Apos Topo Ufpr

7/22/2019 Apos Topo Ufpr

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FUNDAMENTOSDE TOPOGRAFIA

Engenharia Cartogrfica e de AgrimensuraUniversidade Federal do Paran

Luis Augusto Koenig VeigaMaria Aparecida ZehnpfennigZanetti

Pedro Luis Faggion

2012


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FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA

Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

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www.cartografica.ufpr.br

Este material destinado aos alunos das disciplinas deTopografia I e Topografia II do Curso de Engenharia

Cartogrfica e de Agrimensura e demais cursos daUniversidade Federal do Paran. A sua distribuio

permitida, sendo vedada sua comercializao. A reproduode partes do material pode ser feita com a devida atribuio

dos crditos aos autores.


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Sumrio

Sumrio ....................................................................................................iLista de Figuras .................................................................................... viiLista de Tabelas................................................................................... xiii

1 - INTRODUO TOPOGRAFIA ...................................................11.1 - Introduo ......................................................................................11.2 - Sistemas de Coordenadas................................................................41.2.1 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas..........................................41.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esfricas .............................................61.3 - Superfcies de Referncia................................................................71.3.1 - Modelo Esfrico...........................................................................81.3.2 - Modelo Elipsoidal........................................................................81.3.3 - Modelo Geoidal..........................................................................101.3.4 - Modelo Plano ............................................................................111.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distncia e Altimetria ........................141.4 - Classificao dos Erros de Observao.........................................171.4.1 - Erros Grosseiros.........................................................................181.4.2 - Erros Sistemticos......................................................................181.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatrios ..................................................191.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais.........................................191.4.4 - Preciso e Acurcia....................................................................202 - REVISO MATEMTICA ............................................................212.1 - Unidades de Medida......................................................................212.1.1 - Medida de Comprimento (metro)...............................................212.1.2 - Medida Angular .........................................................................222.1.2.1 - Radiano ...................................................................................22

2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal..............................................................222.1.2.3 - Unidade Decimal.....................................................................222.1.2.4 - Exerccios................................................................................232.2 - Reviso de Trigonometria Plana ...................................................252.2.1 - Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ...................252.2.2 - Teorema de Pitgoras.................................................................272.3 - Exerccios......................................................................................272.4 - Relaes Mtricas com o Tringulo Retngulo.............................302.5 - Exerccio .......................................................................................31

2.6 - Tringulo Qualquer .......................................................................32


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2.6.1 - Lei dos Senos .............................................................................322.6.2 - Lei dos Cossenos........................................................................322.7 - Exerccio .......................................................................................333 - ESCALAS........................................................................................34

3.1 - Principais Escalas e suas Aplicaes.............................................363.2 - Exerccios......................................................................................373.3 - Erro de Graficismo (eg) ................................................................393.4 - A Escala Grfica ...........................................................................404 - NORMALIZAO .........................................................................424.1 - Introduo .....................................................................................424.2 - NBR 13133 - Execuo de Levantamentos Topogrficos.............444.3 - NBR 14166 - Rede de Referncia Cadastral Municipal................455 - MEDIO DE DISTNCIAS ........................................................475.1 - Medida Direta de Distncias .........................................................475.1.1 - Trena de Fibra de Vidro .............................................................475.1.2 - Piquetes ......................................................................................485.1.3 - Estacas Testemunhas..................................................................485.1.4 - Balizas........................................................................................495.1.5 - Nvel de Cantoneira....................................................................505.1.6 - Cuidados na Medida Direta de Distncias .................................505.1.7 - Mtodos de Medida com Trena..................................................515.1.7.1 - Lance nico ............................................................................515.1.7.2 - Vrios Lances - Pontos Visveis..............................................525.1.8 - Erros na Medida Direta de Distncias........................................535.2 - Medidas Indiretas de Distncias....................................................545.2.1 - Taqueometria ou Estadimetria ...................................................555.2.1.1 - Formulrio Utilizado...............................................................565.2.2 - Medio Eletrnica de Distncias ..............................................585.2.2.1 - Correes Ambientais das Distncias Obtidas com MED ......665.2.2.1.1 - Exemplos..............................................................................686 - MEDIO DE DIREES ............................................................716.1 - ngulos Horizontais e Verticais ...................................................716.2 - Medida Eletrnica de Direes .....................................................756.2.1 - Introduo ..................................................................................756.3 - Teodolito.......................................................................................756.3.1 - Sistema de Eixos ........................................................................766.3.2 - Crculos Graduados (Limbos):...................................................776.3.3 - Luneta de Visada........................................................................776.3.4 - Nveis .........................................................................................786.4 - Princpio da Leitura Eletrnica de Direes..................................78

6.4.1 - Sensor Eletrnico de Inclinao.................................................80


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6.5 - Estaes Totais..............................................................................816.6 - Mtodos de Medida Angular.........................................................826.6.1 - Aparelho no Orientado .............................................................836.6.2 - Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geogrfico .......83

6.6.3 - Aparelho Orientado pela Bssola...............................................836.6.4 - Aparelho Orientado na R..........................................................846.6.5 - Aparelho Orientado na Vante.....................................................846.6.6 - Deflexo.....................................................................................846.7 - Tcnicas de Medio de Direes Horizontais .............................856.7.1 - Simples.......................................................................................856.7.2 - Pares Conjugados (PD e PI).......................................................856.7.3 - Medidas com Reiteraes...........................................................876.7.4 - Medidas com Repetio .............................................................896.8 - Procedimento de Medida em Campo Utilizando um Teodolito....936.8.1 - Instalao do Equipamento ........................................................936.8.1.1 - Instalando o trip e retirando o instrumento da caixa..............946.8.1.2 - Centragem e nivelamento........................................................986.8.2 - Focalizao da Luneta..............................................................1036.8.3 - Leitura da Direo....................................................................1056.9 - ngulos Verticais........................................................................1056.9.1 - Exerccios.................................................................................1077 - ORIENTAO..............................................................................1097.1 - Norte Magntico e Geogrfico....................................................1097.2 - Azimute e Rumo .........................................................................1107.2.1 - Azimute....................................................................................1107.2.2 - Rumo........................................................................................1107.2.3 - Converso entre Rumo e Azimute ...........................................1117.2.4 - Exerccios.................................................................................1147.3 - Declinao Magntica.................................................................1177.3.1 - Transformao de Norte Magntico em Geogrfico e vice-versa.............................................................................................................118 7.4 - Bssolas ......................................................................................1197.4.1 - Inverso dos Pontos E e W da bssola..............................1207.4.2 - Utilizao da Bssola...............................................................1207.4.3 - Exerccio ..................................................................................1217.5 - Mtodos de Determinao do Norte Verdadeiro.........................1218 - LEVANTAMENTO TOPOGRFICO - PLANIMETRIA............1228.1 - Introduo ...................................................................................1228.2 - Clculo de Coordenadas na Planimetria......................................1248.3 - Clculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimtricas de Dois

Pontos..................................................................................................126


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8.3.1 - Exerccios.................................................................................1279 - TCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMTRICO .............1329.1 - Levantamento e Clculo de Poligonais Fechadas .......................1379.1.1 - Levantamento da Poligonal......................................................138

