APLIC. INTEGRALES

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UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB FAC. DE CIENCIAS INFORMTICAS CARRERA DE ING. DE SISTEMASPROYECTO: Fortalecer el aprendizaje a travs del conocimiento de las aplicaciones de las integrales en las ciencias. NIVEL:III PARALELO:B

DIRECTOR DE PROYECTO: Ing. Jos Cevallos Salazar

AUTORES:BENITEZ SABANDO VALERIE YANINA

DEMERA RIVADENEIRA CARLOS MARA TROYA ZAMBRANO SANTIAGO XAVIER

MANABI PORTOVIEJO

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CALCULO INTEGRAL[PROYECTO]

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INDICECertificacin....................................................................................................................Pg. 4 Dedicatoria......................................................Pg. 5 Introduccin............................................................................................................Pg. 6 El problema.................................................................................................................Pg. 7 Objetivos de la investigacin..............................................Pg. 8 Justificacin.............................................Pg. 9 Limitacin.....................................................................................Pg. 10 Elaboracin de hiptesis...Pg. 11 Marco 12 Aplicaciones en la Administracin y Economa...Pg. 12 Superavit de Consumidores y productores....Pg. 13 Ejemplo......Pg. 14 15 Aplicaciones en la Fsica.......Pg. 16CALCULO INTEGRAL Pgina 3

Terico...Pg.

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE.Pg. 16 Ejemplo.....Pg. 17 Presin de Fluido...Pg. 18 Ejemplo.Pg. 19 20 Metodologa...Pg.21 Aspectos administrativos..Pg. 22 Cronograma.......Pg. 23 Anlisis de los resultados..Pg. 24 28Conclusion Pg.

29 Bibliografia...Pg. 30 Anexos...Pg. 31

CERTIFICACIN

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Ing. Mg. Jos Cevallos Salazar

Certifica que el proyecto de investigacin sobre la aplicacin de las integrales en las ciencias es trabajo de los/as seores/as: BenitezSabandoValerieYanina, Demera Rivadeneira Carlos Mara, Troya Zambrano Santiago Xavier, y el que ha sido realizado bajo mi direccin.

__________________________________ ING. MG. JOS CEVALLOS SALAZAR

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DEDICATORIA

Al culminar el presente proyecto investigativo quiero consagrarlo de manera especial al seor profesor Ing. Jos Cevallos Salazar por su apoyo incondicional estimulando nuestros niveles de competitividad y fortalecimiento para mejor en general nuestra estructura profesional.

Y de igual manera para nuestros padres y dems familiares, que han sido el pilar fundamental para llegar donde estamos.

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INTRODUCCIN

El uso de las matemticas en la bsqueda y aplicacin del conocimiento humano resulta un tema indiscutible. El clculo diferencial e Integral surge como una herramienta de la mecnica clsica desarrollada fundamentalmente por Newton. Incluso una vez marcadas las limitaciones de la mecnica clsica y el surgimiento de reas como la relatividad general, en la que surgiran operadores que formaran parte anloga con la mecnica clsica y en la que a su vez se crearan anlogos con el clculo desarrollado por Newton y Leibnitz. La aplicacin y el uso de clculo dentro de las propias matemticas no solo se ha concretado en pocas aplicaciones sino que han dado formalidad a un sin nmero de reas, de las cuales estn siendo objeto de nuestra investigacin y son: la economa, la fsica, la qumica, la mecnica y en lo que respecta a la Ing. Civil en las que las aplicaciones ha versado entre el crecimiento de poblaciones hasta ser elementos clave en la interpretacin de fenmenos. Es por ello que la presente investigacin pretende ser una herramienta clave en la incursin de las aplicaciones bsicas en algunas reas de las ciencias como son las antes mencionadas.

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1. EL PROBLEMA 1.1Ttulo descriptivo del proyectoFortalecimiento y aprendizaje de Calculo Integral en el rea de informando sobre las distintas aplicaciones de las integrales en ciencias especificas involucradas a futuro y creando una amplia relacin docente/estudiante del Tercer semestre en adelante, de la Facultad De Ciencias Informticas en la Universidad Tcnica de Manab.

