Appunti Algebra Lineare2015 Salv1

7/25/2019 Appunti Algebra Lineare2015 Salv1

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Appunti di Algebra Lineare

Antonino Salibra

December 2, 2015


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Libro di testo: Gilbert Strang, Algebra lineare, Edizioni Apogeo

2008

Programma di Algebra Lineare (2015/16) (da completare):

1. Campi numerici. Esempi di campi numerici: il campo dei numeri reali;il campo dei numeri complessi; il campo dei numeri modulo 2; il campodei numeri modulo pper un numero primo p.

2. Numeri complessi: parte reale ed immaginaria, coniugato di un numerocomplesso. Modulo e norma. Prodotto e somma di numeri complessi.Rappresentazione trigonometrica: piano complesso. Rappresentazione

esponenziale.

3. Introduzione ai vettori. Grandezze fisiche e vettori. La definizione dispazio vettoriale con somma vettoriale e prodotto per uno scalare.

4. Prodotto interno (o scalare) di due vettori. Proprieta del prodottointerno. Lunghezza di un vettore. Disuguaglianza di Schwartz. Carat-terizzazione della perpendicolarita con il prodotto interno. Caratteriz-zazione del coseno dellangolo formato da due vettori con il prodottointerno.

5. Rette nel piano. Equazione di una retta. Equazione parametrica di unaretta. Retta passante per lorigine e perpendicolare ad un dato vettore.Retta parallela ad una retta passante per lorigine. Retta passante perun punto e parallela (alla retta determinata da) ad un dato vettore.Retta passante per due punti.

6. Rette e piani nello spazio. Equazione di un piano. Equazione paramet-rica di un piano. Piano passante per lorigine e perpendicolare ad undato vettore. Piano parallelo ad un piano passante per lorigine. Pianopassante per tre punti non allineati.

7. Sistema Lineare di due equazioni in due variabili. Numero di possibilisoluzioni. Calcolo dellunica soluzione con il metodo di eliminazionedi Gauss. Calcolo dellunica soluzione con il metodo matriciale e deldeterminante.

8. ......


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Chapter 1

Campi Numerici

Un campo e un insieme di numeri chiuso rispetto alle quattro operazioni:addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione.

Definition 1.0.1. Uncampo numerico e una quintupla (X, +, , 0, ,1 , 1),dove X e un insieme, + e sono operazioni binarie,, 1 sono operazioniunarie, e 0, 1 costanti che soddisfano le seguenti equazioni:

1. Proprieta associativa: x +(y + z) = (x + y) + z; x (y z) = (x y) z.2. Proprieta commutativa: x + y= y + x; x

y= y

x.

3. Elemento neutro: x + 0 =x; x 1 =x.4. Proprieta distributiva: x (y+ z) = (x y) + (x z).5. Opposto: x + (x) = 0.6. Inverso: Se x= 0, allora x x1 = 1.7. Prodotto per 0: x 0 = 0 = 0 x.Scriveremo

xy al posto di x y; x y al posto di x + (y); x/y per x y1.

Inoltre, il prodotto lega piu della somma. Per esempio, x+ yz significax + (yz).

La quadrupla (X, +, , 0) e ungruppo commutativo rispetto alla somma,mentre (X\ {0}, ,1 , 1) e un gruppo commutativo rispetto al prodotto.

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4 CHAPTER 1. CAMPI NUMERICI

Example 1. I seguenti insiemi sono campi numerici:

Linsieme dei numeri razionali Q; Linsieme dei numeri reali R; Linsieme dei numeri complessi C; Linsieme dei bits B ={0, 1} con le operazioni di somma e prodotto

definiti come segue:

0 +20 = 1 +21 = 0; 0 +21 = 1 +20 = 1;

e0 20 = 0 21 = 1 20 = 0; 1 21 = 1.

Lopposto di 1 e uno, cioe 1 = 1. Questo campo numerico rappresentalaritmetica dei numeri modulo 2.

Sia p un numero primo. Allora linsieme dei numeri{0, 1, . . . , p1}con le operazioni di addizione +p e moltiplicazionep modulo p e uncampo numerico. Se x, yp 1, allora abbiamo:

x +py =

x + y ifx + yp 1r ifx + y=p + r per un certo r.

x py =

x y ifx yp 1r ifx y=qp + r con 0rp 1.

Per esempio, se p = 5, abbiamo 3 +5 2 = 0 e 3 +5 3 = 1, mentre3 53 = 4 e 4 54 = 1.

1.1 Il campo dei numeri complessi

Si consulti il Capitolo 7 degli Appunti del Professor Gianfranco Niesi, Di-

partimento di Matematica, Universita di Genova: Appunti per il corso diMatematica Discreta, C.S. in Informatica, Anno Accademico 2005-2006.Link:

http://www.dima.unige.it/niesi/EML/MD05appunti.pdf

oppure si consultino le tre sezioni ai seguenti indirizzi http://college.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s1.pdfcollege.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s2.pdfcollege.cengage.com/mathematics/larson/elementary linear/4e/shared/downloads/c08s3.pdf


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Chapter 2

Introduzione agli spazi

vettoriali

2.1 Introduzione ai vettori ed al prodotto in-terno

In Fisica ma anche nella vita di tutti i giorni dobbiamo continuamente mis-urare qualcosa. Alcune di queste grandezze le possiamo misurare con unnumero reale: saldo del conto corrente, altezza, eta, etc. Ad altre grandezze

corrisponde non solo una quantita rappresentata da un numero ma ancheuna direzione (con/senza verso). Per esempio,

La forza di gravita terrestre, la cui direzione e verso vanno dal puntoin cui vi trovate verso il centro della terra;

La forza di gravita su Giove (molto maggiore della forza di gravitaterrestre);

La forza esercitata in un punto preciso. Ha una grandezza, una di-rezione ed un verso ben precisi;

La velocita istantanea di unautomobile. Non conta soltanto il valore,per esempio 120 Km/ora, ma anche la direzione e verso di marcia.

I vettori sono una rappresentazione astratta delle grandezze che hanno unadirezione (e talvolta verso).

E importante distinguere tra vettore liberi e vettore applicati. Se in au-tomobile viaggiamo a velocita costante lungo una linea retta, al tempo t citroveremo in un determinato punto Pdella retta, mentre al tempo successivot + 10 ci troveremo in un altro puntoQ. Se misuriamo la velocita istantanea

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6 CHAPTER 2. INTRODUZIONE AGLI SPAZI VETTORIALI

nel punto P (velocita misurata + direzione) e poi nel punto Q, otterremo lo

stesso risultato. Lo stesso vettore e applicato prima nel puntoP e poi nelpuntoQ.

In generale un vettore e caratterizzato da (a) lunghezza (o grandezza,o modulo, o quantita) che e misurata da un valore in un campo numerico(vedi Capitolo 1); (b) direzione. Possiamo sempre moltiplicare un vettoreper uno scalare, che e un elemento del campo numerico con cui misuriamo lelunghezze: SeA e un vettore ec uno scalare, allora cA rappresenta il vettoreche ha la stessa direzione di Ama lunghezza c volte la lunghezza di A.

Possiamo misurare la direzione ed il verso? La direzione di un vettore none misurabile con un numero. Possiamo soltanto sapere quando due vettori A

e B hanno la stessa direzione:

A e B hanno la stessa direzione se esiste uno scalare c del camponumerico tale che A= cB .

Se il campo numerico e totalmente ordinato, come nel caso dei numerireali oppure i numeri razionali, possiamo dire anche se hanno lo stesso verso:

Ae B hanno stessa direzione e verso se esiste uno scalare c >0 tale cheA= cB . Ae B hanno stessa direzione ma verso opposto se esiste c


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2.2. SPAZI VETTORIALI 7

somma di due vettori di pari lunghezza e direzione ma di verso opposto e

nulla!

Figure 2.1: Forza e vettori

2.2 Spazi vettoriali

Un punto v nello spazio di assi Cartesiani xyz e rappresentato da una ternav = (vx, vy, vz) di numeri reali, le sue coordinate Cartesiane. La prima co-ordinata vx si ottiene proiettando perpendicolarmente il punto v nel pianoz=0, ottenendo il vettorevxy poi proiettando il punto ottenuto sullasse dellex. Similmente per le altre due coordinate vy e vz.

Figure 2.2: Coordinate del punto v


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Un punto P determina univocamente un vettore 0P che va dallorigine

degli assi al punto P. Questo vettore si indichera con il punto P stesso.Quindi parleremo di vettore Pintendendo il vettore 0P.

I vettori possono essere sommati coordinata per coordinata. Per esempio,se P = (2, 3, 4) e Q = (1, 2, 3) allora P+Q = (3, 5, 7). Geometricamente ilpuntoP+ Q si ottiene costruendo il parallelogramma di vertici P, 0 e Q. Ilquarto vertice e proprio P+ Q. Si veda Figura 3.1.

Figure 2.3: Somma di vettori

I vettori possono essere moltiplicati per uno scalare. Se P e un vettorenello spazio allora rP e un altro vettore che sta sempre nella retta, passanteper lorigine, determinata dal vettore P. Per esempio, se P = (3, 2, 1) allora5P= (15, 10, 5).

In generale, possiamo considerare in maniera astratta un insieme di vet-tori che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare che eun elemento di un campo numerico.

Definition 2.2.1. Sia F un campo numerico. Uno spazio vettoriale su F e


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2.2. SPAZI VETTORIALI 9

un insiemeVdi vettori con somma vettoriale + :V

V

V e prodotto per

uno scalare: F VVche soddisfano gli assiomi seguenti:SV1: P+ (Q + R) = (P+ Q) + R;

SV2: P+ Q= Q + P;

SV3: 0 + P=P;

SV4: P+ (P) =0;

SV5: (r+ s)P =rP+ sP;

SV6: (rs)P=r(sP);

SV7: r(P+ Q) =rP+ rQ.

Si noti che il vettore nullo viene indicato con0e che per brevita scriviamorPal posto di r P.

Si noti anche che lassioma (SV4) deriva da (SV5):

P+ (P) = (1 + (1))P = 0P =0.

Figure 2.4: Vettori


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2.3 Prodotto interno

In questa sezione definiamo il prodotto interno di vettori di R3. Analoghedefinizioni possono essere date per vettori di Rn con narbitrario.

Un punto A dello spazio rappresenta anche il vettore che va dalloriginedelle coordinate Cartesiane sino al punto A. Quindi in seguito parleremo dipuntoAoppure di vettore Asenza alcuna distinzione.

Se A= (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) sono due vettori nello spazio, allorail prodotto interno di Ae B e definito come segue:

A B =a1b1+ a2b2+ a3b3.

Per esempio, seA= (1, 3, 2) e B = (1, 4, 3) alloraAB =1+12+6 = 17.Il prodotto interno verifica le seguenti proprieta.

PS1 A B =B A;PS2 A (B+ C) =A B+ A C= (B+ C) A;PS3 Se x e uno scalare (numero) (xA) B =x(A B) =A (xB);PS4 Se 0 e il vettore nullo, allora 0 0= 0; in ogni altro caso A A >0.

La lunghezza del vettoreA e definita come||A||=

A A.

La parte restante di questa sezione ha lo scopo di determinare il significatogeometrico del prodotto interno:

A B =||A||||B||cos(),

dove e langolo formato dai vettori Ae B (ovvero langolo AOB).

Lemma 2.3.1. (Disuguaglianza di Schwartz)

(A B)2 (A A)(B B).Proof. Siano xe y numeri reali. Applicando la proprieta (PS4) abbiamo:

0(xA + yB) (xA + yB).Sviluppando otteniamo:

0x2(A A) + 2xy(A B) + y2(B B).


