APOS: Sebuah Teori Belajar Konstruktivisme dalam Penelitian Pendidikan Matematika Sarjana Ed Dubinsky, Georgia State University, Amerika Serikat dan Michael A. McDonald, Occidental College, Amerika Serikat Pekerjaan yang dilaporkan dalam makalah ini didasarkan pada prinsip bahwa penelitian di pendidikan matematika diperkuat dalam beberapa cara ketika didasarkan pada perspektif teoritis. Pengembangan teori atau model dalam pendidikan matematika harus, dalam pandangan kami, bagian dari upaya untuk memahami bagaimana matematika dapat dipelajari dan apa program pendidikan dapat lakukan untuk membantu dalam belajar ini. Kami tidak berpikir bahwa teori belajar adalah pernyataan kebenaran dan meskipun mungkin atau tidak mungkin menjadi pendekatan untuk apa yang sebenarnya terjadi ketika seorang individu mencoba untuk belajar satu atau konsep lain dalam matematika, ini bukan fokus kita. Melainkan kita berkonsentrasi pada bagaimana teori pembelajaran matematika dapat membantu kita memahami proses pembelajaran dengan memberikan penjelasan fenomena yang kita dapat mengamati siswa yang mencoba untuk membangun pemahaman mereka tentang konsep-konsep matematika dan oleh menunjukkan arah untuk pedagogi yang dapat membantu dalam proses belajar. Model dan teori-teori dalam matematika pendidikan dapat Dukungan prediksi, Memiliki kekuatan penjelas, Dapat diterapkan untuk berbagai fenomena, Bantuan mengorganisasi pemikiran seseorang tentang kompleks, fenomena saling terkait, Berfungsi sebagai alat untuk menganalisis data, dan Menyediakan bahasa untuk mengkomunikasikan gagasan tentang belajar pergi bahwa di luar dangkal deskripsi. Kami ingin menawarkan enam fitur, tiga pertama yang diberikan oleh Alan Schoenfeld di "Menuju teori mengajar-dalam-konteks," Isu dalam Pendidikan, baik sebagai cara di mana teori dapat berkontribusi untuk penelitian dan sebagai kriteria untuk mengevaluasi teori. 2 Dalam makalah ini, kami menjelaskan satu perspektif tersebut, Teori APOS, dalam konteks sarjana pendidikan matematika. Kami menjelaskan sejauh mana ia memiliki karakteristik di atas, membahas peran bahwa teori ini memainkan dalam program penelitian dan pengembangan kurikulum dan bagaimana program seperti dapat berkontribusi untuk pengembangan teori, menjelaskan secara singkat bagaimana bekerja dengan khusus ini Teori telah menyediakan kendaraan untuk membangun sebuah komunitas peneliti dalam matematika sarjana pendidikan, dan menunjukkan penggunaan Teori APOS dalam studi penelitian yang spesifik, baik oleh peneliti yang sedang mengembangkan sebaik orang lain tidak terhubung dengan perkembangannya. Kami menyediakan, sehubungan dengan kertas ini, bibliografi beranotasi laporan penelitian yang melibatkan teori ini.

Teori APOS Teori kita ini dimulai dengan hipotesis bahwa pengetahuan matematika terdiri dalam individu kecenderungan untuk berurusan dengan situasi yang dirasakan masalah matematika dengan membangun mental yang tindakan, proses, dan benda-benda dan mengorganisir mereka dalam skema untuk memahami situasi dan memecahkan masalah. Dalam referensi untuk konstruksi-konstruksi mental yang kita sebut Teori APOS. Ide-ide timbul dari upaya kami untuk memperluas ke tingkat perguruan tinggi belajar matematika karya J. Piaget pada abstraksi reflektif dalam belajar anak-anak. Teori APOS dibahas secara rinci dalam Asiala, et. al. (1996). Kami akan berpendapat bahwa hal ini memiliki perspektif teoretis, setidaknya sampai batas tertentu, karakteristik yang tercantum di atas dan, apalagi, telah sangat berguna dalam mencoba untuk memahami siswa ' belajar dari berbagai topik dalam kalkulus, aljabar abstrak, statistik, matematika diskrit, dan lainnya bidang matematika sarjana. Berikut adalah ringkasan singkat dari komponen-komponen penting dari teori. Tindakan adalah transformasi objek dirasakan oleh individu sebagai dasarnya eksternal dan karena membutuhkan, baik secara eksplisit maupun dari memori, langkah-demi-langkah petunjuk tentang cara untuk melakukan operasi. Sebagai contoh, seorang individu dengan konsepsi tindakan koset kiri akan dibatasi bekerja dengan kelompok konkret seperti Z20 dan ia bisa membangun sub kelompok, seperti H = {0,4,8,12,16} dengan membentuk kelipatan 4. Kemudian individu bisa menulis koset kiri 5 sebagai set 5 + H = {1,5,9,13,17} yang terdiri dari unsur-unsur yang memiliki sisa Z20 1 jika dibagi dengan 4. 3 Ketika tindakan diulang dan individu mencerminkan atasnya, ia dapat membuat internal konstruksi mental yang disebut proses yang individu dapat berpikir sebagai melakukan jenis yang sama tindakan, tetapi tidak lagi dengan kebutuhan rangsangan eksternal. Seorang individu bisa memikirkan melakukan proses tanpa benar-benar melakukannya, dan karena itu dapat berpikir tentang membalikkan dan menyusun dengan proses lainnya. Seorang individu tidak dapat menggunakan konsepsi tindakan koset kiri diuraikan di atas sangat efektif untuk kelompok-kelompok seperti S4, kelompok permutasi dari empat objek dan H subgrup sesuai dengan gerakan kaku 8 persegi, dan tidak sama sekali untuk kelompok Sn untuk nilai-nilai besar dari n. Dalam kasus seperti ini, individu harus memikirkan koset kiri p permutasi sebagai himpunan semua ph produk, di mana h adalah elemen dari H. Berpikir tentang pembentukan set ini adalah proses konsepsi koset. Sebuah objek yang dibangun dari suatu proses ketika individu menjadi sadar akan proses sebagai totalitas dan menyadari bahwa transformasi dapat bertindak di atasnya. Sebagai contoh, seorang individu memahami koset-koset sebagai obyek ketika dia atau dia dapat berpikir tentang jumlah koset-koset dari subkelompok tertentu, bisa membayangkan membandingkan dua koset-koset untuk kesetaraan atau untuk kardinalitas mereka, atau dapat menerapkan operasi biner ke set dari

semua koset-koset suatu subkelompok. Akhirnya, skema untuk suatu konsep matematika tertentu adalah koleksi individu tindakan, proses, objek, dan skema lain yang dihubungkan oleh beberapa prinsip umum untuk membentuk sebuah kerangka dalam pikiran individu yang dapat dibawa untuk menanggung atas suatu situasi masalah yang melibatkan konsep itu. Kerangka kerja ini harus koheren dalam arti bahwa hal itu memberikan, secara eksplisit maupun implisit, cara menentukan fenomena dalam lingkup skema dan yang tidak. Karena teori ini menganggap bahwa semua entitas matematika dapat diwakili dalam hal tindakan, proses, objek, dan skema, skema ide sangat mirip dengan gambar konsep yang Tinggi dan Vinner memperkenalkan di "gambar Konsep dan definisi konsep dalam matematika dengan referensi khusus untuk batas dan kontinuitas, "Pendidikan Studi di Matematika, 12, 151-169 (1981). Persyaratan kami koherensi, bagaimanapun, membedakan dua konsep. Keempat komponen, tindakan, proses, objek, dan skema telah disajikan di sini dalam daftar hirarkis, memerintahkan. Ini adalah cara yang berguna untuk berbicara tentang konstruksi dan, dalam beberapa rasa, setiap konsepsi dalam daftar harus dibangun sebelum langkah selanjutnya adalah mungkin. Pada kenyataannya, bagaimanapun, ketika seorang individu sedang mengembangkan dirinya atau pemahaman tentang konsep, konstruksi tidak 4 benar-benar membuat sedemikian rupa linier. Dengan konsepsi aksi fungsi, misalnya, individu mungkin terbatas untuk berpikir tentang rumus-rumus yang melibatkan huruf yang dapat dimanipulasi atau diganti dengan angka dan perhitungan yang dapat dilakukan. Kami pikir pandangan ini sebagai mendahului konsepsi proses, di mana suatu fungsi dianggap sebagai mesin input-output. Apa yang sebenarnya terjadi, bagaimanapun, adalah bahwa individu akan mulai dengan yang dibatasi untuk jenis khusus tertentu dari formula, merefleksikan perhitungan dan mulai berpikir tentang proses, pergi kembali ke interpretasi tindakan, mungkin dengan formula yang lebih canggih, lebih mengembangkan konsepsi proses dan sebagainya. Di lain kata-kata, pembangunan dari berbagai konsepsi ide matematika tertentu lebih merupakan dialektika dari urutan linier. Teori APOS dapat digunakan secara langsung dalam analisis data oleh peneliti. Dalam berbutir sangat halus analisis, peneliti dapat membandingkan keberhasilan atau kegagalan siswa pada tugas matematika dengan konstruksi mental tertentu mereka mungkin atau tidak mungkin telah membuat. Jika ada muncul dua mahasiswa yang setuju dalam kinerja mereka sampai ke titik yang sangat spesifik matematika dan kemudian satu mahasiswa dapat mengambil lebih lanjut langkah sementara yang lain tidak bisa, peneliti mencoba untuk menjelaskan perbedaan tersebut dengan menunjuk dengan mental konstruksi tindakan, proses, objek dan / atau skema bahwa mantan mahasiswa tampaknya telah

