APLIKASI MATRIKS VARIAN-KOVARIAN ROBUST PADA ANALISIS

APLIKASI MATRIKS VARIAN-KOVARIAN ROBUST PADA

ANALISIS FAKTOR

SKRIPSI

AYU ANDINI

140803034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2018


APLIKASI MATRIKS VARIANS-KOVARIANS ROBUST PADA

ANALISIS FAKTOR

SKRIPSI

Ditulis Sebagai Syarat untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains di Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

AYU ANDINI

140803034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MEDAN

2018


i

PERNYATAAN ORISINALITAS

APLIKASI MATRIKS VARIAN-KOVARIAN ROBUST PADA ANALISIS

FAKTOR

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri,kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, September 2018

Ayu Andini

140803034


ii

PENGESAHAN SKRIPSI

Judul : Aplikasi Matriks Varian-Kovarian Robust Pada

Analisis Faktor

Kategori : Skripsi

Nama : Ayu Andini

Nomor Induk Mahasiswa : 140803034

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di


Komisi Pembimbing: Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Pembimbing Ketua

Dr. Elly Rosmaini, M.Si Dr. Suyanto, M.Kom

NIP.196005201985032002 NIP.195908131986011002


iii

APLIKASI MATRIKS VARIAN-KOVARIAN ROBUST PADA ANALISIS

FAKTOR

ABSTRAK

Salah satu metode estimasi pada analisis faktor adalah metode analisis komponen

utama. Analisis Faktor dengan metode Analisis Komponen Utama menjelaskan

struktur matriks varian-kovarian data melalui sejumlah kecil komponen yang tidak

saling berkorelasi, dimana komponen tersebut merupakan kombinasi linier dari

variabel-variabel asal sedemikian hingga mempunyai variansi yang maksimal.

Matriks varian-kovarian robust dapat diestimasikan dengan Minimum Volume

Ellipsoid (MVE). Pada penelitian ini, faktor loading yang dihasilkan dari setiap

variabel dengan estimasi robust dan estimasi klasik memiliki perbedaan, yaitu

dengan estimasi robust faktor loading-faktor loading yang dihasilkan memiliki

nilai yang tidak jauh berbeda. Seperti pada variabel X1 faktor loading-nya adalah

2,6069; -3,2191; dan -0,0762. Sedangkan dengan estimasi biasa (klasik) faktor

loading-faktor loading yang dihasilkan memiliki perbedaan nilai yang cukup jauh.

Seperti pada variabel X1 faktor loading-nya adalah 1,6546; 13,4489; dan -0,5143.

Kata Kunci: Analisis faktor, analisis komponen utama, multivariat, MVE, robust


iv

THE APPLICATION OF ROBUST VARIANCE-COVARIANCE MATRIX ON

FACTOR ANALYSIS

ABSTRACT

One of the estimation methods in factor analysis is the principal component

analysis method. Factor Analysis with the Principal Component Analysis method

describes the structure of the variance-covariance matrix of data through a small

number of components that are not correlated with each other, where the

component is a linear combination of the origin variables so that they have

maximum variance. The robust covariance-variant matrix can be estimated by the

Minimum Ellipsoid Volume (MVE). In this study, the robust estimated factor

loading and the classic estimated factor loading have different results such in

variable X1 , the factor loadings are 2,6069; -3,2191; and -0,0762. However, the

classic estimated factor loadings are 1,6546; 13,4489; and -0,5143.

Keyword: Factor Analysis, Multivariate, MVE, Principal Component Analysis,

Robust


v

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas limpahan karunia-Nya

penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi dengan judulAplikasi Matriks

Varian-KovarianRobust Pada Analisis Faktordengan baik,guna melengkapi syarat

memperoleh gelar S1Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam diUniversitas Sumatera Utara.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih

yangsebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan

membimbingpenulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih penulis

sampaikankepada Bapak Alm. Drs. Pengarapen Bangun, M.Si dan IbuDr. Elly

Rosmaini, M.Si selaku Dosen Pembimbing.Bapak Dr. Sutarman, M.Scdan

IbuDra. Laurentina Pangaribuan, MSselaku DosenPembanding atas segala saran

dan masukan yang diberikan dalam penyelesaian skripsi ini.Bapak Dr. Suyanto,

M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Siselaku Ketua dan Sekretaris

Departemen Matematika FMIPA USU.Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku

Dekan FMIPA USU serta semuaWakil Dekan FMIPA USU.Semua Dosen

Departemen Matematika FMIPA-USU dan pegawai diFMIPA-USU.Ayahanda

Helmi Wahyudi, Ibunda Suriyani, M.Pd,Saudara penulis, Ari Andrian, S.T dan

Dimas Anhari, serta keluarga yang memberikan doa dan dukungan bagi

penulis.Seluruh teman-teman.

Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam

penulisanskripsi ini. Maka, diperlukan kritik dan saran dari pembaca

untukpenyempurnaan skripsi ini.


Penulis

Ayu Andini


vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ORISINALITAS i

PENGESAHAN SKRIPSI ii

ABSTRAK iii

ABSTRACT iv

PENGHARGAAN v

DAFTAR ISI vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

1.6 Metodologi Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Matriks 5

2.1.1 Definisi Matriks 5

2.1.2 Matriks Invers 5

2.1.3 Matriks Definit dan Semidefinit Positif 6

2.1.4 Matriks Ortogonal 6

2.1.5 Matriks Simetrik 7

2.1.6 Matriks Transpose A 7

2.1.7 Matriks Identitas 7

2.1.8 Determinan Matriks 7

2.2 Analisis Faktor 8

2.3 Metode Estimasi 11

2.3.1 Analisis Komponen Utama 12

2.3.2 Faktor Model Solusi Komponen Utama 14

2.4 Analisis Komponen Utama Yang Robust 14

2.5 Minimum Volume Ellipsoid (MVE) 15

2.5.1 Algoritma MVE 15

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data 18

3.2 Analisis Faktor Dengan Metode MVE

3.3 Analisis Faktor Klasik

19

21

3.4 Estimated Factor Loading 23

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 25

4.2 Saran 25


vii

DAFTAR PUSTAKA 26

LAMPIRAN


BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teknik multivariat berperan dalam mengakomodasi banyak variabel untuk

memahami hubungan kompleks yang tidak bisa dipahami dengan metode univariat

atau bivariat. Semakin banyak variabel, semakin besar kemungkinan bahwa variabel-

variabel tersebut berhubungan (berkorelasi) dan tidak mewakili konsep yang berbeda

atau variabel-variabel ini mewakili konsep yang lebih umum.

