Apostila Geral Mais Exercicios

Curso de Matemática - Aritmética

Prof. Robson Sarti Tel: (67) 8115-3421 ou 9231-9343www.sou.inspiracao.biz/sarti

1

REGRA DE SINAIS:

* Soma – Sinais iguais soma-se e repete o sinal, sinais dife-rentes subtrai-se e dá o sinal do maior.Exemplo: +3 +2 = +5; -3 –2 = - 5; +3 –2 = +1; -3 +2 = -1

* Números simétricos ou opostos: São númerosiguais com sinais diferentes, ou seja, sua soma é igual a zero.

Exemplo: +3 –3 = 0, pois +3 é simétrico de –3.

* Números inversos:

Exemplo: O inverso de 2 é2

1 ; o inverso de

5

3 é

3

5

Exercícios:

1) Calcule as seguintes somas:

a) + 1 – 2 + 3 – 2 =b) – 1 + 2 – 3 – 1 =c) – 3 + 1 – 5 + 2 + 1 – 2 + 1 =d) + 2 – 2 + 5 – 3 + 1 – 1 – 1 =

2) Qual é o oposto do resultado da soma - 3 + 5?

3) Qual é o simétrico da soma + 2 – 5?

4) Qual é o oposto do simétrico de -5

3 ?

* Multiplicação e divisão:

Quando tratamos de multiplicação e/ou divisão entre doisnúmeros usamos a seguinte regra:

Sinais iguais será positivo.Sinais diferentes será sempre negativo.

Obs: Para descobrirmos com maior rapidez o sinal do resulta-do final basta contarmos os sinais de menos, se for par oresultado será positivo e se for ímpar o resultado será negati-vo.

Exemplo: ( - 3 ) ( + 1 ) ( - 2 ) = + 6, pois existem 2 (dois)sinais de menos.

( -1 ) ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( -1 ) = - 6, pois existem 5(cinco) sinais de menos.

IMPORTANTE: Quando vier multiplicação e divisão em umamesma operação faremos o que vier primeiro, ou seja, naordem da expressão.

Exemplo: ( + 3 ) ( - 4 ) ÷ ( - 2 ) = ( - 12 ) ÷ ( - 2 ) = + 6.

Obs: Quando houver um sinal de menos na frente de parênte-ses, colchetes ou chaves, todos os sinais irão mudar.

Exemplo: - (-2 +3 –1) = +2 –3 +1.

Exercícios:

4) Calcule as seguintes operações:

a) ( -1 ) ( -2 ) ( -1 ) ( + 1 ) ( + 1 ) =b) ( +5 ) ( - 1 ) ( - 6 ) ÷ ( - 3 ) ( - 1 ) =c) ( - 1 ) ( - 1 ) ( -1 ) ( -1 ) ( -2 ) ( -2 ) =

d))1)(2(

)1)(2)(5(

=

e)4

)2)(2)(1)(1)(2(

=

Obs: Quando houver soma e multiplicação ou divisão, faremosprimeiro a multiplicação ou a divisão e depois faremos a soma.

5) Resolva as seguintes expressões:

a) ( -2 ) (-3) – ( +2) ( -1) =

b) (-5 ) (-1) – (-2 ) ( -3 ) =

c) { -3 + [ -1-2 – ( +2 –1 ) +2 ] –1 } =

d) ( -1 ) ( -2 ) ( -1 ) ( +3 ) ( -2 ) ( -1 ) ( +1 ) =

e) ( -2 ) ( -4 ) ÷ ( -2 ) ( -4 ) =

f) ( -2 ) ( - 12 ) ÷ ( -4 ) ( +3 ) =

g) ( -2 ) ( -5 ) ( -6 ) ÷ ( +12 ) =

h) ( -1 ) ( -3 ) ( +4 ) ( -1 ) ( -2 ) ( -1 ) =

i) ( -2 ) ( -3 ) ( -2 ) ( -1 ) ( +2 ) ( -1 ) =

j) ( -1 ) ( +2 ) ( -1 ) ( +3 ) ( -1 ) =

l) ( +5 ) ( +2 ) ( -4 ) ( +3 ) ( -1 ) =

m) ( -1 ) ( +2 ) ( -6 ) ÷ ( +2 ) ( +1 ) =

n) ( -1 ) ( -7 ) ( -2 ) ( +3 ) ( +5 ) =

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2


a) ( - 3 + 2 ) – ( - 2 + 4 ) =

b) [ - 1 + 2 – ( + 2 – 1) + 1 ] =

c) { - 1 + 2 – [ -1 + 3 – ( - 1 + 2 ) – 1 ] – 2 } =

d) 2 – { -3 + 1 – [ - 3 + 1 + ( - 2 + 1 ) – 2 ] – 1 } =

e) ( - 3 + 4 ) – ( - 2 + 1 – 6 ) ( - 2 + 3 ) – ( - 2 + 1) =

f) 2 + { - 3 + [ - 2 + 1 + 4 + ( - 2 + 1 + 3 ) ( - 2 + 1 - 2) ] – 1 } =

NÚMEROS ROMANOS:

I – 1 XI – 11 CCC - 300II - 2 XII – 12 CD - 400III - 3 XV – 15 D - 500IV – 4 XX – 20 CM - 900V - 5 XXX – 30 M - 1000VI - 6 XL – 40 MM - 2000VII – 7 L – 50 MMM - 3000VIII- 8 XC – 90 MV - 4000IX - 9 C – 100 X - 10000X - 10 CC- 200

Exercícios:

7) Escreva os seguintes números em algarismos romanos:

a) 2654 -b) 1422 –c) 546 –d) 213 -e) 743 -f) 1565 -g) 254 -h) 111 –i) 986 -

8) Escreva os seguintes números em algarismos indo arábicos:

a) XXIV -b) MMMDCCXLIV –c) MMLIV –d) MMDCCXCVII -e) MMDCC -

f) DCXXXIII -g) V MMMDCCIX –h) XXXIX –i) DCCCXXXIII -


a) XXXII + CXCVIII =

b) DCCXXXiV – CCCLXXV =

c) MMDCCCLXXXVIII + DCCCIX =

d) CMLVIII + DCCCIV =

e) XXXII - CXCVIII =

f) DCCXXXIV + CCCLXXV =

g) MMDCCCLXXXVIII - DCCCIX =

h) CMLVIII + DCCCIV =

10) Dê o resultado em números romanos:

a) MMCCIV + XXXVIII - CCCXCVI =

b) XXIII + XXIV – XLV =

c) DCCXLIV – CCCXCVII + LXXVIII =

d) DCCCXLIX – CLXXXVIII – XXIII =




3

FRAÇÕES

Termos de uma fração do tipob

a ( lê-se a está para b ou a

dividido por b )

a > damos o nome de numerador. b > damos o nome de denominador.

Na operação de soma ou de subtração, se o denominadorfor igual, bastará somar os numeradores e repetir os denomi-nadores.

Ex:3

2 +3

4 =3

6 = 2 ;

5

1 +5

3 =5

31 =5

4 ;

-2

1 +2

3 =2

31 =2

2 = 1.

Tipos de Frações

FRAÇÃO PRÓPRIA: É aquela que o numerador é menorque o denominador.

FRAÇÃO IMPRÓPRIA: É aquela que o numerador émaior ou igual ao denominador.

Ex:3

2 Fração própria;

3

5 Fração imprópria;

5

5 Fração imprópria.

MACETE

No exemplo acima existem duas situações que não sãocomuns (Próprias): Cabeça maior ou do mesmo tamanho docorpo (Impróprio)

FRAÇÃO INDETERMINADA: Do tipob

a, sendo a e b =

0, ou seja, quando os seus termos forem iguais a 0 (zero).

Ex:0

0.

FRAÇÃO IMPOSSÍVEL: Do tipob

a, sendo a 0 e b = 0,

ou seja, quando somente o denominador for zero (0).

Ex:0

2 ;0

1 .

FRAÇÃO MISTA: Quando existe uma parte inteira e umafracionária.

Ex: 23

1 ; 1

5

2.

Nas operações de soma e subtração de frações, se osdenominadores forem diferentes teremos que tirar o M.M.C.para igualá-los e podermos realizar a operação.

Ex:3

1 +5

2 =15

65 =15

11

OBS: Para tornarmos uma fração mista em uma fração impró-pria basta multiplicar o denominador com a parte inteira, somarcom o numerador e repetir o denominador.

Ex: 25

1 =

5

125 x =5

11

FRAÇÃO NULA: Quando o numerador for igual a zero e odenominador diferente de zero.

Exercícios:

11 ) Resolva as seguintes operações:

a)5

1 +7

6 = b)9

5 +27

12 =

c)7

2 +7

3 = d) -3

10 +3

5 =

e)7

8-

7

9 = f)

3

1 +

3

2 =




4

Obs: Para sabermos se uma fração é maior ou menor que aoutra devemos observar o seguinte:

1º) Se os denominadores forem iguais: A fração maior será aque tiver o numerador maior.