1.2 Formulacin del problemaCmo fortalecer el aprendizaje mediante la informacin y aprendizaje en la asignatura de Calculo Integral en el rea de Matemticas de la Facultad De Ciencias Informticas en la Universidad Tcnica de Manab, en el periodo septiembre 2011 febrero 2012?

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1.3 OBJETIVOS

DE LA INVESTIGACIN

Objetivo GeneralFortalecer el aprendizaje y entendimiento sobre en cuales ciencias son aplicadas las integrales y su importancia en aquellas, en Calculo Integral de la Facultad De Ciencias De Informtica de la Universidad Tcnica de Manab.

Objetivos Especficos

Demostrar de manera explcita las diferentes tcnicas y teoremas respectivos para la realizacin de un clculo a determinado problema. Facilitar la ayuda de documentos de apoyo sobre las diferentes tcnicas de integrales de acuerdo a cada ciencia y como van a ser aplicadas. Promover a la fcil iteracin entre el estudiante y el conocimiento de ciencias primordiales en la carrera de sistemas, de cmo se realizan ciertos descubrimientos a travs de integrales.

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1.3JustificacinPara tener un desarrollo integral del aprendizaje no basta con satisfacer nuestras necesidades bsicas de conformidad, sino que cada persona tome conciencia de los factores que influyen en cada uno de los diferentes aspectos que constituyen en la consolidacin de nuestro conocimiento para la formacin profesional. Es evidente que las personas no construyen un entorno de retroalimentacin de estudio, sino gracias a los conocimientos impartidos en clases pueden vivir en el aula de una manera acertada. Al escoger este proyecto de investigacin, es necesario que los estudiantes estn conscientes que somos individuos dispuestos al cambio, buscando soluciones para resolver los diferentes nudos crticos de aprendizaje. El principal fin de este trabajo investigativo, es abrir una puerta hacia el conocimiento ms alto, demostrando como son realizadas prcticas o descubrimientos a la ciencia correspondiente y dar a entender como de importantes son las matemticas en casi todas las reas y ms an en esta rama que es el Clculo Integral. Ms all de todo esto, sta investigacin se determina importante porque va a permitir la vinculacin activa docente-estudiante, para crearles un ambiente confortable y de apoyo para un mejor desenvolvimiento.

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1.4LimitacinEl lugar donde se est llevando a cabo la investigacin corresponde a la Universidad Tcnica de Manab en la Facultad de Ciencias Informticas en los estudiantes del tercer semestre del rea de matemticas en la asignatura de Calculo Integral en la carrera de Ingeniera en Sistemas, donde se determinado la falta de un material de apoyo para el entendimiento y comprensin de la materia. Para este problema se realizara una tutora y difusin sobre las diferentes tcnicas y empleos del Calculo Integral en las ciencias antes mencionadas, utilizando la metodologa correspondiente para la fcil comprensin del tema.

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2.2 ELABORACIN DE HIPOTESIS Hiptesis General La falta de entendimiento y conocimiento sobre la utilizacin del Clculo

integral en las ciencias ms reconocidas en nuestro entorno, del tercer semestre de la facultad de ciencias informticas de la Universidad Tcnica de Manab durante el periodo entre Septiembre 2011- Febrero 2012.

Hiptesis Especficos

La difusin de este trabajo investigativo, aclarar muchas dudas sobre el empleo de las integrales y bajo que tcnicas se regirn para su uso de acuerda a cada ciencia. Los contenidos y archivos que se dejaran servirn de mucho apoyo para el conocimiento del real sentido del Clculo Integral.

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MARCO TERICOLas integrales tienen diferentes campos de aplicacin, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase APLICACIONES A LA ADMINISTRACIN Y LA ECONOMA Entre las funciones que se utilizan en economa para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda: Funcin de oferta.- Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes estn dispuestos a ofrecer en el mercado en algn perodo especfico. Cuanto mayor es el precio, mayor ser la cantidad de productos que la empresa est dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la funcin de oferta es una funcin creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina funcin de oferta y a su grfica se la conoce como grfica de oferta.