Analisis faktor membantu pemilihan variabel-variabel yang lebih representatif

atau membuat variabel baru sebagai pengganti variabel asli tapi masih mengandung

karakteristik dari variabel asli tersebut. Ada beberapa metode estimasi pada analisis

faktor, salah satunya adalah metode analisis komponen utama.

Analisis Faktor dengan metode Analisis Komponen Utama (Principal

Component Analysis) menjelaskan struktur matriks varian-kovarian data melalui

sejumlah kecil komponen yang tidak saling berkorelasi, dimana komponen tersebut

merupakan kombinasi linier dari variabel-variabel asal sedemikian hingga

mempunyai variansi yang maksimal. Seringkali Analisis Komponen Utama

digunakan sebagai langkah pertama dalam analisis data, seperti dalam regresi

komponen utama, analisis diskriminan, analisis cluster dan berbagai metode analisis

multivariat lainnya.

Matriks varian-kovarian sangat sensitif terhadap pengamatan outlier. Pada

kenyataannya, data lapangan seringkali mengandung beberapa pengamatan outlier

dan biasanya tidak mudah untuk dipisahkan dari data. Oleh karena itu, penyusutan

dimensi data berdasarkan Analisis Komponen Utama yang klasik menjadi tidak

dapat diandalkan lagi apabila pengamatan outlier muncul dalam data (Sujatmiko et

al., 2005).

Outlier adalah pengamatan yang berada jauh (ekstrim) dari pengamatan-

pengamatan lainnya. Pendeteksian outlier pada pengamatan univariat telah dilakukan


2

oleh Hawkins (1980) yang melihat suatu outlier tunggal pada sampel dengan melihat

pengamatan yang menyimpang dari pengamatan lain. Barnet dan Lewis (1994)

melihat pengaruh pengamatan yang tidak konsisten dengan pengamatan lain pada

proses multivariat, Pena dan Prieto (2001) menyajikan prosedur pendeteksian outlier

didasarkan pada analisis proyeksi dari titik-titik sampel, dan Filzmoser (2005)

mengidentifikasi outlier didasarkan pada jarak Mahalanobis.

Keberadaan outlier akan mengganggu dalam proses analisis data dan harus

dihindari dalam banyak hal. Dalam kaitannya dengan analisis, outlier dapat

menyebabkan residual yang besar dari model yang terbentuk, varians pada data

tersebut menjadi lebih besar, taksiran interval memiliki rentang yang lebar.

Pengamatan outlier dapat diatasi dengan Analisis Komponen Utama yang

robust. Pendekatan pertama dilakukan dengan menggantikan matriks varian-kovarian

yang klasik dengan suatu estimator yang robust. Berbagai metode untuk

mendapatkan estimator yang robust telah banyak ditawarkan. Namun, breakdown

point (tingkat robust) yang dimiliki tidak lebih dari 1

(𝑝+1) , dimana p merupakan

dimensi data. Hal ini berarti bahwa untuk dimensi yang besar, suatu kelompok

pencemar yang sangat kecil dapat menghasilkan estimasi yang masih dipengaruhi

oleh pengamatan outlier. Matriks varian-kovarian robust dapat diestimasikan dengan

fast Minimum Covariance Determinant (fast-MCD) atau Minimum Volume Ellipsoid

(MVE). Pada penelitian ini penulis menggunakan metode MVE sebagai estimator

robust pada matriks varian-kovarian. Biasnya yang rendah membuat MVE sangat

berguna untuk deteksi outlier dalam data multivariat, sering kali melalui penggunaan

jarak robust berbasis MVE.

Dari uraian di atas, penulis mencoba membuktikan performansi Analisis

Faktor dengan metode Analisis Komponen Utama yang menggunakan estimator

MVE.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, didapati bahwa outlier akan mengganggu hasil

dari analisis faktor. Gangguan ini disebabkan oleh matriks varian-kovarian yang


3

tidak konsisten di dalam analisis faktor. Maka, salah satu metode yang dapat

digunakan untuk menaksir matriks varian-kovarian adalah Minimum Volume

Ellipsoid (MVE).

1.3 Batasan Masalah

Adapun yang menjadi batasan masalah dalam penulisan skripsi ini yaitu metode yang

digunakan pada Analisis Faktor adalah metode Analisis Komponen Utama dengan

estimator Minimum Volume Ellipsoid (MVE).

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan utama dari penelitian ini adalah menggunakan matriks varian-kovarian robust

pada analisis faktor dan memperlihatkan bahwa Minimum Volume Ellipsoid (MVE)

merupakan estimator robust yang berguna untuk pendeteksian outlier pada data

multivariat.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai referensi pengaplikasian matriks varian-

kovarian robust pada analisis faktor.

1.6 Metodologi Penelitian

Penelitian disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Studi Pendahuluan

Mengumpulkan dan mempelajari berbagai informasi berupa buku-buku

ataupun jurnal-jurnal yang berhubungan dengan analisis faktor dan estimasi

MVE.

2. Pengumpulan Data


4

Data yang digunakan sebagai contoh pengaplikasian adalah data Stackloss

Brownlee.

3. Melakukan perhitungan analisis faktor robust dengan langkah sebagai

berikut:

a. Menghitung estimator parameter model untuk analisis faktor robust.

b. Melakukan analisis faktor dengan menggunakan estimator robust.

c. Menghitung proporsi kumulatif varian yang dapat dijelaskan dari hasil

yang didapat dari analisis faktor robust.

4. Membuat kesimpulan.


BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diurai tinjauan pustaka yang digunakan di dalam penulisan skripsi

ini.

2.1 Matriks

2.1.1 Definisi Matriks

Sebuah matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks (Anton & Rorres,

2004).

Matriks dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑨 = [

𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑝

𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑝

⋮𝑎𝑝1

⋮𝑎𝑝2

⋱⋯

⋮𝑎𝑝𝑝

]

2.1.2 Matriks Invers

Invers matriks A merupakan matriks kebalikan dari A. Hal tersebut dapat dinyatakan

dengan 𝑨−1. Adapun formulasi invers dinyatakan sebagai berikut :

𝑨−1 =1

|𝑨|𝑎𝑑𝑗(𝑨)

dimana,

|𝑨| : determinan A

𝑎𝑑𝑗(𝑨) : adjoint A atau transpose dari matriks kofaktor A

Invers matriks A merupakan kebalikan dari matriks A, maka hasil dari perkalian

antara matriks A dengan inversnya akan menghasilkan identitas (I).