2º) Se os denominadores forem diferentes: Deveremos fazer adivisão até que, por comparação, possamos determinar afração maior.

12) Coloque < ou > :

a)3

2........

2

1 d)

15

8........

13

7 g)

7

9........

9

10

b)6

1........

5

3 e)

5

1.......

7

2 h) -

3

5..... -

5

3

c)7

2.......

7

5 f)

5

6.......

6

5 i) -

81

10......-

77

8

13) Coloque “P” nas frações próprias, “I” nas impróprias e “M”nas mistas.

a) ( )5

1 c) ( )

7

7 e) ( ) 2

5

1 g) ( )

8

1

b) ( )7

2 d) ( ) 1

5

1 f) ( )

3

2 h) ( )

5

2

14) Transforme as frações mistas em frações impróprias:

a) 13

2 = c) 2

5

3 = e) 2

8

3 =

b) 36

5 = d) 1

7

6 = f) 1

7

2 =

DÍZIMAS PERIÓDICAS:

Geratriz de uma dízima periódica simples: Parteinteira seguida do período menos a parte inteira sobre tantosnoves quantos forem os algarismos do período.

Exemplo: 0,333... =9

003 =

9

3 =

3

1.

Período

Parte inteira

Geratriz de uma dízima periódica composta: Parteinteira seguida da parte fixa seguida do período menos a parteinteira seguida da parte fixa, sobre tantos noves quantos foremos algarismos do período e tantos zeros quantos forem osalgarismos da parte fixa.

Exemplo: 0,1333... =90

01013 =

90

12 =

15

2

Período Parte fixa Parte inteira

Exercícios:

15) Ache as geratrizes das seguintes dízimas periódicas:

a) 0,222... e) 1,0101...

b) 0,1222... f) 2,012012...

c) 1,2333... g) 0,12333...

d) 2,01222... h) 0,21345345...

NÚMEROS DECIMAISExemplo: 2,01 – Escreve-se o número inteiro, sem a vírgula ecoloca esse número sobre um múltiplo de dez, de acordo como número de casas que vem depois da vírgula (casas deci-mais).

100

201 .

1,2 =10

12 3,001 =1000

3001

12,5342 =10000

125342




5

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS:

Soma: Coloca-se vírgula em baixo de vírgula.Exemplo: 2,002 + 12,76 =

2,002

+ 12,76 ou1000

14762

14,762

Multiplicação: Multiplicamos normalmente e após ter o resulta-do, colocar o total de casas que multipliquei.

1,2 x 3,05 = 3,660 ou seja, 1 casa no primeiro número e duascasas no segundo número, dando um total de três casas naresposta.

Divisão: Para poder dividir números decimais deveremos ter omesmo número de casas tanto no dividendo quanto no divisor.Atendendo isso, então poderemos fazer a divisão sem sepreocupar com as casas decimais (vírgula).

20,4 ÷ 0,04 = Igualamos as casas, já que o número de casasdos dois termos são diferentes, ficando:2,040 ÷ 0,04 , então dividiremos sem se preocupar com avírgula. Resposta: 2040 ÷ 4 = 510.

Exercícios:

16) Calcule as diferenças:

a) – 1 – ( -0,45 )

b) 3 – ( - 1,8 )

c) – 2,25 – ( - 0,96 )

d) 1,25 – ( - 0,75 )

e) – 2,45 – 1,87

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESSoma: Para fazermos a soma de frações veremos a seguinteregra:

1º) Se os denominadores forem iguais, repetiremos o denomi-nador e faremos a operação com os numeradores.

Exemplo:5

3 +5

4 =5

7

7

4 -7

3 =7

1

2º) Se os denominadores forem diferentes, tiraremos o MMCdos denominadores, o resultado será o denominador da res-posta. Dividiremos o MMC pelos denominadores antigos, oresultado dessa divisão deveria ser multiplicado pelos numera-dores de suas respectivas frações e faremos a operação comos denominadores.

Exemplo:5

4 -15

2 =15

112 =15

11

3 1

MMC: 5 – 15 3 5 - 5 5

1 - 1 15

Multiplicação: Para fazermos a multiplicação de fraçõesveremos a seguinte regra:

1º) Multiplicaremos o numerador pelo(s) numeradores e odenominador pelo(s) denominadores:

Exemplo:5

4 x8

15 =40

60

10

10

=

4

6

2

2

=

2

3

2º) Podemos simplificar antes mesmo de fazermos a multipli-cação como no primeiro exemplo.

Como as frações estão sendo multiplicadas, podemossimplificar o numerador se uma fração com o denominador damesma ou de outra fração.

Exemplo:5

4 x8

15 (Simplificaremos o 4 com o 8 dividindo

ambos por 2)

5

1 x2

15 (Agora simplificaremos o 15 com o 5 dividindo ambos

por 5)

1

1 x2

3 =2

3

Divisão:

A divisão é muito simples, é simplesmente multiplicarmosfrações. Mas como?




6

Quando aparecer um sinal de divisão, substituiremos este porum de multiplicação e inverteremos a fração que vem apóseste sinal.

Exemplo:25

12 ÷15

8

Repete-se a primeira fração, troca-se o sinal de divisão pelode multiplicação e inverte-se a segunda fração.

25

12 x8

15 , após isso faremos como na multiplicação.

17) Simplifique as expressões numéricas:

a)

6

1

9

4

4

1 =

b)

6

1

9

4

4

1 =

c)

2

1

3

24

d)12

514

6

501

3

12

4

31

2

1

e)

4

3

2

1 =

f) 4

7

2 =

g)

4

3

3

1

2

3 =

h)

2

1

3

2

4

3

5

4

6

5

7

6 =

18) Sabendo que a =9

5 , b =

5

4 e c =

8

3 , calcule o

valor de cada expressão algébrica.

a) ab b) a( bc ) c) a ( b + c )

d) ( a – b ) c e) a – b. c

19) Simplifique as expressões numéricas:

a)

3

2

6

5 -

9

4 =

b)

4

1

4

1 - 2

4

1

4

3 +

4

3

4

3

c) – 0,8 -

5

2

2

7 =

d) 25,0

1

2

1

2

1 =

e)5

2 + 0,121212... -9

4 =

f)

2

11

21

21

2

5

2

=

g)

3

11

11

1

2

1

=

h)

3

11

21

1

2

1

=




7

MMC (Mínimo Múltiplo Comum)É o produto dos fatores comuns e não comuns de maior

expoente.

Exemplo: Achar o MMC entre A e B sabendo que A =a5b3c2 e B = ac4d

Como o MMC é produto dos fatores comuns de maior ex-poente e não comuns, vejamos:

MMC (A,B) = a5b3c4d

Achar o MMC entre 600 e 180

600300150

7525

51

222355

180904515

51

22335

23 x 3 x 52 22 x 32 x 5MMC (600, 180) = 23 x 32 x 52 = 1800

Também podemos determinar o MMC da seguinte forma:

600 – 180300 - 90150 - 45

75 - 4525 - 1525 - 5

5 - 11 - 1

2223355

MMC (600, 180) = 23 x 32 x 52 = 1800

MDC (Máximo Divisor Comum)É o produto dos fatores comuns de maior expoente.

Exemplo: Achar o MDC entre A e B sabendo que A =a5b3c2 e B = ac4d

Como o MDC é produto dos fatores comuns de menor ex-poente, vejamos:

MDC (A,B) = ac2

Achar o MDC entre 600 e 180

600300150

7525

51

222355

180904515

51

22335

23 x 3 x 52 22 x 32 x 5

MDC (600, 180) = 22 x 3 x 5 = 60

Também podemos determinar o MDC da seguinte forma:

Através do algoritmo de Euclides ou método das divisõessucessivas:

3 3600 180 6060 0

O último número dividido será o MDC.

* O produto entre o MDC e o MMC de dois núme-ros é igual ao produto desses dois números.

MMC (A,B) x MDC (A,B) = A x B

Exercícios:

Calcule o MDC entre:

20) 30, 45

21) 45, 72

22) 30, 80

23) 30, 72

24) 30, 45, 72

25) 6, 12, 15

26) 24, 32, 64

27) 100, 120, 180

28) Considere os números a = 23 x 32 x 5 e b = 24 x 3 x 53 x 7.Calcule o máximo divisor comum de a e b.




8

29) 2a x 3b é o máximo divisor comum de 22 x 33 e 23 x 3 x 5.Quais os valores de a e b?

30) Sabendo que:A = 23 x 32 x 5B = 22 x 32 x 52

C = 23 x 32

Calcule o MDC e o MMC, respectivamente, entre A, B e C.

31) Usando o método das divisões sucessivas entre dois nú-meros encontram-se os quocientes 2, 1, 2, 1 e 2 respectiva-mente, sabendo que o MDC é 8, determine o maior número:

32) Qual é o valor de A + B, sabendo que eles estão dispostosno algoritmo de Euclides:

1 1 1 2A B 6

0

33) Qual é o valor de A - B, sabendo que eles estão dispostosno algoritmo de Euclides:

1 1 1A B

24 6 0

34) Calculando-se o m.d.c. de dois números pelo processo dasdivisões sucessivas, encontram-se os quocientes 1, 1, 1 e 2.Calcule os dois números sabendo que seu m.d.c. é 15.