dibuat tetapi yang lain tidak. Teori ini kemudian membuat prediksi diuji bahwa jika koleksi tertentu tindakan, proses, objek dan skema yang dibangun dengan cara tertentu oleh seorang mahasiswa, maka ini individu kemungkinan akan berhasil menggunakan konsep-konsep matematika tertentu dan dalam masalah tertentu situasi. Deskripsi rinci, disebut sebagai dekomposisi genetik, skema dalam hal ini konstruksi mental adalah cara mengorganisir hipotesis tentang bagaimana mempelajari konsep matematika dapat berlangsung. Deskripsi ini juga menyediakan bahasa untuk berbicara tentang hipotesis tersebut. Pengembangan Teori APOS Teori APOS muncul dari upaya untuk memahami mekanisme abstraksi reflektif, diperkenalkan oleh Piaget untuk menggambarkan perkembangan berpikir logis pada anak-anak, dan memperluas ide ini untuk konsep-konsep matematika lebih maju (Dubinsky, 1991a). Karya ini telah dijalankan oleh kelompok kecil peneliti yang disebut Penelitian dalam Pendidikan Masyarakat Sarjana Matematika (RUMEC) yang telah berkolaborasi pada proyek-proyek penelitian khusus menggunakan Teori APOS dalam 5 penelitian yang lebih luas dan kerangka pengembangan kurikulum. Kerangka kerja ini terdiri dari tiga dasarnya komponen: sebuah analisis teoritis dari sebuah konsep matematika tertentu, pengembangan dan pelaksanaan perawatan instruksional (menggunakan beberapa non-standar seperti strategi pedagogis belajar dan membangun konsep-konsep matematika pada komputer) koperasi berdasarkan teori analisis, dan pengumpulan dan analisis data untuk menguji dan menyempurnakan kedua analisis teoritis awal dan instruksi. Siklus ini diulang sesering yang diperlukan untuk memahami epistemologi dari konsep dan strategi untuk mendapatkan pedagogis yang efektif untuk membantu siswa belajar. Analisis teoritis awalnya didasarkan pada teori APOS umum dan peneliti pemahaman konsep matematika dalam pertanyaan. Setelah satu atau lebih pengulangan siklus dan revisi, juga didasarkan pada analisis halus dijelaskan di atas data yang diperoleh dari siswa yang mencoba untuk belajar atau yang telah belajar konsep. Analisis teoritis mengusulkan, dalam bentuk dari dekomposisi genetik, satu set konstruksi mental yang mahasiswa mungkin buat untuk memahami konsep matematika yang sedang dipelajari. Jadi, dalam kasus konsep koset-koset sebagai dijelaskan di atas, analisis mengusulkan bahwa siswa harus bekerja dengan contoh-contoh yang sangat jelas untuk membangun sebuah konsepsi tindakan koset, kemudian ia dapat interiorize tindakan ini untuk membentuk proses di mana (kiri) koset GH dari unsur g G dibayangkan sebagai kelompok yang terbentuk oleh proses iterasi melalui h elemen H, membentuk produk gh, dan mengumpulkan mereka dalam satu set disebut GH; dan akhirnya, sebagai hasil dari penerapan tindakan dan proses untuk contoh koset-koset, siswa merangkum proses pembentukan koset untuk memikirkan koset-koset sebagai obyek. Untuk lebih rinci deskripsi penerapan pendekatan ini koset-koset dan konsep terkait, lihat Asiala, Dubinsky, et. al. (1997). Pedagogi kemudian dirancang untuk membantu siswa membuat konstruksi-konstruksi mental dan menghubungkannya dengan konsep matematika koset. Dalam pekerjaan kami, kami telah menggunakan pembelajaran

kooperatif dan menerapkan konsep-konsep matematika pada komputer dalam bahasa pemrograman yang mendukung konstruksi matematika banyak dalam sintaks yang sangat mirip dengan notasi matematika standar. Jadi siswa, bekerja dalam kelompok, akan mengekspresikan contoh sederhana dari koset-koset pada komputer sebagai berikut. Z20: = {0} .. 19; op: = | (x, y) -> x + y (mod 20) |; 6 H: = {0,4,8,12,16}; 5H: = {1,5,9,13,17}; Untuk interiorize tindakan diwakili oleh kode komputer, para siswa akan membangun lebih rumit contoh koset-koset, seperti yang muncul dalam kelompok simetri. Sn: = {[a, b, c, d]: a, b, c, d di {1,2,3,4} | # {a, b, c, d} = 4}; op: = | (p, q) -> [p (q (i)): i dalam [1 .. 4]] |; H: = {[1,2,3,4], [2,1,3,4], [3,4,1,2], [4,3,2,1]}; p: = [4,3,2,1]; pH: = {p op q:. q di H}; Langkah terakhir, untuk merangkum proses konsepsi koset-koset untuk menganggap mereka sebagai objek, bisa sangat sulit bagi banyak siswa. Komputer kegiatan untuk membantu mereka mungkin termasuk membentuk himpunan semua koset-koset dari subkelompok, menghitung mereka, dan memilih dua koset-koset untuk membandingkan kardinalitas mereka dan menemukan mereka persimpangan. Tindakan ini dilakukan dengan kode seperti berikut ini. SnModH: = {{p op q: q di H}:. P dalam Sn}; # SnModH; L: = ARB (SnModH); K: = ARB (SnModH); # # K L =; L antar K; Akhirnya, para siswa menulis sebuah program komputer yang mengubah op operasi biner dari operasi atas unsur-unsur kelompok untuk himpunan bagian dari kelompok. Struktur ini memungkinkan mereka untuk membangun biner operasi (produk koset) pada himpunan semua koset-koset dari subkelompok dan mulai untuk menyelidiki quotient kelompok. Penting untuk dicatat bahwa dalam pendekatan pedagogis, hampir semua program yang ditulis oleh para siswa. Satu hipotesis bahwa penelitian menyelidiki adalah bahwa, apakah benar-benar berhasil atau tidak, tugas menulis kode yang sesuai menyebabkan siswa untuk membuat konstruksi mental tindakan, proses, objek, dan skema yang diusulkan oleh teori. Kerja komputer disertai dengan kelas diskusi yang memberikan siswa kesempatan untuk merefleksikan apa yang telah mereka lakukan di lab komputer dan menghubungkannya dengan konsep-konsep matematika dan sifat mereka dan hubungan. Setelah konsep-konsep yang di tempat di pikiran mereka, para siswa ditugaskan (di kelas, pekerjaan rumah dan pemeriksaan) standar latihan banyak dan masalah yang berkaitan dengan koset-koset. 7 Setelah siswa telah melalui seperti pengobatan instruksional, kuantitatif dan instrumen kualitatif dirancang untuk menentukan konsep-konsep mental mereka mungkin telah dibangun dan matematika mereka mungkin telah belajar. Poin-poin analisis teoritis untuk peneliti pertanyaan mungkin

tanyakan dalam proses analisis data dan hasil analisis data ini menunjukkan kedua sejauh instruksi yang telah efektif dan kemungkinan revisi dalam dekomposisi genetik. Cara melakukan penelitian dan pengembangan kurikulum secara simultan menekankan baik teori dan aplikasi untuk praktik mengajar. Refining teori Seperti disebutkan di atas, teori membantu kita menganalisis data dan upaya kami untuk menggunakan teori untuk menjelaskan data dapat menyebabkan perubahan dalam teori. Perubahan ini dapat dari dua jenis. Biasanya, genetik dekomposisi dalam analisis teoritis asli direvisi dan disempurnakan sebagai hasil dari data. Pada langka kasus, mungkin perlu untuk meningkatkan keseluruhan teori. Sebuah contoh penting seperti revisi adalah penggabungan konsep trias Piaget dan Garcia (1989) yang mengarah ke yang lebih baik pemahaman tentang konstruksi skema. Penambahan ke teori diperkenalkan di Clark, et. al. (1997) di mana mereka melaporkan pada pemahaman siswa terhadap aturan rantai, dan sedang lanjut diuraikan dalam tiga studi saat ini: urutan nomor (.. Mathews, et al, dalam persiapan); yang rantai aturan dan kaitannya dengan komposisi fungsi (Cottrill, 1999), dan hubungan antara grafik fungsi dan sifat turunan pertama dan kedua (Baker, et al.., disampaikan). Dalam setiap dari studi ini, pemahaman tentang skema seperti dijelaskan di atas tidak memadai untuk memberikan penjelasan yang memuaskan dari data dan pengenalan tiga serangkai membantu untuk menguraikan lebih dalam pemahaman tentang skema dan memberikan penjelasan yang lebih baik dari data. Mekanisme triad terdiri dalam tiga tahap, disebut sebagai Intra, Inter, dan Trans, di pengembangan hubungan seorang individu dapat membuat antara konstruk tertentu dalam skema, serta koherensi koneksi ini. Tahap Intra pembangunan skema ini ditandai dengan fokus pada tindakan individu, proses, dan objek secara terpisah dari kognitif lainnya item yang sifatnya serupa. Sebagai contoh, dalam konsep fungsi, seorang individu di tingkat Intra, akan cenderung untuk fokus pada fungsi tunggal dan berbagai kegiatan yang dia bisa melakukan dengan itu. Para 8 Inter tahap ditandai oleh pembangunan dan transformasi hubungan antara entitas kognitif. Pada tahap ini, seseorang mungkin mulai item grup bersama-sama dan bahkan memanggil mereka dengan nama yang sama. Dalam kasus fungsi, individu mungkin berpikir tentang menambahkan fungsi, menyusun mereka, dll dan bahkan mulai berpikir dari semua operasi ini individu sebagai contoh dari jenis yang sama Aktivitas: transformasi fungsi. Akhirnya, pada tahap individu Trans konstruksi implisit atau struktur yang mendasari eksplisit melalui mana hubungan dikembangkan dalam tahap Inter dipahami dan yang memberikan skema koherensi dimana individu dapat memutuskan apa yang ada dalam lingkup skema dan apa yang tidak. Sebagai contoh, seorang individu pada tahap Trans untuk fungsi konsep bisa membangun berbagai sistem transformasi fungsi seperti cincin fungsi, ruang vektor terbatas dimensi fungsi, bersama-sama dengan operasi termasuk dalam seperti struktur matematika. Menerapkan Teori APOS Termasuk dengan kertas ini adalah bibliografi beranotasi dari penelitian yang berkaitan dengan Teori APOS, yang

pengembangan dan penggunaan yang berkelanjutan dalam studi penelitian tertentu. Penelitian ini menyangkut matematika konsep-konsep seperti: fungsi; berbagai topik dalam aljabar abstrak termasuk operasi biner, kelompok, subkelompok, koset-koset, normalitas dan kecerdasan kelompok; topik dalam matematika diskrit seperti matematika induksi, permutasi, simetri, bilangan eksistensial dan universal; topik dalam kalkulus termasuk batas, aturan rantai, pemahaman grafis dari urutan derivatif dan tak terbatas jumlahnya; topik dalam statistik seperti mean, standar deviasi dan teorema limit sentral, nomor SD topik-topik seperti teori nilai tempat dalam basis n angka, dibagi, kelipatan dan konversi nomor dari satu basis ke yang lain, dan fraksi. Dalam sebagian besar pekerjaan ini, konteks untuk studi perguruan tinggi topik matematika tingkat sarjana dan mahasiswa. Dalam kasus penelitian nomor teori, peneliti menguji pemahaman konsep pra-kuliah matematika oleh mahasiswa mempersiapkan diri untuk menjadi guru. Akhirnya, beberapa studi seperti yang dari fraksi, menunjukkan bahwa Teori APOS, dikembangkan untuk berpikir "maju" matematika, juga merupakan alat yang berguna dalam mempelajari siswa ' pemahaman konsep matematika lebih dasar. 9 Totalitas dari tubuh bekerja, sebagian besar dilakukan oleh anggota RUMEC terlibat dalam pengembangan teori, namun peningkatan jumlah dilakukan oleh peneliti perorangan tidak memiliki hubungan dengan RUMEC atau konstruksi teori, menunjukkan bahwa Teori APOS adalah alat yang dapat digunakan obyektif untuk menjelaskan kesulitan siswa dengan berbagai konsep-konsep matematika dan untuk menyarankan cara-cara yang siswa dapat belajar konsep-konsep. Teori APOS dapat menunjukkan kita menuju strategi pedagogis yang menyebabkan peningkatan yang nyata dalam belajar siswa tentang konsep-konsep matematika yang kompleks atau abstrak dan menggunakan siswa 'konsep-konsep untuk membuktikan teorema, memberikan contoh, dan memecahkan masalah. Data mendukung pernyataan ini dapat ditemukan di koran tercantum dalam bibliografi. Menggunakan Teori APOS untuk mengembangkan komunitas peneliti Pada tahap ini dalam pengembangan penelitian dalam pendidikan matematika sarjana, ada tidak sejumlah yang cukup besar peneliti maupun program-program sekolah pascasarjana cukup untuk melatih baru peneliti. Pendekatan lain, seperti peneliti yang berpengalaman dan pemula bekerja sama dalam tim pada masalah penelitian tertentu, perlu dimanfaatkan setidaknya secara sementara. RUMEC adalah salah satu contoh dari komunitas penelitian yang telah memanfaatkan pendekatan ini dalam pelatihan peneliti baru. Selain itu, sebuah teori tertentu dapat digunakan untuk menyatukan dan fokus pekerjaan kelompok tersebut. Para kelompok awal peneliti di RUMEC, sekitar 30 total, membuat keputusan untuk memfokuskan pekerjaan penelitian mereka sekitar Teori APOS. Ini bukan untuk tujuan membangun dogma atau menciptakan tertutup komunitas riset, melainkan itu adalah keputusan berdasarkan kepentingan saat ini dan kebutuhan kelompok

