APLICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

LEY DE LOGÍSTICA

MANUAL DE PRACTICAS

MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR: NAVA DOMÍNGUEZ SERGIO IVÁN

INTEGRANTES:

Jesús Eduardo Martínez Castañeda 11210101

TIJUANA BAJA CALIFORNIA 29 DE MAYO DE 2012

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN...............................................................................................................2

JUSTIFICACIÓN.................................................................................................................3

OBJETIVO.........................................................................................................................4

MODELO MATEMATICO..................................................................................................5

DESARROLLO DEL PROBLEMA.........................................................................................6

Pasó a paso para obtener solución..............................................................................6

Solución.......................................................................................................................8

RESULTADOS TEORICOS...................................................................................................9

Graficas Teóricas........................................................................................................10

Valores Iniciales.............................................................................................................11

El Medio.....................................................................................................................11

La Noticia...................................................................................................................12

RESULTADOS EXPERIMENTADOS...................................................................................13

Datos Experimentales................................................................................................14

Comparación de las rectas.........................................................................................15

CONCLUSION.................................................................................................................16

INTRODUCCIÓN.

En este proyecto se busca saber cómo es que actúa la dispersión de la comunicación. Es decir, saber la rapidez en que se conocerá alguna noticia por medio de la aplicación de este modelo matemático, “Ley de Logística”. A través de esta ecuación de primer orden, donde para resolverla será aplicado el método de separación de variables y sustitución de nuestras condiciones iniciales; como respuesta obtendremos una solución que podremos variar algunos factores. Este será nuestro proceso y resultado teórico.

Para los valores reales será realizada una prueba publicitaria. Para lograr un mejor efecto estaprueba se elaborara con unapoblación cerrada, en este caso por una página de internet. El proceso de prueba no durara mucho. Será realizado en cortos plazos en concentraciones mínimas de población, en consecuencia se obtendrá un resultado que se espera tenga un insignificante rango de error. Se obtendrá del promedio de los resultados que logremos; confiando que reaccione como lo esperamos.

JUSTIFICACIÓN

Este proyecto está dirigido a compañías, empresas y/o personas que quieran dar la publicidad a algún producto o noticia. Este proyecto tiene como propósito saber cuál será aproximadamente el tiempo que tarde en difundirse un mensaje en alguna población cerrada. Los resultados teóricos podrían variar un cierto porcentaje respecto a los resultados experimentales. Ambos resultados que serán sustituidos en la fórmula para saber si nuestro porcentaje de error está dentro de las condiciones establecidas por dicho método.

Un ejemplo para lo cual podría aplicarse es, que tan rápido se puede llegar a hacer propaganda a un partido político de manera virtual.

El proyecto nos servirá para conocer el grado de impacto que tiene un anuncio respecto al tiempo.Para esto será necesario este proyecto matemático de “ley de logística”. Sea y (t) el número de personas que conocen la noticia al tiempo t. Supongamos que la velocidad con que varía el número de personas que conocen la noticia es proporcional tanto al número de personas que si la conocen, como al de las que todavía no la conocen. Entonces.

Donde k será nuestra constante positiva.

dydt

=ky (M− y )

OBJETIVO

Adoptar elmodelo matemático a nuestro proyecto.

Conocer cuánto tiempo tarda en difundirse una noticia en una población cerrada.

Con los datos obtenidos podremos modificar valores y obtener distintos resultados respecto al tiempo.

MODELO MATEMATICO

La parte fundamental de nuestro proyecto está basada en este modelo matemático: “Ley de Logística” Este se complemente de la siguiente manera: supongamos que la velocidad con que varía el número de persona que conocen una noticia es proporcional tanto al número de persona que la conoce, como el que todavía no la conoce.

La ecuación es la siguiente.

Fig. (1.0)

Este se conforma de los siguientes elementos:

Nuestra solución será la siguiente.

Con C una constante.

Más adelante se desarrollara la ecuación de la fig. (1.0), sustituyendo nuestras variables para llegar a la misma solución.

Y debemos obtener una gráfica como la siguiente imagen.