A esta funcin la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.CALCULO INTEGRAL Pgina 13

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Funcin de demanda.-La empresa utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminucin de la cantidad demandada del artculo porque no todos los consumidores estn dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una funcin decreciente como lo observamos en los ejemplos grficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado perodo. Si el precio por unidad de un producto est dado por p y la cantidad correspondiente en unidades est dada por q la ley que los relaciona se denomina funcin de demanda. A su grfica se la llama grfica de demanda.

A esta funcin la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado. SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de interseccin de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarn la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarn gastar ms en un artculo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio deCALCULO INTEGRAL Pgina 14

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] equilibrio del artculo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el supervit de los consumidores. El rea bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estn dispuestos a pagar por q0 artculos. El rea sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarn en el precio p0 de equilibrio. El rea entre la curva y la recta representa el supervit de los consumidores.

El supervit de los consumidores est dado por el rea entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: donde d(q) es una funcin demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0. EJEMPLO La curva de demanda est dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el supervit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06 202 = 26. Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

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=

=

= 320

La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios ms bajos a los que los fabricantes venderan el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el supervit de los productores.

El rea total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q0 es la cantidad mnima total que los fabricantes estn dispuestos a obtener por la venta de q0 artculos. El rea total bajo la recta p = p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos reas, el supervit de los productores, tambin est dada por una integral definida.

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[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] Si s(q) es una funcin de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces supervit de los productores =

APLICACIONES A LA FSICA TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que vara continuamente F(x). Consideramos una particin que divide al intervalo [a, b] en n sub intervalos determinados por a = x0 x1 x2 x3 ......... xn-1 xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-simo sub intervalo, es decir D xi = xi - xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 ci xi. En ci la fuerza est dada por F(ci). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, D xi es pequeo. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi-1, xi] y podemos concluir que el trabajoCALCULO INTEGRAL Pgina 17

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] realizado wi al mover el objeto por el sub intervalo i-simo (desde xi-1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). D xi Sumando el trabajo realizado en cada sub intervalo, podemos aproximar el trabajo total

realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w @

=

.

Esta aproximacin mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el lmite de esta suma

cuando n resulta w =

=

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuerza que vara continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b est dado por w = .

EJEMPLO

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Puesta en rbita de un Mdulo Espacial Un mdulo espacial pesa 15 toneladas mtricas en la superficie de la tierra. Cunto trabajo es necesario para propulsar el modulo a una altura de 800 millas sobre la Tierra, como se muestra en la figura de los lados. (Usar 4000 millas como el radio de la Tierra)

Solucin: Porque el peso de un cuerpo varia inversamente al cuadrado de su distancia del centro de la Tierra, la fuerza F(x) ejercida por la gravedad es:Fx= Cx2

Porque el modulo pesa 15 toneladas mtricas en la superficie de la Tierra y el radio de la Tierra es aproximadamente 4000 millas, se tiene:15= C40002

240000000=C

As que, el incremento de trabajo es:W=fuerzaincremento de distancia =240000000x2 x

Por ltimo, porque el modulo se propulsa de x=4000 a x=48000, el trabajo total realizado es:

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[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS]W=abFxdx= 40004800240000000x2 dx =-240000000x2 de 4000 a 4800 =-50000+60000 =10000 miles-toneladas

PRESION DE FLUIDOS Los nadadores saben que cuanto ms profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presin sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen ms gruesas en la base que en la parte superior porque la presin ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presin de un fluido se emplea una ley fsica importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemtico pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presin ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presin en cualquier punto depende nicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presin p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p = w. h. Definimos la presin como la fuerza que acta por unidad de rea sobre la superficie de un cuerpo. Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y = a hasta y = b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F = w. donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.

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EJEMPLO

Fuerza de un Fluido en una superficie vertical Una compuerta de una presa vertical en un dique tiene la forma de un trapecio, con 8 pies en la parte superior y 6 pies en el fondo, con una altura de 5 pies, como se muestra en la imagen de los lados. Cul es la fuerza del fluido en la compuerta cuando la parte superior esta 4 pies debajo de la superficie del agua?