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2.3. PRODOTTO INTERNO 11

Sostituendo x= B

B and y=

A

B si ricava

0(BB)2(AA)2(BB)(AB)2+(BB)(AB)2(BB) = (BB)2(AA)(BB)(AB)2.Dividiamo per B B, da cui

0(B B)(A A) (A B)2.Riportando al primo membro (A B)2 si ottiene la tesi.Corollary 2.3.2.

|A B| ||A||||B||.

Lemma 2.3.3.||A + B|| ||A|| + ||B|| ed inoltre||xA||= x||A||,Proof. Sviluppiamo (A + B) (A + B) =A A + 2(A B) + B B =||A||2 +2(A B) + ||B||2 ||A||2 + 2||A||||B|| + ||B||2 = (||A|| + ||B||)2.Distanza tra due punti e perpendicolaritaLa lunghezza del vettore A e pari alla distanza del punto A dallorigine dellecoordinate Cartesiane. SeAeBsono due punti dello spazio, la distanza tra AeBe la lunghezza del vettore applicato che va daAaB. Se riportiamo questovettore applicato nellorigine delle coordinate Cartesiane, cioe consideriamoil punto B

A, otteniamo che la distanza tra Ae B e

||B A||.Quando due vettori sono perpendicolari od ortogonali?

Proposition 2.3.4. Due vettoriAeB sono perpendicolari sse il loro prodottointerno A B e0.Proof. Due vettori A e B sono perpendicolari se e solo se la distanza tra Ae B e la distanza tra A eB sono uguali (langolo formato dai vettori A eB e uguale allangolo formato dai vettori AeB). Questo significa che

||A B||=||A (B)||=||A + B||.Calcoliamo con i quadrati:

(A B) (A B) = (A A) 2(A B) + (B B) = (A A)+2(A B) + (B B).Semplificando otteniamo

4(A B) = 0,da cui segue A B = 0.


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Figure 2.5: Prodotto interno dei vettori Ae B

Proposition 2.3.5. SianoAeB due vettori, e sia langolo da essi formato.

Allora si ha: A B =||A||||B||cos().Proof. Sia langolo formato dai vettori A e B. Se proiettiamo il vettoreA sulla retta che contiene B, otteniamo un vettore cB (per un certo cR) che ha la stessa direzione di B. Dalla trigonometria elementare si hache la lunghezza c||B|| di cB e uguale a||A||cos(), mentre la lunghezza diA cB e uguale a||A||sen() ed e perpendicolare al vettore B. Utilizzandola Proposizione 2.3.4 si ha:

(A cB) B =A B c(B B) = 0

da cuic= (A B)/(B B) = (A B)/||B||2.

Quindi, dac||B||=||A||cos()

sostituendo a c il suo valore otteniamo:

((A B)/||B||2)||B||=||A||cos().

Semplificando ricaviamo:

(A B)/||B||=||A||cos().

da cui si ha la tesi.

Due vettori sono allineati se cos() = +1 oppure cos() =1, da cui siha:

|A B|=||A||||B||.


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Chapter 3

Rette e piani

Definition 3.0.1. Un equazione linearenelle incognite x1, . . . , xn a coeffi-cienti nel campo numerico F e unequazione:

a1x1+ + anxn=bcon a1, . . . , an, b F. Gli elementi ai sono detti coefficienti, mentre b e iltermine noto. Se b = 0, lequazione e detta lineare omogenea. Una soluzionedellequazione lineare e una n-pla (ordinata) (r1, . . . , rn) di elementi di F taleche

a1r1+

+ anrn=b.

In genere utilizzeremo come campo numerico linsiemeR dei numeri reali.

3.1 Rette nel piano

Retta perpendicolare ad un dato vettoreSianox, yvariabili. Cosa descrive lequazione 3x+2y= 0? Lequazione3x+2y = 0 esprime che il prodotto interno (3, 2)(x, y) = 0 e nullo. Os-sia il vettore (x, y) e perpendicolare al vettore (3, 2). Quindi lequazioneesprime linsieme di tutti i vettori perpendicolari al vettore (3, 2). Il

luogo dei punti{(x, y) : 3x + 2y= 0}

e la retta passante per lorigine e perpendicolare al vettore (3, 2). Peresempio, il punto (2, 3) appartiene alla retta.Se conosciamo un punto sulla retta, per esempio il punto (2, 3), alloratutti gli altri possono essere ottenuti moltiplicando il vettore (2, 3) perlo scalaret numero reale arbitrario (equazione parametrica della retta):

x= 2t; y =3t, al variare del reale t.

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14 CHAPTER 3. RETTE E PIANI

Retta di equazione ax + by= c con c

= 0

Per capire lequazione 3x + 2y = 5, consideriamo un vettore, per esem-pio P = (1, 1), tale che

(3, 2) (1, 1) = 3 1 + 2 1 = 5.

Consideriamo un qualsiasi vettore, per esempio (2, 3) che sta nellaretta 3x+ 2y = 0 passante per lorigine e perpendicolare al vettore(3, 2). Allora, linsieme dei punti (1, 1) + t(2, 3) = (1 + 2t, 13t) sonotutti e soli i punti che verificano lequazione 3x+ 2y = 5. Quindi laseguente equazione parametrica descrive la retta:

x= 1 + 2t; y= 1 3t, al variare del reale t.La retta data e parallela alla retta di equazione 3x+ 2y = 0 e passaper il punto (1, 1).

Figure 3.1: Retta (non passante per lorigine) perpendicolare al vettore inrosso


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3.1. RETTE NEL PIANO 15

Figure 3.2: Rette nel piano

Dato un vettore A ed un punto P nel piano, determinarelequazione della retta passante per P e parallela alla rettadeterminata dal vettore ASia A = (3, 2) e P = (1, 1). Prima determiniamo lequazione dellaretta passante per (0, 0) e perA. Lequazione della retta eax + by= 0.Dobbiamo scoprire i valori di a e b. SiccomeA sta nella retta abbiamo

3a + 2b= 0,

da cui b =

(3/2)a. Scegliamo a = 2 e quindi b =

3. Alloralequazione della retta che contiene il vettore A e

2x 3y= 0.La nuova retta avra equazione

2x 3y=cper un certo c= 0. Il punto P sta in questa retta, quindi c = 23(1) = 5. Quindi lequazione della retta passante per P e parallela


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alla retta di direzione il vettore A e:

2x 3y= 5.

Dati due punti distintiA e B nel piano, determinare lequazionedella retta passante per A e BSia A = (2, 2) e B = (2, 6). La retta passante per A e B conterrail vettore applicato AB. Riportiamo tale vettore nellorigine tramite ilpuntoB A= (4, 4). Quindi il vettore AB avra la stessa lunghezzae direzione del vettore B A.Equazione della retta contenente il vettore BA= (4, 4): dallequazionegenerica ax + by= 0 e dal fatto che B

Asta nella retta si ricava che

4a + 4b= 0 da cui a= b. Scegliamo a= b = 1. Quindi lequazione ex + y= 0.

Equazione della retta parallela alla retta di equazione x+ y = 0 econtenente il puntoB = (2, 6): Dax+y= c sostituendo le coordinatedel punto B si ricava c=2 + 6 = 4.Quindi lequazione della retta e x+y = 4. Anche il punto Asta nellaretta in quanto 2 + 2 = 4.

Come passare dallequazione parametrica di una retta allequazioneax + by=cSe descriviamo una retta con unequazione parametrica, per esempio

x= 5 + 2t; y= 2 + t

ricaviamo t da una delle due equazioni e lo sostituiamo nellaltra. Dat= y 2 si ottiene x = 5 + 2(y 2) da cui x 2y= 1.

3.2 Rette e piani nello spazio

Piano passante per lorigine e perpendicolare ad un dato vet-toreNello spazio abbiamo tre coordinate. Consideriamo tre variabilix, y,z.Cosa descrive lequazione 3x+ 2y +z = 0? Un piano passante perlorigine. Consideriamo il vettore (3, 2, 1) ed il vettore (x,y,z). Lequazione3x+ 2y+ z= 0 esprime che il prodotto interno (3, 2, 1) (x,y,z) = 0e nullo. Ossia il vettore (x,y,z) e perpendicolare al vettore (3, 2, 1).Quindi lequazione esprime linsieme di tutti i vettori perpendicolari alvettore (3, 2, 1). Il luogo dei punti

{(x,y,z) : 3x + 2y+ z= 0}


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3.2. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO 17

e il piano passante per lorigine e perpendicolare al vettore (3, 2, 1).

Lequazione parametrica del piano si ottiene come segue. Consideriamodue punti P e Q nel piano che non siano allineati rispetto alle rettedel piano passanti per lorigine degli assi (non possiamo consideraresoltanto un punto perche il piano e bidimensionale). Per esempio, P =(1, 1. 1) eQ = (1, 0, 3). Allora tutti i punti del piano si ottengonocome combinazione lineare di P e Q:

tP+ rQ, al variare di r, t numeri reali,

In altri termini tutti i punti del tipo

x= t r; y=t; z=t + 3r. (3.1)

Piano di equazione ax + by+ cz= d con d= 0Lequazione 3x + 2y + z= 4 descrive invece un piano parallelo al piano3x + 2y + z= 0. SeR = (1, 1, 1) e un punto del piano 3x + 2y + z= 4,allora i punti del nuovo piano si ottengono parametricamente da (3.1)come segue:

x = 1 + t r; y= 1 t; z=1 t + 3r.

Piano passante per tre punti non allineatiSiano P,Q,R tre punti non allineati (cioe, per i tre punti non passa

una retta). Consideriamo i vettori applicati P Q e P R. Li riportiamoallorigine degli assi, considerando il vettoreQ Ped il vettore R P.Questi due vettori non sono allineati per lipotesi iniziale che i tre puntinon sono allineati. Il piano passante per lorigine e contenente i vettoriQ P e R Pha la seguente equazione parametrica:

t(Q P) + r(R P), al variare di r, t numeri reali,Allora il piano passante per P, Q, R e descritto da

P+ t(Q P) + r(R P), al variare di r, tnumeri reali,Infatti, ponendo r = t = 0 si ottiene il punto P, con t = 1 e r = 0 siottiene Q, ed infine con t= 0 e r= 1 si ha il punto R.

Esempio: P = (1, 1, 1), Q= (1, 2, 1) ed R= (5, 0, 7). Il piano passanteper lorigine ha equazione parametrica:

x= 4r; y = t r; z= 6r.


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Il piano passante per i tre punti ha equazione parametrica:

x= 1 + 4r; y= 1 + t r; z= 1 + 6r.

Trasformiamo lequazione parametrica in una non parametrica: r =(x1)/4, da cui z= 1 + 6(x1)/4 = 1 + 3(x1)/2. Infine si ha2z= 3x 3 + 2 = 3x 1:

3x + 2z=1


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Chapter 4

Sistemi lineari

Definition 4.0.1. Un sistema lineare di m equazioni nelle incognite x1, . . . , xne un insieme di equazioni lineari:

a11x1+ + a1nxn = b1a21x1+ + a2nxn = b2. . . . . . . . .am1x1+ + amnxn = bm

Il sistema lineare e omogeneo sebi= 0 per ogni i. Una soluzione del sistemae una n-pla (r1, . . . , rn) di elementi del campo numerico tali che

a11r1+ + a1nrn = b1a21r1+ + a2nrn = b2. . . . . . . . .am1r1+ + amnrn = bm

4.1 Due equazioni in due variabili

Consideriamo il sistema seguente:3x + 2y = 5

x + 4y = 3La prima e lequazione di una retta parallela alla retta di equazione3x+ 2y = 0 (passante per lorigine e perpendicolare al vettore A =(3, 2)). La seconda e lequazione di una retta parallela alla retta diequazione x + 4y = 0 (passante per lorigine e perpendicolare al vettoreB = (1, 4)).