9.1.2 - Clculo de uma Poligonal Fechada ..........................................1409.1.2.1 - Verificao do Erro de Fechamento Angular........................1429.1.2.2 - Clculo dos Azimutes............................................................1439.1.2.2.1 - Exerccio ............................................................................1449.1.2.3 - Clculo das Coordenadas Parciais.........................................1459.1.2.4 - Verificao do Erro de Fechamento Linear...........................1469.1.2.4.1 - Exerccio ............................................................................1479.1.2.5 - Correo do Erro Linear........................................................1489.1.2.6 - Resumo de Clculo da Poligonal Fechada ............................1499.1.2.7 - Exerccio ...............................................................................1499.2 - Poligonal Enquadrada .................................................................1559.2.1 - Exerccio ..................................................................................1579.3 - Irradiao ....................................................................................1649.3.1 - Exerccio ..................................................................................1669.4 - Interseco a Vante .....................................................................1729.4.1 - Exerccio ..................................................................................17310 - CLCULO DE REAS ..............................................................17610.1 - Processo Grfico .......................................................................17610.2 - Processo Computacional ...........................................................17610.3 - Processo Mecnico....................................................................17710.4 - Processos Analticos..................................................................17810.5 - Exerccio ...................................................................................18211 - MEMORIAL DESCRITIVO .......................................................18412 - NIVELAMENTO.........................................................................18712.1 - Introduo .................................................................................18712.2 - Levantamento Topogrfico Altimtrico....................................19212.3 - Nivelamento Geomtrico ..........................................................19612.3.1 - Nveis .....................................................................................19612.3.2 - Miras ......................................................................................19712.3.3 - Mtodos de Nivelamento Geomtrico....................................20012.3.3.1 - Visadas Iguais .....................................................................20112.3.3.1.1 - Procedimento de Campo ..................................................20612.3.3.1.2 - Exerccio ..........................................................................20912.3.3.1.3 - Cuidados a Serem Tomados na Execuo do Nivelamento.............................................................................................................209 12.3.3.1.4 - Clculo do Erro Cometido e da Tolerncia Altimtrica ..215

12.3.3.1.5 - Exerccio ..........................................................................216


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12.3.3.2 - Mtodo das Visadas Extremas ............................................21912.3.3.2.1 - Exerccio ..........................................................................22412.3.3.2.2 - Exerccio ..........................................................................22512.3.3.2.3 - Exerccio ..........................................................................226

12.3.3.3 - Mtodo das Visadas Eqidistantes......................................22712.3.3.4 - Mtodo das Visadas Recprocas..........................................22912.4 - Nivelamento Trigonomtrico ....................................................23112.4.1 - Nivelamento Trigonomtrico para Lances Curtos .................23112.4.2 - Nivelamento Trigonomtrico para Lances Longos ................23212.4.3 - Exerccio ................................................................................23312.4.4 - Exerccio ................................................................................23312.4.5 - Exerccio ................................................................................23412.4.6 - Exerccio ................................................................................23413 - INTRODUO AO DESENHO TOPOGRFICO ASSISTIDOPOR COMPUTADOR ........................................................................23513.1 - Introduo .................................................................................23513.2 - Desenho Tcnico.......................................................................24013.3 - Desenho Topogrfico e NBR13133 ..........................................24314 - TERMOS TCNICOS UTILIZADOS EM INSTRUMENTAOTOPOGRFICA E GEODSICA......................................................24615 - REPRESENTAO DO RELEVO.............................................25115.1 - Introduo .................................................................................25115.2 - Mtodos para a Interpolao e Traado das Curvas de Nvel ...25815.2.1 - Mtodo Grfico......................................................................25915.2.2 - Mtodo Numrico ..................................................................26115.2.3 - Exerccio ................................................................................26615.2.4 - Exerccio ................................................................................26716 - BIBLIOGRAFIA .........................................................................268


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Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexo total..................................63Figura 5.16 - Alvo de reflexo atravs de superfcie espelhada. ...........64Figura 5.17 - Alvo de reflexo difusa....................................................65Figura 5.18 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental..68

Figura 5.19 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental..69Figura 6.1 - Leitura de direes e clculo do ngulo.............................71Figura 6.2 - ngulo horizontal. .............................................................72Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direes horizontais. ....................72Figura 6.4 - ngulo vertical. .................................................................73Figura 6.5 - ngulo zenital....................................................................73Figura 6.6 - ngulos horizontal e zenital. .............................................74Figura 6.7 - Indicao da preciso de um teodolito...............................76Figura 6.8 - Teodolito............................................................................77Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental. ...........................................79Figura 6.10 - Sistema de codificao absoluto. .....................................79Figura 6.11 - Esquema do Sensor de Inclinao....................................80Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinao.......................................81Figura 6.13 - Estao total.....................................................................82Figura 6.14 - ngulo ..........................................................................82 Figura 6.15 - Aparelho no orientado....................................................83Figura 6.16 - Aparelho orientado na estao r.....................................84Figura 6.17 - Aparelho orientado na estao vante. ..............................84Figura 6.18 - Deflexo...........................................................................85Figura 6.19 - Leitura de pares conjugados.............................................86Figura 6.20 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio I. ...87Figura 6.21 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio II...88Figura 6.22 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio III..88Figura 6.23 - Medida com repetio......................................................90Figura 6.24 - Direes medidas com o mtodo de repetio.................91Figura 6.25 - Direes medidas com o mtodo de repetio.................92Figura 6.26 - Exemplificando o mtodo de repetio............................93Figura 6.27 - Marco de concreto. ..........................................................94Figura 6.28 - Chapa metlica com a indicao do ponto topogrfico....95Figura 6.29 - Disposio dos equipamentos enquanto no utilizados. ..95Figura 6.30 - Movimento de extenso das pernas do trip. ...................95Figura 6.31 - Cravando o trip no solo..................................................96Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalao do trip. ..........96Figura 6.33 - Retirando o instrumento da caixa. ...................................97Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao trip.......................................97Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto.......98Figura 6.36 - Nveis esfrico, tubular e digital. .....................................99


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Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto...............................99Figura 6.38 - Ajustando o nvel de bolha utilizando os movimentos deextenso do trip..................................................................................100Figura 6.39 - Calagem da bolha do nvel esfrico...............................100

Figura 6.40 - Nvel alinhado a dois calantes........................................100Figura 6.41 - Movimentao dos dois calantes ao mesmo tempo, emsentidos opostos...................................................................................101Figura 6.42 - Alinhamento do nvel ortogonalmente linha inicial. ...101Figura 6.43 - Centragem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linhainicial...................................................................................................102 Figura 6.44 - Retculos focalizados. ....................................................104Figura 6.46 - ngulo zenital em PD....................................................105Figura 6.47 - ngulo zenital em PI. ....................................................106Figura 7.1 - Campo magntico ao redor da Terra................................109Figura 7.2 - Representao do azimute. ..............................................110Figura 7.3 - Representao do rumo....................................................111Figura 7.4 - Representao do rumo em funo do azimute................112Figura 7.5 - Representao da declinao magntica. .........................117Figura 7.10 - Transformao de azimute e rumo magntico paraverdadeiro e vice-versa........................................................................118Figura 7.11 - Teodolito TC100 com bssola.......................................119Figura 8.1 - Diferentes formas de materializao de pontos. ..............122Figura 8.2 - Monografia de ponto topogrfico. ...................................123Figura 8.3 - Representao da projeo da distncia D em X (X) e emY (Y).................................................................................................124 Figura 8.5 - Quadrantes do Azimute. ..................................................127Figura 8.6 - Representao do azimute da direo 1-2........................128Figura 8.7 - Representao do azimute da direo 2-3........................129Figura 8.8 - Representao do azimute da direo 3-4........................130Figura 8.9 - Representao do azimute da direo 4-5........................131Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal......................................132Figura 9.2 - Poligonal fechada.............................................................133Figura 9.3 - Poligonal enquadrada.......................................................133Figura 9.4 - Poligonal aberta. ..............................................................134Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas aoSGB comuns a poligonal.....................................................................134Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos dapoligonal..............................................................................................135 Figura 9.7 - Um vrtice de apoio pertencente a poligonal e observao aum segundo vrtice..............................................................................135


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Figura 9.8 - Norte Geogrfico e um ponto com coordenadas conhecidas..............................................................................................................136 Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal deapoio....................................................................................................136