𝑨𝑨−1 = 𝑨−1𝑨 = 𝑰


6

Dimana,

𝑨−1 : invers matriks

𝑨 : matriks A

𝑰 : matriks identitas

(Anton & Rorres, 2004).

2.1.3 Matriks Definit dan Semidefinit Positif

Sebuah matriks A berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan bersifat definit positif jika untuk

sembarang vektor 𝒙 ≠ 0 , bentuk kuadratik 𝒙−𝟏𝑨𝒙 > 0. Sedangkan dikatakan

semidefinit jika 𝒙−𝟏𝑨𝒙 ≥ 0. Jika A adalah definit positif maka persamaan

𝒙−𝟏𝑨𝒙 = c dengan c adalah konstanta. Jika A adalah matriks diagonal yang semua

unsur diagonalnya bernilai positif, maka A adalah matriks definit positif. Akan

tetapi, apabila ada sebuah unsur bernilai nol dan yang lain positif maka A akan

menjadi matriks semidefinit positif. Matriks diagonal yang unsurnya ragam peubah

akan bersifat demikian karena ragam tidak pernah bernilai negatif.

Matriks yang definit positif, akar-akar cirinya semua bernilai positif dan

determinan dari matriks definit positif juga bernilai positif karen berupa hasil

perkaliannya. Jadi determinannya tidak sama dengan nol, sehingga A bersifat non-

singular.

Matriks B berukuran 𝑚 × 𝑛, maka 𝐁𝐁𝐓 dan 𝐁𝐓𝐁 bersifat semidefinit

positif. Jika 𝑚 < 𝑛 dan 𝑟(𝐵) = 𝑚, maka 𝐁𝐁𝐓 definit positif, tetapi 𝐁𝐓𝐁 masih

semidefinit positif.

2.1.4 Matriks Ortogonal

Suatu matriks bujur sangkar A disebut ortogonal jika 𝑨𝑨𝑇 = 𝑨𝑇𝑨 = 𝑰 yaitu jika

𝑨𝑇 = 𝑨−1.


7

2.1.5 Matriks Simetrik

Sebuah matriks A berukuran n x n dikatakan simetrik jika AT

= A. Misalnya, jika

aij adalah unsur ke (i,j) dari matriks, maka untuk matriks simetrik adalah aij = aji ,

untuk semua i dan j.

2.1.6 Matriks Transpose A

Jika A adalah sebarang matriks 𝑚 × 𝑛, maka transpose dari A dinyatakan oleh AT

dan didefinisikan dengan matriks 𝑛 × 𝑚 yang didapatkan dengan

mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A, sehingga kolom pertama

dari AT

adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT

adalah baris kedua dari

A, dan seterusnya (Anton & Rorres, 2004).

2.1.7 Matriks Identitas

Jika R adalah bentuk eselon baris tereduksi dari matriks 𝐴𝑛×𝑛 , maka terdapat dua

kemungkinan yaitu R memiliki satu baris bilangan nol atau R merupakan matriks

identitas 𝐼𝑛 (Anton & Rorres, 2004).

2.1.8 Determinan Matriks

Menurut Mattjik dan Sumertajaya (2011), determinan matriks 𝐴𝑛×𝑛 adalah

perkalian dari semua akar ciri A, 𝜆1, 𝜆2, ⋯ , 𝜆𝑛 dapat dinotasikan |𝐴|, sehingga

|𝐴| = 𝜆𝑛 × ⋯× 𝜆𝑛.

Jadi |𝐴| = 0 jika dan hanya jika paling tidak ada satu akar yang nol, yaitu

terjadi jika dan hanya jika A singular.


8

2.2 Analisis Faktor

Analisis faktor adalah nama umum yang diberikan kepada kelas metode statistik

multivariat yang tujuan utamanya adalah menentukan struktur yang mendasari dalam

matriks data. Secara umum, analisis faktor membahas masalah menganalisis struktur

hubungan timbal balik (korelasi) di antara sejumlah besar variabel (misalnya, nilai

tes, item tes, tanggapan kuesioner) dengan mendefinisikan satu set dimensi umum

yang mendasari, yang dikenal sebagai faktor. Dengan analisis faktor, peneliti dapat

mengidentifikasi dimensi terpisah dari struktur dan kemudian menentukan sejauh

mana setiap variabel dijelaskan oleh masing-masing dimensi. Setelah dimensi ini dan

penjelasan masing-masing variabel ditentukan, dua penggunaan utama untuk analisis

faktor—peringkasan dan reduksi data—dapat dicapai (Hair, 2010).

Menurut Johnson dan Wichern (1982), analisis faktor merupakan teknik

analisis multivariat yang bertujuan untuk meringkas sejumlah p variabel yang

diamati menjadi sejumlah m faktor penting, dengan 𝑚 < 𝑝. Misal X adalah vektor

random teramati dengan yang memiliki p komponen pada pengamatan ke-i, dengan

vektor rata-rata (𝝁) dan matriks kovariansi (𝚺). Vektor X bergantung secara linier

dengan variabel 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑚 yang disebut faktor bersama dan sejumlah sumber

variansi dari 𝜖1, 𝜖2, ... , 𝜖𝑝 yang disebut faktor spesifik. Model analisis faktor

menurut Johnson dan Wichern adalah:

𝑋1 − 𝜇1 = 𝑙11𝐹1 + 𝑙12𝐹2 + ⋯+ 𝑙1𝑚𝐹𝑚 + 𝜀1

𝑋2 − 𝜇2 = 𝑙21𝐹1 + 𝑙22𝐹2 + ⋯+ 𝑙2𝑚𝐹𝑚 + 𝜀2

⋮

𝑋𝑝 − 𝜇𝑝 = 𝑙𝑝1𝐹1 + 𝑙𝑝2𝐹2 + ⋯+ 𝑙𝑝𝑚𝐹𝑚 + 𝜀p

Dengan:

𝑋𝑝 : Variabel ke-p

𝜇𝑝 : Rata-rata variabel ke-p

𝑙𝑝𝑚: Bobot variabel (factor loading) ke-p pada faktor ke-m

𝐹𝑚 : Faktor bersama (common factor) ke-m

𝜀p : Faktor spesifik ke-p


9

Faktor spesifik berkorelasi dengan yang lain dan dengan common factor.