peneliti. RUMEC dibentuk oleh kombinasi peneliti didirikan dan pada awal pendidikan matematika. Jadi satu peran penting dari RUMEC adalah mentoring ini baru peneliti. Memiliki perspektif teoretis tunggal di mana karya awalnya RUMEC beralasan menguntungkan bagi mereka yang baru mulai di daerah ini. Pada pertemuan RUMEC, diskusi bisa fokus tidak hanya pada rincian proyek individu sebagai mereka mengembangkan, tetapi juga pada umumnya teori yang mendasari semua pekerjaan. Selain itu, kepentingan umum kelompok dalam teori ini dan sering diskusi tentang hal itu dalam konteks proyek penelitian aktif telah menyebabkan pertumbuhan dalam teori itu sendiri. Ini adalah kasus, misalnya, dalam pengembangan tiga serangkai sebagai alat untuk memahami skema. 10 Sebagai karya kelompok ini jatuh tempo, individu mulai menggunakan perspektif teoretis lainnya dan mode lainnya melakukan penelitian. Ringkasan Dalam makalah ini, kami telah disebutkan enam cara di mana teori dapat berkontribusi untuk penelitian dan kami menyarankan bahwa daftar ini dapat digunakan sebagai kriteria untuk mengevaluasi teori. Kami telah menjelaskan bagaimana seorang seperti perspektif, Teori APOS sedang digunakan, dengan cara yang terorganisasi, oleh anggota RUMEC dan orang lain untuk melakukan penelitian dan mengembangkan kurikulum. Kami telah menunjukkan bagaimana mengamati keberhasilan siswa dalam membuat atau tidak membuat konstruksi mental diajukan oleh teori dan menggunakan pengamatan tersebut untuk menganalisis data dapat mengatur pemikiran kita tentang belajar konsep-konsep matematika, memberikan penjelasan siswa kesulitan dan memprediksi keberhasilan atau kegagalan dalam memahami konsep matematika. Ada yang luas berbagai konsep matematika yang APOS Teori dapat dan telah diterapkan dan teori ini adalah digunakan sebagai bahasa untuk mengkomunikasikan gagasan tentang belajar. Kami juga telah melihat bagaimana teori ini didasarkan pada data, dan telah digunakan sebagai kendaraan untuk membangun sebuah komunitas peneliti. Namun penggunaannya tidak terbatas kepada anggota komunitas itu. Akhirnya, kami menyediakan sebuah bibliografi beranotasi yang menyajikan rincian lebih lanjut tentang teori ini dan penggunaannya dalam penelitian dalam matematika sarjana pendidikan. 11 Sebuah Bibliografi Beranotasi karya yang mengembangkan atau memanfaatkan Teori APOS I. Arnon. Mengajar pecahan di sekolah dasar dengan menggunakan perangkat lunak "Pecahan sebagai Ekuivalensi Kelas "dari Pusat Teknologi Pendidikan, Konferensi Tahunan Kesembilan untuk Komputer di Pendidikan, Organisasi Israel untuk Komputer dalam Pendidikan, Kitab Abstracts, Tel-Aviv, Israel, hal 48, 1992. (Dalam bahasa Ibrani).

I. sungai Arnon, R. Nirenburg dan M. Sukenik. Mengajar nomor desimal menggunakan benda konkret, The Kedua Konferensi Asosiasi untuk Kemajuan Pendidikan Matematika di Israel, Kitab Abstrak, Yerusalem, Israel, hal 19, 1995. (Dalam bahasa Ibrani). I. Arnon. Menyempurnakan penggunaan benda konkret untuk mengajar matematika kepada anak-anak pada usia beton operasi, Konferensi Ketiga Asosiasi untuk Kemajuan dari Matematika Pendidikan di Israel, Kitab Abstracts, Yerusalem, Israel, hal 69, 1996. (Dalam bahasa Ibrani). I. Arnon. Dalam mata pikiran: Bagaimana anak-anak mengembangkan konsep-konsep matematika - yang memperpanjang Piaget teori. Doktor disertasi, Sekolah Pendidikan, Universitas Haifa, 1998a. I. Arnon. Serupa tahapan dalam perkembangan konsep bilangan rasional dan konsep nomor desimal, dan hubungan yang mungkin antara perkembangan mereka, Konferensi Kelima dari Asosiasi untuk Kemajuan Pendidikan Matematika di Israel, Kitab Abstrak. Be'erTuvia, Israel, hal 42, 1998b. (Dalam bahasa Ibrani). Penelitian oleh Arnon dan rekan-rekannya yang tercantum di atas berhubungan dengan pengembangan matematika konsep oleh anak-anak sekolah dasar. Setelah menciptakan sebuah kerangka kerja yang APOS menggabungkan teori, teori Nesher pada Sistem Pembelajaran, dan ide-ide Yerushalmy dari multi-representasi, ia menyelidiki pengenalan konsep-konsep matematika seperti beton tindakan dibandingkan diperkenalkan sebagai objek konkret. Dia menetapkan jalur perkembangan untuk fraksi-konsep tertentu. Dia menemukan bahwa siswa kepada siapa pecahan diperkenalkan sebagai tindakan konkret berkembang lebih baik di sepanjang jalur ini dari siswa kepada siapa fraksi yang diperkenalkan sebagai objek beton. Selain itu, temuan membangun tahap berikut dalam pengembangan tindakan nyata menjadi objek abstrak: setelah meninggalkan bahan beton, dan sebelum mencapai tingkat abstrak, anak-anak melakukan tindakan nyata dalam imajinasi mereka. Ini sesuai dengan teori APOS interiorization. M. Artigue, Enseanza y aprendizaje del analisis elemental: Qu se puede aprender de las Investigaciones didcticas y los cambios curriculares? Revista de Investigacion en Latinoamericana Matiemtica Educativa, 1, 1, 40-55, 1998. Pada bagian pertama dari makalah ini, penulis membahas sejumlah kesulitan mahasiswa dan mencoba untuk menjelaskan mereka menggunakan berbagai teori pembelajaran termasuk Teori APOS. Siswa ' keengganan untuk menerima bahwa 0,999 ... sama dengan 1 dijelaskan, misalnya, dengan menafsirkan mantan sebagai proses, yang terakhir sebagai obyek sehingga keduanya tidak dapat dilihat sebagai yang sama sampai siswa dapat merangkum proses yang merupakan kesulitan umum. Pada bagian kedua dari kertas, penulis membahas langkah-langkah yang telah diambil di Prancis selama 20 Century untuk mengatasi kesulitan-kesulitan ini. 12 M. Asiala, A. Brown, D. DeVries, E. Dubinsky, D. Mathews dan K. Thomas. Sebuah kerangka kerja untuk penelitian dan pengembangan kurikulum dalam pendidikan sarjana matematika, Research in Collegiate Pendidikan Matematika II, Isu CBMs di Matematika Pendidikan, 6, 1-32, 1996. Detail penulis kerangka penelitian dengan tiga komponen dan memberikan contoh yang aplikasi. Kerangka kerja ini menggunakan metode kualitatif untuk penelitian dan didasarkan pada sangat khusus teoritis perspektif yang dikembangkan melalui upaya untuk memahami ide-ide Piaget tentang abstraksi reflektif dan merekonstruksi mereka dalam konteks tingkat perguruan tinggi matematika. Untuk komponen pertama, analisis teoritis, penulis menyajikan APOS

teori. Untuk komponen kedua, penulis menggambarkan perawatan instruksional khusus, termasuk siklus mengajar ACE (kegiatan, diskusi kelas, dan latihan), koperasi belajar, dan penggunaan bahasa pemrograman ISETL. Komponen akhir terdiri dari pengumpulan data dan analisis. M. Asiala, A. Brown, J. Kleiman dan D. Mathews. Pengembangan pemahaman siswa permutasi dan simetri, International Journal of Komputer untuk Pembelajaran Matematika, 3, 13 43, 1998. Para penulis meneliti bagaimana siswa aljabar abstrak mungkin datang untuk memahami permutasi dari terbatas set dan simetri dari sebuah poligon beraturan. Mereka memberikan analisis teoritis awal dari apa yang bisa berarti untuk memahami permutasi dan simetri, dinyatakan dalam APOS. Mereka menggambarkan pendekatan instruksional yang dirancang untuk membantu mendorong pembentukan konstruksi mental didalilkan oleh analisis teoritis, dan mendiskusikan hasil wawancara dan kinerja pada pemeriksaan. Hasil ini menunjukkan bahwa pendekatan pedagogis itu cukup efektif dalam siswa membantu mengembangkan konsepsi yang kuat dari permutasi dan simetri. Berdasarkan data yang dikumpulkan sebagai bagian dari penelitian ini, penulis mengusulkan revisi analisis epistemologis permutasi dan simetri dan memberikan saran pedagogis. M. Asiala, J. Cottrill, E. Dubinsky dan K. Schwingendorf. Perkembangan grafis siswa pemahaman derivatif, Jurnal Matematika Perilaku, 16 (4), 399-431, 1997. Dalam penelitian ini penulis mengeksplorasi pemahaman grafis kalkulus siswa fungsi dan fiturnya derivatif. Sebuah analisis teoritis awal dari konstruksi kognitif yang mungkin diperlukan untuk memahami ini diberikan dalam hal APOS. Pengobatan instruksional yang dirancang untuk membantu mendorong pembentukan konstruksi-konstruksi mental yang dijelaskan, dan hasil wawancara, dilakukan setelah pelaksanaan pengobatan instruksional, yang dibahas. Berdasarkan data yang dikumpulkan sebagai bagian dari studi ini, analisis epistemologis direvisi untuk grafis pemahaman derivatif diusulkan. Data komparatif juga menunjukkan bahwa siswa yang menjalani terapi instruksional berdasarkan analisis teoritis mungkin memiliki lebih sukses dalam mengembangkan pemahaman grafis dari fungsi dan turunannya dari siswa dari program tradisional. M. Asiala, E. Dubinsky, D. Mathews, S. dan A. Oktac Morics. Mahasiswa memahami koset-koset, normalitas dan kecerdasan kelompok, Jurnal Matematika Perilaku, 16 (3), 241-309, 1997. Menggunakan analisis epistemologis awal dari Dubinsky, Dautermann, Leron dan Zazkis (1994), penulis menentukan sejauh mana perspektif APOS menjelaskan siswa ' konstruksi mental konsep kelompok koset-koset, normalitas dan kecerdasan, mengevaluasi 13 efektivitas pengobatan instruksional dikembangkan untuk mendorong konstruksi mental siswa, dan membandingkan kinerja siswa yang menerima perawatan ini instruksional dengan orang-orang menyelesaikan kursus tradisional. T. Ayers, G. Davis, E. Dubinsky dan P. Lewin. Komputer pengalaman dalam pengajaran komposisi fungsi, Jurnal Penelitian di Matematika Pendidikan, 19 (3),, 246-259 1988. Siswa dari dua bagian dari sebuah perguruan tinggi matematika laboratorium (n = 13) yang diberi komputer pengalaman untuk membantu mendorong abstraksi reflektif dinilai lebih tinggi pada tes pemahaman mereka fungsi dan komposisi dari mahasiswa dari bagian lain (n = 17) yang diajarkan