M = NO. DE POBLACION O MASA Y (t) = NO. DE PERSONAS QUE CONOCEN EL PRODUCTO AL TIEMPO (T) K = CONSTANTE POSITIVA

dydt

=ky (M− y )

y (t )= M

1+C e−kMt

DESARROLLO DEL PROBLEMA

Este es un modelo para la propagación de un mensaje en una población fija. Supóngase que una empresa de alto prestigio quiere dar a conocer un nuevo producto, y esta misma manda un mensaje por una página de internet muy concurrida que tiene como miembros a 1000 personas. Supongamos que la rapidez con que la publicidad se propaga, es proporcional no solo al número de miembros que la saben, sino también al número de miembros que no saben de la notica. Determinaremos que pasara después de 0 min, si además se observa que después de 10 minutos ya eran 50 personas los enterados.

Pasó a paso para obtener solución.Denotemos que x (t) al número de miembros que saben del nuevo producto en t

minutos. Entonces x (0)=1, x (10)=50, 1000-x (t) expresa el número de miembros que no están

enterados del producto y dxdt

es la velocidad con que aumenta el número de miembros

enterados.

Por hipótesis dxdt

es proporcional a [x (T)] [1000-x (t)].

Este problema queda formulado así:

Podemos observar que

dxdt

=kx (1000−x )

X (0) = 1

X (10) = 50

Fig. (1.1)

Es la ecuación logística con a= 1000k y b = k. Separamos variables en la ecuación anterior y por fracciones parciales se obtiene que

Integrando de ambos lados obtenemos que:

Y simplificando, se tiene

En donde,

Como x (0) = 1 tenemos que c2= 1999

y sustituyendo el valor de c2 en la ecuación

anterior, x (t) queda de la forma:

Fig. (1.2)

dxdt

=1000kx−k x2

∫1

1000dx

kx+∫

11000k

dx

1000−x=dt

11000k

ln x− 11000k

ln (1000−x )=t+c

lnx

100−x=1000kt+c1

x1000

=c2e1000kt

x (t )=1000c 2e1000kt

1+c2e1000kt

x (t )= 1000e1000 kt

999+e1000 kt

O bien

Ademásx (10) = 50, por lo cual

De esta expresión despejamos k y obtenemos que

Así, sustituyendo el valor de k en (1.2), tenemos que x (t) queda al fin de la forma

El número de miembros que conoce el producto después de 20minutos está dado por

Es decir, 734 miembros conocen el producto. Un 73.45% de la población total.

1000

999e−1000kt+1

1000

1+999e−10000k=50

k= −110000

ln95049950

k=0.0003962315799

x (t )= 1000

1+999e−0.3962315799 t

x (20 )= 1000

1+999e−0.3962315799(20)≈734.5588233

Solución.

x (t )= 1000

1+999e−0.3962315799 t

RESULTADOS TEORICOS

Para realizar esta prueba fue necesario tener un medio y una noticia para difundir, esperar un lapso de tiempo para tomar nuestros datos que se adaptarían a la fórmula de “ley logística”.

Se obtuvo de resultado lo siguiente.

Sabemos que al tiempo 0, solo 1 persona sabrá de la noticia, es el que comenzara a publicarla y difundirla. Al minuto 10 obtenemos a 50 personas. Estos datos serán los necesarios para empezar a resolver y sustituir valores para poder construir nuestra gráfica y luego experimentarlo. Obteniendo estos datos podremos saber si funciona o falla nuestro proyecto.

Entonces, se presenta una tabla y graficas con los datos teóricos obtenidos.

Al sustituir nuestros datos en la solución, obtenemos los siguientes resultados que están tabulados y graficados como puede observarse.

x(t) MIEMBROS

PORCENTAJE

x(0) 1 0.1%

x(1) 1 0.1%

x(2) 2 0.2%

x(3) 3 0.3%

x(4) 4 0.4%

x(5) 7 0.7%

x(6) 10 1%

x(7) 15 1.5%

x(8) 23 2.3%

x(9) 34 3.4%

x(10) 50 5%

x (t )= 1000

1+999e−0 . 3962315799t

1. En la columna x (t) se indica el tiempo que transcurre en minutos. 2. En la siguiente columna se encuentra los miembros que conocen la

noticia con respecto a la primera columna. 3. En la siguiente columna tenemos el porcentaje respecto al número

total de los miembros con respecto a los miembros que van conociendo la noticia.