Cerchiamo le soluzioni comuni alle due equazioni: un vettore (x,y) ilcui prodotto interno con (3,2) da come risultato 5; e con (1, 4) da comerisultato 3.

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20 CHAPTER 4. SISTEMI LINEARI

Numero di possibili soluzioni in generale. Il sistema ammette

ununica soluzione se le due rette non sono parallele. Se le rette sonoparallele, allora non abbiamo soluzioni se le rette sono distinte, mentreabbiamo infinite soluzioni se le due rette coincidono.

Numero delle soluzioni nel caso particolare.Per sapere se le rette sono parallele oppure no, calcoliamo il prodottointerno di Ae B (si veda Sezione 2.3):

A B = (3, 2) (1, 4) = 3 + 8 = 11.Siccome||A||= 13 e||B||= 17, abbiamo per langolo tra i vettoriAe B:

cos() = (A B)/

13

17 = 11/

221 =

121/221< 1.

Quindi le rette non sono parallele. Se lo fossero cos() sarebbe +1oppure1.

Calcolo dellunica soluzione con il metodo di eliminazione diGauss.Calcoliamo lunica soluzione del sistema

3x + 2y = 5

x + 4y = 3Lidea e di trasformare il sistema lineare dato in uno equivalente in cuila variabile xnon compare nella seconda equazione.

Moltiplichiamo la prima equazione per 1/3 ed otteniamo il nuovo sis-tema

x + 23

y = 53

x + 4y = 3

La retta descritta dallequazione equazione x+ 23

y = 53

e la stessadescritta dallequazione 3x+ 2y = 5 (Perche?). A questo punto laseconda equazionex + 4y= 3 e la nuova equazione x + 2

3y= 5

3hanno lo

stesso termine in x. Sottraiamo la prima equazione dalla seconda perottenere il sistema

x + 23

y = 53

103y = 4

3

da cui y = 25

. Sostituendo nella prima equazione si ottienex= 75

. Lasoluzione e quindi

x=7

5; y =

2

5.


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4.1. DUE EQUAZIONI IN DUE VARIABILI 21

Un altro esempio con il metodo di eliminazione di Gauss.

Consideriamo un altro esempio:

x + 2y = 34x + 5y = 6

Calcoliamo il numero delle soluzioni. SiaA= (1, 2) e B = (4, 5). Alloraabbiamo:

cos() = (A B)/||A|| ||B||= 14/

5

41 = 14/

205 =

196/221< 1.

Quindi le due rette non sono parallele ed esiste ununica soluzione.

Calcoliamo la soluzione. Moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la

sottraiamo alla seconda. Si ottiene il sistema:

x + 2y = 33y = 6

da cui si ricava y = 2 e, sostituendo 2 per y nella prima equazione, siottiene x=1.

Un esempio di sistema con infinite soluzioni.Consideriamo il seguente sistema lineare:

x + 2y = 3

2x + 4y = 6Calcoliamo il numero delle soluzioni. SiaA= (1, 2) e B = (2, 4). Alloraabbiamo:

cos() = (A B)/||A|| ||B||= 10/

5

20 = 10/

100 = 10/10 = 1.

Quindi le due rette sono parallele, anzi sono uguali. La seconda equazionesi scrive come 2(x+ 2y) = 23. Quindi il sistema lineare ammetteinfinite soluzioni.

Un esempio di sistema con nessuna soluzione. Consideriamoil seguente sistema lineare:

x + 2y = 32x + 4y = 12

Calcoliamo il numero delle soluzioni. SiaA= (1, 2) e B = (2, 4). Alloracome prima abbiamo cos() = 1. Quindi le due rette sono parallele,ma non uguali. La seconda equazione si scrive come 2(x + 2y) = 2 6e corrisponde alla retta x + 2y= 6 che e parallela alla retta della primaequazione. Quindi il sistema lineare non ammette soluzione.


22/99


Criteri da applicare nel metodo di eliminazione di Gauss.

Abbiamo applicato i seguenti criteri:

Se ax+by = c e lequazione di una retta, moltiplicando per unastessa costante d entrambi i membri delluguaglianza si ottieneunequazione

dax + dby= dc

che descrive la stessa retta. Se il prodotto interno di (a, b)(x, y) =callora il prodotto interno (da,db) (x, y) =dc. Il vettore (da, db)sta nella stessa retta contenente il vettore (a, b).

Quindi in un sistema lineare possiamo sostituire lequazione ax +

by = c con lequazione dax+dby = dc senza che cambino lesoluzioni del sistema.

Consideriamo il sistema lineare:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

Possiamo, per esempio, sostituire la prima equazione con una com-binazione lineare delle due equazioni senza che le soluzioni del sis-tema cambino. In altre parole, sostituiamo lequazionea1x+b1y=c1 con lequazioned1(a1x + b1y) + d2(a2x + b2y) =d1c1+ d2c2, ot-

tenendo il nuovo sistema lineare:

(d1a1+ d2a2)x + (d2a2+ d2b2)y = d1c1+ d2c2a2x + b2y = c2

4.2 Due o tre equazioni in tre variabili

1. Consideriamo il sistema lineare seguente:

3x + 2y+ z = 0x + 4y+ 3z = 0

x + y+ z = 0

Il sistema e omogeneo perche il vettore dei termini noti e il vettorenullo (0, 0, 0).

La prima e lequazione di un piano passante per lorigine e perpendi-colare al vettore A = (3, 2, 1). La seconda e lequazione di un pianopassante per lorigine e perpendicolare al vettore B = (1, 4, 3). Laterza e lequazione di un piano passante per lorigine e perpendicolareal vettore C= (1, 1, 1).


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4.2. DUE O TRE EQUAZIONI IN TRE VARIABILI 23

(i) Lintersezione dei tre piani e un piano sse i tre piani sono coincidenti

(lo stesso piano) sse i tre vettori A, B e C sono collineari (nellastessa retta per lorigine);

(ii) Lintersezione dei tre piani e una retta sse i tre vettori A, B e Cnon sono collineari ma si trovano in uno stesso piano passante perlorigine;

(iii) Lintersezione dei tre piani e un punto sse (1) i vettoriA e B nonsi trovano nella stessa retta; (2) il vettoreCnon si trova nel pianogenerato dai vettori Ae B.

Ritorniamo al sistema lineare omogeneo precedente. Calcoliamo se i

piani sono paralleli. Siano A = (3, 2, 1), B = (1, 4, 3) e C = (1, 1, 1).Allora abbiamo:

cos(AB) = (A B)/||A|| ||B||= 14/

14

26 = 14/

364< 1.

QuindiA e B non sono collineari ma generano un piano. Se Cfosse nelpiano generato da Ae B, allora esisterebbero c e d tali che c(3, 2, 1) +d(1, 4, 3) = (1, 1, 1), da cui si ha 3c+d = 1, 2c+ 4d= 1 e c+ 3d= 1.Sottraendo la seconda dalla prima si ricava: c= 3d. Sostituendo nellaterza si ottiene 3d+ 3d = 0, cioe d = 0 e quindi c = 0. Si ottienecos che Cnon si trova nel piano generato da A e B. Quindi lunica

soluzione e il vettore nullo.

2. Consideriamo il sistema seguente:

3x + 2y+ z = 5x + 4y+ 3z = 3

x + y+ z = 0

La prima e lequazione di un piano parallelo al piano di equazione3x+ 2y +z = 0 (passante per lorigine e perpendicolare al vettoreA= (3, 2, 1)). La seconda e lequazione di un piano parallelo al piano

di equazione x+ 4y+ 3z= 0 (passante per lorigine e perpendicolareal vettore B = (1, 4, 3)). La terza e lequazione del piano passante perlorigine e perpendicolare al vettore C= (1, 1, 1).

Lintersezione dei tre piani e un punto se (1) i vettori A e B non sitrovano nella stessa retta; (2) il vettore Cnon si trova nel piano gen-erato dai vettori A e B. Dai fatti calcoli fatti nel punto precedenteper il sistema omogeno si ottiene che Cnon si trova nel piano generatoda A e B. Quindi la soluzione e un punto. Applichiamo il metodo dieliminazione di Gauss.


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Scambiamo la prima equazione con la terza. Si ottiene il sistema:

x + y+ z = 03x + 2y+ z = 5x + 4y+ 3z = 3

Facciamo scomparire xdalla seconda e terza equazione.

Sottraiamo 3 volte la prima equazione dalla seconda; Sottraiamo la prima equazione dalla terza;

Si ottiene:x + y + z = 0

y 2z = 53y + 2z = 3

Facciamo scomparire y dalla terza equazione sommando tre volte laseconda:

x + y + z = 0y 2z = 5

4z = 18Quindiz=9/2,y = 4 e infine dalla prima equazionex =4 + 9/2 =1/2.

3. Consideriamo il sistema seguente:

3x + 2y+ z = 5x + 4y+ 3z = 3

La prima e lequazione di un piano parallelo al piano di equazione3x+ 2y +z = 0 (passante per lorigine e perpendicolare al vettoreA= (3, 2, 1)). La seconda e lequazione di un piano parallelo al pianodi equazione x+ 4y+ 3z= 0 (passante per lorigine e perpendicolareal vettore B = (1, 4, 3)).

Lintersezione di due piani, se non paralleli, e una retta.

Cerchiamo le soluzioni comuni alle due equazioni: un vettore (x,y,z)il cui prodotto interno con (3, 2, 1) da come risultato 5; e con (1, 4, 3)da come risultato 3.

Calcoliamo se i piani sono paralleli. SiaA = (3, 2, 1) e B = (1, 4, 3).Allora abbiamo:

cos() = (A B)/||A|| ||B||= 14/

14

26 = 14/

364< 1.


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4.2. DUE O TRE EQUAZIONI IN TRE VARIABILI 25

Quindi i due piani non sono paralleli.

Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss. Scambiamo la primae la seconda equazione ottenendo

x + 4y+ 3z = 33x + 2y+ z = 5

Sottraiamo alla seconda equazione tre volte la prima equazione otte-nendo: x+4(2-4z)/5 +3z = 3

x + 4y + 3z = 3

10y

8z =

4

da cui si ha y = 24z5

. Sostituiamo nella prima equazione per ottenerele soluzioni in termini del parametro z:

x= (3 (16/5))z+ (3 (8/5)); y =2 4z5

.


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Chapter 5

Matrici

5.1 Lo spazio vettoriale delle matrici

Cominciamo con lintrodurre il concetto di matrice.

Definition 5.1.1. Una matrice A = (Ai,j) con m righe ed n colonne (inbreve una matricem n) sul campo F e una famiglia di m nelementi di F.Ciascun elemento ha un indice di riga ed un indice di colonna. LelementoAi,j ha indice di riga i ed indice di colonna j con 1im e 1jn. Lamatrice si rappresenta come segue:

A=

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

Se A e una matrice mn, denotiamo con Ai il vettore che e la riga idella matrice, e con Aj il vettore che e la colonna j della matrice:

Ai=

ai1 ai2 . . . ain

; A

j

=

a1ja2j

. . .amj

Una matrice e quadrata se il numero di righe e uguale al numero di

colonne.Una matrice quadrata A e

1. simmetrica se Aij =Aji per ogni i, j.

2. diagonale se Aij = 0 per i=j .

27


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28 CHAPTER 5. MATRICI

3. la matrice identita se e diagonale e Aii = 1 per ogni i (la matrice

identita si indica con I).

4. triangolare superiore se Aij = 0 per ogni i > j.

