Apostilacompleta Conc Urbano

7/14/2019 Apostilacompleta Conc Urbano

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Raciocnio Lgico

Pedro Evaristo Pgina 1

PEDRO EVARISTO

RACI

OCNIOL

GICO


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INDICE

CAPITULO 01ESTRUTURA LGICA: INVESTIGAO 04

CAPITULO 02DIAGRAMAS LGICOS 15

CAPITULO03ALGEBRA DAS PROPOSIES 28

CAPITULO 04ARGUMENTAO 49

CAPITULO05ANLISE COMBINATRIA 55

CAPITULO 06PROBABILIDADE 68


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CAPTULO 1

ESTRUTURA LGICA: INVESTIGAO Somos o que fazemos, mas somos principalmente, o que fazemos para mudar o que somos

Eduardo Galeano

INVESTIGANDO

As questes de estrutura lgica, tambm chamadas de investigaes, esto presentes na maioria dasprovas de raciocnio lgico, mas cada edital descreve esse tipo de questo de maneira diferente. Podemos dizerque essas questes tratam do entendimento da estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares,objetos ou eventos fictcios, deduzindo novas informaes a partir de relaes fornecidas e avaliao dascondies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes.

Uma investigao um processo de construo do conhecimento que tem como metas principais gerarnovos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pr-existente. A investigao, no sentido depesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de umconhecimento.

As questes de investigao so muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, so dadas

pistas que associadas a hipteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a concluses diretas,sem precisar supor. O primeiro passo ento, perceber se precisaremos ou no supor alguma coisa, ou seja, setodas as informaes so verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informaes forem verdadeiras, nohaver necessidade de hipteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazersuposises para chegarmos as concluses.

HIPTESE

Uma hiptese umateoria provvel, mas no demonstrada, uma suposio admissvel. Namatemtica, o conjunto de condies para poder iniciar uma demonstrao. Surge no pensamento cientfico aps a coleta dedados observados e na conseqncia da necessidade de explicao dos fenmenos associados a esses dados.

normalmente seguida de experimentao, que pode levar verificao (aceitao) ou refutao(rejeio) da hiptese. Assim que comprovada, a hiptese passa a se chamarteoria,lei oupostulado.

Podemos ento dizer que uma afirmao sujeita a comprovao.

IDENTIFICANDO CADA CASO

Existem basicamente trs casos de questes de investigaes. Todos eles procuram deduzir novasinformaes, com base nas informaes fornecidas no enunciado.

Para resolver questes de investigao, devemos inicialmente identificar o caso (ordenao, associaoou suposio) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.

1 CASO - Somente Verdades: ORDENAO.Esse tipo de questo d apenas informaes verdadeiras, que nos permite colocar em ordempessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas quedevem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitir identificar

o item correto a ser marcado.EXEMPLO:Aline mais velha que Bruna, que mais nova que Carol, mas esta no a mais velha de todas.Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.

CONCLUSES:Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, ento

A > B (Aline mais velha que Bruna) e C > B (Bruna mais nova que Carol)Como Carol no a mais velha, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:

A > C > B

2 CASO - Somente Verdades: ASSOCIAO.Como todas as informaes dadas so verdadeiras, o que ser importante saber organizar as

informaes em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata dasinformaes de uma determinada pessoa e as linhas tratam das caractersticas dessas pessoas.O que devemos fazer preencher a tabela cruzando as informaes de cada uma das pessoas,iniciando pelas informaes diretas e posteriormente deduzindo as outras.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Leihttp://pt.wikipedia.org/wiki/Postuladohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Postuladohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Leihttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria


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EXEMPLO:Aline, Bruna e Carol fazem aniversrio no mesmo dia, mas no tm a mesma idade, poisnasceram em trs anos consecutivos. Uma delas Psicloga, a outra Fonoaudiloga e a maisnova Terapeuta. Bruna a mais nova e tm 25 anos. Carol a mais velha e no Psicloga.

CONCLUSES:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.A B C

Profisso

Idade

Como Bruna a mais nova e tm 25 anos, e que a mais nova Terapeuta, deduzimos queBruna Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.

A B C

Profisso T

Idade 25

Como Carol a mais velha e no Psicloga, deduzimos que Carol Fonoaudiloga e tm 27

anos, j que as trs nasceram em anos consecutivos e a mais nova tem 25 anos. Logopodemos acrescentar as seguintes informaes na tabela.

A B C

Profisso T F

Idade 25 27

Por excluso, deduz-se que Aline tem 26 anos e Psicloga. Assim, temos a tabela totalmentepreenchida.

A B C

Profisso P T F

Idade 26 25 27

3 CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIO.

Esse ltimo caso requer maior ateno, pois existem verdades e mentiras envolvidas noenunciado e atravs da anlise das hipteses chegaremos s devidas concluses. Por exemplo, quandoum delegado procurar descobrir quem o verdadeiro culpado entre trs suspeitos, ele lana mo dehipteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade deinformao que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hiptese.

EXEMPLO:

Aline, Bruna e Carol so suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vov. Quandoperguntadas sobre o fato, declararam o seguinte:

ALINE: Foi a Bruna que comeu BRUNA: Aline est mentindo CAROL: No fui eu

Sabendo que apenas uma delas est dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo,descubra quem comeu o bolo.

CONCLUSES:

1 PASSO:(identificar que existem verdades e mentiras)

No enunciado, foi dito que apenas uma delas est dizendo a verdade, portanto duas delasmentem e outra fala a verdade, tratando-se de uma questo do 3 caso, ou seja, teremos quefazer suposies.


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2 PASSO:(construi r a tabela e lanar as hipteses)

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.

ANLISE DAS AFIRMAES

HIPTESES A B CSe A foi quem comeu

Se B foi quem comeu

Se C foi quem comeu

3 PASSO:(julgar a veracidade, ou no, das afirmaes, mediante cada uma das hipteses)

Como Aline disse que Foi a Bruna que comeu, ela s estar mentindo caso (na hiptese de)Bruna no tenha comido, caso contrrio estar falando a verdade, logo temos:

A B C

A comeu FB comeu V

C comeu F

Como Bruna disse que Aline est mentindo, temos que Bruna s mente no caso (na hiptese de)de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo ento Bruna estar falando averdade, ou seja, as colunas 2 e 3 tero valores lgicos contrrios, logo temos:

A B C

A comeu F V

B comeu V F

C comeu F V

Finalmente, como Carol disse no fui eu, ela s estar mentindo caso (na hiptese de) ela tenhacomido, caso contrrio estar falando a verdade, logo analisando essa afirmao, temos:

A B C

A comeu F V V

B comeu V F V

C comeu F V F

4 PASSO:(aceitar ou rejeitar as hip teses, de acordo com o proposto no enunciado)

Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, ento com base nisso

devemos identificar a nica linha que tem apenas uma afirmao verdadeira. Observe que apenasna terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotasmentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3 hiptese foiaceita e as outras duas foram rejeitadas.Concluso, Carol comeu a ltima fatia do bolo.

EXEMPLO DO 1 CASO - VERDADES: ORDENAES

01. Em um prdio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se queHeitor no mora no 1 andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor,Determine quem mora no 2 andar.a) Heitor

a) Erickd) Frede) Giles


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SOLUO:

Com base nas informaes fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores.Inicialmente como Erick mora acima de todos, ento ele mora no 4 andar.Como Fred mora acima de Heitor e Heitor no mora no 1 andar, ento Heitor tem que morar no 2 andar eFred no 3 andar, para satisfazer essas condies.Por excluso, Giles mora no 1 andar, o que satisfaz a condio de morar abaixo de Fred.

OBS.: importante diferenciar em cima, acima, em baixo e abaixo. Por exemplo, se Geovanne mora no 10 andarde um prdio, outro morador que more:

EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11 andar. ACIMA, mora em um andar superior, no necessariamente em cima. EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9 andar. ABAIXO, mora em um andar inferior, no necessariamente em baixo.

EXEMPLOS DO 2 CASO - VERDADES: DEDUES

02. (IPAD)Luciano, Cludio e Fernanda so trs estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, ooutro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos; 2)Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, masno ocorrem as duas opes simultaneamente; 4) Fernanda ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos.Luciano, Cludio e Fernanda estudam respectivamente:a) Kant, Wittgenstein e Frege.b) Kant, Frege e Wittgenstein.c) Wittgenstein, Kant e Frege.d) Frege, Kant e Wittgenstein.e) Frege, Wittgenstein e Kant.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar as informaes na tabela a seguir:

Luciano Cludio FernandaFregeKant

Wittgenstein

De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:

1) Se Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos, ento Luciano no estuda Frege

Luciano Cludio FernandaFrege FKant

Wittgenstein

2) Se Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos, ento Cludio no estuda KantLuciano Cludio Fernanda

Frege FKant F

Wittgenstein

3) Se Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos, ento Cludio estudaWittgenstein pois j tnhamos concludo que Luciano no estuda Frege

Luciano Cludio FernandaFrege FKant F

Wittgenstein F VERDADE F

Como Luciano no estuda nem Frege, nem Wittgenstein ento por excluso ele estuda Kant. Nesse caso restaapenas que Fernanda estuda Frege


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Luciano Cludio FernandaFrege F VERDADEKant VERDADE F

Wittgenstein F VERDADE F

03. Trs crianas Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo brincavam, cada qual, com um nico tipo de brinquedo.Considere as seguintes informaes:

Os brinquedos so: Falcon, Playmobil e Atari; As idades dos trs so: 11, 8 e 6; Astolfo no brincava com um Falcon e nem com o Atari; A criana que tem 11 anos, brincava de Atari; Cleosvaldo tem menos de 8 anos.