Sabendo-se que:A = 23 x 32 x 53 x 7B = 24 x 3 x 52

C = 22 x 54 x 72

Determine:

35) O número de divisores do m.d.c entre A e B.

36) O número de divisores do m.d.c entre A e C.

37) O número de divisores do m.d.c entre B e C.

38) O número de divisores do m.d.c entre A, B e C.

39) O número de divisores do m.m.c entre A e B.

40) O número de divisores do m.m.c entre A, B e C.

41) Sabendo-se que: m.d.c (a,15) = 3 e m.m.c (a,15) = 90.Determine o valor de 3a.

42) Sabe-se que: m.m.c (x,48) = 336 e m.d.c (x,48) = 4. De-termine o valor de x.

43) Sabendo-se que: m.d.c (90,N) = 30 e m.m.c (90,N) = 900.Determine a quantidade de divisores de N.

44) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circu-lar. O primeiro dá cada volta em 4 minutos; o segundo em 5minutos e o terceiro em 6 minutos. No fim de quanto tempovoltarão os três automóveis a se encontrar no início da pista,se eles partiram juntos?

45) Dona Antônia tem um enfeite “pisca-pisca” para árvores deNatal que têm lâmpadas amarelas, vermelhas e azuis. Aslâmpadas amarelas acendem de 4 em 4 minutos; as verme-lhas, de 3 em 3 minutos e as azuis, de 6 em 6 minutos. Se às20 horas e 15 minutos acenderem todas as lâmpadas, a quehoras elas voltarão a acender novamente ao mesmo tempo?

MÚLTIPLOS E DIVISORESDeterminar o número de divisores de 180

180904515

51

22335

1243,6,129,18,365,10,20,15,30,60,45,90,180

Para determinar a quantidade de divisores de um númerobasta decompormos o número em fatores primos e multipli-carmos a potência de cada base somada um pelas demaissomadas com um.

Exemplo: 180 é:22 x 32 x 5Somamos um a cada potência e multiplicamos as mesmas.

(2+1) (2+1) (1+1) = 3 x 3 x 2 = 18 divisores como demonstra-mos acima.




9

Exemplo 2:

Determine o valor de n sabendo que o o número A = 23 x 3n x 5tem 32 divisores.

(3+1) (n+1) (1+1) = 32

4 x 2 x (n+1) = 32

n + 1 =8

32

n = 4 – 1

n = 3

Exercícios:Determine o número de divisores de:

46) 300

47) 315

48) 144

49) 1960

Determine o valor de X, para que o número:

50) 23 x 32 x 5x+1 x 7 tenha 144 divisores

51) 25 x 3x x 5 tenha 36 divisores

52) 22 x 3x x 53 x 74 tenha 240 divisores

53) 23 x 3x-1 x 54 tenha 120 divisores

54) 2 x 33 x 5x x 7 tenha 128 divisores

55) 32x+3 x 52 x 72 tenha 72 divisores

56) 2x x 33 x 55 x 72 tenha 288 divisores

57) 2 x 3 x 55 x 77 tenha 192 divisores

58) Sabe-se que A = 22 x 35 x 58 x 74, B = 23 x 38 x 53 eC = 25 x 54 x 77 e que N = 22 x 3x x 5y Determine o valor de X +y, para que N seja o MDC entre A, B e C.

NÚMEROS BINÁRIOS Todo número está na base 10. Quando o número estiver na base 10 não será necessárioindicar. Ex: 2; 5; 8; 153; etc...

Mudança de base

Vamos passar o número 53 da base 10 para a base 2. O que devo fazer? Primeiro vamos dividir o 53 por 2, o resultado da divisãoserá dividido novamente por 2, se o resultado ainda for maiorque dois (2) vamos dividi-lo até acharmos um resultado menorque dois (2)

53 21 26 2

0 13 21 6 2

0 3 21 1

Escreveremos o número na ordem da seta, ou seja, o últimoquociente seguido de todos os restos. ( 110101 ) 2 lê-se 110101 na base 2.

Faremos o mesmo processo com mudanças para outras ba-ses.Exemplo: Passar o número 53 para a base 5.

53 53 10 5

0 2

( 203 ) 5 lê-se 203 na base 5.

Para fazermos o contrário, ou seja, passar um número dequalquer base para a base 10 é só multiplicarmos a base peloprimeiro número e somarmos o resultado com o segundo,então multiplicaremos a base pelo resultado e somaremos como terceiro, isso até acabar os números, então o resultado seráo número na base 10.

Ex: Passar o número 10101 2 para a base 10. ( 2 x 1 + 0 ) = 2 Dois vezes o primeiro mais o segundo.

( 2 x 2 + 1 ) = 5 Dois vezes o resultado mais o terceiro.

( 2 x 5 + 0 ) = 10 Dois vezes o resultado mais o quarto.

( 2 x 10 + 1 ) = 21 Dois vezes o resultado mais o último.

Então 10101 2 será 21 na base 10.

Ex:




10

Exercícios:

Passar o número 72 para:

58) base 2. 61) base 6

59) base 3. 62) base 8

60) base 5.

Passar os seguintes números para a base 10.

63) 1010 2 = 66) 12012 3 =

64) 120 3 = 67) 1322 4 =

65) 41 6 =

68) Passar o número 175 8 para a base 3.

69) Passar o número 1102 5 para a base 3.

70) Achar o resultado, na base 2, da divisão de 11202 3 por200 4 .

71) Achar o resultado, na base 5, do produto entre 1010 3 e120 3.

Determine o valor dos seguintes números na base 10:

72) 101010102

73) 102213

74) 1345

75) 201024

POTENCIAÇÃOElevar um número a uma certa potência é multiplicá-lo por elemesmo o número de vezes que este estiver elevado.

Exemplos: 22 = 2 x 2 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 a3 = a x a x a

PROPRIEDADES:

Multiplicação de potência de mesma base: Repete abase e soma-se os expoentes.

Exemplos: 23 x 25 = 2 3 + 5 = 28

a5 x a6 = a 5 + 6 = a11

Divisão de potências de mesma base : Repete a base esubtrai-se os expoentes. Exemplos: 27 ÷ 24 = 2 7 – 4 = 23

a5 ÷ a3 = a 5 – 3 = a2

Todo número elevado a zero (0), com exceção do ze-ro(0) , é igual a um (1).

Diante dessa afirmação você já deve Ter se perguntado:Por que todo número elevado a zero é igual a 1 (um)? A resposta para essa pergunta é simples: Sabemos que:34 ÷ 34 = 1 246 ÷ 246 = 1, ou seja, todo número divididopor ele mesmo é sempre igual a 1.

Se aplicarmos a propriedade de divisão de potências demesma base;

223 ÷ 223 = 1 (um número dividido por ele mesmo), ao mesmotempo podemos aplicar a propriedade de divisão de potênciasde mesma base, ou seja, repete-se a base e subtrai-se o ex-poente.

223 ÷ 223 = 20

Exemplos: 2340 = 1; 12321230 = 1

Todo número elevado a um(1), com exceção do zero(0),é igual a ele mesmo.

Exemplos: 651 = 65; 451 = 45.

Todo número negativo elevado a uma potência par serápositivo.

Exemplos: ( - 3 )2 = + 9; ( - 2 )5 = - 32; ( - 2 )4 =+ 16

OBS: Quando um número negativo está elevado a umapotência par e este não está entre parênteses, o sinal perma-nece negativo.

Exemplo: - 22 = - 4Todo número elevado a uma potência negativa é igual ao

inverso desse número elevado a mesma potência positiva.

Exemplo: 2-3 =3

2

1

;

2

2

3

=

2

3

2

Potência de potência.

Exemplo: (22)3 = 2 2x3 = 26 = 64.

Potência de um produto.




11

Exemplo: (a x b x c)2 = a2 x b2 x c2 ; (a x b3 x c2)4 = a4 x b12

x c8

Exemplo: (22)3 = 2 2x3 = 26 = 64

Exercícios :

Resolva as seguintes potências:

76) 22 = 82) 11232 = 88) - 12 =

77) 53 = 83) 2-3 = 89) ( - 2 )3 =

78) 62 = 84) 3-3 =

79) 33 = 85) ( - 2 )1 =

80) 52 = 86) ( - 1 )2 =

81) 25 = 87) ( - 2 )2 =

Aplique as propriedades com as operações com potências:

90) ( + 1 )3x( + 1 ) = 97) [ ( -3 )2]5 =

91) ( + 2 )2x( + 2 )3 = 98) ( a x b2 x c3 )2 =

92) ( - 2 )3x( - 2 )3= 99) ( a2 x b3 x c4 )-2 =

93) (- 5)4÷( - 5 )2= 100)2

2

1

x

5

2

1

=

94) ( + 7 )7 ÷ ( + 7 )4 =

95) a6÷a2= 101)3

2

2

2 x

6

5

2

2 =

96) [ ( - 2 )3]2 =

RADICIAÇÃOA radiciação é a operação inversa da potenciação, portanto:

Observe:

16 = 4 pois, quando fazemos a decomposição em fatoresprimos de 16 o resultado é 24, pegamos a potência e dividimosa mesma pelo índice do radical, como no exemplo acima oíndice é 2, dividimos 4 por 2.

