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Aplicaciones de las integrales dobles

Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en fısica y en geometrıa. A con-tinuacion damos una relacion de alguna de ellas.

1. El area de una region plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.

area(R) =∫∫

Rdxdy

2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y)(> 0) y una region R en elplano xy es

V =∫∫

Rf(x, y)dxdy

3. Sea f(x, y) la funcion de densidad (=masa por unidad de area) de una distribucionde masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es

M =∫∫

Rf(x, y)dxdy

4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, ydonde:

x =1

M

∫∫

Rxf(x, y)dxdy, y =

1

M

∫∫

Ryf(x, y)dxdy

5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:

Ix =∫∫

Ry2f(x, y)dxdy; Iy =

∫∫

Rx2f(x, y)dxdy

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como

geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y

para las integrales triples.

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las

aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se

encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de

volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas

están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,

centros de masa y momentos de inercia para una región

bidimensional.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco

de la integral doble de una función f positiva en una región

bidimensional D, ( )D

f x, y dA∫∫ , como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,

si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda

como:

( )D D

f x, y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1)

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene

que:

0 1 1

n m

ijD P i jdA Lim A

→ = =

= ∆∑∑∫∫ (III.2)

Recuerde que la integral doble ( )

Df x, y dA∫∫ ,

también puede escribirse como

( )0 1 1

n m* *

i j ijP i jLim f x , y A

→ = =

∆∑∑


donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el

cual puede observarse en la figura 3.1

D

a = x0

y

xxi xn= bxi-1

c = y0

d = ym

yj-1

yjyj

xi (xi*,yj

*)

Dij

Figura 3.1

Región D dividida en subrectángulos ijD

En otras palabras, la integral D

dA∫∫ representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D

y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas

características, el volumen se obtiene como el producto del área

de la base y la altura del mismo.

A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una

región plana.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Sea D una región bidimensional D , tal que 2D ⊆ . Sea A el

área de la región D , entonces:

DA dxdy= ∫∫ (III.3)


Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior

queda como:

( )

( ) [ ] ( )( )b g x b g x

f xa f x aA dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3)

( ) ( )b

aA g x f x dx= − ∫ (III.4)

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las

gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta

integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro

de las aplicaciones de la integral definida.

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales

dobles: D

dxdy∫∫ y D

dydx∫∫ , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ −

Figura 1

Ejercicio 1

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

2x ay by c= + +

Es una parábola horizontal

Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:

( )( ) ( )

x, y a x bD

f x y g x

≤ ≤ ∧ = ≤ ≤

24x y= −

2 2x y y= −

D


Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

Ddxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma

Ddxdy∫∫ .

Valor de x a la salida de D

24x y= −

D

Valor de x a la entrada de D

2 2x y y= −


Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la

limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: D

dxdy∫∫

y D

dydx∫∫ .

Figura 3.5

Región D del ejemplo 3.2

Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:

1 16 20C : y x= +

2 2 20C : y x= − + y

23 4C : y x=

a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral

doble D

dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la

entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar

estos valores.

Ejercicio 2

Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son:

120

16yC : x −

=

220

2yC : x −

=

1 2y

C : x = ±

C1

D

C3

C2


Figura 3.6

Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2

Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces: 1 2 3D D D

A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫

donde:

( )

( )

( )

1

2

3

0 42 2

20 4 1616 2

20 20 16 2016 2

y yD x, y x y

yyD x, y x y

y yD x, y x y

= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

− − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble

Ddxdy∫∫ se debe

emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.

Valor de x a la salida de D3

202

yx −= D3

Valor de x a la entrada de D3

2016

yx −=


2y

x =

D2


2016

yx −=


2y

x = D1


2y

x = −

4y =

16y =


Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre

dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.

Considere una corona circular con centro en el origen del sistema

de coordenadas tal como se observa a continuación.

Figura 3.8


Como D

A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen,

entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará

11 D

A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra

en el primer cuadrante, denotada como 1D

14A A=

La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.

La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es:

( )2 2A R rπ= −

donde R: Radio externo r: radio interno

Ejercicio 3

D 2 2 16x y+ =

2 2 4x y+ =


Figura 3.9

Región 1D del ejemplo 3.3

Luego: 1. 1.

1A BD D

A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:

( ){ }( ){ }

2 21

21

0 2 4 16

2 4 0 16

.A

.B

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Valor de y a la salida de D1.A

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.A

24y x= −

D1.A

2x =

D1.B

Valor de y a la salida de D1.B

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.B

0y =

Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:

1 1 1.A .BD D D= ∪


VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral

( )D

f x, y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la

región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral

doble también puede emplearse para determinar el volumen de un

sólido más general.

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y

2 220z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales

dobles.

En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la

superficie superior es 2 220z x y= − − y la superficie inferior viene

dada por la ecuación 2 22z x y= + .

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Sean 2:f → y 2:g → dos funciones reales, continuas

en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤

( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado

superiormente por la gráfica de la función g y acotado

inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:

( ) ( ), ,D

V g x y f x y dA= − ∫∫ (III.5)

Ejercicio 4


Figura 3.10

Sólido S del ejemplo 3.4

El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene

mediante la integral doble:

2 2 2 220 2D

V x y x y dA = − − − + ∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta

proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en

el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos

superficies:

2 22 2 2 2

2 2

22 20

20

z x yx y x y

z x y

= + ⇒ + = − −= − −

( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + =

Entonces:

( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤

La superficie definida por la ecuación:

2 220z x y= − − Es una semiesfera (parte superior).