Latraspostadi una matriceA e una matriceAt le cui righe sono le colonnedi A e le cui colonne sono le righe di A. In altre parole, Atij =Aji per ogni ie j . Se A e una matrice m nallora la sua trasposta e una matrice n m.Proposition 5.1.1. SiaA una matrice. Allora si ha:

1. (At)t =A.

2. SeA e simmetrica e quadrata alloraAt =A.

Example 2. Le seguenti matrici sono rispettivamente simmetrica, diagonalee la matrice identita:

A=

3 2 12 4 4

1 4 2

B =

3 0 00 4 0

0 0 2

I=

1 0 00 1 0

0 0 1

A2 =

2 4 4

; A3 =

142

La trasposta della matrice simmetricaAcoincide conA, mentre la matrice

Cqui di seguito non e simmetrica e la sua trasposta non coincide conC.

C=

3 2 71 4 9

22 1 0

Ct =

3 1 222 4 1

7 9 0

La seguente matrice D e triangolare superiore:

D=

3 2 70 4 90 0 5

Proposition 5.1.2. Linsieme delle matricimna coefficienti in un campoF costituisce uno spazio vettoriale rispetto alloperazioni di somma compo-nente per componente e prodotto per uno scalare:

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n. . . . . . . . . . . .bm1 bm2 . . . bmn

=

a11+ b11 a12+ b12 . . . a1n+ b1na21+ b21 a22+ b22 . . . a2n+ b2n

. . . . . . . . . . . .am1+ bm1 am2+ bm2 . . . amn+ bmn


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5.2. PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN VETTORE 29

Figure 5.1: Altri due esempi di matrice triangolare superiore

c

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

=

ca11 ca12 . . . ca1nca21 ca22 . . . ca2n. . . . . . . . . . . .

cam1 cam2 . . . camn

Example 3.

2 31 53 2

+

1 23 4

5 6

=

3 54 1

8 8

4

2 31 5

3 2

=

8 124 20

12 8

5.2 Prodotto di una matrice per un vettore

Forma matriciale di un sistema lineare

Consideriamo il sistema lineare:

a11x1+ + a1nxn = b1a21x1+ + a2nxn = b2. . . . . . . . .am1x1+ + amnxn = bm

Definiamo la matrice Adei coefficienti del sistema ed i vettori colonna delleincognite e dei termini noti:

A=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

; x= x1

x2. . .xn

; b= b1

b2. . .bm

Allora si vede facilmente che la prima equazione lineare a11x1 + + a1nxn =b1 si ottiene prendendo il prodotto interno del vettore riga

A1=

a11 a12 . . . a1n

e del vettore colonna

x1x2. . .xn

e ponendolo uguale


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a b1. Similmente per le altre equazioni lineari. I prodotti interni di questo

tipo si rappresentano con il prodotto di matrici:

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

x1x2. . .xn

=

a11x1+ + a1nxna21x1+ + a2nxn

. . .am1x1+ + amnxn

Quindi il sistema lineare si rappresenta globalmente come segue

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

x1x2

. . .xn

=

b1b2

. . .bm

Example 4. La matrice quadrata dei coefficienti del sistema lineare

3x + 2y = 5x + 4y = 3

e una matrice 2 2: 3 21 4

Il sistema lineare si puo scrivere in notazione matriciale come segue:3 21 4

xy

=

53

I due vettori [x, y] e [5, 3] sono stati scritti come vettori colonna, cioe comematrici 2 1.

Il prodotto interno 3x+2ydel vettore [3, 2] con il vettore

xy

e il prodotto

interno della prima riga della matrice con lunica colonna del vettore colonna

xy. Allo stesso modo il prodotto interno x+ 4y del vettore [1, 4] con il

vettore

xy

e il prodotto interno della seconda riga della matrice con lunica

colonna del vettore colonna

xy

. Quindi abbiamo:

3 21 4

xy

=

3x + 2yx + 4y


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5.3. PRODOTTO DI MATRICI 31

Example 5. Il sistema

3x + 2y+ z = 5x + 4y+ 3z = 3

x + y+ z = 0

si rappresenta in notazione matriciale come segue:3 2 11 4 3

1 1 1

xy

z

=

53

0

Come prima facciamo il prodotto interno tra la prima (rispettivamente sec-

onda e terza) riga della matrice con lunica colonna del vettore

xy

z

per

ottenere 3 2 11 4 3

1 1 1

xy

z

=

3x + 2y+ zx + 4y+ 3z

x + y+ z

=

53

0

La precedente equazione matriciale si puo anche scrivere come combi-nazione lineare di vettori colonna:

x

31

1

+ y

24

1

+ z

13

1

=

53

0

= b

con b il vettore di coordinate (5, 3, 0). Cosa significa questa equazione? Cichiediamo se il vettoreb si puo scrivere come combinazione lineare dei vettori31

1

,

24

1

and

13

1

. Lequazione vettoriale ha soluzione perche con tre

vettori linearmente indipendenti possiamo ottenere ogni punto dello spazio.

In particolare, anche il punto b(si veda il Capitolo 7).

5.3 Prodotto di matrici

Tutte le trasformazioni sulle matrici della precedente sezione si ottengonoanche utilizzando il prodotto matriciale che ci accingiamo a definire.

Definition 5.3.1. Sia A = (aij) una matricem k eB = (bij) una matricek n. Ilprodotto AB diA e B e una nuova matricem nle cui componenti


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sono ottenute come segue (per ogni i e j):

(AB)ij = prodotto interno della rigaAi per la colonna Bj =kr=1

airbrj .

Osserviamo che sia la riga i di A che la colonnaj di B hannok elementi.

Proposition 5.3.1. Il prodotto tra matrici e associativo ed ammette lelementoneutro che e la matrice identicaI:

A(BC) = (AB)C; IA= AI=A.

Il prodotto distribuisce rispetto alla somma:A(B+ C) = (AB) + (AC); (B+ C)A= (BA) + (CA).

Il prodotto non e in generale commutativo. Esistono matriciA eB tali cheAB=BA. Abbiamo inoltre per le matrici trasposte:

(AB)t =B tAt.

Infine sec e uno scalare:

(cA)B =A(cB) =c(AB).

Se a=

a1a2

. . .an

e b =

b1b2

. . .bn

sono vettori colonna di Rn, allora il prodotto

interno si puo scrivere con il prodotto matriciale atb= a1b1+ + anbn.

Figure 5.2: Prodotto interno come prodotto di matrici 1 ne n 1

Example 6. In questo esempio consideriamo tre matrici:

A=

1 24 3

B =

3 2 52 2 4

C=

1 2 14 2 1

2 2 3


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5.3. PRODOTTO DI MATRICI 33

e controlliamo che (AB)C=A(BC). Abbiamo:

AB=

7 2 1318 2 32

(AB)C=

41 36 4474 104 116

BC=

5 20 2018 8 12

A(BC) =

41 36 4474 104 116

Example 7. In questo esempio verifichiamo che il prodotto non e commu-tativo:

1 24 3

3 22 2

=

7 218 2

mentre 3 22 2

1 24 3

=

11 126 2

Example 8. 1 00 1

3 22 2

=

3 22 2

=

3 22 2

1 00 1

Example 9. Un grafo G = (V, E) e costituito da un insieme finito V ={v1, v2, . . . , vn} di vertici (o nodi) e da un insieme di archi o frecce definitetramite una relazione binaria E V. Se (v, u) E allora esiste un arcoorientato che si diparte dal vertice v ed arriva al vertice u:

vu.

Un cammino in un grafo e una sequenza di nodi u0, u1, . . . , uktali che (ui, ui+1)Efor every 0i < k.

Lamatrice di adiacenzadel grafoGe una matriceA di dimensionen n:

Aij =

1 se (vi, vj)E0 altrimenti.

La somma degli elementi della riga Ai e pari al numero di archi che esconodal vertice vi.

Definiamo prodotti matriciali ripetuti della matrice A: A1 =A e Ak+1 =AkA(da non confondersi con i vettori colonna diA!). Proviamo per induzionesu k che (Ak)ij e uguale al numero di cammini di lunghezza k dal nodo vi alnodo vj. Il risultato e vero per A

1 = A. Un cammino di lunghezza 1 da via vj e un arco orientato che connette vi a vj. Larco esiste sse Aij = 1 sse(vi, vj)E.


34/99


Supponiamo che il risultato sia vero per Ak e dimostriamolo per Ak+1:

(Ak+1)ij =nr=1

(Ak)irArj .

Infatti, un cammino di lunghezza k + 1 davi avj lo possiamo spezzare comeun cammino di lunghezza k da vi ad un vertice intermedio vr ed un arco davr a vj. Se calcoliamo quanti sono questi cammini di lunghezza k+ 1 connodo intermediovr, essi sono pari al numero (A

k)ir di cammini di lunghezzak davi avr se esiste un arco davr avj, oppure sono 0 se tale arco non esiste.In ogni caso e pari a

(Ak

)irArj .Ne segue la conclusione. Quindi, per ogni k, (Ak)ij e uguale al numero dicammini di lunghezza k da vi a vj .

Figure 5.3: Prodotto di Matrici

5.4 Moltiplicazione di matrici a blocchi

La moltiplicazione tra matrici si semplifica a volte se utilizziamo la moltipli-cazione a blocchi.


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5.4. MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI A BLOCCHI 35

Siano A e B matrici m

n e n

p, e sia r un numero minore o uguale

ad n. Possiamo decomporre le due matrici in blocchi:

A= [C|D]; B = [E|F],

doveC e di tipom r, D e m (n r), E er pe F e (n r) p. Allorail prodotto matriciale puo essere calcolato come segue:

AB =C E+ DF.

Se dividiamo Ae B in quattro blocchi

A=

C DE F

; B =

C DE F

,

allora la moltiplicazione matriciale si esegue come se A e B fossero matrici2 2:

AB =

CC+ DE CD+ DF

EC+ F E ED + F F

.

Example 10. Sia A=

C DE F

una matrice 2 3 e sia B =

C D

E F

una

matrice 3 4. Supponiamo che C= [1, 0], D = [5],E= [0, 1], F= [3] da unlato e C =

2 34 8

, D =

1 10 0

, E = [1, 0], F = [1, 0] dallaltro.

Allora si ha:

1. CC = [1, 0]

2 34 8

= [2, 3] e DE = [5][1, 0] = [5, 0], da cui CC +

DE = [2, 3] + [5, 0] = [7, 3].

2. CD+ DF = [1, 0]

1 10 0

+ [5][1, 0] = [1, 1] + [5, 0] = [6, 1].

3. EC+ F E

= [7, 8].

4. ED + F F = [3, 0].

Quindi

AB =

7 3 6 17 8 3 0


36/99



37/99

Chapter 6

Matrici e sistemi lineari

6.1 Matrici triangolari e metodo di eliminazione

Ritorniamo al sistema lineare3 2 11 4 3

1 1 1

xy

z

=

53

0

e rivediamo i passi effettuati per ottenere la soluzione:

1. Scambia la prima riga con la terza riga;

2. Sottrai la prima equazione dalla seconda;

3. Sottrai 3 volte la prima equazione dalla terza;

4. Somma alla terza equazione un terzo della seconda equazione.

Scriviamo qui di seguito le varie matrici che si ottengono con i vari passaggi

1.1 1 1

1 4 33 2 1x

yz

=0

35

2.

1 1 10 3 2

3 2 1

xy

z

=

03

5

3.

1 1 10 3 2

0 1 2

xy

z

=

03

5

37


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38 CHAPTER 6. MATRICI E SISTEMI LINEARI

4.1 1 1

0 3 20 0 4/3

xyz

=0

36

La matrice dei coefficienti e diventata triangolare superiore e la soluzione siottiene facilmente.