Common factor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari variabel yang diteliti.

Dengan persamaan:

𝐹𝑗 = 𝑊𝑗1𝑋1 + 𝑊𝑗2𝑋2 + 𝑊𝑗3𝑋3 + ⋯+ 𝑊𝑗𝑝𝑋𝑝

Dimana:

𝐹𝑗 : Faktor ke-j yang diestimasikan

W : Bobot atau koefisien skor faktor

𝑋𝑝 : Banyaknya variabel X pada faktor ke-p

p = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ... , n

Struktur kovarian untuk model faktor ortogonal adalah:

1. 𝐶𝑜𝑣 (𝑋) = 𝐿𝐿′ + Ψ

Atau

𝑉𝑎𝑟 (𝑋𝑖) = ℓ𝑖12 + ⋯+ ℓ𝑖𝑚

2 + Ψ𝑖

𝐶𝑜𝑣 (𝑋𝑖, 𝑋𝑘) = ℓ𝑖1ℓ𝑘1 + ⋯+ ℓ𝑖𝑚ℓ𝑘𝑚

2. 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝐹) = 𝐿

Atau

𝐶𝑜𝑣 (𝑋𝑖, 𝐹𝑗) = ℓ𝑖𝑗

Struktur Eigen pada matriks kovarian ditentukan dengan misalkan X adalah

vektor random p-komponen dimana p adalah jumlah variabel. Matriks kovarian, 𝚺,

diberikan oleh E(XX’). Misalkan 𝛾′ = (𝛾1 𝛾2 ⋯ 𝛾𝑝 ) adalah sebuah vektor bobot

untuk membentuk kombinasi linier dari variabel-variabel asli, dan 𝜉 = 𝛾′𝑿 adalah

variabel baru, yang adalah kombinasi linier dari variabel-variabel asli. Varian dari

variabel baru tersebut diberikan oleh E(𝜉𝜉′) dan sama dengan E(𝛾′𝑿𝑿′𝛾) atau 𝛾′ Σ𝛾.

Masalahnya sekarang mengurangi untuk mendapatkan vektor bobot, 𝛾′, sedemikian

hingga variannya, 𝛾′ Σ𝛾 , dari variabel baru tersebut maksimal pada kelas kombinasi

linier yang bisa dibentuk subjek pada kendala 𝛾′𝛾 = 𝐼.


10

Solusi untuk maksimalisasi masalah tersebut dapat diperoleh sebagai berikut:

Misalkan

𝒁 = 𝛾′Σ𝛾 − 𝜆(𝛾′𝛾 − 1)

𝒁 = Σ𝛾2 − 𝜆(𝛾2 − 1)

𝒁 = Σ𝛾2 − 𝜆𝛾2 + 𝜆

dimana 𝜆 adalah pengali Lagrange. Vektor p-komponen dari turunan parsialnya

diberikan dengan

𝝏𝒁

𝝏𝛾= 2Σ𝛾 − 2𝜆𝛾

membentuk vektor turunan parsial di atas menjadi nol pada solusi akhir. Yakni,

(Σ − 𝜆𝐼)𝛾 = 0

agar sistem persamaan homogen di atas memiliki sebuah solusi nontrivial,

determinan (Σ − 𝜆𝐼) harus nol. Yakni,

|Σ − 𝜆𝐼| = 0

Persamaan di atas adalah polinomial dalam 𝜆 derajat p, dan karena itu memiliki p

akar. Misalkan 𝜆1 ≥, 𝜆2 ≥,… , 𝜆𝑝 adalah p akar. Persamaan di atas menghasilkan

nilai p untuk 𝜆, dan masing-masing nilai disebut eigenvalue atau akar dari matriks Σ.

Masing-masing nilai 𝜆 menghasilkan bobot yang diperoleh dari vektor 𝛾 p-

komponen dengan menyelesaikan persamaan berikut:

(Σ − 𝜆𝐼)𝛾 = 0

𝛾′𝛾 = 𝐼

Maka, eigenvektor pertama, 𝛾1 , sesuai dengan eigenvalue pertama, 𝜆1, diperoleh

dengan menyelesaikan persamaan

(Σ − 𝜆1𝐼)𝛾1 = 0


11

𝛾′1𝛾1 = 1

Perkalian (Σ − 𝜆1𝐼)𝛾1 = 0 dengan 𝛾′1 menghasilkan

𝛾′1(Σ − 𝜆1𝐼)𝛾1 = 0

𝛾′1Σ𝛾1 = 𝜆𝛾′1𝛾1

𝛾′1Σ𝛾1 = 𝜆1

karena 𝛾′1𝛾1 = 1. 𝛾′1Σ𝛾1 adalah varian dari variabel baru, 𝜉, dan sama dengan

eigenvalue, 𝜆1. Principal component yang pertama diberikan oleh eigenvektor, 𝛾1,

sesuai dengan eigenvalue terbesar, 𝜆1.

Misalkan 𝛾2adalah vektor bobot p-komponen kedua yang membentuk

kombinasi linier lainnya. Kombinasi linier selanjutnya dapat ditemukan sedemikian

hingga varian dari 𝛾′2𝑿 adalah subjek maksimum pada kendala 𝛾′1𝛾2 = 0 dan

𝛾′2𝛾2 = 1. Dapat ditunjukkan bahwa principal component yang tersisa,

𝛾′3, 𝛾′4, … , 𝛾′𝑝, adalah eigenvektor yang sesuai dengan eigenvalue, 𝜆3, 𝜆4, … , 𝜆𝑝,

pada matriks kovarian, 𝚺. Maka, masalah dalam menemukan bobot merupakan

menemukan struktur eigen dari matriks kovarian. Eigenvektor memberikan vektor

bobot dan eigenvalue mewakili varian dari variabel-variabel baru atau nilai principal

components.

2.3 Metode Estimasi

Pada pengamatan yang diberikan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dengan variabel sejumlah p yang

secara umum berkorelasi, analisis faktor akan mencari jawaban dari pertanyaan:

“Apakah model faktor, dengan faktor berjumlah sedikit, dapat merepresentasikan

data dengan tepat?” Pembuatan model statistik ini dilakukan dengan memverifikasi

hubungan kovarian.

