Apostila Matemática Básica_Autotronica

Apostila Matemática Básica para os cursos de Tecnologia

Este material contém noções básicas da matemática elementar necessárias ao conteúdo programático de matemática para o ensino superior dos cursos de Tecnologia.

2011

Prof. Dr. Eik Tenório FATEC TAUBATÉ

20/8/2011

Apostila Matemática Básica Prof. Dr. Eik Tenório

Matemática Básica FATEC TAUBATÉ

2

NÚMEROS REAIS 1. Conjuntos

Definição Símbolo Exemplo

Vazio =

Pertinência (pertence)

(não pertence)

2 A (2 pertence a A)

3 A (3 não pertence a A)

Inclusão

ou

Subconjunto

(contido)

(não contido)

B A (B está contido em A ou B é subconjunto de A)

C A (C não está contido em A ou C não é subconjunto de

A)

União

A B =

Intersecção

Diferença

2. Conjuntos numéricos

Conjunto dos números naturais

Conjunto dos números inteiros

* o asterisco indica que o zero não pertence ao

conjunto.

Conjunto dos números racionais

Formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não-nulo.

- Decimal finita: (número exato de algarismos)

75,04

3 5,0

2

1 75,6

4

27 275,0

40

11



3

- Decimal infinita periódica ou dízima periódica: (repetição infinita de algarismos após a vírgula)

33,0...33333,03

1

61,6...16666,6

6

37

33,2...3333333,2

3

7

Fração geratriz é a fração que dá origem à dízima.

Conjunto dos números racionais

Formado por todos os números que não podem ser escritos na forma de fração, são números que na forma

decimal não são periódicos, nem têm um número finito de casas.

0,123456...

...7320508,13

...4142135,12

Conjunto dos números reais

Formado pela união dos números racionais com os irracionais:

Representação geométrica de

A cada ponto de uma reta podemos associar um único número real, e a cada número real podemos associar um

único ponto na reta.

Diagrama de Venn

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5

׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀



4

Intervalos reais

São subconjuntos do conjunto dos números reais

a) Intervalo aberto de extremos 3 e 5.

b) Intervalo fechado de extremos 3 e 5.

c) Intervalo aberto a direita

d) Intervalo aberto á esquerda

e) Intervalos infinitos:

3. Operações com números reais

Adição e subtração de frações

Com denominadores iguais

10

3

10

36

10

342

10

3

10

4

10

2

Com denominadores diferentes

30

11

30

1526

30

15206

2

1

6

4

10

2

1º) Passo: Calcular o M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) dos denominadores

10,6,2 2

5,3,1 3

5,1,1 5

2º) Passo: Reescrever a fração sob o m.m.c. encontrado:

30

11

30

1526

30

15206

30

)1.15()4.5()2.3(

30

]1).230[(4).630[(]2).1030[(

Multiplicação de frações

35

3

70

6

2.5.7

1.2.3

2

1

5

2

7

32

2

(Observe que podemos dividir tanto o denominar quanto o numerador por 2)

O M.M.C. será a multiplicação dos números encontrados, logo,

M.M.C. (10, 6, 2)=2x3x5=30

3 5

3 5

3 5

3 5

3

3

3

3



5

Divisão de frações

5

3

20

12

4.5

6.2

4

6

5

2

6

4

5

24

4

4. Expressões numéricas

Prioridades das expressões

1º) Potenciação ou

radiciação

2º) Multiplicação ou divisão

3º) Adição ou subtração

1º) Parênteses

2º) Colchetes

3º) Chaves

Regra dos sinais

Multiplicação Divisão

(+1) (+1) = +1 (+1) (+1) =+1

(+1) (– 1) = – 1 (+1) (– 1) = –1

(– 1) (+1) = – 1 (– 1) (+1) = –1

(– 1) (– 1) = +1 (– 1) (– 1) =+1

Exemplo 1

18612

53026

Exemplo 2

000020189

0236366195

60602135366539

23060217536318539

Exemplo 3

483492

3492

34452

34952

3415352

3415352

341105352

5. Potenciação

a número real, m e n inteiros positivos

Base positiva + expoente par = potência positiva Base negativa + expoente par = potência positiva