Una matrice arbitraria puo essere trasformata in una matrice triangolaresuperiore con il prodotto matriciale.

Definition 6.1.1. Una matrice e elementarese ha uno dei seguenti tre for-mati:

1. Matrice di tipo I che moltiplicando a sinistra una matriceA effettua loscambio di una riga di Acon unaltra riga di A:

E1,3=

0 0 10 1 0

1 0 0

E2,3=

0 0 00 1 1

0 1 0

E1,2=

0 1 01 1 0

0 0 0

2. Matrice di tipo II che moltiplicando a sinistra una matriceA effettuala moltiplicazione di una riga di A per uno scalare c:

Ec1 = c 0 00 1 0

0 0 1

Ec2 = 1 0 00 c 00 0 1

Ec3 = 1 0 00 1 00 0 c

3. Matrice di tipo III che, moltiplicando a sinistra una matriceA, sommaun multiplo di una data riga di A ad unaltra riga data:

Ec21 =

1 0 0c 1 0

0 0 1

Ec23 =

1 0 00 1 0

c 0 1

Ec3 =

1 0 00 1 0

0 c 1

Ec12=

1 c 00 1 0

0 0 1

Ec13=

1 0 c0 1 0

0 0 1

Ec23 =

1 0 00 1 c

0 0 1

Ritorniamo al sistema lineare prima della definizione. Le operazioni cheapplichiamo ai coefficienti del sistema lineare, le applichiamo anche ai termininoti. Quindi aggiungiamo una colonna con i termini noti alla matrice A delsistema lineare.


39/99

6.1. MATRICI TRIANGOLARI E METODO DI ELIMINAZIONE 39

A=

3 2 1 51 4 3 31 1 1 0

Per scambiare la prima riga con lultima, moltiplichiamo la matrice E1,3, discambio tra la riga 1 e la riga 3, per la matrice A.

E1,3=

0 0 10 1 0

1 0 0

Si noti che il vettore [0, 0, 1], riga 1 diE1,3

, fara diventare la terza riga primariga, il vettore [0, 1, 0], riga 2 diE1,3, manterra intatta la seconda riga, mentreil vettore [1, 0, 0], riga 3 di E1,3, trasferira la riga 1 al posto della vecchia riga3.

E1,3A=

0 0 10 1 0

1 0 0

3 2 1 51 4 3 3

1 1 1 0

=

1 1 1 01 4 3 3

3 2 1 5

Ora vogliamo sottrarre la prima equazione dalla seconda. Consideriamo lamatrice E121 (in posizione 21 abbiamo il valore1):

E121 = 1 0 01 1 0

0 0 1

Allora abbiamo

E121E1,3A=

1 0 01 1 0

0 0 1

1 1 1 01 4 3 3

3 2 1 5

=

1 1 1 00 3 2 3

3 2 1 5

Sottraiamo 3 volte la prima equazione dalla terza. Consideriamo la matriceE331 (in posizione 31 abbiamo il valore

3):

E331 =

1 0 00 1 0

3 0 1

Allora abbiamo

E331E121E1,3A=

1 0 00 1 0

3 0 1

1 1 1 00 3 2 3

3 2 1 5

=

1 1 1 00 3 2 3

0 1 2 5


40/99


Dividiamo la seconda equazione per 3 e poi sommiamo la seconda equazione

alla terza. Consideriamo la matrice

E1/332 =

1 0 00 1 0

0 13

1

dove in posizione 32 si ha 1/3. Allora abbiamo

E1/332 E331E

121E1,3A=

1 0 00 1 00 1

3 1

1 1 1 00 3 2 30 1 2 5

=

1 1 1 00 3 2 30 0 4/3 6

Il fatto che il prodotto tra matrici e associativo ci permette anche di molti-plicare prima tutte le matrici E

1/332 E

331E

121E1,3 e poi applicare il risultato ad

A per ottenere il risultato finale.

6.2 Matrice inversa

Le operazioni che abbiamo applicato alla matrice A sono tutte reversibili nelsenso che ciascuna delle matrici elementari e invertibile.

Definition 6.2.1. Una matrice quadrataA einvertibilese esiste una matriceB tale che

AB =I=BA,

doveI e la matrice identica. Esiste al piu una matrice inversa diA; nel casoin cui esiste linversa della matrice A si indica con A1.

Lemma 6.2.1. 1. La matrice inversaA1 di una matriceA e unica.

2. (AB)1 =B1A1.

3. SeA e invertibile, lunica soluzione del sistema lineareAx= b (conxeb vettori colonna) ex= A1b.

Proof. (1) Supponiamo che B sia unaltra inversa, cioe AB = BA = I.Allora abbiamo:

B =BI=B(AA1) = (BA)A1 =I A1 =A1.

(2) (AB)(B1A1) =A(BB1)A1 =AI A1 =AA1 =I.(3) A(A1b) = (AA1)b= I b= b.


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6.2. MATRICE INVERSA 41

Lemma 6.2.2. Una matrice2

2e invertibile sse il suo determinantead

bc

e diverso da0. In tal caso si calcola facilmente:a bc d

1=

1

ad bc

d bc a

Proof. a bc d

dadbc

badbcc

adbcaadbc

=

1 00 1

Lemma 6.2.3. Una matrice diagonale e invertibile sse nessun elemento nelladiagonale e0.

Lemma 6.2.4. Una matrice triangolare superiore e invertibile se nessunelemento nella diagonale e0. Linversa (se esiste) e una matrice triangolaresuperiore. Lo stesso risultato vale per le matrici triangolari inferiori.

Example 11. Analizziamo prima il caso in cui gli elementi sulla diagonalesono tutti 1. Sia

A= 1 a b0 1 c

0 0 1

Allora abbiamo:

A1A=

1 a ac b0 1 c

0 0 1

1 a b0 1 c

0 0 1

=

1 0 00 1 0

0 0 1

Example 12. Sia

A=

d a b0 e c

0 0 f

con d, e, f= 0. Si consideri la matrice trasposta di A:

At =

d 0 0a e 0

b c f

Per calcolare lelementoA1ij , si cancellino la rigai e la colonnaj di At. Resta

una matrice 2 2 Aij, il cui determinante si calcola con le regole descritte


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nel Lemma 6.2.2. Allora (A1)ij = (

1)i+jDet(A

ij)Det(A)

. Per esempio, lelemento

(A1)13 e :

(A1)13 =det

a eb c

Det(A)

= ac beDet(A)

Siccome det(A) =edf (si veda piu avanti per il calcolo del determinantedi una matrice arbitraria), abbiamo:

A1A=

1d

aedacbeedf

0 1e

cef

0 0 1f

d a b0 e c0 0 f

=

1 0 00 1 00 0 1

6.2.1 Invertibilita delle matrici elementari

Le matrici elementari sono tutte invertibili.

Example 13. La matriceE1,3(che scambia la riga 1 e la riga 3) e invertibilecon inversa la matrice stessa:

E1,3E1,3=

0 0 10 1 01 0 0

0 0 10 1 01 0 0

=

1 0 00 1 00 0 1

= I

E infatti chiaro che scambiare due volte di seguito la riga uno e la riga treriporta alla situazione iniziale.

Example 14. La matrice Ec32 e invertibile con inversa Ec32:

1 0 00 1 00 c 1

1 0 00 1 0

0 c 1

=

1 0 00 1 0

0 0 1

Ritornando al sistema lineare di Sezione 6.1, definiamo B = E1,3A ericordiamo che abbiamo:

E1/332 E331E

121B =

1 1 1 00 3 2 3

0 0 4/3 6

= U

La matrice U e la matrice triangolare risultante. Se moltiplichiamo amboi membri della precedente uguaglianza per le matrici inverse delle matricielementari (nel giusto ordine), si ha:

L= (E121)1(E331)

1(E1/332 )1


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6.2. MATRICE INVERSA 43

otteniamo

LU=B.

Che tipo di matrice eL? E una matrice triangolare inferiore (se non facciamoscambi di righe):

L=

1 0 01 1 0

0 0 1

1 0 00 1 0

3 0 1

1 0 00 1 0

0 13

1

=

1 0 01 1 0

3 13

1

Fassata una matrice B , se riusciamo a scomporla come prodotto di una ma-

trice triangolare inferiore L ed una matrice triangolare superiore U, allorapossiamo risolvere il sistemaB x= b (xvettore colonna incognito e b vettorecolonna dei termini noti) con i seguenti passi:

Trovare un vettore ctale che Lc= b;

Trovare un vettore dtale che U d= c;

Bd = LU d= L(Ud) =Lc = b e quindi x= d.

Example 15. Consideriamo il sistema 2 12 3

x1x2

=

53

= b

Allora 2 12 3

=

1 01 1

2 10 4

= LU

RisolvendoLc = b, si ottiene c1 = 5 ec2 = 8, mentre per lequazione U x= csi ha x2 = 2 e x1=

32

.

Se una matrice e invertibile possiamo trovare facilmente la soluzione diun problema. Il seguente esempio spiega il motivo.

Example 16. Trovare una soluzione del seguente sistema lineare:

2 1 11 2 3

1 2 2

xy

z

=

12

3


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6.3 Il metodo di Gauss-Jordan per il calcolo

di A1

Spieghiamo il metodo con un esempio. Consideriamo la matrice Ada inver-tire:

A=

2 1 14 6 0

2 7 2

Ricordiamo che la matrice A si scompone come prodotto di una matricetriangolare inferiore ed una matrice triangolare superiore:

A= LU.

Aggiungiamo la matrice identica in fondo: 2 1 1 1 0 04 6 0 0 1 0

2 7 2 0 0 1

Lidea e di eseguire le solite operazioni di triangolarizzazione sulla matrice3 6 in maniera tale da arrivare ad una matrice

1 0 0 b11 b12 b130 1 0 b21 b22 b230 0 1 b31 b32 b33

Allora la matrice 3 3 in fondo sara linversa di A.

Cominciamo sottraendo il doppio della prima riga alla seconda riga: 2 1 1 1 0 00 8 2 2 1 0

2 7 2 0 0 1

Sommiamo la prima riga allultima riga:2 1 1 1 0 00 8 2 2 1 0

0 8 3 1 0 1

Sommiamo la seconda riga allultima:2 1 1 1 0 00 8 2 2 1 0

0 0 1 1 1 1


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6.4. MATRICI A GRADINI 45

Abbiamo ottenuto la matrice triangolare superioreUnella prime tre colonne.

Le ultime tre colonne costituiscono la matrice L1, cioe la matrice delleoperazioni inverse:

2 1 1 1 0 00 8 2 2 1 00 0 1 1 1 1

= U L1

Ora cerchiamo di azzerare le componenti 12 e 22, sottraendo la terza rigaalla prima:

2 1 0 2 1 10

8

2

2 1 0

0 0 1 1 1 1e sommando due volte la terza alla seconda:

2 1 0 2 1 10 8 0 4 3 20 0 1 1 1 1

Per azzerare la componente 12 si procede sommando unottavo della secondaalla prima:

2 0 0 12

8 5

8 6

8

0 8 0 4 3 20 0 1 1 1 1

Infine si divide la prima riga per 2, la seconda per8:1 0 0 1216 516 6160 1 0 4

8 3

8 2

8

0 0 1 1 1 1

Quindi la matrice inversa e:

A1 = 1216

516

616

48 38 281 1 1

6.4 Matrici a gradini

Definition 6.4.1. Una matrice a gradini m n e una matrice che verificale seguenti condizioni:

1. Tutte i vettori riga nulli sono nella parte bassa della matrice;


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2. Il primo elemento in una riga non nulla e un 1;

3. Date due righe successive i e i+ 1 non nulle, il primo elemento nonnullo della riga i+ 1 si trova a destra del primo elemento non nullodella riga i.

