=−NanF (f)e−j2πnTsf = F (f)

+N∑n=−N

ane−j2πnTsf


Passiamo al calcolo di

E[|XT (f)|2

]= E

[|XT (f)X∗T (f)|2

]=

= E

[F (f)

+N∑n=−N

ane−j2πnTsf · F ∗(f)

+N∑m=−N

ame+j2πmTsf

]

= |F (f)|2+N∑

n=−N

+N∑m=−N

E[anam]ej(m−n)2πTsf

semplifichiamo l’espressione con un cambio di variabile; sia, quindi, k =m− n⇐ m = k + n, si ottiene:

|F (f)|2+N∑

n=−N

+N−n∑k=−N−n

E[anan+k]ejk2πTsf

Solitamente E[an ·an+k] dipende solo da k e non dipende da n; dipende cioedalla statistica delle variabili casuali e dalla correlazione a distanza k. Pertanto,introduciamo R(k) = E[an ·an+k], detta autocorrelazione dei dati o discreta.

E[|XT (f)|2

]= |F (f)|2

+N∑n=−N

+N−n∑k=−N−n

R(k)ejk2πTsf = per linearita

= |F (f)|2+N−n∑

k=−N−n

+N∑n=−N

R(k)ejk2πTsf

︸︷︷︸non dipende da n

=

= (2N + 1) |F (f)|2+N−n∑

k=−N−n

R(k)ejk2πTsf

possiamo ora calcolare la potenza del segnale trasmesso

Px(f) = limT→∞

��(2N + 1) |F (f)|2∑+N−nk=−N−nR(k)ejk2πTsf

��(2N + 1)Ts

=|F (f)|2

Ts

+∞∑k=−∞

R(k) ejk2πTsf

E’ possibile osservare che Px(f) dipende da:

1. |F (f)|2, cioe dalla trasformata del segnale f(t) usato per la trasmissione

2. R(k), cioe dalla statistica dei dati emessi

Inoltre, si noti che in generaleR(−k) = R(+k), infattiR(−k) = E[an an−k] =E[am+k am] = R(k). Riscriviamo l’espressione:

Px(f) =|F (f)|2

Ts

[R(0) +

+∞∑k=1

R(k) ejk2πTsf +−1∑

k=−∞

R(k) ejk2πTsf

]


Casi particolari

Supponiamo che le variabili causali an e an+k siano sempre scorrelate per k 6= 0,allora:

R(x) ={

E[a2n] = σ2

a +m2a k = 0

E[an]E[an+k] = m2a k 6= 0

Px(f) =|F (f)|2

Ts

[σ2a +m2

a ++∞∑k=1

m2a e

jk2πTsf +−1∑

k=−∞

m2a e

jk2πTsf

]=

=|F (f)|2

Ts

[σ2a +

+∞∑k=−∞

m2a e

jk2πTsf

]

utilizziamo al formula di Poisson∑+∞k=−∞ ejk2πTsf = 1

Ts

∑+∞n=−∞ δ(f − n

Ts)

Px(f) =|F (f)|2

Ts

[σ2a +

+∞∑k=−∞

m2a e

jk2πTsf

]=

=|F (f)|2

Ts

[σ2a +

+∞∑n=−∞

m2a

Tsδ(f − n

Ts)

]=

= |F (f)|2 D

[σ2a +m2

a D

+∞∑n=−∞

δ(f − nD)

]

Px(f) = D · |F (f)|2 σ2a︸︷︷︸+ (m2

a ·D)2+∞∑

n=−∞δ(f − nD)︸︷︷︸

Documents

Appunti di comunicazioni elettriche