93332

93332

Base positiva + expoente ímpar = potência

positiva

Base negativa + expoente impar = potência negativa

6444443

6444443

Exemplos:

22 . 2

3 =2

(2+3) = 2

5 12315

3

15

3

53

3

5

222

2

2

2

2

8

550

5

0

533

3

3

3

1

822223

n vezes



6

6. Radiciação

a e b números reais, n inteiro positivo

abba nn aa

n n nnn baba ..

mnn m aa . n

m

n m aa 0, b

b

a

b

an

n

n

Obs.: Quando o índice for o número 2 não precisamos escrevê-lo, ele fica subentendido 552

Exemplos:

749 22 12 22 122 32 22222228

5

1

5

1

5

15

3 3

3

3

3 3

4

2

222

22

222

22

222

22

2

22

2

22

4

2

222

2

222

2

6

2

32

12

3

3

7. Porcentagens ou taxas percentuais

Porcentagem é o resultado de uma razão cujo denominador é 100, ou seja, toda razão 100

a é uma porcentagem.

As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 (percentual)

ou na forma decimal.

Obs: (o símbolo “%” indica que o valor esta sendo dividido por 100)

30% =100

30 = 0,30 4% =100

4 = 0,04

1% = 100

1 = 0,01 115% =100

15 = 1,15

135% = 100

135 = 1,35 27,9 % = 100

9,27 = 0,279

Exemplo 1:

Quanto é 23% de $3.000,00?

23% de $3.000,00 = 00,690100

2300,30000

Exemplo 2:

Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de

lâmpadas é dada por: 100

26%26

50

13 , ou seja, se o lote contivesse 100 lâmpadas, 26 estariam com defeito.

O número %26100

26 é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas.

Exemplo 3:

Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?



7

o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = R$6,40

o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.

Poderíamos fazer simplesmente:

valor x (1+taxa )

32 x (1+0,2 ) = 32 x (1,2)= R$ 38,40

Se, por outro lado, numa liquidação, fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço original, o cálculo

seria:

valor x (1 - taxa)

32 x (1 - 0,2 ) = 32 x (0,8) = R$ 25,60

Exemplo 4:

Certa mercadoria que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Para calcular a taxa percentual de aumento

faça:

(taxa percentual do aumento)

Exemplo 5:

Certa mercadoria que custava R$ 30,00 passou a custar R$ 24,00. Para calcular a taxa percentual de desconto

faça:

(taxa percentual do aumento)

8. Resolução de problemas

1. Calcule as seguintes expressões numéricas:

a) 5

1

9

4

2

1

5

7

3

4

b) 1162

8

1

3

2

4

13224

c)

d)

e)

f)

g)

h)

97

3

3

7

15

3

2

1

i) 43 25

4

1 j) 22

2

5431

11

2

1

5

4

k)

17

181

5

4

4

3

5

2

2

3819

9

1

2

1

9

4

l)

5

2

8

17

10

1

11

43

2. Resolva:

a) 23. 8

5 b) 2

2. 3

2 c) 5 d) (-2)5 e)

5

53

8

)2(

f) 2

5

2

2 g)

2

32

2

22 h) 2 610 i) 3-2 j) 3

3

3

2

k) 22

32

82

22

l)

4

44

6

23 m) 2 632 n) ((-1)3)4

o) 3 64

p) 22 813 q) 2

2

81

3 r)

3

2

9

3 s) (-1)0 t) 5 2

u) 3 310 v) 27 w)

3

3

2

x)

3

2

1

y) (2

3)

2

Para aumentar Multiplique por

30% 1,3

16% 1,16

5% 1,05

Para descontar Multiplique por

30% 0,7

16% 0,84

5% 0,95



8

3. Calcule:

a) 25% de 650 b) 75% de 2000 c) 4% de 750

d) 10% de 29 + 4,2% de 17 e) 5,3% de 18,45 – 3,4 % de 2,7 f) 0,4% de 125 +1,6% de 234,25

4. Uma loja está com uma promoção de 15% de desconto em todos os seus produtos, qual será o valor que

pagaremos se comprarmos uma camisa manga longa ( R$ 57,00), uma calça social ( R$ 93,50) e duas saias

longa (R$ 47,00).