Solucin: Formular un modelo matemtico para este problema, tiene la lbertad para localizar los ejes x y y de maneras diferente. Una sugerencia conveniente es tomar el eje de las y, bisecar la compuerta y poner el eje x en la superficie del agua.

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As la profundidad del agua en y , en pies es:Profundidad=hy= -y

Para encontrar la longitud L(y) de la regin en y , localizar la ecuacin de la recta que forma el lado derecho de la compuerta. Porque esta recta atraviesa los puntos (3, -9) y (4, -4), su ecuacin es:y--9=-4--94-3(x-3) y+9=5(x-3) y=5x-24 x=y+245

En la imagen de arriba se puede observar que la longitud de la regin en y es:Longitud=2x CALCULO INTEGRAL Pgina 22

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS]25y+24 =Ly

Por ltimo, integrando de y=-9 a y=-4se puede calcular la fuerza del fluido:F=wcdhyLydy =62,4-9-4-y25y+24dy =-62,425-9-4y2+24ydy =-62,425y33+12y2 de-4 a-9

=-62,425-16753=13936 libras

3. METODOLOGIA 3.1 Mtodos, tcnicas e instrumentosNosotros hemos escogido el MTODO NO EXPERIMENTAL, porque nosotros nosestamos basando en un estudio documental sobre que conocimientos tienen sobre lo que son en si las integrales y en que reas son usuales, ya que esta informacin la estamos obteniendo de documentos e informacin del INTERNET que nos narran puntos importantes sobre lo que son las integrales y cules son sus aplicaciones y otros aspectos fundamentales. Las TCNICA que vamos a usar es la ENCUESTA porque nos vamos a valer de preguntas necesarias y especificas para recoger opiniones de personas del curso de Calculo Integral paralelo B, las cuales vamos a investigar y sus respuestas sern analizadas y se sacarn las debidas conclusiones.

3.2 Tipo de estudioCALCULO INTEGRAL Pgina 23

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] El tipo de estudio que vamos a realizar es de Tipo Descriptivo, porque se est centrando el estudio en un campo que corresponde a un lugar especfico y a tratar de solucionar los problemas que se presenten tales como el de conocer en qu estado se encuentra el objeto de nuestra investigacin sobre la imparticin de conocimiento de aplicaciones de integrales para el rea de matemticas en la asignatura de clculo integral.

3.3 Poblacin y MuestraLa poblacin segn datos investigados de la Facultad de Ciencias Informticas,en el rea de matemticas asignatura Calculo Integral se determin que hay 42 estudiantes, dado el tiempo y los recursos con los que se cuenta se trabajarn con una muestra de 16 estudiantes en el paralelo B.El tipo de muestreo que hemos escogido el MUESTREO PROBABLISTICO POR CONGLOMERADOS, porque vamos a realizar una Investigacin con grupos de alumnos que tienen tal vez a su alcance o suficiente conocimiento sobre la utilizacin de las integrales y como se los aplica.

ASPECTOS ADMINISTRATIVOS

4.1.- Recursos humanos Investigadores:Benitez Sabando Valerie YaninaCALCULO INTEGRAL Pgina 24

[APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS PROYECTO CIENCIAS] Demera Rivadeneira Carlos Mara Troya Zambrano Santiago Xavier

Catedrtico:Ing. Jos Antonio Cevallos Salazar.

4.2 PresupuestoMaterial Internet Impresiones b/n Impresiones color Aperitivo Cantidad 75horas 26 hojas 12 hojas 17 personas Costo $36.25 $1.30 $1.80 $5.00 $44.35

4.5 Cronograma

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NOVIEMBRE 1 2 3 4ENTREGA DE PROPUESTA DEL PROYECTO DESARROLLO DE MARCO TEORICO DESARROLLO DE PREGUNTASENCUESTA ENCUESTA EN EL PARALELO TABULACIN DE DATOS OBTENCION DE INFORMACIN ADICIONAL ELABORACIN DE INFORME ANEXO DE ASPECTOS IMPORTANTES ENCUESTA DE FUNCIONAMIENTO TABULACIN DE DATOS SUSTENTACIN DEL PROYECTO

DICIEMBRE 1 2 3 4

1

ENERO 2 3

4

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RESULTADOS ESTADISTICOSSU MANEJO DEL CALCULO INTEGRAL ES? ORD ALTERNATIVA EN 1 Alto 2 Medio 3 Bajo TOTAL F %

3 19 10 62 3 10 16 100,0

GRAFICO N1Su manejo del Clculo Integral es?