O resultado dessa divisão será a potência dessa base fora doradical. Quando temos resto na divisão da potência pelo índicedo radical, a base também ficará dentro do radical elevada aoresto da divisão encontrado.

16842

2222

Exemplos:20 = 52 2 x = 2 520 210 25 51

3 24 = 3 3 52 x = 2 3 524 212 26 23 31

Elementos: radical

Índice

ban

raiz radicando

Observações:

Se o radicando for um número real negativo e o índicedo radical par, a raiz não é um número real.

Se o radicando for um número real negativo e o índiceímpar, a raiz é um número negativo.

Exemplos:

64 = 8 64 = Não existe raiz no campo dos nº reais IR. 3 64 = -4

PROPRIEDADES

1ª) A raiz de índice n de um número elevado a n é o próprionúmero.

Exemplos:

3 33 = 3

ban bn = a

n na = a




12

210 = 10

5 516 = 16

2ª) Quando multiplicamos ou dividimos o expoente doradicando e o índice do radical por um mesmo número, oradical não se altera.

CÁLCULO DE RAIZ QUADRADA Para determinarmos uma raiz quadrada, podemos fazer daseguinte maneira:

Observemos o exemplo abaixo:1296

1º) Separaremos o radicando por pontos de dois em dois alga-rismos da direita para a esquerda, ficando assim:

96.12

2º) Extrairemos a raiz quadrada do primeiro número formadoda esquerda para a direita, se sobrar resto subtrairemos donúmero que foi extraída a raiz.

96.12 3- 9

3

3º) O resultado que achamos (3) será dobrado, baixamos opróximo número separado (96), separamos o novo número daesquerda para a direita deixando o último algarismo separadopor um ponto.

96.12 3- 9 3 x 2 = 6

39.6 39 ÷ 6 = 6

4º) Observe o que fizemos: Quando baixamos o 96 juntamoseste com o 3, que era o resto do primeiro número que extraí-mos a raiz e subtraímos do resultado da raiz encontrada, for-mando o número 396. Colocamos um ponto separando oúltimo algarismo, pegamos o número formado na frente (39) edividimos pelo dobro da raiz encontrada (3 x 2 = 6).

Agora faremos o seguinte: Pegaremos o divisor e uniremosao quociente da divisão de 39 por 6 formando o número 66 emultiplicaremos pelo quociente (6):

96.12 3- 9 3 x 2 = 6

39.6 39 ÷ 6 = 666 x 6 = 396

Como o resultado da multiplicação deu igual ao númeroformado sem o ponto, significa que o próximo número na raizserá o 6 que foi o número que multipliquei para achar a raiz.

96.12 36 Portanto a raiz quadrada de 1296 é 36- 9 3 x 2 = 6

39.6 39 ÷ 6 = 6- 396 66 x 6 = 396

0Exercícios resolvidos:

1o) 36.31 56- 25 5 x 2 = 10

63.6 63 ÷ 10 = 6- 636 106 x 6 = 636

0

2o) 76.54 74- 49 7 x 2 = 14

57.6 57 ÷ 14 = 4- 576 144 x 4 = 576

0

3o) 44.38 62- 36 6 x 2 = 12

24.4 24 ÷ 12 = 2- 244 122 x 2 = 244

0

Observação: Quando o radicando tem mais de quatro núme-ros, ou seja a raiz desse valor tiver mais de dois números,faremos da mesma forma, lembrando que sempre que colo-carmos um resultado na raiz devemos dobrá-la:

4o) 04.04.1 102- 1 2 x 1 = 2

00.4 0 ÷ 2 = 0- 0 2 x 10 = 20

40.4 40 ÷ 20 = 2- 404 202 x 2 = 404

0

Exercícios:

Determine o que se pede:

n ma = nk mka. .

n ma =k

n

k

m

a




13

102) 4624

103) 2601

104) 361

105) 8836

106) 314721

107) 11236

Continuando as propriedades da radiciação:

3a) A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dosfatores.

RAZÃO E PROPORÇÃO

Chama-se proporção a igualdade entre duas razões.

Ex:8

6

4

3 é uma proporção

Lê-se 3 está para 4, assim como 6 está para 8.

Essa proporção é indicada também por 3:4 = 6:8Os termos de uma proporção recebem nomes especiais, onde4 e 6 são os meios e 3 e 8 são os extremos.

Exercícios:

Quais são as sentenças verdadeiras?

108)4

2,1

8

4,2 109)

4

7

7

41

110)

213

1

416,1

Calcule “x” nas seguintes proporções:

111)10

6

5

x 116)9

6

15

2

x

112)x

60

7

3 117)

28

16

7

1

x

113)35

146

x 118)

2

3

2

3

x

x

114)x

42

6

7 119)

1

3

2

3

x

x

115)54

3 xx

120)35

1 xx

PROPRIEDADE DA SOMA OU DIFERENÇA: Numaproporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos estápara o primeiro (ou segundo), assim como a soma ou diferençados dois últimos está para o terceiro (ou quarto).

Seb

a =d

c , entãoc

dc

a

ba

oud

dc

b

ba

Exemplo:

Na proporção4

10

2

5 então,

4

410

2

25

ou seja,

4

14

2

7

Exercícios:

121) Calcular x e y na proporção3

2

y

x , sabendo que x+y

=10


9

y

x , sabendo que x-y =

15


3

y

x , sabendo que x+y =

35


2

y

x , sabendo que x+y =

49




14


7

y

x , sabendo que x-y = 25


4

y

x , sabendo que x-y = 30

127) Um pai dividiu R$ 45,00, entre dois filhos na razão de 2para 3. Quanto recebeu cada filho?

128) A diferença de dois números é 15 e a razão entre eles é

2

7 . Calcule esses números.

Calcule o valor de x e y, sabendo que:

129) x + y = 18 x/y = 4/5

130) x - y = 6x/y = 5/3

Podemos também usar um artifício para resolvermos pro-porções com soma ou diferença. Vejamos o exemplo aseguir:

Faremos o mesmo exercício no 136.

Colocaremos as letras em cima e os números embaixo na

proporção

kyx

yx

54

18, temos que:

X = 4kY = 5k

Como x + y = 18, então podemos dizer que 5k + 4k = 189k = 18k = 2

Como x = 4k então x = 4 . 2 = 8

Como y = 5k então y = 5 . 2 = 10

Exercícios:

131) A soma de dois números é 21 e a razão entre eles é 5/2.Calcule esses números.

132) Dois irmãos têm, juntos, 80 anos. Se a razão entre essasidades é 3/2, calcule a idade do irmão mais velho.

133) Um arame de 30 cm é dividido em duas partes. Se arazão entre essas partes é 2/3, calcule o comprimento da partemaior.134) A diferença entre as idades de dois irmãos é 5 anos e arazão dessas idades é 4/3. Calcule a idade de cada um.

135) Decomponha 420 em duas parcelas tais que a razãoentre elas seja 0,75.

136) Um garoto de 1 metro de altura projeta uma sombra de0,5 metros. No mesmo instante, um edifício de 18 metros iráprojetar uma sombra de quantos metros?

137) Em uma caixa, a razão entre o número de maçãs e onúmero de laranjas é 3:2. Se o número de maçãs é 36, então onúmero de laranjas é?

138) A razão entre minha idade e a do meu tio é 2/5 e juntostemos 42 anos. Então, quantos anos tenho?

139) (PUC-SP) Dois amigos jogaram na loteria esportiva,sendo que o primeiro entrou co R$ 140,00 e o segundo comR$ 220,00. Ganharam um prêmio de R$ 162.000,00. Comodeve ser rateado o prêmio?

140) Divida 60 em partes proporcionais a 3, 4 e 5.

141) Dividir um lucro de 48 milhões, de uma sociedade, entreseus três sócios sabendo que eles trabalharam 2, 3 e 7 meses,respectivamente.

142) Três amigos se cotizaram para comprar um bilhete deloteria. Um deu R$ 2,00, outro R$ 1,00 e o terceiro RS 7,00. Obilhete foi premiado com R$ 25.000,00. Quanto deverá caber acada um?

143) Reparti 230 balas entre três sobrinhas que têm respecti-vamente 4, 5 e 8 anos. Quantas balas recebeu cada uma se adivisão foi feita inversamente proporcional à idade?

144) O senhor Joaquim têm R$ 1260,00 e resolve distribuirentre os seus três filhos. Quanto receberá cada um, sabendoque o primeiro tem 12 anos, o segundo 10 e o terceiro 6 e quea quantia foi distribuída proporcionalmente às suas idades?