5. Os vendedores de uma determinada loja recebem 3,5% de comissão sobre o total de vendas, qual o valor

que receberam os seguintes vendedores

a) Adriana – Total de vendas R$ 33.500,00

b) Manoel – Total de vendas R$ 18.750,00

c) Paulo – Total de vendas R$ 47.935,00

6. O preço de um par de sapatos é R$ 48,00. Em uma liquidação, ele é vendido com 15% de desconto. Quanto

passará a custar?

7. Após um aumento de 16% no salário, um estagiário passou a receber R$ 556,80.

a) Qual era o seu salário antigo?

b) Quanto o estagiário passaria a receber, se o aumento fosse de 20%?

8. Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determinar a taxa de lucro sobre o

preço de compra e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

9. Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual e o novo preço de uma mercadoria

que era vendida por R$ 74,50?

10. Um funcionário recebe um salário base de R$ 850,00. Recebe também um adicional por tempo de serviço

de 5% sobre o salário base. Alem disso, esta respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8%

sobre o salário base. O empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária.

Quanto recebe esse funcionário?

11. Uma pessoa recebe R$ 1.500,00 de salário da empresa em que trabalha. Recebe também R$ 700,00 do

aluguel de um apartamento, alem de R$ 800,00 de uma aplicação em CDB. Qual e a participação percentual

de cada fonte em seu salário total?

9. Gabarito

1) a) 46,2;90

221 b) 73,88;

48

259.4 c) 92,6;

400.4

429.30 d) 38,0;125

48 e) 50,0;

2

1 f) 25,1;4

5

g)-414 h) 19,0;290.2

441 i)125,1875 j)0,7028 k) 79,1;417.69

600.124 l) 92,6;

400.4

429.30

2) a)262144 b)36 c)1,495 d)-32 e)1 f)8 g)8 h)1000 i)0,11 j)0,296 k)0,125 l)1 m)32,768 n)1 o)2

p)59,049 q)0,0013 r)0,111 s)1 t)1,072 u)10 v)0,142 w)0,296 x)8 y)64

3) a)162,50 b)1.500 c)30 d)3,614 e)0,88605 f)4,248

4) R$ 207,825

5) a)1.172,50 b)656,25 c)1.677,72 6) R$40,80 7) a)R$ 480,00 b)$576,00

8) Taxa de juros sobre o preço da compra = 60%, Taxa de lucro sobre o preço da venda = 37,5%

9) R$ 78,23 10) R$ 878,86 11) 50%, 23,33%, 26,67%



9

10. Bibliografia

SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:

Atlas, 1999.

SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.

IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.

DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

11. Valor numérico de expressões algébricas

Para x=-1. Calcule o valor da seguinte expressão

algébrica:

2

121

1121

:Re

12

3

3

y

y

y

solução

xxy

Para x=1. Calcule o valor da seguinte expressão

algébrica:

5

511

511

:Re

5

45

45

y

y

y

solução

xxy

12. Expressões Algébricas

São expressões matemáticas compostas por números, letras e operações algébricas.

Expressões algébricas Exemplos

Monômio

Binômio

Trinômio

Polinômio

13. Operações com expressões algébricas

Adição e subtração

46423452345 yxyxyxyxyx

43223452345 yxyxyxyxyx

Multiplicação e divisão

zyxzxyx 34232 632

z

yx

zxy

yx

216

8 3

2

34

Adição e Subtração de monômios

Atenção: Só é possível somar ou subtrair monômios

que possuem exatamente a mesma parte literal.



10

Produtos notáveis

2222

32232223

32232223

22222

22222

332

332

2

2

babbaabababa

babbaababababababa

babbaababababababa

bababbaababababa

bababbaababababa

Fatoração

É a expressão matemática escrita na forma de uma multiplicação.