sesuai dengan metode tradisional. Perbandingan ini didasarkan pada pertanyaan-pertanyaan yang dimaksudkan untuk menunjukkan apakah abstraksi reflektif telah terjadi. B. Baker, L. Cooley dan M. Trigueros. Skema triad - Sebuah contoh kalkulus. Diajukan untuk publikasi. Dalam makalah ini penulis laporan tentang cara-cara siswa mencoba untuk memecahkan non-rutin matematika masalah yang melibatkan grafik fungsi yang diberikan sifat-sifat tertentu seperti batas tertentu terkait dengan fungsi, kontinuitas, dan informasi derivatif pertama dan kedua. Dalam rangka untuk menganalisis data wawancara penulis memperpanjang teori pembangunan dalam skema APOS teori. Mereka menemukan bahwa siswa harus berurusan dengan dua skema yang berbeda dan bahwa, untuk mahasiswa tertentu, mereka bisa skema pada tahap perkembangan yang berbeda. Skema pertama berhubungan dengan garis nyata dan penanganan informasi yang diberikan dalam interval tumpang tindih; yang kedua adalah skema untuk berbagai sifat fungsi. Bangunan pada pekerjaan Piaget dan Garcia serta Clark, Cordero, et. al. (1997), penulis mengembangkan sebuah triad teoritis ganda kerangka dalam hal interaksi antara dua skema dan mengklasifikasikan siswa dalam kedua triad tingkat. Mereka menemukan tanggapan siswa di masing-masing dari sembilan tingkat yang mungkin, kecuali satu: properti trans - Interval tingkat intra. Selain perkembangan teoritis, penulis menunjukkan kesulitan-kesulitan tertentu siswa memiliki masalah ini: memahami grafis arti dari turunan kedua, membayangkan kurva kontinu yang memiliki sebuah titik puncak, menggambar titik-titik belok, dan berkaitan kontinuitas untuk didiferensiasi. D. Breidenbach, E. Dubinsky, J. Hawks dan D. Nichols. Pengembangan konsepsi proses fungsi, Studi Pendidikan di Matematika,, 23 247-285, 1992. Para penulis berpendapat bahwa teori APOS, dan bagaimana itu berlaku untuk konsep fungsi, menunjuk ke suatu instruksional pengobatan, menggunakan komputer, yang menghasilkan perbaikan substansial dalam pemahaman fungsi bagi banyak siswa. Para siswa tampak mengembangkan proses konsepsi fungsi dan mampu menggunakannya untuk melakukan tugas-tugas matematika tertentu. A. Brown, D. DeVries, E. Dubinsky dan K. Thomas. Belajar operasi biner, kelompok, dan subkelompok, Jurnal Matematika Perilaku, 16 (3),, 187-239 1997. Para penulis meneliti bagaimana siswa aljabar abstrak mungkin datang untuk memahami biner operasi, kelompok, dan subkelompok. Menggunakan teori APOS, mereka memberikan analisis awal apa yang bisa berarti untuk memahami topik ini. Mereka menggambarkan pengobatan instruksional dirancang untuk membantu mendorong pembentukan konstruksi mental didalilkan oleh teori analisis, dan mendiskusikan hasil wawancara dan kinerja ujian yang menunjukkan bahwa 14 instruksi berhasil. Berdasarkan data yang dikumpulkan, mereka mengusulkan revisi epistemologis analisis topik ini, dan memberikan beberapa saran pedagogis lebih lanjut. A. Brown, K. Thomas dan G. Tolias. Sifat dan pengembangan guru SD preservice ' pemahaman dibagi. Dalam persiapan. Para penulis laporan pemeriksaan pemahaman guru SD calon 'dari konsep kelipatan, dengan fokus khusus pada beberapa paling umum. Siswa ' pemahaman diperiksa menggunakan teori APOS. M. Brust. Solucion de Ecuaciones de detik Grado. B.Sc. Instituto Tecnologico Autonomo de Meksiko, 1997.

APOS digunakan untuk membuat dekomposisi awal apa yang mungkin berarti untuk memahami konsep solusi dari persamaan derajat kedua dan untuk merancang dan kemudian menganalisis wawancara. Lima belas siswa usia 15-16 diwawancarai untuk menganalisis pemahaman mereka tentang apa solusi untuk persamaan derajat kedua berarti, pemahaman mereka tentang parameter dimasukkan dalam sebuah persamaan atau rumus kuadrat umum yang digunakan untuk memecahkan persamaan seperti itu, kemampuan mereka untuk memanipulasi persamaan, fleksibilitas mereka dalam memilih metode solusi tergantung dari khususnya persamaan, kemampuan mereka untuk menafsirkan makna grafis dari solusi dan kemampuan untuk melambangkan masalah verbal yang menghasilkan persamaan derajat kedua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa tidak memahami dengan jelas peran variabel dan parameter dalam persamaan atau rumus kuadrat. Mereka mengalami kesulitan menafsirkan makna solusi grafis. Siswa juga menunjukkan kecenderungan yang kuat untuk menggunakan metode aritmatika dan menggeneralisasi tindakan yang mereka ikuti ketika memecahkan persamaan urutan pertama. Hampir semua siswa tidak percaya bahwa metode yang berbeda dari solusi berada di setara fakta. Hal ini menyiratkan bahwa sebagian besar siswa pada tingkat pemahaman tindakan, meskipun beberapa berada di sebuah tingkat proses. M. Carlson. Sebuah penyelidikan penampang perkembangan konsep fungsi, Penelitian di Pendidikan Matematika Collegiate III, Isu CBMs di Matematika Pendidikan, 7, 114-162, 1998. Dalam penelitian ini penulis meneliti perkembangan siswa tentang konsep berfungsi sebagai mereka kemajuan melalui sarjana matematika. Sebuah ujian mengukur pemahaman siswa aspek utama dari konsep fungsi dikembangkan dan diberikan kepada siswa yang baru saja diterima A dalam aljabar kuliah, semester kedua kehormatan kalkulus, atau tahun pertama pascasarjana matematika program. Tindak lanjut wawancara dilakukan dengan lima siswa dari masing-masing kelompok-kelompok ini. Prosedur analisis data memperhitungkan memperhitungkan teori APOS serta lainnya kerangka peneliti telah digunakan untuk mengklasifikasikan pandangan konseptual siswa fungsi. Para Penulis mencapai sejumlah kesimpulan, termasuk perjanjian dengan Breidenbach, et al. (1992) pemahaman bahwa siswa 'fungsi ditingkatkan sebagai hasil dari terlibat dalam konstruksi kegiatan. G. Carmona. Konsep singgung dan hubungannya dengan konsep derivatif. Doktor tesis, Instituto Tecnologico Autonomo de Meksiko, 1996. Siswa terpilih yang telah menyelesaikan kursus kalkulus dua, atau yang berada di akhir mereka studi tersebut diberikan kuesioner dan mewawancarai. APOS dekomposisi dari konsep 15 singgung dan turunan berdasarkan hasil Tostado (1995) digunakan. Ditemukan bahwa beberapa konsepsi siswa sangat resisten terhadap perubahan bahkan ketika mereka diajarkan menggunakan komputer atau non-metode tradisional. Selain itu, bahkan jika siswa melakukan perubahan, setelah program kalkulus konsepsi asli mereka cenderung muncul kembali ketika mereka lepas kontak dengan matematika formal. J. Clark, F. Cordero, J. Cottrill, B. Czarnocha, DJ DeVries, D. St. Yohanes, G. Tolias dan D. Vidakovic. Membangun skema: Kasus aturan rantai, Jurnal Matematika Perilaku, 16 (4), 345-364, 1997. Berdasarkan deskripsi awal (dekomposisi genetik) dari bagaimana konsep aturan rantai dapat belajar, usaha untuk menginterpretasikan data wawancara siswa menggunakan APOS dibuat. Para

insufisiensi ini saja menyebabkan perpanjangan dari teori APOS untuk menyertakan teori pengembangan skema didasarkan pada ide-ide Piaget dan Garcia. Triad Piaget adalah disarankan sebagai mekanisme untuk menggambarkan pengembangan skema pada umumnya, dan aturan rantai yang digunakan sebagai contoh. Tiga serangkai dari intra-, antar-dan trans-tingkat perkembangan skema menyediakan struktur untuk menafsirkan pemahaman siswa terhadap aturan rantai dan mengklasifikasikan mereka tanggapan untuk mewawancarai pertanyaan tentang aturan rantai. Hasil analisis data ini diperbolehkan untuk analisis epistemologis revisi aturan rantai. J. Clark, D. DeVries, G. Litman, M. Meletiou, S. Morics, K. Schwingendorf dan D. Vidakovic. Sebuah kisah kemajuan: Penelitian dalam pendidikan sarjana matematika. Dikirimkan untuk publikasi. Untuk membuat titik bahwa ketika sekelompok peneliti melekat pada sebuah kerangka kerja tertentu dan perspektif teoretis selama periode waktu, kemajuan yang dapat dibuat baik di memahami bagaimana siswa belajar matematika dan dalam membangun pedagogi pada pemahaman itu, penulis melaporkan pada karya-karya kolektif dari sekelompok peneliti yang telah mengadopsi APOS sebagai dasar untuk studi penelitian perkembangan kognitif mahasiswa 'dan pemahaman konsep matematika. Makalah ini memberikan gambaran singkat dari teori APOS diikuti oleh sampel diskrit matematika pelajaran tentang belajar (single-level) kuantifikasi. Pelajaran ini ditawarkan sebagai contoh tentang bagaimana penelitian berakar pada perspektif APOS telah menyebabkan pedagogis strategi. Makalah ini kemudian merangkum beberapa penelitian, bahan pengajaran, dan metode yang telah dikembangkan selama dekade terakhir menggunakan kerangka teoritis dan perspektif. Penelitian yang diuraikan adalah dalam bidang pemahaman mahasiswa konsep-konsep dalam pra-kalkulus, kalkulus, aljabar abstrak, statistik, dan matematika diskrit. J. Clark, C. Hemenway, D. St. Yohanes, G. Tolias dan R. wakil. Siswa sikap terhadap Abstrak Aljabar, Primus, untuk tampil. Para penulis melaporkan pada satu studi penelitian dan program pengembangan kurikulum dalam abstrak aljabar. Perlakuan instruksional didasarkan pada teori APOS dan tempat-tempat penekanan khusus pada kegiatan pemrograman komputer dan pembelajaran kooperatif. Siswa dari kedua ini dan lebih kursus tradisional diwawancarai tentang kesan mereka terhadap kursus dan aljabar abstrak pada umumnya. Tanggapan mereka disukai komputer / pendekatan pembelajaran kooperatif dalam banyak hal, meskipun isi dari kursus ini setidaknya sama ketat dan menuntut untuk mereka seperti yang dari program yang lebih tradisional. 16 J. Clark dan D. Mathews. Siswa yang berhasil "konsepsi dari mean, standar deviasi dan Teorema Limit Tengah. Dalam persiapan. Para penulis menyajikan analisis berdasarkan APOS audio-rekaman wawancara klinis dengan perguruan tinggi mahasiswa segera setelah mereka menyelesaikan kursus statistik dasar dan memperoleh grade "A". Para penulis menemukan bahwa APOS adalah cara yang berguna untuk menggambarkan siswa ' pengertian mean, deviasi standar, dan Teorema Limit Sentral. Selain itu, mereka