15

145) Um terreno tem 22 metros de frente. Numa planta cujaescala é de 1/200, a quanto corresponde essa distância?

146) Num mapa a distância da estrada Rio – Bahia, que é1600 Km, está representada por 16 centímetros. Qual a escaladesse mapa e a quantos centímetros corresponde no mapa adistância Salvador – Brasília que é de 1200 Km?

147) A soma de dois números é 21 e a razão entre eles é 5/2.Calcule esses números.148) Dois irmãos têm juntos 80 anos. Se a razão entre essasidades é 3/2, calcule a idade do irmão mais velho.

149) A diferença entre os preços de dois objetos é R$ 90,00 ea razão desses preços é 3/2. Calcule o preço de cada um.

150) Uma fotografia tem 10 centímetros de largura e 15 cm decomprimento. Queremos amplia-la de modo que seu compri-mento tenha 18 cm. Então, na foto maior, a largura medirá:

151) Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm delargura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:

152) A razão entre dois números é8

3 . Se a soma do maior com

o dobro do menor é 42, o maior deles é:

153) Determine dois números cuja soma seja 27 e razão2

1 .

154) A razão entre as idades de João e Luis é3

2 . A soma de

suas idades é 40 anos. Qual é a idade de cada um?

155) A razão entre as idades de Ana e Marta é2

1 . Há dois

anos, a soma das idades era 20 anos. Qual é a idade de cadauma?

156) Há 5 anos, a razão entre as idades de Mário e Carmelaera

2

5 . Hoje, a diferença entre elas é 6 anos. Qual é a idade

de cada um?

157) Determine o menor de dois números positivos cuja razãoé

10

9 , sendo a diferença entre eles 4.

158) Determine o valor de x, y e z sabendo que

543

16

zyx

zyx

159) Determine o valor de 2x – 3y + z sabendo que

365

382

zyx

zyx

160) Determine o valor de 3x + 2y + 4z sabendo que

365

382

zyx

zyx

161) Determine o valor de 3x + y + 2z sabendo que

653

64426

zyx

zyx

162) Determine o valor de 3x - 2y + z sabendo que

253

4932

zyx

zyx

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Exemplo 1: João comprou 3 balas por R$ 60,00. Se Joãotivesse comprado 5 balas, quanto pagaria?

Reparem que a grandeza aumenta nas duas comparações. Ouseja, se aumentar nas duas grandezas ou diminuir nas mes-mas, será diretamente proporcional.

+ D +5 balas ----------------- x3 balas ----------------- 60

Diretamente proporcional

603

5 x Multiplicando cruzado, teremos:

3.x = 5.603

60.5x x = 5.20 x = 100.

Resposta: 5 balas custarão R$ 100,00.




16

Exemplo 2: Um carro percorreu certa distância, em 8horas, à velocidade de 120 Km/h. Em quanto tempo estemesmo carro faria o percurso a 80 Km/h?

Reparem que uma grandeza aumenta e a outra diminui. Ouseja, se uma aumentar e a outra diminuir, será inversamenteproporcional.

Inversamente proporcional

+ - I .x horas ------------ 80 Km/h8 horas ------------120 Km/h

80

120

8

x Multiplicando cruzado, teremos:

80.x = 8.12080

120.8x x = 12

Resposta: gastaria 12 horas.

Exercícios:

163) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltasdarão em 28 minutos?

164) Com oito eletricistas podemos fazer a instalação de umacasa em 3 dias. Quantos dias levarão seis eletricistas parafazer o mesmo trabalho?

165) Com seis pedreiros podemos construir uma parede em 8dias. Quantos dias gastarão três pedreiros para fazer a mesmaparede?

166) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas.Quantas horas levarão para engarrafar 4000 refrigerantes?

167) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Emquantos dias nove marceneiros fariam o mesmo trabalho?

168) Trinta operários constróem uma casa em 120 dias. Emquantos dias 40 operários construiriam essa casa?

169) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros?

170) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhõesde 4 m3 de areia. Quantos caminhões de 6 m3 seriam necessá-rios para fazer o mesmo trabalho?

171) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35m2. Quantos litros são necessários para pintar uma parede de15 m2?

172) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 Km/h, fez umpercurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidademédia para 80 Km/h?173) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kgde trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessáriospara se obterem 7 kg de farinha?

174) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantosdias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa?

175) Três calças custam R$ 90,00. Qual é o preço de8 calças?

176) Duas máquinas, num certo tempo, fabricam 400brinquedos. Qual é o número de brinquedos que 5máquinas produzirão?

177) Cinco mulheres fazem 15 calças em 10 dias.Quantas calças 2 mulheres farão em 10 dias?

178) Quatro pedreiros constróem 20 metros quadra-dos de muro num dia. Quantos pedreiros serão ne-cessários para construir 30 metros quadrados em umdia?

179) O preço de 5 camisas é de R$ 100,00. Qual seráo preço de 9 camisas?

180) Um prédio de 50 metros projeta uma sombra nochão de 5 metros. Calcule a sombra projetada por umprédio de 40 metros .

181) Um volks consome em média 10 litros degasolina num trecho de 120 Km. Qual será o consu-mo do carro em 180 Km?

182) Uma equipe de 40 pessoas consome 20 Kg dealimentos. Se a equipe tivesse 36 pessoas, quantosquilos de alimentos iriam consumir?

183) Dois chocolates custam R$ 10,00. Qual será opreço de 3 chocolates?




17

184) Quatro pedreiros constroem 24 metros de pare-de em uma semana. Quantos metros 6 pedreirosconstruirão na mesma semana?

185) Uma máquina produz 500 peças. Quantas peçasseriam produzidas por 3 máquinas?

186) Num prédio de 30 andares, os pedreiros gasta-ram 36 meses para a sua construção. Quanto tempoteriam gastado ao término de 10 andares, trabalhan-do sempre na mesma construção?

187) Dez costureiras fazem 30 camisas por semana.Quantas camisas fariam 15 costureiras?

188) Num livro de 270 páginas tem 45 linhas porpágina. Se na reimpressão tinha 50 linhas por página,qual era o total de páginas?

REGRA DE TRÊS COMPOSTAResolveremos da mesma forma que a simples, apenas toman-do o cuidado de comparar as grandezas com a incógnita etambém igualar a razão da incógnita com o produto das outras.

189) Uma pedra de mármore de 2 metros de comprimento, 60cm de largura e 2 cm de espessura pesa 60 kg. Quanto pesaráuma outra pedra do mesmo mármore, de forma quadrada, com1 metro de lado e 3 cm de espessura?

190) Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários produ-zem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçado.Quantos operários são necessários para produzir 600 parespor dia, com 10 horas de trabalho diário?

191) Doze marinheiros pintaram o casco de um contratorpedei-ro em 4 dias e 4 horas. Quantos marujos com a mesma capa-cidade de trabalho serão necessários para pintar o mesmocasco em 6 dias e 6 horas?

192) Doze homens trabalhando 8 horas por dia, realizaramdeterminada obra em 20 dias. Se o número de horas de servi-ço diário for baixado para 6 horas e o número de homensaumentasse em 4, em que tempo se fará o mesmo trabalho?

193) Doze máquinas trabalhando 9 horas por dia fazem 9000metros de fazenda, em 15 dias. Quanto 15 máquinas necessi-tarão trabalhar por dia para fazer 6000 metros de fazenda em12 dias?

194) Dez operários fazem 160 metros de uma construção em18 dias e 8 horas de serviço diário. Quantos metros farão damesma obra em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia, 20 ope-rários?

195) Um contratorpedeiro com uma guarnição de 300 homensnecessita de 120000 litros d’água para efetuar uma viagem de20 dias. Aumentando-se a guarnição de 50 homens e a águade 6000 litros, pergunta-se: Qual poderá ser a duração daviagem?

196) Certa máquina que funcionava 5 horas por dia, durante 6dias, produz 3000 unidades. Quantas horas e minutos deveráfuncionar por dia, para produzir 30000 unidades em 40 dias?

197) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, traba-lhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessáriospara construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhan-do 8 horas por dia?

198) Quinze homens cavam uma valeta de 180 metros decomprimento em 5 horas; em 8 horas, 18 homens cavam umavaleta semelhante de quantos metros de comprimento?

199) Se 30 meninas recolhem 720 caixas de morangos em 8horas, quantas meninas a mais serão necessárias para reco-lher 1080 caixas em 6 horas?

200) Quatro homens demoram 9 dias para cavar um poço de12 metros de profundidade. Quanto tempo demoram 3 homenspara cavar um poço semelhante de 15 metros de profundida-de?

201) Se 6 homens, trabalhando 8 horas por dia, pintam umacasa em 36 dias, quantos homens a mais serão necessáriospara pintar a casa em 24 dias, trabalhando 9 horas por dia?