10x yx23 23 yx 4312 xy

Simplificação

3313

3

3

3

33

3

93 2

xxxx

x

x

xx

x

xx

3

3

3

31

3

3

3

3

33

33

96

92

2

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

x


12. Calcule o valor de y para as expressões abaixo:

a) 3;3

92

x

x

xy

b) 1;11123

xxxy c) 1;

2

11

3

21

2

12

35

xxxy

d) 2;23

124 3

x

x

xxy e) 2;1

3

2

1

132

x

x

x

xy f) 1;

2

319

2

312

5

3

x

x

x

x

xy

g) 2

1;2

34

3

21

xx

xxy h) 4;1221

xxx

y i) 0;

1

3

x

x

xxy

13. Efetue:

a) cbaacb 23434 b) xyxxxy 35313 22

c) yxyx 1552010

d) 33 25412 xyxyxyxy e) ca 75 f) yxyx 3434

g) 33 xx h) 22 48 xx i) xyxyyxyx 2345 432

14. Desenvolva os produtos indicados:

a) 21x b) 252 x

c) 221 y d)

2

4

1

2

1

x

e)

2

22

x f) 253 yx g)

2

1

1

x

x h)

21

2

x

x

i) 32 x j) 342 yx k) xx 44 l) 1331 xx

m) 1515 22 yy n) cbacba o) 11 xx p) 21313 xx



11

15. Fatore:

a) xx 42 b) yx 42

c) 1293 yx d)

24 3xx

e) 45

45 xx f) xx 910 2 g) xzxy 217 h)

24 416 xy

i) 44 ba j)

21 x k) 12 x l) xx 42

16. Simplifique:

a) 3

6x b)

2

64 x c)

x

xx

3

93 2 d)

xy

yxxy 22 2416

e) 3

92

x

x f) 4

162

x

x g)

49

72

x

x

h)

9

32

2

x

x

15. Gabarito

12. a) y = 0 b) y = 13 c)6

1y d)

8

27y e) 62y f)

3

484y g)

5

4y

h)2

17y i) y = 0

13.a) 3a+b+c b)-2xy + 2x2 + 4 c) 5x + 5y d) 463 xyxy e) –35ac f) 16x2 – 9y2 g) x2+6x+9 h) 2

i) yxxy

2

32

2

5 32

14.a) 122 xx b) 25204 2 xx c)2441 yy d)

16

1

44

2

xx e)

222

2xx

f) 22 25309 yxyx g)

12

122

2

xx

xx h)2

2 11

4 x

x i)

326128 xxx

j) 3223 6496488 yxyyxx k) l) m)

n) 222 2 cbaba o) x – 1 p)25x2 – 9

15.a)6x b)2(x+2y) c)3(x=3y+4) d)x2(x2-3) e)

4

1

5

4 xx f)x(10x-9) g)7x(y+3z) h) )2)(2(4 22 xyxy

i)(a2+b2)(a + b)(a–b) j)(1 – x)(1+x) k)(x + 1)(x – 1) l)-2x

16.a)2x b)2x +3 c)x +3 d)16y-24x e)x+3 f)x-4 g)

7

1

x

h)3

3

x

x

16. Bibliografia SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:

Atlas, 1999.






12

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 17. Equações do 1º grau

Exemplos:

3

35

15

155

0155

x

x

x

x

4

46

24

246

91539

15399

5319

9

5

3

1

x

x

x

xx

xx

xx

xx

18. Inequações do 1º grau

Exemplos:

3

5

15

155

0155

x

x

x

x

6

2

12

122

0122

x

x

x

x

19. Exemplos de aplicações

a) Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultando em um total a ser pago de R$ 300,00. Qual o

valor da dívida original?

dívida original: x valor de acréscimo: 50% de x ou 0,5x dívida original somada ao valor de

acréscimo: x + 0,5x = 300

Resolvendo a equação:

x + 0,5x = 300

1,5 x = 300

2005,1

300x

b) Uma pessoa sai de casa com R$ 300,00 e pretende adquirir por R$160,00 uma passagem de ida e volta para

um balneário, acredita que gastará mais R$25,00 por dia com outras despesas no local. Quanto tempo ele

pode ficar hospedado nesse balneário, se reservar R$ 40,00 para uma emergência qualquer?