Com base na informaes dadas, correto afirmar quea) Belarmino tem 11 anos.b) Astolfo tem 11 anos.c) Belarmino brincava com um Falcon.d) Cleosvaldo brincava com um Atari.e) Astolfo no tem 8 anos.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE

BRINQUEDO

Sabendo que Astolfo brincava com um Playmobil e que Cleosvaldo tem 6 anos, temos:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 6

BRINQUEDO Play

Como A criana que tem 11 anos, brincava de Atari, apenas Belarmino se encaixa, logo

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 11 6

BRINQUEDO Play Atari

Por excluso, temos

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 8 11 6

BRINQUEDO Play Atari Falcon

04. Trs amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco. Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Anna estcom vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos. Camila est comsapatos azuis. Desse modo,a) o vestido de Bruna azul e o de Anna preto.b) o vestido de Bruna branco e seus sapatos so pretos.c) os sapatos de Bruna so pretos e os de Anna so brancos.d) os sapatos de Anna so pretos e o vestido de Camila branco.e) o vestido de Anna preto e os sapatos de Camila so azuis.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ANNA BRUNA CAMILA

VESTIDOSAPATOS


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Sabendo que Camila est com sapatos azuis, temos:

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDOSAPATOS Az

Sabendo que Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos, ento Anna tem que ter sapatos brancos

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDOSAPATOS Br Az

Como Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDO BrSAPATOS Br Az

Por excluso, deduz-se que Bruna est com sapatos pretos e sabendo que somente Anna est com vestido esapatos de mesma cor, temos

ANNA BRUNA CAMILA

VESTIDO Br Az PrSAPATOS Br Pr Az

EXEMPLOS DO 3 CASO VERDADES E MENTIRAS: HIOPTESES

05. Quando a me de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sidoquebrado. Interrogados pela me, eles fazem as seguintes declaraes:

"Me, o Bosco foi quem quebrou" disse Alysson "Como sempre, o Daniel foi culpado" disse Bosco "Me, sou inocente" disse Cleber Claro que o Bosco est mentindo" disse Daniel

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso.a) Alyssonb) Boscoc) Cleberd) Daniel

SOLUO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde sero analisadas as declaraes mediante as hipteses:

ANLISE DAS DECLARAESHIPTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSONBOSCO

CLEBERDANIEL

Analisaremos as declaraes de cada criana, de acordo com as hipteses dos culpados. Por exemplo, Alyssondeclara que Bosco foi quem quebrou, ento ele estar falando a verdade somente no caso de Bosco realmenteser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hiptese de outra pessoa ser o culpado, logo:

ANLISE DAS DECLARAESHIPTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON FBOSCO VCLEBER F

DANIEL FComo Bosco disse que Daniel foi o culpado, nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estardizendo a verdade, ento para qualquer outra hiptese de culpado ele mente (F), logo temos:


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ANLISE DAS DECLARAESHIPTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F FBOSCO V FCLEBER F FDANIEL F V

Como Cleber se declara inocente, apenas na hiptese dele ser o culpado, sua declarao dita como falsa (F),em todas as demais hipteses ele realmente ser considerado inocente, logo:

ANLISE DAS DECLARAESHIPTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F F VBOSCO V F VCLEBER F F FDANIEL F V V

Como Daniel disse que Bosco est mentindo", ento nesse caso, sempre a declarao de Daniel ter valor lgicocontrrio ao de Bel, pois eles se contradizem, ento Daniel s ir mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:

AN LISE DAS DECLARA ESHIPTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F F V VBOSCO V F V VCLEBER F F F VDANIEL F V V F

Anlise das hipteses: 1 Hiptese: Alysson culpado (REJEITADA) Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V) 2 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA) Somente um mentiu (F) 3 Hiptese: Cleber culpado (ACEITA) Somente um falou a verdade (V) 4 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA) Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)

Observe que somente na hiptese de Cleber ser o culpado que apenas uma das declaraes se tornaverdadeira (V), sendo ento trs falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hiptese a nicaaceita, logo Cleber declarado culpado.06. Cinco jovens encontram-se diante de trs portas na Caverna do Drago, buscando um caminho para voltarpara casa. Diante das portas esto trs guardies. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto efinalmente uma passagem para seu mundo, mas no nessa ordem. Cada um dos guardies declara:

1 Guardio: O castelo do seu inimigo no est na porta da direita 2 Guardio: A porta do meio a passagem para seu mundo 3 Guardio: A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador

Quando o Mestre dos Magos aparece, avisa aos garotos de que apenas dois dos guardies estava falando averdade. Logo, eles concluram que:a) o labirinto est na porta da esquerdab) a passagem est na porta da esquerdac) a passagem est na porta do centrod) o castelo do Vingador est na porta do centroe) o castelo do Vingador est na porta da direitaSOLUO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:

ANL ISE DAS DECLARAESHIP TESES 1 GUARDI O 2 GUARDI O 3 GUARDI O

C L PC P LP C LP L C

L P CL C P


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O 1 guardio declarou que O castelo no est na porta da direita, ento ele s estar mentindo (F) no caso docastelo est na porta da direita, ou seja, o que ocorre na 4 e na 5 hiptese, logo temos:

AN LISE DAS DECLARA ESHIPTESES 1 GUARDIO 2 GUARDIO 3 GUARDIO

C L P VC P L

VP C L VP L C FL P C FL C P V

J o 2 guardio declarou que A porta do meio a passagem para seu mundo, ento na 2 e na 5 hiptese eles estar mentindo (F), pois nestas hipteses supe-se que a passagem (P) est no meio, logo:

ANL ISE DAS DECLARAESHIPTESES 1 GUARDIO 2 GUARDIO 3 GUARDIO

C L P V FC P L V V

P C L V FP L C F FL P C F VL C P V F

O 3 guardio fez duas declaraes, que a porta do centro leva a um labirinto e que a porta da direita leva aoCastelo do Vingador, ento ele s estar falando a verdade (V) no caso das duas afirmaes ocorrerem, ou seja,apenas na 4 hiptese, logo temos:

ANL ISE DAS DECLARAESHIPTESES 1 GUARDIO 2 GUARDIO 3 GUARDIO

C L P V F FC P L V V F

P C L V F FP L C F F VL P C F V FL C P V F F

Observe que apenas na 2 hiptese, dois dos guardies falam a verdade e um mente, o que satisfaz a condioimposta no enunciado da questo, ento a ordem ser:

Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)Portanto, a passagem est na porta do centro.

A matemtica o mais maravilhoso inst rumento cr iado pelo gnio do homempara a descoberta da verdade

EXERCCIOS01. Joo mais velho do que Pedro, que mais novo do que Carlos; Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo do que Joo. Antnio no mais novo do que Joo e todos os quatro meninos tm idades diferentes. Omais jovem deles :a) Joob) Antnioc) Pedrod) Carlos

02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entreeles, mineiro. H tambm um paulista, um carioca e um baiano. Paulo est sentado direita de Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,

a) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.c) Norton baiano e Vasconcelos paulista.d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.


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e) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca est abaixo da laranja e acimada azul. A vermelha est acima da verde e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assimcomo esta e a verde. Qual a cor da camiseta do topo da pilha?a) Azulb) Laranja

c) Brancad) Vermelhae) Verde

04. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, no necessariamente nessa ordem,ocupam as quatro primeiras posies no grid de largada de uma corrida. O carro que est imediatamente atrsdo carro azul, foi menos veloz nos treinos do que o que est mediatamente a frente do carro azul. O carro verdelarga atrs do carro azul. O carro amarelo larga atrs do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro dogrid, so, respectivamente,a) amarelo e verde.b) preto e azul.c) azul e verde.d) verde e preto.e) preto e amarelo.

05. Sete funcionrios de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flvio e Geraldo) foram divididosem 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta diviso foi feita de modo que: cada grupo possui no mximo 3pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos no podem ficar no mesmo grupo queGeraldo; Beatriz e Flvio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nemEdna nem Flvio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estaro necessariamente no mesmo grupo:a) Arnaldo e Carlos;b) Arnaldo e Douglas;c) Carlos e Flvio;d) Douglas e Geraldo;

06. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira, outra morena e a outra ruiva. O agente sabeque uma delas se chama Anna, outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma

delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintesinformaes: A loira: No vou Frana nem Inglaterra A morena: Eu e Bruna, visitaremos Carine em outra viagem A ruiva: Nem eu nem Bruna vamos Frana

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:a) A loira Carine e vai Alemanha.b) A ruiva Carine e vai Frana.c) A ruiva Anna e vai Inglaterra.d) A morena Anna e vai Inglaterra.e) A loira Bruna e vai Alemanha.

07. (FCC)Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrncia para comprade certo tipo de mquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hrcules, Netuno,Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:

Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias. Macval no apresentou o modelo Netuno.

Nessas condies, o modelo apresentado pela empresaa) Macval foi o Hcules.b) Mactex foi o Thor.c) Macmais foi o Thor.d) Mactex foi o Netunoe) Macval foi o Netuno

08. (FCC) Certo dia, trs tcnicos judicirios Altamiro, Benevides e Corifeu receberam, cada um, um lote deprocessos para arquivar e um lote de correspondncias a serem expedidas. Considere que:


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tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedio devem executadas no mesmo dia e nos seguinteshorrios: das 10 s 12 horas, das 14 s 16 horas e das 16 s 18 horas;

dois funcionrios no podem ficar responsveis pela mesma tarefa no mesmo horrio; apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondncias que recebeu em um mesmo horrio; nem as correspondncias expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 s 12h; Corifeu expediu toda a correspondncia de seu respectivo lote das 16 s 18 horas.

Nessas condies, verdade quea) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 s 18 horas.b) as correspondncias dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 s 16 horas.c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 s 12 horas.d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 s 12 horas.e) Altamiro expediu as correspondncias de seu lote das 10 s 12 horas.