Una matrice a gradini ridotta e una matrice a gradini che verifica anche laseguente condizione:

4. Se una colonna contiene il primo elemento non nullo di una riga, alloratutte gli altri elementi della colonna sono nulli.

Example 17. Matrici in forma a gradini:

1 3 0 2 5 40 1 0 5 6 70 0 0 1 7 70 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

Matrici in forma ridotta a gradini:

1 0 0 0 0 4

0 1 0 0 0 70 0 0 1 0 70 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

Definition 6.4.2. Due matrici Ae B di dimensione m nsono equivalentiper riga, e scriviamo Ar B, se la matrice B puo essere ottenuta dallamatrice Aapplicando operazioni elementari (di tipo I, II, III).

Si noti che la relazione r e una relazione di equivalenza perche le matricielementari sono invertibili e quindi anche il prodotto di matrici elementari e

invertibile: se B =E Aallora A= E1

B.

Proposition 6.4.1.Ogni matrice non nulla e equivalente ad una matrice informa ridotta a gradini.

Proof. Sia Ala matrice di partenza.Come ottenere una matrice equivalente a gradini:Consideriamo la prima colonna (da sinistra) con almeno un elemento diversoda zero. Sia j lindice di colonna e supponiamo che il primo elemento nonnullo dallalto si trovi nella riga i. Scambiamo la riga i con la riga 1, ottenendo


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6.4. MATRICI A GRADINI 47

la matrice B. Cos b1j

= 0. Dividiamo la riga 1 diB per b1j. ottenendo la

matriceC, dovec1j = 1. Successivamente, per ogni elementocsj (2sm)diverso da zero, sommiamocsj volte la prima riga alla riga s. Otteniamouna matrice D in cui tutti gli elementi della colonna j sono nulli tranneil primo che e 1. Consideriamo la sottomatrice di D ottenuta eliminando laprima riga diD. Applichiamo la stessa procedura alla sottomatrice. Iterandoil ragionamento alla fine arriviamo ad una matrice in forma a gradini.Come ottenere una matrice in forma ridotta da una matrici a gradini:Sia H una matrice a gradini. Applica la procedura seguente dallalto versoil basso. Considera una riga non nulla, diciamo la riga i. Allora il primoelemento da sinistra della rigai e un 1. Supponiamo che si trovi nella colonna

j, cioe,hij = 1. Allora, per ogni rigak (1k < i) con elemento non nullo inposizionekj , cioe hkj= 0, sommahkj volte la riga i alla riga k. Alla finenella colonna j avremo tutti elementi nulli tranne un 1 in posizione ij.

Corollary 6.4.2. SianoAx = b eBx= d due sistemi lineari ciascuno conmequazioni inn incognite. Se le matrici aumentateA|beB |d sono equivalentiallora i due sistemi hanno le stesse soluzioni.

Proof. Moltiplicare per una matrice elementare non cambia le soluzioni delsistema. Riduciamo prima B|d ad A|b. Riduciamo poi la matrice A|b informa ridotta a gradini (si veda Proposizione 6.4.1), ottenendo la matrice C

di dimensione m (n+ 1). Le soluzioni di Cci danno le soluzioni dei duesistemi lineari.

Un sistema lineare e omogeneo se il vettore dei termini noti e il vettorenullo.

Corollary 6.4.3. SeA eB sono matrici equivalenti, allora i sistemi omo-geneiAx= 0 eBx = 0 hanno le stesse soluzioni.

Proposition 6.4.4. Un sistema omogeneo Ax = 0 di m equazioni in nincognite ammette sempre una soluzione non nulla sen > m.

Proof. RiduciamoAin forma ridotta a gradini ottenendo la matriceB. Sianor il numero di righe non nulle di B . Allora la matrice Cdi dimensione r n,formata dalle prime r righe di B, non ha righe nulle. Siccomer m < npossiamo risolvere il sistema con le prime r incognite che dipendono dallealtre n r. Queste ultime possono prendere valori arbitrari.


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Chapter 7

Spazi vettoriali

Prima di proseguire nel capitolo invitiamo il lettore a rileggersi la definizionedi spazio vettoriale in Sezione 2.2.

Riportiamo nel seguito alcuni esempi non-standard di spazi vettoriali.

Example 18. (Spazio vettoriale dei polinomi reali) Un polinomio reale e unafunzione p: R R che e esprimibile come

p(x) =a0xn + a1x

n1 + + an1x + ancon coefficientiainumeri reali. Per esempio, i seguenti sono polinomi: 3x+2,

x2 + 5x + 1, etc. I polinomi costituiscono uno spazio vettoriale reale.

Example 19. (Spazio vettoriale delle sequenze infinite di reali) Linsieme ditutte le successioni (an)n0 di numeri reali e uno spazio vettoriale sul camporeale.

Example 20. (Spazio vettoriale delle funzioni a valori in un campo) Sia Xun insieme. Allora linsieme di tutte le funzioni da X ad F, dove F e uncampo, e uno spazio vettoriale. Se f, g : X F sono funzioni e c e unoscalare, allora definiamo:

(f+ g)(x) =f(x) + g(x); (cf)(x) =c

f(x), for all x

X .

Example 21. (I numeri complessi come spazio vettoriale reale) Linsiemedei numeri complessi costituisce uno spazio vettoriale sul campo R.

Example 22. (I numeri complessi come spazio vettoriale sul campo C)Linsieme dei numeri complessi costituisce anche uno spazio vettoriale sulcampo C.

Example 23. Ogni campo numerico F costituisce uno spazio vettoriale suse stesso.

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50 CHAPTER 7. SPAZI VETTORIALI

7.1 Sottospazi

Definition 7.1.1. SiaV uno spazio vettoriale sul campo F. Un sottoinsiemeU di V e un sottospazio vettoriale di V se la somma vettoriale di vettori diU e ancora in Ue lo stesso accade per il prodotto di un vettore di Uper unarbitrario scalare:

x, yUx + yU;xU c FcxU.

Un sottospazio vettoriale e uno spazio vettoriale.

Lemma 7.1.1. Lintersezione di due o piu sottospazi vettoriali diV e ancora

un sottospazio vettoriale.

Proof. SianoW eUdue sottospazi. Si vede facilmente che, se x, yWU,allora anche x + yW U e cxW Uper ogni scalare c.

Sia X V un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V sul campo F.DefiniamoX il sottospazio diV generato daX. Abbiamo

X={c1v1+ + ckvk :c1, . . . ck F e v1, . . . vkX}Example 24. Si consideri lo spazio vettoriale R2 e (2, 3) un vettore. Laretta di equazione 2x + 3y= 0 e un sottospazio vettoriale diR2:

Se (x1, x2) e (y1, y2) appartengono alla retta (i.e., 2x1 + 3x2 = 0 e2y1 + 3y2 = 0), allora anche (x1 +y1, x2 +y2) appartiene alla retta(2(x1+ y1) + 3(x2+ y2) = 0).

Se (x1, x2) appartiene alla retta (i.e., 2x1 + 3x2 = 0), allora anchec(x1, x2) = (cx1, cx2) appartiene alla retta (i.e., c(2x1+ 3x2) = 0).

Ogni retta passante per lorigine e un sottospazio vettoriale di R2. Le retteche non passano per lorigine NON sono sottospazi vettoriali, perche peresempio il vettore nullo non appartiene alla retta.

Example 25. Si consideri lo spazio vettoriale R3 e (2, 3, 4) un vettore. Ilpiano di equazione 2x + 3y+ 4z= 0 e un sottospazio vettoriale di R3. Ognipiano passante per lorigine e un sottospazio vettoriale di R3, mentre i pianiche non passano per lorigine NON sono sottospazi vettoriali.

Le rette passanti per lorigine sono anchesse sottospazi vettoriali di R3

in quanto intersezione di due piani per lorigine (Si veda il Lemma 7.1.1).

Example 26. Si consideri lo spazio vettoriali delle matrici n nsul campoF. I seguenti sono sottospazi vettoriali:


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7.1. SOTTOSPAZI 51

Linsieme delle matrici triangolari superiori;

Linsieme delle matrici diagonali;

Linsieme delle matrici simmetriche.

Example 27. Si consideri la matrice

A=

2 1 14 6 0

4 2 2

Linsieme delle combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice

c1

24

4

+ c2

16

2

+ c3

10

2

costituisce un sottospazio vettoriale W di R3.

Se il vettore

abc

appartiene al sottospazio Wallora il sistema lineare

2 1 14 6 04 2 2

xyz

=ab

c

ammette soluzione.

Example 28. Linsieme dei polinomi di grado minore o uguale ad n e unsottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi.

Ricordiamo che un sistema lineare e omogeneo se il vettore dei termininoti e il vettore nullo.

Proposition 7.1.2. Linsieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneodim equazioni inn incognite e un sottospazio vettoriale dello spazioRn.

Proof. Sia A una matrice, x, y vettori tali che Ax = 0 e Ay = 0. AlloraA(x + y) =Ax + Ay= 0 + 0= 0 ed inoltre A(cx) =c(Ax) =c0= 0.

Se A e la matrice del sistema, denotiamo con N(A) il sottospazio dellesoluzioni del sistema omogeneo associato.


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7.2 Vettori linearmente indipendenti

SiaVuno spazio vettoriale e x1, . . . , xnVvettori. Un vettore vV e unacombinazione linearedei vettori x1, . . . , xn se esistono scalari c1, . . . , cn taliche

v= c1x1+ + cnxn.Proposition 7.2.1. Sia V uno spazio vettoriale e x1, . . . , xn V vettori.Linsieme delle combinazioni lineari dix1, . . . , xn e un sottospazio vettorialediV.

Proof. Se v = c1x1+ . . . cnxn e w = d1x1+ . . . dnxn, allora v+ w = (c1+

d1)x1+ . . . (cn+ dn)xn e mv= mc1x1+ . . . m cnxn per ogni scalare m.

Example 29. Siano x1 =

01

2

e x2 =

54

3

due vettori nello spazio tridi-

mensionale. Allora le combinazioni lineari dix1 e x2

c1

01

2

+ c2

54

3

costituiscono un piano di equazione x

2y +z = 0 (perche?), che e un

sottospazio vettoriale diR3.

Example 30. Siano p(x) = x+ 3 e q(x) = x2 + 2 due polinomi. Allorale combinazioni lineari di p e qcostituiscono un sottospazio vettoriale dellospazio vettoriale dei polinomi reali: il sottospazio dei polinomi

c0x2 + c1x + (2c0+ 3c1)

al variare di c0, c1 tra i reali.

Example 31. Siano A =

2 00 0

, B =

0 10 0

e C =

0 00 4

tre matrici.

Linsieme delle combinazioni lineari di A, B e C determina il sottospaziodelle matrici che hanno la seguente forma (c1, c2, c3 arbitrari numeri reali):

c1 c20 c3

Definition 7.2.1. I vettori x1, . . . , xn di uno spazio vettoriale V si diconolinearmente dipendenti se il vettore nullo 0 e una combinazione lineare dix1, . . . , xn con coefficienti scalari non tutti nulli, altrimenti si dicono linear-mente indipendenti.


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7.2. VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI 53

Example 32. Riconsideriamo i tre vettori colonna dellEsempio 27. Essi

sono linearmente dipendenti perche

3 24

4

2

16

2

+ 8

10

2

= 0.