Figura 9.10 - Problema de Pothnot. ...................................................137Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio.137Figura 9.12 - ngulos externos e internos de uma poligonal fechada.138Figura 9.13 - ngulos de deflexo de uma poligonal fechada. ...........139Figura 9.14 - Estao r e vante. .........................................................139Figura 9.15 - Medida do ngulo horizontal. ........................................140Figura 9.16 - Clculo das coordenadas................................................141Figura 9.17 - Pontaria em baliza prxima ao equipamento e longe.....143Figura 9.18 - Clculo do azimute. .......................................................144Figura 9.19 - Erro planimtrico...........................................................146Figura 9.20 - Decomposio do erro planimtrico. .............................146Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. ................................150Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. ................................155Figura 9.23 - Croqui de uma poligonal enquadrada. ...........................157Figura 9.24 - Mtodo de irradiao. ....................................................164Figura 9.25 - Levantamento por irradiao. ........................................164Figura 9.26 - Exemplo de caderneta de campo de levantamento dedetalhes................................................................................................165 Figura 9.27 - Croqui. ...........................................................................166Figura 9.28 - Levantamento de detalhes pelo mtodo de Irradiao. ..167Figura 9.29 - Interseco a vante........................................................173Figura 9.30 - Exerccio Mtodo de Interseco vante.......................174Figura 10.1 - Clculo de rea por mtodos grficos: quadriculado efiguras geomtricas equivalentes.........................................................176Figura 10.2 - Planmetro digital...........................................................177Figura 10.3 - Clculo de reas.............................................................178Figura 10.4 - Clculo da rea de um trapzio......................................179Figura 10.5 - Trapzio 22 1 1. ..........................................................179Figura 10.6 - Forma de multiplicao dos valores...............................182Figura 12.1 - Cota, altitude e desnvel.................................................187Figura 12.2 - Rede altimtrica brasileira. ............................................190Figura 12.3 - Referncia de nvel - RN 2053-D. ................................191Figura 12.4 - Amostragem de pontos altimtricos e representao dorelevo...................................................................................................195 Figura 12.5 - Eixos do nvel. ...............................................................197Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras..........................................198


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Figura 12.7 - Conveno para a indicao do metro para a mira utilizada..............................................................................................................198 Figura 12.8 - Mira e leituras................................................................199Figura 12.9 - Nivelamento Geomtrico - mtodo das visadas iguais. .201

Figura 12.10 - Nvel a igual distncia entre os pontos.........................202Figura 12.11 - Nvel em duas alturas diferentes..................................202Figura 12.12 - Erro de colimao e curvatura terrestre. ......................203Figura 12.13 - Lance. ..........................................................................203Figura 12.14 - Seo............................................................................204Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento..........................205Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto. ...............................206Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distncia calculada. .....................207Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geomtrico. .....208Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta. .......................................208Figura 12.20 - Rotacionando a mira durante o nivelamento composto..............................................................................................................210 Figura 13.1 - Croqui e desenho final. ..................................................235Figura 13.2 - Exemplos de convenes topogrficas. .........................237Figura 13.3 - Diferentes formas de indicao do Norte.......................238Figura 13.4 - Diferentes representaes para uma mesma rea...........238Figura 13.5 - Diviso do desenho em camadas. ..................................239Figura 13.6 - Camadas auxiliares. .......................................................240Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical. ......................................240Figura 13.8 - Espaos para desenho, texto e legenda. .........................241Figura 13.9 - Exemplo de legenda.......................................................242Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado. ...........................................244Figura 15.1 - Diferentes formas de representao do relevo. ..............251Figura 15.2 - Pontos cotados. ..............................................................252Figura 15.3 - Interseo de um plano vertical com o relevo................252Figura 15.4 - Perfil. .............................................................................253Figura 15.4 - Perfil do Terreno............................................................253Figura 15.5 - Interseo do plano horizontal com a superfcie fsica. .253Figura 15.6 - Elevao e depresso. ...................................................255Figura 15.7 - Curvas mestras e secundrias.........................................255Figura 15.8 - Curvas de Nvel lisas.................................................256Figura 15.9 - Erro na representao das curvas: cruzamento. ............256Figura 15.10 - Erro na representao das curvas: encontro de curvas.256Figura 15.11 - Representao de relevos com diferentes inclinaes..257Figura 15.12 - Representao tridimensional do relevo e curvas de nvel..............................................................................................................257

Figura 15.13 - Representao a partir dos pontos obtidos em campo..258


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Figura 15.14 - Interpolao da cota de um ponto. ...............................258Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas. ......................................259Figura 15.16 - Interpolao das curvas empregando diagrama de linhasparalelas...............................................................................................260

Figura 15.17 - Traado de uma reta r com comprimento igual aodesnvel entre os pontos A e B. ...........................................................260Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB.................................261Figura 15.19 - Exemplo de interpolao numrica..............................262Figura 15.20 - Resultado da interpolao numrica para o segmento AB..............................................................................................................263 Figura 15.21 - Interpolao e desenho das curvas em uma clula damalha quadrada....................................................................................263Figura 15.22 - Ambigidade na representao em uma clula da malhaquadrada. .............................................................................................264Figura 15.23 - Malha triangular...........................................................265Figura 15.24 - Triangulao. ...............................................................265


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Lista de Tabelas

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias. ..................16Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria. ......................................17

Tabela 2.1 - Prefixos. ............................................................................21Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicaes...................................37Tabela 3.2 - Representao da preciso da escala. ................................39Tabela 5.1 - Preciso das trenas............................................................51Tabela 6.1 - Classificao dos Teodolitos.............................................75Tabela 6.2 - Exemplo de leituras utilizando reiterao. ........................89Tabela 9.1 - Coordenadas dos pontos de partida e de chegada..........158Tabela 12.1 - Classificao dos nveis.................................................197Tabela 13.1 - Formatos da srie A.......................................................241Tabela 15.1 - Escala e eqidistncia....................................................254


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1 - INTRODUO TOPOGRAFIA

1.1 - IntroduoO homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por

questes de sobrevivncia, orientao, segurana, guerras, navegao,construo, etc. No princpio a representao do espao baseava-se naobservao e descrio do meio. Cabe salientar que alguns historiadoresdizem que o homem j fazia mapas antes mesmo de desenvolver aescrita. Com o tempo surgiram tcnicas e equipamentos de medio quefacilitaram a obteno de dados para posterior representao. ATopografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estasmedies.

Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugare GRAPHEN descrio, assim, de uma forma bastante simples,Topografia significa descrio do lugar. A seguir so apresentadasalgumas de suas definies:

A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentose mtodos utilizados para obter a representao grfica de

uma poro do terreno sobre uma superfcie planaDOUBEK (1989).A Topografia tem por finalidade determinar o contorno,dimenso e posio relativa de uma poro limitada dasuperfcie terrestre, sem levar em conta a curvaturaresultante da esfericidade terrestre ESPARTEL (1987).

O objetivo principal efetuar o levantamento (executarmedies de ngulos, distncias e desnveis) que permita representar

uma poro da superfcie terrestre em uma escala adequada. soperaes efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para aposterior representao, denomina-se de levantamento topogrfico.

A Topografia pode ser entendida como parte da Geodsia, cincia quetem por objetivo determinar a forma e dimenses da Terra.

Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares)realizadas sobre a superfcie da Terra e a partir destas medidas calculam-

-se coordenadas, reas, volumes, etc. Alm disto, estas grandezas


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podero ser representadas de forma grfica atravs de mapas ou plantas.Para tanto necessrio um slido conhecimento sobre instrumentao,tcnicas de medio, mtodos de clculo e estimativa de preciso(KAHMEN; FAIG, 1988).

De acordo com BRINKER; WOLF (1977), o trabalho prticoda Topografia pode ser dividido em cinco etapas:

1) Tomada de deciso: onde se relacionam os mtodos delevantamento, equipamentos, posies ou pontos a serem levantados,etc.

2) Trabalho de campo ou aquisio de dados: efetuam-se asmedies e gravao de dados.

3) Clculos ou processamento: elaboram-se os clculosbaseados nas medidas obtidas para a determinao de coordenadas,volumes, etc.

4)Mapeamento ou representao: produz-se o mapa ou carta apartir dos dados medidos e calculados.

5)Locao.

De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), NormaBrasileira para execuo de Levantamento Topogrfico, o levantamento

topogrfico definido por:

Conjunto de mtodos e processos que, atravs demedies de ngulos horizontais e verticais, dedistncias horizontais, verticais e inclinadas, cominstrumental adequado exatido pretendida,primordialmente, implanta e materializa pontos de apoiono terreno, determinando suas coordenadas topogrficas.A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe

visando a sua exata representao planimtrica numaescala pr-determinada e sua representao altimtricapor intermdio de curvas de nvel, com eqidistnciatambm pr-determinada e/ou pontos cotados.