3 -6

Resposta: O valor da dívida original era de R$ 200,00



13

Número de dias que essa pessoa poderá ficar hospedado no balneário: x

Valor máximo que a pessoa possui: R$ 300,00

Passagem + despesas diárias: 160 + 25x Reserva: 40 Total: 160+ 25x + 40 = 200 + 25x

Portanto temos a seguinte inequação:


17. Resolver as seguintes equações:

a) 3x = 9 b) -2x = 18 c) 4x = -27 d) 5

2

4

3x

e) 8

7

5

3x f)

5

12,0 x g) 5,45,0 x h) 741321 xx

i) 222161124 xx j)

5

1

25

104

x k) 4

208

6

410

xx l) 610

9

15

4

xx

18. Resolver as seguintes inequações:

a) 205 x b) 10010 x c) 82 x d) 63 x

e) 164 x f) 4

3

2

1x g) 9,04,0 x h) 10

4

1

x

i) 3

14

5

2

xx

19. Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando um total de R$600,00.

Qual era o preço a vista do produto?

20. Duas pessoas têm juntado R$135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o dobro da

outra?

21. Um produto é anunciado em uma loja com pagamento em duas vezes sem juros, ou a vista com desconto de

20%. Se uma pessoa pagou a vista R$ 400,00 pelo produto, qual o valor das prestações para a compra a

prazo?

22. Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três

vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento, R$300,00.

Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20% da dívida original?

23. A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação q = 100-2p.

Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida é de no mínimo 40 unidades.

24. Uma pessoa economizou R$ 400,00 para pagar prestações de dois carnês em atraso. O primeiro carnê tem

prestações fixas de R$ 50,00 e o segundo tem prestações fixas de R$ 80,00. Qual o número máximo de

prestações que ele poderá pagar do segundo carnê, se for obrigado a quitar pelo menos duas prestações do

primeiro carnê?

25. No problema anterior, se o primeiro carnê tem apenas quatro prestações a pagar, qual o número mínimo e

máximo de prestações que ele pode pagar no segundo carnê?

Resposta: A pessoa poderá hospedar-se no balneário no máximo 4 dias.



14

21. Gabarito

1) a) x = 3 b) x = -9 c) 4

27x d)

15

8x e)

24

35x f) x = 1 g)x = -9 h) x = -7

i) x = 5 j) 10

1x k) x = 13 l) x = 3

2) a) 4x b) 10x c) 4x d) 2x e) 4x f)2

3x g)

4

9x h) 39x i)

23

1x

3) R$ 500,00

4) R$ 45,00 e R$ 90,00

5) R$ 250,00 cada um

6) R$1.000,00

7) 30p 8) Resp. 3

9) No mínimo duas e no máximo três prestações.

22. Bibliografia


Atlas, 1999.






15

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

23. Equações do 2º grau

A equação admite 2 raízes reais e

diferentes

A equação admite 2 raízes reais e

iguais

A equação não admite raízes

reais

Exemplos:

A equação não tem raízes

reais

24. Exemplo de aplicação

Dois números apresentam soma 20 e produto 91. Quais são esses números?

Solução:

Dois números: x e y soma: x + y = 20 produto: x . y = 91

x + y = 20 y = 20 – x

x . y = 91 x . (20 – x) = 91

x . (20 – x) = 91 -x2 + 20x – 91 = 0 ( equação do 2º grau)



16


26. Resolver as seguintes equações:

a) 0652 xx b) 01072 xx c) 01522 xx d) 021102 xx

e) 0442 xx f) 0144 2 xx g) 02

5

2

112 xx h) 12 xx

i) 1053 2 xx j) xx 2

k) 162 x

l) 015 2 x

m) 1644

1 2 xx n) 02 x o) 03 2 x

p) 52 x

q) 93 2 x r) 8342 xxx s) 6232 xxx t)

5

3

12

xx

27. Determinar dois números positivos com soma 14 e produto 33.

28. Determinar as dimensões de um retângulo com área de 80m2 , sabendo-se que um lado tem 2 m a mais que

o outro.