202) Num sítio, um grupo de 15 meninas recolheu 360 caixasde laranjas em 6 horas. No dia seguinte mais 6 meninas junta-ra-se ao grupo, e elas recolheram 420 caixas. Quantas horas amenos elas levaram?




18

203) Par alimentar 36 patos durante 45 dias são necessários540 Kg de ração. Quantos patos é possível alimentar com 360Kg de ração durante 54 dias?

204) Uma escola ia contratar um grupo de 8 professores paradar um curso sobre computadores em 48 horas, pagando R$ 9216,00. No entanto, como medida de economia, ela resolveucontratar somente 6 professores e dar o curso em 36 horas.Quanto vai economizar?

205) Para cavar um buraco para construir uma piscina de 25metros de comprimento por 12 metros de largura, 8 trabalhado-res levam 45 dias. Quantos trabalhadores a mais serão neces-sários para cavar um buraco para uma piscina de 50 metros decomprimento por 24 metros de largura, em 48 dias? A profun-didade da piscina é a mesma nos dois casos.

206) Angel está à procura de água no seu sítio. Por isso, con-tratou 3 poceiros. Eles trabalham durante 27 dias e chegarama 9 metros de profundidade, sem encontrar água. Angel contra-tou pais 1 poceiro. Eles trabalham mais 9 dias, também semencontrar água. A que profundidade eles chegaram?

PORCENTAGEM Para fazermos operações com porcentagem basta fazer-mos uma regra de três simples e diretamente proporcional.

Operações de porcentagem é o mesmo que dividir por 100,ou seja, 1% é o mesmo que 1/100; 43% é o mesmo que43/100, etc...

Exercícios:

207) Um aluno não pode faltar a mais de4

1 das aulas dadas

durante o ano. Isto é o mesmo que dizer que não pode faltar amais de 25 das aulas?

208) 10% de uma quantia é o mesmo que10

1 dessa quantia?

209) Uma comissão de venda de R$ 3,00 em cada R$ 25,00 aquantos por cento corresponde?

210) Exprimir as razões seguintes sob a forma de %:4

3;

5

2;

9 ÷ 9;200

11.

211) Exprimir sob a forma de fração irredutível: 5%; 1,5%;125%.

212) É certo que para calcular i% de uma quantia basta multi-plicar por i essa quantia e dividir o produto obtido por 100?213) Se você tem u desconto de 3% ao pagar a vista umaconta de R$ 120,00, quantos reais você teve de abatimento?

214) Quando um negociante faz a você um abatimento de 15%sobre R$ 42,00, ele calcula o que você tem que pagar multipli-cando 42000 por 0,85. Está certo?

215) As editoras dão 30% de comissão aos vendedores e 7%aos autores sobre o preço de venda. Quanto ganham, respec-tivamente, o vendedor e o autor por um livro que é vendido porR$ 30,00?

216) Um negociante concede um abatimento de 5% sobre opreço do mercado numa mercadoria e o desconto é de R$21,00. Qual é o preço marcado?

217) Se um negociante lhe vende uma camisa de R$ 120,00por R$ 102,00, quantos por cento lhe concedeu de desconto?

218) Uma pessoa compra um terreno de R$ 20000,00 e vende-o com lucro de 4000,00. Qual a porcentagem do lucro?

219) Uma pessoa revende um automóvel por R$ 15000,00,lucrando 25% sobre o preço de compra. Por quanto haviacomprado o automóvel?

220) Uma pessoa compra uma geladeira e a revende por R$1440,00, com um prejuízo de 28% sobre o preço de compra.Por quanto havia comprado a geladeira?

221) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 11.000,00.Paga de taxas, comissões e escrituras R$ 1200,00. Por quantodeve revende-la para lucrar 20% sobre o preço de venda?

222) Por quanto devo revender um objeto que comprei por R$40,00 de modo que tenha um lucro de 20% sobre o preço devenda?

223) Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendo acer-tado 288 vezes. Qual foi a porcentagem de tiros certos e a detiros errados?




19

224) Medindo-se um ângulo de 25º, por imperfeição, acha-se22º 56’ 48”. Qual a porcentagem de erro?

225) Qual é o preço de custo de uma mercadoria vendida porR$ 125,00, com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda?

226) Na venda de um certo objeto houve um lucro de R$ 12,00corresponde a 16% do preço de custo. Qual é o preço de custodo objeto?

227) Certa mercadoria foi vendida por R$ 252,00, dando umlucro de 20% sobre o custo ao vendedor. Quanto lhe custou amercadoria?

228) Por R$ 750,00 vendi minha máquina fotográfica com 25%de prejuízo sobre o seu custo. Por quanto comprei a máquina?

229) Comprei certa mercadoria. Sobre o custo, pagou-se 5%de imposto e 3% de frete. Sendo a mercadoria vendida por R$27,00 dá um lucro de 25%. Por quanto foi comprada?

230) Patrícia comprou uma vitrola com abatimento de 10%sobre o preço marcado e pagou, então, R$ 360,00. O preçomarcado era:

(a) R$ 396,00 (b) R$ 324,00 (c) R$ 40,00(d) R$ 36,00 (e) R$ 3.600,00

231) Um negociante ao falir só pôde pagar3617

do que devia.

Se possuísse mais R$ 23,600,00 poderia pagar 80% da dívida.Quanto ele devia?

UNIDADES DE MEDIDASMedidas de tempo.

Para medirmos tempo temos que saber a equivalência en-tre as unidades de tempo que são: Horas, minutos e segundos.

Vamos ver essas equivalências:

1 hora 60 minutos2 horas 120 minutos3 horas 180 minutos

Como podemos perceber, para transformarmos horas emminutos basta multiplicar as horas por 60.

Exercícios de aplicação:

232)Transforme:a) 3 horas _____ minutosb) 4 horas _____ minutosc) 6 horas _____ minutosd) 12 horas _____ minutose) 7 horas _____ minutos

1 minuto 60 segundos2 minutos 120 segundos4 minutos 240 segundos

Da mesma forma que transformamos horas em minutos,ou seja, multiplicamos minutos por 60 para acharmos os se-gundos.

Exercícios de aplicação:

233) Transforme:

a) 21 minutos _______ segundos.b) 32 minutos _______ segundos.c) 15 minutos _______ segundos.d) 8 minutos _______ segundos.e) 12 minutos _______ segundos.f) 17 minutos _______ segundos.

Para fazermos o contrário, ou seja, para transformarmossegundos em minutos devemos dividir por 60.

180 segundos ÷ 60 3 minutos.240 segundos ÷ 60 4 minutos.

Nessa transformação existe uma peculiaridade. Pois sesobrar alguma coisa, deverá o resto ficar como a unidade quefoi dividida:

Exemplo:

145 segundos ÷ 60 = 2 minutos, podemos ver que sobrarão25, o qual ficará como segundos.

Resposta: 2 minutos e 25 segundos.

Para transformarmos minutos em horas, faremos idem aofeito com segundos para minutos.

Exemplo:163 minutos ÷ 60 = 2 horas e 43 minutos.

Obs: O máximo de minutos e segundos é 59, pois se os mes-mos passarem desse valor, deve-se dividi-los por 60 paraacharmos a unidade superior.




20

Exercícios:

234) Transforme no que for possível:

a) 1765 segundos:b) 654 segundos:c) 323 minutos:d) 5432 segundos:e) 123 segundos:f) 2012 segundos:g) 450 minutos:h) 2321 segundos:235) Faça as seguintes operações:

a) 2h 25min 12 seg + 1h 54min 48seg =b) 3h 18min 35 seg - 54 min 48seg =c) 2h 12 seg + 3h 4min 56seg =d) 9h 12min 12 seg - 5h 54min 12seg =e) 9h - 54min 12seg =f) 5h - 12seg =g) 2h 10 seg - 54min =h) 6h 11min 12 seg + 59min 45seg =i) 8h 19min 17 seg - 1h 20min 18seg =j) 12min - 4min 6seg =

Unidade principal de Medidas de:

Comprimento: METRO (m)

Massa: GRAMA (g)

Capacidade: LITRO (l)

Múltiplos e submúltiplos:

K H Da __ _ D C MILO

ECTO

ECA

ECI

ENT I

ILI

Comprimento:

km hm dam m dm cm mmKilômetro

Hectômetro

Decâmetro

M e t

r o

Decímetro

Centímetro

M i l í m e t r o

Massa:

Capacidade:

236) Transformar o que se pede:

a) 1,34 m = ________________ damb) 22,2 cm = ________________ hmc) 55,21 mm = ________________ damd) 2,4 cm = ________________ kme) 1,134 km = ________________ dmf) 3,43 dg = ________________ cgg) 2 kg = ________________ dagh) 32,7 dl = ________________ hl

Unidades de medidas de superfície:

Para fazermos transformações em medidas de área, faremoscomo medidas de comprimento, mas andando com a vírgulade duas em duas casas.

Exemplo: Se tivermos que transformar 12 m para dm vamosandar uma casa decimal para a direita, pois decímetro é umacasa para a esquerda como já podemos observar.A resposta seria 120 dm.