09. (CESPE) Trs amigos Ari, Beto e Carlos se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos.Um deles tem um Chevett, outro tem um Landau e o terceiro, um Fusca. Os trs moram em bairros diferentes(Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e tm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Alm disso, sabe-se que: Ari no tem um Chevett e mora em Buritis; Beto no mora na Praia Grande e 5 anos mais novo que o dono do Fusca; O dono do Chevett no mora no Cruzeiro e o mais velho do grupo.

A partir das informaes acima, correto afirmar quea) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e proprietrio do Landau.b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e proprietrio do Chevett.c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e proprietrio do Chevett.d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e proprietrio do Fusca.

10. (CESPE) Trs contadores A, B e C esto sendo avaliados para o preenchimento de uma posio emuma empresa. Esses contadores estudaram em diferentes universidades (USP, UnB e FGV), possuem diferentestempos de experincia na profisso (3, 5 e 8 anos) e foram classificados em trs opes: 1., 2. e 3.. Consideretambm que o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experincia. o contador C ficou na 3. opo, no estudou na UnB e tem 2 anos de experincia a menos que o contador

que foi classificado na 2. opo.Com base nas informaes acima, conclui-se quea) o contador B estudou na UnB, tem 8 anos de experincia e ficou em primeira opo.b) o contador B estudou na UnB, tem 5 anos de experincia e ficou em primeira opo.c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experincia.d) o contador A tem 3 anos de experincia.

11. Sabe-se que um crime cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo eDenysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declaraes: Auri: "Cleo o culpado" Bel: "Acreditem, sou inocente" Cleo: "Denys realmente o culpado" Denys: "Cleo est mentindo"Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem o verdadeiro culpado.a) Aurisvandersonb) Belarminoc) Cleosvaldod) Denysgleison12. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Marcos carrega a fichabranca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado,quando Newton carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somenteverdades. Cada um deles deu a seguinte declarao:

MARCOS: "Nossas fichas so iguais" NEWTON: Nossas fichas so diferentes"

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.a) Marcos e Newton carregam fichas brancas.

b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca.d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta.


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13. (ESAF) Pedro encontra-se frente de trs caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das trs caixas contm ume somente um objeto. Uma delas contm um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma dascaixas existe uma inscrio, a saber:

Caixa 1: O livro est na caixa 3.

Caixa 2: A caneta est na caixa 1.

Caixa 3: O livro est aqui.

Pedro sabe que a inscrio da caixa que contm o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrioda caixa que contm a caneta falsa, e que a inscrio da caixa que contm o diamante verdadeira. Com taisinformaes, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 esto, respectivamente,a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.

14. (ESAF) Cinco moas, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, esto vestindo blusas vermelhas ouamarelas. Sabe-se que as moas que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem

blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusaamarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestemblusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusasde Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda so, respectivamente:a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

15. (ESAF) Uma empresa produz andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipoM, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligncia Artificial, est examinando um grupo de cincoandrides fabricados por essa empresa rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e psilon para determinar

quantos entre os cinco so do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing,distrado, no ouve a resposta. Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta est mentindo. Delta: Gama est mentindo. psilon: Alfa do tipo M.Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde, ento, concluir corretamente que o nmerode andrides do tipo V, naquele grupo, era igual aa) 1b) 2c) 3d) 4

DESAFIOPedro disse: Anteontem Franciscleyde tinha 27 anos e no ano que vem ela vai faz 30 anos. Em qual dia do anoele pde ter dito isso?a) 1 de abrilb) 31 de dezembroc) 1 de janeirod) dia do aniversrio dela

ILUSO DE TICA


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Raciocnio Lgico


Na figura a seguir, procure onde est a imagem do filho do casal.

GABARITO01. C 02. A 03. D 04. E 05. D06. E 07. D 08. E 09. D 10. A11. C 12. A 13. C 14. E 15. B

RESPOSTA DO DESAFIOO nico dia em que pode ser possvel esse dilogo no dia 1 de janeiro, com a condio de que ela faaaniversrio no dia 31 de dezembro. Dessa forma, dois dias antes cai no dia 30/dez do ano passado, onde elaainda tinha 27 anos, ontem (dia 31/dez do ano passado) ela fez 28 anos, no dia 31/dez desse ano ela far 29 anose assim, no dia 31/dez do ano que vem ela completa 30 anos. Portanto, item C.

CAPTULO 2

DIAGRAMAS LGICOSQUANTIFICADORES

So elementos que transformam as sentenas abertas em proposies.Eles so utilizados para indicar a quantidade de valores que a varivel de uma sentena precisa assumir

para que esta sentena torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposio.

TIPOS DE QUANTIFICADORESa) Quantificador existencial:

o quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um elemento satisfazendo aproposio dada para que esta seja considerada verdadeira. indicado pelo smbolo , que se l existe, existe um ou existe pelo menos um.EXEMPLO: (p) xR / x 3(q) Existe dia em que no chove.

b) Quantificador universal: o quantificador que indica a necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposio

dada para que esta seja considerada verdadeira. indicado pelo smbolo , que se l para todo ou qualquer que seja.EXEMPLO:

(m) xR |x 5 (L-se: para todo x pertencente aos reais, tal que x maior ou igual a 5)(n) Qualquer que seja o dia, no chover.

TEORIA DOS CONJUNTOS

RESP

OSTA

Of

ilho

docasalumb

ebemp

osiofetalque

podeservistonaslinhasdelimitadaspelosgalhos

darv

ore,rochasechoondeelesesto.


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Raciocnio Lgico


NOMENCLATURA UTILIZADA

- conjunto dos nmeros reais* - conjunto dos nmeros reais no nulos+ - conjunto dos nmeros reais no negativos*

+-conjunto dos nmeros reais positivos

Q - conjunto dos nmeros racionais

Q* -conjunto dos nmeros racionais no nulos

Z -conjunto dos nmeros inteiros

Z+ - conjunto dos nmeros inteiros no negativos

Z* - conjunto dos nmeros inteiros no nulos

N - conjunto dos nmeros naturais

N* - conjunto dos nmeros naturais no nulos

- conjunto vazio

- smbolo de unio entre dois conjuntos

- smbolo de interseco entre dois conjuntos - smbolo de pertinncia entre elemento e conjunto

- smbolo de incluso entre dois conjuntos

- qualquer que seja

UNIO ( )Unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou aoconjunto B ou a ambos.

INTERSEO ( )Interseo de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo aambos os conjuntos dados.

DIFERENA ( ) ou COMPLEMENTAR

Diferena entre os conjuntos A e B, nesta ordem, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A,porm, no pertencem a B. O conjunto A B tambm chamado de complementar de B e em A, pois o quefalta para B completar o conjunto A.

CONCLUS ES:

1o. A B = B A

2o A = A

3o A A = A

4o (A B) C = A (B C)

5o n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

EX.:Pessoas que soatletas (A), mas no sobaianos (B)

EX.:Pessoas que so atletas(A) ou baianos (B)

(o ou no excludente,portanto isso significa que oconjunto unio abrange os

elementos que fazem parte depelo menos um dos conjuntos)

CONCLUSES:

1oA B = B A

2oA =

3o A A = A4o(A B) C = A (B C)

EX.:Pessoas que soatletas (A) e so

baianos (B)

B

A

A B

A B

B

A

A B

B

A


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Raciocnio Lgico


COMPLEMENTAR EM RELAO AO UNIVERSO

O complementar de A, o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que no pertencem aoconjunto A.

DIFERENA ENTRE UNIO E INTERSEO

A diferena o conjunto unio e o conjunto interseo de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somenteum desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.

Observe como representar em trs diagramas, alguns termos muito usados em provas:

PROPOSIO SIMPLES uma frase declarativa afirmativa que a ela pode ser atribudo um valor lgico: verdadeiro (V) ou falso (F).

EXEMPLO:A: Fortaleza a capital do Cear (VERDADE)B: O Brasil um pas da Europa (FALSO)

EQUIVALNCIA

Duas proposies so ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lgico, ou seja,dizemos que A equivale a B, no caso de A ser verdade, B tambm verdade, assim como se A falso, B tambm falso.

EXEMPLO:C: Mrio honestoC: Mrio no desonesto

NEGAOUma proposio a negao de outra, quando sempre possui valor lgico contrrio, ou seja, dizemos que

A negao de B, se A verdade, ento B falso e se A falso, ento B verdade.

EXEMPLO:

AFIRMAES: NEGAES:A: Fortaleza a capital do Cear (VERDADE) ~A: Fortaleza no a capital do Cear (FALSO)B: O Brasil um pas da Europa (FALSO) ~B: O Brasil no um pas da Europa (VERDADE)

EX.:Pessoas que no soatletas (A)

(Dentre todos os envolvidos,podendo ser, ou no,

baianos)

EX.:Pessoas que ou soatletas (A), ou so baianos (B)

(O ou...ou excludente)

(AB) - (AB)

B

A

CA= A

B

A

LINK:

B

A

C

A ou B

B

A

C

A e BSomente A ou B

B

A

C

Somente A e B

B

A

C


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Raciocnio Lgico


TAUTOLOGIADizemos que uma proposio composta uma tautologia quando inevitavelmente verdadeira, ou seja,

quando tem sempre o valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies simplesusadas na sua elaborao.

EXEMPLO:

P ~P: Joo honesto ou desonesto (Obrigatoriamente VERDADEIRA)

CONTRADIODizemos que uma proposio composta uma contradio quando inevitavelmente falsa, ou seja,

quando tem sempre o valor lgico falso independentemente dos valores lgicos das proposies simples usadasna sua elaborao.