29. A razão entre dois números é 4 e seu produto é 36. Quais são esses números?

26. Gabarito

1. a)

b)

c)

d)

e) f)

g)

h) Não possui

solução

real

i) Não possui

solução

real

j)

k)

l) Não possui

solução

real

m) n)

o) p)

q)

r)

s) t)

2. 11 e 3

3. 8m e 10m

4. 3 e 12 ou -3 e -12

27. Bibliografia


Atlas, 1999.




REYNOLDS, H., Matemática Aplicada – Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas. 7ª Edição.

São Paulo: McGrowHill, 2006

Resposta: os números são 7 e 13



17

FUNÇÃO DO 1º GRAU

28. Definição e exemplos (Revisão)

Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma lei de formação f (ou regra), onde cada

elemento de “A” está relacionado com apenas um elemento de B. Função f: A B

Diagrama de flechas

Diagrama cartesiano

Exemplos:

1. Dado os conjuntos A = {1; 2; 3;4} e B = {0;2;4;6;8;10 }, onde a relação de f: A → B é definida pela função f(x) = 2x,

com . (que também pode ser representada por y=2x)

Par ordenado (x,y) Domínio: D(f) = {1; 2; 3;4}

Contradomínio: C(f) = {0;2;4;6;8;10 }

Imagem: Im(f) = {2;4;6;8}

(1,2)

(2,4)

(3,6)

(4,8)

O conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o de

chegada

Domínio é o conjunto de partida (A)

Contradomínio é o conjunto de chegada (B)

Conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, composto

pelos elementos que possuem uma relação com os elementos de A.

y

x

A B

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

A B

origem

Produto cartesiano (A x B)

Se tiver dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de produto

cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de

modo que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B.

A x B = {(x;y)│x A e y B}

O produto cartesiano pode ser representado por diagrama de

flechas ou por diagrama cartesiano

1 2 3 4 5 6 x

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

P = (x,y)

x ( eixo das abscissas ou eixo horizontal)

y ( eixo das ordenadas ou eixo vertical)

x

y



18

2. Dado os conjuntos A = {0;1; 2; 3;4;5} e B = {1;3;5;7;9;11}, onde a relação de f: A → B é definida pela função

f(x) = 2x+1, com . ( que também pode ser representada por y=2x+1)

Par ordenado (x,y)

Domínio: D(f) = {0;1; 2; 3;4;5}

Contradomínio: C(f) = {1;3;5;7;9;11}

Imagem: Im(f) = {1;3;5;7;9;11}

(0,1)

(1,3)

(2,5)

(3,7)

(4,9)

(5,11)

3. Dado os conjuntos A = {1; 4; 7} e B = {1;4;6;7;9;12}, onde a relação de f: A → B é definida pela função f(x) = x+5,

com . (que também pode ser representada por y = x+5)

Par ordenado (x,y) Domínio: D(f) = {1;4;7}

Contradomínio: C(f) = {1;4;6;7;9;12}

Imagem: Im(f) = {6;9;12}\

(1,6)

(4,9)

(5,12)

1

3

5

7

9

11

0

1

2

3

4

5

A B

1

4

6

7

9

12

1

4

7

A B

1 2 3 4 5 6 0 x

y

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 0 x

y

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1



19

29. Função do 1º grau (função linear ou afim) Denomina-se função do 1

o grau toda função definida pela regra

. O gráfico da função do 1º grau é uma reta.

Exemplo 1: Função crescente ( a > 0) – quando maior o valor de x maior será o valor de y

1

o passo: calcular o valor de y para x=0

p

2 o

passo: calcular o valor de x para y=0 (Raiz ou Zero da função)

3

o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles

x y

0 6

-3 0

Exemplo 2: Função decrescente ( a < 0) - quando maior o valor de x menor será o valor de y

1


2 o

passo: calcular o valor de x para y=0 (Raiz ou Zero da função)

3


x y

0 6

3 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

Atenção!!! - O gráfico da função intercepta o eixo

horizontal no -3 e o eixo vertical no 6

- A função é crescente pois a=2>0

Atenção!!! - O gráfico da função intercepta o eixo

horizontal no número 3 e o eixo vertical no número 6.