Graficas Teóricas

VALORES TEORICOS

x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

Teorico 1 1 2 3 4 7 10 15 23 34 50

5

15

25

35

45

55

MIE

MBR

OS

Grafica con un rango de 0 a 10 minutos, con los datos necesarios para obtener valores teóricos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930310

200

400

600

800

1000

1200

Teorico

Teorico

Gráfica teórica al contar 31 minutos del proceso.

De 31 minutos en adelante se observa que se sigue obteniendo un 999 constante hasta llegar a los 78 minutos que es donde alcanza su máximo de 1000 miembros. Es equivalente al 100% de nuestra población.

Es decir que dentro de 1 hora con 18 minutos toda la población deberá enterarse de alguna noticia relevante.

Valores Iniciales

El Medio

Para obtener los valores iniciales fue necesario tener un medio de población cerrada. En este caso fue aplicada por medio de una página web muy concurrida es decir Facebook. Allí se puede observar el número total de amigos, que es nuestra población.

(La página web no fue hecha con este fin pero si fue indispensable debido al valor de amigos agregados, y la rapidez de respuesta de los usuarios.)

La Noticia

Este proyecto implica noticias con cualquier tipo de tema, educación, servicios, etc. En este caso se utilizó una imagen en la cual se maneja política con los valores del ser humano. La noticia que fue difundida por esta red social.

(`Este fue un mensaje difundido en la red social “Facebook” el día domingo a las 12.00 pm)

Combinando el medio y la noticia vemos como se obtuvieron los valores para de allí basarnos para luego experimentarlos.

RESULTADOS EXPERIMENTADOS

Es el momento de concretar el proyecto, tomando los datos de manera real por decirlo así, experimentando. Este será un proceso en el cual se ha creado un blog en internet, este contiene noticias, una de ellas es sobre “Peña Nieto y las encuestas” y la otra “Promotores de Peña Nieto”.

Entonces el link será publicado en Facebook y serán contados por minuto cada vez que una persona con diferente dirección IP ingrese a la página. Ya sea la opción 1 o 2.

Se estará llevando el conteo de cada minuto hasta llegar a los 30 minutos. Después compararemos mediante una tabla con su respectiva gráfica.

La noticia recordemos que será en la población cerrada de la página de Facebook.

Datos Experimentales

Presentaremos los datos obtenidos experimentalmente.

Empezamos a experimentar un domingo 27 de mayo de 2012, a las 11:54 am. El proceso duro 30 minutos y los datos fueron los siguientes.

Como se observa dependiendo de la noticia varia el número de visitas

Tiempo en minutos Peña Nieto y las encuestas Promotores Peña Nieto11:54 1 111:55 3 211:56 5 411:57 7 511:58 11 911:59 15 1212:00 20 1312:01 25 1512:02 25 1612:03 29 2212:04 35 2512:05 42 3012:06 50 4212:07 60 4612:08 71 6012:09 79 6912:10 85 8012:11 98 9212:12 126 10112:13 142 11212:14 173 11712:15 198 12812:16 219 15912:17 268 18112:18 296 19012:19 313 22112:20 358 27212:21 405 34212:22 467 39212:23 530 411

(Tabla obtenida con los datos.)

Para la realización de esta grafica se publicaron 2 noticias y lo que obtuvimos será proyectado en 2 rectas.

11:5411:56

11:5812:00

12:0212:04

12:0612:08

12:1012:12

12:1412:16

12:1812:20

12:2212:24

0

100

200

300

400

500

600

700

Peña Nieto y las encuestasPromotores Peña Nieto

(Después de 30 minutos de experimentar y así es como se comportó durante el proceso.)

Comparación de las rectas.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

200

400

600

800

1000

1200

Datos teoricosPeña Nieto y las encuestasPromotores de Peña Nieto2

Conclusión

Con nuestro proyecto podemos determinar que, existen diversos factores, por los cuales nuestros resultados pueden variar, bastante ya sea, por la página en la que se difunde la notica que tan conocida o desconocida sea, o por el tipo de público al que se le está proponiendo participar. Se realizaron varias pruebas para encontrar el mejor tiempo de publicar una noticia, en este caso el medio día es donde más personas se encontraron conectados y de allí es donde obtuvimos el mayor numero de resultados. Este modelo no es práctico para tipo de experimento ya que no arrojo resultados más próximos a los reales y por lo tanto no se cumplió con el objetivo establecido al inicio de la práctica.