EXEMPLO:Q ~Q: Maria culpada, mas inocente (Obrigatoriamente FALSO)

CONTINGNCIADizemos que uma proposio composta uma contingncia quando depende do contingente de

proposies simples para poder ser V ou F, ou seja, a contingncia pode ter os valores lgico verdadeiro ou falso.EXEMPLO:A B: Joo rico e Maria bonita (Dependendo da outras proposies pode ser VERDADE ou FALSO)

DIAGRAMAS LGICOS

Devemos representar proposies simples atravs de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam pronomesindefinidos, tais como: Nenhum, Algum ou Todo.

NENHUM (~)No existe interseo entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que nenhum A B, garante-se que no existe

um elemento de A que tambm esteja em B. Sendo a recproca verdadeira, ou seja, nenhum B A.

EX.:A: Nenhum advogado bancrio

ALGUM ()Existe pelo menos um elemento na interseo entre os conjuntos, mas no necessariamente todos. Por exemplo,ao dizer que algum A B, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que tambm esteja em B. Sendoa recproca verdadeira, ou seja, algum B A.

EX.:B: Algum advogado bancrio

NEGAES:~A: No verdade que nenhum advogado bancrio~A: Existe pelo menos um advogado que bancrio~A: Algum advogado bancrio

ADVOGADOS BANC RIOS

ADVOGADOS BANCRIOS

EQUIVALNCIAS:A: No existe advogado que seja bancrioA: Todo advogado no bancrioA: Se ele advogado, ento no bancrio

NEGAES:~B: No verdade que algum advogado bancrio~B: No existe um advogado que seja bancrio~B: Nenhum advogado bancrio

EQUIVALNCIAS:B: Pelo menos um advogado bancrioB: Existe advogado que bancrioB: H um advogado que seja bancrio


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Raciocnio Lgico


TODO ()Um dos conjuntos subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que todo A B, garante-se que se um elementoest em A, ento ele tambm est em B, mas no necessariamente se est em B tambm estar em A.

EX.:C: Todo advogado e bancrio

EXEMPLOS

01. Considere que os argumentos so verdadeiros: Todo comilo gordinho; Todo guloso comilo;Com base nesses argumentos, correto afirmar que:a) Todo gordinho guloso.b) Todo comilo no guloso.c) Pode existir gordinho que no guloso.d) Existem gulosos que no so comiles.e) Pode existir guloso que no gordinho.

SOLUO:

Do enunciado temos os conjuntos:

Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que no seja guloso.

02. (IPAD) Supondo que todos os cientistas so objetivos e que alguns filsofos tambm o so, podemoslogicamente concluir que:a) no pode haver cientista filsofo.

b) algum filsofo cientista.c) se algum filsofo cientista, ento ele objetivo.d) alguns cientistas no so filsofos.e) nenhum filsofo objetivo.

SOLUO:

Dadas as premissas:A: todos os cientistas so objetivosB: alguns filsofos so objetivos

SejamO ObjetivosC CientistasF Filsofos

Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possveis:

GULOSOCOMILO

GORDINHO

BANC RIOSADVOGADOSNEGAES:~C: No verdade que todo advogado bancrio~C: Existe pelo menos um advogado que no bancrio~C: Algum advogado no bancrio

EQUIVALNCIAS:C: Nenhum advogado no bancrioC: No existe advogado que no seja bancrioC: Se ele advogado, ento bancrio


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Raciocnio Lgico


Dessa forma, temos que se algum filsofo cientista ele fica de acordo com o 2 ou 3 diagrama, o que implicanecessariamente que esse filsofo ser objetivo, pois todo cientista objetivo.Resposta: C

03. (IPAD)Supondo que cronpios e famas existem e que nem todos os cronpios so famas, podemos concluirlogicamente que:a) nenhum cronpio fama.b) no existe cronpio que seja fama.c) todos os cronpios so famas.d) nenhum fama cronpio.e) algum cronpio no fama.

SOLUO:

Dada a premissa:A: Nem todos os cronpios so famas

SejamC CronpiosF Famas

Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possveis:

Podemos concluir que Se nem todo cronpio fama, ento necessariamente existe pelo menos um cronpio queno fama.Resposta: E

04. (IPAD)Em um pas estranho sabe-se que as pessoas esto divididas em dois grupos: o grupo dos que tmuma idia original e o grupo dos que tm uma idia comercializvel. Sabe-se tambm que 60% das pessoas tmuma idia original e apenas 50% tm idias comercializveis. Podemos afirmar que:a) 15% das pessoas tm idias originais e comercializveis.b) 10% das pessoas tm idias originais e comercializveis.

c) 30% das pessoas tm idias comercializveis, mas no originais.d) 70% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.e) 65% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.

SOLUO:

SejamA grupo dos que tm uma idia original ;B grupo dos que tm uma idia comercializvel;

Como todas as pessoas (100%) esto em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos:

Sabendo quen(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

O

CF

O

CF1o 2o 3o

O

F C

CF1o 2o CF

A B

x 50% x60% x


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Raciocnio Lgico


100% = 60% + 50% xx = 10%

portanto10% das pessoas tm idias originais e comercializveis

Resposta: B

05. verdade que "Alguns A so R" e que "nenhum G R" ento necessariamente verdade que:a) Alguns A no G.b) Algum A G.c) Nenhum A G.d) Algum G A.e) Nenhum G A.

SOLUO:

Sabe-se que todos os A que tambm so R, no podem ser G, pois nenhum G R, ento existem alguns A quenunca sero G.Resposta: A

OBS.:Os outros itens esto errados por que podem ser verdade ou no, dependendo de como for o diagrama. Mascomo no se pode garantir que G e A tm interseo ou no, nada se pode afirmar.

06. Atravs de uma pesquisa, descobriu-se que nenhum politico honesto e que alguns advogados sohonestos. Dessa forma, aponte o nico item errado.a) possvel que alguns politicos sejam advogados.b) Alguns advogados no so politicos.c) impossvel que algum advogado seja poltico.d) H possibilidade de que nenhum politico seja advogado.e) Pode ou no haver advogado poltico.SOLUO:

Do enunciado temos os possveis diagramas, que satisfazem as condies impostas:

Cuidado! No podemos afirmar que existe A que P, nem to pouco dizer que no existe A que P. O fato que pode ou no existir A que seja P, ou seja, podemos at afirmar que possvel existir um A que seja P, ouainda, possvel que no exista A que seja P. Ento, ser errado dizer que impossvel que um A seja P.Resposta: C

(CESPE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referncia bibliogrfica para determinadoconcurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso, usando esseslivros, revelou que:

10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N; 15 utilizaram os trs livros.Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes.

07. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.

JULGAMENTO: ERRADO

Do enunciado, podemos construir o diagrama a seguir.

P

A

H1o 2o

P

A

H


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Raciocnio Lgico


O preenchimento deve ser feito a partir do centro, onde n(LMN) = 15.

Como 25 pessoas usaram M e N, ou seja n(MN) = 25, ento 10 usaram somente M e N.

Como 20 pessoas usaram M e L, ou seja n(ML) = 20, ento 5 usaram somente M e L.

Portanto, j podemos verificar que somente 5 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente oslivros L e M.

08. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.

JULGAMENTO: CERTO

Podemos preencher diretamente os 10 que usaram somente L.

Como 90 pessoas usaram L, descontando 10+5+15 = 30, sobram 60 que usaram somente N e L.

Podemos preencher diretamente os 20 que usaram somente N.


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Raciocnio Lgico


Do total de 200 pessoas, descontando 15+10+5+60+10+20 = 120, sobram 80 que usaram somente M.

Portanto, realmente mais de 100 candidatos (10+20+80=110) se prepararam para o concurso utilizando somenteum desses livros.

09. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.JULGAMENTO: CERTO

Exatamente noventa candidatos (60+10+5+15=90) se prepararam para o concurso utilizando pelos menos doisdesses livros (2 ou 3).

10. O nmero de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

JULGAMENTO: ERRADO

O nmero de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M no foi inferior a 105, na verdadeforam 110 (80+10+15+5).

(CESPE)Em um tribunal, todos os 64 tcnicos administrativos falam ingls e(ou) espanhol; 42 deles falam ingls e

46 falam espanhol.11. Nessa situao, 24 tcnicos falam ingls e espanhol.

JULGAMENTO: CERTO

Do enunciado, temos:n(IE) = 64n(I) = 42n(E) = 46Sabendo que

n(IE) = n(I) + n(E) n(IE)ento

64 = 42 + 46 n(IE)

n(IE) = 88 64n(IE) = 24

12. Podemos afirmar que 18 tcnicos falam somente ingls.

JULGAMENTO: CERTO

Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseo de I e E.

Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente ingls.

13. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 40 tem aulas presenciais;

I E

222418


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Raciocnio Lgico


70 assistem vdeo-aulas; 20 utilizam os dois mtodos; 10 estudam sozinhos;

Determine o total de alunos do grupo.a) 80b) 90

c) 100d) 120

1 SOLUO:

O preenchimento deve ser feito a partir do centro.Sendo n(P V) = 20, temos:

Se n(P) = 40, ento 20 esto somente em P.

Se n(V) = 70, ento 50 esto somente em V.

Como 10 no esto nem P, nem V, temosN = 20+20+50+10 = 100.

2 SOLUO:

Sabendo quen(PV) = n(P) + n(V) n(PV)

Temosn(PV) = 40 + 70 20n(PV) = 90

Como 10 no esto nem P, nem V, temosN = 90 + 10 = 100

14. Dentre um grupo de 100 alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 40 tem aulas presenciais; 70 assistem vdeo-aulas; 10 estudam sozinhos, sem aulas;Determine o nmero de alunos que utilizam os dois mtodos.a) 20b) 30c) 40d) 50

SOLUO:

Assim como foi feito na questo anterior, o preenchimento dos diagramas deve ser feito a partir do centro, masnesse caso, o valor da interseo justamente o que se pede na questo. Dessa forma, atribuiremos uma varivel

x para a interseo.n(PV) = x

Logo, temos:


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Raciocnio Lgico


Se n(P) = 40, ento 40-x esto somente em P e como

Se n(V) = 70, ento 70-x esto somente em V.