Classicamente a Topografia dividida em Topometria eTopologia.

A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores

do terreno e das leis que regem o seu modelado.


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3

A Topometria estuda os processos clssicos de medio dedistncias, ngulos e desnveis, cujo objetivo a determinao deposies relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria ealtimetria.

Tradicionalmente o levantamento topogrfico pode ser dividoem duas partes: o levantamento planimtrico, onde se procuradeterminar a posio planimtrica dos pontos (coordenadas X e Y) e olevantamento altimtrico, onde o objetivo determinar a cota ou altitudede um ponto (coordenada Z). A realizao simultnea dos doislevantamentos d origem ao chamado levantamento planialtimtrico. Afigura 1.1 ilustra o resultado de um levantamento planialtimtrico deuma rea.

Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamentoplanialtimtrico.


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A Topografia a base para diversos trabalhos de Engenharia,onde o conhecimento das formas e dimenses do terreno importante.Alguns exemplos de aplicao:

Projetos e execuo de estradas; Grandes obras de engenharia, como pontes, viadutos, tneis,

portos, etc.; Locao de obras; Trabalhos de terraplenagem; Monitoramento de estruturas; Planejamento urbano; Irrigao e drenagem;

Reflorestamentos; Etc.

Em diversos trabalhos a Topografia est presente na etapa deplanejamento e projeto, fornecendo informaes sobre o terreno; naexecuo e acompanhamento da obra; realizando locaes e fazendoverificaes mtricas; e finalmente no monitoramento da obra aps a suaexecuo, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas.

1.2 - Sistemas de Coordenadas

Um dos principais objetivos da Topografia a determinao decoordenadas relativas de pontos. Para tanto, necessrio que estas sejamexpressas em um sistema de coordenadas. So utilizados basicamentedois tipos de sistemas para definio unvoca da posio tridimensionalde pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas decoordenadas esfricas.

1.2.1 - Sistemas de Coordenadas CartesianasQuando se posiciona um ponto nada mais est se fazendo do

que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vezdevero estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existemdiversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados emGeometria e Trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmenterepresentam um ponto no espao bidimensional ou tridimensional.


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No espao bidimensional, um sistema bastante utilizado osistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Este um sistemade eixos ortogonais no plano, constitudo de duas retas orientadas X e Y,perpendiculares entre si (figura 1.2). A origem deste sistema ocruzamento dos eixos X e Y.

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas.

Um ponto definido neste sistema atravs de uma coordenadadenominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada(coordenada Y). Uma das notaes P(x, y) ou P= (x, y) utilizada paradenominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Na figura 1.3 apresenta-se um sistema de coordenadas, cujas

coordenadas da origem so O (0,0). Nele esto representados os pontosA(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

Figura 1.3 - Representao de pontos no sistema de coordenadascartesianas.

X

Y

Origem

30

20

10

-10 10 20 30

-20

B

A

C

X

Y

O


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Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaotridimensional caracterizado por um conjunto de trs retas (X, Y, Z)denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, asquais se interceptam em um nico ponto, denominado de origem. Aposio de um ponto neste sistema de coordenadas definida pelascoordenadas cartesianas retangulares (x, y, z) de acordo com a figura1.4.

Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrgiro e

levgiro.

Conforme a posio da direo positiva dos eixos, um sistemade coordenadas cartesianas pode ser dextrgiro ou levgiro (GEMAEL,1981, no paginado). Um sistema dextrgiro aquele onde umobservador situado no semi-eixo OZ v o semi-eixo OX coincidir com osemi-eixo OY atravs de um giro de 90 no sentido anti-horrio. Umsistema levgiro aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-

eixo OY atravs de um giro de 90no sentido horrio (figura 1.4).

1.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esfricas

Um ponto do espao tridimensional pode ser determinado deforma unvoca, conforme a figura 1.5, pelo afastamento r entre a origemdo sistema e o ponto R considerado, pelo ngulo formado entre osegmento OR e a projeo ortogonal deste sobre o plano xy e pelongulo que a projeo do segmento OR sobre o plano xy forma com o

Z

X

Y

O

P(x,y,z)

yx

z

Z

Y

X

O

P(x,y,z)

xy

z


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semi-eixo OX. As coordenadas esfricas de um ponto R so dadas por(r, , ). A figura 1.5 ilustra este sistema de coordenadas.

Supe-se o sistema de coordenadas esfricas sobreposto a umsistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, oponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expressopelas coordenadas esfricas (r, , ), sendo o relacionamento entre osdois sistemas obtido pelo vetor posicional:

=

sen

sencos

coscos

r

z

y

x

(1.1)

Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esfricas.

1.3 - Superfcies de Referncia

Devido s irregularidades da superfcie terrestre, utilizam-semodelos para a sua representao, mais simples, regulares e geomtricose que mais se aproximam da forma real para efetuar os clculos. Cadaum destes modelos tem a sua aplicao, e quanto mais complexa a figuraempregada para a representao da Terra, mais complexos sero osclculos sobre esta superfcie.

O

R (r, , )

r

Z

Y

X


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1.3.1 - Modelo Esfrico

Em diversas aplicaes a Terra pode ser considerada umaesfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizadosobre esta esfera atravs de sua latitude e longitude. Tratando-se deAstronomia, estas coordenadas so denominadas de latitude e longitudeastronmicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronmica (): o arco de meridiano contadodesde o equador at o ponto considerado, sendo, por conveno, positivano hemisfrio Norte e negativa no hemisfrio Sul.

- Longitude Astronmica (): o arco de equador contadodesde o meridiano de origem (

Greenwich) at o meridiano do ponto

considerado. Por conveno a longitude varia de 0 a +180 no sentidoleste de Greenwich e de 0 a -180 por oeste de Greenwich.

Figura 1.6 - Terra esfrica - coordenadas astronmicas.

1.3.2 - Modelo Elipsoidal

A Geodsia adota como modelo o elipside de revoluo(figura 1.7). O elipside de revoluo ou biaxial a figura geomtricagerada pela rotao de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um deseus eixos (eixo de revoluo); se este eixo for o menor tem-se umelipside achatado. Mais de 70 diferentes elipsides de revoluo soutilizados em trabalhos de Geodsia no mundo.

PS

GP

QQ

PN


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Um elipside de revoluo fica definido por meio de doisparmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodsia tradicional considerar como parmetros o semi-eixo maior a e oachatamento f, expresso pela equao (1.2).

a

baf

= (1.2)

a: semi-eixo maior da elipseb: semi-eixo menor da elipse

Figura 1.7 - Elipside de revoluo.

As coordenadas geodsicas elipsidicas de um ponto sobre oelipside ficam assim definidas (figura 1.8):

Latitude Geodsica (): ngulo que a normal forma com suaprojeo no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativapara o Sul.

Longitude Geodsica (): ngulo diedro formado pelomeridiano geodsico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo

positivo para Leste e negativo para Oeste.

A normal uma reta ortogonal ao elipside que passa peloponto P na superfcie fsica.

a

b

a

a

b


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Figura 1.8 - Coordenadas elipsidicas.

No Brasil, o atual Sistema Geodsico Brasileiro (SIRGAS2000- SIstema de Referncia Geocntrico para as AmricaS) adota oelipside de revoluo GRS80 (Global Reference System 1980), cujossemi-eixo maior e achatamento so:

a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101

1.3.3 - Modelo Geoidal

O modelo geoidal o que mais se aproxima da forma da Terra. definido teoricamente como sendo o nvel mdio dos mares emrepouso, prolongado atravs dos continentes. No uma superfcieregular e de difcil tratamento matemtico. A figura 1.9 representa deforma esquemtica a superfcie fsica da Terra, o elipside e o geide.

Figura 1.9 - Superfcie fsica da Terra, elipside e geide.