La superficie definida por la ecuación:

2 22z x y= + Es un cono .

S

Valor de z a la salida de S

2 220z x y= − −

Valor de z a la entrada de S

2 22z x y= +


Figura 3.11


Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −

Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:

2

2

2 4 2 2 2 2

2 420 2

x

xV x y x y dydx

−

− − − = − − − + ∫ ∫

Valor de y a la salida de D

24y x= −

Valor de y a la entrada de D

24y x= − −

D

Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.

En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.


Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y

dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando

integrales dobles.

En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las

superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ .

Figura 3.12


El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:

[ ] [ ]4 1 3D D

V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta

proyección, se observa en la figura 3.13

EJERCICIO 5

S 2 2 1x y+ =


4z xy= +


1z =


Figura 3.13


En este caso, la región D se define como:

( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤

Dibuje el sólido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z = , 3y x x= − y 2y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.

En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por 3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las

superficies 3y x x= − y 2y x x= + definen las paredes de dicho

cuerpo tridimensional.

EJERCICIO 6


21x y= −


21x y= − −

D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región


Figura 3.14


Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:

3 3 3 31 0 1D D

V x y xy dA x y xy dA = + + − = + + ∫∫ ∫∫

Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región

bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15

Figura 3.15


Valor de y a la salida de D

3y x x= −

Valor de y a la entrada de D

2y x x= +

D

En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.

S


3 31z x y xy= + +


0z =


Por lo tanto, la región D se define como:

( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −

La integral de volumen queda como:

3

2

0 3 3

11

x x

x xV x y xy dydx

−

+− = + + ∫ ∫

13 90 11 8 7 6 3 2

1

7 5174 2 24 4 1260

x xV x x x x x x x dx−

= − + − − − + − − =

∫

MASA DE UNA FIGURA PLANA

A continuación, se explica como determinar la masa de una figura

plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la

figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en

cada punto ( )x, y D∈ .

Figura 3.16

Región D no homogénea

La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .

En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉


Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa

de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:

( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede

estimar mediante la doble suma de Riemann:

( )* *

1 1,

n m

i j iji j

m x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.7)

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la

norma de la partición P tienda a cero, se tiene:

( )* *

0 1 1,

n m

i j ijP i jm Lim x y Aρ

→= =

= ∆∑∑ (III.8)

( ) ( )* *

0 1 1, ,

n m

i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene

mediante:

MASA DE UNA FIGURA PLANA

Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,

que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,

denotada m , se obtiene como:

( ),D

m x y dAρ= ∫∫ (III.10)

El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .

( ),D

Q x y dAσ= ∫∫

Donde σ es la función densidad de carga.


Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.

Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D

m x y dAρ= ∫∫ , por

lo tanto para esta placa se tiene:

Dm dA= ∫∫

Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de

integración.

Figura 3.17


Entonces la región D está definida como:

( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤

EJERICIO 7


2 1x y= −


22 2x y= −

D


MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

El momento estático de una partícula alrededor de un eje se

define como el producto de su masa y la distancia que la separa

de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los

momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes

coordenados.

Considere una lámina o placa plana D , dividida en

subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.20

Región general D no homogénea

Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada

subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:

( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada

subrectángulo, se tiene que:

( )* * *

1 1,

n m

x j i j iji j

M y x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.13)

Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.

xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,

yM es una medida de la

tendencia a girar alrededor del eje y.


Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta

en la expresión anterior:

( )* * *

0 1 1,

n m

x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ

→ = =

= ∆∑∑ (III.14)

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se

denota yM , se obtiene como:

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)

MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la función 2:ρ → , la cual es continua

( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,

denotado xM , se obtiene como:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)

Mientras que el momento estático alrededor del eje y,

denotado yM , se calcula como:

( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)


Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el

ejercicio 7

Solución:

Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D

M x x y dAρ= ∫∫ .

Entonces:

( )2

2

1 1 1 2

1 2 2 11 0

y

x yM ydxdy y y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1 1 4 2

1 2 2 1

3 3 832 2 5

y

y yM xdxdy y y dy

−

− − −

= = − − + = − ∫ ∫ ∫

EJERCICIO 8

La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación

Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :

( ) 1x, yρ =

( ) 2 22 2 1

1 1

x, y y x yD

y

− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤


CENTRO DE MASA

El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de

coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de

las ecuaciones:

yMx

m= (III.19)

xMym

= (III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos

estáticos se calculan por medio de integrales dobles.

El centro de gravedad también es llamado centro de masa.

El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.

El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.


Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el

ejercicio 7

El centro de masa es un punto ( )P x , y D∈ , tal que sus

coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y

III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para

esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19

y III.20

865

4 53

yMx

m= = − = −

0 043

xMym

= = =

CENTRO DE MASA

Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la función 2:ρ → , la cual es continua

( )x, y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:

( )1 ,D

x x x y dAm

ρ= ∫∫ (III.21)

( )1 ,D

y y x y dAm

ρ= ∫∫ (III.22)

Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

( ),D

x y dAρ∫∫ .

La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas 2 1x y= − y

22 2x y= − . Su densidad es :

( ) 1x, yρ =

Y adicionalmente se obtuvo:

2

2

1 1

1 2 2

43

y

ym dxdy

−

− −= =∫ ∫

0

85

x D

y D

M ydA

M xdA

= =

= = −

∫∫

∫∫

EJERCICIO 10

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