- A função é decrescente, pois a= -2 < 0



20

Exemplo 3: Função constante (a = 0) – para qualquer valor de x o valor de y será sempre o mesmo

1


2 o

passo: calcular o valor de y para x=1

3


x y

0 6

1 6

Exemplo 3: Função especial (b = 0) – o gráfico sempre passa pela origem (0,0)

1


2 o

passo: calcular o valor de y para x=1

3


x y

0 0

1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

Atenção!!! - O gráfico da função não intercepta o

eixo horizontal e o eixo vertical no número 6.

- A função é constante, pois a=0

Atenção!!! - O gráfico da função intercepta tanto o

eixo horizontal e o eixo vertical no 0, ou seja, passa pela origem (0,0)



21


30. Representar graficamente as funções, determinar se a função é crescente, decrescente ou constante:

a) 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,,42 xparaxy

b) 0,,3 xparaxy

c) 3,,5 xparay

d) 0,,210 xparaxy

e) Rxxy ,32

f) Rxxy ,32

5

31. Determinar o ponto de intersecção das retas e representar num mesmo sistema de coordenadas:

a)

1

52

xy

xy

b)

xy

xy

3

52

c)

12

13

xy

xy

d)

15

1

43

1

xy

xy

31. Bibliografia


Atlas, 1999.



DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo:Ática, 2006.

http://www.somatematica.com.br/

http://www.exatas.mat.br/

http://www.ficharionline.com/

http://mundoeducacao.uol.com.br/

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php

http://www.exatas.mat.br/funcao1.htm



22

FUNÇÃO DO 2º GRAU

32. Função do 2º grau (ou quadrática) Denomina-se função do 2

o grau toda função definida pela regra

.

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Gráfico da função quadrática

1 o passo: análise do coeficiente a Se a >0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Se a <0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

2 o passo: Calcular os zeros ou raízes da função

A função admite 2 raízes reais e

diferentes

A parábola intercepta o eixo horizontal

(eixo x) em dois pontos diferentes (x’ e

x”)

A função admite 2 raízes reais e

iguais

A parábola intercepta o eixo horizontal

(eixo x) em um único ponto (x’= x”)

A função não admite raízes reais

A parábola NUNCA intercepta o eixo

horizontal (eixo x)



23

3 o passo: Calcular o vértice da parábola

aa

bV

ay

a

bx

v

v

4,

2

4

2

4 o passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo vertical (eixo y), para isso calcule o valor de y para x=0:

Exemplo 1: Construir o gráfico da função 542 xxy

1 o passo: análise do coeficiente a

Como , o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.


A função admite 2 raízes reais e diferentes

A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) em

dois pontos diferentes (-1 e 5)


aa

bV

ay

a

bx

v

v

4,

2

4

2 9,2

94

36

1.4

36

22

4

1.2

)4(

V

y

x

v

v




24

5 o passo: Colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:

Exemplo 2: Construir o gráfico da função 962 xxy

1 o passo: análise do coeficiente a

Como , o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.


A função admite 2 raízes reais e iguais

A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) no ponto 3.

A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) no

ponto 3.



25


aa

bV

ay

a

bx

v

v

4,

2

4

2 0,3

04

0

)1.(4

0

32

6

)1.(2

6

V

y

x

v

v


5 o passo: Colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:

33. Resolução de problemas Construa a representação gráfica das seguintes funções quadráticas:

a) b)

c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)



26

34. Bibliografia


Atlas, 1999.




http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php

http://www.exatas.mat.br/funcao1.htm

http://www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5806

http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/definicao-funcao.htm

http://milanesa.ime.usp.br/igraf

35. Sugestões

Para os alunos que necessitam de um software didático para visualizar os gráficos sugeridos como

exercícios de fixação recomenda-se o software Graph que pode ser baixado gratuitamente no site

http://www.padowan.dk/graph/Download.php.

O material aqui exposto tem unicamente a função de oferecer elementos básicos da matemática

elementar para dar suporte às aulas ministradas, não dispensando o aluno totalmente de buscar a leitura

complementar nos livros sugeridos pela bibliografia proposta pelo professor em sala de aula.

http://milanesa.ime.usp.br/igraf

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Apostila Matemática Básica_Autotronica