Gr

P

P

h

normal

h = altitude geomtrica (PP)

Superfcie Fsica

Geide

Elipside


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O geide uma superfcie equipotencial do campo dagravidade ou superfcie de nvel, utilizado como referncia para asaltitudes ortomtricas (distncia contada sobre a vertical, do geide at asuperfcie fsica) no ponto considerado.

As linhas de fora ou linhas verticais (em ingls plumb line)so perpendiculares a essas superfcies equipotenciais e materializadas,por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no pontoconsiderado. A reta tangente linha de fora em um ponto (em inglsdirection of plumb line) simboliza a direo do vetor gravidade nesteponto, e tambm chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra esteconceito.

Figura 1.10 - Vertical.

1.3.4 - Modelo Plano

Considera a poro da Terra em estudo com sendo plana. asimplificao utilizada pela Topografia. Esta aproximao vlidadentro de certos limites e facilita bastante os clculos topogrficos. Faceaos erros decorrentes destas simplificaes, este plano tem suasdimenses limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano naprtica a dimenso de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execuo deLevantamento Topogrfico) admite um plano com at aproximadamente

80 km.

Linha de fora oulinha vertical

P

g: direo do vetor gravidade do ponto P

(vertical)

Superfcie equipotencial ousuperfcie de nvel S

Superfcie equipotencial ousuperfcie de nvel S

P


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Segundo a NBR 13133, as caractersticas do sistema deprojeo utilizado em Topografia so:

a) As projetantes so ortogonais superfcie de projeo, significandoestar o centro de projeo localizado no infinito.

b) A superfcie de projeo um plano normal a vertical do lugar noponto da superfcie terrestre considerado como origem dolevantamento, sendo seu referencial altimtrico o referido Datumvertical brasileiro.

c) As deformaes mximas aproximadas inerentes desconsideraoda curvatura terrestre e refrao atmosfrica so:

l (mm) = - 0,001 l3(km)h (mm) = + 78,1 l2(km)h(mm) = + 67 l2(km)

Onde:

l = deformao planimtrica devida curvatura da Terra,em mm.

h = deformao altimtrica devida curvatura da Terra,em mm.h = deformao altimtrica devida ao efeito conjunto dacurvatura da Terra e da refrao atmosfrica, em mm.l = distncia considerada no terreno, em km.

d) O plano de projeo tem a sua dimenso mxima limitada a 80 km,a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente dadesconsiderao da curvatura terrestre, no ultrapasse 1:35000 nesta

dimenso e 1:15000 nas imediaes da extremidade destadimenso.

e) A localizao planimtrica dos pontos, medidos no terreno eprojetados no plano de projeo, se d por intermdio de umsistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a dolevantamento topogrfico;

f) O eixo das ordenadas a referncia azimutal, que, dependendo dasparticularidades do levantamento, pode estar orientado para o nortegeogrfico, para o norte magntico ou para uma direo notvel do

terreno, julgada como importante.


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Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto depontos no plano necessrio estabelecer um sistema de coordenadascartesianas para a representao dos mesmos. Este sistema pode sercaracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializadapelo fio de prumo);Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magntica ouverdadeira);Eixo X: sistema dextrgiro (formando 90 na direo leste).

A figura 1.11 ilustra este plano.

Figura 1.11 - Plano em Topografia.

Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direonotvel do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo,(figura 1.12).

PN

PS

Eixo Y

Eixo X

Eixo Z

Plano de Pro e o9090


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Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direo notvel.

1.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distncia e Altimetria

A seguir demonstrado o efeito da curvatura nas distncias ena altimetria. Na figura 1.13 tem-se que S o valor de uma distnciaconsiderada sobre a Terra esfrica e S a projeo desta distncia sobre oplano topogrfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distncia.

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Eixo X

Eixo Y


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A diferena entre Se S ser dada por:

S-S'S = (1.3)

Calculando S e Se substituindo na equao (1.3) tem-se:

tgRS' = (1.4)

RS = (1.5)

RRtgS = (1.6)

)= (tgRS (1.7)

Desenvolvendo tg em srie e utilizando somente os doisprimeiros termos:

(1.8)

(1.9)

Onde = S/R, logo:

(1.10)

(1.11)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativospara um conjunto de distncias.

K+++=

15

2 5

3

3tg

+=

3RS

3

3RS

3=

R3SS

2

3=


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Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias.S (km) s

1 0,008 mm

10 8,2 mm25 12,8 cm50 1,03 m70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordocom a figura 1.11.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

Atravs da figura 1.11 possvel perceber que:

hR

R

+=cos (1.12)

Isolando h na equao anterior:

= 1cos

1

Rh (1.13)

R: raio aproximado da: diferena de nvel entre ospontos B e B, este ltimo projeo de B no planotopogrfico.


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De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em srie 1/cos econsiderando que:

RS= (1.14)

Tem-se:

2

2Rh

= (1.15)

R2

S2h

= (1.16)

A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria paradiferentes distncias.

Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria.S h

100m 0,8 mm500m 20 mm

1 km 78 mm10 km 7,8 m70 km 384,6 m

Como pode ser observado atravs das tabelas 1.1 e 1.2, o efeitoda curvatura maior na altimetria que na planimetria. Durante oslevantamentos altimtricos alguns cuidados so tomados para minimizareste efeito, como ser visto nos captulos posteriores.

1.4 - Classificao dos Erros de Observao

Para representar a superfcie da Terra so efetuadas medidas degrandezas como direes, distncias e desnveis. Estas observaesinevitavelmente estaro afetadas por erros. As fontes de erro poderoser:


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Condies ambientais: causados pelas variaes dascondies ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variaodo comprimento de uma trena com a variao da temperatura.

Instrumentais:causados por problemas como a imperfeiona construo de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte doserros instrumentais pode ser reduzida adotando tcnicas deverificao/retificao, calibrao e classificao, alm de tcnicasparticulares de observao.

Pessoais: causados por falhas humanas, como falta deateno ao executar uma medio, cansao, etc.

Os erros, causados por estes trs elementos apresentados

anteriormente, podero ser classificados em: Erros grosseiros Erros sistemticos Erros aleatrios

1.4.1 - Erros Grosseiros

Causados por engano na medio, leitura errada nosinstrumentos, identificao de alvo, etc., normalmente relacionados com

a desateno do observador ou uma falha no equipamento. Cabe aoobservador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrncia oudetectar a sua presena. A repetio de leituras uma forma de evitarerros grosseiros.

Alguns exemplos de erros grosseiros:

Anotar 196 ao invs de 169; Engano na contagem de lances durante a medio de uma

distncia com trena.

1.4.2 - Erros Sistemticos

So aqueles erros cuja magnitude e sinal algbrico podem serdeterminados, seguindo leis matemticas ou fsicas. Pelo fato de seremproduzidos por causas conhecidas podem ser evitados atravs detcnicas particulares de observao ou mesmo eliminados mediante aaplicao de frmulas especficas. So erros que se acumulam ao longodo trabalho.


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Exemplo de erros sistemticos, que podem ser corrigidosatravs de frmulas especficas:

Efeito da temperatura e presso na medio de distncias commedidor eletrnico de distncia; Correo do efeito de dilatao de uma trena em funo da

temperatura.

Um exemplo clssico apresentado na literatura, referente adiferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemticos oposicionamento do nvel a igual distncia entre as miras durante onivelamento geomtrico pelo mtodo das visadas iguais, o queproporciona a minimizao do efeito da curvatura terrestre nonivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nveltubular.

1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatrios

So aqueles que permanecem aps os erros anteriores teremsido eliminados. So erros que no seguem nenhum tipo de lei e oraocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando onmero de observaes grande.

De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho deuma amostra elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuiode freqncia que muito se aproxima da distribuio normal.

1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais

Erros pequenos ocorrem mais freqentemente do que osgrandes, sendo mais provveis;

Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem comigual freqncia, ou so igualmente provveis;

A mdia dos resduos aproximadamente nula; Aumentando o nmero de observaes, aumenta a

probabilidade de se chegar prximo ao valor real.