Matriks kovarian sampel S adalah sebuah estimator matriks 𝚺 kovarian

populasi yang belum diketahui. Jika elemen-elemen off-diagonal dari S kecil atau

elemen-elemen dari matriks korelasi sampel R pada dasarnya nol, variabel-variabel


12

tersebut tidak berhubungan, dan analisis faktor tidak akan terbukti berguna. Dalam

keadaan ini, faktor-faktor spesifik memainkan peran dominan, dimana tujuan utama

analisis faktor adalah untuk menentukan beberapa faktor umum yang penting.

Jika 𝚺 muncul menyimpang secara signifikan dari matriks diagonal, maka

model faktor dapat dibentuk, dan masalah awalnya adalah memperkirakan faktor

loading ℓ𝑖𝑗 dan varian tertentu Ψ𝑖. Penulis menggunakan metode estimasi Komponen

Utama (dan Faktor Utama) untuk menyederhanakan interpretasi faktor.

2.3.1 Analisis Komponen Utama (Principal Component Analysis)

Misalkan 𝚺 mempunyai pasangan eigenvalue-eigenvektor (𝜆𝑖, 𝑒𝑖) dengan 𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥

⋯ ≥ 𝜆𝑝 ≥ 0. Maka,

𝚺 = 𝜆1𝐞𝟏𝐞′𝟏 + 𝜆2𝐞𝟐𝐞′𝟐 + ⋯+ 𝜆𝑝𝐞𝐩𝐞′𝐩

= [√𝜆1 𝐞𝟏 ⋮ √𝜆2 𝐞𝟐 ⋮ ⋯ ⋮ √𝜆𝑝 𝐞𝐩]

[ √𝜆1 𝐞′𝟏

√𝜆2 𝐞′𝟐⋮

√𝜆𝑝 𝐞′𝐩]

(2.1)

Ini sesuai dengan struktur kovarian yang ditentukan untuk model analisis faktor yang

memiliki banyak faktor sebagai variabel (m = p) dan varian tertentu Ψi = 0 untuk

semua i. Matriks loading mempunyai j kolom yang diberikan oleh √𝜆𝑗 𝐞𝐣. Dapat

ditulis

𝚺(𝐩 ×𝐩) = 𝐋(𝐩 ×𝐩)𝐋′(𝐩 ×𝐩) + 𝟎(𝐩 ×𝐩) = 𝐋𝐋′ (2.2)

Terlepas dari faktor skala √𝜆𝑗, faktor loading pada faktor ke-j adalah koefisien untuk

komponen utama ke-j dari populasi.

Meskipun representasi analisis faktor dari 𝚺 di (2.1) tepat, dia tidak terlalu

berguna: dia menggunakan banyak faktor umum karena ada variabel-variabel dan

tidak memungkinkan variasi dalam faktor-faktor spesifik. Penulis lebih memilih

model yang menjelaskan struktur kovarian hanya dari beberapa faktor umum. Satu

pendekatan, ketika eigenvalue terakhir p−m kecil, adalah dengan mengabaikan

kontribusi dari 𝜆𝑚+1𝐞𝐦+𝟏𝐞′𝐦+𝟏 + ⋯+ 𝜆𝑝𝐞𝐩𝐞′𝐩 terhadap 𝚺 di (2.1). Dengan

mengabaikan kontribusi ini, dapat diperoleh pendekatan


13

𝚺 = [√𝜆1 𝐞𝟏 ⋮ √𝜆2 𝐞𝟐 ⋮ ⋯ ⋮ √𝜆𝑚 𝐞𝐦]

[ √𝜆1 𝐞′𝟏

√𝜆2 𝐞′𝟐⋮

√𝜆𝑚 𝐞′𝐦]

= 𝑳(𝒑×𝒎)𝑳′(𝒎×𝒑) (2.3)

Representasi pendekatan di (2.3) mengganggap bahwa faktor-faktor spesifik 𝜀 di

model faktor ortogonal dengan m faktor 𝑿(𝑝×1) = 𝝁(𝑝×1) + 𝑳(𝒑×𝒎) 𝑭(𝒎×𝟏) + 𝜺(𝒑×𝟏)

adalah kepentingan minor dan bisa juga diabaikan dalam pemfaktoran 𝚺. Jika faktor-

faktor spesifik dimasukkan di dalam model, variannya bisa diambil untuk elemen

diagonal dari 𝚺 − 𝐋𝐋′ , dimana 𝐋𝐋′ didefinisikan pada (2.3).

Memungkinkan untuk faktor-faktor tertentu, diperoleh pendekatan menjadi

𝚺 = 𝑳𝑳′ + Ψ

= [√𝜆1 𝐞𝟏 ⋮ √𝜆2 𝐞𝟐 ⋮ ⋯ ⋮ √𝜆𝑚 𝐞𝐦]

[ √𝜆1 𝐞′𝟏

√𝜆2 𝐞′𝟐⋮

√𝜆𝑚 𝐞′𝐦]

+ [

Ψ𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎

𝟎 Ψ𝟐 ⋯ 𝟎

⋮

𝟎

⋮

𝟎

⋱ ⋮⋯ Ψ𝒑

] (2.4)

Dimana Ψ𝒊 = 𝝈𝒊𝒊 − ∑ 𝓵𝒊𝒋𝟐𝒎

𝒋=𝟏 untuk i = 1, 2, ..., p.

Untuk menggunakan pendekatan ini pada data 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, yang pertama

dilakukan adalah memusatkan pengamatan dengan mengurangi mean sampel �̅�.

Pengamatan terpusat

𝑥𝑗 − �̅� = [

𝑥𝑗1

𝑥𝑗2

⋮𝑥𝑗𝑝

] − [

�̅�1

�̅�2

⋮�̅�𝑝

] =

[ 𝑥𝑗1 − �̅�1

𝑥𝑗2 − �̅�2

⋮𝑥𝑗𝑝 − �̅�𝑝]

j = 1, 2, ..., n (2.5)

mempunyai matriks kovarian sampel S yang sama dengan pengamatan asli.

Dalam kasus ini dimana unit variabel tidak sepadan, biasanya dapat berhasil

dengan variabel yang sudah distandardisasi

𝑧𝑗 =

[ 𝑥𝑗1−�̅�1

√𝑠11

𝑥𝑗2−�̅�2

√𝑠22

⋮𝑥𝑗𝑝−�̅�𝑝

√𝑠𝑝𝑝 ]

j = 1, 2, ..., n


14

yang matriks kovarian sampelnya adalah matriks korelasi sampel R dari pengamatan

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. Standardisasi mencegah memiliki satu variabel dengan varian besar

yang terlalu mempengaruhi penentuan faktor loading.