Como 10 no esto nem P, nem V, temos

Sendo o total de alunos igual a 100, temos:40-x + x + 70-x + 10 = 100

Portantox = 20

EXERCCIOS

01. A proposio Algum advogado bancrio equivalente a:a) No h advogado bancrio.b) Todas as pessoas so advogados.c) Pelo menos um advogado bancrio.d) Todos os advogados so bancrios.e) Todos os bancrios no so advogados.

02. Qual a equivalncia de Todo comerciante rico?

a) Nenhum comerciante rico.b) Todo comerciante no pobre.c) Nem todo comerciante rico.d) No h comerciante pobre.e) Nenhum comerciante no rico.

03. A equivalncia de Nenhum poltico honesto :a) Todas as pessoas so honestas.b) Todos os polticos so desonestos.c) Ningum honesto.d) Todo poltico honesto.e) Pelo menos um poltico honesto.

04. Qual a negao de Todo artista elegante?a) Nenhum artista elegante.b) Todas as pessoas so elegantes.c) Ningum elegante.


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d) Todo artista no elegante.e) Pelo menos um artista no elegante.

05. Dadas as proposies:I Toda mulher boa motorista.II Nenhum homem bom motorista.

III Todos os homens so maus motoristas.IV Pelo menos um homem mau motorista.V Todos os homens so bons motoristas.

A negao da proposio (V) :a) Ib) IIc) IIId) IVe) V

06. Qual a negao da proposio Todo mdico atleta?a) Algum mdico no atleta.b) Algum mdico atletas.c) Nenhum mdico atleta.

d) Nenhum atleta mdico.e) Todo atleta no mdico.

07. Assinale a alternativa que apresenta uma contradio.a) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio.b) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.c) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio.d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano.

08. Em um grupo de amigos, todos os engenheiros nasceram em Fortaleza, mas nenhum dos fortalezenses torcedor do Palmeiras. Alguns Palmeirenses so tambm casados e alguns casados so fortalezenses, masnenhum engenheiro casado. Dessa forma, podemos concluir que:

a) Pelo menos um engenheiro torcedor do Palmeiras, mas nenhum casado.b) Pelo menos um palmeirense engenheiro.c) Nenhum engenheiro torcedor do Palmeiras.d) Todos os engenheiro palmeirense.e) Algum dos engenheiros casado, mas no torcedor do Palmeiras.

09. Todos os alunos de matemtica so, tambm, alunos de ingls, mas nenhum aluno de ingls aluno dehistria. Alguns alunos de filosofia so tambm alunos de histria, mas nenhum aluno de filosofia aluno deingls. Como todos os alunos de Portugus so alunos de filosofia, mas nenhum aluno de Portugus aluno deHistria, ento:a) Pelo menos um aluno de portugus aluno de inglsb) Pelo menos um aluno de matemtica aluno de histriac) Nenhum aluno de Portugus aluno de matemtica

d) Todos os alunos de filosofia so alunos de matemtica.e) Todos os alunos de filosofia a so alunos de portugus

10. bem conhecido que os marcianos tem pelo menos uma cabea. Um cientista assegura: "Todo marciano temexatamente duas cabeas". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes afirmaes necessariamente correta?a) No h marciano com duas cabeas.b) Todo marciano, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas cabeas.c) H um marciano que tem somente uma cabea.d) H um marciano que tem mais de duas cabeas.e) H um marciano que, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas cabeas.

11. Sabendo que Todo astronauta cientista, que Algum cientista boliviano, mas que nenhum boliviano

astronauta, ento podemos afirmar que:a) possvel que todo cientista seja astronauta.b) impossvel que todo cientista seja boliviano.c) possvel que algum astronauta seja boliviano.


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Raciocnio Lgico


d) com certeza algum boliviano astronauta.

12. Em um grupo de amigos, todos os 10 advogados so bancrios e alguns dos 30 bancrios so contadores.Sabendo que exatamente 10 bancrios so contadores, mas nenhum dos 20 contadores so advogados, ento onmero de pessoas nesse grupo :a) 30

b) 40c) 50d) 60e) 70

13. Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns so baianos e dos 30 baianos, alguns so comerciantes, masnenhum dos 40 comerciantes atleta. Sabe-se ainda que o nmero de atletas baianos o mesmo que doscomerciantes baianos, que tambm igual ao nmero de baianos que no so nem atletas nem comerciantes.Dessa forma, determine o nmero de comerciantes que no so baianos.a) 35b) 30c) 25d) 2014. (FCC)Se todos os jaguadartes so momorrengos e todos os momorrengos so cronpios ento pode-seconcluir que:a) possvel existir um jaguadarte que no seja momorrengo.b) possvel existir um momorrengo que no seja jaguadarte.c) Todos os momorrengos so jaguadartes.d) possvel existir um jaguadarte que no seja cronpio.e) Todos os cronpios so jaguadartes.

15. A sentena Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que est de blusa preta a negao de:a) Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que no est de blusa pretab) Nenhuma pessoa nessa sala est de blusa brancac) Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que est de blusa brancad) Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que est de blusa preta

e) Todas as pessoas dessa sala no esto de blusa preta16. Se alguns Smaugs so Trois e alguns Trois so Ludgans, ento alguns Smaugs so definitivamenteLudgans. Esta sentena :a) VERDADEIRAb) FALSAc) Nem Falso nem verdadeirod) impossvel de dizer

17. Das premissas:A: Nenhum heri covardeB: Alguns soldados so covardes

Pode-se corretamente concluir que:a) Alguns heris so soldadosb) Alguns soldados so herisc) Nenhum heri soldadod) Alguns soldados no so herise) Nenhum soldado heri

18. Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Disto resulta que:a) Todo C B.b) Todo C Ac) Algum A Cd) Todo A Ce) Algum A no C

19. Supondo que todos os alunos so inteligentes e que Nem todos os filsofos tambm so inteligentes,podemos logicamente concluir que:a) no pode haver aluno filsofo.b) algum filsofo aluno.


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c) alguns alunos no so filsofos.d) se algum filsofo aluno, ento ele inteligente.e) nenhum filsofo inteligente.

20. Em uma festa com 500 pessoas, podemos afirmar com certeza que entre os presentes:a) Existe pelo menos um que aniversaria em maio.

b) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia.c) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia.d) Existem dois que no aniversariam no mesmo dia.e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro

G B RITO01. C 02. E 03. B 04. E 05. D06. A 07. C 08. C 09. C 10. E11. B 12. B 13. B 14. B 15. E16. B 17. D 18. C 19. D 20. B

CAPTULO 3ALGEBRA DAS PROPOSIES

INTRODUO

A Lgica Matemtica, em sntese, pode ser considerada como a cincia do raciocnio e da demonstrao.Este importante ramo da Matemtica desenvolveu-se no sculo XIX, sobretudo atravs das idias de GeorgeBoole, matemtico ingls (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricaspara representar proposies e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da Lgica Simblica,cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computao e da eletrnica.

LGICA MATEMTICA

A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do estudo das sentenas declarativas tambm conhecidascomo proposies, as quais devem satisfazer aos dois princpios fundamentais seguintes:

PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: uma proposio s pode ser verdadeira ou falsa, no havendoalternativa.

PRINCPIO DA NO CONTRADIO:uma proposio no pode ser ao mesmo tempo verdadeirae falsa.

Diz-se ento que uma proposio verdadeira possui valor lgico V (verdade) e uma proposio falsapossui valor lgico F (falso). Os valores lgicos tambm costumam ser representados por 0 (zero) paraproposies falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposies verdadeiras ( 1 ou V ).

As proposies so geralmente, mas no obrigatoriamente, representadas por letras maisculas.De acordo com as consideraes acima, expresses do tipo, "O dia est bonito!", Que horas so?, x

um nmero par e x + 2 = 7, no so proposies lgicas, uma vez que no poderemos associar a ela um valorlgico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposies, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seuvalor lgico V ou F. Poderia ser tambm 1 ou 0.

A: "Fortaleza a capital do Cear (V) B: O Brasil um pas da Europa (F) C: "3 + 5 = 2" (F) D: "7 + 5 = 12" (V) E: "O Sol um planeta" (F) F: "Um pentgono um polgono de dez lados" (F)

SENTENA ABERTA:No pode ser atribudo um valor lgicoEX.:

X um nmero par Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), no se pode afirmar.

SENTENA FECHADA:Pode ser atribudo um valor lgico V ou F.EX.:


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Raciocnio Lgico


O professor Pedro Evaristo ensina Matemtica Sentena Verdadeira (V) A soma 2 + 2 igual a 5 Sentena Falsa (F)

SMBOLOS UTILIZADOS NA LGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

no e

ou

ou ... ou

se ... ento

se e somente se| tal que

Implica Equivalente Existe| existe um e somente um

qualquer que seja

O MODIFICADOR NEGAO

Dada a proposio p, indicaremos a sua negao por ~pou p. (L-se "no p" ).EXEMPLOS:p: 2 pontos distintos determinam uma nica reta (V)~p: 2 pontos distintos no determinam uma nica reta (F)

q: Joo magro~q: Joo no magro~q: No verdade que Joo magro

s: Fernando honestos: Fernando no honestos: No verdade que Fernando honestos: Fernando desonestoOBS.:Duas negaes equivalem a uma afirmao, ou seja, em termos simblicos: ~(~p) = p.

p: Diego dirige bem~p: Diego no dirige bem~(~p): No verdade que Diego no dirige bem

ESTRUTURAS E OPERAES LGICAS

As proposies lgicas podem ser combinadas atravs dos operadores lgicos , , e , dando origemao que conhecemos como proposies compostas. Assim, sendo p e q duas proposies simples, poderemosento formar as seguintes proposies compostas: pq, pq, pq, pq.