Exemplo de erros acidentais:

Inclinao da baliza na hora de realizar a medida;


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Erro de pontaria na leitura de direes horizontais.

1.4.4 - Preciso e AcurciaA preciso est ligada a repetibilidade de medidas sucessivas

feitas em condies semelhantes, estando vinculada somente a efeitosaleatrios.

A acurcia expressa o grau de aderncia das observaes emrelao ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatrios esistemticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos.

Figura 1.15 - Preciso e acurcia.

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferenaentre eles: um jogador de futebol est treinando cobranas de pnalti.Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito dogoleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados noapresentaram nenhuma variao em torno do valor que se repetiu 10

vezes. Em compensao sua acurcia foi nula. Ele no conseguiu acertaro gol, verdadeiro valor, nenhuma vez.


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2 - REVISO MATEMTICA

Neste captulo realizada uma reviso de unidades etrigonometria, necessria para o estudo dos prximos temas a seremabordados.

2.1 - Unidades de Medida

2.1.1 - Medida de Comprimento (metro)

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia deCincias de Paris o definiu como unidade padro de comprimento. Suadimenso era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano daTerra.

Em 1983, a Conferncia Geral de Pesos e Medidas estabeleceua definio atual do metro como a distncia percorrida pela luz novcuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s.

O metro uma unidade bsica para a representao de medidasde comprimento no sistema internacional (SI).

Tabela 2.1 - Prefixos.

NomeValor

NumricoSmbolo Nome

ValorNumrico

Smbolo

Deca 101 da deci 10-1 d

Hecto 102 H centi 10-2 c

Kilo 103 K mili 10-3 m

Mega 106 M micro 10-6

Giga 109 G nano 10-9 n

Tera 1012 T pico 10-12 p


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2.1.2 - Medida Angular

2.1.2.1 - Radiano

Um radiano o ngulo central que subentende um arco decircunferncia de comprimento igual ao raio da mesma. uma unidadesuplementar do SI para ngulos planos.

2R 360 arco = R = raio (2.1)

Raio

Raio

Arco

Figura 2.1 - Representao de um arco de ngulo.

2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal

Grau

1 grau = 1/360 da circunferncia

grau 1 = (/180) rad

minuto 1 = 1/60=(/10800) rad

segundo 1 = 1/3600 =(/648000) rad

2.1.2.3 - Unidade Decimal

Grado

1 grado =1/400 da circunferncia

Um grado dividido em 100 e cada minuto tem 100.


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2.1.2.4 - Exerccios

1) Transformao de ngulos:

Transforme os seguintes ngulos em graus, minutos e segundospara graus e fraes decimais de grau.

a) 32 28 59 = 32, 48305556

b) 17 34 18,3 = 17,57175

c) 125 59 57 = 125,9991667

d) 200 08 06 = 200,135

2) Soma e subtrao de ngulos:

3020 + 2052 =

3020

+2052 51 125072

2841 + 3939 =

2841+3939 68 206780

4230 - 2040 =

4230 41 90- 2040 - 20 40 21 50

21 50


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OBS: comum, utilizando a calculadora, obter resultadoscom vrias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento.Por exemplo:

3020 30,33333333- 2052 - 20,86666666

21 50 9,56666666

= 9 27 59,999999 = 9 28

J para a transformao de graus decimais para graus,minutos e segundos, necessrio manter um mnimo de 6 casasdecimais para obter o dcimo do segundo com segurana.

3) Clculo de funes trigonomtricas utilizando uma calculadora

Ao aplicar as funes trigonomtricas (seno, cosseno e

tangente), com uma calculadora, o ngulo deve estar em graus e fraesde grausou radianos, sendo que neste ltimo caso, a calculadora deveestar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ngulo 22 09 04, calcular o valor do seno, cosseno etangente:

1) transformar para graus decimais ou radianos:

22 09 04 = 22,1511111= 0,386609821864 rad

2) aplicar a funo trigonomtrica desejada:

sen(22,1511111) = sen(0,386609821864 rad) = 0,377050629

cos(22,1511111) = cos(0,386609821864 rad) = 0,926192648

tg(22,1511111) = tg(0,386609821864 rad) = 0,407097411


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Ao aplicar-se a funo sem a transformao do ngulo pode-se incorrer em erros nos clculos futuros, como possvel observar noexemplo a seguir.

Para o ngulo = 22 09 04 calculando-se o valor da funoseno sem converter o valor do ngulo, obtm-se:

sen(22,0904) = 0,376069016

J transformando-o para graus decimais obtm-se:

sen(22,1511111) = 0,377050629Considerando uma distncia de 300 m, entre um vrtice de uma

poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguintediferena no valor de x calculado.

x = 300 sen (22,0904) = 300 0,376069016 x = 112,821 m

x = 300 sen (22,1511111) = 300 0,377050629 x = 113,115 m

Logo, uma diferena de 29,4 cm.

2.2 - Reviso de Trigonometria Plana

A trigonometria teve origem na Grcia, em virtude dosestudos das relaes mtricas entre os lados e os ngulos de umtringulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de

navegao, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo

A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180. Apartir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relaes:


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Figura 2.2 - Tringulo retngulo.

Seno

sen =)(

)(

aHipotenusa

cOpostoCateto

Cosseno

cos =)(

)(

aHipotenusa

bAdjacenteCateto

Tangente

tg =)(

)(

bAdjecenteCateto

cOpostoCateto

a

A

B

Cb

c


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2.2.2 - Teorema de Pitgoras

O quadrado do comprimento da hipotenusa igual a soma

dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

222 cba += (2.2)

2.3 - Exerccios

1) No tringulo abaixo, determinar as relaes solicitadas.

a = 2m

m

A

B

C

b= 3

c = 1m

sen =2

1

2

1=

m

m cos =

2

1

2

1=

m

m

cos =

2

3

2

3=

m

m sen =

2

3

2

3=

m

m

tg =3

1

3

1=

m

m tg = 3

1

3=

m

m

Obs.: importante lembrar que as funes trigonomtricas soadimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada,elas sempre se simplificaro como pode ser visto no exemplo acima.


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28

2) Um observador na margem de um rio v o topo de uma torrena outra margem segundo um ngulo de 560000. Afastando-se de20,00m, o mesmo observador v a mesma torre segundo um ngulo de35 0000. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

A

B C D

56 00'00"

35 00'00"h

d 20,00 m


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3) Para determinar a largura de um rio, um topgrafo mediu, apartir de uma base de 20,00 m de comprimento os ngulos em A e B,conforme figura. Calcule valor de h.

6200'00"

7400'00"AB

P

M

h

ab


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2.4 - Relaes Mtricas com o Tringulo Retngulo

Para um tringulo retngulo ABC pode-se estabelecer algumasrelaes entre as medidas de seus elementos:

Onde:

b, c: catetos;

h: altura relativa hipotenusa;

a: hipotenusa;

m, n: projees ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

As seguintes relaes mtricas podem ser definidas:

a) O quadrado de um cateto igual ao produto da hipotenusa

pela projeo desse cateto sobre a hipotenusa.

nab =2

mac =2

b) O produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pelaaltura relativa hipotenusa.

A

B C

b

a

c

nm H

h


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hacb =

c) O quadrado da altura igual ao produto das projees doscatetos sobre a hipotenusa.

nmh =2

d) O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados doscatetos.

222 cba += (Teorema de Pitgoras)

2.5 - Exerccio

A partir da primeira relao mtrica, deduzir o Teorema dePitgoras.

nab =2

mac =2

namacb +=+

22

)(22 nmacb +=+

Como anm =+ )(

)(22 aacb =+ ou 222 acb =+


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2.6 - Tringulo Qualquer

2.6.1 - Lei dos Senos

Num tringulo qualquer a razo entre cada lado e o seno dongulo oposto constante e igual ao dimetro da circunfernciacircunscrita.

A

B C

b

a

c

senC

c

senB

b

senA

a== (2.3)

2.6.2 - Lei dos Cossenos

Num tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobrodo produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ngulo que elesformam.