Representasi dalam (2.4), ketika digunakan pada matriks kovarian sampel S

atau matriks korelasi sampel R, dikenal sebagai solusi komponen utama (principal

component solution). Nama tersebut diambil dari fakta bahwa faktor loading-nya

adalah koefisien skala dari beberapa komponen utama sampel pertama.

2.3.2 Faktor Model Solusi Komponen Utama

Analisis faktor komponen utama dari matriks kovarians sampel S ditentukan dalam

hal pasangan eigenvalue-eigenvektornya (𝜆1̂, 𝑒1̂), (𝜆2̂, 𝑒2̂), ..., (𝜆�̂�, 𝑒�̂�), dimana 𝜆1̂ ≥

𝜆2̂ ≥ ⋯ ≥ 𝜆�̂�. Misalkan 𝑚 < 𝑝 adalah jumlah faktor-faktor umum. Maka matriks

faktor loading yang diperkirakan {ℓ𝑖�̃�} diberikan oleh

�̃� = [√�̂�1𝐞�̂� ⋮ √�̂�2𝐞�̂� ⋮ ⋯ ⋮ √�̂�𝑚𝐞�̂�] (2.6)

perkiraan varians tertentu disediakan oleh elemen diagonal dari matriks S−�̃��̃�′, maka

Ψ̃ =

[ Ψ̃𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎

𝟎 Ψ̃𝟐 ⋯ 𝟎

⋮𝟎

⋮𝟎

⋱ ⋮⋯ Ψ̃𝒑]

dengan Ψ̃𝒊 = 𝒔𝒊𝒊 − ∑ �̃�𝒊𝒋𝟐𝒎

𝒋=𝟏 (2.7)

Komunalitas diperkirakan sebagai

ℎ̃𝑖2 = ℓ̃𝑖1

2 + ℓ̃𝑖22 + ⋯+ ℓ̃𝑖𝑚

2 (2.8)

Analisis faktor komponen utama dari matriks korelasi sampel diperoleh dengan

memulai dengan R di tempat S (Wichern, 2007).

2.4 Analisis Komponen Utama Yang Robust

Untuk mendapatkan analisis komponen utama yang robust dapat dilakukan dengan

menggantikan matriks varian-kovarian yang klasik dengan suatu estimator yang


15

robust. Estimator robust yang diinginkan adalah memiliki breakdown point (tingkat

robust) yang tinggi.

2.5 Minimum Volume Ellipsoid (MVE)

Estimator Minimum Volume Ellipsoid (MVE) didasarkan pada ellipsoid volume

terkecil yang mencakup h dari n pengamatan. MVE adalah estimator multivariat

yang kuat dan penyebaran multivariasi yang affine equivariant dengan breakdown

tinggi. MVE dapat dihitung dengan algoritma resampling. Biasnya yang rendah

membuat MVE sangat berguna untuk pendeteksian outlier dalam data multivariat,

sering kali melalui penggunaan jarak robust berbasis MVE.

Minimum Volume Ellipsoid (MVE), pertama kali diperkenalkan oleh

Rousseeuw, adalah estimator robust pertama dengan breakdown tinggi yang umum

digunakan. MVE menjadi populer karena ketahanannya yang tinggi terhadap outlier,

yang membuat MVE menjadi alat yang diandalkan untuk pendeteksian outlier.

2.5.1 Algoritma MVE

Misalkan diberikan data hasil n pengamatan dengan p variabel acak sebagai berikut:

Pengamatan: X1 X2 ⋯ Xp

1 X11 X12 ⋯ X1p

2 X21 X22 ⋯ X2p

3 X31 X32 ⋯ X3p

4 X41 X42 ⋯ X4p

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

n Xn1 Xn2 Xnp

Dari data dengan n pengamatan ini, akan terdapat subsampel sebanyak (𝑛

𝑝 + 1) yang

memuat (𝑝 + 1) pengamatan.


16

Untuk mendapatkan ellipsoid dengan volume minimum, dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut:

1. Dipilih himpunan bagian yang memuat (𝑝 + 1) pengamatan. Selanjutnya untuk

setiap himpunan bagian berukuran (𝑝 + 1) tersebut, sebutlah himpunan indeks

𝐽 = {𝑖1, … , 𝑖𝑝+1} ⊂ {1,… , 𝑛} .

2. Menentukan rata-rata (mean) sampel dengan rumus �̅�𝐽 =1

𝑝+1∑ 𝑥𝑖𝐽

𝑝+1𝑗=1 sehingga

diperoleh pusat ellips 𝑇𝐽 = (�̅�1, �̅�2, �̅�3) dimana:

�̅�1 =𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 + ⋯+ 𝑥(𝑝+1)1

𝑝 + 1

�̅�2 =𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + ⋯+ 𝑥(𝑝+1)2

𝑝 + 1

�̅�3 =𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + ⋯+ 𝑥(𝑝+1)3

𝑝 + 1

Selanjutnya ditentukan matriks kovarian dari sampel dengan rumus

𝑆𝐽 =1

𝑝∑(𝑥𝑖𝐽

𝑝+1

𝑗=1

− �̅�𝐽)(𝑥𝑖𝐽 − �̅�𝐽)𝑡

yang secara rinci bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

𝑆𝐽 = 𝑆 =

[ 𝑆1

2 𝑆12 ⋯ 𝑆1𝑝

𝑆21 𝑆22 ⋯ 𝑆2𝑝

⋮𝑆𝑛1

⋮𝑆𝑛2

⋱ ⋮⋯ 𝑆𝑝

2]

dimana

𝑠𝑖𝑗 =1

𝑛 − 1∑(𝑥𝑘𝑖

𝑛

𝑘=1

− �̅�𝑖)(𝑥𝑘𝑗− �̅�𝐽)

Matriks kovarian 𝑆𝐽 ini pada umumnya nonsingular, dan memang harus

nonsingular. Bila tidak, banyaknya pengamatan harus ditambah sampai

pemilihan (𝑝 + 1) himpunan bagian dari sampel ini mengakibatkan 𝑆𝐽

nonsingular.

3. Selanjutnya dihitung jarak kuadrat:

𝐷𝐽2 = [(𝑥𝑖 − �̅�𝐽)

𝑡(𝑆𝐽)

−1(𝑥𝑖 − �̅�𝐽)]

ℎ:𝑛


17

dimana h : n menunjukkan jarak kuadrat terkecil ke-h di antara jarak kuadrat dari

n pengamatan dalam 𝑋𝑛. Dengan menggunakan jarak kuadrat tersebut, dibuat

faktor skala 𝐷𝐽

2

𝑐2⁄ dengan 𝑐 = √𝑋𝑝,𝛼

2 .