menyimpulkan bahwa instruksi tradisional dalam statistik tidak membantu siswa membuat yang sesuai konstruksi mental yang. Secara khusus, instruksi tradisional tampaknya menghambat siswa dari bergerak dari proses ke sebuah konsepsi objek deviasi standar, dan bahwa sangat sulit bagi siswa untuk bergerak di luar gambar proses yang kuat dari standar deviasi. F. Cordero. Entendimiento de los del conceptos Analisis y calculo. Las Construcciones mentales como un marco epistemolgico, en (R. Farfan, red.) Actas de la Reunion Undcima Latinoamericana de Matemtica Educativa, Grupo Editorial Iberoamrica, primera edicin, 38-41, 1997. Penulis menyelidiki arti dari konstruksi mental ketika perspektif teoretis menempatkan bersama-sama pengertian, kerangka epistemologis, dan aspek fungsional matematika pengetahuan. Dia menyimpulkan bahwa gagasan pengembangan skema di APOS teori memainkan peran yang sangat penting. F. Cordero y M. Solis. Actos visuales y analticos en el entendimiento de la ecuaciones diferenciales lineales, en (R. Farfan, red.) Actas de la Reunion Undcima Latinoamericana de Matemtica Educativa, Grupo Editorial Iberoamrica, primera edicin, 69-73, 1997. Para penulis melaporkan pada sebuah proyek penelitian tentang pemahaman persamaan diferensial linear dengan menggunakan tindakan analitik dan visual berdasarkan konstruksi mental seperti yang dijelaskan dalam teori APOS. F. Cordero. El entendimiento de algunas categoras conocimiento del del calculo y analisis: el caso de comportamiento tendencial de las funciones, Revista de Investigacion en Latinoamericana Matemtica Educativa, Numero 1, 56-74, 1998. Dalam konteks sekolah-mengajar, penulis mengalami argumen yang diberikan oleh siswa pada subyek grafik fungsi. Ia menyebut hal ini argumen "perilaku tendencial fungsi" karena sifatnya. Penulis menunjukkan beberapa konstruksi dari argumen ini seperti yang dilakukan oleh siswa dan analisis data mereka menggunakan versi teori APOS. J. Cottrill. Mahasiswa memahami konsep aturan rantai dalam kalkulus tahun pertama dan hubungannya dengan mereka pemahaman tentang komposisi fungsi. Disertasi doktor, Universitas Purdue. (Penyelesaian diharapkan 1999.) Ini adalah studi tindak lanjut Clark, Cordero, et. al (1997). Penulis menemukan bahwa tiga serangkai Mekanisme menjelaskan pengamatan perilaku siswa dan dapat digunakan untuk mengembangkan instruksi untuk membantu siswa membuat konstruksi mental tertentu. Hal ini menyajikan lebih rinci deskripsi intra-, antar-, dan trans-tingkat perkembangan skema aturan rantai daripada yang diberikan dalam Clark, Cordero, et. al (1997). 17 J. Cottrill, E. Dubinsky, D. Nichols, K. Schwingendorf, K. Thomas dan D. Vidakovic. Memahami konsep batas: Dimulai dengan skema proses yang terkoordinasi, Jurnal Matematika Perilaku, 15 (2), 167-192, 1996. Para penulis menyarankan variasi baru dari dikotomi antara konsep-konsep yang dinamis atau proses batas dan konsepsi statis atau formal. Mereka juga mengusulkan penjelasan tentang mengapa konsepsi sangat sulit bagi siswa untuk membangun. E. Dubinsky dan P. Lewin. Reflektif abstraksi dan pendidikan matematika: The genetik dekomposisi induksi dan kekompakan, Jurnal Matematika Perilaku,, 5 55-92, 1986. Para penulis merumuskan awal teori belajar konsep-konsep matematika abstrak di tingkat pasca-sekolah menengah (pendahulu teori APOS) dengan menginterpretasikan epistemologi Piaget, berfokus pada model equilibrium dan konsep abstraksi reflektif. Mereka kemudian menggunakan konsep induksi matematika dan kekompakan untuk menjelaskan ide-ide teoritis dan menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk tiba di dekomposisi genetik koheren cukup canggih

konsep. E. Dubinsky. Pengajaran I. induksi matematika Jurnal Matematika Perilaku, 6 (1), 305-317, 1987. Sebuah versi prototipe dari sebuah pendekatan baru untuk mengajar induksi matematika digunakan dalam kelas kecil. Perlakuan instruksional didasarkan pada versi awal teori APOS dari pembelajaran matematika konsep-konsep abstrak di mana peserta didik menggunakan abstraksi reflektif untuk membangun skema baru dari yang lama dalam hirarki yang pada akhirnya mencapai yang diinginkan konsep. Pengobatan menggunakan pengalaman komputer tertentu dalam upaya untuk mendorong siswa untuk membuat abstraksi reflektif yang sesuai. Metode ini dipandang cukup efektif dan beberapa daerah perbaikan yang mungkin ditunjukkan. E. Dubinsky, F. Elterman dan Gong C.. Siswa pembangunan kuantifikasi, Untuk Belajar Matematika, 8 (2),, 44-51 1988. Dalam makalah ini, penulis rinci dekomposisi genetik diusulkan untuk konsep kuantifikasi. Pengamatan tersebut diambil dari kajian informal dari Matematika Diskrit kelas di mana kuantifikasi merupakan topik utama dan pengobatan instruksional komputer yang digunakan pengalaman dengan SETL, bahasa pemrograman yang berbasis ISETL. E. Dubinsky. Pada mengajar II induksi matematika. Jurnal Matematika Perilaku, 8, 285-304, 1989. Tulisan ini merupakan kelanjutan dari Dubinsky dan Lewin (1986) dan Dubinsky (1987). Di sini penulis rincian dua eksperimen kelas di mana pendekatan secara teoritis berbasis instruksional pengalaman komputer menggunakan dengan SETL dan ISETL dilaksanakan. Siswa tampaknya mengembangkan sikap yang lebih positif terhadap pembuatan bukti induksi. Mereka benar-benar berhasil dalam memecahkan masalah lurus ke depan. Ketika disajikan dengan lebih sulit, asing masalah, mereka cenderung untuk mengatur masalah yang paling benar dan biasanya jelas bahwa siswa tahu bagaimana menggunakan induksi dan berniat untuk melakukannya, meskipun beberapa kesulitan dengan bukti spesifik bertahan. 18 E. Dubinsky. Reflektif abstraksi dalam pemikiran matematika canggih, dalam (D. Tinggi, red.) Lanjutan Berpikir Matematika, Dordrecht: Kluwer, 95-126, 1991a. Penulis membuat kasus bahwa konsep abstraksi reflektif dapat menjadi alat yang ampuh dalam studi pemikiran matematika canggih, yang dapat memberikan dasar teoritis yang mendukung dan memberikan kontribusi untuk pemahaman kita tentang apa yang dipikirkan ini, dan menunjukkan bagaimana kita dapat membantu siswa mengembangkan kemampuan untuk terlibat di dalamnya. E. Dubinsky. Para konstruktif aspek abstraksi reflektif dalam matematika maju, di (LP Steffe, red) epistemologis Yayasan Pengalaman Matematika, New York:. Springer-Verlag, 1991b. Penulis menyajikan pembahasan singkat dari teori mengembangkan pengetahuan matematika dan nya akuisisi. Dia juga menjelaskan metode khusus konstruksi bahwa ia telah diamati pada siswa. Dia menyajikan analisis induksi, kuantifikasi, dan fungsi yang telah dipelajari dengan menggunakan sudut pandang ini. E. Dubinsky. Sebuah pendekatan teori belajar kalkulus, dalam (Z. Karian, red.) Simbolis perhitungan

dalam sarjana pendidikan matematika, Catatan MAA, 24, matematika Association of America, 48-55, 1992. Penulis menguraikan teori APOS tentang bagaimana orang dapat mempelajari konsep matematika. Dia kemudian membahas beberapa pilihan tentang mengajar yang tampaknya mengikuti dari keyakinan tentang belajar teori ini yang telah membimbingnya. Secara khusus, ia membahas bagaimana komputer dapat digunakan dalam mengajar dan belajar. E. Dubinsky dan G. Harel. Sifat dari proses konsepsi fungsi, dalam (G. Harel dan E. Dubinsky, eds) Konsep fungsi: Aspek epistemologi dan pedagogi, Catatan MAA, 25,. Asosiasi Matematika Amerika, 85-106, 1992. Para penulis meneliti wawancara dengan 13 siswa yang telah melalui sebuah instruksional pengobatan berdasarkan teori APOS dan yang melibatkan kegiatan pemrograman ISETL untuk melihat bagaimana jauh melampaui konsepsi aksi dan berapa banyak menjadi konsepsi proses setiap siswa berada di akhir instruksi. Para penulis menemukan bahwa proses konsepsi fungsi sangat kompleks dan memeriksa data melalui sejumlah aspek: pembatasan siswa untuk memiliki sekitar apa fungsi adalah, tingkat keparahan dari pembatasan, kemampuan siswa untuk membangun suatu proses ketika tidak ada yang eksplisit dalam situasi, dan kebingungan mereka dengan satu-ke-satu. E. Dubinsky. Sebuah teori dan praktek pembelajaran matematika perguruan tinggi, di (A. Schoenfeld, ed.) Berpikir dan Pemecahan Masalah Matematika. Hillsdale: Erlbaum, 221-243, 1994. Penulis meneliti dua dikotomi dan melihat cara-cara untuk membangun sintesis antara dua tampaknya gagasan yang berbeda. Kedua dikotomi diperiksa adalah bahwa penelitian dan pengembangan, dan keyakinan dan pilihan. Sebagai bagian dari pemeriksaan, teori APOS perspektif pembangunan yang melibatkan proses mental dan objek disajikan. 19 E. Dubinsky, J. Dautermann, U. Leron dan R. Zazkis. Pada belajar konsep dasar dari kelompok teori, Studi Pendidikan di Matematika, 27 (3),, 267-305 1994. Para penulis menyajikan salah satu dari penyelidikan sistematis pertama pembangunan siswa tentang konsep kelompok kelompok, subkelompok, koset, normalitas dan kecerdasan. Menggunakan teori APOS, yang penulis membuat pengamatan umum tentang topik ini pembelajaran yang spesifik, sifat kompleks "Pemahaman", dan peran kesalahan dan kesalahpahaman. E. Dubinsky. ISETL: Sebuah bahasa pemrograman untuk belajar matematika, Komunikasi pada Murni dan Terapan Matematika, 48, 1-25, 1995. Penulis memberikan sejarah singkat dari perkembangan strategi pedagogis untuk membantu siswa mempelajari konsep-konsep matematika di tingkat pasca-sekolah menengah. Metode ini menggunakan ISETL untuk mengimplementasikan instruksi dirancang berdasarkan teori APOS. ISETL dijelaskan dalam beberapa detail dan contoh diberikan dari penggunaan pedagogi ini dalam aljabar abstrak, kalkulus, dan matematika induksi. E. Dubinsky, Pada pembelajaran kuantifikasi, Jurnal Matematika dan Komputer dalam Pengajaran Ilmu Pengetahuan, 16 (2 / 3), 335-362, 1997. Dalam penelitian ini penulis meneliti belajar siswa kuantifikasi universal dan eksistensial. Instruksi dalam kursus tersebut didasarkan pada analisis teoritis dari kuantifikasi ditemukan di