Acbcba cos2222 += (2.4)


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2.7 - Exerccio

Um topgrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20 m,realiza a medio dos ngulos horizontais a duas balizas colocadas em D

e C, com o auxlio de um teodolito. Calcule a distncia entre as balizas(CEFET, 1984).

DC = ?

4060

3085

A B

D C

20,00 m


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3 - ESCALAS

comum em levantamentos topogrficos a necessidade derepresentar no papel certa poro da superfcie terrestre. Para que istoseja possvel, teremos que representar as feies levantadas em umaescala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemosdefinir escala com sendo a relao entre o valor de uma distnciamedida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196(Emprego de escalas em desenho tcnico: procedimentos) define escalacomo sendo a relao da dimenso linear de um elemento e/ou umobjeto apresentado no desenho original para a dimenso real do mesmoe/ou do prprio objeto.

Normalmente so empregados trs tipos de notao para arepresentao da escala:

ME

1= (3.1)

D

dE= (3.2)

D

d

M=

1 (3.3)

Onde:

M = denominador da escala;

d = distncia no desenho;D = distncia no terreno.

Por exemplo, se uma feio representada no desenho com umcentmetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno de 100 metros, ento a escala de representao utilizada de 1:10.000.Ao utilizar a frmula (3.2) para o clculo da escala deve-se ter o cuidadode transformar as distncias para a mesma unidade. Por exemplo:


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35

d = 5 cm

000.10

1

000.50

5

5,0

5===

cm

cm

km

cmE

D = 0,5 km

As escalas podem ser de reduo (1:n), ampliao (n:1) ounaturais (1:1). Em Topografia as escalas empregadas normalmente so:1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que no algo rgido e estesvalores dependero do objetivo do desenho.

Uma escala dita grande quando apresenta o denominadorpequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). J uma escala pequenapossui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000, etc.).

O valor da escala adimensional, ou seja, no tem dimenso(unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenhoequivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no desenhocorresponde a 200 cm no terreno ou 1 milmetro do desenhocorresponde a 200 milmetros no terreno. Como as medidas no desenhoso realizadas com uma rgua, comum estabelecer esta relao em

centmetros:Desenho Terreno1 cm 200 cm1 cm 2 m1 cm 0,002 km

comum medir-se uma rea em um desenho e calcular-se suacorrespondente no terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma:Imagina-se um desenho na escala 1:50. Utilizando esta escala faz-se um

desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), no interessa qual estaunidade. A figura 3.1 apresenta este desenho.

A rea do quadrado no desenho (Ad) ser:

uuAd 22 = 24uAd= (3.4)


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Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u.

A rea do quadrado no terreno (At) ser ento:

)250()250( uuAt =

2).5050()22( uAt =

)5050(4 2 = uAt (3.5)

Substituindo a equao (3.4) na (3.5) e lembrando que M=50 o denominador da escala, a rea do terreno, em funo da rea medidano desenho e da escala dada pela equao (3.6).

2MAdAt = (3.6)

3.1 - Principais Escalas e suas Aplicaes

A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalasutilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicaes.

2u

2u


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Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicaes

Aplicao Escala

Detalhes de terrenos urbanos 1:50Planta de pequenos lotes e edifcios 1:100 e 1:200

Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000

Planta de propriedades rurais1:10001:20001:5000

Planta cadastral de cidades e grandespropriedades rurais ou industriais

1:5000

1:10 0001:25 000

Cartas de municpios1:50 0001:100 000

Mapas de estados, pases, continentes ,etc.1:200 000 a1:10 000 000

3.2 - Exerccios1) Qual das escalas maior 1:1 000 000 ou 1:1000?

2) Qual das escalas menor 1:10 ou 1:1000?

3) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho de1:18000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de

comprimento.

E= 1:18 000 d = 17,5 cm

D

dE=

D

cm5,17

18000

1=

D = 17,5 18 000

D = 315 000 cm ou 3150 m


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4) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distnciashomlogas na carta e no terreno so, respectivamente, 225 mm e 4,5 km.

5) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m ser representada naescala 1:10000?

6)Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m decomprimento nas escalas abaixo.

Escala Comprimento

1:100

1:200

1:250

1:500

1:1000

7) Um lote urbano tem a forma de um retngulo, sendo que o seucomprimento duas vezes maior que a sua altura e sua rea de

16.722,54 m2. Calcular os comprimentos dos lados se esta rea fosse

representada na escala 1:10 560. (Adaptado de Irvine s.d.)

8) As dimenses de um terreno foram medidas em uma carta e osvalores obtidos foram 250 mm de comprimento por 175 mm de largura.Sabendo-se que a escala do desenho de 1:2000, qual a rea doterreno em m2?

9) Se a avaliao de uma rea resultou em 2575 cm2para uma escala de

1:500, a quantos metros quadrados corresponder a rea no terreno?


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3.3 - Erro de Graficismo (eg)

O erro de graficismo (eg) uma funo da acuidade visual,

habilidade manual e qualidade do equipamento de desenho. De acordocom a NBR 13133 (Execuo de Levantamentos Topogrficos), o errode graficismo admissvel na elaborao do desenho topogrfico paralanamento de pontos e traados de linhas de 0,2 mm e equivale a duasvezes a acuidade visual.

Em funo deste valor possvel definir o valor dapreciso daescala (pe), ou seja, o menor valor representvel em verdadeiragrandeza, em uma escala.

Megpe = (3.7)

A tabela a seguir, ilustra o valor da preciso da escala (pe)paradiferentes escalas.

Tabela 3.2 - Representao da preciso da escala.

Escala p.e.

1:10.000 2m

1:2000 40cm

1:1000 20cm

1:500 10cm1:250 5cm

Em casos onde necessrio representar elementos comdimenses menores que as estabelecidas pela preciso da escala, podemser utilizados smbolos. A figura 3.2 apresenta exemplos de smbolosempregados em levantamentos topogrficos.

e


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Figura 3.2 - Smbolos utilizados para representar feies.

3.4 - A Escala Grfica

A escala grfica utilizada para facilitar a leitura de ummapa, consistindo-se em um segmento de reta dividido de modo amostrar graficamente a relao entre as dimenses de um objeto nodesenho e no terreno. Segundo JOLY (1996) um baco formado poruma linha graduada dividida em partes iguais, cada uma delasrepresentando a unidade de comprimento escolhida para o terreno ou umdos seus mltiplos.

Para a construo de uma escala grfica a primeira coisa afazer conhecer a escala do mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala1:4000. Deseja-se desenhar um retngulo no mapa que corresponda a100 metros no terreno. Aplicando os conhecimentos mostrados

anteriormente deve-se desenhar um retngulo com 2,5 centmetros decomprimento:

D

d

M

1=

000.10

d

4000

1= d = 2,5cm

100 m

25 mm

Isto j seria uma escala grfica, embora bastante simples. comum desenhar-se mais que um segmento (retngulo), bem comoindicar qual o comprimento no terreno que este segmento representa,conforme mostra a figura a seguir.

0 m 100 m 200 m 300 m

Luminria TelefonePblicorvore


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No caso anterior determinou-se que a escala grfica seriagraduada de 100 em 100 metros. Tambm possvel definir o tamanhodo retngulo no desenho, como por exemplo, 1 centmetro.

? m1 cm

0m 40 m 80 m 120m

1:4000 1cm = 40 m

Existe tambm uma parte denominada de talo, que consiste

em intervalos menores, conforme mostra a figura abaixo.

Uma forma para apresentao final da escala grfica

apresentada a seguir.