𝐷𝐽

𝑐⁄ ini merupakan jari-jari ellips ke arah sumbu XJ.

4. Sebagai penentu yang sangat penting dalam MVE adalah volume ellipsoid yang

proporsional dengan nilai

𝑉𝐽 = (𝐷𝐽

𝑐)𝑝det (𝑆𝐽)

1/2

Setelah selesai langkah ke-4 dengan memperoleh nilai volume ellips untuk

subsampel pertama, selanjutnya ulangi langkah 1 sampai 4 di atas untuk subsampel

ke-2 berukuran sama yaitu (𝑝 + 1) sehingga diperoleh volume ellips ke-2. Proses

terus diulang sampai sebanyak (𝑛

𝑝 + 1) subsampel. Selanjutnya, dipilih subsampel

yang ellipsnya memiliki volume paling minimum. Dari ellips terpilih tersebut,

berikutnya dihitung T(X) dan S(X) di mana

𝑇(𝑥) = 𝑇𝐽 𝑑𝑎𝑛 𝑆(𝑋) =𝑐2(𝑛, 𝑝)

𝑋𝑝,𝛼2

𝐷𝐽2 𝑆𝐽

dengan 𝑐2(𝑛, 𝑝) = [1 +15

𝑛−𝑝]2

yang disebut dengan correction term.

Berdasarkan T(X) dan S(X) tersebut di atas, dihitung jarak robust dengan rumus

𝑅𝐷𝑖 = √(𝑥𝑖 − 𝑇(𝑋))𝑆(𝑋)−1(𝑥𝑖 − 𝑇(𝑋))𝑇

untuk setiap pengamatan i. Selanjutnya pencilan data ditentukan apabila 𝑅𝐷𝑖 >

√𝑋𝑝,𝛼2 .


18

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan contoh data stackloss Brownlee.

Tiga variabel berikut sesuai dengan pengukuran untuk faktor pengoksidasian amonia

menjadi asam nitrat pada tanaman pada 21 hari berturut-turut.

X1 : aliran udara pada tanaman

X2 : suhu air masuk pendingin

X3 : konsentrasi asam

Variabel Y menunjukkan hilangnya amonia (stackloss).

Tabel 3.1 Stackloss Data

X1 X2 X3 Y

80 27 89 42

80 27 88 37

75 25 90 37

62 24 87 28

62 22 87 18

62 23 87 18

62 24 93 19

62 24 93 20

58 23 87 15

58 18 80 14

58 18 89 14

58 17 88 13

58 18 82 11

58 19 93 12


19

50 18 89 8

50 18 86 7

50 19 72 8

50 19 79 8

50 20 80 9

56 20 82 15

70 20 91 15

3.2 Analisis Faktor dengan Metode MVE

Analisis faktor yang akan dilakukan pada data tersebut pertama menggunakan metode

MVE untuk subsampel pertama. Subsampel yang diambil harus memuat (p+1)

pengamatan, yaitu

[

80 27 8980 27 887562

2524

9087

]

Kemudian, dari subsampel yang diambil, dihitung mean sampel dengan rumus

�̅�𝐽 =1

𝑝 + 1∑ 𝑥𝑖𝐽

𝑝+1

𝑗=1

sehingga diperoleh �̅�1 = 74,25; �̅�2 = 25,75; �̅�3 = 88,5. Matriks varian-kovarian

sampel dihitung dengan rumus:

𝑆𝐽 =1


𝑝+1

𝑗=1

− �̅�𝐽)(𝑥𝑖𝐽 − �̅�𝐽)𝑡

Untuk subsampel pertama diperoleh matriks varian-kovarian robust:


20

𝑆 = [108,375 17,625 9,7517,625 3,375 0,759,750 0,750 2,5

]

Ada 5.985 subsampel dari 4 pengamatan yang diambil dari 21 pengamatan, maka

perhitungan selanjutnya dilakukan dengan software SAS sehingga dihasilkan matriks

varian-kovarian robust dari data sebagai berikut:

𝑆 = [23,470588235 7,5735294118 16,1029411767,5735294118 6,3161764706 5,367647058816,102941176 5,3676470588 32,389705882

]

Eigenvalue dari matriks varian-kovarian robust tersebut adalah:

�̂�1 46,597431018

�̂�2 12,155938483

�̂�3 3,423101087

Eigenvector dari matriks varian-kovarian robust tersebut adalah:

[0,3819 0,6990 0,6046

−0,9233 0,3177 0,2158−0,0412 −0,6406 0,7688

]

Maka matriks faktor loading yang diperkirakan {ℓ𝑖�̃�} diberikan oleh

�̃� = [√�̂�1𝐞�̂� ⋮ √�̂�2𝐞�̂� ⋮ ⋯ ⋮ √�̂�𝑚𝐞�̂�]

ℓ11̃ = (6,826)(0,3819)

ℓ11̃ = 2,6069

ℓ12̃ = (6,826)(0,6990)

ℓ12̃ = 4,7715

ℓ13̃ = (6,826)(0,6046)

ℓ13̃ = 4,1271


21

ℓ21̃ = (3,486)(−0,9233)

ℓ21̃ = −3,2191

ℓ22̃ = (3,486)(0,3177)

ℓ22̃ = 1,1076

ℓ23̃ = (3,486)(0,2158)

ℓ23̃ = 0,7524

ℓ31̃ = (1,8501)(−0,0412)

ℓ31̃ = −0,07622

ℓ32̃ = (1,8501)(−0,6406)

ℓ32̃ = −1,1852

ℓ33̃ = (1,8501)(0,7688)

ℓ32̃ = 1,4224

3.3 Analisis Faktor Klasik

Setelah menganalisis data dengan metode MVE, data akan dianalisis dengan analisis

faktor klasik menggunakan seluruh data sekaligus, yaitu

[ 80 27 8980 27 8875626262626258585858585850505050505670

25242223242423181817181918181919202020

90878787939387808988829389867279808291]


22

Kemudian, dari data tersebut, dihitung mean dengan rumus

�̅�𝐽 =1

𝑝 + 1∑ 𝑥𝑖𝐽

𝑝+1

𝑗=1

sehingga diperoleh �̅�1 = 60,429; �̅�2 = 21,095; �̅�3 = 86,286. Matriks varian-kovarian

dihitung dengan rumus:

𝑆𝐽 =1


𝑝+1

𝑗=1

− �̅�𝐽)(𝑥𝑖𝐽 − �̅�𝐽)𝑡

Sehingga diperoleh matriks varian-kovarian dari data adalah:

𝑆 = [840,571 226,571 245,714226,571 99,905 66,214245,714 66,214 287,143

]

Eigenvalue dari matriks varian-kovarian robust tersebut adalah:

�̂�1 36,0472

�̂�2 195,8116

�̂�3 995,7602

Eigenvector dari matriks varian-kovarian robust tersebut adalah:

[0,2756 0,3207 0,9062

−0,9611 0,1079 0,2542−0,0163 −0,9410 0,3380

]

Maka matriks faktor loading yang diperkirakan {ℓ𝑖�̃�} diberikan oleh

�̃� = [√�̂�1𝐞�̂� ⋮ √�̂�2𝐞�̂� ⋮ ⋯ ⋮ √�̂�𝑚𝐞�̂�]

ℓ11̃ = (6,0039)(0,2756)

ℓ11̃ = 1,6546

ℓ12̃ = (6,0039)(0,3207)


23

ℓ12̃ = 1,925

ℓ13̃ = (6,0039)(0,9062)

ℓ13̃ = 5,4407

ℓ21̃ = (13,993)(−0,9611)

ℓ21̃ = 13,4489

ℓ22̃ = (13,993)(0,1079)

ℓ22̃ = 1,5098

ℓ23̃ = (13,993)(0,2542)

ℓ23̃ = 3,557

ℓ31̃ = (31,555)(−0,0163)

ℓ31̃ = −0,5143

ℓ32̃ = (31,555)(−0,9410)

ℓ32̃ = −29,6938

ℓ33̃ = (31,555)(0,3380)

ℓ32̃ = 10,6658

3.4 Estimated Factor Loading

Hasil analisis faktor menggunakan Analisis Komponen Utama dengan metode Minimum

Volume Ellipsoid (MVE) dan metode klasik pada contoh data stackloss Brownlee adalah

sebagai berikut:

Variabel

Estimated factor loading

ℓ𝑖�̃� = √�̂�𝑖𝐞𝐢�̂�

Robust Klasik

𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹1 𝐹2 𝐹3

X1 : aliran

udara pada

tanaman

2,6069 -3,2191 -0,0762 1,6546 13,4489 -0,5143


24

X2 : suhu air

masuk

pendingin

4,7715 1,1076 -1,1852 1,925 1,5098 -29,6938

X3 :

konsentrasi

asam

4,1271 0,7524 1,4224 5,4407 3,557 10,6658

Eigenvalues 46,5974 12,1559 3,4231 36,0472 195,8116 995,7602


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil analisis dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan bahwa faktor loading

yang dihasilkan dari setiap variabel dengan estimasi robust dan estimasi klasik

memiliki perbedaan, yaitu dengan estimasi robust faktor loading-faktor loading yang

dihasilkan memiliki nilai yang tidak jauh berbeda. Seperti pada variabel X1 faktor

loading-nya adalah 2,6069; -3,2191; dan -0,0762. Sedangkan dengan estimasi biasa

(klasik) faktor loading-faktor loading yang dihasilkan memiliki perbedaan nilai yang

cukup jauh. Seperti pada variabel X1 faktor loading-nya adalah 1,6546; 13,4489; dan -

0,5143. Begitupula pada variabel X2 dan X3.

4.2 Saran

Dari penelitian ini penulis menyarankan sebagai berikut:

1. Analisis faktor robust pada penelitian ini hanya menggunakan metode MVE

sehingga memungkinkan penelitian selanjutnya untuk menggunakan estimator

robust yang lain.

2. Analisis faktor robust pada penelitian ini menggunakan Analisis Komponen

Utama sehingga memungkinkan penelitian selanjutnya untuk menggunakan

metode yang lain.


26

DAFTAR PUSTAKA

Aelst Van, Rousseeuw Peter. 2009. Minimum Volume Ellipsoid. 1:71-82.

Anton, H. & Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Edisi 8. (diterjemahkan

oleh :Indriasari, R., dan Harmein, I). Jakarta: Erlangga.

Hair, Joseph F. 1998. Multivariate Data Analysis. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Johnson, R. A and D. W. Wichern. 1982. Applied Multivariate Statistical

Analysis. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Mattjik, A.A & Sumertajaya, I.M. 2011. Sidik Peubah Ganda Dengan

Menggunakan SAS. Bogor: IPB Press.

Parmikanti Kankan, Irianingsih I., Joebaedi K, Rusyaman. 2016. Menentukan

Pusat Ellips Pada Metode MVE Menggunakan Jarak Robust. Prosiding

Seminar Nasional MIPA 2016.

Sharma, Subhash. 1996. Applied Multivariate Techniques. Canada: John Wiley &

Sons, Inc.

Sujatmiko, Irwan., Linuwih, Susanti., A.W., Dwi Atmono. 2005. Analisis

Komponen Utama Dengan Menggunakan Matriks Varian Kovarian Yang

Robust. Jurnal Matematika Vol. 8, No. 2.

Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi. Jakarta: PT Rineka

Cipta Jakarta.


27

LAMPIRAN

/* X1 X2 X3 Y Stackloss data */

aa = { 1 80 27 89 42,

1 80 27 88 37,

1 75 25 90 37,

1 62 24 87 28,

1 62 22 87 18,

1 62 23 87 18,

1 62 24 93 19,

1 62 24 93 20,

1 58 23 87 15,

1 58 18 80 14,

1 58 18 89 14,

1 58 17 88 13,

1 58 18 82 11,

1 58 19 93 12,

1 50 18 89 8,

1 50 18 86 7,

1 50 19 72 8,

1 50 19 79 8,

1 50 20 80 9,

1 56 20 82 15,

1 70 20 91 15 };

a = aa[, 2:4];

optn = j(8, 1, .);

optn[1] = 2; /* ipri */

optn[2] = 1; /* pcov: print COV */

optn[3] = 1; /* pcor: print CORR */

optn[5] = -1; /* nrep: use all subsets */

call mve(sc, xmve, dist, optn, a);


28


29


30


Documents

APLIKASI MATRIKS VARIAN-KOVARIAN ROBUST PADA ANALISIS