Estas proposies compostas recebem designaes particulares, conforme veremos a seguir:

CONJUNO:p q (l-se "p e q" )

DISJUNO NO EXCLUDENTE:p q (l-se "p ou q")

DISJUNO EXCLUDENTE:p q (l-se "ou p, ou q")

CONDICIONAL:

p q (l-se "se p ento q") BI-CONDICIONAL:

p q (l-se "p se e somente se q")

IMPORTANTE:Afirmao e negao

sempre possuem valoreslgicos contrrios!

SeA V, ento ~A F

SeA F, ento ~A V

A ~A

V F

F V


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Raciocnio Lgico


Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies simples p e q, como determinaremos os valoreslgicos das proposies compostas acima? Isto conseguido atravs do uso da tabela a seguir, tambmconhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

TABELA VERDADE

A tabela verdade mostra o valor lgico de proposies compostas, com base em todas as possveis combinaesdos valores lgicos para as proposies simples que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou no) daproposio composta, mediante todas combinaes de V e F das proposies simples envolvidas.

O nmero de linhas da tabela verdade depende do nmero de proposies, como cada proposiosimples pode assumir duas possveis valoraes (V ou F), temos ento:

node linhas da tabela = 2(n de proposies simples)

CONJUNO (E)

A conjuno s ser verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B tambm forverdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjuno toda torna-se falsa.

EXEMPLO:Analise a afirmao: Nesse final de semana estudarei raciocnio lgico e informtica.A:Estudar raciocnio lgicoB:Estudar informtica

TABELA VERDADEA B A BV V VV F FF V FF F F

CONCLUSES: S existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmao seja verdadeira, deverei estudar

raciocnio lgico e informtica.

Observe que a afirmao falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

A B Premissa A e premissa B

Premissa A Premissa BSe (V) Ento(V)

Premissa A Premissa BEnto (V) Se (V)

DISJUNO NO-EXCLUDENTE (OU)

A B (l-se Premissa A e premissa B)

LINK:

ANLISE PARTINDO DAPREMISSA A SENDO (V)

ANLISE PARTINDO DAPREMISSA B SENDO (V)

A B (l-se Premissa A ou premissa B)


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PREMISSAS NO EXCLUDENTES:so aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse casoo ou significa dizer que pelo menos uma das premissas dever ser verdadeira. Nesse caso o ou significaque pelo menos uma das premissas verdadeira.

EXEMPLO:Analise a afirmao: Este final de semana irei praia ou ao cinema.

A:Irei praiaB:Irei ao cinema

TABELA VERDADEA B A BV V VV F VF V VF F F

CONCLUSES: Sabendo que ele foi praia, conclui-se que ele pode ter ido ou no ao cinema.

Sabendo que ele no foi praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou no praia. Sabendo que ele no foi ao cinema, conclui-se que certamente foi praia.

Observe que, nesse caso, o ou significa que eu irei a pelo menos um desses lugares no fim de semana (o fimde semana longo e nada impede de ir aos dois lugares).

A v B Premissa A ou premissa B

Premissa A Premissa B

Se (V) Ento(V) ou (F)

Premissa A Premissa BSe (F) Ento (V)

Premissa A Premissa BEnto (V) Se (F)

Premissa A Premissa BEnto (V) ou (F) Se (V)

DISJUNO EXCLUDENTE (OU...OU)

Quando estamos trabalhando com disjunes, devemos analisar inicialmente se as premissas so excludentes ouno excludentes.

PREMISSAS EXCLUDENTES:so aquelas que no podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso oou significa dizer que exatamente uma das premissas dever ser verdadeira. Caso seja usado ou...ou,devemos entender que se trata de disjuno excludente.

EXEMPLO:Analise a afirmao: Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em So Paulo.A:Felipe nasceu em Fortaleza

LINK:

ANLISE PARTINDO DAPREMISSA A SENDO (V) OU (F)

ANLISE PARTINDO DAPREMISSA B SENDO (V) OU (F)

A B (l-se Ou premissa A, ou premissa B)


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B:Felipe nasceu em So Paulo

TABELA VERDADEA B A BV V FV F V

F V VF F F

CONCLUSES: Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que no nasceu em So Paulo. Sabendo que ele no nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em So Paulo. Sabendo que ele nasceu em So Paulo, conclui-se que no nasceu em Fortaleza. Sabendo que ele no nasceu em So Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.

Observe que na tabela verdade falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro queningum pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Ento, a afirmao s ser verdadeira, se exatamenteum das duas premissas for verdadeira.

A v B Ou premissa A, ou premissa B

(Premissas excludentes)

Premissa A Premissa BSe (V) Ento(F)

Premissa A Premissa BSe (F) Ento (V)


Ento (V) Se (F)

Premissa A Premissa BEnto (F) Se (V)

CONDICIONAL (SE ... ENTO)

Essa condio deixa clara que se a premissa A for verdadeira, ento a premissa B ser necessariamenteverdadeira tambm, mas a recproca no vlida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B sejaverdadeira.

EXEMPLO:Analise a afirmao: Se eu receber dinheiro na sexta-feira ento irei a praia no fim de semana.A:Receber dinheiro na sexta-feiraB:Ir a praia no fim de semana

TABELA VERDADEA B A BV V VV F F

F V VF F V

CONCLUSES:

A B (l-se Se premissa A, ento premissa B)



LINK:


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Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui praia. Sabendo que eu no recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou no praia. Sabendo que eu fui praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou no o dinheiro. Sabendo que eu no fui praia, conclui-se que necessariamente eu no recebi o dinheiro.

Observe que a afirmao s ser falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim no for praia.

A B Se premissa A, ento premissa BPremissa A Premissa BSe (V) Ento(V)

Premissa A Premissa BSe (F) Ento (V) ou (F)


Ento (F) Se (F)Premissa A Premissa B

Ento (V) ou (F) Se (V)

Do quadro acima podemos concluir que A B equivalente a

~B ~A Se no for verdadeira a premissa B, ento no ser verdadeira a premissa A

BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)

Nessas condies, fica claro que a premissa A s ser verdadeira no caso da premissa B tambm ser. Fica aindaimplcito que a recproca vlida, ou seja, a premissa B tambm s ser verdadeira no caso da premissa Atambm ser.

EXEMPLO:Analise a afirmao: Irei a praia no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira.A:Ir a praia no fim de semanaB:Receber dinheiro na sexta-feira

TABELA VERDADEA B A BV V VV F FF V FF F V

CONCLUSES: Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui praia. Sabendo que eu no recebi dinheiro, conclui-se que eu no fui praia. Sabendo que eu fui praia, conclui-se que porque eu recebi o dinheiro. Sabendo que eu no fui praia, conclui-se que certamente eu no recebi o dinheiro.

Observe que a afirmao s ser verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lgico.



LINK:

A B(l-se Premissa A, se e somente se a premissa B)

LINK:


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A B Premissa A, se e somente se Premissa B

Premissa A Premissa BSe (V) Ento(V)

Premissa A Premissa BSe (F) Ento (F)

Premissa A Premissa BEnto (F) Se (F)

Premissa A Premissa BEnto (V) Se (V)

Do quadro acima podemos concluir que A B equivalente a

~A ~B Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B

OBS.: A condio necessria e suficiente para que Bocorra B condio necessria e suficiente para queAocorra

TABELA VERDADE

Sejam pe qduas proposies simples, cujos valores lgicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1)ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

TABELA VERDADE

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjuno verdadeira somente quando ambas as proposies so verdadeiras. a disjuno falsa somente quando ambas as proposies so falsas. a condicional falsa somente quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional verdadeira somente quando as proposies possuem valores lgicos iguais.

EQUIVALNCIASDuas proposies so equivalentes quando possuem os mesmos valores lgicos na tabela verdade, ou

ainda, quando podem substituir uma outra sem perda do sentido lgico.O importante nesse caso no confundir implicao com equivalncia. Por exemplo, dizer que A:Joo

rico implica em dizer que B:Joo no pobre, no entanto, dizer B:Joo no pobre no implica em dizer queA:Joo rico, portanto A e B no so equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A B). Por outrolado, se P:Joo honesto ento implica que Q:Joo no desonesto e de forma recproca se Q:Joo no desonesto ento implica que P:Joo honesto, portanto nesse caso P e Q so equivalentes pois umaproposio implica na outra (P Q).

A B = ~B ~AEx.:

Se chover ento irei ao shopping Se no for ao shopping ento no choveuSe eu receber dinheiro, viajarei Se eu no viajar ento no recebi dinheiroCaso no faa sol, irei entrarei na internet Se eu no entrei na internet ento fez sol

p q p q p q pq p qV V V V V VV F F V F FF V F V V F

F F F F V V

ANLISE PARTINDO DA

PREMISSA A SENDO (V) OU (F)



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A B = B A = (A B) (B A)Ex.:Se e somente se fizer sol ento irei praia Se e somente se for praia ento fez solSe e somente se receber dinheiro, viajarei Se receber dinheiro, viajo e se viajar ento eu recebiSe e somente se passar, festejarei Se passar ento festejo e se festejar por que passei

A B = (A B) (~A ~B)Ex.:Se e somente se passar, festejarei Ou passo e festejo, ou no passo e no festejoSe e somente se sentir fome ento comerei Ou senti fome e comi, ou no senti fome e no comi

NEGAES (~) ou ()A negao de uma proposio (A) outra proposio (~A) que possui sempre valor lgico contrrio, ou

seja, sempre que A for verdadeiro ento ~A falso e quando A for falso ento ~A verdadeiro. comum o aluno confundir antnimo com negao! Mas cuidado, so coisas diferentes. Por exemplo,

rico e pobre so antnimos, mas Joo pobre no a negao de Joo rico, afinal se Joo no for ricono quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que Joo no rico. Mas existe caso em que o antnimo anegao, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros.