0 100

metros

Escala 1:40001cm = 40m

200 300 50100

0 m 100 m 200 m 300 m50 m100 m

talo


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4 - NORMALIZAO

4.1 - IntroduoA Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) o

rgo responsvel pela normalizao tcnica no pas, tendo sido fundadaem 1940 para fornecer a base necessria ao desenvolvimentotecnolgico brasileiro. A normalizao o processo de estabelecer eaplicar regras a fim de abordar ordenadamente uma atividade especficae com a participao de todos os interessados e, em particular, depromover a otimizao da economia, levando em considerao ascondies funcionais e as exigncias de segurana. Os objetivos danormalizao so (ABNT, 2003):

Economia: proporcionar a reduo da crescente variedade deprodutos e procedimentos;

Comunicao: proporcionar meios mais eficientes para a troca deinformaes entre o fabricante e o cliente, melhorando aconfiabilidade das relaes comerciais e servios;

Segurana: proteger a vida humana e a sade; Proteo ao consumidor: prover a sociedade de meios eficazes

para aferir a qualidade dos produtos; Eliminao de barreiras tcnicas e comerciais:evitar a existncia

de regulamentos conflitantes sobre produtos e servios emdiferentes pases, facilitando assim, o intercmbio comercial.

Atravs do processo de normalizao so criadas as normas. Asnormas da ABNT so classificadas em sete tipos diferentes (BIBVIRT,2003):

Procedimento: orientam a maneira correta para a utilizao demateriais e produtos, execuo de clculos e projetos, instalao demquinas e equipamentos e realizao do controle de produtos;

Especificao: fixam padres mnimos de qualidade para produtos; Padronizao: fixam formas, dimenses e tipos de produtos; Terminologia: definem os termos tcnicos aplicados a materiais,

peas e outros artigos; Simbologia: estabelecem convenes grficas para conceitos,

grandezas, sistemas, etc.;


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Classificao: ordenam, distribuem ou subdividem conceitos ouobjetos, bem como critrios a serem adotados;

Mtodo de ensaio: determinam a maneira de se verificar a

qualidade das matrias-primas e dos produtos manufaturados.As normas da ABNT tm carter nacional. Outros pases tm

seus prprios rgos responsveis pela normalizao, como a ANSI(American National Standards Institute -EUA) e DIN (Deutsches

Institut fur Normung - Alemanha). Existem tambm associaesinternacionais, como a ISO (International Organization forStandardization), fundada em 1946. A figura 4.1 ilustra os logotipos daABNT e ISO.

Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO.

Alguns exemplos de normas da ABNT so apresentados aseguir:

NBR 10068 - Folha de desenho - leiaute e dimensesNBR 8196 - Desenho tcnico - emprego de escalasNBR 10647 - Desenho tcnico - Norma geralNBR 10124 - Trena de fibra - fibra natural ou sintticaNBR 14166 - Rede de referncia cadastral municipal - procedimentoNBR 13133 - Execuo de levantamento topogrfico

Um exemplo de norma ISO a ISO 17123-1 (Optics andoptical instruments - Field procedures for testing geodetic instrumentsand surveying instruments - Part 1: Theory).

Particularmente na Topografia so de interesse as normas NBR13133 e NBR 14166.


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4.2 - NBR 13133 - Execuo de Levantamentos Topogrficos

Esta norma, datada de maio de 1994, fixa as condiesexigveis para a execuo de levantamentos topogrficos destinados aobter (ABNT, 1994, p.1):

Conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes,rea, localizao, amarrao e posicionamento;

Informaes sobre o terreno destinadas a estudos preliminaresde projeto;

Informaes sobre o terreno destinadas a anteprojetos ouprojeto bsicos;

Informaes sobre o terreno destinadas a projetos executivos.Tambm objetivo desta norma estabelecer condies

exigveis para a execuo de um levantamento topogrfico que devemcompatibilizar medidas angulares, medidas lineares, medidas dedesnveis e as respectivas tolerncias em funo dos erros, relacionandomtodos, processos e instrumentos para a obteno de resultadoscompatveis com a destinao do levantamento, assegurando que apropagao dos erros no exceda os limites de segurana inerentes a estadestinao (ABNT, 1994, p.1). Esta norma est dividida nos seguintesitens:

Objetivos e documentos complementares;

Definies: onde so apresentadas as definies adotadas pelanorma, como por exemplo, definies de croqui, exatido, errode graficismo, etc.;

Aparelhagem: instrumental bsico e auxiliar e classificao dos

instrumentos; Condies gerais: especificaes gerais para os trabalhostopogrficos;

Condies especficas: referem-se apenas s fases de apoiotopogrfico e de levantamento de detalhes que so as maisimportantes em termos de definio de sua exatido;

Inspeo do levantamento topogrfico; Aceitao e rejeio: condies de aceitao ou rejeio dos

produtos nas diversas fases do levantamento topogrfico;


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Anexos: exemplos de cadernetas de campo e monografias,convenes topogrficas e procedimento de clculo de desviopadro de uma observao em duas posies da luneta, atravs

da DIN 18723.4.3 - NBR 14166 - Rede de Referncia Cadastral Municipal

O objetivo desta norma fixar as condies exigveis para aimplantao e manuteno de uma Rede Cadastral Municipal. Estanorma vlida desde setembro de 1998. De acordo com ABNT (1998,p.2), a destinao desta Rede Cadastral Municipal :

Apoiar e elaborao e a atualizao de plantas cadastraismunicipais;

Amarrar, de um modo geral, todos os servios de Topografia,visando as incorporaes s plantas cadastrais do municpio;

Referenciar todos os servios topogrficos de demarcao, deanteprojeto, de projetos, de implantao e acompanhamento deobras de engenharia em geral, de urbanizao, delevantamentos de obras como construdas e de cadastrosimobilirios para registros pblicos e multifinalitrios.

Esta norma est dividida nos seguintes itens:

Referncias normativas: contm disposies que, ao seremcitadas no texto da norma, constituem prescries para amesma;

Definies: so apresentadas definies, como a de alturageomtrica, alinhamento de via ou alinhamento predial, etc.;

Estruturao e classificao da Rede de Referncia

Cadastral: seqncia de operaes que devem ser observadaspara a estruturao e implantao da Rede de Referncia; Requisitos gerais; Requisitos especficos; Inspeo: itens para inspeo dos trabalhos de implantao e

manuteno da rede; Aceitaoe rejeio;

Alm disto, apresenta anexos tratando das frmulas para

transformao de coordenadas geodsicas em coordenadas plano-


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retangulares no Sistema Topogrfico Local, clculo da convergnciameridiana a partir de coordenadas geodsicas e plano-retangulares noSistema Topogrfico Local e modelo de instrumento legal para aoficializao da Rede de Referncia Cadastral Municipal.


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5 - MEDIO DE DISTNCIAS

5.1 - Medida Direta de DistnciasA medida de distncias de forma direta ocorre quando a

mesma determinada a partir da comparao com uma grandeza padro,previamente estabelecida, atravs de trenas ou diastmetros.

5.1.1 - Trena de Fibra de Vidro

A trena de fibra de vidro feita de material resistente (produtoinorgnico obtido do prprio vidro por processos especiais). A figura 5.1

ilustra alguns modelos de trenas. Estes equipamentos podem serencontrados com ou sem envlucro, os quais podem ter o formato deuma cruzeta, ou forma circular e sempre apresentam distensores(manoplas) nas suas extremidades. Seu comprimento varia de 20 a 50 m(com envlucro) e de 20 a 100 m (sem envlucro). Comparada trenade lona, deforma menos com a temperatura e a tenso, no se deteriorafacilmente e resistente umidade e a produtos qumicos, sendotambm bastante prtica e segura.

Figura 5.1 - Modelos de trenas.


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Durante a medio de uma distncia utilizando uma trena, comum o uso de alguns acessrios como: piquetes, estacas testemunhas,balizas e nveis de cantoneira.

5.1.2 - Piquetes

Os piquetes so necessrios para marcar convenientemente osextremos do alinhamento a ser medido. Estes apresentam as seguintescaractersticas:

- fabricados de madeira rolia ou de seo quadrada com asuperfcie no topo plana;

- assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhasde cobre, pregos ou outras formas de marcaes que sejam permanentes;

- comprimento varivel de 15 a 30 cm (depende do tipo deterreno em que ser realizada a medio);

- dimetro variando de 3 a 5 cm;

- cravado no solo, porm, parte dele (cerca de 3 a 5 cm)deve permanecer visvel, sendo que sua principal funo amater

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