Dubinsky, Elterman dan Gong (1988) dan dirancang untuk membantu siswa untuk membuat efektif konstruksi matematika dalam pikiran mereka dengan membuat konstruksi-konstruksi di komputer menggunakan ISETL. Hasil dari pertanyaan tertulis menunjukkan bahwa ketika pendekatan pedagogis dijelaskan digunakan, siswa dapat mengembangkan beberapa pemahaman tentang kuantifikasi dan kemampuan untuk bekerja dengan itu, bahkan ketika masalah-masalah khusus mereka diberi sulit. J. Kuhn, G. McCabe dan K. Schwingendorf. Sebuah studi longitudinal dari program reformasi C4L: Perbandingan siswa C4L dan tradisional. Dikirimkan untuk publikasi. Para penulis menyajikan hasil perbandingan statistik antara 205 siswa yang mengambil Kalkulus saja, Konsep, Komputer dan Pembelajaran Kooperatif (kursus reformasi yang dirancang menggunakan teori APOS) dan 4431 mahasiswa yang mengambil kursus kalkulus tradisional di Purdue Universitas. Data terdiri dari nilai dan jumlah kalkulus dan non-kalkulus mata pelajaran matematika yang diambil oleh setiap siswa. Reformasi siswa kursus mendapatkan nilai lebih tinggi dalam kursus kalkulus, adalah sebagai cukup siap untuk kursus matematika di luar kalkulus serta semua program akademik lain, mengambil kursus kalkulus yang lebih, dan mengambil sekitar jumlah yang sama non-kalkulus matematika program sebagai mahasiswa tradisional diajarkan. D. Lozano. El Concepto de Variabel: sebuah Evolucin lo largo de la Instruccin Matemtica. B.Sc. Tesis, Instituto Tecnologico Autonomo de Meksiko, 1998. Penulis dimulai dari dekomposisi dari perbedaan penggunaan variabel dalam aljabar dasar sebelumnya dikembangkan oleh Ursini dan Trigueros. Tujuan utama adalah untuk mempelajari bagaimana pemahaman tentang variabel berkembang melalui sekolah sehingga siswa mempelajari melibatkan usia 12-18 tahun. Sebuah kuesioner dan wawancara digunakan untuk menganalisis cara siswa menangani dan konsep perbedaan penggunaan variabel - termasuk variabel sebagai tidak diketahui, variabel sebagai 20 sejumlah umum dan variabel dalam hubungan fungsional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa konsepsi variabel tidak meningkatkan secara substansial sebagai kuliah aljabar lebih banyak diambil, dan kesulitan yang siswa tidak bersifat kognitif atau epistemologis, tetapi bahwa mereka adalah konsekuensi dari pendekatan didactical saat ini. D. Mathews, M. A. McDonald dan K. Strobel. Memahami urutan: Sebuah kisah dua benda. Dalam persiapan. APOS digunakan untuk menguji konstruksi kognitif siswa tentang konsep urutan. Para penulis menunjukkan bahwa siswa cenderung untuk membangun dua objek kognitif yang berbeda dan mengacu pada baik sebagai urutan. Satu konstruksi, yang penulis sebut SEQLIST, adalah apa yang bisa mengerti sebagai representasi daftar berurutan. Yang lain, yang mereka sebut SEQFUNC, adalah apa yang mungkin menafsirkan sebagai representasi fungsional berurutan. Seperti hubungan antara dua entitas menjadi kuat, dan para siswa merenungkan koneksi ini, mereka mulai memahami urutan sebagai entitas tunggal dan SEQLIST kognitif dan SEQFUNC sebagai matematika representasi dari entitas ini. Dalam makalah ini penulis detil pembangunan SEQLIST dan SEQFUNC oleh siswa, dan mencirikan hubungan antara mereka melalui tiga serangkai model pengembangan skema diperkenalkan oleh Clark, Cordero, et. al. (1997). M. A. Tostado. Derivatif dan tangen: Sebuah studi longitudinal. Tesis doktornya, Instituto Tecnologico Autonomo de Meksiko, 1995.

Dalam tesis ini penulis mengeksplorasi konsepsi siswa tentang tangen dan derivatif dalam grafis konteks. Sebuah kuesioner dan wawancara digunakan untuk mengumpulkan data dari siswa di nilai yang berbeda di universitas, terdaftar di jurusan yang berbeda. APOS digunakan untuk menghasilkan dekomposisi genetik dari kedua konsep dan itu juga digunakan untuk menganalisis tanggapan siswa untuk kuesioner. Penulis mencoba untuk melihat apakah pemahaman siswa meningkatkan ketika mereka mengambil kursus matematika lebih dan jika pemahaman adalah berbeda sesuai dengan utama mereka. Apa yang ditemukan adalah bahwa ada perbaikan dalam pemahaman siswa sementara mereka mengambil kursus kalkulus tetapi mereka lupa dengan sangat cepat apa yang mereka tampaknya telah belajar. Hanya siswa di jurusan matematika berbuat lebih baik di akhir studi mereka daripada di awal; yang lain kemunduran hampir pada konsepsi asli mereka. M. Trigueros, S. Ursini, R. Quintero, dan A. Reyes. Siswa 'pendekatan untuk menggunakan variabel yang berbeda. Prosiding Konferensi XIX PME, 1995. M. Trigueros, S. dan A. Ursini Reyes. Mahasiswa 'konsepsi variabel. Prosiding XX PME Konferensi Internasional, Spanyol, 1996. M. Trigueros dan S. Ursini. Memahami perbedaan penggunaan variabel: Sebuah studi awal dengan perguruan tinggi siswa. Prosiding Konferensi Internasional PME XXI, Finlandia, 1997. M. Trigueros dan S. Ursini. Mulai mahasiswa 'kesulitan dalam bekerja dengan menggunakan berbagai variabel. Dikirimkan untuk publikasi. Dalam penelitian di atas dengan Trigueros, Ursini, dan rekan, para penulis memeriksa mahasiswa ' pengertian variabel. Secara khusus, mereka memeriksa kemampuan siswa untuk menafsirkan dan menggunakan variabel sebagai diketahui, sebagai nomor umum, dan sebagai variabel dalam hubungan fungsional yang sederhana. 21 Hasil semua didasarkan pada analisis rinci respon yang diberikan oleh 164 perguruan tinggi mulai siswa untuk kuesioner dari 65 item berakhir terbuka. Hasil penelitian menunjukkan kegigihan kesalahpahaman dan pendekatan karakteristik siswa aljabar mulai di sekolah rendah tingkat. Bukti menunjukkan di satu sisi bahwa siswa 'yang berlabuh pada tingkat tindakan, di respon mereka yang tampaknya menjadi reaksi terhadap tanda-tanda penting hadir dalam sebuah ekspresi (kuadrat eksponen, tanda sama). Di sisi lain, ada kecenderungan bagi siswa untuk mengandalkan dan menerapkan aturan hafal tanpa menentukan apakah mereka berkaitan dengan situasi yang diberikan. Akhirnya, kebanyakan siswa mengalami kesulitan beralih ke tingkat abstraksi di mana variabel dipahami sebagai obyek. D. Vidakovic. Koperasi pembelajaran: Perbedaan antara kelompok dan proses individual konstruksi konsep fungsi invers. Disertasi doktor tidak dipublikasikan, Universitas Purdue, 1993. Penelitian dilakukan dengan lima kelompok siswa bekerja sama dalam mempelajari beberapa kegiatan, dan lima individu yang bekerja sendirian di tugas yang sama. Kegiatan terkait dengan ide fungsi, khususnya invers dan komposisi fungsi. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari lebih lanjut tentang bagaimana konsep-konsep dapat dipelajari, dan karenanya mengajar, serta untuk menyelidiki perbedaan antara kelompok dan konstruksi mental individu

konsep. Para APOS (aksi-proses-objek-skema) kerangka teoritis yang digunakan sebagai pedoman dalam merancang penelitian dan menganalisis dan menafsirkan data. Sebagai hasil dari studi, dekomposisi genetik dari konsep fungsi invers adalah disimpulkan dan pengobatan instruksional dikembangkan. Selanjutnya, sebagai akibat dari empiris induktif investigasi, rekomendasi dalam memilih kerja kelompok selama pemecahan masalah individu memiliki telah dibuat. M. Wahlberg. Efek dari penulisan tugas pada pemahaman siswa kalkulus semester kedua ' konsep batas. Dikirimkan untuk publikasi. Selama satu semester, kelompok perlakuan (n = 37) menyelesaikan masalah set empat ditambah enam limitoriented menulis tugas yang menggantikan enam set masalah. Kelompok kontrol (n = 34) menyelesaikan sepuluh set masalah. Sebuah subset dari kelompok perlakuan (n = 5) diwawancarai tiga kali untuk memahami batas memastikan saat ini serta pertumbuhan kognitif. Teori APOS adalah digunakan untuk menganalisis transkrip wawancara dan menulis tugas. Sebuah analisis kuantitatif dilakukan juga, untuk membandingkan kinerja dua kelompok 'pada tiga berorientasi batas akhir masalah pemeriksaan. Kelompok perlakuan menunjukkan pertumbuhan kognitif dan mengungguli kelompok kontrol pada masalah batas pada pemeriksaan akhir. R. Zazkis dan H. Khoury. Untuk kanan titik desimal: konsep guru Preservice 'tempat nilai dan struktur multidigit. Penelitian dalam Pendidikan Matematika Collegiate saya, CBMs Isu dalam Pendidikan Matematika, 4, 195-224, 1994. Bilangan rasional diwakili di basis-basis lain dari sepuluh dan disebut sebagai "non-desimal" adalah digunakan untuk mendiskusikan ide-ide preservice guru tentang pecahan desimal dan nilai tempat representasi. Analisis menyoroti perangkap mungkin dan kesulitan konseptual yang tidak jelas tanpa melangkah menjauh dari representasi desimal. 22 R. Zazkis dan S. Campbell. Dibagi dan struktur perkalian dari bilangan natural: Preservice guru pemahaman. Jurnal Penelitian di Matematika Pendidikan, 27 (5),, 540-563 1996. Preservice guru sekolah dasar 'pemahaman dibagi dalam kaitannya dengan pembagian, perkalian dan dekomposisi prima dianalisis. Hasil penelitian menunjukkan meresap disposisi terhadap lampiran prosedural, bahkan ketika beberapa derajat konseptual pemahaman tampak jelas. R. Zazkis dan C. Gunn. Set, subset dan himpunan kosong: konstruksi Mahasiswa dan matematika konvensi. Jurnal Matematika dan Komputer dalam Pengajaran Sains, 16 (1),, 133-169 1997. Preservice pemahaman guru sekolah dasar terhadap konsep-konsep dasar Teori Set - set, elemen, kardinalitas, subset dan himpunan kosong - dianalisis, menyusul percobaan di ISETL. Analisis data didasarkan pada kerangka aksi-proses-objek pembangunan dan perhatian khusus diberikan kepada kesulitan siswa dengan gagasan menetapkan sebagai satu set elemen dan ide dari himpunan kosong.

APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research Ed Dubinsky, Georgia State University, USA and Michael A. McDonald, Occidental College, USA The work reported in this paper is based on the principle that research in mathematics education

is strengthened in several ways when based on a theoretical perspective. Development of a theory or model in mathematics education should be, in our view, part of an attempt to understand how mathematics can be learned and what an educational program can do to help in this learning. We do not think that a theory of learning is a statement of truth and although it may or may not be an approximation to what is really happening when an individual tries to learn one or another concept in mathematics, this is not our focus. Rather we concentrate on how a theory of learning mathematics can help us understand the learning process by providing explanations of phenomena that we can observe in students who are trying to construct their understandings of mathematical concepts and by suggesting directions for pedagogy that can help in this learning process. Models and theories in mathematics education can ysupport prediction, yhave explanatory power, ybe applicable to a broad range of phenomena, yhelp organize ones thinking about complex, interrelated phenomena, yserve as a tool for analyzing data, and yprovide a language for communication of ideas about learning that go beyond superficial descriptions. We would like to offer these six features, the first three of which are given by Alan Schoenfeld in Toward a theory of teaching-in-context, Issues in Education, both as ways in which a theory can contribute to research and as criteria for evaluating a theory.2

In this paper, we describe one such perspective, APOS Theory, in the context of undergraduate mathematics education. We explain the extent to which it has the above characteristics, discuss the role that this theory plays in a research and curriculum development program and how such a program can contribute to the development of the theory, describe briefly how working with this particular theory has provided a vehicle for building a community of researchers in undergraduate mathematics education, and indicate the use of APOS Theory in specific research studies, both by researchers who are developing it as well as others not connected with its development. We provide, in connection with this paper, an annotated bibliography of research reports which involve this theory. APOS Theory The theory we present begins with the hypothesis that mathematical knowledge consists in an individuals tendency to deal with perceived mathematical problem situations by constructing mental

actions, processes, and objects and organizing them in schemas to make sense of the situations and solve the problems. In reference to these mental constructions we call it APOS Theory. The ideas arise from our attempts to extend to the level of collegiate mathematics learning the work of J. Piaget on reflective abstraction in childrens learning. APOS Theory is discussed in detail in Asiala, et. al. (1996). We will argue that this theoretical perspective possesses, at least to some extent, the characteristics listed above and, moreover, has been very useful in attempting to understand students learning of a broad range of topics in calculus, abstract algebra, statistics, discrete mathematics, and other areas of undergraduate mathematics. Here is a brief summary of the essential components of the theory. An action is a transformation of objects perceived by the individual as essentially external and as requiring, either explicitly or from memory, step-by-step instructions on how to perform the operation. For example, an individual with an action conception of left coset would be restricted to working with a concrete group such as Z20 and he or she could construct subgroups, such as H={0,4,8,12,16} by forming the multiples of 4. Then the individual could write the left coset of 5 as the set 5+H={1,5,9,13,17} consisting of the elements of Z20 which have remainders of 1 when divided by 4.3

When an action is repeated and the individual reflects upon it, he or she can make an internal mental construction called a process which the individual can think of as performing the same kind of action, but no longer with the need of external stimuli. An individual can think of performing a process without actually doing it, and therefore can think about reversing it and composing it with other processes. An individual cannot use the action conception of left coset described above very effectively for groups such as S4, the group of permutations of four objects and the subgroup H corresponding to the 8 rigid motions of a square, and not at all for groups Sn for large values of n. In such cases, the individual must think of the left coset of a permutation p as the set of all products ph, where h is an element of H. Thinking about forming this set is a process conception of coset. An object is constructed from a process when the individual becomes aware of the process as a totality and realizes that transformations can act on it. For example, an individual understands cosets as objects when he or she can think about the number of cosets of a particular subgroup, can imagine comparing two cosets for equality or for their cardinalities, or can apply a binary operation to the set of

all cosets of a subgroup. Finally, a schema for a certain mathematical concept is an individuals collection of actions, processes, objects, and other schemas which are linked by some general principles to form a framework in the individuals mind that may be brought to bear upon a problem situation involving that concept. This framework must be coherent in the sense that it gives, explicitly or implicitly, means of determining which phenomena are in the scope of the schema and which are not. Because this theory considers that all mathematical entities can be represented in terms of actions, processes, objects, and schemas, the idea of schema is very similar to the concept image which Tall and Vinner introduce in Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169 (1981). Our requirement of coherence, however, distinguishes the two notions. The four components, action, process, object, and schema have been presented here in a hierarchical, ordered list. This is a useful way of talking about these constructions and, in some sense, each conception in the list must be constructed before the next step is possible. In reality, however, when an individual is developing her or his understanding of a concept, the constructions are not4

actually made in such a linear manner. With an action conception of function, for example, an individual may be limited to thinking about formulas involving letters which can be manipulated or replaced by numbers and with which calculations can be done. We think of this notion as preceding a process conception, in which a function is thought of as an input-output machine. What actually happens, however, is that an individual will begin by being restricted to certain specific kinds of formulas, reflect on calculations and start thinking about a process, go back to an action interpretation, perhaps with more sophisticated formulas, further develop a process conception and so on. In other words, the construction of these various conceptions of a particular mathematical idea is more of a dialectic than a linear sequence. APOS Theory can be used directly in the analysis of data by a researcher. In very fine grained analyses, the researcher can compare the success or failure of students on a mathematical task with the specific mental constructions they may or may not have made. If there appear two students who agree in their performance up to a very specific mathematical point and then one student can take a further step while the other cannot, the researcher tries to explain the difference by pointing to mental constructions of actions, processes, objects and/or schemas that the former student appears to have

made but the other has not. The theory then makes testable predictions that if a particular collection of actions, processes, objects and schemas are constructed in a certain manner by a student, then this individual will likely be successful using certain mathematical concepts and in certain problem situations. Detailed descriptions, referred to as genetic decompositions, of schemas in terms of these mental constructions are a way of organizing hypotheses about how learning mathematical concepts can take place. These descriptions also provide a language for talking about such hypotheses. Development of APOS Theory APOS Theory arose out of an attempt to understand the mechanism of reflective abstraction, introduced by Piaget to describe the development of logical thinking in children, and extend this idea to more advanced mathematical concepts (Dubinsky, 1991a). This work has been carried on by a small group of researchers called a Research in Undergraduate Mathematics Education Community (RUMEC) who have been collaborating on specific research projects using APOS Theory within a5

broader research and curriculum development framework. The framework consists of essentially three components: a theoretical analysis of a certain mathematical concept, the development and implementation of instructional treatments (using several non-standard pedagogical strategies such as cooperative learning and constructing mathematical concepts on a computer) based on this theoretical analysis, and the collection and analysis of data to test and refine both the initial theoretical analysis and the instruction. This cycle is repeated as often as necessary to understand the epistemology of the concept and to obtain effective pedagogical strategies for helping students learn it. The theoretical analysis is based initially on the general APOS theory and the researchers understanding of the mathematical concept in question. After one or more repetitions of the cycle and revisions, it is also based on the fine-grained analyses described above of data obtained from students who are trying to learn or who have learned the concept. The theoretical analysis proposes, in the form of a genetic decomposition, a set of mental constructions that a student might make in order to understand the mathematical concept being studied. Thus, in the case of the concept of cosets as described above, the analysis proposes that the student should work with very explicit examples to construct an action conception of coset; then he or she can interiorize these actions to form processes in which a (left) coset gH of an element g of a group G is imagined as being formed by the process of

iterating through the elements h of H, forming the products gh, and collecting them in a set called gH; and finally, as a result of applying actions and processes to examples of cosets, the student encapsulates the process of coset formation to think of cosets as objects. For a more detailed description of the application of this approach to cosets and related concepts, see Asiala, Dubinsky, et. al. (1997). Pedagogy is then designed to help the students make these mental constructions and relate them to the mathematical concept of coset. In our work, we have used cooperative learning and implementing mathematical concepts on the computer in a programming language which supports many mathematical constructs in a syntax very similar to standard mathematical notation. Thus students, working in groups, will express simple examples of cosets on the computer as follows.Z20 := {0..19}; op := |(x,y) -> x+y (mod 20)|; 6 H := {0,4,8,12,16}; 5H := {1,5,9,13,17};

To interiorize the actions represented by this computer code, the students will construct more complicated examples of cosets, such as those appearing in groups of symmetries.Sn := {[a,b,c,d] : a,b,c,d in {1,2,3,4} | #{a,b,c,d} = 4}; op := |(p,q) -> [p(q(i)) : i in [1..4]]|; H := {[1,2,3,4], [2,1,3,4], [3,4,1,2], [4,3,2,1]}; p := [4,3,2,1]; pH := {p .op q : q in H};

The last step, to encapsulate this process conception of cosets to think of them as objects, can be very difficult for many students. Computer activities to help them may include forming the set of all cosets of a subgroup, counting them, and picking two cosets to compare their cardinalities and find their intersections. These actions are done with code such as the following.SnModH := {{p .op q : q in H} : p in Sn}; #SnModH; L := arb(SnModH); K := arb(SnModH); #L = #K; L inter K;

Finally, the students write a computer program that converts the binary operation op from an operation on elements of the group to subsets of the group. This structure allows them to construct a binary operation (coset product) on the set of all cosets of a subgroup and begin to investigate quotient groups. It is important to note that in this pedagogical approach, almost all of the programs are written by the students. One hypothesis that the research investigates is that, whether completely successful or not, the task of writing appropriate code leads students to make the mental constructions of actions, processes, objects, and schemas proposed by the theory. The computer work is accompanied by classroom discussions that give the students an opportunity to reflect on what they have done in the computer lab and relate them to mathematical concepts and their properties and relationships. Once

the concepts are in place in their minds, the students are assigned (in class, homework and examinations) many standard exercises and problems related to cosets.7