TABELA VERDADEA ~AV FF V

Ex.:A: Aline bonita ~A: Aline no bonita (no significa que ela feia)B: Kleyton alto ~B: Kleyton no alto (no significa que ele baixo)C: Daniel magro ~C: Daniel no magro (no significa que ele gordo)E: Karol foi aprovada ~D: Karol foi reprovada (nesse caso, reprovado significa no aprovado)F: Lia culpada ~F: Lia inocente (nesse caso, inocente significa no culpado)

LGEBRA DAS PROPOSIES

Sejam p, qe rtrs proposies simples e quaisquer, onde V uma proposio verdadeira e Fuma proposiofalsa. So vlidas as seguintes propriedades:

LEIS IDEMPOTENTES p p = p

Ex.:Eu no minto e s falo a verdade Eu falo a verdade

p p = pEx.:Ou chover ou cair gua do cu Chover

LEIS COMUTATIVAS p q = q p

Ex.:Estudarei lgica e informtica Estudarei informtica e lgica

p q = q pEx.:Estudarei lgica ou informtica Estudarei informtica ou lgica

LEIS DE IDENTIDADE p V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, ento o valor lgico depender da premissa p)

Ex.:Amanh vai chover e o Sol amarelo (Pode ser V ou F, depende se chover ou no)


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p F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, ento o valor lgico ser sempre F)Ex.:Amanh vai chover e a lua quadrada (Ser F, independe de chover ou no)

p V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, ento o valor lgico ser sempre V)Ex.:Amanh chover ou o Sol amarelo (Ser V, independe de chover ou no)

p F = pEx.:Amanh vai chover ou a lua quadrada (Pode ser V ou F, depende se chover ou no)

LEIS COMPLEMENTARES ~(~p) = p (duas negaes equivalem a uma afirmao)

Ex.:No verdade que Bruna no bonita Bruna bonita

p ~p = FEx.:Irei ao cinema e no irei ao cinema (F)

p ~p = VEx.:Ou irei ao cinema ou no irei ao cinema (V)

~V = F (a negao de uma verdade sempre falsa)Ex.:No verdade que o Sol amarelo (F)

~F = V (a negao de uma mentira sempre verdade)

Ex.:No verdade que a Lua quadrada (V)

LEIS ASSOCIATIVAS (p q) r = p (q r)

Ex.:Sophia linda e inteligente, alm de ser muito legal Sophia linda, alm de inteligente e muito legal

(p q) r = p (q r)Ex.:Irei a praia ou ao cinema, ou irei jogar Ou Irei a praia, ou irei ao cinema ou jogar

LEIS DISTRIBUTIVAS p (q r) = (p q) (p r)

Ex.:Estudarei hoje e no fim de semana, ou irei ao cinema ou irei a praia Ou estudarei hoje e no fim desemana irei ao cinema, ou estudarei hoje e no fim de semana irei praia

p (q r) = (p q) (p r)Ex.:Ou viajarei hoje ou no fim de semana irei ao cinema e praia Viajarei hoje ou irei ao cinema no fimde semana, e viajarei hoje ou no fim de semana irei praia

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGANTodas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construo das tabelas verdades.

~(p q) = ~p ~qA conjuno s verdade se as duas proposies forem verdades, portanto se no verdade (p q) porque pelo menos uma das proposies falsa (no precisa que as duas sejam falsas).


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Ex:Qual a negao da proposio composta: "Eu estudo e aprendo"?A negao procurada : "Eu no estudo ou no aprendo".

Ex.:No verdade que Ribamar carioca ealto Ribamar no carioca ou Ribamar no alto

TABELA VERDADE

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F F V F V V

F V F V V F VF F F V V V V

~(p q) = ~p ~qA disjuno no-excludente verdade se pelo menos uma das duas proposies for verdadeira, portanto seno verdade (p q) por que as proposies tm que ser falsas.

Ex:Qual a negao da proposio "O Brasil um pas ou a Bahia um estado"?A negao : "O Brasil no um pas e a Bahia no um estado".

Ex.:No verdade que Roslia foi praia ou ao cinema Roslia no foi praia eno foi ao cinema

TABELA VERDADEp q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F V F F V FF V V F V F F

F F F V V V V

~(p q) = p ~qO condicional (p q) s falso se pfor verdade e que qfor falso, portanto se no verdade (p q) porque as proposies pe ~qtm que ser verdadeiras.

Ex.:Qual a negao da proposio: "Se eu estudo ento aprendo"?A negao procurada : "Eu estudo e no aprendo"

Ex.:No verdade que se Milena receber dinheiro ento viajar Milena recebe dinheiro e no viaja

TABELA VERDADE (1)p q p q ~(p q)V V V FV F F V

F V V FF F V F

TABELA VERDADE (2)p q ~q p ~qV V F FV F V VF V F F

F F V FObservando as ltimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas so iguais, ou seja, ambasapresentam a seqncia F V F F, o que significa que ~(pq) = p~q .


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TAUTOLOGIAS

Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, ou seja, uma proposio logicamenteverdadeira, quando tem o valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposiesparciais usadas na sua elaborao.

Ex.:pq: No concurso Joo foi aprovado ou reprovado

CONSIDERE A PROPOSIO COMPOSTA:s: (p q) (p q) ondep eq so proposies simples lgicas quaisquer.

Vamos construir a TABELA VERDADE da proposio s considerando-se o que j foi visto at aqui,teremos:

p q p q p q (p q) (p q)V V V V V

V F F V VF V F V V

F F F F V

Observe que quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples p e q, a proposiocomposta s sempre logicamente verdadeira. Dizemos ento que s uma TAUTOLOGIA.Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposies:

p: O Sol um planeta (valor lgico F) q: A Terra um planeta plano (valor lgico F),

Podemos concluir que a proposio compostas: "Seo Sol um planeta ea Terra um planeta plano entoo Sol um planeta ou a Terra um planetaplano" uma proposio logicamente verdadeira.

Ser apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais voc poder verifica-las, simplesmenteconstruindo as respectivas tabelas verdades:

Sendo pe qduas proposies simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposies compostas,so TAUTOLOGIAS:1. (pq) p2. p (pq)3. [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")4. [(pq) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")

Voc dever construir as tabelas verdades para as proposies compostas acima e comprovar que elas realmenteso tautologias, ou seja, na ltima coluna da tabela verdade teremos V V V V.

NOTAS: as tautologias acima so tambm conhecidas como regras de inferncia. como uma tautologia sempre verdadeira, podemos concluir que a negao de uma tautologia sempre

falsa, ou seja, uma contradio.

CONTRADIODizemos que uma proposio composta uma contradio, ou seja, uma proposio logicamente falsa,

quando tem o valor lgico falsoindependentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na suaelaborao.

Ex.:pq: Sophia nasceu em Fortaleza e em So Paulop~p:Amanh chover e amanh no chover

Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposio composta e verificarmosque ela sempre falsa, diremos que ela uma CONTRADIO.

EXEMPLO:A proposio composta t: p ~p uma contradio, seno vejamos:

p ~p p~p

LINK:


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V F FF V F

Portanto, uma contradio nunca poder ser verdadeira.

PROPOSIO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGNCIA

Nesse caso, as proposies compostas que no so nem Tautologia nem Contradio so chamadasde Contingncia, ou seja, podem assumir valor lgico (V) ou (F), dependendo das demais proposies simples.

EXEMPLO:Construindo a tabela verdade da proposio composta t: (p q) r, teremos:

NOTA:Se uma proposio composta formada por n proposies simples, a sua tabela verdade possuir 2nlinhas.

EQUIVALNCIAS E NEGAES

]

ATENO!

Algumas maneiras diferentes de escrever a proposio condicional Se A ento B:

S P S P ~P ~SP: Se fizer sol ento vou praia P: Se no for praia ento no fez sol

P: Se fizer sol, vou praia P: No ir praia condio suficiente para no ter feito sol

P: Fazendo sol, vou praia P: No fazer sol condio necessria para no ir praia

P: Quando fizer sol, vou praia

P: Sempre que faz sol, vou praia

P: Toda vez que faz sol, vou praia

P: Caso faa sol, irei praiaP: Irei praia, caso faa sol

P: Fazer sol implica em ir praia

p q r (p q) (p q) rV V V V V

V V F V VV F V F V

V F F F F

F V V F VF V F F F

F F V F VF F F F F

NEGAES

~(A B) = ~A v ~B

~(A v B) = ~A ~B

~(A v B) = (A B) v (~A ~B)

~(A v B) = A B

~(A B) = A v B

~(A B) = A ~B

EQUIVALNCIAS

A B = (A B) v (~A ~B)

A B = (A B) (B A)

A B = B A

A B = ~B ~A

A B = ~(A ~B) = ~A v B

A = ~(~A)

LINK:


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P: Fazer sol condio suficiente para que eu v praia

P: Ir praia condio necessria para ter feito sol

NECESSRIO x SUFICIENTE

CONDIO SUFICIENTE:condio mxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)

CONDIO NECESSRIA:condio mnima que deve ser atendida (caso B no ocorra, A no ocorre)

OBS.: A condio suficiente para que Bocorra B condio necessria para queAocorra ~B condio suficiente para que ~Aocorra ~A condio necessria para que ~Bocorra

RESUMINDO:Quem est do lado esquerdodo condicional sempre condio suficiente para quem fica do lado direito.

Quem est do lado direitodo condicional sempre condio necessria para quem fica do lado esquerdo.

No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quantoB funcionam simultaneamente como condio necessria e suficiente.