Para transformar medidas de superfície (área) devemos andarduas casas ao invés de uma.

Exemplo: Transformar 12 dm2 em cm2.1200 cm2.

Equivalências:

Unidades de medidas de volume:

1 hectare (ha) = 1 hm2

1 are (a) = 1 dam2

1 centiare (ca) = 1 m2

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

kg hg dag g dg cg mg

kl hl dal l dl cl ml




21

Para transformar medidas de volume (capacidade)devemos andar três casas ao invés de uma.

Exemplo: Transformar 12 dm3 em cm2.12000 cm3.

Equivalência:

Exercícios:

237) Faça o que se pede:a) 12 cm2 = ____________ dam2

b) 21,5 dm2 = ____________ mm2

c) 21,46 m3 = ____________ hm3

d) 2,09 dam3 = ____________ cm3

238) Tenho uma piscina com 20 metros de comprimento, 8metros de largura e 2 metros de profundidade. Quantos litrosseriam necessários para encher esta piscina?

239) Preciso ladrilhar uma sala com 6 metros de comprimentopor 4 metros de largura, os ladrilhos que tenho são quadradoscuja medida do lado é 40 cm. Quantos ladrilhos serão neces-sários para ladrilhar toda a sala?

240) Tenho 500 decalitros de óleo e esses terão que ser ven-didos em frascos de 200 ml. Sabe-se que cada frasco serávendido por R$ 1,15. Qual será o valor que terei após a vendade todos os frascos?

241) Desejo vender um terreno que mede 250 m por 400 m.Estou cobrando R$ 2500,00 o hectare. Por quanto estou ven-dendo o terreno?

242) (EsSA-84) Uma indústria produz 900 litros de óleo por dia,que devem ser embalados em latas de 30 cm3. Para isso,serão necessárias:

(a) 300 latas (c) 30000 latas(b) 3000 latas (d) 300000 latas

243) (EsSa-84) Uma caixa em forma de paralelepípedo retân-gulo mede 2 cm por 0,2 dm por 40 mm. Sua capacidade é de:

(a) 1,6 cm3 (c) 0,16 cm3

(b) 0,11 litros (d) 0,016 litros

244) (EsSA-85) Deseja-se taquear uma sala retangular de 4 mde comprimento por 3 m de largura, usando tacos também

retangulares de 15 cm de comprimento por 4 cm de largura.Assim sendo, o número de tacos necessários será:

(a) 200 (c) 10000 (e) 20000(b) 1000 (d) 2000

245) (EsSA–85) Em uma determinada região do Brasil, umhectare de terra vale $ 20.000.000. Um centiare de terra seme-lhante, na mesma região, valerá:

(a) $ 2.000 (c) $ 200.000 (e) $ 200(b) $ 20.000 (d) $ 2.000.000246) (EsSA-86) Um comerciante possui 13 hl de vinho e desejaguarda-lo num tonel cilíndrico, cuja base tem área de 2 m2. Aaltura do tonel deverá ser de:

(a) 13 cm (c) 0,65 cm (e) 65 cm(b) 0,42 m (d) 42 cm

247) (EsSA-87) Um terreno retangular de dimensões 25 hm e 4km foi vendido por $ 6.525,83 o ha. O terreno foi negociadopor:

(a) $ 6.525.830,00 (d) $ 65.258,30(b) $ 652.583,00 (e) $ 652.583.000,00(c) $ 65.258.300,00

248) (EsSA-88) Se adotarmos como unidade de comprimentouma régua de 20 cm, teremos em 40 dam um total de unidadesigual a:

(a) 2 (c) 200 (e) 20000(b) 20 (d) 2000

249) (EsSA-95) Uma fábrica de doces distribui certo tipo debalas em pacotes de 2 kg, que contém 250 balas iguais. Qual éo “peso” de 15 dessas balas?

(a) 12 g (d) 12 dag(b) 1,2 kg (e) 1200 mg(c) 120 cg

MÉDIASVamos definir médias da seguinte forma:

- ARITMÉTICA- GEOMÉTRICA- HARMÔNICA- ARITMÉTICA PONDERADA

Média Aritmética : É a divisão entre a soma das parce-las e a quantidade das mesmas.

1 litro = 1 dm3




22

Exemplos:

Entre 27 e 45

362

4527

Entre 23, 45 e 67

453

674523

Média Geométrica : Multiplicaremos os números e colo-camos o resultado dentro de um radical cujo índice é a quanti-dade de números que foi multiplicada.

Exemplos:

Entre 12, 6 e 81

3 81612 xx =3 42 33232 xxxx =

3 63 32 x == 2 x 9 = 18

Média Aritmética Ponderada :

Vamos dar um exemplo muito usual nas avaliações esco-lares.

1º Bimestre (peso 1) – Nota: 6,02º Bimestre (peso 2) – Nota 8,03º Bimestre (peso 3) – Nota: 7,04º Bimestre (peso 4) – Nota 5,0

Multiplicaremos as notas por seus respectivos pesos, so-maremos os resultados e dividiremos o mesmo pela soma dospesos.

4321

45372816

xxxx

= 10

63

= 6,3

A prova da EsSA está sendo realizada em duas fases. Aprimeira tem peso 1 e a segunda peso 2. Veremos o desem-penho de dois candidatos.

Candidato 1:1ª Fase – Nota: 7,02ª Fase – Nota: 6,0

Média: 33,621

2617

xx

Candidato 2:1ª Fase – Nota: 5,02ª Fase – Nota: 7,0

Média: 33,621

2715

xx

Pelos exemplos acima podemos ver que, apesar de umadas notas do candidato 2 ser menor que a do candidato 1 asmédias foram as mesmas, por o candidato 2 tirou nota maiorna segunda fase, a qual tinha peso 2.

Média harmônica : É o inverso da média aritmética dosinversos.

Exemplo: Calcular a média harmônica entre 5 e 3.

23

1

5

1

= 215

8

= 30

8

= 15

4

Média dos inversos.

Inverso do resultado acima é4

15 (Média harmônica)

Exercícios:

250) Determine a média aritmética entre:

a) 6, 8 e 4

b) 15, 84 e 12

c) 42, 8 e 16

d) 12, 10, 47, 23

e) 10, 7, 18, 26, 19

f) 14 e 26

g) 31 e 43

h) 157 e 259

251) Determine a média geométrica entre:

a) 18 e 8

b) 8, 24 e 72

c) 8, 12 e 18

d) 72, 100 e 810

e) 60, 30, 30 e 15




23

252) Determine a média harmônica entre:

a) 5, 30, 30 e 15

b) 18, 15 e 10

c) 8 e 12

DIVISIBILIDADEPor 2 : Quando o número for par.

Exemplo: 252, 654, 980, etc...

Por 3: Quando a soma dos valores absolutos do número for-mado for um número divisível por 3.

Exemplo: 23412897>>> 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 8 + 9 + 7 = 36 (Como 36 é um númerodivisível por 3, então o número 23412897 também será divisí-vel por 3).

Por 4: Quando os dois últimos algarismos do número formarum número divisível por 4 ou for 00 (zero zero).

Exemplo: 1286904 (como os dois últimos números formam 04e o mesmo é divisível por 4, então o número 1286904 serádivisível por 4.

21300 (Os dois últimos números são 00, portanto 21300 serádivisível)

Por 5: Quando terminar em 0 (zero) ou 5 (cinco).

Exemplo: 230, 985, 235, etc...

Por 6: Quando é por 2 (dois) e por 3 (três) ao mesmo tempo.

Exemplo: 2310 (É um número par e a soma é divisível por 3,portanto o número 2310 será divisível por 6).

Por 8: Quando os três últimos algarismos do número formarum número divisível por 8 ou for 000 (zero zero zero).

Exemplo: 24000 , 23016 , 98240 , etc...

Por 9: Quando a soma dos valores absolutos do número for-mado for um número divisível por 9.

Exemplo: 625464 (A soma dos valores absolutos do númerocitado dá 27, que é divisível por 9, então o número 625464será divisível por 9).

Por 10: Quando terminar em 0 (zero).

Exemplo: 120, 80, 970, etc...

Por 11: Se a diferença entre a soma dos algarismos de ordemímpar e a soma dos algarismos de ordem par for um númerodivisível por 11 ou for 0 (zero), então o número será divisívelpor 11.

OBS: Antes de demonstrarmos o método de divisão por 11,iremos fazer uma pequena revisão sobre ordem e classes denúmeros.Vejamos, por exemplo, o número 12865. Esse é um númeroque tem 5 ordens e três classes. Veja:

5 4 3 2 1 (ORDENS)

1 2 8 6 52ªClasse 1ªClasse

As Classes são a das unidades, depois a das milhares, depoisa dos milhões, etc...

As ordens são: 1ª - unidade, 2ª- dezena, 3ª - centena, etc...

