Appunti Algebra Lineare2015 Salv1

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  • 7/25/2019 Appunti Algebra Lineare2015 Salv1

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    Appunti di Algebra Lineare

    Antonino Salibra

    December 2, 2015

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    Libro di testo: Gilbert Strang, Algebra lineare, Edizioni Apogeo

    2008

    Programma di Algebra Lineare (2015/16) (da completare):

    1. Campi numerici. Esempi di campi numerici: il campo dei numeri reali;il campo dei numeri complessi; il campo dei numeri modulo 2; il campodei numeri modulo pper un numero primo p.

    2. Numeri complessi: parte reale ed immaginaria, coniugato di un numerocomplesso. Modulo e norma. Prodotto e somma di numeri complessi.Rappresentazione trigonometrica: piano complesso. Rappresentazione

    esponenziale.

    3. Introduzione ai vettori. Grandezze fisiche e vettori. La definizione dispazio vettoriale con somma vettoriale e prodotto per uno scalare.

    4. Prodotto interno (o scalare) di due vettori. Proprieta del prodottointerno. Lunghezza di un vettore. Disuguaglianza di Schwartz. Carat-terizzazione della perpendicolarita con il prodotto interno. Caratteriz-zazione del coseno dellangolo formato da due vettori con il prodottointerno.

    5. Rette nel piano. Equazione di una retta. Equazione parametrica di unaretta. Retta passante per lorigine e perpendicolare ad un dato vettore.Retta parallela ad una retta passante per lorigine. Retta passante perun punto e parallela (alla retta determinata da) ad un dato vettore.Retta passante per due punti.

    6. Rette e piani nello spazio. Equazione di un piano. Equazione paramet-rica di un piano. Piano passante per lorigine e perpendicolare ad undato vettore. Piano parallelo ad un piano passante per lorigine. Pianopassante per tre punti non allineati.

    7. Sistema Lineare di due equazioni in due variabili. Numero di possibilisoluzioni. Calcolo dellunica soluzione con il metodo di eliminazionedi Gauss. Calcolo dellunica soluzione con il metodo matriciale e deldeterminante.

    8. ......

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    Chapter 1

    Campi Numerici

    Un campo e un insieme di numeri chiuso rispetto alle quattro operazioni:addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione.

    Definition 1.0.1. Uncampo numerico e una quintupla (X, +, , 0, ,1 , 1),dove X e un insieme, + e sono operazioni binarie,, 1 sono operazioniunarie, e 0, 1 costanti che soddisfano le seguenti equazioni:

    1. Proprieta associativa: x +(y + z) = (x + y) + z; x (y z) = (x y) z.2. Proprieta commutativa: x + y= y + x; x

    y= y

    x.

    3. Elemento neutro: x + 0 =x; x 1 =x.4. Proprieta distributiva: x (y+ z) = (x y) + (x z).5. Opposto: x + (x) = 0.6. Inverso: Se x= 0, allora x x1 = 1.7. Prodotto per 0: x 0 = 0 = 0 x.Scriveremo

    xy al posto di x y; x y al posto di x + (y); x/y per x y1.

    Inoltre, il prodotto lega piu della somma. Per esempio, x+ yz significax + (yz).

    La quadrupla (X, +, , 0) e ungruppo commutativo rispetto alla somma,mentre (X\ {0}, ,1 , 1) e un gruppo commutativo rispetto al prodotto.

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    4 CHAPTER 1. CAMPI NUMERICI

    Example 1. I seguenti insiemi sono campi numerici:

    Linsieme dei numeri razionali Q; Linsieme dei numeri reali R; Linsieme dei numeri complessi C; Linsieme dei bits B ={0, 1} con le operazioni di somma e prodotto

    definiti come segue:

    0 +20 = 1 +21 = 0; 0 +21 = 1 +20 = 1;

    e0 20 = 0 21 = 1 20 = 0; 1 21 = 1.

    Lopposto di 1 e uno, cioe 1 = 1. Questo campo numerico rappresentalaritmetica dei numeri modulo 2.

    Sia p un numero primo. Allora linsieme dei numeri{0, 1, . . . , p1}con le operazioni di addizione +p e moltiplicazionep modulo p e uncampo numerico. Se x, yp 1, allora abbiamo:

    x +py =

    x + y ifx + yp 1r ifx + y=p + r per un certo r.

    x py =

    x y ifx yp 1r ifx y=qp + r con 0rp 1.

    Per esempio, se p = 5, abbiamo 3 +5 2 = 0 e 3 +5 3 = 1, mentre3 53 = 4 e 4 54 = 1.