EXEMPLO

01. Dadas s proposies simples:A: Sophia arquitetaB: Sophia gosta de viajarC: Sophia felizTraduza para a linguagem natural s proposies dadas a seguir, de acordo com a simbologia.

a) ~A: Sophia no arquiteta

b) ~(~A): No verdade que Sophia no arquiteta

c) ~B: Sophia no gosta de viajar

d) A B: Sophia arquiteta e gosta de viajar

e) A B: Sophia arquiteta ou gosta de viajarf) A B: Ou Sophia arquiteta, ou Sophia gosta de viajar

A B ~B ~AA SUFICIENTEpara B ~B SUFICIENTEpara ~A

A B ~B ~AB NECESSRIOpara A ~A NECESSRIOpara ~B

A BA NECESSRIO eSUFICIENTEpara B

A SUFICIENTEpara B

(A B) (B A) A NECESSRIOpara B


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g) ~A B: Sophia no arquiteta ou gosta de viajar

h) A ~B: Sophia arquiteta ou no gosta de viajari) ~(A B): No verdade que Sophia arquiteta ou gosta de viajar

j) A B: Se Sophia arquiteta ento gosta de viajar

k) A B: Se e somente se Sophia arquiteta ento gosta de viajar

l) ~A B: Se Sophia no arquiteta ento gosta de viajar

m) ~(A B): No verdade que se Sophia arquiteta, gosta de viajar

n) (A B) C: Se Sophia arquiteta e gosta de viajar, ento felizo) A (B C): Se Sophia arquiteta, ento gosta de viajar e feliz

p) ~A (B C): Se Sophia no arquiteta, gosta de viajar ou feliz

02. Dadas s proposies simples:A: Daniel ricoB: Daniel honestoPasse da linguagem natural para a linguagem simblica, s proposies compostas dadas a seguir.

a) Daniel rico, mas honesto: A B

b) Daniel no rico, mas honesto: ~A B

c) Daniel rico, mas desonesto: A ~B

d) No verdade que Daniel rico e honesto: ~(A B)

e) Daniel rico ou honesto: A B

f) Daniel no rico ou honesto: ~A B

g) No verdade que Daniel rico ou honesto: ~(A B)

h) Se Daniel rico, ento ele honesto: A B

i) Se Daniel rico, ento ele desonesto: A~B

j) Se Daniel no rico, ento ele honesto: ~A B

k) No verdade que se Daniel rico, ento ele honesto: ~(AB)

l) Daniel rico se e somente se ele honesto: A B

03. Dadas das proposies simples A: Felipe piloto e B: Diego tenista, responda as questes a seguir.

TABELA VERDADE

a) Qual uma proposio equivalente a AB: Se Felipe piloto, ento Diego tenista?RESPOSTA:

Existem vrias formas de equivalncia, dentre ela a mais usada


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Raciocnio Lgico


~B~A: Se Diego no tenista, ento Felipe no pilotoMas tambm pode ser dada por

AB: Felipe ser piloto condio suficiente para Diego ser tenistaOu ainda

AB: Diego ser tenista condio necessria para Felipe ser piloto

b) Qual uma possvel negao de AB: Se Felipe piloto, ento Diego tenista?

RESPOSTA:

Uma possibilidade ~(AB): No verdade que se Felipe piloto, ento Diego tenista

Ou seja, como no verdade, temos queA~B: Felipe piloto, mas Diego no tenista

c) Qual a negao de AB: Felipe piloto e Diego tenista?

RESPOSTA:

A negao pode ser dada por

~(AB): No verdade que Felipe piloto e Diego tenistaOu ainda(~A~B): Felipe no piloto ou Diego no tenista

d) Qual a negao de AB: Felipe piloto ou Diego tenista?

RESPOSTA:

A negao pode ser dada por~(AB): No verdade que Felipe piloto ou Diego tenista

Logo(~A~B): Felipe no piloto e Diego no tenista

Ou ainda(~A~B): Nem Felipe piloto, nem Diego tenista

e) Qual a negao de AB: Ou Felipe piloto, ou Diego tenista?

RESPOSTA:

A negao pode ser dada por~(AB): No verdade que ou Felipe piloto, ou Diego tenista

Logo, para que AB no seja verdade, temos que:(AB)(~A~B): Ou Felipe piloto e Diego tenista, ou Felipe no piloto e Diego no tenista

f) Qual a negao de AB: Felipe piloto, se e somente se Diego tenista?

RESPOSTA:

Lembre-se que o bi-condicional s verdade quando as duas proposies forem verdade ou as duas forem falsas.

(AB)(~A~B): Ou Felipe piloto e Diego tenista, ou Felipe no piloto e Diego no tenistaLogo, para que AB no seja verdade, temos que:

~(AB) = (AB): Ou Felipe piloto, ou Diego tenista

04. Aponte a negao da proposio Ribamar advogado ou inocente.a) Ribamar advogado e inocenteb) No verdade que Ribamar advogado e inocentec) Ribamar no advogado e culpadod) Ribamar no advogado ou culpado

SOLUO:

Sendo AB: Ribamar advogado ou inocente, ento sua negao pode ser dada por ~(AB): No verdadeque Ribamar advogado ou inocente, ou ainda por ~A~B: Ribamar no advogado e culpado. (lembre-se

que na disjuno ou pelo menos uma das proposies tem que ser verdadeira)05. Todos acreditam que: Co que late, no morde. Considerando verdadeira essa afirmao, ento pode-seconcluir que:


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a) Um co pode latir e mesmo assim me morder.b) Se um co no latir ir morder.c) Se um co no morder por que ele latiu.d) Se um animal latir e morder, ele no um co.

SOLUO:

Sabe-se que todo co que late, no morde, ento se um animal latir e mesmo assim morder, esse animal nopode ser um co, pois se um co latir, no ir morder.OBS.: O fato que tendemos a pensar que apenas o co capaz de latir, mas o animal em questo pode ser,por exemplo, uma pessoa imitando um co e a mordida pode ser de brincadeira. Se atenha a estrutura lgica eno ao enredo da histria.

05. Aponte o item abaixo que mostra a negao de Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa.a) No verdade que Roslia viajar para Londres e comprar uma casab) Roslia no viajar para Londres ou no comprar uma casac) Roslia no viajar para Londres e no comprar uma casad) Roslia viajar para Londres e comprar uma casae) Roslia no viajar para Londres e comprar uma casa

SOLUO:

Sabemos que a negao de A B ~(A B) = ~A ~B

Portanto, as possveis negaes para Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa, so~(A B): No verdade que Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa

Ou ento~A ~B: Roslia no viajar para Londres e no comprar uma casa

06. Sabendo que Chover em Guaramiranga condio suficiente para fazer frio, podemos logicamente concluirque a nica afirmao falsa :a) Se chover em Guaramiranga ento far frio.b) Se no fizer frio em Guaramiranga porqu no choveu.c) choveu em Guaramiranga e no fez frio.

d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.SOLUO:

A proposio composta dada, equivalente aA B : Se chover em Guaramiranga ento faz frio

Portanto, sua negao ser~(A B) = A ~B

Ou ainda~(A B): No verdade que se chover em Guaramiranga ento faz frio

Que por sua vez equivale aA ~B: Choveu em Guaramiranga e no fez frio

07. Sabendo que Sempre que um parlamentar bom um bom poltico, ele honesto e Se um parlamentar honesto, ele um bom poltico. Ento, de acordo com essas afirmaes, podemos dizer que:

a) Os polticos so sempre honestosb) Toda pessoa honesta polticoc) Se e somente se um parlamentar for honesto, ser um bom poltico.d) Todo parlamentar bom poltico e honestoe) Se e somente se uma pessoa for honesta, ser um parlamentar.

SOLUO:

Observe a equivalncia a seguir(A B) (B A) = A B

A situao dada bi-condicional, logoSe somente se um parlamentar for honesto, ser um bom poltico

08. Dizer que: "Andr no artista ou Bernardo engenheiro" logicamente equivalente a dizer que:

a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro.b) Se Andr artista, ento Bernardo engenheiro.c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro.d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista.


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Raciocnio Lgico


e) Andr no artista e Bernardo engenheiro.

SOLUO:

Para resolver essa questo lembre-se que a negao do condicional~(A B) = (A ~B)

Logo, sabendo que ~P=Q implica em P=~Q, temos:

(A B) = ~(A ~B)Ou ainda,

A B = ~A v BNesse caso, a proposio dada

(~A v B): Andr no artista ou Bernardo engenheiro equivalente a

(A B): Se Andr artista, ento Bernardo engenheiro

VERIFICAO ATRAVS DA TABELA VERDADEDado

~A v B: "Andr no artista ou Bernardo engenheiro"

TABELA VERDADE~A B ~A v B

F V VF F F

V V VV F V

Observe, que apenas a premissa compostaA B: Se Andr artista, ento Bernardo engenheiro

tem os mesmos valores lgicos de ~A v B. Onde ~A a negao de A, logo eles tero valores lgicos contrrios.

TABELA VERDADE

A B A BV V V

V F FF V VF F V

EXERCCIOS

01. Sejam as proposies:(A): Kleyton engenheiro.(B): Kleyton comerciante.

Para representarmos em smbolos a expresso Kleyton no engenheiro, mas comerciante devemosescrever:a) ~Ab) ~ABc) ~A~Bd) ~ABe) ~(AB)

02. Observe as proposies:(A): Maurcio estuda lgica.(B): Maurcio estuda informtica.(C): Maurcio ir passar no concurso.Aponte o item que representa simbolicamente a expresso: Se e somente se Maurcio estudar lgica e

informtica, ir passar no concurso.a) A (B C)b) (A B) Cc) (A B) C


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Raciocnio Lgico


d) (A B) Ce) A (B C)

03. Sejam as propos

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