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS:

Como podemos ver la mayora de los estudiantes si tienen algn conocimiento sobre el manejo del Clculo Integral

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CUADRO N2SABIA UD QUE LAS INTEGRALES SON APLICADAS EN OTRAS RAMAS DE LA CIENCIA? ORD ALTERNATIVA EN 1 Si 2 No TOTAL F %

13 81 3 19 16 100,0

GRAFICO N2SABIA UD QUE LAS INTEGRALES SON APLICADAS EN OTRAS RAMAS DE LA CIENCIA?

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS:

Como podemos ver la mayora de los estudiantes si tienen conocimiento sobre ramas en las que puede ser aplicada las integrales

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CUADRO N 3CREE UD QUE ES IMPORTANTE SABER LA APLICACIN DE LAS INTEGRALES? ORD ALTERNATIVA EN 1 Si 2 No 3 Tal vez TOTAL F %

11 69 2 12 3 19 16 100,0

GRAFICO N 3CREE UD QUE ES IMPORTANTE SABER LA APLICACIN DE LAS INTEGRALES?

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS:

Como podemos ver la mayora de los estudiantes creen que es muy importante conocer sobre las aplicaciones de las integrales que se dan en algunas ciencias.

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CUADRO N 4EN QUE CIENCIAS CREE UD QUE LAS INTEGRALES TAMBIEN SON APLICADAS? ORD EN 1 2 3 4 ALTERNATIVA Fisica Quimica Economia Informatica TOTAL % 34 23 20 23 100,0

GRAFICO N 4EN QUE CIENCIAS CREE UD QUE LAS INTEGRALES TAMBIEN SON APLICADAS?

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS:

Como podemos ver la mayora de los estudiantes creen en las Ciencias Fsicas mayormente son aplicadas las integrales.

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CUADRO N 5VE ALGUNA UTILIDAD DE LAS INTEGRALES A FUTURO EN SU CARRERA? ORD ALTERNATIVA EN 1 Si 2 No TOTAL F %

9 7 16 100,0

GRAFICO N 3CREE UD QUE ES IMPORTANTE SABER LA APLICACIN DE LAS INTEGRALES?

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS:

Como podemos ver la mayora de los estudiantes si ven de mucha utilidad la aplicacin de las integrales, en el transcurso de su carrera y ya fuera de ella.

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Conclusin

El presente trabajo se ha realizado para conocer la aplicacin de las integrales en las ciencias como la economa y la fsica, en las cuales hemos podido observar la relevancia que tiene este parte del clculo dentro de las mismas; existen ms aplicaciones en las otras ciencias pero por motivos de tiempo solo hemos podido mostrar estas dos. El clculo juega un papel muy importante dentro de las otras ciencias por lo tanto tambin dentro del desarrollo diario de nuestras vidas muchas veces sin darnos cuenta. La investigacin de las integrales y sus aplicaciones es muy extensa e interesante y se les invita a nuestros compaeros y personas en general que consulten un poco ms para que as tengan unos conocimientos un poco ms completos.

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Bibliografia

Libro: Larson Seccin 7.5 Capitulo: Trabajo Pgina: 488 Seccin 7.7 Capitulo: presin de Fluido Pgina: 507 Libro: Clculo Diferencial e integral (Serie Schaum) Capitulo: 39 (presin de Fluido) Pgina: 193 Capitulo: 40 (Trabajo) Pgina: 196

Url: www.UNL.edu.ar (Universidad Nacional del Litoral) Aplicaciones en la Economa (oferta y demanda) Aplicaciones en la Fisica (Trabajo y Presion de fluido)

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