    1.1 Il campo dei numeri complessi

    Si consulti il Capitolo 7 degli Appunti del Professor Gianfranco Niesi, Di-

    partimento di Matematica, Universita di Genova: Appunti per il corso diMatematica Discreta, C.S. in Informatica, Anno Accademico 2005-2006.Link:

    http://www.dima.unige.it/niesi/EML/MD05appunti.pdf

    oppure si consultino le tre sezioni ai seguenti indirizzi http://college.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s1.pdfcollege.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s2.pdfcollege.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s3.pdf

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    Chapter 2

    Introduzione agli spazi

    vettoriali

    2.1 Introduzione ai vettori ed al prodotto in-terno

    In Fisica ma anche nella vita di tutti i giorni dobbiamo continuamente mis-urare qualcosa. Alcune di queste grandezze le possiamo misurare con unnumero reale: saldo del conto corrente, altezza, eta, etc. Ad altre grandezze

    corrisponde non solo una quantita rappresentata da un numero ma ancheuna direzione (con/senza verso). Per esempio,

    La forza di gravita terrestre, la cui direzione e verso vanno dal puntoin cui vi trovate verso il centro della terra;

    La forza di gravita su Giove (molto maggiore della forza di gravitaterrestre);

    La forza esercitata in un punto preciso. Ha una grandezza, una di-rezione ed un verso ben precisi;

    La velocita istantanea di unautomobile. Non conta soltanto il valore,per esempio 120 Km/ora, ma anche la direzione e verso di marcia.

    I vettori sono una rappresentazione astratta delle grandezze che hanno unadirezione (e talvolta verso).

    E importante distinguere tra vettore liberi e vettore applicati. Se in au-tomobile viaggiamo a velocita costante lungo una linea retta, al tempo t citroveremo in un determinato punto Pdella retta, mentre al tempo successivot + 10 ci troveremo in un altro puntoQ. Se misuriamo la velocita istantanea

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    6 CHAPTER 2. INTRODUZIONE AGLI SPAZI VETTORIALI

    nel punto P (velocita misurata + direzione) e poi nel punto Q, otterremo lo

    stesso risultato. Lo stesso vettore e applicato prima nel puntoP e poi nelpuntoQ.

    In generale un vettore e caratterizzato da (a) lunghezza (o grandezza,o modulo, o quantita) che e misurata da un valore in un campo numerico(vedi Capitolo 1); (b) direzione. Possiamo sempre moltiplicare un vettoreper uno scalare, che e un elemento del campo numerico con cui misuriamo lelunghezze: SeA e un vettore ec uno scalare, allora cA rappresenta il vettoreche ha la stessa direzione di Ama lunghezza c volte la lunghezza di A.

    Possiamo misurare la direzione ed il verso? La direzione di un vettore none misurabile con un numero. Possiamo soltanto sapere quando due vettori A

    e B hanno la stessa direzione:

    A e B hanno la stessa direzione se esiste uno scalare c del camponumerico tale che A= cB .

    Se il campo numerico e totalmente ordinato, come nel caso dei numerireali oppure i numeri razionali, possiamo dire anche se hanno lo stesso verso:

    Ae B hanno stessa direzione e verso se esiste uno scalare c >0 tale cheA= cB . Ae B hanno stessa direzione ma verso opposto se esiste c

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    2.2. SPAZI VETTORIALI 7

    somma di due vettori di pari lunghezza e direzione ma di verso opposto e

    nulla!

    Figure 2.1: Forza e vettori

    2.2 Spazi vettoriali

    Un punto v nello spazio di assi Cartesiani xyz e rappresentato da una ternav = (vx, vy, vz) di numeri reali, le sue coordinate Cartesiane. La prima co-ordinata vx si ottiene proiettando perpendicolarmente il punto v nel pianoz=0, ottenendo il vettorevxy poi proiettando il punto ottenuto sullasse dellex. Similmente per le altre due coordinate vy e vz.

    Figure 2.2: Coordinate del punto v

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    8 CHAPTER 2. INTRODUZIONE AGLI SPAZI VETTORIALI

    Un punto P determina univocamente un vettore 0P che va dallorigine

    degli assi al punto P. Questo vettore si indichera con il punto P stesso.Quindi parleremo di vettore Pintendendo il vettore 0P.

    I vettori possono essere sommati coordinata per coordinata. Per esempio,se P = (2, 3, 4) e Q = (1, 2, 3) allora P+Q = (3, 5, 7). Geometricamente ilpuntoP+ Q si ottiene costruendo il parallelogramma di vertici P, 0 e Q. Ilquarto vertice e proprio P+ Q. Si veda Figura 3.1.

    Figure 2.3: Somma di vettori

    I vettori possono essere moltiplicati per uno scalare. Se P e un vettorenello spazio allora rP e un altro vettore che sta sempre nella retta, passanteper lorigine, determinata dal vettore P. Per esempio, se P = (3, 2, 1) allora5P= (15, 10, 5).

    In generale, possiamo considerare in maniera astratta un insieme di vet-tori che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare che eun elemento di un campo numerico.

    Definition 2.2.1. Sia F un campo numerico. Uno spazio vettoriale su F e

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    2.2. SPAZI VETTORIALI 9

    un insiemeVdi vettori con somma vettoriale + :V

    V

    V e prodotto per

    uno scalare: F VVche soddisfano gli assiomi seguenti:SV1: P+ (Q + R) = (P+ Q) + R;

    SV2: P+ Q= Q + P;

    SV3: 0 + P=P;

    SV4: P+ (P) =0;

    SV5: (r+ s)P =rP+ sP;

    SV6: (rs)P=r(sP);

    SV7: r(P+ Q) =rP+ rQ.

    Si noti che il vettore nullo viene indicato con0e che per brevita scriviamorPal posto di r P.

    Si noti anche che lassioma (SV4) deriva da (SV5):

    P+ (P) = (1 + (1))P = 0P =0.