Quindi il sistema omogeneo

2 1 14 6 0

4 2 2

32

8

=

000

ammette soluzioni diverse dal vettore nullo 0. Infatti si vede facilmente chela terza riga della matrice e un multiplo della prima, cos il sistema lineareammette una retta di soluzioni che sono lintersezione del piano 2x+y+z= 0(che e lo stesso piano di equazione 4x2y2z= 0) e del piano 4x6y = 0.Si noti che se i vettori colonna sono lineramente dipendenti, anche i vettoririga [2, 1, 1], [4, 6, 0] e [4, 2, 2] lo sono:

2[2, 1, 1] + 0[4, 6, 0] + [4, 2, 2] =0.Questultima uguaglianza la possiamo scrivere anche cos:

2 0 1

2 1 14 6 04 2 2

= 0 0 0

Oppure prendendo le matrici trasposte:2 4 41 6 2

1 0 2

20

1

=

00

0

Proposition 7.2.2. Se A = (aij) e una matrice m

n e x =

x1. . .

xn un

vettore colonna non nullo di lunghezzan, allora le seguenti condizioni sonoequivalenti:

1. Ax= 0;

2. x e un vettore perpendicolare aglim vettori riga della matrice:

Prodotto interno: Ai x=nj=1

aijxj = 0, per ogni1im.


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3. Glin vettori colonna diA sono linearmente dipendenti:

x1A1 + + xnAn =x1

a11. . .

am1

+ x2

a12. . .

am2

+ + xn

a1n. . .

amn

= 0.

Corollary 7.2.3. SiaA= (Aij) una matricem n. Le colonne diA sonolinearmente indipendenti sse il sistemaAx = 0 ammette il vettore nullo comeunica soluzione.

Corollary 7.2.4. SiaA = (Aij) una matricem n conn > m. Allora lecolonne diA sono linearmente dipendenti.

Proof. Segue dalla Proposizione 7.2.2 e dalla Proposizione 6.4.4.

Example 33. Consideriamo la matrice

A=

3 4 24 6 0

1 2 2

I tre vettori colonna 241,

1

62 e

10

2 sono linearmente indipendenti.Come possiamo dimostrarlo?

7.3 Basi

Definition 7.3.1. Una base di uno spazio vettoriale V e un insieme finitodi vettori linearmente indipendente che generano tutto lo spazio.

Sia x1, . . . , xn una base. Allora ogni vettore v dello spazio si scrive inmaniera unica come combinazione lineare della base. Infatti sev = a1x1+. . . anxn = b1x1+ . . . bnxn allora 0 = (a1 b1)x1+ . . . (an bn)xn. Siccomex1, . . . , xn sono linearmente indipendenti, si ricava ai bi = 0 per ogni i, dacui ai=bi.

Sev = a1x1+ . . . anxn allora (a1, . . . , an) e ilvettore delle coordinatedi vrispetto alla base data.

Example 34. I vettorie1 = (1, 0, 0),e2= (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) sono labasecanonica di R3. Tre vettori qualsiasi linearmente indipendenti costituisconosempre una base di R3.


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7.3. BASI 55

Example 35. Lo spazio dei polinomi reali non ammette una base finita, ma

soltanto una base infinita

1, x , x2, . . . , xn, . . .

Il sottospazio dei polinomi di grado5 ammette una base finita:

1, x , x2, x3, x4, x5.

Lo stesso risultato vale per il sottospazio dei polinomi di gradon.

Example 36. Sia C lo spazio vettoriale dei numeri complessi sul camporeale. Allora, i vettori 1 e i= 1 costituiscono una base.

Example 37. Sia C lo spazio vettoriale dei numeri complessi sul campocomplesso. Allora, il vettore 1 e una base.

Proposition 7.3.1. SiaVuno spazio vettoriale sul campo F di basev1, . . . , vm.Allora ogni insieme di elementiw1, . . . , wn conn > m e linearmente dipen-dente. In particolare, due basi qualsiasi di uno spazio vettoriale hanno lostesso numero di vettori. Questo numero si dice dimensione dello spaziovettoriale e si indica condim V.

Proof. Rappresentiamo wi come combinazione lineare della base v1, . . . , vm:

wi=mj=1

ajivj =a1iv1+ a2iv2+ . . . amivm. (7.1)

I coefficientiaji costituiscono una matriceA di dimensionem n, per cuisi ha:

[w1, . . . , wn] = [v1, . . . , vm]

a11 . . . a1m . . . a1n. . . . . . . . . . . . . . .

am1 . . . amm . . . amn

Si noti che (i) ogni colonna della matrice A ha almeno qualche coefficientediverso da zero; (ii) i coefficienti della matrice sono elementi del campo F,mentre le sequenze [v1, . . . , vm] e [w1, . . . , wn] hanno elementi in V.

Risolviamo il sistema lineare omogeneo: a11 . . . a1m . . . a1n. . . . . . . . . . . . . . .

am1 . . . amm . . . amn

x1. . .

xn

=

0. . .

0


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nello spazio vettoriale Fn (cioe, x1, . . . , xn

F). La soluzione non banale b1. . .

bn

esiste perche n > m(Proposizione 6.4.4). Allora abbiamo:

[w1, . . . , wn]

b1. . .

bn

= [v1, . . . , vm]

a11 . . . a1m . . . a1n. . . . . . . . . . . . . . .

am1 . . . amm . . . amn

b1. . .

bn

= [v1, . . . , vm]

0. . .

0

=

E quindi i vettori w1, . . . , wn sono linearmente dipendenti.

Questa seconda dimostrazione non utilizza i sistemi lineari.

Proof. Supponiamo per assurdo che w1, . . . , wn siano linearmente indipen-denti. Dimostriamo per induzione su r(0rm) che w1, . . . , wr, vr+1, . . . , vme una base. Se r = 0, abbiamo per ipotesi che v1, . . . , vm e una base.Supponiamo che w1, . . . , wr1, vr, . . . , vm sia una base e dimostriamo chew1, . . . , wr1, wr, vr+1 . . . , vm e una base. Scriviamo lelementowr come com-binazione lineare dei vettori w1, . . . , wr1, vr, . . . , vm, che per ipotesi dinduzionecostituiscono una base:

wr =r1

j=1ajwj+

m

j=rajvj. (7.2)

Semj=rajvj = 0 allora i vettori w1, . . . , wr1, wr sarebbero linearmente

dipendenti contraddicendo lipotesi iniziale della prova. Quindi non tuttii coefficienti aj (r j m) sono nulli. Possiamo supporre che sia il primocoefficiente ar ad essere diverso da 0. Quindi

vr =wr

r1j=1 ajwj

mj=r+1 ajvj

ar

e combinazione lineare di w1, . . . , wr, vr+1, . . . , vm. Siccome la base

w1, . . . , wr1, vr, . . . , vm

genera tutto lo spazio V, anche i vettori

w1, . . . , wr, vr+1, . . . , vm

generano lo spazio V. Rimane da provare che i vettori precedenti sono lin-earmente indipendenti. Se

b1w1+ + brwr+ br+1vr+1+ + bmvm= 0,


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7.3. BASI 57

allora sostituendo al posto di wr la combinazione lineare (7.2), otteniamo

b1w1+ + br(r1j=1

ajwj+mj=r

ajvj) + br+1vr+1+ + bmvm= 0,

da cui

(b1+bra1)w1+ +(br1+brar1)wr1+brajvr+(br+1+brar+1)vr+1+ +(bm+bram)vm= 0.Si ha che br = 0 e si ottiene:

b1w1+

+ br

1wr

1+ br+1vr+1+

+ bmvm = 0.

da cui si ricava anche bi= 0 per tutti gli i. Quindi, i vettori w1, . . . , wr, vr+1, . . . , vmsono linearmente indipendenti e costituiscono una base.

Abbiamo provato che w1, . . . , wr, vr+1, . . . , vm e una base per ogni 0rm. In particolare, w1, . . . , wm e una base. Quindi wm+1 e combinazionelineare di w1, . . . , wm, che contraddice lipotesi iniziale che w1, . . . , wn sonolinearmente indipendenti.

Example 38. R3 ha dimensione 3; La base canonica di R3 e costituita

dai vettori 10

0,

01

0 e

00

1. Ogni altra base e costituita da tre vettori

linearmente indipendenti. Per esempio, i tre vettori

11

1

,11

0

e

20

3

sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base, percheil sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

1 1 21 1 01 0 3

xyz

=

000

e costituito solo dal vettore nullo. Si che le coordinate di un punto delpiano dipendono dalla base scelta. Per esempio, se il puntoPdel piano

ha coordinateP=

11

1

rispetto alla base canonica, allora le coordinate

dello stesso punto rispetto alla base non canonica definita prima sono:

P =

10

0

Quindi il concetto di coordinata e dipendente dalla base.


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Lo spazio vettoriale realeC dei numeri complessi ha dimensione 2. La

base canonica sono i vettori 1 ei = 1. Altre basi sono, per esempio,5 e 3i; oppure 2 + 3i e 1 + i.

Lo spazio vettoriale dei numeri complessi sul campo C ha dimensione1. La base canonica e data dal vettore 1.

Lo spazio delle matrici m n ha dimension mn. La base canonica ecostituita dalle matriciA mnper cui esistono indiciij tali cheaij = 1mentre tutte le altre componenti ahk = 0 per h=i e k=j .

Lo spazio delle matrici 3 3 triangolari superiori ha dimensione 6. Lo spazio dei polinomi di grado3 ha dimensione 4 ed ha come base

canonica i polinomi 1, x , x2, x3.

Proposition 7.3.2. Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti puoessere esteso ad una base. Qualsiasi insieme di generatori dello spazio puoessere ridotto ad una base.

7.4 Basi ortogonali e matrici ortogonali

Unabase ortogonalediRn e una base w1, . . . , wn tale che il prodotto interno

wi wj = 0 per ogni i=j . Una base ortogonale eortonormalesewi wi = 1.La base canonica e1= (1, 0, . . . , 0), . . . , en= (0, . . . , 0, 1) diR

n e ortonor-male.

Una matrice n n A e ortogonale se le colonne costituiscono una baseortonormale diRn.

Proposition 7.4.1. SeA e ortogonale, al lora (i) la matrice inversa diA ela matrice traspostaAt diA; (ii) A preserva le lunghezze. In altre parole, sex e un vettore diRn abbiamo

||Ax

||=

||x

||.

||Ax||2 = (Ax)t (Ax) =xtAtAx= xtx=||x||2.

7.5 Sottospazi ortogonali

Due sottospazi X e Y diRn sono ortogonalise il prodotto interno di vettoridei due spazi e sempre nullo:

(xX)(yY)(x y=0).


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7.5. SOTTOSPAZI ORTOGONALI 59

Lo spazio ortogonale ad un sottospazio X e definito come

X={vV : (xX)(v x= 0)}.

Proposition 7.5.1. SiaXun sottospazio di uno spazio vettoriale realeV.Alloradim X+ dim X= dim V.

Proof. Siav1, . . . , vk una base diXe w1, . . . , wr una base diX. Consideri-

amo il sottospazioYgenerato dai vettori v1, . . . , vk, w1, . . . , wr. E sufficienteprovare che Y =V.


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Chapter 8

Applicazioni lineari e matrici

8.1 Applicazioni lineari

Definition 8.1.1. SianoV eWspazi vettoriali sullo stesso campo. Una fun-zione f :VW e una applicazione linearese verifica le seguenti proprieta:

1. f(x + y) =f(x) + f(y);

2. f(cx) =cf(x).

Si noti che ponendo c= 0 nella seconda identita si ricava f(0) =0.Una funzione f e una applicazione lineare sse f(c1v1+ c2v2) =c1f(v1) +

c2f(v2) per tutti gli scalari c1, c2 e vettori v1, v2.

Lemma 8.1.1. 1. La funzione identicaI :VV, definita daI(v) =v, per ogni vettorevV

e unapplicazione lineare.