After the students have been through such an instructional treatment, quantitative and qualitative instruments are designed to determine the mental concepts they may have constructed and the mathematics they may have learned. The theoretical analysis points to questions researchers may ask in the process of data analysis and the results of this data analysis indicates both the extent to which the instruction has been effective and possible revisions in the genetic decomposition. This way of doing research and curriculum development simultaneously emphasizes both theory and applications to teaching practice. Refining the theory As noted above, the theory helps us analyze data and our attempt to use the theory to explain the data can lead to changes in the theory. These changes can be of two kinds. Usually, the genetic decomposition in the original theoretical analysis is revised and refined as a result of the data. In rare cases, it may be necessary to enhance the overall theory. An important example of such a revision is the incorporation of the triad concept of Piaget and Garcia (1989) which is leading to a better understanding of the construction of schemas. This enhancement to the theory was introduced in Clark, et. al. (1997) where they report on students understanding of the chain rule, and is being further elaborated upon in three current studies: sequences of numbers (Mathews, et. al., in preparation); the chain rule and its relation to composition of functions (Cottrill, 1999); and the relations between the graph of a function and properties of its first and second derivatives (Baker, et. al., submitted). In each of these studies, the understanding of schemas as described above was not adequate to provide a satisfactory explanation of the data and the introduction of the triad helped to elaborate a deeper understanding of schemas and provide better explanations of the data. The triad mechanism consists in three stages, referred to as Intra, Inter, and Trans, in the development of the connections an individual can make between particular constructs within the schema, as well as the coherence of these connections. The Intra stage of schema development is characterized by a focus on individual actions, processes, and objects in isolation from other cognitive items of a similar nature. For example, in the function concept, an individual at the Intra level, would tend to focus on a single function and the various activities that he or she could perform with it. The8

Inter stage is characterized by the construction of relationships and transformations among these cognitive entities. At this stage, an individual may begin to group items together and even call them by

the same name. In the case of functions, the individual might think about adding functions, composing them, etc. and even begin to think of all of these individual operations as instances of the same sort of activity: transformation of functions. Finally, at the Trans stage the individual constructs an implicit or explicit underlying structure through which the relationships developed in the Inter stage are understood and which gives the schema a coherence by which the individual can decide what is in the scope of the schema and what is not. For example, an individual at the Trans stage for the function concept could construct various systems of transformations of functions such as rings of functions, infinite dimensional vector spaces of functions, together with the operations included in such mathematical structures. Applying the APOS Theory Included with this paper is an annotated bibliography of research related to APOS Theory, its ongoing development and its use in specific research studies. This research concerns mathematical concepts such as: functions; various topics in abstract algebra including binary operations, groups, subgroups, cosets, normality and quotient groups; topics in discrete mathematics such as mathematical induction, permutations, symmetries, existential and universal quantifiers; topics in calculus including limits, the chain rule, graphical understanding of the derivative and infinite sequences of numbers; topics in statistics such as mean, standard deviation and the central limit theorem; elementary number theory topics such as place value in base n numbers, divisibility, multiples and conversion of numbers from one base to another; and fractions. In most of this work, the context for the studies are collegiate level mathematics topics and undergraduate students. In the case of the number theory studies, the researchers examine the understanding of pre-college mathematics concepts by college students preparing to be teachers. Finally, some studies such as that of fractions, show that the APOS Theory, developed for advanced mathematical thinking, is also a useful tool in studying students understanding of more basic mathematical concepts.9

The totality of this body of work, much of it done by RUMEC members involved in developing the theory, but an increasing amount done by individual researchers having no connection with RUMEC or the construction of the theory, suggests that APOS Theory is a tool that can be used objectively to explain student difficulties with a broad range of mathematical concepts and to suggest

ways that students can learn these concepts. APOS Theory can point us towards pedagogical strategies that lead to marked improvement in student learning of complex or abstract mathematical concepts and students use of these concepts to prove theorems, provide examples, and solve problems. Data supporting this assertion can be found in the papers listed in the bibliography. Using the APOS Theory to develop a community of researchers At this stage in the development of research in undergraduate mathematics education, there is neither a sufficiently large number of researchers nor enough graduate school programs to train new researchers. Other approaches, such as experienced and novice researchers working together in teams on specific research problems, need to be employed at least on a temporary basis. RUMEC is one example of a research community that has utilized this approach in training new researchers. In addition, a specific theory can be used to unify and focus the work of such groups. The initial group of researchers in RUMEC, about 30 total, made a decision to focus their research work around the APOS Theory. This was not for the purpose of establishing dogma or creating a closed research community, but rather it was a decision based on current interests and needs of the group of researchers. RUMEC was formed by a combination of established and beginning researchers in mathematics education. Thus one important role of RUMEC was the mentoring of these new researchers. Having a single theoretical perspective in which the work of RUMEC was initially grounded was beneficial for those just beginning in this area. At the meetings of RUMEC, discussions could focus not only on the details of the individual projects as they developed, but also on the general theory underlying all of the work. In addition, the groups general interest in this theory and frequent discussions about it in the context of active research projects has led to growth in the theory itself. This was the case, for example, in the development of the triad as a tool for understanding schemas.10

As the work of this group matures, individuals are beginning to use other theoretical perspectives and other modes of doing research. Summary In this paper, we have mentioned six ways in which a theory can contribute to research and we suggest that this list can be used as criteria for evaluating a theory. We have described how one such perspective, APOS Theory is being used, in an organized way, by members of RUMEC and others to conduct research and develop curriculum. We have shown how observing students success in making

or not making mental constructions proposed by the theory and using such observations to analyze data can organize our thinking about learning mathematical concepts, provide explanations of student difficulties and predict success or failure in understanding a mathematical concept. There is a wide range of mathematical concepts to which APOS Theory can and has been applied and this theory is used as a language for communication of ideas about learning. We have also seen how the theory is grounded in data, and has been used as a vehicle for building a community of researchers. Yet its use is not restricted to members of that community. Finally, we provide an annotated bibliography which presents further details about this theory and its use in research in undergraduate mathematics education.11

An Annotated Bibliography of works which develop or utilize APOS Theory I. Arnon. Teaching fractions in elementary school using the software Fractions as Equivalence Classes of the Centre for Educational Technology, The Ninth Annual Conference for Computers in Education, The Israeli Organization for Computers in Education, Book of Abstracts, Tel-Aviv, Israel, p. 48, 1992. (In Hebrew). I. Arnon, R. Nirenburg and M. Sukenik. Teaching decimal numbers using concrete objects, The Second Conference of the Association for the Advancement of the Mathematical Education in Israel, Book of Abstracts, Jerusalem, Israel, p. 19, 1995. (In Hebrew). I. Arnon. Refining the use of concrete objects for teaching mathematics to children at the age of concrete operations, The Third Conference of the Association for the Advancement of the Mathematical Education in Israel, Book of Abstracts, Jerusalem, Israel, p. 69, 1996. (In Hebrew). I. Arnon. In the minds eye: How children develop mathematical concepts extending Piaget's theory. Doctoral dissertation, School of Education, Haifa University, 1998a. I. Arnon. Similar stages in the developments of the concept of rational number and the concept of decimal number, and possible relations between their developments, The Fifth Conference of the Association for the Advancement of the Mathematical Education in Israel, Book of Abstracts. BeerTuvia, Israel, p. 42, 1998b. (In Hebrew). The studies by Arnon and her colleagues listed above deal with the development of mathematical concepts by elementary school children. Having created a framework that combines APOS theory, Neshers theory on Learning Systems, and Yerushalmys ideas of multi-representation, she investigates the introduction of mathematical concepts as concrete actions versus their introduction as concrete objects. She establishes developmental paths for certain fraction-concepts. She finds that students to whom the fractions were introduced as concrete actions progressed better along these paths than students to whom the fractions were

introduced as concrete objects. In addition, the findings establish the following stage in the development of concrete actions into abstract objects: after abandoning the concrete materials, and before achieving abstract levels, children perform the concrete actions in their imagination. This corresponds to the interiorization of APOS theory. M. Artigue, Enseanza y aprendizaje del anlisis elemental: qu se puede aprender de las investigaciones didcticas y los cambios curriculares? Revista Latinoamericana de Investigacin en Matiemtica Educativa, 1, 1, 40-55, 1998. In the first part of this paper, the author discusses a number of student difficulties and tries to explain them using various theories of learning including APOS Theory. Students unwillingness to accept that 0.999 is equal to 1 is explained, for example, by interpreting the former as a process, the latter as an object so that the two cannot be seen as equal until the student is able to encapsulate the process which is a general difficulty. In the second part of the paper, the author discusses the measures that have been taken in France during the 20th Century to overcome these difficulties.12

M. Asiala, A. Brown, D. DeVries, E. Dubinsky, D. Mathews and K. Thomas. A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education, Research in Collegiate Mathematics Education II, CBMS Issues in Mathematics Education, 6, 1-32, 1996. The authors detail a research framework with three components and give examples of its application. The framework utilizes qualitative methods for research and is based on a very specific theoretical perspective that was developed through attempts to understand the ideas of Piaget concerning reflective abstraction and reconstruct them in the context of college level mathematics. For the first component, the theoretical analysis, the authors present the APOS theory. For the second component, the authors describe specific instructional treatments, including the ACE teaching cycle (activities, class discussion, and exercises), cooperative learning, and the use of the programming language ISETL. The final component consists of data collection and analysis. M. Asiala, A. Brown, J. Kleiman and D. Mathews. The development of students understanding of permutations and symmetries, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3, 1343, 1998. The authors examine how abstract algebra students might come to understand permutations of a finite set and symmetries of a regular polygon. They give initial theoretical analyses of what it could mean to understand permutations and symmetries, expressed in terms of APOS. They describe an instructional approach designed to help foster the formation of mental constructions postulated by the theoretical analysis, and discuss the results of interviews and performance on examinations. These results suggest that the pedagogical approach was reasonably effective in helping students develop strong conceptions of permutations and symmetries. Based on the data collected as part of this study, the authors propose revised epistemological analyses of permutations and symmetries and give pedagogical suggestions. M. Asiala, J. Cottrill, E. Dubinsky and K. Schwingendorf. The development of students graphical understanding of the derivative, Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 399-431, 1997. In this study the authors explore calculus students graphical understanding of a function and its

derivative. An initial theoretical analysis of the cognitive constructions that might be necessary for this understanding is given in terms of APOS. An instructional treatment designed to help foster the formation of these mental constructions is described, and results of interviews, conducted after the implementation of the instructional treatment, are discussed. Based on the data collected as part of this study, a revised epistemological analysis for the graphical understanding of the derivative is proposed. Comparative data also suggest that students who had the instructional treatment based on the theoretical analysis may have more success in developing a graphical understanding of a function and its derivative than students from traditional courses. M. Asiala, E. Dubinsky, D. Mathews, S. Morics and A. Oktac. Student understanding of cosets, normality and quotient groups, Journal of Mathematical Behavior, 16(3), 241-309, 1997. Using an initial epistemological analysis from Dubinsky, Dautermann, Leron and Zazkis (1994), the authors determine the extent to which the APOS perspective explains students mental constructions of the concepts of cosets, normality and quotient groups, evaluate the13

effectiveness of instructional treatments developed to foster students mental constructions, and compare the performance of students receiving this instructional treatment with those completing a traditional course. T. Ayers, G. Davis, E. Dubinsky and P. Lewin. Computer experiences in the teaching of composition of functions, Journal for Research in Mathematics Education, 19(3), 246-259, 1988. Students from two sections of a college mathematics lab (n=13) who were given computer experiences to help induce reflective abstraction scored higher on a test of their understanding of functions and compositions than students from another section (n=17) who were taught according