Os algarismos de ordem ímpar (não os algarismos ímpares)serão: 5 (1ª ordem) – 8 (3ª ordem) – 1 (5ª ordem) e os deordem par serão: 6 (2ª ordem) – 2 (4ª ordem).Entendendo isso, faremos como manda a regra. Somamos osalgarismos de ordem par e depois os de ordem ímpar e os deordem par dos seguintes números.

1540, 62909No primeiro: 0 + 5 = 5 & 4 + 1 = 5, pega-se os dois resulta-dos e acha a diferença: 5 – 5 = 0, como a diferença é igual azero, significa que o número 1540 será divisível por 11.

No segundo: 9 + 9 + 6 = 24 & 0 + 2 = 2,24 – 2 = 22, como 22 é divisível por 11 o número 62909 serádivisível por 11.

Por 12: Quando for por 3 e 4 ao mesmo tempo (porque 3vezes 4 é 12).

Por 15: Quando for por 3 e 5 ao mesmo tempo (porque 3vezes 5 é 15)

OBS: Todos os outros procederemos da mesma forma.

Por 18: 2 e 9Por 21: 3 e 7Por 72: 8 e 9




24

Exercícios:

253) Identifique os números divisíveis por 3 sem efetuar asdivisões:

a) 57 b) 222 c) 500 d) 638e) 1415 f) 42228


a) 734 b) 516 c) 322 d) 188e) 1504 f) 500


a) 661 b) 642 c) 96 d) 714e) 4415 f) 10002

256) Verifique se o número 4620 é divisível por:a) 2 b) 3 c) 5

257) O gerente de um supermercado quer realizar uma promo-ção para vender 9180 canetas esferográficas. Assim, ele vaifazer pacotes com a mesma quantidade de canetas. Verifiquese é possível as embalagens conterem:

a) 2 canetas c) 4 canetas e) 6 canetasb) 3 canetas d) 5 canetas f) 10 canetas

258) Qual é o menor número natural de dois algarismos divisí-vel por 5?

259) Qual é o menor número natural de três algarismos divisí-vel por 6?



262) Verifique se o número 4708 é divisível por 44.

263) Verifique se o número 7963 é divisível por 67.

Indique qual é o menor número de um algarismo que deve sercolocado no lugar de x para que:

264) 234x seja divisível por 3 e 9 ao mesmo tempo.



267) 511x seja divisível por 8.

268) 233x seja divisível por 11.

269) 23x0 seja divisível por 4 e 5.

270) Qual é o menor número que se deve somar a 4312 paraque resulte um número divisível por 5.

271) Dado o número 57a3b, substituir a e b por algarismos quetornem esse número divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.

272) Qual é o valor de x para que 50x2x seja divisível por 2, 3e 11 simultaneamente.

273) Qual é o menor número de quatro algarismos que é divi-sível, ao mesmo tempo, por 5, 8 e 11?




25

274) Calcule o menor número que é divisível, ao mesmo tempopor 4, 5, 8 e 11.

GABARITO1. a) 0 c) – 23/6

b) – 3 d) 115/12c) – 5 e) 3/8d) 1 f) – 8/7

2. - 2 g) – 7/83. a) 3 h) – 1/7

b) 5/3 18. a) 4/94. a) – 2 b) 1/6

b) 10 c) 17/72c) 4 d) 11/120d) 5 e) – 23/90e) – 2 19. a) 1

5. a) 8 b) – 7/8b) – 1 c) 3/5c) – 7 d) 5/16d) – 12 e) 38/495e) 16 f) 0f) – 18 g) – 7/2g) – 5 h) – 3/2h) – 24 20. 15i) – 24 21. 9j) – 6 22. 10l) 120 23. 6m) 6 24. 3n) – 210 25. 3

6. a) – 3 26. 8b) 1 27. 20c) – 1 28. 120d) 0 29. A = 2 B = 1e) 9 30. MDC = 36 e MMC = 1800f) 19 31. 240

7. Resposta c/ professor 32. 788. Resposta c/ professor 33. 309. Resposta c/ professor 34. 120 e 7510. Resposta c/ professor 35. 2411. a) 37/35 36. 24

b) 1 37. 9c) 5/7 38. 9d) – 5/3 39. 120e) – 1/7 40. 225f) 1 41. 54

12. a) > 42. 28b) < 43. 18c) < 44. 60 mind) < 45. 20h 27mine) < 46. 18f) > 47. 12g) < 48. 15h) < 49. 16i) < 50. 4

13. a) P 51. 2b) P 52. 3c) I 53. 6d) M 54. 7e) M 55. 4f) P 56. 3g) P 57. 3h) P 58. 1001000

14. a) 5/3 59. 2200b) 23/6 60. 242c) 13/5 61. 200d) 13/7 62. 110e) 19/8 63. 10f) 9/7 64. 15

15. a) 2/9 65. 25b) 11/90 66. 140c) 37/90 67. 122d) 1811/900 68. 11122e)100/99 69. 12122f) 670/333 70. 100g) 37/300 71. 3300h) 21324/99900 72. 170

16. a) – 0,55 73. 106

b) 4,8 74. 44c) – 1,29 75. 530d) 2 76. 4e) – 4,32 77. 125

17. a) 1/36 78. 36b) -19/36 79. 27

GABARITO80. 25 159. - 1081. 32 160. 7882. 1 161. 5283. 1/8 162. - 784. 1/27 163. 11285. - 2 164. 4 dias86. 1 165. 16 dias87. 4 166. 8 horas88. - 1 167. 8 dias89. - 8 168. 90 dias90. 14 169. 4 horas91. 25 170. 1092. (-2)6 171. 6 litros93. (-5)2 172. 3 horas94. 73 173. 10 kg95. a4 174. 10 dias96. (-2)6 175. R$ 240,0097. (-3)10 176. 100098. a2 x b4 x c6 177. 699. a- 4 x b- 6 x c- 8 178. 6100. (1/2) 3 179. R$ 180,00101. 24 180. 4 metros102. 68 181. 15 litros103. 51 182. 18 kg104. 19 183. R$ 15,00105. 94 184. 36 metros106. 561 185. 1500107. 106 186. 12 meses108. V 187. 45109. V 188. 243110. F 189. 75111. 3 190. 32112. 140 191. 8113. 15 192. 20 dias114. 36 193. 6 horas por dia115. 15 194. 200m116. 5 195. 18 dias117. 5 196. 7h 30min118. 12 197. 15 operários119. 9 198. 288120. 1,5 199. 30121. X = 4 y = 6 200. 15122. X = 27 y = 12 201. 2123. X = 15 y = 20 202. 1 hora124. X = 14 y = 35 203. 20125. X = 35 y = 10 204. R$ 4.032,00126. X = 120 y = 90 205. 22127. 1º) 18,00 e 2º) 27,00 206. 13m128. 6 e 21 207. Sim129. 8 e 10 208. Sim130. 9 e 15 209. 12%131. 6 e 15 210. 75%, 40%, 100% e 5,5%132. 32 e 48 211. 1/20; 3/200 ; 5/4133. 18 cm 212. Sim134. 15 e 20 anos 213. R$ 3,60135. 180 e 240 214. Sim136. 9 metros 215. R$ 9,00 e R$ 2,10137. 24 216. R$ 420,00138. 12 217. 15%139. 99 mil e 63 mil 218. 20%140. 15, 20 e 25 219. R$ 12.000,00141. 8, 12 e 28 milhões 220. R$ 2.000,00142. 5000, 2500 e 17.500 221. R$ 14.640,00143. 100, 80 e 50 222. R$ 50,00144. 540, 450 e 270 223. 90% e 10%145. 440 m 224. 8 16/75%146. 12 cm 225. R$ 150,00147. 6 e 15 226. R$ 75,00148. 48 anos 227. R$ 210,00149. 180,00 e 270,00 228. R$ 1.000,00150. 12 cm 229. R$ 20,00




26

151. 2,10 m 230. C152. 24 231. R$ 72.000,00153. 9 e 18 232.154. 16 e 24 anos a) 180155. 8 e 16 anos b) 240156. 9 e 15 anos c) 360157. 36 d) 720158. X = 24 y = 32 z = 40 e) 420

GABARITO233. a) 1260

b) 1920c) 900d) 480e) 720f) 1020

234. Com Professor235. Com Professor236. a) 0,134

b) 0,00222c) 0,005521d) 0,000024e) 11340f) 34,3g) 200h) 0,0327

237. a) 0,000012b) 215000c) 0,00002146d) 2090000000

238. 320 mil239. 150240. R$ 2.875,00241. R$ 25.000,00242. C243. D244. D245. A246. E247. A248. D249. D250.

a) 6b) 37c) 22d) 23e) 14f) 20g) 37h) 208

251.a) 12b) 24c) 12d) 180e) 30

252.a) 12b) 27/2c) 48/5

253. A , b , f254. B, d, e, f255. B, c, d, f256. A, b, c257. Todos são divisíveis258. 10259. 102260. 102261. 100262. Sim263. Não264. 0265. 0266. 0267. 2268. 2269. 0

270. 3271. a=3 b=0 ou a=7 b=5272. 4273. 1320274. 440


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