2. La composizioneg f :VUdi due applicazioni linearif :VWeg:W U, definita da

(g f)(v) =g(f(v)), per ogni vettorevVe unapplicazione lineare.

3. La sommaf+g : V W di due applicazioni linearif : V W eg: VW, definita da

(f+ g)(v) =f(v) + g(v), per ogni vettorevVe unapplicazione lineare.

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62 CHAPTER 8. APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI

4. La moltiplicazione per uno scalare cf : V

W di una applicazione

linearef :VW, definita da(cf)(v) =c f(v), per ogni vettorevV

e unapplicazione lineare.

L insieme delle applicazioni lineari da V in W costituisce uno spaziovettoriale rispetto alloperazione di somma f+ g di applicazioni lineari f , g:V W e moltiplicazione per uno scalare cf di una applicazione scalaref :VW.Example 39. Fissato un vettore x, il prodotto interno

y R3 y xR (8.1)e una applicazione lineare da R3 ad R. Richiamiamo dalla Sezione 2.3 leproprieta del prodotto interno che dimostrano la linearita della funzione de-scritta in (8.1): (y+ z) x= (y x) + (z x) e (cy) x= c(y x).Consideriamo come esempio concreto il vettore x = (3, 2, 2). La funzionef : R3 R definita da

f(x,y,z) = (x,y,z) (3, 2, 2) = 3x + 2y 2ze unapplicazione lineare.

f(x + x, y+ y, z+ z) = (x + x, y+ y, z+ z) (3, 2, 2)= 3(x + x) + 2(y+ y) 2(z+ z)= (3x + 2y 2z) + (3x+ 2y 2z)= f(x,y,z) + f(x, y, z).

f(c(x,y,z)) = f(cx,cy,cz)

= 3cx + 2cy 2cz= c(3x + 2y 2z)= cf(x,y,z).

Example 40. Sia Pol lo spazio vettoriale dei polinomi. La funzione f :PolR2 definita da:

f(a0xn + a1x

n1 + + an1x + an) = (an1, an),e unapplicazione lineare. La funzione g: Pol R definita da

g(a0xn + a1x

n1 + + an1x + an) =a0non e una applicazione lineare. Infatti, g(2x2 + 3x + 1) = 2, mentreg(2x2) +g(3x + 1) = 2 + 3 = 5.


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8.1. APPLICAZIONI LINEARI 63

Siaf :V

Wunapplicazione lineare. Limmaginedi f e definita come

Im(f) ={wW :vV f(v) =w},mentre il nucleo di f e

ker(f) ={vV :f(v) =0}.Proposition 8.1.2. Il nucleo di una applicazione linearef : V W e unsottospazio di V, mentre limmagine di f e un sottospazio di W. Si ha laseguente relazione:

dim V= dim ker(f) + dim Im(f).

Proof. Dimostriamo che il nucleo e un sottospazio. Sianov, tV vettori e cuno scalare. Sef(v) =0 e f(t) =0 alloraf(v + t) =f(v) + f(t) =0 + 0= 0e f(cv) =cf(v) =c0= 0.Proviamo ora la relazione tra dimensione del nucleo e dimensione dellimmagine.Sia v1, . . . , vk V una base del nucleo e sia w1, . . . , wr W una basedellimmagine di f. Consideriamo r elementi vk+1, . . . , vk+r V tali chef(vk+i) =wi.

I vettori v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+r sono linearmente indipendenti. Infattise

c1v1+ . . . ckvk+ ck+1vk+1+ + ck+rvk+r =0,allora

0 = f(c1v1+ + ckvk+ ck+1vk+1+ + ck+rvk+r)= c1f(v1) + + ckf(vk) + ck+1f(vk+1) + + ck+rf(vk+r)= c10 + + ck0 + ck+1w1+ + ck+rwr= ck+1w1+ + ck+rwr

E quindi i vettori w1, . . . , wr Woppure i vettori v1, . . . , vk V sarebberolinearmente dipendenti. Assurdo.

Verifichiamo che i vettori v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+r generano lo spazio V.

Sia x V. Se f(x) = 0 allora x e combinazione lineare di v1, . . . , vk, altri-mentif(x)=0 = d1w1+ +drwr. E quindif(x(d1vk+1+. . . drvk+r)) =0.Scriviamo quindi x (d1vk+1 + . . . drvk+r) come combinazione lineare div1, . . . , vk ed otteniamo il risultato.

Lemma 8.1.3. Siaf :VWuna applicazione lineare.1. f e iniettiva sseker(f) ={0}.2. Sef e iniettiva, allora


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dim V= dim Im(f).

Sev1, . . . , vnsono linearmente indipendenti, alloraf(v1), . . . , f (vn)sono linearmente indipendenti.

Proof. (1) Abbiamo f(x) =f(y) sse f(x y) =0.Lemma 8.1.4. Sia V uno spazio vettoriale di basev1, . . . , vn. Ogni appli-cazione linearef :VW e univocamente determinata dai valorif(v1), . . . , f (vn)assunti dai vettori della base. SevV ha coordinatec1, . . . , cn rispetto alladata base allora

f(v) =c1f(v1) + + cnf(vn). (8.2)

Viceversa, ogni funzione g : {v1, . . . , vn} W puo univocamente essereestesa tramite (8.2) ad una applicazione lineare daV aW.

Example 41. Si consideri lapplicazione linearef : R3 R dellEsempio 39definita daf(x) = 3x1+2x22x3. La dimensione del nucleo dif e 2 perche ilnucleo e il piano ortogonale al vettore (3, 2, 2) di equazione 3x1+2x22x3 =0, per cui dalla Proposizione 8.1.2 la dimensione dellimmagine deve essere1.

Example 42. Consideriamo lo spazio vettoriale infinito dimensionale Pol deipolinomi reali e fissiamo un numero reale, per esempio 3. Allora la funzionef: Pol R, definita come segue (per ogni polinomiop(x) =a0xn+ a1xn1 + + an1x + an):

f(a0xn + a1x

n1 + + an1x + an) =a03n + a13n1 + + an131 + an,

e unapplicazione lineare. Per esempio, se p(x) =x2 + 5x 1 allora

f(x2 + 5x 1) = 32 + 5 3 1 = 23.

Il nucleo dif e il sottospazio vettoriale determinato dallinsieme dei polinomip(x) che ammettono 3 come radice: p(3) = 0. Limmagine di f e tutto R.

Example 43. Sia V uno spazio di dimensione 2 con base v1, v2 e W unospazio di dimensione 3 con base w1, w2, w3. Dal Lemma 8.1.4 la funzionef :VWdefinita da

f(v1) = 3w1+ 5w2 2w3; f(v2) =w1+ w3e estendibile ad una applicazione lineare.


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8.2. MATRICE DA APPLICAZIONE LINEARE 65

8.2 Matrice da applicazione lineare

Sia f :VWuna applicazione lineare. Fissiamo una base v1, . . . , vn di Ved una basew1, . . . , wm di W. Allora, limmagine f(vj) di ogni vettore dellabase di Vdeve essere combinazione lineare dei vettori della base di W:

f(vj) =a1jw1+ + amjwm, per ogni 1jn.Consideriamo la matriceAdi dimensionemnla cui colonnaj e determinata

dai coefficienti

a1ja2j. . .

amj

dalle coordinate di f(vj).Per ogni vettore v V, consideriamo le sue coordinate come vettore

colonna c=

c1c2

. . .cn

rispetto alla base v1, . . . , vn (cioe, v =c1v1+ + cnvn).

Allora

f(v) = f(c1v1+ + cnvn)= c1f(v1) + + cnf(vn)= c1(a11w1+

+ am1wm) +

+ cn(a1nw1+

+ amnwm)

= (c1a11+ c2a12+ + cna1n)w1+ + (c1am1+ c2am2+ + cnamn)wmQuindi le coordinate di f(v) si calcolano come segue

Ac=

A1 cA2 c

. . .Am c

Proposition 8.2.1. Siano f : Rn Rm eg : Rm Rk applicazionilineari. Sia A la matrice di f e B la matrice di g rispetto alle basi

canoniche. Allora BA (prodotto di matrici) e la matrice di g f :Rn Rk.

SiaA la matrice dif : Rn Rm e siaB la matrice dig : Rn Rmrispetto alle basi canoniche. AlloraA + B e la matrice dif+ g ecA ela matrice dicf.

Example 44. Sia f : R2 R3 lapplicazione lineare definita daf(v1) = 4w1+ w2+ w3; f(v2) =w1+ 3w2,


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con v1, v2base diR2 e w1, w2, w3base di R3. Allora la matrice dellapplicazione

lineare e: 4 11 3

1 0

Se v= 5v1+ 3v2 e un vettore di R2, allora4 11 3

1 0

5

3

=

2314

5

Quindi f(v) = 23w1+ 14w2+ 5w3.

Ogni applicazione lineare f :VWassume una forma matriciale vera-mente semplice se si scelgono le basi di V e W opportunamente.

Denotiamo con In la matrice identica di dimensione n n e con 0m,n lamatrice nulla di dimensione m n.Proposition 8.2.2. Sia f : V W una applicazione lineare dallo spaziovettorialeV di dimensionen allo spazio vettorialeW di dimensionem. Sup-poniamo cher= dim Im(f) ek= dim ker(f) conn = k + r. Allora esistono

basi diV eW tali che la matriceA (di dimensionem n) dif rispetto aqueste basi assume la forma

A=

Ir 0r,k

0mr,r 0mr,k

Proof. Siav1, . . . , vkuna base del nucleo dif. Completiamov1, . . . , vkad unabase diV: u1, . . . , ur, v1, . . . , vk con r + k= n. Le immagini f(u1), . . . , f (ur)tramite f dei vettori u1, . . . , ur sono non nulle e costituiscono una base diIm(f). Completiamo f(u1), . . . , f (ur) ad una base di W:

f(u1), . . . , f (ur), w1, . . . , wmr.

La matrice A di f rispetto a queste due basi verifica le condizioni dellaproposizione.

Remark 1. Supponiamo che gli spazi di partenza e di arrivo dellapplicazionelinearefdella Proposizione 8.2.2 coincidono: f :VV. Allora la matriceAdi fassume la forma della proposizione soltanto per opportune basi distintedi V. La forma descritta non sara in generale assunta se la base di partenzacoincide con la base di arrivo.


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8.3. APPLICAZIONE LINEARE DA MATRICE 67

8.3 Applicazione lineare da matrice

Cominciamo con un esempio e poi sviluppiamo la teoria generale.

Example 45. Consideriamo la matrice 3 4:

A=

3 4 2 14 6 0 0

1 2 2 2

La matrice Adetermina:

(i) Una applicazione lineare fA : R4 R3 rispetto alle basi canoniche diR4 e R3, che e definita tramite il prodotto matriciale a destra. Per

esempio, fA(

1035

) si calcola con il prodotto matriciale:3 4 2 14 6 0 0

1 2 2 2

1035

=

1412

5

Attenzione: Se consideriamo una base diversa di R4, la matrice A

definisce unaltra applicazione lineare!(ii) Una applicazione lineare Af : R

3 R4 rispetto alle basi canoniche diR4 e R3, che e definita tramite il prodotto matriciale a sinistra. Peresempio, Af([0, 1, 2) si calcola con il prodotto matriciale:

[0, 1, 2]

3 4 2 14 6 0 0

1 2 2 2

= [6, 2, 4, 4]

(iii) Il sottospazio di R3 generato dai vettori colonna A1 = 341, A2 =

462

, A3 =

20

2

e A4 =

10

2

le cui coordinate sono le colonne

della matrice. Tale sottospazio e denotato conA1, A2, A3, A4.Il sottospazioA1, A2, A3, A4 di R3 coincide con il sottospazio Im(fA)perche

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